Otimização de Torres de Telecomunicações em Concreto Armado Baseada em Resultados Experimentais

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1 Otmzação de Torres de Telecomuncações em Concreto Armado Baseada em Resultados Expermentas Optmzaton of RC Telecommuncaton Towers Based On Expermental Data MARCELO A. SILVA (1), REYOLANDO M.L.R.F. BRASIL (2) e JASBIR S. ARORA (3) (1) Pesqusador de Pós-Doutorado, Departamento de Engenhara de Estruturas e Fundações, Escola Poltécnca da Unversdade de São Paulo Caxa Postal CEP São Paulo-SP., Brasl E-mal: m_arauo_slva@uol.com.br (2) Professor Lvre Docente, Departamento de Engenhara de Estruturas e Fundações E-mal: rmlrdfbr@usp.br (3) Professor Emérto, Unversty of Iowa, Iowa Cty-IA. E-mal: asbr-arora@uowa.edu RESUMO Pretende-se neste trabalho estudar e mplementar computaconalmente a otmzação de estruturas de torres de telecomuncações em concreto armado submetdas ao carregamento dnâmco do vento, com base em ensaos de flexão realzados em estruturas smlares. Desease mnmzar o custo dessas estruturas. Programas computaconas baseados no Método do Lagrangano Aumentado serão utlzados para tanto. As varáves de proeto dos problemas de otmzação serão as propredades geométrcas dos elementos estruturas, bem como suas respectvas áreas de aço. Aplcar-se-ão restrções relaconadas com as tensões, deslocamentos e freqüêncas de vbração. Será realzada uma análse dnâmca não-lnear baseada em resultados expermentas, onde a rgdez efetva das seções de concreto armado é determnada por meo de equações empírcas escrtas em função do nível de esforço. Dreções para estudos futuros serão apresentadas. Palavras-Chave: Análse dnâmca não-lnear, carregamento de vento, concreto armado, rgdez efetva, otmzação ABSTRACT In ths work we study and mplement computatonally the optmzaton of renforced concrete (RC) telecommuncaton towers subected to the dynamc wnd loadng. We developed computatonal programs based on the Augmented Lagrangan Methods to mnmze cost of these structures. The desgn varables of the optmzaton problems are geometrcal propertes and renforcement steel area of the structural elements. Constrants related to stress, dsplacements and frequences of vbraton are appled. A non-lnear dynamc model based on expermental data and the dscrete dynamc model of NBR-6123, Brazlan Code of wnd loadng, s used. We consder expermental data from tests accomplshed n smlar towers to compute the effectve stffness. Drectons for future studes are presented. Keywords: Non-lnear dynamc analyss, wnd loadng, renforced concrete, effectve stffness, optmzaton 1

2 1. INTRODUÇÃO A escolha do tema que culmnou no trabalho ora apresentado está relaconada com o fato de que com os recentes lelões das bandas C, D e E para operação em telefona celular no Brasl, além do crescmento natural das bandas A e B, e da nfra-estrutura de telecomuncações no Brasl de um modo geral, novos sstemas de transmssão e recepção de ondas eletromagnétcas estão sendo mplantados. Tas fatos demandam as nstalações de númeras novas torres de telecomuncações. O obetvo deste trabalho é descrever um procedmento para a otmzação de torres de telecomuncações em concreto armado baseado em resultados expermentas e num modelo não-lnear para a análse dnâmca de estruturas submetdas a carregamento de vento. Prmeramente, é apresentado o modelo dnâmco não-lnear utlzado no presente trabalho para a realzação da análse estrutural. Este modelo é baseado em resultados expermentas e no modelo dnâmco dscreto da NBR (ABNT, 1988). Em seguda é então apresentado o problema de otmzação a ser resolvdo, contendo a descrção da estrutura e demas dados numércos, as equações adotadas para representar a rgdez efetva, a formulação do problema e os resultados obtdos. Fnalmente são apresentadas as conclusões obtdas e sugestões para futuros trabalhos. Para resolver os problemas aqu propostos é necessára a utlzação de ferramentas avançadas, tas como a otmzação Lagrangana, método dos elementos fntos, análse dnâmca não-lnear de estruturas, concreto armado e carregamento de vento. A análse do concreto armado será feta de acordo com a NBR-6118 (ABNT, 2003). Uma revsão da lteratura especalzada ndca que a rgdez efetva de seções transversas de concreto armado em estruturas aportcadas depende do nível de flexão ao qual as seções estão submetdas, e da dstrbução e quantdade de armadura. Uma equação proposta por Dan E. Branson em 1963 (BRANSON, 1963) para o cálculo da rgdez efetva fo ncorporada no ACI-318 (ACI, 1971) e recentemente na NBR-6118 (ABNT, 2003). Dversas pesqusas têm sdo conduzdas utlzando-se as equações de Branson para calcular o deslocamento de vgas de concreto armado. Insprados nas equações de Branson, SILVA e BRASIL (2004a, 2005a), BRASIL e SILVA (2004, 2005) e SILVA et al (2005a, 2005b) desenvolveram uma metodologa para o cálculo da rgdez efetva de vgas em concreto armado submetdas à flexão e csalhamento. A metodologa consstu em utlzar técncas de otmzação para comparar resultados de deslocamentos meddos em ensaos de flexão com resultados teórcos baseados na ntegração da lnha elástca, e assm defnr equações para representar a rgdez efetva das seções transversas em função do momento fletor. Algumas equações obtdas por estes autores serão utlzadas no presente trabalho para o cálculo da rgdez efetva dos elementos estruturas. Em relação aos processos de otmzação, é utlzado o método do Lagrangano aumentado, conforme descrto por CHAHANDE e ARORA (1994). Este método transforma um problema de otmzação com restrções em um problema de otmzação sem restrções. As funções obetvo e restrções são combnadas com os multplcadores de Lagrange e parâmetros de penaldade para crar o funconal Lagrangano aumentado. Uma seqüênca de funconas é crada, alternando-se apropradamente os parâmetros de penaldade e os 2

