Marcelo Araújo da Silva

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1 Marcelo Araújo da Slva SOBRE A OTIMIZAÇÃO DE ESTRUTURAS SUBMETIDAS A CARREGAMENTO DINÂMICO Tese apresentada à Escola Poltécnca da Unversdade de São Paulo para obtenção do título de Doutor em Engenhara Cvl São Paulo 2000

2 Marcelo Araújo da Slva SOBRE A OTIMIZAÇÃO DE ESTRUTURAS SUBMETIDAS A CARREGAMENTO DINÂMICO Tese apresentada à Escola Poltécnca da Unversdade de São Paulo para obtenção do título de Doutor em Engenhara Cvl Área de Concentração: Engenhara de Estruturas. Orentador: Prof. Dr. Reyolando M. L. R. da Fonseca Brasl São Paulo 2000

3 À mnha avó Adelna

4 v AGRADECIMENTOS Este texto é baseado nos resultados de pesqusa do autor durante seu Programa de Doutorado no Departamento de Engenhara de Estruturas da Escola Poltécnca da Unversdade de São Paulo, sob orentação do Prof. Dr. Reyolando M. L. R. F. Brasl. Uma parte do trabalho fo realzado no Optmal Desgn Laboratory, anexo ao Department of Cvl and Envronmental Engneerng da The Unversty of Iowa, Estados Undos, como parte de Programa de Doutorado no País com Estágo no Exteror da CAPES ( sandwch ), sob supervsão do Prof. Dr. Jasbr S. Arora. Naquele estágo, uma grande colaboração a este trabalho também fo dada pelo Prof. Dr. Colby C. Swan, da mesma The Unversty of Iowa. A CAPES Fundação Coordenação de Aperfeçoamento de Pessoal de Nível Superor, também proveu suporte fnancero para os estudos realzados no Brasl. Todos esses apoos, supervsão e suporte são mensamente agradecdos. Gostara de agradecer também: - a Prof. Dra. Prscla Goldenberg, mnha orentadora durante o mestrado e no níco do doutorado, pelo apoo e nesgotável atenção; - o amgo Alex Alves Bandera, pela colaboração na programação em lnguagem C, e por ter gentlmente ceddo o programa de sua autora para a vsualzação gráfca de estruturas dscretzadas em elementos fntos; - a amga Elzabeth Alvarez pelo grande apoo na revsão ortográfca; - a mnha esposa Gslene e os meus flhos Yan e Pâmela por me nsprarem e me darem força nas batalhas do da à da; - os meus pas Onofre e Marelva, a rmã Tcana e o amgo Aurelano que me acompanharam durante cada passo desta jornada e muto me ncentvaram; - os professores e funconáros da EPUSP que colaboraram com este trabalho.

5 v RESUMO Estudam-se, nesta Tese, procedmentos e aplcações prátcas de técncas de otmzação no projeto de estruturas cvs submetdas a carregamento dnâmco. Ênfase especal é colocada em soluções ntegradas para sstemas estruturas compostos por fundações, pórtcos e placas, destnados ao suporte de máqunas vbratóras. Problemas de mnmzar o custo de estruturas e fundações são defndos como problemas de otmzação. As dmensões dos elementos estruturas, bem como as armadura utlzadas, no caso do concreto armado, são as varáves de projeto. Para se calcular a função custo, são consderados os custos de construção, nclundo os custos do concreto, do aço, da forma e do escoramento, quando aplcáves. São consderadas, entre outras, restrções devdas à ruptura dos materas e do solo, deslocamentos excessvos, bem como as relaconadas com a percepção pelo ser humano de níves de vbração nconfortáves. Um crtéro de ruína para barras de concreto armado submetdas à flexão oblqua composta é desenvolvdo, com o objetvo de mnmzar o tempo computaconal Um programa de computador fo mplementado, com base no Método dos Elementos Fntos e no algortmo do Lagrangano Aumentado, e utlzado para resolver dversos problemas prátcos de otmzação. Também a sensbldade das soluções é abordada.

6 v ABSTRACT In ths Thess, procedures and practcal applcatons of optmzaton technques to the project of Cvl Engneerng structures subjected to dynamc loadng are studed. Specal emphass s placed on ntegrated solutons for structural systems composed by beams, columns, plates and footngs desgned to support vbratng machnes. Problems of mnmzng structures and foundatons cost are defned as optmzaton problems. The dmensons of the structural parts and ther renforcements, when renforced concrete s used, are the desgn varables. In order to evaluate the cost functon, the cost of the concrete, the steel, the form and the proppng form, whenever proper, are consdered. Constrants are consdered, among others, due to materal and sol falure, excessve dsplacements, as well as those related to the percepton of uncomfortable vbraton levels by human bengs. A falure crteron for renforced concrete members subjected to asymmetrc bendng and axal loadng s presented n order to mnmze computer tme. A computer code was mplemented, based on the Fnte Element Method and the Augmented Lagrangan algorthm, and used to solve several practcal optmzaton problems. The senstvty of the solutons s also assessed.

7 v ÍNDICE Págna LISTA DE TABELAS x LISTA DE FIGURAS E GRÁFICOS x LISTA OF SÍMBOLOS xv 1 Introdução Motvação Objetvos e métodos Plano da Tese 4 2 Alguma lteratura sobre otmzação de estruturas sob carregamento dnâmco 6 3 Processos de otmzação Introdução Concetos báscos de programação matemátca Otmzação sem restrções Otmzação com restrções Varáves de projeto Varáves de estado Função objetvo Restrções de projeto Tpos de formulação para problemas de programação matemátca O método do Lagrangano aumentado Apresentação do problema de otmzação para varáves contínuas O Método do Lagrangano aumentado 24 4 Otmzação com restrções dnâmcas Introdução Análse de sensbldade para problemas com restrções dnâmcas Introdução O prncípo do Método das Varáves Adjuntas Análse de sensbldade do Lagrangano com o Método das

8 v Varáves Adjuntas O Método das Dferenças Fntas Comentáros sobre os métodos para a análse de sensbldade 40 5 Programas mplementados Introdução O programa computaconal 43 6 Otmzação de uma placa metálca Introdução Formulação do problema Dados numércos Resultados numércos Comentáros 53 7 Otmzação de uma placa em concreto armado Formulação do problema Dados numércos Resultados numércos Comentáros 62 8 Otmzação de uma sapata em concreto armado Introdução Formulação do problema de otmzação Dados numércos Análse da nfluênca do nível de conforto no projeto fnal Introdução Resultados obtdos Comentáros Influênca da análse de sensbldade no projeto fnal Introdução Resultados obtdos Comentáros 75

9 x 9 Um crtéro de ruína para elementos lneares em concreto armado submetdos a flexão oblqua composta Introdução Apresentação do problema Crtéros de ruína exstentes Introdução Os Métodos de Bresler Superfíces pramdas O Método da Carga de Contorno Generalzado Um crtéro de ruína e um procedmento vável para a sua mplementação A superfíce de ruína proposta Determnação dos coefcentes exponencas Comentáros sobre os crtéros de ruína apresentados Exemplos analsados Dados numércos Resultados para a otmzação sem restrções Resultados para a otmzação com restrções Comentáros Otmzação de fundação aportcada para máqunas desbalanceadas Introdução Formulação do problema de otmzação Dados numércos Resultados numércos Comentáros Algumas conclusões e sugestões para futuros trabalhos Algumas conclusões Algumas sugestões para futuros trabalhos 115 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 116

10 x LISTA DE TABELAS Tabela Projeto ótmo consderando todas as restrções dnâmcas 52 Tabela Projeto ótmo não consderando a restrção de deslocamento 53 Tabela Valores assumdos por P motor e p 0 59 Tabela Resultados obtdos para o Exemplo 1 59 Tabela Resultados obtdos para o Exemplo 2 60 Tabela Resultados obtdos para o Exemplo 3 61 Tabela Resultados obtdos para o Exemplo 4 61 Tabela Valores assumdos por z du, v u e a u 61 Tabela Resultados obtdos para o Exemplo 1 71 Tabela Resultados obtdos para o Exemplo 2 72 Tabela Resultados obtdos utlzando-se o método das varáves Adjuntas 74 Tabela Comparação dos vetores gradente obtdos com o método das varáves adjuntas e o método das dferenças fntas 75 Tabela Seções transversas analsadas 90 Tabela Resultados obtdos utlzando o método da reta de máxmo declve 90 Tabela Resultados obtdos utlzando o método dos gradentes conjugados 91 Tabela Resultados obtdos utlzando-se o método de Gauss-Newton 91 Tabela Resultados obtdos utlzando o método da reta de máxmo declve otmzação com restrções 94

11 x Tabela Resultados obtdos utlzando o método dos gradentes conjugados otmzação com restrções 95 Tabela Projeto ncal para a sapata 108 Tabela Projeto ncal para os elementos lneares 108 Tabela Projeto ótmo para a sapata aproxmação da superfíce de ruptura nunca é contra a segurança 109 Tabela Projeto ótmo para os elementos lneares aproxmação da superfíce de ruptura nunca é contra a segurança 109 Tabela Projeto ótmo para a sapata aproxmação da superfíce de ruptura dexando os erros se espalharem lvremente 110 Tabela Projeto ótmo para os elementos lneares aproxmação da superfíce de ruptura dexando os erros se espalharem lvremente 111

12 x LISTA DE FIGURAS E GRÁFICOS Fgura Tratamento das restrções dnâmcas 32 Fgura Processo clássco de otmzação estrutural 42 Fgura Processo alternatvo de otmzação estrutural 44 Fgura Placa a ser otmzada 48 Fgura Dscretzação adotada 48 Fgura Máxmo deslocamento obtdo para o projeto ótmo do prmero problema 52 Fgura Máxmo deslocamento obtdo para o projeto ótmo do segundo problema 53 Fgura Confguração de deslocamento máxmo na solução ótma no Exemplo 1 60 Fgura Confguração de deslocamento máxmo na solução ótma no Exemplo 4 61 Fgura Sapata a ser otmzada 64 Fgura Sapata dscretzada 65 Fgura Típca seção transversal de um elemento lnear em concreto Armado submetdo à flexão oblqua composta 79 Fgura Contornos de nteração para dferentes valores de α 1 = α 2 = α 82 Fgura Superfíce de ruptura obtda para o projeto 126 utlzando o Método dos gradentes conjugados 92 Gráfco M a * como a aproxmação de M a utlzando o método dos

13 x gradentes para dversos valores do ângulo ξ = a otmzação sem restrções 93 Gráfco M b * como a aproxmação de M b utlzando o método dos gradentes para dversos valores do ângulo ξ = a otmzação sem restrções 94 Gráfco M a * como a aproxmação de M a utlzando o método dos gradentes para dversos valores do ângulo ξ = a otmzação com restrções 96 Gráfco M b * como a aproxmação de M b utlzando o método dos gradentes para dversos valores do ângulo ξ = a otmzação com restrções 96 Fgura Fundação aportcada de máquna a ser otmzada e a respectva dscretzação adotada 100

14 xv LISTA DE SÍMBOLOS Letras romanas maúsculas: A A s A se, A sse Área do plano da placa Armadura longtudnal total para os elementos lneares Armadura longtudnal e transversal, respectvamente, do e-ésmo elemento lnear A ss A ss V Armadura transversal total para os elementos lneares Armadura transversal de combate à força cortante nos elementos lneares A ss T Armadura transversal de combate ao momento de torção nos elementos lneares A sx, A sy B B e, H e C C c C f C pf C s C D a E E 1, E 2 E Armadura de flexão da placa Largura de uma seção transversal de um elemento lnear Dmensões da seção transversal do e-ésmo elemento lnear Função objetvo (custo total) Custo total do concreto Custo total da forma Custo total do escoramento Custo total do aço Matrz de amortecmento Vetor das forças de controle atvas ou passvas Módulo de elastcdade longtudnal do concreto Funções erro de aproxmação global Funções erro de aproxmação local no -ésmo ponto sobre as

15 xv superfíces de ruptura E s F F D F I F S G G(N,M a,m b,α)-1 H Módulo de elastcdade longtudnal do aço Superfíce de ruptura genérca Vetor das forças de amortecmento Vetor das forças de nérca Vetor das forças nternas resstentes Módulo de elastcdade transversal do concreto Superfíce de ruptura proposta no presente trabalho Altura de uma seção transversal de um elemento lnear a H ( b, z, z&,& z, z, t) Integrando do funconal Lagrangano aumentado (parcela dnâmca) modfcado para a utlzação no método das varáves adjuntas I E, I I, I E, I I Conjunto de números nteros relaconados com os índces das restrções voladas no algortmo do Lagrangano K K b K T, K X, K Y K K e L L e LN M a, M b, M M a *, M b * Parâmetro do algortmo do método do Lagrangano aumentado Máxma volação de restrção Constantes elástcas da sapata Matrz de rgdez Matrz de rgdez do e-ésmo elemento Comprmento dos elementos lneares Comprmento do e-ésmo elemento lnear Lnha neutra Momentos fletores atuantes nos elementos lneares Aproxmações de M a e M b, respectvamente

16 xv M ba Valor máxmo possível para M a quando M b = 0 e N = N b ; M bb Valor máxmo possível para M b quando M a = 0 e N = N b ; M d M e Momento fletor de projeto resultante nos elementos lneares Momento fletor resultante no -ésmo ponto sobre a superfíce de ruptura empírca M nb Constante que depende das propredades da seção transversal M, M, M, M Momentos de plastfcação em lajes px px py py M x e, M y e M xy e M x, M y M xy M xr, M yr M u M ua, M ub Momentos de flexão no -ésmo nó do e-ésmo elemento de placa Momento de torção no -ésmo nó do e-ésmo elemento de placa Momentos de flexão no -ésmo nó da placa (sstema global) Momento de torção no -ésmo nó da placa (sstema global) Momentos resstentes da placa metálca Momento resstente nos elementos lneares (momento últmo) Momentos resstentes (últmos) nos elementos lneares nas dreções dos exos aa e bb M u Momento resstente resultante sobre um ponto da superfíce de ruptura real M uan, M ubn Momentos resstentes máxmos para uma dada força axal nas dreções dos exos aa e bb nos elementos lneares M N N aprox N b Matrz de massa Força axal atuando nos elementos lneares Força axal últma aproxmada pelo método da carga recíproca Força axal para a qual M u é máxmo

17 xv N br N c Dferença entre forças axas Méda dos valores máxmo e mínmo que podem ser assumdos pela força axal nos elementos lneares N d N r Força axal de projeto resultante nos elementos lneares Sem dferença (rao) entre os valores máxmo e mínmo que podem ser assumdo pela força axal nos elementos lneares N ua, N ub N uc, N ut Cargas axas últmas no método da carga recíproca Máxmos esforços de compressão e tração resstdo pelos elementos lneares N e P motor P Matrz das funções de forma para o e-ésmo elemento Peso do motor Vetor que contém todos os pontos calculados sobre a superfíce de ruptura real P (N,M ua,m ub ) -ésmo ponto calculado sobre a superfíce de ruptura real R s1, R s2, R c Resultante das tensões, respectvamente, na armadura superor, na armadura nferor e no concreto nos elementos lneares R S f S pf T V c V h Vetor das forças externas aplcadas Área da forma para o concreto armado Área do escoramento da forma Instante fnal Volume da estrutura Vznhança aberta em Β

18 xv Letras romanas mnúsculas: a u b c c(b,t) c c c f c p c pf c s c Máxma aceleração permtda Vetor das varáves de projeto Cobrmento mínmo da armadura dos elementos lneares Parcela estátca do funconal Lagrangano aumentado Custo por undade de volume do concreto Custo por undade de área da forma Cobrmento mínmo da armadura da placa Custo por undade de área do escoramento Custo por undade de massa do aço Vetor das varáves de projeto no problema de mnmzação do erro de aproxmação global d d su e a, e b Espessura útl da placa Máxmo deslocamento dferencal estátco permtdo Excentrcdades de aplcação da carga axal no método da carga recíproca f Função objetvo f ~ f f cd f ck f y f yd Parcela estátca da função objetvo Parcela dnâmca da função objetvo Resstênca de projeto do concreto Resstênca característca do concreto Tensão de escoamento característca do aço Tensão de escoamento de projeto do aço

19 xx g g g ~ h h l Vetor das restrções Parcela estátca do vetor das restrções Parcela dnâmca do vetor das restrções Espessura da placa Mínmo valor permtdo para a espessura h( b, z( t), z& ( t), & z ( t), t) Integrando do funconal Lagrangano aumentado (parcela dnâmca) k l l x, l y Número de terações dos processos de otmzação Numero de restrções de gualdade estátca Dmensões da placa l x mn Valor mínmo permtdo para l x l y mn Valor mínmo permtdo para l y l - m Numero de restrções de gualdade dnâmca m m - l m X, m Y, m T O número de pontos calculados sobre a superfíce de ruptura real Numero de restrções de desgualdade estátca Constantes de massa relaconadas com os movmentos de corpo rígdo da sapata m l Numero de restrções de desgualdade dnâmca n n e n no n pe n pno p Número de varáves de projeto Número de elementos utlzados na dscretzação da placa Número de nós da dscretzação da placa Número de elementos lneares Número de nós adotado na dscretzação do pórtco Número máxmo de terações permtdas num algortmo de

20 xx otmzação p dx, p dz p sz p 0 p p dm p sgm p sgp p sm p sp r 0 r t t s Forças nodas dnâmcas nas dreções de x e z, respectvamente Força nodal estátca na dreção de z Ampltude da carga dnâmca externa Vetor das cargas externas Vetor carga externa dnâmca devdo ao funconamento do motor Vetor carga estátca devdo ao peso própro do motor Vetor carga estátca devdo ao peso própro da sapata Vetor carga externa estátca devdo ao peso do motor Vetor carga externa estátca devdo ao peso própro da placa Rao equvalente da sapata Vetor dos parâmetros de penaldade Tempo Tempo de aplcação dos esforços estátcos, quando estes são smulados como uma carga dnâmca u Deslocamento na dreção de x de um ponto genérco no domíno da estrutura u Deslocamento na dreção de x do -ésmo nó (sstema global) u p e v p Deslocamentos de corpo rígdo da placa nas dreções x e y, respectvamente u v Vetor dos multplcadores de Lagrange Deslocamento na dreção de y de um ponto genérco no domíno da estrutura v Deslocamento na dreção de y do -ésmo nó (sstema global)

