Sumário e Objectivos. Setembro. Método dos Elementos Finitos 4ªAula

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1 Sumáro e Objectvos Sumáro: Elementos Fntos para Sóldos D-Estado Plano de Tensão e Estado Plano de Deformação. Elementos Trangulares Lneares. Elementos Rectangulares Lneares. Elementos Lneares Quadrláteros. Elementos de ordem mas elevada. Objectvos da Aula: Apreensão e Revsão de Alguns Concetos necessáros à construção de Elementos para Problemas D.

2 Exemplos

3 Estados Planos-Elementos D Elementos Fntos Bdmensonas aplcam-se à análse de Estados Planos de Tensão e de Estados Planos de Deformação. Todos os cálculos são fetos no plano em que ocorre a deformação. Elementos D 3

4 Estado de Plano de Tensão σ y Espessura gual à espessura real t σ x

5 Estado Plano de Deformação Espessura Untára y z x 5

6 Elemento Trangular Lnear y, v 3 (x 3, y 3 ) (u 3, v 3 ) u h ( x, y) = ( x, y) d (x, y ) (u, v ) A f y f x (x, y ) (u, v ) x, u d u v u = v u v u v u v u 3 3 v 3 3 Deslocamentos no nó Deslocamentos no nó Deslocamentos no nó = ó ó ó 3 Matrz das Funções de Forma 6

7 =a +bx+cy Elemento Trangular Lnear Funções de Forma Sendo Funções de Forma Lneares, estas tomam a forma de polnómo Lnear =a +bx+cy =a +bx+cy 3 =a 3+bx+c 3 3y ou a = { x y} b = T p a T p c a 7

8 Elemento Trangular Lnear Funções de Forma As funções de Forma devem ter a propredade d de Kronecker consequentemente devem ser tas que: (x, y ) = for = j (x,y)= j j ou (x, y ) = 0 0 for j (x, y ) = O sstema de equações é: (x, y ) = a + bx + cy = (x, y ) = a + bx + cy = 0 (x 3, y 3) = a + bx 3+ cy 3 = 0 xy-xy 3 3 y -y3 x3-x Cuja Solução é a =, b =, c = A A A e e e 8

9 Elemento Trangular Lnear Funções de Forma Sendo A e a área do Trângulo que é: A e x y = P= x y = [(xy-xy)+(y 3 3 -y)x+(x 3 3-x)y] x y 3 3 Substtundo a, b and c em = a + b x + c y, obtém-se: = [(y - y 3)(x - x ) + (x3- x )(y - y )] A e (x,y )= (x,y )=0 (x,y )=

10 Elemento Trangular Lnear Funções de Forma As funções e 3 são: = [(y - y )(x - x ) + (x - x )(y - y )] Ae = [(y - y )(x - x ) + (x - x )(y - y )] 3 Ae Sendo: (x, y ) = 0 (x, y ) = (x, y ) = (x,y)=0 3 (x,y)=0 3 (x,y)=

11 Elemento Trangular Lnear Funções de Forma y As funções de Forma podem ser construídas consderando k, 3 coordenadas de área =L = A A e =L = 3 3 A A 3 e =L = A A e A C A 3 A Sendo: x y A = x y = [(xy3-x3y )+(y-y 3)x + (x3- x )y] x y 3 3, j, x

12 Elemento Trangular Lnear Matrz da Deformações u ε xx = x v ε yy = y u v ε xy = + y x ou ε = Lu sendo L 0 x = 0 y y x ε = Lu = Ld = Bd

13 Elemento Trangular Lnear Matrz da Deformações 0 x B= L= 0 y y x a 0 a 0 a3 0 B= 0 b 0 b 0 b 3 b a b a b3 a 3 com: xy-xy y -y x -x a =, b =, c = Ae Ae Ae 3

14 Elemento Trangular Lnear Matrz de Rgdez t T T T κ e 0 V A A κ = B DBdV = ( dz)b DBdA = tb DBdA e e e e Tendo em conta que a Matrz B só contêm constantes a Matrz de Rgdez do Elemento toma a forma: e T =tab DB ν 0 E D = ν [ ] { σ } = [ D ]{} ε ν ( ν) Para Estado Plano de Tensão

