Aguinaldo Aparecido Pereira

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1 O MÉTODO DA FUNÇÃO LAGRANGIANA BARREIRA MODIFICADA/PENALIDADE Agunaldo Aparecdo Perera Dssertação apresentada à Escola de Engenhara de São Carlos, da Unversdade de São Paulo, como parte dos requstos para obtenção do título de Mestre em Engenhara Elétrca. ORIENTADOR: Prof. Dr. Geraldo Roberto Martns da Costa São Carlos 007

2 Aos meus pas, Palmra e Sebastão, e a Deus por me darem a dádva da vda.

3 Confa no SENHOR e faze o bem; habtarás na terra, e verdaderamente serás almentado. Deleta-se também no SENHOR, e te concederá os desejos do teu coração. Entrega o teu camnho ao SENHOR; confa nele, e ele o fará. E ele fará sobressar a tua justça como a luz, e o teu juízo como o meo da. Salmo 37,3-6.

4 v AGRADECIMENTOS Ao Professor Dr. Geraldo Roberto Martns da Costa pela excelente orentação, compreensão, amzade, pacênca e confança durante a elaboração desse trabalho. À Professora Dra. Edméa Cássa Baptsta pela excelente co-orentação, pacênca e prncpalmente pela amzade que se frmou durante a elaboração desse trabalho. Ao Professor Dr. Antono Roberto Balbo, por ter plantado a semente em mm em relação ao mestrado, além do seu ncentvo e da sua amzade que vem desde a graduação. Ao pessoal do LASEE, em especal à Vanusa Alves Sousa, pela troca de déas, pelo apoo e pela valorosa amzade. A todos os colegas, professores e funconáros do Departamento de Engenhara Elétrca da EESC/USP pela colaboração. A TODOS os que convveram comgo durante esse período, torcendo, apoando, e me compreendendo, muto obrgado!!!

5 v RESUMO PEREIRA, A. A. (007). O Método da Função Lagrangana Barrera Modfcada/Penaldade. Dssertação (Mestrado) Escola de Engenhara de São Carlos, Unversdade de São Paulo, São Carlos, 007. Neste trabalho propomos uma abordagem que utlza o método de barrera modfcada/penaldade para a resolução de problemas restrtos geras de otmzação. Para sso, foram obtdos dados teórcos, a partr de um levantamento bblográfco, que explctaram os métodos prmal-dual barrera logarítmca e método de barrera modfcada. Nesta abordagem, as restrções de desgualdade canalzadas são tratadas pela função Barrera de Frsch Modfcada, ou por uma Extrapolação Quadrátca e as restrções de gualdade do problema através da função Lagrangana. A mplementação consste num duplo estágo de aproxmação: um cclo externo, onde o problema restrto é convertdo em um problema rrestrto, usando a função Lagrangana Barrera Modfcada/Penaldade; e um cclo nterno, onde o método de Newton é utlzado para a atualzação das varáves prmas e duas. Ë apresentada também uma função Barrera Clássca Extrapolada para a ncalzação dos multplcadores de Lagrange. A efcênca do método fo verfcada utlzando um problema teste e em problemas de Fluxo de Potênca Ótmo (FPO). Palavras-chave: método de pontos nterores, método de barrera modfcada, método de Newton, extrapolação quadrátca, FPO.

6 v ABSTRACT PEREIRA, A. A. (007). The Penalty/Modfed Barrer Lagrangan Functon Method. Dssertaton (Master s degree) Escola de Engenhara de São Carlos, Unversdade de São Paulo, São Carlos, 007. In ths paper, we propose an approach that utlzes the penalty/modfed barrer method to solve the general constraned problems. On ths purpose, theoretcal data were obtaned, from a bblographcal revew, whch enlghtened the logarthmc barrer prmal-dual method and modfed barrer method. In ths approach, the bound constrants are handled by the modfed log-barrer functon, or by quadratc extrapolaton and the equalty constrants of the problem through Lagrangan functon. The method, as mplemented, conssts of a two-stage approach: an outer cycle, where the constraned problem s transformed nto unconstraned problem, usng Penalty/Modfed Barrer Lagrangan functon; and an nner cycle, where the Newton s method s used for update the prmal and dual varables. Also, t s presented a Classcal Barrer Extrapolated functon for ntalzaton of Lagrange multplers. The effectveness of the proposed approach has been examned by solvng a test problem and optmal power flow problems (OPF). Keywords: Interor Pont Method, Modfed Barrer Method, Newton Method, quadratc extrapolaton, OPF.

7 v SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS x LISTA DE TABELAS...7x LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS... 7x LISTA DE SÍMBOLOS... xv INTRODUÇÃO... HISTÓRICO MÉTODOS DA FUNÇÃO BARREIRA E DA FUNÇÃO BARREIRA MODIFICADA 3.- O método prmal-dual barrera logarítmca Algortmo Dfculdades Computaconas Método de barrera modfcada Algortmo Dfculdades Computaconas O MÉTODO DA FUNÇÃO LAGRANGIANA BARREIRA MODIFICADA/PENALIDADE 4.- Apresentação do problema A função Lagrangana barrera modfcada/penaldade O método da função Lagrangana barrera modfcada/penaldade... 3

8 v O cclo nterno do método da função Lagrangana barrera modfcada/penaldade (teração de Newton) Busca lnear O cclo externo Os parâmetros s e o parâmetro µ O parâmetro β Os multplcadores de Lagrange assocados às restrções de desgualdade Incalzação dos multplcadores de Lagrange Esquema de extrapolação da função barrera clássca Método de Newton para a função Lagrangana barrera clássca/penaldade Crtéros de parada para o cclo externo Algortmo para o método da função Lagrangana barrera modfcada/ penaldade Algortmo da Incalzação com a função Lagrangana barrera modfcada/penaldade Algortmo da função Lagrangana barrera modfcada/penaldade RESULTADOS NUMÉRICOS 5.- Exemplo Incalzação do método usando a função Lagrangana barrera clássca/penaldade O método da função Lagrangana barrera modfcada/penaldade Exemplo Sstema Elétrco de 3 barras Sstema Elétrco de 5 barras Sstema Elétrco de 4 barras Sstema Elétrco de 30 barras Sstema Elétrco de 57 barras Sstema Elétrco de 8 barras CONCLUSÕES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 87

9 x APÊNDICE ALGORITMOS ESTRUTURADOS APÊNDICE BANCO DE DADOS DOS SISTEMAS ELÉTRICOS DE 3 E DE 8 BARRAS APÊNDICE 3 ESTADO FINAL DOS SISTEMAS ELÉTRICOS DE 3 E DE 8 BARRAS... 0

10 x LISTA DE FIGURAS FIGURA Cclo externo do algortmo do método da FLBMP com ncalzação pelo método da FLBCP FIGURA Cclo nterno dos métodos da FLBMP e da FLBCP... 5 FIGURA 3 Convergênca do método da FLBMP referente ao TESTE FIGURA 4 Convergênca do método da FLBMP referente ao TESTE FIGURA 5 Convergênca do método da FLBMP referente ao TESTE

11 x LISTA DE TABELAS TABELA Crtéros de parada TABELA Varáves prmas e função objetvo TABELA 3 Varáves duas e parâmetro de barrera TABELA 4 Varáves prmas, função objetvo e varáves duas TABELA 5 Estmatvas dos multplcadores de Lagrange e parâmetro de barrera.. 6 TABELA 6 Varáves prmas e função objetvo... 6 TABELA 7 Varáves duas e parâmetro de barrera... 6 TABELA 8 Varáves prmas, função objetvo e varáves duas... 6 TABELA 9 Estmatvas dos multplcadores de Lagrange e parâmetro de barrera.. 6 TABELA 0 Varáves prmas e função objetvo TABELA Varáves duas e parâmetro de barrera TABELA Varáves prmas, função objetvo e varáves duas TABELA 3 Estmatvas dos multplcadores de Lagrange e parâmetro de barrera 64 TABELA 4 Estado ncal do sstema de 3 barras TABELA 5 Lmtes para as tensões e reatvos TABELA 6 Valores ncas das varáves de folga e dos multplcadores de Lagrange TABELA 7 Varáves do sstema de 3 barras na teração TABELA 8 Varáves de folga e multplcadores de Lagrange TABELA 9 Varáves do sstema de 3 barras na teração TABELA 0 Varáves de folga e multplcadores de Lagrange TABELA Varáves do sstema de 3 barras na teração TABELA Varáves de folga e multplcadores de Lagrange TABELA 3 Estmatvas dos multplcadores de Lagrange TABELA 4 Varáves do sstema de 3 barras na teração... 77

12 x TABELA 5 Varáves de folga e multplcadores de Lagrange TABELA 6 Estmatvas dos multplcadores de Lagrange TABELA 7 Varáves do sstema de 3 barras na teração TABELA 8 Varáves de folga e multplcadores de Lagrange TABELA 9 Estmatvas dos multplcadores de Lagrange TABELA 30 Varáves do sstema de 3 barras na teração TABELA 3 Varáves de folga e multplcadores de Lagrange TABELA 3 Estmatvas dos multplcadores de Lagrange TABELA 33 Convergênca da Função Objetvo no método da FLBCP TABELA 34 Convergênca da Função Objetvo no método da FLBMP TABELA 35 Convergênca da Função Objetvo no método da FLBCP TABELA 36 Convergênca da Função Objetvo no método da FLBMP TABELA 37 Convergênca da Função Objetvo no método da FLBCP... 8 TABELA 38 Convergênca da Função Objetvo no método da FLBMP... 8 TABELA 39 Convergênca da Função Objetvo no método da FLBCP... 8 TABELA 40 Convergênca da Função Objetvo no método da FLBMP... 8 TABELA 4 Convergênca da Função Objetvo no método da FLBCP TABELA 4 Convergênca da Função Objetvo no método da FLBMP TABELA 43 Convergênca da Função Objetvo no método da FLBCP TABELA 44 Convergênca da Função Objetvo no método da FLBMP... 84

13 x LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS FPO Fluxo de Potênca Ótmo; FBC Funções Barrera Clásscas; FBM Funções Barrera Modfcadas; FLC Funções Lagranganas Clásscas; FLBMP Função Lagrangana Barrera Modfcada/Penaldade; KKT Karush-Kuhn-Tucer; MPI Método de Ponto Interor; MPE Método de Ponto Exteror; COPS Conjunto de Problemas de Otmzação Restrta; CUTE Ambente de Teste Restrto e Irrestrto; PDBL Prmal-Dual Barrera-Logarítmca; PPNL Problema de Programação Não-Lnear; FBMP Função Barrera Modfcada/Penaldade; FBM Função Barrera Modfcada; FLBM Lagrangana da Função Barrera Modfcada; FLBCP Função Lagrangana Barrera Clássca/Penaldade; FBC Função Barrera Clássca Logarítmca; FLBL Lagrangana da Função Barrera Clássca Logarítmca; FBCP Função Barrera Clássca/Penaldade; FPM Função Penaldade Mérto; PV Barras de Geração; NL Número de Lnhas de Transmssão; NB Número de Barras do Sstema Elétrco; NBC Número de Barras de Carga; NBCR Número de Barras de Controle de Reatvo;

14 xv NBCCR Número de Barras de Carga e de Controle de Reatvos; MVA Mega Volts Ampères; SL Barra de Referênca (slac); CR Barra de Controle de Reatvo; CG Barra de Carga; Ang Ângulo; Rad Radanos; p.u. Por Undade; MW Mega Watts; USP Unversdade de São Paulo; LASEE - Laboratóro de Análse de Sstemas de Energa Elétrca; EESC Escola de Engenhara Elétrca de São Carlos.

15 xv LISTA DE SÍMBOLOS x varável prmal; s parâmetro shft; µ parâmetro de barrera; β tolerânca da aproxmação em relação à frontera da regão vável; f(x) função objetvo; c(x) restrção de desgualdade; m c número de restrções de desgualdade c(x); B(x) termo de barrera; ψ(y) função de uma varável y; h(x) restrção de gualdade; m h número de restrções de gualdade h(x); z varável de folga (varável prmal); FL função Lagrangana; λ E multplcador de Lagrange assocado às restrções de gualdade (varável dual); λ I multplcador de Lagrange assocado às restrções de desgualdade (varável dual); X FL vetor gradente da função Lagrangana; FLBM função Lagrangana barrera modfcada FLBC função Lagrangana barrera clássca H matrz Hessana; S vetor das dreções de busca; sx, sz, sλ E e λ I dreções de busca para as varáves x, z, λ E e λ I ; α tamanho do passo na dreção de busca; α p tamanho do passo na dreção prmal; α d tamanho do passo na dreção dual; λ estmatvas dos multplcadores de Lagrange; r número de restrções de desgualdade do problema;

16 xv τ escalar com valor empírco de 0,9995; FBM função barrera modfcada; µ valor lmte para o parâmetro de barrera; F(x, λ, µ) função barrera de Frsch modfcada; C(x, λ, µ) função barrera de Carrol modfcada; Ω µ conjunto relaxado; ρ tamanho do passo encontrado através da regra de Goldsten-Armjo; c lmte nferor da restrção de desgualdade c(x); c lmte superor da restrção de desgualdade c(x); x lmte nferor da varável canalzada x; x lmte superor da varável canalzada x; m x número das varáves canalzadas x; v I, v S, ξ I e ξ S estmatvas dos multplcadores de Lagrange para as restrções de desgualdade, onde S está relaconado com lmte superor e I com nferor; φ termo de barrera modfcada/penaldade; φ FBC termo de barrera clássca/penaldade; Q(x) função penaldade (extrapolação quadrátca); q a, q b e q c coefcentes da função penaldade Q(x) assocada à função barrera modfcada; FBMP função barrera modfcada /penaldade; FLBMP função Lagrangana barrera modfcada/penaldade; G vetor gradente; G FLBMP vetor gradente da FLBMP; H FLBMP matrz Hessana da FLBMP; X vetor das varáves prmas e duas; p ndexador das terações nternas; T transposção de matrz ou vetor; w constante suave; α 0 passo ncal; BL ndexador das terações da busca lnear; FPM função penaldade mérto; M termo de penaldade;

17 xv ε precsão; L ndexador das terações externas; γ parâmetro de redução do parâmetro de barrera; µ 0 parâmetro de barrera ncal; u, u, u 3 crtéros de parada; η precsão para os crtéros de parada; FBC função barrera clássca; FLBCP função Lagrangana barrera clássca/penaldade; G FLBCP vetor gradente da FLBCP; H FLBCP matrz Hessana da FLBCP; a, b e c coefcentes da função penaldade Q(x) assocada à função barrera clássca. g condutânca da lnha conectada entre a barra e m; e m - barras do sstema; V e V m - magntudes de tensão nas barras e m, respectvamente; θ m ângulo da tensão entre as barras e m, respectvamente; y m admtânca da lnha entre as barras e m; P G e P C potêncas atvas, gerada e consumda, respectvamente; Q G e Q C potêncas reatvas, gerada e consumda, respectvamente; K conjunto de todas as barras vznhas à barra, nclundo ela mesma. Q e Q lmtes mínmos e máxmos de geração de potênca reatva, respectvamente; V e V lmtes mínmos e máxmos da magntude de tensão, respectvamente; NL número de lnhas de transmssão; NB número de barras do sstema elétrco; NBC número de barras de carga; NBCR número de barras de controle de reatvo; NBCCR número de barras de carga e de controle de reatvos.