21 xx v u w Máxma velocdade permtda Deslocamento na dreção de z de um ponto genérco no domíno da estrutura w y LN Deslocamento na dreção de z do -ésmo nó (sstema global) Dstânca da LN ao centro de gravdade da seção transversal nos elementos lneares y Dstânca de um determnada fbra longtudnal à LN nos elementos lneares z du z su z u z z a z 0 Máxmo deslocamento dnâmco permtdo Máxmo deslocamento estátco permtdo Máxmo deslocamento permtdo Vetor deslocamento Vetor das varáves adjuntas Vetor deslocamento ncal z& 0 Vetor velocdade ncal Letras gregas maúsculas: perturbação no valor orgnal das varáves de projeto para o cálculo do gradente com o método das dferenças fntas Β Β a Φ Φ a Espaço vetoral de funções Vznhança aberta em R n Funconal Lagrangano Lagrangano aumentado modfcado para a utlzação no método das

22 xx varáves adjuntas Γ Π Ω Ω Ω e Ω c Ω s1 Ω s2 Subconjunto de R n Funconal genérco Domíno de ntegração bdmensonal Freqüênca do motor Domíno de ntegração para o e-ésmo elemento de placa Domíno de ntegração do concreto comprmdo Domíno de ntegração da armadura superor Domíno de ntegração da armadura nferor Letras gregas mnúsculas: α Coefcentes exponencas das superfíces de ruptura empírcas α, β Parâmetros do algortmo do método do Lagrangano aumentado β Coefcente adotado para o cálculo da aproxmação do dagrama de nteração β w, β x, β y, η w, η xy β 1, β 2 Coefcentes relaconados com as dmensões da sapata Coefcentes para o dmensonamento do concreto armado lneares δ ε(y) max ε c ε m Representa varação Deformação de uma fbra longtudnal dstante y da lnha neutra Máxma deformação permtda para o concreto Tolerânca para a máxma volação de restrção

23 xx ε max ε s max ε s1, ε s2, ε c Erro máxmo admtdo na aproxmação da superfíce de ruptura Máxma deformação permtda para o aço Deformações, respectvamente, na armadura superor, na armadura nferor e no concreto nos elementos lneares φ φ φ Coefcente de redução dos momentos resstentes da placa metálca Inclnação da lnha neutra -ésma componente do vetor gradente de Φ calculada com o método das dferenças fntas γ c γ ds Coefcente para a redução da resstênca característca do concreto Coefcente para a mnoração da tensão de ruptura do solo sob esforços dnâmcos γ f γ s γ ss Coefcente para majoração dos esforço característcos Coefcente para redução da resstênca característca do aço Coefcente para a mnoração da tensão de ruptura do solo sob esforços estátcos γ 1, γ 2 η ν s θ Coefcentes que dependem da força axal nos elementos lneares Coefcente de reação vertcal do solo Coefcente de Posson do solo Vetor que relacona os multplcadores de Lagrange com os parâmetros de penaldade ρ ρ s Densdade do concreto Densdade do aço

24 xxv σ s σ s1, σ s2, σ c Tensão de ruptura do solo Tensões, respectvamente, na armadura superor, na armadura nferor e no concreto nos elementos lneares τ td, τ wd Tensões de csalhamento nos elementos lneares devdas ao momento de torção e à força cortante, respectvamente τ tu, τ wu Tensões de csalhamento últmas nos elementos lneares relatvas ao momentos de torção e força cortante, respectvamente ξ Ângulo de nclnação do momento resultante nos elementos lneares Outros: R Representa derva parcal Representa o operador dferencal Conjunto dos números reas ( ) s Índce que representa componente estátca ( ) d Índce que representa componente dnâmca ( ), ( & ), ( ), ( & & ) Representam as dervadas de em relação ao tempo

25 FICHA CATALOGRÁFICA Slva, Marcelo Araújo da Sobre a otmzação de estruturas submetdas a carregamento dnâmco. São Paulo, p. Tese (Doutorado) - Escola Poltécnca da Unversdade de São Paulo. Departamento de Engenhara de Estruturas e Fundações. 1.Estruturas - Dnâmca 2.Concreto armado 3.Otmzação I.Unversdade de São Paulo. Escola Poltécnca. Departamento de Engenhara de Estruturas e Fundações II.t.

26 1 Capítulo 1 Introdução 1.1 Motvação O processo tradconal de projeto e dmensonamento de estruturas é baseado na análse de dversas soluções e da vabldade de sua execução. Nesse processo, não exste uma manera formal de aprmorar um dado projeto e, mutas vezes, o projetsta não está apto a melhora-lo baseado apenas em sua ntução e experênca. Em um determnado estágo desse procedmento, uma decsão precsa ser tomada: acetar o projeto atual como fnal ou refna-lo. Observa-se então que esse método depende fortemente da ntução, experênca e habldade do engenhero. O processo de projeto ótmo é mas estruturado. Nessa abordagem, as varáves de projeto são dentfcadas. A segur, a função objetvo, aquela que mede o mérto relatvo de uma solução (Arora, 1989), é defnda. Uma vez que os requermentos de projeto e a função objetvo são formulados em termos das varáves de projeto, um método de otmzação aproprado pode ser utlzado para aperfeçoar um projeto ncalmente estmado. Como se vê,

27 2 o engenhero anda precsa adotar um projeto ncal, mas o aprmoramento do projeto agora não depende apenas de sua experênca. Como resultado, o processo de projeto ótmo, anda mas quando auxlado por computador, pode conduzr a projetos e dmensonamentos mas econômcos em um tempo relatvamente curto, e com a segurança desejada. Na Engenhara Cvl, problemas de otmzação de estruturas compostas por pórtcos e placas são um desafo para qualquer algortmo de otmzação, dado o grande número de graus de lberdade e de varáves de projeto. Esse número pode chegar faclmente a dezenas de mlhares para um edfíco típco. Percebe-se, também, que a quantdade de trabalho envolvdo no processo de otmzação cresce enormemente quando estruturas e fundações são submetdas a carregamentos dnâmcos. A presença desse tpo de carga torna extremamente caro, do ponto de vsta de esforço computaconal, a verfcação de todos os requermentos de projeto em cada nstante do tempo. Métodos de otmzação para problemas dnâmcos requerem um grande número de cálculos numércos. Algumas análses de grande porte só tem se tornado váves devdo aos recentes avanços na tecnologa de hardware e a obtenção pelos pesqusadores da área de novos algortmos de otmzação robustos e efcentes. Os destnados a problemas contínuos encontram-se bem desenvolvdos, enquanto que outros, para otmzação dscreta ou de varáves mstas, estão anda em fase de desenvolvmento (Kocer e Arora, 1999). Assm, alguns problemas de engenhara de nteresse têm sdo resolvdo utlzando-se város processos de otmzação. Os resultados destas aplcações mostram que o desenvolvmento de projetos utlzando-se essa técnca não são apenas mas baratos, mas também mas flexíves (Slva et al, 1999). Uma outra conclusão desses estudos é que a formulação do problema tem um efeto sgnfcatvo sobre o processo de dmensonamento e o resultado fnal. Algumas formulações podem trabalhar efcentemente para um determnado sstema estrutural e

28 3 algortmo de otmzação, mas podem não ser apropradas para outros. A defnção da formulação do problema e do método de otmzação deve ser específca para cada aplcação. Para se estar apto a desenvolver formulações de problemas realstas e prátcos, dferentes formulações precsam ser estudadas e seus efetos no processo de dmensonamento devem ser nvestgados. Ao rever a lteratura sobre o assunto (Capítulo 2) o autor sentu-se motvado por algumas pesqusas recentes conduzdas para a otmzação de estruturas submetdas a esforços dnâmcos. Em partcular, sentu a necessdade de estudos sobre a otmzação ntegrada de estruturas e fundações cvs de grande porte, analsadas como um conjunto de barras e placas. Tornou-se vsível, para ele, que essa área do conhecmento necessta de esforços de pesqusa para o seu desenvolvmento. Essas conclusões se reafrmaram, anda mas, quando de seu estágo de doutorado sanduíche no ODL, Optmal Desgn Laboratory, da The Unversty of Iowa, sob orentação do Prof. Jasbr Arora. Num país extremamente carente de soluções baratas para as construções de Engenhara Cvl como o Brasl, processos de otmzação aplcados ao dmensonamento ótmo de estruturas e fundações mostram uma dreção possível para que projetstas e pesqusadores possam colaborar expressvamente para a melhora da qualdade de vda da população braslera. 1.2 Objetvos e métodos O propósto desta Tese é formular, desenvolver ferramentas e resolver alguns problemas de otmzação ntegrada de estruturas e fundações cvs submetdas à carregamentos dnâmco, tas como os provocados por máqunas mal balanceadas nelas montadas. Como exemplos específcos dessa classe de problema, serão dmensonadas placas

29 4 metálcas e em concreto armado, sapatas em concreto armado e estruturas compostas de pórtcos e placas, submetdas smultaneamente à esforços estátcos e dnâmcos. Métodos de otmzação e formulações adequadas para a solução dos problemas serão nvestgados. Resumem-se, a segur, os objetvos propostos. 1) Desenvolver formulações para o projeto ótmo de algumas estruturas e fundações cvs sob carregamentos dnâmcos, analsadas como conjuntos. 2) Identfcar varáves de projeto, funções objetvo e restrções mas adequadas para realzação do objetvo maor, constante do prmero tem. 3) Implementar dferentes formulações para o cálculo do gradente dos funconas envolvdos e analsar sua sensbldade. Os dferentes processos adotados serão nvestgados segundo sua facldade de mplementação, tempo de CPU requerdo e o projeto ótmo obtdo. 4) Desenvolver e/ou mplementar crtéros de ruína cuja smplcdade vablze a grande massa de cálculos envolvdos no processo de otmzação dnâmca. Como ferramentas para a pesqusa, conduzda conforme os objetvos acma, desenvolveram-se programas de computador própros, ncorporando dversos métodos numércos para a solução das dversas etapas do processo de otmzação. A análse estrutural, va método dos elementos fntos, é também mplementada e ncorporada a esses programas. Dessa forma, todo o procedmento se dá de forma ntegrada, ndependente de troca de arquvos entre programas comercas, sejam esses de análse estrutural ou de otmzação. 1.3 Plano da Tese No Capítulo 2 uma revsão da bblografa consultada e relevante é apresentada. As bases teórcas dos processos de otmzação são apresentadas no Capítulo 3. Sua

30 5 especalzação para o caso de restrções dnâmcas é descrta no Capítulo 4. Já no Capítulo 5, os aspectos computaconas da mplementação dos dversos procedmentos é comentada. No Capítulo 6 o prmero exemplo é analsado, uma placa metálca utlzada na sustentação de motores é otmzada. Um problema equvalente, para uma placa de concreto armado, é mostrado no Capítulo 7. No Capítulo 8 uma fundação em sapata em concreto armado para máqunas vbratóras é dmensonada de dversas manera, consderando dversos níves de conforto humano relatvo a vbrações, bem como dferentes métodos de otmzação. Um crtéro de ruína para vgas e colunas em concreto armado submetdas a flexão oblqua composta, bem como um procedmento baseado em técncas de otmzação para a determnação de alguns parâmetros envolvdos, são apresentados no Capítulo 9. No Capítulo 10, uma fundação aportcada para máqunas desbalanceadas é otmzada já ncorporando o crtéro de ruína proposto. Conclusões e sugestões para futuras pesqusas são dadas no Capítulo 10.

31 6 Capítulo 2 Alguma lteratura sobre otmzação de estruturas sob carregamento dnâmco A meta de um engenhero é o projeto não apenas seguro mas também otmzado de estruturas. As tentatvas de segur à rsca esta proposção têm mpulsonado sgnfcatvamente o desenvolvmento e a aplcação dos processos de otmzação no projeto ótmo de estruturas e fundações. Assm, numerosos trabalhos têm surgdo nesta área nas últmas décadas (Fletcher, 1985; Arora, 1989; Arora et al, 1997; Arora, 1999; Slva et al, 2000a, 2000b, 2000c, 2000d). Neles se demonstra como processos de otmzação podem ser aplcados para a realzação de projetos otmzados.

32 7 Os problemas de otmzação com restrções dnâmcas se caracterzam pelo grande esforço computaconal necessáro para a repettva análse estrutural e computação das funções restrções, em cada nstante do tempo. Dversos autores têm nvestgado problemas com restrções dnâmcas. Haug e Arora (1979) são alguns dos poneros nesse tpo de problema. Eles analsaram absorvedores de mpacto, soladores de vbração, sstema de suspensão de veículos, além de trelças e outros tpos de estruturas. A otmzação de estruturas de grande porte submetdas a cargas dnâmcas fo prmeramente realzado por Chahande e Arora (1994). Eles mnmzaram a massa das colunas de um shear-buldng de 50 pavmentos solctado por uma explosão próxma aos cnco últmos pavmentos. Pmenta et al (1995a, 1995b) utlzaram o método do Lagrangano aumentado para resolver dversos problemas de otmzação dnâmca, tas como estruturas de pórtcos submetdas à cargas de mpacto, soladores de vbração e um shear-buldng de 10 pavmentos solctado por uma explosão. Goldenberg et al (1997a) realzaram a otmzação de um pórtco em concreto de comportamento elastoplástco submetdo à uma carga de mpacto. Uma coluna em concreto, submetda a esforços vbratóros fo otmzada por Goldenberg et al (1997b) consderando o conforto humano relatvo às vbrações. Num problema relatvamente smlar à este, a massa de uma placa metálca fo mnmzada por Goldenberg et al (1997c) consderando, além das restrções sobre deslocamentos, o conforto humano relatvo às vbrações provocadas por um motor nstalado sobre a placa. Dversos trabalhos sobre a otmzação do custo de placas submetdas a esforços vbratóros têm sdo realzados por Slva e Brasl (1998, 1999a, 1999b, 1999c). Kocer e Arora (1999) trataram a otmzação de estruturas para lnhas de transmssão de eletrcdade submetdas a esforços provenentes de terremoto utlzando dversos métodos de otmzação e de análse estrutural. Naquele trabalho, fo realzado o dmensonamento ótmo de uma estrutura H, travada em X com perfs metálcos, composta por postes metálcos e uma outra estrutura tangente, tpo torre, para crcuto duplo de 110 kv.

33 8 Nesta Tese, a maor parte dos exemplos referem-se a estruturas cvs de concreto armado. Alguns estudos têm sdo publcados recentemente onde restrções relatvas à capacdade de resstênca à flexão oblqua composta foram mpostas em estruturas de concreto. Por exemplo, Rodds et al (1996) e Rodds e Chunnanond (1996) utlzaram o algortmo genétco onde tas restrções foram ncorporadas à uma função de aptdão global para o projeto e detalhamento de estruturas de concreto submetdas à carregamento estátco. O processo de otmzação adotado é desenvolvdo de manera tal que cada elemento estrutural seja otmzado separadamente, submetdo à restrções assocadas com o envelope de esforços nternos. Ballng e Yao (1997) descreveram um procedmento para a otmzação de pórtcos submetdos a carregamento estátco composto de duas etapas. Na prmera, as dmensões das seções transversas de todos os elementos estruturas são tratadas como varáves de projeto contínuas e toda a estrutura é otmzada utlzando-se métodos de otmzação não-lnear. Na segunda fase, estas dmensões são fxadas, tanto quanto o envelope de esforços nternos, enquanto que as armaduras de cada elemento estrutural são otmzadas separadamente utlzando-se um método de otmzação dscreta (Ballng et al, 1997). Quanto à otmzação de lajes de concreto armado, Mont alverne et al (1999) realzaram o projeto ótmo de peças desse tpo submetdas à esforços estátcos. Um crtéro de ruína proposto por Velasco et al (1994) fo utlzado como restrção. O processo de otmzação adotado fo o método dos pontos nternos (Herskovts, 1995). Slva e Brasl (1999c) realzaram a otmzação de uma laje em concreto armado submetda à esforços vbratóros, consderando os custos do aço, do concreto e da forma para a elaboração de uma função custo. As varáves de projeto, uma função objetvo e restrções envolvdas na otmzação de sapatas sob carregamento vbratóro foram abordadas por Slva et al (1999). Nesse trabalho, uma sapata em concreto armado fo otmzada utlzando como função objetvo o custo dos materas e de construção.

34 9 pertnentes. Algumas referêncas bblográfcas mas específcas serão mostradas nos Capítulos

35 10 Capítulo 3 Processos de otmzação 3.1 Introdução Uma vez que o problema de otmzação é formulado, um método de otmzação pode ser utlzado para resolve-lo. Para problemas contínuos o processo se nca com a adoção de um projeto ncal. Este é analsado para um determnado carregamento, a função objetvo e as restrções são computadas, e se verfca se o projeto satsfaz as condções de otmaldade (Arora, 1989). Caso satsfaça, ele é aceto como o projeto ótmo, caso contráro, precsa ser aprmorado. Alguns métodos otmzam os projetos utlzando os gradentes das funções objetvo e restrções em relação às varáves de projeto. Nesse caso, deve-se utlzar um método para a realzação da análse de sensbldade do algortmo.

