Eduardo Miqueles Graduando do Curso de Matemática Industrial - UFPR. Cristina Falk Graduanda do Curso de Matemática Industrial - UFPR

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1 II Encontro aconal de Engenhara de Produção Curtba PR, 23 a 25 de outubro de 2002 MODELO MAEMÁICO PARA RECOMPOSIÇÃO DE UMA REDE ELÉRICA USADO MARIES DE ADJACÊCIA Eduardo Mqueles raduando do Curso de Matemátca Industral - UFPR Crstna Fal raduanda do Curso de Matemátca Industral - UFPR Elso Andretta raduando do Curso de Matemátca Industral - UFPR Resumo Em função da qualdade exgda no fornecmento de energa elétrca em relação a rapdez do atendmento, maor número de clentes atenddos em stuação de contngênca, desenvolveu-se um algortmo de recomposção do sstema de dstrbução de energa elétrca de forma otmzada. A recomposção do sstema de dstrbução fo feta através de lgações ótmas das chaves levando em consderação as restrções técncas de carga nos cabos, a área de atuação de cada almentador e consderando carga de consumo varável em cada ponto de demanda. Baseado em um modelo de programação msta da lteratura, formulou-se um modelo matemátco matrcal que leva em conta matrzes de adjacênca da rede para a construção e smulação do modelo. A mnmzação de perdas em energa elétrca fo obtda através de uma redefnção da malha de atuação de cada almentador consderando a confguração físca atual. Palavras Chave: Dstrbução de energa elétrca, Programação Matemátca, Matrz de Adjacênca. Introdução Este modelo faz parte de um trabalho desenvolvdo em parcera pela Unversdade Federal do Paraná, Companha Paranaense de Energa Elétrca (COPEL), e Insttuto de tecnologa para o desenvolvmento LACEC, que têm por objetvo a recomposção de uma rede elétrca, em stuação de contngênca. Os autores deste trabalho, na qualdade de bolsstas do projeto, e alunos da UFPR, pretendem apresentar uma manera alternatva de descrever parte do modelo, através do uso de matrzes de adjacênca da rede elétrca, tendo em vsta que smulações deste, tornam-se necessáras para análse de stuações. O modelo matemátco sobre o qual trabalhamos, é de programação matemátca msta, tendo como objetvo mnmzar o número de operações em chaves da rede (denomnadas chaveamentos) e maxmzar a carga atendda em uma regão. as objetvos são sujetos a restrções operaconas, como exgênca de radaldade, balanço de corrente, e lmte de corrente em cabos. Sendo assm, o modelo utlza varáves de decsão que nformam característcas de uma determnada chave, dferencadas em normalmente abertas (A) e normalmente fechadas (F), sendo estas nformações de grande mportânca na descrção do modelo, além de dados técncos relatvos à chave (custo de manpulação, estado e corrente). EEEP 2002 ABEPRO

2 II Encontro aconal de Engenhara de Produção Curtba PR, 23 a 25 de outubro de 2002 A proposta deste trabalho é de apresentar o modelo matrcal através de matrzes de adjacênca da rede elétrca. 2. Modelo matemátco matrcal A rede elétrca físca será representada por um grafo onde cada nó representa uma regão físca delmtada por chaves com concentração de carga e será chamada de bloco de carga ou bloco, e cada trecho representa na rede uma chave. Sejam W() e S() conjuntos de chaves que chegam e saem respectvamente de um - ésmo bloco,, e (), varável bnára que ndca a exstênca de atendmento de carga no bloco. Consderemos para um -ésmo trecho M, as varáves bnáras: () e C() que denotam estado da chave F (sentdo atual e contráro respectvamente), Y() e YC(), que denotam estado da chave A (sentdo atual e contráro respectvamente). odas estas varáves tem valor se o trecho está fechado e 0, caso contráro. Por últmo, sejam I() e IC(), varáves contínuas, que representam cargas que passam pelo trecho, nos sentdos atual e contráro respectvamente. Assume-se que L() é a carga demanda no - ésmo bloco, I_lmte() é o lmte máxmo de corrente no -ésmo trecho e C o custo de operação da chave. Segundo estas notações, o modelo que segue as característcas descrtas na ntrodução é descrto a segur: Mn α. ( C ).C + β. Sujeto a [] I = I + L W ( ) S ( ) [2] ( + Y ) W ( ) (Y + YC ).C γ. =. L [3] lmte I I =,2,..., F [4] lmte IC I C =,2,..., F [5] lmte I I Y =,2,...,A [6] lmte IC I YC =,2,..., A [7] + C =,2,..., F [8] Y YC =,2,..., A + Y, YC,, C varáves bnáras I 0, IC 0 Modelo. Programação msta varável contínua Os métodos utlzados para a determnação deste modelo, fogem do escopo deste artgo. Preocuparemo-nos em detalhar precsamente quas são as varáves desse modelo, constantes, índces, entre outros, à medda que se exponha o trabalho, explcar em que sentdo se deram as modfcações, e quas benefícos foram obtdos com tas mudanças. A dfculdade do modelo. resde na forma como ele é posto em prátca. Para que se possa fazer smulações em uma rede, com um número de blocos e trechos prédetermnados, deve-se gerar as restrções e em seguda, executá-lo por algum software. O que aqu se propõe, é uma manera alternatva de representar as restrções desse modelo, de EEEP 2002 ABEPRO 2