18 CAPÍTULO INTRODUÇÃO Problemas de otmzação não-lnear são encontrados nas mas dversas áreas do conhecmento, como engenhara, químca, agronoma, medcna, entre outras. Esses problemas, em geral, nem sempre possuem uma resolução fácl, devdo à sua nãolneardade e quantdade de varáves, necesstando de métodos numércos efcentes para alcançar uma convergênca satsfatóra na determnação da sua solução. Dentre estes métodos, temos os métodos de barrera que transformam um problema restrto em um problema rrestrto e ntroduzem as restrções na função objetvo através de um parâmetro de barrera, que mpede a aproxmação de um ponto factível à frontera da regão factível. É utlzada neste trabalho para resolver problemas de otmzação restrta nãolneares, a teora dos métodos da função barrera modfcada, que fo desenvolvda por Polya, em 99. Tas métodos combnam as melhores propredades da função barrera clássca e função Lagrangana clássca. Comparadas com as funções barrera clásscas (FBC), as funções barrera modfcadas (FBM) e suas dervadas são defndas na solução, não crescem para o nfnto, sua matrz Hessana da função Lagrangana não se torna mal condconada e o parâmetro de barrera não necessta tender para zero durante o processo de

19 CAPÍTULO INTRODUÇÃO convergênca. A qualdade mas mportante da FBM é a representação explcta da estmatva dos multplcadores de Lagrange, pos estes auxlam no processo de convergênca do método. Segundo Polya (99), em contraste com as funções Lagranganas clásscas (FLC), a FBM é convexa na vznhança da solução para problemas de programação não convexos, desde que as condções de otmaldade de segunda ordem estejam satsfetas. Com a estmatva ótma dos multplcadores de Lagrange, o extremo rrestrto da FBM exste e concde com a solução do problema ncal. As funções duas, às quas são baseadas as FBM, são tão suaves quanto às funções ncas do problema prmal. O problema dual é sempre convexo, ndependente de o problema prmal ser ou não convexo, e tem mportantes propredades locas próxmo à solução. O método proposto, neste trabalho, denomnado de método da função Lagrangana barrera modfcada/penaldade, é desenvolvdo para resolver problemas não-lneares restrtos onde todas as restrções de desgualdade são supostas do tpo ; as varáves canalzadas são desmembradas em duas restrções de desgualdade, e as restrções canalzadas são separadas em duas restrções de desgualdade e uma de gualdade, através do acréscmo de varáves de folga. Todas as restrções de desgualdade são relaxadas e tratadas através da função barrera modfcada/penaldade, dando orgem a um problema equvalente. Assoca-se a esse problema uma função Lagrangana denomnada função Lagrangana barrera modfcada/penaldade (FLBMP). As condções necessáras de prmera ordem são aplcadas à FLBMP, gerando um sstema de equações não-lneares, o qual é resolvdo pelo método de Newton. Esse processo de lnearzação gera um sstema de equações cuja solução nos fornece as dreções de busca para atualzação das varáves prmas e duas e o passo é determnado por um procedmento de busca lnear. Os multplcadores de Lagrange são atualzados através de um esquema proposto por BREITFELD & SHANNO (994b). Com o objetvo de verfcar a efcênca do método, aplcamos em um problema teste e em problemas de FPO. Um esquema para ncalzação dos multplcadores de Lagrange é utlzado.

20 CAPÍTULO INTRODUÇÃO 3 Este trabalho está organzado como segue: No capítulo, apresentamos um hstórco sobre a função barrera. No capítulo 3, expomos os métodos de função barrera clássca e modfcada. No capítulo 4, desenvolvemos o método função Lagrangana barrera modfcada/penaldade. No capítulo 5, os resultados numércos do método proposto para um exemplo teórco e para problemas de FPO são apresentados. E fnalmente, no capítulo 6, descrevemos as conclusões obtdas dos resultados da aplcação do método e as perspectvas de contnudade deste trabalho.

21 CAPÍTULO HISTÓRICO Neste capítulo apresentamos um levantamento bblográfco de trabalhos que utlzam a função barrera e suas varantes. Nosso objetvo é fornecer um posconamento hstórco para a abordagem proposta neste trabalho. O método da função barrera, ou método de barrera, é utlzado para a resolução de problemas de otmzação com restrções de desgualdade, cujo nteror é não vazo. Pode ser vsto como um caso partcular do método de penaldade, mas dferenca-se deste por exgr uma barrera nterna, ou seja, por trabalhar no nteror da regão factível, utlzando uma função auxlar que cresce ndefndamente próxma à frontera e uma seqüênca decrescente de fatores de barrera. A função barrera logarítmca fo estudada por Frsch (955) para problemas de programação convexa. Outra função barrera, denomnada função barrera nversa fo proposta por Carrol (96), sob o nome de Created Response Surface Technque. O método de barrera fo realmente popularzado por Facco e McCormc (968), que realzaram um estudo teórco mas detalhado do método e desenvolveram um novo; juntando a função barrera e a função penaldade em uma mesma função auxlar. Uma versão revsada desse trabalho pode ser encontrada em Facco e McCormc (990).

22 CAPÍTULO HISTÓRICO 5 Murray (97) apresentou um estudo sobre expressões analítcas para autovetores e autovalores de funções barrera em um mínmo ntermedáro; justfcou que o objetvo desse desenvolvmento é a análse do comportamento da função na vznhança do ponto ótmo. Também ctou que, na resolução de métodos da função barrera, as técncas de Newton e quas-newton são as mas utlzadas, e que necesstam de uma estmatva da nversa da Hessana, a qual pode ser determnada analtcamente por esse estudo. Os pesqusadores que trabalharam com o método da função barrera verfcaram que ele apresenta alguns problemas, tas como: o mal condconamento da matrz Hessana da função Lagrangana quando seu fator de barrera tende a zero; a dfculdade na escolha do fator de barrera e na escolha de uma solução ncal; a não-exstênca da dervada na solução e o aumento lmtado da função barrera na vznhança da frontera. Em vrtude desses problemas, na década de 70, o entusasmo no uso da função barrera dmnuu sensvelmente. O nteresse pelo método da função barrera reapareceu somente após a apresentação feta por Karmarar, em 984, de seu método projetvo para programação lnear, cujo maor mérto, como ctado em Gonzaga (989), fo o de ter mostrado que o problema de programação lnear é, de fato, um caso partcular da programação nãolnear e é tratável por técncas da mesma área. Seu método dependa da utlzação de uma transformação não-lnear conhecda como Transformação Projetva, e seu objetvo era camnhar pelo nteror da regão factível. O sucesso de tal método deu-se por dos motvos: à sua complexdade polnomal (em comparação com a complexdade exponencal do método smplex) e, ao seu sucesso computaconal para problemas de grande porte. Esse método também fcou conhecdo como método de pontos nterores. Após Karmarar ter proposto o método de pontos nterores para programação lnear foram apresentados na lteratura especalzada város trabalhos com varações do seu algortmo orgnal, como pode ser vsto em Gonzaga (989), Bouar e Facco (995), Forsgren et al. (00), entre outros. Uma das varantes do método projetvo de Karmarar é o método afm-escala, que utlza uma transformação afm em detrmento à transformação projetva. O método afm-escala possu duas varantes: o afm-escala

23 CAPÍTULO HISTÓRICO 6 prmal, para soluconar problemas lneares na forma padrão, e o afm-escala dual, para soluconar problemas lneares na forma de desgualdades. Como outras varantes podem ser ctados os métodos prmas de trajetóra central e os prmas-duas ou pathfollowng, estes últmos assm como o método afm-escala e suas varantes podem ser encontrados em Matumoto (996). Gll et al. (986) utlzaram o método de Karmarar para desenvolver o método da barrera de Newton projetada para solução de problemas lneares de otmzação; apresentaram uma descrção completa do novo método, e também mostraram que para determnados tpos de problemas de programação lnear e para uma dada escolha do fator de barrera e do tamanho do passo, o algortmo deles é equvalente ao de Karmarar. Dversos autores foram responsáves pelo desenvolvmento dos métodos de pontos nterores, na década de 80 e nco da década 90, entre eles pode-se ctar Mehrotra (99) e outros autores que podem ser encontrados nos trabalhos de Gonzaga (989) e de Bouar e Facco (995). Em vrtude do nteresse despertado por Karmarar e seus segudores na década de 80, a função barrera logarítmca passou novamente a ser usada como uma ferramenta alternatva de trabalho, surgndo novos tpos de função barrera. Polya (99) desenvolveu uma teora de métodos de barrera modfcada para resolver problemas de otmzação restrta. Tas métodos combnam as melhores propredades da função Lagrangana clássca e da função barrera clássca, evtando os problemas que ambas enfrentam. Por exemplo, em contraste com a função barrera clássca, as funções barrera modfcadas são defndas na solução; estas são suaves na vznhança do ótmo e não vão para nfnto quando o ótmo se aproxma. Já em contraste com a Lagrangana clássca, é convexa na vznhança da solução para problemas de programação não convexos, se as condções de segunda ordem são satsfetas. As funções duas, nas quas são baseadas as funções barrera modfcadas, são tão suaves quanto às funções do problema prmal. O problema dual é sempre convexo, ndependentemente de o problema prmal ser ou não convexo, e tem mportantes propredades locas próxmas à solução. Segundo Polya, a fnaldade que o

24 CAPÍTULO HISTÓRICO 7 método de barrera modfcada tem para os métodos de pontos nterores é a mesma que o método da função Lagrangana aumentada tem para os métodos de penaldade, sto é, ajudá-lo a drblar suas dfculdades. Por esse motvo, o autor consdera a função barrera modfcada como uma Lagrangana aumentada nteror. Apresenta dferentes versões do método para o problema de programação convexa e não convexa. Tas versões consstem no trabalho com um parâmetro de barrera fxo, na alteração desse parâmetro de barrera em um determnado nível e na alteração contínua, fornecendo convergênca lnear e super lnear. Wrght (994), em seu trabalho, cta Murray (97), o qual apresentou que as matrzes Hessanas da função barrera logarítmca fcam mal condconadas nos pontos sobre a trajetóra de convergênca quando o processo se aproxma da solução. Wrght dedcou seu trabalho à exploração do comportamento da matrz Hessana assocada ao problema de barrera. Mostrou o fato de a Hessana da função barrera ser mal condconada na regão próxma à solução, a não ser no caso de o número de restrções atvas serem nulas ou guas ao número de varáves. Também dscutu uma fatorzação de Cholesy para a matrz com posto defcente. Encontra-se em Bouar e Facco (995), um levantamento cronológco, para o período de 969 a 993, de trabalhos que têm por objetvo melhorar o método da função barrera e um hstórco a respeto dos métodos de pontos nterores. Wrght (995) estudou a aplcação do método de Newton ao método da função barrera, ressaltando o fato de esta ser problemátca em razão do mal condconamento da matrz Hessana da função Lagrangana; classfcou como passo puro de Newton, o passo gual a. Defnu métodos de passo curto, nos quas são exgdas poucas mnmzações (ou apenas uma) do fator de barrera, e métodos de passo longo, nos quas são exgdas váras mnmzações do fator de barrera. O prncpal resultado desse estudo de Wrght fo a demonstração de que um passo puro de Newton, em um método de passo longo, pode não ter sucesso. El-Bary et al. (996) tveram como objetvo prncpal apresentar uma formulação factível de métodos de pontos nterores para problemas de programação

25 CAPÍTULO HISTÓRICO 8 não-lnear, a partr da formulação já exstente para programação lnear. Para atngr esse objetvo realzaram um estudo de um método de pontos nterores, para o caso lnear, caracterzando as condções de Karush-Kuhn-Tucer (KKT) perturbadas. Mostraram que a trajetóra do método de Newton para a resolução das condções de KKT perturbadas assocadas a um problema de programação lnear e a trajetóra do mesmo método, e para a resolução das condções de KKT para o problema da função barrera logarítmca, não concdem, mas determnam a mesma solução para o problema de programação lnear. Concluíram que as condções perturbadas de KKT não são as condções de KKT para o problema da função barrera logarítmca. Os autores compararam o uso das condções de KKT perturbadas no método da função barrera logarítmca ao uso do método dos multplcadores no método da função penaldade. Tanto as condções de KKT perturbadas quanto o método dos multplcadores são utlzados para melhorar o condconamento da matrz Hessana da função Lagrangana. Apresentaram uma formulação para programação não-lnear denomnada método de ponto nteror prmal-dual Newton, propredades de convergênca local e global e alguns expermentos computaconas. Em 996, Bretfeld e Shanno baseados no trabalho de Polya (99), apresentaram o método de barrera-penaldade para problemas de programação nãolnear. Tveram como objetvo o desenvolvmento, a partr dos métodos de função barrera logarítmca modfcada, de um novo método, no qual os termos logarítmcos são extrapolados por aproxmações quadrátcas. Também fo apresentada, por eles, uma mplementação detalhada desse método, nclundo a formulação da nova função, o valor ncal das varáves e o crtéro de convergênca. Para a otmzação rrestrta, os autores apresentaram um método de Newton modfcado, em que é usada uma Hessana modfcada, para uma busca lnear, e os crtéros de convergênca do método. Bretfeld e Shanno, nesse estudo, destacam que os resultados computaconas são promssores. Melman (996) propôs um procedmento de busca lnear em métodos de função barrera para problemas de programação quadrátca, com restrções quadrátcas e convexas. Apresentou a aplcação desse procedmento de busca lnear aos seguntes métodos de pontos nterores: método de trajetóra central, método da função barrera de Carrol (96) e método da função barrera modfcada, vsta em Polya (99).

