RESOLVENDO PROBLEMAS DE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO DC ATRAVÉS DE UMA REDE DE HOPFIELD MODIFICADA

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1 RESOLVENDO PROBLEMAS DE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO DC ATRAVÉS DE UMA REDE DE HOPFIELD MODIFICADA Ivan N. da Slva Leonardo Nepomuceno Thago M. Bastos USP/EESC/SEL CP 359, CEP São Carlos - SP UNESP / FE / DEE CP 473, CEP Bauru SP UNESP / FE / DEE CP 473, CEP Bauru SP ABSTRACT Problems nvolvng DC Optmal Power Flow have been solved by several neural approaches proposed n the lterature. The approaches based on Hopfeld models are those more used for mappng these types of problems. However, most of these models gnore the transmsson system, whch leave of takng nto account mportant actve power constrants. Ths fact can lead to solutons obtaned by the networks to mproper dspatch polces. Moreover, problems nvolvng convergence speed and dffculty of guaranteeng feasble solutons are also found n some approaches. Ths paper presents a modfed Hopfeld network to solve DC Optmal Power Flow n an effcent way. The transmsson system n ths model s represented by lnear load flow equatons and constrants on actve power flows. The nternal parameters of the modfed Hopfeld network are computed usng the vald-subspace technque, whch guarantees the obtanment of feasble solutons (equlbrum ponts) by the developed network. Smulaton results and a senstve analsys nvolvng IEEE test systems are presented to llustrate the effcency of the proposed approach. KEYWORDS: DC optmal power flow, artfcal neural networks, systems optmzaton, Hopfeld networks, power systems. Artgo Submetdo em 24/09/02 1a. Revsão em 28/04/03; 2a. Revsão em 15/04/04; Aceto sob recomendação do Edtor Assocado Prof. Dr. Glauco Taranto RESUMO Inúmeras abordagens neuras têm sdo propostas na lteratura para resolver problemas de Fluxo de Potênca Ótmo DC. Mas especfcamente, a rede de Hopfeld é o modelo de rede mas utlzado nesses tpos de problemas. A maora destes modelos, entretanto, gnora o sstema de transmssão. Tal smplfcação dexa de consderar mportantes restrções de potênca atva, podendo conduzr a cálculos equvocados de despacho. Outras desvantagens encontradas até então dzem respeto a problemas de velocdade, e também à dfculdade de se garantr a factbldade das soluções. Este artgo dscute a aplcação de uma rede de Hopfeld modfcada para resolver efcentemente problemas de Fluxo de Potênca Ótmo DC. O sstema de transmssão neste caso é representado através de equações de fluxo de carga lneares e de restrções no fluxo de potênca atva. Os parâmetros nternos da rede de Hopfeld modfcada apresentada neste artgo são computados através da técnca de subespaço-váldo de soluções, o qual garante que as soluções encontradas pela rede (pontos de equlíbro) sejam sempre factíves. Resultados de smulações e uma análse de stuações envolvendo sstemas testes IEEE são apresentados de modo a lustrar a efcênca da abordagem proposta. PALAVRAS-CHAVE: fluxo de potênca ótmo DC, redes neuras artfcas, otmzação de sstemas, redes de Hopfeld, sstemas de energa elétrca. 1 INTRODUÇÃO Um sstema elétrco nunca é tão smples como um modelo monofásco caracterzado por um gerador, uma carga e uma Revsta Controle & Automação/Vol.15 no.4/outubro, Novembro e Dezembro

2 lnha de transmssão. Na realdade, mesmo o mas smples dos sstemas é representado por dversas varáves que acabam por defnr fscamente o problema. Mas do que qualquer outro, o fator que determna a complexdade de um sstema elétrco é o tamanho. Este fato faz com que não exstam regras geras, do ponto de vsta matemátco, que se aplquem a todos os equaconamentos. É possível, no entanto, lstar certas smlardades de modo a padronzá-los e crar-se, então, uma dretrz de estudo. Desde o advento da energa elétrca, a utlzação mas efcente (otmzada) de todo potencal elétrco gerado tem sdo uma das questões centras em sstemas de potênca. Os equaconamentos que ponderam este problema, por razões demonstradas em Elgerd (1970) tornam-se extensos e bastante repettvos. Este fato motvou estudos baseados em ferramentas computaconas que acelerassem a solução desses problemas (Chowdhury e Rahman, 1990). O estudo do Despacho Econômco (DE) é defndo como o processo de se defnr níves de geração às undades geradoras de modo a suprr plenamente a demanda do sstema da forma mas econômca possível. Dentro desta defnção bastante ampla, dversos modelos específcos de otmzação aplcados a sstemas de potênca, tas como fluxo de potênca ótmo, despacho de geração atva, unt commtment, generaton schedulng, etc, podem ser englobados pela defnção de despacho econômco. Estes modelos, no entanto, dferem profundamente entre s em relação a complexdade e campos de aplcação. O chamado Despacho Econômco Clássco (DEC), dscutdo em Chowdhury e Rahman (1990) e Happ (1977), é consderado o ponto ncal do DE. Neste modelo, lmtes de geração e demanda são restrções a serem respetadas, enquanto que funções de custo ponderam o despacho para cada gerador. O DEC smplfca o problema no sentdo que gnora o sstema de transmssão, uma vez que dvde todo o sstema em dos pontos, um gerador (composto por todos os geradores) e outro consumdor (contendo as cargas), nterlgados entre s por uma únca conexão deal. Este procedmento acaba por nfrngr mportantes restrções de potênca atva, tas como fluxo de potênca atva nas lnhas de transmssão e transformadores, além de equações de fluxo de carga no sstema de transmssão, o que pode levar a despachos totalmente equvocados do ponto de vsta da capacdade físca do sstema. No estudo de despacho econômco