15 Elemento Trangular Lnear Vector Solctação o caso do Elemento para um Estado Plano de Tensão ou Deformação estar sujeto a Forças de Volume: As contrbuções nodas das referdas forças são: bx b = by e bx f = dxdy by As ntegrações envolvdas são normalmente efectuadas consderando a ntegração de Gauss. 5

16 Elemento Rectangular Elemento Lnear y, v b (x, y ) (u, v ) (x, y ) (u, v ) a η ξ 3 (x 3, y 3 ) (u 3, v 3 ) f y (x, y ) (u, v ) f x x, u d = u v u u u u u u u v u v u v u v Deslocamento nó Deslocamento nó Deslocamento nó 3 Deslocamento nó 6

17 Elemento Rectangular Elemento Lnear (, +) (u, v ) (, ) (u, v ) η ξ 3 (, +) (u 3, v 3 ) (, ) (u, v ) y, v b (x, y ) (u, v ) (x, y ) (u, v ) a ξ =x a, η =y b η ξ 3 (x 3, y 3 ) (u 3, v 3 ) f y (x, y ) (u, v ) f x x, u u h (x, y) = (x, y) d 3 sendo = ó ó ó 3 ó 7

18 Elemento Rectangular Elemento Lnear = (-ξ)(- η) = (+ξ)(- η) = (+ξ)(+ η) = (-ξ)(+ η) 3 Ptopredades δ de Kronecker e Partção da undade = = (, +) (u, v ) = [(- ξ)(- η)+(+ξ)(- η)+(+ξ)(+ η)+(-ξ)(+ η)] = [(-ξ)+(+ξ)] = b (, ) (u, v ) a η ξ 3 (, +) (u 3, v 3 ) (, ) (u, v ) 8

19 Elemento Rectangular Elemento Lnear. Matrz das Deformações e Matrz de Rgdez B=L= ξ =x a, η =y b Matrz de Rgdez -η -η +η +η - a 0 a 0 a 0 - a 0 -ξ +ξ +ξ -ξ - b - b b b -ξ -η +ξ -η +ξ +η -ξ +η - b - a - b a b a b - a dxdy = ab dξdη κ = + + T T e tb DBdA = abtb DBd ξ d η A 9

20 Elementos Isoparamétrcos Elemento Lnear Mapeamento e Interpolação das Coordenadas e dos Deslocamentos y (x, y ) 3 (x 3, y 3 ) (, +) η 3 (, +) ξ (x, y ) (x, y ) x (, ) (, ) x(ξ,η)=(ξ, η)x h u (ξ, η)= (ξ, η)d e e 0

21 Elementos Isoparamétrcos Elemento Lnear. Mapeamento x(ξ, η) =(ξ, η)x e sendo x x = y e x e = x,y,x,y,x 3,y 3,x,y nó nó nó3 nó T 3 = = = = ( ξ )( η) ( + ξ )( η) ( + ξ )( + η) ( ξ )( + η) x = ( ξ, η) x = y = ( ξ, η) y =

22 Matrz Jacobana = ξ x x + ξ x = + η x η y y y ξ Sendo J a Matrz Jacobana J y η ξ x = J η y x 3 ξ ξ ξ ξ x y 3 x3 y3 η η η η x y =, ou X( ξ, η) = ( ξ, η) x e y J = x ξ x η y ξ y η

23 Matrz das Deformações As dervadas em ordem a x e y podem ser calculadas recorrendo às dervadas em ordem a ξ e η e à Matrz Jacobano, estas dervadas são necessáras para a construção da Matrz B x 0 B= L= 0 y y x J x ξ = J y η J J = J J J J = detj= JJ -JJ 3

