UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS MESTRADO EM ENGENHARIA DE ESTRUTURAS

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1 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS MESTRADO EM ENGENHARIA DE ESTRUTURAS GEOVANNE VIANA NOGUEIRA Formulação de elemento fnto posconal para modelagem numérca de pórtcos planos consttuídos por compóstos lamnados: uma abordagem não lnear geométrca baseada na teora Layerwse SÃO CARLOS 05

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3 3 GEOVANNE VIANA NOGUEIRA Formulação de elemento fnto posconal para modelagem numérca de pórtcos planos consttuídos por compóstos lamnados: uma abordagem não lnear geométrca baseada na teora Layerwse VERSÃO CORRIGIDA A versão orgnal encontra-se na Escola de Engenhara de São Carlos Dssertação apresentada ao Departamento de Engenhara de Estruturas da Escola de Engenhara de São Carlos, Unversdade de São Paulo, para a obtenção do título de Mestre em Engenhara de Estruturas. Área de Concentração: Engenhara de Estruturas Orentador: Prof. Dr. Rodrgo Rbero Paccola SÃO CARLOS 05

4 AUTORIZO A REPRODUÇÃO TOTAL OU PARCIAL DESTE TRABALHO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRÔNICO, PARA FINS DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE. 4

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7 7 Dedco este trabalho aos meus querdos pas, Geová e Sonha, às mnhas rmãs, Glacyanne, Ledyanne, Lelyanne, Llyanne e Ldanne, e a mnha nova Rafaelly.

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9 9 AGRADECIMENTOS Em prmero lugar, agradeço à Deus por ter me abençoado e dado força não só para elaborar este trabalho, mas também para superar todos os desafos encontrados ao longo do mestrado. À mnha famíla, por toda a compreensão, apoo rrestrto e carnho. Faço um especal agradecmento aos professores Rodrgo Rbero Paccola e Humberto Breves Coda, por todo o conhecmento e experênca repassados, por terem me guado no desenvolvmento deste trabalho e também pela amzade, parcera e pacênca. A todos os colegas, pelos momentos de conversa agradáves que muto ajudaram a reduzr a tensão. Em especal, agradeço aos amgos Arthur Álax, Cao Cezar e Matheus Fernandes. Ao Departamento de Engenhara de Estruturas da Escola de Engenhara de São Carlos, pela oportundade de realzação do curso de mestrado. À CAPES, pela concessão da bolsa de mestrado e pelo apoo fnancero para a realzação desta pesqusa.

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11 RESUMO NOGUEIRA, G. V. Formulação de elemento fnto posconal para modelagem numérca de pórtcos planos consttuídos por compóstos lamnados: uma abordagem não lnear geométrca baseada na teora Layerwse. Dssertação (Mestrado em Engenhara de Estruturas) Departamento de Engenhara de Estruturas, Escola de Engenhara de São Carlos, Unversdade de São Paulo, São Carlos, 05. A análse de compóstos lamnados apresenta grandes desafos, pos, dferentemente dos materas sotrópcos homogêneos, os compóstos lamnados são consttuídos de materas heterogêneos e ansotrópcos. Além dsso, as dstrbuções de tensões nterlamnares obtdas com as formulações convenconas são descontínuas e mprecsas. Sua melhora, portanto, é mprescndível para buscar e modelar crtéros de falha relaconados às estruturas formadas por compóstos lamnados. Dante dsso, este trabalho se concentrou no desenvolvmento e mplementação computaconal de um elemento fnto posconal de pórtco plano lamnado cuja cnemátca é descrta ao longo da espessura do lamnado de acordo com a teora Layerwse. A formulação do elemento consdera a não lneardade geométrca, orgnada pela ocorrênca de grandes deslocamentos e rotações, e admte deformações moderadas, em função da le consttutva de Sant-Venant-Krchhoff. O desenvolvmento deste trabalho se ncou com uma preparação teórca sobre mecânca dos sóldos deformáves e métodos numércos para que fossem adqurdos os subsídos teórcos necessáros ao desenvolvmento de códgos computaconas, à nterpretação dos resultados e à tomada de decsões quando das análses numércas. A formulação desenvolvda é Lagrangana total com emprego do método dos elementos fntos baseado em posções. Incalmente o elemento fnto posconal de pórtco plano homogêneo é proposto, uma vez que sua cnemátca possblta uma expansão natural para o caso lamnado. Os graus de lberdade são compostos por posções nodas e por vetores generalzados que representam o gro e a varação na altura da seção transversal. A efcênca do elemento é constatada através de análses realzadas em problemas de pórtco sujetos a grandes deslocamentos e rotações. Os resultados obtdos apresentaram excelente concordânca com soluções numércas e analítcas dsponíves na lteratura. Uma expansão natural da cnemátca é empregada na formulação do elemento lamnado. Os graus de lberdade do elemento são as posções nodas e as componentes de vetores generalzados assocados às seções transversas de cada lâmna. Dessa forma, as lâmnas têm lberdade para varação de espessura e gro ndependente das demas, mas com as posções compatblzadas nas nterfaces. Os resultados de análses numércas realzadas em város exemplos demonstram a efcênca da formulação proposta, pos as dstrbuções de deslocamentos e tensões ao longo da espessura do lamnado apresentaram excelente concordânca com as obtdas a partr de análses numércas utlzando um elemento fnto bdmensonal em uma dscretzação bastante refnada. Os exemplos analsados contemplam problemas com seção lamnada fna ou espessa. Palavras-chave: Compósto lamnado. Teora Layerwse. Não lneardade geométrca. Elemento fnto posconal. Pórtco plano.

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13 3 ABSTRACT NOGUEIRA, G. V. Postonal fnte element formulaton for numercal modelng of frames made of lamnated compostes: a geometrc nonlnear approach based on Layerwse theory. Dssertação (Mestrado em Engenhara de Estruturas) Departamento de Engenhara de Estruturas, Escola de Engenhara de São Carlos, Unversdade de São Paulo, São Carlos, 05. The analyss of lamnated compostes presents challenges because, unle homogeneous sotropc materals, the lamnated compostes are made up of heterogeneous and ansotropc materals. Moreover, the dstrbuton of nterlamnar stresses obtaned wth conventonal formulatons are dscontnuous and naccurate. Hs mprovement s therefore essental to chec and modelng falure crtera related to structures formed by lamnates. Thus, ths wor focused on developng and computatonal mplementaton of a postonal fnte element of lamnated plane frame whose nematcs s descrbed throughout the thcness of the lamnate accordng to Layerwse theory. The formulaton element consders the geometrc nonlnearty, caused by the occurrence of large dsplacements and rotatons, and admts moderate deformaton, n the consttutve law functon of Sant-Venant-Krchhoff. The development of ths wor began wth a theoretcal preparaton on mechancs of deformable solds and numercal methods for the acqured of the theoretcal support needed for the development of computatonal codes, nterpretaton of results and decson-mang when of the numercal analyzes. The developed formulaton s total Lagrangan wth use of the fnte element method based on postons. Intally the postonal fnte element of homogeneous plane frame s proposed, snce ther nematc enables a natural expanson for the lamnate case. The degrees of freedom are composed of nodal postons and generalzed vectors representng the spn and the varaton n the heght of the cross secton. The effcency of the element s verfed through analyzes performed n frame problems subject to large dsplacements and rotatons. The results showed excellent agreement wth numercal and analytcal solutons avalable n the lterature. A natural expanson of the nematcs s used n the formulaton of the lamnate element. The degrees of freedom of the element are the nodal postons and components of the generalzed vectors assocated to cross-sectons of each lamna. Thus, the lamnas are free for the thcness varaton and for ndependent spn, but wth the postons matched n the nterfaces. The results of numercal analyss performed n varous examples show the effectveness of the proposed formulaton, snce the dstrbutons of dsplacements and stresses through the thcness of the lamnate agreed well wth those obtaned from numercal analyss usng a dscretzaton wth two-dmensonal fnte elements n a very refned. The examples dscussed nclude problems wth thn or thc lamnated secton. Keywords: Composte lamnate. Layerwse theory. Geometrc nonlnearty. Postonal fnte element. Plane frame.

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15 5 LISTA DE FIGURAS Fgura Deslocamentos e tensões transversas ao longo de uma seção homogênea e lamnada... 8 Fgura Equlíbro de tensões nterlamnares... 8 Fgura 3 Fases de um materal compósto... 4 Fgura 4 Classfcação dos compóstos em função do tpo de reforço (adaptado)... 4 Fgura 5 Nomenclatura do esquema de lamnação Fgura 6 Exemplos de esquemas de lamnação Fgura 7 * Compósto do tpo sanduíche: (A) panel, (B) faces e (C) núcleo em forma de colmea Fgura 8 Níves de análse em estruturas formadas por materas compóstos Fgura 9 Cnemátca das teoras CLT, FSDT e HSDT (esq.) e deformações e tensões das teoras FSDT e VRT (dr.)... 5 Fgura 0 Interpolação lnear dos deslocamentos na teora Layerwse... 5 Fgura Deslocamentos no plano das lâmnas ao longo da espessura segundo as teoras ESL e Layerwse Fgura Confgurações mportantes para dentfcação das descrções Lagranganas Fgura 3 Confgurações na descrção Lagrangana total Fgura 4 Confgurações na descrção Lagrangana atualzada Fgura 5 Confgurações na descrção corrotaconal Fgura 6 Funções de mapeamento das confgurações ncal e atual... 8 Fgura 7 Mudança de confguração Fgura 8 Mola undmensonal elástca não lnear Fgura 9 Assocação de dos elementos fntos... 9 Fgura 0 Fluxograma básco do método de Newton-Raphson Fgura Mapeamento posconal do elemento de pórtco plano homogêneo... 0 Fgura Mapeamento posconal de um ponto qualquer na confguração ncal Fgura 3 Mapeamento posconal de um ponto qualquer na confguração atual Fgura 4 Carga dstrbuída e forças nodas equvalentes Fgura 5 Bnáros correspondentes ao momento concentrado Fgura 6 Assocação de dos elementos fntos de pórtco plano homogêneo... Fgura 7 Modelo de acoplamento entre elementos... 5 Fgura 8 Exemplos de possbldades para lgação entre elementos... 6

16 6 Fgura 9 Identfcação das rotações de um vetor generalzado nodal... 7 Fgura 30 Geometra, carregamento e parâmetros elástcos do Exemplo Fgura 3 Trajetóra de equlíbro para a vga com força concentrada... 5 Fgura 3 Trajetóra de equlíbro para a vga com momento concentrado... 6 Fgura 33 Trajetóra de equlíbro para a vga com força dstrbuída... 6 Fgura 34 Confgurações deslocadas das vgas em balanço para alguns ncrementos de carga Fgura 35 Geometra, carregamento e parâmetros elástcos do Exemplo Fgura 36 Trajetóra de equlíbro para o quadro em forma de losango... 3 Fgura 37 Trajetóra de equlíbro para o quadro em forma de quadrado... 3 Fgura 38 Trajetóra de equlíbro para o arco achatado senodal... 3 Fgura 39 Confgurações atuas dos quadros e do arco para alguns ncrementos de carga ou posção Fgura 40 Geometra, carregamento e parâmetros elástcos do Exemplo Fgura 4 Trajetóras de equlíbro para o pórtco com apoos smples (superor). Trecho ncal (nferor) Fgura 4 Trajetóras de equlíbro para o pórtco com apoos smples com uma rgdez elástca à rotação (superor). Trecho ncal (nferor) Fgura 43 Trajetóras de equlíbro para o pórtco com apoos engastados (superor). Trecho ncal (nferor) Fgura 44 Mapeamento posconal do elemento de pórtco plano lamnado Fgura 45 Mapeamento posconal de um ponto qualquer da Lâmna de Referênca na confguração ncal Fgura 46 Mapeamento posconal de um ponto qualquer na confguração ncal de uma lâmna nferor à Lâmna de Referênca Fgura 47 Mapeamento posconal de um ponto qualquer na confguração ncal de uma lâmna superor à Lâmna de Referênca Fgura 48 Modelo de acoplamento entre elementos lamnados Fgura 49 Sstemas de referênca local e global no elemento lamnado Fgura 50 Geometra, carregamento e parâmetros elástcos para o problema do Exemplo Fgura 5 Resultados do Exemplo 5. para uma dscretzação com 4 elementos cúbcos e varação do número de lâmnas (Caso com S = 0)

17 7 Fgura 5 Resultados do Exemplo 5.: Deslocamento na dreção (u) para seção a,5 m do apoo esquerdo Fgura 53 Resultados do Exemplo 5.: Tensão axal S para seção localzada no meo do vão Fgura 54 Resultados do Exemplo 5.: Tensão axal S para seção localzada no meo do vão Fgura 55 Resultados do Exemplo 5.: Tensão de csalhamento S para seção a,5 m do apoo esquerdo Fgura 56 Resultados do Exemplo 5.: Mapa de cores para os deslocamentos e tensões na vga com S = Fgura 57 Geometra, carregamento e parâmetros elástcos do problema: Exemplo Fgura 58 Malhas de elementos fntos empregadas no Exemplo 5. para o caso com S = Fgura 59 Resultados do Exemplo 5.: Deslocamento na dreção (u) para seção a,5 m do apoo esquerdo Fgura 60 Resultados do Exemplo 5.: Tensão axal S para seção localzada no meo do vão Fgura 6 Resultados do Exemplo 5.: Tensão axal S para seção localzada no meo do vão Fgura 6 Resultados do Exemplo 5.: Tensão de csalhamento S para seção a,5 m do apoo esquerdo Fgura 63 Resultados do Exemplo 5.: Mapa de cores para os deslocamentos e tensões na vga com S = Fgura 64 Geometra, carregamento e parâmetros elástcos do Exemplo Fgura 65 Malhas de elementos fntos empregadas no Exemplo 5.3 para o Modelo ABA Fgura 66 Resultados do Exemplo 5.3: Deslocamento na dreção (u) para seção a,5 m do apoo esquerdo Fgura 67 Resultados do Exemplo 5.3: Tensão axal S para seção a,5 m do apoo esquerdo Fgura 68 Resultados do Exemplo 5.3: Tensão axal S para seção a,5 m do apoo esquerdo Fgura 69 Resultados do Exemplo 5.3: Tensão de csalhamento S para seção a,5 m do apoo esquerdo

18 8 Fgura 70 Resultados do Exemplo 5.3: Mapa de cores para os deslocamentos e tensões do modelo ACA Fgura 7 Geometra, carregamento e parâmetros elástcos do Exemplo Fgura 7 Trajetóras de equlíbro para o pórtco com lgações semrrígdas analsado com o elemento lamnado (superor). Trecho ncal (nferor) Fgura 73 Resultados do Exemplo 5.4: Confgurações atuas no últmo passo de carga Fgura 74 Geometra, carregamento e parâmetros elástcos dos pórtcos lamnados Fgura 75 Dstrbução de deslocamentos longtudnas u (m) para algumas seções transversas do pórtco com cnco pavmentos. Resultados para o últmo ncremento de carga Fgura 76 Deslocamentos globas do pórtco com cnco pavmentos. Resultados para o últmo ncremento de carga Fgura 77 Dstrbução de deslocamentos longtudnas u (m) para algumas seções transversas do pórtco com um pavmento. Resultados para o últmo ncremento de carga Fgura 78 Deslocamentos globas do pórtco com um pavmento. Resultados para o últmo ncremento de carga Fgura 79 Trajetóras de equlíbro referente ao deslocamento horzontal u (m) do nó superor esquerdo.... 0

19 9 LISTA DE TABELAS Tabela Compóstos com fbras: materas consttuntes mas comuns Tabela Avalação da quantdade de pontos de Gauss necessára para as ntegrações numércas do elemento de pórtco plano lamnado no Exemplo

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21 LISTA DE SÍMBOLOS 0 f função de mapeamento posconal da confguração ncal f f, função de mapeamento posconal da confguração atual sstema de coordenadas admensonas u x y função mudança de confguração função deslocamento vetor posção da confguração ncal vetor posção da confguração atual A 0 A A gradente da função mudança de confguração gradente da função de mapeamento posconal da confguração ncal gradente da função de mapeamento posconal da confguração atual x posção da confguração ncal na dreção x posção da confguração ncal na dreção y posção da confguração atual na dreção y posção da confguração atual na dreção C C j E E j S S j I ε u e E tensor alongamento à dreta de Cauchy-Green tensor alongamento à dreta de Cauchy-Green, em notação ndcal tensor deformação de Green tensor deformação de Green, em notação ndcal tensor tensão de Pola-Krchhoff de segunda espéce tensor tensão de Pola-Krchhoff de segunda espéce, em notação ndcal tensor dentdade tensor deformação lnear energa específca de deformação módulo de elastcdade longtudnal coefcente de Posson G V 0 b módulo de elastcdade transversal volume ncal largura da seção transversal

22 J F nt Jacobano vetor de forças nternas F vetor de forças nternas, em notação ndcal nt j F ext vetor de forças externas F vetor de forças externas, em notação ndcal ext j U W x y R energa potencal de deformação trabalho realzado por forças externas energa potencal das ações externas função energa potencal total vetor posção nodal na confguração ncal, em notação ndcal vetor posção nodal na confguração atual, em notação ndcal vetor de desbalanceamento mecânco, em notação ndcal H matrz Hessana, em notação ndcal Φ função de forma consttuída por polnômos de Lagrange h 0 v altura da seção transversal versor pertencente ao plano da seção transversal na confguração ncal, em notação ndcal t g vetor tangente nodal na confguração ncal, em notação ndcal vetor generalzado pertencente ao plano da seção transversal na confguração atual, em notação ndcal q Q P B B e B carregamento dstrbuído na dreção força nodal equvalente força concentrada bnáro devdo a um momento concentrado conjugados energétcos gerados por um momento concentrado K ab rgdez da mola de acoplamento de posção nodal K ab p a rgdez da mola de acoplamento de vetor generalzado nodal rotação acumulado de um vetor generalzado

23 3 a lr LR 0 f f x y e d j x j y j v j rotação ocorrda entre passos de carregamento lnha de referênca Lâmna de Referênca função de mapeamento posconal da confguração ncal para a lâmna função de mapeamento posconal da confguração atual para a lâmna vetor posção da confguração ncal para a lâmna vetor posção da confguração atual para a lâmna espessura da lâmna dstanca entre o nó j na lnha de referênca e o centro da LR vetor posção nodal na confguração ncal para a lâmna, em notação ndcal vetor posção nodal na confguração atual para a lâmna, em notação ndcal versor pertencente ao plano da seção transversal na confguração ncal para a lâmna, em notação ndcal t j g j vetor tangente nodal na confguração ncal para a lâmna, em notação ndcal versor pertencente ao plano da seção transversal na confguração atual para a lâmna, em notação ndcal A 0 A gradente da função mudança de confguração para a lâmna gradente da função de mapeamento posconal da confguração ncal para a lâmna A E gradente da função de mapeamento posconal da confguração atual para a lâmna módulo de elastcdade longtudnal para a lâmna coefcente de Posson para a lâmna G b V u U e 0 q M j módulo de elastcdade transversal para a lâmna volume ncal para a lâmna largura da seção transversal para a lâmna energa específca de deformação para a lâmna energa potencal de deformação para a lâmna força dstrbuída aplcada na lâmna conjugados energétcos assocado ao vetor generalzado g j

24 4 M n J M n K ab E S T R momento concentrado aplcado na seção nodal n parcela de momento atrbuída a lâmna Jacobano assocado à lâmna rgdez da mola de acoplamento de vetor generalzado nodal para a lâmna tensor deformação de Green para a lâmna tensor tensão de Pola-Krchhoff de segunda espéce para a lâmna tensor tensão de Cauchy para a lâmna matrz de rotação do sstema de referênca global para o local

25 5 SUMÁRIO INTRODUÇÃO Generaldades Objetvos Metodologa Organzação do texto REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Introdução Aspectos geras sobre materas compóstos Classfcação dos materas compóstos Comportamento mecânco Teoras de lamnados Falhas em compóstos lamnados Formulações para análse de estruturas consttuídas por compóstos lamnados MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS POSICIONAL APLICADO A MODELOS BIDIMENSIONAIS Introdução Análse não lnear de estruturas Função mudança de confguração Medda de deformação e le consttutva Energa potencal de deformação Energa potencal relatva às ações externas Energa potencal total e equações de equlíbro Processo de solução ELEMENTO FINITO DE PÓRTICO PLANO HOMOGÊNEO Introdução Mapeamento posconal das confgurações ncal e atual Partculardades do elemento de pórtco plano homogêneo Gradente das funções de mapeamento posconal Energa potencal de deformação Energa potencal relatva às ações externas Energa potencal total e equações de equlíbro Processo de solução... 4

26 Lgações entre elementos não colneares Exemplos numércos Exemplo 4.: Vga em balanço solctada por ações externas varadas Exemplo 4.: Pórtcos planos com dferentes geometras e condções de contorno Exemplo 4.3: Pórtco com lgações semrrígdas Consderações ELEMENTO FINITO DE PÓRTICO PLANO LAMINADO Introdução Mapeamento posconal das confgurações ncal e atual Partculardades do elemento fnto de pórtco plano lamnado Gradente das funções de mapeamento posconal Energa potencal de deformação Energa potencal relatva às ações externas Energa potencal total e equações de equlíbro Processo de solução Lgações entre elementos não colneares Pós-processamento Exemplos numércos Exemplo 5.: Vga homogênea bapoada com força dstrbuída Exemplo 5.: Vga sanduíche bapoada com força dstrbuída Exemplo 5.3: Vga sanduíche bapoada com força concentrada Exemplo 5.4: Pórtco homogêneo com lgações semrrígdas Exemplo 5.5: Pórtcos lamnados Consderações... 6 CONCLUSÃO... 3 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 7

27 INTRODUÇÃO CAPÍTULO INTRODUÇÃO. Generaldades De acordo com Carrera (00), qualquer teora para análse de compóstos lamnados, bem como um elemento fnto desenvolvdo com essa teora, deve consderar os seguntes aspectos complexos de uma estrutura lamnada: ansotropa no plano do lamnado, heterogenedade transversal, efeto Zg-Zag e contnudade nterlamnar. A ansotropa no plano do lamnado surge quando as propredades físcas e mecâncas se modfcam conforme a dreção consderada no plano. Lamnados consttuídos por compóstos de fbras apresentam elevada resstênca e rgdez ao longo das fbras, mas essas propredades são menores na dreção transversal, pos pratcamente só há a nfluênca da matrz do compósto. Isso leva, segundo Carrera (00), a uma elevada flexbldade na dreção transversal, tanto em relação ao csalhamento como em relação às tensões axas. De acordo com Jones (999) e Reddy (004a), uma consequênca mas relevante da ansotropa no plano das lâmnas dz respeto ao acoplamento entre as deformações normas e csalhantes que aumenta muto as dfculdades nos procedmentos de solução de estruturas lamnadas. Jones (999) e Reddy (004a) também relatam que essa ansotropa pode produzr um acoplamento adconal entre as deformações contdas no plano e fora dele, levando à ocorrênca de grandes deslocamentos mesmo para baxos níves de carregamento. A heterogenedade transversal representa a mudança das propredades físcas e mecâncas ao longo da espessura devdo aos materas dferentes empregados em cada lâmna. Nas nterfaces, essa heterogenedade produz descontnudade da prmera dervada do campo de deslocamento em relação à coordenada z (ou 3), localzada ao longo da espessura do lamnado. Este comportamento é conhecdo por efeto Zg-Zag como pode ser observado na Fgura para o caso de uma estrutura composta por três lâmnas (CARRERA, 00).

28 8 Capítulo - Introdução Fgura Deslocamentos e tensões transversas ao longo de uma seção homogênea e lamnada Fonte: Carrera (00). Segundo Reddy (004a), a contnudade nterlamnar surge do equlíbro de forças entre as dversas lâmnas do compósto (Fgura ), fazendo com que as tensões transversas sejam contínuas. Essa condção de contnudade leva a uma descontnudade das deformações nterlamnares desde que os materas de lâmnas adjacentes sejam dstntos. Fgura Equlíbro de tensões nterlamnares Fonte: Reddy (004a). Carrera (00) denomna o efeto Zg-Zag e a contnudade nterlamnar como condções de classe 0 C ( C Requerments). Ele também alerta que o atendmento a essas 0 z

29 Capítulo - Introdução 9 condções é mprescndível para o desenvolvmento de qualquer teora adequada à análse de estruturas formadas por compóstos lamnados. Quando o objetvo da análse de estruturas lamnadas de espessura fna a moderada é a obtenção de respostas globas como deslocamentos, cargas crítcas de flambagem e frequêncas de vbração, por exemplo, as teoras de camada únca equvalente (Equvalent Sngle Layer ESL), que analsam o lamnado consderando uma camada únca com propredades mecâncas equvalentes, fornecem acetável precsão nos resultados. No entanto, essas teoras apresentam aplcação lmtada quando se trabalha com lamnados espessos ou quando há a necessdade de uma avalação no nível das lâmnas e de suas nterfaces para dentfcar o processo de falha do compósto como, por exemplo, por delamnação ou deslzamento. Essa lmtação ocorre porque as teoras ESL não são capazes de representar com precsão a dstrbução das tensões ao longo da espessura e nas nterfaces do compósto lamnado (REDDY, 004a). Como vsto anterormente, devdo à contnudade nterlamnar, à ansotropa no plano das lâmnas e à heterogenedade transversal, as dstrbuções de tensões são contínuas e as deformações são descontínuas nas nterfaces do lamnado. As teoras ESL representam esse comportamento justamente de forma contrára, pos, ao tratar o lamnado como uma únca lâmna equvalente, as deformações obtdas fcam contínuas e as tensões descontínuas. Assm, teoras que dferencam as lâmnas são mas adequadas, pos vablzam o atendmento às condções de classe 0 C (CARRERA, 00). Uma teora bastante conhecda é a Layerwse cujas hpóteses cnemátcas consderam campos de deslocamentos ndependentes em cada lâmna, mas compatblzados nas nterfaces (REDDY, 004a). Essas hpóteses geram uma dstrbução de deformações transversas descontínuas nas nterfaces, tornando possível a representação de tensões mas realstas prncpalmente para o caso de lamnados espessos. Outras questões mportantes sobre os lamnados dzem respeto aos efetos não lneares. Os materas compóstos lamnados são leves e possuem elevada resstênca e rgdez específcas. Assm, há uma tendênca em se ter estruturas esbeltas e sujetas a grandes deslocamentos e rotações. Como consequênca, a análse do equlíbro na confguração ndeformada não é mas acetável, tornando-se mprescndível o emprego de formulações que realzem a análse na confguração deformada da estrutura (não lneardade geométrca). A hpótese de um comportamento lnear para a relação tensão-deformação é bastante aceta e amplamente usada na engenhara, pos os materas compóstos são fortemente lneares longe da stuação de ruptura, com lneardade geralmente superor a dos metas (MENDONÇA, 005). No entanto, quando o objetvo da análse é dentfcar a falha do materal, os efetos da não lneardade físca podem ser mportantes para a dentfcação realsta desse fenômeno.

30 30 Capítulo - Introdução Dante de tudo que fo dscutdo, conclu-se que a análse de compóstos lamnados apresenta grandes desafos, pos as dstrbuções das tensões nas formulações convenconas são descontínuas e mprecsas e sua melhora é mprescndível para defnr efcentes crtéros de falha relaconados às estruturas compóstas lamnadas. Portanto, justfca-se o emprego de uma teora dscreta por lâmnas além da consderação de efetos não lneares, vsto que a busca por uma formulação numérca que consga representar de forma realsta as dstrbuções de tensões ao longo da espessura e nas nterfaces de um lamnado deve consderar também a presença desses efetos. Neste trabalho, a formulação desenvolvda segue uma cnemátca semelhante à adotada pela teora de lamnados Layerwse e utlza o método dos elementos fntos posconal (CODA; PACCOLA, 007; CODA, 009; CODA; PACCOLA, 0; PASCON; CODA, 03; SAMPAIO, 04) para a análse de pórtcos planos lamnados consderando a não lneardade geométrca. Dessa forma, espera-se obter uma dstrbução de tensões mas realsta ao longo da espessura e nas nterfaces. A não lneardade físca não é consderada, fcando como proposta para trabalhos futuros. O método dos elementos fntos posconal é uma formulação de elementos fntos que trabalha com graus de lberdade em posção no lugar dos tradconas deslocamentos. A formulação posconal possu como característcas relevantes o emprego de uma descrção Lagrangana total e da medda de deformação de Green-Lagrange cujo conjugado energétco é o tensor de tensões de Pola-Krchhoff de segunda espéce. Essa medda de deformação é objetva e adequada para representação de problemas sujetos a grandes deslocamentos e rotações. O emprego da formulação posconal também é justfcado porque seu desenvolvmento faz parte de uma mportante lnha de pesqusa do Grupo de Mecânca Computaconal (GMEC) pertencente ao Departamento de Estruturas da Escola de Engenhara de São Carlos USP. Uma solução possível para a análse de pórtcos lamnados sera o emprego de elementos fntos bdmensonas comumente chamados como elementos de chapa. No entanto, a dscretzação das lâmnas com esse elemento pode provocar o mau condconamento matrcal do sstema de equações de equlíbro no modelo dscreto. Isso ocorre em vrtude da presença de lâmnas fnas e longas, mesmo em lamnados espessos, e devdo à varação brusca e sgnfcatva nas propredades elástcas de uma lâmna para outra. Assm, o refnamento da dscretzação é necessáro para evtar a presença de elementos muto dstorcdos que provocam esse mau condconamento, mas a quantdade de graus de lberdade e, consequentemente, o custo computaconal podem se tornar nváves por conta da maor quantdade de elementos.

31 Capítulo - Introdução 3 Nos Itens..3 e.3, apresenta-se descrção sobre as teoras de lamnados, com ênfase na teora Layerwse. Identfca-se uma mportante abordagem em deslocamentos da teora Layerwse encontrada no trabalho de Reddy (004a) que consste em representar o campo de deslocamentos através de uma combnação lnear do produto de polnômos undmensonas de nterpolação ao longo da espessura com polnômos de nterpolação bdmensonas no plano do lamnado. O desenvolvmento de um elemento fnto para análse de pórtcos planos lamnados com cnemátca correspondente a da teora Layerwse de Reddy (004a) podem não ser efcentes, pos os elementos fntos utlzados para representar as lâmnas se tornam semelhantes aos elementos fntos bdmensonas Lagranganos. Portanto, são sujetos aos problemas de mau condconamento dscutdos anterormente. Assm, a proposta de um elemento fnto com característcas dos modelos de pórtco, mas com a possbldade de gro ndependente e varação de espessura para a seção das lâmnas se torna nteressante, pos é esperado que a análse de problemas com pequena ou moderada espessura, como no caso de barras de pórtco homogêneas e lamnadas, e de problemas com seção transversal espessa lamnada ou não, como no caso de vgas paredes e vgas sanduíche, não fque sujeta ao problema de mau condconamento matrcal. Com sso, torna-se possível o emprego de uma quantdade menor de elementos fntos, mas com uma qualdade equvalente dos resultados em deslocamentos e em tensões se comparado aos obtdos com os elementos de chapa através de uma análse que utlze uma dscretzação bastante refnada.. Objetvos Dante das questões acma, o objetvo prncpal deste trabalho é desenvolver um elemento fnto de pórtco plano lamnado baseado na formulação posconal cuja cnemátca possblte gros ndependentes e varação de espessura das lâmnas em uma extensão da teora Layerwse. Pretende-se, assm, obter um elemento capaz de realzar análses não lneares geométrcas em estruturas de pórtcos planos consttuídos por materas compóstos lamnados com seção transversal fna ou espessa. Dessa forma, espera-se que os resultados de dstrbuções de deformações e tensões sejam mas realstas ao longo da espessura e nterfaces, vsando futuras modelagens do processo de falha do lamnado por delamnação ou deslzamento. Em função desse objetvo, os seguntes objetvos específcos são defndos:

32 3 Capítulo - Introdução a) desenvolver a formulação matemátca do elemento fnto de pórtco plano homogêneo com graus de lberdade compostos por posções nodas e por vetores generalzados que representam o gro e a varação na altura da seção transversal; b) expandr a formulação desse elemento para consderar uma seção transversal composta por váras lâmnas de materas dferentes, com ndependênca de gro e varação de espessura, em uma extensão da teora Layerwse; c) avalar a efcênca do elemento de pórtco plano lamnado em relação aos elementos fntos bdmensonas, comumente chamados como elementos de chapa; d) realzar análses em casos de nteresse..3 Metodologa O desenvolvmento deste trabalho se ncou com uma preparação teórca no estudo da mecânca dos sóldos deformáves, dos métodos numércos e da análse não lnear de estruturas para a aqusção dos subsídos teórcos que possbltassem o desenvolvmento de códgos computaconas, a nterpretação dos resultados e a tomada de decsões quando das análses numércas. Essa preparação teórca fo obtda cursando dversas dscplnas oferecdas no Departamento de Engenhara de Estruturas SET, na Escola de Engenhara de São Carlos USP. Realzou-se também uma revsão bblográfca dvdda em duas partes. A prmera parte se concentrou em uma fundamentação teórca sobre materas compóstos em geral e sobre as dversas teoras empregadas para análse de estruturas consttuídas por compóstos lamnados. A segunda parte da revsão fo voltada ao estudo das dversas formulações dsponíves para a realzação de análses não lneares em estruturas. A conclusão das dscplnas da fase de preparação teórca forneceu os subsídos necessáros para o desenvolvmento e mplementação computaconal do elemento de pórtco plano homogêneo, mas anda sem a possbldade de acoplamento entre barras com dreções dferentes. Análses numércas em problemas de vgas foram fetas para verfcar a formulação do elemento e as mplementações realzadas. O elemento de pórtco plano homogêneo possu graus de lberdade consttuídos por posções e vetores generalzados nodas. A função de mapeamento posconal empregada é semelhante à proposta por Coda e Paccola (0) para análse de pórtcos trdmensonas não

33 Capítulo - Introdução 33 lamnados. Essa cnemátca corresponde a uma cnemátca de Ressner-Tmosheno e, portanto, não nclu a possbldade de gros ndependentes para lamnados. Incalmente, o elemento fnto posconal de pórtco plano homogêneo fo desenvolvdo, uma vez que sua cnemátca possblta uma expansão natural para o caso lamnado. Esse elemento é semelhante ao elemento de pórtco lamnado consttuído por uma únca lâmna. Dessa forma, os resultados de análses em problemas homogêneos forneceram uma avalação préva da efcênca da cnemátca proposta. A adaptação dessa formulação para lamnados é baseada na teora Layerwse com a possbldade de gros ndependentes e varação da espessura das lâmnas. Entretanto, as formulações baseadas nesta teora são utlzadas em geral para análse de problemas lneares, nos quas a superposção de gros é possível. Na proposta desta pesqusa, um procedmento semelhante a do elemento de pórtco plano homogêneo fo segudo para consderar a análse não lnear geométrca. A formulação matemátca do elemento de pórtco plano lamnado fo desenvolvda, seguda por sua mplementação computaconal em lnguagem de programação FORTRAN. Com sso, análses numércas foram realzadas em exemplos de vgas homogêneas e lamnadas. Os resultados obtdos foram comparados a soluções analítcas e numércas quando dsponíves e prncpalmente aos resultados obtdos a partr de análses com elementos fntos bdmensonas em dferentes níves de dscretzação. O software utlzado para essas análses fo o Ansys, pos é um software que faclta a modelagem numérca dos problemas e cujos resultados obtdos com as análses são bastante confáves. Outros softwares também poderam ser empregados desde que esses dos aspectos fossem garantdos. Com a verfcação do elemento fnto lamnado, a formulação do acoplamento entre elementos fo desenvolvda e mplementada em ambos os programas, possbltando a exstênca de lgações rígdas, artculadas e semrrígdas. Após sso, análses numércas em exemplos de pórtcos planos homogêneos encontrados na lteratura e em exemplos propostos de pórtcos planos lamnados foram realzadas. Os desenvolvmentos matemátcos necessáros foram realzados manualmente e utlzando-se eventualmente os recursos de softwares de manpulação smbólca dsponíves. A programação da formulação fo feta em lnguagem FORTRAN vsando futuras generalzações para elementos fntos de casca, consderação de não lneardade físca e paralelzação do códgo com o propósto de permtr aplcações geras. Por fm, o fechamento da pesqusa ocorreu com a redação do presente texto e sua subsequente apresentação.