apresentado neste artgo, uma abordagem neural para a representação do sstema de transmssão é proposta. Assm como defndo em Wong e Doan (1992), esta formulação para o modelo pode também ser classfcada como um modelo para ntervalo de um tempo (nstantâneo) do problema short term generaton schedulng, ou então, como um modelo de Fluxo de Potênca Ótmo DC (FPO- DC) Nos últmos anos, uma grande quantdade de estudos utlzando-se redes neuras artfcas em problemas de DE foram propostas na lteratura. Em Park et. al. (1993), por exemplo, uma rede neural de Hopfeld é proposta para resolver um problema de DEC com função custo não-lnear. Os resultados apresentados apontam que um esforço computaconal excessvo é requerdo, vsto que o número de terações necessáras para se obter a precsão desejada é bastante alto. Em Walsh e O Malley (1997), uma rede de Hopfeld híbrda fo adotada na tentatva de se unfcar unt commtment e funções de despacho de geração. A escolha desta rede fo devdo à sua habldade de ldar com termos dscretos e contínuos. Em Su e Chou (1997a), um método analítco de Hopfeld fo desenvolvdo com o objetvo de dmnur o esforço computaconal. Entretanto, a defcênca deste método se encontra no fato de não ser aplcável a fuções de custo não-lneares. Em Su e Chou (1997b), um modelo de Hopfeld para problemas de DE consderando-se zonas probdas fo também desenvolvdo. Um outro modelo, proposto por Yalcnoz e Short (1998), fo desenvolvdo para resolver problemas de DE com restrções na capacdade de transmssão. Esse mesmo modelo fo restruturado por Yalcnoz et. al. (2001) vsando a aplcação em problemas mult-áreas. Entretanto, a utlzação de redes neuras em problemas de FPO-DC, o qual leva em consderação a representação do sstema de transmssão, anda não foram abordados na lteratura, sendo este portanto o propósto do presente artgo. Na maora das abordagens neuras ctadas acma, dversas dfculdades com relação ao processo de convergênca para os pontos de equlíbro da rede, que representam as soluções do problema de otmzação, são evdencadas. Uma análse mnucosa dos resultados apresentados nestes artgos demonstra que mutas vezes resultados nfactíves são apontados como soluções do problema. Em Slva e Nepomuceno (2001), uma abordagem de Hopfeld modfcada é apresentada na solução do DEC. Nesta rede, a otmzação e as restrções envolvdas no mapeamento do problema são tratadas em dferentes estágos. Através da técnca de subespaço-váldo, a rede de Hopfeld modfcada (RHM) garante a convergênca da rede para soluções ótmas sempre factíves (Slva et. al., 2000). Problemas relaconados com a velocdade de convergênca foram também tratados de forma efcente em Slva e Nepomuceno (2001). Como demonstrado em Slva et. al. (2000), a RHM é também aplcável em problemas com funções custos não-lneares. As prncpas vantagens em estudar a aplcação de redes neuras artfcas em problemas de fluxo de potênca resde nos seguntes aspectos: ) utlzação de estruturas de processamento nerentemente paralelas e adaptatvas, podendo então ser mplementadas em computadores com processadores operando em paralelo, ) facldade de mplementação em hardware, e ) capacdade de 424 Revsta Controle & Automação/Vol.15 no. 4/Outubro, Novembro e Dezembro 2004

3 generalzação e adaptação frente às novas confgurações de operação. Este artgo explora e estende a aplcação da rede de Hopfeld modfcada proposta em Slva e Nepomuceno (2001) para a resolução de dversos problemas envolvdos com o despacho econômco, com especal atenção aos problemas de FPO-DC. Incalmente, algumas confgurações envolvendo problemas de despacho econômco clássco são mplementadas e dscutdas através de algumas smulações. A segur, uma função custo nãolnear é ntroduzda no sstema com o objetvo de analsar o comportamento da RHM. Em ambos os casos, o sstema teste IEEE de 3 barras é utlzado nas smulações. Na seqüênca, a rede de transmssão é representada em detalhes por meo de equações de fluxo de carga lneares e restrções no fluxo de potênca atva. Neste caso, o sstema teste IEEE de 118 barras é utlzado nas smulações. Fnalmente, smulações realzadas com o sstema braslero de transmssão de 810 barras são apresentadas. O artgo é organzado da segunte forma. Na seção 2, descreve-se a formulação do modelo de fluxo de potênca adotado. Na seção 3, a rede de Hopfeld modfcada é apresentada, nclundo a técnca do subespaço-váldo. Um mapeamento do problema de FPO-DC usando a ferramenta proposta é apresentado na seção 4. Os resultados de smulação que valdam a abordagem são apresentados na seção 5. Na seção 6, as conclusões referentes à aplcação da ferramenta na solução destes problemas são apresentados. 2 A DESCRIÇÃO DO MODELO DE FLUXO DE POTÊNCIA ADOTADO A formulação matemátca para o Fluxo de Potênca Ótmo DC adotada neste trabalho é descrta pelas seguntes equações: Mnmzar : sujeto a : P F mn mn 1 B. NG onde: C T é o custo total de combustível. NG é o número de geradores dsponíves. C T P 2 F P C P max F P max C (P ) = a + b.p + c. P é o custo total de geração da undade. P é a potênca atva de saída da undade. a, b e c são os coefcentes de custo para. P é o vetor das njeções de potênca atva. B é a matrz de susceptâncas da rede. é o vetor dos ângulos de tensão. mn P é a mínma geração de saída da undade. max P é a máxma geração de saída da undade. F ()=[( k l ) / x kl ] é o fluxo de potênca atva no ramo (lnha ou transformador) conectando as barras k e l. k é o ângulo de tensão na barra k. x kl é a reatânca no ramo conectando as barras k e l. O modelo descrto em (2) representa as equações de fluxo lneares. As equações (3) e (4) representam respectvamente os lmtes na geração de potênca atva e nos fluxos de potênca atva no sstema de transmssão. Esses fluxos no sstema são representados por equações lneares. A função custo (1) é também algumas vezes expressa por um polnômo do tercero grau (Jang e Ertem, 1995). Para usnas com quema de combustível, a função custo pode também ser representada como uma função quadrátca por partes (Park et al., 1993). Isto não representa um problema para a abordagem proposta, uma vez que a mesma tem se mostrado capaz de tratar funções de custo não-lneares. 