Representação analítica da Função de Custo Imediato e da Função de

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1 Representação analítca da Função de Custo Imedato e da Função de Produção Hdrelétrca na Programação Dnâmca Dual Estocástca Alexandre da Slva Fernandes Unversdade Federal de Juz de Fora alexandre.fernandes@engenhara.ufjf.br André Lus Marques Marcato Unversdade Federal de Juz de Fora andre.marcato@ufjf.edu.br Ivo Chaves da Slva Junor Unversdade Federal de Juz de Fora vo.junor@ufjf.edu.br RESUMO O aumento da partcpação na geração de energa a partr de fontes renováves e o desenvolvmento de bateras capazes de armazenar energa a curto prazo tem levado à necessdade da representação de cargas em períodos mas curtos, mesmo no planejamento energétco a médo prazo. No entanto, essa representação causa grande esforço computaconal quando se deseja otmzar a operação de sstemas hdrotérmcos complexos. Uma abordagem alternatva para redução do esforço computaconal, no âmbto da Programação Dnâmca Dual Estocástca (PDDE), é a representação analítca da Função de Custo Imedato (FCI) de cada estágo. Nesse contexto, este trabalho apresenta uma metodologa para o cálculo da FCI em conjunto com a representação da Função de Produção Hdrelétrca (FPH) de cada usna como proposta de uma modelagem mas realsta do sstema como um todo. PALAVRAS CHAVE. Função de Custo Imedato, Função de Produção Hdrelétrca, Programação Dnâmca Dual Estocástca. Tópcos: EN - PO na Área de Energa, PM - Programação Matemátca ABSTRACT The ncrease partcpaton of renewable generaton plants and the development of effectve short-term energy storage batteres has caused the need for representaton of demand, even n smaller tme ntervals n medum-term energy plannng. However, ths representaton cause wde computatonal effort to optmze the operaton of complexes hydrothermal systems. An alternatve approach to reduce computatonal effort s the analytcal representaton of Immedate Cost Functon (ICF) for each stage n Stochastc Dual Dynamc Programmng (SDDP). Thus, ths paper presents a methodology for calculaton of the ICF wth the representaton of Hydroeletrc Producton Functon (HPF) of each hydro plant as a proposal for a more realstc modelng of the system. KEYWORDS. Immedate Cost Functon, Hydroelectrc Producton Functon, Stochastc Dual Dynamc Programmng. Paper topcs: EN - OR n Energy, PM - Mathematcal Programmng

2 1. Introdução O objetvo do planejamento da operação de um sstema hdrotérmco é determnar, a cada mês, as metas de geração para cada usna de forma a atender a demanda e que mnmzem o custo total de operação ao longo do período planejado [CEPEL, 2017]. Em sstemas com predomnânca de geração termoelétrca as ncertezas não possuem muta mportânca, sendo necessáro apenas utlzar as usnas térmcas em ordem crescente de custo. Em contrapartda, para sstemas com predomnânca de geração hdrelétrca, como é o caso do Brasl, as decsões geram consequêncas futuras, sendo que os níves dos reservatóros no futuro dependem da quantdade de água que se utlza hoje para gerar energa [ONS, 2017b]. Dessa forma, o problema do planejamento da operação para sstemas hdrotérmcos possu algumas característcas mportantes, tas como: acoplamento temporal: o uso ou armazenamento de água no presente afeta o custo de geração no futuro; natureza estocástca: ncerteza em relação ao cenáro hdrológco futuro; acoplamento espacal: as usnas são dspostas em cascata, logo, a decsão de retenção ou lberação de água de uma usna afeta a afluênca total das usnas à jusante. [Penna, 2009]: O problema da otmzação do despacho hdrotérmco a médo prazo