26 CAPÍTULO HISTÓRICO 9 Fo apresentado por Conn et al. (997) uma classe de métodos denomnados métodos de barrera Lagranganos. Esses métodos usam a mesma função barrera modfcada estudada em Polya (99). Conn et al. utlzaram uma função barrera Lagrangana baseados nos seguntes motvos: funções barrera determnam restrções atvas na solução de um modo mas efcente que os métodos do conjunto atvo, sendo sto váldo, também, para a função barrera Lagrangana; os métodos de pontos nterores para programação não-lnear são menos sensíves à degeneração que os métodos de restrções atvas. Expermentos numércos ndcam que esse método é superor ao da barrera clássca, evta o mal condconamento que ocorre neste, mpedndo dfculdades numércas. Os métodos de barrera Lagranganos são usados na resolução de problemas de grande porte, com a vantagem de evtar varáves de folga. Os autores forneceram um algortmo, o qual converge para um ponto em que as condções de KKT são satsfetas. Fnalmente, destacaram que seu método de barrera Lagrangano resolveu noventa por cento dos problemas-teste. Em 998, Vasslads e Broos, baseados no trabalho de Polya (99) e Bretfeld e Shanno (996) apresentaram o método de barrera-penaldade para problemas de programação quadrátca de grande porte. Também basearam o método na função barrera modfcada e na extrapolação quadrátca dos termos de barrera. Apresentaram a atualzação dos parâmetros de barrera-penaldade, um algortmo para o método e a ncalzação dos multplcadores de Lagrange va o método da função barrera logarítmca, que, além de consegur uma aproxmação, obtém-se também uma solução ncal melhorada. Wrght e Jarre (999) apresentaram o método de barrera logarítmca - Newton para a resolução de problemas não-lneares com restrções de desgualdade. Os autores mostraram que, para a função objetvo lnear, um passo efetvo pode ser tomado na dreção de Newton, depos de cada redução no fator de barrera, obtendo um bom comportamento do método próxmo à solução. Isso contrasta com o caso da função objetvo não-lnear, em que o método de Newton pode falhar quando o fator de barrera va para zero. Forneceram o algortmo em que o método da função barrera logarítmca utlza o método de Newton clássco, empregando a regra de Armjo de busca lnear. Por

27 CAPÍTULO HISTÓRICO 0 fm aplcaram esse algortmo a um exemplo numérco para verfcar seu comportamento. Anda em 999, Shanno e Vanderbe mostraram um algortmo de ponto nteror para a programação não-lnear não convexa que faz uma perturbação na matrz Hessana da função Lagrangana caso esta não seja defnda postva. Shanno e Vanderbe (000) desenvolveram uma extensão do algortmo de ponto nteror proposto pelos mesmos em 999. Esse algortmo também realzava uma perturbação na matrz Hessana da função Lagrangana caso esta não seja defnda postva. Os autores apresentaram os métodos prmal versus dual e de alta ordem que tentam usar cada fatoração da matrz Hessana da função Lagrangana mas de uma vez para melhorar a efcênca computaconal. Os resultados mostraram que dferentemente da programação quadrátca convexa e da lnear as correções para a trajetóra central não são útes para programação não-lnear não convexa. Mas que uma varante do algortmo predtor-corretor de Mehrotra (99) defntvamente pode melhorar o desempenho do método. Os autores desenvolveram também, uma estratéga dual para determnar se aplcar o método predtor-corretor váras vezes é, ou não, mas vantajoso que o procedmento padrão. Forsgren et al. (00) realzaram uma revsão e uma pesqusa recente sobre métodos de pontos nterores para otmzação restrta não-lnear. Começam pelo surgmento dos métodos de pontos nterores com o trabalho de Karmarar e mostram todo o seu desenvolvmento e progresso. Os pesqusadores revsaram os concetos de otmzação, métodos de barrera e suas varações e o método de barrera clássca Newton. Destacam a bem sucedda trajetóra dos métodos de pontos nterores com a função barrera logarítmca na otmzação restrta. Bahtar e Tts (003) propuseram e analsaram um método de ponto nteror prmal-dual do tpo factível para programação não-lnear, com a propredade adconal monotoncamente descendente, a qual dmnu a função objetvo a cada teração. Uma característca deste método é o uso de valores dferentes no vetor do parâmetro de barrera para cada restrção, com o propósto de melhorar a dreção de busca construída

28 CAPÍTULO HISTÓRICO o que evta pontos estaconáros que não satsfazem as condções de KKT. Segundo os autores, os recursos do esquema proposto ncluem smplcdade relatva do algortmo e da análse de convergênca, propredades de convergênca locas e globas e o bom desempenho em testes prelmnares. Além dsso, o algortmo não exge um ponto ncal nteror, este ponto pode ncar no lmte do conjunto factível. Byrd et al. (003) apresentaram um método de ponto nteror factível usando varáves auxlares (folga ou excesso) que se orgna de uma modfcação de métodos nfactíves para otmzação não-lnear. Descreveram uma base para transformação de métodos nfactíves, usando varável auxlar, em métodos factíves. Nessa base, algortmos de pontos nterores factíves e nfactíves podem ser consderados como varantes do mesmo método básco. A factbldade é controlada por um reajuste ou não das varáves auxlares após a execução de um passo teste, e pela forma como essas varáves são reajustadas. Usando essa flexbldade pode-se escolher forçar a factbldade em relação a algumas, todas, ou nenhuma das restrções de desgualdade dependendo do que é necessáro ou esperado. Segundo os autores, a estratéga do reajuste da varável auxlar pode expermentar dfculdades nos problemas com restrções de gualdade e desgualdade. Chen e Vasslads (003) propuseram um método que se basea na função barrera modfcada, na função Lagrangana, no método de Newton, nas extrapolações quadrátcas. Aplcaram o método em alguns exemplos teórcos e em alguns problemas da área de Químca. Gonzaga e Carda (004) lstaram váras propredades útes dos algortmos de pontos centras para problemas de programação lnear e apresentaram um estudo da função barrera logarítmca, do centro analítco e da trajetóra central. Mostraram que a varação da função barrera prmal ao longo da trajetóra central depende da proxmdade para o centro analítco. Estudaram o algortmo de path-followng de passo curto e determnaram qual o maor tamanho que pode ser atrbuído aos passos curtos. Mostraram que a varação da função barrera em cada teração do algortmo de passo curto tem um lmte nferor que não depende do problema. Estabeleceram uma relação

29 CAPÍTULO HISTÓRICO entre passos de Newton prmal-dual e prmal nos métodos de path-followng, e propuseram um algortmo prmal predtor-corretor. Grva (004) apresentou um algortmo para resolver problemas de programação não-lnear. O algortmo está baseado na combnação de métodos de ponto nteror e exteror. Este últmo também é conhecdo como o método prmal-dual não-lnear rescalng. O autor mostrou que em certos casos quando o método de ponto nteror (MPI) não alcança a solução com um alto nível de precsão, o uso do método de ponto exteror (MPE) pode revolver esta stuação. O resultado é demonstrado resolvendo problemas do COPS (Conjunto de Problemas de Otmzação Restrta) e um conjunto de problemas CUTE (Ambente de Teste Irrestrto e Restrto) usando o aplcatvo para programação não lnear solver LOQO o qual fo modfcado para nclur a sub-rotna do método de ponto exteror. Arotranas e Rustem (005) apresentaram um algortmo de pontos nterores prmal-dual para resolver problemas de programação não-lnear e restrtos. As restrções de desgualdade são acrescdas na função objetvo por meo da função barrera logarítmca e as restrções de gualdade são tratadas usando uma função penaldade quadrátca adaptatva. O parâmetro de penaldade é determnado usando uma estratéga que assegura uma propredade descendente para uma função mérto. A convergênca global do algortmo é alcançada por meo da redução monotônca de uma função mérto. Segundo os autores, os resultados computaconas mostraram que o algortmo pode resolver problemas de grande porte e complexos de forma efcente e robusta. Sousa et al. (006) mostraram um método de resolução de problemas nãolneares e não convexos baseados na metodologa de pontos nterores. Neste método, as condções de otmaldade de prmera ordem são aplcadas à função Lagrangana barrera modfcada resultando num sstema não-lnear, cuja solução é determnada através da utlzação do método de Newton. Uma das vantagens deste método é que o fator de barrera não tende ao nfnto quando o ótmo se aproxma. Seu potencal fo mostrado na resolução de problemas de fluxo de potênca ótmo (FPO). O número de terações do método está dretamente lgado à escolha dos fatores ncas de barrera e seus respectvos parâmetros de correção. O método exge uma experênca préva do

30 CAPÍTULO HISTÓRICO 3 sstema que será resolvdo para um adequado ajuste do fator de barrera e de seu parâmetro de barrera. Fnalmente, Kocvara e Stngl (007) propuseram um algortmo baseado na função barrera modfcada e que utlza solvers teratvos para calcular as dreções de busca para problemas de programação lnear sem-defndos de grande porte. A déa do uso destes solvers é evtar o cálculo explícto da Matrz de Newton ou por um esquema mplícto no produto matrz-vetor ou por alguma fórmula de dferenças fntas. Tudo sso leva a um enorme ganho de memóra computaconal para o algortmo e, além dsso, para alguns problemas, a aceleração do algortmo.

31 CAPÍTULO 3 MÉTODOS DA FUNÇÃO BARREIRA E DA FUNÇÃO BARREIRA MODIFICADA Neste capítulo apresentamos o método prmal-dual barrera logarítmca e o método da barrera modfcada, os quas fornecerão suporte teórco para a apresentação da abordagem proposta. 3. O MÉTODO PRIMAL-DUAL BARREIRA LOGARÍTMICA O método da função barrera, ou método de barrera, é utlzado para a resolução de problemas com restrções de desgualdade, cujo nteror é não vazo. Pode ser vsto como um caso partcular do método de penaldade, mas dferenca-se deste por exgr uma barrera nterna, ou seja, por trabalhar no nteror da regão factível, utlzando uma função auxlar que cresce ndefndamente próxma à frontera e uma seqüênca decrescente de fatores de barrera. A função barrera logarítmca fo estudada por Frsch (955) para problemas de programação convexa. Outra função barrera, denomnada função barrera nversa fo proposta por Carrol (96). O método de barrera fo realmente popularzado por Facco

32 CAPÍTULO 3 MÉTODOS DA FUNÇÃO BARREIRA E DA FUNÇÃO BARREIRA MODIFICADA 5 e McCormc (968), que realzaram um estudo teórco mas detalhado do método e desenvolveram um novo; juntando a função barrera e a função penaldade em uma mesma função auxlar. Os métodos de barrera transformam o problema restrto em um problema rrestrto e ntroduzem as restrções na função objetvo através de um parâmetro de barrera, que mpede a aproxmação de um ponto factível à frontera da regão factível. Trabalhando no nteror dessa regão, tas parâmetros geram barreras que mpedem as varáves de volarem seus lmtes. Logo, parte-se de um ponto factível e geram-se novos pontos factíves. Uma das vantagens desse método é a obtenção de, pelo menos, uma solução factível, caso ocorra uma parada prematura do mesmo, pos esse método trabalha somente com problemas de desgualdade cujo nteror é não-vazo. Assm, assume-se o problema (3.) somente com restrções de desgualdade, da segunte forma: Mnmzar sujeto a : f (x) c (x) 0, =,,..., mc, (3.) n em que x R. Com o objetvo de garantr a permanênca no nteror da regão factível, pode-se gerar o segunte problema de barrera: Mnmzar { f(x) +µb(x): c(x) > 0}, (3.) x em que µ>0 é denomnado parâmetro de barrera, e B(x) é uma função barrera nãonegatva e contínua no nteror da regão factível {x;c(x)>0} e tende ao nfnto à medda que a solução se aproxma da frontera, a partr do nteror. Defne-se, então: m c [ ] B(x) = ψ c (x, (3.3) = )

33 CAPÍTULO 3 MÉTODOS DA FUNÇÃO BARREIRA E DA FUNÇÃO BARREIRA MODIFICADA 6 em que ψ é uma função de uma varável y, contínua sobre {y; y > 0 }, e satsfaz ψ (y) > 0, se y> 0 e lm ψ(y) =. (3.4) + y 0 A função f(x) + µ B(x) é denomnada função auxlar; a função barrera pode assumr váras formas, como: m c B(x) = c (x = ) m c ; (3.5) [ ] B(x) = ln c (x. (3.6) = ) A função (3.5) é denomnada barrera clássca ou nversa e fo estudada por Carrol (96) e (3.6) é denomnada função barrera logarítmca e fo estudada por Frsch (955). Quando µ 0 e B(x), tem-se que µ B(x) se aproxma da função barrera deal, descrta em (3.), e a solução do problema de barrera converge para a solução do problema (3.). Observa-se que (3.) é um problema rrestrto e pode ser tão complexo quanto (3.), pos é exgda uma solução ncal nteror à regão factível. O método trabalha com pontos nterores a essa regão, ao ponderar os pontos que se aproxmam da frontera mpede que estes saam da regão factível e a restrção pode ser gnorada. Temse, realmente, um problema rrestrto, para o qual poderá ser utlzada uma técnca de otmzação rrestrta. A segur apresentamos o método prmal-dual barrera-logarítmca (PDBL). A fundamentação teórca para métodos de pontos nterores consste na construção de três blocos crucas: o método de Newton para resolver equações não-lneares e conseqüentemente para a otmzação rrestrta, o método dos multplcadores de Lagrange para a otmzação com restrções de gualdade, o método de barrera de Facco e McCormc (968) para a otmzação com restrções de desgualdade. Entre as

