Algoritmo Genético Construtivo na otimização de problemas combinatoriais de agrupamentos

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1 Algortmo Genétco Construtvo na otmzação de problemas combnatoras de agrupamentos João Carlos Furtado LACESM/CT - UFSM - Unversdade Federal de Santa Mara Campus Unverstáro - Santa Mara - RS Luz Antono Noguera Lorena LAC/INPE- Insttuto Naconal de Pesqusas Espacas Av. dos Astronautas São José dos Campos - SP Resumo O Algortmo Genétco Construtvo (AGC) ntroduz novas característcas aos Algortmos Genétcos (AG) tradconas. É bem aceto que blocos construtvos (esquemas) formam a base para um bom comportamento dos AGs. Os esquemas entretanto são usualmente avalados ndretamente, avalando uma estrutura que o contenha. O AGC consdera uma população de tamanho varável que é composta por esquemas e estruturas, que são avalados através de um processo de adaptação proporconal. Eles são ncluídos na população se seus ranks ultrapassam um lmar dado por um parâmetro de evolução, que é atualzado a cada geração, e os esquemas e estruturas que já se encontram na população podem sar pelo mesmo teste. A recombnação procura preservar os bons esquemas, e uma mutação de busca local é aplcada a estruturas para obter a dversfcação da população. Para os problemas de agrupamentos os esquemas e estruturas são representados por cadeas bnáras, e heurístcas de atrbução complementam a representação de uma manera únca para três problemas de agrupamentos em grafos. Os problemas de agrupamento estudados são, o problema clássco das p-medanas (PPM), o problema capactado das p-medanas (PPMC) e o problema de agrupamento de corte mínmo (PCM). Resultados muto bons foram obtdos quando o AGC fo aplcado a nstancas dsponíves na lteratura. Palavras chave: Problemas de agrupamentos, problema das p-medanas, problema capactado das p-medanas, e problema de agrupamento de corte mínmo. 1. Introdução Problemas de agrupamento (clusterng) ocorrem geralmente na classfcação de dados para algum propósto, por exemplo, para a smples recuperação ou para efetuar uma análse nos dados. Qualquer algortmo de agrupamento procura grupos naturas ou nerentes aos dados, usando meddas de dstanca ou smlardades entre dados ndvduas [39,41]. Recentemente fo proposta uma versão construtva de Algortmos Evolutvos (chamada de Algortmo Genétco Construtvo (AGC)) e sua aplcação testada em alguns problemas de Otmzação Combnatóra (veja tese de doutorado de J. C. Furtado em Os Algortmos Genétcos baseam-se na evolução controlada de uma população de estruturas, e estão muto dfunddos nos das de hoje, apresentando váras aplcações bem suceddas a 1

