UM ALGORITMO GENÉTICO HÍBRIDO PARA RESOLVER O PROBLEMA DO DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA ELÉTRICA

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1 A pesqusa Operaconal e os Recursos Renováves 4 a 7 de novembro de 2003, Natal-RN UM ALGORITMO GENÉTICO HÍBRIDO ARA RESOLVER O ROBLEMA DO DESACHO ECONÔMICO DE ENERGIA ELÉTRICA Márca Marcondes Altmar Samed Unversdade Norte do araná UNOAR Centro oltécnco Rua Tetê, 1208, CE: , Londrna araná fmsamed@uol.com.br Mauro Antono da Slva Sá Ravagnan, Rosemere Gomes, Fernando Garca Bento Unversdade Estadual de Marngá UEM Departamento de Engenhara Químca Edméa Cássa Baptsta Unesp Faculdade de Cêncas Departamento de Matemátca Resumo O Despacho Econômco é um problema de otmzação que necessta de poderosas ferramentas computaconas para resolvê-lo. Uma alternatva é empregar os Algortmos Genétcos devdo a sua facldade de adaptação a problemas não-lneares. Neste trabalho, fo precso readaptar um Algortmo Genétco e adotar um método de busca local, o Método do Gradente formulado através da Função enaldade, para refnar a qualdade da solução e melhorar o tratamento das restrções. Esta assocação gerou um Algortmo Genétco Híbrdo, que fo testado para um sstema contendo 6 undades geradoras. Os resultados mostram a efcênca e a aplcabldade deste Método. alavras chave: rogramação Não-Lnear, Despacho Econômco, Algortmo Genétco Híbrdo, Função enaldade, Método do Gradente. Abstract Economc Dspatch s an optmzaton problem that needs computatonal powerful tools to solve t. An alternatve s to use the Genetc Algorthms due to ts easness of adaptaton to nonlnear problems. In ths work, t was needed to readapt a Genetc Algorthm and to adopt a method of local search, the Method of the Gradent formulated through the enalty Functon, to refne the qualty of the soluton and to mprove the treatment of the restrctons. Ths assocaton resulted a Hybrd Genetc Algorthm that was tested for a system wth 6 generatng unts. The results show the effcency and the applcaton of ths Method. Keywords: Nonlnear rogrammng, Economc Dspatch, Hybrd Genetc Algorthm, enalty Functon, Gradent Method. 1.Introdução O objetvo do Despacho Econômco (DE) é determnar a alocação ótma das potêncas dos geradores de uma usna termoelétrca, de tal forma que a energa fornecda satsfaça a demanda a um custo mínmo. O DE está nserdo nos setores de planejamento, operação e controle de sstemas de energa elétrca, caracterzando-se como um problema de programação não-lnear [1,2]. Um grande número de métodos fo desenvolvdo usando a metodologa dos Multplcadores de Lagrange e, gualmente, váras técncas de programação foram empregadas na resolução deste problema. No entanto, a função objetvo fo mutas vezes representada por aproxmações. Recentemente, métodos heurístcos fundamentados em observações da natureza conseguram smular e se adaptar faclmente a problemas consderados de dfícl solução para os programadores, como: funções não convexas, funções não dferencáves, funções não lneares, funções não contínuas,