36 3.2 Concetos báscos de programação matemátca 11 A área da matemátca que trata dos problemas de otmzação (classfcação, solução, etc.) é denomnada programação matemátca. Neste texto, adotam-se concetos e nomenclatura dessa especaldade que são defndos a segur. Defnção Defnção Dz-se que um ponto b* Γ R n é um ponto de mínmo local ou ponto de mínmo relatvo de uma função f(b) se f(b) f(b*) para todo b B a (b*,r), onde B a (b*,r) é uma vznhança aberta de b*. Dz-se que um ponto b* Γ R n é um ponto de mínmo global de f(b) se f(b) f(b*) para todo b Γ. Se f(b) > f(b*) para todo b Γ, b b*, dz-se que b* é um ponto de mínmo global estrto de f(b). Defnção Seja Β um espaço vetoral de funções. Chama-se funconal a aplcação Π que Defnção assoca a cada elemento f de Β um únco elemento y de R. A notação utlzada é Π : Β a R, tal que se f Β então y = Π (f). Um funconal Π : Β a R é dto convexo se Π(( 1 θ) f θf ) ( 1 θ) Π( f ) θπ ( f ), f, f Β, θ [ 01, ].(3.2.1) a b a b a b Um funconal Π : Β a R é dto estrtamente convexo se Π(( 1 θ) f θf ) < ( 1 θ) Π( f ) θπ ( f ), f, f Β, θ ( 01, ).(3.2.2) a b a b a b Consdere V h f ) uma vznhança aberta de f 0. ( 0

37 12 Defnção Dz-se que o funconal Π : Β a R passa por um mínmo local em f 0 se exstr uma vznhança V k de f 0 na qual Π ( f ) Π ( f0), f Vh ( f0 ). (3.2.3) Dz-se também que Π é estaconáro em f 0. Defnção Dz-se que este mínmo é global se Π ( f ) Π( f0 ), f Β. (3.2.4) Dz-se que este mínmo é estrto se Π ( f ) > Π ( f0), f Vh ( f0) d( f, f0) 0. (3.2.5) Otmzação sem restrções Consdere-se o problema de mnmzar uma função f(b), b R n. O problema pode ser colocado na forma mnmzar f(b), b R n. (3.2.6) Admte-se que a função f(b) C 2. A função f(b) é denomnada função objetvo. Nesta seção, serão estabelecdas condções que devem ser satsfetas por um ponto, para que seja um mínmo local do problema (3.2.6). Também serão descrtas as propredades de convexdade da função objetvo que asseguram que o ponto encontrado seja um ponto de mínmo global.

38 13 Teorema 3.2.1: Para que um ponto b* seja um ponto de mínmo local do problema (3.2.6) é sufcente que o gradente da função objetvo em b* seja nulo, ou 2 seja, f (b*) = 0 e que a matrz Hessana f ( b*) seja defnda postva, sto é 2 d, f ( b*) d > 0 d 0. O símbolo a, b representa o produto nterno dos vetores a e b. Teorema 3.2.2: Seja f(b) uma função convexa defnda em R n e seja Ω o conjunto dos pontos b R n onde f(b) atnge seu mínmo. Então Ω é convexo e todo mínmo local é um ponto de mínmo global. Teorema 3.2.3: Seja f(b) C 1 uma função convexa. Se exstr um b* R n tal que para todo y R n, f ( b*),( y b*) 0 então b* é um ponto de mínmo global de f(b) Otmzação com restrções Consdere um problema da forma mnmzar f(b), b R n, (3.2.7) sujeto a g g ( b) = 0, ( b) 0, E I (3.2.8) onde a função f(b) é denomnada função objetvo e as funções g (b), = 1,...,m são denomnadas restrções. E é o conjunto dos índces das restrções de gualdade e I é o

39 14 conjunto dos índces das restrções de desgualdade. A solução de (3.2.7) e (3.2.8) é denomnada de solução ou ponto ótmo e será denotada por b*. Quando um ponto b R n satsfaz todas as restrções, dz-se que ele é vável, e o conjunto de todos os pontos váves é denomnado de regão vável Γ. Admte-se que as funções f (b) e g (b) C 2 [R n ]. Defnção As restrções {g (b), I g (b) = 0} são denomnadas restrções atvas em b. Indcar-se-á por I* o conjunto dos índces referentes às restrções atvas em b. Defnção As restrções {g (b) g (b) ε} são denomnadas restrções ε-atvas em b. Defnção Dz-se que um ponto b v, que satsfaz as restrções g (b), E I*, é um ponto regular se os vetores gradentes { g ( b ), E I*} forem lnearmente ndependentes. Denomna-se a função Lagrangana a função defnda por: m λ ( b, u) = f ( b) u g ( b), (3.2.9) = 1 y onde u R, = 1,..., m são os multplcadores de Lagrange. Indca-se por bλ( b, u) λ ( b, u) = o vetor gradente de λ(b,u), onde b ndca as uλ( b, u) dervadas parcas em relação à b, =1,...,n, e u ndca as dervadas em relação à b j, j=1,...,m. O vetor gradente da função Lagrangana em relação à b em (b*,u*) R nm é dado por: λ ( b*, u*) = f ( b*) u * g ( b*), x m = 1 onde u* é o vetor dos multplcadores de Lagrange no ponto ótmo.

40 15 Analogamente ao vetor gradente, a matrz Hessana da função Lagrangana em relação à b no ponto (b*,u*) R nm é dada por: m b L( b*, u*) = f ( b*) u g ( b*). = 1 Teorema (Kuhn-Tucker): Seja b* um ponto de mínmo local do problema (2.42). Se b* é um ponto regular, então exstem multplcadores de Lagrange u* = [ 1 2 ] de tal forma que b* e u* satsfazem o segunte sstema de equações: T u *, u *,..., u m *, f ( b*) u * g ( b*) = 0 g ( b*) = 0, E g ( b*) 0, I u * > 0, I u * g ( b*) = 0. m = 1 (3.2.10) As equações acma são denomnadas Condções necessáras de Kuhn-Tucker. Teorema 3.2.5: Para que o ponto b* seja um ponto de mínmo local do problema (3.2.10) é necessáro que seja um ponto regular, que satsfaça as condções de Kuhn- Tucker e anda que d T 2, L( b*, u*) d x 0 d G *. (3.2.11) onde G* é dado por: G* = { d / d 0, d e g ( b*) = 0, ( E I*) / u* > 0. (3.2.12) T d g ( b*) 0, I * / u * = 0} T

41 Varáves de projeto As varáves de projeto para um problema são aquelas que defnem o sstema. Elas podem ser relaconadas com materas, topologa, confguração, seção transversal, armação etc. As varáves de projeto podem ser agrupadas em três dferentes grupos em função dos valores que podem assumr. Estes são: - varáves contínuas: podem assumr qualquer valor dentro de um ntervalo especfcado; - varáves dscretas: os valores possíves de serem assumdos por estas varáves são prevamente especfcados, estes ncluem varáves reas, nteras e bnáras; - varáves dscretas vnculadas: este tpo de varáves são tas que um determnado valor assumdo, especfca um conjunto de propredades. Varáves de projeto relaconadas com materas são usadas na seleção do tpo de materal adotado: aço, concreto, polímeros, etc. Elas são varáves dscretas que representam as propredades físcas e mecâncas dos materas. Varáves topológcas são ntroduzdas se a forma e/ou o layout da estrutura ou fundação estão sendo otmzados. Varáves de confguração representam a geometra da estrutura e geralmente são varáves dscretas. Varáves de projeto relaconadas com a seção transversal podem representar áreas, momentos de nérca e dmensões, e podem ser contínuas ou dscretas. Por exemplo, o tpo de perfl a ser adotado num projeto de estruturas metálcas pode se consderado uma varável dscreta de seção transversal. No caso de problemas de otmzação de estruturas e fundações em concreto armado, a armação da estrutura torna-se uma varável de projeto. Ela pode estar relaconada com a btola e quantdade de barras, como varáves dscretas, ou então smplesmente com a área da armação, sendo então uma varável contínua. Anda, neste tpo

42 17 de problema, a dsposção e o detalhamento da armadura podem ser tratados como varáves topológcas (Ballng et al, 1997). Nesta Tese, trabalharemos apenas com varáves de confguração, seção transversal e armação. A seleção das varáves de projeto é um mportante passo, vsto que toda a formulação do problema depende dessa escolha. Deve-se proceder de tal forma que o processo de cálculo seja flexível e o projeto fnal prátco. O domíno vável para a solução de um determnado problema aumenta proporconalmente ao aumento da quantdade das varáves de projeto (Arora, 1989). Em outras palavras, o aumento das varáves de projeto resulta em um melhor projeto. Neste trabalho, as varáves de projeto serão representadas por um vetor b como b t = [b 1 b 2 b 3... b n ] onde n é o número total de varáves de projeto. No caso de varáves de projeto dscretas, estas devem satsfazer a condção: b b b b { 2 L b 1 N E }, =1,..., n onde b 1, b 2,..., b NE são os N E possíves valores dscretos que podem ser assumdos pela varável b. 3.4 Varáves de estado As varáves de estado são funções mplíctas das varáves de projeto e são computadas por ntegração das equações de estado. Nos problemas de otmzação estrutural sob carregamento dnâmco, as varáves de estado são os deslocamentos da estrutura z e suas dervadas (velocdades e acelerações), e a equação de estado é a equação do movmento. Ela pode ser escrta de uma manera geral na segunte forma: F I D S a F F = R D, para t [0,T], (3.4.1)

43 18 onde F I são as forças de nérca, função das acelerações, F D são as forças de amortecmento, função das velocdades, F S são as forças resstentes nternas, função dos deslocamentos, R são as forças externas aplcadas, e D a é o vetor das forças de controle atvas ou passvas, quando ncorporadas na estrutura. 3.5 Função objetvo A função objetvo de um dado problema de otmzação é uma função das varáves de projeto que mede o mérto relatvo de váras soluções. Sua seleção é, claramente, uma mportante tarefa, pos é a partr de suas ndcações que um dado projeto pode ser melhorado. Em város problemas de otmzação estrutural o peso da estrutura é escolhdo como função objetvo (Chahande e Arora, 1994; Goldenberg et al, 1997a, Slva e Brasl, 1998, 1999a, 1999b). Este fato é devdo à grande facldade de computação dessa grandeza e também porque seu valor está dretamente relaconado com o custo da estrutura. Um uso mas efcente dos materas rá mnmzar o custo de construção quando todos os outros fatores permanecerem constantes. Outros custos exstentes são: transporte, montagem, tempo de construção, custos relaconados à ruína e efcênca da estrutura, entre outros. Enquanto que o tempo de construção permte uma avalação de custo, o mesmo não ocorre com a ruína. Esta encontrase ntrnsecamente relaconada com a segurança adotada tanto no processo de dmensonamento quanto no processo de construção. Segundo Susseknd (1979), o aparecmento de um estado lmte na estrutura pode dever-se à combnação de város fatores aleatóros, orgnados nas causas seguntes: a) ncertezas relatvas aos valores consderados como resstêncas dos materas utlzados, levando-se em conta não só as condções de

44 19 execução e controle da obra, como também alguns parâmetros que repercutem sobre o estado lmte em questão (tas como carga de longa duração, fadga, etc.); b) erros cometdos quanto à geometra da estrutura e suas seções; c) avalação nexata das ações dretas, ndretas ou excepconas, devdo à mpossbldade de defn-las, à prncípo, com precsão absoluta, ao longo de toda a vda útl da estrutura; d) dvergênca entre os valores calculados e os valores reas das solctações, face às hpóteses smplfcadoras usualmente adotadas no cálculo. De acordo anda com Susseknd (1979), o objetvo a ser atngdo no dmensonamento de uma estrutura é aquele de se conclar um custo mínmo para a mesma, mantendo-se abaxo de um valor prevamente estabelecdo a probabldade do aparecmento de um estado lmte. A fnaldade da aplcação, nesse dmensonamento, dos prncípos de teora probablístca sera a da obtenção, com a segurança aproprada, do custo ótmo da estrutura. Esse custo devera levar em conta, entre outros fatores, consderações de ordem moral e pscológca (o que é dfícl de se quantfcar), bem como o valor da vda humana e a reação da opnão públca face à ocorrênca de algum acdente. Antes de se tentar formular todos os fatores envolvdos num processo de dmensonamento, é mportante saber se eles de fato têm nfluênca sobre a solução. Não sera desejável consderar uma função mas geral possível, porque o resultado pode ser uma função objetvo plana que não seja sensível às varações nas varáves de projeto e que não resulte numa melhora do projeto ncalmente adotado (Kocer e Arora, 1999). Um vez que os fatores mas mportantes na computação do custo são determnados, eles podem ser aproxmados em função das varáves de projeto. Às vezes é desejável mnmzar ou maxmzar váras funções objetvos smultaneamente. Isto é chamado otmzação multcrteral ou otmzação com objetvos múltplos. Este tpo de problema pode ser defndo como: determnar um vetor varável de projeto o qual satsfaz às restrções e otmza um vetor função cujas componentes são as

45 20 dversas funções objetvo. As funções objetvos consderadas neste tpo de problema estão geralmente em conflto uma com as outras. Como um exemplo, na otmzação smultânea de uma estrutura com um sstema de controle ncorporado, tanto a mnmzação do custo da estrutura quanto a mnmzação dos deslocamentos devem ser tratadas como funções objetvo. Neste caso, vê-se claramente que a mnmzação do custo da estrutura mplcara em dmnur as dmensões das seções dos elementos estruturas, o que acarretara um aumento nos deslocamentos. Uma função objetvo geral para um sstema de estruturas e fundações submetdas a carregamento dnâmco pode ser defnda como: T f ( b, T ) = f ( b, T ) ~ f ( b, z, z&, & z, t) dt, (3.5.1) 0 onde z é o vetor das varáves de estado e T é o ntervalo de tempo total consderado. É assumdo que a função objetvo é contínua e dferencável. A equação (3.5.1) pode representar qualquer função custo. Por exemplo, f pode representar a massa da estrutura, enquanto que ~ f pode representar o deslocamento ou a tensão em dado ponto, ou anda qualquer outra função envolvendo as varáves de estado. 3.6 Restrções de projeto Para os problemas descrtos e resolvdos neste trabalho, as restrções de projeto são dvddas em dos grupos: restrções estátcas e restrções dnâmcas. Restrções dnâmcas são mpostas ao longo de todo o ntervalo de tempo t [0,T] no qual a estrutura é analsada. Lmtes para os valores assumdos pelas tensões, deslocamentos e acelerações são exemplos deste tpo de restrção. Já as restrções estátcas, ndependem do tempo, e estão relaconadas a

46 21 lmtes geométrcos da estrutura e fundação, ntervalos estabelecdos para as freqüêncas naturas de vbração, deslocamentos estátcos, tensões estátcas sobre o solo, e lmtes para as varáves de projeto. Um forma geral para representar as restrções estátcas é: g T = = = ~ 0 para 1,..., l g ( b, T ) g ( b, z, z&,& z, t) dt. (3.6.1) 0 para = l 1,..., m 0 E uma forma geral para as restrções dnâmca é: g ~ = 0 para = m 1,..., l' = g (,,,, t) para t [0, ] 0 para l' 1,..., m' T b z z& & z. (3.6.2) = 3.7 Tpos de formulação para problemas de programação matemátca Os problemas com varáves contínuas que possuem função objetvo e funções restrções lneares são tratados pela programação lnear (PL), mas se o problema possu pelo menos uma função objetvo ou restrção não-lnear, o mesmo é então tratado pela programação não-lnear (PNL). Se o problema possu varáves dscretas, então o problema é tratado pela programação dscreta (PD). Os problemas analsados neste trabalho são nãolneares e serão tratados va PNL. Dependendo das varáves de projeto, problemas de programação matemátca são agrupados em três tpos: - problemas de programação não-lnear (PNL): são aqueles onde todas as varáves são contínuas;

47 22 - problemas de programação não-lnear dscreta msta (PNL-DM): são aqueles onde algumas das varáves são dscretas e outras são contínuas; - problemas de programação não-lnear com varáves dscretas vnculadas (PNL-DV): são aqueles problemas de varáves mstas que possuem varáves contínuas, dscretas e dscretas vnculadas. Formulações para otmzação estrutural podem ser dvddas em formulações de varáves smples e formulações de varáves múltplas, dependendo de como mutas varáves são defndas para cada elemento estrutural. Kocer e Arora (1999) agrupou as formulações de varáves smples em três grupos e formulações de varáves múltplas em dos. Estes podem ser classfcados e descrtos como: - formulação de varável de projeto smples 1: uma das propredades geométrcas do elemento é consderada varável contínua ou dscreta e as outras são relaconadas à ela através de relações empírcas; as relações entre as varáves de projeto e as demas propredades geométrcas do elemento podem não ser precsas; uma das desvantagens de se usar esta formulação é que a mposção das restrções de projeto torna-se não confável. - formulação de varável de projeto smples 2: uma das propredades geométrcas da seção é dscreta vnculada, resultando em um PNL-DV; os valores dscretos para as varáves correspondem, por exemplo no caso de elementos lneares, aos perfs dsponíves no mercado; as outras propredades geométrcas do elemento podem ser vnculadas com a escolhda através de expressões empírcas; - formulação de varável de projeto smples 3: esta formulação é baseada na adoção de um número ntero como varável de projeto dscreta; através deste número, todas as característcas do elemento podem ser obtdos através de busca em uma tabela, onde uma das colunas é a varável ntera escolhda; um bom

48 23 resultado desta abordagem é que todas as propredades geométrcas podem ser obtdas com precsão e as restrções podem ser mpostas de forma confável; - formulação de varável de projeto múltpla 1: para cada elemento, váras propredades geométrcas são tratadas como varáves de projeto contínuas e então formulado um problema de PNL; - formulação de varável de projeto múltpla 2: para cada seção, váras propredades geométrcas são tratadas como varáves de projeto dscretas e então formulado um problema de PNL-DM. No presente trabalho será adotada a quarta formulação apresentada acma. Exste também a classfcação dos problemas de otmzação em função da dferencabldade das funções objetvo e restrções. Caso pelo menos uma destas funções não seja dferencável em algum ponto, então o problema é consderado de programação matemátca não dferencável, caso contráro, de programação matemátca dferencável (Medrano, 2000). 3.8 O Método do Lagrangano Aumentado Apresentação do problema de otmzação para varáves contínuas Os problemas de otmzação estrutural para varáves contínuas resolvdos neste trabalho podem ser apresentados na forma: determne b R n que mnmze a função objetvo T f ( b, T ) = f ( b, T ) ~ f ( b, z, z&, & z, t) dt, (3.8.1) 0