é de natureza dnâmca, dado que o estado de um estágo nfluenca os estágos subsequentes, e estocástca, devdo a mprevsbldade do cenáro de afluênca futuro. Sendo assm, a aplcação da Programação Dnâmca Dual Estocástca (PDDE) vêm sendo largamente utlzada em problemas desta natureza, sendo ncalmente apresentado na década de 80 [Perera, 1989]. Trata-se de um algortmo de otmzação baseado na Decomposção de Benders [Perera e Pnto, 1985] e bastante requstada no planejamento energétco, conforme podem ser verfcados em [Thome et al., 2013], [Perera et al., 2015] e [Gjerden et al., 2015]. Mas também podem ser usados em outras aplcações, como na decsão estratégca para seleção de transportadoras de cargas no ambente de competção por lelão [Fhoula et al., 2013] ou anda para avalar o rsco assocado ao nvestmento de captal em sstemas de energa [Newham e Wood, 2007]. No contexto do planejamento energétco, a tendênca atual é a representação horára de cargas em modelos de despacho hdrotérmco, devdo prncpalmente à penetração crescente de geração renovável de energa combnado com o desenvolvmento de bateras mas efcazes, capazes de estocar energa no curto prazo. No entanto, essa representação causara um aumento sgnfcatvo das dmensões do problema, ocasonando um menso esforço computaconal em um sstema grande e complexo como o braslero [Metello, 2016]. Em [Metello, 2016], a autora propõe a representação analítca da Função de Custo Imedato (FCI) no contexto da PDDE para dmnur o esforço computaconal de um modelo com representação horára da carga. Além dsso, a autora desenvolveu técncas de obtenção da FCI, tanto para um sstema solado quanto em sstemas nterlgados. Além dsso, para obter uma modelagem mas realsta do sstema sera necessára a nclusão do modelo não lnear de geração hdrelétrca das usnas. Em [Ramos, 2015] e [Dnz e Macera, 2008] é proposta uma representação analítca da Função de Produção Hdrelétrca (FPH), caracterzada por um modelo lnear em quarta dmensão. Nesse contexto, o presente trabalho propõe uma modelagem híbrda de um sstema solado usando a representação analítca tanto da FCI quanto da FPH no contexto da PDDE, a partr de adaptações das metodologas encontradas nos trabalhos supractados. Fnalmente, será feto um comparatvo do planejamento energétco usando a PDDE padrão, a PDDE com representação da FCI e o modelo híbrdo da PDDE desenvolvda neste trabalho aplcado ao subsstema sul braslero, avalando seus benefícos e desafos na sua mplementação.

3 2. Modelagem A modelagem descrta a segur é uma versão adaptada do que é apresentado em [Perera e Pnto, 1991], [Metello, 2016], [Ramos, 2015] e [Dnz e Macera, 2008], conforme menconado na seção anteror. Cada estágo do problema representa um mês de operação, dado pelos índces t = 1, 2,..., T. Dentro de cada estágo há uma representação horára de carga (730 horas mensas) a ser consderada, ndexados por τ = 1, 2,..., τ, denomnados ntra-estágos. A segur são apresentados detalhadamente as varáves e restrções do problema de otmzação do despacho hdrotérmco em um determnado estágo t da PDDE padrão. Os subíndces = 1, 2,..., I referencam as usnas hdrelétrcas do sstema e j = 1, 2,..., J representam as usnas térmcas. α t = Mn τ j (c j g t,τ,j ) + c d def t,τ + α t+1 (2.1) sujeto a : vf t, = ˆv t, + â t, + m M (vt t,m + vv t,m ) vt t, vv t,, I (2.2) e t,τ + j g t,τ,j + def t,τ = ˆδ t,τ, τ τ (2.3) e t = (ρ vt t, ) (2.4) e t,τ = e t τ (2.5) v vf t, v, I (2.6) 0 vt t, vt, I (2.7) 0 vv t, vv, I (2.8) 0 e t,τ e τ, τ τ (2.9) 0 g t,τ,j g j, τ τ, j J (2.10) def t,τ 0, τ τ (2.11) α t+1 0 (2.12) α t+1 (ˆπ p t+1, vf f,) + ˆε p t+1, p P (2.13) onde α t é o custo total no estágo t; c j é o custo de geração da térmca j; g t,τ,j é a energa gerada no estágo t e hora τ pela térmca j; c d é o custo assocado ao corte de carga; def t,τ é o défct de energa no estágo t e ntra-estágo τ; α t+1 é o custo futuro vsto pelo estágo t; vf t, é o volume da usna no fm do estágo t; ˆv t, é o volume ncal da usna no estágo t (ˆndca um valor conhecdo); â t, é o volume afluente da usna no estágo t; vt t, é o volume turbnado pela usna no estágo t; vv t, é o volume vertdo pela usna no estágo t;

