ALGORITMO EXATO APLICADO AO PROBLEMA DE LOCALIZAÇÃO DE CONCENTRADORES EM ÁRVORE SOB CONGESTIONAMENTO

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1 ALGORITMO EXATO APLICADO AO PROBLEMA DE LOCALIZAÇÃO DE CONCENTRADORES EM ÁRVORE SOB CONGESTIONAMENTO Elsangela Martns de Sá Rcardo Sarava de Camargo Glberto Mranda Junor UFMG - Programa de Pós Graduação em Engenhara de Produção Av. Antôno Carlos, Pampulha CEP: Belo Horzonte - Mnas Geras - Brasl Resumo Este trabalho aborda o projeto de uma rede exo-rao com topologa de árvore que leva em consderação os efetos do congestonamento no projeto da rede. Este tpo de topologa de rede tem um grande apelo em sstemas de transporte e redes de telecomuncações onde o custo para nstalar cada conexão é muto alto, sendo convenente projetar uma rede com o menor número de conexões, ou seja, uma árvore. Uma formulação de programação não-lnear ntera msta é apresentada para modelar o problema. Para resolver o problema, são propostos um algortmo baseado em aproxmação externa e um algortmo híbrdo que ntegra o método de decomposção de Benders e um algortmo de aproxmação externa. Os resultados dos teste computaconas mostram a efcênca do algortmo proposto comparado ao aplcatvo comercal CPLEX. Palavras chave: Localzação de concentradores em árvore; Congestonamento; Aproxmação externa; Método de decomposção de Benders. Abstract Ths paper addresses the desgn of a hub-and-spoe networ wth a tree topology tang nto account the congeston effect durng the networ desgn. Ths nd of networ topology have a great appeal n transportaton systems and telecommuncaton networs where the cost to nstall each connecton s very large, beng convenent to desgn a networ wth fewest connectons, that s, a tree. We present a non-lnear programmng formulaton to model the problem. In order to solve t, a algorthm based 1560

2 on outer approxmaton and Benders decomposton method s proposed. The computatonal results shows the effcency of the proposed algorthms compared wth the general purpose solver CPLEX. KEYWORDS: Tree of hub locaton problem; Congeston; Outer approxmaton; Benders decomposton method. 1561

3 1 Introdução Um sstema exo-rao é uma topologa de rede usada para rotear fluxo entre város pontos de orgem e de destno. Neste tpo de rede, ao nvés de se estabelecer uma conexão dreta entre cada par de orgem e de destno, os pontos de demandas são conectados a nstalações ntermedáras, conhecdas como concentradores. Nos sstemas exo-rao, fluxos de dferentes orgens são agrupados nos concentradores, antes de serem encamnhados, possvelmente através de concentradores ntermedáros, ao seu destno fnal. Desta forma, os concentradores funconam então como pontos de tragem, agregação, roteamento e dstrbução. A combnação da agregação dos fluxos de demanda nos concentradores e seu roteamento na rede de concentradores, permtem o uso de meos de transportes maores e mas efcentes reduzndo o custo por undade transportada. Em outras palavras, economa de escala pode ser obtda (O Kelly, 1986, 1987). Este trabalho aborda o projeto de uma rede exo-rao com topologa de árvore. O problema de localzação de concentradores em árvore fo proposto por Contreras et al. (2009) e consste em projetar uma rede exo-rao onde os concentradores são nterconectados por meo de uma árvore e cada ponto de demanda é alocado a um únco concentrador (Fgura 1). Este tpo de topologa é adequado para modelar sstemas de transporte ou redes de telecomuncações onde o custo para nstalar uma conexão entre quasquer pares de concentradores é muto alto, sendo convenente projetar uma rede conexa, com o menor número de conexões possíves, sto é, uma árvore. Uma aplcação real de localzação de concentradores em árvore, ctada por Contreras et al. (2010), é o projeto de uma rede de trens de alta velocdade na Espanha. Esta rede, que deverá estar pronta por volta de 2020, tem o formato de árvore e fo projetada para que toda cdade com mas de habtantes esteja a um rao de 50 m de uma estação (concentradores). Nodos de demanda Concentradores Fgura 1: Ilustração de uma rede exo-rao com topologa de árvore. Apesar da potencal aplcação prátca, esta área de pesqusa anda é bem recente, exstndo, portanto, poucos trabalhos abordando esta topologa de rede. Gelareh (2008) aborda o projeto de uma rede exo-rao com topologa de árvore no contexto de projeto de rede de transporte públco apresentando uma formulação matemátca para modelar o problema cujo objetvo consste em mnmzar o custo total de transporte e o custo total de nfraestrutura. Desconsderando o custo de nstalação de nfraestrutura, Contreras et al. (2009, 2010) apresenta uma varante p-medana do PLCA, onde o número de concentradores a serem nstalados já é conhecdo a pror. Com o ntuto de propor métodos exatos para resolver o problema de larga escala em um tempo razoável, Sá (2011) propõe város algortmos baseados no método de decomposção de Benders (Benders, 1962). Onde, nstâncas 1562

