Aplicação do Método de Decomposição de Benders para o Problema de Carregamento de Paletes do Produtor
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- Sandra de Figueiredo Botelho
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1 Aplcação do Método de Decomposção de Benders para o roblema de Carregamento de Aplcação do Método de Decomposção de Benders para o roblema de Carregamento de Ana Gabrela Rocha Departamento de Engenhara de rodução UFSCar gabrocha45@gmal.com Renaldo Morabto Departamento de Engenhara de rodução UFSCar morabto@ufscar.br Alysson M. Costa Insttuto de Cêncas Matemátcas e de Computação - US alysson@cmc.usp.br Resumo Neste estudo aplcamos o método de decomposção de Benders para resoler o problema de empacotar o maor número possíel de retângulos dentro de um retângulo maor. Este problema aparece em contextos logístcos de carregamento de caxas guas em camadas ertcas sobre a superfíce de um palete. A abordagem baseada em decomposção de Benders partcona o problema orgnal em dos outros problemas mas smples de serem resoldos. ara erfcar a efcáca da abordagem realzaram-se testes computaconas comparando os resultados obtdos com os obtdos por um software de otmzação. alaras-chae roblema de Carregamento de Método de Decomposção de Benders rogramação Intera Msta. Abstract Ths study apples the decomposton method of Benders to a problem of pacng as many possble of rectangles wthn a larger rectangle. Ths problem appears n logstcs settngs of loadng dentcal boxes nto ertcal layers on the pallet surface. The approach based on Benders decomposton defnes a relaxaton algorthm whch parttons the orgnal problem n two other smpler problems to be soled. To erfy the effecteness of the approach computatonal tests were performed comparng the results obtaned wth those obtaned by an optmzaton software. Keywords Manufacturer s allet Loadng roblem Benders Decomposton Method Mxed Integer rogrammng.
2 Aplcação do Método de Decomposção de Benders para o roblema de Carregamento de. Introdução O problema de carregamento de paletes (C) do produtor pode ser sto como um problema de arranar o maor número possíel de tens de dmensões ( l w) em um retângulo maor (palete) de dmensões ( L W). Os tens deem estar completamente contdos no palete e não é permtda a superposção de tens (sto é dos tens não podem ocupar o mesmo espaço do palete). Glmore & Gomory (965) obseraram que empacotar caxas em agões de carga ferroáros podera ser sto como cortar pequenos paralelepípedos a partr de grandes paralelepípedos. Dychoff & Fne (99) procuraram ntegrar estes problemas de empacotar e cortar em uma únca categora de problemas denomnada problemas de corte e empacotamento (CE). Atualmente os CE's são bem conhecdos na lteratura de pesqusa operaconal e logístca e centenas de artgos sobre o tema podem ser encontrados conforme ndcam os exames em ESICU () e Wäscher et al. (7). Dferentes formulações matemátcas podem ser utlzadas para representar o C (ea por exemplo OLIVEIRA & MORABITO 6 e RIBEIRO & LORENA 7). Em partcular em Tsa et al. (993) o C do produtor é formulado como um modelo de programação ntera msta -. O modelo enole restrções dsuntas e pode ser resoldo por exemplo por algortmos do tpo branch-and-cut explorando a estrutura partcular do modelo. Outras formulações lneares - relaconadas são encontradas em Boschett et al. () Chen et al. (995) Egebald & snger (9) Martns (3) adberg () e Schethauer & Terno (993). Nas últmas décadas alguns métodos exatos e mutos métodos aproxmados (heurístcos) foram propostos para resoler o C do produtor baseados entre outros em técncas de otmzação combnatóra relaxação Lagrangana e Surrogate programação dnâmca busca em grafo heurístcas de bloco e metaheurístcas. Dersas referêncas a estes métodos podem ser encontradas em Alarez-Valdez (7) Brgn () Lns (3) Olera & Morabto (6) ureza & Morabto (6) e Rbero & Lorena (7). Lmtantes superores para o C também foram estudados por exemplo em Letchford & Amaral () e Morabto & Farago (). Benders (96) propôs um método de partconamento para resolução de problemas de programação ntera msta que em sendo aplcado com sucesso a problemas em dersos contextos (CAMARGO et al. 9; CORDEAU et al. ; COSTA 5; GEOFFRION & GRAVES 974 e RANDAZZO & LUNA ). No presente trabalho estudamos a aplcação do método de decomposção de Benders para resoler o C do produtor bdmensonal (atraés da adaptação do modelo proposto em Tsa et al. (993). ara aalar o desempenho do método realzamos alguns expermentos computaconas baseados em problemas gerados artfcalmente. Os resultados obtdos foram comparados com os obtdos ao resoler o mesmo modelo utlzando o pacote GAMS/CLEX 7.. Uma das motações da escolha do método de decomposção de Benders neste estudo é o fato dele ter tdo bons resultados quando aplcado a áros outros problemas conforme menconado acma. Outra motação para esta escolha é que até onde temos conhecmento nenhuma tentata de utlzação deste método fo efetuada para resoler o C.. Formulação do roblema O modelo proposto por Tsa et al. (993) permte que áras caxas de dersos tamanhos seam colocadas no mesmo palete. É um problema que também lea em consderação a altura das caxas pos elas podem ser armazenadas em mas de uma camada e cada carregamento pode ter mas de um tpo de caxa (C do dstrbudor). O modelo trdmensonal não garante a obtenção de carregamentos estáes.
