MÉTODO DE GERAÇÃO DE COLUNAS PARA O PROBLEMA DO CARREGAMENTO DE PALETES DO PRODUTOR

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1 MÉTODO DE GERAÇÃO DE COLUNAS PARA O PROBLEMA DO CARREGAMENTO DE PALETES DO PRODUTOR Glaydston Mattos Rbero Laboratóro Assocado de Computação e Matemátca Aplcada Insttuto Naconal de Pesqusas Espacas , São José dos Campos SP glaydston@lac.npe.br Luz Antono Noguera Lorena Laboratóro Assocado de Computação e Matemátca Aplcada Insttuto Naconal de Pesqusas Espacas , São José dos Campos SP lorena@lac.npe.br Resumo O problema do carregamento de paletes é um problema clássco e consste em arranjar o máxmo possível de tens (caxas) guas sobre um palete. Dado que se pode montar um grafo de confltos para este problema, sendo os vértces as possíves posções das caxas sobre o palete, e as arestas os possíves confltos entre essas posções, este problema pode ser vsto como um problema de máxmo conjunto ndependente de vértces. O presente trabalho vem propor um método de geração de colunas para este problema, observando que o grafo de confltos obtdo pode ser partconado, formando város clusters. Os resultados computaconas foram nteressantes e conseguram obter as soluções ótmas de váras nstâncas propostas na lteratura. Palavras-chave: Carregamento de paletes, Geração de colunas, Problemas de corte e empacotamento. Abstract The pallet loadng problem s a classc problem and conssts n arrangng the maxmum number of dentcal boxes onto a pallet. Gven that we can produce a conflct graph for ths problem, where the vertces are possble postons of the boxes on the pallet, and the edges represent the possble conflcts between these postons, ths problem can be seen as a maxmum ndependent set problem. So, ths work proposes a column generaton approach for ths problem, observng that the conflct graph generated can be parttoned, formng several clusters. The computatonal results were nterestng and we obtaned the optmal soluton for several nstances reported n the lterature. Keywords: Pallet loadng, Column generaton, Cut and packng problems.. Introdução O Problema do Carregamento de Paletes (PCP) consste em: dado um conjunto de tens dêntcos (caxas dêntcas) com dmensões retangulares e um palete também retangular; procura-se otmzar a superfíce do palete posconando o máxmo possível de caxas sobre o mesmo, sendo que as caxas não podem se sobrepor e todas elas devem estar posconadas (empacotadas) sobre o palete, não podendo ultrapassar os lmtes de comprmento e largura do mesmo; elas anda podem ser rotaconadas em 90º graus devendo estar com suas arestas paralelas às do palete. De acordo com Dyckhoff (990), esse problema pode ser classfcado como sendo 2/B/O/C (bdmensonal, seleção de tens, objeto únco, tens guas), sendo assm, esse problema pertence a um caso especal de problemas de corte e empacotamento.

2 O PCP aparece freqüentemente na logístca de dstrbução de produtos e com sso, o número total de caxas empacotadas pode reduzr os custos logístcos dado que um pequeno ncremento nesse número, pode estar representando uma economa sgnfcatva. Na lteratura, exstem dos tpos de problemas assocados ao PCP (Hodgson, 982): o Problema do Carregamento de Paletes do Produtor (PCPP) e o Problema do Carregamento de Paletes do Dstrbudor (PCPD). No prmero caso, as caxas possuem as mesmas dmensões, enquanto no segundo, apresentam dmensões dferentes. Em ambos os casos, as caxas são empacotadas em camadas horzontas. A Fgura apresenta um exemplo de como as caxas podem ser empacotadas conforme o tpo de problema. Este trabalho consdera o problema do produtor com empacotamento bdmensonal, ou seja, dada uma altura h de uma camada, o problema consste em colocar o máxmo número de caxas de faces (l,w), sobre a superfíce (L,W) do palete. As faces das caxas podem