4 com até 100 pontos de demandas são resolvdas de forma exata. Este trabalho propõe o problema de localzação de concentradores sob congestonamento que pretende explorar o efeto do congestonamento ao projetar a rede. Este tpo de abordagem é extremamente relevante uma vez que ao se projetar uma rede exo-rao sem levar em conta os efetos do congestonamento pode se subestmar o real custo do sstema. Além dsso, devdo aos grandes recursos fnanceros envolvdos, bem como o mpacto dreto nos custos operaconas e a efcênca dos servços oferecdos, é mportante modelar o sstema a ser projetado de forma mas realístca possível (Gelareh, 2008). Assm, é fundamental abordar os efetos do congestonamento durante o projeto do sstema. Neste trabalho, o cálculo do fluxo que contrbu para o congestonamento é baseado na abordagem de Ernst et al. (2009); Elhedhl & Hu (2005) que consderam apenas os fluxos orundos da rede de local. Em um contexto de transporte públco, como por exemplo em sstemas de metrôs ou trem de alta velocdade, este congestonamento é representado pela fla para compra do blhete de embarque. Este trabalho está organzado da segunte forma: a próxma seção apresenta uma formulação para modelar o problema; A seção 3 apresenta uma algortmo baseado em aproxmação externa e um algortmo híbrdo baseado em aproxmação externa e decomposção de Benders para resolver o problema. Os resultados dos testes computaconas comparando os algortmos proposto com o aplcatvo CPLEX são apresentados na seção 4. Fnalmente, a seção 5 apresenta uma conclusão deste trabalho. 2 Defnções e formulação Seja N e K os conjuntos de pontos de demanda e de pontos canddatos a tornar-se concentradores, respectvamente. Neste trabalho consdera-se que K N, sto é, todos os pontos de demandas são canddatos em potencas a concentradores. Para smplfcar a notação, no restante deste trabalho, os índce e j (, j N) serão usados para denotar os pontos de orgem e de destno, e os índces e m (, m K), concentradores. Seja w j a quantdade de fluxo que deve ser roteada da orgem até o destno j. Sendo assm, uma vez que a rede de concentradores consste em uma árvore não-drgda e cada ponto não-concentrador é alocado dretamente a um únco concentrador, então cada par de orgem-destno j está conectado por um únco camnho. Em outras palavras, as demandas w j e w j são roteadas através do mesmo camnho, sendo necessáro, portanto, consderar apenas o camnho onde < j. Para smplfcar a notação defn-se, também, O = j w j e D = j w j, o fluxo total que tem a sua orgem e destno, respectvamente, em. Com relação aos parâmetros do problema relaconados a custos, assoca-se à cada conexão entre dos pontos e j (, j N), um custo untáro de transporte c j > 0. Caso e j sejam concentradores então um fator de desconto α(0 α 1), representando a economa de escala, é aplcado, resultando no segunte custo untáro de transporte: αc j. Além do custo de transporte, defn-se por f o custo de localzar um concentrador no ponto. Com a fnaldade de levar em consderação os efetos do congestonamento, um custo não-lnear provenente do congestonamento é adconado à função objetvo. Para modelar o crescmento explosvo dos custo de congestonamento será utlzada a função power 1563