3 A REDE DE HOPFIELD MODIFICADA As redes de Hopfeld têm sdo aplcadas em dversas classes de problemas de otmzação, demonstrando grande habldade e efcênca na resolução destes tpos de problemas. A equação de nó para a rede contínua no tempo é defnda por: n u ( t). u ( t) Tj. v j ( t) b j1 (5) (1) v (t) = g (u (t)) (6) onde: (2) u(t) é o estado corrente do -ésmo neurôno. (3) Tj é o peso unndo o j-ésmo ao -ésmo neurôno. vj(t) é a saída do j-ésmo neurôno. (4) b vetor de entradas do -ésmo neurôno (offset bas)..u(t) é um termo de decamento passvo. g(u(t)) é uma função de atvação de cada neurôno. Pode ser verfcado em Hopfeld (1984) que os pontos de equlíbro da rede correspondem aos valores v(t) para os quas a função de energa (7) assocada com a rede é mnmzada: Revsta Controle & Automação/Vol.15 no.4/outubro, Novembro e Dezembro

4 b 1 E(t) = 1 v 1 1 v T (t).t.v(t) v T (t). b (7) 2 b 2 Fgura 1. Rede de Hopfeld convenconal. Um mapeamento do problema de FPO-DC usando uma rede de Hopfeld, lustrada na Fgura 1, consste em se determnar a matrz de pesos T e o vetor de entradas b para obter os pontos de equlíbro. Neste caso, a função de energa assocada à rede deve levar em conta tanto a função custo do problema de FPO-DC como também todas as restrções exstentes. A rede atua com o propósto de mnmzar smultaneamente a função de energa E ot correspondente à função objetvo e o conjunto de funções ( rest E k ) descrevendo as k-ésmas restrções envolvdas no problema. Se qualquer uma destas restrções for volada, a solução é consderada nválda. Uma técnca muto utlzada nas abordagens neuras utlzadas em problemas de despacho consste em nclur as restrções como termos na função de energa que são mnmzados quando as restrções são satsfetas, ou seja: ot rest rest rest E ( t) E ( t) c1. E1 ( t) c2. E 2 ck. Ek onde c são constantes postvas que ponderam cada uma das restrções. Entretanto, os prncpas nconvenentes de se usar a técnca descrta acma estão relaconados com o processo de convergênca da rede para os pontos de equlíbro, podendo afetar sensvelmente a precsão dos seus valores, bem como ncrementar o esforço computaconal para as suas obtenções. As prncpas razões para este problema de convergênca, como dscutdo posterormente por alguns autores, são: Dfculdade de se obter os valores corretos para as constantes arbtráras (c 1, c 2,...,c k ) que ponderam os termos de energa relatvos às restrções do problema a ser resolvdo. Influênca dos termos de restrções no termo de otmzação, dfcultando a convergênca da rede. 2 v 2 T 1n b n n v n Em resumo, no processo de otmzação com uma rede de Hopfeld, cuja função objetvo é dada pela expressão acma, a multplcdade de termos de restrções nesta equação afeta consderavelmente o valor da solução fnal. Como resultado, as soluções obtdas no fnal do processo de otmzação podem ser nfactíves; além dsso, o desempenho da rede é sensível aos valores dos parâmetros de ponderação. Para contornar este problema, utlza-se neste artgo uma função de energa modfcada E m (t), a qual ndepende de constantes de ponderação, e que é defnda como se segue: E m (t) = E conf (t) + E ot (t) onde E conf (t) é um termo de confnamento que agrupa as restrções dadas por (2), (3) e (4); e E ot (t) é um termo de otmzação que conduz a saída da rede aos pontos de equlíbro. Este método é contrastante à maora das abordagens neuras usadas em problemas de DE, o que as tornam nefcentes pelo fato de tratarem estes termos em uma únca função de energa. A operação da rede de Hopfeld modfcada consste de três passos prncpas, conforme mostra a Fgura 2. Estes passos podem ser explctados da segunte forma: Passo (I): Mnmzação de E conf, correspondendo à projeção de v(t) no subespaço-váldo defndo por: v(t+1) = T conf.v(t) + conf onde: T conf é uma matrz projeção (T conf. T conf = T conf ) e o vetor conf é ortogonal ao subespaço (T conf. conf = 0). Uma análse da técnca do subespaço-váldo é apresentada em Ayer et al. (1990). Passo (II): Aplcação de uma função de atvação do tpo rampa smétrca não-lnear restrngndo v(t) em um hpercubo: (8) (9) nf nf lm, f lm v nf sup g ( v ) v, f lm v lm (10) sup sup lm, f v lm nf sup onde v ( ) [lm, lm ]. t Passo (III): Mnmzação de E ot, o que envolve a atualzação de v(t) na dreção da solução ótma (defnda por T ot e ot ) correspondendo aos pontos de equlíbro da rede. Estes pontos são também as soluções para o problema do despacho econômco, desde que o gradente em relação ao termo de energa E ot seja aplcado. Utlzando (10) em (5), obtém-se: 426 Revsta Controle & Automação/Vol.15 no. 4/Outubro, Novembro e Dezembro 2004

