XLVII SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL

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1 Porto de Galnhas, Pernambuco-PE Métodos Híbrdos de Pontos Interores, Branch-and-Bound, da Soma Ponderada e ε-restrto Canalzado em Problemas Multobjetvo para Produção de Cana-de-Açúcar e de Bomassa Mara Laura Parra Spagnuolo de Souza Programa de Pós Graduação em Engenhara Elétrca Unesp Bauru Av. Engenhero Luz Edmundo Carrjo Coube, Bauru-SP maralaura.parra92@gmal.com Antono Roberto Balbo Departamento de Matemátca Faculdade de Cêncas Unesp Bauru Av. Engenhero Luz Edmundo Carrjo Coube, Bauru-SP arbalbo@fc.unesp.br Camla de Lma Programa de Pós Graduação em Cêncas da Computação e Matemátca Aplcada ICMC USPSão Carlos Av. Trabalhador Sãncarlense, 400. São Carlos-SP cadlma@yahoo.com.br Helence de Olvera Florentno Slva Departamento de Boestatístca Insttuto de Bocêncas Unesp Botucatu Rubão Júnor, S/N. Botucatu-SP helence@bb.unesp.br RESUMO O trabalho proposto explora uma modelagem matemátca multobjetvo assocada à mnmzação de custo de colheta da cana-de-açúcar e de coleta da sua bomassa e sua máxma geração de energa. O problema está em decdr qual das varedades de cana deve ser plantada em determnado talhão para obter uma solução efcente ao modelo e de nteresse das usnas, consderando as restrções sobre a produção de sacarose e fbra, e sob a quantdade máxma que cada varedade possa ser plantada em cada talhão. Para sso fo utlzado um procedmento híbrdo envolvendo os Métodos Prmal-Dual de Pontos Interores e Branch-and-Bound (PDBB), assocada a uma nova estratéga de resolução de problemas multobjetvo envolvendo os métodos da soma ponderada e do ε-restrto Canalzado. Apesar da dfculdade em encontrar soluções para problemas multobjetvos, este método demonstra uma boa performance computaconal e determna um conjunto de soluções efcentes para o modelo, que consdera a realdade das usnas. PALAVARAS CHAVE. Bomassa da cana-de-açúcar, Métodos de Pontos Interores e Branch-and- Bound, Métodos da Soma Ponderada e ε-restrto Canalzado. EN PO na Área de Energa ABSTRACT The proposed wor explores a mult-objectve mathematcal modelng assocated wth the cost mnmzaton of the sugarcane harvest and of the sugarcane bomass collecton and ts maxmum energy generaton. The problem s n decdng whch of sugarcane varetes should be planted at a certan plot n order to obtan an effcent soluton to the model and the mll s nterested, consderng the constrants about the sucrose and fber producton, and the maxmum amount that each varety can be planted n the plots. For ths was used a hybrd procedure nvolvng Prmal-Dual Interor Pont and Branch-and-Bound methods (PDBB), assocated wth a new strategy for solvng mult-objectve problems defned by the weghted sum and ε- restrcted bounded methods. Despte the dffculty n fndng solutons to multobjetve problems, ths method shows good computatonal performance and determnes an effcent solutons set to the model that t consders the mll realty. KEYWORDS: Sugarcane bomass, Interor Pont and Branch-and-Bound methods, Weghted sum and ε- restrcted bounded methods. 1062

2 Porto de Galnhas, Pernambuco-PE 1. Introdução O Brasl é o maor produtor mundal de cana-de-açúcar, segundo a UNICA, o maor produtor e exportador de açúcar, pela Unted States Department of Agrculture (USDA), e o segundo maor produtor de etanol do mundo, segundo a F.O. Lcht. Dados do Conab apontam que o volume prevsto de colheta da cana é de 654,6 mlhões de toneladas, com acréscmo de 3,1% (19,8 mlhões de toneladas) em relação à safra 2014/15, estmada em 634,8 mlhões de toneladas. Apesar desse avanço na produção do setor canavero, mutos são os problemas ambentas decorrdos desse crescmento acelerado, como as quemadas da cana, utlzadas no processo de colheta sem-mecanzada. De acordo com o Grupo Cultvar, um dos pontos mas crítcos sobre a quema da palha da canade-açúcar são as emssões de gases do efeto estufa na atmosfera, prncpalmente o gás carbônco (CO 2 ), o monóxdo de carbono (CO), óxdo ntroso (N 2 O), metano (CH 4 ), ozôno (O 3 ) e polução do ar atmosférco pela fumaça e fulgem. No Estado de São Paulo, a Le no de 2002 controla a quema da cana-de-açúcar e nstalou um cronograma para que a totaldade dos canavas dexe de ser quemados. No Protocolo Ambental assnado entre o Governo do Estado e a UNICA em 2007, ocorreu a antecpação dos prazos que agora tem data para até o ano de Com essa probção, os sstemas de colhetas serão mecanzados, e assm haverá geração de resíduos na lavoura, conhecdos como palhço e bagaço. Este materal remanescente aumenta a nfltração de água no solo, dmnu a erosão e a evaporação, melhorando a estrutura do solo. Com a probção das quemadas ocorrerá o acúmulo de toneladas de palhço, que podem acarretar séros problemas, como o aparecmento de pragas, retardamento da brota da cana-de-açúcar e, assm, o comprometmento da próxma safra. Dessa forma, essa bomassa não pode ser dexada no solo e deve ser aprovetada. Assm, o palhço tornou-se foco