5 law, ntroduzda por (Gllen & Levnson, 1999), muto utlzada para modelar congestonamento em redes exo-rao (Elhedhl & Hu, 2005; R. S. Camargo et al., 2009). Seja g 0 uma varável de decsão que calcula o fluxo no concentrador orundo da rede local, então a função power law é dada por: τ(g ) = ag b, onde a e b são constante postvas (b 1). Além dsso, defn-se as varáves de fluxo x jm 0 para representar a quantdade de fluxo com o orgem em e destno j que é roteada através da conexão m; e varáves nteras z {0, 1} e y m {0, 1} que ndcam se ponto é alocado ao concentrador (z = 1) ou não (z = 0) e se a conexão entre concentradores m( < m) é utlzado para lgar os concentradores e m (y m = 1) ou não (y m = 0), respectvamente. Consdera-se que se um concentrador é nstalado no ponto, então z = 1, caso contráro, z = 0. Sendo assm, a formulação para o problema de localzação de concentradores em árvore sob congestonamento, baseada na formulação proposta por Contreras et al. (2009), é dada por: mn [ f z + τ(g )] + : = (O + D )c z + j:<j m:m = (αc m w j + αc m w j ) x jm (1) Sujeto a: z = 1 (2) z m + y m z < m (3) z m + y m z < m (4) y m = z 1 (5) m:m> g = O z (6) x jm + z m = : =m x jmr + z jm < j, m (7) r:r =m x jm z mm < j, m (8) : =m : =m x jm z mm < j, m (9) x jm + x jm y m, j, < m (10) x jm 0, j, = m (11) g 0 (12) y m, z {0, 1}, < m. (13) Onde a função (1) mnmza o custo de nstalação dos concentradores, custos de congestonamento e o custo total de transporte. As Restrções (2) asseguram que cada ponto não-concentrador seja alocado a um únco concentrador. Restrções (3) e (4) só admtem conexões envolvendo o concentrador, conexões entre um ponto não-concentrador e um concentrador ou conexões entre dos concentradores, se ele estver nstalado. Restrção (5) é necessára para garantr a formação de uma árvore. Restrções (6) contablza o fluxo local que entra no concentrador. Restrções (7) asseguram o balanceamento do fluxo. 1564

6 Restrções (8) e (9) garantem que o fluxo entre cada par de pontos, j pode usar apenas concentradores nstalados. Restrções (10) garantem que o fluxo entre cada par de pontos, j pode usar uma conexão entre concentradores somente se esta conexão estver nstalada. Por fm, a restrções (11)-(13) defnem o domíno das varáves do problema. 3 Método de resolução Devdo as característcas da formulação proposta como não-lneardade e decomponbldade do problema caso as varáves bnáras sejam fxadas um algortmo híbrdo baseado no método de decomposção de Benders (Benders, 1962) e aproxmação externa (Duran & Grossmann, 1986; Fletcher & Leyffer, 1996) é proposto para resolver o problema. A dea básca deste algortmo, proposto por R. S. de Camargo et al. (2011), consste na resolução do problema não-lnear utlzando a técnca de aproxmação externa (OA), do nglês outer aproxmaton, o que resulta em uma formulação de PLIM com um grande número de restrções e varáves. Esta formulação pode então ser resolvda através da projeção das varáves fraconáras x jm por meo de um procedmento de planos cortante, como o método de decomposção de Benders (BD). A dea central de ambos os métodos é decompor o problema orgnal em três problemas menores, problema mestre (PM) e dos subproblema, SP OA e SP BD, resolvendo-os teratvamente até que o lmte nferor orgnáro do PM convrja para o lmte superor provenente dos subproblemas. 3.1 Aproxmação externa (OA) Ao fxar o vetor de varáves (z, y, x) = (z h, y h, x h ), em uma dada teração h, este problema pode ser reduzdo a um problema de programação não-lnear puro que é dado por: mn τ(g ) (14) s.t.: g = O z h (15) g 0. (16) O subproblema acma é trval de ser resolvdo uma vez que o custo de congestonamento está uncamente defndo a partr das varáves z. A partr de uma solução g h do (sub)problema acma pode-se nferr o gradente da função τ(g) em (z h, y h, x h, g h ). Uma vez que a não-lneardade da formulação proposta está restrta apenas a função objetvo, então o problema (1)-(13) pode ser reformulada através de aproxmação externa, dando orgem ao segunte PM OA: mn [ f z + ξ ] + : = (O + D )c z + j:<j m:m = (αc m w j + αc m w j ) x jm (17) 1565

