Avaliação e Controle da Margem de Carregamento em Sistemas Elétricos de Potência

Transcrição

1 CRISTIANE LIONÇO ZEFERINO Avalação e Controle da Margem de Carregamento em Sstemas Elétrcos de Potênca São Carlos

2

3 CRISTIANE LIONÇO ZEFERINO Avalação e Controle da Margem de Carregamento em Sstemas Elétrcos de Potênca Tese apresentada à Escola de Engenara de São Carlos, da Unversdade de São Paulo, como parte dos requstos para a obtenção do Título de Doutora em Cêncas, do Programa de Engenara Elétrca. Área de Concentração: Sstemas Elétrcos de Potênca Orentador: Prof. Dr. Geraldo R. M. da Costa São Carlos Trata-se da versão corrgda da tese. A versão orgnal se encontra dsponível na EESC/USP que aloa o Programa de Pós-Graduação de Engenara Elétrca.

4

5

6

7 Dedco este trabalo a mna famíla, pela dedcação e compreensão.

8

9 AGRADECIMENTOS Ao Prof. Dr. Geraldo R. M. da Costa por todo apoo e orentação no desenvolvmento deste trabalo. À Dra. anusa Alves de Sousa por sua co-orentação. Ao Prof. Dr. Edmárco Belat pelas sugestões e pelos ensnamentos na abordagem de Análse de Sensbldade. Ao meu novo Aleandre Atade da Slva pelo carno e compreensão. Ao amgo Gulerme Gumarães Lage pelo apoo. As mnas amgas Alne Julane e Scela. Bel também pelo apoo. À Profa. Angela C. P. Gampedro por revsar os tetos na língua nglesa. A todos os funconáros do Departamento de Engenara Elétrca, da EESC/USP/São Carlos, pela constante colaboração. À Fundação de Amparo à Pesqusa do Estado de São Paulo, pela concessão da bolsa de doutorado e pelo apoo fnancero dsponblzado para a realzação desta pesqusa.

10

11 RESUMO ZEFERINO, L.C. Avalação e controle da margem de carregamento em sstemas elétrcos de potênca.. 6f. Tese Escola de Engenara de São Carlos, Unversdade de São Paulo, São Carlos,. Neste trabalo é proposta a determnação do ponto de Mámo Carregamento PMC em sstemas elétrcos de potênca por meo do método da Função Lagrangana Barrera Modfcada FLBM, uma varante do método de Pontos Interores PI. Também por meo do método da FLBM, busca-se determnar qual é a barra, para cada sstema, que apresenta a maor sensbldade em relação ao fator de carregamento, ou sea, qual sera a prmera barra que devera sofrer corte de carga a fm de aumentar a margem de carregamento do sstema e, assm, evtar o colapso de tensão. Para comprovação dos resultados obtdos por meo do método da FLBM utlza-se a técnca de Análse de Sensbldade AS. A formulação do problema tem como restrções de gualdade as equações de balanço de potênca do sstema elétrco e como restrções de desgualdade os lmtes de tensões nas barras, assm como os lmtes de geração de potênca reatva nas barras com controle da referda potênca. Estudos de casos foram realzados em um sstema de barras e nos sstemas IEEE 4, 57, 8 e barras; tas estudos demonstraram a robustez e a efcênca dos algortmos propostos. Palavras-cave: Análse de Sensbldade, Colapso de Tensão, Problema de Mámo Carregamento, Método da Função Lagrangana Barrera Modfcada.

12 ABSTRACT ZEFERINO, L.C. Evaluaton and control of loadng margn n electrc power systems.. 6p. Tess São Carlos Scool of Engneerng, São Paulo Unversty, São Carlos,. Ts work proposes te determnaton of te Mamum Loadng Pont MLP n electrc power systems va Lagrangan Modfed Barrer Functon LMBF metod, a varant of Interor Pont IP. Te LMBF metod s also used to determne wc bus, for eac system, as te gest senstvty of load factor,.e., wc bus would be te frst to ave load seddng n order to ncrease te loadng margn system and tus prevent voltage collapse. To valdate ts approac, te Senstvty Analyss SA tecnque was used for te confrmaton of te results obtaned by te LMBF metod. Te formulaton of te problem consdered te equatons of power balance of te electrcal system equalty constrants, and te buses voltage magntude lmts, as well as te lmts of reactve power control at te buses of tat power nequalty constrants. Case studes were conducted n a system of buses and IEEE systems 4, 57, 8 and buses, demonstratng te robustness and effcency of te proposed algortms. Keywords: Senstvty Analyss, oltage Collapse, Mamum Loadng Problem, Modfed Barrer Lagrangan Functon Metod.

13 LISTA DE FIGURAS Fgura Margem de carregamento... 4 Fgura - Fluograma do método da Função Lagrangana Barrera Modfcada, aplcada ao problema de Mámo Carregamento... 5 Fgura - Fluograma da técnca de Análse de Sensbldade Fgura 4 Solução ótma do problema, =... 6 Fgura 5 Solução do problema para =,... 6 Fgura 6 Solução do problema para =, Fgura 7 Solução do problema para =, Fgura 8 Solução do problema para =, Fgura 9 Solução do problema para =, Fgura Sstema elétrco de potênca de barras Fgura Erro nas equações de balanço... 8 Fgura Sstema IEEE 4 barras... 8 Fgura Sstema IEEE 57 barras... 87

14 LISTA DE TABELAS Tabela Legenda de símbolos da Fgura Tabela - Solução ótma do problema, =... 6 Tabela Solução pós-perturbação, =,... 6 Tabela 4 Solução pós-perturbação, =, Tabela 5 Solução pós-perturbação, =, Tabela 6 Solução pós-perturbação, =, Tabela 7 Solução pós-perturbação, =, Tabela 8 Dados do estado ncal do sstema de energa de barras... 7 Tabela 9 Lmtes de tensão e de geração de potênca reatva... 7 Tabela Solução para o sstema de barras... 7 Tabela Multplcadores de Lagrange de gualdade Tabela Multplcadores de Lagrange de desgualdade Tabela alores das perturbações Tabela 4 Pontos de operação para dferentes percentuas de perturbação... 8 Tabela 5 Solução ótma do sstema de 4 barras = usada pela AS... 8 Tabela 6 Geração de potênca reatva do sstema IEEE 4 barras... 8 Tabela 7 Corte de carga na barra 9 do sstema IEEE 4 barras =% Tabela 8 Corte de carga na barra 4 do sstema IEEE 4 barras =% Tabela 9 Solução ótma do sstema IEEE 57 barras = usada pela AS Tabela Geração de reatvos do sstema IEEE 57 barras... 9 Tabela Corte de carga na barra do sstema IEEE 57 barras =% usada pela AS... 9 Tabela Corte de carga na barra do sstema IEEE 57 barras =% usada pela AS... 9 Tabela Solução ótma do sstema de 8 barras = obtda por meo do método da FLBM... 8 Tabela 4 Geração de reatvos do sstema de 8 barras = obtda por meo do método da FLBM...

