ALGORITMOS EVOLUTIVOS INSPIRADOS EM COMPUTAÇÃO QUÂNTICA APLICADOS À OTIMIZAÇÃO DE DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA ELÉTRICA

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1 ALGORITMOS EVOLUTIVOS INSPIRADOS EM COMPUTAÇÃO QUÂNTICA APLICADOS À OTIMIZAÇÃO DE DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA ELÉTRICA JÚLIO XAVIER VIANNA NETO, DIEGO LUIS DE ANDRADE BERNERT E LEANDRO DOS SANTOS COELHO Graduação em Engenhara Mecatrônca (Controle e Automação) Programa de Pós-Graduação em Engenhara de Produção e Sstemas, PPGEPS Pontfíca Unversdade Católca do Paraná, Rua Imaculada Conceção 55, Curtba, PR, Brasl E-mals: julo.neto@onda.com.br, dbernert@gmal.com, leandro.coelho@pupr.br Abstract Ths paper ams to evaluate the performance of three evolutonary algorthm approaches n solvng optmzaton problems n the electrc power feld. These approaches are called Quantum-nspred Evolutonary Algorthms. They were valdated as an optmzaton method for applcatons n the feld of electrc power systems. Ths was made through the analyss, desgn and mplementaton of the algorthm n computatonal envronment, amng to optmze the power economc dspatch problem. Inspred on the concept of quantum computng, the Quantum-nspred Evolutonary Algorthm was developed wth an evolutonary algorthm approach, but also usng qubts (quantum bts) as a representaton of the ndvdual, a quantum gate as varaton operator and an observaton process. Three approaches of Quantum-nspred Evolutonary Algorthm were mplemented, each assessed for a benchmark problem, and the performance results were presented and analyzed. Keywords Quantum computng, evolutonary algorthm, economc dspatch of electrc energy, optmzaton, qubt. Resumo Este artgo tem como objetvo avalar o desempenho de três abordagens de algortmo evolutvo para a resolução de problemas de otmzação no setor de energa elétrca. As abordagens em questão são denomnadas Algortmos Evolutvos com Inspração Quântca. Estas foram valdados como métodos de otmzação vsando à aplcação no setor de sstemas elétrcos de potênca. Isto se efetvou através da análse, projeto e mplementação do algortmo em ambente computaconal, vsando à otmzação do despacho econômco de energa elétrca. Insprado no conceto de computação quântca, o Algortmo Evolutvo com Inspração Quântca fo desenvolvdo com uma abordagem de algortmo evolutvo, mas usando também qubts (bts quântcos) como representação do ndvíduo, uma porta quântca como operador de varação e um processo de observação. Foram valdadas três abordagens de Algortmo Evolutvo com Inspração Quântca, sendo que cada um deles fo avalado para um estudo de caso, e os resultados de desempenho foram apresentados e analsados. Palavras-chave Computação quântca, algortmo evolutvo, despacho econômco de energa elétrca, otmzação, qubt. Introdução Os algortmos evolutvos (AEs) são amplamente utlzados na resolução de problemas complexos em dversas áreas como projeto de controladores, planejamento de tarefas, mneração de dados, entre outros. Em cada caso em que se deseje aplcar esta técnca é necessáro avalar qual algortmo especfcamente será satsfatóro para soluconar o problema efcente e efcazmente, ou seja, que encontre uma solução de qualdade com baxo custo computaconal. O custo computaconal está dretamente relaconado ao número de vezes que as potencas soluções são avaladas pelo cálculo de uma função de aptdão (ftness). Neste contexto, têm sdo propostas númeras abordagens de algortmos evolutvos que buscam uma rápda convergênca à solução ótma ou mesmo quase ótma em problemas complexos de otmzação. O Algortmo Evolutvo com Inspração Quântca (AEIQ, Quantum-nspred Evolutonary Algorthm) aplcado neste projeto é nsprado no conceto de múltplos unversos da físca quântca, e permte realzar o processo de otmzação com um menor número de avalações de soluções. Insprado no conceto de computação quântca, o AEIQ é desenvolvdo usando qubts (bts quântcos) como representação do ndvíduo, uma porta quântca como operador de varação e um processo de observação. AEIQ fo recentemente proposto em Han e Km (00), como um novo algortmo evolutvo. A computação quântca é uma área baseada nas característcas da mecânca quântca como ncerteza, superposção, nterferênca e emaranhamento para processar nformação através de métodos novadores dferentes das técncas convenconas. Na computação clássca, a undade básca de nformação é o bt, elemento que tem apenas duas possbldades de estado, 0 ou. Na computação quântca, o elemento básco é o bt quântco, chamado de qubt. Dferentemente do bt, o qubt não tem um estado defndo, ele representa uma superposção de estados. Ou seja, em vez de ser 0 ou como o bt, o qubt pode ser os dos ao mesmo tempo (paralelsmo quântco), sendo representado pela raz quadrada postva da probabldade de se encontrar em cada estado. Assm como um elétron, por exemplo, que não tem uma localzação defnda, mas, sm, uma nuvem orbtal onde há maor probabldade de ser encontrado. O problema de despacho econômco (PDE) tem como objetvo prncpal o cálculo dos níves de geração, geralmente em MW, de cada undade geradora, de modo a suprr nteramente a demanda da manera mas econômca possível e respetando determnadas restrções físcas e operaconas

