Diego Nunes da Silva. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica FEB, Unesp, Bauru, Brasil

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1 Um Método Prmal-Dual de Pontos Interores Barrera Logarítmca Modfcada com Aproxmantes Splne aplcado ao Problema de Despacho Econômco com Ponto de Válvula Dego Nunes da Slva Programa de Pós-Graduação em Engenhara Elétrca FEB, Unesp, Bauru, Brasl E-mal: Antono Roberto Balbo Departamento de Matemátca FC, Unesp, Bauru, Brasl E-mal: Resumo: Neste trabalho, apresentamos os resultados ncas da mplementação de um método híbrdo que vncula um método prevsor-corretor prmal-dual de pontos nterores, que utlza a função barrera logarítmca modfcada, e uma extensão das splnes cúbcas de Hermte, para resolver o Problema de Despacho Econômco com Ponto de Válvula. O Problema de Despacho Econômco com Ponto de Válvula e Aproxmantes Splne De acordo com [], o Problema de Despacho Econômco é defndo como um processo de alocação ótma das demandas de eletrcdade entre as undades geradoras dsponíves, ao mesmo tempo em que se mnmza o custo dos combustíves empregados e as restrções operaconas são satsfetas. Além dsso, o PDE pode ser vsto como um subproblema do problema de Fluxo de Potênca Ótmo, proposto por Carpenter [], em 96. A nclusão do ponto de válvula na função objetvo do PDE nvablzou a utlzação de dversos métodos de otmzação clásscos, e somente a partr da década de 70 o PDE com Ponto de Válvula passou a ser soluconado através de métodos heurístcos e bonsprados, como as varantes dos algortmos genétcos [9].. O Modelo de Despacho Econômco com Ponto de Válvula O modelo matemátco do PDE com Ponto de Válvula é expresso por: em que: Mnmzar sujeto a C T = P C (P ) P G P = D G P mn 6 P 6 P max G C (P ) = a P + b P + c + e sen(f (P mn P )) () e, além dsso, C T é a função custo total de geração C (P ) é a função de custo da undade geradora a b c e f são os coefcentes de custo de geração da undade D é a demanda total de potênca atva P mn, P max são os lmtes operaconas nferor e superor, respectvamente, da undade geradora. O prncpal entrave para a resolução do problema () através dos métodos de pontos nterores tradconas resde no termo modular presente na função objetvo, responsável por torna-la não-convexa e não-dferencável em determnados pontos. Para contornar este problema, propusemos a utlzação de um polnômo splne numa vznhança dos pontos de não-dferencabldade.. Funções Splne Em se tratando de aproxmação de funções, um tpo de função geralmente abordada é a polnomal, devdo à sua smplcdade e propredades bem conhecdas. Entretanto, de acordo com De Boor [], polnômos são sensíves à escolha dos pontos de nterpolação, podendo apresentar um comportamento () 695