15 Tabela 5 Solução ótma do sstema de barras = obtda por meo do método da FLBM... 5 Tabela 6 Geração de reatvos do sstema de barras = obtda por meo do método da FLBM Tabela 7 Solução perturbada do sstema de 8 barras =% na barra obtda por meo da técnca de AS Tabela 8 Solução perturbada do sstema de 8 barras =% na barra crítca 76 obtda por meo da técnca de AS... 5 Tabela 9 Solução perturbada do sstema de barras =% na barra crítca 56 obtda por meo da técnca de AS... 54

16 SUMÁRIO INTRODUÇÃO... 9 HISTÓRICO... 4 MÁXIMO CARREGAMENTO.... CONCEITOS BÁSICOS..... Instabldade de tensão..... Contngênca..... Margem de Carregamento Fenômeno Físco do Colapso de Tensão ABORDAGENS DA ANÁLISE DE ESTABILIDADE DE TENSÃO MÉTODO DA FUNÇÃO LAGRANGIANA BARREIRA MODIFICADA APLICADO AO PROBLEMA DE MÁXIMO CARREGAMENTO ANÁLISE DE SENSIBILIDADE ANÁLISE DE SENSIBILIDADE: UM EXEMPLO NÚMÉRICO Obtenção da solução ótma Estmação do novo ponto va sensbldade aldação da metodologa da técnca de Análse de Sensbldade RESULTADOS NUMÉRICOS RESULTADOS SISTEMA ELÉTRICO DE POTÊNCIA DE BARRAS Solução do problema de Mámo Carregamento va FLBM Sstema elétrco de potênca de barras Análses dos multplcadores de Lagrange, das restrções e da condção de folga complementar Técnca de Análse de Sensbldade aplcada ao sstema de barras Perturbações na carga do sstema SISTEMA IEEE 4 BARRAS Solução do problema de Mámo Carregamento va FLBM IEEE 4 barras... 8

17 5.. Análse de Sensbldade Determnação da barra com maor sensbldade em relação ao fator de carregamento para o sstema IEEE 4 Barras IEEE 57 BARRAS Solução do problema de Mámo Carregamento va FLBM IEEE 57 barras Análse de Sensbldade Determnação da barra com maor sensbldade em relação ao fator de carregamento do sstema IEEE 57 Barras IEEE 8 BARRAS Solução do sstema IEEE 8 Barras Método da FLBM Análse de Sensbldade Determnação da barra com maor sensbldade em relação ao fator de carregamento do sstema IEEE 8 Barras IEEE BARRAS Solução do sstema IEEE Barras Método da FLBM Análse de Sensbldade Determnação da barra com maor sensbldade em relação ao fator de carregamento do sstema IEEE Barras CONCLUSÕES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... APÊNDICE A BANCOS DE DADOS PARA OS SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA IEEE 4, 57, 8 E BARRAS... 7 APÊNDICE B CASOS ÓTIMOS BASE E GERAÇÃO DE REATIOS PARA OS SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA IEEE 8 E BARRAS OBTIDOS POR MEIO DO MÉTODO DA FLBM... 8 APÊNDICE C RESULTADOS DOS SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA IEEE 8 E BARRAS PERTURBADOS OBTIDOS POR MEIO DA TÉCNICA DE ANÁLISE DE SENSIBILIDADE... 48

18 8

19 9 Capítulo INTRODUÇÃO A nstabldade de tensão está se tornando um problema crescente e comum, representando uma das prncpas razões de váras nterrupções parcas/totas, nas últmas décadas, em todo o mundo Kundur, 994, GCOI, 997. Sua causa medata não é, geralmente, uma grande perturbação do sstema elétrco de potênca. Em mutos casos, o sstema pode cegar a um estado vulnerável por meo da saída de um equpamento, de uma lna de transmssão ou outra contngênca. O ponto operaconal do sstema muda, gradualmente, em períodos de mnutos a oras, de um estado relatvamente seguro para outro em que o colapso é mnente. A fm de contornar esse problema, o operador pode ntervr manualmente ou por meo de ações adconas de controle. Atualmente, para as restrções de segurança do Fluo de Potênca Ótmo FPO, a segurança do sstema em relação à tensão é avalada de acordo com os lmtes das magntudes das barras de tensão. Porém, ocorrêncas de problemas de nstabldade de tensão foram mostradas em sstemas nos quas as magntudes de tensão nunca atngram níves nferores aos níves acetáves MOHAMED, 996. Além dsso, prómo ao ponto de colapso, varações de tensão podem ser etremamente sensíves a mudanças de carga NEMA, 996. Assm, apenas o conecmento do nível de tensão no ponto de operação pode não ser sufcente para predzer os problemas de establdade de tensão. A nstabldade de tensão é um fenômeno dnâmco. Entretanto, a nstabldade de tensão de um sstema elétrco de potênca pode ser medda obtendo-se a dstânca entre a solução das equações do fluo de potênca estátco para o ponto ncal de operação até o seu ponto de bfurcação sela nó, conecdo como ponto de colapso de tensão.

20 Embora todos os mecansmos que afetam o colapso de tensão anda não tenam sdo dentfcados, é sabdo que a nstabldade de tensão ocorre quando o sstema de potênca está operando sob condções de estresse. Recentes mudanças nos aspectos polítcos, econômcos, socas e ambentas do sstema de potênca aumentaram a frequênca de operação sob tas condções, elevando as preocupações sobre a abldade dos sstemas em atender, segura e economcamente, sua demanda de carga. A maora dos modelos de mercado em mplantação por todo o mundo fundamentase na garanta de acesso lvre ao sstema de transmssão a todo nstante, em todos os locas e a todos os partcpantes HUNT, 996, ILIC, 998. Isso causa problemas adconas, pos a potênca com que as concessonáras abtualmente mportam ou eportam, frequentemente fluem pelas redes de transmssão de outras concessonáras, dfcultando assm - sua montoração e controle. Para atender o aumento de carga, a capacdade de transmssão deve ser amplada. Porém, devdo a razões ambentas e econômcas á, frequentemente, dfculdades para aprovar a construção de novas lnas de transmssão. Essas crcunstâncas combnadas favorecem ocorrêncas de colapso de tensão. Para combater esse problema, que pode levar a completos blacautes, é utlzado o corte de carga de alguns consumdores a fm de levar o ponto de operação do sstema para o mas dstante possível do valor de tensão crítca DORIGO; STÜTZLE, 4, SOCHA; DORIGO, 8, AJJARAPU; CHRISTY, 99. Entretanto, suas consequêncas podem resultar em enormes perdas técncas e econômcas. Portanto, essa medda de controle deve ser realzada com otmaldade e cudado e ser utlzada como a últma alternatva das ações de controle NAKAWIRO; ERLICH, 9. Há dos tpos de procedmentos para o corte de carga: um é para preparação, ou sea, quando o sstema está prómo ao colapso de tensão, cortar parte da carga rá aumentar a margem de carregamento do sstema. O outro é para correção. uando o sstema elétrco de potênca está em processo de colapso de tensão devdo à ocorrênca de alguma falta ou de uma stuação de emergênca com um nível nacetável de tensão, cortar parte da carga podera fazer o sstema voltar à establdade XIAO; ZHU, 7. Onde fazer o corte de carga é a prncpal questão a ser respondda no procedmento de corte de carga ZANHIDI et al., 9.