7 s.t.: (2) (13) (18) ξ τ(g h ) + τ (g h )(gh g ) N, h H (19) ξ, 0. (20) Onde, H é o número de terações e as restrções (19) são os cortes OA. Defnndo, LS e LI como sendo os lmtes nferores e superores, respectvamente, então um método de aproxmação externa para resolver o problema proposto é apresentado no Algortmo 1. Algortmo 1: Algortmo OA 1 Faça LS = +, LI = 2 Se LS LI < ɛ, então pare. Fm da execução, a solução ótma fo obtda. 3 Resolva o PM OA, obtendo o valor ótmo das varáves z. 4 Faça LI = S PM e atualze z no subproblema (14)-(16). 5 Adcone os corte OA (19) ao PM OA. 6 Faça: LS = mn{ls, SP + f z + = j m (αc m w j + αc m w j ) x jm }. <j m = (O + D )c z + Uma vez que a formulação para o PM OA é uma formulação de PLIM com estrutura decomponível, ou seja, ao fxar as varáves complcantes z e y m, o problema resultante pode ser decomposto em (n 2 n)/2 subproblemas de roteamento; logo o método de decomposção de Benders parece ser adequado para resolver o problema. 3.2 Método de decomposção de Benders (BD) O método de decomposção de Benders (Benders, 1962) fo proposto para resolver problemas de programação matemátca que possu um conjunto de varáves dtas complcantes, sto é, dado que este conjunto de varáves esteja fxado problema resultante é mas maleável. A dea básca do método é decompor o problema orgnal em dos problemas mas smples: um problema composto pelas varáves nteras e uma varável fraconára adconal, conhecdo como problema mestre, e um problema lnear, conhecdo como subproblema de Benders, que é problema orgnal com as varáves complcantes fxadas. O algortmo resolve os dos problemas teratvamente. Gerando a cada teração uma restrção, conhecda como corte de Benders, que é adconado ao PM. O algortmo para quando os lmtes nferores (LI), solução ótma do problema mestre, e superores (LS) obtdo ao resolver o SP convrjam para a solução ótma do problema orgnal, ou seja, LI=LS. Sendo assm, ao fxar as varáves nteras z, y m, tem-se o segunte o segunte subproblema de Benders (SP BD): 1566

8 max j:<j [ m [(z h jm zh m )u jm z h mm(s jm + t jm )] s. a: u jm u j e jm s j t jm + (w j + w j )v m α(c m w j + c m w j ) u jm u j e jm s j t jm + (w j + w j )v m α(c m w j + c m w j ) m:m> y h m e jm] (21) < m (22) < m (23) u jm R m (24) s jm 0 m (25) t jm 0 m (26) e jm 0 < m (27) Onde este subproblema é defndo como o dual do problema orgnal com as varáves bnáras temporaramente fxadas. Sendo assm, este subproblema rá fornecer sempre um lmte superor para a solução ótma. Usando a função objetvo do SP BD para montar os cortes de Benders, tem-se o segunte problema mestre de Benders (PM): mn [ f z + ξ ] + : = (O + D )c z + η (28) s.t.: (2) (6), (12) (13) e (19) (20) (29) η [(z jm z m )ujm h z mm(sjm h + th jm )] m 0 [(z jm z m )u g jm z mm(s g jm + tg jm )] m m:m> m:m> y m e h jm h (30) y m e g jm g (31) η 0. (32) Onde as restrções (30) são conhecdas como cortes de otmaldade, e são geradas sempre que a solução ótma do SP BD é lmtada; enquanto as restrções (31) são os cortes de vabldade, e são geradas quando a solução do SP BD é lmtada. Conforme apresentado em Sá (2011) a versão clássca do método de decomposção não é muto efcente para resolver o problema de localzação de concentradores em árvore. Portanto, neste trabalho uma versão aprmorada de Benders baseada no algortmo λ-ótmo proposto por Sá (2011) é mplementada. A dea básca deste algortmo é gerar a cada teração cortes adconas o mas forte possível, conhecdos como cortes Pareto-ótmo (Magnant & Wong, 1981), que não são domnados por nenhum outro corte. Para a geração destes novos cortes, o segunte subproblema, proposto por Papadaos (2008), é utlzado. max m ((z 0 jm z0 m )u jm z 0 mm(s jm + t jm )) m m> y 0 m e jm (33) s. a: (22) (27), m : < m. (34) 1567