5 ot dv( t) E ( t) v dt v v = t.e ot (v) = t.(t ot.v + ot ) (11) Desta forma, a mnmzação do termo E ot consste em atualzar v(t) na dreção oposta ao gradente de E ot. v(t) Passo (I) v = T conf.v + conf Passo (II) g (v) Passo (III) v(t)v (t)+v(t) v(t)=t(t ot.v(t)+ ot ) v v(t) Fgura 2. Rede de Hopfeld modfcada. v(t) Como vsto na Fg. 2, cada teração possu 2 estágos dferentes. Prmero, como descrto no Passo (III), v é atualzado usando o gradente do termo E ot separadamente. Em seguda, após cada atualzação, v é dretamente projetado no subespaço-váldo. Este é um processo teratvo, no qual v é projetado ortogonalmente no subespaço-váldo defndo em (9). Em seguda, os seus elementos são lmtados pela função de atvação rampasmétrca (10) dentro do ntervalo [lm lm ] nf sup., 4 FORMULAÇÃO DO DESPACHO ECONÔMICO PARA A REDE DE HOPFIELD MODIFICADA Como observado na Seção 2, o problema de despacho econômco consste em se mnmzar uma função de custo na presença de restrções lneares de gualdade e/ou desgualdade. Uma vez que restrções de gualdade podem ser faclmente convertdas em restrções de desgualdade (Bazaraa e Shetty, 1979), assume-se, por smplcdade, apenas restrções de desgualdade. Consdere o segunte problema de otmzação restrta, com m-restrções e n- varáves, defndo pelas seguntes equações: Mnmzar E ot (v) = C T (12) onde A nxm, b m, e c, v, z mn, z max n. As condções em (13) e (14) defnem as fronteras de um poledro convexo. Neste caso, o vetor v, que corresponde às varáves em (1) {.e. v T = [P T F T ]}, deve permanecer dentro deste poledro caso o mesmo represente uma solução válda para o problema de otmzação defndo em (12). Uma solução desse problema pode ser obtda através de uma rede de Hopfeld modfcada, da qual a técnca do subespaço-váldo garanta que a condção (13) seja satsfeta. Além dsso, o hpercubo ncal representado pelas restrções em (14) é mapeado dretamente pela função rampa-smétrca (10) usada como uma função de atvação da rede. Os termos T conf e conf são calculados pela transformação das desgualdades em (13) em gualdades. Introduzndo uma varável de folga w n para cada restrção de desgualdade, tem-se: q g ( v ) j. w j 0 ( 15) j1 onde w j são as varáves de folga, as quas são tratadas como varáves v, e j é defndo pela função mpulso de Kronecker: 1, se = j j 0, se j (16) Após esta transformação, o problema defndo em (12), (13) e (14) pode ser rescrto como: (17) Mnmzar E ot (v) = C T (18) sujeto a E conf (v): (A + ) T. v + = b + z mn v + z max, {1..n} (19) 0 v + z max, {n+1..n + } (20) onde N + = n + m, e v +T = [v T w T ] N+ é um vetor de varáves estenddas. Nota-se que E ot não depende da varável de folga w. Se as lnhas de A + são lnearmente ndependentes, então a solução para (18) será dada por: v + = A +.( A +T.A + ) -1.b + (21) e a expressão do subespaço-váldo em (9) deve levar em consderação esta solução,.e.: conf = A +.( A +T.A + ) -1.b + (22) A partr de (9) e (22), o parâmetro T conf é deduzdo como segue: Sujeto a: E conf (v): A T.v b (13) v + = T conf.v + + conf z mn v z max (14) (24) v + = T conf.v + + A +.( A +T.A + ) -1.b + (23) Revsta Controle & Automação/Vol.15 no.4/outubro, Novembro e Dezembro

6 Inserndo o valor de (18) em (24), a expressão para T conf é dada por: T conf = I A +.(A +T.A + ) -1. A +T (25) onde I é a matrz dentdade. Os parâmetros T ot e ot neste caso são tas que o vetor v + é atualzado na dreção oposta ao gradente da função de energa E ot. Uma vez que as condções dadas por (18), (19) e (20) defnem um poledro convexo fechado, então a função objetvo (17) possu um únco mínmo global ( T op =0 ). Assm, usando (7) e (11), os pontos de equlíbro da rede podem ser calculados assumndo-se os seguntes valores para T ot e ot : ot f ( v) f ( v) f ( v) (26) v1 v2 vn T ot = 0 (27) Os resultados de smulação, descrevendo o desempenho da abordagem proposta, são apresentados na próxma seção. Tabela 1. Parâmetros ncas do problema. Gerador a b c mn P max P ,92 0, ,85 0, ,97 0, De posse desses dados, nca-se o estudo do problema através da RHM Caso 1 Neste prmero caso, o DEC é calculado pela RHM sem qualquer restrção externa ao problema. O despacho computado pela rede é lustrado na Fgura 3. Como se pode notar na fgura acma, a rede precsou de aproxmadamente 15 terações para encontrar a solução do problema. Desta forma, problemas relaconados à velocdade de convergênca são normalmente contornados pela abordagem proposta. 5 RESULTADOS DE SIMULAÇÃO Caso 1 Esta seção apresenta dversas smulações desenvolvdas com a rede de Hopfeld modfcada. A fm de tornar as smulações mas claras, o estudo se dará da segunte forma. Em um prmero momento, na Parte I, algumas confgurações de DEC são smuladas e comentadas. Restrções no sstema de potênca são mpostas com o objetvo de comparar e analsar as respostas obtdas pela rede. Uma função de custo não-lnear é ncorporada ao problema, provando que funções deste tpo não mplcam em uma degradação da abordagem. Em um segundo momento, na Parte II, estudos consderando o sstema de transmssão são dscorrdos. Algumas smulações representando certas confgurações do sstema são desenvolvdas no sentdo de valdar a proposta e explorar suas habldades. Potênca de saída 5.1 Parte I Fgura 3. Solução da RHM para o Caso 1. P 1 P 2 P 3 Estudos envolvendo o problema de despacho econômco clássco são apresentados nesta seção. Para sto, o sstema teste IEEE de três barras é utlzado. Neste sstema, uma demanda de 850 MW deve ser suprda. Os parâmetros deste sstema são apresentados na Tabela 1. Os valores fnas obtdos pela rede desenvolvda são então comparados com outras abordagens propostas na lteratura, conforme mostra os resultados apresentados na Tabela 2. Nesta tabela, a rede de Hopfeld modfcada fo comparada com os valores calculados pela rede de Hopfeld lnear proposta em Su e Chou (1997a), e também com a rede de Hopfeld convenconal (Hopfeld, 1984) e com o método numérco ctado em Chen et al. (1998), o qual fornece a solução ótma para o problema. 428 Revsta Controle & Automação/Vol.15 no. 4/Outubro, Novembro e Dezembro 2004