ser colocadas nas duas posções horzontas possíves em cada camada, sto é, (l,w) e (w,l). Orentações dferentes Caxas guas Caxas dferentes Palete (a) (b) Fgura Tpos de PCP: (a) Problema do Carregamento de Paletes do Produtor e (b) Problema do Carregamento de Paletes do Dstrbudor (Adaptado de Morales e Morabto, 997). Consderando as dversas aplcações prátcas desse problema, mutos métodos de solução têm sdo estudados. Os algortmos exatos exstentes utlzam bascamente uma estrutura em árvore (Dowsland, 987a; Bhattacharya et al, 998; Alvarez-Valdez et al, 2004). Devdo às dfculdades exstentes, város outros métodos foram crados ou utlzados, entre eles estão os métodos construtvos que dvdem o palete em blocos (Young-Gun e Mang-Kyu, 200), métodos recursvos (Morabto e Morales, 998) e métodos baseados em estruturas do tpo G4 (Schethauer e Terno, 996) e do tpo L (Lns et al, 2003). Exstem outros trabalhos que aplcam as metaheurístcas conhecdas como Busca Tabu (Pureza e Morabto, 2005) e Algortmos Genétcos (Herbert and Dowsland, 996). Exstem também város lmtantes superores que consderam a geometra do problema, o que permte avalar a qualdade de uma solução. Esse problema analsado sob outro ponto de vsta, é o clássco Problema do Máxmo Conjunto Independente de Vértces (PMCIV) (Dowsland, 987). O PCPP pode ser representado através de um grafo de confltos em que cada vértce, ndca a localzação do canto nferor esquerdo de uma caxa posta na horzontal ou vertcal, e as arestas do grafo, as possíves sobreposções das caxas. Baseado nessa déa e a de que o grafo de confltos pode ser partconado, este trabalho vem propor um método de geração de colunas para o problema do carregamento de paletes do produtor. Incalmente, na Seção 2 é apresentada a formulação deste problema conforme Beasley (985). Em seguda, a Seção 3 apresenta a decomposção Dantzg-Wolfe proposta. Na Seção 4, são apresentados os passos necessáros para se trabalhar com a decomposção proposta, assm como o método utlzado para gerar o conjunto ncal de colunas. Na Seção 5 são apresentados os resultados computaconas obtdos com a geração de colunas para um grupo de nstâncas propostas na lteratura. Por últmo, a Seção 6 apresenta as prncpas conclusões do trabalho assm como as pesqusas futuras. Palete 655

3 2. Formulação do problema do carregamento de paletes do produtor O PCPP pode ser formulado usando o caso partcular da formulação de Beasley (985) para o problema de corte não-gulhotnado bdmensonal. Seja L e W o comprmento e a largura do palete, respectvamente, tal que L W, e, l e w o comprmento e a largura das caxas, respectvamente, tal que l w e l Mn(L,W). Para representar os possíves modos de empacotar uma caxa, seja (l,w )=(l,w) e (l 2,w 2 )=(w,l). Com sso, essas posções podem ser representadas por (l,w ) =,2, que ndcam o comprmento e a largura de uma face na orentação. Para representar as posções das caxas no palete, seja X e Y dos conjuntos que juntos são utlzados para defnr as coordenadas (p,q) do canto nferor esquerdo das caxas. Esses conjuntos podem ser descrtos como: 2 + X = p Z p = l b, 0 p L w, b 0 e ntero, =,2 = () 2 + Y = q Z q = w b, 0 q W w, b 0 e ntero, =,2 = (2) Seja a uma função que descreve as restrções de sobreposções no palete. Esta função pode ser obtda com antecedênca para cada vértce (p,q) em relação a qualquer outro vértce (r,s), para cada orentação, sendo p X p L l, q Y q W w, r X, s Y, e =, 2. Assm, essa função pode ser expressa como: a pqrs, Se 0 p r p + l = 0, Caso contráro Agora, seja { 0,} L e 0 q s q + w W x pq uma varável bnára de decsão para todo p X p L l, q Y q W w, e =, 2. Se x pq =, uma caxa é colocada nas coordenadas (p,q) do palete com a orentação, caso contráro x pq = 0. Com sso, o PCPP pode ser formulado como (Beasley, 985): 2 { } { } v ( PCPP) = Max x