34 CAPÍTULO 3 MÉTODOS DA FUNÇÃO BARREIRA E DA FUNÇÃO BARREIRA MODIFICADA 7 varantes de métodos de pontos nterores, o método PDBL é o mas utlzado devdo a sua efcênca e facldade de mplementação. A resolução de um problema do tpo: Mnmzar f (x) sujeto a : h (x) = 0, j =, K,m c (x) 0, =, K, m j c h (3.7) pelo método PDBL exge que as restrções de desgualdades sejam transformadas em gualdades por meo da ntrodução de varáves de folga ou excesso postvas. Portanto, o problema (3.7) modfcado pode ser apresentado como: Mnmzar f (x) sujeto a : h (x) = 0, j =, K, m c (x) z j = 0, =, K, m h c (3.8) z 0 com z R m c uma varável de excesso. Adcona-se uma função barrera logarítmca à função objetvo de forma a garantr a não negatvdade dessa varável de excesso: Mnmzar f (x) µ mc = ln(z ) sujeto a : h (x) = 0, j j =, K, m h (3.9) c (x) z = 0, =, K, m c em que µ é denomnado parâmetro de barrera. A varável z, =,..., m c, é estrtamente postva e o parâmetro de barrera µ é um número postvo que tende a zero. Quando sso acontece, a solução do subproblema

35 CAPÍTULO 3 MÉTODOS DA FUNÇÃO BARREIRA E DA FUNÇÃO BARREIRA MODIFICADA 8 apresentado em (3.9), x(µ), aproxma-se de x* a solução do problema (3.). A função Lagrangana assocada ao subproblema (3.9) é: mc = mh mc E I ) λ jh j(x) λ [c (x) z ] j= = FL = f (x) µ ln(z (3) em que: λ j E, j =,..., m h e λ I, =,..., m c, são os vetores dos multplcadores de Lagrange, denomnados de varáves duas. As condções necessáras de prmera-ordem são aplcadas em (3), gerando: FL 0 (3.) X = E I T com: X = (x,z, λ, λ ). A equação (3.) representa um sstema de equações não-lneares, o qual é resolvdo pelo método de Newton, que gera um sstema do tpo H é a matrz Hessana da função Lagrangana; HS = X FL ; em que FL é o vetor gradente e o vetor E I T E dreção de busca S = (sx,sz,sλ,sλ ) é utlzado para atualzar as varáves x, z, λ e X I λ como segue: x z + + = x = z + α sx + α sz E + E ( λ ) = ( λ ) + αs I + I I ( λ ) = ( λ ) + αs λ λ E (3.) em que o tamanho de passo α (0,] é escolhdo para preservar a postvdade do vetor z e o snal do vetor λ I. Isto se traduz por: max z α p = mn : sz < 0 sz

36 CAPÍTULO 3 MÉTODOS DA FUNÇÃO BARREIRA E DA FUNÇÃO BARREIRA MODIFICADA 9 I max λ I α = mn : sλ < 0 d I sλ α = mn max max { τα p, τα,} d onde o escalar τ (0,) é um valor determnado emprcamente, dado por τ = 0, 9995, ou de acordo com Wrght (995), pode ser calculado da fórmula ( 9 r ) número de restrções de desgualdade do problema., onde r é o Uma etapa muto mportante no algortmo prmal-dual barrera logarítmca é a escolha ncal do parâmetro de barrera. A condção FL 0 sugere que µ pode ser x = reduzdo com base no gap da complementardade, como vsto em Torres e Quntana (998). 3.. ALGORITMO ) Dado o problema (3.), construa a função Lagrangana (3); E I T ) Faça =0 e dê uma estmatva ncal para µ e S = (x, z, ( λ ), ( λ ) ) que satsfaça as condções propostas; ) Obtenha o sstema HS = XFL e resolva-o; v) Calcule os passos prmas e duas e atualze d utlzando (3.); v) Se a norma do gradente for menor que uma precsão ε vá para o passo v. Caso contráro volte para o passo ; v) Se as condções de KKT são satsfetas então pare. Caso contráro vá para o passo v; v) Atualze µ utlzando uma heurístca. Faça =+ e retorne ao passo. Um ponto ncal estrtamente factível não é obrgatóro, mas as condções z > 0 e λ I > 0 devem ser satsfetas em todos os pontos. O processo de otmzação termna quando as condções de KKT são satsfetas.

37 CAPÍTULO 3 MÉTODOS DA FUNÇÃO BARREIRA E DA FUNÇÃO BARREIRA MODIFICADA DIFICULDADES COMPUTACIONAIS Uma das dfculdades encontradas no método PDBL é a seleção de um ponto ncal factível. Em mutos problemas, sso pode ser trabalhoso. Também, em vrtude da estrutura da função barrera, para valores pequenos de µ, o método PDBL pode ter séros problemas de mal condconamento e erros de arredondamento, quando o ótmo se aproxma. As escolhas do parâmetro de barrera e do fator de barrera podem comprometer o processo de otmzação. 3. MÉTODO DE BARREIRA MODIFICADA Polya, em 99, desenvolveu uma teora de métodos da função barrera modfcada (FBM). Estes métodos combnam a função Lagrangana clássca e a função barrera clássca (FBC) buscando explorar as melhores propredades de cada uma dessas funções. A FBM pode ser consderada como uma função Lagrangana aumentada nteror e é utlzada na resolução de problemas restrtos. O método de barrera modfcada transforma o problema restrto em um rrestrto equvalente, e resolve uma seqüênca de problemas rrestrtos até atngr o ótmo. Para um melhor entendmento do método e de suas propredades descreve-se um método de barrera modfcada genérco para o problema (3.), segundo Nash et al. (994). A cada teração prncpal do método de barrera modfcada o problema rrestrto: Mnmzar M(x, λ, µ) x é resolvdo onde M(x, λ, µ ) = f (x) µ m c = λ ψ( µ c(x) + ), e a solução x é usada para atualzar λ, va λ = λψ'( µ c (x ) + ), =,..., mc. Os parâmetros λ, =,..., m c, são estmatvas dos multplcadores de Lagrange na solução x *. A função ψ é uma função monotônca, estrtamente côncava e de classe C defnda no ntervalo (0, + ); uma possível escolha é ψ (.) = ln(.), uma outra é a função nversa ψ (.) = /(.).

38 CAPÍTULO 3 MÉTODOS DA FUNÇÃO BARREIRA E DA FUNÇÃO BARREIRA MODIFICADA Se, por exemplo, ψ (.) = ln(.) a regão factível do problema (3.) é equvalente ao conjunto { x : ( µ c (x) + ) 0, =, K,m } µψ. c Desta forma, a função barrera modfcada é a Lagrangana clássca para o problema (3.) com as restrções expressas de forma equvalente. O uso do termo de ( + ) barrera µ ( x) ψ corresponde a relaxação das restrções de modo que tenham a c forma c (x) -µ. Esta relaxação representa uma expansão da regão factível. Conseqüentemente a regão factível mplícta para o subproblema de barrera modfcada vara com o parâmetro de barrera µ. Dferente da função barrera logarítmca clássca, a função barrera modfcada e suas dervadas exstem na solução x * para qualquer parâmetro de barrera, µ, postvo. Em partcular, se λ * é o vetor dos multplcadores de Lagrange correspondente a x *, e se ψ(.) = ln(.), então a função barrera modfcada tem as seguntes propredades para qualquer µ > 0: * * * P. M(x, λ, µ ) = f (x ) mc x = = * * * * * P. M(x, λ, µ ) = f (x ) λ c (x ) 0 P3. mc * * * * * * * T * T x M(x, λ, µ ) = f (x ) λ c (x ) + µ c(x )dag( λ ) c(x ) = Quando o problema é de programação convexa, segue de P que * * P4. x arg mn{ M(x, λ, µ )} =, para qualquer µ > 0. Isso sgnfca que se os multplcadores de Lagrange ótmos são conhecdos, pode-se resolver o problema restrto (3.) usando um únco problema de otmzação rrestrto, ndependente do valor do parâmetro de barrera. Polya (99) mostrou que se

39 CAPÍTULO 3 MÉTODOS DA FUNÇÃO BARREIRA E DA FUNÇÃO BARREIRA MODIFICADA os multplcadores de Lagrange ncas são postvos, e os parâmetros de barrera são menores que um valor lmte µ, o método converge. Nesse mesmo trabalho, Polya apresenta três tpos de funções barrera modfcadas: uma para a função barrera de Carrol, outra para a função barrera de Frsch e a função barrera Shfted. As funções ntroduzdas por Frsch, vstas em (3.6), e Carrol, encontradas em (3.5), são as funções barrera mas conhecdas. No entanto, essas funções têm séras desvantagens porque elas, bem como suas dervadas, não exstem em x * * e essas funções vão para nfnto quando x x. Consderando sto, Polya defnu as funções barrera de Frsch e Carrol modfcadas, estas funções assocadas ao problema (3.) serão mostradas a segur. Função barrera de Frsch modfcada, F(x,u,µ): m c f (x) µ λ ln = ( µ c (x) + ), se x nt Ωµ F (x, λ, µ ) = (3.3), se x nt Ωµ, Função barrera de Carrol modfcada, C(x,u,µ): C(x, λ, µ ) = m c = [( µ c (x) + ), ] sex Ωµ f (x) + µ λ nt, se x nt Ωµ, (3.4) onde: nt é a parte nteror do conjunto e Ω µ é o conjunto relaxado dado por: Ω = { x : µ c (x) + 0, =, K,m } µ c.

40 CAPÍTULO 3 MÉTODOS DA FUNÇÃO BARREIRA E DA FUNÇÃO BARREIRA MODIFICADA 3 Com a adção de um fator de deslocamento (de valor ) dentro do termo logarítmco das funções barrera modfcadas (3.3) e (3.4), a convergênca fnta nos métodos do tpo barrera fo alcançada, tas funções tornam explícto o uso do multplcador de Lagrange, λ. O esquema de atualzação desses multplcadores é de complexdade computaconal muto baxa. O algortmo da função barrera modfcada possu uma propredade de convergênca fnta ao nvés de assntótca como no método da função barrera clássca. Isto sgnfca que a solução ótma encontrada no método da FBM pode, de fato, estar na frontera da regão factível, o que não acontece com a FBC, onde a solução somente pode estar próxma à frontera, mas nunca alcançá-la. Conseqüentemente, as restrções tratadas pela FBM podem ser nulas, dferente da FBC. Outra propredade do método da FBM é que o parâmetro de barrera, µ, não precsa estar muto próxmo de zero para alcançar a solução, desde que, os multplcadores de Lagrange corretos, λ j, sejam obtdos. Assm, o condconamento da Hessana é fortemente melhorado. Neste trabalho utlza-se a função barrera Frsch modfcada (3.3), sto é, a logarítmca. Os passos do método de barrera modfcada utlzando essa função aplcada ao problema (3.3), conforme Polya (99) são: Mnmza-se (3.3) com relação a x e satsfaz-se a condção: m c λ f (x) (3.5) µ = c = (x) 0 c (x) + Aplca-se o método de Newton para soluconar a equação não-lnear (3.5). Dessa forma, tem-se a segunte equação: m m λ λ T c(x) c(x) = 0 (3.6) c c f (x) c µ c (x) + = = ( µ c (x) + ) sstema: Reescrevendo a equação (3.6) de forma smplfcada, tem-se o segunte

41 CAPÍTULO 3 MÉTODOS DA FUNÇÃO BARREIRA E DA FUNÇÃO BARREIRA MODIFICADA 4 F(x, λ, µ )sx = F(x, λ, ) (3.7) xx x µ em que sx é o vetor de correção. Atualza-se o vetor x por: x + = x + ρsx (3.8) onde ρ > 0 é o tamanho do passo o qual é encontrado através da regra de Goldsten- Armjo conforme Nocedal e Wrght (999). A equação (3.5) sugere a segunte regra para atualzação do vetor das estmatvas dos multplcadores de Lagrange: λ + = µ (+ ) λ c (x (+ ),=,...,m c. (3.9) ) ALGORITMO ) Dado o problema (3.), construa a função barrera modfcada (3.3); ) Faça =0, 0 λ =(,..,) e dê uma estmatva ncal para x 0 0, e µ > 0; ncal ) Construa o sstema (3.7) e resolva-o; v) Atualze x utlzando (3.8) e se x satsfaz as condções de Goldsten-Armjo, vá para o passo v. Caso contráro, retorne ao passo ; v) Se a norma do vetor gradente for menor que uma precsão ε vá para o passo v. Caso contráro volte para o passo ; v) Se x + satsfaz KKT, pare. Caso contráro, vá para o passo v; v) Atualze o vetor das estmatvas dos multplcadores de Lagrange, u, usando (3.9) e µ utlzando uma heurístca. Faça =+ e retorne ao passo. Observa-se que um ponto ncal factível não é obrgatóro, mas a condção 0 c (x ) > µ deve ser satsfeta.

42 CAPÍTULO 3 MÉTODOS DA FUNÇÃO BARREIRA E DA FUNÇÃO BARREIRA MODIFICADA DIFICULDADES COMPUTACIONAIS Uma das dfculdades encontradas no método de barrera modfcada é o cálculo do tamanho do passo para atualzação das varáves, pos caso sso seja feto sem um crtéro de parada bem fundamentado o processo computaconal pode consumr tempo e pode complcar-se. A escolha do parâmetro de barrera ncal e a sua forma de atualzação podem nterferr no processo de otmzação. No próxmo capítulo apresenta-se o método da função Lagrangana barrera modfcada/penaldade.