7 Tabela 2. Resultados comparatvos (Caso 1). Método P 1 P 2 P 3 Hopfeld Modfcada 393, , ,2264 Hopfeld Lnear 392, , ,1394 Hopfeld Convenconal 393, , ,3000 Numérco 393, , ,2000 A partr da Tabela 2, observa-se que a RHM fornece resultados smlares às outras abordagens apresentadas na lteratura, confrmando assm a precsão dos pontos de equlíbro computados pela mesma. Em relação ao método numérco, ressalta-se que o mesmo é baseado em abordagens convenconas de programação matemátca. Com o objetvo de realzar uma comparação mas sstemátca, os resultados das redes neuras apresentadas na Tabela 2 foram comparados com os resultados obtdos pelo método numérco utlzado em Wood e Wollenberg (1984). Neste método, a obtenção da solução do problema de despacho é executada através do cálculo contínuo de custos de geração ncrementas. Uma das vantagens da abordagem neural proposta em relação a este método numérco é que a mesma não necessta do cálculo desses custos ncrementas, pos o processo de obtenção da solução é realzado através da mnmzação dreta do termo E ot, o qual representa a função custo do problema. Esta observação fo também relatada nas nvestgações efetuadas por Park et al. (1993). Entretanto, o tempo requerdo para a obtenção da solução pelo método numérco fo cerca de um terço do tempo requerdo requerdo pela RHM. Devdo à própra estrutura de processamento em paralelo das redes neuras, este fato podera ser amenzado se a rede tvesse sdo executada em máqunas com processadores em paralelo. No caso específco da rede de Hopfeld modfcada, ressalta-se que a mesma possu algumas partculardades em relação aos métodos de otmzação convenconas, tas como: ) a não necessdade do cálculo do conjunto atvo de restrções em cada teração; ) o vetor de ncalzação da rede (solução ncal) não precsa pertencer ao conjunto factível defndo pelas restrções; ) não necessdade de obtenção, em cada teração, de uma dreção admssível de busca; e v) mecansmo de busca ndepende da utlzação de multplcadores de Lagrange. Tabela 3. Parâmetros ncas do sstema de 13 barras. Gerador a b c mn P max P ,74 0, ,60 0, ,60 0, ,60 0, ,60 0, ,10 0, ,10 0, ,10 0, Os resultados computados pela rede de Hopfeld modfcada encontram-se dspostos na Tabela 4. Nesta tabela, são também apresentados, por motvo de comparação, os resultados obtdos em Wong e Doan (1992), no qual se utlza uma rede de Hopfeld lnear. Os resultados, como pode ser observado, são pratcamente os mesmos, o que apenas retera a precsão da abordagem proposta neste trabalho. Tabela 4. Resultados para o sstema de 13 barras (Caso 2). Gerador Hopfled Modfcada Hopfeld Lnear P 1 - P 6 148, ,3300 P 7 40, ,0000 P 8 75, ,0000 P 9 60, ,0000 P 10 55, ,0000 P , ,0000 P , ,0000 P , ,0000 Na Fgura 4, a evolução da RHM para o caso 2 é grafcamente lustrada. Analsando a Fgura 4, verfca-se que a rede precsou de aproxmadamente 10 terações para encontrar as soluções para o problema. Tal fato reforça as afrmações fetas até então com relação à ferramenta apresentada. Além de robusta ao tratamento do despacho econômco clássco e da garanta de encontrar soluções factíves, a rede é bastante veloz para este tpo de aplcação Caso 2 No caso 2, um novo sstema é nserdo na rede. Neste sstema, 13 geradores devem almentar uma demanda de 2520 MW. Na Tabela 3 são fornecdos os dados deste sstema. Revsta Controle & Automação/Vol.15 no.4/outubro, Novembro e Dezembro

8 Caso 2 A partr da Fgura 5, nota-se que na medda que t aumenta, a velocdade da rede também aumenta e vceversa. Isto nos leva a pensar em se utlzar valores altos para esta constante a fm de acelerar todo o processo. Entretanto, para certos valores de passo de convergênca, a rede torna-se nstável e ncapaz de encontrar seus pontos de equlíbro. Para as smulações realzadas com o sstema em questão, este problema ocorre com valores de t em torno de Potênca de saída Caso 4 Neste caso, a demanda total do sstema, que no Caso 1 era de 850 MW, é alterada para 400 MW. Todos os demas parâmetros nesta nova smulação permanecem nalterados. O despacho calculado pela RHM é apresentado na Fgura 6(a) Caso 3 Fgura 4. Solução da RHM para o Caso 2. A fm de promover um estudo de sensbldade da rede, apresentam-se nesta seção, algumas smulações quando o passo de convergênca da rede é varado. Este parâmetro, defndo como t na equação (11), é a únca varável que deve ser fornecda à rede antes de se ncar o processo. A especfcação deste parâmetro consste em seleconar uma fração do termo de otmzação para atualzar o valor de v a cada teração no loop externo da RHM (Fgura 2). Nos casos 1 e 2, este valor fo fxado em 100. Alterando-se seu valor para 200, 50 e 1, respectvamente, a resposta da rede medante a estas alterações pode ser verfcada através da Fgura 5. Caso 3 t = 200 Caso 3 t = 1 Caso 3 t = 50 (a) (b) Fgura 6. Solução da RHM para o Caso 4. Caso 4 Pela análse desta fgura, nota-se que o sstema necesstou de mas terações para encontrar a solução fnal se comparado com o Caso 1. Uma vez que a proposta apresentada neste caso é bastante pertnente e representa o maor nteresse deste estudo de caso (adaptabldade da ferramenta a novas confgurações), torna-se convenente buscar um novo valor para t no ntuto de acelerar o processo. Desta forma, o valor deste parâmetro é alterado para 600 (antes seu valor era 100). O resultado é lustrado na Fgura 6(b). Como era de se esperar, a rede encontrou a solução em um número menor de terações (em torno de 10). Vale destacar que em ambas as smulações, o custo fnal permaneceu nalterado. Fgura 5. Solução da RHM para o Caso Revsta Controle & Automação/Vol.15 no. 4/Outubro, Novembro e Dezembro 2004