2 preestabelecdas (Carpenter, 96; Happ, 977; Jeyakumar et al., 006). Recentemente, tem sdo apresentados na lteratura métodos computaconas de otmzação utlzando abordagens bo-nspradas, tas como algortmos evolutvos e paradgmas da ntelgênca coletva, para soluconar o problema de despacho econômco de energa elétrca, a ctar, por exemplo, Jeyakumar et al. (006), Swarup e Kumar (006), Selvakumar e Thanushkod (008) e Roy e Ghoshal (008). Neste contexto, dferentes abordagens de AIEQ foram avaladas, neste projeto, para o despacho econômco de energa elétrca para um estudo de caso com 0 geradores, múltplos combustíves e a presença do efeto de ponto de válvula, este descrto em Chang (005) e Pangrah et al. (007). O restante do artgo está organzado da segunte forma. Uma breve descrção dos algortmos evolutvos com nspração quântca avalados é apresentada na seção. Nas seções 3 e 4 são apresentados, respectvamente, a formulação do problema de despacho econômco e os resultados de smulação para um estudo de caso. Na seção 5 é apresentada a conclusão. Fundamentos dos algortmos evolutvos com nspração quântca Os algortmos quântcos são ferramentas computaconas utlzadas para processar nformação, construídas usando portas lógcas quântcas. A mportânca de tas algortmos é evdencada pelo fato de que mutos problemas nteressantes são mpossíves de resolver em computadores clásscos, e em computadores quântcos, porém, possuem solução vável. A promessa dos computadores quântcos é possbltar novos algortmos que tornam tratáves problemas que requerem recursos exorbtantes para soluconá-los em um computador clássco. Devdo à dfculdade da mplementação de computadores quântcos e do desenvolvmento de novos algortmos quântcos, surge uma nova abordagem denomnada computação com nspração quântca. Esta abordagem propõe a cração de algortmos nsprados em certos prncípos da mecânca quântca (como ondas estaconáras, nterferênca e coerênca), assm como os algortmos quântcos, porém desenvolvdos para serem executados em computadores clásscos. Ao nvés de nvestr em novas técncas para poder usufrur da computação quântca, a computação com nspração quântca desenvolve algortmos clásscos que utlzam os efetos quântcos para melhorar seu desempenho na resolução de problemas. Por outro lado, em outro contexto, os algortmos evolutvos (AEs) operam em uma população de potencas soluções, aplcando o prncípo da seleção natural para produzr soluções cada vez melhores. A cada geração de um algortmo evolutvo, ndvíduos são seleconados de acordo com seu nível de adaptação em relação ao problema e estes são reproduzdos para crar um novo conjunto de aproxmações. Este processo leva à evolução das populações de ndvíduos, pos estes ndvíduos podem ser mas bem adaptados ao seu ambente do que os ndvíduos que os geraram, assm como na adaptação natural. Os ndvíduos são representados por strngs compostas por caracteres de um alfabeto, por exemplo, bnáro, ntero e real. AEs são caracterzados pela representação do ndvíduo, pela função objetvo, que representa o nível de adaptação do ndvíduo, e pela dnâmca populaconal, como tamanho da população, operador de varação, seleção de ndvíduos, reprodução e herança, método da competção de sobrevvênca, etc. O projeto de um algortmo evolutvo deve utlzar estes componentes de forma aproprada, buscando um algortmo efcente que explore o espaço de busca com um número pequeno de ndvíduos e a solução global com um curto tempo de execução. Unndo-se a metodologa de AEs com a nspração quântca, surge AEIQ. Na computação evolutva, a representação do ndvíduo pode ser bnára, numérca ou smbólca, por exemplo. Entretanto, AEIQ em sua prmera proposção utlza um novo recurso para esta representação, chamado de Q-bt, que é baseado no conceto do qubt da computação quântca. Um ndvíduo em AEIQ é formado por uma seqüênca de Q-bts, e representa probablstcamente uma possível solução ao problema. A vantagem de um ndvíduo de Q-bts é que ele pode representar uma superposção lnear dos estados, ou soluções bnáras, no espaço de busca. Ou seja, um ndvíduo de Q-bts pode gerar probablstcamente todos os ndvíduos bnáros que representam as possíves soluções ao problema, através da observação da strng de Q-bts. Portanto, a representação por Q-bt tem uma característca de