34 34 Capítulo - Introdução.4 Organzação do texto A organzação dos dversos tópcos deste trabalho é descrta neste tem a fm de esclarecer a sequênca lógca utlzada e apresentar os conteúdos que compõem cada capítulo deste trabalho. Uma revsão bblográfca contendo os aspectos geras dos materas compóstos é apresentada na prmera parte do Capítulo. São abordadas questões relatvas ao conceto de materal compósto e à classfcação dos dversos tpos exstentes. Atenção maor fo despendda para os compóstos lamnados. Os níves de abordagens exstentes na avalação do comportamento mecânco de estruturas consttuídas por esses materas são dentfcadas, o que permtu a localzação da formulação desenvolvda neste trabalho. Um resumo das prncpas teoras para análse de lamnados, englobando suas hpóteses e lmtações, também é apresentado. Por fm, um tem aborda o assunto de falhas em compóstos lamnados, sendo dada ênfase aos prncpas aspectos que precsam ser consderados em uma análse mas realsta vsando à dentfcação precsa desse fenômeno. Neste tem, são apresentados também os crtéros de falha exstentes. Todo o conteúdo desta prmera parte da revsão bblográfca fo escrto para fornecer uma vsão geral sobre os materas compóstos ao letor que não possua uma formação acadêmca básca nessa área da engenhara. Muto do que está escrto neste tem fo extraído de lteraturas bastante conhecdas da Engenhara de Materas, tas como os lvros de Jones (999), Reddy (004a), Vnson e Seraows (004), Mendonça (005), Danel e Isha (006), entre outros. A segunda parte da revsão bblográfca apresentada no Capítulo busca dentfcar e caracterzar as prncpas teoras exstentes para análse de compóstos lamnados tanto em regme lnear como em não lnear. São dscutdas as hpóteses, aplcações e lmtações de cada teora. O ntuto desse capítulo é localzar a formulação do elemento fnto lamnado desenvolvdo neste trabalho em relação às demas formulações exstentes. A maor parte do conteúdo fo extraída de artgos centífcos tas como o de Ghugal e Shmp (00, 00), Carrera (00), Kreja (0), Lo et al. (0), entre outros. O Capítulo, portanto, delmta este trabalho dentro do campo de conhecmento relatvo aos materas compóstos. Feto sso, os próxmos capítulos do texto descrevem as formulações dos elementos fntos desenvolvdos. Inca-se, no Capítulo 3, com uma apresentação da formulação matemátca pecular aos elementos fntos posconas aplcados a problemas que permtem uma smplfcação ao

35 Capítulo - Introdução 35 domíno bdmensonal. No prmero tem deste capítulo, há a revsão bblográfca sobre as prncpas formulações destnadas à análse não lnear de estruturas. A formulação posconal é dentfcada dentro das formulações com descrção Lagrangana total como pode ser observado no tem referente à defnção da função mudança de confguração. A medda de deformação e a le consttutva adotada são apresentadas em seguda. Como a formulação posconal é desenvolvda por meo de uma abordagem energétca, as parcelas que compõem a energa potencal total do problema são dentfcadas. O capítulo é concluído com a descrção do processo de solução empregado para resolver o sstema de equações não lnear, que é baseado no método de Newton-Raphson. Como se verá, o conjunto de operações matemátcas apresentado no Capítulo 3 é ndependente do tpo de elemento desenvolvdo. Dessa forma, os Capítulos 4 e 5 foram organzados com a mesma sequênca lógca que consste em descrever ncalmente a cnemátca adotada através das funções de mapeamento posconal das confgurações ncal e atual seguda pela apresentação dos aspectos partculares de cada elemento fnto desenvolvdo. Esses aspectos são relaconados prncpalmente à determnação dos termos que compõem os dversos vetores e matrzes da formulação posconal, dentfcados no Capítulo 3. No penúltmo tem, são apresentados os resultados obtdos em análses numércas de exemplos. Esses resultados são comparados a outros analítcos e numércos dsponíves na lteratura ou obtdos em análses realzadas no Ansys. As consderações referentes à verfcação da formulação constam no fnal de cada capítulo. Fnalmente, conclusões e sugestões para a contnuação desta pesqusa estão descrtas no Capítulo 6.

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37 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA CAPÍTULO REVISÃO BIBLIOGRÁFICA. Introdução Mutos avanços tecnológcos relevantes em dversas áreas do conhecmento somente se tornaram possíves em vrtude do desenvolvmento e utlzação dos materas compóstos. Apesar da aplcação desses materas estar sempre referda à tecnologa de ponta, a orgem dessa mportante classe de materas se remete aos chamados compóstos naturas presentes nas maderas, nos ossos e nos tecdos musculares (HULL; CLYNE, 996). Hstorcamente, o emprego dos compóstos é muto antgo. Por exemplo, palhas eram usadas pelos Israeltas para aumentar a resstênca de tjolos e os Egípcos já trabalhavam com madera lamnada para melhorar o desempenho mecânco, aumentar a resstênca às expansões térmcas e reduzr a absorção de umdade (JONES, 999). Nas aplcações modernas, os prmeros empregos dos materas compóstos surgram na construção de veículos espacas durante a últma metade do século passado (CARRERA, 00). Os compóstos podem ser projetados para apresentar númeras propredades vantajosas frente aos materas que consttuem as estruturas monolítcas tradconas. Dentre elas podem ser lstadas, por exemplo: maor resstênca e rgdez, menor densdade, maor tempo para ocorrer fadga, maor resstênca ao desgaste e à corrosão, maor establdade dmensonal relaconada a ações térmcas e hgroscópcas, entre outras. Segundo Danel e Isha (006), esse desempenho superor somente é possível porque os materas consttuntes dos compóstos possuem característcas que aumentam as possbldades para o desenvolvmento de uma confguração ótma do materal em função das restrções de uma aplcação específca. As prncpas propredades que os compóstos apresentam e que garantem um ganho de desempenho são: elevada resstênca específca (relação entre resstênca e densdade), elevada rgdez específca (relação entre rgdez e densdade) e propredades ansotrópcas e heterogêneas.

38 38 Capítulo Revsão Bblográfca As aplcações dos materas compóstos vão desde objetos smples como o botão de uma camsa até objetos extremamente complexos como um ônbus espacal. O uso nclu aplcações nas áreas aeroespacal, aeronáutca, naval, de energa, de nfraestrutura e construção cvl, mltar, bomédca e de produtos esportvos. Na área aeroespacal, os materas precsam ter uma grande establdade dmensonal, pos são expostos a condções ambentas severas. Assm, materas compóstos com coefcentes de expansão térmca e hgroscópca próxmos de zero são projetados e empregados nas estruturas dos ônbus e nstalações espacas, em antenas, em espelhos e em nstrumentos óptcos (DANIEL; ISHAI, 006). Nas aplcações em aeronaves mltares e em avação cvl, é desejável que os materas apresentem alta rgdez, alta resstênca e baxa densdade. Dessa forma, o emprego de materas compóstos cresceu de forma sgnfcatva nas últmas décadas. Como exemplo, pode-se ctar o Arbus A380 que é o maor avão comercal do mundo e utlza uma grande quantdade de compóstos: formado por % de plástcos reforçados com fbras de carbono, vdro e quartzo e 3% de lamnado sanduíche com faces consttuídas por lâmnas de alumíno ou de lamnado polmérco com fbras de carbono e núcleo composto por fbras de vdro em uma matrz de epóx. Outro exemplo é o avão mltar B- que é feto quase nteramente por compóstos como o consttuído de carbono com epóx (VINSON; SIERAKOWSKI, 004; DANIEL; ISHAI, 006). O uso de materas compóstos em automóves, ônbus, camnhões e veículos sobre trlhos se deve a leveza e resstênca desses materas que são empregados de dversas formas como em: portas, capôs, para-choques, solantes térmcos, blndagem, revestmentos nternos, tetos, carenagens, entre outras. Os compóstos são usados, por exemplo: na substtução de peças metálcas por peças mas leves, como nas molas fetas de fbras de vdro com epóx; nos assentos de trens e metrôs, fabrcados com resnas termofxas autoextnguíves; em partes da carenagem, que utlzam panés sanduíches; na utlzação de SMC (compósto de resna termofxa e fbras de reforço) em carenagens de automóves para redução de peso; em blndagens fetas a partr de compóstos de alto desempenho, como o compósto de resnas termofxas com fbras de aramda; entre outras (ABMACO, 008; VINSON; SIERAKOWSKI, 004; DANIEL; ISHAI, 006). A ndústra náutca é uma das prncpas usuáras de compóstos no mundo e se aproveta das vantagens desses materas, tas como: solamento térmco, menor custo de fabrcação, baxa necessdade de manutenção, maor resstênca à corrosão e menor peso. Muto usado na construção de barcos são os panés sanduíche híbrdos que são formados por faces espessas de um lamnado polmérco reforçado com fbras de vdro e carbono e um núcleo

39 Capítulo Revsão Bblográfca 39 preenchdo com espuma de PVC. Esse materal é usado, por exemplo, no navo suíço Corvette YS Nas embarcações menores como lanchas, barcos de pesca e catamarãs, o casco é totalmente fabrcado com resnas reforçadas com fbra de vdro (ABMACO, 008; VINSON; SIERAKOWSKI, 004; DANIEL; ISHAI, 006). Na ndústra de energa, o emprego de materas compóstos ocorre, por exemplo, nas pás de turbnas eólcas e em rsers de perfuração de poços de petróleo em alto mar. As pás são produzdas com resnas de poléster ou de epóx reforçadas com tecdos e mantas de fbras de vdro e de carbono (ABMACO, 008; DANIEL; ISHAI, 006). O uso de rsers de materal compósto é uma excelente alternatva aos rsers de aço, pos são mas leves, mas resstentes à fadga, mas resstentes à corrosão e melhores solantes térmcos. Para confecção dos rsers, são utlzadas estruturas híbrdas compostas de fbra de carbono e fbra de vdro numa matrz de epóx (SOUSA; PINA FILHO; DUTRA, 007). Os materas compóstos (carbono com epóx ou carbono com polsulfona, por exemplo), também, podem ser encontrados em produtos da área bomédca como próteses, membros artfcas, caderas de rodas, muletas e em produtos esportvos, que necesstam de materas leves e resstentes, como raquetes, tacos de golfe, varas de pesca, ss, pranchas e bccletas. As bccletas profssonas, por exemplo, podem ser fabrcadas com resnas termofxas reforçadas com fbra de carbono, apresentando elevada rgdez e leveza. Na construção cvl, as aplcações de materas compóstos são bastante extensas. Os prncpas produtos são: caxas d água, telhas, mármores sntétcos, coberturas, mobláros urbanos, entre outras (ABMACO, 008). Em nfraestrutura, a quantdade de aplcações também é extensa como, por exemplo: tubulações de água e esgoto, tanques, psos e perfs pultrudados em geral. Nessa área, o uso de materas compóstos tem crescdo prncpalmente em recuperações e reforços de pontes, na substtução de tabuleros e de estas (VINSON; SIERAKOWSKI, 004). No Brasl, a construção cvl e a área de nfraestrutura lderam a demanda por materas compóstos, sendo responsável por 40% do consumo segundo dados de 008 fornecdos pela ABMACO. Os setores da construção cvl e de nfraestrutura são também os prncpas consumdores do concreto smples e do concreto armado que são os materas compóstos mas empregados no mundo. O concreto smples é um compósto formado a partr de partículas nertes, representadas pelos agregados de orgem pétrea, com uma matrz a base de cmento Portland. Suas aplcações são para fns não estruturas como em alguns elementos pré-moldados e para estruturas cujas tensões de tração permanecem baxas como em barragens, pavmentos e blocos de fundação.

40 40 Capítulo Revsão Bblográfca O concreto smples resste bem a esforços de compressão, mas possu baxa resstênca a esforços de tração. Assm, para aumentar a resstênca à tração, barras de aço são nserdas em uma dsposção predefnda, formando o concreto armado. Este é vastamente empregado para fns estruturas como na construção de estruturas de edfícos e de pontes. Como pode ser vsto, o uso de materas compóstos ocorre em dversas áreas tanto em aplcações não estruturas como em estruturas. Isso se deve a vablzação de um projeto otmzado e efcente para o materal e, consequentemente, para a estrutura. A segur, são abordados os aspectos geras sobre os materas compóstos como: defnção, classfcação, tpos de consttuntes, comportamento mecânco, tpos de análses estruturas possíves e formas de falhas. Esses aspectos contrbuem para a justfcatva e contextualzação da formulação numérca apresentada neste trabalho, bem como, fornecem uma vsão geral sobre os materas compóstos e mas especfcamente sobre os compóstos lamnados.. Aspectos geras sobre materas compóstos Um materal é denomnado compósto quando dos ou mas materas são combnados em uma escala macroscópca para formar um tercero materal que apresenta propredades superores a dos seus componentes ndvdualmente (JONES, 999; REDDY, 004a; VINSON; SIERAKOWSKI, 004). Quando essa combnação se dá em uma escala mcroscópca, como nas lgas metálcas, o materal formado não é consderado compósto. Bascamente podem ser dentfcadas três fases em um compósto, a matrz, o reforço e a zona de transção (Fgura 3). Dependendo da aplcação do compósto, a função dessas fases pode varar. Em compóstos de baxo a médo desempenho, a matrz é o prncpal elemento resstente e o reforço contrbu para a rgdez. Já em compóstos de elevado desempenho, o reforço determna a rgdez e a resstênca do materal, enquanto a matrz tem a função de proteger o reforço de danos superfcas e de agentes agressvos ambentas, manter o espaçamento e orentação e transmtr as tensões entre os elementos de reforço. A zona de transção tem mportante nfluênca nos mecansmos de falha e sobre o comportamento tensãodeformação do materal (DANIEL; ISHAI, 006). Na sequênca deste tem, uma classfcação para os dferentes tpos de materas compóstos é apresentada, sendo dentfcado o grupo ao qual pertencem os lamnados. Os níves de abordagens exstentes para determnar o comportamento mecânco dos compóstos são descrtos e a formulação desenvolvda neste trabalho é enquadrada nesses níves. Por fm, as teoras para análse de compóstos lamnados e os prncpas crtéros de falha exstentes são

41 Capítulo Revsão Bblográfca 4 apresentados. O objetvo é dentfcar os fatores relevantes que precsam ser consderados em qualquer formulação cuja proposta seja a determnação mas precsa da dstrbução de tensões com vstas à dentfcação do processo de falha de um compósto lamnado. Fgura 3 Fases de um materal compósto Fonte: Danel e Isha (006)... Classfcação dos materas compóstos Reddy (004a) classfca os materas compóstos em compóstos de partículas, compóstos de fbras e compóstos lamnados. Além dessas três, Jones (999) nclu uma quarta classfcação correspondente a um grupo de compóstos formados pela combnação dos três tpos anterores, os compóstos híbrdos. Outra dvsão que pode ser encontrada em Levy Neto e Pardn (006) se refere à dvsão em compóstos naturas e sntétcos. Esses autores propõem o dagrama de classfcação lustrado na Fgura 4, defndo em função dos tpos e arranjos dos reforços. Obvamente qualquer classfcação que se pretenda fazer não será geral o sufcente para englobar a grande quantdade de combnações possíves dos materas compóstos. Essas combnações surgem em vrtude da flexbldade que esses materas possuem para o desenvolvmento de propredades ótmas dante de um conjunto de solctações específcas. Dessa forma, foram ncluídas na classfcação herárquca de Levy Neto e Pardn (006) (Fgura 4) algumas modfcações (destacadas na cor vermelha) para ndcar outras combnações possíves e encontradas na Engenhara Cvl. Algumas dessas combnações e seus compóstos resultantes estão convenentemente dentfcados nos tópcos seguntes.

42 4 Capítulo Revsão Bblográfca Fgura 4 Classfcação dos compóstos em função do tpo de reforço (adaptado) Fonte: Levy Neto e Pardn (006). a) Compóstos de partículas Os compóstos de partículas são formados por um ou mas tpos e formas de partículas suspensas em uma matrz de outro materal. Na maora dos casos, a dstrbução das partículas é aleatóra podendo consderar o materal homogêneo e sotrópco em uma escala macroscópca. Ao todo, são possíves quatro combnações para os compóstos de partículas. A composção mas comum ocorre entre partículas e matrz não metálcas. O compósto mas famoso dessa categora é o concreto smples, formado por uma matrz cmentíca (cerâmca) reforçada com partículas de orgem pétrea. Outros exemplos são: vdro reforçado com flocos de mca, polímeros fráges reforçados com partículas de borracha, cerâmca reforçada com partículas de cerâmca e um nano compósto entre polímero e argla. Neste últmo exemplo, as partículas são orentadas levando a um comportamento ansotrópco (DANIEL; ISHAI, 006). Podem ser combnadas também partículas metálcas em matrz não metálca. Exemplos dessa categora são: compósto composto por partículas de alumíno dspersas em borracha de poluretano que é empregado em propelentes de foguetes; solda fra que é consttuída de um pó metálco suspenso em uma resna e compósto de cobre com epóx que aumenta a condutvdade elétrca. A nclusão de partículas metálcas em plástcos aumenta a condutvdade térmca, reduz o desgaste e dmnu o coefcente de expansão térmco (JONES, 999). Outra categora de compóstos com partículas pode ser obtda entre partículas e matrzes metálcas. Nesse tpo de materal compósto, as partículas não estão dssolvdas na matrz e sso o dferenca das lgas metálcas. O compósto comum dessa categora é formado pela

43 Capítulo Revsão Bblográfca 43 adção de partículas de chumbo em lgas de cobre ou aço para melhorar a usnagem. Outro exemplo envolve o processo chamado snterzação líquda, que consste na adção de partículas de metas fráges em matrzes metálcas dúctes formando um compósto dúctl e com elevadas propredades térmcas (JONES, 999). Por fm, podem ser combnadas partículas não metálcas em matrzes metálcas. O compósto mas comum é formado por partículas cerâmcas de óxdos ou carbetos suspensas em matrz metálca. Esses compóstos são utlzados em aplcações nas quas é mportante haver elevada rgdez, elevada resstênca à corrosão, à abrasão e, também, em aplcações sujetas a elevadas temperaturas (JONES, 999). b) Compóstos de fbras Os compóstos de fbras são consttuídos por fbras (materal de reforço) nserdas em uma matrz. Bascamente podem ser dentfcadas duas classfcações: os compóstos com fbras descontínuas e os compóstos com fbras contínuas. O prmero tpo é formado por fbras curtas ou por whsers, que são fbras muto curtas e com dâmetro da mesma ordem de grandeza do crstal consttunte. Apesar do pequeno comprmento, essas fbras apresentam uma alta razão de aspecto (razão comprmento por dâmetro). Na matrz, as fbras curtas podem ser dspostas de forma aleatóra ou orentadas em uma dreção específca. O segundo tpo são os compóstos com fbras longas (da mesma ordem de grandeza dos elementos estruturas) que podem ser do tpo undreconal e do tpo bdreconal com fbras cruzadas ou formando um tecdo. Esses compóstos são muto mas efcentes estruturalmente do que os compóstos formados por fbras curtas (DANIEL; ISHAI, 006; LEVY NETO; PARDINI, 006; VINSON; SIERAKOWSKI, 004). Os compóstos de fbras também podem ser classfcados em relação aos materas consttuntes. Essa classfcação é defnda em função do tpo de matrz, podendo ser polmérca, metálca, cerâmca ou de carbono. Os compóstos de matrz polmérca são consttuídos por polímeros termofxos ou termoplástcos e fbras de vdro, carbono, aramda ou boro. Sua aplcação se restrnge a baxas temperaturas. Os compóstos de matrz metálca são consttuídos por metas ou lgas metálcas e, em geral, fbras não metálcas de boro, carbono ou cerâmca. Os compóstos de matrz cerâmca tem sua aplcação destnada prncpalmente a ambentes sujetos a elevadas temperaturas e suas fbras são consttuídas por materas cerâmcos como carbeto ou ntreto de slíco e alumna. Os compóstos de carbono são formados por matrz de carbono ou grafte e reforço com fbras ou tecdos de grafte. São compóstos de elevada rgdez e resstênca

44 44 Capítulo Revsão Bblográfca (DANIEL; ISHAI, 006). Os tpos de materas mas comuns que formam os compóstos de fbras estão apresentados na Tabela. Tabela Compóstos com fbras: materas consttuntes mas comuns Tpo de matrz Fbra Matrz Polímero vdro E, vdro S, carbono (grafte), aramda (Kevlar), boro epóx, fenólca, polmda bsmalemda, poléster, pol-éter-éter-cetona, polamdas, polpropleno Metal Cerâmca boro, carbono (grafte), carbeto de slíco, alumna carbeto de slíco, alumna, ntreto de slíco alumíno, magnéso, cobre, ttâno, aço, tungstêno, berílo carbeto de slíco, alumna, ntreto de slíco, cerâmca vítrea Carbono carbono carbono Fonte: Danel e Isha (006). c) Compóstos lamnados Os compóstos lamnados são formados pelo emplhamento e unão de lâmnas de materas dferentes. A unão das lâmnas é realzada de manera tal que garanta o trabalho soldáro entre elas. Assm, as propredades dos materas consttuntes de cada lâmna são combnadas e formam um materal com melhores propredades tas como maor resstênca, maor rgdez, menor peso, maor resstênca à corrosão e ao desgaste, entre outras. Em um lamnado, as lâmnas são a undade básca e podem ser consttuídas por materas compóstos como os reforçados com fbras. Estes são os mas empregados quando há necessdade de elevado desempenho mecânco (JONES, 999; REDDY, 004a). O compósto lamnado é produzdo segundo um esquema de lamnação pré-defndo em função das propredades desejadas para o materal e sso consttu a prncpal proposta de um lamnado (JONES, 999). Desta forma, podem-se ter dreções prncpas do materal em termos de resstênca e rgdez orentadas ao longo das dreções mas solctadas (camnho das cargas). O esquema de lamnação possu como possbldades a varação do número, da espessura, da sequênca, das propredades mecâncas e da orentação das fbras de cada lâmna. Assm, os compóstos podem ser fabrcados de manera a obter projetos altamente otmzados em cada stuação específca (TEÓFILO et al., 008). A nomenclatura empregada para especfcar o esquema de lamnação é do tpo t, / t, /... t n t,, n / n n, na qual t, t,... t n, t n e...,, n n representam a espessura das lâmnas e o ângulo de orentação das fbras nas lâmnas, respectvamente

45 Capítulo Revsão Bblográfca 45 (BELO, 006). A sequênca de numeração das lâmnas é realzada segundo a dreção postva do exo x 3 e o ângulo de nclnação das fbras obedece ao sentdo postvo da rotação no sstema de referênca adotado (regra da mão dreta), como pode ser vsto na Fgura 5. Fgura 5 Nomenclatura do esquema de lamnação Fonte: Belo (006). O ângulo de nclnação das fbras nas lâmnas pode varar de 90 a esquema de lamnação é denomnado cruzado (cross-ply) quando essa nclnação for sempre 90. O 0 ou 90 e é denomnado angular (angle-ply) quando as fbras apresentarem outras nclnações. Mas uma observação mportante com relação ao esquema de lamnação se refere à dstrbução das lâmnas em relação à superfíce méda do lamnado que pode ser smétrca, antssmétrca ou assmétrca. A Fgura 6 contém exemplos de esquemas de lamnação com suas denomnações específcas. a) Lamnado cruzado assmétrco b) Lamnado angular assmétrco c) Lamnado smétrco cruzado d) Lamnado smétrco angular e) Lamnado antssmétrco cruzado f) Lamnado antssmétrco angular Fgura 6 Exemplos de esquemas de lamnação Fonte: Belo (006).

46 46 Capítulo Revsão Bblográfca d) Compóstos híbrdos Segundo Jones (999), os compóstos híbrdos são materas formados a partr da combnação de materas pertencentes às outras três categoras de compóstos (de partículas, de fbras e lamnados). Danel e Isha (006) afrmam que a combnação de dferentes tpos de fbra em uma mesma lâmna pode ser vantajosa em alguns casos. Dessa forma, os autores classfcam os compóstos híbrdos em três tpos: de ntracamada, de ntercamadas e de ntracamada/ntercamadas. Um exemplo claro de compósto híbrdo é o concreto armado. Esse materal é consttuído por concreto smples, que pode ser classfcado como um compósto de partículas, e por barras de aço, que representam as fbras. Então, o concreto armado pode ser classfcado como um compósto de partículas e de fbras. Outras possbldades dentfcadas para um compósto híbrdo são a utlzação de fbras ou matrzes dferentes em um compósto lamnado e a combnação de lâmnas de compóstos dferentes. Neste últmo caso, podem ser dentfcados, por exemplo, a combnação de lâmnas metálcas com lâmnas de compóstos, estruturas de concreto armado reforçadas com fbras de carbono, estruturas compóstas tpo sanduíche, entre outras. Os denomnados compóstos sanduíche são um mportante tpo de compóstos híbrdos formados a partr de duas fnas lâmnas de um materal rígdo localzado nas faces e um núcleo central leve, espesso e de baxa resstênca (Fgura 7). Esse lamnado apresenta elevada rgdez à flexão e baxa densdade. Os prncpas componentes responsáves pela resstênca do compósto sanduíche são as faces e o materal da nterface de lgação. A função das faces é a de suportar tensões axas de compressão, de tração e tensões de csalhamento coplanares geradas por esforço de flexão. O materal da nterface de lgação absorve tensões axas e csalhantes nterlamnares. O núcleo tem a função de manter o afastamento das faces, garantndo um alto momento de nérca (MENDONÇA, 005). Na consttução de um compósto sanduíche, o núcleo pode ser preenchdo com espumas de plástcos expanddos, maderas, plástcos, corrugados e colmeas. Os corrugados e colmeas são comuns em embalagens, em portas e em dvsóras e os materas usados podem ser papel, papelão, algodão, tecdos mpregnados e lâmnas de alumíno ou aço. Nas faces, as lâmnas fnas são, em geral, consttuídas por lamnados de polímeros termofxos ou termoplástcos reforçados com fbras de vdro ou de carbono. Folhas de metal são também comumente empregadas. A lgação entre o núcleo e as lâmnas das faces é realzada com adesvos ou com

47 Capítulo Revsão Bblográfca 47 componentes metálcos (MENDONÇA, 005; LEVY NETO; PARDINI, 006). Os dversos modos possíves de falha em um compósto sanduíche são escoamento ou ruptura das faces, csalhamento do núcleo, flambagem global do panel, deflexão excessva, enrugamento das faces, flambagem ntracelular e esmagamento do núcleo (MENDONÇA, 005). Fgura 7 * Compósto do tpo sanduíche: (A) panel, (B) faces e (C) núcleo em forma de colmea.. Comportamento mecânco Os materas compóstos são frequentemente heterogêneos e ortotrópcos ou ansotrópcos. O materal é heterogêneo quando há varação de suas propredades de um ponto para outro e o materal é ansotrópco quando essas propredades dependem da dreção consderada. A ortotropa ocorre se exstem três planos de smetra perpendculares entre s cuja nterseção defne os exos prncpas do materal. Todas essas característcas dependem da escala de observação. Quando essa escala decresce da dmensão macroscópca para a mcroscópca, um mesmo materal pode ser consderado homogêneo ou heterogêneo, sotrópco, ortotrópco ou ansotrópco (DANIEL; ISHAI, 006). Em função das característcas heterogêneas e da escala do comportamento mecânco de nteresse, a análse dos materas compóstos pode ser dvdda em duas abordagens: mcromecânca e macromecânca. Segundo Jones (999), na abordagem mcromecânca, o estudo do comportamento mecânco do compósto ocorre no nível das nterações entre os consttuntes. Já na abordagem macromecânca, o estudo é realzado em uma escala macroscópca e assume-se um materal homogêneo equvalente. A nfluênca dos consttuntes do compósto é consderada na forma de propredades médas para o materal como um todo. Um esquema das abordagens em um compósto é lustrado na Fgura 8. * Dsponível em : Acesso em: 06 de jan de 04.

48 48 Capítulo Revsão Bblográfca Fgura 8 Níves de análse em estruturas formadas por materas compóstos Fonte: Danel e Isha (006). De acordo com Danel e Isha (006), a abordagem mcromecânca é mportante para o estudo dos mecansmos de resstênca, dos mecansmos de falha (falha nas fbras, na matrz ou na zona de transção), da tenacdade à fratura e do tempo de ocorrênca da fadga. Além dsso, a mcromecânca permte estabelecer o comportamento médo no nível das lâmnas a partr de seus consttuntes. Já a abordagem macromecânca é recomendada para o estudo do comportamento global do lamnado e da estrutura. Nessa abordagem, crtéros de falha podem ser estabelecdos em termos de tensões e forças médas na lâmna. A determnação do comportamento mecânco global da estrutura e das tensões ou forças médas no nível das lâmnas, em uma abordagem macromecânca, pode ser obtda a partr do acoplamento das teoras de lamnados com o método dos elementos fntos. Essas teoras levam em consderação as propredades médas das lâmnas e o esquema de lamnação. Anda dentro da macromecânca, as teoras de lamnados trabalham bascamente consderando dos níves de abordagem: uma na qual o lamnado é analsado como uma únca lâmna homogênea equvalente e outra na qual a análse consdera uma dscretzação das lâmnas. Neste trabalho, as formulações desenvolvdas empregam esta últma abordagem. Conforme dscutdo anterormente no Capítulo, a dscretzação das lâmnas permte representar o comportamento Zg-Zag para o campo de deslocamentos ao longo da seção transversal, possblta a contnudade nterlamnar das tensões transversas e consdera a heterogenedade transversal devdo à mudança de materal lâmna a lâmna. Esses aspectos são fundamentas para KOITER, W. T. A Consstent Frst Approxmatons n the General Theory of Thn Elastc Shells. In: Frst Symposum on the Theory of Thn Elastc Shells, 959, Amsterdam. Proceedngs Amsterdam: 960. p.- 3.

49 Capítulo Revsão Bblográfca 49 a obtenção de uma resposta em tensões mas precsa com vstas à verfcação do processo de falha do lamnado...3 Teoras de lamnados Segundo Reddy (004a), os prncpas modelos para análse de compóstos lamnados podem ser dvddos em: a) Modelos baseados na teora de camada únca equvalente (Equvalente Sngle Layer - ESL): Teora clássca (Classcal Lamnated Theory - CLT); Teora de prmera ordem em relação à deformação de csalhamento (Frst order Shear Deformaton Theory - FSDT); Teora de alta ordem em relação à deformação de csalhamento (Hgh order Shear Deformaton Theory - HSDT); b) Modelos baseados em teoras trdmensonas: Teora Layerwse; Teora da elastcdade trdmensonal; c) Modelos baseados em teoras múltplas. Os modelos baseados na teora ESL assumem um conjunto de hpóteses em relação ao campo de deslocamentos ou de tensões que transformam o problema trdmensonal em um problema bdmensonal (placas e cascas) ou undmensonal (barras). Já os modelos baseados em teoras trdmensonas analsam um compósto lamnado tratando cada lâmna como um sóldo trdmensonal (REDDY, 004a). As teoras ESL transformam um compósto lamnado heterogêneo em uma únca lâmna estatcamente equvalente e composta por um materal homogêneo cuja le consttutva é defnda em função das les consttutvas dos materas que compõem o lamnado. Dentro das teoras ESL, a mas smples é a teora clássca (CLT), pos é uma extensão das hpóteses de Euler-Bernoull para o caso de barras, de Krchhoff para o caso de placas e de Cauchy-Posson-Krchhoff-Love para o caso de cascas. Segundo essa teora, seções planas e normas a uma superfíce de referênca permanecem planas e normas a essa superfíce no estado deformado do lamnado (JONES, 999; REDDY, 004a). Com esta hpótese, portanto, tanto as deformações normas ao plano do lamnado como as deformações de csalhamento transversas são desprezadas.

50 50 Capítulo Revsão Bblográfca Segundo uma ordem crescente de complexdade dentro das teoras ESL, tem-se a teora FSDT que consdera para os compóstos lamnados uma extensão das hpóteses de Ressner-Tmoseno para o caso de barras e de Ressner-Mndln para o caso de placas. Segundo essa teora, seções planas e normas a uma superfíce de referênca permanecem planas no estado deformado do lamnado, mas não necessaramente normas a essa superfíce de referênca (CARRERA, 00). Com esta hpótese, portanto, uma deformação transversal de csalhamento constante é consderada, mas deformações normas contnuam sendo desprezadas. A teora FSDT necessta de um fator de correção para o csalhamento, pos, com a hpótese adotada, as deformações de csalhamento permanecem constantes na seção transversal. Segundo Reddy (004a), esse fator de correção é de dfícl determnação e deve consderar não somente os parâmetros geométrcos e de lamnação, mas também as condções de contorno e de carregamento. As teoras de alta ordem (HSDT) atendem as conhecdas recomendações de Koter (960 apud CARRERA, 00, p. 99). Essas recomendações afrmam que qualquer refnamento das teoras de análse de compóstos lamnados deve consderar de forma smultânea os efetos das deformações normas e de csalhamento transversas. Para sso, as teoras HSDT utlzam polnômos de alta ordem (grau maor ou gual a dos) para representar todas as componentes dos deslocamentos ao longo da espessura do lamnado (REDDY, 004a). Uma teora de alta ordem bastante conhecda é a chamada por Carrera (00) de Teora Vlasov-Reddy (VRT). Na VRT, a descrção do campo de deslocamentos apresenta uma expansão com um polnômo de tercera ordem ao longo da espessura e condções de contorno em forças são aplcadas para garantr o atendmento às tensões de csalhamento transversas no topo e na base do lamnado ( h 0 3 ). Segundo Reddy e Phan (985), o atendmento das condções de contorno em forças na superfíce do lamnado leva a obtenção mas precsa das frequêncas de vbração e das cargas de flambagem de placas lamnadas se comparado às teoras CLT e FSDT. Reddy (004a) afrma que as teoras de tercera ordem produzem uma melhora na precsão dos resultados fornecdos por análses em compóstos lamnados, mas com aumento no custo computaconal e anda sem garantr a contnudade nterlamnar das tensões, pos, ao adotar um campo de deslocamentos únco para todo o lamnado, as deformações fcam contínuas nas nterfaces, quando deveram ser descontínuas. A lustração da Fgura 9 permte fazer uma comparação entre as cnemátcas adotadas nas teoras CLT, FSDT, HSDT e entre os campos de deformações e de tensões obtdos com as teoras FSDT e VRT. KOITER, W. T. A Consstent Frst Approxmatons n the General Theory of Thn Elastc Shells. In: Frst Symposum on the Theory of Thn Elastc Shells, 959, Amsterdam. Proceedngs Amsterdam: 960. p.- 3.

51 Capítulo Revsão Bblográfca 5 Fgura 9 Cnemátca das teoras CLT, FSDT e HSDT (esq.) e deformações e tensões das teoras FSDT e VRT (dr.) Fonte: Carrera (00). Quando se está trabalhando com lamnados espessos e quando é necessáro determnar a dstrbução de tensão e de deformação no nível das lâmnas ndvdualmente, prncpalmente próxmo a descontnudades de geometra e de materal ou em regões de aplcação de carga, os modelos baseados nas teoras de camada únca equvalente apresentam resultados mprecsos. Nesses casos, formulações baseadas na teora da elastcdade são mas adequadas, pos modelam o lamnado como um sóldo trdmensonal. No entanto, essas formulações fornecem soluções analítcas lneares de aplcação restrta, às vezes muto complexas, e podem levar a um elevado custo computaconal quando empregadas em conjunto com métodos numércos como o método dos elementos fntos.

52 5 Capítulo Revsão Bblográfca Uma alternatva é o emprego de teoras de alta ordem assocadas às lâmnas ndvdualmente. Segundo Carrera (00), a forma natural de representar o efeto Zg-Zag que ocorre nos campos de deslocamentos de compóstos lamnados é por meo da aplcação das teoras ESL (CLT, FSDT, VRT, HSDT) no nível das lâmnas. Isto sgnfca tratar cada lâmna de forma ndependente, o que consttu a abordagem da teora Layerwse. De acordo com essa teora, as equações de equlíbro são estabelecdas para cada lâmna ndvdualmente e condções de nterface são ntroduzdas como restrção em termos de deslocamentos para garantr a compatbldade entre lâmnas adjacentes. (CARRERA, 00; REDDY, 004a). Uma abordagem axomátca dessa teora com varáves em deslocamentos pode ser encontrada em Reddy (004a). Nesta, o campo de deslocamentos para cada lâmna I é representado ao longo da espessura através de uma combnação lnear do produto entre polnômos de nterpolação de Lagrange F I f I x 3 e varáves consttuídas por funções x, x que defnem os deslocamentos de todos os pontos localzados em um determnado plano contdo na lâmna I. A quantdade de planos defndos na lâmna depende do grau do polnômo de nterpolação empregado. Na Fgura 0, é lustrado como a componente do deslocamento na dreção de x é aproxmada ao longo da espessura do lamnado para o caso de nterpolação lnear. A nterpolação dos deslocamentos ao longo da espessura pode ser refnada através do emprego de mas subdvsões (refnamento h) ou com aumento do grau do polnômo nterpolador (refnamento p). Fgura 0 Interpolação lnear dos deslocamentos na teora Layerwse Fonte: Reddy (004a).

53 Capítulo Revsão Bblográfca 53 A lustração mostrada na Fgura permte comparar as dferenças obtdas com as formulações que empregam a teora ESL e a teora Layerwse na representação do campo de deslocamentos no plano das lâmnas ao longo da espessura do lamnado. Como pode ser observado, as lâmnas apresentam gros ndependentes umas das outras nos campos de deslocamentos obtdos segundo a teora Layerwse. Essas mesmas lâmnas apresentam gros contínuos nas nterfaces para os campos de deslocamentos obtdos segundo a teora ESL. A ocorrênca de gros ndependentes é um fenômeno presente nos compóstos lamnados por conta da contnudade das tensões nterlamnares, da ansotropa e da heterogenedade entre lâmnas adjacentes. Fgura Deslocamentos no plano das lâmnas ao longo da espessura segundo as teoras ESL e Layerwse Fonte: Kreja (0). Por fm, as teoras múltplas empregam dferentes modelos matemátcos (teora ESL e teora trdmensonal) e dferentes níves de dscretzação para modelagem de sub-regões da estrutura. A combnação desses múltplos modelos em uma análse global e local é realzada de forma smultânea ou de forma sequencal. Quando realzada de forma smultânea, a estrutura é modelada, dscretzada e analsada com emprego de dferentes modelos matemátcos e dferentes níves de dscretzação: modelos baseados na teora ESL são empregados nas regões onde é sufcente uma análse global e modelos baseados na teora Layerwse ou em elementos fntos trdmensonas são empregados onde é necessára uma análse local mas refnada. Quando empregada de forma sequencal, uma análse global de toda a estrutura é realzada com emprego da teora ESL e uma subsequente análse local em regões crítcas é realzada com a teora Layerwse ou com elementos fntos trdmensonas. A grande vantagem dos modelos múltplos é a possbldade de analsar uma grande varedade de problemas em lamnados com máxma efcênca e mínmo custo computaconal (REDDY, 004a).