3 II Encontro aconal de Engenhara de Produção Curtba PR, 23 a 25 de outubro de 2002 forma a torná-lo mas legível e mas acessível a uma possível mplementação. A manera encontrada para tal fm, é obtda usando matrzes de adjacênca do grafo assocado a rede elétrca, fazendo algumas consderações sobre estas, bem como varações de suas confgurações. 2. otação das varáves na representação proposta A segur são representadas as varáves e dados em função da nova proposta do modelo. Consderaremos que um trecho na rede, é caracterzado pelos nós ncal e fnal. 2.. Estado da chave após a recomposção da rede Varável bnára assocada ao estado das chaves F. Defne-se,, se a chave do trecho estver 0,caso contráro fechada Y Varável bnára assocada ao estado das chaves A. Defne-se,,se a chave do trecho estver Y 0,caso contráro fechada Em ambos casos, em função das varáves possuírem dos índces e j varando de até, pode-se construr matrzes de varáves, sto é, matrzes da forma: = [ ] = Y = [ Y ] = Y Y Y Y (2.) As varáves assocadas aos trechos que não exstem, assumem o valor nulo. Deve se levar em conta que o modelo, permte fluxo de corrente em ambos sentdos num determnado trecho, sto é, exste tanto quanto j, valendo o mesmo para Y. A nversão de sentdos é dada pelas matrzes transpostas de e Y Corrente nos trechos IC Quantdade de corrente que passa no trecho () (j). Assm como as varáves e Y, a varável contínua IC é uma matrz de varáves, IC = [ IC ] = IC IC IC IC (2.2) EEEP 2002 ABEPRO 3

4 II Encontro aconal de Engenhara de Produção Curtba PR, 23 a 25 de outubro de 2002 ambém, onde o trecho não exste, a corrente assume valor nulo, mesma forma como e Y, IC permte sentdo opostos no modelo, sto é, exste o que se obtém transpondo a matrz IC Verfcação de atendmento da carga no bloco varável que ndca se o bloco é atenddo ou não, onde, IC = 0, e da IC e 0, se a carga no bloco não é atendda após a recomposção, caso contráro E, = (, 2,..., n ) (2.3) é o vetor n-dmensonal defndo acma. 2.2 Dados a representação proposta, os dados que requerem destaque no modelo, são: 2.2. Cargas nos blocos IC j, Denotada como um vetor n dmensonal, L = ( L,..., L n ) representa a carga dos blocos, onde L é a carga demanda no -ésmo bloco Custo de operação de chaves Se a chave é preferencal, exge um custo de operação menor, em relação às que não são. Embora as chaves dferencem-se em chaves F e A, é preferível separar custo das mesmas, sto é, no trecho () (j), assoca-se custos C ou CY para chaves fechadas e abertas respectvamente. Como e j são índces que varam no ntervalo [,], então, podemos assocar matrzes de custos, para o modelo, ou seja, construímos matrzes C e CY. Estas matrzes tem apenas os custos no sentdo atual da rede Capacdade de corrente máxma Cada trecho da rede smplfcada tem um lmte de corrente, em função do tpo de chave e cabo que estejam sendo utlzados. Assm, a cada trecho () (j) assocamos um número IC (, j), que é a corrente máxma (lmte) que flu neste. ovamente, em função das dstnções de chaves, obtemos matrzes de corrente máxma, para chaves fechadas e abertas, denotadas por IM e IMY respectvamente. Assm como as matrzes de custo, as matrzes de corrente máxma ndependem do sentdo. IM IM = IM IM IM IMY IMY = IMY IMY IMY (2.4) EEEP 2002 ABEPRO 4