9 5.1.5 Caso 5 Neste últmo caso da Parte I, a qual aplca a RHM na solução do despacho econômco clássco, adcona-se à função de custo um termo não-lnear. Esta mudança na função objetvo é obtda pela nclusão de mas um termo na equação (1). Este novo termo é uma função seno e tem a fnaldade de demonstrar o comportamento da RHM quando funções de custo não-lneares se fazem necessáras. A equação para cada undade geradora torna-se então: P a b. P c. P 2 d.sene P C,. (28) Esta equação é a mesma adotada em Sepulveda e Herrera (2000). O objetvo da exploração deste caso é mostrar que a RHM pode tratar efcentemente funções custos nãolneares. Nessa equação, a nfluênca da função seno nserda na função custo pode ser controlada através dos coefcentes d e e. Uma lustração da superfíce gerada por esta nova função custo é mostrada na Fgura 7. O sstema utlzado neste caso é mas uma vez o sstema teste IEEE de 3 barras. Os valores dos coefcentes d e e são fxados em 50 e 1, respectvamente, em um caso onde a nfluênca da não-lneardade é bastante ntensfcada pelo coefcente d. A solução encontrada pela rede de Hopfeld modfcada para este problema é apresentada na Tabela 5. Tabela 5. Soluções para o problema não-lnear (Caso 5). Gerador Potênca de saída P 1 400,6191 P 2 325,2220 P 3 124,1589 A evolução da função custo em relação ao número de terações é lustrada na Fgura 8. Através desta fgura, podese evdencar algumas outras partculardades da RHM em relação às demas abordagens. Fgura 8. Solução da RHM para o Caso 5. Gerador 3 Gerador 2 Fgura 7. Função de custo não-lnear (Caso 5). Como pode ser observada na fgura acma, a curva referente à equação (28) apresenta pontos de mínmos locas. Neste caso, um processo de escape de mínmos locas se faz necessáro. Para o escopo deste estudo de caso específco, a estratéga de obtenção da solução consstu em ncalzar a rede em dferentes pontos do espaço de busca, escolhendo portanto no fnal dos processos de convergênca, o ponto de equlíbro que reflete o menor valor da função custo. Entretanto, estratégas mas efcentes de escape de mínmos locas, tas como busca tabu ou algortmos genétcos, devem ser ncorporadas na estrutura da rede vsando um escape efcente dos mínmos locas. No que dz respeto ao número de terações, a rede precsou de apenas 8 terações, o que sem dúvda é bastante rápdo. Mas a prncpal vantagem que se observa é que a rede não sofreu qualquer degradação em relação ao tratamento de problema com funções custo puramente quadrátcas (Caso 1). Se comparada aos resultados obtdos em Sepulveda e Herrera (2000), no qual se utlza árvores de decsão para a solução do DEC, a RHM fo mas veloz para convergr e anda obteve resultados mas econômcos. Embora uma comparação mas sstemátca com o método proposto em Sepulveda e Herrera (2000) não seja possível, pos o mesmo não utlza uma abordagem neural na solução do problema, observa-se entretanto que a resposta fnal da ferramenta utlzada é $8.053,75, enquanto que o valor obtdo pela abordagem neural proposta neste artgo é de $8.044,64. Portanto, verfca-se a grande aplcabldade da rede de Hopfeld modfcada em problemas de despacho Revsta Controle & Automação/Vol.15 no.4/outubro, Novembro e Dezembro

10 econômco clássco mesmo quando a função de custo é do tpo não-lnear. 5.2 Parte II Esta seção mostra alguns resultados de smulação envolvendo o sstema teste IEEE de 118 barras. No sstema utlzado nesta confguração, uma demanda de 4242 MW deve ser atendda. Para as smulações, fxa-se os mesmos coefcentes para todas as undades geradoras, o que mplca que todos os geradores possuem o mesmo custo. Uma vez que nos preocupamos com a representação do sstema de transmssão, os despachos encontrados não serão dêntcos uns aos outros, como acontece em um problema de DEC em que todos os geradores são guas. Além dsso, todas as undades geradoras possuem capacdade máxma fxa em 300 MW. De posse destas nformações, alguns casos são propostos a fm de analsar o comportamento da abordagem proposta com relação à algumas característcas de modelagem específcas (restrções, função objetvo, etc) Caso 6 Uma vez que todos os dados sobre o sstema de 118 barras sejam fornecdos à rede, a mesma está pronta para calcular o melhor despacho de potênca consderando a representação do sstema de transmssão. Após a convergênca da rede, a solução encontrada para esse caso é lustrada na Fgura 9. Potênca de saída (pu) Caso 6 Fgura 9. Solução da RHM para o Caso 6. Para esta smulação, a rede encontrou uma solução ótma em torno de 40 terações. Este número é aproxmadamente quatro vezes maor que a méda do número de terações necessáras nos casos anterores (Parte I). Entretanto, o tamanho do sstema aumentou quase 40 vezes. Além dsso, nenhuma das abordagens neuras encontradas na lteratura é capaz de ldar com sstemas deste porte de forma efcente e precsa, o que aponta a rede de Hopfeld modfcada como a arqutetura neural mas aplcável aos estudos de despacho econômco com a representação do sstema de transmssão. Tabela 6. Soluções para o Caso 6. Gerador Potênca de saída P 1 121,31 P 8 112,12 P ,14 P 92 64,26 P ,52 A Tabela 6 apresenta o valor fnal de potênca de saída para algumas barras escolhdas aleatoramente. Esta tabela auxlará na comparação de resultados com os outros casos estudados nesta seção Caso 7 No sentdo de demonstrar que a rede proposta é capaz de tratar dversas restrções que são mpostas ao sstema, smula-se nesta subseção um caso de contngênca de geração. Desta forma, os lmtes de geração das undades 1, 10 e 116 foram aleatoramente escolhdos e fxados em 20 MW. Este procedmento obrga a rede (a cada teração) fxar o valor de saída destes geradores na potênca escolhda e reorganzar o sstema de modo a