APLICAÇÃO DE ALGORITMOS GENÉTICOS AO PROBLEMA DE COBERTURA DE CONJUNTO

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1 A pesqusa Operaconal e os Recursos Renováves 4 a 7 de novembro de 2003, Natal-RN APLICAÇÃO DE ALGORITMOS GENÉTICOS AO PROBLEMA DE COBERTURA DE CONJUNTO Ademr Aparecdo Constantno Unversdade Estadual de Marngá - Departamento de Informátca Av. Colombo, 5790, CEP , Marngá-PR e-mal: ademr@dn.uem.br Paulo Alexandre dos Res Unversdade Estadual de Marngá - Departamento de Informátca e-mal: pares@dn.uem.br Canddo Ferrera Xaver de Mendonça Neto Unversdade Estadual de Marngá - Departamento de Informátca e-mal: xaver@dn.uem.br Maurco Fernandes Fgueredo Unversdade Estadual de Marngá - Departamento de Informátca e-mal: maurco@dn.uem.br Resumo O Problema de Cobertura de Conuntos (PCC) tem um mportante papel dentro da Pesqusa Operaconal e surge em mutos problemas prátcos. O obetvo deste artgo é apresentar um algortmo heurístco baseado em Algortmos Genétcos para a resolução do PCC. O algortmo é ncalzado com uma população gerada por um algortmo guloso randomzado. Um novo operador de cruzamento e um novo operador de mutação adaptatvo foram ncorporados ao algortmo para ntensfcar a busca. O algortmo fo testado com uma classe de problemas de custos não untáros da OR-Lbrary, sem aplcar técncas de redução do problema, o qual apresentou resultados melhores que os encontrados na lteratura. Palavras chaves: cobertura de conunto, heurístca, Algortmos Genétcos Abstract The Set Coverng Problem (SPC) plays an mportant role n Operatonal Research snce t can be found as part of several real world problems. In ths work we report the use of a genetc algorthm to solve SCP. The algorthm starts wth a populaton chosen by a randomzed greedy algorthm. A new crossover operator and a new adaptve mutaton operator were ncorporated nto the algorthm to ntensfy the search. Our algorthm was tested for a class of non-uncost SPC obtaned from OR- Lbrary wthout applyng reducton technques. The algorthms found solutons better than the ones found n the lterature. Keywords: set coverng, heurstc, Genetcs Algorthms 1 O Problema de Cobertura de Conuntos (PCC) O Problema de Cobertura de Conuntos (PCC) - ou Set Coverng Problem - é um problema de otmzação defndo como segue. Denote-se I = {1,2,..., m} e J={1, 2,..., n} conuntos de índces. Sea Γ={ P I, J}, tal que, I =. Sea c é um custo assocado ao conunto P. Defne-se de U P J cobertura um subconunto J* J tal que I = U P com custo C * = J* c J *. O PCC consste em encontrar