2 anômalo, como ocorre no fenômeno de Runge. Esta dependênca global de propredades locas pode ser evtada quando utlzamos polnômos aproxmantes por partes, conhecdos como splnes.. Splne de Hermte de grau 5 no ntervalo [x x + ] Suponha que desejamos aproxmar uma função f defnda no ntervalo [0 ], para a qual se conhece os valores nas extremdades do ntervalo para a função, e suas dervadas de prmera e segunda ordem: f(0) = f 0 f 0 (0) = f0 0 f 00 (0) = f0 00 f() = f f 0 () = f 0 f 00 () = f 00 () Pode-se verfcar, que o polnômo de grau 5, ª(t), que nterpola f nos nós 0 e, e cujas dervadas de prmera e segunda ordem concdem com as dervadas de f nos referdos nós é expresso por: ª(t) = h 00 (t)f 0 + h 0 (t)f0 0 + h 0(t)f0 00 0(t)f + h (t)f 0 + h (t)f 00 () onde h 00 (t) = 6t 5 + 5t 0t + (5) h 0 (t) = t 5 + 8t 6t + t (6) h 0 (t) = t5 + t t + t (7) h 0 (t) = 6t 5 5t + 0t (8) h (t) = t 5 + 7t t (9) h (t) = t5 t + t (0) Assm, se consderarmos que f está defnda num ntervalo [x x + ] qualquer, e que conhecemos os valores da função e suas dervadas de prmera e segunda ordem nos extremos f(x ) = f f 0 (x ) = f 0 f 00 (x ) = f 00 f(x +) = f + f 0 (x + ) = f+ 0 f 00 (x + ) = f+ 00 () e defnndo = x + x, então o polnômo de 5º grau que nterpola f, f 0 e f 00 nas extremdades do ntervalo [x x + ] é expresso por: µ µ t x t x f + h 0 f + + h 0 f 0 ª(t) = h 00 µ t x + h µ t x f h 0 µ t x d f 00 + h µ t x d f 00 + O Método Prmal-Dual Prevsor-Corretor de Pontos Interores Barrera Logarítmca Modfcada Consderemos o segunte modelo de otmzação não-lnear, com restrções de desgualdade canalzadas e varáves canalzadas, em que a função objetvo, as restrções de gualdade e de desgualdade são funções de classe C : Mnmzar f(x) sujeto a g(x) = 0 () u 6 h(x) 6 u l 6 x 6 l em que f(x) é a função objetvo, x R n, g : R n! R m, h : R n! R r. Segundo a proposta de Pnhero [7], adotamos uma estratéga prmal-dual, através da utlzação da função lagrangana barrera logarítmca modfcada, assocada a (): L( ) = f(x) + + m t= n j= r ( 0) t g t(x) + [(± ) ln(z } ) + (± ) ln (z } ) ] r ( ) j [ x j + (l ) j + (z ) j ] + n j= ( ) [ h (x) + (u ) + (z ) ] + n j= [(± ) j ln (z } ) j + (± ) j ln(z } ) j ] r ( ) j [x j (l ) j + (z ) j ] ( ) [h (x) (u ) + (z ) ] Em (),! = (xz z z z 0 ) t, é o parâmetro de barrera, ± ± R r, ± ± R n são os vetores estmadores dos multplcadores de Lagrange, relatvos às restrções de desgualdade, 0 R m é vetor multplcador de Lagrange das restrções de gualdade, R r, () () 696

3 R n são os multplcadores de Lagrange referentes às restrções de desgualdade, (z } ) = +(z), (z } ) = +(z), (z } ) = +(z) e (z } ) = +(z), onde z z R r e z z R n são varáves de folga sobre as quas se realzou uma relaxação fnta de modo que z > e r, z > e r, z > e n e z > e n, onde e r = ( : : : ) t R r e e n = ( : ::) t R n. Sobre (), aplcamos a condção necessára de otmaldade, sto é, mpomos que rl(!) = 0, de modo que obtemos um sstema não-lnear. Tal sstema é lnearzado utlzando uma aproxmação de Taylor de prmera ordem, resultando no sstema lnear: A! = b (5) em que A = K rg(x ) t rh(x ) t rh(x ) t I n I n rg(x ) rh(x ) I r rh(x ) 0 I r I n 0 0 I n I n I n Z Z Z Z (6) Z v = + (z v) (z v) (7) (z v) l onde para v =, tem-se que l = r, e para v =, tem-se que l = n, e rg(x) t R n m e rh(x) t R n r são, respectvamente, as matrzes jacobanas dos funconas g e h. Além dsso, sendo que: b = m t 0 t t t t = K = r xxf(x ) + rf(x ) rg(x ) t 0 rh(x ) t ( ) + g(x ) h(x ) z u h(x ) z + u x z l x z + l Z + Z + Z + Z + mx [( 