4 vt t,m é o volume turbnado pela usna m no estágo t; vv t,m é o volume vertdo pela usna m no estágo t; m M é o conjunto das usnas à montante da usna ; e t,τ é a energa gerada por todas as hdrelétrcas no ntra-estágo τ do estágo t; ˆδ t,τ é a carga resdual (carga - geração renovável) no ntra-estágo τ do estágo t; e t é a energa gerada por todas as hdrelétrcas no estágo t; ρ é a produtbldade hdrelétrca da usna (normalmente consdera-se a produtbldade para volume útl em 65%); v é o volume mínmo armazenado na usna ; v é o volume máxmo armazenado na usna ; vt é o volume máxmo turbnado pela usna ; vv é o volume máxmo vertdo pela usna ; e τ é a máxma energa gerada por todas as hdrelétrcas em cada ntra-estágo τ; g j é a energa máxma gerada pela térmca j; p P são os hperplanos (corte de Benders) da Função de Custo Futuro (FCF); ˆπ p t+1, é o coefcente do corte p assocado à hdrelétrca ; é o termo ndependente do corte p. ˆε p t+1 A equação (2.1) representa a função objetvo do problema a ser mnmzada, dada pela soma do custo medato, devdo à geração térmca e possíves défcts, com o custo futuro, que por sua vez está assocado com o nível de armazenamento de água nas usnas. Em (2.2) têm-se a equação de balanço hídrco em cada usna hdrelétrca. Em (2.3) têm-se a equação de atendmento à demanda do sstema, onde a soma da energa hdrelétrca com a energa termelétrca e o défct é gual à carga resdual. As equações (2.4) e (2.5) tratam da geração de energa hdrelétrca e podem ser combnadas em apenas uma equação. Os lmtes operatvos das varáves são dados em ( ). Por fm, a nequação (2.13) traz os cortes da FCF, também chamada de corte de Benders. O problema de otmzação do despacho hdrotérmco dado pelas equações ( ) é um problema de Programação Lnear (PL), resolvdo por qualquer software comercal de otmzação. Consderando o subsstema sul braslero, com I = 28 usnas hdrelétrcas e J = 14 usnas térmcas e uma representação horára de carga τ = 730, chega-se a um total de varáves e 759 restrções de gualdade. Na PDDE, a PL ( ) deverá ser otmzada um enorme número de vezes, como pode ser vsto pela equação (2.14). N = T S (1 + L) K (2.14) onde N é o número de vezes que a PL é resolvda, T é o número de estágos, S é o número de cenáros de afluênca, L é o número de aberturas na árvore de cenáros e K é o número de terações necessáras à convergênca do problema. Como exemplo, consdere o Planejamento Mensal da Operação (PMO) realzado pelo Operador Naconal do Sstema Elétrco (ONS). O ONS utlza os seguntes parâmetros dentro do NEWAVE, modelo desenvolvdo pelo Centro de Pesqusas de Energa Elétrca (CEPEL) para o planejamento a médo prazo: T = 60, S = 2000, L = 20. O número de terações para convergênca vara com o problema, entretanto, para exemplfcação consdera-se K = 10. Assm, a PL sera resolvda mas de 25 mlhões de vezes, o que causara um grande esforço computaconal. Em busca de uma redução desse esforço e da confabldade dos resultados obtdos, será proposto na próxma seção uma nova metodologa que reduz a PL ( ) tanto em relação ao número de varáves quanto de restrções.