2 problemas de otmzação [1,6,7,13,14,15,17,20,23,26,27,28,29]. Apresenta-se neste trabalho a aplcação do AGC a três problemas de agrupamentos em grafos. Suponha que desejamos encontrar em um grafo G=(V,E) uma partção do conjunto de vértces V em um número pré defndo (em geral) de grupos, otmzando alguma medda tomada na combnação dos pesos assocados aos vértces e/ou arestas. Os problemas de agrupamento examnados são o problema clássco das p-medanas (PPM), o problema capactado das p-medanas (PPMC) e o problema agrupamento de corte mínmo (PCM). No PPM o objetvo é localzar p facldades (medanas), de forma a mnmzar a soma das dstancas de cada vértce a sua facldade mas próxma. Hakm [18,19], fo o prmero pesqusador a formular o problema, para a localzação de uma únca facldade, em seguda, generalzando para múltplas medanas. Ele propôs um smples procedmento de enumeração para o problema. O problema é reconhecdamente NP-hard [12]. Dversas heurístcas têm sdo desenvolvdas para o problema das p-medanas. Algumas são usadas para obter boas soluções ncas ou para calcular soluções ntermedáras em nós numa árvore de busca. Tetz e Bart [40], Goodchld e Noronha [16] e Denshan e Rushton [8] propuseram heurístcas de troca. Rolland, Schllng e Current [35] aplcaram busca tabu, Rosng e ReVelle uma heurístca de concentração [36] e Rosng, ReVelle, Schllng e Current [37] compararam as duas propostas. Algortmos mas complexos exploram uma árvore de busca. Estes apareceram em Efroymson e Ray [9], Jarnven e Rajala e Snervo [21], Neebe [31], Chrstofdes e Beasley [5], Beasley [4] e Galvão e Ragg [10, 11]. Algumas abordagens bem suceddas usam nformações prmal/dual do problema (Senne e Lorena [38] e Beasley [2,4]). No PPMC são consderadas capacdades ao servço que será oferecdo pelas medanas. O servço total demandado pelos vértces dentfcados nos grupos das medanas não pode ultrapassar as capacdades de servço das medanas. Aparentemente este problema não fo tão estudado como o PPM. Problemas semelhantes aparecem em Klen e Aronson [24], Mulvey e Beck [30] e Osman e Chrstofdes [32]. Neste últmo trabalho encontra-se uma bblografa razoavelmente completa de outros trabalhos relaconados ao problema, e alguns problemas testes. O PCM consderado neste trabalho consdera a formulação dada em Johnson e Mehrotra [22]. É o problema de partconar o conjunto de vértces V em p agrupamentos, tal que a soma dos pesos dos vértces nos agrupamentos esteja entre lmtes nferor e superor, enquanto que a soma dos pesos das arestas é maxmzada (ou a soma dos pesos das aresta que estão fora dos agrupamentos é mnmzada). Os problemas são formalzados a segur. PPM : Dado um conjunto de n pontos de demanda (vértces) V = {1,,n} e uma matrz de dstancas (pesos) [µ jl ], µ jl 0, µ jj =0 e µ jl =µ lj para todo j,l V, ndcando dstancas entre pares de vértces. O conjunto V é partconado em 2

3 p grupos, 2 p<n, C 1,C 2,...,C p, e V 1 ={ζ 1,...,ζ p }, V 1 V, é o conjunto de índces das medanas de cada grupo (os pontos de servço) ζ C, = 1,...,p. O problema PPM procura por partções de V que mnmzam p = 1 j C µ ζ j. PPMC: Suponha agora que para cada ponto de demanda j V exste um servço postvo demandado a j. Seja Q a capacdade do grupo. O PPMC procura por partções de V que mnmzam p = 1 j C µ ζ j, PCM: satsfazendo a j Q, =1,...,p. j C µ e, os custos não negatvos das arestas em C, e admta que cada grupo tenha lmtes de capacdade ( Q mn e Qmax ). As medanas não são consderadas para o PCM e o objetvo é dentfcar a partção C 1,C 2,...,C p que Seja EC ( ) o conjunto de arestas referente a C, e e E( C ) maxmza p = 1 e E µ e, ( C ) satsfazendo Q a Q mn j C j max, =1,...,p. Neste trabalho, ncalmente apresentamos uma revsão do AGC, destacando suas prncpas característcas, bem como sua aplcação aos problemas PPM, PPMC e PCM. Fnalmente os resultados computaconas e conclusões são apresentados. 2. Algortmo Genétco Construtvo - resumo Apresentamos nesta seção um resumo do AGC e as defnções necessáras para sua aplcação aos problemas de agrupamento. Uma vsão geral do AGC pode ser dada através do pseudocódgo: AGC {Algortmo Genétco Construtvo} α := 0 ; ε := 0.05; { ntervalo de tempo } Incalze P α ; { população ncal } 3

