FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO PARA ESTUDOS DE SEGURANÇA DE TENSÃO CONSIDERANDO A REGULAÇÃO PRIMÁRIA DE FREQUÊNCIA DE GERADORES

Transcrição

1 FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO PARA ESTUDOS DE SEURANÇA DE TENSÃO CONSIDERANDO A REULAÇÃO PRIMÁRIA DE FREQUÊNCIA DE ERADORES Thago Resende de Almeda Unversdade Federal de Juz de Fora (UFJF) Rua José Lourenço Kelmer, s/n. CEP Juz de Fora, M thagoptt@hotmal.com Paula de Olvera La atta Unversdade Federal de Juz de Fora (UFJF) Rua José Lourenço Kelmer, s/n. CEP Juz de Fora, M paula.lagatta@gmal.com João Alberto Passos Flho Unversdade Federal de Juz de Fora (UFJF) Rua José Lourenço Kelmer, s/n. CEP Juz de Fora, M joao.passos@ufjf.edu.br Rcardo Mota Henrques Unversdade Federal de Juz de Fora (UFJF) Rua José Lourenço Kelmer, s/n. CEP Juz de Fora, M rcardo.henrques@ufjf.edu.br RESUMO Este trabalho tem por objetvo prncpal a proposção de uma formulação alternatva para o problema de Fluxo de Potênca Ótmo. Tal formulação leva em consderação a regulação prmára de frequênca de geradores síncronos. Isto é feto através da nclusão de restrções de ualdade adconas na formulação clássca do problema. Apesar de poder ser formulada com qualquer função objetvo, utlza-se neste trabalho uma função objetvo de máxmo carregamento do sstema. São utlzados dos sstemas teste para valdação da metodologa proposta. O prmero é um sstema tutoral de duas barras e o segundo um sstema de 6 barras que representa uma regão do SIN. PALAVARAS CHAVE: Fluxo de Potênca Ótmo, Otmzação, Fluxo de Potênca. Área prncpal: PO na Área de Energa ABSTRACT The man objectve of ths paper s to propose an alternatve formulaton for the OPF problem. Such a formulaton takes nto account the prmary frequency regulaton of synchronous generators. Ths s done wth addtonal equalty constrants n the classcal formulaton of the problem. Although t can be formulated wth any objectve functon, ths work uses an objectve functon of maxmum system loadng. Two test systems are used to valdate the proposed methodology. The frst one s a tutoral system and the second one s a small system of 6 buses, representng an equvalent regon of the Brazlan System. KEYWORDS: Optmal Power Flow, Optmzaton, Power Flow. Man area: OR n Energy 985