3 Aplcação do Método de Decomposção de Benders para o roblema de Carregamento de A segur o modelo orgnal de Tsa et al. (993) é adaptado a um modelo bdmensonal do C do produtor. Desta manera consderamos que podemos ter apenas caxas de dmensões ( l w) ou ( w l) para serem carregadas num palete ( L W) desconsderando a altura das caxas. O problema é formulado como um problema de programação ntera msta - e descrto resumdamente neste trabalho. ara mas nformações de Rocha (8) e Tsa et al. (993). Os parâmetros deste modelo para o C do produtor caso bdmensonal são - S conunto de n caxas a serem consderadas todas com dmensões ( l w) ou ( w l) ; - ( l w ) dmensões da caxa no conunto S (note que se l = l então w = w e ceersa); - ( L W) dmensões do palete comprmento e largura; - ( X Y ) canto nferor esquerdo do palete no plano cartesano ao longo dos exos x e y; - M número sufcentemente grande. Note que ( X Y ) é defndo para que todas as caxas em S cabam entre () e LW LW ( X Y ). O número de caxas n é * em que metade delas tem tamanho lw lw ( l w) e a outra metade tem tamanho ( w l). As aráes deste modelo são - x y ) aráes de decsão (coordenadas x e y do canto nferor esquerdo da caxa ); ( - aráel de decsão bnára assocada à -ésma caxa do conunto S. A caxa é colocada no palete se =. A caxa é descartada se =. Temos então o segunte modelo n Max Z = () = sueto a x x l ou () x l x ou (3) y y w ou (4) y w y ou (5) x X (6) y Y (7) x ( X L) l (8) y ( Y W) w (9)
4 Aplcação do Método de Decomposção de Benders para o roblema de Carregamento de {} x y =... n =... n As restrções () a (5) são restrções dsuntas para etar sobreposção das caxas. ara delmtar a colocação das caxas no palete tem-se as restrções (6) a (9). A função obeto () maxmza o número total de caxas no palete. A solução deste modelo fornece o número máxmo de caxas e suas respectas localzações no palete. As restrções dsuntas de sobreposção podem ser conertdas para restrções padrões do tpo e ntroduzndo-se conuntos de aráes bnáras u u. Tem-se então 4 possíes combnações dessas aráes bnáras. Assm as restrções () a (5) são equalentes a (TSAI et al. 993) x x l M( u u ) () x x l M(( u u )) () y y w M(( u u )) () y y w M[ ( u u )] (3) u u {} Desde que M sea sufcentemente grande pode-se gnorar outros termos no lado dreto destas equações quando o termo em M não for anulado pelos alores das aráes. O alor resultante do lado dreto das equações está ndcado portanto somente como M na tabela. Nesta tabela uma das 4 restrções orgnas não deerá mudar e o restante não terá efeto por causa do grande alor de M. aráes bnáras alor das equações (lado dreto) equações de u u eq. () eq. () eq. () eq. (3) restrções aplcáes M M M eq. () l M l M M eq. () M M w M eq. () M M M w eq. (3) u Tabela Restrções dsuntas para o caso bdmensonal ara cada par ( ) com e M sufcentemente grande tem-se 4 possbldades se u u = a restrção que fcará álda é a restrção (3); se u u = a restrção que não = =
5 Aplcação do Método de Decomposção de Benders para o roblema de Carregamento de será redundante é a restrção (); se u = e u = a restrção que fcará álda é a restrção (); se u = e u = a restrção que não será redundante é a restrção (). Note que o número de restrções deste modelo aumenta exponencalmente com o número de caxas n. A escolha do modelo de Tsa et al. (993) para ser adaptado ao problema do carregamento de paletes do produtor se deeu ao fato das aráes nteras e contínuas deste modelo serem faclmente separáes facltando a aplcação do método básco de decomposção de Benders. Neste estudo consderamos os mesmos parâmetros e as mesmas aráes do modelo de Tsa et al. (993) exemplfcado anterormente e sem perda de generaldade modfcamos a função obeto orgnal do modelo em Tsa et al. (993) de Max n = para n ( x y x y) Mn (4) n( X L Y ) = W para que esta função também enola aráes contínuas do problema. Admtmos que a peça tem dmensões ( l w) e a peça ( w l). O segundo termo da função obeto faz com que sem perda de generaldade uma dentre estas peças sea colocada na orgem do palete. Além dsso o segundo termo é sempre menor que (sto é um número fraconáro) o que o torna de segunda ordem com relação ao prmero termo (que sempre é um número ntero). O denomnador do segundo termo da função obeto é multplcado por n (número de caxas) mas podera ser multplcado por também sem perda de generaldade á que no numerador há as coordenadas de duas caxas ( = e = ). As restrções também são modfcadas em relação ao modelo orgnal para que seam áldas somente se as caxas forem empacotadas no palete. Caso contráro as caxas são todas colocadas na orgem () pos apenas as caxas seleconadas precsam respetar as restrções de sobreposção (de equações (9) a ()). Assm o alor de X e Y será o máxmo entre l e w para que as caxas colocadas na orgem cabam entre a orgem e o canto nferor esquerdo da palete. As restrções fcam então da segunte forma x x l M( u u ) (5) x x l M[( u u )] (6) y y w M[( u u )] (7) y y w M[ ( u u )] (8) x X (9) y Y () x ( ( X L) l ) y ( ( Y W) w ) (3) max { L/ l W / w L/ w W / l} (4) () ()
6 Aplcação do Método de Decomposção de Benders para o roblema de Carregamento de LW l w (5) u u x y {} =... n Note que as restrções (5) a (8) () e () são lgeramente dferentes das restrções orgnas em Tsa et al. (993) (obsere os termos com as aráes e ). A restrção (3) garante que a peça ou a peça estea no palete fazendo com que a mudança na função obeto sea álda. ara melhorar os lmtantes nferores e superores ncas do número de caxas as restrções (4) e (5) também foram ncluídas. ara uma dscussão mas detalhada deste modelo ea Rocha (8). 3. Aplcação de decomposção de Benders no Modelo de Tsa et al. (993) A abordagem de Benders basea-se no partconamento do problema orgnal em dos problemas mas smples chamados de problema mestre e de subproblema (BENDERS 96; COSTA 5). O problema mestre é uma relaxação do problema orgnal no sentdo em que contém apenas um subconunto das aráes orgnas e as restrções assocadas. O subproblema por sua ez é uma ersão do problema orgnal em que as aráes á utlzadas no problema mestre estão fxadas. O algortmo resole cada um dos dos problemas teratamente da segunte manera resole-se o problema mestre obtendo-se uma solução tentata para as aráes deste problema e um lmtante dual (prmal) para a solução do problema de mnmzação (maxmzação) orgnal. Os alores das aráes obtdos são utlzados na resolução do subproblema. Caso a resolução do subproblema resulte nfactíel é possíel obter por meo da teora da dualdade um rao extremo da regão factíel do subproblema que gera um corte áldo para o problema mestre (chamado corte de Benders de nfactbldade). Analogamente caso o subproblema sea factíel o ponto extremo obtdo pode ser usado para gerar-se um outro tpo de corte (chamado corte de Benders de otmaldade). Neste últmo caso note que uma solução factíel fo encontrada e portanto um lmtante prmal (dual) fo obtdo para o problema de mnmzação (maxmzação) orgnal. Em ambos os casos o corte obtdo é nserdo no problema mestre e o algortmo tera até que se consga obter lmtantes prmas e duas guas (a menos de uma tolerânca) e portanto uma solução proadamente ótma para o problema orgnal. ara facltar a apresentação da aplcação da decomposção de Benders no C a segur resamos resumdamente a abordagem de Benders. Consdere o problema ntero msto descrto abaxo Mn cx dy (6) s. a Ax By b (7) Dy e (8) x y e ntero (9) Este problema pode ser reescrto como