3 multplcadores de Lagrange. O valor mínmo do funconal na seqüênca converge para o mínmo do problema com restrções. Nos trabalhos de SILVA e BRASIL (2004b, 2005b) é apresentado o modelo dnâmco não-lnear para análse de estruturas esbeltas submetdas a carregamento dnâmco do vento utlzado no presente trabalho. O modelo apresentado por estes autores é baseado na NBR-6123 (1988) e nas equações de rgdez efetva de SILVA e BRASIL (2004a, 2005a), BRASIL e SILVA (2004, 2005) e SILVA et al (2005a, 2005b). Uma vez que equações para o cálculo da rgdez efetva são adotadas, é realzada uma análse estátca não-lnear da estrutura sob o carregamento da velocdade méda do vento (ABNT, 1988), onde a cada teração de um método P-Delta utlzado, a rgdez efetva dos elementos em concreto armado é calculada em função do nível de flexão da respectva teração. Consderando-se a rgdez efetva obtda na últma teração do método P-Delta, são então calculadas as freqüêncas e modos naturas de vbração da estrutura, os quas serão utlzados para o cálculo das respostas flutuantes do vento, de acordo com o modelo dnâmco dscreto da NBR-6123 (ABNT, 1988). Os autores consderam que a estrutura, sob a exctação do vento, vbra em torno de uma confguração de equlíbro dada pelo método P- Delta ora ctado e sua ampltude de vbração é dada pela componente dnâmca da velocdade do vento. Estes autores concluíram que os esforços dnâmcos do modelo não-lnear são 15% superores aos do modelo dnâmco lnear. Quando comparados os valores obtdos pelo modelo dnâmco não-lnear com aqueles dados pelo modelo estátco lnear da NBR-6123 (1988), conclu-se que o mesmo é 50% superor ao estátco lnear. 2. ANÁLISE DINÂMICA NÃO-LINEAR 2.1 Análse Estátca Lnear De acordo com a NBR-6123 (ABNT, 1988) V 0 é a velocdade méda do vento sobre 3 segundos, a 10 metros de altura sobre o terreno, em um terreno plano sem rugosdade, com um período de retorno de 50 anos. O fator topográfco é S 1, enquanto que a rugosdade do terreno é dada pelo fator S 2, o qual é uma função dada por: S bf r ( z 10) p 2 = (1) onde b, p e Fr são fatores os quas dependem das característcas do terreno, e z é a altura acma do nível do terreno em metros. O fator estatístco é S 3. Ambos S 1, S 2 e S 3 são dados em tabelas na NBR-6123 (ABNT, 1988). A velocdade característca do vento (metros por segundo) e a pressão do vento (Pascal) são respectvamente: V k = V e 0 S1 S 2 S 3 q = V. (2) k A força devda ao vento (Newton) sobre uma área A (área, em metros quadrados, de proeção ortogonal de um determnado obeto sobre um plano vertcal) é computada como: 3

4 F = q C A, (3) a onde C a é o coefcente de arrasto. A norma NBR-6123 (ABNT, 1988) apresenta dversas tabelas para o cálculo dos valores de C a. Fg. 1 Típca estrutura de telecomuncação em concreto armado 2.2 Análse Dnâmca Lnear O Item 9.1 da NBR-6123 (ABNT, 1988) prescreve que em toda estrutura cua prmera freqüênca natural de vbração sea nferor a 1 Hz, deve-se proceder uma análse dos efetos dnâmcos do vento, conforme equações (4) a (12) descrtas neste Item. Caso esta freqüênca sea maor que 1 Hz, os valores das flutuações do vento á estão nclusos no fator S 2, dado pela Eq. (1), e o modelo estátco lnear do Item 2.1 pode ser utlzado. A Fg. 1 mostra de uma manera smplfcada as característcas geras das estruturas aqu analsadas. De acordo com a NBR-6123 (ABNT, 1988), no -ésmo grau de lberdade desta estrutura, quando submetda ao carregamento do vento, age a força total devda ao vento X, a qual é a soma das componentes das forças devdas à velocdade méda do vento e das parcelas flutuantes da velocdade do vento: X = X + Xˆ, (4) onde a força méda estátca é dada por: X 2 p z 2 = qob Ca A z, (5) r sendo 4