2 . Introdução O crescmento dos Sstemas Elétrcos de Potênca (SEP) devdo ao aumento da demanda de energa elétrca e à necessdade de maor confabldade, alado à necessdade de redução de custos operaconas resultou em uma nterlação cada vez maor entre os dversos sstemas de geração exstentes. Os sstemas nterlados são vantajosos na medda em que permtem ganhos energétcos através da coordenação da operação hdrotérmca, que garante melhor aprovetamento hdrológco entre as bacas exstentes. Também é possível ctar outras vantagens das nterlações, como por exemplo, garantr o controle de carga/frequênca quando da perda súbta de geração, socorro mútuo entre os subsstemas, compra e venda de energa entre eles. Contudo, com o aumento destas nterlações, a operação coordenada do sstema torna-se bastante complexa e os rscos de blecautes na rede aumentam snfcatvamente. É, portanto, necessáro das funções de planejamento e operação para que o desempenho alcançado seja compatível com os requstos de qualdade e segurança. Adconalmente, tornam-se necessáros para sua operação, conhecmentos pormenorzados de sua proteção. Além dsso, deve-se desenvolver ferramentas computaconas que facltem as análses rápdas das suas condções de regme permanente, segurança de tensão e establdade. A partr deste contexto, verfca-se que o problema de Fluxo de Potênca Ótmo (FPO) tem grande mportânca nos estudos atuas de sstemas de potênca de grande porte, como o caso do Sstema Interlado Naconal (SIN). Os problemas de FPO (Latorre, 995) nserem-se na área de Programação Não Lnear (PNL) de grande porte. A fnaldade prncpal de um FPO é o estabelecmento dos controles e a determnação do estado operatvo de um SEP que mnmza (ou maxmza) o valor de uma determnada função objetvo sujeta às restrções físcas e operaconas mpostas ao problema. No processo de solução, as varáves de controle que têm nfluênca sobre o valor da função objetvo são ajustadas automatcamente de modo a se obter o ponto ótmo de solução. As aplcações de FPO em sstemas de potênca são dversas. Por exemplo, a referênca ravlle et al (996) dscute a aplcação da ferramenta para a determnação do mínmo corte de carga de forma a restaurar um ponto operação vável, como também endereçado em Souza et al (2008) com auxílo de funções de energa. A modelagem polar ou retangular para o FPO é abordada em (Torres, 998), com a conclusão que, quanto ao desempenho, a dferença é rrelevante. O problema do tamanho do passo é abordado em (Torres, 200) com o objetvo de produzr um algortmo de FPO mas efcente. A questão de efcênca do algortmo é também abordada em (Almeda, 994), que propõe um FPO paramétrco que montora o camnho de solução e satsfaz as condções de Karush-Khun-Tucker (Luenberger, 2008). Em Castronuovo (200) é feto um estudo dos prncpas métodos de solução baseados em pontos nterores aplcados ao problema de FPO. O prncpal objetvo deste trabalho é propor uma formulação alternatva do problema de FPO. Nesta formulação são ncluídas restrções de ualdade que modelam o comportamento da regulação prmára de frequênca de geradores síncronos em regme permanente, permtndo a obtenção de estmatvas mas realstas de varação de frequênca e resposta de geração de potênca atva das máqunas do sstema. São utlzados dos sstemas teste, são eles: () o prmero de duas barras de valor tutoral; () o segundo um sstema de 6 barras que representa parte do SIN. Este trabalho está dvddo em 5 seções, nclundo esta. A seção 2 apresenta uma breve revsão dos prncpas concetos assocados à regulação prmára de frequênca em SEP. Na seção 3 é descrta a modelagem proposta para a modelagem do FPO com representação da regulação prmára. A seção 4 reúne os prncpas resultados obtdos a partr da aplcação da metodologa proposta em 2 sstemas teste. Fnalmente a seção 5 apresenta as prncpas conclusões com relação à metodologa proposta e dscute a evolução do trabalho de pesqusa. 986

3 2. Regulação Prmára de Frequênca Cargas se conectam ou se deslam de um sstema de potênca de forma aleatóra. Após essa varação de carga, o sstema atnge um novo estado de equlíbro, no qual, dentre outros parâmetros, pode não ter a mesma frequênca de operação da stuação pré-dsturbo. Um SEP tem uma característca nerente, denomnada de Regulação Própra, que consste bascamente na capacdade deste sstema de alcançar um novo estado de equlíbro, em resposta a uma varação nstantânea da potênca gerada com relação à potênca consumda, supondo que as undades geradoras do sstema não pudessem efetuar nenhum tpo de auxílo (Vera Flho, 984). A Regulação Própra é representada pelo parâmetro D chamado coefcente de amortecmento, cujo valor pode ser obtdo através de (). PD D () f onde ΔP D representa a varação de potênca atva demandada e Δf representa a varação da frequênca de operação do sstema. A Fura mostra uma curva típca representatva da varação da carga com a frequênca. f f Δf f 2 ΔP D P D2 P D P D Fura - Curva de varação da carga com a frequênca Valores típcos para D são baxos, entre % e 2% (Vera Flho, 984), (Kundur, 994), (Wollenberg and Wood, 996). O valor do coefcente de amortecmento ual a 2 snfca que uma varação de % da frequênca do sstema equvale a 2% de varação da carga. Para sstemas de grande porte, a varação de carga em certo nstante de tempo pode ser consderável, e devdo à relação dreta com a frequênca, tal parâmetro pode também sofrer grandes excursões de valor. Portanto, essa stuação hpotétca ndca a necessdade de se contar com controladores que atuem nesse desbalanço entre carga e geração. Exatamente por essa razão, as undades geradoras são dotadas de mecansmos de regulação de velocdade automátca, que atuam no sentdo de elevar ou reduzr a potênca do gerador, quando a velocdade (ou a frequênca) se afasta de seu valor de referênca (Vera Flho, 984). Essa regulação automátca é feta pelos reguladores de velocdade das máqunas, sendo denomnada de Regulação Prmára. Exstem bascamente dos tpos de reguladores de velocdade, a saber: reguladores sócronos e reguladores com queda de velocdade. A teora por trás dos reguladores sócronos foge ao escopo do arto, pos não possu partcpação satsfatóra em sstemas com mas de uma undade geradora (Vera Flho, 984), (Wollenberg and Wood, 996). Assm, a atenção será transferda apenas para os reguladores com queda de velocdade, cujo dagrama de blocos genérco pode ser vsto 987