43 CAPÍTULO 4 O MÉTODO DA FUNÇÃO LAGRANGIANA BARREIRA MODIFICADA/PENALIDADE Neste capítulo apresentamos uma nova abordagem do método da função barrera modfcada. Nesta abordagem, as restrções canalzadas são tratadas pela função barrera modfcada apresentada por Polya (99) ou por uma extrapolação quadrátca proposta por Bretfeld e Shanno (994b), sto é, uma função penaldade quadrátca. As restrções de gualdade são tratadas pela função Lagrangana. O método de Newton é usado para resolver um sstema não-lnear, provenente da aplcação das condções de otmaldade de ª ordem. É apresentado, também, o algortmo do método. 4. APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA Consdere o segunte problema de programação não-lnear (PPNL): Mnmzar f(x) sujeto a: c c ( x) c, =,..., m c h j (x) = 0, j =,..., m h (4.) x x x, =,..., m x

44 CAPÍTULO 4 O MÉTODO DA FUNÇÃO LAGRANGIANA BARREIRA MODIFICADA/PENALIDADE 7 em que c (x) representa as restrções de desgualdade canalzadas; h j (x), as restrções de gualdade; x e x são os lmtes nferor e superor mpostos à varável x (canalzações); e c e c são os respectvos lmtes nferor e superor mpostos às restrções c (x). 4. A FUNÇÃO LAGRANGIANA BARREIRA MODIFICADA/ PENALIDADE Para construr a função Lagrangana barrera modfcada/penaldade (FLBMP) nós transformarmos o PPNL (4.) num problema equvalente, somente com restrções de gualdade, segundo passos: Passo : Introduzmos a varável de folga z, =,..., m c, nas restrções de desgualdade canalzadas do problema (4.) de tal forma que c (x) z = 0 e separamos cada uma das restrções de desgualdade canalzadas, em duas restrções de desgualdade, como segue: c c ( x) c c z c ( x) z c z como c (x) z = 0, temos: c z 0 c z o que equvale a: c z c z 0 0 ou: z c c z 0 0 Em seguda, separamos as canalzações das varáves x em duas restrções de desgualdade e com sso, o nosso PPNL (4.) toma a segunte forma:

45 CAPÍTULO 4 O MÉTODO DA FUNÇÃO LAGRANGIANA BARREIRA MODIFICADA/PENALIDADE 8 Mnmzar f(x) sujeto a: h c z c j ( x) ( x) c z = 0, j =,...,m z 0 = 0 0, =,...,m h c (4.) x x x x 0 0, =,..., m x Esta formulação faz com que o PPNL que tnha m c restrções de desgualdade canalzadas, m h restrções de gualdade e m x canalzações das varáves x, passe a ter m c + m x restrções de desgualdade e m h + m c restrções de gualdade. Passo : Construímos a função barrera modfcada/penaldade, FBMP, assocada à (4.) como segue: FBMP = f m x m C I S I S ( x) µ [ v φ( x x ) + v φ( x x )] µ [ ξφ( z c ) + ξ φ( c z )] = = (4.3) em que v I, v S, ξ I, ξ S são os multplcadores de Lagrange das restrções de desgualdade; z é a varável de folga adconada às restrções de desgualdade canalzadas; µ é o parâmetro de barrera e φ(x) é um termo de barrera modfcada/penaldade. Para smplfcar a notação, as restrções de desgualdade x x, x x, z c e c z ) serão denotadas, a partr de agora, como g (x,z), ( =,..., m, com m = m c +m x. A função φ é defnda por: ou φ g ( ( )) ( x,z) g x,z = ln s +, =,,..., m, se ( x,z) β s µ µ φ ( g ( x, z) ) Q ( g ( x, z)), =,,..., m, se ( x,z) β s µ = g (4.4) g (4.5) < em que

46 CAPÍTULO 4 O MÉTODO DA FUNÇÃO LAGRANGIANA BARREIRA MODIFICADA/PENALIDADE 9 Q ( g ( x, z) ) = qa, ( g ( x, z) ) + qb,g ( x, z) + qc,, =,,..., m, (4.6) é uma função penaldade (ou extrapolação quadrátca), β é um parâmetro que representa a tolerânca da aproxmação da regão factível e s é um parâmetro shft. Como o parâmetro β, as funções φ(g (x,z)) aproxmam-se das sngulardades dos termos logartmos em (4.4). Os coefcentes da função penaldade (ou extrapolação quadrátca), q a,, q b, e q c,, apresentados em (4.6), são calculados de forma que esta função tenha o seu valor, bem como os das suas dervadas prmera e segunda ordem concdentes com os da função logarítmca (4.4), no ponto g ( x, z) = βsµ, como fo proposto pelos pesqusadores Bental et al. (99), e Bretfeld e Shanno (993). Logo, sendo B m (g(x,z)) = seguntes gualdades: g ln s + µ ( x, z), temos que satsfazer as Q(g(x,z)) = B m (g(x,z)), sto é, qa ( g( x,z) ) q bg( x,z) + q c Q (g(x,z)) = B m (g(x,z)), sto é, q g( x,z) Q (g(x,z)) = B m (g(x,z)), sto é, Substtundo g ( x) = βsµ a q em (4.9), temos: a + = ( x,z) ( x, z) g ln s + (4.7) µ + q b = (4.8) µ s + g = (4.9) ( µ s + g( x, z) ) q = (4) ( µ s( β) ) a Substtundo g ( x) = βsµ e (4) em (4.8), temos: βsµ + q =, ( ( )) ( ) b µ s β µ s βsµ logo,

47 CAPÍTULO 4 O MÉTODO DA FUNÇÃO LAGRANGIANA BARREIRA MODIFICADA/PENALIDADE 30 q b = βsµ = ( µ s( β) ) ( µ s( β) ) µ s µ sβ βsµ = β ( µ s( β) ) µ s( β) (4.) Substtundo g ( x) = βsµ, (4) e (4.) em (4.7), temos: ( µ s( β) ) ( βsµ ) β + µ s ( β) βsµ ( βsµ ) + q = ln s c, µ ou β β + ( β) ( β) β + q c = ln ( s[ β] ), solando q c, temos, β 4β + β = + ln ( β) ( s[ β] ) q c, ou ( 3β) ( β) β c = + ln( s[ β]) (4.) q Portanto, as equações (4), (4.) e (4.) nos fornecem os coefcentes da função extrapolação quadrátca Q(x), vsta em (4.6), para a FLBMP, ou seja: q a, = (4.3) ( s µ ( β ) q b, β = (4.4) s µ ( β ) ( 3β ) ( β ) ( s ( β β qc, = + ln )) (4.5)

48 CAPÍTULO 4 O MÉTODO DA FUNÇÃO LAGRANGIANA BARREIRA MODIFICADA/PENALIDADE 3 Com sso, o PPNL (4.) torna-se um problema de mnmzação somente com restrções de gualdade, com a segunte forma: mn FBMP x,z sujeto a: h j (x) = 0, j =,..., m h c (x) z = 0, =,..., m c. (4.6) Para transformarmos (4.6) em um problema rrestrto equvalente, construímos a função Lagrangana barrera modfcada/penaldade assocada a ele da segunte forma: FLBMP = f m x m C I S I S ( x) µ [ vφ( x x ) + vφ( x x )] µ [ ξφ( z c ) + ξ φ( c z )] = = + m m E λ j j j= = I h ( x) + λ ( c ( x) z ) + h c (4.7) em que λ j E e λ I são os multplcadores de Lagrange para as restrções de gualdade do problema (4.). Com sso, transformamos o PPNL (4.6) no segunte PPNL rrestrto: mn FLBMP x,z (4.8) 4.3 O MÉTODO DA FUNÇÃO LAGRANGIANA BARREIRA MODIFICADA /PENALIDADE O método da FLBMP é composto por cclos: um externo e um nterno. No cclo externo o PPNL é convertdo em um problema rrestrto, como vsto na seção 4.. Os multplcadores de Lagrange assocados com as restrções de desgualdade (v I, v S, ξ I, ξ S ) e o parâmetro de barrera são determnados. No cclo nterno resolve-se o sstema não-lnear obtdo pela aplcação das condções de otmaldade de ª ordem à função (4.7). O método de Newton é usado na atualzação das varáves prmas, x e z,

49 CAPÍTULO 4 O MÉTODO DA FUNÇÃO LAGRANGIANA BARREIRA MODIFICADA/PENALIDADE 3 e as duas (λ E j e λ I ), cujo passo é determnado por um procedmento de busca lnear. Logo que a convergênca satsfatóra é atngda no cclo nterno, o novo conjunto de varáves é usado para controlar a convergênca do cclo externo. Se a convergênca externa não for alcançada, os multplcadores assocados às restrções de desgualdade (v I, v S, ξ I, ξ S ) são atualzados e uma nova atualzação é ncada no cclo nterno. cclos. A segur, descrevemos detalhadamente cada uma das etapas realzadas nos 4.3. O CICLO INTERNO DO MÉTODO DA FLBMP (ITERAÇÃO DE NEWTON) Nesta subseção, nós apresentamos o cclo nterno do método da FLBMP juntamente com o procedmento de busca lnear utlzado. Uma teração deste cclo envolve a avalação de uma Hessana exata e de um gradente. A factbldade é verfcada para as restrções de desgualdade. Se alguma delas não satsfzer a factbldade em algum passo da busca, sgnfca que o termo logarítmco de barrera modfcada assocado a esta restrção ultrapassou, ou está muto próxmo da sua assíntota, dfcultando, ou mpossbltando o cálculo do logartmo. A estratéga usada para evtar esse fato é o uso da extrapolação quadrátca (4.5), mudando o termo logarítmco para um termo quadrátco. Aplcando as condções de otmaldade de ª ordem na FLBMP (4.7), obtemos um sstema não-lnear, como segue: FLBMP = 0 x FLBMP = 0 z FLBMP = 0 E λ FLBMP = 0 I λ (4.9)

50 CAPÍTULO 4 O MÉTODO DA FUNÇÃO LAGRANGIANA BARREIRA MODIFICADA/PENALIDADE 33 Determnamos a solução do sstema não-lnear (4.9) utlzando o método de Newton. A aplcação do método de Newton gera as dreções de busca, sx, sz, sλ E e sλ I, as quas são utlzadas para a atualzação das varáves do sstema e resulta num sstema matrcal, que, em sua forma smplfcada, é representado por: H FLBMP S = G FLBMP (4) em que G FLBMP é o gradente da FLBMP (4.7), H FLBMP é a Hessana da FLBMP (4.7) e S = (sx, sz, sλ E, sλ I ) é o vetor dreção de busca. O G FLBMP é defndo como segue: G FLBMP = FLBMP x,z, E I ( λ, λ ) T T T T FLBMP FLBMP FLBMP FLBMP = E I x z λ λ (4.) T com: FLBMP x = f x ( x) [ ( ) ( )] [ ] ( ) [ ] ( I S E T h x I T c x µ vetor vφ' x x vφ' x x + λ + λ ) x (4.) =,,...,mx x FLBMP = µ z vetor I S I [ ξ φ' ( z c ) ξ φ' ( c z ) λ ] (4.3) =,,...,mc FLBMP = E λ h( x) (4.4) FLBMP = c I λ ( x) z (4.5) em que:

51 CAPÍTULO 4 O MÉTODO DA FUNÇÃO LAGRANGIANA BARREIRA MODIFICADA/PENALIDADE 34 φ' ( g ( x, z) ) = µ s + g ( x, z), =,,..., m, se g ( ) β µ x, z s φ '( g ( x, z) ) = qa,g ( x, z) + q b,, =,,..., m, se ( x, z) < βsµ g. (4.6) A Hessana da FLBMP (4.7) é defnda por: T ( x) c( x) T FLBMP h 0 x x x FLBMP 0 0 I mc H = z FLBMP (4.7) h( x) c x ( x) Im 0 0 c z com: FLBMP f = x x ( x) I S E T h [ ( ) ( )] [ ] ( x) I T c [ ] ( x) µ dag v φ'' x x + v φ'' x x + λ + λ =,,...,m x x x (4.8) FLBMP = µ dag z =,,...,mc L S [ ξ φ'' ( z c ) + ξ jφ'' ( c z )] (4.9) em que φ ''( g ( x, z) ) =, =,,..., m, se g ( x, z) βsµ ( µ s + g ( x, z) ) φ ''( g ( x, z) ) = q a,, =,,..., m, se ( x, z) < βsµ g (4.30) Consequentemente, os novos valores atualzados das varáves dentro do cclo nterno são dados por:

52 CAPÍTULO 4 O MÉTODO DA FUNÇÃO LAGRANGIANA BARREIRA MODIFICADA/PENALIDADE 35 X p+ =X p + αs (4.3) em que: X p = [x p p... x mx z p p... z mc (λ E ) p... (λ E mx ) p (λ I ) p... (λ I mc ) p ] T (4.3) onde p ndca o ndexador das terações nternas para a solução do problema de mnmzação nterno e α é o tamanho do passo, o qual é determnado através de uma busca lnear, como apresentada na próxma subseção BUSCA LINEAR Utlzamos para a busca lnear o método de Armjo, que é um método de busca undmensonal fnto o qual procura a partr de um ponto x BL, um ponto x BL+, na dreção S, tal que a função decresça, sem se preocupar em mnmzá-la, em que BL ndca o ndexador de terações da busca lnear. Neste método não se faz necessáro a obtenção de um mínmo local para alguma função dependente de α (tamanho do passo), mas apenas uma aproxmação mas ou menos precsa. Não se exge convexdade, nem unmodaldade. Para tal, utlza dervadas no ponto de partda x BL, devendo garantr neste ponto, ou em cada teração, que a função decresça, ou seja, nós queremos que: f p+ p p T p ( x ) f ( x ) + w α ( S ) f ( x ) (4.33) em que w é uma constante suave, satsfazendo 0 < w <. O algortmo de Armjo procura localzar α de forma que a redução da função seja grande. A escolha ncal de α não deve ser muto grande, evtando um comportamento osclatóro do método e nem muto pequeno evtando uma parada prematura do algortmo. Com sso, ajustaremos o nosso α 0 (alfa ncal) com o valor. Caso a condção em (4.33) não seja satsfeta, α é atualzado com uma smples redução de acordo com a seqüênca:

53 CAPÍTULO 4 O MÉTODO DA FUNÇÃO LAGRANGIANA BARREIRA MODIFICADA/PENALIDADE 36 α BL α = δ BL (4.34) em que δ > e é usualmente ajustado para δ =. Os valores das varáves prmas são atualzados da segunte forma: p BL+ p BL p ( x ) = ( x ) + αs (4.35) em que s p = (sx p,sz p ) é a dreção de busca somente das varáves prmas, encontrada na resolução do sstema matrcal (4). Para a atualzação dos multplcadores de Lagrange assocados com as restrções de gualdade, λ E I j e λ (varáves duas), encontrados no vetor X p em (4.3), usaremos o esquema proposto por CHEN & VASSILIADIS (003), o qual é baseado em uma combnação convexa entre os multplcadores de Lagrange ((λ E j ) p e (λ I ) p ) obtdos no cclo nterno, usando o passo de Newton puro (α = ) e os multplcadores de Lagrange obtdos dentro da busca lnear ((λ E j ) BL e (λ I ) BL ) : BL ( j j ) E BL+ E BL BL E p E ( λ ) = ( λ ) + α ( λ ) ( λ ) j j BL ( ) I BL+ I BL BL I p I ( λ ) = ( λ ) + α ( λ ) ( λ ) (4.36) (4.37) Durante a busca lnear, essas novas atualzações, (x p ) BL+, (λ E j ) BL+ e (λ I ) BL+, serão utlzadas para estmar uma função penaldade mérto para o problema de otmzação em lugar da função objetvo f(x) em (4.33). A função penaldade mérto, como proposta por Chen e Vasslads (003), toma a segunte forma: FPM a = f m x m C I S I S ( x) µ [ v φ( x x ) + v φ( x x )] µ [ ξφ( z c ) + ξ φ( c z )] = = + m E I [ M, λ ].h ( x) + max[ M, λ ].c ( x) m + h c max z (4.38) j j j j= =

54 CAPÍTULO 4 O MÉTODO DA FUNÇÃO LAGRANGIANA BARREIRA MODIFICADA/PENALIDADE 37 em que um termo de penaldade, M, é ntroduzdo para medr a volação das restrções de gualdade. Atualzaremos M da segunte forma: M novo atual [ λ ] = max M, (4.39) em que λ representa λ j E e λ I. O valor usual para ncalzação de M é 0, segundo Chen e Vasslads (003). Quando a condção (4.33) for satsfeta, o cclo da busca lnear é nterrompdo, e o vetor gradente (4.) e a matrz Hessana (4.7) serão avalados para os novos valores encontrados a partr de (4.35), (4.36) e (4.37). Uma nova dreção de busca, resolvendo o sstema matrcal (4) é encontrada, assm como os novos valores das varáves utlzando (4.3). Esses procedmentos contnuam cclcamente até que um crtéro de convergênca seja atngdo. O crtéro adotado por nós, segundo Chen e Vasslads (003), é dado por: I ( x, z, λ E, λ ) ε G (4.40) em que G é o gradente da função Lagrangana barrera modfcada/penaldade ou da função Lagrangana barrera clássca/penaldade (que será vsta na seção ), dependendo do método utlzado e ε é uma precsão. Quando (4.40) for satsfeto, o cclo nterno é nterrompdo e nca-se o cclo externo. No cclo externo, o parâmetro de barrera µ e as estmatvas dos multplcadores de Lagrange (v I, v S, ξ I, ξ S ) são atualzados. Esses novos valores são utlzados para verfcar se os crtéros de parada (4.66) ou (4.67), apresentados na próxma subseção, são satsfetos. Satsfetos estes crtéros, o método pára e temos a solução ótma para o nosso PPNL; caso contráro, o método entra em um novo cclo nterno e va procurar por novas dreções de busca, até consegur atngr uma convergênca.

55 CAPÍTULO 4 O MÉTODO DA FUNÇÃO LAGRANGIANA BARREIRA MODIFICADA/PENALIDADE O CICLO EXTERNO Apresentamos o cclo externo onde ocorrem as atualzações dos parâmetros s, µ e β, bem como das estmatvas dos multplcadores de Lagrange (v I, v S, ξ I, ξ S ) e sua ncalzação. Além dsso, também é mostrado quas são os crtéros de parada que devem ser satsfetos para que o método atnja uma convergênca satsfatóra OS PARÂMETROS s E O PARÂMETRO µ Os parâmetros shft, s, servem para relaxar a regão factível para os lmtes superor e nferor em x e z. Em nosso trabalho, todos os parâmetros shfts terão valor constante gual a. O parâmetro de barrera, µ, é atualzado por uma smples regra de redução: µ = γ L L µ + (4.4) em que e L é a ndexação referente à teração externa e γ > é um parâmetro preestabelecdo usualmente como sendo γ = ou γ = 0. O valor ncal, µ 0, é um valor postvo arbtráro, geralmente é usado µ 0 = 0 ou µ 0 = O PARÂMETRO β O parâmetro β é a tolerânca da aproxmação com relação à frontera da regão factível. Em conseqüênca dsso, ele também pode ser nterpretado como a tolerânca da proxmdade das assíntotas dos logartmos dos termos de barrera modfcada. A déa envolvda é a de evtar a dfculdade de se calcular o logartmo quando se está muto próxmo de sua assíntota, pos o logartmo tende ao nfnto. Vasslads e Broos (998) atualzavam esse parâmetro através da segunte relação:

56 CAPÍTULO 4 O MÉTODO DA FUNÇÃO LAGRANGIANA BARREIRA MODIFICADA/PENALIDADE 39 ( L ) β + ( L) β = mn, βmax (4.4) γ em que 0 < β max <. Porém, Chen e Vasslads (003) propuseram esse parâmetro constante, sto é, β = 0,9, o qual é utlzado neste trabalho OS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE DAS RESTRIÇÕES DE DESIGUALDADE Para atualzar os multplcadores de Lagrange das restrções de desgualdade, adotamos o esquema proposto por Bretfeld e Shanno (994c). Para sso, consderamos o problema (4.), somente com restrções de desgualdade com g (x,z) representando x x, x x, z c e c z, com m = m c + m x, denotado de manera smplfcada por: Mnmzar sujeto a : f (x) g (x, z) 0, =, K, m (4.43) c e construímos a função barrera modfcada assocada ao PPNL (4.43), como segue: FBM = f ( x) µ λ φ( g ( x, z) ) m = (4.44) onde: ou φ g ( ( )) ( x,z) g x,z = ln s +, =,,..., m, se g ( x,z) β s µ µ φ ( g ( x, z) ) Q ( g ( x, z)), =,,..., m, se ( x,z) β s µ = g, < em que

57 CAPÍTULO 4 O MÉTODO DA FUNÇÃO LAGRANGIANA BARREIRA MODIFICADA/PENALIDADE 40 Q ( g ( x, z) ) = qa, ( g ( x, z) ) + qb,g ( x, z) + qc,, =,,..., m, e a função Lagrangana: FLBM = f m ( x) λ g ( x, z) = (4.45) (4.45): A segur, nós encontramos os respectvos gradentes das equações (4.44) e m FBM = f ( x) µλ φ' ( g ( x, z) ) g ( x, z) = (4.46) m ( x) λ g ( x, z) FLBM = f (4.47) = Seja x L+ um ponto que fo determnado no cclo nterno e que é usado para atualzar as estmatvas dos multplcadores de Lagrange. Aplcando as condções de otmaldade de ª ordem e substtundo x L+ em (4.46) com µ e λ, ndexados com uma teração de atraso (ou seja, estamos utlzando x L+ para atualzá-los), temos: m L+ L L L+ L+ ( x ) = µ λ φ' ( g ( x, z ) g ( L+ L+ f x, z (4.48) = ) Agora, aplcando as condções de otmaldade e substtundo x L+ em (4.47), mas após ter ocorrdo a atualzação de µ e λ, temos: m L+ L+ ( x ) = λ g ( = ) L+ L+ f x, z (4.49) Fnalmente, comparando (4.48) e (4.49) e usando (4.6) para φ (g(x,z)), chegamos no segunte esquema para atualzar as estmatvas dos multplcadores de Lagrange assocados às restrções de desgualdade:

58 CAPÍTULO 4 O MÉTODO DA FUNÇÃO LAGRANGIANA BARREIRA MODIFICADA/PENALIDADE 4 L λ + L L = µ λ g x,z β s µ (4.50) ( ) L L, =,,..., m, se L ( ) µ s + g x, z ou L L L a,l b,l λ + L L = µ λ ( q g ( x, z) + q ), =,,..., m, se g ( x,z) β s µ < (4.5) em que λ agora representa todos os multplcadores de Lagrange (v I, v S, ξ I e ξ S ) para as restrções de desgualdade; g (x,z) representa todas as restrções de desgualdade e L é a ndexação referente à teração externa INICIALIZAÇÃO DOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Para problemas de otmzação complexos, uma boa estmatva dos multplcadores de Lagrange se faz necessára para obter a convergênca do método da FLBMP. Neste trabalho, utlzamos o método da função Lagrangana barrera clássca/penaldade (FLBCP) para a ncalzação desses multplcadores. Essa déa fo proposta por Vasslads e Broos (998). Sua proposta é baseada no fato de que a FLBMP pode convergr em poucas terações usando boas estmatvas dos multplcadores de Lagrange (teorcamente em teração com valores exatos Polya (99)), e com valores de µ grandes (convergênca antecpada), consequentemente preserva o bom condconamento da matrz Hessana. Com o objetvo de determnarmos uma boa estmatva para os multplcadores de Lagrange, nos baseamos no esquema de ncalzação proposto por Facco e McCormc, (968) e para sso, construímos a função barrera clássca logarítmca assocada à (4.43): m ( x) µ φ ( g ( x,z) ) = f ( x) µ ln( g ( FBC = f x, z)) (4.5) FBC = = m

59 CAPÍTULO 4 O MÉTODO DA FUNÇÃO LAGRANGIANA BARREIRA MODIFICADA/PENALIDADE 4 Consderamos, também, a função Lagrangana assocada à (4.43): m ( x) λ g ( x, z) FLBC = f (4.53) = Determnamos os respectvos gradentes das funções (4.5) e (4.53): m FBC = f ( x) g ( x,z) g ( x,z) = µ (4.54) m ( x) λ g ( x, z) FLBC = f (4.55) = Comparando (4.54) e (4.55), deduzmos a segunte estmatva para λ: L estmado µ g λ = (4.56) ( x, z) onde x é o valor encontrado pelo estágo externo do método da FBC. A fórmula (4.56) fornece uma estmatva para os multplcadores de Lagrange (v I, v S, ξ I e ξ S ) baseada na solução encontrada pelo método da função barrera clássca logarítmca (FBC) ESQUEMA DE EXTRAPOLAÇÃO DA FBC Como no método FLBMP, um esquema de extrapolação é ntroduzdo no método FBC, determnando a função Lagrangana barrera clássca/penaldade, FLBCP. Deste modo, o método da FLBCP fornece os valores utlzados no cálculo das estmatvas dos multplcadores de Lagrange λ (4.56). Com esse objetvo, construímos, ncalmente, a Função Barrera Clássca/Penaldade (FBCP) para o PPNL (4.), obtendo assm, um novo PPNL equvalente a ele:

60 CAPÍTULO 4 O MÉTODO DA FUNÇÃO LAGRANGIANA BARREIRA MODIFICADA/PENALIDADE 43 mnmzar x,z FLBCP = f m x ( x) µ [ φfbc ( x x ) + φfbc ( x x )] = [ φfbc ( z c ) + φfbc ( c z )] m C µ = sujeto a: c (x) z = 0, =,,..., m c h j (x) = 0, j =,,..., m h, (4.57) e, como conseqüênca determnamos a função Lagrangana assocada ao PPNL (4.57) é dada por: FLBCP = f m x ( x) µ [ φfbc ( x x ) + φfbc ( x x )] µ = = m E I [ φ ( z c ) + φ ( c z )] + λ h ( x) + λ c ( x) mc m h c FBC FBC j j j= = ( z ) (4.58) em que a função Lagrangeana será mnmzada com respeto às varáves prmas, x e z, e a função φ FBC é defnda da segunte forma: φ ( g ( x, z) ) ln( g ( x, z) ), =,,..., m, se g ( x, z) ( β) s µ FBC = φ ( g ( x, z) ) Q ( g ( x, z) ), =,,..., m, se ( x,z) ( β) s µ FBC = FBC < g (4.59) com: Q FBC( g ( x,z) ) = a ( g ( x,z) ) + b g ( x,z) + c, (4.60) sendo uma função extrapolação quadrátca. A função é construída de tal forma que o seu valor, bem como os das suas dervadas de prmera e segunda ordem concdam com os da função barrera logarítmca B c ( g( x, z) ) = ln( g( x, z) ) no ponto g ( x, z) = ( β) sµ seguntes gualdades:. Logo, temos as

61 CAPÍTULO 4 O MÉTODO DA FUNÇÃO LAGRANGIANA BARREIRA MODIFICADA/PENALIDADE 44 Q(g(x,z)) = B c (g(x,z)), sto é, a( g( x,z) ) bg( x,z) + c Q (g(x,z)) = B c (g(x,z)), sto é, ( x,z) + = ln ( g( x, z) ) (4.6) ag + b = (4.6) g ( x,z) Q (g(x,z)) = B c (g(x,z)), sto é, a = (4.63) g x, z ( ) Substtundo ( x, z) = ( β) sµ g em (4.63), temos: a = = (4.64) g ( x,z) (( β) sµ ) Substtundo ( x, z) = ( β) sµ g e (4.64) em (4.6), temos: (( β) sµ ) (( β) sµ ) (( β) sµ ) + b =, logo, ( β) sµ b = (4.65) Substtundo g ( x, z) = ( β) sµ, (4.64) e (4.65) em (4.6), temos: (( β) µ ) + ( ( β) µ ) + = (( β) µ ) (( ) ) s s c ln s, ou β sµ ( β) sµ + + c = ln (( β) sµ ). Isolando c, temos: 3 c = ln( ( β) sµ ) (4.66) Portanto, as equações (4.64), (4.65) e (4.66) fornecem os coefcentes da função extrapolação quadrátca (4.60) para a FLBCP, ou seja, a =, (( β) s µ ) b = e c ln( ( β) sµ ) ( β) s µ 3 = (4.67)

62 CAPÍTULO 4 O MÉTODO DA FUNÇÃO LAGRANGIANA BARREIRA MODIFICADA/PENALIDADE 45 Dessa forma, a FLBCP que utlzamos é uma função a qual relaxa a regão factível do problema (4.). Fxamos o número de terações do método FLBCP em uma ou duas e obtemos valores estmados para as varáves prmas e duas. Esses valores serão utlzados no cálculo das estmatvas dos multplcadores de Lagrange, (4.56). O método FLBMP será então ncado tendo esses valores como solução ncal MÉTODO DE NEWTON PARA A FLBCP Da mesma forma que no método da FLBMP, aplcamos as condções de otmaldade de ª ordem na FLBCP (4.58), obtemos um sstema não-lnear, como segue: FLBCP = 0 x FLBCP = 0 z FLBCP = 0 E λ FLBCP = 0 I λ (4.68) Determnamos a solução do sstema não-lnear (4.68) utlzando o método de Newton. A aplcação do método de Newton gera as dreções de busca, sx, sz, sλ E e sλ I, as quas são utlzadas para a atualzação das varáves do sstema e resulta no sstema matrcal, que, em sua forma smplfcada, é representado por: H FLBCP S = G FLBCP (4.69) em que G FLBCP e H FLBCP são, respectvamente, o gradente e a Hessana da FLBCP (4.58) e S = (sx, sz, sλ E, sλ I ) é o vetor dreção de busca. Análogo ao método FLBMP, G FLBCP toma a mesma forma apresentada de (4.) à (4.5), trocando G FLBMP por G FLBCP e a FLBMP pela FLBCP.