54 54 Capítulo Revsão Bblográfca..4 Falhas em compóstos lamnados Em um nível mcromecânco, as falhas em um compósto lamnado podem ocorrer no domíno da matrz, na forma de fssuras e esmagamento; no domíno do reforço (fbra), na forma de ruptura e flambagem; e no domíno das nterfaces que pode ser entre as lâmnas, entre a fbra e a matrz ou em uma falha orgnada de um defeto. A falha nas nterfaces é caracterzada na forma de propagação de fssura, delamnação ou deslzamento. Quando a falha ocorre na lâmna, costuma-se dentfcá-la como ntralamnar e se a falha ocorrer na nterface entre as lâmnas, a denomnação adotada é de nterlamnar (VINSON; SIERAKOWSKI, 004). Os crtéros para defnção de falha em um compósto lamnado podem ser estabelecdos no nível dos consttuntes das lâmnas (crtéros mcromecâncos) ou no nível das lâmnas e do lamnado (crtéros macromecâncos). Mesmo sendo precsa a detecção do níco da falha em pontos crítcos das lâmnas, é dfícl defnr a resstênca do lamnado quando sujeto a um carregamento geral, pos o processo de falha em um lamnado ocorre gradualmente em vrtude da falha de uma lâmna causar a redstrbução de tensões entre as lâmnas remanescentes. Assm, a defnção de crtéros macromecâncos é preferível em relação aos crtéros mcromecâncos (DANIEL; ISHAI, 006). Como as lâmnas são em geral ansotrópcas, a determnação da resstênca destas depende da defnção completa do estado de tensão. Assm, os métodos de análse de lamnados devem ser capazes de fornecer essa nformação. Segundo Danel e Isha (006), os crtéros de falha para as lâmnas podem ser classfcados em três grupos: a) Teoras não nteratvas: o crtéro de falha é defndo smplesmente a partr da comparação das tensões ou das deformações com as tensões ou deformações últmas. Não há nteração entre as dferentes componentes de tensão e deformação. Neste grupo, estão os crtéros das tensões e das deformações máxmas; b) Teoras nteratvas: todas as tensões são consderadas no crtéro e a falha não é assocada a um modo partcular. Neste grupo estão os crtéros de Tsa-Hll e de Tsa-Wu; c) Teoras parcalmente nteratvas: crtéros dferentes são estabelecdos para as fbras e para as matrzes e nterfaces. Neste grupo, estão presentes os crtéros de Hashn-Rotem e de Puc. O processo de falha do lamnado é muto mas complexo do que a falha das lâmnas ndvdualmente, pos mutos outros fatores nfluencam na resstênca do lamnado, tas como:

55 Capítulo Revsão Bblográfca 55 esquema de lamnação, rgdez e resstênca das dversas lâmnas, processo de fabrcação (produz tensões resduas), forma da falha (é mas provável haver danos dspersos em vez de danos localzados), entre outros. A resstênca da lâmna é mportante para a determnação do níco e do progresso da falha no lamnado (DANIEL; ISHAI, 006). Assm, os crtéros de falha para os lamnados podem ser dvddos no crtéro da prmera lâmna com falha e no crtéro de falha últma. No prmero crtéro, consdera-se que a lâmna trabalha da mesma forma tanto ndvdualmente como em um lamnado. A partr da análse do compósto lamnado, o estado de tensão atuante nas lâmnas é verfcado com relação aos crtéros de falha de lâmnas ndvduas. Em geral, os resultados obtdos com esse crtéro são conservadores. No segundo crtéro, observa-se o fato da falha em um lamnado ocorrer por meo de um processo de dano progressvo. Como sso é muto mas complexo para determnar, não há uma defnção bem estabelecda sobre o que caracterza a falha últma. Alguns crtéros estabelecem a falha quando se atnge a carga máxma suportada, outros defnem uma deformação lmte, outros anda defnem a falha a partr do processo de degradação da rgdez. Por conta dessa ncerteza, os lamnados projetados com esse crtéro utlzam maores coefcentes de segurança do que os projetados com o crtéro da prmera lâmna com falha (DANIEL; ISHAI, 006). Logo, para a determnação precsa da resstênca últma de um lamnado, é necessáro obter o estado de tensões trdmensonas atuante nas lâmnas e em suas nterfaces. Também é necessáro conhecer as propredades relatvas à tenacdade das lâmnas e à resstênca das nterfaces. Vale ressaltar que a separação (delamnação) e o deslzamento das lâmnas são um mportante modo de falha que ocorre comumente em bordas lvres e em regões de descontnudade geométrca ou de carregamento (REDDY, 004a). Para a determnação de uma dstrbução de tensões mas precsa nas lâmnas e nas nterfaces, é necessáro o emprego de métodos de análse de lamnados mas refnados como os baseados na teora da elastcdade trdmensonal ou na teora Layerwse. Portanto, neste trabalho, a cnemátca adotada para o desenvolvmento do elemento fnto lamnado permte a rotação ndependente da seção transversal das lâmnas e a varação da espessura destas, em uma extensão da teora Layerwse. As prncpas dferenças da cnemátca proposta em relação à da teora Layerwse são o emprego de posções no lugar de deslocamentos como graus de lberdade e o caráter de pórtco do elemento.

56 56 Capítulo Revsão Bblográfca.3 Formulações para análse de estruturas consttuídas por compóstos lamnados Neste tem, uma revsão bblográfca dos trabalhos que tratam sobre análse de estruturas consttuídas por compóstos lamnados é apresentada. Nesta revsão, pretende-se dentfcar e descrever sucntamente como a teora Layerwse vem sendo empregada nas formulações destnadas à análse lnear e não lnear de estruturas consttuídas por compóstos lamnados. No fm da revsão, a formulação proposta neste trabalho é delmtada dentre as formulações exstentes para análse compóstos lamnados que empregam a teora Layerwse como base para seu desenvolvmento. Como os compóstos lamnados são aplcados prncpalmente em estruturas de placas e cascas, a quase totaldade dos trabalhos dentfcados nesta revsão bblográfca se destna ao estudo desses tpos de estruturas. Apesar dsso, as formulações desenvolvdas nos trabalhos relaconados à análse de placas lamnadas podem ser dretamente aplcadas aos pórtcos planos lamnados, bastando desconsderar uma das dmensões no plano da placa. Nas teoras ESL, o lamnado é representado por uma únca lâmna equvalente cujas propredades são obtdas através de uma méda ponderada das propredades mecâncas de cada lâmna que compõe o lamnado ou por meo de técncas de homogenezação (KREJA, 0). As varáves (deslocamentos, tensões ou deslocamentos e tensões) podem ser aproxmadas ao longo da espessura de todo o lamnado segundo uma descrção axomátca com funções do tpo (REDDY, 004a): f x x, x f x, x F x,... N, 3 3 na qual x, x x. () f é a função assumda para representar a varável do problema em todo o, 3 lamnado, f x,x são as funções que descrevem a varável do problema no domíno bdmensonal e F x 3 são as funções que realzam a expansão dessa varável ao longo da espessura do lamnado. Como apresentado no capítulo anteror, as teoras ESL podem ser classfcadas bascamente em três tpos: a teora clássca CLT (Classcal Lamnaton Theory), a teora de prmera ordem FSDT (Frst order Shear Deformaton Theory) e a teora de alta ordem HSDT (Hgh order Shear Deformaton Theory). Uma ampla revsão bblográfca sobre as formulações que empregaram essas teoras bem como suas hpóteses báscas podem ser encontradas em Reddy (993), Ghugal e Shmp (00, 00), Carrera (00), Reddy (004a), Kreja (0) e Lo et al. (0). As hpóteses báscas dessas teoras são descrtas de forma sucnta em seguda.

57 Capítulo Revsão Bblográfca 57 A teora CLT se basea na hpótese de que seções planas e normas a uma superfíce de referênca permanecem planas e normas a essa superfíce no estado deformado do lamnado. O modelo utlzado na descrção do campo de deslocamentos,, u x x x para o caso de 3 placas, por exemplo, é dado por (CARRERA, 00): , 0,,,. u x, x, x u x, x x u x, x, com e u x x x u x x () com u e u ndcando deslocamentos em dreções contdas do plano e u 3, na espessura. A teora FSDT consdera a hpótese de que seções planas e normas a uma superfíce de referênca permanecem planas no estado deformado do lamnado, mas não necessaramente normas a essa superfíce de referênca. O modelo utlzado na descrção do campo de deslocamentos (u) para o caso de placas, por exemplo, é dado por (CARRERA, 00): ,,,, u x, x, x u x, x x x, x, com e u x x x u x x com x, x u x, x x, x e, 3 3, 3 3 (3) x x sendo a deformação de csalhamento. As teoras de alta ordem (HSDT) surgram para representar melhor a dstrbução das tensões de csalhamento transversas e para consderar as tensões axas transversas. De acordo com essas teoras, a descrção do campo de deslocamentos para o caso de placas, por exemplo, é dado por (CARRERA, 00): 0 N N u x, x, x u x u x u x u, com, e 3, (4) u x, x, com j 0,, N, os coefcentes do polnômo e N a ordem de expansão j sendo do campo de deslocamento na dreção. Conforme dscutdo anterormente, as dstrbuções de tensões axas e de csalhamento transversas devem ser contínuas nas nterfaces de um lamnado devdo ao equlíbro de forças e os deslocamentos devem ser compatíves desde que não haja falha do materal. Por conta dsso e da mudança de propredades do materal de uma lâmna para outra, é necessáro haver uma descontnudade das deformações transversas nas nterfaces das lâmnas, gerando deslocamentos no plano do lamnado com um comportamento Zg-Zag ao longo da espessura. Esse comportamento Zg-Zag é bem pronuncando em lamnados espessos e quando há uma varação brusca das constantes elástcas do materal das lâmnas. Isso pode ser constatado nas soluções analítcas obtdas a partr da teora da elastcdade trdmensonal encontradas em

58 58 Capítulo Revsão Bblográfca Pagano (969, 970), Pagano e Hatfeld (97), Noor (973) e Psunov, Spetov e Tumetov (990), para o caso de flexão de placas lamnadas, e em Ren (987b) e Varadan e Bhasar (99), para o caso de flexão de cascas clíndrcas. Uma cnemátca mas correta para o campo de deslocamentos em lamnados espessos pode ser obtda com a teora Layerwse, pos o comportamento Zg-Zag dos deslocamentos no plano do lamnado é representado. Ao contráro dos modelos ESL, nos quas, ao longo da espessura do lamnado, o campo de deslocamentos é de classe C e, portanto, produz contnudade de deformações e descontnudade de tensões nas nterfaces, a cnemátca adotada na teora Layerwse permte representar um campo de deslocamentos de classe C 0. Isso gera um campo de deformações descontínuo nas nterfaces das lâmnas e torna possível a contnudade das tensões nterlamnares. Reddy (004a) afrma que a teora Layerwse é bem aceta quando é necessára uma representação mas precsa das dstrbuções de tensões para, por exemplo, dentfcar o níco da falha nas lâmnas e nterfaces, bem como, seu progresso ao longo do lamnado como um todo. A dea essencal da teora Layerwse é representar as varáves do problema (deslocamentos, tensões ou deslocamentos e tensões) através de funções ndependentes em cada lâmna. Para os casos de placas e cascas, nos quas essa teora é mas aplcada, as varáves do problema são assumdas, por exemplo, como funções do tpo: f x x, x f x, x F x,... N na qual,, 3 3 f f, (5) x, x x 3 é a função assumda para representar a varável do problema na lâmna x, x são as funções bdmensonas que descrevem a varável do problema no domíno de planos contdos na lâmna, F x 3 são as funções que realzam a expansão dessa varável ao longo da espessura da lâmna e N é o número de nós dstrbuídos ao longo da espessura da lâmna. As condções de compatbldade em deslocamentos e de contnudade das tensões transversas nterlamnares podem ser satsfetas com a mposção de restrções nas nterfaces (CARRERA, 00). Segundo Reddy (004a), a teora Layerwse baseada em deslocamentos pode ser classfcada em parcal e completa. Na teora Layerwse parcal, a componente do campo de deslocamentos na dreção transversal x u 3, x é consderada constante ao longo da espessura e a expansão dscreta por lâmnas ocorre apenas para as componentes do campo de deslocamentos nas dreções contdas no plano das lâmnas u x, x x e x, x x, 3 u., Já na teora Layerwse completa, a expansão dscreta por lâmnas ocorre para as três componentes 3

59 Capítulo Revsão Bblográfca 59 do campo de deslocamentos u x, x x, u x, x x e x, x x, REDDY, J. N. A generalzaton of two-dmensonal theores of lamnated composte plates. Communcatons n..appled Numercal Methods, v. 3, p , , 3 u. 3, Consequentemente, as tensões de csalhamento transversas são consderadas tanto na teora parcal como na completa, mas as tensões axas transversas são desprezadas na teora parcal e consderadas somente na teora completa. Outra dvsão nteressante fo proposta por Ghugal e Shmp (00) para classfcar as teoras Layerwse aplcadas a placas. Essa dvsão, entretanto, pode ser estendda para as teoras Layerwse aplcadas a outras estruturas lamnadas como vgas e cascas. Segundo esses autores, o número de ncógntas das teoras Layerwse pode depender ou não do número de lâmnas que compõe o lamnado. Dessa forma, têm-se as teoras Layerwse dependentes e as teoras Layerwse ndependentes. Dante dessas duas classfcações para as teoras Layerwse, os trabalhos consultados nesta revsão bblográfca serão apresentados e ordenados nas seguntes categoras: teora Layerwse parcal dependente, teora Layerwse parcal ndependente, teora Layerwse completa dependente e teora Layerwse completa ndependente. Alguns trabalhos que empregam a teora Layerwse parcal dependente do número de lâmnas são encontrados em Srnvas (973), Reddy (987 apud REDDY, 004a) e Barbero, Reddy e Teply (990). Srnvas (973) apresentou uma formulação layerwse parcal para análses estátcas e dnâmcas de placas lamnadas. De acordo com essa formulação, os deslocamentos no plano do lamnado são aproxmados a partr de uma expansão layerwse lnear. Já o deslocamento transversal é assumdo constante na espessura. Uma generalzação da teora layerwse parcal para representação do campo de deslocamentos fo apresentada por Reddy (987 apud REDDY, 004a) para análse de placas lamnadas. Barbero, Reddy e Teply (990) estenderam a dea para cascas lamnadas clíndrcas. A teora é baseada na nterpolação do campo de deslocamentos em cada lâmna. Na proposta dos autores, a representação dos deslocamentos na espessura é realzada através de elementos fntos Lagranganos undmensonas que se mostraram bastante convenentes, pos qualquer grau de aproxmação é faclmente empregado. Os resultados de deslocamentos, tensões e frequêncas naturas obtdos se aproxmaram bem de soluções analítcas trdmensonas. Os modelos baseados na teora Layerwse parcal são mas realstas do que os modelos de camada únca equvalente (ESL), pos consderam o comportamento Zg-Zag para o campo de deslocamentos no plano das lâmnas e, consequentemente, produzem um campo de deformações de csalhamento transversal descontínuo na espessura. Uma lmtação da teora parcal está assocada à desconsderação de uma varação do deslocamento transversal ao longo da espessura do lamnado, desprezando, assm, as tensões axas transversas. Dessa forma, não é possível 3

60 60 Capítulo Revsão Bblográfca satsfazer as condções de contorno na base e no topo do lamnado com tensões normas aplcadas e não se obtém uma dstrbução de tensões realsta na regão de bordos lvres sujetos a tensões de csalhamento transversas. Os modelos baseados na teora Layerwse parcal fornecem resultados mprecsos em regões descontínuas como aberturas, bordos lvres e frentes de delamnação. Isso se deve à desconsderação das tensões axas transversas que são sgnfcatvas nessas regões. Uma alternatva para contornar essa lmtação é realzar uma expansão layerwse, também, para o deslocamento transversal, o que consttu a proposta da teora Layerwse completa (REDDY, 004a). Formulações que empregam a teora Layerwse completa e possuem a quantdade de varáves dependentes do número de lâmnas podem ser encontradas nos trabalhos de Epsten e Huttelmaer (983), Huttelmaer e Epsten (985), Cho, Strz e Bert (990), Cho, Bert e Strz (99), Lee e Lu (99), Gaudenz (99), Gaudenz, Barbon e Mannn (995), Negsh e Hrashma (997), Zhu e Lam (998) e Reddy (004a). As formulações de Epsten e Huttelmaer (983) e de Huttelmaer e Epsten (985) apresentam característcas semelhantes à formulação desenvolvda no presente trabalho. Empregando um mapeamento vetoral, Epsten e Huttelmaer (983) e Huttelmaer e Epsten (985) apresentaram uma formulação baseada no método dos elementos fntos para análse de placas e cascas lamnadas, respectvamente. Na proposta, um elemento fnto bdmensonal quadrangular soparamétrco com quatro nós fca localzado em uma superfíce de referênca e o mapeamento na espessura é realzado ao longo de cada um de seus nós. Todo esse mapeamento é realzado a partr de um sstema de referênca admensonal. Para sso, são empregados vetores posção r que localzam os nós do elemento na superfíce de referênca e vetores dretores que, em conjunto com uma coordenada admensonal z I, mapeam todos os pontos na espessura de cada lâmna I. Os graus de lberdade do elemento são consttuídos por vetores u e representam o deslocamento de um nó do elemento e varação do vetor dretor d I e I que d I nodal, respectvamente. Dessa forma, consderam-se tanto as tensões de csalhamento transversas como as tensões axas transversas. A determnação de u e e I é realzada aplcando o Prncípo dos Trabalhos Vrtuas (PTV). A formulação emprega uma cnemátca semelhante à expansão layerwse de prmera ordem, pos as seções de cada lâmna apresentam gros constantes ao longo da espessura e ndependentes, permanecendo retas, mas não necessaramente normas à superfíce de referênca. Esta formulação teve orgem no trabalho de Epsten e Glocner (977) para análse não lnear de cascas lamnadas.

61 Capítulo Revsão Bblográfca 6 As formulações de Epsten e Glocner (977), Epsten e Huttelmaer (983) e Huttelmaer e Epsten (985) são um dos poucos trabalhos encontrados com esse apelo vetoral para representar a cnemátca de um lamnado. Todos os demas trabalhos consultados utlzam funções matemátcas que representam os campos de deslocamentos e/ou de tensões. Nesse sentdo, Cho, Strz e Bert (990) e Cho, Bert e Strz (99) assumram um campo de deslocamentos de alta ordem para os três deslocamentos e apresentaram uma solução analítca para o problema de flexão clíndrca com carregamento senodal e para a vbração em placas lamnadas smplesmente apoadas. Nessa solução, os deslocamentos no plano e o deslocamento transversal de cada lâmna são aproxmados por funções de tercera e segunda ordem na coordenada ao longo da espessura, respectvamente. Na proposta de Lee e Lu (99), para análse de vgas lamnadas, polnômos cúbcos de Hermte foram empregados para a nterpolação ndependente dos deslocamentos longtudnal e transversal ao longo da espessura. A fm de garantr a descontnudade de deformações transversas, gros dstntos nas lâmnas adjacentes a uma nterface são admtdos. Através de uma expansão do campo de deslocamentos na dreção da espessura utlzando sére de potêncas de alta ordem, Gaudenz (99) propôs uma formulação geral para análse de placas lamnadas. Casos partculares de modelos Zg-Zag e modelos de camada únca podem ser obtdos a partr dessa formulação geral. Gaudenz, Barbon e Mannn (995) estenderam essa proposta para uma formulação baseada no método dos elementos fntos. Negsh e Hrashma (997) também utlzaram uma expansão com sére de potêncas para desenvolver uma formulação geral que utlza o prncípo de Hamlton e relaxamento das condções de compatbldade dos deslocamentos nas nterfaces para a análse estátca e dnâmca de compóstos lamnados sujetos ao deslzamento. Uma alternatva ao uso de funções de Hermte é o emprego de funções de nterpolação do tpo splne. Essa dea fo utlzada por Zhu e Lam (998) para a determnação de tensões locas em compóstos lamnados. Uma dstrbução de tensões precsa fo obtda com o emprego de funções splne cúbcas para a nterpolação do campo de deslocamentos de cada lâmna na espessura e com a mposção de condções de compatbldade e contnudade de tensões transversas nas nterfaces. O método de solução de Raylegh-Rtz também fo empregado. Em busca de uma generalzação da teora Layerwse, Reddy (004a) apresentou uma formulação baseada no método dos elementos fntos que é desenvolvda a partr da composção entre elementos bdmensonas, responsáves pela nterpolação dos deslocamentos no plano da lâmna, e elementos undmensonas Lagranganos para a nterpolação, com qualquer grau de

62 6 Capítulo Revsão Bblográfca aproxmação, dos deslocamentos ao longo da espessura. Dessa forma, teoras Layerwse completas de baxa a alta ordem podem ser desenvolvdas faclmente. Os elementos desenvolvdos com essa generalzação se assemelham aos elementos fntos 3D, no entanto, Reddy (004a) afrma que os elementos layerwse possuem algumas vantagens, tas como: manutenção de uma estrutura de dados do tpo D semelhante à estrutura de dados das teoras ESL, levando a uma redução do volume de dados de entrada se comparado aos elementos 3D, e maor flexbldade com relação ao refnamento da malha no plano do lamnado e na dreção transversal, pos é possível realzá-lo ndependentemente um do outro. Nos elementos fntos 3D, não há essa ndependênca, uma vez que é necessára a reformulação completa do elemento. A estrutura de dados D permte uma formulação mas efcente para a matrz de rgdez do elemento, pos as ntegrações de volume podem ser realzadas por meo de ntegrações numércas separadas com relação à coordenada ao longo da espessura e com relação às coordenadas no plano. Uma únca ntegração ao longo da espessura pode ser utlzada para todos os pontos de Gauss nas ntegrações no plano. Essas ntegrações separadas reduzem sgnfcatvamente a quantdade de operações matemátcas necessáras para o cálculo da matrz de rgdez do elemento layerwse se comparado às operações matemátcas para o cálculo da matrz de rgdez de um elemento fnto 3D (REDDY, 004a). As teoras Layerwse dependentes podem se tornar lmtadas quando o custo computaconal passa a ser excessvo devdo ao aumento do número de lâmnas na composção de um lamnado. Nesse sentdo, as teoras Layerwse ndependentes são vantajosas, pos o número de ncógntas não aumenta com o número de lâmnas. Além dsso, outro aspecto mportante a ser ressaltado está relaconado à contnudade nterlamnar das tensões transversas. Mutas formulações baseadas nas teoras Layerwse dependentes satsfazem somente o comportamento Zg-Zag para o campo de deslocamentos enquanto a maor parte das formulações baseadas nas teoras Layerwse ndependentes satsfazem, também, a contnudade nterlamnar das tensões transversas. Essa condção é utlzada justamente como uma restrção adconal para reduzr a quantdade de ncógntas, tornando a formulação ndependente do número de lâmnas. Dentre as teoras Layerwse ndependentes, as mas conhecdas e que tem recebdo maor atenção dos pesqusadores são as chamadas por Scuva (986) de teoras Zg-Zag. Segundo Reddy (004a), um campo de deslocamentos parcal adotado por essas teoras para aplcações estátcas assume uma forma do tpo:

63 Capítulo Revsão Bblográfca u x, x, x u x, x x u x, x f x x, x com, j e 3 3 3, j 3 j 0 x, x, x u x x u, 3 3 3, sendo f j x 3 e j x, x funções determnadas tas que os deslocamentos e as tensões transversas sejam contínuos nas nterfaces das lâmnas. Uma excelente revsão bblográfca sobre as teoras Zg-Zag é apresentada por Carrera (00). Este autor cta três modelos prncpas que orgnaram essas teoras: o modelo Lehnts-Ren, o modelo Ambartsuman-Whtney-Rath-Das e o modelo Ressner-Muraam- Carrera. Segundo Carrera (00), o modelo Lehnts-Ren fo proposto por Lehnts 3 (935 apud CARRERA, 00) para vgas e fo estenddo por Ren (986a, 986b, 987a) para análse de placas lamnadas ortotrópcas e ansotrópcas. A formulação de Ren (986a, 986b, 987a) é baseada em tensões e uma expansão layerwse de segunda ordem ao longo da espessura fo adotada para as tensões de csalhamento transversas, que satsfazem condções de contnudade nas nterfaces. A partr da ntegração das relações deformação-deslocamento e da mposção de compatbldade nas nterfaces, uma expansão layerwse cúbca é determnada para representar os deslocamentos no plano do lamnado. Com relação ao modelo Ambartsuman-Whtney-Rath-Das, Carrera (00) afrma ter sua orgem devda aos trabalhos de Ambartsuman 4 (958a, 958b, 96, 96, 969 apud CARRERA, 00) que foram estenddos para placas ansotrópcas por Whtney 5 (969 apud CARRERA, 00). Este últmo teve seu trabalho estenddo para cascas lamnadas por Rath e Das (973) cuja formulação é baseada em tensões com uma expansão layerwse de segunda ordem ao longo da espessura para as tensões de csalhamento transversas. Impondo a contnudade nterlamnar dessas tensões e a partr da ntegração das relações deformação-deslocamento, um campo de deslocamentos layerwse de quarta ordem compatível nas nterfaces fo determnado. O deslocamento transversal é consderado constante na seção. Por fm, Carrera (00) afrma que o modelo Ressner-Muraam-Carrera é orgnado a partr de uma abordagem varaconal msta conhecda como Teorema Varaconal Msto de 3 LEKHNITSKII, S. G. Strength calculaton of composte beams. Vestn Inzhen. Tehnov, n. 9, AMBARTSUMIAN, S. A. On a theory of bendng of ansotropc plates. Investa Aad. Nau SSSR, Ot. Teh. Nau., n. 4, 958a. 4 AMBARTSUMIAN, S. A. On a general theory of ansotropc shells. PMM, v., n., p. 6-37, 958b. 4 AMBARTSUMIAN, S. A. Theory of ansotropc shells. Fzmatzg, Moswa, 96; Translated from Russan, NASA TTF 8, AMBARTSUMIAN, S. A. Contrbutons to the theory of ansotropc layered shells. Appled Mechancs Revew, v. 5, p , AMBARTSUMIAN, S. A. Theory of ansotropc plates, Translated from Russan by T. Cheron and Edted by J.E. Ashton Tech. Pub. Co, WHITNEY, J. M. The effects of transverse shear deformaton on the bendng of lamnated plates. Journal of Composte Materals, v. 3, p , 969. (6)

64 64 Capítulo Revsão Bblográfca Ressner (RMVT Ressner s Mxed Varatonal Theorem). Nesse modelo, os deslocamentos e as tensões transversas são aproxmados de forma ndependente por funções parcas (pecewse functon) ou funções layerwse. Através da mnmzação do funconal de energa potencal total, as ncógntas são determnadas. Condções de compatbldade e contnudade de tensões nterlamnares são mpostas no funconal de energa a partr de técncas como a dos multplcadores de Lagrange. Um exemplo de trabalho que empregou este modelo fo o de Toledano e Muraam (987). Neste trabalho, uma função parcal (pecewse functon) fo adotada para aproxmar todos os deslocamentos. Essa função é consttuída por polnômos de Legendre de prmero, segundo e tercero graus e por uma parcela Zg-Zag. Essa parcela Zg-Zag é composta por uma função que contém o termo com sendo o número da lâmna. Independentemente, as tensões de csalhamento transversas e a tensão normal transversal foram aproxmadas em uma expansão layerwse utlzando polnômos de quarto e qunto graus, respectvamente. Alguns trabalhos mportantes para o desenvolvmento das técncas de análse de compóstos lamnados utlzaram formulações baseadas na teora Layerwse parcal com ndependênca do número de lâmnas. Estas formulações podem ser classfcadas como teoras Zg-Zag e foram propostas por Spler (980), Scuva (986), Owen e L (987a, 987b), Lee et al. (990, 994), Soldatos (99), Xaver, Lee e Chew (993) e Xaxer, Chew e Lee (995). Spler (980) propôs uma formulação de elemento fnto híbrdo para análse de placas lamnadas. O elemento proposto é desenvolvdo a partr da adoção de uma expansão layerwse de alta ordem ao longo da espessura do lamnado tanto para os deslocamentos quanto para as tensões. Condções de compatbldade e equlíbro são satsfetas nas nterfaces do lamnado, assm como as condções de contorno em tensões nas faces superor e nferor. No trabalho de Scuva (986) surgu o nome teora Zg-Zag. Problemas de flexão, amortecmento e flambagem em uma placa espessa quadrada, consttuída por três lamnas smétrcas e smplesmente apoadas foram analsados. Com o uso de funções de Heavsde, satsfazendo condções de equlíbro e de compatbldade nas nterfaces das lâmnas e empregando enrquecmento nas deformações, Scuva (986) propôs uma função lnear parcal (pecewse functon) para os deslocamentos no plano. O modelo adotado fo chamado de teora Zg- Zag, pos o comportamento Zg-Zag dos deslocamentos ao longo da espessura fo representado. Modfcando uma proposta apresentada por Reddy (987 apud REDDY, 004a), Owen e L (987a, 987b) propuseram uma formulação de elementos fntos para análse de pro blemas estátcos, de vbração e de establdade em placas lamnadas. A formulação apresenta os deslocamentos no plano do lamnado representados ao longo da espessura por uma função lnear REDDY, J. N. A generalzaton of two-dmensonal theores of lamnated composte plates. Communcatons n..appled Numercal Methods, v. 3, p , 987.

65 Capítulo Revsão Bblográfca 65 parcal (pecewse functon). Aplcando separadamente a prmera varação do funconal de energa em relação aos graus de lberdade dos nós contdos no corpo da lâmna e em relação aos graus de lberdade dos nós contdos na face superor da lâmna, as varáves dos nós no corpo do elemento foram obtdas em função das varáves pertencentes aos nós contdos na nterface superor da lâmna. Owen e L (987a, 987b) chamaram essa técnca de subestruturação (substrucuture). Por meo dela, a quantdade de varáves da formulação fcou ndependente no número de lâmnas. Outros trabalhos com deas dferentes que empregam uma expansão layerwse de prmera ordem parcal e ndependente são o de He, Chou e Zhang (993) e de Botello, Oñate e Canet (999). Para reduzr e tornar a quantdade de varáves ndependente do número de lâmnas, He, Chou e Zhang (993) adotaram uma hpótese de que as deformações de csalhamento transversas de quasquer duas lâmnas são lnearmente dependentes uma da outra e Botello, Oñate e Canet (999) usaram técncas de condensação durante a montagem da matrz de rgdez do elemento fnto proposto. Em vez de trabalhar, como nas formulações anterores, com os deslocamentos no plano do lamnado varando segundo uma função lnear ao longo da espessura, Lee, Senthlnathan e Chow (990) e Lee, Ln e Chow (994) propuseram uma formulação mas precsa adotando uma varação cúbca para esses deslocamentos em cada lâmna. Empregando condções de compatbldade e contnudade de tensões nterlamnares, o comportamento Zg-Zag ao longo da espessura fo satsfeto e o número de ncógntas da formulação se tornou ndependente do número de lâmnas e gual ao das formulações baseadas na teora FSDT. Esses trabalhos se destnaram à análse de placas lamnadas. Xaver, Lee e Chew (993) e Xaxer, Chew e Lee (995) estenderam a formulação para análse de cascas lamnadas. Mutas formulações são desenvolvdas consderando uma expansão layerwse parcal do campo de deslocamentos a partr de uma varação layerwse cúbca superposta com uma varação lnear parcal (pecewse functon). Impondo compatbldade de deslocamentos e contnudade das tensões transversas nas nterfaces, a quantdade de varáves do problema se torna ndependente do número de lâmnas. Trabalhos já ctados com essas característcas são os de Ren (986a, 986b, 987a) e de Toledado e Muraam (987). Outros trabalhos são os de Scuva (99) e Cho e Parmeter (99), que superpuseram uma expansão layerwse de tercera ordem com funções de Heavsde, e de Icard (998), que adotou um campo de deslocamentos semelhante ao de Scuva (99) e de Cho e Parmeter (99) para propor um elemento fnto curvlíneo com oto nós para análse de placas lamnadas. Uma formulação geral de alta ordem fo apresentada por Soldatos (99). Sua teora é adequada para análses estátcas e dnâmcas de placas lamnadas e basea-se na adoção de um

66 66 Capítulo Revsão Bblográfca campo de deslocamentos expanddo na espessura com emprego de séres de potêncas e funções de Heavsde. Com o uso de multplcadores de Lagrange em conjunto com o prncípo de Hamlton, as equações dferencas do problema foram obtdas e suas soluções levaram a um campo de deslocamentos que satsfaz a compatbldade dos deslocamentos e a contnudade das tensões de csalhamento transversas nas nterfaces das lâmnas. Em vez de adotar varações polnomas ou em séres de potêncas ao longo da espessura como em mutos trabalhos, Karama et al. (998) consderou uma expansão layerwse parcal do campo de deslocamentos empregando funções trgonométrcas superpostas com funções lneares e funções de Heavsde. Esta últma função garante o comportamento Zg-Zag do campo de deslocamentos que ndepende do número de lâmnas. Da mesma forma como na teora Layerwse parcal, formulações ndependentes do número de lâmnas são desenvolvdas para teoras Layerwse completas. As condções de contnudade das tensões transversas e de compatbldade dos deslocamentos nas nterfaces contnuam consttundo as prncpas restrções utlzadas para tornar o número de ncógntas ndependente do número de lâmnas. Além dsso, as condções de contorno, também, são mpostas e atenddas nessas formulações. Mutas formulações da teora Layerwse completa ndependente apresentam expansões de alta ordem. Moazzam e Sandhu (993) propuseram uma formulação baseada em uma expansão de segunda ordem para os deslocamentos no plano e uma expansão lnear para o deslocamento transversal. Já Wu e Kuo (99) e Wu e Hsu (993) adotaram uma expansão polnomal cúbca para os deslocamentos no plano e uma expansão polnomal quadrátca para o deslocamento transversal. As condções de compatbldade e contnudade de tensões nas nterfaces foram ntroduzdas dentro do funconal de energa potencal total por meo de multplcadores de Lagrange. Um trabalho baseado em tensões fo apresentado por He e Zhang (997, 999) que adotaram uma expansão cúbca para as tensões transversas. A fm de tornar a formulação ndependente do número de lâmnas, além das condções de restrção ctadas anterormente, a hpótese de que as deformações de csalhamento transversas de quasquer duas lâmnas são lnearmente dependentes uma da outra fo adotada. A partr da ntegração das tensões transversas, uma varação cúbca na espessura fo determnada para a tensão transversal normal e para os campos de deslocamentos. A maor parte dos trabalhos ctados até aqu são dedcados à análse de estruturas formadas por compóstos lamnados sujetas a pequenos deslocamentos, pequenas deformações e consttuídas por materal elástco lnear. Nesses casos, uma análse lnear é sufcente para fornecer resultados satsfatóros.

67 Capítulo Revsão Bblográfca 67 No entanto, como os compóstos lamnados possuem elevadas resstênca e rgdez específcas (relações resstênca/densdade e rgdez/densdade, respectvamente), as estruturas são na sua grande maora leves, esbeltas e suscetíves a grandes deslocamentos. Outra característca relevante dos compóstos lamnados é a ansotropa, que pode ser controlada com a mudança de orentação e sequênca de emplhamento das lâmnas. Isso permte a otmzação das propredades mecâncas do materal, mas, como cada lâmna tende a trabalhar de forma ndependente, surgem concentrações de tensões nas nterfaces para garantr a compatbldade de deslocamentos. Essa ansotropa, também, leva a um complexo acoplamento entre as deformações no plano das lâmnas e as deformações transversas às lâmnas. Assm, devdo a essas característcas, um comportamento não lnear é observado tanto em estruturas sujetas a pequenos deslocamentos como em estruturas sujetas a grandes deslocamentos (GRUTTMANN et al., 993; ĆETKOVIĆ, VUKSANOVIĆ, 0). Mutos trabalhos têm sdo desenvolvdos consderando-se análses não lneares de estruturas formadas por compóstos lamnados. A maor parte consdera somente a não lneardade geométrca com a estrutura sujeta a pequenas ou grandes deformações e alguns dos problemas estudados são a detecção de falhas como a delamnação, análse do comportamento após a flambagem e análse de estruturas formadas por compóstos contendo materas pezoelétrcos. Alguns trabalhos dedcados à análse não lnear de placas lamnadas são os de Barbero e Reddy (99), Reddy Y. e Reddy J. (99), Icard (994), Schmdt e Lbrescu (994), Znno e Barbero (994), Reddy Y., Moorthy e Reddy J. (995), Kam, Sher e Chao (996), Scuva, Icard e Vllan (998), Reddy (004a), Andrade, Awruch e Morsch (007), Toudeshy, Hossen e Mohammad (00), Ćetovć e Vusanovć (0), Choudhary e Tungar (0), Kshore, Sngh e Pandt (0), Kapoor e Kapana (0). Para análse não lnear de cascas lamnadas, trabalhos relaconados são os de Epsten e Glocner (977), Gruttmann et al. (993), Chaudhur e Hsa (998), To e Lu (00), Reddy (004a), Km e Chaudhur (005), Andrade, Awruch e Morsch (007), Isold et al. (008), Morera, Sousa e Valente (00). Por fm, até onde essa pesqusa bblográfca se estendeu, somente o trabalho de Vo e Lee (00) trata da análse não lnear em barras (vgas) lamnadas. O procedmento numérco mas utlzado para o desenvolvmento de formulações adequadas à realzação de análses não lneares em estruturas formadas por compóstos lamnados é o método dos elementos fntos, pos este é uma ferramenta que faclta a manpulação numérca desses problemas e vablza a mplementação computaconal (CHAUDHURI, HSIA, 998). Assm, Reddy (004a) afrma que duas abordagens têm sdo segudas para o

68 68 Capítulo Revsão Bblográfca desenvolvmento de modelos com emprego do método dos elementos fntos para análse não lnear de compóstos lamnados. Essas abordagens dão orgem aos elementos fntos lamnados e aos elementos fntos contínuos. Os elementos fntos lamnados são obtdos com emprego das teoras de lamnados ESL que reduzem o problema trdmensonal para um problema b ou undmensonal a partr de um conjunto de hpóteses cnemátcas e de homogenezação ao longo da espessura. As formulações não lneares que utlzam esses elementos são empregadas em análses de estruturas sujetas a pequenas deformações e grandes deslocamentos. As deformações empregadas são as de von Kármán (REDDY, 004a; ĆETKOVIĆ, VUKSANOVIĆ, 0). O emprego dos elementos fntos lamnados pode ser encontrado nos trabalhos de Reddy Y. e Reddy J. (99), Kam, Sher e Chao (996), Scuva, Icard e Vllan (998), Reddy (004a), Isold et al. (008), Vo e Lee (00), Kshore, Sngh e Pandt (0), Kapoor e Kapana (0) e Sngh e Shula (0). As formulações propostas nesses trabalhos são adequadas quando o nteresse está relaconado ao comportamento global de lamnados com espessura fna ou moderada. Como dscutdo nos tens anterores, as formulações baseadas na teora ESL não são capazes de representar o comportamento Zg-Zag dos deslocamentos no plano das lâmnas e não conseguem satsfazer a contnudade de tensões nterlamnares. Assm, quando é necessáro avalar aspectos locas como a dstrbução de tensões ao longo da espessura para prever o níco e o progresso da falha do lamnado por delamnação, deslzamento ou fssuração, as teoras Layerwse são reconhecdas por fornecerem bons resultados para as dstrbuções de tensões e deslocamentos no nível das lâmnas. Nesse sentdo, os elementos fntos contínuos são mas adequados, pos se baseam em uma formulação contínua trdmensonal, na qual hpóteses cnemátcas são ntroduzdas em uma aproxmação também trdmensonal. A essa abordagem pertencem os elementos obtdos a partr das teoras Layerwse e os elementos fntos trdmensonas. As formulações não lneares que utlzam esses elementos são empregadas em análses de estruturas sujetas a pequenas ou grandes deformações e grandes deslocamentos. Consderam-se meddas de deformações não lneares completas ou as deformações de von Kármán (REDDY, 004a; ĆETKOVIĆ, VUKSANOVIĆ, 0). Formulações baseadas nos elementos fntos contínuos com emprego das teoras Layerwse podem ser encontradas em Epsten e Glocner (977), Barbero e Reddy (99), Icard (994), Schmdt e Lbrescu (994), Reddy Y., Moorthy e Reddy J. (995), Chaudhur e Hsa (998), To e Lu (00), Km e Chaudhur (005), Icard (007), Morera, Sousa e Valente (00), Toudeshy, Hossen e Mohammad (00), Ćetovć e Vusanovć (0), Choudhary e Tungar (0), Ejo, Oñate e Oller (04) e Yazdan, Rbero e Rodrgues (04).