4 através da Fura 2. ΔF + - k s ΔA R Fura 2 - Dagrama de blocos do regulador com queda de velocdade Na Fura 2, F representa a varação de frequênca em p.u., sendo a entrada do controlador, e A é a saída da malha de controle e representa a varação da abertura da admssão da turbna, em p.u. e R é o estatsmo da máquna e será defndo posterormente. O ntegrador ( k s ), sem a malha de realmentação convertera dretamente uma varação de frequênca F em uma varação da admssão da turbna A. A malha de realmentação, com o parâmetro R, surge como uma forma de mudar o valor da referênca a partr de seu ajuste. Ou seja, a realmentação é proporconal à varação da admssão da turbna. A função de transferênca que representa a malha de controle da Fura 2 pode ser deduzda da forma demonstrada em (2): k s A s k R R (2) F k R s s s k.r R k Usando valores em p.u., pode-se demonstrar que a varação da admssão da turbna é proporconalmente ual a varação de potênca atva gerada (Vera Flho, 984). Ou seja, a aproxmação representada através de (3) pode ser aplcada à (2), determnando assm (4). O parâmetro ( R ) é chamado de Energa de Regulação da Máquna, e R representa a característca estátca do regulador de velocdade, chamado de estatsmo. Para determnar essa característca estátca, basta utlzar-se o teorema do valor fnal na função de transferênca representado por (4), determnando assm (5). A P (3) P R F s (4) R k P F r.p. R Rearranjando a equação (5) pode-se obter a equação fnal dada por (6). P P ( f f0 ) 0 (6) 0 R A equação (6) corresponde a equação de uma reta que passa pelo ponto ( P, f 0 0 ), ou seja, em um caso base na qual a potênca gerada pela máquna P corresponde a uma 0 frequênca de operação do sstema dada por f 0. Essa equação de reta está representada no gráfco da Fura 3. (5) 988