63 CAPÍTULO 4 O MÉTODO DA FUNÇÃO LAGRANGIANA BARREIRA MODIFICADA/PENALIDADE 46 Ao dferencar os termos de barrera clássca/penaldade produzmos, neste caso, uma fórmula algébrca geral: φ '( g ( x,z) ) =, =,,..., m, se g ( x,z) ( β) sµ g ( x,z) φ '( g ( x, z) ) = a g ( x, z) + b, =,,..., m, se ( x, z) ( β) s µ g (4.70) < A Hessana da FLBCP toma a mesma forma da apresentada de (4.7) à (4.9), trocando H FLBMP por H FLBCP e a FLBMP pela FLBCP. E defnmos uma fórmula algébrca geral para as dervadas de ª ordem dos termos de barrera modfcada/penaldade: φ ''( g ( x,z) ) =, =,,..., m, se g ( ) ( β) µ ( g ( x,z) ) x, z s φ ''( g ( x, z) ) = a, =,,..., m, se ( x,z) ( β) s µ g (4.7) < Para resolver o sstema matrcal (4.69) utlzamos o mesmo esquema mostrado na subseção 4.3.7, bem como a busca lnear e a forma de atualzar as varáves prmas e duas. A função penaldade mérto, no caso da FLBCP, toma a segunte forma: FPM b = f m x m C ( x) µ [ φfbc ( x x ) + φfbc ( x x )] µ [ φfbc ( z c ) + φfbc ( c z )] = = + m E I [ M, λ ].h ( x) + max[ M, λ ].c ( x) m + h c max z (4.7) j j j j= = Com sso, aplcamos uma ou duas terações do método da FLBCP e temos uma solução prmal/dual ncal para o método da FLBMP, e as estmatvas dos multplcadores de Lagrange relaconados às restrções de desgualdade da FLBMP usando (4.56).

64 CAPÍTULO 4 O MÉTODO DA FUNÇÃO LAGRANGIANA BARREIRA MODIFICADA/PENALIDADE CRITÉRIOS DE PARADA PARA O CICLO EXTERNO O cclo externo do método da FLBMP pode ser consderado completamente convergdo através da satsfação de cada uma das seguntes condções: u < 0 (4.73) ou u < τ e u 3 < 0 (4.74) onde u, u e u 3 são calculados como ndcados na Tabela, segundo as dretrzes de GILL et al. (98). Lembramos que, g (x,z) representa as restrções de desgualdade ( x x, x x, z c e c z ) enquanto λ representa os Multplcadores de Lagrange dessas restrções lmte (ξ I, ξ S, v I e v S ). TABELA - Crtéros de parada Parâmetro Comentáro u u u = max A η, B η, Γ 3, [ Γ ] max A, ( ) ( ) η 3 η Crtéro de convergênca global desejável. = Satsfaz a factbldade e a = max E ( ) ( ) η/0, η 3 Z [ mn[ g ( x, z), 0 ] complementardade Baxa medda de convergênca A = max Factbldade das nequações [ λ g ( x) /( f ( x ))] B max + = Complementardade escalar Γ = = f ( ) (,z, µ, v, ξ ) / f ( x ) U I L x + Norma escalar do Gradente da x,z, λ, λ x ( ) m ( x ) + λ xg ( x) / + f ( x ) = ( x ) f ( x )/ f ( x ) E = f + ( ) Lagrangana Condções de ª ordem escalar para problemas restrtos Mudança sufcente no objetvo

65 CAPÍTULO 4 O MÉTODO DA FUNÇÃO LAGRANGIANA BARREIRA MODIFICADA/PENALIDADE 48 Z = T ( x ) ( x ) T Mudança sufcente no vetor varável prmal η Tolerânca usual especfcada. Pode ser ALGORITMO DO MÉTODO DA FLBMP A fm de sntetzar todos os passos envolvdos no método da FLBMP, propomos dos algortmos báscos envolvdos com a abordagem proposta: algortmo da ncalzação com a FLBCP e algortmo da FLBMP. Prmeramente mostraremos um algortmo para o método da FLBCP o qual é utlzado para determnar uma solução ncal para o método da FLBMP. Logo em seguda, será mostrado um algortmo para o método da FLBMP, que é utlzado para encontrar a solução ótma do problema de otmzação (4.) ALGORITMO DA INICIALIZAÇÃO COM A FLBCP Passo ncal Dado o problema (4.) construa a FLBCP conforme (4.58); Faça K= 0; Escolha uma solução ncal para as varáves do problema: x 0, z 0, (λ E ) 0 e (λ I ) 0. Passo teratvo ) Determne o sstema para a FLBCP análogo ao sstema (4.68) e resolva-o; ) Atualze as varáves: x 0 e z 0 utlzando (4.35), (λ E ) 0 e (λ I ) 0 utlzando (4.36) e (4.37); ) Se o crtéro de parada para o método de Newton está satsfeto, vá ao passo v; Senão, volte ao passo ;

66 CAPÍTULO 4 O MÉTODO DA FUNÇÃO LAGRANGIANA BARREIRA MODIFICADA/PENALIDADE 49 v) Se as varáves do problema satsfazem as condções de KKT ou se K >, calcule as estmatvas dos multplcadores de Lagrange (v I, v S, ξ I e ξ S ) utlzando (4.56) e FIM; Senão, vá ao passo v; v) Atualze o fator barrera utlzando (4.4), faça K= K+ e volte a ALGORITMO DA FLBMP Passo ncal Ince as varáves com o algortmo ; Dado o problema (4.) construa a FLBMP (4.7); Faça K= 0; Passo teratvo ) Determne o sstema (3.9) e resolva-o; ) Atualze as varáves: x 0 e z 0 utlzando (4.35) e (λ E ) 0 e (λ I ) 0 utlzando (4.36) e (4.37); ) Se o crtéro de parada para o método de Newton está satsfeto, vá ao passo v; Senão, volte ao passo ; v) Se as varáves do problema satsfazem as condções de KKT, FIM. Senão, vá ao passo v; v) Atualze o fator barrera utlzando (4.4) e os multplcadores de Lagrange (v I, v S, ξ I e ξ S ) utlzando (4.50) ou (4.5), faça K= K+ e volte a. As fguras e mostram, de forma smplfcada, o funconamento dos cclos nterno e externo do algortmo do método da FLBMP ncalzado com o método da FLBCP.

67 CAPÍTULO 4 O MÉTODO DA FUNÇÃO LAGRANGIANA BARREIRA MODIFICADA/PENALIDADE 50 Determnar uma solução ncal X 0 = (x 0, z 0, (λ E ) 0, (λ I ) 0 ). K = ; Avalar FLBCP(X 0 ), G FLBCP (X 0 ) e H FLBCP (X 0 ). Faça X 0 = X L. Atualze µ por (4.4). Faça K = K + ; Algortmo do cclo nterno Fgura Não K >? Sm Calcular (v I ) 0, (v S ) 0, (ξ I ) 0 e (ξ S ) 0 por (4.56). Faça X 0 = X L. Avalar FLBMP(X 0 ), G FLBMP (X 0 ) e H FLBMP (X 0 ). Algortmo do cclo nterno Fgura (4.73) ou (4.74) são satsfetos? Sm FIM Não Atualze (v I ) L, (v S ) L, (ξ I ) L e (ξ S ) L por (4.50 ) ou (4.5 ) e µ por (4.4 ). Faça X 0 = X L. FIGURA : Cclo externo do algortmo do método da FLBMP com ncalzação pelo método da FLBCP.

68 CAPÍTULO 4 O MÉTODO DA FUNÇÃO LAGRANGIANA BARREIRA MODIFICADA/PENALIDADE 5 Selecone X 0. Faça α 0 =. Faça G(X 0 ) = G(X p ) (4.40 ) é satsfeta? Sm Retorne ao cclo externo Não Avale H(X 0 ). Calcule S = H G e X p por (4.3 ) Avale FPM(X p ) Sm Verfque se (4.33 ) é satsfeta, ou seja: FPM(X p ) FPM(X 0 )+w α s p G(X 0 )? Não Atualze α por (4.34) Atualze as varáves prmas por (4.35) e as varáves duas por (4.36) e (4.37). FIGURA : Cclo nterno dos métodos da FLBCP e da FLBMP. A fgura mostra, de forma smplfcada, o cclo nterno para os métodos da FLBCP e FLBMP. Por esta razão, o vetor gradente está denotado por G e a matrz Hessana por H. Encontram-se no Apêndce os algortmos estruturados. No próxmo capítulo apresentamos OS resultados computaconas da aplcação do método da FLBMP em um problema teórco e em problemas de FPO.

69 CAPÍTULO 5 RESULTADOS NUMÉRICOS Neste capítulo apresentamos os resultados numércos obtdos através da aplcação do método da função Lagrangana barrera modfcada/penaldade com a fnaldade de demonstrar seu desempenho. 5. EXEMPLO Consdere o segunte problema: Mnmzar (x ) 4 + (x x ) sujeto a: x + x 3 = 0 x x 0 (5.),5 x

70 CAPÍTULO 5 RESULTADOS NUMÉRICOS INICIALIZAÇÃO DO MÉTODO USANDO A FLBCP Para a fase de ncalzação, assocada ao problema (5.) temos a função Lagrangana barrera clássca penaldade: FLBCP = (x ) 4 + (x x ) µ[φ FBC (x,5) + φ FBC ( x ) + φ FBC (z + ) + + φ FBC ( z)] + λ E (x + x 3)+λ I (x x z) (5.) em que: φ FBC (x,5)= a ln(x,5), se x ( x,5 ) + b( x,5 ),5 ( β)sµ + c, se x,5 < ( β)sµ ; ln( x ), se x ( β)sµ φ FBC ( x )= a( x ) + b( x ) + c, se x < ( β)sµ ; ln(z + ), se z + ( β)sµ φ FBC (z + )= a( z + ) + b( z + ) + c, se z + < ( β)sµ ; ln( z), se z ( β)sµ φ FBC ( z)= a( z) + b( z) + c se z < ( β)sµ ; a = ; (( β) sµ ) 3 =. b = ; e c ln( ( β) sµ ) ( β) sµ Aplcando as condções de otmaldade à função (5.) obtemos um sstema de equações não-lneares, cuja solução pode ser determnada pelo método de Newton gerando o segunte sstema lnear: H FLBCP S = G FLBCP

71 CAPÍTULO 5 RESULTADOS NUMÉRICOS 54 em que: G FLBCP FLBCP x FLBCP x = FLBCP z FLBCP E λ FLBCP I λ é o vetor gradente com FLBCP x = 4 3 E I ( x ) + ( x x ) + λ + x λ ; FLBCP x = 4 E I ( x x ) µ [ φ' ( x,5) φ' ( x )] + λ λ FBC FBC ; FLBCP z = µ φ I [ ' ( z + ) φ' ( z) ] λ FBC FBC ; FLBCP E λ = x + x 3 ; FLBCP I λ = x x z ; φ FBC (x,5)= x,5 a ( x,5 ), se + b, x se x,5 βsµ ;,5 < βsµ φ FBC ( x )= a x ( x ), se x + b, se x ( β)sµ ; < ( β)sµ

72 CAPÍTULO 5 RESULTADOS NUMÉRICOS 55 φ FBC (z + )= a, se z + + b, ( z + ) z + ( β)sµ ; se z + < ( β)sµ φ FBC ( z)= a, se z ( β)sµ z ; + b, se z < ( β)sµ ( z) e H FLBCP = FLBCP x 4 0 x 4 FLBCP x FLBCP z x 0 0 é a matrz Hessana com: FLBCP = x I ( x ) + + λ ; FLBCP = 8 µ φ x [ '' ( x,5 ) + φ'' ( x ] FBC FBC ) ; FLBCP = µ φ z [ '' ( z + ) + φ'' ( z ] FBC φ FBC (x,5)= ( x,5 ) FBC ) ;, se x,5 ( β)sµ ; a, se x,5 < ( β)sµ φ FBC ( x )= ( x ), se x ( β)sµ ; a, se x < ( β)sµ