7 Aplcação do Método de Decomposção de Benders para o roblema de Carregamento de mn { d y mnx { cx Ax b By}} y Y (3) em que Y = { y Dy e y e ntero }. A mnmzação nterna em cx é um problema lnear. Assocando-se aráes duas às restrções Ax b By pode-se escreer a ersão dual deste problema como max u { u( b By) ua c} (3) O problema (3) é o subproblema no método de decomposção de Benders. Usando este subproblema podemos reescreer o problema (3) como mn { d y maxu { u( b By) ua c}} y Y (3) O poledro conexo U = { u ua c} é ndependente de y. Note que o mesmo não ocorre com o poledro conexo { x Ax b By} em (3) que depende de y. Seam u p ( p =... ) os pontos extremos de U e s ( s =... S) os raos extremos de U. A solução do p subproblema pode ser lmtada ou lmtada. Se for lmtada a solução é um ponto extremo u. No s segundo caso exste uma dreção para a qual s ( b By) >. Esta solução lmtada resulta em um problema prmal nfactíel e por sso dee ser etada. Assm deemos elmnar estes alores de y. Isto pode ser feto consderando as restrções s ( b By) ( s =... S) (33) Com essas restrções o alor máxmo do problema nterno de maxmzação em (3) é o alor de um dos pontos extremos de U. Assm p mn { d y maxu { u ( b By) p =... }} y Y (34) s s. a. ( b By) s =... S (35) Fazendo uso da aráel auxlar z temos então o problema mestre Substtundo Mn dy z (36) p s. a z u ( b By) p =... (37) s ( b By) s =... S (38) y Y z (39) dy z por z o problema mestre acma pode então ser reescrto na forma Mn z (4) p s. a z dy u ( b By) p =... (4)
8 Aplcação do Método de Decomposção de Benders para o roblema de Carregamento de s ( b By) s =... S (4) y Y (43) O número de pontos e raos extremos tende a ser muto grande mpossbltando a enumeração explícta das restrções (4) e (4). Benders propôs uma estratéga de geração dnâmca destas restrções gerando um problema mestre relaxado na forma Mn z (44) s. a. yy (45) e em cada teração o problema acma agrega um noo corte do tpo (4) ou (4). O subproblema sere para testar a factbldade/otmaldade de uma proposta [ y z ] do problema mestre ((4)-(43)) em que é a -ésma teração (sto é com... cortes). O problema mestre é um problema nas aráes y e gera propostas de y para o subproblema. O subproblema testa as propostas do problema mestre e é um problema nas aráes u. Consderando-se UB um lmtante superor LB um lmtante nferor para o problema de mnmzação (4)-(43) e a precsão deseada o algortmo de decomposção de Benders clássco pode ser escrto da segunte forma asso faça UB = LB = ; asso resola o problema mestre relaxado ((44)-(45)) obtendo assm um alor ncal para y ; asso 3 com os alores de y fxados resola o subproblema (3) para obter * u. Caso o * subproblema sea factíel atualze o alor do UB = mn{ UB d y u ( b By)} (sto é o alor da melhor solução factíel até então); asso 4 gere uma noa restrção para o problema mestre (ponto extremo (4) ou rao extremo (4)); asso 5 resola o problema mestre (44)-(45) com o corte do asso 4 adconado para * * * obter y z. Calcule o noo LB = z ; asso 6 UB LB? Se sm FIM. Senão olte ao passo 3. Neste trabalho apresentamos resumdamente o método proposto por Benders. ara mas detalhes deste método podem ser consultados os trabalhos de Benders (96) e Rocha (8) entre outros. Na sequênca detalha-se o algortmo de Benders para o C utlzando as formulações anterormente apresentadas. Seam u e fxos (notação u e ) e sendo e 8 as aráes duas assocadas respectamente às restrções (5) (6) (7) (8) (9) () () e () o subproblema dual é dado por Max u ( ( l M ( u u ))) ( ( l M ( u ))) ( 3 ( w M (u u ))) ( 4 ( w M ( u u ))) X 5 Y 6