para os pesqusadores e produtores. As vantagens no seu recolhmento, recuperação e aprovetamento têm moblzado pesqusadores de unversdades, gerentes e dretores de usnas, que estão nteressados em encontrar a manera mas produtva, econômca e efcaz para este manejo (Beeharry, 2002). Rpol e Rpol (2004) afrmam em seus estudos que o bagaço e o palhço da cana-de-açúcar são as bomassas que possuem maor poder calorífco. Dante dsso, estudos estão sendo desenvolvdos para métodos para que otmzem a utlzação dessa bomassa, objetvando a máxma geração de energa térmca a partr desta, consderando a mnmzação do custo de coletar e transferr a cana-de-açúcar e a bomassa resdual, do campo para o centro de processamento. Nos trabalhos de Florentno (2006), Tolentno (2007), Lma (2009), Homem et al (2011) e Lma (2013) são dscutdos modelos matemátcos para a escolha de varedades de cana-de-açúcar que buscam otmzar o custo de coleta da bomassa resdual e/ou a geração de energa. Em resumo, o objetvo múltplo assoca-se à mnmzação do custo da colheta da cana-deaçúcar e do custo de coleta e transporte da bomassa resdual e/ou à maxmzação de geração de energa da bomassa, decdndo qual das varedades deverá ser plantada em cada talhão, sujeto as restrções de produção de sacarose e fbra de cana-de-açúcar determnadas pelas usnas, da quantdade que cada varedade possa ser plantada, e do planto de apenas uma varedade de cana-de-açúcar por talhão, lmtando o número de varedades plantadas em, no máxmo, 30% dos talhões. Este aspecto caracterza um problema de programação ntera 0-1, que dependendo da sua dmensão, torna-se dfícl em ser resolvdo, prncpalmente devdo à natureza multobjetvo do problema e da ncerteza em se obter soluções que, de fato, sejam efcentes para a operação das usnas. Segundo essa stuação, um modelo mutobjetvo matemátco fo desenvolvdo pelos autores já ctados, e para a sua resolução fo utlzado um procedmento híbrdo envolvendo o método PDBB (Prmal- Dual de pontos nterores e Branch-and-Bound) e uma assocação entre os métodos da soma ponderada e de uma nova estratéga proposta, denomnada de método ε-restrto Canalzado. Esse procedmento possu um hstórco com bons resultados nessa área de problemas, em que os métodos multobjetvo transformam o problema em um conjunto de problemas mono-objetvos e sobre esses, o método PDBB, prmero determna as soluções ótmas contínuas dos problemas através do método prmal-dual de pontos nterores e em seguda determna as soluções nteras do problema através do método branch-and-bound. O trabalho apresentará a nova estratéga ε-restrto Canalzado e sua aplcação, em conjunto com os métodos da soma ponderada e PDBB, em um problema multobjetvo da bomassa da cana, de grandeza 10 x 14 (10 varedades para 14 talhões), em que essa bomassa será utlzada exclusvamente para a geração de energa térmca, não gerando assm etanol. O período de planto dessas varedades vara de acordo com as regões. Na regão Centro-Sul são utlzadas duas épocas de planto, uma no período de setembro a outubro, denomnada cana de ano ou 12 meses, e outra no período de julho a março, denomnada cana de ano e meo ou 18 meses. No Nordeste, o planto ocorre de junho a setembro com a colheta programada após 1063

3 Porto de Galnhas, Pernambuco-PE um período de 12 a 14 meses. Em regões de várzea, planta-se de setembro a dezembro para a colheta ocorrer em 12 ou 18 meses. Esta resolução mostrará que, com o método híbrdo proposto é possível, a partr das soluções efcentes obtdas com a utlzação do método da soma ponderada,aumentar a quantdade destas soluções através do método ε-restrto Canalzado para o problema em destaque. 2. Modelo Multobjetvo Formulação da função objetvo Incalmente serão apresentadas as formas como são calculadas as funções objetvos referentes aos custos de coleta da bomassa da cana-de-açúcar e à geração de energa provenente dessa bomassa. De acordo com Florentno (2006) e Tolentno (2007) exstem processos antes que o recolhmento seja feto: o palhço deve ser enlerado, em seguda passado em uma máquna para compactação, depos carregado no camnhão e fnalmente transportado para o centro de processamento. Na colheta mecanzada o custo dessa coleta do palhço da cana-de-açúcar da varedade plantada no talhão j (CC j ) é calculado da segunte forma: CC j = (C + CT j )L j (2.1) Em que: = 1, 2,..., n são os índces que representam as varedades; j = 1, 2,..., são os índces que representam os talhões; C é o custo para enlerar, compactar e carregar o camnhão com o palhço da varedade em US$.m -3 ; CT j é o custo para transportar o palhço de um hectare de cana-de-açúcar da varedade produzdo no talhão j em US$.ha -1 ; L j é a área do talhão j em hectare. O custo para enlerar C é calculado por: C C ecc Q (2.2) V Em que: C ecc é o custo por tonelada, para enlerar, compactar e carregar o camnhão com palhço em US$.t -1 ;V é o volume por tonelada do palhço da varedade depos de compactada em m3.t -1 ; Q é estmatva de volume do palhço produzdo pela varedade por hectare