4 Avale P α ; { adaptação proporconal } Para todo s k P α calcule δ ( s k ) { calculo do rank } fm_para Enquanto (não condções de parada) faça Para todo s k P α satsfazendo α <δ ( s k ) faça { teste de evolução } α := α + ε ; Selecone P α de P α-ε ; { operador de reprodução } Recombne P α ; { operadores de recombnação } Avale P α ; { adaptação proporconal } fm_para Para todo novo s k P α calcule δ ( s k ) { calculo do rank } fm_para fm_enquanto Alguns passos no algortmo AGC são sensvelmente dferentes de um Algortmo Genétco clássco. O AGC trabalha com uma população dnâmca, que cresce com o uso dos operadores de recombnação, e pode decrescer guado pelo parâmetro de evolução α (aumentado de ε a cada geração). Quando uma estrutura ou esquema é crada, recebe uma avalação proporconal e seu rank δ ( s k ) que será usado no teste de evolução. Outra dferença central é a consderação explcta de esquemas e o novo processo de avalação-fg (veja os detalhes em Representação de estruturas e esquemas Vamos usar uma cadea com alfabeto bnáro para a representação dos três problemas de agrupamentos. Heurístcas de atrbução fazem a correspondênca entre estruturas e esquemas e o problema de agrupamento em questão. Alguns vértces são eletos como vértces sementes, sto é, os vértces ncas de cada grupo, que rão atrar de alguma manera os outros vértces que partcpam da representação. Para qualquer dos três problemas de agrupamento (PPM, PPMC e PCM), (1,0,0,0,0,0,0,0,1,1), é uma estrutura para um problema de 10 vértces onde procura-se a formação de 3 grupos, enquanto que (1,#,0,0,0,#,0,0,1,1) é o que chamamos de esquema (os vértces 2 e 6, representados por #, não estão sendo consderados). Seja V 1 ={ζ 1,...,ζ p }, o conjunto de índces dos vértces sementes (representados por 1 nas cadeas) de cada grupo que será formado. Para a estrutura e esquema acma, V 1 ={1,9,10}. Seja V 2 o conjunto de índces dos vértces não-sementes (representados por 0 nas cadeas). A correspondênca com cada um dos problemas é feta aplcando as seguntes heurístcas de atrbução: HA-PPM 1) Incalze os grupos com a atrbução dos vértces sementes C 1 ={ζ 1 }, C 2 ={ζ 2 },..., C p ={ζ p }, 4

5 2) Atrbua os vértces não-sementes a seu vértce semente mas próxmo, formando a partção C 1,C 2,...,C p HA-PPMC 1) Incalze os grupos com a atrbução dos vértces sementes C 1 ={ζ 1 }, C 2 ={ζ 2 },..., C p ={ζ p }, 2) Enquanto a capacdade de cada grupo permtr, atrbua os vértces nãosementes a seu vértce semente mas próxmo, formando a partção C 1,C 2,...,C p HA-PCM 1) Incalze os grupos com a atrbução dos vértces sementes C 1 ={ζ 1 }, C 2 ={ζ 2 },..., C p ={ζ p }, 2) Enquanto a capacdade de cada grupo permtr, atrbua os vértces nãosementes ao grupo que traga maor retorno da soma dos pesos das arestas formadas pelo conjunto que compõe os vértces do grupo e o vértce nãosemente consderado, ponderado pelo número de elementos do grupo. No caso dos problemas PPM e PPMC os vértces sementes são as medanas que atraem os outros vértces mas próxmos para seus grupos. No caso do problema PCM, os vértces sementes não são medanas, mas somente vértces ncas que atraem os outros vértces para os grupos População ncal A população ncal P 0 é formada somente por esquemas, que são gerados aleatoramente. Em cada esquema exstem exatamente p sementes dstrbuídas em posções aleatóras e 20% dos demas vértces são também dstrbuídos em posções aleatóras (não-sementes). Os vértces restantes não são consderados. Conforme o problema consderado, as heurístcas HA-PPM, HA-PPMC e HA-PCM são então aplcadas a cada esquema, obtendo seus grupos correspondentes Avalação de esquemas e estruturas Como as estruturas da população ncal são esquemas, não representam soluções para o problema (alguns vértces não estão sendo consderados), uma avalação dreta com a função objetvo de cada problema não faz sentdo. Assm, uma das prncpas característcas deste novo método de otmzação esta baseada em uma avalação dupla, chamada de avalação-fg, descrta a segur. Consderando P α, a população no tempo α, são defndas as funções f:p α R + e g:p α R +, admtndo-se, sem perda de generaldade, que g(s k ) f(s k ). É também defndo um lmte superor para o valor da função g,.e., g max g( s ). A fgura 1 mostra grafcamente a defnção das funções f, g e g max. max sk Pα k 5