9 Aplcação do Método de Decomposção de Benders para o roblema de Carregamento de w W Y l L X 8 ) ( 7 ) ( (46) sueto a > > =... ) ( 7 5 n W L Y X n g (47) > > =... ) ( 8 6 n W L Y X n g (48) onde g ale para = e para n 3... =. Resolendo o subproblema dual (46)-(48) encontramos os pontos ou raos extremos que geram os cortes a serem adconados ao problema mestre. As restrções (4) e (5) são adconadas ao problema mestre e a restrção (5) é reescrta como na restrção (5) a segur. O problema mestre fca então da segunte forma z Mn (49) sueto a w l W L z (5) } / / / / { max l W L w W w L l (5) ] 3 [ u u z ] 6 [ ] 5 [ 4 (5) ] 3 [ u u ] 6 [ ] 5 [ 4 (53) em que ) ( = M (54) M ) 4 3 ( = (55)
10 Aplcação do Método de Decomposção de Benders para o roblema de Carregamento de 3 = M( 3 4 ) (56) 4 = X 5 Y 6 ( X L l ) 7 ( Y W w ) 8 4 = l 3 (57) 5 = l w (58) 6 w (59) sendo que e 8 são fxados pelo últmo alor encontrado no subproblema dual. A efcênca computaconal do algortmo anteror depende prncpalmente de três questões o número de terações necessáras para conergênca global; o tempo gasto na resolução do subproblema em cada teração; o tempo e o esforço computaconal demandados para resolução do problema mestre. Neste sentdo dersas extensões e modfcações á foram propostas na lteratura com o ntuto de acelerar a conergênca do método de Benders. Na sequênca dscutmos algumas destas estratégas. Uma das maneras mas smples de se acelerar a conergênca do algortmo de Benders é por meo da ntrodução de restrções a pror no problema mestre de modo a dreconar desde a teração ncal a escolha das soluções tentata. Neste trabalho foram nserdas restrções de lmtes ncas para o número de caxas no problema mestre ncal. Outra estratéga para se tentar dmnur o esforço computaconal na resolução do problema mestre é a resolução prelmnar do problema relaxado lnear (McDANIEL & DEVINE 977). Os cortes gerados durante a fase lnear são áldos para o problema mestre orgnal e em geral aceleram a conergênca do algortmo. Como a fase lnear pode ser resolda rapdamente tal estratéga pode ser benéfca na dmnução do tempo global de execução do algortmo. Uma tercera extensão do método de Benders clássco consste na tentata de obtenção de cortes mas profundos a cada teração. Isso pode ser obtdo atraés de um problema auxlar chamado de problema de areto (MAGNANTI & WONG 98). A déa é se obter o melhor corte possíel não apenas para a solução tentata atual mas também para soluções tentatas futuras. A estratéga consste em buscar dentre todas as soluções duas que são ótmas para a solução tentata y consderada aquela que eentualmente sera a melhor para outros alores de solução tentata. Isso é feto atraés da resolução de um subproblema dual auxlar chamado subproblema de areto que usa como solução y tentata um ponto do nteror da regão factíel. Como as aráes y neste problema são bnáras pode-se emular tal ponto nteror atraés da utlzação de uma solução y contendo todas as componentes com alor 5. As dfculdades da utlzação do método de areto neste estudo são dscutdas na próxma seção. 4. Resultados Computaconas Nesta seção descreemos os resultados de alguns testes realzados com o obeto de aalar o método de decomposção de Benders aplcado ao C do produtor. Escolhemos um pacote que contesse uma lnguagem de modelagem algébrca em programação matemátca para facltar sua mplementação e resolução. Apesar dos altos tempos computaconas assocados a esta escolha a facldade de mplementação e o caráter ddátco e exploratóro da proposta deste artgo ustfcaram a decsão. De fato por tratar-se de uma prmera aplcação da abordagem de Benders (usualmente tda como de dfícl entendmento e mplementação) para o C decdu-se pelo