49 24 sujeto às restrções estátcas g T = = = ~ 0 para 1,..., l g ( b, T ) g ( b, z, z&,& z, t) dt. (3.8.2) 0 para = l 1,..., m 0 e às restrções dnâmcas g ~ = 0 para = m 1,..., l' = g (,,,, t) para t [0, ] 0 para l' 1,..., m' T b z z& & z. (3.8.3) = Nos problemas tratados aqu, as varáves de estado z(t), ou vetor deslocamento, devem satsfazer as equações do movmento: M & z Cz& Kz = p( t), t [0, T ], (3.8.4) com as condções ncas z(0) = z 0 e z &( 0) = z& 0. As restrções com respostas dnâmcas são funções explctas das varáves de estado e mplíctas das varáves de projeto O Método do Lagrangano Aumentado Para se obter uma explcação mas detalhada do método descrto neste tem, recomenda-se consultar os trabalhos de Arora et al (1991), Chahande e Arora (1994), Arora et al (1994), Medrano (1994), Slva (1997), Arora (1999), Kocer e Arora (1999) e Medrano (2000). O método do Lagrangano aumentado, segundo Arora et al (1991), fo proposto ncalmente por Haarhoff e Powell, e a segur por Buys. O método, orgnalmente descrto para aplcações em problemas com restrções estátcas, na década passada passou a ser utlzado também para problemas com restrções dnâmcas. O método é teratvo e a déa básca consste em transformar um problema de otmzação com restrções em uma seqüênca de problemas de otmzação sem restrções. Para se formular o problema sem restrções um funconal Lagrangano Φ(b,θ,r) é construído combnando-se a função objetvo com as

50 25 funções restrções. Nesta combnação anda são ntroduzdos ao problema mas dos vetores denomnados varáves duas: um contendo os parâmetros de penaldade, r R m, e outro, θ R m, relaconados com os multplcadores de Lagrange u R m através das expressões u = r θ, =1,...,m. As soluções dos problemas sem restrções gera uma seqüênca de pontos, soluções ótmas dos problemas sem restrções, que sob certas hpóteses convergem para a solução do problema com restrções. Consdera-se então o segunte problema de otmzação, com restrções de gualdade e desgualdade: Problema P. Determne b R n que mnmze a função objetvo f(b) sujeto a restrções de gualdade: restrções de desgualdade: g ( b ) = 0; = 1, l (3.8.5) g ( b ) 0; = l 1, m (3.8.6) Conforme defndo em (3.2.9), a função Lagrangana do Problema P é defndo como m λ ( b, u) = f ( b) u g ( b) (3.8.7) = 1 onde u R m é o vetor dos multplcadores de Lagrange. A varante do método do Lagrangano aumentado utlzada no presente trabalho ntroduz termos de penaldade quadrátca relaconados com cada restrção: Φ( b, u, r) = λ ( b, u) P( r, g), (3.8.8) onde m 1 2 P( r, g) = r g ( b) (3.8.9) 2 = 1 é a função de penaldade quadrátca e r R m é o vetor dos parâmetros de penaldade. O método pode ser resumdo pelo segunte algortmo: Algortmo I (Lagrangano): passo 1 - faça k=0, adote os vetores u e r;

51 26 passo 2 - mnmze Φ(b,u k,r k ) em relação a b; consdere b k a solução; passo 3 - caso os crtéros de convergênca forem satsfetos, pare o processo teratvo; passo 4 - atualze u k e r k se necessáro; passo 5 - faça k=k1 e vá ao passo 2. Concetualmente o método dos multplcadores é muto smples e sua essênca está contda nos passos 2 e 4. O desempenho do método depende fortemente de como estes passos são executados. A precsão requerda para o mínmo de Φ no algortmo de mnmzação sem restrções utlzado no passo 2 nfluenca o comportamento e a efcênca do método. Estes aspectos são essencas no desempenho do método e serão dscutdos. Como todo o processo teratvo, o método do Lagrangano aumentado, também necessta de crtéros de parada, ou de convergênca, quando for o caso. Neste trabalho, consderar-se-á os seguntes crtéros: k<p, (3.8.10) k k k Φ( b, u, r ) ε m e (3.8.11) K b = max{max g 1 l ; max max( g ; θ ) } ε m, (3.8.12) l 1 m onde k é o número de terações e p é o número máxmo de terações, K b representa a máxma volação de restrção, e em (3.8.11) e (3.8.12) ε m é a tolerânca estabelecda. Caso o algortmo não convrja, a condção (3.8.10) mpõe um número máxmo de terações. Chahande e Arora (1994) observaram em dversos exemplos analsados que o valor deal para p é gual a 2n. O procedmento para acréscmo dos multplcadores, passo 4, para restrções de gualdade, é feto na forma k 1 k k θ = θ g ( b ); =1,...,l (3.8.13)

52 27 Quando restrções de desgualdade estão presente, os multplcadores podem ser acrescdos usando os valores das funções volação de restrção como 0 ]; ); ( max[ 1 1 = k k k k k g θ θ θ θ b, =l1,...,m (3.8.14) A expressão (3.8.14) é denomnada fórmula de Hestenes-Powell. Observe que (3.8.13) e (3.8.14) não requerem o cálculo do gradente das restrções ndvdualmente, como ocorre em grande parte dos métodos (Herskovts, 1995). O Lagrangano aumentado pode ser defndo de dversas maneras. Uma delas é o funconal de Rockafellar (Arora et al, 1991): ( ) [ ] ( ) [ ] = = = Φ m l l g r g r f ) ( ), ( θ θ θ θ b r θ b, (3.8.15) O símbolo ) (h sgnfca ) 0, max( h. O Lagrangano adotado neste trabalho fo defndo por Fletcher (1987): ( ) ( ) = = = Φ m l l g r g r f ) ( ), ( θ θ b r θ b, (3.8.16) A relação entre os dos funconas é dada por = = Φ Φ m r ),, ( ),, ( θ r b θ r θ b (3.8.17) O segundo termo do membro dreto não depende de b. Logo a solução b, de ambos os problemas, dados r e θ, é a mesma. Porém, os funconas têm valores dferente. O Lagrangano aumentado em função de u é: < = Φ = = = = >l r u g r u g u g r f >l r u g g u g r g u g r f m l l m l l para 0 ;se ) ( para 0 ;se ) ( ),, ( b b r u b (3.8.18)

53 28 Observa-se claramente que Φ (x,u,r) contém termos de penaldade quadrátca ½ r g 2, =1,...,m, adconados ao funconal defndo em (3.8.7). A segur, estudar-se-á a relação entre as condções necessáras e sufcentes que deve satsfazer a solução do Problema P e a seqüênca de soluções ótmas do problema de mnmzação do funconal de Fletcher (3.8.16) quando k. Como no decorrer deste trabalho somente serão efetuados dervadas em relação à b, ndcar-se-á smplesmente b =. Consdera-se que f(b) e g (b) C 2 e que os vetores g(b*), E I*, sejam lnearmente ndependentes. Seja b* a solução do Problema P e u* o correspondente vetor dos multplcadores de Lagrange no ponto ótmo. Segundo o Teorema 3.2.4, para o Problema P exstem úncos multplcadores de Lagrange u*, de tal forma que b* e u* satsfazem m f ( b* ) u * ( b* ) = 0. (3.8.19) = 1 g Por outro lado, seja b k o mínmo de Φ(b,u k,r k ), onde r k > 0 e u k são os valores correntes dos parâmetros na k-ésma teração do método dos multplcadores. A condção para que b k seja o k k k mínmo do Lagrangeano Aumentado é Φ( b, θ, r ) = 0. Utlzando o fato de que k k 2 k k k ( g ( b ) ) = 2( g ( b ) θ ) g ( ); = l 1 m b, θ, demonstrado por Luemberger (1986), escreve-se: k Φ( b, θ k, r k ) = f ( b m r = l 1 k ) = 1 k k ( g ( b ) θ ) k k k ( g ( b ) θ ) g ( b ) = 0 l r g ( b k ) (3.8.20) Observa-se que ( g θ ) = max( g θ, 0) = θ max( θ, g ) escrta na forma, e portanto (3.8.20) pode ser

54 29 k Φ( b,θ k, r k ) = f ( b m k r = l 1 k ) = 1 k k ( θ g ( b )) g ( b k k k k [ θ max(-θ, g ( b ))] g ( b ) = 0 l k r k ) (3.8.21) Arora et al (1991) demonstram utlzando (3.8.13) e (3.8.14) que nestas condções k lmθ = θ k * ( = 1, m) e que k g ( b ) = 0; = 1 l (3.8.22), k max(- θ, g ( b )) = 0; = l 1 m (3.8.23), Substtundo-se (3.8.22) e (3.8.23) em (3.8.21), obtém-se (3.8.24). Por comparação, pode-se conclur que b k * k k k * * e r θ = r = u = b θ. Observe que (3.8.23) pode ser satsfeta somente k k quando θ = 0 ou g ( b ) = 0 ou ambos nulos. Estas gualdades podem ser escrtas como k k θ g ( b ) = 0; = l 1, m. Assm as equações (3.8.21) à (3.8.23) são equvalentes às condções de Kuhn-Tucker que são as condções necessáras para o Problema P: m k k k f ( b ) u g ( b ) = 0 (3.8.24) = 1 k g ( b ) = 0; = 1 l (3.8.25), k k k k u 0, g ( x ) 0 e u g ( x ) = 0; = l 1, m. (3.8.26) Até o momento as dscussões foram voltadas para as condções necessáras que b* deve satsfazer para ser um mínmo local do Problema P. Já as condções sufcentes para que b* seja um mínmo local solado do Problema P é 2 b, L ( b*, u*) b > 0 (3.8.27) para todo b 0 e satsfazendo as condções g g ( b*), b ( b*), b = 0; 0; E I E I (3.8.28)

55 30 onde 2 2 L(b*,u*) é a matrz Hessana do Lagrangano. Se L( b*, u*) for defnda postva, tem-se uma condção sufcente para que b* seja um mínmo local solado. Consderando-se que k b, para um k sufcentemente grande, satsfaz as condções de (3.8.21) à (3.8.23), então a condção sufcente para que b k 2 k k seja um mínmo de Φ ( b, u*, r) é que Φ( b, u, r) seja 2 defnda postva. Segundo Arora et al (1991), se L( b*, u*) for defnda postva, então 2 Φ( b*, u*, r) também o é, podendo-se conclur que o mínmo do Problema P é também o mínmo de lm Φ(b k,u k,r). k

56 31 Capítulo 4 Otmzação com restrções dnâmcas 4.1 Introdução Em um problema de otmzação com restrções dnâmcas, como o dado pelas equações (3.8.1) à (3.8.3), dependendo do método utlzado, torna-se necessáro elmnar a varável ndependente tempo nas restrções. Restrção dnâmcas, defndas em um ntervalo t [0,T], podem ser transformadas em estátcas, como mostrado a segur: g ( b, t) = 0, t [0, T ] ϕ ( b) = g ( b, t) 0, t [0, T ] ϕ ( b) = T 0 T 0 g ( b, t) dt = 0, = 1,..., l ( g ( b, t) ) dt 0, = l 1,..., m (4.1.1) Utlzando-se (4.1.1) pode-se aplcar os concetos e métodos descrtos no Capítulo 3 para os problemas de otmzação com restrções dnâmcas. A representação gráfca do tratamento

57 32 dado às restrções dnâmcas em (4.1.1) é mostrada na Fgura Arora (1999) apresenta dversas maneras de se tratar restrções dnâmcas. Fgura Tratamento das restrções dnâmcas Para a apresentação do algortmo do método do Lagrangano aumentado para problemas dnâmcos é necessáro amplar o conceto de K b (a máxma volação de restrção) dado em (3.8.12): )} ), max( (max max ); (max max ); ; max( max ; max{max ] [0, ' 1 ' ] [0, ' T t m l T t l m m l l b g g g g K θ θ = ε m, (4.1.2) O funconal Lagrangano aumentado de Fletcher para o problema (3.8.1) à (3.8.3), é defndo por: ( ) ( ) ( ) ( ) dt g r g r g r g r T f T m l l m m l l = Φ = = = = 0 ' 1 ' 2 ' ), ( ),, ( θ θ θ θ b r θ b. (4.1.3)

58 33 Consderando o funconal (4.1.3) e K b em (4.1.2), o Algortmo I pode ser detalhado como descrto abaxo. Algortmo II (Lagrangano): Passo 1 - Faça k=0; K= ; estme os vetores b 0, θ 0, r 0, e os escalares α>1, β>1, ε m >0 (ε é um número pequeno usado como tolerânca nos crtéros de parada). Passo 2 - Mnmze Φ(b,θ k,r k ) em relação a b. Denomna-se b k o ponto que mnmza Φ(b,θ k,r k ). k k Passo 3 - Calcule g ( b ), = 1, m e g ( b,t); = m 1, m' e t [ 0,T ]. Calcule K b e cheque o crtéro de parada; sto é: verfque se os crtéros descrtos em (3.8.10), (3.8.11) e (4.1.2) são satsfetos. Caso postvo, então pare o processo. Caso contráro, estabeleça os seguntes conjuntos de restrções de gualdade e desgualdade k { : g ( ) > K/ ; = l} I E = b α 1, (gualdade) I I I k k { : max ( g ( ),-θ ) > K/ ; = l l m} I = α, b (desgualdade) k { : max g (, t) > K/ α; = m 1 l' } =, E' 0 t T b (gualdade dnâmca) k k { : max max( g (, t), -θ ) > K/ α; = l' 1 m' } =, I' 0 t T b (desgualdade dnâmca) Passo 4 - Efetue os seguntes acréscmos nos parâmetros de penaldade e multplcadores. (a) Se K b K, faça k 1 k = r k 1 k = β r e θ θ / β para todo I I E I ; faça k 1 k 1 = r k k = β r e θ θ / β para todo I I e t [0, T ]; sto é ncremente os parâmetros de penaldade sem modfcar os multplcadores de Lagrange. Vá ao passo 5. k (b) Se K b <K, acresce-se θ fazendo k 1 k k θ = θ g ( b ); = 1, l E' I'

59 34 k 1 k k k θ = θ max( g ( b ), -θ ); = l 1, m k 1 k k θ = θ g ( b,t); = m 1, l', t [ 0, T ] k 1 k k k θ = θ max( g ( b, t),-θ ); = l' 1, m', t [ 0, T ] e vá ao passo 5. (c) Se K b K/α, faça K=K b e vá ao passo 5. Senão, faça k 1 k 1 = r r β e k θ 1 k θ 1 = / β para todo I I ; faça E I k 1 k 1 = r k r β e θ 1 = θ k 1 / β para todo IE ' II ' e t [0,T]. Faça K=K b e vá ao passo 5. Passo 5 - Faça k=k1, e vá passo Análse de sensbldade para problemas com restrções dnâmcas Introdução A dedução de expressões e procedmentos para o cálculo da sensbldade (gradentes) dos funconas envolvdos no problema (4.1.1) à (4.1.3), em relação às varações de projeto é denomnado análse de sensbldade de projeto (ASP). Os vetores obtdos através da ASP são utlzados no aprmoramento de um dado projeto. Exstem bascamente três métodos para o desenvolvmento da ASP: das dferenças fntas, da dferencação dreta e das varáves adjuntas. Consdere um funconal envolvdo no problema de otmzação escrto na segunte forma:

60 35 T Η( b, T ) = c( b, T ) h( b, z( t), z& ( t), & z ( t), t) dt. (4.2.1) 0 onde b é o vetor n-dmensonal das varáves de projeto e z é o vetor k-dmensonal dos deslocamentos. Consdera-se nesta dedução que as funções envolvdas em (4.2.1) são pelo menos uma vez dferencável. O método da dferencação dreta é baseado no cálculo da varação total do funconal Φ, obtendo-se uma expressão para o gradente dada por dη db = c T, b z 0 [ h, z, h, z, h, & z, h, ] & b b z b z& b && dt (4.2.2) onde a notação da vírgula é utlzada para representar a dferencação parcal. Nesta notação, as dervadas parcas do escalar h(b,t) e do vetor k-dmensonal z em relação ao vetor n-dmensonal b são defndas como h, b = h (n-dmensonal) (4.2.3) b z, = (n k-dmensonal) (4.2.4) b z b Todos os termos do segundo membro de (4.2.2) podem ser explctamente calculados, exceto z, b, z, & b e & z, b. Estes podem ser calculados dferencando a equação do movmento em relação à b, e então ntegrando-a no domíno do tempo para determnar z, b, z, & b e & z, b O Prncípo do Método das Varáves Adjuntas Consdere o funconal (4.2.1) escrto na segunte forma: Η(b, T ) : Β a R (4.2.5) A equação do movmento é escrta como W(b,z) = 0. (4.2.6)

61 36 A varação total do funconal da equação (4.2.5) é escrta como δ dη Η = db, δb e (4.2.7) dη db = Η, z, Η,. (4.2.8) b b z O problema da análse de sensbldade é calcular a dervada total dη/db. Quando esta dervada é calculada utlzando-se (4.2.8), o método é denomnado método de dferencação dreta. Esta abordagem necessta do cálculo da matrz z, b, a qual pode ser calculada resolvendo o segunte sstema de equações lneares obtdo escrevendo-se a varação total da equação (4.2.6) como W, z, = W,. (4.2.9) t z t b t b Para desenvolver o prncípo varaconal do método das varáves adjuntas um outro funconal é crado adconando à (4.2.1) um termo relatvo ao vetor das varáves adjuntas como a a a a Η ( b, z, z ) = Η( b, z) W ( b, z, z ) (4.2.10) onde z a é o campo vetoral das varáves adjuntas que precsa ser determnado e W a a a ( b, z, z ) = W ( b, z), z. (4.2.11) O prncípo do método das varáves adjuntas: A varação total de um funconal em (4.2.1) é gual à varação explícta do funconal (4.2.10); ou seja, a δ Η = δ bη (4.2.12) onde δ b representa a varação explcta do projeto,.e., z é consderado fxo. Para se calcular (4.2.12), o campo z a (b,t) precsa ser determnado. Isto é feto requerendo-se que o funconal em (4.2.10) seja estaconáro em relação às varáves de estado z; ou seja, requerendo que a varação em relação à z se anule:

62 37 δ = 0. (4.2.13) Η a z (4.2.10) é A prova deste prncípo é dreta. A varação total em relação ao projeto do funconal com δ a a Η = δη δw (4.2.14) a a a δ W = δz, W z, δw. (4.2.15) Se δz a é seleconado como um campo admssível, então o prmero termo de (4.2.15) se anula. Anda, consderando o equlíbro no projeto corrente e no varado, obtém-se z a,( W δw ) = 0. Com sso a equação (4.2.14) reduz-se para A varação de δη a = δη. (4.2.16) a Η pode ser também escrta como a a a δ Η = δ b Η δ zη. (4.2.17) Utlzando (4.2.13) em (4.2.17), a equação (4.2.17) reduz-se à (4.2.12), como se quera demonstrar Análse de sensbldade do Lagrangano com o Método das Varáves Adjuntas Consdere o funconal Lagrangano aumentado escrto na segunte forma: T Φ( b, T ) = c( b, T ) h( b, z( t), z& ( t), & z ( t), t) dt. (4.2.18) 0 Consdere agora o funconal Lagrangano aumentado modfcado para aplcação no método das varáves adjuntas:

63 38 = Φ T a a dt t t t t t G T c T 0 ) ), ( ), ( ), ( ), (, ( ), ( ), ( z z z z b b b & & &, (4.2.19) onde ) ( )], ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( [ ) ), ( ), ( ), (, ( ) ), ( ), ( ), ( ), (, ( t t t t t t t t t h t t t t t G a t a z b p z b K z b C z b M z z z b z z z z b = & && && & && & (4.2.20) e z a é o vetor das varáves adjuntas. O prncípo do método das varáves adjuntas (4.2.12) permte escrever: b b Φ = Φ a d d. (4.2.21) Esta expressão sgnfca que o cálculo das dervadas totas do Lagrangano (4.2.18) em relação à b é equvalente ao cálculo das dervadas explíctas parcas do funconal modfcado (4.2.19) em relação à b;.e., no segundo membro de (4.2.21) z é consderado fxo. De acordo com (4.2.13) para se poder utlzar a expressão (4.2.21), o funconal (4.2.19) precsa ser estaconáro em relação às varáves de estado z, o que mplca em: 0 ), ( ), (, = z z z & & G & G G. (4.2.22) com as condções termnas 0 ) (, = T G z& &, e 0 ) (, ) (, = T G dt d T G z z & & &. (4.2.23) Substtundo G dado em (4.2.20) nas equações (4.2.22) e (4.2.23), o problema das varáves adjuntas torna-se então: ), ( ), (, ) ( ) ( ) ( 2 2 z z z z b K z b C z b M & & & & & & h dt d h dt d h a t a t a t = (4.2.24) com as condções termnas ) (, ) ( ) ( T h T a t z z b M & & = e (4.2.25) ) )(, ( ) (, ) ( ) ( ) ( ) ( T h dt d T h T T a t a t z z z b C z b M & & & & =. (4.2.26)

64 39 Pode-se anda utlzar o método das dferenças fntas para o cálculo das dervadas parcas em (4.2.21). Neste caso, o método das varáves adjuntas torna-se sem-analítco, tendo uma parte desenvolvda analtcamente e outra com auxílo de métodos numércos. A formulação do problema das varáves adjuntas descrta por (4.2.24) à (4.2.26) nclundo os termos h, & é orgnal, vsto que as demas formulações apresentadas na lteratura z& ncluem apenas as dervadas de h em relação aos deslocamentos e velocdades, além do tempo. No caso dos problemas que apresentam restrções envolvendo as acelerações nodas a lteratura consultada ndca que o vetor aceleração deve ser smplesmente solado na equação do movmento e então substtuído em h, tornando h uma função apenas de b, z, z& e t O Método das Dferenças Fntas O método das dferenças fntas dvde-se em três tpos, de acordo com a perturbação: adante, central e para trás. No presente trabalho são utlzadas as varações do método com perturbação adante e central. Para um funconal Φ(b), onde b é o vetor n-dmensonal das varáves de projeto, pode-se defnr seu gradente numérco por dφ db φ ], =1,...,n (4.2.27) [ onde Φ( b1, b2,..., b,..., bn ) Φ( b1, b2,..., b,..., bn ) φ =, =1,...,n, (4.2.28) sendo que é a perturbação aplcada à -ésma varável de projeto no método das dferenças fntas com perturbação adante, ou Φ( b1, b2,..., b,..., bn ) Φ( b1, b2,..., b,..., bn ) φ =, =1,...,n, (4.2.29) 2

65 40 sendo que é a perturbação aplcada à -ésma varável de projeto no método das dferenças fntas com perturbação central Comentáros sobre os métodos para a análse de sensbldade Deve-se observar que, no uso do método das varáves adjuntas para o cálculo do gradente do Lagrangano aumentado, torna-se necessáro resolver o sstema de equações dferencas ordnáras (da mesma ordem da equação do movmento) duas vezes: uma para se obter z e uma outra para se determnar z a. Uma vantagem desse método é que para o cálculo de z a pode-se utlzar os mesmos métodos e matrzes utlzadas no cálculo de z. Se a análse de sensbldade for realzada utlzando-se o método das dferenças fntas, será necessáro resolver n 1, com perturbação adante, ou 2n, com perturbação central, sstemas de equações dferencas ordnáras da mesma ordem que a equação do movmento, correspondentes às perturbações do valor orgnal de b. Para computar o gradente utlzando o método da dferencação dreta é necessáro resolver n 1 sstema de equações dferencas ordnáras da mesma ordem da equação do movmento, correspondentes à determnação de z e das matrzes z / b, z& / b e & z / b. Assm, pode-se conclur que o método das varáves adjuntas é o que apresenta o menor número de operações artmétcas e consequentemente devera apresentar o menor tempo computaconal para o cálculo do vetor gradente do Lagrangano aumentado.

66 41 Capítulo 5 Programas mplementados 5.1 Introdução As váras etapas de um determnado processo de projeto ótmo exgem o uso de dversos métodos numércos. Os métodos numércos mplementados nos programas desenvolvdos para o presente trabalho são a segur lstados. 1. Para resolução dos sstemas lneares, utlza-se decomposção de Cholesky (Atknson, 1993); 2. Para o cálculo de ntegras, utlza-se regra de Smpson (Atknson, 1993); 3. Para resolução das equações do movmento, utlza-se o método de Newmark (Tedesco et al, 1999). 4. Relatvamente aos processos de otmzação sem restrções, utlza-se o método dos gradentes conjugados com busca undmensonal de Armjo (Arora, 1989); 5. Para o cálculo dos gradentes utlza-se o método das dferenças fntas (Atknson, 1993) ou método das varáves adjuntas (Arora, 1999).

67 42 6. Para o cálculo das freqüêncas naturas de vbração utlza-se o método da teração nversa (Tedesco et al, 1999). Processo Clássco Processo de Otmzação Análse Estrutural Fgura Processo clássco de otmzação estrutural O procedmento usual para a solução de problemas de otmzação de estruturas submetdas a esforços dnâmcos é a utlzação em separado de um programa de otmzação e um programa de análse estrutural. A solução do problema de otmzação é, em geral, mplementada utlzando-se uma bbloteca já exstente de sub-rotnas de otmzação e um outro programa para a realzação da análse estrutural (Fgura 5.1.1). Geralmente, o programa de análse estrutural é um programa comercal, tal como ANSIS, ADYNA, ou STRAP. A vantagem dessa abordagem de organzação da solução é que a análse estrutural pode ser

68 43 efetuada com a confabldade e a varada gama de modelos consttutvos, elementos e ferramentas de pré e pós processamento que esses programas oferecem. Esta formulação conduz, em geral, a um trabalho relatvamente lento, porque a troca de nformações entre o programa de análse estrutural e o programa de otmzação se dá por meo de arquvos, com ntervenção do usuáro. Em cada etapa, o programa de otmzação gera arquvos de entrada para o programa de análse estrutural. Este os lê, processa os dados e gera um novo arquvo, o qual será ldo pelo programa de otmzação, e assm sucessvamente até a convergênca do método. O processo de geração, abertura, letura e fechamento de arquvos torna esta mplementação muto cara do ponto de vsta de tempo computaconal. No presente trabalho, de forma alternatva, foram mplementados város programas de computador que contemplam tanto o processo de otmzação, quanto a análse estrutural (Fgura 5.1.2). Esta abordagem vsa resolver de forma ntegrada o problema de otmzação e a análse estrutural. Apenas vetores e matrzes são trocados entre o programa de otmzação e o programa de análse estrutural. Com sso, o processo ganha velocdade e projetos ótmos podem ser obtdos com um menor custo computaconal. 5.2 O programa computaconal Os programas desenvolvdos neste trabalho apresentam város módulos que contemplam desde a dscretzação da estrutura, defnção dos esforços atuantes, até à verfcação das restrções de projeto. Toda a programação computaconal fo desenvolvda vsando organzar em arquvos específcos (módulos) as dversas áreas que o presente trabalho abrange.

69 44 Processo de Otmzação Processo Alternatvo Análse Estrutural Fgura Processo alternatvo de otmzação estrutural Todo o códgo computaconal fo desenvolvdo em lnguagem C. Para a complação dos programas fo utlzado o complador Mcrosoft Vsual C 6.0. Os arquvos que contemplam as sub-rotnas utlzadas dstrbuem-se nos seguntes módulos: - varavel.h; - entrada.h; - alocd.h; - funcoes.h; - matrzes.h; - stress.h; - concreto.h;

70 45 - restrco.h; - newmarkc.h; - adjont.h; - lagrange.h; - sada.h; - optm.cpp O módulo varavel.h contém todas as varáves globas envolvdas no programa. A partr do momento que as varáves globas estão defndas, as sub-rotnas do módulo alocd.h faz a alocação dnâmca de todos os vetores e matrzes globas. As sub-rotnas descrtas em entrada.h lêem o arquvo de entrada, o qual contém nformações sobre as propredades mecâncas dos materas, defnção e dscretzação da estrutura, ntervalo de tempo e dscretzação temporal adotados, e fnalmente, os valores ncas para as varáves de projeto. O módulo funcoes.h apresenta algumas funções elaboradas para facltar a programação. Uma vez que a estrutura e a dscretzação são defndos, as sub-rotnas do módulo matrzes.h calculam as matrzes de massa, rgdez e amortecmento. O vetor força externa é defndo em newmak.h, onde também é resolvda a equação do movmento, obtendo-se os valores dos vetores deslocamento, velocdade e aceleração. De posse destes valores as sub-rotnas do módulo stress.h calculam os esforços nternos em cada elemento. As sub-rotnas do módulo concreto.h realzam as verfcações do concreto armado. No módulo restrco.h são computadas as restrções de projeto. No módulo adjont.h é realzada a análse de sensbldade em relação às varáves de projeto do funconal Lagrangano. No módulo lagrange.h encontra-se o algortmo de otmzação, que por sua vez utlza todos os outros módulos descrtos anterormente. Fnalmente, o módulo sada.h, mprme em arquvo, nformações contendo os relatóros fnas. Em optm.cpp encontra-se o programa prncpal.

71 46 Para a vsualzação gráfca de alguns resultados, utlzou-se um software desenvolvdo por Bandera (1995), gentlmente ceddo para a utlzação no presente trabalho.

72 47 Capítulo 6 Otmzação de uma placa metálca 6.1 Introdução Neste capítulo descreve-se a otmzação de uma placa metálca submetda a esforços vbratóros. A placa (Fgura 6.1.1) é quadrada e smplesmente apoada nos seus vértces. A função objetvo adotada é a massa da placa. As dmensões da placa são os lados 2l x e 2l y, e a espessura h. A área do plano da placa é então A = 4l x l y. A placa é dscretzada em n no = 49 nós (Fgura 6.1.2) utlzando-se elementos fntos trangulares com 9 graus de lberdade (Shgueme, 1995), mplementados pelo autor no programa de otmzação. O sstema dnâmco descrto pelas equações do movmento possu 3 n no = 147 graus de lberdade. O carregamento estátco é provenente do peso própro da placa e de um motor nstalado. O motor em funconamento excta a placa com carregamento harmônco de freqüênca Ω. As

73 48 verfcações mas comum neste tpo de problema são relatvas à resstênca dos materas empregados e àquelas relaconadas com os lmtes dos deslocamentos. Fgura Placa a ser otmzada Fgura Dscretzação adotada

74 Formulação do problema O problema consste em mnmzar a massa da placa metálca mostrada nas Fguras e A placa é exctada por um carregamento harmônco provocado por um motor de massa M motor e freqüênca Ω. A varável de projeto adotada para resolver o problema é b = [b 1 ] [h]. Uma restrção estátca é aplcada sobre o valor da espessura, enquanto que restrções dnâmcas são aplcadas sobre os deslocamentos e momentos de flexão nodas. O problema de otmzação dnâmca é mnmzar a função objetvo (massa da placa) f(b) escrta como: f(b) = ρ s A b 1 (6.2.1) onde ρ s é a densdade do aço. Sujeto à restrção estátca: - a espessura mínma - b 1 h l 0 (6.2.2) Sujeto às restrções dnâmcas, t [0,T]: - o máxmo deslocamento vertcal max{ w } 1 n no - z u 0, (6.2.3) - os máxmos momentos de flexão γ f max{ M } 1 nno x γ f max{ M } 1 nno y - M xr 0, (6.2.4) - M yr 0, (6.2.5) onde γ f é o coefcente de majoração dos esforços característcos, M x e M y são os momentos de flexão nodas característcos por undade de comprmento de placa. Já z u é o máxmo valor permtdo para w, o campo de deslocamento transversal da placa. No caso da placa

75 50 dscretzada, os deslocamentos nodas são z = [w α β ] t, = 1,...,n no, onde w é o deslocamento transversal, α a rotação em torno de uma fbra orentada segundo o exo dos xx e β a rotação em torno de uma fbra orentada segundo o exo dos yy. Os momentos resstentes da placa, M xr e M yr, são dados pela expressão: M xr 2 φ f yb 1 = M yr = (6.2.6) 6 onde φ é o coefcente de redução da resstênca ao escoamento do aço f y (NBR-8800, 1986). Como em (6.2.4) e (6.2.5) são consderados apenas os valores máxmos de M x e M y, não foram aplcadas restrções sobre os momentos de torção M xy. O vetor força externa p(t)) possu uma parcela estátca, devda ao peso própro da placa e do motor nstalado, e outra dnâmca, devda à vbração do motor em funconamento. As cargas estátcas foram smuladas como cargas dnâmcas aplcadas lentamente em um ntervalo de tempo t s relatvamente grande. A parcela relatva ao peso própro da placa p sp é consderada gualmente dstrbuída sobre os nós: p sp ( b Aρ 9,81/ n ) 1 s = b1 Aρ s 9,81/ n no no, t, t [0, t ], t ( t s s, T ], = 1,4,7,10,...,3n = 1,4,7,10,...,3n no no 2. (6.2.7) 2 A parcela estátca provda pelo peso própro do motor p sm é consderada gualmente aplcada sobre os nós 17, 18, 19, 24, 25, 26, 31, 32 e 33 e é dada por: p sm = M ( M 9,81/ 9) motor motor 9,81/ 9, t, t [0, t ], t ( t s s, T ], = 49,52,55,70,73,76,91,94,97. (6.2.8) = 49,52,55,70,73,76,91,94,97 A parcela de carga dnâmca devda à exctação harmônca do motor é também consderada aplcada sobre os nós 17, 18, 19, 24, 25, 26, 31, 32 e 33 e é dada por: p dm 0, = p sn[ Ω( t t s )], 0 s t [0, t s ], = 49,52,55,70,73,76,91,94,97. (6.2.9) t ( t, T ], = 49,52,55,70,73,76,91,94,97 Fnalmente, o vetor carga p(t) é escrto como:

76 51 p(t) = p sp (t) p sm (t) p dm (t), t [0,T]. (6.2.9) As condções ncas do problema são z(0) = 0 e z& (0) = 0, onde 0 é o vetor nulo. 6.3 Dados numércos Este problema fo resolvdo utlzando-se o método das dferenças fntas com perturbação adante para o cálculo do gradente do funconal Lagrangano aumentado. Os dados numércos adotados foram: h l = 0,01 m, A = 36 m 2, φ = 0,87, f y = 250 MPa, ρ s = 7850 Kg/m 3, Ω = 120π rad/s, M motor = Kg e p 0 = 50 KN. O módulo de elastcdade do aço é E s = 205 GPa. O amortecmento de Raylegh fo utlzado com uma taxa de amortecmento de 2% para o prmero e o segundo modo de vbração. O ntervalo consderado para aplcação dos esforços estátcos é t s = 1 s e o nstante tempo fnal é T = 2 s. O ntervalo de tempo fo dscretzado com 200 dvsões. 6.4 Resultados numércos O problema descrto pelas Equações (6.2.1) à (6.2.5) fo resolvdo de duas maneras dferentes. Durante a prmera delas foram consderadas todas as restrções dnâmcas, com z u = A /500 m. Os resultados obtdos para este caso são mostrados na Tabela A Fgura mostra a confguração da placa quando a mesma atngu o deslocamento máxmo no projeto ótmo. Observe que a placa quase toca o plano relatvo à máxma restrção de deslocamento. O máxmo deslocamento obtdo fo 1,199 cm, enquanto que o permtdo é de 1,2 cm. O momentos de projeto obtdos foram γ f max{ M } 1 nno x = γ f

77 max 1 nno { M } y 52 = Nm/m. Este valor é bem menor que Nm/m que é o momento resstdo pela placa. Neste caso, a restrção relatva ao deslocamento é ε-atva. Tabela Projeto ótmo consderando todas as restrções dnâmcas. Projeto b 1 (m) f(b) (Kg) Iteração Incal 0, Ótmo 0, Fgura Máxmo deslocamento obtdo para o projeto ótmo do prmero problema A segunda solução para o problema fo obtda não consderando a Equação (6.2.3). Em outras palavras, fo permtdo que a placa se deslocasse rrestrtamente. Os resultados obtdos para este caso são mostrados na Tabela A Fgura mostra a confguração da placa quando a mesma atngu o máxmo deslocamento no projeto ótmo. O deslocamento máxmo obtdo fo 0,17 m. Para efeto de lustração é mostrado na Fgura um plano para deslocamentos guas à A /20 = 0,3 m. Os momentos fletores de projeto obtdos foram γ f max 1 nno { M } x = γ f max{ M } 1 nno y = Nm/m. Este valor está bem próxmo de Nm/m que é o momento resstdo pela placa no projeto ótmo. As restrções relatvas aos momentos fletores são ε-atvas.