6 Fgura 1: Representação gráfca das funções de avalação. A população é formada de m estruturas. Para cada estrutura exstem duas funções de avalação que sugerem o processo de adaptação da estrutura ao meo. O valor dessas funções produzem lmtes que serão usados em um processo semelhante ao usado no algortmo A* [33] e permtem que a população consga evolur, usando como nformação o desvo em relação ao valor máxmo g max. O desvo percentual esperado em relação a g max será dado por d. Para cada estrutura s k, exste um desvo percentual entre os valores g(s k ) e f(s k ) em relação a g(s k ), que será dada por: g( sk ) f ( sk ) d k =, = 1,..., m. g( sk ) Para um mesmo desvo absoluto g(s k ) - f(s k ) o desvo percentual dmnu com o aumento de g(s k ). Uma estrutura deve ser elmnada da população se, para algum valor de α (α 0), d g max d k g(s k ) + α d (g max - g(s k )). O objetvo a ser alcançado (esperado) é representado por d.g max, enquanto a estrutura s k possu um desvo d k g(s k ). O desvo d (g max - g(s k )) representa o desvo esperado para atngr g max a partr de g(s k ). Para 0 α 1 a heurístca sera admssível. dgmax d g( sk ) O parâmetro α 0 poderá ser solado como α = δ ( sk ) para d( gmax g( sk )) ndcar quando a estrutura dexara de ser admssível na população. Isso corresponde a retrar a estrutura s k da população. O parâmetro α é consderado um elemento de controle da evolução da população ncal. Consdera-se varar α a partr de zero, em pequenos ntervalos de evolução, onde novas gerações são cradas. Cada estrutura s k, quando crada recebe um valor δ(s k ) que ndca o seu tempo de permanênca na população. Quanto menor o seu valor d k, melhor será sua adaptação, e poderá permanecer mas tempo na população, e com maor probabldade de partcpar dos operadores recombnação e mutação. Quanto maor a dferença g max - g(s k ), menor seu tempo de permanênca na população. Nossa condção de parada será quando a população for completamente elmnada ou para um determnado número de gerações. No processo a melhor estrutura será preservada. 6