5 3. Metodologa Como menconado na seção anteror, uma nova metodologa é aplcada à PL ( ), a partr da representação da FCI, vsto a segur: β t (e t ) = Mn τ j (c j g t,τ,j ) + c d def t,τ (3.1) sujeto a : e t,τ + j g t,τ,j + def t,τ = ˆδ t,τ, τ τ (3.2) e t,τ = e t τ (3.3) def t,τ 0, τ τ (3.4) 0 e t,τ ē τ, τ τ (3.5) 0 g t,τ,j ḡ j, τ τ, j J (3.6) O modo de obtenção dos cortes da FCI a partr da PL ( ) é um dos prncpas objetvos deste trabalho e toda a metodologa aplcada para este fm será detalhada nas próxmas seções. A FCI é obtda para cada estágo do problema, externa à execução da PDDE, ou seja, é um processo realzado de forma offlne. Sendo assm, a PL ( ) com a nserção do modelo da FPH, reduz-se à PL mostrado a segur. α t = Mn β t + α t+1 (3.7) sujeto a : vf t, = ˆv t, + â t, + m M (vt t,m + vv t,m ) vt t, vv t,, I (3.8) v vf t, v, I (3.9) 0 vt t, vt, I (3.10) 0 vv t, vv t,, I (3.11) 0 e t ê t,max (3.12) α t+1 (ˆπ p t+1, vf t,) + ˆε p t+1, p P (3.13) β t ˆλ l t e t + ˆΩ l t, l L (3.14) e t = e (3.15) e ˆγ vf k, vf t, + ˆγ vt k, vt t, + ˆγ vv k, vv t, + ˆγ k,, k K, I (3.16) onde ê t,max é a energa hdrelétrca máxma que deve ser gerada, de acordo com a resolução da PL ( ) do estágo t; l L são os cortes da Função de Custo Imedato (função lnear por partes); β t é o custo medato no estágo t; ˆλ l t ˆΩ l t é o coefcente (nclnação da reta) do corte l; é termo ndependente do corte l. Note que os cortes de (3.14) são obtdos pela resolução da PL ( );

6 e é a energa gerada pela hdrelétrca ; k K são os hperplanos da FPH; ˆγ vf k,, ˆγvt k,, ˆγvv k, e ˆγ k, são os coefcentes do hperplano k da FPH da usna, obtdos por um algortmo a ser detalhado posterormente. Observe que a nova PL ( ) possu uma quantdade muto nferor de varáves e restrções em relação à PL ( ). No caso do subsstema sul braslero são 115 varáves e 29 restrções de gualdade. Isso garante uma grande redução do esforço computaconal durante o processo teratvo da PDDE Função de Custo Imedato Concetos e análses O levantamento dos cortes da FCI pode ser feto pela resolução da PL ( ) para cada valor de e t quanto for necessáro. No entanto, com base no trabalho de [Metello, 2016], e de acordo com a Fgura 3.1, pode-se chegar à conclusão de que a PL precsa ser resolvda para apenas alguns valores de e t. Observe que as térmcas estão ordenadas em relação ao custo de geração: c 1 < c 2 <... < c j < c d. Algumas observações podem ser fetas pela análse da Fgura 3.1: O coefcente de nclnação de cada reta concde com o valor em módulo do custo de cada térmca ou défct; O valor de ê max = ê 0 refere-se ao valor de energa hdrelétrca que atende à demanda utlzando o mínmo de energa térmelétrca possível; Os valores ê 1, ê 2,..., ê j 1, ê j são as energas hdrelétrcas necessáras para atender à demanda consderando a utlzação máxma de geração da térmca 1 apenas, das térmcas 1 e 2, das térmcas 1, 2,.., j 1 e de todas as térmcas 1, 2,.., j 1, j, respectvamente; Valores de energa hdrelétrca entre ê mn e ê j geram défct de energa ao sstema. Fgura 3.1: Função de Custo Imedato (Fonte: Elaborado pelos autores) A proposta deste trabalho se dá pelo desenvolvmento de uma metodologa de levantamento da FCI de cada estágo a partr da descoberta dos pontos estratégcos da Fgura 3.1, com base na análse feta anterormente. O trabalho desenvolvdo em [Metello, 2016], que nsprou o presente trabalho, traz uma outra metodologa de levantamento da FCI de cada estágo, utlzando as técncas de Decomposção Lagrangeana em conjunto com o Método de Baléraux na resolução da PL ( ). Entretanto,