11 Aplcação do Método de Decomposção de Benders para o roblema de Carregamento de desenolmento de códgos que prezassem o fácl entendmento e a rápda reprodução em oposção a uma pura efcênca computaconal. Os códgos desenoldos em lnguagem GAMS / CLEX e as 3 nstâncas utlzadas podem ser encontradas em Rocha (8). Todos os resultados apresentados nas próxmas seções foram obtdos em um entum DualCore com processador de 3. GHz e G de memóra RAM. O tempo máxmo de execução do pacote GAMS/CLEX em todas as nstâncas fo lmtado em segundos. Note que o número de caxas n é dado por número de caxas ( l w) que é n / mas o número de caxas ( w l) que também é n /. Coném obserar que expermentos prelmnares mostraram que a aração do alor de M nas restrções dsuntas do modelo da seção anteror não mplcou em mudanças nos resultados. or sso fo adotado um alor padrão de M = max( X L Y W) para cada nstânca. GAMS/CLEX Benders Clássco Exemplo n. caxas tempo médo n. soluções tempo médo n. soluções nteralo (seg) ótma/fact (seg) ótma/fact Grupo [ 4] /.46 / Grupo [8 ] 88 / / Grupo 3 [8 8] /6 / Tabela GAMS/CLEX X Benders Clássco Os resultados da tabela mostram que o método de decomposção de Benders resoleu otmamente todos os exemplos do grupo no entanto sempre em um tempo maor do que o pacote GAMS/CLEX com parâmetros em default. Ao resoler os exemplos do grupo (tabela ) o método de Benders atngu o lmte de tempo sem encontrar uma solução. O lmte de tempo também fo atngdo usando o GAMS/CLEX para 8 dos exemplos mas a solução subótma encontrada sempre fo ntera sto é factíel. Dos exemplos encontraram solução ótma dentro do tempo estpulado usando o pacote GAMS/CLEX (ROCHA 8). Os exemplos do grupo 3 (tabela ) quando resoldos com o método de Benders clássco também têm sua resolução nterrompda no lmte de tempo sem encontrar uma solução. Esses exemplos quando resoldos usando o default do pacote GAMS/CLEX são nterrompdos por causa do lmte de tempo e não têm a otmaldade da solução proada mas a últma solução encontrada em 6 dos exemplos é ntera. Nos outros 4 exemplos o GAMS/CLEX não encontra solução ntera antes do tempo lmte. ara mas detalhes destes resultados dos grupos e 3 o letor pode consultar Rocha (8). Também fo comparado o desempenho do método de Benders usando-se a estratéga de se resoler prmero o problema mestre com restrções de ntegraldade relaxadas até que certo gap sea alcançado e só então resoler o problema mestre como um problema ntero (conforme dscutdo na seção anteror). Esta estratéga fo chamada de método de Benders relaxado. O gap adotado neste trabalho fo de % da solução ótma. Outros gaps foram testados menores e maores que % mas não houe melhoras nos resultados dentro do tempo estpulado de segundos. Os exemplos do grupo quando resoldos com o método de Benders clássco resultaram numa solução ótma com o número de terações menor que quando resoldo usando o método de Benders relaxado que também obtee solução ótma. orém o tempo do solução fo menor em 6 exemplos usando o método de Benders clássco. Nos outros 4 exemplos apesar do número total de terações (nclundo terações com o problema mestre relaxado ou não) ser maor o tempo de solução fo menor usando o método de Benders relaxado. Os exemplos do grupo quando resoldos com o método de Benders relaxado foram
12 Aplcação do Método de Decomposção de Benders para o roblema de Carregamento de nterrompdos no lmte de teração ( terações) sem encontrar solução. Os alores de LB/UB são os mesmos do método clássco. A dferença do método de Benders relaxado é que ao nés de resoler terações nteras como no método de Benders clássco resolem-se menos terações com aráes nteras. Os exemplos do grupo 3 quando resoldos com o método de Benders relaxado foram nterrompdos no lmte de teração sem encontrar solução. Os alores de LB/UB são guas aos do método clássco com exceção de exemplo. O método de Benders relaxado resole um pouco menos de terações só com aráes nteras em 3 exemplos enquanto que o método de Benders clássco resole todas as terações do problema mestre com aráes nteras. O baxo desempenho obtdo para o método de Benders relaxado contrasta com o obtdo em outros problemas na lteratura o que leou a uma