t r Análise Matricial de Estruturas Análise Linear Elástica E Módulo de Elasticidade A Área da Seção Transversal L Tamanho do Elemento

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1 Análse Matrcal de Estruturas Análse near Elástca Objetvo: - Apresentar a estrutura matemátca de um programa de elementos fntos. - Dscutr alguns aspectos geras na programação do método dos elementos fntos Elemento de trelça Y t r EA I J X E Módulo de Elastcdade A Área da Seção Transversal Tamanho do Elemento Deslocamentos Nodas Sstema ocal: u I r I ut U e = urj u J t cos( ) sn( ) sn( ) cos( ) R= cos( ) sn( ) sn( ) cos( ) Sstema Global: u I x I uy Ue = uxj u J y U e = R U e T U e = R U e

2 Demações J I Alongamento das barras: δ e = u r u r ou na ma matrcal U e = RU e I u t Operador de demação: B e δ e = ( ) J u r δ e = B e U e = B e U e B e = B e R cos( θ) sn( θ) cos( θ) B e = ( ) B cos( θ) sn( θ) e = ( cos( θ) sn( θ) cos( θ) sn( θ) ) sn( θ) sn( θ) cos( θ) u r I u t J Relação Consttutva - Elastcdade lnear : F e = EA δ e = EA B eu e F e Esço Interno : F e F e Equlíbro : Prncípo dos trabalhos vrtuas Trelça - ças nodas Número de barras : Número de nós: nno V - Conjunto de nós com restrções essencas F - Forças nodas U - Deslocamentos Nodas F e δ ev n F e δ ev = Potênca Interna: n n F e δ ev = K e U e U ev n n = FU v para todo U v em V EA B eu e B e U ev = n EA B eu e T EA B e B e U eu ev K e - Matrz de rgdez elementar K e = EA ( cos( θ) sn( θ) cos( θ) sn( θ) ) T ( cos( θ) sn( θ) cos( θ) sn( θ) )

3 cos( ) cos( ) sn( ) cos( ) cos( ) sn( ) sn( ) cos( ) sn( ) sn( ) E A cos( ) sn( ) Ke = cos( ) sn( ) cos( ) cos( ) sn( ) cos( ) cos( ) sn( ) sn( ) cos( ) sn( ) sn( ) Montagem da Matrz Global: neq = nno nap nap = número de dreções restrtas Relação entre U e U e U U U=.. U neq U e = e U e = ( x neq ) j = nno e = j se G. do elemento é concde com o grau de lberdade j da estrutura. e = j em caso contráro Substtundo na expressão do prncípo das potêncas vrtuas: Ke Ue Uev = P U v n T K U U = P U v v e e e n K= T K Obs : operação smbólca, não é realzada e e e computaconalmente. n para todo ( KU F) U v = em V Uv ou equvalentemente: K U = F Exemplo de trelça m m P = kn 6 m

4 Orgem : nó Entrada de dados: -Geometra Coordenadas : nno Elementos 6 Coor 6 Inc - Propredades nnoel E e A e Prop Condções de contorno ngln ID = ( nno x ) - preso - lvre IDM neq neq ID neq nno aux f j ID j aux = neq neq ID j ID j neq otherwse ID IDM neq etura do vetor de carga R F ext R R R R

5 Cálculo das Matrzes Elementares: K e ( e) E Prop e K e ( ) A noi noj xi xj yi yj Prop e Inc e Inc e Coor noi Coor noj Coor noi Coor noj ( xj xi) ( yj yi) xj xi cos yj yi sn K e K e EA.. cos cossn cos cossn cossn sn cossn sn.. cos cossn cos cossn cossn sn cossn sn K e ( ) K e ( 6) Montagem de vetores e matrzes globas: F F no nno ng eq IDM nong F F eq extng f eq no F

6 Montagem computaconalmente efcente K K neq j neq K j e j nnoel no Inc j e ngln eq M j j nnoel IDM no eq ( j ) ngln l M j ll n nnoel f l jj ( n ) k ngln m M kn ml jj k K l m K K l m e ( e) f m llml K Solução do Sstema: U K F U

7 Pós-Processamento: U no nno ng V no ng eq IDM no ng V U f eq no ng eq V x 6 nno x Coor xn x U y Coor.9 xn. 6.8 yn y U Demada..7 U y. yn.7. m m P = kn 6 m 6 coorel( x) Inc e e noi Inc e nof Inc coorel( x) 6 6 coorel( y) s xe s e xe nof xnoi s xnoi x Demada ndemada demada

8 Internos( e) E Prop e A noi noj xi xj yi yj Prop e Inc e Inc e Coor noi Coor noj Coor noi Coor noj ( xj xi) ( yj yi) xj xi cos yj yi sn δ e ( cos sn cos sn ) F e δ e F e EA δ e δu noi δu noi δu noj δu noj e δ e ( e) Internos( e) F e ( e) Internos( e) δ e ( ). δ e ( ). δ e ( ). δ e ( ). δ e ( ). δ e ( 6). F e ( e) e