de cana-de-açúcar em m3.ha -1. O custo para transportar o palhço CT j é calculado por: Q CTj CD V j (2.3) c Em que: V c é o volume dsponível no camnhão em m 3 ; C Dj é o custo para o camnhão percorrer a dstânca D j do talhão j até a usna, dado por: C (2.4) D j D jcop Em que: D j é a dstânca do talhão j do centro de processamento em m; C o é o consumo de combustível do camnhão a ser usado no transporte em L.Km -1 ; P é preço do combustível em US$.L -1 ; Assm a função objetvo referente ao custo total da coleta da bomassa resdual da cana é dada por: (2.5) Com relação à geração de energa, de acordo com Florentno (2006) e Florentno et al (2011), o balanço de energa para o aprovetamento do palhço é obtdo pela dferença entre a energa provenente do palhço da varedade plantada no talhão j (EB j ) meddo em MJ e a energa gasta na transferênca do palhço da varedade plantada no talhão j (ET Bj ) que é a soma das energas gastas para enlerar e compactar (E ECj ), carregar (E Cj ) e transportar esta bomassa (E Tj ), calculadas através dos dados das Tabelas 1, 2 e 5 apresentadas na Seção 4. A fórmula do balanço de energa é apresentada a segur: BE EB ET (2.6) j j Bj Assm, defne-se a função objetvo referente ao balanço total de energa no aprovetamento de resíduos de cana-de-açúcar por: (2.7) 1064

4 Porto de Galnhas, Pernambuco-PE 2.2. O modelo multobjetvo O modelo em questão consste em determnar quas das varedades ( 1,, n) de cana-deaçúcar devem ser plantadas nos talhões j( j1,, ) de área L j (ha) e dstânca D j (Km) da usna, fornecendo, smultaneamente, o mínmo custo total de colheta da cana-de-açúcar e coleta de resíduos e o máxmo balanço de energa no aprovetamento de resíduos resultantes da colheta. Estes dos objetvos são confltantes, e estão sujetos a uma sére de restrções, como a quantdade de produção de sacarose e fbra de cana-de-açúcar (determnadas pela usna), uso total da área destnada ao planto, o planto de apenas uma varedade de cana-de-açúcar por talhão e a quantdade máxma em que uma varedade possa ser plantada, lmtada a 30% dos talhões. O modelo matemátco é defndo por: Mnmzar CT;( 1) BET (2.8) n j 1 j1 n Sujeto a : PX PT ; FT FX FT; I j S 1 j1 n X 1; j 1 X 0 ou 1, 1, 2,..., n e j 1, 2,..., j X j1 j M Em que: CT está defndo em (2.5) e BET está defndo em (2.7); A é a estmatva de produção de sacarose da varedade (t/ha); P é a quantdade mínma estabelecda para a o teor de sacarose (POL) da cana; T é o número total de talhões; F é a estmatva do teor de fbra da varedade ; F e F são as I S quantdades mínmas e máxmas estabelecdas para a fbra da cana; M é o número máxmo que cada varedade pode ser plantada; X j é a varável de decsão da plantação da varedade no talhão j, em que X j = 1 mplca que a cana de varedade deve ser plantada no talhão j e em caso contráro X j = 0, que esta não deve ser plantada. (2.9) 2.3. Estratégas de resolução Em geral, encontrar uma solução ótma global para um problema multobjetvo é consderado utópco na lteratura. Assm, é necessáro utlzar estratégas de resolução do problema e possbltem a nvestgação de soluções de nteresse ou não para este. Para a resolução do modelo multobjetvo proposto, serão utlzadas as estratégas de otmzação conhecdas por método da soma-ponderada e método ε-restrto canalzado, baseando-se em Deb (2004), os quas transformam o problema multobjetvo em um conjunto de subproblemas mono-objetvos e possbltam a determnação de soluções denomnadas Pareto Efcentes, cujos valores das funções objetvo do problema relatvos a estas são utlzadas para formar a Curva de Pareto Ótma. Segundo Jones e Tamz (2010), uma solução de um problema multobjetvo é consderada Pareto Efcente (Soluções Efcentes ou Não Domnadas) se nenhuma outra solução vável exstente seja tão boa no que dz respeto a todos os objetvos, e estrtamente melhor com respeto a pelo menos um dos objetvos. Uma solução de um problema multobjetvo é consderada Pareto Inefcente (ou Domnada) se exstr uma outra solução vável que seja boa no que dz respeto a todos os objetvos e estrtamente melhor no que dz respeto a pelo menos um objetvo. A le fundamental da tomada de decsão estabelece que nenhum tomador de decsão raconal escolherá uma solução Pareto Inefcente, se tver conhecmento de uma solução Pareto Efcente. Neste trabalho o método PDBB será utlzado à resolução do conjunto de problemas monoobjetvos, defndos pelas estratégas de resolução ctadas, buscando determnar o conjunto de soluções efcentes para o problema e a construção da curva de Pareto ótmo Método da soma ponderada Esta estratéga consste na resolução do problema através de um balanceamento entre as funções objetvo, através de um parâmetro [0,1], que é apresentado em (2.10). Através desta, é possível seleconar as soluções que retornam os melhores valores para a função objetvo balanceada para um dado, as quas são chamadas de soluções efcentes. A segur, essa estratéga de resolução é apresentada: 1065