78 53 Tabela 6.4.2: Projeto ótmo não consderando a restrção do deslocamento máxmo. Projeto b 1 (m) F(b) (Kg) Iteração Incal 0, Ótmo 0, Fgura Máxmo deslocamento obtdo para o projeto ótmo do segundo problema 6.5 Comentáros Foram elaboradas algumas formulações para o problema descrto neste capítulo. Em uma delas fo aplcada uma restrção sobre o deslocamento de cada nó, obtendo-se um total de n no restrções relaconadas com esses deslocamentos. O mesmo fo feto com os momentos de flexão, sendo então aplcadas mas 2n no restrções relatvas aos valores lmtes de M xx e M yy em todos os nós da placa. Na outra formulação, restrções são aplcadas apenas sobre os valores máxmos do deslocamento e dos momentos fletores. De uma formulação com 3n no = 147 restrções dnâmcas passou-se a outra que utlza apenas 3 restrções dnâmcas. Isto fo possível também devdo à utlzação do método das dferenças fntas para o cálculo do gradente do Lagrangano aumentado. Caso o gradente fosse obtdo com o método das varáves adjuntas ou com o método da dferencação dreta a formulação descrta por (6.2.1) à (6.2.5) não sera vável. Os valores fnas obtdos com as duas formulações foram exatamente os mesmos.

79 54 Conclu-se que a segunda formulação representa uma smplfcação extremamente sgnfcatva no número de restrções utlzadas no problema e consequentemente, um ganho de tempo computaconal.

80 55 Capítulo 7 Otmzação de uma placa em concreto armado 7.1 Formulação do problema O objetvo é mnmzar o custo de construção de uma placa em concreto armado semelhante àquela mostrada nas Fguras e Carregamento harmônco, devdo a um motor de peso P motor, é aplcado à placa. As varáves de projeto adotas para a solução do problema são b t = [b 1 b 2 b 3 ] [h A sx A sy ], onde A sx e A sy são as áreas de aço perpendcular, respectvamente, aos exos y e x. Estatcamente, são mpostas restrções sobre os valores da espessura e das taxas de armadura. Nesses aspectos foram respetados os dspostvos da NB1 (1978). Um valor lmte para o deslocamento transversal e verfcações do concreto armado são as restrções dnâmcas. O problema de otmzação é então formulado como mnmzar a função custo:

81 56 f(b) = C c C s C f, (7.1.1) onde C c, C s e C f são respectvamente os custos do concreto do aço e da forma. Baseado no vetor das varáves de projeto, pode-se escrever: C c = A b 1 c c, (7.1.2) C s = ) ρ c e (7.1.3) 2( l xb2 l yb3 s s C f = 4[( l l ) b1 l l ] c. (7.1.4) x y x y f Nestas expressões c c é o custo por undade de volume do concreto, ρ s é a densdade do aço, c s é o custo por undade de massa do aço e c f é o custo por undade de área da forma. Sujeto às restrções estátcas: - a espessura mínma - b 1 h l 0 (7.1.5) - o valor mínmo de A sx - b 2 0,0015b 1 0 (7.1.6) - o valor mínmo de A sy - b 3 0,0015b 1 0 (7.1.7) - o valor máxmo de A sx b 2 0,04b 1 0 (7.1.8) - o valor máxmo de A sy b 3 0,04b 1 0. (7.1.9) Sujeto às restrções dnâmcas, t [0,T]: - o máxmo deslocamento transversal max{ w } 1 n no - z u 0 (7.1.10) - altura útl mínma da laje

82 57 ( b c ) β γ max{max{ M }; max{ M }} 0 (7.1.11) 1 p 1 f x y 1 nno 1 nno - verfcação de A sx γ max{ M } β b ( b c ) 0 (7.1.12) f x nno p - verfcação de A sy γ max{ M } β b ( b c ) 0 (7.1.13) f y nno - verfcação da torção crtéro de ruína de Johansen 2 xy p M ( M M )( M M ) 0, = 1,...,n no (7.1.14) 2 xy px x py y M ( M M )( M M ) 0, = 1,...,n no (7.1.15) px x py y onde h l é a espessura mínma da placa, c p é o cobrmento mínmo das armaduras, β, = 1, 2 são coefcentes do dmensonamento do concreto armado sob flexão smples e z u é o máxmo deslocamento permtdo para a placa. que M px, As equações (7.1.14) e (7.1.15) representam o crtéro de ruína de Johanson, enquanto M px, M py e M py são os momentos de plastfcação (Mont alverne et al, 1999). O vetor força externa p(t) possu uma parcela estátca, provda pelo peso própro da placa e do motor nstalado, e outra dnâmca, devda à exctação dnâmca do motor. As cargas estátcas serão smuladas como cargas dnâmcas aplcadas lentamente em um ntervalo de tempo t s relatvamente grande. Desta forma, a parcela relatva ao peso própro da placa p sp é consderada gualmente dstrbuída sobre os nós: p sp ( b Aρ9,81/ n ) 1 = b1 Aρ9,81/ n no no, t, t [0, t ], t ( t s s, T ], = 1,4,7,10,...,3n = 1,4,7,10,...,3n no no 2, (7.1.16) 2 onde ρ é a densdade do concreto. A parcela estátca provda pelo peso própro do motor p sm é consderada gualmente aplcada sobre os nós 17, 18, 19, 24, 25, 26, 31, 32 e 33 e é dada por:

83 58 ( P / 9) motor t, t [0, t s ], = 49,52,55,70,73,76,91,94,97 psm =. (7.1.17) Pmotor / 9, t ( ts, T ], = 49,52,55,70,73,76,91,94,97 A parcela de carga dnâmca devda à exctação harmônca do motor é também consderada aplcada sobre os nós 17, 18, 19, 24, 25, 26, 31, 32 e 33 e é dada por: p dm 0, = p sn[ Ω( t t s )], 0 s t [0, t s ], = 49,52,55,70,73,76,91,94,97. (7.1.18) t ( t, T ], = 49,52,55,70,73,76,91,94,97 Fnalmente, o vetor carga p(t) é escrto como: p(t) = p sp (t) p sm (t) p dm (t), t [0,T]. (7.1.19) As condções ncas do problema são z(0) = 0 e z& (0) = 0, onde 0 é o vetor nulo. 7.2 Dados numércos Este exemplo fo resolvdo utlzando-se o método do Lagrangano aumentado e o método das dferenças fntas para o cálculo do gradente do Lagrangano. Durante a resolução do problema, o valor mínmo adotado para a espessura é h l = 0,07 m. A área da placa é A = 36 m 2. Para o dmensonamento em concreto armado, adotou-se c p = 2 cm, f ck = 18 MPa, γ c = 1,4, γ f = 1,4, γ s = 1,15, aço CA-50, β 1 = 0,0699 e β 2 = (Susseknd, 1979). A densdade do concreto é ρ = 2500 Kg/m 3 e do aço ρ s = 7850 Kg/m 3. O módulo de elastcdade da placa é E = 20 GPa. O motor possu freqüênca Ω = 120π rad/s, peso P motor (foram analsados dversos valores de peso, conforme será mostrado na próxma seção) e p 0 = 0,1P motor. Para se obter a matrz de amortecmento de Raylegh fo consderado uma taxa de amortecmento de 2% para o prmero e o segundo modo de vbração. O ntervalo consderado para aplcação dos esforços estátcos é t s = 1 s e o nstante tempo fnal é T = 2 s. O ntervalo de tempo fo dscretzado com 200 dvsões. O deslocamento máxmo adotado fo z u = 2l y /300 = 2 cm. Para computar a função custo fo consderado c c = R$ 190,00 /m 3, c s =

84 59 R$ 2,60 /Kg e c f = R$ 50,00 /m 2. Estes custos ncluem o custo do materal utlzado e sua aplcação. 7.3 Resultados numércos O problema fo resolvdo utlzando-se quatro dferentes valores para o peso do motor P motor, como mostrado na Tabela Os resultados obtdos são mostrados nas Tabelas à Tabela Valores assumdos por P motor e p 0 : Exemplo P motor (N) p 0 (N) Tabela Resultados obtdos para o Exemplo 1: Varáves de Projeto Custo R$ k b 1 (m) b 2 (m 2 /m) b 3 (m 2 /m) Concreto Aço Forma Total 0 0,0700 0, , ,80 25, , , ,1714 0, , ,38 203, , ,34 O custos do concreto, aço e forma foram separados com o objetvo de se verfcar a nfluênca de cada um no peso fnal e também sua sensbldade em relação às varáves de projeto. O máxmo deslocamento obtdo no Exemplo 1 fo 1,83 cm, enquanto que o máxmo permtdo é 2 cm. Os momentos de projeto máxmo são γ f max{ M } 1 nno x = γ f max{ M } 1 nno Nm/m. A Fgura mostra a confguração da placa quando a mesma atnge o y =

85 60 deslocamento máxmo no projeto ótmo. Nesta fgura, o plano que representa a restrção aos deslocamentos é mostrado logo abaxo da placa. Fgura Confguração de deslocamento máxmo na solução ótma no Exemplo 1 Tabela Resultados obtdos para o Exemplo 2: Varáves de Projeto Custo R$ k b 1 (m) b 2 (m 2 /m) b 3 (m 2 /m) Concreto Aço Forma Total 0 0,1500 0, , ,00 55, , , ,2050 0, , ,52 241, , ,56 O máxmo deslocamento obtdo no Exemplo 2 fo 1,63 cm, enquanto que o máxmo permtdo é 2 cm. Os momentos de projeto máxmo são γ f max{ M } 1 nno x = γ f max{ M } 1 nno Nm/m. O máxmo deslocamento obtdo no Exemplo 3 fo 1,39 cm, enquanto que o máxmo permtdo é 2 cm. Os momentos de projeto máxmo são γ f max{ M } Nm/m. 1 nno x y = γ f max{ M } 1 nno y = =

86 61 Tabela Resultados obtdos para o Exemplo 3: Varáves de Projeto Custo R$ k b 1 (m) b 2 (m 2 /m) B 3 (m 2 /m) Concreto Aço Forma Total 0 0,2500 0, , ,00 91, , , ,2544 0, , ,10 309, , ,59 Tabela Resultados obtdos para o Exemplo 4: Varáves de Projeto Custo R$ k b 1 (m) b 2 (m 2 /m) B 3 (m 2 /m) Concreto Aço Forma Total 0 0,2500 0, , ,00 91, , , ,2926 0, , ,38 361, , ,13 O máxmo deslocamento obtdo no Exemplo 4 fo 1,24 cm, enquanto que o máxmo permtdo é 2 cm. Os momentos de projeto máxmo são γ f max{ M } 1 nno x = γ f max{ M } 1 nno Nm/m. A Fgura mostra a confguração da placa quando a mesma atnge o deslocamento máxmo no projeto ótmo. Nesta fgura, o plano que representa a restrção aos deslocamentos é mostrado logo abaxo da placa. y = Fgura Confguração de deslocamento máxmo na solução ótma no Exemplo 4 Pode-se notar que em todos os exemplos resolvdos nesta seção que apenas os momentos fletores nfluencaram o projeto fnal. Tal conclusão pode ser obtda observando-se que os deslocamentos máxmos obtdos em todos os casos estão relatvamente dstante do

87 62 máxmo permtdo. Nestes exemplos, pode-se dzer que as restrções relatvas aos momentos fletores são ε-atvas. 7.4 Comentáros No problema em questão prevalecem os esforços de flexão. Neste caso, o crtéro de ruína de Johanson trabalha efcentemente. Segundo (Velasco et al, 1995), nos casos onde os esforços de torção são sgnfcatvos é necessáro a correção desta superfíce.

88 63 Capítulo 8 Otmzação de uma sapata em concreto armado 8.1 Introdução O objetvo deste Capítulo é formular um problema de otmzação do projeto de uma sapata destnada ao suporte de uma máquna vbratóra. A sapata é mostrada na Fgura e a dscretzação adotada na Fgura A sapata é retangular e encontra-se apoada sobre o solo, consderado aqu como uma base de comportamento vscoelástco. A função objetvo consderada é o custo de construção da sapata, nclundo o custo do concreto, do aço e da forma. O carregamento estátco é o peso própro do motor e também da sapata, enquanto que o carregamento dnâmco é devdo às vbrações provocadas pelo funconamento do motor. As verfcações adotadas na solução deste problema estão baseadas em expressões para o cálculo do concreto armado, nteração solo-estrutura e anda outras

89 64 relaconadas com o conforto humano. Apresenta-se, anda, análse de sensbldade no resultado fnal. Fgura Sapata a ser otmzada 8.2 Formulação do problema O problema consste em mnmzar o custo de construção de uma sapata semelhante àquela mostrada nas Fguras e Os lados da sapata são 2l x e 2l y, enquanto que a espessura é h. A sapata é dscretzada em n no = 80 nós e n e = 126 elementos, utlzando-se elementos trangulares com 9 graus de lberdade, conforme descrto no Capítulo 6. O sstema dnâmco descrto pelas equações do movmento possu 3 n no = 240 graus de lberdade. A sapata é exctada com carregamento harmônco devdo a um motor com peso P motor e freqüênca Ω. As varáves de projeto adotas para o problema são b t = [b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 ] [h

90 65 A sx A sy l x l y ], onde A sx e A sy são as áreas de aço perpendcular, respectvamente, aos exos y e x. Fgura Sapata dscretzada O problema de otmzação é mnmzar a função custo: f(b) = C c C s C f, (8.2.1) onde C c, C s e C f são respectvamente os custos do concreto, do aço e da forma. Pode-se escrever: C c = 4 b 1 b 4 b 5 c c, (8.2.2) C s = ( b b b b ) ρ c e (8.2.3) s s C f 4[ b1 ( b4 b5 ) b4b5 ] c f =. (8.2.4) Nessas expressões c c é o custo por undade de volume do concreto, ρ s é a densdade do aço, c s é o custo por undade de massa do aço e c f é o custo por undade de área da forma. Sujeto às restrções estátcas: - a espessura mínma

91 66 - b 1 h l 0 (8.2.5) - o valor mínmo de A sx - b 2 0,0015b 1 0 (8.2.6) - o valor mínmo de A sy - b 3 0,0015b 1 0 (8.2.7) - o valor máxmo de A sx b 2 0,04b 1 0 (8.2.8) - o valor máxmo de A sy b 3 0,04b 1 0. (8.2.9) - o valor mínmo de l x - b 4 l x mn 0 (8.2.10) - o valor mínmo de l y - b 5 l y mn 0 (8.2.11) - a prncpal freqüênca natural de vbração Ω 0,5 1,5 ω 1 (8.2.12) - o máxmo deslocamento estátco w - z su 0; = 1,...,n no (8.2.13) s - o máxmo deslocamento dferencal s s j w - w - d su 0; = 1,...,n no ; j = 1,...,n no (8.2.14) - a máxma tensão estátca no solo η w s - σ s /γ ss 0; = 1,...,n no (8.2.15) Sujeto às restrções dnâmcas, t [0,T]: - o máxmo deslocamento transversal

92 67 w - z du 0; = 1,...,n no (8.2.16) d - a máxma velocdade transversal d w& - v u 0; = 1,...,n no (8.2.17) - a máxma aceleração transversal w& & d - a u 0; = 1,...,n no (8.2.18) - a verfcação da altura útl da sapata 2 e [( b c p ) / β ] γ M 0; e = 1,...,n e ; = 1,2,3 (8.2.19) 1 1 f x - a verfcação da altura útl da sapata 2 e [( b c p ) / β ] γ M 0; e = 1,...,n e ; = 1,2,3 (8.2.20) 1 1 f y - a verfcação da área de aço A sx e f x p γ M β b ( b c ) 0; e = 1,...,n e ; = 1,2,3 (8.2.21) - a verfcação da área de aço A sy e f y p γ M β b ( b c ) 0; e = 1,...,n e ; = 1,2,3 (8.2.22) - a máxma tensão dnâmca no solo η w d - σ s /γ ds 0; = 1,...,m (8.2.23) - verfcação da torção superfíce de ruína de Johansen e 2 xy e x e y M ( M M )( M M ) 0; e = 1,...,n e ; = 1,2,3 (8.2.24) e 2 xy px e x py e y M ( M M )( M M ) 0; e = 1,...,n e ; = 1,2,3 (8.2.25) px py e Os índces (*) representam os campos (*) no -ésmo nó do e-ésmo elemento. Os valores máxmo e mínmo da espessura e da armadura são dados pela NB-1 (1978). As dmensões do motor a ser nstalado bem como o espaço necessáro para a sua operação e manutenção defnem os valores de l x mn e l y mn. Dependendo da área dsponível para a