dversdade populaconal melhor que outras representações. Um Q-gate, ou porta quântca, é defndo como operador de varação do AEIQ, que modfca os ndvíduos, levando-os a representar melhores soluções ou até eventualmente um únco estado. Incalmente os ndvíduos de AEIQ representam a superposção lnear de todos os estados possíves com a mesma probabldade, o que gera soluções bnáras bastante dversfcadas. Com sucessvas aplcações da porta quântca, cada Q-bt do ndvíduo se aproxma de 0 ou, e o ndvíduo tende a convergr para um estado únco. Desta manera, a dversdade das soluções desaparece gradualmente. Por este mecansmo nerente, AEIQ pode tratar o equlíbro entre exploração e abuso. E sto pode dar uma estmatva de que o algortmo em questão terá um bom desempenho. AEIQ fo estudado prncpalmente em Han e Km (00) e Han (003). A fgura mostra a estrutura geral de AEIQ, caracterzando todas as suas operações.

3 Fgura. Estrutura geral do AEIQ.. AEIQ Representação Bnára Neste trabalho, a mplementação do AEIQ com representação bnára fo realzada de acordo com sua defnção em Han e Km (00) e Han (003). Um ndvíduo neste algortmo é representado por uma seqüênca de m Q-bts, tal que: α β consderando onde α no estado 0 e α β K K + α m β m () α β = () =,,..., m. (3) é a probabldade do Q-bt ser encontrado β é probabldade dele ser encontrado no estado. AEIQ é um algortmo estocástco que apresenta smlardades com outros algortmos evolutvos. AEIQ, porém, mantém uma população de ndvíduos t t de Q-bts, Q ( t) = { q, q,..., q t n } na geração t, onde n é t o tamanho da população, e q é um ndvíduo de m j Q-bts, sendo que m é o tamanho da strng do ndvíduo. É mportante menconar que a população clássca P(t) é representada por ndvíduos de strngs bnáras. Neste trabalho fo utlzada a porta quântca de rotação para atualzar a população quântca.. AEIQ Representação Real A representação bnára não é necessaramente a mas adequada para os problemas de otmzação numérca, por apresentar algumas partculardades que restrngem a capacdade de otmzação do algortmo. Por sso o Algortmo Evolutvo com Inspração Quântca e Representação Real (AEIQ-R), proposto em Cruz (007), usa uma representação baseada em números reas, e desta forma apresenta algumas vantagens em relação ao AEIQ com representação bnára. Deseja-se que este algortmo permta representar uma superposção de estados contínuos e por sso a abordagem usando funções de onda é usada. Desta forma um ndvíduo da população quântca é formado de genes representados por funções de densdade de probabldade. Através do processo de observação são gerados os ndvíduos clásscos, cujos genes são números reas dentro do ntervalo váldo do domíno. Para se executar esta observação, usam-se as funções densdade de probabldade e um gerador unforme de números aleatóros. Neste trabalho é usada uma operação de recombnação smlar a que é usada no algortmo de evolução dferencal, descrto em Storn e Prce (995). A evolução do algortmo se dá através da atualzação da população quântca. Detalhes sobre a representação do ndvíduo, o processo de observação, a estratéga de substtução e a atualzação da população quântca são detalhadas em Cruz (007)..3 AEIQ Parâmetros Reas O Algortmo Evolutvo com Inspração Quântca e Parâmetros Reas (AEIQPR) fo recentemente proposto em Salesh et al. (008), e apresenta uma técnca robusta para otmzar funções não-lneares de parâmetros reas e com a presença de restrções. A representação do ndvíduo quântco é feta através de Q-bts e são utlzadas portas quântcas de rotação para atualzar as strngs de Q-bts, assm como no AEIQ. Dferentemente dos algortmos estudados anterormente, AEIQPR não usa o conceto de observação dos Q-bts para gerar as soluções canddatas, mas utlza operadores quântcos especas de evolução. A evolução altera o estado do Q-bt para um novo estado de sobreposção. Esta alteração na magntude das probabldades α e β é transformada em parâmetros reas no domíno do problema através de dos operadores, Operador de Vznhança (OV) e Operador de Vznhança (OV). Os ndvíduos que representam as soluções canddatas são formados pelos parâmetros reas dados por OV e OV. Mgração entre famílas de soluções é também utlzada em AEIQPR, o que ajuda na convergênca e na qualdade das soluções. 3 Fundamentos de despacho econômco de energa elétrca A função básca dos sstemas elétrcos de potênca é suprr os consumdores com energa elétrca da forma mas econômca e confável possível. Sstemas economcamente adaptados permtem o equlíbro entre a oferta e demanda de eletrcdade, procurando o custo mínmo e mantendo a qualdade de suprmento. O planejamento e operação efcentes e otmamente econômcos em sstemas de geração elétrca de potênca têm sempre ocupado um papel mportante na ndústra elétrca de potênca.