5 2 q o = 0.613V p e 0.69V 0S1S3 V p = (q o em N/m 2 and V p em m/s), (6) b e p ndcado na Tabela 20 da NBR-6123 (ABNT, 1988); z r é o nível de referênca, gual a 10 metros neste trabalho; V p é a velocdade de proeto do vento, correspondente a 10 mnutos de ntegração, a 10 metros acma do nível do terreno, para um terreno de rugosdade (S 2 ) gual a Categora II. A componente flutuante (dnâmca) da força devda à velocdade do vento Xˆ, é dada por: X ˆ = ψ ϕ (7) F H onde β ϕ m 2 = 1 ψ =, FH = qob Ao ξ n mo 2 ψ ϕ n = 1 e p A z β = Ca A (8) o zr sendo m, m 0, A, A 0, ξ e C a, respectvamente, a massa concentrada no -ésmo grau de lberdade, uma massa de referênca, a área equvalente no -ésmo grau de lberdade, uma área de referênca, o coefcente de amplfcação dnâmca (Fg. 17 of NBR [1]) e o coefcente de arrasto da área A. Observe que ϕ = [ϕ ] é um determnado modo de vbração natural da estrutura. Para calcular ϕ e ξ é necessáro consderar a massa e a rgdez da estrutura. A massa concentrada no nó pode ser faclmente calculada somando as massas localzadas na área de nfluênca de cada nó. O momento de nérca total da seção homogenezada é dado por: Es I total = I c + I s hom, onde I s hom = Is( 1) e E E c sec = f 3.5 ( MPa), (9) c sec ck + sendo E s, E c sec, I s, I s hom, I c e f ck, respectvamente, o módulo de elastcdade do aço, o modulo de elastcdade secante do concreto calculado de acordo com a NBR-6118 (ABNT, 1978), o momento de nérca do aço, o momento de nérca do aço homogenezado, o momento de nérca da seção transversal e a resstênca característca do concreto aos 28 das de dade. Desde que o modelo é baseado em dnâmca lnear, os autores propõem que neste caso sea consderado para o cômputo da rgdez da estrutura o segunte valor do momento de nérca: I = I total, (10) para a seção transversal de um determnado elemento estrutural. O módulo de elastcdade a ser consderado na análse estrutural é o módulo de elastcdade 5

6 secante do concreto. Se o modelo adotado é elástco lnear, nenhum dano na seção transversal deve ser consderado e, portanto a rgdez consderada no cálculo deve ser a total da seção. Quando r modos de vbração natural da estrutura são consderados, a combnação destes modos, para uma dada varável dnâmca Qˆ, é calculado como: 1/ 2 r ˆ ˆ 2 Q = Q (11) k= 1 Em função da varação da dreção da velocdade do vento, deve ser calculada a força na dreção perpendcular à do vento, dada por: 1 Y = X. (12) Análse Dnâmca Não-Lnear Como ctado anterormente, as cargas atuantes devdas à velocdade do vento dvdem-se em duas componentes, uma estátca, devdo à velocdade méda do vento, e outra dnâmca, devdo à flutuação da velocdade do vento. As cargas estátcas são calculadas de acordo com as Eq. (5) e (6). Os esforços nternos obtdos pela aplcação destas cargas em uma determnada estrutura, realzando-se em uma análse estátca lnear, é denomnado aqu de esforços estátcos nternos de prmera ordem. Entretanto, no caso de estruturas esbeltas, como aquela mostrada na Fg. 1, as mesmas estão suetas ao efeto P-Delta. Utlzando-se o método P-Delta, os deslocamentos estátcos δ ( ) no - ésmo nó e na -ésma teração do método P-Delta são computados utlzandose a rgdez efetva das seções transversas para o cálculo da matrz de rgdez. Dferentemente do proposto na Seção 2.2, aqu é consderado a segunte expressão para o cálculo do momento de nérca de um determnado elemento em função do nível de flexão: I = w I where, w = w( x ) and ( ) I EF ( ) = ( ) total ( ) ( ) x ( ) M k ( 1) =, (13) M u sendo I EF, w, x, M k e M u, respectvamente, o momento de nérca efetvo, o parâmetro de rgdez efetva, o nível de flexão, o momento fletor característco devdo ao vento médo e o momento lmte últmo da seção, calculado de acordo com a NBR-6118 (ABNT, 2003). Na Eq. (13) é levado em conta que o processo de fssuração provoca dano na seção e conseqüentemente redução de rgdez. A função w(x), também denomnada de parâmetro de rgdez efetva, representa a parcela da rgdez total da estrutura que efetvamente está trabalhando sob um determnado carregamento. A não-lneardade físca da seção transversal é aqu representada pelo conceto de rgdez efetva e a nãolneardade geométrca pelo método P-Delta. Fnalmente, o efeto P -Delta é calculado no -ésmo nó e na -ésma teração do método P-Delta, como: 6