7 2.4. Funções de avalação para os problemas PPM, PPMC e PCM Partcularzando as funções f, g e o parâmetro g max para cada problema: PPM e PPMC Após a aplcação das respectvas heurístcas HA-PPM ou HA-PPMC aos esquemas e/ou estruturas da população P α, a função g é defnda como g p ( sk ) = ζ j = 1 j C ( s ) onde λ mn { } k µ ζ j j C ( s ) k p µ ; e a função f defnda como f( sk) = λ. [ C( sk) ] = é a menor dstanca que fo atrbuída ao grupo, e C ( s ) é a cardnaldade do conjunto C ( s ). k Claramente f(s k ) g(s k ), para todo s k P α. Idealmente a dferença g(s k ) - f(s k ) deve sufcentemente pequena. Se s k é uma estrutura então a função g produz o valor de uma solução ao problema. Este valor solado não tem sgnfcado quando s k é um esquema, e o uso da função f em conjunto com a função g apresenta uma avalação proporconal do esquema (ou da estrutura) que esta sendo consderado. PCM Após a aplcação da heurístca HA-PCM os p (= V 1 ( s k ) ) grupos C( sk) são V 1 ( s k ) = ζ 1, ζ 2,..., ζ p. dentfcados, correspondentes ao conjunto semente { } EC [ ( sk) ] é o conjunto de arestas no subgrafo nduzdo pelo grupo C sk ( ). O PCM fo formulado como um problema de maxmzação, e neste caso, quando s k é uma estrutura, a função f dará o valor da função objetvo. Ela é defnda como p p f( s k ) = µ e, e a função g é defnda como gs ( k) = λ EC [ ( sk) ], = 1 e E[ C( sk) ] = 1 onde λ ( ) µ = max e é o maor peso entre as arestas de C( sk). e E C s { } [ k ] Para os três problemas, o lmte superor comum g max é obtdo no níco do algortmo AGC, gerando uma estrutura completa de forma aleatóra e fazendo g max receber a avalação g para esta estrutura. Para assegurar de que g max será sempre um lmte superor, depos da recombnação cada estrutura nova s nova será rejetada se g max g(s nova ) Seleção e recombnação Após a geração de cada estrutura e posteror avalação, é atrbuída uma ordem na população baseada em dos crtéros: = 1 1, k 7

8 esquemas que consderam uma fração maor dos dados do problema; estruturas ou esquemas onde a dferença relatva entre os valores das funções f e g forem menores. 1+ d k Assm, a população é ordenada pela chave: ( sk ) =. V1 + V2 Um operador rá seleconar duas estruturas e/ou esquemas que devem recombnar-se de forma a gerar uma ou váras novas estruturas e/ou esquemas. Na escolha das duas estruturas e/ou esquemas, s base e s gua, a estrutura s base é seleconada entre as n prmeras (melhores) estruturas na ordenação e s gua é seleconada na população ntera; Uma vez seleconadas as duas estruturas, se s base é um esquema, o operador recombnação é usado para a construção de uma nova geração na população. Denomnaremos s base de esquema base e de s gua esquema ou estrutura gua. Na recombnação, cada label do esquema base é comparado ao correspondente (na mesma posção) no esquema ou estrutura gua. Dversas recombnações podem ocorrer e exstrá um tratamento para cada caso (examnados nesta ordem): Caso 1: Quando base e gua apresentam labels guas, o esquema ou estrutura resultante não é alterado. base: ( 1,0,#,0,1,#,1,#) gua: ( #,0,1,1,1,#,0,0) resultante: ( _,0,_,_,1,#,_,_) Caso 2: Quando a base apresenta um label dferente de # e a gua apresenta um label gual a #, o label da base é preservado. base: ( 1,0,#,0,1,0,1,#) gua: ( #,0,1,1,1,#,0,0) resultante: ( 1,_,_,_,_,0,_,_) Caso 3: Quando a base apresenta um label gual a # e a gua um label gual a 0, o label resultante será 0. base: ( 1,0,#,0,1,0,1,#) gua: ( #,0,1,1,1,#,0,0) resultante: ( _,_,_,_,_,_,_,0) Caso 4: Quando a base apresenta um label dferente de 1 e a gua um label gual a 1. Neste caso, uma semente esta sendo ntroduzda na estrutura resultante. Uma vez que o número de sementes em cada estrutura deve ser gual a p, uma semente da base deve ser retrada e substtuída por um vértce que não seja semente, ou seja, um label gual a 0. Como podemos retrar da base qualquer uma das p sementes exstentes, dos crtéros podem ser usados: escolher aleatoramente uma das sementes e realzar sua substtução, o que acarretará em um nova estrutura; realzar a substtução das p sementes, o que acarretará em p novas estruturas. Usando o segundo crtéro, temos como exemplo: 8

