Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014

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1 PLANEJAMENTO EM CURTO PRAZO DA EXPANSÃO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO USANDO UMA FORMULAÇÃO CÔNICA Jeferson B. Vanderlnde, Rogéro R. Gonçalves, Marcos J. Rder Unversdade Estadual Paulsta - UNESP Departamento de Engenhara Elétrca Ilha Soltera, São Paulo, Brasl Unversdade do Estado de Mato Grosso - UNEMAT Departamento de Matemátca Snop, Mato Grosso, Brasl Emals: jefersonbv@aluno.fes.unesp.br, rogero@unemat-net.br, mjrder@dee.fes.unesp.br Abstract Currently, wth the large ncrease n energy demand, nvestment n the expanson of dstrbuton electrc power systems to ensure a good qualty and power supply has become crucal. In ths regard a conc mxed nteger quadratc programmng model to solve the short term expanson plannng of a radal dstrbuton power system s presented n ths paper. The presented model defnes the constructon of new crcuts, n whch t chooses the conductor dameter to be nstalled and reconductorng the exstng crcuts. The model also consders the fxed/swtched capactors bank allocaton and voltage regulators allocaton problems. The objectve functon seeks to mnmze the nvestment costs and power losses n the dstrbuton network. The model was mplemented n the AMPL mathematcal modelng language. To calculate the steady-state operaton dstrbuton systems the nonlnear constrant responsble for calculatng the crcuts currents can be replaced by an equvalent conc quadratc constrant. Ths substtuton allowed the use of the commercal CPLEX solver. A 54-bus test system has been used to demonstrate the accuracy and effcency of the methodology. Keywords Short-term expanson plannng of dstrbuton systems, power dstrbuton, conductor sze selecton, reconductorng, capactors bank, voltage regulators, conc programmng problems Resumo Atualmente, com o grande aumento da demanda energétca torna-se necessáro o nvestmento na amplação dos sstemas de dstrbução de energa elétrca para garantr o fornecmento de energa de qualdade. Neste artgo é apresentado um modelo de programação cônco de segunda ordem ntero msto para o problema de Planejamento em Curto Prazo da Expansão de Sstemas de Dstrbução de Energa Elétrca Radas. O modelo apresentado defne a construção de novos crcutos, em que se escolhe a btola do condutor a ser nstalado e o recondutoramento de crcutos exstentes. O modelo também consdera os problemas de alocação de bancos de capactores fxos e chaveados e de reguladores de tensão. A função objetvo procura mnmzar os custos de nvestmento e de perdas de energa na rede de dstrbução. O modelo fo mplementado na lnguagem de modelagem matemátca AMPL. No cálculo do ponto de operação em regme permanente do sstema de dstrbução a restrção não lnear responsável pelo cálculo da corrente nos crcutos fo substtuída por uma restrção cônca de segunda ordem equvalente. Esta substtução permtu a utlzação do solver comercal CPLEX. Um sstema teste de 54 nós fo utlzado para mostrar a precsão e a efcênca da metodologa. Palavras-chave Planejamento em curto prazo da expansão de sstemas de dstrbução, sstemas de dstrbução de energa elétrca, seleção do tamanho do condutor, recondutoramento, bancos de capactores, reguladores de tensão, programação cônca. Notação A notação utlzada neste artgo é apresentada abaxo: Conjuntos: Ω b Conjunto de barras. Ω l Conjunto de crcutos. Ω d Conjunto de níves de demanda. Conjunto de tpos de condutores. Ω a Constantes: Q esp Capacdade de potênca reatva de cada módulo de capactor kvar. l Comprmento do crcuto km. c un Custo anualzado de cada módulo de capactor US$. c bc Custo anualzado de nstalação de um banco de capactores US$. c rt c sw c ra t,a c ls d P D Q D κ bc Custo anualzado de nstalação de um regulador de tensão US$. Custo anualzado do controlador automátco dos bancos de capactores chaveados US$. Custo anualzado do recondutoramento de lnhas exstentes do tpo t e nstalação de novos condutores do tpo a US$/km. Custo das perdas de energa no nível de demanda d US$/kWh. Demanda de potênca atva no nó, no nível de demanda d kw. Demanda de potênca reatva no nó, no nível de demanda d kvar. Fator de recuperação de captal do banco de capactor. 3643

