Universidade Federal de Pernambuco / Departamento de Engenharia Civil /

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1 Procedmento Efcente Para Análse De Seções Em Concreto Armado Usando O Modelo De Trelça Com Amolecmento Jordlly R. B. Slva 1, Bernardo Horowtz 1 Unversdade Federal de Pernambuco / Departamento de Engenhara Cvl / jordlly@hotmal.com Unversdade Federal de Pernambuco / Departamento de Engenhara Cvl / horowtz@ufpe.br Resumo O presente trabalho trata sobre um procedmento efcente para determnar o comportamento carga-deformação pré-pco de seções de vgas em concreto armado sujetas à teração entre momento torsor e esforço cortante, usando o modelo de trelça com amolecmento e combnação de solctações. Ao contráro de técncas de solução por tentatva e erro, tradconas na utlzação desse tpo de modelo, o procedmento proposto se basea em estabelecer o problema como um sstema de equações não lneares, com restrções, e resolvê-lo utlzando algortmos de otmzação, usando como estmatva ncal para a solução a resposta obtda em um modelo elástco lnear. De acordo com o modelo escolhdo, é possível determnar o estado de tensão-deformação de um panel de concreto armado, sujeto a um encurvamento, com base em 4 varáves prmáras. Como esse mesmo modelo dealza seções de concreto como a assocação de 4 panés fssurados, conclu-se que é possível defnr o comportamento da seção com base em 16 varáves prmáras. Com sso, o problema se resume a um sstema não lnear com 16 ncógntas e 16 equações, onde as varáves prmáras são seleconadas de forma a benefcar a efcênca do processo de solução. Uma vez formulado o procedmento, os resultados obtdos pelo mesmo, para stuações de torção pura e combnação desse esforço com cortante, são comparados com dados de expermentos encontrados na lteratura, onde é vsta boa proxmdade. Além dsso, com o objetvo de verfcar a valdade do procedmento proposto em uma stuação real de verfcação estrutural, fo desenvolvdo um estudo admtndo-se a teração entre o momento torsor e o esforço cortante, onde, é possível observar uma consderável dmnução da rgdez à torção da seção com a atuação smultânea dos dos esforços. De forma geral, esse procedmento se mostrou uma opção vável, pos, além dos resultados já comentados, também apresentou boa efcênca computaconal. Palavras-chave Concreto armado; Rgdez à torção; Combnação de esforços; Torção; Cortante. Introdução No projeto de estruturas aportcadas em concreto armado, é mportante determnar corretamente os coefcentes de rgdez usados tanto nas análses em servço como na capacdade resstente lmte das peças. De forma geral, essa tarefa não é trval. No caso da rgdez à torção efetva (GC), por exemplo, essa propredade é muto sensível à geometra da seção, fssuração do concreto e escoamento do aço, podendo varar consderavelmente com o nível de carregamento aplcado.

2 Além dsso, outro fator que dfculta a análse é o efeto da atuação smultânea de esforços secconas (combnação de flexão, cortante e torção) na rgdez da seção, assocação essa que tende a nduzr os coefcentes calculados para grandezas dferentes daquelas relatvas às ações soladas. Uma má avalação dos coefcentes de rgdez pode conduzr a análse para valores que não condzem com a realdade, prncpalmente em estruturas hperestátcas, onde o efeto da redstrbução dos esforços é mas atuante. Por outro lado, uma prátca corrente da engenhara naconal é admtr, em verfcações para o estado lmte últmo, coefcentes de rgdez referentes ao comportamento lnear elástco da estrutura multplcados por redutores de nérca normatvos. É evdente que essa abordagem vsa smplfcar e facltar o processo e, de forma geral, conduz a análse a valores acetáves. Porém, exstem stuações partculares onde essa prátca não é mas sufcente, sendo necessára a utlzação de ferramentas mas sofstcadas para determnar os coefcentes de rgdez das análses e, consequentemente, os esforços nternos de projeto. Um exemplo real com essas característcas é apresentado nesse texto. O presente trabalho trata sobre o desenvolvmento de uma ferramenta para o cálculo dos valores efetvos de rgdez à torção em seções de concreto armado, vsando servr como subsído para análses estruturas. Para sso, fo formulado um procedmento efcente para determnar o comportamento pré-pco de seções em concreto armado sujetas à combnação de flexão, cortante e torção, usando o modelo de trelça com amolecmento e combnação de solctações, Combned-Acton Softened Truss Model (CA-STM), GREENE (006), onde o problema é resolvdo consderando um sstema de equações não lnear, com restrções, e a estmatva ncal para a solução admte um modelo elástco lnear. Modelo de trelça com amolecmento e combnação de solctações O modelo adotado, conhecdo como CA-STM, calcula o comportamento carga-deformação pré-pco de seções em concreto armado com base na dealzação da estrutura como a assocação de quatro panés de concreto fssurados, Fgura 1. Fgura 1 Estrutura dealzada pelo modelo, adaptado: GREENE (006) A teora de vgas de seção fechada com parede delgada sujetas à torção assume que a estrutura resste a esse esforço solctante através de um fluxo de csalhamento constante ao longo do perímetro da seção transversal. O CA-STM admte que tanto seções vazadas como macças, sujetas a combnação de torção com outros esforços, podem fazer uso dessa mesma hpótese. Com sso, o núcleo de concreto é desconsderado no cálculo da resstênca da seção.