7 M = N δ ( ) δ ( 1 ) e k M k + M ( ) ( 1) k, (14) k ( ( ) k ) M = l ( ) l onde N k é a força axal característca e N k é a força axal (peso total) concentrada no nó. Os resultados obtdos ao fnal deste processo teratvo são denomnados de esforços nternos estátcos de segunda ordem. Consderandose a rgdez efetva obtda na últma teração do método P-Delta são computados os modos e freqüêncas naturas de vbração. Com estes valores é então realzada a análse dnâmca conforme descrto pelas Eq. (7) e (8). É váldo lembrar que para todos os esforços solctantes calculados devem ser somados a componente estátca não-lnear com a componente dnâmca para se obter os esforços solctantes característcos. 3. OTIMIZAÇÃO DE TORRES DE TELECOMUNICAÇÕES EM CONCRETO ARMADO 3.1 Característcas das Estruturas A estrutura analsada aqu é em concreto armado e apresenta uma altura de 40 m fora do nível do terreno. A estrutura possu seção transversal em coroa crcular. O dâmetro, a espessura, e as áreas de aço de flexão e csalhamento mudam ao longo da altura da torre. O concreto usado na fabrcação da torre apresenta uma resstênca característca aos 28 das (f ck ) gual a 45 MPa, o que corresponde, de acordo com a Eq. (9), a um módulo de elastcdade secante (E csec ) gual a 41.4 GPa. Este valor é relatvamente alto para o concreto em questão e também dferente daquele preconzado pela nova NBR-6118 (ANBT, 2003), entretanto as equações apresentadas nos estudo de SILVA e BRASIL (2004a, 2005a), BRASIL e SILVA (2004, 2005) e SILVA et al (2005a, 2005b) foram todas desenvolvdas utlzando-se a Eq. (9) para o cálculo do módulo de elastcdade. SILVA e BRASIL (2005b) faz mportantes comentáros sobre a nfluênca do módulo de elastcdade do concreto no cálculo da rgdez efetva. A resstênca de proeto do concreto é então f cd = 45/1.3 MPa. O cobrmento da armadura é gual a 25 mm. O aço apresenta f yd = 500/1.15 MPa (resstênca de proeto do aço) e E s = 210 GPa. Os custos do concreto e do aço são respectvamente R$ 190,00/m 3 e R$ 2,60/kg. A estrutura é dscretzada em 41 nós e 40 elementos, sendo que o prmero elemento nca no prmero nó e termna no segundo, o segundo elemento nca no segundo nó e termna no tercero e assm sucessvamente. Com esta dscretzação, a estrutura apresenta então 240 graus de lberdade. O vetor deslocamento, o qual contém os graus de lberdade da estrutura, é também denomnado de vetor das varáves de estado. A Tabela 1 apresenta respectvamente a numeração dos nós, a altura do nó em relação ao nível do terreno e as seções transversas correspondente a cada nó. Nesta tabela é utlzada a segunte notação: Nó é o número adotado para o nó da estrutura no programa de método dos elementos fntos; Altura é a altura do nó em relação ao nível do terreno, Dâmetro (ø) é o dâmetro externo da seção transversal do nó; Espessura (e) é a espessura da seção transversal do nó; As é a armação longtudnal na seção transversal do nó; Asw é a armação transversal da seção transversal do nó. Fo consderado a velocdade básca do vento V 0 = 35 m/s, o fator topográfco é S 1 =1, a rugosdade do terreno gual a categora IV, classe B, o 7