93 68 construção da fundação, torna-se necessáro restrngr também os valores máxmos de l x e l y. As restrções (8.2.12) estão relaconadas com as condções de ressonânca do sstema fundação-máquna, enquanto que as (8.2.3) à (8.2.5) dependem dos requermentos da máquna e do solo sob a sapata. O máxmo deslocamento estátco permtdo é z su = mn(b 4 ;b 5 )/10 e o máxmo deslocamento dferencal permtdo é d su = mn(b 4 ;b 5 )/100. As restrções (8.2.16) à (8.2.18) contemplam a sensbldade dos seres humanos e da estrutura em relação às vbrações. As equações (8.2.19) à (8.2.22) são necessáras para a verfcação da equvalênca entre os esforços nternos e os externos, enquanto que (8.2.23) mpõe um lmte máxmo para as tensões dnâmcas de compressão no solo. As constantes γ ss e γ ds são os coefcentes de mnoração da tensão de ruptura do solo σ s (Das, 1990; Bowles, 1996). Para sapatas embutdas no solo, o coefcente de reação vertcal do solo η pode ser determnado através da expressão (Arya et al, 1979): η G s w w =, (8.2.26) 1 ν s β η 4l x l y onde lx β w = , (8.2.27) l y η w 0.6(1 ν s ) h = 1 (8.2.28) 4l l x π y e ν s o coefcente de Posson e G s o módulo de elastcdade transversal do solo. Arya et al (1979) também apresentaram as seguntes constantes elástcas relaconadas com os movmentos de corpo rígdo de rotação em torno do exo z, e de deslocamentos nas dreções de x e y, respectvamente: 3 16Gsr K 0 T =, (8.2.29) 3

94 69 K X = 4 (1 ν ) G β η l l e (8.2.30) s s x xy x y K Y = 4 (1 ν ) G β η l l, (8.2.31) s s y xy x y onde r l ( ) 4 xl y l x l y = (8.2.32) 2 6π é o rao equvalente da sapata, e lx β x = , (8.2.33) l y l y β y = e (8.2.34) l x η xy 0.55(2 ν s ) h = 1 (8.2.35) 4l l x π y são coefcentes não dmensonas relaconados com as dmensões da sapata e o coefcente de Posson do solo. As constantes relaconadas com a massa da estrutura nas dreções de x e y, e a rotação em torno do exo z são, respectvamente: m X = m Y = 4 ρ h l x l y e (8.2.36) m T = ρ hlxl y ( lx l y ). (8.2.37) 3 A contrbução da elastcdade do solo para a matrz de rgdez de um determnado elemento é consderada como (Slva et al, 1999): Ω e e K = η N N dxdy, (8.2.38) e e t onde N e é do vetor das funções de forma do elemento e Ω e é o domíno do elemento (Shgueme, 1995).

95 70 O vetor carga p(t) possu uma parte estátca, devda ao peso própro da sapata p sgp, gualmente dstrbuída sobre os m nós, p = 4b b b59,81 / n, =1,4,8,10,...,3m1, (8.2.39) sgp 1 4 ρ no e uma outra provda pelo peso do motor e equpamentos nstalados p sg M, aplcadas sobre os nós 11, 14, 35, 38, 68 e 80, psgm = Pmotor / 6, = 31,40,103,112,199,208. (8.2.40) Assm, o vetor carga estátca pode ser escrto como: p s = p sgp p sgm. (8.2.41) O motor em funconamento produz os esforços dnâmcos, como descrto abaxo: pdm = p0 sn Ω t, t [0, T ], = 31,40,103,112,199,208. (8.2.42) O vetor de carregamento dnâmco pode então ser escrto como: p d (t) = p dm (t), t [0,T]. (8.2.43) Fnalmente o vetor carga externa é p = p s p d. As condções ncas são z d (0) = 0 e z& d (0) = 0, onde 0 é o vetor nulo. 8.3 Dados numércos A espessura mínma é h l = 0,50 m. Os valores mínmos para os sem-lados da placa são l x mn = 3,0 m e l y mn = 4,0 m. Para o dmensonamento em concreto armado, fo adotado um cobrmento c p = 3 cm, e também f ck = 18 MPa, γ c = 1,4, γ f = 1,4, γ s = 1,15, aço CA-50, β 1 = 0,0699 e β 2 = (Susseknd, 1989). A armadura possu densdade ρ s = 7850 kg/m 3. O concreto apresenta densdade ρ = 2500 kg/m 3 e módulo de elastcdade E = 20 GPa. O motor tem freqüênca Ω = 727,7 rad/s, P motor = N e p 0 = N. São consderados anda os fatores γ f = 1,4, γ ss = 2 e γ ds = 4/3. Para obter o amortecmento de Raylegh fo consderado

96 71 uma taxa de amortecmento de 15% para o prmero modo de vbração e de 20% para o quarto modo. O tempo de análse é T = 0,0863 s, dscretzado em 120 segmentos. Os parâmetros do solo são G s = ,8 Pa, ν s = 0,45 e σ s = 0,1 MPa. Para computar a função custo fo consderado c c = R$ 190,00 /m 3, c s = R$ 2,60 /Kg e c f = R$ 50,00 /m 2. Estes custos ncluem o custo do materal utlzado e também sua aplcação. 8.4 Análse da nfluênca do nível de conforto no projeto fnal Introdução O objetvo desta seção é nvestgar a nfluênca do nível de conforto em relação às vbrações no projeto fnal. Para tal análse, o problema descrto pelas equações (8.2.1) à (8.2.25) fo resolvdo de duas maneras dferentes: no Exemplo 1, consderando apenas exgêncas da máquna e estrutura; no Exemplo 2, consderando a presença de pessoas trabalhando perto da fundação. Para o cálculo do gradente do Lagrangano aumentado fo utlzado o método das dferenças fntas com perturbação central. Tabela Valores assumdos por z du, v u e a u : Exemplo z du (mm) v u (m/s) a u (m/s 2 ) 01 0,006 0, , ,003 0, ,08

97 Resultados obtdos Os resultados obtdos para os dos exemplos são mostrados nas Tabelas e Observe que as restrções sobre o deslocamento, a velocdade e a aceleração são ε-atvos, vsto que suas varações nfluencam no projeto fnal. O tempo computaconal para o obtenção do projeto ótmo no Exemplo 1 fo de 2834 s, enquanto que no Exemplo 2 fo de 6950 s. O valor da função objetvo mostrado na Tabela (pratcamente o dobro do valor da Tabela 8.4.2) ndca que o nível de conforto adotado num projeto de fundação de máquna nfluenca sobremanera o projeto fnal. O nível de conforto dos operadores e das pessoas que fazem manutenção no projeto ótmo do Exemplo 2 é bem superor que aquele do Exemplo 1. O nível de conforto proporconado pelo projeto do Exemplo 1 não causa nos seres humanos danos físcos nem pscológcos (Arya et al, 1978). Tabela Resultados obtdos para o Exemplo 1: Projeto Iteração B 1 (cm) b 2 (cm 2 ) b 3 (cm 2 ) b 4 (dm) b 5 (dm) f(b) (R$) Incal 0 85,00 11,25 11,25 30,00 40, ,46 Fnal 12 88,84 12,08 11,82 30,10 42, ,35 Tabela Resultados obtdos para o Exemplo 2: Projeto Iteração B 1 (cm) b 2 (cm 2 ) b 3 (cm 2 ) b 4 (dm) b 5 (dm) f(b) (R$) Incal 0 85,00 11,25 11,25 30,00 40, ,46 Fnal ,02 16,46 16,94 38,61 51, , Comentáros Outra abordagem para análse dos problemas de conforto humano pode ser encontrada no trabalho de Fusco e Almeda (1998). Neste trabalho, uma análse das vbrações no Estádo

98 73 do Morumb fo realzada e o conforto humano verfcado. A norma ISO apresenta dversos ábacos e lmtes de deslocamento, velocdade e aceleração para os problemas de vbrações envolvendo o conforto humano, e anda a tolerânca ao valor máxmo da aceleração devdo ao tempo de exposção. O trabalho de Almeda Neto (1989), além de contemplar com muta propredade a análse de fundações de máqunas, apresenta os lmtes de vbração à partr dos quas podem ocorrer danos à saúde humana e à segurança de uma dada estrutura. Goldenberg et al (1998b, 1998c) analsaram dos problemas de otmzação, um de uma placa metálca e outro de uma coluna em concreto armado, onde o custo da estrutura é mnmzado, levando-se em consderação o conforto humano. 8.5 Influênca da análse de sensbldade no projeto fnal Introdução O problema de otmzação descrto por (8.2.1) à (8.2.26) é agora resolvdo utlzandose o método das varáves adjuntas para o cálculo do gradente do Lagrangano aumentado. Isto é feto para o nível de conforto descrto no Exemplo 1 da seção 8.4. Ou seja, apenas exgêncas da máquna e estrutura serão levadas em consderação. Na mplementação do método das varáves adjuntas fo adotado um processo semanalítco, vsto que o cálculo de fntas com perturbação central. a Φ / b fo realzado utlzando-se o método das dferenças

99 Resultados obtdos Os resultados obtdos para o problema em questão são mostrados na Tabela Observe que os valores desta tabela são extremamente próxmos daqueles mostrados na Tabela 8.4.2, vsto que o valor fnal da função objetvo nesta tabela dfere em apenas 0.06% dos mostrados naquela. O tempo computaconal necessáro para a obtenção dos resultados utlzando-se o método das varáves adjuntas é de 2439 s, aproxmadamente 15% nferor ao tempo computaconal apresentado utlzando-se o método das dferenças fntas. Para verfcar a precsão e ao mesmo tempo a dferença entre a solução dada pelos dos métodos, elaborou-se a Tabela onde são mostrados os valores obtdos pelo método das varáves adjuntas e pelo método das dferenças fntas com perturbação central. Os cálculos foram efetuados para os parâmetros de conforto do Exemplo 1 descrto na seção 8.4 à partr dos seguntes valores das varáves de projeto: b t = [91 13,65 13,65 36,6 45,81]. Observa-se dos valores mostrados que os resultados são extremamente próxmos durante todos os passos analsados. Os passos descrtos na Tabela representam as terações do problema de otmzação sem restrções, passo 2 do Algortmo I (Lagrangano aumentado). Observa-se também que o módulo do vetor gradente dmnu passo a passo, assm como esperado num processo de otmzação sem restrções. Tabela Resultados obtdos utlzando-se o método das varáves adjuntas: Projeto Iteração b 1 (cm) b 2 (cm 2 ) b 3 (cm 2 ) b 4 (dm) b 5 (dm) f(b) (R$) Incal 0 85,00 11,25 11,25 30,00 40, ,46 Fnal 10 88,88 12,08 11,82 30,09 42, ,59

100 75 Tabela Comparação dos vetores gradente obtdos com o método das varáves adjuntas e o método das dferenças fntas: Passo () Método f(b ) 1 f(b ) 2 f(b ) 3 f(b ) 4 f(b ) Df. Fntas -4295,58 14,94 18, , ,98 Adjuntas -4294,23 14,94 18, , ,41 Df. Fntas -2892,55-928,45-929, , ,04 Adjuntas -2891,09-928,06-928, , ,14 Df. Fntas -1085,63-689,92-683, ,00-862,12 Adjuntas -1085,68-689,82-683, ,28-863,88 Df. Fntas -34,82 18,82 20,90 281,18 289,52 Adjuntas -35,13 18,82 20,90 280,89 289, Comentáros A adoção do método das varáves adjuntas para o cálculo do vetor gradente, no presente exemplo, proporcona resultados com a mesma precsão daqueles fornecdos pelo método das dferenças fntas, porém com um ganho de tempo computaconal da ordem de 15%. Tal resultado já hava sdo levantado na seção onde fo comentado o número de operações artmétcas necessáras para a evolução do vetor gradente utlzando-se dferentes métodos.

101 76 Capítulo 9 Um crtéro de ruína para elementos em concreto armado submetdos a flexão oblqua composta 9.1 Introdução A necessdade de procedmentos automátcos para a obtenção de estruturas em concreto armado cada vez mas leves e econômcas tem dado grande motvação ao desenvolvmento de métodos computaconas de otmzação. Uma dfculdade nerente ao concreto armado é que suas característcas de resstênca dependem da dsposção e quantdade de armaduras e do valor da deformação em cada ponto das nfntas seções

102 77 transversas de uma estrutura. Essa crcunstânca dfculta sobremanera a defnção das restrções a serem mpostas no processo de otmzação, especalmente em problemas de otmzação dnâmca. No presente trabalho de pesqusa, fo desenvolvdo um crtéro de ruína para vgas e colunas sujetas a flexão oblíqua composta. Esse crtéro basea-se em uma aproxmação da superfíce de ruptura real, que sera obtda utlzando as dsposções de Norma, por uma superfíce empírca, função de oto parâmetros. Quatro deles são as resstêncas em alguns pontos específcos na superfíce e quatro são coefcentes exponencas da equação da superfíce. A função objetvo é o erro com que a superfíce real de ruptura é aproxmada pela superfíce empírca, enquanto que as varáves de projeto são os coefcentes exponencas. A meta é determnar os coefcentes de para que o erro global de aproxmação seja mínmo. Isso pode ser feto de forma tal que os erros locas de aproxmação sejam conservatvos ou não. Por outro lado, essa superfíce pode ser crada mpondo que a aproxmação nunca seja contra a segurança, restrngndo-se os erros locas. Város exemplos prátcos são apresentados e resolvdos. Dferentes funções objetvo e métodos numércos são adotados vsando determnar qual a manera mas efcente para a solução deste tpo de problema. 9.2 Apresentação do problema Consdere a seção transversal retangular de uma barra em concreto armado mostrada na Fgura 9.2.1a submetda aos seguntes esforços nternos: a força axal (ou normal) N, e os momentos de flexão M a e M b, na dreção dos exos prncpas aa e bb da seção, que compõem um ponto (N,M a,m b ) num espaço trdmensonal. Consdera-se N > 0 na tração e N < 0 na compressão. A resultante dos momentos é M, ξ = arctan(m b /M a ) é o ângulo entre as dreções

103 78 de M e o exo aa, e φ o ângulo entre a lnha neutra e o exo aa. A lnha neutra é desgnada por LN e y LN é a dstânca entre a lnha neutra e o centro de gravdade da seção transversal. A Fgura 9.2.1b mostra a hpótese cnemátca adotada para as deformações normas das fbras longtudnas do elemento. A dstânca de uma determnada fbra longtudnal à lnha neutra é desgnada por y e a deformação à qual ela está submetda é ε(y). As grandezas ε s1, ε s2 e ε c representam, respectvamente, as deformações em um ponto genérco da armadura superor A s1, da armadura nferor A s2, e do concreto. A Fgura 9.2.1c apresenta as relações tensãodeformação para as armaduras superor e nferor, e também para o concreto comprmdo. Em geral, a máxma resstênca à flexão oblqua composta de um elemento estrutural resulta de hpóteses nas quas as deformações no aço e/ou no concreto assumem os valores máxmos permtdos. A máxma deformação permtda para o aço ε s max e o máxmo encurtamento permtdo para o concreto é ε max c. As tensões normas correspondentes às deformações ε s1, ε s2 e ε c são, respectvamente, σ s1, σ s2 e σ c, e as resultantes da ntegral destas tensões no domíno da seção são, respectvamente, R s1, R s2 e R c. Pode-se escrever: R s1 = Ω σ s1( ε) dω, (9.2.1) s1 R s2 = Ω σ ε ) dω e (9.2.2) s 2 s2 ( Rc = σ c (ε ) dω, (9.2.3) Ω c onde Ω s1, Ω s2, Ω c são respectvamente os domínos da armadura superor, da armadura nferor e da parte comprmda da seção transversal. Fazendo o equlíbro de forças axas, obtém-se: R s1 R s2 R c N = 0 (9.2.4)

104 79 As ntegras das tensões no aço podem ser faclmente obtdas utlzando procedmentos descrtos em Fusco (1981). Já as ntegras das tensões no concreto podem ser fetas analítca ou numercamente. Os processos mas conhecdos para resolver esse problema são o processo das malhas e o processo da polgonal (Santos, 1994). Fgura Típca seção transversal de um elemento lnear em concreto armado submetdo à flexão oblqua composta As restrções dnâmcas, baseadas no método dos estados lmtes, relaconadas com a verfcação da resstênca à flexão oblqua composta de barras num problema de dnâmca estrutural podem ser expressas por: M d ( b, t) M ( b, ξ, φ, N( t)) 0 t [0,T] (9.2.5a) u N uc N (b, t) N t [0,T] (9.2.5b) d ut onde M d = γ f M e N d = γ f N são, respectvamente, o momento de flexão resultante de projeto e a força axal de projeto, fornecdos pela análse estrutural. Estes esforços são funções da geometra da estrutura, da propredades dos materas que compõem a estrutura, do carregamento externo e do tempo. O fator γ f é o coefcente de majoração dos esforços característcos. O momento M u é o momento resstente últmo da seção transversal em relação ao exo que passa pelo centro de gravdade da seção e faz um ângulo ξ com a dreção de M a.