2 κ ra κ rt Z a I a V V α d n bc n abc n rt R % S X a R R a τ ls t Fator de recuperação de captal do condutor. Fator de recuperação de captal do regulador de tensão. Impedânca do condutor do tpo a, por qulômetro Ω/km. Magntude máxma de corrente do condutor do tpo a A. Magntude máxma de tensão. Magntude mínma de tensão. Número de horas em um ano para o nível de demanda d. Número máxmo de bancos de capactores que podem ser nstalados no sstema. Número máxmo de módulos de capactores que podem ser nstalados em um nó do sstema. Número máxmo de passos do do regulador de tensão conectado no crcuto. Número máxmo de reguladores de tensão que podem ser adconados no sstema. Porcentagem de regulação do regulador de tensão. Potênca aparente máxma na subestação. Reatânca do condutor do tpo a, por qulômetro Ω/km. Resstênca do crcuto Ω. Resstênca do condutor do tpo a, por qulômetro Ω/km. Taxa de nteresse dos custos das perdas de potênca atva. Tpo de condutor exstente no crcuto. Se t = 0, não exste condutor no crcuto. Varáves Contínuas: P S Fluxo de potênca atva gerada pela subestação no nó, no nível de demanda d kw. P,a,d Fluxo de potênca atva no crcuto para o condutor do tpo a, no nível de demanda d kw. Q S Fluxo de potênca reatva gerada pela subestação no nó, no nível de demanda d kvar. Q,a,d Fluxo de potênca reatva no crcuto para o condutor do tpo a, no nível de demanda d kvar. Ṽ Magntude de tensão não regulada no nó j, no nível de demanda d kv. V Magntude de tensão no nó, no nível de demanda d kv. I,a,d Magntude do fluxo de corrente no crcuto contendo condutor do tpo a, no nível de demanda d A. Quadrado da magntude de tensão não regulada Ṽ. V qdr Quadrado da magntude de tensão V. I qdr,a,d V c,d,k Quadrado da magntude do fluxo de corrente I,a,d. Varável assocada ao produto não lnear bt,d,k. Varáves Dscretas: n bc Número de módulos de capactores nstalados no nó. n abc Número ntero de módulos de capactores em operação do banco de capactor nstalado no nó, no nível de demanda d.,d qdr,d,d q bc q rt y,a q sw bt,d,k Número ntero de passos do do regulador de tensão conectado no crcuto, no nível de demanda d. Quadrado de,d. Tap do regulador de tensão conectado no crcuto, no nível de demanda d. Varável bnára assocada à alocação de um banco de capactor no nó. Varável bnára assocada à alocação de um regulador de tensão no crcuto. Varável bnára assocada à construção do crcuto usando o condutor do tpo a. Varável bnára assocada à nstalação de um banco de capactor chaveado no nó. Varável bnára usada na lnearzação assocada à seleção do passo do. 1 Introdução O mercado energétco tem apresentado um grande crescmento e os consumdores estão se tornando cada vez mas exgentes. Desta forma, é necessáro que as concessonáras de energa nvstam na expansão dos atuas sstemas de dstrbução de energa elétrca, de modo a garantr o fornecmento de energa de qualdade com altos índces de confabldade e com custos compettvos. O problema de planejamento da expansão de sstemas de dstrbução PESD tem como objetvo determnar o plano ótmo da expansão do sstema de dstrbução SD, mnmzando os custos de nvestmento e de perdas, consderando o crescmento da demanda no futuro de planejamento e satsfazendo