5 f v f f 0 f c P 0 P M P Fura 3 - Característca estátca do regulador de velocdade A defnção formal do estatsmo representada por (7) é a varação de velocdade da máquna que se tem ao passar-se de carga zero (frequênca f v) a 00% da carga (frequênca f c), expresso em p.u. da velocdade nomnal (frequênca f n) (Vera Flho, 984). fv fc Rpu (7) fn O estatsmo R é uma medda da partcpação de cada máquna do sstema nas perdas e na varação de carga (Mlano, 200). Ou seja, na operação de um sstema com mas de uma máquna geradora que contenham reguladores de velocdade, o estatsmo de cada gerador defne a repartção de geração em um cenáro de aumento ou dmnução de carga, além das perdas. O valor deste parâmetro geralmente é dado na base em potênca aparente da máquna. Portanto, para o uso em estudos de fluxo de potênca, deve ser convertdo para a base do sstema em questão, com o uso de (8). bs bs bm P ( R ) p.u. ( R ) p.u. (8) bm P 3. Metodologa Proposta O FPO é formulado matematcamente como um problema genérco de programação não lnear, de acordo com o segunte formato padrão (9): Mnmze f(x) s.a. g ( x ) 0 h ( x ) 0 (9) Onde f(x) é a função objetvo, as equações g (x) = 0 são as restrções de ualdade e h j(x) 0 são as restrções de desualdade. No caso do FPO, as restrções de ualdade são estabelecdas pelas equações do fluxo de potênca atva e reatva da rede elétrca. Por outro lado, as restrções de desualdade são defndas pelos lmtes das varáves de controle e restrções físcas e operaconas do sstema. Neste trabalho é proposta uma metodologa alternatva do problema de FPO, consderando-se adconalmente como restrções de ualdade as equações que representam a resposta da regulação prmára de frequênca dos geradores síncronos do sstema. Adota-se a função objetvo de máxmo carregamento do sstema, de forma a se obter as margens de potênca atva do sstema. No entanto, é mportante ser destacado que qualquer função objetvo podera ser modelada segundo a formulação proposta neste trabalho. De forma resumda o que é proposto é a nclusão de uma equação adconal para 989

6 cada gerador do sstema. Tal equação é responsável por representar a característca de varação da geração de potênca atva dos geradores de acordo com as característcas das máqunas e respectvos ajustes na malha de controle responsável pela regulação prmára dos geradores. As equações de (0) à (9) mostram a formulação adotada: onde, nbl PL Max (0) Sujeto a: V V j, j V V P f P j, j P esp j cos j Bj sn j P PL j sn j Bj cos j Q QL R f f esp () (2) (3) mn max f f (4) mn Q V mn mn Fl Fl mn j mn j P P (5) max Q Q (6) max max V V (7) Fl Fl (8) j j max j Fl Fl (9) max j, j 2,, 3nb, e nb é o número de barras do sstema; 2,, 3ng, e ng é o número de geradores do sstema; nbl é o número de barras de carga partcpantes do carregamento; é o conjunto de todas as barras dretamente conectadas a barra ; As equações de () a (3), consttuem as restrções de ualdade do FPO, onde as duas prmeras são as equações de balanço de fluxo de potênca atvo e reatvo para cada nb barra do sstema, respectvamente. A tercera se refere à característca estátca do regulador com queda de velocdade para cada ng barra de geração, defnda em (Vera Flho, 984). Neste caso, a equação (3) rá defnr a dreção de varação da potênca atva gerada por cada gerador do sstema, dependendo do estatsmo R de cada máquna. Além esp esp dsso, dependerá novamente de um par de valores, f já conhecdo para a construção da equação para cada gerador. As nequações de (4) a (9) representam as restrções de desualdade da formulação do FPO, que contém os lmtes operaconas de um sstema de potênca, onde (4) representa os lmtes de frequênca de operação do sstema. As nequações (5) e (6) representam os lmtes de geração de potênca atva e reatva das barras de geração, respectvamente. Os lmtes de tensão nas barras do sstema estão representados em (7) e os lmtes de fluxo estão contdos em (8) e (9). A formulação descrta pelas equações (0) à (9) fo mplementada utlzando-se o ambente LINO (LINDO, 2008), que utlza métodos já estabelecdos de programação lnear, não lnear, lnear ntera msta, dentre outras, capazes de soluconar o problema. A plataforma LINO oferece lnguagem de programação própra, permtndo uma rápda mplementação de modelos de otmzação. P 990