9 base: ( 1,0,#,0,1,#,1,#) gua: ( #,0,1,1,1,#,0,0) resultantes: ( 0,0,1,0,1,#,1,#) ( 1,0,1,0,0,#,1,#) ( 1,0,1,0,1,#,0,#) Caso 5: Quando a base apresenta um label gual a 1 e a estrutura gua apresenta um label gual a 0. Neste caso, o label resultante será gual a 0, no entanto, a estrutura terá p -1 sementes. Desta forma, é necessáro que algum vértce que não pertenca ao conjunto de sementes passe a ser uma semente. Novamente exstem duas possbldades: escolher aleatoramente um vértce que não é semente e torná-lo semente; substtur todos os vértces que não são sementes por sementes, dando orgem a tantas novas estruturas quanto o número de vértces que não são sementes na estrutura base. Usando o segundo crtéro, temos: base: ( 1,0,#,0,1,#,1,#) gua: ( #,0,1,1,1,#,0,0) resultantes: ( 1,1,#,0,1,#,0,#) ( 1,0,#,1,1,#,0,#) Além do operador recombnação, usamos o operador mutação. Este operador é aplcado no caso em que s base é uma estrutura completa. Na mutação, cada semente da estrutura permuta de posção com os vértces que não pertencem ao conjunto das sementes, gerando novas estruturas ( V - V 1 estruturas). No algortmo mplementado, ncamos com o operador recombnação, não havendo mutação. A medda que novas estruturas são geradas, o operador mutação torna-se mas freqüente, chegando ao fnal do processo como únco operador. 3. Resultados computaconas O AGC fo testado ncalmente em uma amostra dos dados para o PPM que se encontram na OR-lbrary [3]. Os tamanhos das nstancas são 100, 200, 300, 400, e 500 vértces. O número de medanas vara de 5 a 67. Os resultados computaconas estão apresentados na tabela 1. A solução do AGC é a avalação de g(s k ) para a melhor estrutura gerada. O gap = [(solução AGC - Solução ótma)*100]/(solução AGC). Todos os gaps foram menores que 0.73% e nulos para nove nstancas. O algortmo fo codfcado em C, e os testes avalados em um Pentum 166 Mhz. Pode ser notado na tabela 1 que um número grande de medanas aumenta o tempo computaconal. Isso ocorre pelo uso mas ntensvo da busca local de mutação. O controle de evolução (ntervalo de tempo) usado fo: ε = 0.05 para 0 α 1 e ε = para α > 1; e o desvo proporconal admtdo d =

10 Problema Vertces (n) Medanas (p) Solução ótma Solução AGC gap (%) Tempo (segundos) pmed pmed pmed pmed pmed pmed pmed pmed pmed pmed pmed pmed pmed Pmed Tabela 1: Resultados computaconas dos testes realzados. Para o problema pmed1 traçamos os seguntes gráfcos (fguras 1 a 4): Fgura 1: Tamanho da população por geração Fgura 3: Melhor dk por geração Tamanho da população Gerações Melhor gap proporconal 0,5 0,4 0,3 0,2 0, Gerações Fgura 2: Número máxmo de vértces por geração Fgura 4: Melhor valor de g por geração Numero de vértces Gerações Melhor avalação de g Gerações 10