condções de operação e segurança Gönem, Dependendo do modelo, o problema de PESD pode consderar um ou mas estágos no horzonte de planejamento. O planejamento estátco avala somente um estágo enquanto que o planejamento dnâmco ou planejamento multestágo consdera no mesmo modelo város horzontes de planejamento Haffner et al., Em relação ao horzonte de planejamento o problema de PESD pode ser classfcado como planejamento em longo prazo acma de 5 anos e planejamento em curto prazo de 1 até 5 anos. No planejamento em longo prazo geralmente são defndos nvestmentos de grande valor como cons- 3644

3 truções de novas subestações e nterlgações. No planejamento em curto prazo são defndos nvestmentos de menor valor como reconfguração do sstema, cração de novos crcutos, recondutoramento, controle de reatvos, regulação da tensão, etc. Lee, Os prncpas motvos para que as concessonáras de energa realzem um PESD em curto prazo são: quando ocorrem excessvas perdas de potênca atva no SD atual; quando é volada a máxma capacdade de corrente nos crcutos exstentes; quando o lmte mínmo permtdo da magntude de tensão é volado; v quando o fator de potênca está abaxo do mínmo permtdo; e v quando exste a necessdade de nserção de novos pontos de carga Gonçalves, As prncpas ações em curto prazo que podem ser tomadas pelas concessonáras de energa como alternatvas de expansão dos SD atuas são: a construção de novos crcutos; b recondutoramento dos crcutos exstente; c alocação de bancos de capactores ABC; e alocação de reguladores de tensão ART. Na construção de novos crcutos deve ser seleconado a btola do condutor dentro de um conjunto de condutores dsponíves para satsfazer crtéros econômcos e atenda a demanda futura de energa a ser conectada nesse crcuto. O planejamento adequado desse problema permte a conexão de novos pontos de carga e a economa de recursos. No modelo do problema da seleção do tamanho do condutor város parâmetros são levados em conta: vda útl dos condutores, taxa de desconto, custo de nstalação, custo do cabo e o tpo de crcuto aéreo ou subterrâneo Anders et al., O problema de recondutoramento consste na troca de um condutor exstente em um crcuto por um novo tpo de condutor a partr de um conjunto dsponível, geralmente de maor capacdade. Os prncpas motvos para que as concessonáras de energa façam o recondutoramento de seus sstemas são: quando exstem excessvas perdas de energa no SD, quando a máxma capacdade de corrente do crcuto é volada ou quando o lmte mínmo permtdo da magntude de tensão é volado Lee, 1997; Franco et al., 2013b. Um dos prncpas objetvos das concessonáras de energa é manter o perfl da magntude de tensão de seus SDs dentro de lmtes mpostos pelas agêncas reguladoras de eletrcdade de cada país Kerstng, Para realzar esse controle é necessáro o nvestmento na nstalação de equpamentos aproprados para essa tarefa. Bancos de capactores e reguladores de tensão são os dos equpamentos que geralmente são utlzados pelas concessonáras para regular a magntude de tensão de seus sstemas elétrcos. A nstalação de bancos de capactores BCs é atratva por fornecer potênca reatva, melhorar o perfl de tensão e corrgr o fator de potênca do SD Mekhamer et al., 2002; Franco et al., 2013a. Em contrapartda a esses aspectos ocorre à mnmzação das perdas de energa do sstema elétrco. No problema de ABC defne-se a localzação, o tamanho, o tpo fxo ou chaveado e o número de BC a serem nstalados. Os BCs fxos possuem um ou mas módulos de capactores onde todos permanecem em operação em todos os níves de demanda. Os BCs chaveados possuem um ou mas módulos de capactores que podem ser parcalmente ou totalmente chaveados, permanecendo em operação somente a quantdade de módulos necessáros