7 4. Resultados Para valdação da metodologa proposta são utlzados dos sstemas teste de pequeno porte. O prmero é um sstema de duas barras de valor tutoral. O segundo sstema utlzado é composto por 6 barras, representando uma pequena parte do SIN e suas prncpas característcas. A segur são apresentados os resultados obtdos. 4. Sstema Teste de 2 Barras A Fura 4 mostra a topologa do sstema de duas barras estudado. A Fura 5 mostra o crcuto elétrco equvalente deste sstema. Devdo a grande smplcdade deste sstema a solução do máxmo carregamento pode ser obtda analtcamente. Também é mportante destacar que o estudo deste sstema tem objetvo de valdação da ferramenta desenvolvda e não representa de forma adequada a operação solada de uma carga por um gerador, uma vez que a regulação de frequênca podera ser feta por um regulador sócrono e não com estatsmo. E0 V Fura 4 - Sstema Radal Carga versus erador P,Q R X P,Q I V E0 Rc jx c Fura 5 - Crcuto Equvalente do Sstema Radal Carga versus erador A Fura 6 mostra a evolução da potênca atva consumda pela carga, módulo da tensão na carga e módulo da corrente da malha do crcuto da Fura 5 em função do crescmento da resstênca da carga. Consdera-se a carga totalmente compensada ( cos ) e a mpedânca do crcuto ual a 0 j0, 20 p.u.. A solução deste problema é bem conhecda na lteratura sendo mostrada abaxo: 2 E P max 2,50 p.u. (20) 2 X E V max 0,707 E 0,707 p.u. (2) 2 O FPO mplementado neste trabalho fo capaz de obter os mesmo resultados apresentados em (20) e (2) com efcênca. Além dsso, fo possível obter a frequênca do sstema no ponto de máxmo carregamento no valor de 52,53 Hz. Adotou-se neste teste 5 % de estatsmo no regulador de velocdade da máquna. Com a fnaldade de verfcar os resultados obtdos também fo desenvolvda uma ferramenta baseada na utlzação Fluxo de Potênca Contnuado (FPC) (Ajjarapu and Coln, 992), consderando-se a formulação do problema com a regulação prmára de frequênca. 99

8 Os resultados obtdos foram compatíves com aqueles obtdos com o FPO. As Furas 7 e 8 mostram as curvas de varação da tensão e frequênca com o carregamento do sstema que foram obtdas com o FPC. 5,0 Potênca Corrente Tensão 4,0 3,0 2,0,0 0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0,2,4,6,8 Fura 6 - Potênca, Corrente e Tensão versus Resstênca da Carga Como esperado o FPO fo capaz de dentfcar o ponto de máxmo carregamento sem a necessdade de se obter toda a trajetóra do sstema, como utlzado no FPC. R c,05 Tensão da barra em p.u. 0,95 0,9 0,85 0,8 0,75 0,7 0,65 0,6 Carregamento do Sstema em MW Fura 7 Tensão na barra de carga versus aumento de carregamento do sstema 992

9 6 Frequênca do Sstema em Hz Carregamento do Sstema em MW Fura 8 Frequênca do sstema versus aumento de carregamento do sstema 4.2 Sstema Teste de 6 Barras A topologa básca deste sstema é mostrada na Fura 9. Destaca-se que, apesar de pequeno porte, possu as prncpas característcas de sstemas de grande porte (representação de perdas, transformadores, equpamentos shunts, etc) /38 kv 3 3,8/345 kv 4 230/345 kv Base de Tensão 345 kv 230 kv 3,8 / 38 kv 345/230 kv /3,8 kv 6 230/3,8 kv Fura 9 Topologa do sstema teste de 6 barras (segundo sstema teste) Este sstema fo extraído a partr de dados do sstema de Furnas da regão oás/brasíla, em três níves de tensão (38 kv, 230 kv e 345 kv), como descrto em (Alves, 2007). A rede deste sstema fo montada a partr de trechos do sstema elétrco daquela regão. Apesar de se tratar de um sstema com aspectos ddátcos, este sstema apresenta característcas de um sstema real. O sstema possu duas áreas elétrcas, a Área concentra a rede de alta tensão (345 kv) e a Área 2 concentra a rede de baxa tensão (230 kv). Este sstema fo proposto em (Alves, 2007). 993