p X p L l q Y q W w pq (4) = Sujeto a: 2 = x pq { p X p L l } a { q Y q W w } pqrs x pq, r X e s Y {,} =...2, p X tal que p L l e q Y tal que q W w 0, (7) A restrção defnda pela Equação (6) garante a não exstênca de sobreposção de caxas e a Equação (7) que as varáves de decsão são bnáras. Conforme ctado anterormente, este problema pode ser formulado como um Problema de Máxmo Conjunto Independente de Vértces (PMCIV). Esse problema é clássco, bastante estudado na lteratura. O PMCIV normalmente está embutdo na aplcação e com sso, surge em város campos como em teora da codfcação, vsão computaconal e estudos químcos (ver Bomze et al, 999). (3) (6) 656

4 Devdo a sua grande área de aplcação, exstem váras técncas de solução propostas na lteratura. Técncas exatas ncluem enumeração explcta de conjuntos ndependentes de vértces (Bron e Kerbosch, 973), Branch-and-Bound (Balas e Xue, 996; Östergard, 2002), e formulações contínuas com Branch-and-Bound (Barnes, 2000). Além dsso, váras heurístcas foram propostas como os algortmos de contração de vértces (Hertz, 990), e a heurístca gulosa de Kopf e Ruhe (987). Exstem anda heurístcas de busca local que procuram melhorar uma determnada solução dada, por exemplo, por uma heurístca gulosa (ver Feo et al, 994). Por outro lado, váras metaheurístcas também já foram utlzadas para resolver o PMCIV. Aarts e Korst (989) propuseram o uso da metaheurístca Smulated Annealng, Bu e Eppley (995) utlzaram Algortmos Genétcos, e Gendreau et al (999) trabalharam com Busca Tabu. Sendo assm, o PMCIV pode ser modelado como segue. Consdere G=(V,E) um grafo tal que V representa um conjunto de vértces x v e E um conjunto de arestas (u,v) sendo u, v V e u v. Consdere anda que não exstem pesos relaconados aos vértces ou arestas. Assm, o problema de máxmo conjunto ndependente de vértces consste em obter um subconjunto V ' V tal que todo par de vértces de V' não é adjacente, sto é, se r, w V ', então ( r, w) E. Com sso, o PMCIV pode ser modelado da segunte manera: v ( PMCIV ) = Max x v (8) v V Sujeto a: xu + xv ( u,v) E (9) x u {, } u V 0 (0) Se x v = o vértce v está ncluído no conjunto ndependente, caso contráro x v =0. As restrções defndas pela Equação (9) garantem que dos vértces adjacentes não podem estar presentes smultaneamente na solução do problema. Já a Equação (0) ndca que todas as varáves x v são bnáras. A formulação mostrada acma também pode ser utlzada para o PCPP, porém ela produz mas restrções que a formulação defnda em (4)-(7). Isso decorre do fato de que a formulação de Beasley (985) explora o uso das clques, reduzndo assm o número de restrções. Por exemplo, consdere um palete com dmensões (L,W)=(5,4) e caxas (l,w)=(3,2). A Fgura 2(a) mostra a formulação produzda pelo modelo (4)-(7). Usando a abordagem dada pelo PMCIV, a Fgura 2(b) mostra o grafo de confltos obtdo para o problema, e em (c) é apresentada a modelagem do PMCIV. Como prevsto antes, o PMCIV gera mas restrções que a modelagem de Beasley (985), entretanto elas estão consderadas mplctamente na formulação do PCPP. PCPP v(pcpp) = Max (x 00 + x 02 + x 20 + x 22 + x x x 230 ) Subject to: x 00 + x 200 x 02 + x 200 x 00 + x 20 + x 220 x 02 + x 22 + x 220 x 20 + x x 230 x 22 + x x 230 x 00, x 02, x 20, x 22, x 200, x 220, x 230 {0,} Grafo de confltos x 00 x 20 x 200 x 220 x 230 x 02 x 22 PMCIV v(pmciv) = Max (x 00 + x 02 + x 20 + x 22 + x x x 230 ) Subject to: x 00 + x 20 x 00 + x 200 x 00 + x 220 x 02 + x 22 x 02 + x 200 x 02 + x 220 x 20 + x 220 x 20 + x 230 x 22 + x 220 x 22 + x 230 x x 230 x 00, x 02, x 20, x 22, x 200, x 220, x 230 {0,} (a) (b) (c) Fgura 2 Comparação entre a formulação de Beasley (985) e a do PMCIV. 657