21 Nesse trabalo, foram mplementadas duas ferramentas computaconas. Com a prmera, é determnado o ponto de Mámo Carregamento para sstemas elétrcos de potênca por meo de uma varante do método dos Pontos Interores, o método da Função Lagrangana Barrera Modfcada FLBM. Nesses métodos, as melores propredades da função barrera clássca FBC e da função Lagrangana clássca FLC são assocados. As FLBM e suas dferencas parcas são defndas na solução e, durante o processo de convergênca, essas funções não crescem para o nfnto. A matrz Hessana da função Lagrangana não se torna mal condconada e o parâmetro de barrera não tende a zero. O algortmo de convergênca do método da FBC é uma assíntota, dferentemente do da FLBM, cua convergênca é fnta, fato esse que leva a uma maor contrbução da ferramenta que utlza o método da FLBM para determnação do ponto de Mámo Carregamento, uma vez que a solução ótma encontrada no método da FLBM pode, realmente, estar na regão da frontera factível, o que não acontece com a FBC, em que a solução pode estar próma à frontera, mas nunca atng-la. Logo, as restrções tratadas pela FLBM podem ser nulas, enquanto que as restrções da FBC têm valor dferente de zero. O método FLBM não requer uma solução ncal factível ao problema orgnal. Outra mportante contrbução da FLBM é a representação eplícta de seu multplcador de Lagrange, o qual aula no processo de convergênca do método. No método da FLBM SOUSA,6, aplcado nesse trabalo, as perdas atvas do sstema são suprdas uncamente pela barra slack. As restrções de tensão e potênca reatva, canalzadas, são desmembradas em duas desgualdades. aráves de folga ou de ecesso são acrescentadas a fm de transformar essas desgualdades em gualdades. Tas varáves de folga ou de ecesso são relaadas e tratadas pela função barrera modfcada. A esse problema é assocada uma função Lagrangana. As condções necessáras de prmera ordem são aplcadas à função Lagrangana e um sstema de equações não lneares é gerado, o qual é lnearzado pelo método de Newton. Esse processo de lnearzação gera outro sstema de equações, no qual a matrz dos coefcentes é esparsa e smétrca de posção e de valor. A segunda ferramenta consste na mplementação da técnca de Análse de Sensbldade AS para determnar de forma rápda e smples a nova condção do sstema após a ocorrênca de uma perturbação nas restrções de gualdade. Por meo da técnca de

22 Análse de Sensbldade, estudos de planeamento da operação do SEP podem ser realzados obtendo-se respostas rápdas e confáves para tomada de decsões. Por meo do estudo do teorema da sensbldade proposto por Facco 97, o sstema de equações de Análse de Sensbldade para o problema de Mámo Carregamento fo determnado. A técnca de Análse de Sensbldade tem como entrada de dados a solução base ótma, ou sea, a solução ótma do problema orgnal não perturbado. Nessa técnca, as condções necessáras de prmera ordem e o teorema de folga complementar são aplcados na solução ótma, gerando um sstema de equações que é resolvdo pelo método de Newton. As varáves são atualzadas e a solução ótma para o problema perturbado é obtda. Dentre as maores contrbuções da técnca de Análse de Sensbldade podem-se ctar o fato de seu algortmo não ser teratvo e ela não usar parâmetros empírcos em sua formulação. A fm de verfcar a efcênca das abordagens propostas, após a obtenção da solução base ótma do problema de Mámo Carregamento para os sstemas IEEE 4, 57, 8 e por meo do método da FLBM, buscou-se determnar qual a barra de cada sstema elétrco de potênca é mas sensível em relação ao fator de carregamento, ou sea, qual é, para o operador do sstema, ncalmente, a melor opção para o corte de carga. Foram realzados testes de corte de carga de % em cada uma das barras de controle de reatvos e barras de carga, mantendo o fator de potênca constante, no caso das barras de carga. Esses mesmos testes, para todos os sstemas, foram realzados utlzando-se a técnca de AS. É de fundamental mportânca para a operação dos sstemas elétrcos de potênca, o completo entendmento de como as varações no sstema afetam seu estado. Tal entendmento pode ser obtdo a partr da Análse de Sensbldade, sem a necessdade de se processar ou reprocessar város casos de fluo de potênca. A utlzação dessa ferramenta de programação não lnear aplcada a determnação do Ponto de Mámo Carregamento PMC de um sstema fornecerá nformações confáves e sufcentes para uma tomada de decsão do operador.

23 DISPOSIÇÃO DO TRABALHO Esse trabalo está dvddo em ses capítulos. No prmero capítulo é feta a contetualzação do problema de colapso de tensão, assm como a descrção das metodologas empregadas no trabalo para determnação do ponto de Mámo Carregamento em sstemas elétrcos de potênca tanto para a solução base ótma como para o problema perturbado. No segundo capítulo, são apresentadas algumas das publcações mas sgnfcatvas e motvadoras relaconadas ao desenvolvmento desse trabalo. No tercero capítulo, são apresentados concetos relaconados ao problema de Mámo Carregamento em sstemas elétrcos de energa e a formulação do problema, assm como sua formulação aplcando o método da Função Lagrangana Barrera Modfcada. O quarto capítulo apresenta o desenvolvmento da formulação da Técnca de Análse de Sensbldade e um eemplo numérco. No qunto capítulo, são apresentados os testes realzados para os seguntes sstemas: sstema elétrco de potênca de barras e IEEE 4, 57, 8 e barras. Os capítulos fnas referem-se às conclusões, às proposções futuras do trabalo e às referêncas bblográfcas.