3 O mecansmo de resstênca dealzado em cada panel é o modelo de trelça com amolecmento e ângulo varável, HSU e MO (010), onde a malha de armaduras ortogonas (formada pelos aços longtudnas e transversas) trabalha a tração e as belas de concreto, defndas pelas fssuras dagonas, trabalham em compressão. Nesse modelo de trelça, o sstema de coordenadas prncpal é referente às tensões resultantes no concreto e o ângulo das fssuras em relação ao exo longtudnal ( α D,) vara de forma que a contrbução do concreto na resstênca ao csalhamento da peça seja nula. É desconsderado o efeto de pno nas armaduras e admtdo aderênca perfeta entre o concreto e o aço. Um conceto básco usado no CA-STM é que as tensões e deformações admtdas neles são os valores médos ao longo de váras fssuras. Devdo à descontnudade crada pela fssuração, ocorre uma dferença no comportamento ao longo do panel e uma medda usada para fazer uma avalação razoável do problema é adotar esse conceto de tensões médas e deformações médas, ao nvés de estudar pontos específcos do elemento. Entre as váras premssas adotadas no CA-STM algumas delas dzem respeto à transformação da seção real estudada em uma seção fctíca usada no método, Fgura. A seção transversal orgnal da vga pode ser defnda, bascamente, com os parâmetros b e h, base e altura, e a espessura real em cada face t, onde o índce faz referênca à numeração dos panés, Fg.. Fgura Transformação da seção estudada, adaptado: GREENE (006) O modelo em questão faz uso da geometra do fluxo de csalhamento da seção para defnr as espessuras dos quatro elementos de concreto dealzados ( t D,). Com base nsso, admte-se que a lnha central do fluxo concde com os exos dos panés, podendo ser localzada de acordo com as dmensões b 0 e h 0, onde A 0 é a área nclusa pela lnha central do fluxo. Quando uma vga é submetda à torção, as faces do elemento, uma vez planas, assumem a forma de um parabolode hperbólco e sso causa uma flexão nas belas de concreto, formadas entre as fssuras. O CA-STM consdera esse efeto através de um gradente lnear nas deformações prncpas de compressão nos panés ( ε D,), onde, as deformações referentes às faces externas e nternas são representadas, respectvamente, por ε DS, e ε A,. Com sso, é possível conclur que ε D, é gual à méda artmétca de ε DS, e ε A, e que a curvatura da bela em cada panel ψ ) pode ser determnada de acordo com Eq. (1). (

4 ε D, ε = + ε DS, A, ε ε ψ = (1) DS, A, t D, Para crar uma forma sstemátca de estudar essas varáves, fo necessáro defnr o índce z, parâmetro admensonal que lmta o comportamento da bela de acordo com cada caso, Eq. (3). No presente texto, essa ncógnta fo escolhda para varar entre 0 e 3 e fo seleconada como uma varável prmára do problema. ε A, 0, para 0< z = ( z ) εds,, para < z 3 t D, t z, para 0< z = t, para < z 3 () Uma etapa de grande mportânca durante a formulação do problema usando o CA-STM é o cálculo das áreas de aço equvalentes em cada panel. Os crtéros adotados no modelo podem ser encontrados tanto em GREENE (006) como em SILVA (016). O modelo estudado consdera que as seções dealzadas resstem a esforços tangencas (momento torsor e esforço cortante) através de fluxos de csalhamento constantes ao longo dos panés. A convenção de snas adotada admte que essas solctações são postvas quando crculam no sentdo ant-horáro no perímetro da seção. O Fluxo referente à torção segue a teora clássca da resstênca dos materas enquanto que no caso do esforço cortante, o CA-STM admte que dos quatro panés