0) t r xxg t (x )] + t= (8) rx f[( ) ( ) ]r xxh (x )g (9) I n é a matrz dentdade de ordem n, I r é a matrz dentdade de ordem r, v = dag( z v ) e v = dag( v), v = :::, e também! = ( x z z z z d ķ 0 dķ dķ dķ dķ )t é o vetor de dreções.. Procedmento prevsor No passo prevsor, os termos não-lneares presentes nos resíduos ¼v, v = :::, são desconsderados. Com sso, determnam-se as seguntes dreções prmas e duas: d ķ = 0 0 [rg(x )µ rg(x ) t ] frg(x )µ [rf(x ) + c + ' ] + t0 g (0) dx = µ [rf(x ) + c + ' + rg(x ) t 0 + rg(x ) t d ķ ] 0 () dz = rh(x )dx + t () dz = rh(x )dx + t () dz = dx + t () dz = dx + t (5) d ķ = Z dz + Z ± (6) 697

4 d ķ = Z dz + Z ± (7) d ķ = Z dz + Z ± (8) d ķ = Z dz + Z ± (9) em que µ = K + rh(x ) t (Z + Z )rh(x ) + Z + Z (0) c = rh(x ) t (Z t Z t ) + Z t Z t () ' = rh(x ) t ( Z ± + Z ± ) Z ± + Z ± (). Procedmento corretor De posse das dreções do passo prevsor, podemos calcular o vetor de dreções corrgdas, consderando nos resíduos termos não-lneares do tpo d ķ, = :::, que tnham sdo desconsderados no procedmento prevsor: ed ķ 0 = 0 [rg(x )µ rg(x ) t ] frg(x )µ [rf(x ) + ec + ' ] + t 0g () e x = µ [rf(x ) + ec + ' + rg(x ) t 0 + rg(x ) t d eķ 0 () e z = rh(x ) d e x + t (5) e z = rh(x ) e x + t (6) e z = e x + t (7) e z = d e x + t (8) ed ķ = Z d e z + Z ± Z (9) ed ķ = Z d e z + Z ± Z (0) ed ķ = Z d e z + Z ± Z () ed ķ = Z d e z + Z ± Z () em que: ec = c + rh(x ) t (Z d ķ Z d ķ ) + Z d ķ Z d ķ (). Tamanho do passo e nova solução A solução atual, expressa pelo vetor!, é atualzada por! + =! + b!, onde é, tpcamente, gual a 0:995 e b! = ( P e x P e z D e d ķ j )t, () com = ::: e j = 0:::. Os escalares P e D, que refletem o tamanho do passo, são calculados através da estratéga exposta em Granvlle [5]: P = mn mn (z ) mn (z ) (z ) >0 e (d z ) <0 (d z ) (z ) >0 e (d z ) <0 (d z ) mn (z) j mn (z) j (z ) j >0 e (d z ) <0 j (d z ) (z j ) j >0 e (d z ) <0 j (d z ) j (5) D = mn mn ( ) ( ) >0 e <0 (d ) (d ) mn ( ) j ( ) j >0 e (d ) <0 j (d ) j com = ::: r, j = :::n. mn ( ) >0 e (d ) <0 mn ( ) j >0 e (d ) j <0 ( ) (d ) ( ) j (d ) j (6). Parâmetro de barrera, estmadores dos multplcadores de Lagrange, crtéro de parada e ncalzação O parâmetro de barrera fo reduzdo segundo a heurístca, onde [0): + = (7) Pnhero [7] apresenta uma manera smples e de baxo custo computaconal para atualzar os estmadores dos multplcadores de Lagrange, através da expressão: ± + = (8) 698

5 O crtéro de parada para o método utlzado consste em, dado um ² > 0 sufcentemente pequeno, calcular! + e verfcar se a vabldade prmal, dual e as folgas complementares estão satsfetas, sto é, rl(! + ) < ² (9) Se a condção (9) ocorrer, o método deve parar, pos! + é a solução ótma com a precsão desejada. Senão, uma nova teração dos procedmentos prevsor e corretor é realzada. Para ncalzar o método, deve-se fornecer o valor x 0, 0 > 0, [0) e ± 0, = :::, cujas componentes são postvas. As demas varáves ncas são calculadas a partr de (8), assumndo que todos os resíduos de b, exceto t0, são nulos e desconsderando os termos não-lneares. Resultados ncas do método proposto para resolução do PDE Exstem duas