5 Porto de Galnhas, Pernambuco-PE Mnmzar CT (1 ) BET (2.10) Sujeto a: Restrções (2.9) em que 0 1. Em que CT é encontrado através de uma normatzação feta, em que cada um dos CT j obtdos devem ser dvddos pelo maor dos valores de CT j, assm como o BET. Incalmente consderando o α = 0 tem-se a melhor solução para a função Balanço de Energa BET (por solução para a função Custo CT). Consderando o α = 1 tem-se a melhor solução para a função Custo CT (por solução para a função Balanço de Energa BET). A partr destas obtém um ntervalo de varação mínmo e máxmo para ambas as funções, possbltando também determnar a solução nadr. Com estes resultados os pesos de α são defndos no ntervalo (0,1), em que ncalmente são nvestgadas as soluções obtdas para o conjunto α {0,1; 0,2, 0,3;...; 0,9} em que as soluções obtdas são plotadas em uma curva, comparadas com as soluções α = 0, α = 1 e a nadr determnando as prmeras soluções efcentes e elmnado as soluções domnadas; em seguda esse conjunto é refnado para valores de α nos ntervalos (0; 0,1), (0,2; 0,3),..., (0,9; 1)e novas possíves soluções efcentes são determnadas, elmnado as não efcentes. Para os subntervalos em que o método da Soma Ponderada não obteve sucesso em determnar soluções efcentes, o método ε-restrto Canalzado é utlzado Método ε-restrto Canalzado Esta estratéga consste em manter um dos objetvos como função, restrngndo-se os demas objetvos, com valores delmtados pelo usuáro, neste caso, de nteresse das usnas e nvestga soluções do modelo multobjetvo através do segunte conjunto de problemas mono-objetvos defndos para ε mn e ε max, os quas canalzam a restrção relatva à função objetvo BET: Sujeto a: Mnmzar CT (2.11) Restrções (2.9) e mn BET max (2.12) De forma análoga é possível defnr um conjunto de problemas mono-objetvos defndos para ε mn e ε max, os quas canalzam a restrção relatva à função objetvo CT e tem o objetvo de maxmzar a função objetvo BET. A resolução do problema em que o objetvo prncpal é mnmzar CT ou maxmzar BET, dependem do nteresse e prordade da usna, ou seja, gastar menos com a coleta e dmnur a produção da energa ou, produzr mas energa e consequentemente aumentar o custo da coleta. Neste trabalho optou-se por soluconar problemas mono-objetvos assocados a (2.11) e (2.12) A estratéga do método ε-restrto Canalzado Consderando o modelo de otmzação apresentado em (2.8) e (2.9), neste trabalho fo realzada uma canalzação da restrção de produção de energa, a qual fo ncorporada ao conjunto de restrções do modelo de otmzação ctado e, está defnda em (2.12). Além de lmtada nferormente para níves mínmos de produção de energa, a função BET passou a ser lmtada também em relação a níves máxmos de produção. Mas observe que, esses níves máxmos (que poderam não ser de nteresse em termos operaconas) são defndos para algum valor de produção de energa obtdo para uma solução efcente do problema, já determnada pelo método PDBB através da estratéga da soma ponderada. A nserção de um lmte superor à função BET é consderada a fm de auxlar na obtenção de pontos da curva de soluções efcentes do problema. Os valores são consderados dentro dos lmtes mínmo e máxmo determnados, respectvamente, para o problema de maxmzação da energa, quando o problema mono-objetvo defndo em (2.10) é resolvdo para α = 1 e α = 0, respectvamente, pelo método PDBB. Logo, os lmtes nferor e superor mpostos são mportantes, em termos prátcos, à determnação de possíves soluções efcentes, dentro dos lmtes consderados, para a obtenção da curva de soluções efcentes (Pareto-ótma) do problema multobjetvo nvestgado. Assm, os lmtes mínmos e máxmos consderados relaconam-se exclusvamente à determnação de alguma nova solução efcente com valor da função de custo CT, ntermedáro ao de soluções efcentes já obtdas pelo método. A utlzação do novo método proposto possbltou a obtenção desta curva para o problema defndo em (2.8) e (2.9) de nteresse neste trabalho. 1066

6 Porto de Galnhas, Pernambuco-PE Os passos do método ε-restrto canalzado. A assocação dos métodos da soma ponderada e do ε-restrto canalzado, fo utlzada para nvestgar soluções do modelo multobjetvo defndo em (2.8) e (2.9), para possbltar o uso de métodos determnístcos de otmzação (PDBB) e fo empregada da segunte forma: ) A formulação do problema: a função produção de energa é ncorporada às restrções do problema de mnmzação de custo de coleta, lmtada nferormente para valores mínmos permssíves de produção e superormente para valores máxmos de produção, valores estes que serão alterados no decorrer da resolução do problema a partr de duas soluções efcentes do problema já determnadas pelo método PDBB explorando o método da soma ponderada. O modelo utlzado neste caso é apresentado em (2.11) e (2.12); ) A determnação dos lmtantes extremos através dos problemas mono-objetvos: ncalmente, o problema de custo de coleta, resolvdo para α = 1 em (2.10) pelo PDBB, determna o menor lmte nferor a ser usado como ε mn em (2.12), enquanto que, para α = 0 em (2.10), a solução obtda pelo PDBB determna o maor lmte superor a ser usado para ε max