7 em [Metello, 2016] não fo consderado o défct de energa, ou seja, o algortmo fo aplcado apenas para sstemas auto-sufcentes. Além dsso, seu algortmo não possu uma mplementação tão smples, apesar de ser computaconalmente efcente. Portanto, um desafo proposto neste trabalho sera desenvolver um algortmo que seja capaz de fornecer a Função de Custo Imedato, em sstemas que possam exstr défct de energa, de forma efcente computaconalmente e que seja de smples mplementação Algortmo: levantamento da FCI O algortmo proposto neste trabalho vsa a construção da FCI de forma smples e objetva, sem a necessdade de grandes conhecmentos do operador acerca do assunto tratado. A segur é apresentado o passo a passo do algortmo de forma detalhada. O subíndce t, que denota o estágo, é suprmda nas varáves para não sobrecarregar a notação. A Fgura 3.2 mostra um fluxograma para construção da FCI em um determnado estágo. Incalmente, deve-se ordenar as térmcas em ordem crescente de custo: c 1 < c 2 <... < c j 1 < c j < c d. Em seguda, calcula-se os valores estratégcos de geração hdrelétrca, sendo que o ponto de máxma geração de energa hdrelétrca é dado na condção de mínma utlzação de energa termelétrca e o ponto de mínma geração ocorre quando o sstema é almentado por todas as térmcas em sua capacdade máxma, podendo ou não gerar défct. Os outros valores de energa hdrelétrca são determnados pela nserção sequencal de cada térmca ao sstema. O próxmo passo é resolver as PL s, para cada valor de geração hdrelétrca obtdos anterormente, através de um software de otmzação ou pelo Método de Baléraux [Vacava, 1997]. Fnalmente, os coefcentes das retas são calculados, obtendo-se um conjunto de retas que se aproxmam da FCI Função de Produção Hdrelétrca A produtbldade de uma usna hdrelétrca é uma varável que depende do seu volume armazenado e do volume defluente, que por sua vez é dado pela soma dos volumes turbnado e vertdo. Segundo [Ramos, 2015], a energa hdrelétrca produzda por uma usna pode ser representada por: e = ρ esp vt (h mon h jus h per ), I (3.17) h mon = pcv(vf ), I (3.18) h jus = pvnj(vt, vv ), I (3.19) onde e é a energa hdrelétrca gerada pela usna ; ρ esp é a produtbldade específca da usna ; h mon é a cota à montante da usna ; pcv(vf ) é o polnômo cota-volume de quarto grau que depende do volume armazenado vf da usna ; h jus é a cota à jusante da usna ; pvnj(vt, vv ) é o polnômo vazão-nível jusante de quarto grau que depende do volume turbnado vt e do volume vertdo vv da usna ; h per é a perda de carga por adução da usna ; Nota-se pela equação (3.17) que a FPH é não-lnear. Isso representara um grande esforço computaconal durante a execução da PDDE. No entanto, uma forma de representar analtcamente a FPH, no contexto da PDDE, é aproxmá-la por um conjunto de hperplanos convexos. O trabalho desenvolvdo em [Dnz e Macera, 2008] traz uma representação da FPH, para cada usna, como uma função lnear por partes, a partr de um algortmo dvddo em duas etapas. Prmero, obtêm-se os planos que defnem a regão convexa no plano 3D, consderando vv = 0. Em seguda, obtêm-se o modelo com vv, a partr da aproxmação secante, sendo esta a maor contrbução do trabalho.