69 Capítulo Revsão Bblográfca 69 Devdo ao maor custo computaconal, uma menor quantdade de trabalhos se basea em elementos fntos contínuos com emprego de elementos fntos trdmensonas. Somente os trabalhos de Znno e Barbero (994) e de Andrade, Awruch e Morsch (007) foram encontrados com essa formulação. Dante de tudo que fo apresentado, a formulação desenvolvda neste trabalho apresenta uma cnemátca semelhante a da teora Layerwse completa com aproxmação de prmera ordem para o campo de deslocamentos em cada lâmna. Conforme é apresentado no capítulo referente ao elemento fnto lamnado, um vetor tangente à seção transversal de cada lâmna é empregado para representar o gro e a varação de espessura da lâmna. Com essa proposta, o comportamento Zg-Zag ao longo da espessura para os deslocamentos no plano do lamnado é possível ser representado, mas a contnudade das tensões nterlamnares não é satsfeta. A dstrbução de tensão pode ser melhorada através do aumento da dscretzação na seção transversal, o que eleva o número de graus de lberdade, pos a cnemátca proposta para o elemento fnto lamnado é dependente do número de lâmnas. Como dscutdo, a consderação das não lneardades é muto mportante para a obtenção mas precsa de uma dstrbução de deslocamentos, deformações e tensões no nível das lâmnas. Assm, a presente proposta consdera a não lneardade geométrca com a estrutura podendo apresentar grandes deslocamentos, grandes rotações e pequenas deformações. A formulação é Lagrangana total com emprego do método dos elementos fntos baseado em posções. O materal consttunte das lâmnas se comporta de acordo com a le consttutva energétca de Sant-Venant-Krchhoff que relacona as deformações de Green com o tensor de tensões de Pola-Krchhoff de segunda espéce. Dentro das formulações voltadas a análse não lnear de lamnados, o elemento fnto proposto nessa pesqusa pode ser enquadrado como um elemento fnto contínuo. Em relação às formulações encontradas na lteratura que se baseam na teora Layerwse, a formulação deste trabalho se dferenca prncpalmente pelo caráter de elemento de pórtco. Assm, são evtados problemas de mau condconamento matrcal que podem surgr quando se emprega elementos fntos baseados na teora Layerwse apresentada por Reddy (004a) ou elementos fntos bdmensonas para analsar pórtcos planos lamnados consttuídos por lâmnas fnas e com elevada varação nas propredades dos materas que consttuem essas lâmnas.

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71 3 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS POSICIONAL APLICADO A MODELOS BIDIMENSIONAIS CAPÍTULO 3 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS POSICIONAL APLICADO A MODELOS BIDIMENSIONAIS 3. Introdução O método dos elementos fntos posconal apresenta como prncpal característca o emprego de graus de lberdade em posções, o que justfca o nome do método, em vez dos tradconas graus de lberdade em deslocamentos. Todo o desenvolvmento do método é realzado a partr da determnação de uma função mudança de confguração (f) que defne a confguração atual, ou de equlíbro, a partr de f um domíno fxo e representado pela confguração ncal, B0 B com B 0 e B. Por empregar uma confguração de referênca fxa e concdente com a confguração ncal, a formulação posconal é caracterzada como Lagrangana total. A não lneardade geométrca é consderada de forma natural, pos não são mpostas quasquer smplfcações relatvas à ordem de grandeza dos deslocamentos e rotações sofrdos pelo corpo na defnção de f. Isso se deve ao emprego da medda de deformação de Green que é uma medda de deformação objetva e adequada para a solução de problemas envolvendo grandes deslocamentos e rotações. O conjugado energétco da deformação de Green é o tensor de tensões de Pola-Krchhoff de segunda espéce (OGDEN, 984). A solução aproxmatva dos elementos fntos posconas é representada por uma nterpolação das posções nodas com emprego de polnômos de Lagrange. Para a determnação dessas posções nodas, o prncípo da energa potencal total estaconára é utlzado. Ao mpor a nuldade da prmera varação do funconal de energa potencal total, um sstema de equações não lnear é obtdo (OGDEN, 984; CHOU; PAGANO, 99; HOLZAPFEL, 004; BONET; WOOD, 008). A resolução desse sstema de equações é realzada por meo de uma estratéga baseada no método de Newton-Raphson (CRISFIELD, 99).

72 7 Capítulo 3 Método dos elementos fntos posconal aplcado a modelos bdmensonas O método dos elementos fntos posconal teve orgem nos trabalhos de Bonet et al. (000), Coda e Greco (004), Greco et al. (006) e Coda e Paccola (007, 008, 0) que demonstram sua precsão e fácl entendmento. O desenvolvmento deste método faz parte de uma mportante lnha de pesqusa do Grupo de Mecânca Computaconal (GMEC) pertencente ao Departamento de Engenhara de Estruturas da Escola de Engenhara de São Carlos. O presente capítulo descreve a sequênca de operações matemátcas necessáras ao desenvolvmento de elementos fntos posconas aplcados a problemas bdmensonas. Essa sequênca ndepende do tpo de elemento a ser desenvolvdo. Inca-se, no Item 3., com uma revsão sucnta sobre as dversas formulações exstentes para a análse não lnear de estruturas. Na sequênca, Item 3.3, apresenta-se a manera como a função mudança de confguração é defnda a partr de posções. A medda de deformação e a le consttutva empregadas são descrtas no Item 3.4. As dversas parcelas que compõem o funconal de energa potencal total são descrtos nos Itens 3.5, 3.6 e 3.7. Por fm, a estratéga empregada para resolver o sstema de equações não lneares é apresentada no Item Análse não lnear de estruturas A análse de um problema estrutural é lnear quando o modelo estrutural desenvolvdo assume como hpóteses báscas: ocorrênca de pequenos deslocamentos, materal com comportamento elástco lnear e condções de contorno constates durante a aplcação das solctações externas. Em um modelo dscreto baseado em deslocamentos, o problema estrutural pode ser resolvdo a partr da solução de um sstema de equações lneares de equlíbro do tpo: Ku F, (7) no qual K é a matrz de rgdez da estrutura, u é o vetor contendo os graus de lberdade ncógntos do problema e F é o vetor de forças externas. Devdo às hpóteses adotadas nas análses lneares, a relação deformaçãodeslocamento é lnear e a matrz consttutva da relação tensão-deformação e as condções de contorno fcam constantes. Em consequênca, K e F são ndependentes do deslocamento u e todas as ntegras que surgem no modelo matemátco podem ser avaladas em relação à confguração ncal da estrutura (COOK et al., 00).

73 Capítulo 3 Método dos elementos fntos posconal aplcado a modelos bdmensonas 73 Sempre que o problema estrutural puder ser modelado de forma realsta adotando as hpóteses empregadas nos modelos lneares é preferível utlzá-las, pos as soluções são mas smples e com menor custo computaconal se comparadas às soluções obtdas através de análses não lneares. Uma das razões para sso é a valdade do prncípo da superposção de efetos. Quando as hpóteses do problema lnear não podem ser assumdas, a análse do problema estrutural passa a ser não lnear. Nesse tpo de análse, o prncípo da superposção de efetos não é mas váldo e para cada stuação de carregamento é precso empregar uma análse partcular. Além dsso, a hstóra ou a sequênca do carregamento devem ser consderadas. Segundo Reddy (004b) e Bonet e Wood (008), a análse não lnear se torna mprescndível em alguns casos, tas como: (a) no projeto de estruturas de alto desempenho encontradas, por exemplo, nas ndústras aeroespacal, aeronáutca e nuclear e que empregam ntensamente materas compóstos; (b) no estudo do comportamento mecânco do corpo humano; (c) na avalação da funconaldade de estruturas que sofreram algum tpo de dano e falha; (d) na análse de estruturas em stuação de estado lmte últmo; (e) no estudo da establdade, entre outras. A mpossbldade de atender a quasquer das hpóteses báscas adotadas nos modelos lneares defne os três tpos prncpas de análses não lneares exstentes, que são: análse não lnear geométrca, análse não lnear físca e problema de contato (CRISFIELD, 99; BATHE, 996; COOK et al., 00; REDDY, 004b; BONET; WOOD, 008). A análse não lnear geométrca é aquela que consdera o efeto de grandes deslocamentos sobre o comportamento da estrutura. A expressão não lneardade geométrca surge justamente em vrtude da ncorporação da mudança de geometra no modelo. Apesar de haver grandes deslocamentos, mutas estruturas podem anda apresentar pequenas deformações. Assm, a análse não lnear geométrca pode ser realzada com a consderação de pequenas ou de grandes deformações (PARENTE JR, 0). Nos problemas não lneares geométrco, não há lmtações às mudanças de geometra. Isso aumenta as dfculdades para se realzar a análse estrutural porque as equações de equlíbro devem ser escrtas com relação à geometra deformada, que não é conhecda com antecedênca. A confguração geométrca ncal ou ndeformada só é uma confguração de equlíbro quando não há ações externas sendo aplcadas à estrutura (COOK et al., 00; BONET; WOOD, 008). A mportânca das análses não lneares geométrcas tem crescdo sgnfcatvamente. Um dos motvos para sso é o desenvolvmento de materas de alto desempenho, como os materas compóstos, que tem possbltado o projeto de estruturas mas efcentes e mutas vezes leves e esbeltas. Em consequênca, a análse estrutural na condção ndeformada não é mas

74 74 Capítulo 3 Método dos elementos fntos posconal aplcado a modelos bdmensonas sufcente para fornecer resultados confáves sobre o comportamento da estrutura e, portanto, a ncorporação de efetos não lneares devdos à ocorrênca de grandes deslocamentos se torna mprescndível. Os modelos utlzados para representar o comportamento do materal são chamados na lteratura de modelos consttutvos e a relação matemátca entre tensão e deformação de um determnado modelo é denomnada le consttutva do materal (BATHE, 996; HOLZAPFEL, 004; BONET; WOOD, 008). Cada modelo consttutvo pode englobar dversas les consttutvas, pos é possível haver dferentes materas com um comportamento condzente às característcas de um determnado modelo consttutvo, mas com uma relação tensão-deformação específca. Nas análses lneares, o materal apresenta um comportamento de acordo com o modelo consttutvo elástco lnear cuja relação tensão-deformação pode ser expressa pela le consttutva de Hooe. No entanto, em mutas stuações, a análse precsa consderar um modelo mas realsta para representar um comportamento não lnear do materal. Essa é outra fonte mportante de não lneardade e, quando esse comportamento não lnear do materal é ncorporado na análse, tem-se a chamada análse não lnear físca. A tercera hpótese básca adotada nas análses lneares trata das condções de contorno do problema estrutural. Na prátca, nem sempre essas condções são constantes, prncpalmente quando o problema envolve o contato entre dos ou mas corpos deformáves como no caso da análse estrutural envolvendo a nteração entre o solo e a estrutura. Os problemas estruturas cujas condções de contorno não são constantes consttuem os chamados problemas de contato. Esses problemas são outra mportante fonte de não lneardade e surgem quando estruturas dferentes ou superfíces dferentes de uma únca estrutura entram em contato, separam-se ou deslzam uma sobre as outras. As forças de contato, como, por exemplo, as forças de atrto, podem aumentar ou dmnur e devem ser determnadas para que se possa avalar sua nfluênca no comportamento da estrutura. Além dsso, a localzação e extensão do contato não são conhecdas com antecedênca e também devem ser determnadas (COOK et al., 00). A presença de condções de contorno dependentes do estado de deformação e tensão correntes do corpo ntroduz um comportamento não lnear à estrutura cuja análse é bastante complexa. Outros exemplos desse tpo de problema são o contato entre pneus e pavmentos e os que envolvem rolamentos e juntas (BATHE, 996). O estudo dos problemas não lneares é complexo e exstem poucas soluções analítcas. Em geral, essas soluções são restrtas a casos de carregamento e estruturas smples. Soluções analítcas podem ser encontradas, por exemplo, para alguns casos sujetos a não

75 Capítulo 3 Método dos elementos fntos posconal aplcado a modelos bdmensonas 75 lneardade geométrca como em problemas de vgas engastadas (BISSHOPP; DRUCKER, 945; MATTIASSON, 98) e em quadros artculados e rígdos (MATTIASSON, 98). Algumas das dfculdades para a proposção de soluções analítcas estão relaconadas a não valdade do prncípo da superposção, ao fato de poder haver mas de uma condção de equlíbro para um dado carregamento atuante e à necessdade de resolução de um sstema de equações não lneares. Dante dsso, as soluções numércas são uma alternatva vável para a análse estrutural de problemas sujetos a complexos efetos não lneares, sendo o método dos elementos fntos, a técnca numérca predomnantemente empregada (BONET; WOOD, 008). Gadala e Oravas (984) apresentam vasta revsão sobre as dversas formulações baseadas no método dos elementos fntos para a solução de problemas da mecânca do contínuo não lnear. Outros trabalhos que lustram as dferenças entre as dversas formulações exstentes são os de Wong e Tn-Lo (990), Crsfeld (99), Bathe (996), Greco (004), Felppa e Haugen (005) e Felppa (04). Segundo Gadala e Oravas (984), as formulações numércas podem ser classfcadas em quatro grupos denomnados de descrção materal, referencal, relatva e espacal. No entanto, uma classfcação mas smples fo dada por Bonet e Wood (008). Esses autores resumram as formulações numércas em apenas duas classfcações: as descrções materas ou Lagranganas, que englobam as descrções materal, referencal e relatva de Gadala e Oravas (984), e as descrções espacas ou Euleranas. As descrções materas ou Lagranganas se referem ao comportamento de uma partícula materal do corpo e as grandezas físcas de nteresse são representadas por meo de uma função f X,t, na qual as varáves ndependentes são o tempo t e a posção X ocupada pela partícula em relação a uma confguração de referênca. Já as descrções espacas ou Euleranas se referem a uma posção do espaço e ao que acontece com o corpo naquela posção. As grandezas físcas de nteresse são representadas através de uma função f x,t, na qual as varáves ndependentes são o tempo t e a posção x em relação à confguração espacal ou atual (BONET; WOOD, 008). Formulações com a descrção Eulerana são bastante empregadas nos problemas envolvendo fludos, pos, em geral, o nteresse é na condção do fludo em uma regão fxa do espaço. Nos problemas envolvendo grandes deformações, essa descrção também é bastante encontrada uma vez que as malhas de elementos fntos não fcam sujetas às dstorções elevadas (FOUCARD et al., 05). Exemplos de trabalhos com emprego de formulações Euleranas aplcadas a problemas de fludos são os de Hughes, Lu e Zmmermann (98), Donea et al.

76 76 Capítulo 3 Método dos elementos fntos posconal aplcado a modelos bdmensonas (004) e Rtcher (03) e aplcadas a problemas envolvendo grandes deformações são os de Gadala, Oravas e Doansh (983), Demarco e Dvorn (005) e Foucard et al. (05). Formulações do método dos elementos fntos baseadas na descrção Lagrangana são as mas vastamente empregadas na análse de problemas não lneares da mecânca dos sóldos, pos o nteresse maor se concentra na determnação do comportamento das partículas materas que compõem o sóldo (BONET; WOOD, 008). Segundo Gadala e Oravas (984) e Foucard et al. (05), as prncpas vantagens desse tpo de descrção são a smplcdade na descrção de uma cnemátca e o cálculo de grandezas físcas em relação a uma confguração de referênca fxa e conhecda. As formulações Euleranas empregadas para uma descrção materal do sóldo se tornam mas complexas, pos a confguração de referênca é desconhecda a pror, levando a operações matemátcas mas complcadas (a varável posção x da confguração atual passa a ser uma função mplícta do tempo t ). Outras vantagens apontadas, no caso da descrção Lagrangana, são a mplementação computaconal mas smples, o menor custo e a facldade de tratamento de condções de contorno, não sendo necessáro o emprego de técncas de rastreamento de nterface. No entanto, desvantagens surgem quando o sóldo sofre grandes deformações, devdo às dstorções de malha, e quando as condções de contorno são varáves, como em problemas de contato e de propagação de fssuras. Para contornar essa lmtação, algumas estratégas podem ser empregadas como a atualzação da confguração de referênca ou o emprego de técncas de remalhamento (GADALA; ORAVAS, 984; FOUCARD et al., 05). Segundo Crsfeld (99) e Bathe (996), a descrção Lagrangana utlza duas abordagens dstntas para a escolha da confguração de referênca: a Lagrangana total e a Lagrangana atualzada. Felppa e Haugen (005) também nclu a abordagem corrotaconal como uma descrção Lagrangana. Na dentfcação da confguração de referênca é mportante dstngur mas duas confgurações: a de base ou ncal e a atual ou corrente, conforme lustra a Fgura. Na descrção Lagrangana total, as confgurações base e de referênca se confundem e permanecem fxas durante todo o processo de solução (Fgura 3). Segundo Gadala e Oravas (984), essa descrção permte o desenvolvmento de formulações smples com relação às operações matemátcas envolvdas e mplementações computaconas. Por empregar uma confguração de referênca fxa, a representação de questões cnemátcas e de condções de contorno é realzada de manera relatvamente fácl. As prncpas lmtações desse tpo de descrção estão relaconadas a resultados mprecsos e dfculdades de convergênca do processo

77 Capítulo 3 Método dos elementos fntos posconal aplcado a modelos bdmensonas 77 de solução em problemas envolvendo grandes deformações devdo às dstorções sgnfcatvas na malha de elementos fntos. Problemas de contato também são mas dfíces de serem resolvdos. Fgura Confgurações mportantes para dentfcação das descrções Lagranganas Fonte: Felppa e Haugen (005). Dessa forma, formulações baseadas na descrção Lagrangana total são bastante convenentes para a solução de problemas não lneares sujetos a grandes deslocamentos e rotações, mas com condções de contorno constantes e moderadas deformações. Formulações que trabalham com a descrção Lagrangana total podem ser encontradas nos artgos de Mondar e Powell (977), Surana (983), Schulz e Flppou (00) e Coda e Paccola (007, 008, 0). Fgura 3 Confgurações na descrção Lagrangana total Fonte: Felppa e Haugen (005). Uma alternatva às lmtações da descrção Lagrangana total é a descrção Lagrangana atualzada, na qual a confguração base permanece fxa e a confguração de referênca é contnuamente atualzada durante o processo de solução (Fgura 4). Nesse tpo de descrção, condções de contorno varáves e grandes deformações podem ser mas faclmente tratadas. Além dsso, a atualzação da confguração de referênca smplfca algumas expressões matemátcas da formulação como a da matrz de rgdez tangente (GADALA; ORAVAS, 984).

78 78 Capítulo 3 Método dos elementos fntos posconal aplcado a modelos bdmensonas Exemplos de trabalhos que utlzam formulações com descrção Lagrangana atualzada podem ser encontradas nos artgos de Gadala, Doansh e Oravas (984) e Mee e Tan (984) e Gattass e Abel (987). Uma varação dessa descrção é a chamada Lagrangana parcalmente atualzada na qual a atualzação ocorre somente a cada ncremento de carga. Portanto, dentro de um mesmo ncremento, a confguração de referênca permanece fxa como na descrção Lagrangana total. Segundo Wong e Tn-Lo (990), sso reduz sgnfcatvamente a quantdade de operações matemátcas envolvdas no processo de atualzação da confguração de referênca. Exemplos de trabalhos com a descrção Lagrangana parcalmente atualzada podem ser encontrados nos artgos de Peterson e Petersson (985) e de Wong e Tn-lo (990). Fgura 4 Confgurações na descrção Lagrangana atualzada Fonte: Felppa e Haugen (005). Outra abordagem da descrção Lagrangana é a corrotaconal (FELIPPA; HAUGEN, 005). Nessa abordagem, o movmento do sóldo é separado em duas parcelas, a parcela devdo ao movmento de corpo rígdo e a parcela devdo à deformação. Conforme lustra a Fgura 5, a confguração de referênca é composta tanto pela confguração base como pela chamada confguração corrotaconal. A confguração base é utlzada como referênca para defnr o movmento de corpo rígdo e a corrotaconal acompanha contnuamente o sóldo (ou o elemento fnto) e é utlzada como referênca para a determnação de deformações e tensões (CRISFIELD, 99; FELIPPA, 04). As formulações corrotaconas permtem consderar grandes deslocamentos e rotações de uma forma smples e computaconalmente efcente, além de smplfcar a consderação da não lneardade físca (PARENTE JR et al., 04). As formulações corrotaconas, no entanto, se restrngem a problemas com pequenas deformações, conforme alerta Felppa e Haugen (005) e Felppa (04). Isso se deve ao emprego de relações lneares

79 Capítulo 3 Método dos elementos fntos posconal aplcado a modelos bdmensonas 79 para a determnação das deformações entre a confguração atual e a confguração corrotaconal. O emprego dessas relações lneares é vável, uma vez que o movmento de corpo rígdo é explctamente separado do movmento total do sóldo. Dessa forma, é possível trabalhar com a medda de deformação lnear de engenhara, mesmo sob o regme de grandes deslocamentos. Fgura 5 Confgurações na descrção corrotaconal Fonte: Felppa e Haugen (005). Exemplo de formulações corrotaconas podem ser encontrados em Crsfeld (990), Crsfeld (99), Ibrahmbegovć (995), Battn (00), Ysh (00), Montero (004) e Parente Jr. et al. (04). A formulação desenvolvda neste trabalho adota uma descrção Lagrangana total com emprego do método dos elementos fntos posconal. Como comentado anterormente, essa formulação é chamada de posconal, uma vez que os parâmetros empregados não são os tradconas deslocamentos e gros, mas posções e vetores generalzados nodas. Os vetores são empregados no mapeamento da seção transversal. Os problemas tratados estão sujetos a grandes deslocamentos e rotações, mas com deformações moderadas em função da le consttutva empregada. As condções de contorno são constantes e o materal é representado por um modelo consttutvo Hperelástco com a le consttutva de Sant-Venant-Krchhoff que relacona a medda de deformação de Green ao seu conjugado energétco, o tensor de tensões de Pola-Krchhoff de segunda espéce (OGDEN, 984). De acordo com essa le, o materal apresenta comportamento elástco-lnear, podendo ser sotrópco, ortotrópco ou ansotrópco, e a relação tensão-deformação é defnda por uma função energa potencal de deformação específca. O emprego dessa le consttutva é o

80 80 Capítulo 3 Método dos elementos fntos posconal aplcado a modelos bdmensonas fator que restrnge a aplcabldade da formulação desenvolvda neste trabalho ao regme de deformações moderadas. Aplcações e desenvolvmentos do método dos elementos fntos posconal podem ser encontrados na resolução de dversos problemas não lneares, tas como: análses não lneares geométrcas de pórtcos D e 3D, placas e cascas em pequenas deformações (CODA; PACCOLA, 007; CODA, 009; CODA; PACCOLA; SAMPAIO, 03) e em grandes deformações (PASCON, 0; PASCON; CODA, 03), análses não lneares físcas e geométrcas consderando materas elastoplástcos, vscoelástcos e vscoplástcos (PACCOLA, 004; VANALLI, 004), problemas de contato envolvendo mpacto (GRECO, 004; CARRAZEDO; CODA, 006), nteração solo-estrutura (SILVA, 04) e fludo-estrutura (SANCHES, 0; SANCHES; CODA, 04), análses não lneares dnâmcas (MACIEL; CODA, 00; CODA; PACCOLA, 0), análse de estruturas sujetas a ações térmcas (CARRAZEDO, 009; CARRAZEDO; CODA, 00), análses não lneares geométrcas de materas compóstos reforçados com fbras e lamnados (SAMPAIO, 04; SAMPAIO; PACCOLA; CODA, 05), entre outros. Os dversos trabalhos ctados acma demostram a capacdade das formulações posconas em analsar com efcênca e precsão os mas varados tpos de problemas não lneares. Todos esses trabalhos fazem parte de uma mportante lnha de pesqusa do Grupo de Mecânca Computaconal (GMEC) pertencente ao Departamento de Estruturas da Escola de Engenhara de São Carlos USP. Feta essa revsão ncal sobre os problemas não lneares e sobre as prncpas estratégas para sua solução, prossegue-se com a descrção das operações matemátcas envolvdas no desenvolvmento da formulação posconal aplcada a problemas de estruturas representadas por modelos bdmensonas. 3.3 Função mudança de confguração Para uma melhor compreensão deste tem, é mportante observar ncalmente a Fgura 6 que contém uma lustração dos mapeamentos empregados para descrever as 0 confgurações ncal f, e atual, f a partr de um sstema de coordenadas paramétrco admensonal. Também estão lustrados a função mudança de confguração f x e o sstema de coordenadas global que defne as posções em ambas as confgurações.

81 Capítulo 3 Método dos elementos fntos posconal aplcado a modelos bdmensonas 8 Fgura 6 Funções de mapeamento das confgurações ncal e atual Fonte: Coda (006). Nas formulações de elementos fntos tradconas baseados em deslocamentos, a f x é dretamente determnada com a obtenção dos graus de lberdade em deslocamentos do elemento, que são empregados para compor a solução aproxmada para o campo de deslocamentos u x. Como se observa na Fgura 6, a f x representa uma função que fornece a posção y da confguração atual e cujo domíno é a confguração ncal. Assm, pode-se escrever f x como: f x y fx ux x. (8) No padrão empregado nas formulações de elementos fntos paramétrcos, a 0 f, é defnda a partr de um sstema de coordenada paramétrco admensonal representa o mapeamento das posções x na confguração ncal. Logo, tem-se que: e 0 x f,. (9) Com a mudança de coordenadas, a f x fca defnda por: f 0 0 x ux f, f,. (0) Como afrmado anterormente, não há graus de lberdade em deslocamentos na formulação posconal, pos se trabalha dretamente com as posções y ocupadas na confguração atual, não sendo possível, portanto, defnr a f x conforme a Equação (0). Apesar dsso, uma solução aproxmatva para o mapeamento da confguração atual f, a partr de um espaço admensonal pode ser determnado e, dferentemente das,

82 8 Capítulo 3 Método dos elementos fntos posconal aplcado a modelos bdmensonas formulações paramétrcas de elementos fntos baseados em deslocamentos, a defnção da f x não envolve a solução aproxmatva para o campo de deslocamentos u x. Observando a Fgura 6, verfca-se que a f x pode ser determnada através de uma composção de funções 0 entre a f, e a nversa da, 0 x f, f, f, conforme está representado na Equação (). f. () gradente, Como será mostrado nos tens posterores, a função mudança de confguração e seu A f, são essencas para a determnação das deformações e, consequentemente, das tensões e da energa específca de deformação. Nesse ponto do trabalho, é convenente chamar atenção ao emprego da confguração ncal como a confguração de referênca para a defnção da função mudança de confguração adota uma descrção do tpo Lagrangana total. f x. Mostrando, portanto, que a formulação Observando a composção de funções estabelecda na Equação (), o Cálculo f, Dferencal estabelece que A é dado pelo produto entre o gradente de, 0 nversa do gradente de,,, f, A f. Assm, A pode ser expresso por: A f A A A. () Os elementos que compõem 0 A e, e a A são obtdos a partr das expressões do mapeamento posconal adotado na defnção do elemento fnto. Esses mapeamentos estão apresentados nos capítulos seguntes para o elemento de pórtco plano homogêneo e para o elemento de pórtco plano lamnado. As funções do mapeamento posconal são funções vetoras defndas do sstema de coordenadas bdmensonal e admensonal,, para o sstema, varando no ntervalo, de coordenadas também bdmensonal das posções ncal ou atual. Essas funções são representadas por: 0 x, y, f, f,, (3) x, y, na qual x e x são as posções da confguração ncal nas dreções e, respectvamente. De forma análoga, referem-se y e y para a confguração atual.

83 Capítulo 3 Método dos elementos fntos posconal aplcado a modelos bdmensonas 83 Observando a Equação (3), os gradentes ordem dos, conforme as equações seguntes: 0 A e A são defndos por matrzes de x x y y 0 A, A, x x y y, (4) cujas componentes são partcularzadas oportunamente após a defnção dos mapeamentos posconas dos elementos de pórtco plano homogêneo e lamnado nos capítulos seguntes. Estabelecdo o sgnfcado das funções de mapeamento posconal, de mudança de confguração e seus respectvos gradentes, prossegue-se para a defnção da medda de deformação empregada nas formulações deste trabalho, bem como, da le consttutva. 3.4 Medda de deformação e le consttutva A medda de deformação empregada nas formulações aqu desenvolvdas é a de Green-Lagrange. Essa medda de deformação é objetva, convenente para o desenvolvmento de formulações com descrção Lagrangana e adequada para o tratamento de problemas não lneares geométrcos sujetos a grandes deslocamentos e rotações (CRISFIELD, 99; REDDY, 004b). A deformação de Green é dervada dretamente do gradente da função mudança de confguração. Para defn-la, consderemos ncalmente dos pontos P 0 e P separados de uma dstânca nfntesmal nas confgurações ncal e atual (Fgura 7). A posção relatva entre os pontos na confguração ncal é dada pelo vetor dx xp x P. Após a deformação, a posção 0 relatva passa a ser dy y P y P. Aplcando a regra da cadea, verfca-se a relação entre os 0 vetores d x e d y estabelecda pelo gradente da função mudança de confguração: f yp y P dx dy A dx. (5) 0 x Partndo de (REDDY, 004b): Esse gradente pode ser expresso em termos do vetor deslocamento do corpo. f u x e aplcando a prmera dervada em relação à posção ncal, obtém-se f u x x x x A u I. (6)

84 84 Capítulo 3 Método dos elementos fntos posconal aplcado a modelos bdmensonas Fgura 7 Mudança de confguração Fonte: Coda (006). De acordo com Reddy (004b) e Ogden (984), a deformação de Green pode ser deduzda a partr do cálculo das dstâncas entre os pontos P 0 e P, nas confgurações ncal e atual. Essas dstâncas são obtdas com o produto escalar entre os vetores posções-relatva: t t dx dx dx dy dy d y. (7) Consderando as Equações (5) e (7), tem-se que: t t t t dy dy dy dx A A dx dx Cdx, (8) sendo t C A A o tensor alongamento à dreta de Cauchy-Green (OGDEN, 984). Nas formulações posconas, o gradente da função mudança de confguração é defndo conforme a Equação (). Assm, C pode ser expresso por: 0 t t 0 t C A A A A A A, (9) na qual -t representa a transposta da nversa. A mudança no quadrado do comprmento de um nfntésmo ao passar da confguração ncal para atual pode ser relaconada ao comprmento orgnal. Observando as Equações (7) e (8), temos que essa dferença é dada por: C I x C x x x x C I x x x, (0) t t t t dy dx d d d d d d d d na qual o termo entre colchetes é denomnado tensor de deformação de Green-Lagrange ou, como mas comumente chamado, tensor de deformação de Green (REDDY, 004b). Portanto: t dy dx dx Ed x, com E C I. ()

85 Capítulo 3 Método dos elementos fntos posconal aplcado a modelos bdmensonas 85 Consderando a Equação (6), pode-se escrever o tensor de deformação de Green em função do vetor deslocamento como na Equação () e verfcar que E é smétrco. Além dsso, da Equação (), observa-se que a dferença entre os quadrados das dstâncas relatvas nas confgurações atual e ncal é nula, se e somente se, E for também nulo, mostrando a objetvdade da medda de deformação (REDDY, 004b). E t t t A A I u u u u. () Nos problemas sujetos a pequenos deslocamentos, o produto entre os gradentes dos vetores de deslocamentos tende a zero. Portanto, desprezando u u na Equação (), a medda de deformação lnear é recuperada, conforme Equação (3), e a formulação posconal descrta aqu se torna naturalmente restrta ao caso lnear geométrco. ε t u u. (3) O tensor de deformação de Green apresenta como conjugado energétco o tensor de tensões de Pola-Krchhoff de segunda espéce (OGDEN, 984). A relação entre eles é defnda pela le consttutva do materal que, neste trabalho, apresenta como característcas: homogenedade, sotropa e modelo hperelástco representado pela le consttutva de Sant Venant-Krchhoff. Os materas compóstos são fortemente lneares longe da stuação de ruptura, com lneardade geralmente superor a dos metas. Assm, a hpótese de uma relação tensãodeformação com essa característca é bastante aceta e amplamente usada na engenhara (MENDONÇA, 005). A le consttutva de Sant-Venant-Krchhoff é a mas smples dentre as les para o modelo de materal Hperelástco, pos estabelece uma relação tensão-deformação lnear que se confunde com a le consttutva de Hooe quando as deformações são pequenas. Essa le é adequada para problemas sujetos a grandes deslocamentos, mas com o materal trabalhando no regme de deformações moderadas. Em função das hpóteses cnemátcas assumdas para os elementos fntos desenvolvdos neste trabalho, os problemas analsados são restrtos àqueles sob um estado plano de tensão. Em vsta dsso, a energa específca de deformação para a le consttutva de Sant- Venant-Krchhoff pode ser expressa por: t u e E E E E E E E, (4)

86 86 Capítulo 3 Método dos elementos fntos posconal aplcado a modelos bdmensonas com E correspondendo ao módulo de elastcdade longtudnal, o coefcente de Posson. O módulo de elastcdade transversal G se relacona com E e por: E G. (5) A prmera dervada da energa específca de deformação em relação às deformações de Green E fornece as tensões de Pola-Krchhoff de segunda espéce S. Observando a Equação (4), tem-se: u S e E S S S S E E G E E E E G E E E E Defndas a medda de deformação e a le consttutva a serem empregadas no desenvolvmento da formulação dos elementos fntos de pórtco plano homogêneo e lamnado, é possível agora estabelecer as relações para determnar a função de energa potencal total. Para problemas estátcos, a energa potencal total é consttuída pela energa potencal de deformação e pela energa potencal assocada às ações externas. 3.5 Energa potencal de deformação (6) Antes de apresentar o procedmento para o cálculo da energa potencal de deformação, consderemos ncalmente o caso smples de uma mola undmensonal submetda à ação de uma força nterna F e cujo dagrama força-deslocamento é elástco não lnear u (Fgura 8). O objetvo desse exemplo smples é lustrar a relação energetcamente conjugada entre força nterna e posção da mesma forma que ocorre entre força nterna e deslocamento. Fgura 8 Mola undmensonal elástca não lnear Fonte: Coda (006).