5 II Encontro aconal de Engenhara de Produção Curtba PR, 23 a 25 de outubro de Restrções usando novas notações As varáves de decsão, Y, IC, assm como as matrzes de dados IM, IMY, C e CY, de mesma ordem ( número de blocos), são de fato representações smbólcas de uma matrz de adjacênca da rede, pos suas posções não nulas são nformações de algum trecho () (j) da rede. Por defnção no nosso modelo, estamos assumndo que matrz de adjacênca é uma matrz bnára, nformando se o trecho exste ou não. Assm, uma vez que IM e IMY são dados da rede, assummos que de alguma forma, podemos, através destas, obter matrzes de adjacênca do grafo consderando seu sentdo atual. Defnamos, A e AY tas matrzes, consderando chaves fechadas e abertas respectvamente, e, A, 0, caso contráro se o trecho tver uma chave F, se o trecho tver uma chave A AY 0, caso contráro A segur, cada restrção consderada no modelo. será representada em função da notação apresentada m 2. e Le de Krchhoff A restrção [] do modelo., que é referente à le de Krchhoff, afrma que o que chega de corrente em um bloco, é gual ao que se demanda mas o que sa pelas chaves ncdentes. Essa gualdade em [], é expressa em termos dos conjuntos W e S, que são respectvamente, conjuntos de trechos que chegam e saem de um -ésmo bloco. Se quséssemos desenvolver a equação referente a essa restrção, teríamos que prmero dar nome a cada trecho, defnr conjuntos de chaves de entrada e saída em cada bloco. Isso pode ser sujeto a erros se feto à mão, e mesmo que se use um artfíco computaconal, a mplementação em uma sub-rotna, pode conter detalhes, que a tornam demorada. As varáves e Y elmnam o problema de determnação de nomes a trechos, pos já nformam o estado da chave, assocado a um trecho pelos índces e j. Isso torna desnecessáro a defnção de quasquer tpo de conjuntos, e o acesso por índces de matrzes, a tas varáves é desejável para uma mplementação. Matrzes como A e AY são tas, que suas transpostas, mplcam confgurações da rede com correntes em sentdo oposto. Assm, a soma de cada uma dessas matrzes com suas transpostas, são matrzes geras da rede em sentdos aberto e fechado, ou seja A = A + A é a matrz que consdera a exstênca tanto da lgação () (j) como (j) (). O mesmo é valdo para AY = AY + AY. De fato, a soma dessas últmas matrzes, gera uma qunta matrz, A = A + AY, que é a verdadera matrz adjacênca do grafo, smétrca com lgações em todos os nós que a rede permte, desconsderando o estado ou sentdo deste. Portanto, a restrção [], referente à le de Krchhoff, em função dessas novas notações, pode ser escrta por, j= A ( IC IC ) = L, nó (2.5) j Essa restrção surge naturalmente pela defnção da Le, pos a soma do que chega de corrente em um determnado bloco, IC, menos o que sa, IC, é a quantdade que j EEEP 2002 ABEPRO 5

6 II Encontro aconal de Engenhara de Produção Curtba PR, 23 a 25 de outubro de 2002 permanece no bloco. Isso é exatamente dado por (2.5), onde constante bnára que ndca a exstênca do trecho j. Defnndo L = dag L, L,..., L ), (2.5) pode ser escrto por C ( 2 n A = A funcona como uma j A IC A IC = L j j= j= dag( A. IC) dag( A. IC ) = L C que é equvalente a dag ( A IC IC )) = L ( (2.6) C Essa restrção (2.6) não vale para os nós fonte da rede, por sso, vê-se a necessdade de crar uma restrção à parte para esses casos. Como em um nó fonte, a le de Krchhoff se aplca no sentdo de que somente sa corrente, vale: = ( A + AY ) IC = L dag (( A + AY ) IC) = L (2.7) Restrção de radaldade o modelo. é a restrção [2]. Essa restrção dz que um -ésmo bloco de cargas só pode ser atenddo por uma chave. Ou seja, se o -ésmo bloco está em questão, a chave pode atendê-lo, ou a chave aberta Y. Como sso depende da exstênca de tas chaves, recorre-se aos valores bnáros A e AY. Assm, obtêm-se, + A AY Y, nó (2.8) A expressão (2.8), pode ser representada por produto matrcal, pos, que é equvalente a + A AY Y dag( A. ) + dag( AY. Y) dag( A. + AY. Y) (2.9) O ganho obtdo com essa nova notação é, bascamente o mesmo que se obteve em 2.3., pos a ndexação é satsfatóra Restrção de capacdades dos trechos Representada por [3] a [6] no modelo., é uma restrção que lmta a carga no trecho () (j) em função do cabo e chave utlzados. Essa restrção, por ser restrta ao tpo de chave, é dvdda em 4 sub-restrções que são exatamente as de [3] a [6]. Defnndo como multplcação termo a termo entre matrzes, então: IC (IM) () IC (IMY) (Y) (2.0) EEEP 2002 ABEPRO 6