em (2.12). Os valores obtdos são representados pelos pontos extremos na curva de soluções efcentes a ser construída, ou seja, o valor mínmo do custo de coleta (melhor solução de custo) determnado é o ponto em que a produção de energa é mínma (por solução para produção) e o valor máxmo de produção de energa (melhor solução para produção) é ponto onde o custo é máxmo (por solução para o custo). Esses pontos e valores norteam a construção da curva de Pareto-ótma, pos são os extremos da mesma; ) Preenchmento da curva de soluções de Pareto: entre dos pontos obtdos através da resolução dos problemas mono-objetvo defndo em (2.10) pelo método da soma ponderada e pelo método PDBB, são determnados város subntervalos, cujos extremos defnrão os valores nferores ε mn e superores ε max para a função de produção, os quas assocam-se a valores de produção já determnados para duas soluções efcentes do problema, obtdas pelo método da soma ponderada, permtndo obter uma nova solução efcente (se exstr) e preencher a curva com outros pontos e valores, ntermedáros aos lmtes de produção ε mn e ε Max consderados (para subntervalos em que o método da soma ponderada não determnou alguma solução efcente). Operando o método PDBB na regão delmtada entre pontos lmtantes nferor e superor determnados para a função de produção de energa BET (em subntervalos defndos a partr de duas soluções efcentes já determnadas), o método PDBB determna soluções efcentes, de modo que a curva de Pareto desejada seja completada. Esse processo de delmtar uma regão para a função de produção BET é realzado sucessvamente até que sejam encontradas soluções efcentes e preenchda a curva de Pareto-ótma. A Fgura 2.1 representa um únco caso de subntervalo utlzado para a determnação de soluções efcentes do problema multobjetvo, em que ε mn é o valor mínmo atrbuído à função de produção BET e ε max é o valor máxmo atrbuído a esta função, relatvos às soluções efcentes já determnadas. A regão hachurada é o local em que fo determnada uma nova solução efcente, destacada em preto. Para o problema teste resolvdo (seção 4), alguns subntervalos foram ncalmente determnados pelo método da soma ponderada e PDBB, os quas pré-defnem os valores utlzados para ε mn e ε max, para em sequênca utlzar uma assocação entre os métodos ε-restrto Canalzado e PDBB e possvelmente determnar soluções ntermedáras efcentes para o preenchmento da curva de Pareto. Fgura 2.1: nterpretação geométrca para o método ε-restrto canalzado 3. Método prevsor-corretor prmal-dual de pontos nterores e branch-and-bound (PDBB)() Neste trabalho, utlzou-se o método prmal-dual com procedmento prevsor-corretor ncalmente desenvolvdo em Homem et al. (2011), reprogramado e utlzado em Lma (2013). O método prmal-dual é varante daquele proposto por Kojma et al (1989) e Mehrotra (1992) dferencando-se deste últmo por já 1067

7 Porto de Galnhas, Pernambuco-PE utlzar no passo prevsor nformações do parâmetro de barrera, o que melhora a efcênca do método por evtar que os pontos defndos por este no passo prevsor, aproxmem-se da frontera do problema, podendo, nclusve, nvablzá-los. Enquanto que, no passo corretor, este reajusta as dreções com nformações dos aproxmantes de segunda ordem referentes às condções de complementardade, possbltando que, o procedmento de centragem do passo prevsor mas o ajuste feto no passo corretor, acelerem a convergênca do processo, para a determnação da solução ótma do problema contínuo. Além dsso, o modelo nvestgado enquadra-se como um problema de programação ntera bnára ou programação ntera zero-um. Desta forma, o método branch-and-bound, assocado a uma estratéga encontrada em Borches e Mtchell (1992) é utlzado no procedmento híbrdo proposto. Neste, ncalmente realza-se a busca da solução ótma relaxada do problema utlzando o método prevsorcorretor prmal-dual de pontos nterores e a segur, utlza-se o método branch-and-bound para a geração de soluções nteras, de modo a obter as soluções efcentes dos problemas mono-objetvos, vsto em (2.10) a (2.12). O método PDBB utlzado neste trabalho é aquele que fo proposto e programado em Lma (2013), desta forma, no que segue é posto um resumo do algortmo deste método, para o qual maores detalhes podem ser vsto no autor ctado. O método fo desenvolvdo para o segunte problema de programação lnear (PPL) prmal, com restrções lneares e varáves canalzadas: T T T Mnmzar c x Mnmzar c x Mnmzar c x Ax b Ax b Ax b x r l Sujeto a : Sujeto a : Sujeto a : l xu xl e xu xz u r 0 e z0 mn m n n em que A R, tal que A tem posto m., b R, xclu,,, R e rz, Rsão as varáves de folga e excesso do problema, respectvamente. O problema de programação lnear (PPL) com restrções lneares de gualdade e varáves canalzadas (3.1), é redefndo através de um problema de programação não lnear (PPNL) prmal-dual rrestrto que é defndo a partr da função lagrangana barrera logarítmca L (, x w,,, z r y,) s : T T T T L ( x, w, z, r, y, s) c xw ( bax) s ( lrx) y ( xzu) ln( z ) ln( r) (3.2) m n n n 1 1 Em que: wr e y, s R ; s 0, y 0, são as varáves duas do problema e μ> 0 é o parâmetro de barrera ou parâmetro de centragem. A partr de (3.2) as seguntes condções de otmaldade de Karush-Kuhn-Tucer (KKT) para este problema são: Ax b (3.3) xz u (3.4) xr l (3.5) T Awsy c (3.6) RSe e 0 (3.7) ZYe e 0 (3.8) Em que: R, Z, S e Y são matrzes dagonas, respectvamente com r, z, s e y como elementos dagonas e e 1,, 1 T. Consderando o problema (3.1) e a restrção xr l, nota-se que quando l = 0 temos que x = r, desta forma, a condção de otmaldade (3.7) pode ser reescrta como: XSe e 0 (3.9) em que: X é uma matrz dagonal tendo x como elementos da dagonal. Consderando uma solução ( x, z, w, s, y ) de uma teração corrente, uma nova solução corrente: (3.1) 1068