11 Onde: Fgura 1: Mostra como vara o tamanho da população; Fgura 2: Mostra o crescmento do número de vértces da estrutura com máxmo valor V 1 + V 2 por geração; Fgura 3: Mostra os valores do desvo d k em função do número de gerações; e Fgura 4: Mostra a evolução da função objetvo g(s k ) em relação as gerações. O AGC fo também aplcado a um conjunto de nstancas do PPMC, propostas no trabalho de Osman e Chrstofdes [32]. Foram consderados dos conjuntos de 10 nstancas, com (50x5) e (100x10) vértces e medanas, respectvamente. A tabela 2 apresenta os gaps para a melhor solução de 7 heurístcas, e o tempo médo para 5 replcações do AGC. As colunas representam a dentfcação do problema, resultados de heurístcas usadas em [32] (H.OC, H1+F1, H1+B1, HSS.OC, HSS.C e TS1+FBA), os gaps obtdos pelo AGC e os seus tempos. A heurístca H.OC é uma heurístca construtva smples, enquanto que H1+F1 e H1+B1 ncam com o resultado de H.OC e realzam permutações usando as estratégas frst mprove e best mprove. Os algortmos HSS.OC e HSS.C são mplementações de smulated annealng que usam estratégas dstntas de resframento da temperatura. O algortmo TS1+FBA mplementa uma versão da busca tabu [32]. Observando os resultados na tabela 2, pode-se conclur que o AGC apresenta resultados tão bons quanto TS1+FBA e lgeramente por que HSS.OC e HSS.C, sto é, os melhores resultados são comparáves. Prossegumos os testes computaconas com nstancas do PCM propostas no trabalho de Johnson e Mehrotra [22]. Dos conjuntos de nstancas foram testados, o prmero com Q=450 e o segundo com Q=512. O número de vértces, grupos e arestas varam, e as soluções ótmas dos problemas foram obtdas em [22] usando um método exato. A tabela 3 apresenta os resultados da aplcação do AGC nas nstancas. O gap neste caso é calculado por gap = [(solução ótma solução AGC)*100]/(solução ótma). O resultados do AGC podem ser consderados bons, com tempos computaconas baxos. 4. Conclusões Os resultados mostram que o AGC é efcente na otmzação dos problemas de agrupamentos consderados. Observamos que em mutas nstâncas o algortmo fo capaz de obter a solução ótma num pequeno ntervalo de tempo, fcando no geral a menos de 1% da solução ótma. Verfcamos que exste maor dfculdade em obter boas soluções quando o número de sementes é maor. Acredtamos que sto ocorre devdo a representação usada para as estruturas. O AGC é um método flexível,.e., outras restrções poderam ser faclmente tratadas nos problemas, e exste muta lberdade também na defnção das heurístcas de atrbução. 11

12 A representação usada e os decodfcadores de atrbução (heurístcas) podem ser usados em outros problemas de agrupamentos, mas é mportante salentar que os concetos báscos do AGC são ndependentes da representação e decodfcadores. Alguns resultados anterores usam representações dferentes na aplcação do AGC aos problemas de Cortes b-dmensonal [25] e ao problema da k-coloração [34]. Fnalmente, acredtamos que uma análse mas profunda dos parâmetros empregados pode trazer anda melhores resultados. Agradecmentos: O trabalho do segundo autor recebeu apoo parcal do CNPq através dos projetos de números /91-5, /96-3, /95-6 e da FAPESP nos projetos números 95/ e 96/ Problema H.OC H1+FI H1+BI HSS.OC HSS.C TS1+FBA AGC Tempo (s) 1 10,23 9,39 14,72 0 2,94 2, ,27 2,97 5, ,42 7,98 8, ,86 0 0, ,08 12,34 1, ,36 8,09 8, ,99 8,25 4,70 0 2, ,24 1,70 2, ,12 0, ,17 2,79 2, ,67 1,80 7, , ,04 1,39 1, ,29 0, ,21 3,93 0, ,20 0, ,01 11,50 2, ,49 1,62 7,33 0,30 0 0,30 0, ,91 0,54 4, , ,58 11,42 4, ,31 0, ,02 6,76 5,60 0,48 0,29 0, ,95 4,41 8,91 0,19 0,19 0,19 0, ,48 7,17 9,11 0 0,09 0,29 0, ,26 3,08 2,48 0 1,39 0 3, Tabela 2: PPMC: gaps do AGC e de heurístcas de Osman & Chrstofdes. Problema Q Vértces p Arestas Solução ótma AGC Gap (%) Tempo (s) 1 Cb Cb Cb , Cb , Cb , Cb , Cb , Cb , Cb , Cb , Tabela 3: Problema PCM: resultados do AGC. 12

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