característcas báscas do PDE com Ponto de Válvula que podem ser exploradas: a prmera é a nexstênca de termos mstos ou varáves cruzadas na função objetvo, que pode ser nterpretada como soma de funções de uma varável, às quas podemos aplcar os polnômos splne numa vznhança dos pontos de não-dferencabldade. A segunda é o fato do termo modular ser uma função peródca e o argumento do módulo é composção de uma função seno com uma função lnear, de modo que conhecendo apenas uma splne em torno da orgem para a função b(x) = jsenxj, num ntervalo sufcentemente pequeno da forma [ ² splne ² splne ], podemos obter por translação e dlatação polnômos splne para os termos da função objetvo em (). Estas característcas foram utlzadas para resolver o segunte PDE com Ponto de Válvula: Mnmzar f(p P P ) sujeto a P + P + P = P (50) 50 6 P P 6 00 onde f(p P P ) = 0:0056P + 7:9P j00sen(0:05(00 P ))j + 0:008P + 7:97P j50 sen(0:06(50 P ))j + 0:009P + 7:85P j00sen(0:0(00 P ))j Na restrção de gualdade, podemos solar P, de modo a obter o segunte problema equvalente: Mnmzar g(p P ) sujeto a 00 6 P P P + P em que g(p P ) = f(p P 850 P P ). Incamos com o ntervalo [ 0:0:] para gerar duas splnes que aproxmam a função b(x) = jsenxj em torno da orgem: a prmera splne no ntervalo [ 0:0] e a segunda no ntervalo [00:]. Assummos que, no ponto de não dferencabldade, a dervada vale 0 e que a dervada segunda tem valor. Este ntervalo ncal fo sufcente para evtar nstabldades numércas que podem ocorrer, como um efeto de zguezague em torno dos pontos de não-dferencabldade. Para obter soluções mas refnadas, a cada teração este ntervalo fo reduzdo por um fator = 0:5, até que ² splne se tornasse nferor a 0:00. A partr daí o ntervalo não é mas reduzdo. Caso contráro, o método pode apresentar nstabldades. A solução ncal utlzada fo o valor médo entre os lmtes nferor e superor para a potênca atva gerada, sto é, (P 0 P 0 P 0 ) = ( ). O parâmetro de barrera ncal fo 0 =, e reduzdo por um fator = 0:5. Os estmadores dos multplcadores de Lagrange ncas utlzados foram todos guas a e a precsão utlzada no crtéro de parada fo ² = 0. Com sto, o método convergu em 7 terações para o ponto (99:9705 :0657 7:787) com valor de custo na função objetvo orgnal, sem aproxmantes splne, gual a $ 87:59. O valor na função objetvo através do aproxmante splne é $ 87:57, o que mostra que a splne conseguu aproxmar bem a função objetvo orgnal. A Fgura lustra a convergênca do método para o problema (59). Nela, o ponto mas à esquerda é o ponto ncal adotado no método. A solução obtda, apesar de estar próxma de um mínmo local, como se nota na Fgura, não é o mínmo global da regão factível, de modo que o método proposto anda não obteve soluções melhores que as de [9]. Entretanto, como já (5) 699