9 Onde, (z 0, y 0 ) é um ponto, conhecdo como core pont, que pertence ao nteror relatvo da casca convexa do poledro formado pelas restrções do PM. Levando em conta que a cada teração este poledro muda, uma vez que, novas restrções são adconadas ao problema. Então, a segunte estratéga, também proposto por Papadaos (2008), é utlzada para atualzar o core pont (z 0, y 0 ) h na teração h. (z 0, y 0 ) h+1 = λ(z 0, y 0 ) h + (1 λ)(z, y) h (35) Caso (z, y) h, a solução corrente do problema, seja uma solução prmal vável, então qualquer valor para λ (0 < λ < 1) pode ser utlzado. Caso contráro o valor de λ é calculado usando a estratéga λ-ótmo proposta por Sá (2011) que consste em resolver um subproblema adconal para encontrar um valor para λ (0 < λ < 1) tal que a atualzação do core pont usando a equação (35) resulta em um novo core pont vável. Sendo assm, um algortmo híbrdo que combna as técncas de aproxmação externa e método de decomposção de Benders com adção de cortes Pareto-ótmo e atualzação de core pont va λ-ótmo, é apresentado no Algortmo 2. Algortmo 2: Algortmo híbrdo para resolução do PLCAC 1 Faça LS = +, LI = 2 Se LS LI < ɛ, então pare. Fm da execução, a solução ótma fo obtda. 3 Resolva o subproblema (33)-(34) para cada par j: adcone ao PM um corte Pareto-ótmo (30) 4 Resolva o PM, obtendo o valor ótmo das varáves z e y m 5 Atualze z e f m no SP OA (14)-(16) 6 Adcone os corte OA (19) ao PM OA 7 Atualze z e y m no SP (21)-(27) 8 Resolva o SP (21)-(27) para cada par j: 9 Se o SP for lmtado, adcone ao PM um corte de vabldade de Benders usando (31) Caso contráro, adcone ao PM um corte de otmaldade usando (30) 10 Se os SP for lmtado, então faça: LS =mn{ls, SP + f z + (O + D )c z }. Caso contráro, resolva o problema λ-ótmo = 11 Atualze os core ponts usando (35) e volte ao passo 2. 4 Testes computaconas Os testes foram fetos usando um conjunto de nstâncas padrão da lteratura: conjunto AP do servço postal australano ntroduzdo por Ernst & Krshnamoorthy (1996). Cada nstânca AP é denotada por APn.α onde n é o número de pontos de demanda e α pode assumr o valor 2, 4, 6 e 8 para representar um fator de desconto de 0.2, 0.4, 0.6 e 0.8. Foram fetos dos tpos de testes: um prmero conjunto de teste que tem como fnaldade analsar a topologa da rede consderando dferentes níves de congestonamento e um segundo conjunto que tem objetva a avalação da efcênca dos algortmos propostos. 1568