2 múltplos ótmos locas e múltplos objetvos. Dentre alguns métodos, podemos ctar o Smulated Annealng, o Colôna de Formgas e os Algortmos Genétcos (AG s). Os AG s são concetuados como métodos de busca nsprados nos mecansmos de seleção e evolução natural. Holland [3],desenvolveu um AG com o ntuto de modelar os sstemas de adaptação no processo evolutvo. O resultado de sua cração pode ser encarado como uma poderosa ferramenta computaconal capaz de ser utlzada na determnação do ponto ótmo de funções matemátcas. Um AG típco, quando utlzado em problemas de otmzação, tem como ponto de partda uma população de ndvíduos crados aleatoramente e não um ponto únco de partda como nos métodos determnístcos. Estes ndvíduos correspondem às soluções ncas. Uma outra característca de um AG é a utlzação de nformações apenas da função objetvo, também chamada função de adaptação ou ftness. Analogamente aos sstemas naturas, os ndvíduos dos AG s passam por alguns processos que vsam sua adaptação, caso contráro, não estarão aptos a permanecer nas gerações futuras. Estes processos são chamados de operadores e são representados pela reprodução, mutação e seleção. Um cclo básco de um AG [4] é representado na fgura 1: Reprodução opulação Incal Nova opulação Mutação Seleção Fgura 1: Cclo Básco de um AG. Tal como fo dealzado, um AG utlza números bnáros no seu desenvolvmento. or exemplo, sejam A e B os ndvíduos da população ncal, chamados pas, onde A=1110 e B=0101. Estes ndvíduos podem ser seleconados para reproduzr e gerar uma nova população, os chamados flhos. Neste operador, os ndvíduos trocam nformações entre s a partr de uma posção aleatóra, como mostra a fgura 2: as Flhos Fgura 2: Cruzamento Smples Os ndvíduos flhos podem passar pelo operador mutação, transformando-se em novos ndvíduos. A mutação pode ser aplcada pontualmente a cada ndvíduo e ter sua posção determnada aleatoramente. Em bnáro, a mutação consste em trocar 1 por 0 ou o contráro. Sejam F1=1101 e F2=0110, o flho1 e o flho 2, respectvamente. Consderando que a mutação é aplcada no quarto bt, os ndvíduos modfcados são representados na fgura 3: Flhos Indvíduos Modfcados Fgura 3: Mecansmo de Mutação Smples 2259

3 O operador seleção determna aqueles ndvíduos que estão mas adaptados ou que têm mas chances de sobrevver na próxma geração. Um método bastante utlzado por este operador é chamado Método da Roleta [5]. Bascamente, em problemas de mnmzação serão seleconados os ndvíduos que apresentarem menor valor na função de adaptação, e em problemas de maxmzação, aqueles que apresentarem maor valor na função adaptação. Se por um lado, város estudos ndcam a habldade dos AG s em trabalhar com problemas de otmzação, por outro lado, alguns estudos mostram que os AG s falham no que dz respeto à qualdade da solução e à dfculdade de tratar de problemas restrtos. Uma tentatva de melhorar o desempenho dos AG s é utlzar um método de busca local em um de seus operadores, com o objetvo de refnar a qualdade da solução e melhorar o tratamento das restrções. A este AG não puro, dá-se o nome de Algortmo Genétco Híbrdo (AGH). Neste artgo, um AGH que utlza a função penaldade e a dreção de busca do gradente no operador mutação é proposto para resolver o problema do DE. 2. A Formulação do Despacho Econômco A equação que representa o custo, f, para gerar uma potênca,, em cada undade de uma usna termoelétrca é dada em (1): 2 f ( ) = a + b + c onde a, b, c são os coefcentes da função custo. O custo total de combustível utlzado na geração de uma usna é como em (2): (1) f = N = 1 f ( ) (2) O objetvo do problema do DE é mnmzar o custo total de combustível, cuja formulação é: mn f sujeto a N mn = D + L max (3) (4) (5) onde: D : demanda total; L : perdas totas na transmssão; mn : potênca de saída mínma de cada undade ; max : potênca de saída máxma de cada undade ; : potênca real de saída de cada undade e n = número de undades a serem despachadas. As restrções dadas em (5) são chamadas genercamente de g (). A curva de entrada-saída [6] de cada undade é um gráfco que relacona a entrada de combustível em Btu por hora versus a potênca de saída em MW, tal como na fgura 4: Btu/h MW Fgura 4: Curva de entrada-saída para uma undade. 2260