2 uma cobertura de custo mínmo. Tal problema pode ser formulado como um problema de programação matemátca da segunte forma: Mnmzar Sueto a n c = 1 n = 1 x a x (1) x 1 = 1, 2,..., m (2) { 0,1} = 1, 2,..., n (3) Onde A é uma matrz-(0,1) m n, tal que, a =1 se e somente se P e a =0 em caso contráro. A varável x é a varável de decsão do problema que ndca se a coluna fo seleconada (x = 1) ou não (x = 0). Note que I e J representam os conuntos de índces de lnhas e colunas, respectvamente, da matrz A. Além dsso, P representa o vetor da coluna da matrz A. É conhecdo que o problema de decsão do PCC é da classe NP-completo (Garey e Johnson, 1979). Váras aplcações de PCC podem ser encontradas na lteratura, tas como: escalonamento de condutores de empresa de transporte (Desrochers e Soums, 1989), locação de undades emergencas (Toregas et al, 1971), balanceamento em lnha de montagem (Salveson, 1955), entre outras. Além da complexdade teórca, nessas aplcações, é muto comum que o problema tenha centenas de lnhas e mlhares de colunas. Portanto, por essas característcas é perfetamente recomendado o uso de algortmos heurístcos para a resolução do PCC. Na lteratura podem ser encontrados város trabalhos explorando algortmos heurístcos para a solução do problema de cobertura de conunto. Chvàtal (1979) fo um dos prmeros trabalhos utlzando algortmos gulosos (greedy). Balas e Ho (1980) também propuseram um algortmo guloso baseado em cnco novas funções gulosas. Posterormente, surgu o trabalho de Vasco e Wlson (1984) que explorou as heurístcas de Chvàtal e Balas e Ho, adconando novas funções gulosas e um procedmento de remoção de colunas redundantes da solução vável. Feo e Resende (1989) propuseram uma varação não-determnístca da heurístca de Chvàtal conugando com busca local. Beasley (1990a) e Haddad (1997) desenvolveram algortmos baseados em heurístcas lagrangeanas. Jacobs e Brusco (1993) nvestgaram a aplcação de smulated annelng. Mas recentemente, Bealey e Chu (1996) e Al-Sultan et al (1996) desenvolveram algortmos baseados em Algortmos Genétcos, dos quas o prmero fo o que apresentou os melhores resultados entre todos trabalhos encontrados na lteratura. Neste trabalho, fo desenvolvdo um algortmo heurístco baseado em Algortmos Genétcos que será apresentado em detalhes na seção segunte. 2 O algortmo A segur serão apresentadas as mplementações dos operadores genétcos, assm como representação computaconal da população e dos cromossomos. 2.1 Função de aptdão Em algortmos genétcos é comum consderar a medda de aptdão de um ndvíduo como sendo um valor postvo. Todos as nstâncas do problema utlzadas neste trabalho possuem somente custos postvos. Assm, a função de aptdão deste trabalho corresponde exatamente à função obetvo de cada PCC. 2.2 Esquema de Codfcação Uma forma natural e bastante utlzada na lteratura é a codfcação da estrutura (solução) na forma de um vetor bnáro, cuo tamanho é gual ao número de colunas da matrz de coefcentes do PCC (Lopes, 1995; Al-Sultan et al 1996) onde a posção assume valor 1 se a coluna fazer parte da solução, e 0 em caso contráro. Essa codfcação é nefcente consderando que o número de colunas de uma solução raramente ultrapassa a metade do número total de colunas da matrz de coefcentes. 1407

3 Dessa forma, optou-se por utlzar uma codfcação na forma de conunto cobertura S J contendo os índces das colunas pertencentes à solução, cua codfcação computaconal fo através de lsta dnâmca. 2.3 Estrutura de dados Na lteratura e nas aplcações prátcas é bastante comum encontrar problemas de cobertura de conunto de baxa densdade (matrz esparsa). Dessa forma, optou-se por uma codfcação compacta e mas efcente através de um vetor M=[m ], onde m =P, J. Neste caso, a mplementação computaconal de m também fo através de lsta dnâmca. Quanto à representação da população, também, utlzou-se de uma mplementação em lsta dnâmca contendo todas as soluções (estruturas) em ordem decrescente de seu custo (aptdão). Aqu a população será denotada por um conunto Pop={S l J, l=1,2,..., Npop}, onde Npop= Pop. 2.4 População Incal. A população ncal na maora dos casos de aplcação de algortmos genétcos é gerada de manera totalmente aleatora. Neste trabalho, fo utlzado um algortmo de construção aleatorzado, baseado em um algortmo guloso (greedy), para gerar cada estrutura da população. Dessa forma, a população gerada será consttuída somente de soluções váves. Experêncas com esse processo demonstraram melhores resultados ao nvés de gerar a cada ndvíduo aleatoramente. O algortmo para gerar a população ncal é formalmente descrto a segur: α = o conunto de colunas que cobrem a lnha, I ; β = o conunto de lnhas cobertas pelo coluna, J ; Função GerarIndvduo; S φ ; // S é o conunto de colunas na solução U I ; // U é o conunto de lnhas não cobertas w 0, I ; // w é o número de colunas em S que cobrem a lnha, S Enquanto (U φ ) faça Selecone aleatoramente uma lnha U ; Selecone uma coluna α que mnmze c / U β ; S S { } ; w w + 1, β ; U U β ; Retorne S. Ao fnal da construção, na solução encontrada pode haver colunas redundantes, cua remoção não afeta a vabldade da solução. O procedmento de elmnação de redundâncas é dado a segur. Função ElmnarRedundanca(S); T S; Enquanto (T φ ) faça Selecone aleatoramente uma coluna, T T { } ; Se ( w 2, β ) então T ; 1408