7 II Encontro aconal de Engenhara de Produção Curtba PR, 23 a 25 de outubro de Exclusão de trechos Cada trecho da rede fo duplcado para permtr correntes em ambos sentdos, porém, somente um sentdo é permtdo. As restrções que representam esta stuação são dadas em [7] e [8] no modelo.. Portanto, entre o -ésmo e j-ésmo blocos, têm-se, para chaves F, + j, e da mesma forma, Y + Y j, para chaves A. Se consderarmos uma matrz E tal que E =, j e E =0, = j em [,], então, matrcalmente, essas restrções podem ser expressas por, + E Y + Y E (2.) 2.4 Modelo Matrcal Consderando as restrções (2.), =,2,..., podemos montar o modelo alternatvo, consderando matrzes de adjacênca do grafo, e os dados consderados em 2.2. Ressalta-se que, por questões convenentes, a função objetvo permanece nalterada, somente consderando a possbldade de fluxo de corrente em sentdos opostos. Mn W = Sujeto a = j= ( ) C j + ( Y + ) CY j = L [] dag ( A IC IC )) = L ( C blocos não fonte [2] dag (( A + AY ) IC) = L blocos fonte [3] dag( A. + AY. Y) bloco [4] IC ( IM ).( ) bloco [5] IC ( IMY ).( Y ) bloco [6] + E bloco [7] Y + Y E bloco Modelo.2 Representação matrcal O modelo.2 tem valor teórco, e é mas prátco que., mas pode ser melhorado objetvando a mplementação. Portanto, se reunrmos as defnções utlzadas em cada restrção, teremos equações mas fortes no sentdo de que regem regras melhores que um produto matrcal, ou uma multplcação pontual, ou a obtenção de uma dagonal. O últmo modelo alternatvo, que se propõe, é como um modelo clássco de programação matemátca, com varáves de decsão nteras e bnáras, recursos, custos, entre outros. Mn Sujeto a W = = j= ( ) C j + ( Y EEEP 2002 ABEPRO 7 + ) CY j = L [] A ( IC IC ) = L bloco não fonte = [2] ( A + AY ) IC L bloco fonte =

8 II Encontro aconal de Engenhara de Produção Curtba PR, 23 a 25 de outubro de [3] A AY Y bloco não fonte [4] A + AY Y 0 bloco fonte [5] IC IM,j IM 0 [6] IC IMYYj,j IMY 0 [7],j A 0 + j + Y j [8] Y,j AY 0, Y, varáves bnáras IC 0 varável contínua 3. Conclusões Modelo.3 Representação Fnal O esforço gasto em procurar um modelo representatvo, consderado deal, para a equpe de trabalho, tendo em vsta smulações do modelo., fo um esforço que teve como recompensa os resultados satsfatóros quando posto em prátca o modelo.3, para casos reas. As smulações se deram em softwares especalzados de programação matemátca, na plataforma Wndows, com um computador Pentum IV de 2.0 H de velocdade e 52 MB de memóra RAM. Os tempos máxmos obtdos para a obtenção do modelo e resolução do mesmo, em smulações fetas numa subestação de Curtba, com quatro almentadores, cada um com uma méda de 40 blocos, foram no máxmo de 4 mnutos. 4. Bblografa.. agata, S. Hataeyama, M. Yasuoa, H. Sasa, An effcent Method for Power Dstrbuton System Restoraton Based on Mathematcal Programmng and Operaton Strategy, 2000, pp S. Curcc, C.S, Özveren, L. Crowe, P.K.L. Lo, Eletrc Power dstrbuton networ restoraton: a survey of papers and a revew of the restoraton problem, Vol. 35, 996, pp agata, H. Sasa, R. Yooyama, Power System Restoraton by Jont Usage of Expert System and Mathematcal Programmng Approach, Vol. 0, o. 3, August 995, pp Kyeong Jun Mun, J.H. Par, Hyung-Su Km, Jung-Il Seo, Development of realtme servce restoraton system for dstrbuton automaton system, 200, pp R.M. Crc, D.S. Popovc, Mult-objectve dstrbuton networ restoraton usng heurstc approach and mx nteger programmng method, Vol. 22, 2000, pp Robn J. Wlson, John J. Watns, raphs: An Introductory Approach, a frst course n dscrete mathematcs, John Wley & Sons, Inc, 990. EEEP 2002 ABEPRO 8