8 Fgura 3.2: Fluxograma de construção da FCI (Fonte: Elaborado pelos autores) Neste trabalho utlzou-se a bbloteca QuckHull [Barber et al., 1996], uma versão rápda do algortmo Convex Hull, para lnearzação da FPH em quarta dmensão, também usado em [Ramos, 2015]. A construção da FPH empregada neste trabalho segue os passos do segunte algortmo: 1. Dscretzação do domíno da FPH em N valores: volume armazenado vf (entre v e v ), volume turbnado vt (entre 0 e vt ) e volume vertdo vv (entre 0 e vv ). Logo, são obtdos N 3 pontos no domíno da FPH; 2. Cálculo do valor da energa hdrelétrca para cada ponto ( vf ˆ, ˆvt, vv ˆ ), obtdo no passo anteror, com o auxílo das equações ( ). Assm, obtêm-se N 3 pontos ( vf ˆ, ˆvt, vv ˆ, ê ); 3. Geração dos hperplanos convexos a partr da aplcação do algortmo QuckHull nos N 3 pontos obtdos no passo anteror. Esse algortmo gera um conjunto convexo de hperplanos em 4D

9 que engloba todos os pontos analsados; 4. Seleção dos hperplanos de nteresse a partr das condções mpostas aos seus coefcentes: e ˆγ vf k, vf k, + ˆγ vt k, vt k, + ˆγ vv k, vv k, + ˆγ k,, k K, I (3.20) com ˆγ vf k, 0, ˆγvt k, 0, ˆγ k, 0 e ˆγ k, vv 0. O algortmo descrto é aplcado em todas as hdrelétrcas do sstema. Vale destacar que este procedmento é feto externamente à PDDE, ou seja, é realzado offlne. Além dsso, a representação analítca das FPH s de todas as usnas não demanda mas do que alguns poucos segundos, o que garante grande efcênca em termos computaconas. A segur é apresentado na Fgura 3.3 um exemplo gráfco do passo-a-passo do algortmo QuckHull em duas dmensões, consderando que a energa hdrelétrca fosse uma função dependente apenas do seu volume armazenado vf. Fgura 3.3: Passos do algortmo QuckHull (Fonte: Elaborado pelos autores) Pode-se ver no quarto gráfco que o algortmo QuckHull gerou um conjunto convexo de retas que engloba todos os pontos analsados. No entanto, as retas de nteresse foram seleconadas convenentemente de modo a obter uma função lnear por partes que, por construção, é uma aproxmação otmsta da FPH real. 4. Resultados Os algortmos foram mplementados no software Matlab R2016a R, em uma máquna com a segunte confguração: processador Intel(R) Core(TM) M, 6GB de memóra RAM e frequênca de 2,50 Ghz. A segur são realzados smulações com as três dferentes modelagens para o planejamento energétco: PDDE: modelagem padrão do sstema, dada pela PL ( ); PDDE-FCI: modelagem com representação analítca da FCI, contendo a PL ( e 2.4); PDDE-FCI-FPH: modelagem com representação analítca da FCI e FPH, dada pela PL ( ). A PDDE-FCI-FPH é a modelagem híbrda proposta neste trabalho, baseada nos trabalhos desenvolvdos em [Metello, 2016], [Ramos, 2015] e [Dnz e Macera, 2008].