que compõem a seção apenas os dos elementos paralelos ao sentdo do carregamento contrbuem para a resstênca da peça. Para um esforço cortante V Y, apenas o panés mpares (1 e 3) atuam e para V Z apenas os pares ( e 4). Com sso, devdo ao fato do modelo consdera a dstrbução de csalhamento constante nos panés, pode-se admtr a nteração entre as duas parcelas ( q ) apenas com base na sua soma, Eq. (3). T VY T V T Z VY T VZ q1 = + q = + q3 = q4 = (3) A h A b A h A b Por fm, é possível calcular a tensão de corte resultante por elemento ( τ LT, ) de acordo com a dvsão do fluxo de csalhamento em cada panel pela sua espessura, como mostra Eq. (4). q τ LT, = (4) td, O modelo estudado consdera que as seções dealzadas resstem ao momento fletor ( M Y e M Z) e ao esforço axal ( N) através de tensões normas unformemente dstrbuídas na face de cada panel ( σ L, ), como mostram as equações Eq. (5) e Eq. (6). b M [ ( t h) ( t h)] h M = [ σ ( t b) σ ( t b)] (5) 0 0 Y = σl,3 D,3 0 σl,1 D,1 0 Z L,4 D,4 0 L, D, 0 N = σ ( t h ) + σ ( t b ) + σ ( t h ) + σ ( t b ) (6) L,1 D,1 0 L, D, 0 L,3 D,3 0 L,4 D,4 0 O mecansmo de resstênca adotado para os panés do CA-STM é o mesmo usado no modelo de trelça com amolecmento, onde as equações de equlíbro e compatbldade relatvas são:

5 L, L, = D, cos ( D,) + R, sen ( D,) + L, td, w 0, σ σ α σ α A T σt, = σ cos ( αd,) + σd, sen ( αd,) + ft, td, s f A (7) (8) τlt. = ( σr, σd,)sen( αd,)cos( αd,)snal( q) (9) γlt. = ( εr, εd,)sen( αd,)cos( αd,)snal( q) (10) εt, = ε + εd, εl, (11) Os parâmetros σ T, e τ LT, representam as tensões transversas e de csalhamento em cada panel, enquanto que σ D, e σ são as tensões prncpas de tração e compressão no concreto. As ncógntas f L, e f T, retratam as solctações nos aços longtudnas e transversas e sé o espaçamento da armadura transversal. O parâmetro γ LT, representa a deformação de corte no panel, enquanto que o termo snal( q ) serve de ferramenta para garantr a concordânca dos snas. Os termos ε R,, ε L, e ε T, são, respectvamente, as deformações prncpal de tração, longtudnal e transversal nos panés. A varável w 0, é a largura relatva de cada panel. Segundo GREENE (006), a resstênca à compressão e a tração do concreto podem ser modeladas de acordo, respectvamente, com Eq. (1) e (13), onde f ck é a resstênca característca à compressão do concreto e ε cr e ε o são, respectvamente, a deformação de tração relatva ao surgmento de fssuras no concreto (geralmente adotada gual a ) e a deformação de compressão de pco ( 10 3 ). Os parâmetros A e g A, representam as áreas cp bruta e externa da seção de concreto. A resstênca à tração do concreto ( σ ), geralmente desprezada em outros modelos de trelça, tem partcular mportânca no presente trabalho, onde possblta que o método faça razoável estmatva do comportamento da seção para carregamentos em servço. σ D, = εds, εds, εa, εa, ε DS, f, para ε < ε ε 3ε ε ε 3ε ε ε ε o o DS, o o DS, A, R, εds, εo ε DS, 0.9 ε o ε R, f ck ck A, DS,, para εa, = εds, (1) Com o objetvo de evtar a descontnudade na prmera dervada no ponto de escoamento do aço, relatvo a uma curva elasto-plástca perfeta, fo necessáro fazer uma regularzação da relação consttutva do aço, para não ocorrerem problemas de convergênca no método. A curva proposta é baseada na função de Ramberg-Osgood, SILVA (016), Eq. (14), onde o índce SS pode ser substtuído por L ou T, referndo-se tanto a armadura longtudnal como a transversal. O termo E é o modulo de elastcdade do aço e ε S Sy a deformação de escoamento.