análse do modelo usado. De fato é nteressante notar que as aráes u u e são bnáras no problema orgnal. Quando o problema mestre é resoldo relaxado estas aráes antes bnáras passam a tomar alores entre e e esses alores são utlzados no subproblema dual. Mas como o subproblema dual fo obtdo a partr do problema lnear que contnha restrções dsuntas ao usarmos as aráes que eram ncalmente bnáras como contínuas todas as restrções dsuntas se tornam redundantes o que explca o baxo desempenho da extensão de McDanel & Dene (977) neste problema. O método de decomposção de Benders clássco também fo testado e mplementado fazendo algumas mudanças para que o corte de areto fosse consderado (ea dscussão na seção anteror). Os resultados obtdos não foram melhores que os obtdos com o Benders clássco ou com o relaxado. A explcação noamente gra em torno da estrutura do modelo da seção e da presença de restrções dsuntas. De fato a adoção de restrções dsuntas torna nefcaz a utlzação de cortes de areto pelo fato de neste tpo de modelo somente uma das restrções enoldas para cada conunto de restrções dsuntas fcar ata em cada solução factíel. Este fato está assocado à escolha de alores ou para aráes como u e u. Como o corte de areto basea-se na utlzação de pontos nterores (para smular futuras soluções nteras) e dedo à presença de um parâmetro de alto alor ( M ) o problema auxlar gerado acaba por não representar bem o problema orgnal e portanto não gerando bons cortes. Apesar da relata nefcênca apresentada o estudo realzado pode apresentar-se mas competto em outras stuações o que alda os desenolmentos exploratóros propostos. De fato Geoffron e Graes (974) menconam a antagem do método de Benders no caso de reotmzação. Bascamente se áros problemas parecdos precsam ser resoldos os cortes de um podem ser usados na resolução dos outros o que acelera o processo. ara sso basta que as aráes duas permaneçam factíes com as mudanças nos parâmetros do modelo. No caso deste estudo os desenolmentos propostos permtem testar áros alores de L xw de manera efcente obserando que as aráes duas permanecem factíes nas restrções (47) e (48) com a dmnução dos alores de L e W. Assm uma opção sera resoler o problema com os maores alores de L e W exstentes e usar os cortes obtdos para ncalzar a resolução dos problemas menores. Algo smlar pode ser feto com os alores de l e w á que neste caso as aráes duas permanecem factíes sempre. 5. Consderações fnas Neste trabalho apresentamos uma aplcação do método de decomposção de Benders para o C. Tratou-se de um trabalho de certa forma exploratóro uma ez que não se tem conhecmento de nenhuma outra tentata de aplcação do método para esta classe de problemas. Escolheu-se o modelo de Tsa et al. (993) pelo fato deste possur conuntos faclmente
13 Aplcação do Método de Decomposção de Benders para o roblema de Carregamento de dentfcáes de aráes nteras e contínuas o que faclta a aplcação da decomposção. Curosamente mostra-se neste trabalho que é exatamente a estrutura do modelo (baseado em restrções dsuntas) que mpede o funconamento efcaz de duas das extensões do método que costumam apresentar melhores resultados a resolução prelmnar do problema lnear e a obtenção de cortes de areto. Noos estudos focando em outros modelos para o C do produtor sem as característcas menconadas serão obeto de pesqusas futuras. Agradecmentos Os autores agradecem ao Dr. Horáco H. Yanasse do LAC/INE pelos útes comentáros e sugestões. Este trabalho contou com apoo do CNq e Fapesp. Referêncas Bblográfcas ALVAREZ-VALDEZ R; ARRENO F; TAMARIT J.M. (7). A branch-and-cut algorthm for the pallet loadng problem. Computers & Operatons Research BENDERS J. (96) arttonng procedures for solng mxed-arables programmng problems. Numersch Mathemat BIRGIN E.; LOBATO