8 Porto de Galnhas, Pernambuco-PE ( ; ; ; ; x z w s y ) ( x P, P, D, D, D dx z dz w dw s ds y dy) (3.10) e as condções de KKT apresentadas de (3.3) a (3.9), tem-se o algortmo vsto a segur. Assm, defnem-se os passos de 1 a 10 do algortmo PDBB a segur, de acordo com Lma (2013). Este algortmo é complementado no passo 11pelo método branch-and-bound, que é usado para ntegralzar as soluções relaxadas obtdas pelo método prmal-dual, baseando-se nas referêncas ctadas no níco desta seção Algortmo prevsor-corretor prmal-dual e branch-and-bound (PDBB) Passo 1: Ajustar = 0 e encontrar uma solução ncal ( ; ; ; ; ) x z w s y P D, ou seja, uma solução ncal factível. Seja,,, 0 pequenas tolerâncas postvas auxlares ao passo 2 do algortmo Passo 2:Testar a otmaldade de solução:se o crtéro de parada: t b Ax Factbldade prmal: ; Factbldade dual: 1 b 1 b 1 u ca w s y c 1 c 1 T 2 ; e condções de Folgas complementares: v, e q ; em que 3 4 1, 2, 3, 4 0 são pequenas tolerâncas postvas, é atngdo então vá para o passo 10, pos a solução relaxada x, z, w, s, y obtda é ótma. Caso contráro, contnue. Passo 3: Fazer os cálculos ntermedáros do passo prevsor: f = u x - -z - ;t = b Ax ; u =c A T w -s +y ; v ex S e e q e ZYe; Passo 4: Calcular as dreções d, d, d, d e d do passo prevsor, defndas por:. x z w s y d A A A p u t d A d p u d d f T 1 T w ( ) ( ) ; x ( w ); z x ; 1 1 ds X ( v Sdx); dy Z ( q Ydz); em que ( X S Z Y ), e p Z Y f q X v. 1 1 Passo 5: Fazer os cálculos ntermedáros do passo corretor, atualzando os termos de segunda ordem das folgas complementares: v ex S ed D e q ez YeD D e x s z y em que: D Dag( d ), D Dag( d ), D Dag( d ), e D Dag( d ). x x s s z z y y Passo 6 : Atualzar as dreções d, d, d, d e d do passo corretor: x z w s y d A A A p u t d A d p u d d f T 1 T w ( ) ( ) ; x ( w ); z x ; 1 1 d s X ( v Sd x); d y Z ( q Yd z); Passo 7: Testar a lmtaredade: Se t 0, f 0, d, d 0, e t cd 0, então o problema prmal é x z x lmtado. Se u 0, d, d, d 0 e t bd 0, então o problema dual é lmtado. Se ambos os casos w s y w acontecem, então PARE e vá para o passo 10. Se d, d, d, d, d 0, então também PARE, x z w s y x, z, w, s, y são soluções ótmas dos problemas prmal e dual, respectvamente. Caso contráro r para o passo 8. Passo 8: Calcular os comprmentos dos passos prmal e dual, em que 0 1: P x z mn1,mn / dx 0,mn / dz 0 dx dz ; D s y mn1,mn / ds 0,mn / dy 0 ds dy 1069

9 Porto de Galnhas, Pernambuco-PE Passo 9: Determnar uma nova solução: 1 P 1 P 1 D x x d, z z d, w w d, x z w s s d e y y d. Atualzar +1 e vá para o Passo 2. 1 D 1 D s y Passo 10: O teste de ntegraldade proposto por Borchers e Mtchell (1992): Após o método prmal-dual de pontos nterores determnar uma solução ótma contínua para o problema, realze o segunte teste que ndcará se uma varável 0-1 é do tpo fraconára e deve ser ntegralzada pelo método Branch-and-Bound. Uma varável 0-1 é do tpo fraconára quando satsfaz as seguntes condções: Esses valores de desgualdade foram adotados, pos segundo os autores, as razões de y e s não tendem a zero tão rápdo quanto x e z tendem a um. Vá para o passo 11 e nce o procedmento branch-and-bound. Passo 11: Método Branch-and-Bound 11.1 Avalando o problema: Se a solução ótma encontrada do problema relaxado for ntera, então esta é solução ótma do problema orgnal. Senão, nce a lsta de subproblemas a serem avalados Ramfcação: Para as componentes que não satsfazem o teste de ntegraldade apresentada no passo 10 do algortmo proposto, utlza-se a segunte estratéga: x j, = 1,...,n e j = 1,..., são relaxadas e tratadas pela restrção 0 R As varáves restantes, dferentes de 0 ou 1, que anda não atenderam o crtéro de ntegraldade, e satsfazem o crtéro apresentado pelos autores ctados, devem ser ramfcadas, ou seja, dvddas em dos subproblemas: x 1 e x 0, para o níco do processo de separação e ramfcação Seleção do nó: Selecone um subproblema da lsta e resolva a relaxação corrente utlzando o método prevsor-corretor prmal dual de pontos nterores Avalando os nós: Percorra todos os nós, verfcando: a. Vabldade Se o problema é nvável, o nó é podado. Caso contráro, esta é consderada solução ótma do problema, e o valor da função objetvo para esta, torna-se um lmte para a otmaldade. b. Integraldade Se a solução assume valor ntero (0 ou 1), o nó é podado. Lembrando que, somente uma componente pode assumr o valor 1 para cada nível da árvore. Armazene sempre o menor valor da função objetvo encontrado. c. Otmaldade Se o valor da função objetvo obtdo através da solução for maor que um lmte encontrado, então o nó é podado. Observação: a cada poda, é escolhdo um novo subproblema em seleção do nó. d. Se o valor obtdo é fraconáro, uma nova ramfcação é feta, e os passos de 11.2 a 11.4 são fetos novamente Obtendo a solução: Após percorrer todos os nós, a solução que retorna o melhor valor factível da função objetvo, atendendo os crtéros de ntegraldade, vabldade e otmaldade, é a solução ótma 0-1 do problema. 