4 A ordenada da curva é convertda em undade monetára, por exemplo dólar ($) ou real (R$), multplcando-se a entrada de combustível pelo custo do combustível em dólares por mlhão de Btu. No entanto, a curva representada na fgura 4, a qual será consderada neste artgo, despreza o efeto do onto de Válvula [7]. 3. O Algortmo Genétco Híbrdo Esta abordagem utlza concetos do AG tradconal, como a cração de uma população de ndvíduos aleatóros e os operadores báscos. orém, dfere do mesmo em alguns pontos: os ndvíduos são codfcados em números reas e não mas em números bnáros, os operadores mutação e reprodução dexam de possur caráter puramente aleatóro e passam a segur regras determnístcas. O únco crtéro a ser satsfeto é que tanto a função objetvo quanto as restrções devem ser derváves. A população ncal é crada aleatoramente, levando-se em consderação os lmtes nferores e superores das varáves. Estes ndvíduos passam pelo operador mutação, onde são modfcados. Esta modfcação se dá no sentdo de guar os ndvíduos na dreção do gradente da função adaptação e/ou da função penaldade. Os ndvíduos que sofrem a mutação são depos combnados artmetcamente com os ndvíduos da população ncal através da reprodução para formar os seus descendentes. Os ndvíduos resultantes desta operação, bem como aqueles da população ncal são testados na função objetvo e os melhores ndvíduos são seleconados para formar a próxma geração. O número de ndvíduos da população ncal é mantdo e o processo se repete até que uma tolerânca seja satsfeta ou que um número máxmo de gerações (terações) seja alcançado Consderações Incas do roblema As perdas a transmssão são desprezadas, logo a restrção (4) é reescrta da segunte forma: N = D = ou anda: = ( ) D D (6) (7) A equação (7) é substtuída tanto na função adaptação quanto na restrção de 6 dada em (5). Com sso elmna-se a restrção de gualdade, mas ao mesmo tempo, assegura-se que a mesma é satsfeta Geração da opulação Incal Os ndvíduos da população ncal são as potêncas atvas, s, representadas por números reas, ou seja, n = ( n 1, n n 2, 3,... n n ). Os lmtes, nferor e superor de cada potênca são consderados e assocados a um número randômco. Deste modo, ndvíduos são crados aleatoramente num ntervalo determnado, chamado domíno factível. A população ncal é calculada como: n = ( mn max )(1 RAN) (8) onde RAN é um número randômco. 2261

5 3.3. Cálculo da Dreção do Gradente Os ndvíduos da população ncal são avalados nas restrções do problema, e verfca-se se estes satsfazem a condção g ( n ) 0. Satsfazer esta condção, sgnfca que o valor da restrção pertence ao domíno factível. Aqueles que satsfazem, são movdos conforme a dreção do gradente da função adaptação : d( n ) = f ( n ) (9) onde d( n ) é a dreção do gradente. No entanto, se g ( n ) > 0, o valor da restrção não pertence ao domíno factível e o gradente é calculado através da Função enaldade: d( n n ) = f ( ) δ g m = 1 ( ) (10) onde δ representa um fator de penaldade Mutação A mutação é o prncpal operador deste AGH. Este operador dá orgem a ndvíduos modfcados, mod, tal que: mod = n + β d( n ) (11) onde β representa o tamanho do passo na dreção do gradente Reprodução A reprodução ocorre logo após a mutação, justamente porque os ndvíduos encontram-se no domíno factível. Uma combnação artmétca é feta entre os ndvíduos da população ncal e aqueles provenentes da mutação gerando os ndvíduos da nova população, tal como segue: novo = α n + (1 α) mod (12) onde α é seleconado randomcamente no ntervalo (0,1) Seleção rmeramente, são seleconados os ndvíduos que satsfazem g ( novo ) 0. Estes, são avalados na função adaptação juntamente com os ndvíduos da população ncal. Dentre estes, aqueles que apresentam melhor valor durante a avalação são seleconados, respetando-se o número de ndvíduos orgnal da população. Os ndvíduos assm seleconados pertencem à população ncal da próxma geração Crtéro de arada Os procedmentos se repetem até que uma tolerânca seja satsfeta ou até que o número máxmo de gerações seja alcançado. 2262