R.D.; MORABITO R. (). An effecte recurse parttonng approach for the pacng of dentcal rectangles n a rectangle. Journal of the Operatonal Research Socety BOSCHETTI M.A.; MINGOZZI A.; HADJICONSTANTINOU E. (). New upper bounds for the twodmensonal orthogonal non-gullotne cuttng stoc problem. IMA Journal of Management Mathematcs CAMARGO R.S.; MIRANDA G.J.; LUNA H..L. (9). Benders Decomposton for Hub Locaton roblems wth Economes of Scale. Transportaton Scence CHEN C.S.; LEE S.M.; SHEN Q.S. (995). An analytcal model for the contaner loadng problem. European Journal of Operatonal Research CORDEAU J.F.; SOUMIS F.; DESROSIEERS J. (). Smultaneous assgnment of locomotes and cars to passenger trans. Operatons Research 49 No COSTA A.M. (5). A surey on benders decomposton appled to fxed-charge
14 Aplcação do Método de Decomposção de Benders para o roblema de Carregamento de networ desgn problems. Computers & Operatons Research DYCKHOFF H. & FINKE U. (99). Cuttng and pacng n producton and dstrbuton Typology and bblography. Sprngler-Verlag Co Hedelberg. EGEBLAD J. & ISINGER D. (9). Heurstc approaches for the two- and threedmensonal napsac pacng problem. Computers and Operatons Research ESICU Specal Interest Group on Cuttng and acng onlne lbrary dsponíel em http//fe.up.pt/escup. Acesso em Agosto de. GEOFFRION A.M. & GRAVES G.W. (974). Multcomodty dstrbuton system desgn by Benders decomposton. Management Scence GILMORE. & GOMORY R. (965). Multstage Cuttng Stoc roblems of Two and More Dmensons. Operatons Research LETCHFORD A. & AMARAL A. (). Analyss of upper bounds for the pallet loadng problem. European Journal of Operatonal Research LINS L.; LINS S.; MORABITO R. (3). An L-approach for pacng (lw)-rectangles nto rectangular and L-shaped peces. Journal of the Operatonal Research Socety MAGNANTI T.L. & WONG R.T. (98). Acceleratng Benders Decomposton Algorthmc Enhacement and Model Selecton Crtera. Operatons Research MARTINS G.H.A. (3). acng n two and three dmensons. hd thess Naal ostgraduate School CA. MCDANIEL D. & DEVINE M. (977). A modfed Benders' parttonng algorthm for mxed nteger programmng. Management Scence MEVERT. (977). Fxed Charge Networ Flow roblems Applcatons and Methods of Soluton presented at Large Scale and Herarchcal Systems Worshop Brussels (May). MORABITO R. & FARAGO R. (). A tght Lagrangean relaxaton bound for the manufacturer s pallet loadng problem. Studa Informatca Unersals No
15 Aplcação do Método de Decomposção de Benders para o roblema de Carregamento de OLIVEIRA L.K. & MORABITO R. (6). Métodos exatos baseados em relaxações Lagrangana e surrogate para o problema de carregamento de paletes do produtor. esqusa Operaconal 6 No ADBERG M. (). acng small boxes nto a bg box. Mathematcal methods of operatons research 5 -. UREZA V. & MORABITO R. (6). Some experments wth a smple tabu search algorthm for the manufacturer s pallet loadng problem. Computers & Operatons Research RANDAZZO C. & LUNA H. (). A comparson of optmal methods for local access uncapactated networ desgn. Annals of Operatons Research RIBEIRO G.M. & LORENA L.A.N. (7). Optmzng the woodpulp stowage usng Lagrangean relaxaton wth clusters. Journal of the Operatonal Research Socety ROCHA A.G. (8). Aplcação do método de decomposção de Benders para o problema de carregamento de paletes Dssertação de Mestrado Departamento de Engenhara de rodução Unersdade Federal de São Carlos. SCHEITHAUER G. & TERNO J. (993) Modelng of pacng problems. Optmzaton TSAI R.D. ; MALSTROM E.M.; KUO W. (993). Three Dmensonal alletzaton of Mxed Box Szes. IIE Transactons 5 No WÄSCHER G. ; HAUSSNER H.; SCHUMANN H. (7). An mproed typology of cuttng and pacng problems. European Journal of Operatonal Research 83 No
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