8 que corresponde a um determnado S 2 (b; p; Fr) e o fator estatístco é S 3 =1,1. Dversos equpamenteos estão nstalado sobre a estrutura: escada com cabo trava-quedas, plataformas com antennas e seus respectvos suportes, balzamento noturno, proteção contra descargas atmosfércas, e antenas e cabos nstalados. Os valores de A e C a são: - torre, 0 z 40 m, A = varável em função do dâmetro e C a = 0,6; - escadas, 0 z 40 m, A = 0,05 m 2 /m e C a = 2; - cabos, 0 z 40 m, A = 0,15 m 2 /m e C a = 1,2; - plataforma e suportes de antenas, z= 40 m, A = 1 m 2 e C a = 2; - antenas, z= 40 m, A = 3 m 2 e C a = 1. Tabela 1 Proeto Incal Nó Altura (m) Varáves de Proeto Incal Dametro (cm) Espessura (mm) As (cm 2 ) Asw (x100 cm 2 /m) ,00 88,00 73,43 119, ,00 88,00 71,68 119, ,00 88,00 69,93 118, ,00 88,00 68,18 118, ,00 88,00 66,43 118, ,00 88,00 64,69 118, ,00 88,00 62,94 118, ,00 88,00 61,19 118, ,00 88,00 59,44 118, ,00 88,00 57,69 118, ,00 88,00 55,94 118, ,00 88,00 54,20 118, ,00 88,00 52,45 118, ,00 88,00 50,70 117, ,00 88,00 48,95 117, ,00 88,00 47,20 117, ,00 88,00 45,45 117, ,00 88,00 43,71 117, ,00 88,00 41,96 117, ,00 88,00 40,21 117, ,00 88,00 38,46 116, ,00 88,00 36,71 116, ,00 88,00 34,97 116, ,00 88,00 33,22 116, ,00 88,00 31,47 116, ,00 88,00 29,72 116, ,00 88,00 27,97 115, ,00 88,00 26,22 115, ,00 88,00 24,48 115, ,00 88,00 22,73 114, ,00 88,00 20,98 114, ,00 88,00 19,23 114, ,00 88,00 17,48 114, ,00 88,00 15,73 113, ,00 88,00 13,99 113, ,00 88,00 12,24 112, ,00 88,00 10,49 112, ,00 88,00 8,74 111, ,00 88,00 6,99 111, ,00 88,00 5,24 110, ,00 88,00 3,50 109,82 8

9 Além destas áreas e coefcentes de arrasto, devem ser consderadas as massas dstrbuídas ao longo da estrutura, sendo que a massa da estrutura deve ser calculada de acordo com o volume e utlzando uma densdade de 2500 kg/m 3. Devem ser também consderadas as massas das escadas, plataformas, antenas, etc. Para tanto, deve-se consderar uma massa de 40 kg em cada nó, com exceção no nó do topo, nó de número 40, onde deve ser consderada uma massa concentrada de 592 kg devda ao peso da plataforma, antenas nstaladas, pára-rao, etc. Consderando-se os resultados expermentas obtdos por SILVA e BRASIL (2004a, 2005a), BRASIL e SILVA (2004, 2005) e SILVA et al (2005a, 2005b) no cálculo da rgdez efetva de estruturas smlares à aqu em estudo, adotou-se as seguntes funções para representar a rgdez efetva da estrutura: w C0 (x) = -1.5 x x x w L0 (x) = -0.7 x w C1 (x) = -2.8 x x x w L1 (x) = -0.6 x w C2 (x) = -3.8 x x x w L2 (x) = -0.4 x (15) Upper Boundary Low er Boundary wc0 (x) w L0 (x) wc1 (x) w L1 (x) wc2 (x) w L2 (x) 1,4 1,2 1,0 w(x) = Ief/Itotal 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 x = Mk/Mu Fg. 2 Curvas adotadas para a rgdez efetva Às equações de w(x) descrtas em (15) devem ser acrescdas as seguntes restrções: w s w 1, para = 0,1,..., n (16) onde 9

10 w s = I s /I total, (17) e n+1 é o número de nós. Observe que o valor máxmo (lmte superor) de w deve ser gual a 1 e o mínmo (lmte nferor) vara de seção a seção em função da geometra, quantdade e dstrbução de armadura da seção transversal. As equações são vsualzadas na Fg. 2, onde upper boundary é o lmte superor e o lower boundary é o lmte nferor da rgdez, o qual é dado pela Eq. (17) para cada seção. É váldo esclarecer que o problema de otmzação a ser defndo no Item 3.2 será resolvdo para cada uma das ses equações defndas em (15). A adoção de uma determnada equação resultará em um determnado proeto. São testadas todas as ses equações e então verfcada qual das curvas apresenta um proeto fnal com menor custo, ou sea, é realzada uma análse de sensbldade do custo em relação à varação das equações de rgdez efetva. 3.2 O Problema de Otmzação O problema consste em mnmzar o custo do concreto e do aço utlzado na construção de uma estrutura smlar àquela mostrada na Fgura 1 e descrta na seção 3.1. A estrutura encontra-se engastada no nível do terreno. Adotou-se no 164 varáves de proeto, sendo que o vetor das varáves de proeto é b t = [ø 0 e 0 A s0 A sw0 ø 1 e 1 A s1 A sw1... ø 40 e 40 A s40 A sw40 ], onde ø, e, A s e A sw são respectvamente o dâmetro externo, a espessura, a área de aço longtudnal e a armadura transversal do -ésmo nó da estrutura. Note que o valor ncal do vetor b, também denomnado de proeto ncal, no problema de otmzação é mostrado na Tabela 1. Este proeto encontra-se na regão vável do domíno de b. O problema de otmzação é então mnmzar a função custo: f(b) = C c + C s (18) onde C c e C s são respectvamente os custos do concreto e do aço. Pode-se escrever: C c = V c c c (19) C s = M s c s (20) Nas Equações (19) e (20) c c é o custo por undade de volume de concreto, V c é o volume de concreto, c s é o custo por undade de massa do aço e M s é a massa total de aço. Sueto às restrções: - o valor mínmo para a armadura longtudnal em cada nó - A 0.15% A 0 ; =0,...,40 (21) s + c - o valor mínmo para a armadura transversal em cada nó 10