24 4 Capítulo HISTÓRICO Nas últmas décadas, a nstabldade de tensão tem sdo apontada como uma das prncpas razões dos blecautes ao redor do mundo. O colapso de tensão é a consequênca fnal de um processo de nstabldade. Por causar enormes preuízos a dferentes nações, tal fenômeno tem recebdo a atenção de mutos pesqusadores. Com base nesse conteto, é apresentada - a segur - a pesqusa bblográfca realzada para a elaboração do presente trabalo, vsando elucdar o estudo de metodologas para a obtenção do ponto de Mámo Carregamento em sstemas elétrcos de potênca e de técncas utlzadas para evtar o colapso de tensão. Flatabo et al. 99 apresentam um método para determnação de condção de establdade de tensão em sstemas de potênca. O método está baseado em técncas de sensbldade, levando em conta os lmtes de geração de potênca reatva. Uma dstânca para colapso de tensão em termos de MAr é defnda como medda de segurança de sstema. A severdade da saída de dferentes lnas de transmssão pode ser estudada. O método também pode ser usado, efetvamente, para estudar a mportânca de reservas de potênca reatva na capacdade de transmssão de potênca. Em Begovc 99, são apresentadas técncas de sensbldade para alocação de potênca reatva e corte de carga. Além dsso, o valor mínmo sngular da matrz Jacobana e a geração total de potênca reatva são propostos como ndcadores de nstabldade de tensão. Nesse trabalo, é mostrado que pequenas quantdades de compensação de reatvos podem levar à falsa constatação de segurança do sstema pelo operador, enquanto, de fato, o sstema está prómo do colapso. De acordo com o autor, quando aplcada a sstemas de grande porte, a metodologa apresenta a desvantagem da geração total de reatvos poder ser nsensível a mudanças ndvduas de cargas.

25 5 Em Momo 995, é descrto um método para controle corretvo da nstabldade de tensão em sstemas elétrcos de potênca. A sensbldade da margem de establdade em relação à geração de potênca atva e à sensbldade - é usada para a determnação das ações corretvas. São consderadas, smultaneamente, no esquema de controle corretvo, a establdade transtóra e a establdade de tensão por meo de um índce unfcado de establdade que pode dar uma medda comum de establdade de tensão e de ângulo. Estmatvas lneares e quadrátcas para a varação da margem de carregamento, no tocante a qualquer parâmetro do sstema ou controle, podem ser obtdas. Greene, Dobson e Alvarado 999 propõem o cálculo de estmatvas lneares e quadrátcas para a varação da margem de carregamento em relação a qualquer parâmetro do sstema de potênca ou controle. Essas estmatvas podem ser usadas para avalar, de forma rápda, os efetos quanttatvos de váras ações de controle de modo a manter uma margem de carregamento sufcente para evtar o colapso de tensão. As estmatvas também podem ser usadas na determnação da sensbldade da margem de carregamento a ncertezas em dados. Estmatvas para qualquer número de parâmetros ou controles requerem cálculos de apenas um narz ou ponto de bfurcação. A precsão das estmatvas e a facldade de obter a estmatva lnear sugerem que esse método será de valor prátco, evtando o colapso de tensão. Destaca-se o método de otmzação não lnear de Pontos Interores apresentado por Irsarr 997 para determnação do Mámo Carregamento em sstemas de potênca. O autor apresenta a resolução do algortmo de Pontos Interores PI não lnear, nas suas versões Prmal-Dual PIPD Pura e Predtor-Corretor PIPC. Na mplementação desse trabalo não são ncluídas restrções de contngêncas dretamente no método. Em alguns dos testes realzados pelos autores, o Mámo Carregamento obtdo por meo do Fluo de Carga FC é usado como referênca. Os modelos de transformadores com mudança de tap e transformadores com defasador de ângulo de fase são modelados completamente na mplementação. É feta, também, a comparação entre o modelo de carga constante e o modelo de carga não lnear dependente de tensão. O uso do modelo de carga não lnear, como esperado, resulta em consderável aumento de margem em relação ao modelo de carga constante P. Outro mportante trabalo sobre a abordagem não lnear do método dos Pontos Interores em suas versões Pura e Predtor-Corretor aplcada ao problema de Fluo de

26 6 Potênca Ótmo FPO é apresentado por Barbosa, Almeda e Salgado 998. Nessa proposta, o problema de Mámo Carregamento de um sstema de energa elétrca é analsado levandose em conta suas lmtações, tanto operaconas, como de equpamentos. Os resultados foram obtdos modelando-se as cargas como neção de potêncas atva e reatva e mantendo-se seus fatores de potênca constantes. Foram analsados dos aspectos: a nfluênca das restrções operaconas na solução, sendo que os resultados da aplcação do algortmo de otmzação são confrontados com aqueles obtdos por meo do Método da Contnuação AJJARAPU e CHRISTY, 99, a presença de restrções fo consderada apenas na potênca reatva gerada; a efcênca em termos de número de terações e tempo de CPU das duas versões do algortmo de pontos nterores. Foram estudadas, nesse aspecto, as condções de consderação de todas as restrções operatvas geração de potêncas atva e reatva, magntude de tensões, taps dos transformadores com comutação sob carga e fluos de potênca nas lnas e semelante à anteror, porém sem restrções de fluos de potênca nas lnas. Os resultados do Mámo Carregamento total e das margens totas de potênca atva e reatva obtdas, levando em consderação o aspecto, mostra que os valores das quantdades obtdas pelas duas abordagens são semelantes. A dferença entre esses valores é atrbuída à ausênca de um controle mas refnado sobre o crescmento da carga. Do ponto de vsta computaconal, a versão Predtor-Corretor apresenta um desempeno superor à versão Prmal-Dual Pura, reteram os autores. Embora na prmera versão tena-se que resolver dos sstemas lneares de porte razoável a cada teração, a mesma matrz fatorada é utlzada, fazendo com que o tempo por teração sea maor para a versão Predtor-Corretor. Mesmo assm, o processo teratvo converge mas rapdamente sendo, portanto, mas atratvo em termo computaconal. El-Sadek et al 999 assocam o problema de corte de carga com uma medda emergencal para evtar a ocorrênca de nstabldade de tensão na dstrbução e transmssão em sstemas elétrcos de potênca. A localzação ótma dos cortes de carga é encontrada untamente com suas quantdades ótmas requerdas. Um índce é usado para esse propósto. Essa técnca pode ser aplcável a sstemas de qualquer tamano com qualquer número de cargas, porém é necessáro que fluos de cargas sucessvos seam eecutados para a realzação da técnca proposta. Greene, Dobson e Alvarado 999 mostram que a análse efetva de contngêncas para o colapso de tensão pode ser feta calculando a sensbldade da margem de carregamento para uma curva P- nomnal. Nesse trabalo é estmada a mudança na margem de