em cada nível de demanda Franco et al., 2013a. A nstalação de BCs pode contrbur para melhorar o perfl de tensão do sstema, mas casos em que exstem almentadores longos e/ou com grandes demandas no fnal do almentador, lugares que geralmente ocorrem os maores problemas de queda de tensão, pode-se tornar necessáro à nstalação de RTs para um melhor controle do perfl de tensão do SD Perera and Castro, 2009; Franco et al., 2013a. Normalmente os problemas de seleção da btola do condutor, recondutoramento, ABC e ART são tratados separadamente. No entanto, a utlzação conjunta ou ntegrada dessas ações e equpamentos possu a vantagem de avalar qual equpamento ou ação mas adequada para ser nstalada no SDEER. Em Franco et al., 2013b os problemas de seleção do tamanho do condutor e recondutoramento são trabalhados em conjunto. No trabalho de Franco et al Franco et al., 2013a é apresentado um modelo de programação lnear ntero msto que contempla os problemas de ABC e de ART, este modelo é resolvdo utlzando técncas clásscas de otmzação. Somente em Gonçalves, 2013 os problemas de seleção do tamanho do condutor, recondutoramento, ABC e ART são contemplados através de um modelo de programação lnear ntero msto resolvdo através de técncas clásscas de otmzação. Uma revsão bblográfca sobre o PESD até o ano de 2012 é feta em Ganguly et al., Geralmente encontra-se na lteratura especalzada a modelagem do problema de planejamento em curto prazo da expansão PCPE de sstemas de dstrbução de energa elétrca radas SDEER como um problema de programação não lnear ntero msto PNLIM. A resolução deste tpo de problema é muto dfícl, como pode ser vsto em Lavorato et al., Dessa forma, torna-se necessáro a utlzação de outras metodologas para a modelagem e a resolução do problema de PCPE de SDEER. Neste artgo é apresentado uma formulação Cônca de Segunda Ordem Intera Msta CSOIM para o problema de PCPE de SDEER. Nesta formulação consdera-se a construção de novos crcutos, recondutoramento dos crcutos exstentes, 3645

4 nstalação de BCs e a nstalação de RTs. Na nstalação de BCs e RTs são defndos também o número de módulos de capactores e o número de passos do dos RTs em operação para cada nível de demanda. A função objetvo deste modelo busca mnmzar os custos anuas de nvestmento e das perdas de potênca atva do SD sujeto às restrções de operação em regme permanente. Em Jabr, 2013 é apresentado uma formulação cônca para o problema de Planejamento em Longo Prazo de SDEER, mas para o problema PCPE de SDEER não foram encontrado trabalhos que utlzam essa metodologa na lteratura especalzada. O modelo CSOIM para o problema de PCPE de SDEER fo mplementado na lnguagem de modelagem matemátca AMPL Fourer et al., 2003 e resolvdo com o uso do solver comercal CPLEX ILOG, Fo utlzado um sstema teste de dstrbução de 54 nós Mranda et al., 1994; Gonçalves, 2013 para mostrar a precsão e a efcênca da metodologa proposta. 2 Problema de Planejamento em Curto Prazo da Expansão de Sstemas de Dstrbução de Energa Elétrca Radas O problema de PCPE de SDEER pode levar em conta város aspectos relaconados à expansão do sstema: construção de novos crcutos; recondutoramento dos crcutos exstentes; alocação de BCs; v alocação de RTs; v construção de novas subestações; v repotencalzação das subestações exstentes, etc. Neste artgo são consderados somente os quatro prmeros tens ctados juntamente com as seguntes hpóteses: 1. Cada tpo de condutor possu dferentes característcas que são resstênca, reatânca; máxma capacdade de magntude de corrente e custo de construção por undade de comprmento; 2. Os módulos de capactores MC são dêntcos, podem ser agrupados em bancos e exste a possbldade de nstalação de controladores automátcos que