6 σ Ag fck ε, para ε εcr Acp εcr = Ag fck exp 350 ( ε ε ), para ε > ε A cp cr cr (13) f = E ε ε 1+ ( ) ε SS, S SS, SS, Sy (14) Procedmento de solução proposto Uma prátca corrente na utlzação de técncas relaconadas com o modelo de trelça com amolecmento é resolver o sstema não-lnear envolvdo com base em técncas de solução por tentatva e erro. De forma geral, essa metologa tende a encontrar corretamente a resposta, porém, quando o número de estmatvas é muto grande, o método perde efcênca e pode se tornar uma opção mpratcável. A segur é apresentada uma alternatva efcente para procedmento de solução do sstema de equações referente ao CA-STM. No estudo de panés fssurados de concreto armado submetdos a esforços de membrana, sabe-se que, é possível defnr o comportamento da estrutura com base nas deformações prncpas no concreto ( ε D, e ε ) e no ângulo formado entre o exo prncpal de compressão e a dreção longtudnal referente ( α D, ). Porém, quando um panel sofre um encurvamento é necessáro adconar o efeto da curvatura da peça ( ψ ) no processo de análse. Portanto, como o CA-STM dealza seções de concreto armado como a assocação de quatro panés com curvatura e cada um deles pode ser analsado de acordo com quatro varáves prmáras, é possível conclur que todo o comportamento da seção pode ser estudado com base em dezesses ncógntas, são elas: [ εd,, ε, αd,, ψ ] para = 1 4. No presente trabalho, com o objetvo de aumentar a efcênca do procedmento proposto, algumas varáves prmáras foram substtuídas por outras equvalentes que se ajustaram melhor ao método. Com sso, as novas ncógntas adotadas são: [ εds,, ε, ε L,, z] para = 1 4. Uma consderação mportante em relação às deformações ε DS,, ε e ε L, é que, no procedmento proposto, são computados seus valores multplcados por ml. Isso fo feto para evtar que essas varáves prmáras sejam muto menores que z, e assm não ocorram problemas numércos de convergênca decorrentes dsso. A técnca proposta consste em: assumr um valor fxo pra deformação ε e, no lugar de defnr as própras solctações em s, estabelecer relações constantes dos outros cnco esforços com o momento torsor ( N / T, V Y/ T, V Z/ T, M Y/ T e M Z/ T ). Decorrente dsso, T toma o lugar de ε como varável prmára e os esforços solctantes varam proporconalmente com o aumento da torção. Com sso, as novas varáves prmáras são: [ T, ε,, ε,, ε,, z] para = 1 4 e j = 4. DS j R L

7 Como o momento torsor T passa a ser consderado mas uma ncógnta do problema, também é necessáro normalzar essa varável. Isso é fo feto dvdndo-se T pelo momento torsor de fssuração da seção real, TCR = 0.33 fck( MPa) Acp pcp, ACI O termo p cp é o perímetro externo da seção. Dessa forma, o procedmento pode ser apresentado como: Dada a geometra da seção real ( t, b e h), a armadura longtudnal e transversal equvalente em cada panel, as propredades mecâncas do concreto ( E C, f ck, ε o, e ε cr) e do aço ( E S, f Ly e f Ty), as relações dos esforços solctantes com o momento torsor ( N / T, V Y/ T, V Z/ T, M Y/ T e M Z/ T ) e a deformação ε, determne as varáves T, ε DS,, ε DS,3, ε DS,4, ε, ε L, e z que mnmzam a função F, sujeta a restrção 0 3, até uma tolerânca acetável (Tol). CA STM z O desenvolvmento da função resíduo FCA STM, Eq. (15), conta com certas premssas, são elas: A transferênca de tensões transversas entre os panés na Eq. (10) é nula, F () ; CA STM A T σ cos ( αd, ) + σd, sn ( αd,) + ft, td, s φl,13 φt,13 φ L,4 FCA STM() θsn( αd,) φ T,4 + cos ( α φl,13 D,) + sn ( αd, ) FCA STM( + 4) φt,13 φ F ( 8) L,4 CA STM + φt,4 FCA STM(13) = q ( σ σd, )sn( αd,)cos( αd, )sgn( q) FCA STM(14) td, FCA STM(15) b0 σl,3 ( td,3h0 ) σl,1 ( td,1h0) MY FCA STM(16) h0 σl,4 ( td,4b0 ) σl, ( td,b0) MZ σl,1 ( td,1h0 ) + σl, ( td,b0) + σ,3( t,3h0) + σ,4( t,4b0) N εl,1 εl, + εl,3 εl,4 L D L D (15) A curvatura dos