87 Capítulo 3 Método dos elementos fntos posconal aplcado a modelos bdmensonas 87 Observando essa fgura, verfca-se que a energa de deformação acumulada na mola é numercamente gual à área sob o gráfco força-deslocamento e é dada pela segunte ntegral: U u F u du. (7) 0 Se for realzada a dervada na Equação (7) em relação ao deslocamento u, obtemos a força aplcada na mola: du F u. (8) du Das Equações (7) e (8), conclu-se que F são conjugados energétcos u e (CODA, 006). Até aqu, tanto a energa de deformação da mola como a força aplcada estão estabelecdas como uma função do deslocamento sofrdo pela extremdade lvre. Para transformar a varável deslocamento na varável posção, basta observar que o deslocamento é dado pela dferença entre a posção atual y e a posção ncal x da extremdade da mola. Dessa dferença, estabelece-se também a relação dferencal entre y e u : u u y x du dy. (9) Aplcando a regra da cadea na Equação (8) para modfcar a varável da dervada, mostra-se que a posção atual e a força aplcada também são energetcamente conjugadas (CODA, 006): du du dy du F u F y e F y dy, (30) U du dy du dy na qual os lmtes de ntegração são dados pela posção x da extremdade da mola na confguração ncal e a sua posção y x u na confguração atual. No caso bdmensonal, essa dea é expandda com a defnção da função mudança de confguração f a partr das posções ocupadas pelo sóldo na confguração atual, conforme apresentado no Item 3.3, e do cálculo da energa de deformação através da determnação de uma densdade de energa, chamada energa específca de deformação. O modelo consttutvo consderado para o materal é o hperelástco. Para esse tpo de materal, é váldo o prncípo da conservação da energa. Assm, a denomnação energa potencal de deformação é adequada, pos só há dependênca do estado de deformação atual, não mportando a forma como ocorreu a mudança de confguração do sóldo (CHOU; PAGANO, 99). y x

88 88 Capítulo 3 Método dos elementos fntos posconal aplcado a modelos bdmensonas Para determnar a energa potencal de deformação, deve-se proceder a ntegração da energa específca, apresentada na Equação (4), em relação ao volume ncal do elemento, pos como já menconado anterormente, a formulação segue uma descrção Lagrangana total. Assm, tem-se que: U u e dv 0. V 0 Conforme apresentado no Item 3.3, as formulações posconas adotam um sstema de referênca paramétrco admensonal para descrever a função mudança de confguração e as funções de mapeamento posconal das confgurações ncal e atual. Assm, os tensores deformação de Green E e alongamento à dreta de Cauchy-Green C foram escrtos, va Equações (), (), (3), (4), (9) e (), como funções nas varáves admensonas,. Consequentemente, a energa específca de deformação fca, também, escrta em função dessas varáves. Dessa forma, a ntegral da energa específca no volume ncal ( V 0 ) na Equação (3) pode ser realzada em relação ao domíno admensonal por meo da segunte mudança de varáves:, J, U b ue d d, (3) na qual b é a largura de uma seção retangular ou largura méda de uma seção trapezodal e J é o Jacobano da transformação do sstema de coordenadas da confguração ncal, x para o sstema de coordenadas da confguração de referênca admensonal, x Esse Jacobano é dado pelo determnante da matrz x x x x J,. (3),. 0 A, ou seja, Realzando uma sére de operações matrcas para a obtenção da deformação de Green e substtundo na Equação (4), é possível chegar a uma função escalar para a energa específca de deformação. Essa função depende apenas das coordenadas admensonas, e das posções da confguração atual, pos as posções da confguração ncal e os parâmetros elástcos da le consttutva são conhecdos e constantes. No entanto, a expressão matemátca dessa função escalar é bastante extensa, dfcultando sua ntegração analítca na Equação (3). Felzmente, é possível realzar a ntegração numercamente com o emprego, por exemplo, da quadratura de Gauss, que é utlzada neste trabalho. Logo, não há necessdade de obter uma expressão analítca para a função escalar energa

89 Capítulo 3 Método dos elementos fntos posconal aplcado a modelos bdmensonas 89 específca de deformação, podendo-se trabalhar dretamente com os valores numércos assumdos pelos gradentes 0 A e A, na determnação de C e E. Esses valores numércos dependem das coordenadas admensonas dos pontos de Gauss e das posções da confguração atual, que assumem valores conhecdos durante a solução do problema não lnear baseado em um processo teratvo de tentatva e correção. Assm, a ntegral na Equação (3) é determnada numercamente por:, J, w g w jg com g,, n e jg,, n, (33) U b u e g jg g jg que representa um somatóro dos produtos entre os valores numércos assumdos por u e e, J, em cada ponto de Gauss e os respectvos pesos de ntegração. Na Equação (33), g e jg representam as coordenadas admensonas dos pontos de Gauss, w g e w jg representam os pesos de ntegração e n e n são a quantdade de pontos dstrbuídos ao longo da dreção longtudnal e transversal, respectvamente. Nos elementos desenvolvdos neste trabalho, essa ntegração numérca ocorre em domínos retangulares. Para calcular a energa potencal de deformação, é necessáro anda determnar os termos que compõem os gradentes 0 A e A. Esses termos dependem da cnemátca adotada no mapeamento posconal para os elementos fntos de pórtco plano homogêneo e lamnado, cujas defnções ocorrerão nos dos capítulos seguntes. Analogamente ao caso smples da mola undmensonal (Equação (30) e Fgura 8), a força nterna pode ser obtda através da dervada da energa de deformação em relação à posção atual. Defne-se um vetor de força nterna em vez de uma únca componente de força nterna e a dervada é substtuída pelo gradente em relação ao vetor de posções atuas. Assm, tem-se que: u U y F F u dv dv y e nt nt e 0 0 V V 0 0. (34) Com a defnção da energa de deformação, resta somente descrever a segunda parcela da energa potencal total que é relatva às ações externas. 3.6 Energa potencal relatva às ações externas As ações externas consderadas são consttuídas por forças concentradas, forças dstrbuídas e momentos concentrados. Assume-se que todas as forças externas são conservatvas, ou seja, o trabalho realzado depende apenas das posções ncal x e atual y, não

90 90 Capítulo 3 Método dos elementos fntos posconal aplcado a modelos bdmensonas dependendo da trajetóra realzada pela força durante o movmento. Assm, a ntegral de lnha que defne o trabalho realzado pela força externa F ext ao longo de uma trajetóra de deslocamento C se transforma em uma ntegral nas posções ocupadas pela força na confguração atual e ncal: ext W F u du W F dy, (35) C y x ext na qual a força, por ser conservatva, ndepende do deslocamento ou da posção e a ntegral não está relaconada à trajetóra C, mas apenas às posções ncal x e atual y. A mudança de coordenadas é possível consderando a relação entre deslocamento e posção atual: u y x du dy. (36) trabalho é dada por: Para forças conservatvas, atrbu-se uma energa potencal e sua relação com o u W. (37) Consderando a Equação (35) e a característca conservatva da força, tem-se que: u y x y x d y x F y y x F y F x. ext ext ext Do ponto de vsta físco, apenas varações de energa potencal são relevantes. Assm, pode-se defnr uma energa potencal nula na orgem do sstema de referênca global, tal que: 0 0. (39) Consderando uma mudança na posção da força desde a orgem em posção atual y, determna-se a função energa potencal assocada à força externa F ext : ext Fext y Fext y (38) x 0 até a y F y y. (40) na qual a parcela da dreta é restrta ao caso bdmensonal, com y e y representando as posções atuas do ponto de aplcação da força nas dreções globas e, respectvamente. força aplcada: O gradente da energa potencal em relação ao vetor posção fornece o negatvo da

91 Capítulo 3 Método dos elementos fntos posconal aplcado a modelos bdmensonas 9 y F. (4) ext As Equações (40) e (4) acma mostram que, assm como o deslocamento, a posção também é energetcamente conjugada a força. Para completar a defnção da energa potencal assocada às ações externas, resta determnar na Equação (40) o vetor posção y. Nos dos capítulos seguntes, estão defndos os elementos fntos posconas de pórtco plano homogêneo e lamnado. Para cada elemento, o vetor posção y é descrto por uma função que mapea as posções no elemento a partr de uma nterpolação das posções nodas y. Dessa forma, a energa potencal das ações externas fca escrta como um produto de forças nodas externas concentradas ou equvalentes e parâmetros nodas representados por posções e vetores generalzados. A Equação (40) passa a ser representada, então, por: ext y F y y F y, (4) na qual F ext, ou y, ou ext F em notação ndcal, é o vetor de forças nodas externas ou equvalentes e ext y, é o vetor posção nodal, com representando os graus de lberdade nodas e o nó. Com sso, resume-se o cálculo da parcela de energa devda às ações externas smplesmente pelo negatvo do produto entre a força externa e sua posção atual. Juntamente com a parcela da energa potencal de deformação, pode-se escrever a energa potencal total assocada a problemas estátcos. 3.7 Energa potencal total e equações de equlíbro Como relatado anterormente, a energa potencal total será composta pelas parcelas da energa de deformação mas o potencal das ações externas atuantes. Portanto, para um únco elemento fnto, a energa potencal é dada por: elm elm elm y U y y, (43) sendo elm a função energa potencal total, y pelas Equações (3), (3) e (33), y elm U a energa potencal de deformação, dada y elm a energa potencal das ações externas, dada pelas

92 9 Capítulo 3 Método dos elementos fntos posconal aplcado a modelos bdmensonas Equações (40) e (4), e elemento. y é o vetor contendo as posções (graus de lberdade) nodas do Em uma análse estrutural baseada no método dos elementos fntos, o contínuo é dscretzado em város elementos formando uma malha. Como a energa potencal é uma grandeza escalar, a energa potencal total da estrutura pode ser obtda smplesmente pela soma das contrbuções de cada elemento ndvdualmente. Para a realzação dessa soma, a ncdênca nodal dexa de ter uma referênca local do elemento e passa a ter uma ncdênca global como está lustrado na Fgura 9 para o caso de dos elementos fntos consttuídos por quatro nós cada. O número do nó global é utlzado como referênca para a montagem dos dversos vetores e matrzes presentes no desenvolvmento da formulação. Na Fgura 9, o vetor posção nodal y está assocado ao nó global e os graus de lberdade deste nó estão representados pelo índce sobrescrto, cuja quantdade depende do tpo de elemento fnto representado. Os aspectos de montagem dos dversos vetores e matrzes, bem como, a dentfcação dos graus de lberdade serão detalhados nos capítulos seguntes referentes à descrção dos elementos fntos de pórtco plano homogêneo e lamnado. Após a soma das contrbuções energétcas de cada elemento fnto e consderando a Equação (4), referente à parcela do potencal externo, a energa potencal total da estrutura pode ser escrta como: U ext y y F y. (44) Nessa equação, o vetor de posções nodas y é a solução do sstema de equações não lneares de. equlíbro, obtdo a partr da condção de estaconaredade da energa potencal total y Fgura 9 Assocação de dos elementos fntos Fonte: Coda (006).

93 Capítulo 3 Método dos elementos fntos posconal aplcado a modelos bdmensonas 93 Através do prncípo da energa potencal total estaconára é possível encontrar um sstema de equações cuja solução é consttuída pelas posções de equlíbro na confguração atual. De acordo com esse prncípo, a energa potencal total assume valor estaconáro quando a confguração deformada satsfaz as condções de equlíbro e atende às condções de contnudade e de contorno (CHOU; PAGANO, 99). Matematcamente, a estaconaredade é representada pela nuldade da prmera dervada da função de energa potencal total ou, de forma equvalente, pela nuldade de seu gradente. Na formulação de elementos fntos posconal, esse gradente é calculado em relação às posções nodas, ou seja: y y 0 0, (45) y na qual representa os nós globas dos elementos e, os graus de lberdade nodas. Consderando as Equações (4) e (44), a Equação (45) resulta em: U y y F ext 0. (46) Nessa equação, a prmera parcela representa o vetor de forças nternas, conforme já lustrado na Equação (34) para uma representação mas geral, e a segunda parcela é o vetor de forças externas F ext, resultantes de forças concentradas e de forças nodas equvalentes geradas por forças dstrbuídas. Assm, a Equação (46) nada mas é do que a representação de um sstema de equações de equlíbro cujas ncógntas são as posções nodas U y y F ext 0 F nt y F 0 ext y. Portanto, tem-se que:. (47) As componentes dos vetores de força consttuem conjugados energétcos dos graus de lberdade pertencentes ao nó. Como se verá na descrção dos elementos fntos, os graus de lberdade são representados por posções do nó e por vetores generalzados da seção. As forças externas são consderadas conservatvas e não dependem das posções de aplcação. Já as forças nternas dependem das posções da confguração atual, representadas pelas posções nodas, e a função vetoral F y nt é fortemente não lnear. Consequentemente, a relação obtda na Equação (47) consttu um sstema de equações também não lnear. Consderando o cálculo da energa potencal de deformação apresentado na Equação (3), a expressão do vetor de forças nternas na Equação (47) se torna: F nt y u e, b J, U y d d, (48) y y

94 94 Capítulo 3 Método dos elementos fntos posconal aplcado a modelos bdmensonas que é calculada utlzando quadratura de Gauss, fcando, então: F nt y, g jg J, w g w jg ue b y g jg. (49) Nessa expressão, o termo anda ndefndo é a dervada parcal da energa específca de deformação. Observando a le consttutva de Sant-Venant-Krchhoff na Equação (4) e aplcando a regra da cadea, pode-se escrever: u y e na qual ue E rs E y rs S rs E y rs E rs são as deformações de Green e, (50) S rs representa o tensor de tensões de Pola- Krchhoff de segunda espéce, dado pela Equação (6). Utlzando a defnção da deformação de Green (Equação ()), a prmera dervada da energa específca de deformação pode ser escrta como: u y e na qual S rs E C rs xy C y xy S rs C y rs, (5) C rs representa o tensor alongamento à dreta de Cauchy-Green, cuja prmera dervada pode ser obtda levando em consderação a Equação (9). Deve-se atentar que somente o gradente A (Equações (3) e (4)) é função das posções atuas y ocupadas pela estrutura, pos o gradente 0 A (Equações (3) e (4)) depende somente das posções ncas x, que são valores conhecdos e constantes. Assm, a prmera dervada do tensor alongamento à dreta de Cauchy-Green resulta em: t C 0 t A 0 0 t t A 0 y y y A A A A A A, (5) na qual os índces das matrzes C, 0 A e A foram omtdos para smplfcar a notação. Como a dervada da transposta é gual à transposta da dervada, a Equação (5) pode ser smplfcada para: t C 0 t t A 0 0 t t A 0 A A A A A A, (53) y y y com A y sendo o únco termo dessa expressão anda não determnado, pos depende das hpóteses cnemátcas representadas na função de mapeamento posconal da confguração atual f, cuja defnção consta nos capítulos referentes à descrção dos elementos fntos posconas de pórtco plano homogêneo e lamnado. Nestes capítulos, os termos que compõem

95 Capítulo 3 Método dos elementos fntos posconal aplcado a modelos bdmensonas 95 A são dentfcados. À exceção dsso, o sstema de equações de equlíbro na Equação (47) y está totalmente defndo. Como comentado anterormente, esse sstema é não lnear e, portanto, há necessdade do emprego de um processo de solução baseado em uma estratéga ncrementalteratva. 3.8 Processo de solução A estratéga de solução adotada é baseada no método de Newton-Raphson que consste em um processo ncremental-teratvo com varação controlada de ncrementos de força e por uma solução teratva do sstema de equações não lneares correspondente a esses ncrementos acumulados. O processo teratvo consste bascamente na adoção de uma tentatva ncal para a solução do sstema seguda pelo cálculo de correções sobre essa tentatva ncal. A teração é encerrada quando crtéros de convergênca são satsfetos. O método de Newton-Raphson é a estratéga mas empregada para solução de sstemas de equações não lneares e tem como prncpas vantagens a convergênca quadrátca e a possbldade de determnação da trajetóra de equlíbro da estrutura (CRISFIELD, 99; BATHE, 996; COOK et al., 00). Durante o processo de solução, como as posções atuas y dos nós do pórtco não são conhecdas, posções-tentatva y são atrbuídas a tentatva y. Quando essas posções não verfcam o equlíbro nodal representado pela Equação (47), gera-se um resíduo que corresponde ao vetor de desbalanceamento mecânco: R y F y F tentatva. (54) nt tentatva ext Assumndo que esse vetor representa uma função vetoral contínua para posções próxmas ao equlíbro, correções para as posções-tentatva y tentatva da lnearzação de y podem ser obtdas por meo tentatva R com sére de Taylor truncada em dos termos e forçando sua nuldade. Esse procedmento está descrto nas equações a segur: R y R y R y tentatva y y (55) y tentatva

96 96 Capítulo 3 Método dos elementos fntos posconal aplcado a modelos bdmensonas R y H y y 0 tentatva tentatva H y y R y tentatva tentatva (55) y H y R y tentatva R na qual y H y tentatva tentatva é a matrz Hessana calculada nas posções-tentatva. y y tentatva Essa matrz é calculada numercamente e apresenta ordem dada pelo produto entre o número de nós da dscretzação da estrutura e o número de graus de lberdade nodas correspondente ao elemento fnto empregado. De acordo com Coda (006), a Hessana se torna postva defnda quando as posções-tentatva se aproxmam das posções de equlíbro da estrutura. Isso sgnfca que a função energa potencal total se aproxma de um ponto estaconáro, podendo representar um equlíbro estável (ponto de mínmo local) ou nstável (ponto de máxmo local). Na Equação (55), y é uma correção a ser acrescentada às posções-tentatva para a obtenção de posções mas próxmas da solução do sstema não lnear. Assm, tem-se que: y (corrgda y y (56) ) tentatva tentatva na qual os índces da correção foram compatblzados com os índces das posções-tentatva. Obtdas novas posções-tentatva, o vetor de desbalanceamento mecânco é recalculado e correções são novamente determnadas através da repetção do procedmento descrto na Equação (55). O controle sobre esse processo teratvo é feto por meo de crtéros de convergênca que consstem em comparar os erros relatvos em posção e em força a tolerâncas pré-estabelecdas (Equação (57)). A tolerânca é um valor arbtrado e pequeno que defne quando o equlíbro é atngdo de forma satsfatóra (CODA, 006). y x tolerânca F R ext tolerânca (57) Para fnalzar a defnção do processo de solução, resta somente determnar a expressão para o cálculo da matrz Hessana. Esta matrz é dada pela dervada do vetor de R desbalanceamento mecânco em relação às posções atuas y H y y. Observando a Equação (54), pode-se verfcar que para ações externas conservatvas somente o vetor de forças

97 97 Capítulo 3 Método dos elementos fntos posconal aplcado a modelos bdmensonas nternas depende das posções atuas y. Logo, a matrz Hessana fca restrta a y y F y H nt. Da Equação (48), temos que: y y y H U (58),, d d J y y u b y H e. Da mesma forma como no cálculo do vetor de forças nternas na Equação (49), essa ntegral é obtda numercamente va quadratura de Gauss, fcando transformada no segunte somatóro: jg g jg g jg g e w w J y y u b y H,,. (59) Nessa expressão, é necessáro calcular a segunda dervada da energa específca de deformação em relação às posções nodas atuas. Para sso, aplcando a regra da cadea sobre a prmera dervada já calculada na Equação (50), tem-se: y y E S y E y S y E S y y y u rs rs rs rs rs rs e. (60) A dervada do tensor de tensões de Pola-Krchhoff de segunda espéce pode ser defnda a partr da Equação (6), resultando em: y S rs y E y E E y S (6) y E y E E y S y E y E G y S y E y E G y S. Nas Equações (60) e (6), surge a prmera dervada das deformações de Green em relação às posções nodas atuas. Essa dervada já fo determnada nas Equações (50) a (53). Portanto, o prmero termo da Equação (60) está totalmente defndo, restando apenas determnar a segunda dervada das deformações de Green no segundo termo. Consderando a defnção dessas deformações na Equação (), tem-se que:

98 98 Capítulo 3 Método dos elementos fntos posconal aplcado a modelos bdmensonas E y rs y C y rs y. (6) Partndo agora da Equação (53), tem-se que a segunda dervada do tensor alongamento à dreta de Cauchy-Green, com os índces omtdos para smplfcar a notação, fca defnda assm: t C 0 t A 0 0 t t 0 A A A A A A A y y y y y y t 0 t A A 0 0 t t A 0 y y y y A A A A A, t (63) sendo os termos A todos nulos, pos a prmera dervada de A não depende das posções y y nodas atuas, uma vez que as funções de mapeamento posconal f dependem apenas lnearmente do vetor posção nodal y. Isso será ressaltado nos dos capítulos seguntes referentes à defnção dos elementos fntos de pórtco plano homogêneo e lamnado. Assm, a segunda dervada do tensor alongamento à dreta de Cauchy-Green fca defnda pela segunte expressão: t t t C 0 t A 0 0 t 0 A A A y y y y y y A A A A. (64) Com esse últmo termo, a matrz Hessana na Equação (58) está totalmente determnada. Vale ressaltar novamente que essa matrz resulta em uma matrz numérca, Equação (59), para um par de coordenadas admensonas correspondente aos pontos de, Gauss utlzados na ntegração numérca e para um vetor de posções-tentatva y adotado. tentatva Com sso, fca defndo completamente o processo de solução, sendo possível agora encontrar a confguração atual da estrutura para cada ncremento assocado às ações externas e, assm, determnar a trajetóra de equlíbro da estrutura. Um fluxograma básco que resume todo o processo de solução baseado no método de Newton-Raphson está apresentado na Fgura 0. Nos capítulos seguntes, estão descrtos os dos elementos fntos desenvolvdos neste trabalho. Os aspectos partculares que a formulação posconal assume em cada elemento são dentfcados e os resultados de análses numércas realzadas em exemplos de verfcação são apresentados a fm de demonstrar a consstênca, a efcênca e a robustez da formulação.

99 Capítulo 3 Método dos elementos fntos posconal aplcado a modelos bdmensonas 99 Iníco Adota posção tentatva: y = x ou y tentatva passoanteror R Calcula o desbalanceamento mecânco y F y F tentatva nt tentatva ext H Calcula a matrz Hessana R y y tentatva y y tentatva Obtém correção para o vetor posção tentatva y H y R y tentatva tentatva y Corrge vetor posção tentatva: (corrgda ) tentatva y tentatva y Verfca convergênca Falso y x tol e/ou F R ext tol Verdadero Fm Fgura 0 Fluxograma básco do método de Newton-Raphson

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101 4 ELEMENTO FINITO DE PÓRTICO PLANO HOMOGÊNEO CAPÍTULO 4 ELEMENTO FINITO DE PÓRTICO PLANO HOMOGÊNEO 4. Introdução Neste capítulo, a formulação do elemento fnto de pórtco plano homogêneo é apresentada e detalhada. Suas característcas geras são dêntcas àquelas apresentadas no capítulo anteror e, portanto, somente os aspectos partculares são apresentados. Alguns trabalhos que deram orgem a formulação desse elemento são os de Coda (009) e de Coda e Paccola (00, 0). Os pórtcos planos são modelos bdmensonas empregados para representar estruturas retculadas cuja característca mas marcante é a geometra de seus elementos os quas apresentam um exo longtudnal bem defndo e com dmensão pelo menos uma ordem de grandeza superor às dmensões da seção transversal. Devdo a essa característca, o modelo estrutural assume hpóteses cnemátcas que permtem analsar um sóldo trdmensonal por meo da unão de barras undmensonas localzadas no exo longtudnal dos elementos e contdas em um plano comum. As ações externas são aplcadas dretamente sobre as barras e também estão contdas no mesmo plano da estrutura (MARTHA, 00). Nesse sentdo, é adequado classfcar o elemento fnto desenvolvdo neste capítulo como um elemento de pórtco plano, pos as hpóteses cnemátcas adotadas permtem que as posções de qualquer ponto da barra sejam determnadas a partr da nterpolação polnomal dos graus de lberdade nodas pertencentes a uma lnha de referênca posconada no meo da seção transversal. Os graus de lberdade são consttuídos pelas posções dos nós e por vetores generalzados que defnem o plano dessa seção. O elemento também é denomnado homogêneo, pos a barra é consttuída por um únco materal homogêneo. O modelo utlzado para representar o comportamento do materal é aquele apresentado no Item 3.4. A denomnação de elemento homogêneo também é adotada para dferencar do elemento fnto de pórtco plano lamnado, descrto no capítulo segunte.

102 0 Capítulo 4 Elemento fnto de pórtco plano homogêneo Além da descrção do elemento fnto, pretende-se também realzar análses não lneares geométrcas em exemplos de pórtcos planos que possuem resultados numércos e analítcos dsponíves na lteratura. Para sso, um códgo computaconal fo desenvolvdo com a mplementação da formulação em lnguagem de programação FORTRAN. Os resultados das análses são fornecdos pelo programa por meo de dos arquvos de saída de dados que permtem a construção de trajetóras de equlíbro e a vsualzação das barras nas confgurações atuas utlzando o software de pós-processamento AcadVew. Busca-se com sso, verfcar a consstênca, a efcênca e a robustez da formulação no que dz respeto a sua capacdade de representação do comportamento não lnear geométrco de dferentes problemas envolvendo modelos estruturas de pórtcos planos. 4. Mapeamento posconal das confgurações ncal e atual De acordo com Coda e Paccola (0), o mapeamento do elemento fnto de pórtco plano é realzado a partr da nterpolação das posções e dos vetores generalzados de pontos nodas localzados em uma lnha de referênca. A partr dessa nterpolação, é possível defnr as posções de qualquer ponto contdo ou não na lnha de referênca. Esse mapeamento é utlzado tanto para confguração ncal como para a confguração atual. Na confguração ncal, os vetores generalzados são untáros, normas à lnha de referênca e podem ser obtdos a partr do vetor tangente. A Fgura lustra a dea do mapeamento posconal para um elemento com nterpolação cúbca. Fgura Mapeamento posconal do elemento de pórtco plano homogêneo Fonte: Coda e Paccola (0).

103 Capítulo 4 Elemento fnto de pórtco plano homogêneo 03 f 0 O mapeamento posconal para a confguração ncal pode ser escrto como: 0, x, e x, Φ x Φ v com =, e =,, 3,4, 0 na qual, h f representa a função de mapeamento posconal da confguração ncal x a partr do espaço admensonal,, um ponto qualquer localzado no elemento, (65) x, representa a posção ncal na dreção de x é a posção na dreção do nó, v é a componente na dreção do versor pertencente ao plano da seção transversal passando pelo nó, h é a altura dessa seção e 0 Φ é a função de forma consttuída por um polnômo cúbco de Lagrange, assocada ao nó. Nesse mapeamento, a prmera parcela dentfca as posções de todos os pontos pertencentes à lnha de referênca e, dado um ponto dessa lnha de referênca, a segunda parcela dentfca as posções de todos os pontos da seção transversal. Na Fgura, lustra-se o mapeamento de um ponto qualquer de coordenadas admensonas a, b. Fgura Mapeamento posconal de um ponto qualquer na confguração ncal Na Equação (65), as nformações geométrcas conhecdas são as posções nodas e a altura h 0. Os versores nodas v são determnados a partr dos vetores nodas tangentes lnha de referênca. Aplcando os concetos do Cálculo Dferencal na prmera parcela da Equação (65), as componentes dos vetores tangentes nodas são expressas por: x t à t dφ e x e, com,,3, 4 d e, (66)

104 04 Capítulo 4 Elemento fnto de pórtco plano homogêneo sendo a coordenada correspondente ao nó, tangente ao nó e e Φ. determnadas como: t a componente na dreção do vetor x e a posção ncal na dreção do nó e cuja função de forma assocada é A partr da nuldade no produto escalar, as componentes do versor normal fcam v t J t v, (67) J na qual v e referênca no nó e v representam as componentes nas dreções e do versor normal à lnha de J é o módulo do vetor tangente nodal com. J também corresponde ao Jacobano da transformação do espaço admensonal para a confguração ncal da lnha de referênca. Esse Jacobano é dado por: J t t J t t. (68) Para a confguração atual, um mapeamento semelhante é empregado, mas as posções e as componentes dos vetores generalzados assocados aos nós do elemento fnto não são conhecdas e consttuem as ncógntas do problema não lnear. f O mapeamento posconal para a confguração atual pode, então, ser escrto como: 0, y, e y, Φ y Φ g com =, e =,, 3, 4, na qual o sgnfcado dos termos são análogos ao do mapeamento da confguração ncal, mas referencados agora à confguração atual. Nesse mapeamento, o elemento cúbco possu ao todo h (69) dezesses graus de lberdade ncógntos, quatro em cada nó, que são as duas posções y e as duas componentes do vetor generalzado g. É mportante ressaltar novamente que a prmera parcela dentfca as posções de todos os pontos pertencentes à lnha de referênca atual e, dado um ponto dessa lnha de referênca, a segunda parcela dentfca as posções de todos os pontos da seção transversal. Na Fgura 3, lustra-se o mapeamento de um ponto qualquer de coordenadas admensonas a, b na confguração atual. Apesar de ter sdo mantdo h 0 constante na Equação (69), a altura da seção transversal se modfca, pos o vetor generalzado pode dexar de ser untáro na confguração atual. Assm, a altura de uma seção transversal na confguração atual passa a ser:

105 Capítulo 4 Elemento fnto de pórtco plano homogêneo 05 h h0φ g. (70) Fgura 3 Mapeamento posconal de um ponto qualquer na confguração atual O mapeamento descrto na Equação (69) gera uma cnemátca cujas seções transversas apresentam varação de altura e permanecem planas, porém não ortogonas à lnha de referênca. O nível em que a seção dexa de ser ortogonal à lnha de referênca está assocado às tensões de csalhamento envolvdas e ao módulo de elastcdade transversal. A cnemátca representada por esse mapeamento consdera o efeto de Posson no plano que contém o elemento e resulta em uma dstrbução de tensão de csalhamento transversal lnear e de tensão axal transversal constante, portanto, é uma cnemátca mas precsa do que as formulações baseadas nas hpóteses cnemátcas de Euler-Bernoull e de Ressner- Tmosheno. 4.3 Partculardades do elemento de pórtco plano homogêneo No Capítulo 3, toda a sequênca de operações matemátcas da formulação posconal aplcada a problemas bdmensonas fo desenvolvda e, no tem anteror, descreveu-se a cnemátca do elemento de pórtco plano homogêneo. Logo, para defnr completamente a formulação do elemento fnto, fca faltando apenas dentfcar os termos que dependem da função de mapeamento posconal empregada. Isso está apresentado nos tens seguntes.

106 06 Capítulo 4 Elemento fnto de pórtco plano homogêneo 4.3. Gradente das funções de mapeamento posconal Com a defnção dos mapeamentos posconas, a função mudança de confguração pode ser determnada através da composção de funções especfcada na Equação () e lustrada A e 0 na Fgura 6. Portanto, resta apenas descrever as componentes dos gradentes, A, que dependem das funções de mapeamento apresentadas nas Equações (65) e (69), respectvamente. Os termos desses gradentes foram dentfcados na Equação (4) e, observando as funções de mapeamento, fcam expressos por: h0 h0 Φ, x Φ, v Φ v 0 A, h h, (7) Φ, 0 0 x Φ, v Φ v h0 h0 Φ, y Φ, g Φ g A, h h, (7) Φ, com Φ, Φ 0 0 y Φ, g Φ g. Vale ressaltar que não há necessdade de explctar as equações que 0 compõem o gradente,, envolvdas são realzadas numercamente. A A A, pos a as operações matemátcas 4.3. Energa potencal de deformação 0 Com os gradentes A, e, A defndos, a energa potencal de deformação do elemento pode ser calculada conforme o procedmento descrto no Item 3.5. Outra observação a ser feta está relaconada à ntegração numérca da energa de deformação na Equação (33). Para o elemento de aproxmação cúbca, são empregados doze pontos de Gauss dstrbuídos em quatro pontos na dreção de e em três pontos na dreção de Energa potencal relatva às ações externas Na parcela da energa potencal relatva às ações externas, são consderadas as contrbuções de forças e momentos concentrados e de forças dstrbuídas. A energa assocada a

107 Capítulo 4 Elemento fnto de pórtco plano homogêneo 07 essas duas últmas ações é contablzada por meo de forças nodas equvalentes. No caso do elemento de pórtco plano homogêneo, todas as ações externas são consderadas aplcadas na lnha de referênca, pos os problemas analsados são todos consttuídos por barras esbeltas, que é um dos pré-requstos para o emprego de modelos de pórtco. As ações externas são consderadas conservatvas e, conforme mostrado no Item 3.6, a relação entre força e posção é energetcamente conjugada. Assm, uma energa potencal externa pode ser defnda, sendo calculada pelo negatvo do produto escalar entre o vetor força externa e o vetor posção atual do ponto de aplcação dessa força (Equação (40)). No caso das forças dstrbuídas, são determnadas forças nodas equvalentes de forma a manter a mesma energa potencal. A Fgura 4 lustra essa transformação: Fgura 4 Carga dstrbuída e forças nodas equvalentes Fonte: Coda (006). Assm como as posções da lnha de referênca, a força dstrbuída q também é representada por uma função de nterpolação polnomal dos valores Portanto, tem-se que: q sendo e e q e nos nós do elemento. q, (73) q o valor assumdo pela força dstrbuída no nó e,, 3,4, com componentes nas e dreções globas,. Utlzando a Equação (73) e a prmera parte da Equação (69) que representa o mapeamento da lnha de referênca na confguração atual, a parcela da energa potencal externa devdo às forças dstrbuídas é determnada por: q y J d, (74)

108 08 Capítulo 4 Elemento fnto de pórtco plano homogêneo q y J d, e e e qe J d y, (74), Q y na qual J é o Jacobano da transformação do espaço admensonal para a lnha de referênca na confguração ncal (Equação (68)) e Q q J d é a força e e nodal equvalente atuante no nó,, 3,4 com dreção,. A ntegral para cálculo de é resolvda numercamente com a quadratura de Gauss, fcando representada pelo somatóro segunte: Q e g qe g J g w g, (75) sendo g a coordenada do ponto de Gauss com peso w g. No modelo dscreto de elementos fntos, a ação de um carregamento dstrbuído aplcado sobre uma pequena regão nodal pode ser consderada por meo de uma força concentrada equvalente aplcada dretamente sobre o nó. Dessa forma, faz sentdo estabelecer uma energa potencal assocada a forças concentradas aplcadas nos nós do elemento. Essa energa é defnda por: Q, (76) P y sendo P o vetor força externa aplcado no nó =,, 3, 4 com componentes nas dreções globas =, e y o vetor posção nodal. Portanto, a energa potencal de um elemento fnto sujeto à ação de forças externas concentradas e dstrbuídas fca determnada smplesmente pela soma das contrbuções das Equações (74) e (76): y P Q. (77) Os momentos concentrados representam outra ação externa que surge nos modelos estruturas de pórtcos. Como não há parâmetros de gro assocados à seção nodal, o efeto de momentos concentrados é levado em consderação através de um par de forças formando um

109 Capítulo 4 Elemento fnto de pórtco plano homogêneo 09 bnáro aplcado perpendcularmente ao vetor generalzado nodal, conforme está lustrado na Fgura 5. No Item 3.6, mostrou-se que força e posção são energetcamente conjugadas. Assm, uma energa potencal equvalente assocada ao bnáro pode ser defnda pelo negatvo do produto escalar entre o vetor força que compõem o bnáro e o vetor posção atual do ponto de aplcação (Equação (40)). O uso do termo equvalente fcará claro quando for mostrado que a força do bnáro não é conservatva. Fgura 5 Bnáros correspondentes ao momento concentrado Observando a Fgura 5, a energa potencal equvalente pode ser escrta como: y g B y B g B g B, (78) sendo y o vetor posção atual do nó onde está aplcado o momento, da seção nodal e,. g o vetor generalzado B a força que compõe o bnáro com componentes nas dreções globas Para determnar o vetor força do bnáro, é necessáro defnr seu módulo e dreção. O sentdo pode ser observado na Fgura 5. O módulo de B é obtdo de forma que seu produto com o módulo do vetor generalzado nodal corresponda ao momento concentrado no nó. Logo, tem-se que: n B M B B g A dreção de g M g M aplcado. (79) B é dada pelo versor ortogonal ao vetor generalzado g, g n g, g g j j g g g :. (80)

110 0 Capítulo 4 Elemento fnto de pórtco plano homogêneo representar o vetor Defndos o módulo e a dreção da força que compõe o bnáro, pode-se, então, B como: M, M B B n B g g B g, g j j g g g. (8) Retornando a expressão da energa potencal equvalente na Equação (78), dentfcam-se os conjugados energétcos assocados às componentes g e g do vetor generalzado pertencente ao nó com momento concentrado aplcado. Da Equação (8), esses conjugados são dados, respectvamente, por: B B M g conjugado de g j j g M g conjugado de j j g g g, g. Como pode ser observado na Equação (8), os conjugados energétcos são uma ação externa conservatva, pos dependem dos valores assumdos por g e B e (8) B não g. Assm, se justfca o termo equvalente atrbuído à energa potencal assocada às forças que compõem o bnáro. O artfíco de defnr uma energa potencal equvalente é utlzado somente para dentfcar os conjugados energétcos de g e de g. Portanto, como a formulação aqu desenvolvda emprega ações externas conservatvas que permtem defnr uma energa potencal assocada, a forma de consderar o efeto desses conjugados energétcos não conservatvos é nser-los dretamente nas equações de equlíbro correspondentes aos graus de lberdade g e g do nó onde o momento está aplcado. Assm, para satsfazer o equlíbro consderando a presença do momento, os conjugados energétcos B e (CODA; PACCOLA, 0). B são atualzados a cada teração durante o processo de solução Esse procedmento voltará a ser esclarecdo nos Itens e 4.3.5, referentes às equações de equlíbro e ao processo de solução, respectvamente Energa potencal total e equações de equlíbro A energa potencal total do elemento fnto é composta pelas parcelas da energa de deformação mas o potencal das ações externas atuantes (Equação (43)). Em um modelo

111 Capítulo 4 Elemento fnto de pórtco plano homogêneo dscreto, város elementos fntos são empregados para modelar a estrutura e a energa potencal total é dada pela soma das contrbuções de cada elemento ndvdualmente. Para smplfcar a contrbução de város elementos fntos na energa potencal total, a segunte assocação é adotada para dentfcar os graus de lberdade: gl : y y gl : y y gl : g g y gl : g g y na qual =,, 3, 4 dentfca localmente o nó, =,, 3, 4 dentfca o grau de lberdade. Os graus de lberdade e representam as posções, 3 e 4 representam as componentes g ( g ) e g ( g ) do vetor generalzado que são, então, dentfcadas como 3 y e Utlzando essa dentfcação, um vetor posção local 4 y. (83) y do elemento fnto contendo os dezesses graus de lberdade é defndo. A localzação de um dado grau de lberdade nesse vetor posção é determnada com auxílo do número do nó e do própro grau de lberdade nodal. A regra para localzação no vetor é dada por: ( grau de lberdade ) y ( nó local ) 4. (84) Uma dentfcação análoga à Equação (83) também é empregada para defnr o vetor de forças nternas F nt e o vetor de forças externas F ext do elemento. Nesses vetores, os termos com gual a e são componentes de forças nodas atuantes nas dreções globas e, respectvamente, e os termos com gual a 3 e 4 são conjugados energétcos das componentes g ( g ) e g ( g ) do vetor generalzado nodal, respectvamente. Nos modelos dscretos, há mutos elementos fntos e um mesmo nó pode pertencer a város elementos. Assm, defnem-se vetores posção y, força nterna F e força externa nt F globas que recebem contrbução de todos os elementos utlzados na dscretzação da ext estrutura. Para a montagem desses vetores globas, a mesma regra de dentfcação apresentada nas Equações (83) e (84) é empregada, mas a numeração do nó dexa de ser local e passa a ser a numeração global atrbuída durante a geração da malha, conforme lustra a Fgura 6. A relação da Equação (84) passa a ser: (grau de lberdade) y (nó global) 4 com,, 3, 4 e,, N (85) sendo N o número de nós da dscretzação.