11 0.07% Ac - A sw + 0 ; =0,...,40 (22) u - a resstênca à flexo-compressão em cada nó M M ( N ) 0; =0,...,40 (23) d u d - a resstênca ao csalhamento em cada nó V V 0; =0,...,40 (24) d u - a espessura mínma em cada nó - e cm 0; =0,...,40 (25) - a compatbldade entre espessura e dâmetro em cada nó 2e ø 0; =0,...,40 (26) - a mposção de que todas as varáves de proeto seam postvas - b 0; =0,...,163 (27) Nas equações (21) e (22) A c é a área de concreto da seção transversal e u o perímetro externo do núcleo de torção da peça. Na equação (23) M d é o momento fletor de proeto, calculado gual a γ f M k, enquanto que N d é o esforço axal de proeto, calculado como γ f N k, onde N k é a força axal característca. Na Eq. (24) V d é a força cortante de proeto, calculada gual a γ f V k, onde V k, é a força cortante característca e V u é a força cortante últma da seção de concreto, a qual é função da armadura transversal de um dado proeto. Os valores adotados para γ f é 1,4 para o momento fletor e força cortante e de 0,9 para a força axal. Com estas defnções, o problema de otmzação proposto nas Eq. (18) a (27) passa a apresentar 164 varáves de proeto, 410 restrções estátcas e 240 graus de lberdade não restrtos e 6 graus de lberdade restrtos. Tabela 2 Custos ncas e fnas, bem como freqüêncas naturas de vbração Função de Rgdez Efetva Custo Incal Custo Fnal Redução Custo % Frequenca Incal Frequenca Fnal Número de Iterações C % 0,524 0, L % 0,524 0, C % 0,527 0,275 8 L % 0,529 0, C % 0,525 0, L % 0,505 0, Méda % 0,52 0,28 14 Mínmo % 0,51 0,27 8 Máxmo % 0,53 0, Resultados Obtdos Conforme ctado anterormente, o problema de otmzação defndo pelas Eq. (18) a (27) fo resolvdo ses vezes dferentemente, ou sea, para cada uma das ses Eq. (15), o que resultou em ses proetos fnas dstntos. Os custos 11

12 ncas e fnas dos proetos em R$, bem como o valor da prmera freqüênca natural de vbração da estrutura em Hz, são mostrados na Tabela 2. Tabela 3 Proeto fnal obtdo no caso da função L1 Nó Altura (m) Varáves de Proeto Fnal - Função L1 Dametro (cm) Espessura (mm) As (cm 2 ) Asw (x100 cm 2 /m) ,14 88,50 70,73 80, ,35 89,53 66,36 82, ,74 91,63 64,62 83, ,40 89,14 62,99 83, ,17 88,82 61,37 83, ,99 88,88 59,77 84, ,84 88,87 58,15 84, ,70 88,35 56,53 84, ,55 88,56 54,91 84, ,40 91,09 53,28 83, ,21 88,83 51,65 83, ,98 89,08 50,02 83, ,69 88,59 48,37 82, ,33 89,19 46,72 82, ,90 88,05 45,05 81, ,36 91,44 43,38 81, ,71 88,13 41,69 80, ,95 88,46 40,01 79, ,09 88,75 38,30 78, ,11 88,55 36,59 77, ,03 88,37 34,86 76, ,84 88,21 33,12 74, ,55 88,08 31,39 73, ,19 88,00 29,64 71, ,72 90,59 27,88 70, ,20 88,09 26,11 68, ,64 89,12 24,34 66, ,08 90,38 22,58 64, ,63 88,05 20,83 61, ,27 89,13 19,08 59, ,10 88,50 17,34 56, ,08 88,55 15,61 53, ,37 89,60 13,89 49, ,11 89,85 12,20 45, ,39 89,41 10,54 40, ,24 92,01 8,88 34, ,75 88,78 7,22 28, ,53 88,53 5,57 21, ,85 92,48 3,91 13, ,64 89,12 2,21 5, ,64 89,83 2,00 8,68 Observa-se na Tabela 2 que a função L1 fo a que apresentou um menor custo de proeto. Por se tratar de análse dnâmca, o valor da prmera freqüênca natural de vbração é um mportante ndcatvo do comportamento da estrutura. De acordo com Slva e Brasl (2004b), a prmera freqüênca natural de vbração é responsável por 99% dos esforços dnâmcos atuantes neste tpo de estrutura. Nos casos analsados, nota-se que o proeto ncal apresentava 12