4 Retorne S. S S { } ; w w 1, β ; Ao fnal desse processo teremos um ndvíduo (solução) que deve ser avalado e nserdo na população ncal. A construção da população ncal consste na repetção desses passos até terem sdo gerados NPop ndvíduos. Função GerarPopulacaoIncal; Pop φ ; // população do algortmo genétco t 0 ; // número de ndvíduos na população Repetr S GerarIndvduo; S ElmnarRedundanca(S); Pop Pop S mantendo a ordenação dos ndvíduos; t t+ 1 ; até ( t > NPop). { } 2.5 Seleção O prncípo de seleção dos ndvíduos para partcparem do cruzamento é baseado no método de classfcação (rankng). Dada a população com Npop ndvíduos, a probabldade de seleção de um ndvíduo para partcpar do cruzamento é proporconal à sua posção relatva na população, ou sea, a probabldade de seleção de um cromossomo S l Pop é dada por: l 2l ps ( l ) = = Npop Npop( Npop + 1) k k = 1 Dessa forma, o ndvíduo menos apto (o prmero da população) terá a menor probabldade de ser seleconado. Observe que o valor da equação 4 é muto smples e rápdo de ser calculado e não necessta ser atualzado a cada vez que a população for modfcada (supondo um tamanho fxo da população) como é feto no método da roleta. (4) 2.6 Cruzamento Esse operador consste em seleconar dos ndvíduos, unndo as estruturas de ambos, crando uma tercera estrutura (solução). Então, o algortmo de elmnação de redundânca é aplcado. Assm, gera-se um ndvíduo flho. Função Cruzamento; X Seleconar; // Seleconar o prmero ndvíduo pa Y Seleconar; // Seleconar o segundo ndvíduo pa Z X Y ; Z ElmnarRedundanca(Z); Retorne Z. // novo ndvíduo 2.7 Mutação Varável O obetvo é mplementar um operador de mutação com taxa varável para evtar estagnação da população de soluções, ou sea, que todas as soluções seam guas e, com sso, ntensfcar a busca pela melhor solução. 1409

5 O obetvo na mutação é dar a oportundade de nserr característcas não presentes nas estruturas pertencentes à população e, também, evtar a convergênca prematura da população de soluções. O procedmento de mutação consste em seleconar um número, proporconal ao tamanho da solução, de colunas de J e nser-las na solução. Posterormente, o algortmo de elmnação de redundânca é aplcado. Tal procedmento é resumdo abaxo. Função Mutação(S); Selecone aleatoramente, [ 0,1] λ λ ; Para k 1 to λ S faça Selecone uma coluna, S S {} ; S ElmnarRedundanca(S); Retorne S. J ; Smlarmente ao que ocorre no processo natural, a mutação não ocorre em todos os ndvíduos, mas exste uma probabldade de ocorrer chamada de taxa de mutação (TxM). Tradconalmente, é utlzada nos algortmos genétcos uma taxa de mutação constante, mas aqu fo proposto o uso de uma taxa de mutação varável que aumente de acordo com a convergênca da população. Assm, utlzou-se uma taxa de mutação varável calculada da segunte forma: TxM () t = 1 TxMnM ( NPop ) ( c1( t) c ( t) / c1( t) e (5) Onde: TxMnM = a taxa mínma de mutação (parâmetro); c t = o custo do ndvíduo menos apto da população na teração (ou geração) t; 1 () cnpop ( t ) = o custo do ndvíduo mas apto da população na teração t. Como se pode perceber, a taxa de mutação cresce conforme o custo do ndvíduo menos apto na população se aproxma do custo do melhor ndvíduo fazendo com que as mutações seam mas freqüentes, possbltando uma ntensfcação da busca. 2.8 Atualzação da População De acordo com os operadores de cruzamento e mutação apresentados, a população sempre será consttuída de soluções váves. Cada novo ndvíduo gerado é nserdo ou não na população de acordo com o seu custo, se este for melhor que o custo do ndvíduo menos apto, então, ele entra na população sando o menos apto, caso contráro, ele é descartado. Dessa forma, o algortmo genétco desenvolvdo é baseado na abordagem steady-state, pos cada novo ndvíduo gerado pode medatamente substtur um outro ndvíduo da população atual. Ao contráro da abordagem geraconal na qual a população ntera pode ser substtuída por uma nova população. 2.9 O algortmo genétco desenvolvdo Após ter sdo feta uma descrção dos operadores prncpas do algortmo genétco, esta seção apresenta o algortmo que resume todo o processo. Além dos parâmetros NPop, TxMnM, o algortmo também utlza um outro parâmetro denomnado de NMax, que estabelece um crtéro de parada baseado no número máxmo de terações sem que a população tenha sofrdo alterações. Nos 1410