10 Os dados de cada usna e de mercado usados neste trabalho são referentes ao mês de feverero de 2017 que estão dsponíves no webste do ONS [ONS, 2017a]. O ONS fornece apenas os dados mensas de carga resdual pra cada subsstema. No entanto, para representar a carga horára em cada estágo (mês), fo utlzada a equação (4.1). ˆδ t,τ = ˆδ t (1 + 0, 1 rudo) τ, t = 1, 2,.., T, τ = 1, 2,...,τ (4.1) onde ˆδ t,τ representa a carga resdual no estágo t e ntra-estágo τ; ˆδ t é a carga resdual total do estágo t (fornecdo pelo ONS); τ = 730, consderando o mês com 730 horas; rudo é um valor aleatóro no ntervalo [-1,1]. Nas smulações utlzaram-se os dados do subsstema sul braslero, com 28 usnas hdrelétrcas e 14 usnas térmcas. Os algortmos de PDDE foram executados medante a segunte confguração: 5 meses de planejamento e árvore de cenáros com 2 aberturas e 32 séres forwards. As Fguras 4.1 a 4.4 exbem o processo de convergênca da PDDE de todas as metodologas analsadas, bem como um gráfco comparatvo do custo total obtdo pelos métodos em cada cenáro. Os parâmetros ZINF e ZSUP representam, respectvamente, o custo total do prmero estágo e a soma dos custos medatos de todos os estágos. O algortmo converge quando a dferença entre estes dos parâmetros é menor do que uma certa tolerânca pré estabelecda. A Tabela 4.1 traz os resultados dessa smulação. Fgura 4.1: Processo teratvo do método PDDE (Fonte: Elaborado pelos autores) Fgura 4.2: Processo teratvo do método PDDE-FCI (Fonte: Elaborado pelos autores) Fgura 4.3: Processo teratvo do método PDDE-FCI-FPH (Fonte: Elaborado pelos autores) Fgura 4.4: Custo total em cada cenáro (Fonte: Elaborado pelos autores)

11 Tabela 4.1: Resultados da smulação PDDE PDDE-FCI PDDE-FCI-FPH Número de varáves Número de restrções de gualdade Custo total (R$) , , ,00 Iterações Tempo 45mn 1seg 4mn 29seg 5mn 14seg Representatvdade do sstema Boa Boa Excelente Detalhamento da Operação Médo Médo Alto Fonte: Elaborado pelos autores Pela Tabela 4.1 percebe-se que as modelagens com representação analítca da FCI e da FPH convergem em um menor tempo e quantdade de terações. Embora a modelagem híbrda PDDE-FCI-FPH ser um pouco mas lenta comparada à PDDE-FCI, ela possu a vantagem de representar o sstema mas felmente, já que traz de forma detalhada a geração de cada hdrelétrca do sstema. 5. Conclusões e Consderações Fnas O presente trabalho trouxe uma proposta de modelagem híbrda a ser mplementada na PDDE para o planejamento energétco a médo prazo, consderando a representação analítca da Função de Custo Imedato em cada mês de operação e a Função de Produção Hdrelétrca de cada usna. A prmera, trouxe uma redução consderável da dmensão do problema, e a segunda, maor representatvdade do sstema. Os algortmos de levantamento da FCI e da FPH são mplementados baseados em trabalhos da lteratura com contrbuções dos autores do presente trabalho. A FCI é construída a partr da resolução de problemas de otmzação lnear para apenas alguns pontos estratégcos, e a FPH utlzou algortmos de fechos convexos (Convex Hull) em quarta dmensão. A partr dos dados apresentados, a PDDE-FCI-FPH fo a que apresentou melhor custobenefíco, uma vez que sua modelagem representa o sstema de forma mas realsta e pode gerar resultados mas confáves, apesar de sua mplementação ter sdo um pouco mas complexa comparada à modelagem da PDDE padrão. Além dsso, o tempo decorrdo na execução também não fo tão grande, mostrando assm a efcênca do método. Devdo ao tempo computaconal ser alto, este trabalho apresentou apenas 5 meses de estudo no