suprr essa defcênca. O despacho calculado pela rede de Hopfeld modfcada é mostrado na Fgura 10, enquanto a Tabela 7 expõe os novos valores de saída dos geradores, os quas foram escolhdos para a comparação. Tabela 7. Soluções para o Caso 7. Gerador Potênca de saída P 1 20,00 P 8 117,72 P ,75 P 92 69,87 P ,00 Através da Tabela 7, nota-se que os valores de saída para os geradores prevamente seleconados foram fxados no valor predetermnado, demonstrando que a rede é capaz de satsfazer a restrção, e anda, encontrar um despacho econômco para o sstema. Analsando a Fgura 10, nota-se mas uma vez a efcênca e robustez da ferramenta proposta na resolução de problemas de fluxo de potênca. A rede de Hopfeld modfcada convergu para o ponto de equlíbro, o qual representa a 432 Revsta Controle & Automação/Vol.15 no. 4/Outubro, Novembro e Dezembro 2004

11 solução fnal deste problema de despacho, em aproxmadamente 35 terações. Potênca de saída (pu) Fgura 10. Solução da RHM para o Caso Caso 8 Caso 7 No caso 8, analsa-se o comportamento da rede de Hopfeld quando lmtes no fluxo de potênca atva no sstema de transmssão devam ser forçados. Neste caso, os lmtes em duas lnhas do sstema (conectando as barras 9-10 e 65-68), seleconadas aleatoramente, são fxados em zero, smulando então uma contngênca nessas lnhas. Esta stuação é bastante pertnente pos smula uma confguração que acontece na prátca. O novo despacho calculado pela rede é completamente rearranjado de modo a suprr a demanda do sstema. Para fns comparatvos, a Tabela 8 apresenta os valores de saída para os geradores escolhdos. Pela análse desta tabela, nota-se que o despacho fo completamente re-arranjado de modo a atender às severas restrções mpostas ao sstema. Tabela 8. Soluções para o Caso 8. Gerador Potênca de saída P 1 119,97 P 8 110,76 P ,44 P 92 66,36 P ,84 A Fgura 11 mostra o resultado da smulação para esta stuação. Nesta fgura observa-se que o número de terações, além de não ter sdo alterado sgnfcatvamente em relação aos casos anterores, é pequeno se comparado a outras abordagens neuras, as quas apresentam mlhares de terações para atngr os pontos de equlíbro. Estes fatores demonstram a grande habldade desta abordagem na solução também de sstemas de grande porte. Um fator mportante a ser destacado neste momento dz respeto ao problema geralmente assocado com outras abordagens neuras encontradas na lteratura (Su e Chou, 1997a; Hopfeld, 1984; Walsh e O Malley, 1997; Yalcnoz et al., 2001), quando se busca mpor nas mesmas restrções como a realzada neste estudo. Na grande maora dos casos, este procedmento mplca em um aumento consderável no número de terações, mpossbltando em certos casos o seu cálculo. Este fato demonstra a efcênca e a robustez obtda com esta abordagem quando do tratamento de problemas de fluxo de potênca ótmo DC. Potênca de saída (pu) Fgura 11. Solução da RHM para o Caso Caso 9 Caso 8 Neste caso, um estudo da nfluênca dos parâmetros de custo é executado. Para tanto, o parâmetro b da função de custo do gerador 1 é multplcado por 5, de modo a fazer este gerador mas caro. Assm sendo, é possível verfcar como a estrutura de custo de geração afeta o despacho calculado pela abordagem de Hopfeld modfcada. Levando-se em consderação que a rede calcula a geração de custo mas baxa possível, e que o custo de geração da undade 1 fo aleatoramente escolhdo a ser elevado, é plausível se esperar que o nível de geração deste gerador Revsta Controle & Automação/Vol.15 no.4/outubro, Novembro e Dezembro

12 seja drastcamente reduzdo se comparado ao nível obtdo para o Caso 6. Para que essa afrmação seja confrmada, a Tabela 9 fornece os valores de saída dos geradores seleconados, enquanto que a Fgura 12 apresenta a evolução da rede neural para este caso. Potênca de saída (pu) Fgura 12. Solução da RHM para o Caso 9. Através da Fgura 12 observa-se que a função de custo, antes de sua establzação, passa por um ponto de mínmo. No entanto, as restrções estruturas nesse ponto não são totalmente factíves, o que força então a rede encontrar outra confguração que satsfaça todas as restrções mpostas ao problema. Tabela 9. Soluções para o Caso 9. Gerador Potênca de saída P 1 18,43 P 8 30,24 P ,68 P 92 90,27 P ,81 Analsando a Tabela 9 e comparando os valores para o gerador 1 nos casos 9 e 6, torna-se evdente que o fator custo deste gerador em questão fo preponderantemente consderado. Além dsso, nota-se que os geradores próxmos a P 1 também tveram fortes reduções. Esta afrmação dexa clara a nterdependênca da rede de transmssão nterlgando estes geradores Caso 10 Caso 9 Para fnalzar o estudo, apresenta-se neste últmo caso alguns resultados obtdos em smulações com o sstema braslero reduzdo de transmssão. Neste sstema, composto de 810 barras, uma demanda de ,6 MW deve ser suprda por 114 geradores. A RHM é então utlzada para estmar um despacho para esse sstema consderando as restrções ncluídas nesta modelagem. O resultado encontrado pela rede de Hopfeld modfcada é lustrado na Fgura 13. Para este caso, o valor fnal de geração é de 36166,409 MW. Estes dados nos permtem afrmar que a rede fo capaz de respetar fortemente as restrções físcas mpostas ao sstema. Caso 10 Fgura 13. Solução da RHM para o Caso 10. Além dos resultados novadores obtdos neste caso, uma vez que não exstem resultados precedentes que utlzam redes neuras em sstemas de grande porte como este, problemas relaconados à velocdade de convergênca foram dentfcados neste últmo caso. Além do número de terações ser elevado, o tempo de processamento necessáro para cada teração também esteve bastante alto. Isto deve-se ao fato de não estarmos