possbltem o chaveamento dos módulos; 3. Todos os RTs possuem o mesmo percentual de regulação da tensão que está assocado ao que tem o mesmo número máxmo de passos em todos os RTs. 2.1 Problema da Seleção da Btola dos Condutores e Recondutoramento na Operação em Regme Permanente de Sstemas de Dstrbução de Energa Elétrca Radas Uma ferramenta ndspensável para a análse dos sstemas de energa elétrca em regme permanente é o Fluxo de Carga FC. Através do FC é possível determnar as magntudes das tensões, as perdas na rede, os carregamentos nos crcutos, transformadores, geradores, reguladores de tensão e equpamentos de compensação de reatva. Geralmente consdera-se na análse da operação em regme permanente de um SDEER que as cargas no sstema são representadas como constantes as potêncas atva e reatva, o sstema opera de forma radal e o SDEER é balanceado e representado por um equvalente monofásco. Ao consderar o problema da seleção da btola dos condutores na construção de novos crcutos e o recondutoramento de crcutos exstentes em SDEER, as equações que regem o ponto de operação em regme permanente presentes em Franco et al., 2013a; Cespedes, 1990; Shrmohammad et al., 1988; Segura et al., 2010 devem ser adaptadas para receber os dferentes tpos de condutores pertencentes a Ω a. A função objetvo também deve levar em consderação os custos de nvestmento em condutores, como apresentado pelas equações s. a. k Ω l k Ω l mn v = κ ra Ω l + τ ls P k,a,d c ra t,al y,a+ c ls d α d d Ω d Ω l Ω l R al I 2,a,d 1 P,a,d + R al I 2,a,d + +P S = P D Ω b, d Ω d 2 Q k,a,d Q,a,d + X al I 2,a,d + Ω l +Q S = Q D Ω b, d Ω d 3 2 Ral P,a,d + X al Q,a,d Zal 2 I 2 2,a,d + +V 2 V 2 = 0 Ω l, d Ω d 4 V 2 I 2,a,d = P 2,a,d + Q 2,a,d Ω l, a Ω a, d Ω d 5 V 2 V 2 V 2 Ω b, d Ω d 6 0 I 2,a,d y,a Ī 2 a Ω l, a Ω a, d Ω d P S + Q S 2 S Ω bs, d Ω d 8 y,a = 1 Ω l 9 y,a {0, 1} Ω l, a Ω a 10 A varável bnára y,a é a varável de decsão em que y,a = 0 sgnfca que não há nvestmento em condutores no crcuto e y,a = 1, caso contráro. A restrção 9 é necessára, pos garante que em cada crcuto deve conter somente um tpo de condutor. 3646

5 2.2 Problema da Alocação Ótma de Bancos de Capactores Fxos e Chaveados em Sstemas de Dstrbução de Energa Elétrca Radas Na função objetvo 1 deve ser adconado os custos de nvestmento com a alocação de BCs fxos e chaveados representado pela equação 11: κ bc Ω b c bc q bc + c sw q sw + c un n bc 11 Com a alocação de BCs deve ser consderada a contrbução de potênca reatva na restrção de balanço de potênca reatva 3, como mostrado na equação 12: Q k,a,d Q,a,d + X al I 2,a,d + k Ω l Ω l +Q S + n abc Q esp = Q D Ω b, d Ω d 12 O número de MC em operação em cada no é defndo pela equação 13: 0 n abc n bc Ω b, d Ω d 13 A restrção 14 defne o número máxmo de MC que podem ser nstalados em um nó do sstema. 0 n bc n abc q bc Ω b, d Ω d 14 Para a defnção de qual tpo de BC, fxo ou chaveado, deve ser nstalado em um nó do sstema, a restrção 15 deve ser adconada ao modelo. n abc n abc 1 n abc q sw Ω b, d Ω d d > 1 15 O número de BCs nstalados no sstema deve ser nferor ou gual ao número máxmo de BCs dsponíves, portanto, o modelo deve conter a equação 16: n bc 16 Ω b q bc 2.3 Problema da Alocação Ótma de Reguladores de Tensão em Sstemas de Dstrbução de Energa Elétrca Radas Os custos de nvestmento com a alocação de RTs representado pela equação 17 também devem ser adconados na função objetvo 1. κ rt c rt q rt 17 Ω l Como as equações que regem o ponto de operação em regme permanente tratam o cálculo da magntude de tensão ao quadrado, neste caso, torna-se convenente trabalhar com todos os termos da equação responsável pelo cálculo da magntude de tensão regulada ao quadrado como mostra a equação 18. V 2 = 2,dṼ 2 Ω l, d Ω d 18 O cálculo do do RT ao quadrado é dado pela equação 19. 