4 Os sstemas elétrcos de potênca são nterconectados de forma a melhorar as condções operaconas, possbltando assm o aprmoramento da establdade e compartlhamento de reserva de energa, além de mas adequada operação sobre stuações de emergênca. Destaca-se o ntuto de atender o consumdor com um servço confável e de qualdade, o qual deve ter o menor custo possível. Para tal, a procura pelo menor custo na produção é obtda mnmzando-se a dferença entre a oferta e a demanda. Isto é realzado verfcando-se o escalonamento das saídas das undades de geração convenadas para encontrar a demanda de carga consumdora a um custo mínmo de operação, satsfazendo a todas as undades e as restrções de gualdade e desgualdade mpostas pelo problema de otmzação a ser resolvdo. O estudo de caso abordado neste artgo é descrto em Chang (005). A formulação do problema consdera 0 undades geradoras, restrções de capacdade de geração, perdas de transmssão, efeto de ponto de válvula e múltplos combustíves. Fo usada uma demanda P d de 700 MW. O PDE pode ser resolvdo por um procedmento de otmzação com o objetvo de mnmzar a função objetvo FO, tal que F ( P ) mn ( f ( P P ), mn ( f ( P P ) a + b P + c P + e sen a = b P c P e sen M a k + b k P + c k P + e k sen mn ( f ( P P ) Ng mn FO = F ( P ) (4) = onde F (P ) é a função de custo do combustível da - ésma undade, P é a potênca gerada pela -ésma undade, e Ng é o número de undades geradoras. O sstema é sujeto à restrção de gualdade do balanço de potênca, dada por Ng P = Pd + Pl = (5) onde P d é a demanda de potênca do sstema e P l é a perda na transmssão, que neste caso é nula. Também é sujeto à restrção de capacdade de geração: mn max P, =,..., Ng (6) onde mn P e max P são as potêncas mínma e máxma de saída da -ésma undade. A função custo da - ésma undade é representada pela equação (7), onde a, b, c, e e f são os coefcentes de custo do -ésmo gerador usando o combustível do tpo k. Os dados das undades do sstema necessáros à mplementação deste problema são apresentados na tabela. para o combustível, mn P, para o combustível, P (7) M max, para o combustível k, P k 4 Resultados de smulação Para valdação dos algortmos propostos, em relação ao estudo de caso, foram efetuadas 30 smulações com cada algortmo de otmzação. Fo utlzado número máxmo de gerações gual a 00 e populações de 0 ndvíduos, nos três algortmos valdados. No estudo de caso abordado são desconsderadas as perdas de transmssão P l, portanto, P l = 0. A tabela mostra estatístcas de smulação obtdas com os resultados das 30 smulações de cada método proposto, para efeto de análse de robustez e desempenho. Nota-se por esta tabela que o AEIQ obteve o melhor desempenho. Tabela. Estatístcas de smulação para o estudo de caso em termos de TC($) (que sgnfca o mesmo que função objetvo, FO, neste artgo). Índces AEIQ AEIQ-R AEIQPR Custo mínmo 64, ,95 65,93 Custo máxmo 630, , ,3 Custo médo 65,9 64, ,0580 Desvo padrão,665 4,305 3,8054 A tabela 3 mostra uma comparação das melhores soluções de AEIQ, AEIQ-R e AEIQPR, juntamente com resultados descrtos em Chang (005). O resultado obtdo pelo AEIQ é