planejamento. Entretanto, os objetvos propostos foram atenddos e os concetos e técncas utlzados podem ser adotados em problemas envolvendo operação do despacho hdrotérmco. Em estudos futuros sera nteressante aplcar os concetos tratados neste trabalho em sstemas que não sejam solados, ou seja, sstema que possam realzar ntercâmbo de energa, como é o caso do Sstema Interlgado Naconal (SIN). Além dsso, é proposto para trabalhos futuros mplementar os algortmos tratados nesse artgo, prncpalmente o de Programação Dnâmca Dual Estocástca, em uma lnguagem mas efcente, como o C++, Python ou Java, vsto que sera vável realzar o planejamento energétco para um período maor de estudo. 6. Agradecmentos Os autores agradecem à Unversdade Federal de Juz de Fora e às agêncas de fomento CAPES, CNPq e FAPEMIG por toda a estrutura e apoo fnancero fornecdos para o desenvolvmento deste trabalho. Referêncas Barber, C. B., Dobkn, D. P., e Huhdanpaa, H. (1996). The quckhull algorthm for convex hulls. ACM Transactons on Mathematcal Software (TOMS), 22(4):

12 CEPEL (2017). NEWAVE - modelo de planejamento da operação de sstemas hdrotérmcos nterlgados de longo e médo prazo. Acessado: Dnz, A. L. e Macera, M. E. P. (2008). A four-dmensonal model of hydro generaton for the shortterm hydrothermal dspatch problem consderng head and spllage effects. IEEE Transactons on Power Systems, 23(3): ISSN Fhoula, B., Hajj, A., e Rekk, M. (2013). Stochastc dual dynamc programmng for transportaton plannng under demand uncertanty. In Proc. Int. Conf. Advanced Logstcs and Transport, p Gjerden, K. S., Helseth, A., Mo, B., e Warland, G. (2015). Hydrothermal schedulng n Norway usng stochastc dual dynamc programmng; a large-scale case study. In Proc. IEEE Endhoven PowerTech, p Metello, C. N. (2016). Analytcal representaton of mmedate cost functon n SDDP. Master s thess, PUC-Ro. Newham, N. e Wood, A. (2007). Transmsson nvestment plannng usng SDDP. In Proc. Australasan Unverstes Power Engneerng Conf, p ONS (2017a). Deck feverero de NEWAVE. newave.aspx. Acessado: ONS (2017b). O SIN e os modelos NEWAVE e DECOMP utlzados no planejamento da operação energétca e no cálculo do PLD. trenamentospmo.aspx. Acessado: Penna, D. D. J. (2009). Defnção da árvore de cenáros de afluêncas para o planejamento da operação energétca de médo prazo. Tese de doutorado, PUC-Ro. Perera, I. F., Hoffmann, L., d. O. Wller, L., d. S. Chaves, I., de Olvera, E. J., Ramos, T. P., e Marcato, A. L. M. (2015). Usng stochastc dual dynamc programmng and a perodc autoregressve model for wnd-hydrothermal long-term plannng. In Proc. IEEE Endhoven PowerTech, p Perera, M. V. e Pnto, L. M. (1991). Mult-stage stochastc optmzaton appled to energy plannng. Mathematcal programmng, 52(1-3): Perera, M. (1989). Optmal stochastc operatons schedulng of large hydroelectrc systems. Internatonal Journal of Electrcal Power & Energy Systems, 11(3): Perera, M. e Pnto, L. (1985). Stochastc optmzaton of a multreservor hydroelectrc system: a decomposton approach. Water resources research, 21(6): Ramos, T. P. (2015). Modelagem Híbrda para o Planejamento da Operação de Sstemas Hdrotérmcos Consderando as Não Lneardades das Usnas Hdráulcas. Tese de doutorado, Unversdade de Juz de Fora. Thome, F., Perera, M., Granvlle, S., e Fampa, M. (2013). Non-convextes representaton on hydrothermal operaton plannng usng SDDP. Workng Paper. Vacava, N. M. C. (1997). Representação analítca de falhas dos equpamentos e varação da demanda no despacho hdrotérmco mult-estágo. Tese de doutorado, Unversdade Federal do Ro de Janero.