105 80 Fnalmente, N ut e N uc são, respectvamente, de força de tração e de compressão resstentes últmas da seção. Enquanto que o cálculo de N ut e N uc é trval, o mesmo geralmente não é verdade para M u que depende das varáves de projeto b, da força axal N e dos ângulos ξ e φ. O prmero problema a ser resolvdo para se obter M u é a determnação smultânea da dstânca da lnha neutra ao centro de gravdade da seção transversal y LN que satsfaça (9.2.4) e da nclnação φ que resulte em M u paralelo à M d. O procedmento tradconal para a determnação de y LN e φ é através da utlzação de terações do tpo Newton-Raphson (Atknson, 1993). Uma vez encontrada a lnha neutra, determna-se M u calculando-se o momento resultante das tensões nternas no aço e no concreto. O cálculo de M u através do processo de ntegração de tensões torna a adoção da restrção (9.2.5a) extremamente cara do ponto de vsta de tempo computaconal. A sugestão dada neste trabalho para superar este problema é a adoção de um crtéro de ruína. Métodos de otmzação são utlzados para a determnação de alguns parâmetros envolvdos no crtéro de ruína. 9.3 Crtéros de ruína exstentes Introdução Crtéros de ruptura (ou de ruína) são tpcamente caracterzados por uma superfíce lmte, a qual dvde o espaço de esforços em dos sub-espaços: um onde o conjunto de forças e momentos não provocam ruptura da seção e o espaço restante que leva à ruptura. Uma representação geral para a superfíce de ruptura dos elementos em concreto armado em questão é expressa matematcamente por: F(N,M a,m b ) = 0. (9.3.1)

106 81 O conjunto de força normal e de momentos de flexão que não levam a estrutura a um estado lmte últmo satsfaz o crtéro: F(N,M a,m b ) 0, (9.3.2) enquanto que todas as outras combnações de esforços excedem a capacdade estrutural Os Métodos de Bresler Exstem dos métodos, desenvolvdos por Bresler (1969), para seções submetdas à flexão oblqua composta: o método da carga recíproca e método da carga de contorno. Para a formulação do método da carga recíproca, Bresler observou que a superfíce de ruptura real pode ser plotada em termos de 1/N e das excentrcdades e a = M a /N e e b = M b /N. Esta superfíce é, então, aproxmada através de planos defndos para cada combnação de e a e e b. Observe-se que para cada ponto (N,M a,m b ) um plano é defndo. A déa por trás deste método é que a ordenada exata (1/N) exata será sempre estmada a favor da segurança pela ordenada (1/N) aprox obtda consderando o plano de Bresler. Em outras palavras, (1/N) aprox é sempre maor do que (1/N) exata, o que sgnfca que N aprox é sempre menor que N exata. A equação para o método da carga recíproca é deduzda à partr da geometra do plano de aproxmação e pode ser escrta como: 1 N aprox 1 N ua 1 N ub 1 N uc = 0 (9.3.3) onde N aprox é a aproxmação do valor lmte da força axal para excentrcdades e a e e b, N ua é o valor máxmo de N quando somente a excentrcdade e a está presente (.e., e b = 0), N ub é o valor máxmo de N quando somente a excentrcdade e b está presente (.e., e a = 0) e N uc fo defndo na seção Este método encontra-se também descrto nos trabalhos subseqüentes de Nlson e Wnter (1986).

107 82 O método da carga de contorno é baseado na representação da superfíce de ruptura por uma famíla de curvas, onde uma curva é crada para cada valor de N. A forma geral das curvas é representada por uma equação admensonal de nteração escrta como: M M a uan α 1 M M b ubn α 2 1 = 0, (9.3.4) onde M a e M b são os momentos de flexão; α 1 and α 2 são coefcentes exponencas. Eles dependem das dmensões da seção transversal, da quantdade e dstrbução da armadura longtudnal, das relações tensão-deformação tanto do concreto quanto do aço, do cobrmento da armadura e o dâmetro dos estrbos. M uan é o máxmo valor que pode ser assumdo por M a quando M b = 0, para um dado valor de N; M ubn é o máxmo valor que pode ser assumdo por M b quando M a = 0, para um dado valor de N. Cálculos efetuados por Bresler (1960), consderando α 1 = α 2 = α ndcam que os valores de α varam entre 1,15 e 1,55 para seções retangulares. Fgura Contornos de nteração para dferentes valores de α 1 = α 2 = α

108 Superfíces pramdas MacGregor (1992) apresentou uma superfíce de ruptura pramdal. Esta superfíce é um caso partcular do método da carga de contorno, consderando os coefcentes exponencas gual à 1. Ferguson et al (1988) e MacGregor (1992) propuzeram a segunte superfíce de ruína: M M a uan M M b ubn 1 β 1 = 0 β se M a M > b ou (9.3.5a) M uan M ubn M M a uan 1 β M β M b ubn 1 = 0 se M a M b. (9.3.5b) M uan M ubn O valor de β (0, 1) depende das dmensões da seção transversal, quantdade e dstrbução da armadura e das relações tensão-deformação para o aço e o concreto O Método da Carga de Contorno Generalzado Dos métodos descrtos anterormente, o que se consagrou como o mas efcente e se tornou o mas utlzado é o método da carga de contorno. Assm, pesqusadores trabalharam no sentdo de generalzar este método. Hsu (1988) propôs a segunte equação para a superfíce de ruína: M M a ba 1,5 M M b bb 1,5 N N N br b 1 = 0 (9.3.6) onde - N b é o valor de força axal para a qual o momento resstente M u é máxmo; - N br é gual à N ut - N b se N > N b, ou N b - N uc se N N b ; - M ba é o valor do máxmo possível para M a quando M b = 0 e N = N b ; - M bb é o valor do máxmo possível para M b quando M a = 0 e N = N b ;

109 84 Contnuando os estudos sobre a generalzação do método da carga de contorno, Muñoz e Hsu (1997) propuseram a equação: / 2 1 = α α α α γ γ br b nb b nb a N N N M M M M (9.3.7) onde γ 1 e γ 2 são coefcentes que dependem da força axal, M nb depende apenas das propredades da seção transversal, e α 1 e α 2 que são os coefcentes exponencas. 9.4 Um crtéro de ruína e um procedmento vável para a sua mplementação A superfíce de ruína proposta Consdere-se N c = ½ (N ut N uc ) e N r = ½ (N ut - N uc ); M ua como o valor máxmo que pode ser assumdo por M a quando M b = 0 e N = N c ; M ub o valor máxmo que pode ser assumdo por M b quando M a = 0 e N = N c. Supõe-se que a superfíce de ruptura de um elemento em concreto armado (Fgura 9.2.1a) submetdo à flexão oblqua composta pode ser aproxmada como: G(N,M a,m b,α) 1 = 0, (9.4.1a) onde α α α = r c ub b ua a N N N M M M M G se N > N c ; (9.4.1b) α α α = r c ub b ua a N N N M M M M G se N N c ; (9.4.1c)

110 85 onde α, = 1,...,4 são os coefcentes exponencas, dependentes das dmensões da seção transversal, da quantdade e dstrbução da armadura longtudnal, das relações tensãodeformação tanto do concreto quanto do aço, do cobrmento da armadura e o dâmetro dos estrbos. O crtéro de ruína, consderando os esforços de projeto, é escrto como: γ f M M ua a α 1 γ f M M ub b α 2 N N N r c ( α3 ou α 4 ) 1 0. (9.4.2) Uma vez que os valores de N, M a e M b são fornecdos pela análse estrutural e os valores de M ua, M ub, N ut e N uc são faclmente calculáves, as ncógntas do problema são os valores de α, = 1,...,4. Se estes puderem ser obtdos com uma certa facldade, a verfcação da resstênca à flexão oblqua composta de barras de concreto armado torna-se muto mas smples. As equações (9.4.1) representam uma das varações do método da carga de contorno generalzado, porém com algumas característcas até então nexploradas, tas como o número de quatro coefcentes exponencas Determnação dos coefcentes exponencas Calcule-se m pontos {P (N,M ua,m ub ), = 1, 2,..., m} sobre a superfíce de ruptura real. Em geral, para uma dada força normal N e um ângulo ξ = arctan(m ub /M ua ), o momento resstente de um elemento estrutural em concreto armado M u pode ser computado e decomposto em M ua = M u cosξ e M ub = M u senξ. Consderando-se os pontos P = [ P1 P2 P3... Pm α 3 α 4 ] t pode ser escrta como: E ] t, uma função de erro global de aproxmação em função de α = [α 1 α 2 1 P. (9.4.3) m 2 1(, α ) = [ G( P, α ) 1] = 1 2

111 86 O erro local lnear de aproxmação da superfíce real pela superfíce empírca é E M M e u (P,α) =, (9.4.4) M u onde M e é o momento de aproxmação, ou seja, um ponto sobre a superfíce empírca para uma dada força axal N e um ângulo ξ. Assm, M e precsa satsfazer a equação: M e cosξ M ua α 1 α α 2 3, M esenξ M ub N N N r c α 4 1 = 0. (9.4.5) Em (9.4.5) os coefcentes exponencas do tercero termo do prmero membro podem ser α 3 ou α 4, de acordo com (9.4.1b) e (9.4.1c). Para resolver a equação (9.4.5) é necessáro dspor de métodos numércos tas como o método de Newton (Atknson, 1993). Uma vez que os valores de M e e M u são obtdos, pode-se calcular (9.4.4). Se este resultado for postvo, então a aproxmação é não conservatva (.e., contra a segurança); se o resultado for negatvo, então a solução é conservatva; se o resultado for nulo, sgnfca que a aproxmação é exata. Baseado na expressão (9.4.4), pode-se defnr outra função erro global de aproxmação como: E 1 P. (9.4.6) m 2 2 (,α ) = E ( P,α ) = 1 2 Observe que a computação de (9.4.3) nclu o erro numérco do cálculo de M u, enquanto que a computação de (9.4.6) nclu o erro numérco do cálculo de M u e M e. Mnmzar a função erro global (9.4.3) ou (9.4.6) é o mesmo que utlzar o método dos mínmos quadrados para resolver o problema de aproxmação. Neste caso, a adoção de métodos de otmzação sem restrções sera sufcente para a determnação dos valores ótmos dos coefcentes exponencas. Mas, utlzando esta técnca, o projetsta não tem nenhum controle sobre os valores assumdos pelo erro local em (9.4.4). Para se obter um controle sobre os erros locas é necessáro a adoção de métodos de otmzação com restrções, onde o seram mpostos lmtes para os valores assumdos por (9.4.4).

112 87 Consdere-se o vetor c = [c ], onde c = α, = 1,...,4, e a função objetvo f(c) tal que f(c) = E j (P,c), onde j =1 ou 2. Pode-se defnr um problema de otmzação sem restrções como mnmzar a função objetvo (erro global de aproxmação): mnmze f(c), c R 4. (9.4.7) Os métodos de otmzação sem restrção utlzados para a solução de (9.4.7) são baseadas em uma dreção de busca e em um algortmo de busca undmensonal (Gll et al, 1981). Para computar a dreção de busca foram utlzados três dferentes métodos: o método da reta de máxmo declve (Luenberger, 1984); o método Gauss-Newton (Gll et al, 1981); e o método dos gradentes conjugados (Arora, 1989). Na busca undmensonal fo utlzado o método de Armjo, como descrto por Fletcher (1985). Pode-se defnr um problema de otmzação com restrções como mnmzar a função objetvo (erro global de aproxmação): mnmze f(c), c R 4 (9.4.8) sujeto à g = E ( P,α) ε max 0, =1,...,m. (9.4.9) onde ε max é o máxmo erro de aproxmação permtdo. Para a solução do problema descrto por (9.4.8) e (9.4.9) fo adotado o método do Lagrangano aumentado (Chahande e Arora, 1994). Para computar a dreção de busca foram

113 88 utlzados dos dferentes métodos: o método da reta de máxmo declve (Luenberger, 1984); e o método dos gradentes conjugados (Arora, 1989). Na busca undmensonal fo utlzado o método de Armjo, como descrto por Fletcher (1985). Caso, no problema defndo por (9.4.8) e (9.4.9), ε max seja nulo, a superfíce empírca obtda nunca estará contra a segurança. No caso ε max = 0,1, em alguns pontos poder-se-á obter um erro de 10% contra a segurança. Uma outra consderação é que se ε max assume um valor relatvamente alto, a solução do problema de otmzação com restrções torna-se a mesma do problema sem restrções. A formulação dada por (9.4.7) não permte um controle sobre o erro máxmo, enquanto que o problema defndo por (9.4.8) e (9.4.9) dexa para o projetsta a decsão de escolher com qual erro máxmo ele pretende trabalhar. 9.5 Comentáros sobre os crtéros de ruína apresentados A desvantagens dos métodos apresentados com base nas Equações (9.3.1) à (9.3.5) é que, para efetos prátcos, eles recaem no problema de tempo computaconal da Equação (9.2.5a), vsto que para o cálculo de N ua e N ub ou M uan e M ubn é necessáro realzar a ntegração de tensões, o equlíbro de forças normas, calcular o momento resultante, etc., para todos os valores de N (.e. para váras seções de todos os elementos e para todos os nstantes de tempo). O método baseado na Equação (9.3.6) apresenta o problema da determnação do valor de N b. Uma vez conhecda esta grandeza, o método torna-se extremamente ágl. A Equação (9.3.7), segundo Muñoz e Hsu (1997), apresenta boa precsão, porém γ 1 e γ 2 dependem da

114 89 força axal N e conseqüentemente traz o problema de tempo computaconal da Equação (9.2.5a). Estes dos métodos foram desenvolvdos no contexto de pesqusas relaconadas com o dmensonamento do concreto armado. Já o método proposto neste trabalho fo desenvolvdo em uma pesqusa sobre a otmzação de estruturas de pórtcos espacas em concreto armado. A computação da restrção apresentada em (9.2.5a) tornara nvável o algortmo de otmzação. Em resumo, no crtéro de ruína dado pela Equação (9.4.2), uma vez determnados os quatro parâmetros do método M ua, M ub, N c e N r, e os coefcentes exponencas, a verfcação das restrções relaconadas com o momento de flexão oblqua podem ser faclmente computadas, com baxo custo computaconal. Além dsso, a utlzação de técncas de otmzação permtem um controle sobre o erro de aproxmação, proporconando segurança adequada ao sstema estrutural. 9.6 Exemplos analsados Dados numércos Foram computados m=79 pontos P (N,M ua,m ub ) em um quadrante da superfíce de ruptura para cada exemplo analsado, naquele quadrante onde M a e M b são postvos. Tal smplfcação fo possível vsto que para as seções analsadas as superfíces de rupturas são smétrcas em relação ao exo de N. Outros dados adotados são: f ck = 18 MPa; γ c = 1,4; ε max s = 1%; ε max c = 0,35%; f y = 490,5 MPa; γ s = 1,15; o módulo de elastcdade longtudnal do concreto E = 21,55 GPa e o módulo de elastcdade longtudnal do aço E s = 206,01 GPa. A dstrbução de tensões no concreto é do tpo parábola retângulo (Fusco, 1981). Durante o processo de otmzação foram adotados valores ncas untáros para as varáves de projeto,

115 90 sto é, c = 1,0 para = 1,...,4. Foram analsadas cnco seções transversas com dferentes valores para a largura, altura e área de aço. No presente trabalho consderou-se A s1 = A s2 = A s /2. Os dados adotados são mostrados na Tabela (9.6.1). Tabela Seções transversas analsadas Projeto B (cm) H (cm) A s (cm 2 ) c (cm) ,79 2, ,33 2, ,13 2, ,72 2, ,75 2, Resultados para a otmzação sem restrções Os exemplos foram resolvdos consderando ambas as equações (9.4.3) e (9.4.6) como função objetvo (erro global de aproxmação). Os resultados obtdos com a Equação (9.4.3) não foram satsfatóros. Por exemplo, para o projeto 126 obteve-se em alguns pontos um erro de até 150% contra a segurança. Devdo a sto, os resultados obtdos com esta formulação não serão mostrados aqu. Utlzando a Equação (9.4.6) como função objetvo, os resultados os erros foram menores. Os resultados obtdos consderando então esta equação são mostrados nas Tabelas (9.6.2) à (9.6.4). Tabela Resultados obtdos utlzando o método da reta de máxmo declve Projeto f(c) c 1 c 2 c 3 c 4 Iterações 126 0,7656 1,327 1,589 1,507 1, ,7958 1,426 1,530 1,529 1,119 85

116 ,6292 1,392 1,469 1,568 1, ,6581 1,402 1,477 1,560 1, ,6267 1,492 1,769 1,417 0, Tabela Resultados obtdos utlzando o método dos gradentes conjugados Projeto f(c) c 1 c 2 c 3 c 4 Iterações 126 0,7656 1,326 1,589 1,506 1, ,7958 1,425 1,530 1,529 1, ,6292 1,392 1,469 1,569 1, ,6581 1,402 1,477 1,559 1, ,6267 1,492 1,769 1,417 0, Tabela Resultados obtdos utlzando o método de Gauss-Newton Projeto f(c) c 1 c 2 c 3 c 4 Iterações 126 0,8597 1,423 1,587 1,309 0, ,8789 1,535 1,547 1,309 0, ,7199 1,493 1,545 1,303 0, ,7435 1,495 1,552 1,305 0, ,7308 1,482 1,689 1,326 0, De uma manera geral, pode-se notar que os menores valores para a função objetvo foram obtdos com a utlzação do método da reta de máxmo declve e o método dos gradentes conjugados (os resultados desses métodos pratcamente concdram) para o cálculo da dreção de busca. Quanto ao número de terações, o método de Gauss-Newton

117 92 obteve um melhor desempenho, porém os valores da função objetvo obtdos através deste método foram relatvamente altos, comparados com os resultados dos outros dos. Pode-se dzer, com base nestes exemplos, que o método dos gradentes conjugados, dentro dos métodos analsados, é o mas aproprado para o cálculo da dreção de busca neste tpo de problema. Para o projeto 126, consderando os resultados obtdos com o método dos gradentes conjugados, foram crados os Gráfcos e e a Fgura Fgura Superfíce de ruptura obtda para o projeto 126 utlzando o método dos gradentes conjugados otmzação sem restrções Pode-se notar, analsando os Gráfcos e 9.6.2, que alguns pontos da aproxmação são conservatvos e outros não. O valor médo dos erros locas para este projeto fo 3,2% e o desvo padrão fo de 7,6%. O método fo conservatvo em um valor máxmo de 14,7% e não conservatvo em 35,4%. Os valores extremos para o erro local geralmente ocorrem em pontos onde o momento resstente é pequeno e, nestes pontos, qualquer varação na aproxmação