5 3. Decomposção Dantzg-Wolfe A mplementação clássca de geração de colunas, utlza um problema coordenador e subproblemas geradores de colunas. O problema coordenador ou problema mestre restrto (PMR), através de suas varáves duas, drecona os subproblemas na busca por novas colunas que trazem nformações novas para o PMR. Rbero e Lorena (2004a,b) apresentaram uma relaxação lagrangeana com dvsão em clusters (LagClus) para o Problema da Rotulação Cartográfca de Pontos (PRCP). Recentemente, Rbero e Lorena (2005) apresentam resultados da LagClus para o PCPP, garantndo soluções ótmas para nstâncas consderadas dfíces para uma relaxação lagrangeana. A LagClus explora o fato de que váras aplcações modeladas em grafos de confltos são bem adaptadas para uma fase de partconamento. A déa de Rbero e Lorena (2004ab), surgu do trabalho de Hcks et al (2004) no qual os autores desenvolveram um algortmo Branch-and-Prce para o Problema de Máxmo Conjunto Independente de Vértces com Pesos (PMCIVP), que é semelhante ao PMCIV porém neste caso, os vértces apresentam pesos. Em seu trabalho, os autores partconam o grafo de confltos, obtendo subgrafos (subproblemas) nduzdos menores que são faclmente resolvdos. O problema orgnal é então formulado usando a decomposção Dantzg-Wolfe (Bazaraa et al, 990) e esses subproblemas passam a gerar colunas para a decomposção, resolvendo o problema orgnal. Usando a déa do partconamento acma, a decomposção Dantzg-Wolfe de Hcks et al (2004) para o PMCIVP pode ser reformulada para o PMCIV, e conseqüentemente para o PCPP. Seja P o número de clusters formado após o partconamento do grafo de confltos G, como mostrado na Fgura 2(b). Sendo assm, o PMCIV pode ser formulado como: P v( PMCIV ) = Max x p () p= Sujeto a: A x + A x + L + A P x P (2) + D x D x (3) L M n x B L P x P + D P L x B n P (4) Sendo: A p uma matrz bnára de dmensão M x V que representa os coefcentes das varáves x p do cluster p presentes nas M restrções de adjacêncas entre clusters; D p uma matrz bnára de dmensão E -M x V que representa os coefcentes das varáves x p do cluster p presentes nas restrções de adjacêncas ntra clusters; n B p um vetor de varáves bnáras do cluster p de comprmento n p. Como pode-se observar, o conjunto de restrções defndo na Equação (2) se removdo, permte dvdr o problema em P subproblemas dstntos. Assm, aplcando a decomposção Dantzg-Wolfe para a relaxação de programação lnear sobre o problema ()-(4), conforme Hcks et al (2004), temse o segunte PMR: 658

6 Sujeto a: v ( PMR) P p= j J j J p p PL Max P = p= j J jp λ jp x (5) p jp λ jp Ap x (6) { P} λ jp = p... (7) 0 p... { P} e j J p λ jp (8) Sendo: J p um conjunto de pontos extremos do cluster p; jp x um vetor de comprmento V p que representa o ponto extremo j JP ; λ jp uma varável de decsão que representa o ponto extremo j J p. Os subproblemas p {...P} são todos PMCIV defndos como: p T jp v( PMCIV ) = Max{ ( A p Δ) x } (9) Sujeto a: D p x jp (20) jp n x B p (2) Onde Δ é um vetor de comprmento M que representa as varáves duas das restrções defndas pela Equação (6). Uma nova coluna, fornecda por um subproblema p, será nserda no PMR, se o seu p custo reduzdo for postvo, ou seja, v( PMCIV ) β p > 0, sendo β p a varável dual assocada com a p-ésma restrção defnda pela Equação (7). Sendo assm, o PMR coordena as soluções dos subproblemas através de suas varáves duas, objetvando uma solução para o problema orgnal. Rbero e Lorena (2005) utlzam a LagClus para obter bons lmtantes duas para o PCPP. Eles utlzam um algortmo de otmzação do subgradente para tal. Entretanto, a decomposção apresentada acma, também permte obter uma LagClus (L Δ PMCIV) para o PCPP, da segunte manera: v P p { v( PMCIV )} + ( LΔ PMCIV ) = δ (22) p= δ Δ Resultados computaconas mostrados na Seção 5, comprovam esta afrmação. 4. Grafo de confltos, partconamento e conjunto ncal de colunas A decomposção Dantzg-Wolfe mostrada nas Equações (5)-(8), pode ser aplcado ao PCPP sendo necessáro montar e partconar o grafo de confltos. Com sso, são necessáros os seguntes passos:. Montar o grafo de confltos G a partr da modelagem do PCPP e aplcar uma heurístca de partconamento neste grafo, dvdndo-o em P clusters; 659