6 afrmado, este trabalho anda está em fase ncal de mplementação computaconal, de modo que outros aproxmantes poderão ser utlzados e soluções mas refnadas poderão ser obtdas. Conclusões Neste trabalho apresentamos um método prmal-dual prevsor-corretor de pontos nterores, o qual emprega a função lagrangana barrera logarítmca modfcada, e aproxmantes splne de Hermte para a resolução do PDE com Ponto de Válvula. Tal método anda explora a esparsdade da matrz dos coefcentes do sstema lnearzado (5) para calcular as dreções de busca de modo explícto e efcente. Uma mplementação do método proposto realzada em Matlab 0a mostrou que este fo efcente para a resolução de um PDE com Ponto de Válvula com geradores, determnando um mínmo local para esse problema. O trabalho encontra-se em fase ntermedára de elaboração. Outras técncas que possbltarão a melhora da efcênca desse método, tas como a utlzação da estratéga de convergênca global MPCPDPI, explorando [7], bem como a suavzação da função objetvo através de dferentes aproxmantes, como splne-wavelets, são propostas futuras para o aperfeçoamento do método híbrdo aqu explorado. Referêncas Fgura. Curvas de nível da função objetvo orgnal, e o processo de convergênca [] BALBO, A. R. SOUZA, M. A. S. BAPTISTA, E. C. NEPOMUCENO, L. Predctor-Corrector Prmal-Dual Interor Pont Method for Solvng Economc Dspatch Problems: A Postoptmzaton Analyss. Mathematcal Problems n Engneerng, vol. 0, Artcle ID 7656, 6 pages, 0. [] BAPTISTA E. C. Método da função lagrangana aumentada-barrera logarítmca para solução do problema de fluxo de potênca ótmo. Tese (Doutorado) Escola de Engenhara de São Carlos, Unversdade de São Paulo, São Carlos, 00. [] CARPENTIER, J. Contrbutons to the economc dspatch problem. Bulletn de la Socete Francose des Electrcens, vol., n. 8, pp. 7, 96. [] DE BOOR, C. A practcal gude to splnes. Seres: Appled mathematcal scences. New Yor: Sprnger- Verlag, 00. [5] GRANVILLE, S. Optmal Reactve Dspatch through Interor Pont Method. IEEE Transactons on Power Systems, Vol. 9, n., pp. 6-6, 99. [6] PEREIRA A. A. O método da função lagrangana barrera modfcada/penaldade. Dssertação (Mestrado) Escola de Engenhara de São Carlos, Unversdade de São Paulo, São Carlos, 007. [7] PINHEIRO, R. B. N. Um método prevsor-corretor prmal-dual de pontos nterors barrera logarítmca modfcada, com estratégas de convergênca global e de ajuste cúbco, para problemas de programação nãolnear e não-convexa. Dssertação (Mestrado) Faculdade de Engenhara de Bauru, Unversdade Estadual Paulsta, Bauru, 0. [8] POLYAK, R. A. Modfed barrer functons. Mathematcal Programmng, v. 5, n., p. 77, 99. [9] SAMED, M. M. A. Um Algortmo Genetco Híbrdo Co-Evolutvo para Resolver Problemas de Despacho. Tese (Doutorado) Departamento de Engenhara Químca, Unversdade Estadual de Marngá, Marngá, 00. [0] SHANNO, D. F. VANDERBEI, R. J. Interor pont methods for nonconvex nonlnear programmng: ordenngs and hgher-order methods. Mathematcal Programmng, Ser. B, v. 87, p. 0-. [] SOUSA, A. V. Resolução do Problema de Fluxo de Potênca Ótmo Reatvo Va Método da Função Lagrangana Barrera Modfcada. Tese (Doutorado) Escola de Engenhara de São Carlos, Unversdade de São Paulo, São Carlos, 006. [] STEINBERG, M. J. C. SMITH, T. H. Economc loadng of power plants and electrc systems. MacGraw-Hll, 9. [] WU, Y. DEBS, A. S. MARSTEN, R. E. A Drect Nonlnear Predctor-Corrector Prmal-Dual Interor Pont Algorthm for Optmal Power Flow. IEEE Transactons on Power Systems,