112 Capítulo 4 Elemento fnto de pórtco plano homogêneo Assumndo a relação da Equação (85), a soma das contrbuções de cada elemento fnto na função de energa potencal total da estrutura pode ser realzada. Consderando a parcela de energa das ações externas (Equação (77)), pode-se reescrever a Equação (44) como: y U y P Q y, (86) na qual y representa a função de energa potencal total cuja determnação depende apenas do vetor posção atual y que contém os graus de lberdade de todos os nós utlzados na dscretzação. A determnação de y é feta através da solução do sstema de equações não lneares defndo na Equação (47), que tem o sgnfcado físco de equlíbro nodal. Na Equação (86), não há a parcela de energa equvalente devda a momentos concentrados. O efeto desses momentos é consderado somente na equação de equlíbro com a contrbução do bnáro correspondente externas. B dado pelas Equações (8) e (8) no vetor de forças Fgura 6 Assocação de dos elementos fntos de pórtco plano homogêneo Fonte: Coda (006). As equações de equlíbro foram obtdas por meo do prncípo da energa potencal total estaconára e estão defndas na Equação (47). Consderando a função de energa potencal total do elemento fnto de pórtco plano homogêneo, determnado na Equação (86), e os conjugados energétcos das Equações (8) e (8) devdo ao efeto de momentos concentrados, as equações de equlíbro podem ser escrtas como: F y P Q B y nt 0. (87)

113 Capítulo 4 Elemento fnto de pórtco plano homogêneo 3 Nessa equação, o vetor de forças nternas fo defndo na Equação (48) e calculado com quadratura de Gauss na Equação (49). Para o elemento de pórtco plano homogêneo descrto aqu, são empregados doze pontos de Gauss em todas as ntegrações numércas. Esses pontos são dstrbuídos em um domíno retangular com quatro pontos ao longo da dreção longtudnal e três pontos ao longo da dreção transversal. Na ocasão da defnção do vetor de forças nternas no Item 3.7, fcou pendente a descrção dos termos que compõem A y na Equação (53), pos dependem da função de mapeamento posconal adotada. Com a defnção de f, na Equação (69), de A, na Equação (7) e consderando a notação apresentada na Equação (83), A y fca representada por matrzes consttuídas de termos dferentes dependendo do grau de lberdade ao qual a dervada está sendo avalada. Assm, os termos de observado nas equações a segur: A y Φ A, y A y,, 0 Φ h 0, Φ Φ A, 4 y atuas 0 h,, 3 0 h0 Φ, 0, 0 Φ h 0. A y fcam defndos conforme pode ser Vale ressaltar que os termos dessas matrzes não dependem das posções nodas y. Assm, sua dervada segunda (88) A, que surge na defnção da matrz Hessana na y y Equação (63), é nula. Defndos todos os termos necessáros para calcular o vetor de forças nternas F nt y satsfazem a Equação de equlíbro (87)., o problema agora se resume em determnar as posções atuas y que

114 4 Capítulo 4 Elemento fnto de pórtco plano homogêneo Processo de solução O processo de solução empregado neste trabalho já fo apresentado no Item 3.8. Aqu são apresentados apenas alguns detalhes que dependem da formulação do elemento fnto desenvolvdo. Durante o processo de solução, as posções atuas y dos nós do pórtco não são conhecdas e posções-tentatva y são atrbuídas. Como essas posções não verfcam o tentatva equlíbro nodal representado pela Equação de equlíbro (87), gera-se um resíduo que corresponde ao vetor de desbalanceamento mecânco: R y F y P Q B y tentatva (89) nt tentatva tentatva Apesar de não ter sdo defnda uma energa potencal devda a momentos y tentatva concentrados, a parcela B é adconada no cálculo do vetor de desbalanceamento mecânco para que as posções de equlíbro encontradas consderem o efeto desses momentos. A matrz Hessana H y tentatva do elemento de pórtco plano homogêneo apresenta dmensão gual 4N, com N sendo o número de nós da dscretzação e 4 o número de graus de lberdade nodas. A localzação dos termos dessa matrz é feta segundo uma regra de atrbução semelhante à apresentada na Equação (84), no caso da Hessana do elemento, e na Equação (85), no caso da Hessana global da estrutura. A atrbução global segue a regra abaxo: Lnha: 4 H ytentatva com e,,3,4 e e,, N. (90) Coluna: 4 Essa matrz é determnada numercamente conforme apresentado na Equação (59) e a quantdade de pontos de Gauss empregada é a mesma utlzada para obter o vetor de forças nternas na Equação (49). Antes das análses numércas para verfcação da formulação, é necessáro descrever como é realzada a lgação entre elementos com dreções dferentes. É óbvo que para elementos colneares não é necessáro realzar a lgação, pos o vetor generalzado que representa a seção transversal é o mesmo para ambos os elementos. Como não há graus de lberdade de gro no mapeamento empregado, um procedmento especal de acoplamento entre elementos com dreções dferentes é necessáro. Esse procedmento é baseado na técnca de penalzação.

115 Capítulo 4 Elemento fnto de pórtco plano homogêneo Lgações entre elementos não colneares O acoplamento entre elementos com dreções dferentes é realzado através de um modelo de molas que permte representar lgações rígdas, semrrígdas e artculadas. O modelo desenvolvdo permte acoplar todos os graus de lberdade nodas. Para as posções, a mola trabalha com deslocamento relatvo entre os nós dos elementos e, para o vetor generalzado, a mola trabalha com o gro relatvo entre os vetores generalzados dos elementos. Na Fgura 7, lustra-se o modelo de acoplamento e apresenta a nomenclatura adotada para dentfcar os parâmetros de rgdez. Fgura 7 Modelo de acoplamento entre elementos Com esse modelo, é possível representar dferentes formas de acoplamento entre os elementos e sempre com a possbldade de ter a rgdez da lgação varando desde artculada até perfetamente rígda. Também é possível representar condções de contorno flexíves. Algumas possbldades de acoplamento estão lustradas na Fgura 8. Do ponto de vsta matemátco, esse modelo de acoplamento entre barras nada mas é do que o emprego de uma técnca para mposção de restrções conhecda como penalzação. Alguns modelos semelhantes aplcados a formulações posconas podem ser encontrados em Coda e Paccola (04), Res e Coda (04) e Slva (04) que demostram a smplcdade e efcênca dessa técnca.

116 6 Capítulo 4 Elemento fnto de pórtco plano homogêneo Fgura 8 Exemplos de possbldades para lgação entre elementos Fonte: Adaptado de Coda e Paccola (04). Apresentado o modelo de acoplamento, resta determnar as expressões para o cálculo da energa de deformação acumulada nas molas e, dessa forma, consderar sua contrbução na energa potencal total, expressa na Equação (86). A energa acumulada nas molas depende de grandezas relatvas entre os nós dos elementos acoplados. As molas de acoplamento das posções nodas relaconam força e deslocamento relatvo e a energa de deformação acumulada pode ser obtda por: U K ab yb ya, (9) na qual y a e y b são as componentes na dreção, dos deslocamentos nodas de a e b, respectvamente. K ab é a rgdez da mola ou fator de penalzação correspondente à dreção (Fgura 7). y a e posção na confguração ncal: y y x a a a y y x. b b b y b são obtdos pela dferença entre a posção do nó na confguração atual e a As molas de acoplamento dos vetores generalzados relaconam momento e rotação relatva entre os vetores. A energa potencal de deformação acumulada pode ser obtda por: p p U K ab b a, (93) na qual p e a p são as rotações acumuladas dos vetores generalzados b g a e respectvamente, desde a confguração ncal até à confguração correspondente ao ncremento (9) g b,

117 Capítulo 4 Elemento fnto de pórtco plano homogêneo 7 de carregamento p. K ab acumuladas são calculadas por: é a rgdez ou o fator de penalzação (Fgura 7). As rotações, p p p a a a, p b b b (94) sendo p a e p b as rotações acumuladas desde a confguração ncal até a confguração correspondente ao ncremento de carregamento anteror p. a e b são as rotações ocorrdas entre os passos de carregamento. Na Fgura 9, lustram-se essas rotações para o vetor generalzado g a. A dentfcação é análoga para o vetor g b. Na Equação (94) e na Fgura 9, p a, p b, p g a e p g b são valores conhecdos do ncremento de carregamento anteror. Assm, para determnar p e a p, é necessáro b calcular as rotações a e b ocorrdas entre os ncrementos anteror e atual. Uma relação para calcular a, e analogamente para b, pode ser obtda consderando os produtos vetoral e escalar entre os vetores generalzados p g e p g. a a Fgura 9 Identfcação das rotações de um vetor generalzado nodal A partr do produto vetoral, pode-se expressar o seno de a : g g g g g g e p p p p p p a a a a a a 3 g g g g sen p p p p a a a a a (95) sen g g g g p p p p a a a a a p g p a ga,

118 8 Capítulo 4 Elemento fnto de pórtco plano homogêneo sendo e 3 o versor da dreção 3 com sentdo postvo sando do plano. Na expressão do seno, o numerador fornece o snal correspondente ao sentdo da rotação de g a entre os ncrementos de carregamento p e p. Utlzando a mesma dea e o produto escalar, pode-se expressar o cosseno de a : g g g g g g p p p p p p a a a a a a g g g g cos p p p p a a a a a (96) cos g g g g p p p p a a a a a p g p a ga. Conhecdo o seno e o cosseno, a tangente pode ser calculada por: tan g g g g p p p p a a a a a p p p p ga ga ga ga (97) e o ângulo a fca determnado pela nversa: p p p p ga ga ga ga a arctan com. p p p p a ga ga ga ga do vetor Para que o ângulo fornecdo pela função arco tangente seja coerente com a rotação g a entre os ncrementos de carregamento p e p, é necessáro que a dmensão desse ncremento não resulte em uma rotação fora do ntervalo. Com essa restrção, a função arco tangente fornece o valor correto do ângulo, pos o denomnador assume sempre valores postvos e o numerador fca com o snal coerente ao sentdo da rotação (postvo se ant-horáro e negatvo se horáro). Isso não consttu uma lmtação mportante, pos o própro processo de solução ncremental-teratvo já exge o emprego de ncrementos de carga adequados para que haja convergênca. Analogamente b é dado por: p p p p gb gb gb gb b arctan com. p p p p b gb gb gb gb Defndos todos os termos necessáros para calcular a energa potencal de deformação das molas de lgação nas Equações (9) e (93), pode-se determnar a contrbução no vetor de força nterna e na matrz Hessana globas da estrutura. Consderando ncalmente as molas de acoplamento das posções nodas, a contrbução no vetor de forças nternas pode ser a (98) (99)

119 Capítulo 4 Elemento fnto de pórtco plano homogêneo 9 obtda com a dervada da energa de deformação (Equação (9)) em relação às posções nodas acopladas. Logo, tem-se que: U F F K y y ( ) nta nta ab b a ya U F F K y y ( ) ntb ntb ab b a yb com,, (00) na qual se observou a Equação (9) para defnr a dervada. A contrbução dessas componentes no vetor de força nterna segue a mesma regra de atrbução apresentada na Equação (85). Para determnar a contrbução na matrz Hessana, aplca-se a segunda dervada na energa de deformação em relação às posções nodas acopladas. Consderando a prmera dervada calculada na Equação (00) e observando novamente a Equação (9), chegam-se aos termos não nulos da matrz Hessana: F H H K ( ) nta ( ) aa ( ) aa ab ya F H H K ( ) nta ( ) ab ( ) ab ab yb F H H K ( ) ntb ( ) bb ( ) bb ab yb (0) F H H K ( ) ntb ( ) b a ( ) b a ab ya com,. A contrbução desses termos na matrz Hessana é realzada de acordo com a regra de atrbução apresentada na Equação (90). Em relação às molas de acoplamento dos vetores generalzados nodas, a contrbução no vetor de força nterna global da estrutura pode ser obtda com a dervada da energa de deformação (Equação (93)) em relação às componentes dos vetores generalzados do ncremento de carregamento atual p. As forças nternas resultantes das molas de acoplamento dos vetores generalzados consttuem conjugados energétcos desses vetores. Assm, deve-se consderar a assocação apresentada na Equação (83) para dentfcar os graus de lberdade nodas no elemento de pórtco plano homogêneo e a regra da Equação (85) para a atrbução no vetor de força nterna global. A fm de smplfcar a notação, os vetores generalzados referentes ao ncremento de carregamento p serão representados nas equações seguntes smplesmente por g b = ( g b, g b ). g a = ( g a, g a ) e

120 0 Capítulo 4 Elemento fnto de pórtco plano homogêneo Para calcular a dervada, é mportante salentar que os vetores generalzados do ncremento anteror p são valores constantes, conhecdos e, portanto, não são ncógntas do problema. Além dsso, devem ser observadas as Equações (94), (98), (99) e a aplcação da regra da cadea. Por exemplo, o cálculo do conjugado energétco referente à componente F U U U p 3 3 a a nta = F 3 nta p ya g a a a g a g a é obtdo por:, (0) observando a expressão da energa na Equação (93) e a da rotação na Equação (94), tem-se: F K 3 p p a nta ab b a g a. (03) De forma análoga, procede-se para os demas conjugados energétcos. Fcando todas as componentes expressas por: F F F F K 3 p p a nta ab b a g a K 4 p p a nta ab b a g a K 3 p p b ntb ab b a gb K. 4 p p b ntb ab b a gb As dervadas de a e (04) b em relação às componentes dos vetores generalzados podem ser determnadas a partr de suas Equações (98) e (99), respectvamente. Essas dervadas são dadas por: g g g a a a a a g g a a ga g b b b b b g g b b gb g g, (05) que substtundo na Equação (04), resultam nas expressões fnas para os conjugados energétcos dos vetores generalzados acoplados: 3 p p a nta ab b a ga F K g (06)

121 Capítulo 4 Elemento fnto de pórtco plano homogêneo 4 p p a nta ab b a ga F K g 3 p p b ntb ab b a gb F K g (06) 4 p p b ntb ab b a gb F K g. A contrbução da mola de acoplamento dos vetores generalzados na matrz Hessana é obtda a partr da segunda dervada da energa de deformação (Equação (93)) em relação às componentes dos vetores generalzados do ncremento de carregamento atual p. Os resultados da prmera dervada já estão representados na Equação (06). Novamente, a contrbução na matrz Hessana global da estrutura se faz de acordo com a regra de atrbução apresentada na Equação (90). Consderando a Equação (06) e observando as Equações (94), (98) e (99), os termos não nulos da Hessana devdos à mola de acoplamento dos vetores generalzados podem ser determnados. Tomemos, por exemplo, o termo da matrz Hessana H F F nta nta aa = 3 ya ga 33 H aa : 0 g a p a 33 a ga p p ga a a ab ab b a 4 g a g a ga H K K g. (07) p a Através da regra da cadea, a dervada g a é expressa por: p p p a a a a a ga a ga ga ga Consderando a Equação (05), obtém-se: g p a a ga ga. (08). (09) Para completar a defnção da Equação (07), a dervada g a g a pode ser expressa por:

122 Capítulo 4 Elemento fnto de pórtco plano homogêneo g ga ga a ga a a a g g g com sso, o termo 33 H aa fca determnado por: g a, (0) K H g g g g 33 ab a a 4 a a a b a a p p. () Operando de forma análoga, todos os termos da matrz Hessana devdos à mola de acoplamento dos vetores generalzados podem ser determnados e estão representados pelo conjunto de Equações (). K H g g g g 33 ab a a 4 a a a b a a p p K H g g g g H H 34 ab p p a a 4 a a a a b a e a a a a g a K H g g H H g g 33 ab a b e a b b a a b a b K H g g H H g g 34 ab a b e a b b a a b a b K H g g g g 44 ab a a 4 a a a b a a p p K H g g H H g g 43 ab a b e a b b a a b a b () K H g g H H g g 44 ab a b e a b b a a b a K H g g g g b 33 ab b b 4 b b b b a b p p K H g g g g H H 34 ab p p b b 4 b b b b b a e b b b b g b K H g g g g 44 ab b b 4 b b b b a b p p. A fm de verfcar a formulação do elemento de pórtco plano homogêneo, város exemplos foram analsados e os resultados obtdos são apresentados no tem segunte e comparados aos resultados de soluções analítcas e numércas encontradas na lteratura.

123 Capítulo 4 Elemento fnto de pórtco plano homogêneo Exemplos numércos Neste tem, são apresentados os resultados de análses realzadas em exemplos com soluções analítcas e numércas dsponíves na lteratura. Os exemplos foram organzados em três conjuntos de forma a avalar dferentes aspectos da formulação aqu desenvolvda. No prmero conjunto, analsa-se uma vga com extremdades engastada e lvre submetda aos três tpos de ações externas possíves de serem consderadas na formulação do elemento, que são: força concentrada, momento concentrado e força dstrbuída. O objetvo prncpal é verfcar a capacdade da formulação de resolver problemas submetdos a esses dferentes tpos de ações externas. Além dsso, também se faz uma análse de convergênca para avalar a efcênca do elemento fnto. No segundo conjunto, três pórtcos com geometra smétrca são analsados. Os pórtcos são o losango com nós artculados e rígdos, o quadrado com todos os nós rígdos e o arco achatado senodal. O nteresse maor na análse desses pórtcos resde em verfcar a capacdade de solução de problemas com dferentes geometras e condções de contorno. Por fm, o tercero conjunto de exemplos é formado por um pórtco com dos níves ou pavmentos. Dferentes análses são realzadas nas quas as condções de contorno são consttuídas por apoos smples, apoos com rgdez elástca à rotação e engastes. As lgações entre as barras são consderadas rígdas e semrrígdas com três valores dferentes para a rgdez à rotação. Dessa forma, espera-se verfcar prncpalmente a capacdade da formulação em representar o comportamento de pórtcos formados por lgações semrrígdas. Os resultados obtdos são comparados com soluções analítcas e numércas encontradas na lteratura, bem como, com resultados numércos fornecdos por análses realzadas no software Ansys. O elemento fnto BEAM88 com funções de forma cúbcas fo empregado para modelar as barras do pórtco. A formulação do BEAM88 adota as hpóteses cnemátcas de Ressner-Tmosheno que correspondem às mesmas hpóteses do elemento desenvolvdo neste trabalho. O elemento de acoplamento COMBIN40 com comportamento lnear-elástco para as relações rotação-momento e deslocamento-força fo empregado para modelar as lgações semrrígdas. Buscam-se com essas análses verfcar os dversos aspectos da formulação do elemento de pórtco plano homogêneo e também avalar sua efcênca e consstênca.

124 4 Capítulo 4 Elemento fnto de pórtco plano homogêneo 4.4. Exemplo 4.: Vga em balanço solctada por ações externas varadas Neste prmero exemplo, analsa-se uma vga em balanço sujeta a três tpos de ações externas, conforme está lustrado na Fgura 30. As característcas geométrcas da seção transversal e os parâmetros elástcos do materal também estão representados na referda fgura. Em todas as análses, as ações externas foram aplcadas em 0 ncrementos guas e o processo de solução baseado no método de Newton-Raphson fo controlado por meo dos crtéros de convergênca em posção e em força com tolerâncas de 0-9 e 0-6 respectvamente. A fm de avalar a capacdade de convergênca da formulação, a vga fo dscretzada com um número de elementos fntos varando entre,, 4, 8 e 6. Fgura 30 Geometra, carregamento e parâmetros elástcos do Exemplo 4. Os resultados das análses são apresentados através das trajetóras de equlíbro referentes aos deslocamentos horzontal (u) e vertcal (v) do nó da extremdade dreta (Fgura 3, Fgura 3 e Fgura 33). Para comparação e verfcação dos resultados obtdos com o elemento desenvolvdo neste trabalho, são mostrados nas curvas de equlíbro os resultados das seguntes soluções: analítca apresentada por Mattasson (98) para o caso com força concentrada na extremdade dreta (Fgura 3); analítca de Hsao (987) para o caso com momento concentrado na extremdade dreta (Fgura 3); numérca de Wang, Lee e Zenewcz (96) e de Yang (973) para o caso com força dstrbuída (Fgura 33). Em todos os casos, também foram realzadas análses numércas no Ansys e os resultados estão representados nas trajetóras de equlíbro. A vga fo dscretzada com dezesses elementos BEAM88.

125 Capítulo 4 Elemento fnto de pórtco plano homogêneo 5 Fgura 3 Trajetóra de equlíbro para a vga com força concentrada

126 6 Capítulo 4 Elemento fnto de pórtco plano homogêneo Fgura 3 Trajetóra de equlíbro para a vga com momento concentrado Fgura 33 Trajetóra de equlíbro para a vga com força dstrbuída

127 Capítulo 4 Elemento fnto de pórtco plano homogêneo 7 Os resultados das análses para os três casos de carregamento consderados neste exemplo apresentaram excelente concordânca com os dversos resultados analítcos e numércos utlzados como referênca. Apenas o caso com força dstrbuída apresentou uma dferença sgnfcatva em relação aos resultados obtdos com o Ansys que representaram um comportamento bem mas flexível. Apesar dsso, as comparações com os resultados numércos de Wang, Lee e Zenewcz (96) e de Yang (973) verfcam a consstênca da formulação posconal. Uma verfcação sobre o procedmento correto para aplcação do carregamento dstrbuído fo realzada e não fo encontrado nenhum erro na forma como o exemplo fo modelado no Ansys. A justfcatva para a dscrepânca sgnfcatva dos resultados exge, portanto, uma nvestgação mas crterosa sobre a forma como a força dstrbuída é transformada em forças nodas equvalentes na formulação do elemento BEAM88, não sendo objetvo da presente pesqusa. Dante da ótma concordânca dos resultados apresentados pelo elemento de pórtco posconal com os resultados analítcos e numércos de referênca, consdera-se verfcada a capacdade da formulação em representar corretamente o efeto das prncpas ações externas presentes nos modelos de pórtcos. Em relação à análse de convergênca, observou-se uma convergênca quadrátca do refnamento h realzado e pratcamente não houve melhora sgnfcatva na resposta a partr de uma dscretzação com quatro elementos fntos. Na Fgura 34, estão representadas dversas confgurações deformadas da vga com os deslocamentos correspondentes às dreções globas e lustrados por meo de um esquema de cores. As magens foram obtdas com o software de pós-processamento AcadVew. Deslocamento (m) na dreção Deslocamento (m) na dreção a) Vga com força concentrada. P = 0, P = 0, P = 0, P = 0, P = 0,4 P = 0,4 P = P = 0,7 P = P = 0,7... contnua

128 8 Capítulo 4 Elemento fnto de pórtco plano homogêneo... conclusão Deslocamento (m) na dreção Deslocamento (m) na dreção b) Vga com momento concentrado. M = 0,65 M = 0,65 M = 5,85 M = 5,85 M = 3,90 M =,95 M = 3,90 M =,95 c) Vga com força dstrbuída. q = 0,0 q = 0,0 q = 0,03 q = 0,03 q = 0,06 q = 0,06 q = 0, q = 0, Fgura 34 Confgurações deslocadas das vgas em balanço para alguns ncrementos de carga 4.4. Exemplo 4.: Pórtcos planos com dferentes geometras e condções de contorno Neste segundo conjunto de exemplos, dos quadros com formas de losango e de quadrado são analsados. A geometra, o carregamento e os parâmetros elástcos dos materas empregados estão representados na Fgura 35. Devdo à dupla smetra, somente um quarto dos quadros fo consderado, o que possbltou a representação de dferentes condções de contorno. Um tercero pórtco cuja forma é representada por um arco achatado senodal também é analsado. Neste exemplo, avalam-se prncpalmente: o acoplamento rígdo entre elementos com dreções dferentes, a representação aproxmada de uma geometra senodal a partr de uma geometra polnomal cúbca e a solução por meo de um procedmento no qual a posção é controlada em vez da força. Na Fgura 35, também estão lustradas as característcas do arco.

129 Capítulo 4 Elemento fnto de pórtco plano homogêneo 9 Fgura 35 Geometra, carregamento e parâmetros elástcos do Exemplo 4. Nas análses dos quadros, o processo de solução baseado no método de Newton- Raphson é empregado. A força concentrada é aplcada em 0 ncrementos guas e os crtéros de convergênca adotados são em posção e em força com tolerâncas de 0-9 e 0-6 respectvamente. Duas stuações são consderadas: uma com a força postva (traconando) e uma com a força negatva (comprmndo). Os resultados das análses são apresentados através das trajetóras de equlíbro referentes aos deslocamentos horzontal (u) do nó dreto e vertcal (v) do nó superor (Fgura 36 e Fgura 37). Além dsso, os resultados da solução analítca fornecda por Mattasson (98) e das análses numércas realzadas no Ansys também estão representados nas trajetóras de equlíbro para possbltar uma avalação da resposta obtda. No Ansys, a estrutura fo novamente dscretzada com o elemento BEAM88.

130 30 Capítulo 4 Elemento fnto de pórtco plano homogêneo Na análse do arco achatado senodal, o processo de solução com controle de posção é realzado por meo da restrção da posção vertcal do nó superor. Nesse processo, um deslocamento prescrto de 0,54m é aplcado em 0 ncrementos guas e, a cada ncremento, o método de Newton-Raphson é novamente empregado para a determnação das posções na confguração atual dos demas nós lvres. O controle de posção é necessáro porque as confgurações atuas do arco achatado apresentam pontos lmtes e trechos alternados de equlíbro estável e nstável, caracterzando o fenômeno de snap-through. Os crtéros de convergênca adotados são os mesmos dos quadros. Esse problema fo apresentado por Mee e Tan (984) cujos resultados numércos são empregados como referênca para comparação. Além dsso, os resultados de uma análse numérca realzada no Ansys com o elemento BEAM88 também são utlzados. A comparação e avalação dos resultados obtdos com o elemento posconal são fetas a partr da trajetóra de equlíbro referente ao deslocamento vertcal (v) do nó superor, conforme está lustrado na Fgura 38. A fm de avalar a capacdade de convergênca da formulação, todos os casos foram analsados varando a dscretzação em,, 4, 8 e 6 elementos fntos por barra ou trecho. Novamente, dentfcou-se convergênca dos resultados a partr de 4 elementos. Dessa forma, essa é a dscretzação adotada. Analsando as curvas de equlíbro para os três problemas consderados, verfca-se uma excelente concordânca entre os resultados obtdos com a formulação posconal do elemento de pórtco plano homogêneo e os resultados analítcos e numércos empregados como referênca. Assm, fca demonstrada a robustez do elemento fnto para modelar e soluconar problemas de pórtcos planos com geometras e condções de contorno dversas. O processo de solução com controle de posção também mostrou ser bastante efcente para resolver problemas cujas confgurações atuas passam por pontos lmtes e por equlíbros estáves e nstáves. Além de tudo sso, pode-se verfcar que as confgurações atuas obtdas e representadas na Fgura 39 são qualtatvamente coerentes com o comportamento estrutural esperado em função da geometra e do carregamento atuante nas estruturas analsadas.

131 Capítulo 4 Elemento fnto de pórtco plano homogêneo 3 Fgura 36 Trajetóra de equlíbro para o quadro em forma de losango

132 3 Capítulo 4 Elemento fnto de pórtco plano homogêneo Fgura 37 Trajetóra de equlíbro para o quadro em forma de quadrado Fgura 38 Trajetóra de equlíbro para o arco achatado senodal

133 Capítulo 4 Elemento fnto de pórtco plano homogêneo 33 Deslocamento (m) na dreção Deslocamento (m) na dreção Quarta parte do quadro em forma de losango (P < 0) P = - 0, P = - 0, P = - 0, P = - 0, P = - 0,3 P = - 0,3 P = - 0,5 P = - 0,5 P = - 0,8 P = - Quarta parte do quadro em forma de losango (P > 0) P = - 0,8 P = - P = 0,6 P = P = 0,3 P = 0, P = 0,6 P = P = 0,3 P = 0, Quarta parte do quadro em forma de quadrado (P < 0) P = - 0,04 P = - 0, P = - 0,04 P = - 0, P = - 0,4 P = - 0,4 P = - 0,4 P = - 0,4 contnua...

134 34 Capítulo 4 Elemento fnto de pórtco plano homogêneo... conclusão Deslocamento (m) na dreção Deslocamento (m) na dreção Quarta parte do quadro em forma de quadrado (P > 0) P = 0,4 P = 0,4 P = 0, P = 0,04 P = 0,4 P = 0,4 P = 0, P = 0,04 Arco achatado senodal v = 0,054 v = 0,076 v = 0,70 v = 0,03 v = 0,540 Fgura 39 Confgurações atuas dos quadros e do arco para alguns ncrementos de carga ou posção Exemplo 4.3: Pórtco com lgações semrrígdas No exemplo anteror, verfcou-se a efcênca da formulação para representar problemas com dferentes condções de contorno e com lgações artculadas ou rígdas entre as barras do pórtco. Como mostrado no Item 4.3.6, qualquer relação elástca lnear para as lgações e para os apoos podem ser modeladas com a técnca de penalzação. Nesse sentdo, este últmo conjunto de exemplos avala prncpalmente este aspecto. Para sso, três problemas de pórtcos com lgações semrrígdas são estudados. Os pórtcos apresentam geometra e carregamentos semelhantes, modfcando-se apenas as condções de contorno, que são formadas por apoos smples no prmero problema, por apoos smples com uma rgdez elástca a rotação no segundo e por engastes no tercero. No segundo problema, a rgdez à rotação do apoo é de 990,7Nm que corresponde a 0,EI L plar.

135 Capítulo 4 Elemento fnto de pórtco plano homogêneo 35 Em cada um dos pórtcos, quatro análses são realzadas: uma consderando as lgações rígdas e as outras três consderando as lgações semrrígdas com rgdez à rotação de 449Nm, 9730Nm e 30705Nm, respectvamente. Estes problemas consttuem uma mportante referênca encontrada na lteratura e foram propostos orgnalmente por Lu e Chen (988). Alguns trabalhos que os utlzaram para verfcação das formulações propostas são os de Chan e Chu (000), de Pnhero e Slvera (005) e de Res e Coda (04). Lu e Chen (988) consderaram relações momento-rotação não lneares para as lgações semrrígdas. No presente trabalho, essas relações são consderadas elástco-lneares e, portanto, somente os resultados para o caso estudado por esses autores com lgações rígdas foram utlzados como referênca para comparação. Para os problemas com lgações semrrígdas, e também com lgação rígda, são utlzados os resultados obtdos de análses realzadas no Ansys com emprego do elemento BEAM88 para modelagem das barras e do elemento de acoplamento COMBIN40 para modelagem das lgações semrrígdas. O processo ncremental-teratvo empregado fo dêntco ao das análses com a formulação posconal que consstu em aplcar ncrementos guas de 50N até a perda de establdade do pórtco. As confgurações atuas correspondentes a cada ncremento foram determnadas através do método de Newton-Raphson com tolerâncas de 0-9 e 0-6 para os crtéros de convergênca em posção e em força, respectvamente. A geometra, o carregamento e os parâmetros elástcos dos materas empregados estão representados na Fgura 40. Lu e Chen (988) consderaram seções transversas correspondentes aos perfs metálcos W4x48 I, m, A 9, m 4 4 para as vgas e Wx96 I 3, m, A,894 0 m para os plares. Nos modelos estruturas de pórtco, as seções transversas podem ser representadas por parâmetros geométrcos geras como a nérca e a área. Assm, todas as análses consderaram seções transversas retangulares com dmensões tas que a nérca e a área são equvalentes a dos perfs metálcos empregados por Lu e Chen (988). Dante dos resultados dos dos exemplos anterores, a dscretzação adotada para modelagem dos pórtcos é composta de quatro elementos fntos por trecho nos plares e ses elementos fntos nas vgas. Essa quantdade de ses elementos fo utlzada somente para manter a mesma proporção dmensonal dos elementos fntos dos trechos de plares, pos quatro elementos por barra já conduz a resultados convergentes.

136 36 Capítulo 4 Elemento fnto de pórtco plano homogêneo Fgura 40 Geometra, carregamento e parâmetros elástcos do Exemplo 4.3 Como dto anterormente, o carregamento fo ncrementado até a desestablzação dos pórtcos que fo dentfcada pela formação de trechos com rgdez muto baxa nas trajetóras de equlíbro referentes ao deslocamento horzontal do nó superor esquerdo. Essas trajetóras estão lustradas na Fgura 4, Fgura 4 e Fgura 43 e foram representadas até um deslocamento correspondente a 0,30m. Para esse nível de deslocamento, é possível dentfcar a perda de establdade em todos os casos estudados.

137 Capítulo 4 Elemento fnto de pórtco plano homogêneo 37 Fgura 4 Trajetóras de equlíbro para o pórtco com apoos smples (superor). Trecho ncal (nferor) Fgura 4 Trajetóras de equlíbro para o pórtco com apoos smples com uma rgdez elástca à rotação (superor). Trecho ncal (nferor).

138 38 Capítulo 4 Elemento fnto de pórtco plano homogêneo Fgura 43 Trajetóras de equlíbro para o pórtco com apoos engastados (superor). Trecho ncal (nferor). Os resultados obtdos com a formulação posconal foram bastante coerentes, pos, em todas as análses, os pórtcos apresentaram maor capacdade de carga à medda que a rgdez das lgações fo aumentada. Além dsso, ao compararmos os resultados das análses de uma mesma rgdez da lgação, observa-se maor capacdade de carga com o aumento da rgdez à rotação dos apoos. Portanto, a nfluênca sgnfcatva da rgdez das lgações e dos apoos para establdade de um pórtco não contraventado fo verfcada e está em conformdade com as conclusões análogas constatadas por Lu e Chen (988) e por Chan e Chu (000). Em todas as trajetóras de equlíbro, os resultados da formulação posconal pratcamente concdem com os obtdos utlzando o Ansys, mostrando a consstênca da formulação. Apesar dsso, os resultados fornecdos por Lu e Chen (988) para o caso de lgações rígdas representaram um comportamento um pouco mas flexível nos trechos onde há perda de establdade. No entanto, as dferenças nas forças aplcadas representam um erro máxmo, em

139 Capítulo 4 Elemento fnto de pórtco plano homogêneo 39 relação aos resultados de Lu e Chen (988), de 0,4%,,3% e 0,5% para os casos com apoo smples, apoo elástco à rotação e apoo engastado, respectvamente. Esse erro, portanto, é pequeno dante dos seguntes aspectos: característcas bastante dstntas entre a formulação posconal e a formulação de Lu e Chen (988) que é corrotaconal com emprego da cnemátca de Euler-Bernoull e da le consttutva de Hooe e que adota um elemento fnto híbrdo para modelar as barras com lgações semrrígdas; não dentfcação das tolerâncas empregadas nos crtéros de convergênca, bem como, do processo ncremental adotado por Lu e Chen (988); representação da seção transversal na formulação posconal e nas análses realzadas no Ansys com uma seção retangular equvalente. 4.5 Consderações A análse dos três conjuntos de exemplos mostrou que a formulação posconal do elemento de pórtco plano homogêneo proposta neste capítulo é bastante consstente, efcente e robusta para resolver problemas estruturas representados com modelos de pórtco plano sujetos a efetos não lneares orundos da ocorrênca de grandes deslocamentos e rotações. O elemento apresenta um grau de lberdade a mas (4 por nó) se comparado às formulações que trabalham com o gro da seção nodal como grau de lberdade. No entanto, as dstrbuções de tensões de csalhamento e tensões axas na dreção transversal podem ser representadas de forma mas precsa e justfcam plenamente um possível aumento de custo computaconal gerado por esse grau de lberdade a mas. A capacdade de representar dferentes tpos de carregamentos como forças e momentos concentrados e forças dstrbuídas fo verfcada no prmero conjunto de exemplos. Mostrou-se também a convergênca a partr de uma dscretzação em quatro elementos por barra. Os resultados obtdos foram excelentes, pos pratcamente concdram com os resultados analítcos e numércos encontrados na lteratura. No segundo conjunto de exemplos, dferentes tpos de condções de contorno e o acoplamento entre elementos com dreções dferentes foram avalados. Os resultados novamente foram ótmos. O processo de solução com controle de posção fo empregado para resolver o problema do arco achatado senodal e se mostrou efcente para determnar confgurações de equlíbro crítcas e nstáves, típcas do fenômeno de snap-through.

140 40 Capítulo 4 Elemento fnto de pórtco plano homogêneo Por fm, o foco se concentrou na avalação da consstênca da técnca de penalzação adotada para realzar o acoplamento entre barras e também para representar lgações semrrígdas e apoos flexíves com comportamento elástco lnear. Os resultados das análses dos três pórtcos com dferentes condções de contorno e dferentes rgdezes das lgações foram bastante consstentes e representaram coerentemente o efeto das lgações e das condções de contorno no comportamento estrutural. Os resultados obtdos com o Ansys pratcamente concdram com os resultados da formulação posconal. Dante de todas essas observações, pode-se afrmar que a formulação tem elevada capacdade de soluconar problemas não lneares geométrcos de modelos estruturas formados por pórtcos planos submetdos a ações externas dversas e consttuídos por lgações rotuladas, rígdas ou semrrígdas e dferentes condções de contorno, podendo ser rígdas ou flexíves. É mportante ressaltar também que a mplementação computaconal realzada em lnguagem FORTRAN fo feta corretamente e, portanto, está verfcada.