7 2. Analsar as restrções (clques) presentes no PCPP. Se em uma determnada clque exstrem pares de vértces que pertencem a um mesmo cluster, adconar ao respectvo cluster uma restrção de adjacênca entre cada par encontrado; 3. As clques que apresentam vértces em mas de um cluster, deverão formar as restrções defndas na Equação (2). As etapas acma, permtem obter para a formulação do PCPP, a mesma estrutura mostrada para a modelagem do PMCIV defnda em ()-(4). Deve-se observar que no passo 2, clques com vértces pertencentes a mas de um cluster devem ser decompostas, e cada uma de suas arestas analsada. Se uma aresta conecta dos vértces de um mesmo cluster, a mesma deve ser acrescentada no respectvo cluster. Esse procedmento evta que restrções (arestas) pertencentes aos clusters dexem de ser consderadas, e conseqüentemente, que colunas nváldas sejam geradas. A Fgura 3 exemplfca a questão do partconamento. Na Fgura 3(a) têm-se dos agrupamentos (clusters) bem defndos, em (b) pode-se observar separadamente as arestas que conectam estes clusters que, se removdas, formam dos subgrafos (ou dos subproblemas) com as mesmas característcas do problema orgnal (ver Fgura 3(c)). Com sso, cada cluster p va gerar uma coluna para a decomposção Dantzg-Wolfe, que na verdade, representa uma solução do cluster p. (a) (b) (c) Fgura 3 Esquema de partconamento. (a) Grafo de confltos, (b) arestas de conexão ou arestas entre clusters e (c) clusters ou subproblemas geradores de colunas. Rbero e Lorena (2005) relaxam, no sentdo lagrangeano, as restrções defndas na Equação (2), pos estas formam o conjunto das restrções entre clusters. Para gerar o conjunto ncal de colunas, fo utlzada uma adaptação da heurístca RSF (Recursve- Smalest-Frst), proposta por Yamamoto e Lorena (2005). A heurístca RSF nca escolhendo um vértce x de grau mínmo, em seguda, ela torna o vértce escolhdo e seus vértces adjacentes natvos. A partr da lsta de vértces atvos, é calculado novamente o grau de cada vértce, e em seguda, um novo vértce de grau mínmo é seleconado, e o cclo é então repetdo. O algortmo termna quando não houver mas vértces atvos. Os vértces escolhdos formam um conjunto ndependente de vértces, no caso do PCPP um layout (uma solução) das caxas sobre o palete. A RSF fo usada da segunte manera para gerar o conjunto ncal de colunas do PCPP. Prmero, ao nvés de escolher o vértce de grau mínmo, escolhe-se aleatoramente um vértce x. Em seguda, o vértce escolhdo e seus vértces adjacentes são colocados natvos. Daí em dante, o processo é dêntco ao da heurístca orgnal, ou seja, calcula-se o grau de cada um dos vértces restantes e aquele de menor grau é escolhdo, novamente o vértce escolhdo e seus vértces adjacentes são colocados natvos, e o processo é repetdo. Quando a heurístca termna, os vértces seleconados formam uma 660

8 solução para o PCPP. Todo esse algortmo é repetdo até que se obtenha o número desejado de soluções. Sendo ND esse número, o número de colunas adconadas no PMR é gual a ND * P, pos cada cluster gera uma coluna. 