lgeramente nferor aos obtdos por Chang (005). Deve-se enfatzar que as abordagens AEIQ, AEIQ-R e AEIQPR satsfzeram à restrção mposta pela equação (5). Para o tratamento de restrções fo abordado um procedmento smlar ao proposto em Noman e Iba (008). No entanto, deve-se menconar que as soluções apresentadas em Chang (005) foram encontradas em 00 smulações, enquanto que as soluções obtdas neste trabalho foram encontradas em 30. Além dsso, as soluções obtdas por Chang (005) e pelo AEIQ são superores as apresentadas em outros trabalhos da lteratura, tas como Park et al. (993) com FO = 66, $ e Lee et al. (998) com FO = 66,4 $. 5 Conclusão A partr dos resultados obtdos pode-se perceber que a nspração quântca realmente tem um bom potencal na área de otmzação. O resultado mas satsfatóro deste projeto fo obtdo com a aplcação

5 de dferentes abordagens de AEIQ para o estudo de caso, que fo comparável à melhor solução encontrada na lteratura. Em futura pesqusa, os autores desejam comparar dferentes métodos de AEIQ com dferentes ajustes dos parâmetros de projeto em problemas de despacho econômco de energa elétrca de maor porte. Agradecmentos Os autores agradecem o apoo fnancero do Conselho Naconal de Desenvolvmento Centífco e Tecnológco CNPq (processo: /006-5/PQ) e ao programa de ncação centífca PIBIC/PUCPR pela bolsa de ncação centífca concedda ao aluno Júlo Xaver Vanna Neto. Referêncas Bblográfcas Carpenter, J. L. (96). Contrbuton à l étude du dspatchng économque. Bulletn de la Socété Françase des Electrcens, ser. 8, 3: Chang, C. L. (005). Improved genetc algorthm for power economc dspatch of unts wth valvepont effects and multple fuels, IEEE Transactons on Power Systems, 0(4): Cruz, A. V. A. (007). Algortmos evolutvos com nspração quântca para problemas com representação numérca, Tese de doutorado, Programa de Pós-Graduação em Engenhara Elétrca, Ro de Janero, RJ. Han, K. (003). Quantum-nspred evolutonary algorthm. Department of Electrcal Engneerng and Computer Scence, Thess, Korea. Han, K. e Km, J. (00). Quantum-nspred evolutonary algorthm for a class of combnatoral optmzaton. IEEE Transactons on Evolutonary Computaton, 6(6): Happ, H. H. (977). Optmal power dspatch a comprehensve survey, IEEE Transactons on Power Apparatus and Systems, PAS-96: Jeyakumar, D. N., Jayabarath, T. e Raghunathan, T. (006). Partcle swarm optmzaton for varous types of economc dspatch problems, Internatonal Journal of Electrcal Power & Energy Systems, 38(): Lee, K. Y., Sode-Yome, A. e Park, J. H. (998). Adaptve Hopfeld neural network for economc load dspatch, IEEE Transactons on Power Systems, 3(): Noman, N. e Iba, H. (008). Dfferental evoluton for economc load dspatch problems, Electrc Power Systems Research, 78(3): Pangrah, B. K., Yadav, S. R., Agrawal, S. e Twar, M. K. (007). A clonal algorthm to solve economc load dspatch, Electrc Power Systems Research, 77(0): Park J. H., Km, Y. S., Ecom, I. K. e Lee, K. Y. (993). Economc load dspatch for pecewse quadratc cost functon usng Hopfeld neural network, IEEE Transactons on Power Systems, 8(3): Roy, R. e Ghoshal, S. P. (008). A novel crazy