141 5 ELEMENTO FINITO DE PÓRTICO PLANO LAMINADO CAPÍTULO 5 ELEMENTO FINITO DE PÓRTICO PLANO LAMINADO 5. Introdução Neste capítulo, a formulação do elemento fnto de pórtco plano lamnado é detalhada. Suas característcas geras são dêntcas àquelas apresentadas no Capítulo 3 e, portanto, somente os aspectos partculares são descrtos. A cnemátca do elemento lamnado é semelhante a do elemento homogêneo quando a seção transversal é composta por apenas uma lâmna. No caso de seções lamnadas, uma expansão da cnemátca do elemento homogêneo é realzada de forma a permtr que as lâmnas tenham a possbldade de gro ndependente e varação de espessura, mas com posções de nterface compatblzadas. Isso é feto atrbundo vetores generalzados nodas ndependentes à seção de cada lâmna. O mapeamento posconal do elemento nas confgurações ncal e atual é realzado a partr das posções de uma lnha de referênca que pode estar localzada em qualquer lâmna. Dessa forma, os graus de lberdade do elemento são consttuídos pelas posções dos nós na lnha de referênca e por vetores generalzados que defnem o plano da seção de cada lâmna. O elemento desenvolvdo possblta haver dferentes materas homogêneos e sotrópcos em cada lâmna e o modelo consttutvo utlzado para representar o comportamento desses materas é aquele apresentado no Item 3.4. Nos Capítulos e, foram descrtos os aspectos mportantes a serem consderados nas formulações para análse de lamnados com vstas a detecção do processo de falha. Como comentado, a teora Layerwse assume hpóteses que permtem a representação da ansotropa no plano do lamnado, da heterogenedade transversal, do efeto Zg-Zag e da contnudade nterlamnar. O elemento fnto proposto neste trabalho apresenta uma cnemátca baseada na teora Layerwse, mas com posções compatblzadas ntrnsecamente pelas própras funções de mapeamento posconal. A formulação é não lnear geométrca com a possbldade de ocorrênca de grandes deslocamentos e rotações e a cnemátca proposta permte representar o efeto

142 4 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado Zg-Zag e a heterogenedade transversal. A ansotropa no plano do lamnado não é consderada, pos o modelo estrutural é de pórtco plano. Dstrbuções de tensão axal na dreção longtudnal e prncpalmente de tensão axal e de csalhamento na dreção transversal são obtdas com excelente precsão. A contnudade nterlamnar das tensões transversas não é garantda, mas a descontnudade é menor, pos as deformações transversas fcam descontínuas devdo ao gro ndependente das lâmnas. Essa descontnudade das tensões transversas pode ser reduzda aumentando a dscretzação da seção, já que o número de lâmnas do modelo numérco é ndependente do número de lâmnas que compõe o lamnado. Feto sso, a contnudade nterlamnar é faclmente recuperada calculando a méda das tensões obtdas para as lâmnas adjacentes a uma dada nterface. O elemento proposto permte a análse de pórtcos planos consttuídos por lamnados fnos ou espessos, não fcando sujeto a problemas de mau condconamento matrcal para esses tpos de problemas. O mau condconamento surge na modelagem de lamnados fnos e devdo presença de lâmnas fnas, mesmo em lamnados espessos. Grandes varações de propredades elástcas dos materas consttuntes das lâmnas podem também levar a problemas de mau condconamento matrcal. Assm, quando são empregados elementos fntos bdmensonas ou elementos fntos desenvolvdos com base na teora Layerwse de Reddy (004a) para analsar pórtcos planos lamnados, mprecsões nos resultados para as dstrbuções de tensão, prncpalmente as transversas, podem surgr, exgndo um refnamento excessvo da malha de elementos fntos para evtar o mau condconamento. O elemento fnto proposto neste trabalho é uma alternatva, pos com malhas bem menos refnadas é possível obter resultados precsos para as dstrbuções de deslocamentos e tensões ao longo da seção transversal do lamnado, vablzando, portanto, futuras modelagens do processo de falha por delamnação ou deslzamento. Além da descrção do elemento fnto neste capítulo, são apresentados também os resultados de análses não lneares geométrcas realzadas em exemplos de vgas lamnadas que possuem resultados numércos e analítcos dsponíves na lteratura. Exemplos de pórtcos planos lamnados também são propostos e analsados. Em todos os exemplos, são fetas análses numércas no software Ansys utlzando elementos fntos bdmensonas. O objetvo é verfcar os resultados obtdos com o elemento proposto neste trabalho e comparar sua efcênca em relação aos elementos fntos bdmensonas. Além dsso, as análses são realzadas a fm de verfcar a consstênca, a efcênca e a robustez da formulação no que dz respeto prncpalmente à representação correta das dstrbuções de tensões.

143 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado 43 Um códgo computaconal fo desenvolvdo com a mplementação da formulação em lnguagem de programação FORTRAN. Os resultados das análses são fornecdos pelo programa por meo de arquvos de saída de dados que permtem a construção de trajetóras de equlíbro, a vsualzação das confgurações atuas e a vsualzação das dstrbuções de deslocamentos, deformações e tensões. O software de pós-processamento AcadVew é empregado para a vsualzação dos resultados. 5. Mapeamento posconal das confgurações ncal e atual O mapeamento do elemento fnto de pórtco plano lamnado é realzado a partr da nterpolação das posções de pontos nodas localzados em uma lnha de referênca (lr - com letras mnúsculas) e dos vetores generalzados tangentes aos planos nodas de cada lâmna. Com essa nterpolação, é possível defnr as posções de qualquer ponto do elemento. O mapeamento posconal é realzado de manera tal que a lnha de referênca pode ser atrbuída a qualquer lâmna e não há necessdade de estar localzada no centro da lâmna Essa lberdade para escolha do posconamento da lnha de referênca permte atrbur restrção nas posções de nós localzados em qualquer ponto da seção transversal do elemento e não somente no centrode da seção como no caso do elemento de pórtco plano homogêneo. A confguração ncal e a confguração atual têm suas posções mapeadas de manera semelhante. Na confguração ncal, a localzação da lnha de referênca e as posções dos nós são nformações fornecdas durante o pré-processamento. Os vetores generalzados são untáros, normas à lnha de referênca e podem ser obtdos a partr do vetor tangente. Na confguração atual, as posções dos nós da lnha de referênca e os vetores generalzados de cada lâmna consttuem os graus de lberdade do elemento, sendo as ncógntas do problema não lnear. Na Fgura 44, lustra-se a dea do mapeamento posconal para um elemento consttuído por cnco lâmnas e grau cúbco para a nterpolação polnomal longtudnal empregada. Para permtr a localzação da lnha de referênca em qualquer lâmna e em uma posção qualquer dentro desta lâmna, o mapeamento posconal de uma determnada lâmna nas confgurações ncal e atual depende se essa lâmna concde com a Lâmna de Referênca (LR - com letras maúsculas) ou se está acma ou abaxo desta. Dessa forma, três expressões dstntas para o mapeamento posconal são necessáras.

144 44 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado Fgura 44 Mapeamento posconal do elemento de pórtco plano lamnado Seja uma lâmna a ser mapeada na confguração ncal. As equações do mapeamento posconal fcam expressas por: a) Mapeamento para a lâmna gual à Lâmna de Referênca (LR): f x 0 x,, e d Φ v Φ x Φ, j j j j w w com =, e j,w =,, gr. Nessa equação, 0 f, confguração ncal x, (3) representa a função de mapeamento posconal da a partr do espaço admensonal para a lâmna = LR, x, representa a posção ncal na dreção de um ponto qualquer localzado em, é a posção na dreção do nó j localzado na lnha de referênca (lr), nó j na lnha de referênca e o centro da lâmna, e x j d j é a dstanca entre o é a espessura da lâmna, v w é a componente na dreção do versor pertencente ao plano da seção transversal da lâmna w passando pelo nó w e Φ é a função de forma assocada ao nó w consttuída por um polnômo de Lagrange com grau correspondente à varável gr. Os versores v w normas ao exo localzado no centro das lâmnas são obtdos de forma análoga aos versores do elemento de

145 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado 45 pórtco plano homogêneo, conforme apresentado no Item 4.. As lâmnas são consderadas sempre paralelas na confguração ncal, assm o versor de cada lâmna é dêntco ao versor normal à lnha de referênca. Nesse mapeamento, a prmera parcela dentfca as posções de todos os pontos pertencentes à lnha de referênca e, dado um ponto dessa lnha de referênca, a segunda parcela dentfca as posções de todos os pontos da seção transversal da lâmna. Quando o ponto está localzado na nterface nferor de,, quando d j Φ j o ponto está e localzado na lnha de referênca, quando 0 o ponto está localzado no centro de e quando o ponto está localzado na nterface superor de. Na Fgura 45, é lustrado o mapeamento de um ponto qualquer de coordenadas admensonas a, b. Fgura 45 Mapeamento posconal de um ponto qualquer da Lâmna de Referênca na confguração ncal b) Mapeamento para as lâmnas abaxo da Lâmna de Referênca (LR): f x 0 x,, LR e LR d Φ v Φ x Φ, j j j j w w LR m m m v Φ e v Φ com =, e j,w =,, gr. e j j j j (4)

146 46 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado Nessa equação, LR e e LR v w são a espessura da LR e a componente na dreção do versor m pertencente ao plano da seção transversal da LR passando pelo nó w, respectvamente. e e m v w são análogos para as lâmnas nferores a LR, ou seja, da lâmna à LR. As demas varáves têm descrção semelhante a da Equação (3). No mapeamento representado na Equação (4), a prmera parcela dentfca as posções de todos os pontos pertencentes à lnha de referênca e, dado um ponto dessa lnha de referênca, a segunda parcela dentfca a posção do ponto localzado na nterface nferor da LR e a tercera parcela localza o ponto na nterface nferor da lâmna medatamente superor à lâmna mapeada. Por fm, a quarta parcela mapea todos os pontos da seção transversal da lâmna. Quando o ponto está localzado na nterface nferor de, quando 0 o ponto está localzado no centro de e quando o ponto está localzado na nterface superor de. Na Fgura 46, há uma lustração do mapeamento de um ponto qualquer com coordenadas admensonas a, b. Fgura 46 Mapeamento posconal de um ponto qualquer na confguração ncal de uma lâmna nferor à Lâmna de Referênca. c) Mapeamento para as lâmnas acma da Lâmna de Referênca (LR):

147 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado 47 f x 0 x,, LR e LR d Φ v Φ x Φ, j j j j w w m mlr e m v Φ e v Φ com =, e j,w =,, gr. j j j j (5) Nessa equação, m e e m v são, para cada lâmna m de LR à, a espessura e a w componente na dreção do versor pertencente ao plano da seção transversal da lâmna m no plano nodal w, respectvamente. As demas varáves têm descrção semelhante às descrções das Equações (3) e (4). Nesse mapeamento, a prmera parcela dentfca as posções de todos os pontos pertencentes à lnha de referênca e, dado um ponto dessa lnha de referênca, a segunda parcela dentfca a posção do ponto localzado na nterface superor da LR e a tercera parcela localza o ponto na nterface superor da lâmna medatamente nferor à lâmna mapeada. Por fm, a quarta parcela mapea todos os pontos da seção transversal da lâmna. Quando o ponto está localzado na nterface nferor de, quando 0 o ponto está localzado no centro e quando o ponto está localzado na nterface superor de. Na Fgura 47, há uma lustração do mapeamento de um ponto qualquer com coordenadas admensonas a, b. Fgura 47 Mapeamento posconal de um ponto qualquer na confguração ncal de uma lâmna superor à Lâmna de Referênca.

148 48 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado O mapeamento posconal para a confguração atual é totalmente análogo ao mapeamento da confguração ncal, bastando substtur as posções ncas x e j x pelas posções atuas y e j y e os versores j LR v, j m v e j v pelos vetores generalzados j LR g, j m g e j g em todas as expressões de mapeamento. Dessa forma, os mapeamentos das lâmnas na confguração atual fcam expressos por: a) Mapeamento da lâmna gual à Lâmna de Referênca (LR):,, y f, w w j j j j Φ g e Φ d Φ y y com = e =,, j,w, gr. (6) b) Mapeamento das lâmnas abaxo da Lâmna de Referênca (LR):,, y f, w w LR LR j j j j Φ g e Φ d Φ y y j j LR m j j m m Φ g e Φ g e com = e =,, j,w, gr. (7) c) Mapeamento das lâmnas acma da Lâmna de Referênca (LR):,, y f, w w LR LR j j j j Φ g e Φ d Φ y y j j LR m j j m m Φ g e Φ g e com = e =,, j,w, gr. (8)

149 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado 49 representadas por Nessas expressões, as posções atuas dos nós localzados na lnha de referênca, y j, e os vetores generalzados das seções nodas de cada lâmna consttuem os graus de lberdade do elemento fnto lamnado. O elemento fo desenvolvdo de forma a permtr o emprego de qualquer número de lâmnas para compor a seção transversal e qualquer grau para as funções aproxmadoras polnomas. Assm, o número de graus de lberdade (ngl) do elemento fca escrto em função da quantdade de lâmnas utlzadas no modelo numérco (nlam) e do grau de aproxmação empregado: ngl gr nlam, (9) na qual lberdade por nó. gr representa o número de nós do elemento e nlam Apesar de d j e e g j o número de graus de terem sdo mantdas constantes nas expressões do mapeamento da confguração atual, o elemento permte a varação da posção da lnha de referênca (lr) e da espessura das lâmnas, pos o vetor generalzado pode dexar de ser untáro na confguração atual. Assm, a dstânca D da lnha de referênca (lr) ao centro da Lâmna de Referênca (LR) e a espessura das lâmnas E LR g D d Φ Φ j j w w E e g Φ, w w com j e w,, gr na confguração atual passam a ser: representando os nós do elemento. (0) O mapeamento descrto nas Equações (6), (7) e (8) gera uma cnemátca cujas seções transversas permanecem planas apenas nas lâmnas o que permte representar o efeto Zg-Zag pecular aos compóstos lamnados. O nível em que as seções das lâmnas dexam de ser ortogonas à lnha de referênca (lr) está assocado às tensões de csalhamento envolvdas e ao módulo de elastcdade transversal do materal de cada lâmna. Esse mapeamento corresponde a uma cnemátca semelhante a das teoras Layerwse completas, pos, além do efeto Zg-Zag, a varação de espessura nas lâmnas é consderada. Defndas as funções de mapeamento posconal das confgurações ncal e atual para o elemento lamnado, prossegue-se para a descrção dos aspectos da formulação geral apresentada no Capítulo 3 que dependem dessas funções de mapeamento.

150 50 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado 5.3 Partculardades do elemento fnto de pórtco plano lamnado No Capítulo 3, toda a sequênca de operações matemátcas da formulação posconal aplcada a problemas bdmensonas fo desenvolvda e, no tem anteror, descreveu-se a cnemátca do elemento de pórtco plano lamnado. Logo, para defnr completamente a formulação do elemento fnto, fca faltando apenas dentfcar os termos que dependem da função de mapeamento posconal empregada. Isso está apresentado nos tens seguntes Gradente das funções de mapeamento posconal No Item 3.3, a função mudança de confguração fo determnada a partr de uma composção entre as funções de mapeamento das confgurações ncal e atual (Equação ()). Como vsto no tem anteror, as funções de mapeamento são defndas para cada lâmna. Assm, tanto a função mudança de confguração f como seu gradente A são defndos também para cada lâmna. Isso é uma dferença mportante em relação ao elemento de pórtco plano homogêneo, que apresentava f e A calculados para toda a barra. Da mesma forma como as funções de mapeamento posconas, os gradentes 0 A, e, A são especfcados em três grupos: para a Lâmna de Referênca (LR), para as lâmnas abaxo de LR e para as lâmnas acma de LR. Os termos das matrzes que compõem esses gradentes são calculados observando a Equação (4) e as funções de mapeamento da confguração ncal (Equações (3), (4) e (5) e da confguração atual (Equações (6), (7) e (8)). Assm, os termos desses gradentes fcam expressos por: a) Gradentes da lâmna gual à Lâmna de Referênca (LR): A 0, x Φ d Φ v Φ x jφ j, d jφ j, vwφw e d jφ j vwφw, j j, j j, w w e vwφw e d jφ j vwφw, e vwφ w ()

151 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado 5 A A A 0,,, y Φ d Φ g Φ y jφ j, d jφ j, gwφw e d jφ j gwφw, j j, j j, w w e gwφw e d jφ j gwφw, e g Φ w w b) Gradentes das lâmnas abaxo da Lâmna de Referênca (LR): LR LR e x jφ j, d jφ j, vwφw d jφ j LR LR m m vwφw, e v jφ j, e v jφ j, m LR LR e x jφ j, d jφ j, vwφw d jφ j LR LR m m vwφw, e v jφ j, e v jφ j, m e j v Φ e v jφ j j LR LR e y jφ j, d jφ j, gwφw d jφ j LR LR m m gwφw, e g jφ j, e g jφ j, m LR LR e y jφ j, d jφ j, gwφw d jφ j LR LR m m gwφw, e g jφ j, e g jφ j, m e e g Φ j g Φ j j j () (3) (4)

152 5 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado c) Gradentes das lâmnas acma da Lâmna de Referênca (LR): A 0, LR LR e x jφ j, d jφ j, vwφw d jφ j LR m m vwφw, e v jφ j, e v jφ j, mlr LR LR e x jφ j, d jφ j, vwφw d jφ j LR m m vwφw, e v jφ j, e v jφ j, mlr e j v Φ e v jφ j j (5) A, LR LR e y jφ j, d jφ j, gwφw d jφ j LR m m gwφw, e g jφ j, e g jφ j, mlr LR LR e y jφ j, d jφ j, gwφw d jφ j (6) LR m m gwφw, e g jφ j, e g jφ j, mlr e e g Φ j g Φ j j j Φ j Nas Equações (0) a (5), Φ e j, Φ w Φ w,. 0 Vale ressaltar, que apesar dos termos que compõem os gradentes, A e A, nas equações acma serem bastante extensos, as operações matemátcas que envolvem esses gradentes fcam facltadas, pos são realzadas numercamente. Assm, não há necessdade de explctar as equações que compõem o gradente,, 0 A A A.

153 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado Energa potencal de deformação No Item 3.4, a le consttutva do materal fo descrta. No caso do elemento lamnado, essa le é atrbuída no nível das lâmnas que podem ou não apresentar parâmetros elástcos dstntos das demas. Dessa forma, a energa específca de deformação descrta na Equação (4) é agora aplcada para cada lâmna separadamente. 0 Com os gradentes A, e, A defndos para qualquer lâmna do lamnado, a energa potencal de deformação da lâmna pode ser calculada conforme o procedmento descrto no Item 3.5. Partndo das Equações (4), (3) e (3), a energa potencal de deformação de uma lâmna pode ser escrta como: u e E E E E E E E U V 0 u d e V 0 (7) U b u e, J, d d, na qual a repetção do índce não mplca em somatóro. Essa ntegral é calculada numercamente com a quadratura de Gauss de forma análoga a Equação (33). A energa calculada na Equação (7) se refere a uma únca lâmna. Como energa é uma grandeza escalar, a energa de deformação do elemento lamnado pode ser obtda por meo de um smples somatóro das energas de cada lâmna. Logo, tem-se que: elm nlam U U. (8) Energa potencal relatva às ações externas Na parcela da energa potencal relatva às ações externas, são consderadas as contrbuções de forças e momentos concentrados e de forças dstrbuídas. A energa assocada a essa últma ação é contablzada a partr de forças nodas equvalentes. A formulação do elemento de pórtco plano lamnado fo desenvolvda de forma a permtr a aplcação de forças externas em qualquer posção do elemento, pos os problemas analsados abrangem desde lamnados fnos a espessos. Prncpalmente nos lamnados espessos, é mportante consderar a força na posção correta para que as dstrbuções de tensões obtdas

154 54 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado sejam mas precsas e também para possbltar uma melhor comparação com os resultados obtdos a partr de análses utlzando elementos fntos bdmensonas. Essa é uma característca nteressante e que consttu uma contrbução do elemento fnto proposto. Apesar de ser um elemento de pórtco plano, a formulação apresenta uma flexbldade na aplcação de carregamentos semelhante a dos elementos fntos bdmensonas. As ações externas são consderadas conservatvas e a relação entre força e posção é energetcamente conjugada. Assm, uma energa potencal externa pode ser calculada pelo negatvo do produto escalar entre o vetor força externa e o vetor posção atual do ponto de aplcação dessa força (Equação (40)). As forças concentradas são consderadas aplcadas em qualquer ponto ao longo de uma seção nodal. Como o mapeamento das posções vara se a lâmna corresponde à Lâmna de Referênca (LR) ou se está abaxo ou acma desta, a energa potencal assocada fca dependendo de qual lâmna a força está sendo aplcada. Além dsso, como a força pode ser aplcada em uma posção não concdente com o nó localzado na lnha de referênca (lr), surgem conjugados energétcos equvalentes e assocados às componentes dos vetores generalzados das lâmnas. Consderando as funções de mapeamento posconal da confguração atual apresentadas nas Equações (6), (7) e (8) e substtundo Φ n n para a função de forma assocada ao nó n cuja seção contém a força aplcada e zero nas demas funções de forma, a energa potencal relatva a uma força concentrada pode ser calculada com as seguntes expressões: a) Força aplcada na lâmna gual à Lâmna de Referênca (LR): P y, n n n e P y P d g n n n n n n (9) P y M g n n n n com =,. b) Força aplcada em uma lâmna abaxo da Lâmna de Referênca (LR):

155 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado 55 P y, n n n e P y P d g P e g P e g LR LR LR m m n n n n n n n n n n m LR LR LR m m n n n n n n n n m P y M g M g M g com =,. (30) c) Força aplcada em uma lâmna acma da Lâmna de Referênca (LR): P y, n n n e P y P d g P e g P e g LR LR m m n n n n n n n n n n mlr LR LR m m n n n n n n n n mlr P y M g M g M g com =,. (3) Nessas expressões, a repetção dos índces e n não mplca em somatóro. Os termos escrtos com a letra M são os conjugados energétcos assocados aos vetores generalzados das lâmnas da seção nodal n que contém a força concentrada e n é a coordenada admensonal correspondente à posção na espessura da lâmna na qual a força está aplcada. O procedmento para consderação de forças dstrbuídas é semelhante ao apresentado para o elemento de pórtco plano homogêneo (Item 4.3.3). Entretanto, no elemento lamnado, a força dstrbuída pode estar aplcada em qualquer posção e não somente na lnha de referênca (lr). Assm, a energa potencal assocada pode ser calculada conforme a Equação (74), mas com a consderação do mapeamento das posções da força dstrbuída em uma determnada lâmna. O ponto de aplcação da força em relação à espessura da lâmna é dentfcado através do cálculo da coordenada admensonal. q A expressão para cálculo da energa potencal fca escrta como: y J na qual, d q q, com,, (3) q é a força dstrbuída, representada por uma nterpolação polnomal conforme a Equação (73),, é o mapeamento das posções atuas da força dstrbuída na lâmna y q

156 56 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado e J é o Jacobano da transformação do espaço admensonal para a lnha de mapeamento dessas posções na confguração ncal, calculado conforme a Equação (68). A repetção do índce não mplca em somatóro. Ao aplcar a força dstrbuída em uma posção fora da lnha de referênca (lr), além das forças nodas equvalentes, surgem conjugados energétcos equvalentes assocados às componentes dos vetores generalzados das lâmnas nfluencadas pela força e em todas as seções nodas. Da mesma forma como no caso de forças concentradas, é necessáro consderar as possbldades de a força dstrbuída estar aplcada na Lâmna de Referênca (LR) e abaxo ou acma desta. Para cada uma dessas três stuações, devem ser empregadas as correspondentes funções de mapeamento posconal da confguração atual (Equações (6), (7) e (8)) e de mapeamento posconal da confguração ncal (Equações (3), (4) e (5). Estas últmas são necessáras para a determnação do Jacobano J. Para sso, basta defnr as componentes do vetor tangente à lnha de aplcação da força dstrbuída na confguração ncal, conforme pode ser observado na Equação (68). Essas componentes são obtdas com a dervada da posção ncal em relação à coordenada admensonal : t sendo d x, q, com,, (33) d t a componente na dreção do vetor tangente à lnha de aplcação da força dstrbuída localzada na lâmna e confguração ncal., é a função de mapeamento dessa lnha na x q Portanto, as expressões para a determnação da energa potencal relatva à força dstrbuída aplcada em uma lâmna do elemento, bem como das dervadas da Equação (33), são defndas por: a) Para lâmna gual à Lâmna de Referênca (LR): d x, q x jφ j, d jφ j, vw Φw d e + d jφ j q vwφw, (34)

157 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado 57 Ω qwφw Φ j J d y j e q jφ j dzφz q Φw J d gw (34) Ω Q y M g j j w w com =, e j,w,z =,, gr. b) Para lâmnas abaxo da Lâmna de Referênca (LR): d x, LR e d q q LR x jφ j, d jφ j, vwφw d jφ j LR LR m m vwφ w, e v jφ j, e v jφ j, m Ω qwφw Φ j J d y j e LR m m qwφw eφ j J d g j m q qwφw eφ j J d g j LR LR q jφ j dzφz Φw J d gw (35) LR LR LR m m j j w w j j j j m Ω Q y M g M g M g com =, e j,w,z =,, gr. c) Para lâmnas acma da Lâmna de Referênca (LR): d x, LR e d q q LR x jφ j, d jφ j, vwφw d jφ j LR m m vwφ w, e v jφ j, e v jφ j, mlr (36)

158 58 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado Ω qwφw Φ j J d y j e LR LR q jφ j dzφz Φw J d gw m m qwφw eφ j J d g j mlr q Φ q eφ J d g w w j j (36) LR LR m m j j w w j j j j mlr Ω Q y M g M g M g com =, e j,w,z =,, gr. Nessas expressões, a repetção do índce não mplca em somatóro. Os termos escrtos com as letras Q e M representam as forças nodas equvalentes e os conjugados energétcos equvalentes assocados aos vetores generalzados das lâmnas, respectvamente. Todas as ntegras acma são calculadas numercamente através da quadratura de Gauss. Dante de tudo sso, pode-se determnar a energa potencal externa do elemento fnto lamnado sujeto à ação de forças concentradas e dstrbuídas aplcadas em uma posção qualquer do elemento como a soma das parcelas defndas nas Equações (9), (30) e (3) para forças concentradas e defndas nas Equações (34), (35) e (36) para forças dstrbuídas. Uma forma resumda para representar a energa potencal relatva às ações externas é a segunte: m m Ω P Q y M g (37) j j j j j e, j,, gr e m,,nlam. na qual P j e Q j representam as forças concentradas e as forças nodas equvalentes, respectvamente, com componentes nas dreções aplcadas no nó j localzado na lnha de referênca. O termo m M representa os conjugados energétcos assocados aos vetores generalzados das lâmnas m. Como podem ser observadas, todas as ações externas são conservatvas, pos são j ndependentes da confguração atual representada na Equação (37) pelas posções nodas y j e pelos vetores generalzados m g j. Além dessas ações externas, também é possível consderar a ação de momentos concentrados ( M ) aplcados em uma determnada seção nodal n. Como a seção transversal é n

159 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado 59 lamnada, a parcela de momento atrbuída a cada uma das lâmnas ( M ) é defnda pelo produto do momento concentrado por um fator gual a razão entre a espessura da lâmna ( e ) e a espessura total do lamnado ( h 0 ). Assm, tem-se que: M n e. Mn h 0 n (38) Feto sso, a consderação do efeto dos momentos concentrados em cada lâmna é nteramente análoga ao procedmento apresentado para o elemento fnto homogêneo (Item 4.3.3). Dessa forma, os conjugados energétcos defndos na Equação (8) passam a ser escrtos como: B B n e M g n conjugado de h g 0 n n g n M conjugado de e n n g n h0 gn gn g, n g. n (39) com e e,,nlam. O índce n se refere à seção nodal na qual o momento está sendo aplcado. Esses conjugados energétcos não são conservatvos como os defndos para as forças concentradas e dstrbuídas, pos dependem dos valores assumdos por g n e g n. Portanto, para satsfazer o equlíbro com a presença do momento, os conjugados energétcos B n e B n são consderados apenas na equação de equlíbro, sendo atualzados a cada teração durante o processo de solução Energa potencal total e equações de equlíbro Conforme fo defnda na Equação (43), a energa potencal total do elemento fnto é composta pelas parcelas da energa de deformação mas o potencal das ações externas atuantes. Em um modelo dscreto, város elementos fntos são empregados para analsar a estrutura e a energa potencal total é dada pela soma das contrbuções de cada elemento ndvdualmente. A representação empregada para consderar a contrbução de város elementos nos dversos vetores de posção e forças é análoga àquela apresentada para o elemento fnto homogêneo. A mudança está relaconada apenas à quantdade de graus de lberdade. Dessa forma, a sequênca do texto é bastante semelhante à apresentada no Item referente ao elemento homogêneo.

160 60 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado A contrbução de város elementos fntos na energa potencal total pode ser feta assumndo a segunte assocação para dentfcar os graus de lberdade: gl : y y j : j ( grau de lberdade ) y j ( nó local ) : j j : j j gl y y gl g g y gl g g y sendo,, grau (40) j o número do nó local, =,,nlam o número da lâmna, =,, nlam o grau de lberdade nodal. A nterpretação dada para é a segunte: e se referem às posções do nó localzado na lnha de referênca, e se referem às componentes dos vetores generalzados g ( g ( g j ) e g ) de cada lâmna, respectvamente. Essa mesma regra é empregada também para o vetor de posções na confguração ncal Utlzando essa dentfcação, um vetor posção local j x j. y do elemento fnto contendo todos os graus de lberdade pode ser defndo. A localzação de um dado grau de lberdade nesse vetor posção é determnada com auxílo do número do nó local j e do própro grau de lberdade nodal. A regra para localzação no vetor é dada por: ( grau de lberdade ) y j ( nó local ) nlam j. (4) Uma dentfcação análoga à Equação (40) também é empregada para defnr o vetor de forças nternas F nt j e o vetor de forças externas ext j F do elemento. Nesses vetores, a nterpretação dada para é a segunte: e se referem às componentes de forças nodas atuantes nas dreções globas e, respectvamente, e os termos com gual a e são conjugados energétcos das componentes dos vetores generalzados g ( cada lâmna, respectvamente. g ( g j ) e g ) de Nos modelos dscretos, há mutos elementos fntos e um mesmo nó pode pertencer j a város elementos. Assm, defnem-se vetores posção y j, força nterna F e força externa nt j F globas. Esses vetores recebem contrbução de todos os elementos utlzados na ext j dscretzação da estrutura. Para a montagem desses vetores globas, a mesma regra de dentfcação apresentada nas Equações (40) e (4) é empregada, mas a numeração do nó j dexa de ser local e passa a ser a numeração global atrbuída durante a geração da malha. A relação passa a ser:

161 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado 6 (grau de lberdade) y j nlam j j N (nó global) com,, (4) sendo N o número de nós da dscretzação. Assumndo a relação da Equação (4), a soma das contrbuções de cada elemento fnto na função de energa potencal total da estrutura pode ser realzada. Consderando a parcela de energa de deformação (Equações (7) e (8)) e de energa das ações externas (Equação (37)) adaptada à relação da Equação (4), pode-se reescrever a Equação (44) como: y U y P Q M y, (43) j j j j j j na qual y j representa a função de energa potencal total cuja determnação depende apenas do vetor posção atual y j que contém os graus de lberdade nodas de todos os elementos fntos utlzados na dscretzação. A determnação de y j é feta a partr da solução do sstema de equações não lneares defndo na Equação (47) que tem o sgnfcado físco de equlíbro nodal. Os termos P j e Q j representam as forças concentradas e as forças nodas equvalentes, respectvamente. Essas forças são dferentes de zero apenas para os graus de lberdade gual a e. O termo M j representa os conjugados energétcos assocados aos vetores generalzados das lâmnas, orundos da aplcação de forças concentradas e dstrbuídas fora da lnha de referênca (lr). O termo M j é não nulo apenas para os graus de lberdade dferente de e. Na Equação (43), não há os conjugados energétcos gerados pela ação de momentos concentrados, pos não são conservatvos. O efeto desses momentos é consderado somente na equação de equlíbro por meo da contrbução do conjugado energétco calculado com a Equação (39). As equações de equlíbro foram obtdas com base no prncípo da energa potencal total estaconára e estão defndas na Equação (47). Consderando a função de energa potencal total do elemento fnto de pórtco plano lamnado, determnada na Equação (43), e os conjugados energétcos da Equação (39) devdo ao efeto de momentos concentrados, as equações de equlíbro podem ser escrtas como: j j F y P Q M B y nt 0. (44) Nessa equação, o vetor de forças nternas é calculado conforme defndo na Equação (48), mas, como a energa de deformação no elemento de pórtco plano lamnado é

162 6 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado defnda para cada lâmna (Equação (7)), a Equação (48) se transforma em um somatóro de ntegras. Logo, tem-se: F y b u, J d d nlam e nt j, y que é calculada utlzando quadratura de Gauss, fcando, então:, (45) nlam ue g, jg Fnt y b J g, jg wg w jg. (46) y Na ocasão da defnção do vetor de forças nternas no Item 3.7, fcou pendente a descrção dos termos que compõem A A y y na Equação (53), pos dependem da função de mapeamento posconal adotada. No caso do elemento lamnado, o gradente A, vara se a lâmna é a Lâmna de Referênca ou se é uma lâmna abaxo ou acma desta, conforme fo defndo nas Equações (), (4) e (6). Consderando a notação apresentada na Equação (40), a dervada do gradente A y fca representada por matrzes cujos termos dependem tanto da lâmna consderada como do grau de lberdade ao qual a dervada está sendo avalada. Assm, um conjunto de possbldades para conforme pode ser observado nas equações a segur: A y são dentfcadas a) Lâmna gual à Lâmna de Referênca (LR): Para e : A Φ 0 A, y,, 0 0 y Φ 0, 0 0, Para e, com LR : A j j, j j, y, d Φ Φ d Φ Φ Φ e 0 0 e (47) 0 0 A, e e y d jφ j, Φ d jφ j Φ, Φ,

163 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado 63 Para os demas graus de lberdade (, e LR, LR ): A, 0 0 y 0 0. (47) b) Lâmnas abaxo da Lâmna de Referênca (LR): Para e : A Φ 0 A, y,, 0 0 y Φ 0, 0 0, Para LR e LR,: e, LR A j j, j j, LR y d Φ Φ d Φ Φ 0 0, A, LR LR e y d jφ j, Φ d jφ j Φ, 0 Para LR : m A, eφ 0 A,, m y 0 0 com m LR, Para e : 0 0, m m y eφ, 0 (48) A, eφ, Φ y A, e y eφ, Φ e Para os demas graus de lberdade (,, e LR ): A, 0 0 y 0 0.,

164 64 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado c) Lâmnas acma da Lâmna de Referênca (LR): Para e : A Φ 0 A, y,, 0 0 y Φ 0, 0 0, Para LR e LR,: e, LR A j j, j j, LR y d Φ Φ d Φ Φ 0 0, A, LR LR e y d jφ j, Φ d jφ j Φ, 0 Para LR : m A, eφ 0 A,, m y 0 0 com LR m, Para e : 0 0, m m y eφ, 0 (49) A, eφ, Φ y A, e y eφ, Φ e Para os demas graus de lberdade (,, LR e ): A, 0 0 y 0 0. Vale ressaltar que todos os termos das matrzes acma não dependem do vetor de posções nodas atuas y j. Assm, a segunda dervada Equação (63), é nula. A y y,, que surge na defnção da matrz Hessana na

165 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado 65 F nt y j Defndos todos os termos necessáros para calcular o vetor de forças nternas, o problema agora se resume em determnar as posções atuas Equação de equlíbro (44). y j que satsfazem a Processo de solução O processo de solução empregado neste trabalho já fo descrto no Item 3.8. Aqu são apresentados apenas alguns detalhes partculares do elemento fnto lamnado. Durante o processo de solução, as posções atuas y dos nós do pórtco não são conhecdas e posções-tentatva y são atrbuídas. Como essas posções não verfcam o tentatva equlíbro nodal representado pela Equação de equlíbro (44), gera-se um resíduo que corresponde ao vetor de desbalanceamento mecânco: tentatva nt tentatva j j j tentatva R y F y P Q M B y. (50) Apesar de não ter sdo defnda uma energa potencal devda a momentos concentrados, a parcela y B é adconada no cálculo do vetor de desbalanceamento j tentatva mecânco para que as posções de equlíbro encontradas consderem o efeto desses momentos. A matrz Hessana y H para o elemento de pórtco plano lamnado j tentatva apresenta dmensão gual (nlam+)n, sendo N o número de nós da dscretzação e (nlam+) o número de graus de lberdade nodas. O cálculo dessa matrz é realzado a partr de um somatóro da Equação (58) aplcada em cada lâmna do elemento. Assm, tem-se que a Hessana é obtda por: nlam ue, H y j b J, d d. (5) y y A localzação dos termos dessa matrz é feta segundo uma regra de atrbução semelhante à apresentada na Equação (4) no caso da Hessana do elemento e na Equação (4) no caso da Hessana global da estrutura. A atrbução global segue a regra abaxo: H y j tentatva nlam nlam Lnha: Coluna: com e,, nlam e e,, N. (5)

166 66 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado Essa matrz é determnada numercamente conforme apresentado na Equação (59) aplcada para cada lâmna e a quantdade de pontos de Gauss empregada é a mesma utlzada para obter o vetor de forças nternas na Equação (46). Os últmos aspectos partculares da formulação posconal do elemento lamnado são relatvos ao emprego da técnca utlzada para fazer a lgação (acoplamento) entre barras Lgações entre elementos não colneares O procedmento para realzar a lgação entre elementos lamnados com dreções dferentes é semelhante ao procedmento apresentado no Item para o elemento de pórtco plano homogêneo. A únca dferença é que agora há uma quantdade de molas de acoplamento dos vetores generalzados gual ao número de lâmnas do elemento. Na Fgura 48, há uma lustração da lgação para um caso partcular de cnco lâmnas. Nessa fgura, K ab (, ) representa a rgdez da mola de acoplamento das posções y a e y b dos nós a e b localzados na lnha de referênca e K ab representa a rgdez da mola de acoplamento dos vetores generalzados g a e g das lâmnas,, nlam pertencentes aos dos elementos acoplados. b Fgura 48 Modelo de acoplamento entre elementos lamnados A contrbução das molas no vetor de forças nternas e na matrz Hessana globas é feta com a mesma regra de atrbução apresentada na Equação (4).