6 expermentos realzados foram utlzados os seguntes valores: NPop= 500, TxMnM= 5%, NMax = Função AlgortmoGenetco; GerarPopulacaoIncal; t 0 ; Repetr S Cruzamento; ρρ ; Escolha aleatoramente um, [ 0,1] Se ( ρ < TxM(t)) então S Mutacao(S); Faça R receber a solução com o maor custo em Pop; Se (Avalar(S)<Avalar(R)) então Pop Pop R ; { } Pop Pop { S} ; // mantendo a ordenação da população Se (foram fetas modfcações na população) então t 0 ; senão t t+ 1 ; Até ( t > NMax). 3 Resultados Computaconas O algortmo apresentado neste artgo fo codfcado em Pascal e testado em um Pentum III 900 MHz. Os testes foram conduzdos sobre com uma coleção de dados ( 65 problemas) de város tamanhos e densdades obtdos da OR-Lbrary (Beasley, 1990b). Os resultados dos testes estão resumdos na Tabela 1. Para cada problema foram executados 10 testes. Para cada teste a tabela nforma o custo da função obetvo do melhor ndvíduo da população (célula com - sgnfca que o custo da solução fo gual ao da coluna Melhor Solução ). As colunas AG_B e AG_P nformam os desvos σ médos do algortmo de Beasley e Chu (1996) e do proposto por este trabalho, respectvamente. O desvo σ médo é calculado da segunte forma: σ = ( S S )/(10 S ), onde S é o 10 : = 1 o o valor da solução do -ésmo teste e S o é o valor da melhor solução conhecda segundo Beasley e Chu(1996). Salentando que, para os problemas de 4 a 6 e A a D os valores da solução ótma são conhecdos, enquanto que para os problemas de E a H o valor ótmo anda é desconhecdo. Tabela 1. Resultados Computaconas. Problema A melhor solução de cada teste Melhor AG_B AG_P Tempo de Solução a σ σ execução b ,16 0, ,00 0, ,00 0, ,00 0, ,00 0, ,00 0, ,05 0, ,02 0, ,33 0, ,00 0, ,00 0, ,50 0, ,88 0, ,04 0, ,00 0,

7 Tabela 1. Contnuação Problema A melhor solução de cada teste Melhor AG_B AG_P Tempo de Solução a σ σ execução b ,00 0, ,00 0, ,28 0, ,00 0, ,00 0, ,00 0, ,14 0, ,00 0, ,00 0, ,19 0,00 10 A ,12 0,43 36 A ,00 0,00 39 A ,22 0,34 41 A ,00 0,04 35 A ,00 0,42 28 B ,00 0,00 30 B ,00 0,00 31 B ,00 0,00 27 B ,00 0,00 25 B ,00 0,00 27 C ,00 0,22 71 C ,46 0,87 64 C ,40 0,08 56 C ,05 0,00 62 C ,05 0,00 41 D ,00 0,00 48 D ,00 0,00 51 D ,28 0,28 43 D ,00 0,00 48 D ,00 0,00 47 E ,00 0,00 4 E ,00 0,00 4 E ,00 0,00 7 E ,60 0,00 9 E ,00 0,00 7 F ,00 0, F ,00 0, F ,00 0, F ,00 0, F ,14-5, G ,73-0, G ,08-1, G ,65-0, G ,99-0, G ,83 0, H ,00 0, H ,00 0, H ,50-0, H ,17-0, H ,18 0, Soma 4,52-4, a Solução ótma ou a melhor solução conhecda obtda de Beasley e Chu (1996) para fns de comparação. b Tempo médo de execução em segundos. 1412