10 De acordo com o submódulo 23.3 dos Procedmentos de Rede do ONS, o esquema de alívo de carga por subfrequênca deve ser dmensonado para garantr, após a sua atuação, que a frequênca establze em 59,5 Hz e os lmtes de tensão a serem observados nos estudos elétrcos para a condção operatva normal e para condção operatva de emergênca são de,05 p.u. a 0,95 p.u. para tensões até 345 kv (ONS, 200). Os lmtes utlzados para frequênca e tensão foram os seguntes: 59,5 f 60,5 Hz, 0,95 V, 05 p.u., respectvamente. Com estas restrções estabelecdas, a Barra 4 apresentou a menor tensão em p.u. entre as nb barras. A frequênca do sstema fxou em 59,5 Hz com um carregamento total de 40,95 MW. Estes resultados são valdados com o PFC. Destaca-se que o aumento do carregamento fo lmtado pela restrção de frequênca do sstema. A Tabela mostra uma comparação entre as margens de carregamento obtdas com o FPO em três stuações dstntas. Na prmera não são consderadas as restrções de tensão e frequênca, na segunda são consderadas as restrções de tensão nas barras e, por últmo, consdera-se as restrções de tensão e a da frequênca. Tabela Valor da Tensão em barras do sstema de 6 Barras Lmtes Consderados Máxmo Carregamento (MW) Comparação Percentual Nenhum 820,24 00 % Tensão 459,00 55,96 % Tensão e Frequênca 40,95 50,0 % De forma a valdar a metodologa proposta outro teste fo realzado. Este consste em utlzar o FPC para avalação do máxmo carregamento do sstema, onde não são consderados lmtes. Em outras palavras, obtém-se o máxmo carregamento devdo a lmtação da capacdade de transmssão da rede. As Furas 0 e mostram a evolução do perfl de tensão das barras 3 e 6, respectvamente. A Fura 2 mostra a evolução da varação da frequênca do sstema. O ponto de máxmo carregamento obtdo pelo FPC fo 820,24 MW com a frequênca de 57,4345 Hz. O FPO proposto fo capaz de reproduzr com exatdão estes resultados se as restrções de tensão e frequênca não forem ncluídas., Tensão na barra em p.u. 0,9 0,8 0,7 0,6 Carregamento do Sstema em MW 0, Fura 0 Tensão na barra 3 de carga versus aumento de carregamento do sstema Na Fura 2 é possível verfcar que o carregamento do sstema quando a frequênca 994

11 passa pelo valor de 59,5 Hz está compatvel com os resultados obtdos pelo FPO proposto. Também é possível verfcar que o carregamento máxmo obtdo é mas restrtvo quando é consderado o lmte de varação de frequênca, mesmo quando se consdera o lmte de 0,95 p.u. para os valores de tensão., Tensão na barra em p.u. 0,9 0,8 0,7 0,6 Carregamento do Sstema em MW 0, Fura Tensão na Barra 6 de carga versus aumento de carregamento do sstema 60,5 Frequênca do Sstema em Hz , , ,5 Carregamento do Sstema em MW Fura 2 Frequênca do sstema versus aumento de carregamento do sstema É mportante destacar que o perfl de geração tanto de potênca atva quanto de potênca reatva no ponto de máxmo carregamento foram os mesmos no FPC e no FPO. Isto mostra que a modelagem computaconal do FPO reproduz o comportamento do sstema, onde os geradores respondem de acordo com suas característcas construtvas e ajustes nos controles. 5. Conclusões Este trabalho apresentou uma formulação alternatva para o problema de Fluxo de Potênca Ótmo. Nesta formulação as característcas de regme permanente da atuação da regulação prmára de geradores síncronos são ncluídas no problema através de restrções de ualdade. A metodologa proposta fo valdada através de dos sstemas testes. O prmero fo formado por apenas duas barras, tendo valor tutoral. O segundo teste utlzou um sstema de 6 barras que representa parte do Sstema Interlado Naconal. Os resultados obtdos 995