24 Matrz de Rgdez t T T T κ e 0 V A A κ e = B DBdV = ( dz)b DBdA = tb DBdA e e e da=det J dξdη + + = T tbdbdetjdξdη A ntegração pode ser efectuada recorrendo à ntegração de Gauss nξ nη + + I= f(ξ,η)dξdη = wwf(ξ, η ) - - = j= j j

25 Valores dos Pesos e das Coordenadas de Gauss m ξ j w j 0 -/ 3, / 3, 3-0.6, 0, 0.6 5/9, 8/9, 5/ , , , , 0.655, 0.655, , , 0, , , , , , , , , , , , , 0.679, 0.679, ,

26 Comentáros à Integração de Gauss Para decdr o número de pontos de Gauss a utlzar deve ter-se em conta a ordem do polnómo a utlzar, em geral para problemas D devem utlzar-se n pontos de Gauss para polnómos de ordem n-. Exstem problemas que podem ocorrer como a retenção volumétrca que obrgam à consderação de ntegração reduzda. Sugestão: Resolvam alguns problemas em estado plano de deformação consderando ν=

27 Elementos de ordem mas elevada. Elemento de Lagrange 9 nós Isoparamétrcos 7 3 η ξ = ξ ( ξη ) ( η ) = ξ ( + ξη ) ( η ) = ξ ( + ξ )( + η ) η = ξ ( ξ )( + η ) η = ( + ξ )( ξ )( η ) η = ξ ( + ξ )( + η )( η ) = ( + ξ )( ξ )( + η ) η = ξ ( ξ )( η )( + η ) = ( ξ )( η ) Para estudar melhor este assunto ver, por exemplo, O.C. Zenkewcz and R.L. Taylor (000), The Fnte Element Method. Exste dsponível nos ebooks da Bbloteca 7

28 Elementos de Lagrange = =l (ξ)l (η) n m IJ I J (0,m) (,j) η (n,m) 0 ξ (0,0) (ξ - ξ )(ξ - ξ )...(ξ - ξ )(ξ - ξ )...(ξ - ξ ) l(ξ)= (ξ - ξ )(ξ - ξ )...(ξ - ξ )(ξ - ξ )...(ξ - ξ ) n 0 k- k+ n k k 0 k k k- k k+ k n (n,0) 8

29 Elemento de Lagrange 9 nós Algumas Funções de Forma = ξ ( ξη ) ( η ) 9 = ( ξ )( η ) 9

30 Famíla de Serendpty Elementos Isoparamétrcos ξ= η= η 5 η= 3 6 ξ= ξ O Elemento quadrátco da Famíla de Serendpty dstngue-se do elemento quadrátco de Lagrange por não ter nó no centro. As Funções de Forma são: = (+ξξ)(+ ηη)(ξξ+ ηη-) =,, 3, = (-ξ )(+ ηη) = 5,7 = (+ξξ)(- η ) = 6,8 Para estudar melhor este assunto ver, por exemplo, O.C. Zenkewcz and R.L. Taylor (000), The Fnte Element Method. Exste dsponível nos ebooks da Bbloteca 30

31 Famíla de Serendpty Elementos Isoparamétrcos 0 η ξ Elemento Cúbco da Famíla de Serendpty = 3 ( + ξξ )( + ηη )(9ξ + 9η 0) nós do canto =,, 3, ξξ η ηη nós do lado = 7, 8,, sendo ξ =± e η =± 9 = 3 ( + )( )(+ 9 ) = + ηη ξ + ξξ 9 3 ( )( )( 9 ) nós do lado = 5, 6, 9, 0 sendo ξ =± e η =± 3 3 3

32 (,0,m ) (0,0,m) (I,J,K) (0,,m ) Elementos Trangulares de ordem superor n = (m+)(m+)/ ó, I + J + K = m (Ver: Zenkewcz) A A L = A 3 L = 3 L A = e e A e A (0,m,) (m,0,0) (0,m,0) β lβ α ( L ) = = l ( L ) l ( L ) l ( L ) I J K I J K 3 ( L L )( L L ) ( L L ) α α0 α α α α( β ) ( L L )( L L ) ( L L ) αi α0 αi α αi α( β ) 3