8 Convém salentar que nestes problemas não foram aplcadas técncas de redução do problema como sugere Garfnkel e Nemhauser (1972). Tomou-se essa decsão a fm ter o mesmo padrão de comparação com o trabalho de Beasley e Chu (1996). 4 Análse e Conclusão A soma dos desvos médos de AG_B e AG_P são 4,52 e 4,92, respectvamente. Isso sgnfca que, em méda, o algortmo proposto neste trabalho fo melhor que o algortmo proposto por Beasley e Chu (1996). Ademas, o tempo total do expermento fo de segundos em um computador Pentum III 900MHz, enquanto que o AG_B fo executado em Slcon Graphcs (R4000, 100MHz) em segundos de tempo total. A comparação de performance entre dferentes arquteturas de computador não é uma tarefa smples (Dongarra, 1992). Porém, a Slcon Graphcs 1 mostra que um computador R MHz tem performance aproxmadamente equvalente ao Pentum 66MHz usando SPEC Benchmark. Através de expermentos com o AG_P em computadores com processadores Pentum 66MHz, 166MHz, 233MHz e Pentum III 900MHz, pôde-se conclur que este últmo é aproxmadamente 15 vezes mas rápdo que o prmero. Dessa forma, se consderar essa medda como Benchmark, tem-se que = segundos é anda 30% nferor ao tempo consumdo por AG_B. Portanto, o algortmo AG_P mostrou ser lgeramente superor ao algortmo AG_B em dos aspectos: na qualdade das soluções e no tempo total de execução. Referênca Bblográfca. Al-Sultan, K.S., Hussan, M.F. e Nzam, J.S.. A genetc algorthm for set coverng problem. Journal of the Operatonal Research Socety, 47, pp , Balas, E. e Ho, A.. Set coverng algorthm usng cuttng planes, heurstcs, end subgradent optmzaton: a computatonal study. Mathematcal Programmng, 12, pp , Beasley, J.E. A lagrangan heurstc for set-coverng problems. Naval Research Logstc, 37, pp , 1990a. Beasley, J.E.. OR-Lbrary: dstrbutng test problems by electronc mal. Journal of the Operatonal Research Socety, 41, pp , 1990b. Beasley, J.E.. e Chu, P.C. A genetc algorthm for the set coverng problem. European Journal of Operatonal Research,, 94, pp , Desrochers, M., e Soums, F.,. A column generaton approach to the urban transt crew schedulng problem. Transportaton Scence, 23, pp. 1-13, Dongarra, J.J.. Performance of varous computers usng standard lnear equatons software. Computer Archtecture News, 20, pp , Feo, T. A. e Resende, M. G. C.. A probablstc heurstc for a computatonally dffcult set coverng problem. Operatons Research Letters, 8, pp , Garey, M.R. e Johnson, D.S.. Computers and Intractablty: A Gude to the Theory of NP- Completeness. Freeman, New York, Garfnkel, R.S. e Nemhauser, G.L.. Integer Programmng. New York. John Wley, Ghvàtal, V.. A greedy heurstc for the set coverng problem. Management Scence, 21, pp , Haddad, S. Smple lagrangan heurstc for the set coverng problem. European Journal of Operatonal Research, 97, pp , Slcon Graphcs Indy. Hstorcal Artcle, Acessado em 30 de mao de

9 Jacobs, L. W. e Brusco, J.J.. A smulated annealng-based heurstc for the set-coverng problem. Workng paper, Operatons Management and Informaton System Department, Northern Illnos Unversty, Lopes, L. S.. Uma heurístca baseada em algortmos genétcos aplcada ao problema de cobertura de conunto. Dssertação de Mestrado em Computação Aplcada INPE, Salveson, M. E.. The assembly lne balancng problem. Journal of Industral Engneerng, 6, pp , Toregas, C., Swan, R., Revelle, C., and Bergman, L.. The locaton of emergency servce facltes. Operatons Research, 19, pp , Vasko, F.J. e Wlson, G.R.. An Effcent Heurstc for Large Set Coverng Problems. Naval Research Logstc Quarterly, 31, pp , Agradecmentos: Ao suporte parcal do CNPq através dos processos n / PP e n /