2,d = 1 + 2R % n,d + R % 2 n 2,d Ω l, d Ω d 19 A restrção de nvestmento é defnda pela equação 20 que lmta o número ntero de passos do dos RTs em operação em cada nível de demanda. qrt,d n qrt Ω l, d Ω d 20 Se um RT é alocado no crcuto q rt = 1, então o número ntero de passos do do RT tem 2n passos e,d vara em ntervalos dscretos com um passo de R% / na faxa de regulação [ 1 R %, 1 + R %]. Caso contráro q rt = 0,,d = 0,,d = 1 e V = Ṽ. O número de RTs nstalados no sstema deve ser nferor ou gual ao número máxmo de RTs dsponíves, portanto, o modelo deve conter a equação 21:,d Ω l q rt n rt Formulação Não Lnear Intera Msta do Problema de Planejamento em Curto Prazo da Expansão de Sstemas de Dstrbução de Energa Elétrca Radas Para o problema de PCPE de SDEER que consdera a seleção ótma do condutor a ser construído em um novo crcuto, recondutoramento de um crcuto exstente, alocação ótma de BCs fxos ou chaveados e alocação ótma de RTs, as equações apresentam a formulação do modelo. mn v = κ ra Ω l + κ bc Ω b c ra t,al y,a+ c bc q bc + c sw q sw + κ rt c rt q rt + Ω l + τ ls c ls d α d d Ω d Ω l + c un n bc + R al I 2,a,d 22 s. a. 2, 6-10, 12-16, Ral P,a,d + X al Q,a,d Zal 2 I 2 2,a,d + +V 2 Ṽ 2 = 0 Ω l, d Ω d 23 Ṽ 2 I 2,a,d = P 2,a,d + Q 2,a,d Ω l, a Ω a, d Ω d 24 n abc Z + Ω b, d Ω d

6 ,d Z+ Ω l, d Ω d 26 q bc {0, 1} Ω b 27 q sw {0, 1} Ω b 28 q rt {0, 1} Ω l 29 O modelo apresentado pelas equações é um problema de PNLIM. Atualmente, este tpo de problema anda é muto dfícl de resolver através das técncas atuas de otmzação e quando se encontra uma solução para o problema anda não é possível garantr sua otmaldade Lavorato et al., Formulação Cônca de Segunda Ordem Intera Msta do Problema de Planejamento em Curto Prazo da Expansão de Sstemas de Dstrbução de Energa Elétrca Radas No problema 22-29, nota-se que as varáves I,a,d, V, Ṽ e,d aparecem sempre em suas formas quadrátcas, sendo assm, torna-se convenente consderar as seguntes mudanças de varáves: I qdr,a,d = I2,a,d = Ṽ 2 V qdr = V 2 qdr,d = 2,d Nota-se que as equações 18, 19 e 24 são não lneares. Como os problemas de seleção do tamanho do condutor, recondutoramento, alocação ótma de bancos de capactores e a alocação ótma de reguladores de tensão possuem as característcas de que deseja-se mnmzar as perdas de potênca atva no sstema; as resstêncas nos crcutos são dferentes de zero; a operação do sstema de dstrbução é radal e v as varáves V qdr e I qdr,a,d não podem ser negatvas, portanto, é possível substtur a restrção não lnear 24 pela restrção cônca de segunda ordem 30 garantndo a convexdade do problema. Iqdr,a,d P,a,d 2 + Q 2,a,d Ω l, a Ω a, d Ω d 30 Para a lnearzação das equações 18 e 19, a varável ntera,d presente nas equações e 26 pode ser transformada por um conjunto de varáves bnáras bt,d,k. 2,d = 2n [ k n ] bt,d,k Ω l, d Ω d 31 bt,d,k = 1 Ω l, d Ω d 32 bt,d,k {0, 1} Ω l, d Ω d, k = 0,..., 2 33 Desta forma, a restrção de nvestmento 20 pode ser reescrta através da equação 34: 1 q rt bt,d,n 1 Ω l, d Ω d 34 a varável qdr,d da equação 19 pode ser reescrta através da equação 35: qdr,d = 2n [ k n 1 + R % 2 bt,d,k] Ω l, d Ω d 35 a partr da equação 35, o quadrado da tensão regulada V qdr presente na equação 18 pode ser calculado através da equação 36: V qdr 2n = [ k n 1 + R % 2 bt,d,k Ω l, d Ω d 36 Por convenênca, o produto não lnear bt,d,k será representado pela varável V,d,k c resultando na adção da restrção representada pela equação 38: V qdr 2n = [ k n 1 + R % 2 ] V,d,k c Ω l, d Ω d 37 V c,d,k = bt,d,k Ω l, d Ω d, k = 0,..., 2 38 A restrção não lnear 38 pode ser lnearzada usando a formulação de Fortuny-Amat ou dsjuntva, resultando assm, em duas restrções lneares 39 e 40: V 2 bt,d,k V c,d,k V 2 bt,d,k Ω l, d Ω d, k = 0,..., 2 39 V 2 1 bt,d,k V c,d,k V 2 1 bt,d,k Ω l, d Ω d, k = 0,..., 2 40 Consderando as alterações apresentadas pelas equações no problema de PNLIM representado pelas equações obtém-se a formulação Cônca de Segunda Ordem Intera Msta CSOIM do problema de PCPE de SDEER: mn v = κ ra Ω l + κ bc Ω b c ra t,al y,a+ c bc q bc + c sw q sw + κ rt c rt q rt + Ω l + τ ls c ls d α d d Ω d Ω l + c un n bc + ] R al I qdr,a,d