73 CAPÍTULO 5 RESULTADOS NUMÉRICOS 56 φ FBC (z + )= ( z + ), se z + ( β)sµ ; a, se z + < ( β)sµ φ FBC ( z)= ( z), se z ( β)sµ. a, se z < ( β)sµ 5.. O MÉTODO DA FUNÇÃO LAGRANGIANA BARREIRA MODIFICADA/PENALIDADE Para o método da função Lagrangana barrera modfcada/penaldade, assocada ao problema (5.) temos a função Lagrangana barrera modfcada/penaldade: FLBMP = (x ) 4 + (x x ) 3 µ[v I φ(x,5) + v S φ( x ) + ξ I φ(z + ) + + ξ S φ( z)] + λ E (x + x 3)+λ I (x x z) (5.3) em que: φ(x,5)= q φ( x )= q a a ln(s + ( x,5 ) µ ( x,5 ) + q ( x,5) ln(s + b ( x ) µ ( x ) + q ( x ) b ), se x,5 βsµ ; + q, se x,5 < βsµ c ), se x βsµ ; + q, se x < βsµ c φ(z + )= q a ln(s + ( z + ) µ ( z + ) + q ( z + ) b ), se z + βsµ ; + q, se z + < βsµ c

74 CAPÍTULO 5 RESULTADOS NUMÉRICOS 57 φ( z)= q a ln(s + ( z) µ ( z) + q ( z) b ), se z βsµ ; + q, se z < βsµ c q =, ( sµ ( β ) a q b β β ( 3β ) = ; e q sµ ( β ) ( β ) = + ln ( s( β ) c. Aplcando as condções de otmaldade à função (5.3), obtemos um sstema de equações não-lneares, cuja solução pode ser determnada pelo método de Newton gerando o segunte sstema lnear: H FLBMP S = G FLBMP em que: G FLBMP FLBMP x FLBMP x = FLBMP z FLBMP E λ FLBMP I λ é o vetor gradente com FLBMP = 4 x 3 E I ( x ) + ( x x ) + λ + x λ ; FLBMP = 4 x E I [ ] + λ λ I S ( x x ) µ v φ' ( x,5) v φ' ( x ) ; FLBMP = µ ξ z I I [ φ' ( z + ) ξ ( )] S φ' z λ ;

75 CAPÍTULO 5 RESULTADOS NUMÉRICOS 58 3 x x FLBMP E + = λ ; z x x FLBMP I = λ ; φ (x,5)= ( ) ( ) µ < β + µ β + µ s,5 se x, q,5 x q s,5 x se,,5 x s b a ; φ ( x )= ( ) ( ) µ < β + µ β + µ s x se, q x q s x se, x s b a ; φ (z + )= ( ) ( ) µ < β µ β µ s z se, q z q s z se, z s b a ; φ ( z)= ( ) ( ) µ < β + µ β + µ s z se, q z q s z se, z s b a ; e = 0 0 x z FLBMP x FLBMP 4 x 0 4 x FLBMP H FLBMP é a matrz Hessana com:

76 CAPÍTULO 5 RESULTADOS NUMÉRICOS 59 FLBMP = x I ( x ) + + λ ; FLBMP = 8 µ x I S [ v φ'' ( x,5 ) + v φ'' ( x ] ) ; FLBMP = µ ξ z I S [ φ'' ( z + ) + ξ φ'' ( z ] ) ; φ (x,5)= [ µ s + ( x,5 )] q a, se x, se x,5 < βsµ,5 βsµ ; φ ( x )= [ µ s + ( x )] q, se x a, se x < βsµ βsµ ; φ (z + )= [ µ s + ( z + ) ] q φ ( z)= [ µ s + ( z) ] a, se, se z + < βsµ q, se z < βsµ a z + βsµ ;, se z βsµ. Testes Numércos Foram realzados 3 testes numércos, os quas utlzaram o método da FLBMP para dferentes pontos ncas, mplementado em MATLAB. As Tabelas, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, e 3 apresentam o processo de convergênca dos testes.

77 CAPÍTULO 5 RESULTADOS NUMÉRICOS 60 TESTE As tabelas e 3 apresentam o processo de ncalzação do método FLBMP através do método FLBCP, sendo realzadas duas terações. TABELA - Varáves prmas e função objetvo It. x x z F. Obj. 0, , , , ,304758, , , ,355739, , , TABELA 3 - Varáves duas e parâmetro de barrera It. λ E λ I µ 0, , , ,0553 0, , ,50874, O método FLBCP fo ncalzado com: o ponto x 0 = (;), um ponto factível; a varável de folga z =, satsfazendo as restrções de gualdade do problema; os multplcadores de Lagrange assocados às restrções de gualdade, λ E = e λ I = respectvamente; com o fator de barrera µ = 0,0, sendo γ = 0 seu parâmetro de correção; com β = 0,9 e s =. Os parâmetros µ, γ, β e s foram escolhdos de acordo com o capítulo 4. Após as duas terações, obtvemos um ponto ncal prmal-dual e uma estmatva para os multplcadores de Lagrange assocados às restrções de desgualdade, conforme vsto no capítulo 4. Nas tabelas 4 e 5 é apresentado o processo de convergênca do método da FLBMP. TABELA 4 - Varáves prmas, função objetvo e varáves duas It. x x z F. Obj. λ E λ I 0,355739, , , ,50874,400966, , , , , ,307774, , , , , , , , ,6407 4,5099 3, , , , ,6407 4,5099 3,856770

78 CAPÍTULO 5 RESULTADOS NUMÉRICOS 6 TABELA 5 - Estmatvas dos multplcadores de Lagrange e parâmetro de barrera It. v I v S ξ I ξ S µ 0 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,85789 Houve extrapolação quadrátca no cclo externo do método da FLBCP para a determnação da solução ncal. Foram realzados cclos nternos, dos quas houve extrapolação no 5º, 6º e 7º cclos. O método da função Lagrangana barrera modfcada/penaldade fo ncalzado com: x 0 = (,355739;,687446), um ponto factível; a varável de folga z = 0, ; os multplcadores de Lagrange (varáves duas) assocados às restrções de gualdade, λ E =,50874 e λ I =,400966; os multplcadores de Lagrange assocados às restrções de desgualdade: v I = 0, , v S = , ξ I = 0, e ξ S = 0,538834, calculados por (3.56); o fator de barrera µ = 0,0, sendo γ = 0 seu parâmetro de correção; com β = 0,9 e s =. Esses valores encontrados, bem como os fatores e parâmetros utlzados seguem o proposto no capítulo 4. Através dos resultados podemos observar que todo o processo do método da FLBMP necesstou de 4 terações, mas na 3ª teração as varáves prmas (x, x e z) e as duas (λ E e λ I ) já havam atngdo a sua convergênca, porém o processo contnuou de modo que os multplcadores de Lagrange assocados às restrções de desgualdade também atnjam a sua convergênca. Ocorreu extrapolação quadrátca na teração externa. O método realzou 4 cclos nternos, onde ocorreu extrapolação no º cclo. TESTE As tabelas 6 e 7 apresentam o processo de ncalzação do método FLBMP através do método FLBCP, sendo realzadas duas terações. TABELA 6 - Varáves prmas e função objetvo It. x x z F. Obj. 0, , , , , , ,63897,3068, , ,63550

79 CAPÍTULO 5 RESULTADOS NUMÉRICOS 6 TABELA 7 - Varáves duas e parâmetro de barrera It. λ E λ I µ 0 4, , , , , , , ,839 O método FLBCP fo ncalzado com: x 0 = (,;,7) e varável de folga z = 0,, valores nfactíves, mas que satsfazem as restrções de desgualdade do problema; os multplcadores de Lagrange assocados às restrções de gualdade (varáves duas), λ E = 4 e λ I = 3 respectvamente; fator de barrera µ = 0,0, sendo γ = 0 seu parâmetro de correção e β = 0,9 e s =. Após as duas terações, obtvemos um ponto ncal prmal-dual e uma estmatva para os multplcadores de Lagrange assocados às restrções de desgualdade. Nas tabelas 8 e 9 é apresentado o processo de convergênca do método da FLBMP. TABELA 8 - Varáves prmas, função objetvo e varáves duas It. x x z F. Obj. λ E λ I 0,3068, , , , ,839,304478, , , , ,307765, , , , ,307756, , ,6407 4,5099 3, ,307756, , ,6407 4,5099 3, ,307756, , ,6407 4,5099 3, TABELA 9 - Estmatvas dos multplcadores de Lagrange e parâmetro de barrera It. v I v S ξ I ξ S µ 0 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Houve extrapolação quadrátca no cclo externo do método da FLBCP para a determnação da solução ncal. Foram realzados cclos nternos, dos quas houve extrapolação no 6º cclo. O método da FLBMP fo ncalzado com: x 0 = (,3068;, ) e varável de folga z = 0, , valores factíves; multplcadores de Lagrange assocados às restrções de gualdade (varáves duas), λ E = 4, e λ I = 3,839; multplcadores de Lagrange assocados às

80 CAPÍTULO 5 RESULTADOS NUMÉRICOS 63 restrções de desgualdade v I = 0, , v S = 0, , ξ I = 0, e ξ S =, ; fator de barrera µ = 0,0, sendo γ = 0 seu parâmetro de correção, β = 0,9 e s =. Esses valores encontrados, bem como os parâmetros e fatores utlzados, seguem o proposto no capítulo 4. Através dos resultados podemos observar que todo o processo do método da FLBMP necesstou de 5 terações, mas na 3ª teração as varáves prmas (x, x e z) e as duas (λ E e λ I ) já havam atngdo a sua convergênca, porém o processo contnuou de modo que os multplcadores de Lagrange assocados às restrções de desgualdade também atngssem a sua convergênca. Ocorreu extrapolação quadrátca na teração. O método realzou cclos nternos, onde ocorreu extrapolação no º cclo. TESTE 3 As tabelas 0 e mostram a ncalzação do método FLBMP com o método FLBCP, sendo realzadas duas terações. TABELA 0 - Varáves prmas e função objetvo It. x x z F. Obj. 0 0, , , , ,05730, , , , , , , TABELA - Varáves duas e parâmetro de barrera It. λ E λ I µ 0 0, , , , , , , , O método FLBCP fo ncalzado com: x 0 = (0; 3) e varável de folga z = 3, valores nfactíves que satsfazem as restrções de gualdade do problema; multplcadores de Lagrange assocados às restrções de gualdade (varáves duas), λ E = 0 e λ I = 0; fator de barrera µ = 0,0, sendo γ = 0 seu parâmetro de correção, β = 0,9 e s =. Após as duas terações, obtvemos um ponto ncal prmal-dual e uma estmatva para os multplcadores de Lagrange assocados às restrções de desgualdade.

81 CAPÍTULO 5 RESULTADOS NUMÉRICOS 64 FLBMP. Nas tabelas e 3 é apresentado o processo de convergênca do método da TABELA - Varáves prmas, função objetvo e varáves duas It. x x z F. Obj. λ E λ I 0,039944, , , , , ,384509, , , ,9996 3,008578,3080, , , , , ,307756, , , ,5099 3, TABELA 3 - Estmatvas dos multplcadores de Lagrange e parâmetro de barrera It. v I v S ξ I ξ S µ 0 0,0070 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , Houve extrapolação quadrátca no cclo externo do método da FLBCP para a determnação da solução ncal. Foram realzados cclos nternos, dos quas houve extrapolação no º cclo. O método da FLBMP fo ncalzado com: x 0 = (, ;, ) e varável de folga z = 0,88055, valores factíves; multplcadores de Lagrange assocados às restrções de gualdade (varáves duas) λ E = 0, e λ I = 3, ; multplcadores de Lagrange assocados às restrções de desgualdade v I = 0,0070, v S = 0,055385, ξ I = 0, e ξ S = 0,003504; fator de barrera µ = 0,0, sendo γ = 0 seu parâmetro de correção, β = 0,9 e s =. Esses valores encontrados, bem como os parâmetros e fatores utlzados, seguem o proposto no capítulo 4. Pelos resultados podemos observar que todas as varáves e parâmetros precsaram de todas as 3 terações para atngrem a sua convergênca. Ocorreu extrapolação quadrátca nas terações e 3. O método da FLBMP realzou 5 cclos nternos, onde ocorreu extrapolação do º ao 0º cclos. COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS

82 CAPÍTULO 5 RESULTADOS NUMÉRICOS 65 Nas Fguras 3, 4 e 5 mostramos uma comparação do processo de convergênca da FLBMP referente aos Testes, e 3. O ponto em preto representa a solução ncal; o em vermelho, a solução ótma e os pontos em verdes, os pontos encontrados nas terações antes da convergênca. As restrções do problema estão na cor magenta e as curvas de níves da função na cor azul. FIGURA 3 - Convergênca do método da FLBMP referente ao TESTE FIGURA 4 - Convergênca do método da FLBMP referente ao TESTE

83 CAPÍTULO 5 RESULTADOS NUMÉRICOS 66 FIGURA 5 - Convergênca do método da FLBMP referente ao TESTE 3 Como podemos verfcar nas Fguras 3, 4 e 5, dado o ponto ncal, o método proposto procura um ponto satsfazendo as restrções de gualdade, camnhando na regão factível. Caso ela saa da regão factível ou se nce com um ponto nfactível, o método procura encontrar na próxma teração um ponto factível, como observamos na fgura 3. Podemos observar, também, na fgura que se um ponto ncal não satsfaz as restrções de gualdade, o método encontra nas próxmas terações pontos que as satsfaçam, ou seja, as restrções de gualdade sempre serão satsfetas pelo método. Verfcamos, anda, que a escolha das varáves prmas e duas ncas, de tal forma que sejam ou não factíves e satsfaçam ou não as restrções de gualdade, nterferem no número de terações para a convergênca ótma. Em todos os casos fo utlzada uma precsão de ε = 0 3 e uma tolerânca η = EXEMPLO Neste exemplo fo resolvdo um grupo de problemas da Engenhara Elétrca conhecdos como problemas de Fluxo de Potênca Ótmo (FPO). O FPO consste em resolver um conjunto de equações algébrcas, não lneares e complexas que resultam da aplcação das les de Krchhoff a um sstema com gerações e