27 7 carregamento quando ocorrem saídas de lnas de transmssão. Prmeramente, uma curva P- é calculada por meo do método da contnuação para obter uma margem de carregamento nomnal. Então, sensbldades lneares e quadrátcas da margem de carregamento para cada contngênca são calculadas e usadas para estmar a mudança resultante na margem de carregamento. Os resultados obtdos pelos autores mostram que as estmatvas lneares são rápdas e satsfatóras para classfcação de contngêncas. As estmatvas quadrátcas têm maor tempo de processamento refnam as estmatvas lneares, porém são mas rápdas do que métodos precedentes. No trabalo proposto por Greene 997, sensbldades smlares são calculadas, eplorando a mesma curva P- para propor rapdamente ações corretvas com o obetvo de melorar a margem de carregamento de colapso de tensão, caso a análse de contngênca ndque tal necessdade. Almeda e Salgado desenvolveram uma metodologa para calcular uma sequênca de solução do FPO sob condções de varação de carga. O obetvo é obter um conunto de pontos ótmos de operação na vznança da frontera da regão defnda pelas equações do fluo de potênca e um conunto de lmtes de operação. Para sso, apresenta-se um algortmo baseado no método da contnuação e no método de pontos nterores prmaldual. Tal algortmo consste em dos passos prncpas: o passo predtor, que usa uma apromação lnear das condções de Karus-Kun-Tucker KKT para estmar um novo ponto de operação para um aumento na carga do sstema e um passo corretor, que calcula o correspondente ótmo para o novo nível de carga va um método não lnear de pontos nterores prmal-dual. Uma Análse de Sensbldade é feta para calcular a compensação total de potênca reatva que permte um aumento pré-especfcado na carga do sstema. São apresentados resultados para sstemas testes reas. O obetvo do trabalo proposto por Flueck é apresentar um procedmento para dentfcar contngêncas severas smples de saídas de barras com respeto à bfurcação sela-nó levando ao colapso de tensão, dado um ponto operaconal de um sstema de potênca, uma prevsão de demanda de carga e um despaco de geração. As característcas partculares do método são a abldade para classfcar todas as barras de sstemas de grande porte e estmar com precsão os valores da bfurcação da contngênca. Esse algortmo consdera as varações futuras no despaco de geração e a prevsão de demanda de carga a curto prazo. Além dsso, eplora a dreção de geração e a varação de demanda. O algortmo, automatcamente, descarta as contngêncas que têm pouco efeto no sstema de potênca,

28 8 mantendo precsão para as contngêncas severas que podem lmtar a capacdade de transferênca de potênca do sstema. No trabalo proposto por Rder 4, os problemas de mnmzação das perdas atvas, de mínmo corte de carga e de Mámo Carregamento, são formulados como um problema de FPO que é resolvdo utlzando uma combnação de métodos de Pontos Interores Predtores com múltplas correções e múltplas correções centralzadas ambas pertencendo à famíla dos métodos de pontos nterores de alta ordem. Os resultados mostram que o método proposto é capaz de resolver os problemas de médo e grande porte com um número reduzdo de terações e, em alguns casos, com menor tempo de CPU que outros métodos. Zambron 4 apresenta uma abordagem usando modelos de otmzação para o problema do aumento do carregamento de sstemas de potênca. O trabalo enfoca a localzação dos mpactos das ações de controle local no carregamento do sstema. O estudo é realzado em dos passos. Prmero, usando a técnca do vetor tangente, em que duas áreas mportantes do sstema de potênca são dentfcadas: a área crítca sob o ponto de vsta do colapso de tensão e as áreas mas sensíves à redução das perdas de potênca atva. Segundo, uma vez que essas duas áreas são dentfcadas, uma técnca de otmzação vsa otmzar a compensação de potênca reatva ótma que deve estar dsponível em cada barra. Segundo os autores, os resultados obtdos usando os dos sstemas testes do IEEE 4 e 57 barras são consstentes com a robustez esperada para essa ferramenta computaconal. Uma nova ferramenta de Análse de Sensbldade para classfcação de contngêncas de tensão é apresentada no trabalo proposto por Amady 5. A Análse de Sensbldade proposta é uma combnação de sensbldade lnear e análse de autovalor. A ferramenta de Análse de Sensbldade pode determnar a establdade de tensão do sstema de potênca devdo à ocorrênca de cada contngênca. Além dsso, a margem de establdade pós-contngênca também é determnada. Em outras palavras, um índce de severdade é obtdo para cada contngênca de tensão e as contngêncas podem ser classfcadas. O algortmo básco da ferramenta proposta é uma combnação da Análse de Sensbldade de prmera-ordem e autovalor.

29 9 O trabalo proposto por Captanescu 5 trata da análse de stuações nas quas aumentos de carga e/ou contngêncas levam a tensões a níves de nstabldade ou nacetáves. São propostas sensbldades smples para determnar a efcênca relatva para as ações corretvas canddatas, as quas são prováves parâmetros de mudanças para fortalecer o sstema. Nesse propósto, as sensbldades da magntude de tensão na barra com maor queda são consderadas. A análse proposta pode, também, tratar de stuações de tensão baa, porém stuações estáves. As sensbldades propostas são focalzadas na barra de tensão mas fraca, dentfcada na prátca como aquela com maor queda de tensão devdo ao aumento de carga ou contngênca. Nos casos de nstabldade de tensão, tem-se verfcado que as sensbldades smples propostas, computadas na vznança de uma bfurcação sela-nó ou ponto crítco, apresentam a mesma classfcação para barras de potênca do que a obtda com autovalores apresentados em trabalos prévos a respeto do assunto. Em Arya, Pande e Dotar 5 é apresentada uma abordagem de corte de carga usando a rede neural de Hopfeld para otmzação. A quantdade de carga a ser cortada é decdda a fm de manter um valor referênca de um ndcador e todas as magntudes de tensão de todas as barras dentro de seus lmtes. O algortmo apresenta as restrções de máma e mínma carga a ser cortada. É utlzada uma função obetvo quadrátca para mnmzação do corte de carga. A maor contrbução é o desenvolvmento de um algortmo de corte de carga baseado no modelo de Holpfel para atngr a margem de establdade deseada. Ecavarren 6 apresenta um algortmo de otmzação de Programação Lnear PL que busca melorar a margem de establdade por meo do corte de carga, determnando a localzação e a quantdade mínma de corte de carga. A função obetvo consste em mnmzar a dmnução da demanda total do sstema. São consderadas, no algortmo, sensbldades de prmera ordem da margem de establdade com relação à carga que será reetada. A melora da margem de establdade é apromada por meo de uma restrção lnear que é baseada nas sensbldades com respeto à carga a ser reetada. Essas sensbldades são calculadas por meo dos multplcadores de Lagrange do problema de otmzação não lnear, cua solução é ponto de bfurcação sela-nó do sstema. O prncpal problema da formulação lnear da margem de establdade é a perda de precsão para grandes varações de geração e demanda. Para superar tal dfculdade, o processo teratvo do algortmo mpõe uma restrção adconal de redução de demanda total a cada teração. A margem de establdade crítca é obtda, nesse artgo, resolvendo-se o método de otmzação, a