13 uma freqüênca da ordem de 0,5 Hz e convergram para 0,3 Hz. Os esforços dnâmcos aumentam com a dmnução da freqüênca, portanto o processo de otmzação adotado buscou um equlíbro ótmo entre aumentar o carregamento dnâmco e buscar uma combnação ótma de aço e concreto para reduzr o custo da estrutura. Rao Externo (cm) C0 L0 C1 L1 C2 L Altura (m) Fg. 2 Forma externa obtda correspondente a cada função da equação de rgdez adotada Dametro (cm) Altura (m) Fg. 3 Forma externa obtda correspondente à função L1 Na Tabela 3 é mostrado o proeto fnal obtdo no caso da função L1. Observa-se que as espessuras convergram para o mínmo admssível. Na Fgura 2 são mostradas as formas obtdas para a estrutura em função das váras funções adotadas e na Fgura 3 é mostrada apenas a forma obtda no caso da função L1. Observa-se que as formas fnas dos proetos lembram o formato de um cano de canhão. De acordo com ARORA (2004), esta forma é obtda na otmzação deste tpo de componente de armamento e também está relaconada com restrções mpostas sobre freqüêncas de vbração. Como os 13

14 esforços dependem da freqüênca de vbração, encontrar uma forma que maxmze a freqüênca e reduza o custo é fundamental. Aproxmadamente vnte estruturas com as mesmas característcas técncas, no que concerne à capacdade e altura, que aquelas proetadas neste trabalho foram proetadas, fabrcadas e nstaladas nos estados brasleros de Mnas Geras e Espírto Santo. Todas as estruturas foram fabrcadas segundo o mesmo proeto, o qual encontra-se descrto nos trabalhos de SILVA e BRASIL (2004b, 2005a, 2005b) e SILVA et al (2005a, 2005b). Na Tabela 4 são comparados o custo e a prmera freqüênca natural de vbração dos proetos aqu obtdos com aquele das vnte torres nstaladas. Observa-se uma grande redução no custo, gual a 34%, e anda um aumento da freqüênca natural de vbração nos proetos aqu obtdos, o que corresponde a uma redução nos esforços solctantes. Tabela 4 Comparação entre proeto de torres exstentes nstaladas e proetos aqu obtdos Custo Torres Instaladas Custo Méda Tab. 2 Redução Custo % Frequenca Torres Instaladas Frequenca Méda Tab % 0,19 0,28 É váldo lembrar que o modelo estrutural aqu adotado é consderado engastado no nível do terreno. Entretanto, as fundações não são nfntamente rígdas e nterferem nas freqüêncas naturas de vbração das estruturas. Slva e Brasl (2003) realzaram o proeto ótmo de uma torre de telecomuncação com uma formulação bem dferente desta ora apresentada. Estes autores mostraram que a flexbldade de uma fundação em sapata pode ser tal que afete drastcamente contra a segurança o cálculo dos esforços dnâmcos aos quas uma torre encontra-se submetda. Fg. 4 Prmero modo de vbração natural da estrutura engastada no nível do terreno e da estrutura com fundação em sapata (SILVA e BRASIL, 2003) 14

15 A Fgura 4 mostra uma mesma torre em duas stuações dstntas, sendo que na Fg. 4a a torre encontra-se engastada no nível do terreno enquanto que na Fg. 4b a estrutura encontra-se ntegrada à fundação em sapata. A sapata fo modelada em elementos fntos de placas e o solo sob a mesma como molas de comportamento elastoplástco. Na prmera stuação, a prmera freqüênca natural de vbração é gual 1,08 Hz. Nesta stuação pode-se aplcar o modelo estátco da norma NBR-6123 (ABNT, 1988), conforme descrto no Item 2.1, e os esforços dnâmcos não são sgnfcatvos. Na segunda stuação, a torre ntegrada à fundação apresenta a prmera freqüênca natural de vbração gual a 0,17 Hz e é necessáro então se utlzar o modelo dnâmco, conforme prescreve a NBR-6123 (ABNT, 1988). Nesta stuação, os esforços obtdos com o modelo dnâmco não-lnear descrto na seção 2.3 são aproxmadamente 50% superores aos esforços dados pelo modelo estátco (seção 2.1) e estara o proetsta ncorrendo num grave erro contra a segurança. Realzar uma análse ntegrada da fundação e estrutura é extremamente mportante (SILVA et al, 2002) para uma análse dnâmca mas confável. 4. CONCLUSÕES Fo apresentado um modelo dnâmco não-lnear baseado em resultados expermentas para a análse estrutural de torres de telecomuncação em concreto armado. Problemas de otmzação foram formulados para se mnmzar o custo de torres de telecomuncação em concreto armado. Dferentes curvas de rgdez efetva, obtdas em ensaos realzados em estruturas smlares, foram adotadas para se analsar a sensbldade do processo de otmzação. Observou-se que os resultados fnas não vararam muto em função das mudanças das equações de rgdez efetva, convergndo todos os proetos obtdos para uma mesma forma de estrutura. Comparou-se o custo médo dos proetos obtdos pelo processo de otmzação ora apresentado com o custo do proeto de estruturas com a mesma capacdade portante nstaladas nos estados brasleros de Mnas Geras e Espírto Santo. Verfcouse que os proetos aqu obtdos apresentaram uma redução de custo da ordem de 30%. Apresenta-se como sugestões para futuros trabalhos: - realzação do mesmo processo de otmzação proposto, mas ntegrando com dversos tpos de fundações; - realzação da otmzação de torres eólcas em concreto armado. AGRADECIMENTOS Este trabalho é fruto de um proeto de pesqusa concluído durante um programa de Pós-Doutorado realzado por Marcelo Arauo da Slva na Unversty of Iowa, sob supervsão do Emérto Prof. Jasbr S. Arora, em Iowa Cty-IA, EUA. O programa teve patrocíno da CAPES com o Proeto N.º Parte do trabalho fo desenvolvdo utlzando-se recursos do Optmal Desgn Laboratory da The Unversty of Iowa. Todos estes apoos recebdos são mensamente agradecdos. 15