10 Consderando a dependênca do congestonamento no sstema com relação a capacdade do mesmo, deve-se levar em conta que os efetos do congestonamento começa deterorzar o nível de servço quando o fluxo atnge um lmar de m% da capacdade do sstema. Neste trabalho é consderado o lmar de 70% da capacdade. Sendo assm, baseado na função power law o custo de congestonamento em um dado concentrador é defndo por: τ(g ) = max{0, a(g 0.7Γ ) b }. Em todos os testes o valor de b é fxado em 2, logo a power law é uma função quadrátca, enquanto o valor de a é varado para abordar dferentes níves de custo de congestonamento. Onde, três níves são abordados: sem congestonamento (a = 0.0), e dos níves de congestonamento (a = 0.01 e a = 0.1). A Fgura 2 apresenta a topologa da rede ao varar o nível dos custos de congestonamento. De acordo com a fgura, pode-se comprovar a mportânca de se abordar os efetos do congestonamento durante o projeto da rede, uma vez que, estes custos nfluencam fortemente o desenho da rede. De acordo com as confgurações apresentadas na fgura, exste uma tendênca de se aumentar o número de concentradores nstalados conforme o custo do congestonamento aumenta reduzndo a sobrecarga dos mesmos a) a = 0.00 b) a = 0.01 c) a = Fgura 2: Confgurações da rede para dferentes níves de congestonamento Com o objetvo de avalar o desempenho dos algortmos propostos, Algortmo 1 (OA) e Algortmo 2 (OA+BD), foram fetos um conjunto testes comparando ambos os algortmos com o aplcatvo comercal CPLEX. Todos os testes foram executados em um computador 1260 Xeon Westmere 2,66 GHz e 24 GB de memora usando o sstema operaconal Lnux. Todos os problemas apresentados foram mplementado em C++ usando a bbloteca Concert Technology CPLEX Os testes foram fetos adotando como crtéro de parada o tempo lmte de segundos, ou seja, 4 horas de processamento. A Tabela 1 apresenta os resultados dos testes computaconas para nstâncas AP10 e AP20. Onde as colunas: n apresenta o número de pontos de demanda; α, a economa de escala; a, o fator de congestonamento; p, o número de concentradores que foram nstalados; Cong.custo, a partcpação do custo de congestonamento no custo total; e #Iter, o número de terações dos algortmos propostos. De acordo com a tabela, pode-se observar que conforme o nível do custo de congestonamento aumenta o número de concentradores

11 nstalados também aumentam. Além dsso, pode-se perceber que a partcpação do custo de congestonamento no custo total (Cong. custo) é nfluencado tanto pelo nível do custo de congestonamento (parâmetro a) quanto pelo fator de economa de escala aplcado (α). Com relação ao desempenho computaconal dos algortmos, de acordo com a tabela, os algortmos propostos são capazes de resolver um maor número de nstâncas propostos que o aplcatvo CPLEX, sto é, enquanto o algortmo híbrdo OA+BD é capaz de resolver todas as nstâncas propostas, o algortmo OA é capaz de resolver vnte nstâncas dentre o total de 24 nstâncas propostas dentro do tempo lmte apresentando um gap de otmaldade médo de 45% para nstâncas não resolvdas na otmaldade. Já, o aplcatvo CPLEX resolve apenas dezesses nstâncas não sendo capaz de fornecer nenhum gap. Com relação ao tempo computaconal, com exceção de apenas uma nstâncas de 10 nodos, o algortmo OA+BD resolve todas as outras nstâncas em menor tempo computaconal. Tabela 1: Resultados computaconas usando nstâncas AP10 e AP20. n α a p Cong. CPLEX OA OA+BD custo Tempo[s] Tempo[s] OA GAP #Iter Tempo[s] #Iter % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % a Tempo lmte de exceddo. Para avalar melhor os algortmos propostos, a Fgura 3 apresenta uma gráfco em escala relatva apresenta a razão entre o tempo computaconal gastos pelo aplcatvo CPLEX e pelo algortmo OA para resolver o problema, sob o tempo gasto pelo algortmo OA+BD. Logo ele apresenta quão rápdo o algortmo OA+BD é se comparado com os outros algortmos. De acordo com a fgura o desempenho do algortmo OA+BD chega a ser até 50 vezes mas rápdo do que o CPLEX e até 10 vezes mas rápdo que o algortmo OA. Além dsso, de acordo com o gráfco pode-se conclur que o desempenho do algortmo OA é superor ao do solver CPLEX para a maora das nstâncas testadas. 1570