30 partr da solução obtda com o método de contnuação e a estmação dos multplcadores de Lagrange. Sendo que a estmação dos multplcadores de Lagrange é obtda resolvendo-se o problema dos mínmos quadrados, usando para tanto a solução alcançada por meo do método da contnuação. Em Nakawro 9, é proposto um algortmo de otmzação baseado em colôna de formgas para resolver o problema de corte de carga ótmo e, assm, melorar a establdade de tensão do sstema de potênca. Dos prncpas aspectos do problema são abordados. Prmeramente, as barras de carga adequadas para o corte de carga são dentfcadas por meo de sensbldade da margem de establdade de tensão com relação à mudança da carga em dferentes barras. Então, a quantdade de corte de carga em cada barra é determnada por meo da mnmzação do custo de nterrupção do sstema utlzando a técnca proposta para resolver um problema de otmzação não lnear. Essa técnca apresenta a vantagem de ser rápda, porém os resultados obtdos não são sempre dêntcos no caso de repetções, além de utlzar parâmetros que, normalmente, requerem auste. O corte de carga para barras com subtensão fo aplcado com sucesso em mutos sstemas do mundo todo para proteger os sstemas do colapso de tensão. Isso é partcularmente verdadero se as condções do sstema e as contngêncas que levam a nstabldades de tensão são de baa probabldade, mas resultara em séras consequêncas. No entanto, a determnação de onde e qual a quantdade de carga a ser cortada, requer conecmento especalzado e eperênca. Zad et al. 9 apresenta um índce de establdade que atua como uma ndcação numérca dos locas para corte de carga. No entanto, os locas e a quantdade de carga a ser cortada requerem conecmento especalzado e eperênca. Esse trabalo apresenta um índce de establdade que atua como uma verfcação numérca dos locas de corte de carga e é baseado na análse de fluo de carga. No trabalo de Xu et al., um novo método de corte de carga é analsado e calculado. Por meo da decomposção do valor sngular para a matrz Jacobana no cálculo do fluo de potênca, a matrz dagonal dos valores sngulares e suas matrzes sngulares dreta e esquerda podem ser resolvdas. O elemento mámo na coluna do vetor sngular dreto do valor sngular mínmo é o melor nó para o corte de carga. Em tal método, a margem de

31 establdade de tensão após o corte de carga é maor do que a obtda por meo de outros métodos.

32 Capítulo MÁXIMO CARREGAMENTO Nesse capítulo serão apresentadas defnções que são de fundamental mportânca para a compreensão do fenômeno do colapso de tensão.. CONCEITOS BÁSICOS.. Instabldade de tensão O fenômeno da nstabldade de tensão é um processo ncado por um carregamento desordenado ou pela ocorrênca de contngêncas no sstema de potênca ou, anda, quando o sstema é ncapaz de atender à demanda de potênca reatva e é caracterzado pela dmnução da magntude do valor da tensão em uma ou mas barras do sstema após a ocorrênca do dstúrbo, sea esse um smples aumento de carga ou mudanças sgnfcatvas na topologa do sstema, sto é, perda de grandes blocos de geração, perda de lnas de transmssão com grandes carregamentos. No sstema altamente estressado, quando a magntude dos valores de tensão atnge valores nacetáves, o sstema apresenta um comportamento nstável e, então, é caracterzado o fenômeno do colapso de tensão. Nesse momento, o suprmento de energa aos consumdores de um sstema ou de uma regão é nterrompdo, causando os mas dversos preuízos econômcos e socas KUNDUR, 994, TAYLOR, 994 e PAL, 99.

33 .. Contngênca Por contngênca entende-se a saída de equpamentos, tas como geradores, lnas de transmssão, transformadores, entre outros; algumas vezes vtas ao bom funconamento do sstema. Frequentes são os casos em que a saída nesperada de uma lna de transmssão causa sobrecarga em outras lnas. Não raro são, também, os casos em que á volação dos lmtes de tensão nas barras por efeto da saída de transformadores e/ou outros equpamentos de controle de tensão. uando somente um equpamento sa de operação, tem-se uma contngênca smples. uando dos ou mas equpamentos saem de operação, tem-se uma contngênca múltpla. Mesmo quando componentes do sstema falam, é precso manter sua segurança. Por sso, mutos equpamentos são protegdos por dspostvos automátcos ou manuas, que são desatvados quando seus lmtes forem volados. Se um sstema contnua operando com lmtes volados e ocorre um evento, este pode ser segudo de uma sére de ações futuras contngênca em cascata que pode ocasonar a saída de város outros equpamentos. Esse processo contnuado é conecdo como efeto cascata e pode levar todo o sstema ou grande parte dele ao blecaute... Margem de Carregamento A margem de carregamento é uma medda fundamental para quantfcar a promdade de um colapso de tensão. Uma questão frequentemente levantada na utlzação de algortmos para a determnação da margem de carregamento é saber o quanto esta mudará a partr de uma perturbação no sstema. Bascamente, as perturbações podem ser: varações nas cargas e/ou gerações ou mesmo uma contngênca.