panés, Eq. (1), concorda com a obtda por ONSONGO (1978), F ( 4) CA STM +, onde θ é a rotação axal da seção e φ L,13, φ L,4, φ T,13 e φ T,4 as curvaturas longtudnas e transversas da seção, GREENE (006); A tensão de corte da Eq. (4) concorda com a encontrada em Eq. (9), FCA STM( + 8) ; É garantdo o equlíbro longtudnal da seção com Eq. (5) e (6), FCA STM(13 15) ; Por fm, é garantda a compatblzação das deformações nos quatro panés através da últma lnha da função resíduo FCA STM(16), SILVA (016). O procedmento proposto usa como estmatva para o prmero ponto da solução o comportamento obtdo com base em um modelo elástco lnear de um panel de concreto smples submetdo ao csalhamento puro, SILVA (016). Uma vez que esse elemento dealzado representa os quatro panés, os valores ncas para as varáves prmáras correspondentes em dferentes elementos terão o mesmo valor. Decorrente dsso, os valores

8 0 arbtrados ncalmente para as deformações de compressão na face externa nos panés, ε DS,, concordam com o ε prevamente assumdo. Por sua vez, as outras estmatvas ncas das varáves prmáras são deduzdas de acordo com o círculo de Mohr e consderando o 0 comportamento elástco lnear. No caso de z é consderado um valor médo relatvo ao ntervalo estudado 0 z 3, no presente estudo fo admto o valor untáro. Com sso, pode-se defnr o procedmento proposto como: 0 [0] Incalzação: Informe Tol, ε, ε DS,MA e n max [1] Ponto ncal: faça uma estmatva ncal para a solução com base no modelo lnear elástco de um panel sujeto a csalhamento puro, SILVA (016) e k = 1 k [] Resolver: para ε resolver a função resíduo FCA STM, Eq. (15), sujeta a 0 z 3, utlzando como ponto ncal as respostas obtdas em k 1 k+ 1 k [3] Incrementar: aumentar a deformação ncal ε = ε + ε k+ 1 [4] Verfcar: Avalar se os crtéros de parada foram atngdos: Se ε > εds,ma, k k 1 T < T ou k = nmax, fazer k = k + 1 e retornar para [], caso contráro, fnalzar o processo. k Nesse procedmento o parâmetro ε vara de forma crescente até o valor máxmo ( ε DS,MA), 3 geralmente tdo como , através de um ncremento fxo em cada teração ( ε DS,1). Com sso, é resolvdo um sstema de equações não lnear em cada stuação, onde a estmatva ncal para os novos sstemas de equações são os resultados da teração anteror. Esse processo se repete até o número máxmo de pontos ( n max ) ser atngdo, a deformação ε ser superor ao lmte ε DS, MA ou até o momento torsor T se gualar a resstênca de pco. Valdação do procedmento de solução proposto Orgnalmente, o CA-STM fo valdado por GREENE (006) com base na comparação entre o comportamento carga-deformação da estrutura prevsto pelo modelo e os dados expermentas obtdos em 8 ensaos de laboratóro. Com o objetvo de verfcar a efcênca do procedmento de solução proposto, alguns desses expermentos foram seleconados para uma análse adconal, consderando tanto o caso de torção pura como a combnação desse esforço com o cortante. Bascamente, a atuação conjunta do momento torsor com o esforço cortante fo consderada através da vga RC-3, RAHAL e COLLINS (1995). A Fgura 3 lustra a comparação da curva torsor-rotação expermental e a obtda no procedmento para a vga RC-3, onde, também são mostradas as rgdezes à torção elástca ( GC ) e últma ELAS ( ULT GC ) referentes à análse expermental e as calculadas através de formulações teórcas clásscas, SILVA (016), juntamente com os dvsores à torção relatvos. Por fm, além da acuráca demonstrada pelo método, é mportante ressaltar a sua efcênca computaconal. O tempo médo de processamento levado pelo computador para executar todo o procedmento descrto fo aproxmadamente qunze segundos, sendo as especfcações do processador usado: Intel Core Com sso, conclu-se que a assocação do CA- STM com procedmento de solução proposto tende a se mostrar uma opção atratva para análse de seções com combnação torsor-cortante.