5. Resultados computaconas Na lteratura, exstem város trabalhos que relatam nstâncas testes como em Dowsland (987), Letchford e Amaral (200), Morales e Morabto (997), Alvarez-Valdez et al (2004) e Pureza e Morabto (2005). Outros trabalhos relatam nstâncas testes obtdas de problemas reas junto a transportadoras como em Morabto et al (2000) e em Morabto e Farago (2002). Este trabalho no entanto, apresenta resultados somente para as nstâncas propostas por Letchford e Amaral (200), consderadas dfíces para uma relaxação lagrangeana. As característcas das nstâncas são mostradas na Tabela, e os resultados encontrados com a geração de colunas estão na Tabela 2. O partconamento fo realzado utlzando o METIS de Karyps e Kumar (998) que é uma heurístca bem conhecda para partconamento de grafos. A mesma produz partconamentos de boa qualdade em um tempo computaconal baxo. Para todas as nstâncas testes foram utlzados dos clusters, ou seja, P = 2. A codfcação fo feta em C++ e os testes em um Pentum IV 2,66 GHz, com 52 MB de memóra RAM. Para resolver os subproblemas geradores de colunas, assm como o PMR, fo utlzado o CPLEX 7.5 (ILOG, 200). Nas Tabelas e 2, as colunas referem-se a: Instânca Nome dado a nstânca; W e L Largura e comprmento do palete, respectvamente; w e l Largura e comprmento das caxas, respectvamente; Solução ótma Solução ótma do problema; Número ncal de colunas Número ncal de colunas obtdas com a heurístca RSF; Resultado ncal (PMR) Valor da função objetvo para o PMR, consderando somente o conjunto ncal de colunas; Número fnal de colunas Número fnal de colunas obtdo quando o processo de geração fo encerrado; Resultado fnal (PMR) Valor da função objetvo para o PMR com o número fnal de colunas; Tempo (s) Tempo em segundos utlzado pelo processo de geração de colunas; Solução Representa o valor da função objetvo para o PMR convertdo em um problema ntero bnáro; Tempo 2 (s) Tempo em segundos para resolver o PMR convertdo em um problema ntero bnáro. Neste trabalho, optou-se por parar o processo de geração de colunas quando nenhuma coluna de custo reduzdo postvo pudesse entrar no PMR. Não fo utlzada também, nenhuma técnca de elmnação de colunas. Tabela Instâncas consderadas. Instânca L W l W Solução ótma L L L L L L L L L L

9 Como pode-se perceber pela Tabela 2, os resultados valdam a decomposção utlzada neste trabalho, embora os tempos computaconas tenham sdo, em alguns casos, elevados. Mas vale ressaltar que não fo utlzada nenhuma técnca de elmnação de colunas mprodutvas, ou parada prematura do processo de geração devdo algum crtéro pré-estabelecdo. Por outro lado, após gerar todas as colunas, o PMR obtdo e resolvdo de forma ntera, apresentou as soluções ótmas em um tempo razoável, nferor a 5,0s em todas as nstâncas. A Fgura 4 mostra o comportamento do processo de geração de colunas e relaxação lagrangeana com clusters defnda na Equação (22). Pode-se perceber que, conforme o número de terações, os dos lmtantes tendem a se gualarem, muto próxmo de um lmte teórco dado por ( L * W )/( l * w) (onde z é o maor ntero menor ou gual a z), também conhecdo por lmtante de área. Instânca Número ncal de colunas Tabela 2 Resultados obtdos com a Geração de Colunas. Processo de Geração de Colunas Resultado ncal (PMR) Número fnal de colunas Resultado fnal (PMR) Resolvendo o PMR fnal de forma ntera (PLI) Tempo (s) Solução Tempo 2 (s) L , , ,00 L , , ,20 L , , ,00 L , , ,00 L , , ,00 L , , ,00 L , , ,00 L , , ,00 L , , ,0 L , , ,0 Instânca L7 Função Objetvo Número de Iterações Lmte Teórco LagClus PMR Fgura 4 Comportamento do problema mestre restrto e da LagClus defnda na Equação (22). 6. Conclusões e pesqusas futuras Este trabalho apresentou um método de geração de colunas para o problema do carregamento de paletes do produtor. Um paralelo com o problema do máxmo conjunto ndependente de vértces fo feto, dado que a decomposção apresentada está baseada na formação de clusters obtdos a partr do partconamento do grafo de confltos. Os resultados obtdos foram nteressantes apesar do tempo computaconal, em alguns casos, estarem elevados. Porém, os problemas mestres restrtos obtdos ao fnal do processo de geração de colunas, quando resolvdos de forma ntera, forneceram as soluções ótmas conhecdas dos problemas testes. 662