34 Magntude de tensão p.u. 4 Para um ponto de operação partcular, o montante de carga adconal utlzando um modelo específco de aumento de carga, que causara o colapso de tensão, é camado de margem de carregamento para o colapso de tensão. A margem de carregamento é o mas básco e abrangente índce de colapso de tensão. uando a carga do sstema é escolda como parâmetro de carregamento, uma curva da potênca atva versus tensão pode ser traçada. Nesse caso, a margem de carregamento para o colapso de tensão é a varação no carregamento entre o ponto de operação e o narz da curva para a barra crítca. A margem de carregamento pode, a prncípo, ser calculada ncando no ponto de operação atual, fazendo pequenos ncrementos no carregamento e recalculando os fluos de carga para cada ncremento, até que o narz da curva sea atngdo. A margem de carregamento é, então, o total ncrementado no carregamento, conforme mostrado na Fgura..8 Ponto de operação atual Narz da curva.6 Margem de carregamento Fator de carregamento p.u. Fgura Margem de carregamento

35 5..4 Fenômeno Físco do Colapso de Tensão A nstabldade de tensão é caracterzada pela queda progressva do valor da magntude de tensão das barras e é causada pela falta de suporte local de potênca reatva. Há váras stuações que podem contrbur para que a demanda de potênca reatva não sea atendda, agravando, dessa forma, o quadro de nstabldade de tensão. São elas: quando os lmtes de potênca reatva dos geradores, compensadores síncronos e estátcos são atngdos devdo à redução da potênca reatva produzda pelos capactores na ocorrênca de tensões baas; quando á redução da capacdade de transmssão, ocasonando altas perdas de potênca reatva devdo às lnas de transmssão sobrecarregadas, a possíves saídas de lnas ou a geradores, ao aumento de carga e à ação de taps de transformadores. O sstema entra em colapso quando atnge o ponto crítco, ou sea, a potênca adconal necessára para o suprmento do aumento de carga não pode mas ser transmtda. Para a carga modelada como neção de potênca constante, quando a demanda de potênca da carga aumenta, as perdas nos elementos sére das lnas de transmssão causam uma sensível queda de tensão nas barras, que provoca um aumento das correntes nas lnas, mplcando em perdas anda maores. Esse processo repettvo resulta no colapso de tensão. uanto mas prómo o dspostvo de controle estver da área mas fraca, maor o efeto das ações corretvas. De acordo com Moamed e Jasmon 996, o colapso de tensão não é eclusvamente resultado fnal da nstabldade de tensão, podendo, também, ocorrer devdo ao aumento na demanda de potênca atva e, não necessaramente, devdo à alta demanda de potênca reatva. Conforme apresentado em Nema e Castro 996, não á, de forma obrgatóra, uma relação entre a promdade ao colapso e a magntude da tensão para uma barra. Não é correto, portanto, tomar as magntudes das tensões nas

36 6 barras como ndcadores de susceptbldade ao colapso; ou sea, embora uma barra sea mas fraca com relação ao colapso de tensão, a tensão nessa barra pode ser maor do que em uma barra mas forte. As tensões nas barras podem estar de acordo com os lmtes acetáves, mas, nesse caso, fazer uma análse pelos valores de tensão resultara em um estudo ncorreto, á que com a margem pós-contngênca da barra pequena, o ponto de colapso está muto prómo. Para prevenr o colapso de tensão, esses autores nformam que meddas corretvas podem ser tomadas, tas como: aplcação de dspostvos de compensação de potênca reatva, controle das tensões da rede e de saída de potênca reatva de geradores, redespaco de geração, taps de transformadores, corte de carga, manutenção adequada da margem de establdade de tensão e manutenção de reserva grante de potênca reatva na operação de geradores. A escola aproprada das ações corretvas pode ser tomada pelos operadores do sstema de potênca tendo como base índces relaconados à establdade de tensão. As tensões nas barras devem estar dentro de uma faa específca, em torno do seu valor nomnal. Para sstemas de transmssão, o nível é regulado dentro de 5% do valor nomnal. Para controlar o nível de tensão são utlzados dspostvos de controle de reatvos estátcos, geradores, taps de transformadores, bancos de capactores e reatores estátcos. O crtéro da establdade de tensão defne qual margem é consderada sufcente para a segurança de tensão do sstema, especfca que as tensões dos barramentos devem permanecer dentro de certa porcentagem do valor nomnal pré-contngênca e determna que as reservas de potênca reatva devem permanecer em um determnado valor percentual acma da potênca de saída reatva e deve ser seleconado de forma a fornecer segurança adequada, sem restrngr, desnecessaramente, a operação do sstema. O problema de nstabldade de tensão tem se tornado anda mas evdente por dversas razões, o que pode ser constatado pela maor ocorrênca de blecautes em mutos países nos últmos tempos. Esses ncdentes são um claro ndcatvo de que os sstemas elétrcos de potênca estão operando cada vez mas prómos do lmte de sua capacdade de transferênca de energa. No Brasl, pode-se ctar, como eemplo, a ocorrênca de um grande blecaute na regão Sul e Sudeste, em 997, assocado a um problema de nstabldade de

37 7 tensão na rede de dstrbução, que se estendeu para o sstema de transmssão correspondente, levando à fala e abertura do elo de corrente contínua CC GCOI,997.. ABORDAGENS DA ANÁLISE DE ESTABILIDADE DE TENSÃO A establdade de tensão, no passado assocada somente a sstemas elétrcos de potênca fracos e a lnas de transmssão longas, oe, é uma preocupação para sstemas em geral, devdo a altos carregamentos. Os estudos sobre establdade de tensão podem ser realzados por meo de análses dnâmcas em quasquer crcunstâncas, ou, também, por meo de análses estátcas, quando o problema trata de fenômenos com resposta dnâmca lenta. Nesse trabalo é usada a abordagem estátca para resolução do problema de Mámo Carregamento. Essa metodologa usa as equações de fluo de carga consderando algumas generalzações adequadas, conforme mostrado a segur, na seção.. Os métodos estátcos fornecem resultados mas conservadores do ponto de equlíbro representado por uma condção de operação específca do sstema de potênca, do que os métodos dnâmcos, vsto que mutos fatores que têm consderável efeto sobre a establdade de tensão são gnorados no cálculo do fluo de carga. Os métodos estátcos são amplamente usados por serem, do ponto de vsta computaconal, rápdos e podem propcar uma efcente e smples avalação das condções crítcas do sstema. Mutos métodos estátcos buscam a defnção de índces de promdade ao colapso de tensão para a comparação entre dferentes pontos de operação, de modo a se obter uma classfcação das condções crítcas CORTEZ; ALE,, KUNDUR, 994, TAYLOR, 994, AJJARAPU;CHRISTY, 99, GAO; MORISON; KUNDUR, 99 e ALES et al., 999.