6 4. Resultado da Implementação do Algortmo Um sstema contendo 6 undades geradoras fo utlzado para valdar este AGH, cujos dados das potêncas em cada gerador e respectvos coefcentes são dados na tabela 1. Tabela1: Dados do Sstema de Geração Gerador mín máx a b c , , , , , , , , , , , , Durante os testes, manteve-se os valores das entradas do programa nalteradas. Estas entradas apresentam-se na tabela 2. Tabela 2: Entradas do rograma Número de Indvíduos NI Número Máxmo de Gerações NG Número Máxmo de Iterações na Mutação IM Demanda D MW Optou-se pelo número máxmo de gerações como crtéro de parada. A tabela 3 apresenta os resultados das potêncas obtdas pelo melhor ndvíduo da últma geração. Tabela 3: Resultados das Varáves Resultados 1 (MW) 2 (MW) 3 (MW) 4 (MW) 5 (MW) 6 (MW) Σ (MW) Gradente 488, , , , , , ,0000 AGH 516, , , , , , ,

7 Analsando-se a tabela 3, observa-se que os valores das potêncas obtdos pelos dos métodos estão dentro dos lmtes especfcados, e a somatóra deles é gual à demanda. orém, na prátca, os valores do AGH são mas flexíves pos não exgem que os geradores trabalhem nos seus lmtes operaconas. Os valores da função custo obtdo pelo AGH e pelo Gradente estão na tabela 4: Tabela 4: Valor da Função Custo Resultados Valor da Função Custo ($) Gradente ,02 AGH ,51 Com os valores da função custo, da prmera até a últma geração, plotou-se o gráfco que demonstra a varação do custo versus número de gerações, lustrado na fgura 5. Função custo Nº de gerações Fgura 5: Convergênca do AGH Nas dez prmera gerações a função custo decresceu mutíssmo rápdo. Na prmera geração seu valor fo $34.716,03 e na décma, $14.907,47. Após a décma geração, a função custo varou lentamente, porém, manteve-se decrescendo a cada geração. 5. Conclusões Este trabalho propôs uma ferramenta para que os planejadores e operadores dos sstemas elétrcos de potênca tenham parâmetros para tomar decsões: nas negocações de compra e venda de energa; durante períodos de varação da demanda; nos períodos de entrada e saída de pco ; quando for necessáro suprr uma falta ou atender stuações de contngênca. ara alcançar o objetvo fnal, fo necessáro estudar os métodos heurístcos e determnístcos utlzados durante o desenvolvmento, elmnar suas característcas ndesejáves e seleconar as característcas mas adequadas para tratar o problema. Um dos problemas mas freqüentes encontrados durante a mplementação do AGH fo manter os ndvíduos no domíno factível em todas as operações. No entanto, o emprego da dreção do gradente no operador mutação conseguu tanto dreconar os ndvíduos que já se encontravam no domíno factível em dreção ao ótmo, quanto trazer para o domíno factível os ndvíduos que se encontravam fora. 2264

8 O fato de acrescentar um método de busca no operador mutação não alterou o tempo computaconal, que fo de apenas alguns segundos. Contnuou-se o processo até a últma geração smplesmente para comprovar a convergênca do algortmo proposto. O AGH fo mplementado em lnguagem Fortran, Vsual Fortran 5.0, utlzando um computador entum III - 900MHz. 6 Agradecmento À FUNDUNES e FAES pelo apoo fnancero parcal conceddo à Edméa Cássa Baptsta. Referêncas [1] Wsmer DA. Chattergy, R. Introducton to Nonlnear Optmzaton. Elsever North-Holland, Inc., [2] Bazaraa, MS. Shetty, LM. Nonlnear rogrammng: Theory and Algorthms, John Wley & Sons, New York, [3] Holland, JH. Adaptaton n Natural and Artfcal Systems. The Unversty of Mchgan ress, [4] Cortes, MBS. Algortmos Genétcos em roblemas de rogramação Não Lnear Contínua. Tese Doutorado. Unversdade Federal de Santa Catarna. Centro Tecnológco, [5] Mchalewcz, Z. Genetc Algorthms + Datas Structures = Evoluton rograms. Sprng- Verlog,1994. [6] Mller, RH. Operação de Sstemas de otênca. McGraw-Hll, São aulo, [7] Km, JO. Shn, DJ. ark, JN. Sngh, C. Atavstc Genetc Algorthm for Economc Dspatch wth Valve ont Effect. Electrc ower Systems Research, pp ,