utlzando computadores com processamento paralelo, vsto que as redes neuras são ntrnsecamente consttuídas por elementos processadores que operam em paralelo. Apesar desses aspectos, observase anda que a rede de Hopfeld modfcada obteve resultados efcentes e promssores mesmo quando mplementadas em computadores seqüencas, como fo o caso dos exemplos apresentados nesse artgo. Em relação anda ao Caso 10, o número de terações para alcançar a solução fnal fcou em torno de 3120 terações, sendo que cada teração levou em méda cerca de 0,3 segundos quando executado em computador Pentum IV de 2 GHz. Ressalta-se que neste exemplo a rede fo mplementada de forma dreta. A ncorporação de técncas que tratam a esparsdade de matrzes na rede podem dmnur sgnfcatvamente este tempo. Em resumo, os resultados obtdos nos 10 casos estudados ndcam que a rede de Hopfeld modfcada é uma 434 Revsta Controle & Automação/Vol.15 no. 4/Outubro, Novembro e Dezembro 2004

13 ferramenta efcente na obtenção de soluções para problemas de fluxo de potênca ótmo DC. Na rede proposta, o termo de otmzação e os termos de restrção são tratados em dferentes estágos. Os termos T conf e conf (pertencentes a E conf ) da rede de Hopfeld modfcada foram desenvolvdos para forçar a valdação das restrções estruturas assocadas com o problema abordado, e os termos T ot e ot (pertencentes a E ot ) foram projetados para encontrar a solução ótma assocada à função custo. Desta forma, as prncpas vantagens de se usar uma rede de Hopfeld modfcada na resolução de problemas de fluxo de potênca ótmo DC são os seguntes: ) tratamento dos termos de otmzação e restrção em dferentes estágos e sem qualquer nterferênca entre eles; ) uso de um únco termo de energa (E conf ) no agrupamento de todas as restrções mpostas ao problema; e ) não necessdade de se especfcar constantes de ponderação. Nenhuma alteração na estrutura de ncalzação dos parâmetros da rede fo necessára durante as smulações efetuadas nos casos apresentados. O vetor de saída da rede v fo sempre ncalzado com valores aleatóros pequenos. Deve-se notar, anda, que o aumento no número de restrções não degrada a precsão das soluções encontradas pela, mas sm demonstra a sua robustez frente aos casos estudados. 6 CONCLUSÃO O método neural proposto neste trabalho pôde resolver de forma efcente problemas de fluxo de potênca ótmo DC. Como demonstrado na análse de casos feta através de estudos apresentados neste artgo, a rede de Hopfeld modfcada se mostrou globalmente estável e não necesstou de qualquer tratamento especal em sua ncalzação. Resultados de smulação confrmaram a valdade e a robustez da abordagem proposta. Além de promover uma nova abordagem para problemas de despacho econômco, o algortmo proposto apresenta as seguntes vantagens: ) grande precsão nos pontos de equlíbro que representam as soluções dos problemas de DE; ) nclusão dos termos de restrção em um únco termo de energa, o qual é representado por E conf (t); ) smplcdade de mplementação do problema em computadores dgtas e em hardware; e v) a não necessdade de ajuste de constantes de ponderação para os termos de otmzação e restrções. AGRADECIMENTOS Os autores agradecem à FAPESP e ao CNPq pelo auxílo fnancero conceddo. Agradecmentos especas também aos revsores pelas valosas sugestões. No que tange à mplementação em hardware, a rede de Hopfeld modfcada é passível de ser mplementada através da utlzação de hardware analógco ou dgtal. No que se refere à mplementação analógca, a mesma pode ser realzada utlzando a mesma sstemátca adotada nas mplementações orgnas fetas em Hopfeld e Tank (1985). Utlzando esta abordagem, os neurônos da rede são modelados por amplfcadores operaconas em conjunção com crcutos de realmentação consttuídos por componentes eletrôncos, onde os elementos da matrz de pesos da rede são fxados através da nclusão de resstores no crcuto. Torna-se váldo menconar que na mplementação em hardware da RHM, a matrz de pesos T conf dada em (25) é uma matrz com valores constantes, pos as restrções estruturas envolvdas ao problema são lneares. Desta forma, somente após o cálculo de T conf é que seus elementos serão nserdos no crcuto. Outras técncas de mplementação em hardware analógco, tas como aquelas propostas em Vazquez et al. (1990), Kennedy e Chua (1987), Chua e Ln (1984), podem também ser aplcadas para a RHM. Alternatvamente, outras tecnologas como o DSP (Dgtal Sgnal Processor) poderam também ser utlzadas para mplementar a rede de Hopfeld em hardware (Muller et al., REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Ayer, S. V. B., M. Nranjan and F. Fallsde (1990). A theoretcal nvestgaton nto the performance of the Hopfeld Model. IEEE Transactons on Neural Networks, 1, Bazaraa, M. S. and C. M. Shetty (1979). Nonlnear Programmng. John Wley & Sons, New York. Chen, Y. H. and S. C. Fang (1998). Solvng convex problems wth equalty constrants by neural networks. Computers Math. Applc., 36, pp Chaberge, M., E. Mranda and L. Reyner (1998). A hybrd dgtal neuro-fuzzy board for control of complex systems. Proc. of the 1998 IEEE Internatonal Conference on Systems, Man, and Cybernetcs, vol. 2, Chowdhury, B. H. and S. Rahman (1990). A revew of recent advances n economc dspatch. IEEE Trans. Power Systems, 5, Chua, L. O. and G. -N. Ln (1984). Nonlnear programmng wthout computaton. IEEE Transactons on Crcuts and Systems, CAS-31, ; Chaberge et al., 1998). Elgerd, O. I. (1970). Electrc Energy Systems Theory: an Introducton. McGraw-Hll, London. Revsta Controle & Automação/Vol.15 no.4/outubro, Novembro e Dezembro

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