12 foram totalmente compatíves com uma formulação do Fluxo de Potênca Contnuado, onde as mesmas característcas dos reguladores de velocdade foram representadas. Neste sentdo, é possível conclur que a formulação do FPO proposto obteve resultados coerentes com os esperados. Os resultados mostrados mostraram que a metodologa proposta é coerente com outras ferramentas que consderam a regulação prmára de geradores em sua formulação, como por exemplo, o Fluxo de Potênca Contnuado. Além dsso, verfcou-se que a nclusão dos lmtes de frequênca pode ser mportante, pos em algumas stuações pode ser mas restrtva quando comparado com os lmtes obtdos onde os lmtes não são consderados. Avala-se que com o aumento da complexdade dos sstemas elétrcos, ferramentas computaconas que representem de forma adequada o comportamento do sstema são bem vndas. A partr de tudo o que fo exposto, acredta-se que a formulação proposta possa ser utlzada em estudos reas de sstemas de potênca de grande porte de forma complementar as ferramentas atualmente utlzadas. Referêncas Ajjarapu, Venkataramana, and Coln Chrsty. "The contnuaton power flow: a tool for steady state voltage stablty analyss." Power Systems, IEEE Transactons on 7, no. (992): Almeda, KC de, F. D. alana, and S. Soares. "A general parametrc optmal power flow." Power Systems, IEEE Transactons on 9, no. (994): Alves, Waschngton Fernandes. "Proposção de sstemas-teste para análse computaconal de sstemas de potênca". Dssertação de mestrado, UFF, Nteró, RJ, Brasl, Castronuovo, Edgardo Danel. "Aplcação de métodos de pontos nterores no fluxo de potênca ótmo não-lnear com utlzação de processamento de alto desempenho.". Tese de doutorado, UFSC, Floranópols, SC, Brasl, 200. ranvlle, S., J. C. O. Mello, and A. C.. Melo. "Applcaton of nteror pont methods to power flow unsolvablty." Power Systems, IEEE Transactons on.2 (996): Kundur, Prabha. Power system stablty and control. Tata Mcraw-Hll Educaton, 994. Latorre, M. L. Aplcação do Método de Pontos Interores Prmal-Dual para a Resolução do Problema de Fluxo de Potênca Ótmo. Dss. Tese de M. Sc., COPPE/UFRJ, Ro de Janero, RJ, Brasl, 995. LINDO System Inc., LINO - User s ude Luenberger, Davd., and Ynyu Ye. Lnear and nonlnear programmng. Vol. 6. Sprnger, Mlano, Federco. Power system modellng and scrptng. Sprnger, 200. Operador Naconal do Sstema (ONS). Submódulo 23.3 dos Procedmentos de Rede: Dretrzes e Crtéros para Estudos Elétrcos. Setembro, 200. Souza, A. C. Z., Rafael C. Leme, Luz Frederco B. Vasconcelos, B. Lopes, and Yur C. da Slva Rbero. "Energy functon and unstable solutons by the means of an augmented Jacoban." Appled Mathematcs and Computaton 206, no. (2008): Torres, eraldo Lete, and Vctor Hugo Quntana. "An nteror-pont method for nonlnear optmal power flow usng voltage rectangular coordnates." Power Systems, IEEE Transactons on 3, no. 4 (998): Torres, eraldo L., and Vctor H. Quntana. "On a nonlnear multple-centraltycorrectons nteror-pont method for optmal power flow." Power Systems, IEEE Transactons on 6, no. 2 (200): Vera Flho, Xsto. Operação de sstemas de potenca com controle automatco de geração. Campus, 984. Wollenberg, B., and A. Wood. "Power generaton, operaton and control." John Wley&Sons, Inc (996):