10 Outra questão nteressante é que a relaxação lagrangeana com formação de clusters proposta por Rbero e Lorena (2004ab), pôde ser obtda de forma ndreta, como mostrou o gráfco da Fgura 3. Apesar do lmtante fornecdo por esta relaxação osclar muto no níco do processo de geração, ao fnal, os dos lmtantes (da relaxação e do problema mestre) tendem a se gualar. Está em fase de estudo, a aplcação de técncas de redução que permtam elmnar colunas mprodutvas, e técncas que parem o processo de geração de colunas, assm que este atngr um determnado valor, como por exemplo o lmtante de área descrto anterormente. Espera-se com sso, reduzr o tempo computaconal e obter problemas mestres tão bons quanto os obtdos quando o processo de geração segue até o fm. Além dsso, também está sendo desenvolvdo um algortmo Branch-and-Prce para este problema, que utlza a decomposção mostrada. Técncas de separação e descda na árvore de busca, também estão sendo estudadas. Espera-se ao fnal, obter um Branch-and- Prce capaz de resolver PCPPs consderados dfíces de serem resolvdos de forma exata. Agradecmentos Os autores agradecem ao Conselho Naconal de Desenvolvmento Centífco e Tecnológco - CNPq pelo apoo fnancero dado ao desenvolvmento deste trabalho. Referêncas Bblográfcas ) Aarts, E. e Korst, J. Smulated Annealng and Boltzmann Machnes. Chchester, UK: J. Wley & Sons, ) Alvarez-Valdez, R.; Parreño, F. e Tamart, J. M. A branch-and-cut algorthm for the pallet loadng problem. Computer and Operatons Research, In press. 3) Balas, E. e Xue, J. Weghted and unweghted maxmum clque algorthms wth upper bounds from fractonal colorng. Algorthmca, v. 5, n.5, p , ) Barnes, E. R. A branch-and-bound procedure for the largest clque n a graph. In: Pardalos, P. M. (ed.) Approxmaton and Complexty n Numercal Optmzaton: Contnuous and Dscrete Problems. Boston: Kluwer Academc Publshers, ) Bazaraa, M. S.; Jarvs, J. J. e Sheral, H. D. Lnear programmng and network flows. New York: Jhon Wley & Sons, nd Edton. 6) Beasley, J. An exact two-dmensonal non gullotne cuttng tree search procedure. Operatons Research, v. 33, p , ) Bhattacharya, R.; Roy, R.; e Bhattacharya, S. An exact depth-frst algorthm for the pallet loadng problem. European Journal of Operatonal Research, v. 0, p , ) Bomze, I. M.; Budnch, M.; Pardalos, P. M. e Pello, M. The maxmum clque problem. In: Du, D. e Pardalos, P. M. (eds) Handbook of Combnatoral Optmzaton. Boston: Kluwer Academc Publshers, ) Bron, C. e Kerbosch, J. Fndng all clques of an undrected graph. Comuncatons of the ACM, v. 6, n. 9, p , ) Bu, T. N. e Eppley, P. H. A hybrd genetc algorthm for the maxmum clque problem. In: Proceedngs 6 th Internatonal Conference on Genetc Algorthms. Anas, p , 995. ) Dowsland, K. An exact algorthm for the pallet loadng problem. European Journal of Operatonal Research, v. 3, p , ) Dyckhoff, H. A typology of cuttng and packng problems. European Journal of Operatonal Research, v. 44, p , ) Feo, T. A.; Resende, M. G. C. e Smth, S. H. A greedy randomzed adaptve search procedure for maxmum ndependent set. Operatons Research, v. 42, p , ) Gendreau, M.; Salval, L. e Sorano, P. Solvng maxmum clque problem usng a tabu search approach. Annals of Operatons Research, v. 4, p , ) Herbert, A. e Dowsland, K. A famly of genetc algorthm for the pallet loadng problem> In: Osman, I. H. e Kelly, J. P., edtors. Metaheurstcs: theory and applcatons. Dordrecht: Kluwer Academc Publshers, p , ) Hertz, A. A fast algorthm for colorng Meynel graphs. Journal of Combnatoral Theory B, v. 50, n. 2, p , ) Hcks, I. V.; Warren, J. S.; Warrer, D. e Wlhenlm, W. E. A branch-and-prce approach for the maxmum weght ndependent set problem. Texas A & M Unversty: Department of Industral Engneerng, Dsponível em Acesso em: 22/0/

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