swarm optmzed economc load dspatch for varous types of cost functons, Internatonal Journal of Electrcal Power & Energy Systems, 30(4): Salesh, G. S.; Bhagwan, D. e Patvardhan, C. (008). Real-parameter quantum evolutonary algorthm for economc load dspatch, IET Generaton, Transmsson and Dstrbuton, (): -3. Selvakumar, A. I. e Thanushkod, K. (008). Antpredatory partcle swarm optmzaton: Soluton to nonconvex economc dspatch problems, Electrc Power Systems Research, 78(): -0. Storn, R. e Prce, K. (995). Dfferental evoluton - a smple and effcent adaptve scheme for global optmzaton over contnuous spaces. Techncal Report TR-95-0, Berkeley, CA, USA. Swarup, K. S. e Kumar, P. R. (006). A new evolutonary computaton technque for economc dspatch wth securty constrants, Internatonal Journal of Electrcal Power & Energy Systems, 8(4): Vctore, T. A. A. e Jeyakumar, A. E. (005). A modfed hybrd EP-SQP approach for dynamc dspatch wth valve-pont effect, Internatonal Journal of Electrcal Power & Energy Systems, 7(8):

6 Geração Un. Mín. P P Máx. *Comb F F F 3 Tabela. Dados do sstema com 0 geradores e múltplos combustíves. Coefcentes a b c e f ,697x0² -0,3975 0,76x0 - ² 0,697 x0 - ¹ -3,9750 0,3x0² -0,3059 0,86x0 - ² 0,3 x0 - ¹ 3, ,84x0³ -,690 0,494x0 - ² 0,84-0,69x0²,8650-0,3988 x0 - ¹ 0,38x0 - ² 0,865x0 - ² -0, ,365x0² -0,980 0,60x0 - ² 0,365 x0 - ¹ -, ,3979x0² -0,36 0,457x0 - ² 0,3979 x0 - ¹ -3,60-0,594x0² 0,4864 0,76 x0-4 -0,594x0 - ¹ 4, ,8750 0,3389 x0 - ¹ 0,8035x0 - ³ -0,876x0 - ² 0, ,9830-0,34 x0 - ¹ 0,049x0 - ² 0,983x0 - ² -0,34 0,585x0² -0,6348 0,758x0 - ² 0,585 x0 - ¹ -6, ,668x0³ -,3380 0,5935x0 - ² 0,668-0,338x0² ,39x0² -0,8733 x0 - ¹ 0,066x0 - ² 0,39 x0 - ¹ -0,8733 0,9976x0² -0,506 0,597x0 - ² 0,9976 x0 - ¹ -5, ,5399x0² 0,446 0,498x0 - ³ 0,5399 x0 - ¹ 4, ,585x0² -0,6348 0,758x0 - ² 0,585 x0 - ¹ -0,6348x0,9830-0,34 x0 - ¹ 0,049x0 - ² 0,983x0 - ² -0, ,668x0³ -,3380 0,5935x0 - ² 0,668-0,338x0² ,893x0² -0,35 0,07x0 - ² 0,893 x0 - ¹ -,350 0,4377x0² -0,67 0,65x0 - ² 0,4377 x0 - ¹ -, ,4335x0² 0,3559 0,454x0 - ³ -0,4335 x0 - ¹ 3, ,9830-0,34 x0 - ¹ 0,049x0 - ² 0,983x0 - ² -0,34 0,585x0² -0,6348 0,758x0 - ² 0,585 x0 - ¹ -6, ,668x0³ -,3380 0,5935x0 - ² 0,668-0,338x0² ,8853x0² -0,5675 0,554x0 - ² 0,8853 x0 - ¹ -5,6750 0,530x0² -0,454 x0 - ¹ 0,7033x0 - ² 0,43 x0 - ¹ -0, ,43x0² -0,87 x0 - ¹ 0,6x0 - ³ 0,43 x0 - ¹ -0, ,397x0² -0,9938 x0 - ¹ 0,0x0 - ² 0,397 x0 - ¹ -0,9938-0,63x0² 0,5084 0,046x0 - ³ -0,63 x0 - ¹ 5, ,467x0² -0,04 0,37x0 - ² 0,467 x0 - ¹ -,040 Notação: *Un.: undade geradora; Comb.: tpo de combustível. Tabela 3. Comparação de resultados com a lteratura. # CGA_MU + IGA_MU AEIQ AEIQ-R AEIPR Undade (Chang, 005) (Chang, 005) *Comb. Gerador *Comb. Gerador *Comb. Gerador *Comb. Gerador *Comb. Gerador,008 9,6 9,533 36,379 07,798,635,645, ,663 07, , ,657 74, , , , , , , , , ,479 79, , , , , , , , , , , ,4 89, , , , , , ,0 3 49, , , , , ,858 75,673 60,669 94,68 TP (MW) FO /TC($) 700,0 64, ,0 64, ,0 64, ,0 69,96 700,0 65,93 Notação: *Comb.: tpo de combustível. # CGA_MU: conventonal genetc algorthm wth multpler updatng. + IGA_MU: mproved genetc algorthm wth multpler updatng.