7 s. a. 8-10, 13-16, 21, 25, 27-30, 32-34, 37, 39, 40 k Ω l k Ω l P k,a,d Ω l P,a,d + R al I qdr,a,d + +P S = P D Ω b, d Ω d 42 Q k,a,d Ω l Q,a,d + X al I qdr,a,d + +Q S + n abc Q esp = Q D Ω b, d Ω d 43 2 R al P,a,d + X al Q,a,d Zal 2 I 2 qdr,a,d + +V qdr = 0 Ω l, d Ω d 44 V 2 V qdr V 2 Ω b, d Ω d 45 0 I qdr,a,d y,aī2 a Ω l, a Ω a, d Ω d 46 4 Testes e Resultados Para testar a metodologa fo utlzado um sstema de dstrbução teste de 54 nós, cujos os dados do sstema podem ser encontrados na págna 144 de Gonçalves, Para este problema a máxma magntude de tensão e a magntude de tensão das subestações foram fxadas em 1,0 pu. A mínma magntude de tensão é ncalmente consderada com 0,95 pu. Os custos de recondutoramento e as característcas dos condutores são encontrados na págna 142 de Gonçalves, O custo da energa para qualquer nível de demanda é de 0, 10 US$/kWh. Os custos anualzados, em dólares, são c bc = 1.000, 00, c sw = 300, 00, c un = 900, 00 e c rt = , 00. Também fo consderado Q esp = 300 kvar, R % = 10%, = 16, n bc = 4, n abc = 4 e n rt = 2. Para este sstema fo consderado dos níves de demanda, que são obtdos multplcando as cargas nomnas pelos fatores 1,15 carga pesada e 0,46 carga méda cujas respectvas durações são 1000 e 6760 horas. O modelo proposto fo mplementado na lnguagem de modelagem matemátca AMPL e resolvdo através do solver comercal CPLEX com suas opções padrões. O modelo fo realzado nteramente, sto é, consderando a construção de novos crcutos, recondutoramento, alocação de BCs e alocação de RTs com dscreto. O processo de resolução fo executado em um computador Dell PowerEdge R910x64 com 6 processadores a 1,87 GHz e 128 GB de memora RAM. O processo de resolução acabou em 3285,68 s com uma solução que pode ser vsta resumdamente na Tabela 1. Tabela 1: Resultados do sstema de dstrbução de 54 nós. Investmento total US$ ,42 Custos das perdas US$ ,67 Despesas com condutores US$ ,75 Despesas com BCs US$ 18100,00 Despesas com RTs US$ 20000,00 Instalação de RTs Crcuto Perdas Nível de ,21 kw Demanda 2 260,63 V Nível de 1 0,95083 pu Demanda 2 0,97653 Capac- Nós tores Nível de kvar Demanda Na solução encontrada o crcuto sofreu recondutoramento do tpo 1 para o tpo 4 e os crcutos 3-4, e sofreram recondutoramento do tpo 1 para o tpo 4. Foram construídos novos crcutos com condutores do tpo 2 nos crcutos canddatos 21-18, 22-23, 33-39, 37-31, 41-42, e 54-22; do tpo 3 nos crcutos canddatos 12-45, 35-34, 43-37, e 54-21; do tpo 4 nos crcutos 30-43, 34-33, 36-35, 45-44, e 54-30; e do tpo 1 nos demas crcutos canddatos. 5 Conclusões Vsto que problemas de PNLIM são muto dfíces de resolver, neste artgo fo apresentando uma formulação CSOIM equvalente para o problema de PCPE de SDEER. Com o objetvo de mnmzar os custos de nvestmento total anual e das perdas de energa, através desta formulação defne-se a construção e seleção do tpo de condutor dos novos crcutos, o recondutoramento dos crcutos exstente, a alocação de BCs localzação, tpo fxo ou chaveado, número de módulos de capactores nstalados e número de módulos em operação para cada nível de demanda e a alocação de RTs localzação e número de passos do dos RTs em operação para cada nível de demanda. O modelo proposto fo mplementado através da lnguagem de modelagem matemátca AMPL. Após levar em conta algumas característcas partculares do problema de PCPE de SDEER fo possível substtur a restrção não lnear responsável pelo cálculo da corrente nos crcutos por uma restrção cônca equvalente. Ao fazer esta substtução e após lnearzar as restrções que determnam o cálculo da magntude de tensão regulada e o dos RTs, fo possível utlzar o solver comercal CPLEX que usa um algortmo de pontos nterores para resolver problemas de programação cô- 3649