16 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS - ACI COMMITTEE 318, Buldng Code Requrements for Renforced Concrete, ACI, Detrot, EUA, (1971). - ARORA, J. S., Introducton to Optmum Desgn, Second Edton, Elsever Academc Press, (2004). - ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS ABNT - NBR-6118, Proeto e Execução de Obras de Concreto Armado, (1978). - ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS ABNT - NBR-6118, Proeto de Estruturas de Concreto - Procedmento, (2003). - ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS ABNT - NBR-6123, Forças Devdas ao Vento em Edfcações, (1988). - BRANSON, D. E., Instantaneous and Tme-Dependent Deflectons of Smple and Contnuous Renforced Concrete Beams, Report Nº. 7, Alabama Hghway Research Report, Bureau of Publc Roads, Aug. 1963, pp. 1-78, (1963). - BRASIL, R. M. L. R. F. e SILVA, M. A., RC Large Dsplacements: Optmzaton Appled To Expermental Results, CST, Lsbon, (2004). - BRASIL, Reyolando M. L. R. F.; SILVA, Marcelo Arauo da. RC Large Dsplacements: Optmzaton Appled to Expermental Results. Computers & Structures, (2005). - CHAHANDE, A. I. e ARORA, J. S., Optmzaton of Large Structures Subected to Dynamc Loads Wth the Multpler Method, Internatonal Journal For Numercal Methods n Engneerng, 37, pp , (1994). - SILVA, Marcelo Arauo da; ARORA, Jasbr; BRASIL, Reyolando M. L. R. F. Computaton Of Effectve Bendng Stffness Of Rc Telecommuncaton Tower Based On Expermental Data. In: The Tenth Internatonal Conference On Cvl, Structural And Envronmental Engneerng Computng, Roma, (2005a). - SILVA, Marcelo Arauo da; ARORA, Jasbr; BRASIL, Reyolando M. L. R. F. Computaton of Effectve Bendng Stffness of RC Telecommuncaton Towers. In: 6th World Congresses Of Structural And Multdscplnary Optmzaton, Ro de Janero, (2005b). - SILVA, M. A., ARORA, J. S., SWAN, C. C. AND BRASIL, R. M. L. R. F., Optmzaton of Elevated Concrete Foundatons for Vbratng Machnes, Journal of Structural Engneerng, ASCE, Vol. 128, No. 11, (2002). - SILVA, M. A. e BRASIL, R. M. L. R. F., Otmzação de Torres em Concreto Armado para Telecomuncações, V Smpóso EPUSP Sobre Estruturas De Concreto, São Paulo, (2003). - SILVA, M. A. e BRASIL, R. M. L. R. F., Técncas de Otmzação Aplcadas a Resultados Expermentas no Estudo da Redução da Rgdez Flexonal em Estruturas de Concreto Armado, Boletm Técnco da EPUSP, BT-PEF-0401, São Paulo, (2004a). - SILVA, M. A. e BRASIL, R. M. L. R. F., Nonlnear Dynamc Analyss Based on Expermental Results of RC Towers for Telecommuncaton Subected to Wnd Loadng, DINCON2004-3º Congresso Temátco de Dnâmca e Controle da SBMAC, Ilha Soltera, (2004b). 16

17 - SILVA, Marcelo Arauo da; BRASIL, Reyolando M. L. R. F. Computaton of RC Structures Large Dsplacements: Optmzaton Appled To Expermental Results. In: IV ACI/CANMET Internatonal Conference, Recfe, (2005a). - SILVA, Marcelo Arauo da; BRASIL, Reyolando M. L. R. F. Non-Lnear Dynamc Analyss Based On Expermental Results Of Rc Towers For Telecommuncaton Subected To Wnd Loadng. Mathematcal Problems In Engneerng (Prnt), (2005b). 17