38 8. MÉTODO DA FUNÇÃO LAGRANGIANA BARREIRA MODIFICADA APLICADO AO PROBLEMA DE MÁXIMO CARREGAMENTO O problema de Mámo Carregamento tem como obetvo a determnação do mámo aumento de carga em um sstema elétrco de potênca satsfazendo todas as restrções operaconas do sstema e de equpamentos e pode ser formulado como um problema de otmzação estátca não lnear, conforme apresentado no problema : Mamzar f Sueto a : g Onde T n,..., n R é o vetor das varáves de controle e de estado e representa a magntude de tensão e o ângulo de fase das barras e o fator de carregamento, a função obetvo f, representa o fator de carregamento, as restrções de gualdade, g=, representam as equações de balanço dos sstema de potênca e as restrções de desgualdade e, representam os lmtes das magntudes de tensão das barras e os lmtes de geração de potênca reatva para as barras com controle de geração de potênca reatva. O problema pode ser reescrto de acordo com o problema. Mamzar Sueto a: P n,,= n=,, nbccr l,,= l=,, nbc,, =,, nbcr =,, nb

39 9 Onde: é a varável que representa o fator de carregamento; nb nb e são, respectvamente, os vetores da magntude e do ângulo de fase das tensões das barras do sstema; nb é o número de barras do sstema; nbc é o número de barras de carga; nbcr é o número de barras de controle de reatvos; nbccr é o número de barras de carga e de controle de reatvos. As equações de balanço do sstema elétrco de potênca são dadas por: a Potênca atva para as barras de carga e de controle de potênca reatva: Em que G C Pk, Pk Pk P m km, ; P km, k g km k m g km cos km b km sen km b Potênca reatva para as barras de carga: k G C, k k m km, ; 4

40 4 Em que km, k b km b s km k m b km cos km g km sen km c Lmte de geração de potênca reatva para as barras de controle de potênca reatva:, k m k k b m km b b km s km cos km g km sen km 5 Sendo que: km km s km g, b eb são a condutânca, a susceptânca e a susceptânca sunt da lna, respectvamente. G k C P e P são as potêncas atvas, geradas e consumdas, respectvamente; k G C k e k as potêncas reatvas, geradas e consumdas, respectvamente; e são os lmtes nferores e superores das magntudes de tensões; e são os lmtes nferores e superores das potêncas reatvas geradas pelas barras com controle de potênca reatva; Ω é o conunto de todas as barras conectadas à barra k, nclundo a barra k. Dado o problema, acrescentam-se varáves de folga ou ecesso postvas para transformar as restrções de desgualdade em restrções de gualdade da segunte manera:

41 4 Mamzar Sueto a: P n,, = n=,, nbccr l,, = l=,, nbc s =,, nbcr s =,, nbcr s =,, nb s =,, nb 6 s s s s Onde: s é varável aular nferor assocada a ; s é varável aular nferor assocada a ; s é varável aular nferor assocada a ; s é varável aular nferor assocada a ; Na seqüênca, aplca-se uma relaação, nas condções de não-negatvdade do problema 6, usando o parâmetro de barrera e tem-se:

42 4 Mamzar Sueto a: P n,, = n=,, nbccr l,, = l=,, nbc s =,, nbcr s =,, nbcr s =,, nb s =,, nb 7 s s s s em que > é o parâmetro de barrera. O método proposto por Polyak é utlzado para transformar o problema 7 no segunte problema modfcado:

43 4 Mamzar Sueto a: P n,, = n=,, nbccr l,, = l=,, nbc s =,, nbcr s =,, nbcr s =,, nb s =,, nb 8 ln s ln s ln s ln s Assoca-se ao problema 8 a segunte função Lagrangana: L nb nb,,, s,, u ln s u ln s nb n nb nbc nbc u P P n npv s u ln s,,,, l nb s s ln n npv s s nbc l n 9 Em que: P n é o vetor dos multplcadores de Lagrange assocado à restrção de gualdade P n ; l é o vetor dos multplcadores de Lagrange assocado à restrção de gualdade l ;

44 44 é o vetor dos multplcadores de Lagrange assocado à equação superor de ; é o vetor dos multplcadores de Lagrange assocado à equação nferor de ; é o vetor dos multplcadores de Lagrange assocado à equação superor de ; é o vetor dos multplcadores de Lagrange assocado à equação nferor de ; u e o vetor dos multplcador de Lagrange assocado à equação superor de s ; u o vetor dos multplcador de Lagrange assocado à equação superor de s ; u o vetor dos multplcador de Lagrange assocado à equação superor de s ; u o vetor dos multplcador de Lagrange assocado à equação superor de s ; As condções necessáras de prmera-ordem são aplcadas à FLBM, gerando um sstema de equações não lneares, como segue:, v,, s, s, s, s Pn, l,,,, L

45 45 Em que: T l T l q T p T n c K g K c K g K d s s s s gq gp s u s u s u s u J J J J P P P L Onde: ;,, P gp k ;,, gq k ;,..., gp gp J nb p ;,..., gq gq J nb q.,...,, J npv

46 46 O sstema de equações não lneares é soluconado utlzando o método de Newton. A aplcação do método de Newton gera as dreções de busca, que serão usadas para a atualzação das varáves do sstema e resulta em um sstema matrcal, que pode ser representado de forma smplfcada como: L W Em que: l n T P s s s s,,,,,,,,,,,, 4 I I J I J I J I J I S I P P I S I S I S I I J J J J L P P W q p C K G K C K G K P q p C K G K C K G K W é a matrz Hessana da função Lagrangana. As submatrzes S, S, S e S 4 são dadas, respectvamente, por: S = NB NB s u s u, S = NB NB s u s u, S = NBCR NBCR s u s u e S 4 = NB NB s u s u

47 47 Tendo defndo o vetor gradente, L e a matrz Hessana da função Lagrangana, W, o sstema é resolvdo e determna-se o vetor das dreções de busca, d. Os vetores das varáves α,, s, e são atualzados utlzando o vetor d untamente com os passos prmas e duas, da segunte forma: k p k k k p k k k p k k k d k k s s s k d k k s s s k d k k s s s k d k k s s s k n d k n n P P P k l d k l l k d k k k d k k k d k k

48 48 k k d k sendo p e d o tamano do passo utlzado na atualzação das varáves prmas e duas, respectvamente. O cálculo do passo mámo é uma adaptação da estratéga utlzada por Granvlle 994, untana et al. 995, entre outros. O passo prmal é determnado pelo menor valor entre os componentes das varáves aulares postvas e o valor. O obetvo do passo prmal é garantr que as varáves prmas obedeçam a seus lmtes na solução e é dado por: s s s s p mn { mn, mn, mn, mn, s e s s e s s e s s s e s s s s O passo dual é calculado de forma que cada componente dos vetores duas permaneçam com seus respectvos snas, sto é: mn { d mn e, mn e, mn e, mn e, 4 O parâmetro de barrera é atualzado segundo Melman e Polyak 996, como segue: k k r 5 Onde r é o número de restrções de desgualdade do problema e é dado por: ma,,, r para s s Sendo s = { s, s, s e s }