9 Fgura 3 Comparação da curva torsor-rotação expermental e do procedmento Exemplo de aplcação do procedmento proposto A segur, é apresentado um exemplo de aplcação do procedmento proposto em um caso real. O exemplo em questão surgu durante a verfcação estrutural de um pedestal de concreto armado que serve de suporte para um tanque de armazenamento com fnaldades ndustras. A Fgura 4 mostra uma vsta trdmensonal dessa. De acordo com essa lustração, pode-se perceber que o problema trata de uma estrutura hperestátca submetda à torção de equlíbro, decorrente da vga curva (60/148). Tendo em vsta que, nesse tpo de análse, a relação entre a rgdez à flexão dos plares (EI ) e a rgdez à torção das vgas (GC) nfluenca consderavelmente na dstrbução dos esforços nternos e que o exemplo estudado trata de uma estrutura de concreto armado, onde, GC vara sgnfcatvamente com o aumento da carga aplcada, pode-se conclur que estmar corretamente o dagrama das solctações nternas nesse problema é uma atvdade não trval. Com o objetvo de determnar o dvsor a torsor efetvo para a vga V1, fo utlzado o procedmento proposto, tanto para torção pura como para combnação desse esforço com o cortante, Fgura 4. Como pode ser observado, com a atuação smultânea das duas solctações, a rgdez últma sofre uma expressva dmnução. Em relação à efcênca computaconal, o tempo médo de processamento para executar todo o procedmento descrto fo 60 segundos, novamente utlzando-se um processador Intel Core Na stuação de torção pura, fo obtdo um dvsor a torção (9,7) com razoável proxmdade ao adotado no cálculo da armadura da seção (6,67). Isso mostra que, nesse caso, a recomendação da NBR-6118/007 fo plausível. Porém, quando é levada em conta a combnação do torsor com o esforço cortante, essa conclusão já não é mas válda, vsto que o dvsor à torção obtdo (30,9) na atuação smultânea das duas solctações se mostrou bastante elevado. Por fm, na falta de uma ferramenta de análse não lnear aproprada para estudar toda a estrutura, recomenda-se utlzar no estudo do pedestal de concreto, ou de estruturas smlares, uma envoltóra dos esforços nternos obtdos em análses com o coefcente normatvo e com o dvsor calculado por um modelo semelhante ao dscutdo no presente trabalho.

10 Conclusões Fgura 4 Curvas torsor-rotação da vga V1 do exemplo de aplcação É precso prever o real comportamento de seções em concreto armado sujetas a ação combnada dos esforços secconas de flexão, cortante e torção para calcular as rgdezes apropradas em análses estruturas para verfcações dos estados lmtes de servço e ruptura. Na lteratura os modelos de trelça com amolecmento são resolvdos tradconalmente utlzando-se o método das tentatvas e erro. Nesse trabalho, fo desenvolvdo um procedmento efcente de solução utlzando a tecnologa de sstemas de equações não lneares sujetos a restrções. No caso do CA-STM, o problema pode ser formulado em termos de um sstema não lnear com 16 equações e 16 ncógntas. O procedmento fo mplementado em lnguagem MATLAB e aplcado a ensaos expermentas da lteratura, onde fo observada boa aderênca. Fo aplcado o procedmento mplementado no estudo de um caso real de um pedestal de concreto, onde, fcou demonstrada a sgnfcatva nfluênca do esforço cortante na redução da rgdez à torção da seção nesse problema. Referêncas AMERICAN CONCRETE INSTITUTE. ACI 318 Buldng Code Requrements for Structural Concrete ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de Estruturas de Concreto, NBR 6118 (007). ABNT, Ro de Janero, Brasl, 007. GREENE, G. G. Jr., 006. Behavor of renforced concrete grders under cyclc torson and torson combned wth shear: expermental nvestgaton and analytcal models, Ph.D. Dssertaton, Department of Cvl Engneerng, Unversty of Mssour-Rolla, USA. HSU, T. T. C.; MO, Y. L., 010. Unfed Theory of Concrete Structures. Wley. ONSONGO, W. M., The Dagonal Compresson Feld Theory for Renforced Concrete Beams Subjected to Combned Torson, Flexure and Axal Loads, Ph.D. Dssertaton, Department of Cvl Engneerng, Unversty of Toronto, Canada, 46 pp. RAHAL, K. N.; COLLINS, M. P., Effect of the Thckness of Concrete Cover on the Shear- Torson Interacton an Expermental Investgaton, ACI Structural Journal, V. 9, pp SILVA, J. R. B., 016. Procedmento Efcente Para Análse De Seções Em Concreto Armado Usando O Modelo De Trelça Com Amolecmento, Dssertação de Mestrado, Departamento de Engenhara Cvl, Unversdade Federal de Pernambuco, Brasl.