8 nca. Possbltando assm, a solução do sstema teste proposto de 54 nós. Agradecmentos À CAPES pelo suporte fnancero, à Unversdade Estadual Paulsta UNESP campus de Ilha Soltera-São Paulo pelo suporte técnco e a FE- PISA Ilha Soltera-São Paulo. Referêncas Anders, G., Vanberg, M., Horrocks, D. J., Foty, S. M., Motls, J. and Jarnck, J Parameters affectng economc selecton of cable szes, IEEE Transactons on Power Delvery 84: Cespedes, R New method for the analyss of dstrbuton networks, IEEE Transactons on Power Delvery 51: Fourer, R., Gay, D. M. and Kernghan, B. W AMPL: A modelng language for mathematcal programmn, Brooks/Cole- Thomson Learnng, 2. ed. Pacfc Grove. Franco, J. F., Rder, M. J., Lavorato, M. and Romero, R. 2013a. A mxed-nteger LP model for the optmal allocaton of voltage regulators and capactors n radal dstrbuton systems, Internatonal Journal of Electrcal Power and Energy Systems 48: Franco, J., Rder, M., Lavorato, M. and Romero, R. 2013b. Optmal conductor sze selecton and reconductorng n radal dstrbuton systems usng a mxed-nteger LP approach, IEEE Transactons on Power Systems 281: Ganguly, S., Sahoo, N. C. and Das, D Recent advances on power dstrbuton system plannng: a state-of-the-art survey, Internatonal Journal of Electrcal Power and Energy Systems 42: Gonçalves, R. R Modelos de programação lnear ntera msta para resolver problemas de otmzação de sstemas de dstrbução de energa elétrca radas, Doutorado em engenhara elétrca, Faculdade de Engenhara, Unversdade Estadual Paulsta, Ilha Soltera. Transactons on Power Delvery 232: ILOG CPLEX Optmzaton subroutne lbrary gude and reference, verson 11.0, ILOG, Inclne Vllage. Jabr, R Polyhedral formulatons and loop elmnaton constrants for dstrbuton network expanson plannng, Power Systems, IEEE Transactons on 282: Kerstng, W. H Dstrbuton system modelng and analyss, CRC press, chapter 7, regulaton of voltages, pp Lavorato, M., Rder, M., Garca, A. and Romero, R A constructve heurstc algorthm for dstrbuton system plannng, Power Systems, IEEE Transactons on 253: Lee, H Power Dstrbuton Plannng Reference Book, New York: Basel: M. Dekker. Mekhamer, S. F., El-Hawary, M. E., Solman, S. A., Moustafa, M. A. and Mansour, M. M New heurstc strateges for reactve power compensaton of radal dstrbuton feeders, IEEE Transactons on Power Delvery 174: Mranda, V., Ranto, J. V. and Proenà a, L. M Genetc algorthms n optmal multstage dstrbuton network plannng, IEEE Transacton on Power Systems 94: Perera, C. and Castro, C Optmal placement of voltage regulators n dstrbuton systems, IEEE Bucharest PowerTech, pp Segura, S., Romero, R. and Rder, M. J Effcent heurstc algorthm used for optmal capactor placement n dstrbuton systems, Internatonal Journal of Electrcal Power and Energy Systems 321: Shrmohammad, D., Hong, H. W., Semlyen, A. and Luo, G. X A compensatonbased power flow method for weakly meshed dstrbuton and transmsson networks, IEEE Transacton on Power Systems 32: Gönem, T Electrc Power Dstrbuton Systems Engneerng, New York: McGraw- Hll. Haffner, S., Perera, L., Perera, L. and Barreto, L Multstage model for dstrbuton expanson plannng wth dstrbuted generaton; part : Problem formulaton, IEEE 3650