4. Resultados Para encontrar as soluções váves de um problema teste relatvo ao modelo (2.8) e (2.9) posto a segur, o método PDBB fo mplementado computaconalmente em uma lnguagem C++ no ambente de programação Borland C++ Bulder

10 Porto de Galnhas, Pernambuco-PE Para efetuar cálculos ntermedáros e obter as soluções do problema multobjetvo nvestgado, utlzou-se os dados das Tabelas de 1 a 3, apresentadas por Lma (2009). A Tabela 1 apresenta as estmatvas por tpo de varedades, consderando10 varedades, em que V representa a estmatva do volume do palhço em toneladas da varedade ; PB, a produtvdade de palhço da varedade ; ECB,o poder calorífco útl do palhço produzdo pela varedade ; A, a produtvdade de açúcar fermentescível (POL) da varedade ; Q, a estmatva do volume do palhço por undade de área plantada da varedade ; F, a produtvdade de fbra da varedade ; e Pc é a produtvdade da cana-de-açúcar da varedade. A Tabela 2 apresenta os custos, consumos, e recomendações referentes às varedades, em que Cecc representa o custo para enlerar, compactar e carregar o palhço; Co, o consumo de combustível do camnhão usado no transporte do palhço; P, o preço de um ltro de combustível; Vc, a capacdade de carga do camnhão a ser usado no transporte do palhço; Ec EC, a energa consumda pelas máqunas para enlerar e compactar uma tonelada de resíduo; Ecc, a energa consumda pela máquna para carregar o camnhão com uma tonelada do resíduo; Ec T, a energa consumda pelo camnhão para o transporte do resíduo; P, a quantdade mínma recomendada de POL; e FI e FS a produção mínma e máxma de fbra. A Tabela 3 apresenta a área e a dstânca dos talhões à usna, consderando 14 talhões. As Tabelas de 1 a 3 são vstas a segur: Tabela 1: Estmatvas de valores por varedades Tabela 2: Custos e consumos de combustível e energa dos maqunáros utlzados para a coleta do palhço e recomendações de teores de Pol e fbra da cana-de-açúcar Tabela 3: Área e Dstâncas dos Talhões até as usnas 4.1 Interpretando os resultados Na lteratura uma solução ótma para o modelo multobjetvo é consderada utópca, uma vez que em geral os objetvos são confltantes. Em nosso caso a melhor solução para a maxmzação da geração de energa através da bomassa resdual da cana sera a por solução para a mnmzação do custo total da colheta da cana de açúcar e coleta do palhço, e vce e versa. Nesse trabalho, dante dessa dfculdade, foram utlzadas as estratégas da soma ponderada e do ε-restrto canalzado, defndos de (2.10) a (2.12), respectvamente, a fm de transformar o modelo multobjetvo (2.8) em conjunto de problemas mono-objetvo. Com sso, aplcando o método PDBB, vsto na Seção 3, a esta sére de problemas, pode-se obter um conjunto de soluções efcentes, as quas determnam a curva de Pareto ótma. 1071

11 Porto de Galnhas, Pernambuco-PE O problema (2.10) fo resolvdo através de uma ponderação das funções objetvo a partr da varação de. O tempo computaconal gasto para a determnação do conjunto de soluções efcentes destes subproblemas fo de menos de 60 segundos. A Fgura 4.1 mostra a curva de Pareto formada pelos resultados obtdos à aplcação do método PDBB em conjunto com essa estratéga A Fgura 4.1 apresenta a curva de Pareto referente à aplcação do método PDBB a este problema, construído de acordo com os valores das funções objetvo apresentados na Tabela 4. Na Tabela 5 são apresentadas as varedades seleconadas pelo método PDBB para o planto em cada talhão, a partr da varação de α Curva de Soluções Efcentes TABELA 4: Valores das funções objetvo obtdos pelo método PDBB a partr da estratéga da soma ponderada Energa Soma Ponderada 0 Custo FIGURA 4. 