12 60 Tempo em escala relatva 50 Tempo relatvo AP AP AP AP AP AP AP AP AP AP AP AP AP AP AP AP AP AP AP AP AP AP AP AP CPLEX/OA+BD Instâncas OA/OA+BD Fgura 3: Gráfco de comparação do desempenho computaconal do algortmo OA+BD frente ao aplcatvo CPLEX e algortmo OA em escala relatva. 5 Conclusão Com o ntuto de melhor representar os custos no projeto de rede, este trabalho propõe o problema de localzação de concentradores em árvore sob congestonamento. Para modelar o problema uma formulação de programação não-lnear ntera msta é proposta. Para resolver o problema não-lnear são propostos dos algortmos baseados em métodos de decomposção, aproxmação externa (OA) e aproxmação externa com decomposção de Benders (OA+BD). Os algortmos propostos são comparados com o aplcatvo comercal CPLEX, comprovando a superordade dos dos algortmos para resolver as nstâncas testadas. Ao comparar os algortmos OA e OA+BD, o resultado dos testes computaconas mostram que o segundo apresenta melhor desempenho resolvendo todas as nstâncas testadas em menor tempo. Referêncas Benders, J. F. (1962). Parttonng procedures for solvng mxed-varables programmng problems. Numersch Mathemat, 4, Camargo, R. S., Mranda Jr, G., Ferrera, R., & Luna, H. P. (2009). Multple allocaton hub- 1571

13 and-spoe networ desgn under hub congeston. Computers and Operatons Research, 36, Camargo, R. S. de, Mranda Jr., G. de, & Ferrera, R. P. (2011). A hybrd outerapproxmaton/benders decomposton algorthm for the sngle allocaton hub locaton problem under congeston. Operatons Research Letters, 39(5), Contreras, I., Fernández, E., & Marín, A. (2009). Tght bounds from a path based formulaton for the tree of hub locaton problem. Comput. Oper. Res., 36(12), Contreras, I., Fernández, E., & Marín, A. (2010). The tree of hubs locaton problem. European Journal of Operatonal Research, 202, Duran, M., & Grossmann, I. E. (1986). An outer-approxmaton algorthm for a class of mxed nteger nonlnear programms. Mathematcal Programmng, 36, Elhedhl, S., & Hu, F. X. (2005). Hub-and-spoe networ desgn wth congeston. Computers & Operatons Research. (To appear) Ernst, A. T., Hamacher, H., Jangc, H., Krshnamoorthy, M., & Woegngerd, G. (2009). Uncapactated sngle and multple allocaton p-hub center problems. Computers and Operatons Research, 36(7), Ernst, A. T., & Krshnamoorthy, M. (1996). Effcent algorthms for the uncapactated sngle allocaton p-hub medan problem. Locaton Scence, 4, Fletcher, R., & Leyffer, S. (1996). Solvng mxed nteger nonlnear programs by outer approxmaton. Mathematcal Programmng, 66, Gelareh, S. (2008). Hub locaton models n publc transport plannng. Unpublshed doctoral dssertaton, Unversty of Saarlandes, Germany. Gllen, D., & Levnson, D. M. (1999). Full cost of ar travel n the calforna corrdor. Presented n the 78th Annual meetng of Transportaton Research Board, Magnant, T. L., & Wong, R. T. (1981). Acceleratng benders decomposton: Algorthmc enhancement and model selecton crtera. Operatons Research, 29(3), O Kelly, M. E. (1986). The locaton of nteractng hub facltes. Transportaton Scence, 20, O Kelly, M. E. (1987). A quadratc nteger program for the locaton of nteractng hub facltes. European Journal of Operatonal Research, 32, Papadaos, N. (2008). Practcal enhancements to the magnant wong method. Operatons Research Letters, 36, Sá, E. M. d. (2011). Localzação de concentradores aplcada ao transporte públco. Unpublshed master s thess, Unversdade Federal de Mnas Geras. 1572