1: Curva de soluções efcentes obtda pelo método PDBB a partr da estratéga da soma ponderada. TABELA 5: Varedades determnadas pelo método PDBB para o planto nos talhões para cada valor de Podemos perceber pela Fgura 4.1 que exste uma regão do gráfco em que o método da soma ponderada e o PDBB ncalmente aplcados não determnaram soluções efcentes para a curva de Pareto. Apesar da varação de α não fo possível encontrar soluções para esse espaço. Assm fo utlzada a estratéga do ε-restrto canalzado (2.11) e (2.12), para que esse método em conjunto com o PDBB pudesse encontrar novas soluções efcentes que antes não foram determnadas pelo método da soma ponderada. Para a determnação do conjunto de soluções efcentes destes subproblemas, o método gastou um tempo computaconal menor do que 2 mnutos de tempo de processamento. A Fgura 4.2 apresenta a curva de Pareto ótma referente à aplcação do método PDBB a este problema, construído de acordo com os valores das funções objetvo apresentados na Tabela 6. A Tabela 7 apresenta quas varedades foram seleconadas para o planto em cada talhão agora com os novos valores de ε mn e ε max utlzados em (2.12) Energa Curva de Soluções Efcentes Soma Ponderada ε-restrto Canalzado 0 Custo FIGURA 4.2: Curva de soluções efcentesobtda pelo método PDBB a partr da estratéga da soma ponderada e do ε-restrto canalzado. TABELA 6: Valores das funções objetvo obtdos pelo método PDBB a partr da estratéga da ε Canalzado

12 Porto de Galnhas, Pernambuco-PE TABELA 7: Varedades determnadas pelo PDBB para planto nos talhões para cadavalor de ε Canalzado. As Fguras 4.1 e 4.2 mostram um gráfco que apresenta uma relação entre os valores de custo e balanço de energa total, obtdas, respectvamente, pelos métodos da soma ponderada e ε-restrto canalzado. Os objetvos apresentados são confltantes, ou seja, a melhor solução de um é a por do outro e vce-versa. O método híbrdo PDBB, da soma ponderada e ε-restrto canalzado fo efcaz para a obtenção das soluções efcentes determnadas e a melhor solução para a empresa de cana-de-açúcar deve ser escolhda de acordo com o momento e nteresse econômco desta. 5. Conclusões Fo desenvolvdo neste trabalho um procedmento híbrdo envolvendo os métodos Prmal-Dual de Pontos Interores e Branch-and-Bound (PDBB), assocados a uma nova estratéga de resolução de problemas multobjetvo envolvendo os métodos da soma ponderada e do ε-restrto Canalzado. O algortmo do método PDBB fo mplementado no software Borland C++ Bulder 6.0, e fazendo uso dessas estratégas que fo utlzado à resolução do modelo multobjetvo de custo de coleta e geração de energa da bomassa da cana-de-açúcar. Neste sentdo, o método híbrdo proposto fo utlzado com sucesso para resolver um problema teste contendo 10 varedades e 14 talhões. A utlzação do método proposto ε- Restrto Canalzado, assocado ao método da soma ponderada e ao PDBB mostrou-se efcaz para a obtenção das soluções efcentes no sentdo de Pareto ótmo e os resultados obtdos revelaram o bom desempenho desse método, mostrando a vabldade de se utlzar esta técnca de otmzação para auxlar as usnas na seleção de varedades a serem plantadas, de tal forma a otmzar o processo, respetando-se as restrções de produção caracterzadas no modelo. 6. Agradecmentos Agradecemos a CAPES e FAPESP (processo 2014/ ) pelo apoo fnancero à realzação deste projeto. Referêncas Bblográfcas BEEHARRY, R.P. Carbon balance of sugarcane bo energy systems.bomass & Bo energy, New Yor, v. 20, p , BORCHES, B.; MITCHELL, J. E., Usng an nteror pont method n a branch and bound algorthm for nteger programmng. Techncal Report 195, Mathematcal Scences, Resselaer Polytechnc Insttute, Troy, NY 12180, March 1991, Revsed July 7, CULTIVAR, Impactos ambentas das quemadas de cana-de-açúcar. :Dsponível em DEB, K. Mult-objectve optmzaton usng evolutonary algorthms. John-Wlley& Sons Ltda, JONES, D.; TAMIZ, M. Practcal Goal Programmng, Edtora Scence+Busness Meda, Londres, FLORENTINO, H. O.,Programação lnear ntera em problemas de aprovetamento da bomassa resdual de colheta da cana-deaçúcar. 64f. Tese (Lvre Docênca) Insttuto de Bocêncas de Botucatu, Unversdade Estadual Paulsta, Botucatu, SP, FLORENTINO, H. O.; LIMA, A. D; CARVALHO L.; BALBO, A. R.; HOMEM, T. P. D., Multobjectve0-1 nteger programmng for the use of sugarcane resdual bomass n energy cogeneraton. Internatonal Transactons n Operatonal Research, v.18, p , HOMEM, T.P.D.; BALBO, A. R.; SILVA, H. O. F., Optmal energy generaton wth bomass of sugar cane harvest.revsta IEEE Amérca Latna, v.1, p , KOJIMA, M., MIZUNO, S. e YOSHISE, A. Progress n mathematcal programmng: nteror-pont and related methods, chapter A prmal-dual nteror-pont method for lnear programmng, pages Sprnger-Verlag, New Yor, LIMA, C., Métodos Híbrdos de Pontos Interores e de Programação Intera 0-1 para problemas de custo de Colheta da cana de açúcar e custo de coleta e geração de energa relaconados à sua bomassa. Dssertação (Mestrado em Engenhara Elétrca), Faculdade de Engenhara, Unversdade Estadual Paulsta.Bauru, LIMA, A. D., Otmzação do aprovetamento do palhço de cana-de-açúcar. Tese (Doutorado em Energa na Agrcultura), Faculdade de Cêncas Agronômcas, Unversdade Estadual Paulsta, Botucatu, SP, MEHROTRA, S.On the mplementaton of a prmal dual nteror pont method. SIAM Journal on Optmzaton, RIPOLI, T. C. C. RIPOLI, M. L. C., Bomassa de cana-de-açúcar: colheta, energa e ambente. Praccaba SP, TOLENTINO, G., Programação Lnear Intera Aplcada ao Aprovetamento do Palhço da Cana-de-Açúcar. Dssertação (Mestrado em Agronoma/Energa na Agrcultura), Faculdade de Cêncas Agronômcas, Unversdade Estadual Paulsta, Botucatu, SP, ÚNICA Dsponível em: Unão da Agrondústra Canavera de São Paulo. 1073