167 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado 67 Após a determnação das posções na confguração atual, prossegue-se com a descrção do procedmento necessáro para calcular deslocamentos, deformações e tensões. 5.4 Pós-processamento Com a determnação das posções da confguração atual para um dado ncremento de carregamento, os resultados de deslocamentos, deformações e tensões só dependem das coordenadas admensonas correspondentes a um ponto qualquer do elemento., Para avalar os resultados das análses, foram mplementadas rotnas de pósprocessamento que calculam deslocamentos, deformações e tensões em pontos localzados nas seções nodas do elemento, com j representando os nós, e nas nterfaces e meo das j lâmnas cujas coordenadas admensonas são dadas por, 0 e. Os resultados são organzados em arquvos de saída que permtem a montagem de trajetóras de equlíbro e de dstrbuções de deslocamentos, deformações e tensões ao longo de uma seção transversal. Além dsso, são gerados arquvos de dados que permtem a vsualzação das magens da estrutura na confguração atual com um mapa de cores para representar os resultados. O software AcadVew fo utlzado para geração das magens. A segur, apresentam-se as sequêncas de passos necessáros para calcular os resultados de deslocamentos, deformações de Green e tensões de Pola-Krchhoff de segunda espéce em um dado ponto de uma lâmna do elemento com coordenadas admensonas,. Deslocamentos, u : u, u, a) Determnação da posção ncal, x com auxílo das funções de mapeamento da confguração ncal, Equações (3), (4) e (5; b) Determnação da posção atual, y com auxílo das funções de mapeamento da confguração atual, Equações (6), (7) e (8); c) Cálculo do deslocamento por meo da dferença,,, u y x ; Deformações de Green, E : 0 a) Determnação de, A através das Equações (), (3) e (5);

168 68 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado b) Determnação de, A através das Equações (), (4) e (6); c) Determnação do gradente da função mudança de confguração A, conforme a Equação (); d) Determnação do tensor alongamento à dreta de Cauchy-Green C, conforme Equação (9); e) Cálculo das deformações de Green conforme sua defnção na Equação (); Tensões de Pola-Krchhoff de segunda espéce, S : a) Conhecdas as deformações de Green, basta substtur os valores obtdos na le consttutva de Sant-Venant-Krchhoff, representada na Equação (6). Essas tensões utlzam a confguração ncal como referênca. Como um dos objetvos deste trabalho é obtenção de uma dstrbução de tensões mas precsas com vstas à representação da falha do lamnado, é mportante determnar também as tensões reas conhecdas como tensões de Cauchy, Conhecdos A, e S, (OGDEN, 984): T, T que utlzam a confguração atual como referênca. t,,, J, A S A com J, det A,. Nessa equação, A,, S, e, t A, é a matrz transposta de A,, as tensões de Cauchy são determnadas por (53) T consttuem matrzes de ordem dos.. A repetção do índce não mplca em somatóro. Todos os resultados calculados acma são relaconados às dreções do sstema de referênca global. No entanto, é nteressante obter esses resultados também no sstema de referênca local do elemento para facltar a nterpretação físca. Nessa referênca, é possível dentfcar as componentes de deformações e tensões na dreção longtudnal e transversal do lamnado. Na Fgura 49, lustram-se os sstemas de referênca global e local para um elemento na confguração ncal:

169 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado 69 Fgura 49 Sstemas de referênca local e global no elemento lamnado Com exceção da tensão de Cauchy, os demas resultados são relatvos à confguração ncal. Assm, pode-se obter uma matrz de rotação do sstema global para o local a partr do mapeamento da lnha de referênca do elemento na confguração ncal (Equação (3)). O versor tangente t j ao elemento é dado por:,0 x x Φ t LR j j com, e elemento. O versor normal x Φ j j, a x Φ a xwφw, z z, a representando a dreção e j, w, z,, grau, (54) representando os nós do v j é obtdo de forma que o produto vetoral com o versor tangente t j resulte sempre na dreção do versor sando do plano. Com sso, tem-se que:, v t t. (55) A matrz de rotação fca, então, escrta como: t v t R. (56) v Assm, os deslocamentos, as deformações de Green e as tensões de Pola-Krchhoff de segunda espéce obtdos nas dreções globas podem ser rotaconados para as dreções locas do elemento, respectvamente, por meo de:,, u R u local global,, E R local E global R t (57),, S R local S global R. t

170 70 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado A fm de verfcar a formulação do elemento de pórtco plano lamnado, város exemplos foram analsados e os resultados obtdos são comparados aos resultados de soluções analítcas e numércas encontradas na lteratura. 5.5 Exemplos numércos Ao todo foram analsados cnco exemplos que possbltaram avalar dferentes aspectos da formulação. Os resultados obtdos com o elemento fnto proposto neste trabalho são comparados aos resultados obtdos a partr de soluções analítcas e aos resultados obtdos através de análses numércas, com elementos fntos bdmensonas, realzadas no software Ansys. Neste últmo caso, o elemento fnto empregado fo o PLANE4. Esse é um elemento fnto bdmensonal retangular com quatro nós que emprega funções de forma lneares para nterpolar os deslocamentos nodas. Nas análses realzadas no Ansys, fo empregada uma dscretzação bastante refnada cujos resultados são utlzados como referênca para comparação. Além dsso, também foram realzadas análses com dscretzações equvalentes às dscretzações utlzadas nas análses fetas com o elemento fnto lamnado. Para sso, um número de elementos PLANE4 gual ao número de lâmnas fo adconado entre dos nós da dscretzação com o elemento de pórtco plano lamnado. Buscou-se com sso, comparar o desempenho do elemento proposto neste trabalho em relação aos elementos fntos bdmensonas que podem apresentar problemas de mau condconamento matrcal quando utlzados na análse de pórtcos planos lamnados. Isso pode levar à necessdade de refnamento da malha de elementos fntos bdmensonas e consequentemente ao aumento do custo computaconal. O objetvo com a análse dos quatro prmeros exemplos é verfcar os dferentes aspectos da formulação. Assm, o prmero exemplo é consttuído por uma vga bapoada homogênea sujeta à ação de um carregamento dstrbuído unforme. Nesse exemplo, o prncpal objetvo é verfcar a convergênca da dscretzação tanto em relação ao número de elementos quanto em relação ao número de lâmnas empregadas para representar a seção transversal. O problema fo analsado para três stuações com a relação entre vão e altura da vga (S = L/h 0 ) assumndo os valores de, 4 e 0. Em todas as análses, verfcam-se as dstrbuções de deslocamentos e tensões ao longo da seção transversal em dferentes pontos da vga. No segundo exemplo, analsa-se uma vga sanduíche bapoada com carregamento dstrbuído unforme aplcado na face superor. A vga é semelhante a do prmero problema e também fo analsada para as três relações vão e altura (S =, 4 e 0). O objetvo prncpal com

171 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado 7 esse exemplo é verfcar a precsão das dstrbuções de deslocamentos e tensões ao longo da seção transversal para o caso lamnado, bem como avalar a efcênca do elemento em problemas cuja relação S vara desde fna até espessa. Além dsso, a possbldade de aplcação de forças dstrbuídas fora da lnha de referênca é verfcada. No tercero exemplo, uma vga sanduíche bapoada semelhante a dos dos casos anterores fo analsada. Uma únca relação entre vão e altura da vga (S = 4) fo consderada, porém três combnações entre o módulo de elastcdade das lâmnas nas faces e da lâmna do núcleo foram consderadas: modelos AAA, ABA e ACA. A vga é submetda à ação de uma força concentrada aplcada na face superor da seção localzada na metade do vão. Nesse exemplo, verfca-se a capacdade do elemento em representar com precsão as dstrbuções de deslocamentos e tensões à medda que o módulo de elastcdade do núcleo é reduzdo ( A B C ). Além dsso, os resultados obtdos permtem avalar a efcênca da formulação na consderação de forças concentradas aplcadas fora da lnha de referênca. O quarto exemplo é destnado a verfcar a técnca empregada para realzar o acoplamento entre barras. Para sso, o problema do pórtco com lgações semrrígdas já estudado utlzando o elemento de pórtco plano homogêneo (Item 4.4.3) é novamente analsado. Como o objetvo deste exemplo é verfcar a técnca de acoplamento entre barras, fo consderada uma dscretzação da seção em cnco lâmnas de mesmo materal. Apenas o caso cujos apoos possuem rgdez elástca à rotação fo analsado. Os resultados obtdos são comparados aos já apresentados na Fgura 4. Verfcada a formulação nos exemplos anterores, dos pórtcos consttuídos por um e por cnco pavmentos, com seções lamnadas, foram propostos e analsados. Os resultados das dstrbuções de deslocamentos ao longo da seção transversal de alguns pontos são apresentados. Até onde prosseguu a revsão bblográfca deste trabalho, não foram encontrados exemplos de pórtcos planos lamnados na lteratura. Todos os problemas encontrados se restrngam a vgas lamnadas analsadas no regme lnear. Assm, este exemplo contrbu com resultados que poderão ser empregados em verfcações futuras de formulações que tratem do problema de análse não lnear geométrca de pórtcos planos lamnados. Em resumo, buscou-se, com essas análses, verfcar os dversos aspectos da formulação do elemento de pórtco plano lamnado além de avalar sua efcênca e consstênca Exemplo 5.: Vga homogênea bapoada com força dstrbuída Neste prmero exemplo, analsa-se uma vga smples bapoada e homogênea sujeta

172 7 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado à ação de um carregamento dstrbuído unforme, conforme lustra a Fgura 50. As característcas geométrcas da seção transversal e os parâmetros elástcos do materal também estão representados na referda fgura. Fgura 50 Geometra, carregamento e parâmetros elástcos para o problema do Exemplo 5. Em todas as análses, a força dstrbuída fo aplcada em um únco ncremento, pos o valor da força consderada é baxo para manter o problema no regme de pequenas deformações e para permtr uma comparação com a solução analítca obtda a partr da Teora Clássca de Vgas (TCV) que se basea nas hpóteses cnemátcas de Euler-Bernoull. Além dsso, um coefcente de Posson () nulo também é adotado. Vale ressaltar que a força dstrbuída é aplcada na face superor da vga enquanto a lnha de referênca está localzada na face nferor, onde estão os apoos. O problema fo analsado para três stuações com a relação entre vão e altura da vga (S = L/h) assumndo os valores de, 4 e 0. Buscou-se, com sso, verfcar a capacdade da formulação em representar com precsão as dstrbuções de deslocamentos e tensões para problemas com relações entre vão e altura correspondentes a vgas esbeltas e a vgas altas (vgasparede). A fm de avalar a capacdade de convergênca da formulação, a vga fo dscretzada com um número de elementos fntos cúbcos varando entre, 4, 8 e 6. Foram empregadas 0 lâmnas para dscretzar a seção transversal, pos essa fo a quantdade de lâmnas que forneceu uma boa dstrbução para a tensão de csalhamento transversal. Isso fo verfcado para o caso da vga com S = 0, que fo analsada através de uma dscretzação composta por 4 elementos fntos e por um número de lâmnas que varou entre,, 4, 8, 0 e 40. O processo de solução baseado no método de Newton-Raphson fo controlado por meo dos crtéros de convergênca em posção e em força com tolerâncas de 0-9 e 0-6 respectvamente. A quantdade de pontos de Gauss empregada nas ntegrações numércas do vetor de forças nternas e da matrz Hessana fo de 4 x 0 (vão x altura) em cada lâmna. Essa quantdade de pontos de Gauss fo adotada após um estudo comparatvo dos valores obtdos

173 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado 73 para o deslocamento horzontal u da face nferor da seção localzada a,5 m do apoo da esquerda, do deslocamento vertcal v e da tensão axal S da face nferor da seção localzada no meo do vão da vga. Nesse estudo, as ntegrações numércas foram realzadas com a quantdade de pontos de Gauss varável até um lmte de 0 x 0. Esse estudo fo realzado para a vga do caso S = 0, dscretzada com 4 elementos fntos e com um número de lâmnas que varou entre,, 3, 4, 8 e 0 lâmnas. Os resultados obtdos estão resumdos na Tabela. As seguntes observações podem ser apontadas: nos três prmeros blocos da referda tabela, somente a quantdade de pontos ao longo da dreção transversal fo varada. Quanto maor o número de lâmnas, as varações nos resultados foram maores à medda que número de pontos de Gauss é aumentado; na parte esquerda do últmo bloco da tabela, somente a quantdade pontos de Gauss ao longo da dreção longtudnal varou. Não se observa mudança sgnfcatva nos resultados a partr de 4 pontos. O caso com 4 pontos de Gauss consta na parte dreta do tercero bloco; na parte dreta do últmo bloco, foram varadas as quantdades de pontos de Gauss em ambas as dreções. Não se observam dferenças sgnfcatvas em relação aos resultados apresentados na parte dreta do tercero bloco, na qual somente os pontos de Gauss ao longo da dreção transversal foram varados. Dessas observações, é razoável assumr que 4 pontos de Gauss ao longo da dreção longtudnal é sufcente para o elemento fnto com grau de nterpolação cúbco e que mas pontos de Gauss ao longo da dreção transversal são necessáros quanto maor o número de lâmnas adotado. A forma como fo realzada a mplementação computaconal da formulação não permte a adoção de quantdades dferentes de pontos de Gauss em cada lâmna. Assm, não fo possível dentfcar se há dferenças na quantdade de pontos de Gauss necessára para as lâmnas próxmas à Lâmna de Referênca e para as lâmnas dstantes desta. Dessa forma, para garanta de uma ntegração numérca correta e como os problemas apresentados neste trabalho não possuem uma quantdade de graus de lberdade elevada, foram adotados 4 x 0 pontos de Gauss em todas as análses realzadas.

174 74 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado Tabela Avalação da quantdade de pontos de Gauss necessára para as ntegrações numércas do elemento de Pontos de Gauss pórtco plano lamnado no Exemplo 5. u (m) lâmna v (m) S (N/m ) Pontos de Gauss u (m) 4 lâmnas v (m) S (N/m ) 4 x -0,0044-0,0996 3, x -0, , , x 3-0,0044-0,0996 3, x 3-0, ,0548 6, x 5-0,0044-0,0996 3, x 5-0,0048-0,0030 9,570 4 x 0-0,0044-0,0996 3, x 0-0,0079-0,0037 5, x 0-0,0044-0,0996 3, x 0-0,0059-0,0035 4,88454 Pontos de Gauss u (m) lâmnas v (m) S (N/m ) Pontos de Gauss u (m) 8 lâmnas v (m) S (N/m ) 4 x -0, ,058, x -0,0030-0, , x 3-0,004-0,0007, x 3-0,006-0, , x 5-0,0043-0, , x 5-0,0033-0,0803 4, x 0-0,0047-0,000 4, x 0-0,000-0, , x 0-0,0047-0, , x 0-0,0067-0,0007 5, Pontos de Gauss u (m) 3 lâmnas v (m) S (N/m ) Pontos de Gauss u (m) 0 lâmnas v (m) S (N/m ) 4 x -0, , , x -0, , , x 3-0,0064-0,054 0, x 3-0,0083-0, , x 5-0,0004-0,006 7,588 4 x 5-0, ,0374 7, x 0-0,0066-0,000 5, x 0-0,008-0, ,368 4 x 0-0,0054-0, , x 0-0,007-0,0048 5,63889 Pontos de Gauss u (m) 0 lâmnas v (m) S (N/m) Pontos de Gauss u (m) 0 lâmnas v (m) S (N/m) 3 x 3-0, ,065 4, x -0, , , x 3-0,0083-0, , x 3-0,0083-0, , x 3-0,0083-0, , x 5-0, ,0374 7, x 3-0,0083-0, , x 0-0,008-0, , x 3-0,0083-0, , x 0-0,007-0,0048 5,6399 Na Fgura 5, constam os resultados de uma análse de convergênca para o caso da vga cuja relação entre vão e altura (S) é gual a 0. A vga é dscretzada com 4 elementos cúbcos e apenas o número de lâmnas é varado. Como pode ser observado, a partr de lâmna na

175 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado 75 dscretzação da seção, os resultados para o deslocamento u e para a tensão axal S já concdem com a solução analítca e com a solução numérca obtda no Ansys a partr de uma dscretzação bastante refnada. No entanto, a tensão de csalhamento S somente fo representada de forma razoável a partr de uma dscretzação com 8 lâmnas. De 0 para 40 lâmnas, a melhora na representação da tensão S só ocorreu nas faces nferor e superor, onde os valores são os mas baxos. Como não houve ganho sgnfcatvo nas dstrbuções de tensões após o aumento de 0 para 40 lâmnas, em todas as demas análses realzadas neste exemplo e nos Exemplos 5., 5.3 e 5.5, uma dscretzação da seção com 0 lâmnas fo adotada. Para os Exemplo 5.4, somente 5 lâmnas são adotadas, pos apenas os deslocamentos globas dos nós são avalados. a) Deslocamento na dreção (u) para seção a,5 m do apoo esquerdo b) Tensão axal S para seção localzada no meo do vão

176 76 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado c) Tensão de csalhamento S para seção a,5 m do apoo esquerdo Fgura 5 Resultados do Exemplo 5. para uma dscretzação com 4 elementos cúbcos e varação do número de lâmnas (Caso com S = 0). Apresentada a análse de convergênca para o número de lâmnas, as análses das vgas com uma relação entre vão e altura (S) guas a, 4 e 0 foram realzadas varando apenas o número de elementos fntos (4, 8 e 6 elementos). Os resultados das dstrbuções de deslocamento horzontal u, de tensão axal na dreção longtudnal S, de tensão axal na dreção transversal S e de tensão de csalhamento S são apresentados nas Fgura 5, Fgura 53, Fgura 54 e Fgura 55, respectvamente. Todas as tensões representadas são médas entre elementos e a contnudade nterlamnar das tensões é representada calculando a méda dos valores obtdos nas nterfaces das lâmnas adjacentes. Nessas fguras, também constam os resultados médos obtdos através de análses numércas realzadas no Ansys com emprego do elemento fnto bdmensonal PLANE4. A equvalênca entre as malhas do elemento fnto posconal e do elemento PLANE4 fo feta de forma a haver um elemento PLANE4 entre dos nós e um em cada lâmna. O número de graus de lberdade também é conservado. Essa equvalênca resulta na segunte assocação: Posconal com 4 elementos cúbcos e 0 lâmnas PLANE4 com malha de x 0 elementos; Posconal com 8 elementos cúbcos e 0 lâmnas PLANE4 com malha de 4 x 0 elementos; Posconal com 6 elementos cúbcos e 0 lâmnas PLANE4 com malha de 48 x 0 elementos.

177 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado 77 Os resultados analítcos obtdos a partr da TCV (somente para o caso com S = 0) e os obtdos por meo de análses no Ansys utlzando uma dscretzação bastante refnada também são apresentados e adotados como referênca para avalar a precsão dos resultados obtdos com o elemento de pórtco plano lamnado. As dstrbuções de deslocamentos apresentadas na Fgura 5 foram obtdas corretamente já com uma dscretzação em 4 elementos fntos. A forma da seção fo representada em conformdade com os resultados da solução analítca baseada na TCV, no caso com S = 0, e da solução numérca obtda no Ansys com uma malha refnada. Vale ressaltar, que o elemento fnto proposto fo capaz de representar a forma curva da seção para o caso da vga com S =. Observa-se também que os resultados obtdos com as malhas equvalentes no Ansys demonstram alguma nfluênca do mau condconamento matrcal sofrdo pelo elemento fnto bdmensonal. Para a vga com S = 0, os elementos PLANE4 possuem maor dstorção e houve dferenças na dstrbução de deslocamentos obtda. Já para a vga com S =, os elementos PLANE4 são menos dstorcdos devdo à maor altura da vga e pratcamente não há dferenças na dstrbução de deslocamentos. Todos esses aspectos apontados acma são também verfcados para a dstrbução de tensões axas S na dreção longtudnal, como pode ser vsto na Fgura 53. Conforme apresentado nas Fgura 54 e Fgura 55, as dstrbuções de tensão axal S e de tensão de csalhamento S exgram uma dscretzação maor (8 elementos fntos) para uma representação acetável. No entanto, uma boa concordânca com os resultados da solução analítca baseada na TCV, no caso com S = 0 e tensão S, e da solução numérca obtda no Ansys com uma malha refnada fo alcançada para uma dscretzação com 6 elementos fntos. Apesar da exgênca de uma maor dscretzação, os resultados obtdos no Ansys com malhas equvalentes não foram melhores do que os obtdos com o elemento de pórtco plano lamnado. Isso é observado prncpalmente para as dstrbuções de csalhamento S no caso das vgas com S = 4 e S = 0. Nessas vgas, o elemento bdmensonal PLANE4 parece sofrer com problemas de mau condconamento matrcal devdo a uma maor dstorção do elemento gerada pela dscretzação equvalente e pela menor altura das vgas.

178 78 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado a) Vga com S = b) Vga com S = 4 c) Vga com S = 0 Fgura 5 Resultados do Exemplo 5.: Deslocamento na dreção (u) para seção a,5 m do apoo esquerdo.

179 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado 79 a) Vga com S = b) Vga com S = 4 c) Vga com S = 0 Fgura 53 Resultados do Exemplo 5.: Tensão axal S para seção localzada no meo do vão.

180 80 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado a) Vga com S = b) Vga com S = 4 c) Vga com S = 0 Fgura 54 Resultados do Exemplo 5.: Tensão axal S para seção localzada no meo do vão.

181 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado 8 a) Vga com S = b) Vga com S = 4 c) Vga com S = 0 Fgura 55 Resultados do Exemplo 5.: Tensão de csalhamento S para seção a,5 m do apoo esquerdo.

182 8 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado Para lustrar os deslocamentos e as tensões obtdos com o elemento de pórtco plano lamnado na vga completa, magens com os mapas de cores dos resultados para a vga esbelta (S = 0) dscretzada com 6 elementos e 0 lâmnas são apresentadas na Fgura 56. a) Deslocamento horzontal u (m) b) Deslocamento vertcal v (m) c) Tensão axal longtudnal S (N/m²) d) Tensão axal transversal S (N/m²)

183 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado 83 e) Tensão de csalhamento S (N/m²) Fgura 56 Resultados do Exemplo 5.: Mapa de cores para os deslocamentos e tensões na vga com S = Exemplo 5.: Vga sanduíche bapoada com força dstrbuída A mesma vga do exemplo anteror é analsada, mas agora a seção é composta por três lâmnas formando um compósto lamnado do tpo sanduíche. As lâmnas das faces possuem espessura correspondente a 5% da altura total e módulo de elastcdade gual a 00 vezes o módulo de elastcdade da lâmna que compõe o núcleo. As característcas geométrcas da seção transversal e os parâmetros elástcos do materal estão representados na Fgura 57. Fgura 57 Geometra, carregamento e parâmetros elástcos do problema: Exemplo 5. O problema fo analsado novamente para três stuações com a relação entre vão e altura da vga (S = L/h 0 ) assumndo os valores de, 4 e 0. Buscou-se, com sso, verfcar também para o caso de uma vga lamnada a capacdade da formulação em representar com precsão as dstrbuções de deslocamentos e tensões em problemas com dferentes relações de esbeltez. A vga fo dscretzada com 6 elementos fntos e 0 lâmnas (Fgura 58), estando 4 na lâmna da face nferor, na lâmna do núcleo e 4 na lâmna da face superor (notação: 4//4).

184 84 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado Essa dscretzação fo adotada em função das observações extraídas das análses de convergênca realzadas no exemplo anteror. a) Malha de elementos fntos posconas (6 elementos, 0 lâmnas e 058 graus de lberdade) LEMENTS AT NUM MAR :54:8 b) Malha equvalente de elementos fntos PLANE4 (960 elementos e 058 graus de lberdade) Y Z X MAR :07:0 c) Malha refnada de elementos fntos PLANE4 (0000 elementos e 4060 graus de lberdade) Y Z X Fgura 58 Malhas de elementos fntos empregadas no Exemplo 5. para o caso com S =

185 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado 85 Em todas as análses, a força dstrbuída fo aplcada em um únco ncremento e o processo de solução baseado no método de Newton-Raphson fo controlado por meo dos crtéros de convergênca em posção e em força com tolerâncas de 0-9 e 0-6, respectvamente. A quantdade de pontos de Gauss empregada nas ntegrações numércas do vetor de forças nternas e da matrz Hessana fo de 4 x 0 em cada lâmna da dscretzação. Os resultados das análses são apresentados através das dstrbuções de deslocamento horzontal u (Fgura 59), de tensão axal longtudnal S (Fgura 60), de tensão axal transversal S (Fgura 6) e de tensão de csalhamento S (Fgura 6). Todas as tensões representadas são médas entre elementos e a contnudade nterlamnar da tensão axal S entre lâmnas de mesmo materal e das tensões transversas S e S entre quasquer lâmnas é representada calculando a méda dos valores obtdos nas nterfaces das lâmnas adjacentes. Nessas fguras, também constam os resultados médos obtdos a partr de análses numércas realzadas no Ansys com emprego do elemento fnto bdmensonal PLANE4. A equvalênca entre as malhas do elemento fnto posconal e do elemento PLANE4 (Fgura 58) fo feta de forma análoga a do exemplo anteror. Essa equvalênca resulta na segunte assocação: Posconal com 6 elementos cúbcos e 0 lâmnas (4//4) PLANE4 com malha de 48 x 0 elementos, sendo 0 dstrbuídos em 4//4. Os resultados obtdos a partr de análses numércas realzadas no Ansys utlzando uma dscretzação bastante refnada (Fgura 58) também são apresentados e adotados como referênca. Dessa forma, a precsão dos resultados obtdos com o elemento de pórtco plano lamnado fo excelente, pos uma ótma concordânca com os resultados de referênca fo alcançada conforme se observa na representação do deslocamento horzontal u, da tensão axal longtudnal S, da tensão axal transversal S e da tensão de csalhamento S nas Fgura 59, Fgura 60, Fgura 6, Fgura 6, respectvamente. Os resultados obtdos no Ansys com emprego do elemento fnto bdmensonal PLANE4 através de uma malha equvalente apresentaram menor precsão para as tensões S e S na regão em torno das nterfaces entre as lâmnas. Essa menor precsão é atrbuída a um possível mau condconamento matrcal gerado tanto pela dstorção do elemento PLANE4 como também pela mudança das propredades elástcas do materal na regão de nterfaces. Em função do desempenho alcançado, a possbldade de aplcação de forças dstrbuídas fora da lnha de referênca do elemento pode ser consderada consstente. Todas essas observações ressaltam a adequabldade e a efcênca do elemento proposto para analsar problemas planos esbeltos (pórtcos) ou não (chapas), consttuídos por compóstos lamnados.

186 86 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado a) Vga com S = b) Vga com S = 4 c) Vga com S = 0 Fgura 59 Resultados do Exemplo 5.: Deslocamento na dreção (u) para seção a,5 m do apoo esquerdo.

187 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado 87 a) Vga com S = b) Vga com S = 4 c) Vga com S = 0 Fgura 60 Resultados do Exemplo 5.: Tensão axal S para seção localzada no meo do vão.

188 88 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado a) Vga com S = b) Vga com S = 4 c) Vga com S = 0 Fgura 6 Resultados do Exemplo 5.: Tensão axal S para seção localzada no meo do vão.

189 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado 89 a) Vga com S = b) Vga com S = 4 c) Vga com S = 0 Fgura 6 Resultados do Exemplo 5.: Tensão de csalhamento S para seção a,5 m do apoo esquerdo.

190 90 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado Para lustrar os deslocamentos e as tensões obtdos com o elemento de pórtco plano lamnado na vga completa, magens com os mapas de cores dos resultados para a vga alta (S = ) são apresentadas na Fgura 63. a) Deslocamento horzontal u (m) Com valores máxmos: b) Deslocamento vertcal v (m) Com valores máxmos:

191 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado 9 c) Tensão axal longtudnal S (N/m²) Com valores máxmos: Com valores em um ntervalo seleconado: d) Tensão axal transversal S (N/m²) Com valores máxmos:

192 9 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado Com valores em um ntervalo seleconado: e) Tensão de csalhamento S (N/m²) Com valores máxmos: Com valores em um ntervalo seleconado: Fgura 63 Resultados do Exemplo 5.: Mapa de cores para os deslocamentos e tensões na vga com S =.

193 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado Exemplo 5.3: Vga sanduíche bapoada com força concentrada Neste tercero exemplo, uma vga sanduíche semelhante a do exemplo anteror submetda à ação de uma força concentrada aplcada no topo da seção localzada no meo do vão e com relação vão e altura S gual a 4 é analsada. São consderadas três stuações (AAA, ABA e ACA) nas quas o módulo de elastcdade da lâmna que compõe o núcleo é dvddo por 00 começando com um módulo gual ao do materal das lâmnas localzadas nas faces. As característcas geométrcas da seção transversal e os parâmetros elástcos do materal das lâmnas estão representados na Fgura 64. Fgura 64 Geometra, carregamento e parâmetros elástcos do Exemplo 5.3 As análses realzadas nessas três stuações permtram verfcar a capacdade da formulação em representar com precsão as dstrbuções de deslocamentos e tensões em problemas com varações sgnfcatvas do módulo de elastcdade das lâmnas, stuação comum prncpalmente nos compóstos lamnados do tpo sanduíche. Isso pode conduzr a problemas de mau condconamento matrcal do modelo dscreto de elementos fntos devdo à mudança brusca de rgdez entre elementos (lâmnas) adjacentes. Os resultados do exemplo anteror já ndcaram haver esse problema para as análses realzadas no programa Ansys utlzando o elemento PLANE4 (com dscretzação equvalente), pos na regão em torno das nterfaces entre lâmnas os resultados obtdos apresentaram maores dscordâncas. Além de tudo sso, o problema analsado permtu avalar a capacdade da formulação em consderar outro tpo de ação externa: uma força concentrada aplcada em um ponto localzado fora da lnha referênca do elemento.

194 94 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado Novamente a vga fo dscretzada com 6 elementos fntos e 0 lâmnas (Fgura 65), estando 4 na face nferor, no núcleo e 4 na face superor (notação: 4//4). Essa dscretzação fo adotada em função dos resultados alcançados nos exemplos anterores. a) Malha de elementos fntos posconas (6 elementos, 0 lâmnas e 058 graus de lberdade) ELEMENTS MAT NUM MAR :9:44 b) Malha equvalente de elementos fntos PLANE4 (960 elementos e 058 graus de lberdade) ELEMENTS MAT NUM MAR :7:39 Y Z X c) Malha refnada de elementos fntos PLANE4 (40000 elementos e 800 graus de lberdade) Y Z X Fgura 65 Malhas de elementos fntos empregadas no Exemplo 5.3 para o Modelo ABA Em todas as análses, a força concentrada fo aplcada em um únco ncremento e o processo de solução baseado no método de Newton-Raphson fo controlado por meo dos crtéros de convergênca em posção e em força com tolerâncas de 0-9 e 0-6, respectvamente. A quantdade de pontos de Gauss empregada nas ntegrações numércas do vetor de forças nternas e da matrz Hessana fo de 4 x 0 em cada lâmna empregada na dscretzação. Os resultados das análses são apresentados através das dstrbuções de deslocamento horzontal u (Fgura 66), de tensão axal longtudnal S (Fgura 67), de tensão axal transversal S (Fgura 68) e de tensão de csalhamento S (Fgura 69). Todos os resultados são referentes à seção localzada a,5 m do apoo à esquerda. Da mesma forma como no Exemplo 5., as tensões representadas são médas entre elementos e a contnudade nterlamnar da tensão axal S entre lâmnas de mesmo materal e das tensões transversas S e S entre

195 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado 95 quasquer lâmnas fo representada calculando a méda dos valores obtdos nas nterfaces das lâmnas adjacentes. Nessas fguras, também constam os resultados médos obtdos a partr de análses numércas realzadas no Ansys com emprego do elemento fnto bdmensonal PLANE4. A mesma equvalênca entre as malhas do elemento fnto posconal e do elemento PLANE4 fo empregada (Fgura 65). Os resultados obtdos a partr de análses numércas realzadas no Ansys utlzando uma dscretzação bastante refnada são novamente apresentados e adotados como referênca. Os resultados fornecdos pelo elemento de pórtco plano lamnado são consderados satsfatóros, pos as dferenças observadas são pequenas mesmo para o caso ACA com maor varação dos módulos de elastcdade entre face e núcleo. Essas dferenças foram bem menores do que às observadas para os resultados obtdos no Ansys com emprego do elemento fnto bdmensonal PLANE4 através de uma malha equvalente. A nfluênca do mau condconamento matrcal ocasonado pela mudança brusca no módulo de elastcdade entre a lâmna das faces e a lâmna do núcleo fo perceptível com o aumento das dscordâncas nos resultados obtdos em ordem crescente para os modelos AAA, ABA e ACA. O desempenho verfcado nos resultados obtdos com o elemento proposto é um ndcatvo de sua efcênca para analsar estruturas consttuídas por compóstos lamnados, pos não foram dentfcados problemas de mau condconamento matrcal mesmo em casos mas extremos com grande varação de módulo de elastcdade entre as lâmnas, comum em lamnados do tpo sanduíche. A possbldade de aplcar uma força concentrada fora da lnha de referênca do elemento também se mostrou consstente. Vale ressaltar que os resultados satsfatóros alcançados com o elemento de pórtco plano lamnado empregaram uma quantdade bem menor de elementos fntos e graus de lberdade do que os empregados nas análses realzadas no Ansys com uma malha refnada, conforme se constata quando se comparam as malhas lustradas na Fgura 65.

196 96 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado a) Modelo AAA b) Modelo ABA c) Modelo ACA Fgura 66 Resultados do Exemplo 5.3: Deslocamento na dreção (u) para seção a,5 m do apoo esquerdo.

197 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado 97 a) Modelo AAA b) Modelo ABA c) Modelo ACA Fgura 67 Resultados do Exemplo 5.3: Tensão axal S para seção a,5 m do apoo esquerdo.

198 98 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado a) Modelo AAA b) Modelo ABA c) Modelo ACA Fgura 68 Resultados do Exemplo 5.3: Tensão axal S para seção a,5 m do apoo esquerdo.

199 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado 99 a) Modelo AAA b) Modelo ABA c) Modelo ACA Fgura 69 Resultados do Exemplo 5.3: Tensão de csalhamento S para seção a,5 m do apoo esquerdo.

200 00 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado Para lustrar os deslocamentos e as tensões obtdos com o elemento de pórtco plano lamnado na vga completa, magens com os mapas de cores dos resultados para a vga com maor varação no módulo de elastcdade das lâmnas (modelo ACA) são apresentadas na Fgura 70. a) Deslocamento horzontal u (m) Com valores máxmos: b) Deslocamento vertcal v (m) Com valores máxmos: c) Tensão axal longtudnal S (N/m²) Com valores máxmos: Com valores em um ntervalo seleconado:

201 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado 0 d) Tensão axal transversal S (N/m²) Com valores máxmos: Com valores em um ntervalo seleconado: e) Tensão de csalhamento S (N/m²) Com valores máxmos: Com valores em um ntervalo seleconado: Fgura 70 Resultados do Exemplo 5.3: Mapa de cores para os deslocamentos e tensões do modelo ACA.

202 0 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado Exemplo 5.4: Pórtco homogêneo com lgações semrrígdas Até este ponto, os exemplos analsados não exgram o emprego da técnca de penalzação apresentada no Item para o acoplamento entre elementos. Dessa forma, neste exemplo, retoma-se o problema do pórtco com lgações semrrígdas analsado no Item Na ocasão, a técnca de acoplamento mostrou ser efcente para o caso do elemento de pórtco plano homogêneo. A fm de avalar a técnca para o caso lamnado, o pórtco com apoos elástcos à rotação fo novamente analsado. No entanto, a seção é consderada consttuída por 5 lâmnas de gual espessura, mas com o mesmo materal, pos a seção é homogênea. A mesma dscretzação empregada nas análses realzadas com emprego do elemento de pórtco plano homogêneo fo adotada, ou seja: 4 elementos fntos por trecho de plar e 6 elemento fntos em cada vga, totalzando 8 elementos. No caso do elemento lamnado, uma dscretzação com 4 elementos fntos por barra também é sufcente para a obtenção de uma resposta adequada em deslocamentos conforme se observou nas análses de convergênca apresentadas no Exemplo 5.. A geometra, o carregamento e os parâmetros elástcos dos materas empregados estão representados na Fgura 7. A rgdez à rotação do apoo é de 990,7Nm que corresponde a 0,EI L plar. Quatro análses são realzadas: uma consderando as lgações rígdas e as outras três consderando as lgações semrrígdas com rgdez à rotação de 449Nm, 9730Nm e 30705Nm, respectvamente. Para defnr a rgdez da lgação assocada a cada lâmna, a rgdez total da lgação fo ponderada pela razão entre a espessura da lâmna e a espessura total da seção. Os resultados apresentados no Item (Fgura 4) obtdos por Lu e Chen (988) e a partr de análses numércas realzadas no Ansys com emprego do elemento BEAM88, para modelagem das barras, e do elemento de acoplamento COMBIN40, para modelagem das lgações semrrígdas, são novamente utlzados como referênca para avalação dos resultados obtdos com o elemento de pórtco plano lamnado. Além dsso, os resultados obtdos com o elemento de pórtco plano homogêneo são também apresentados, permtndo avalar o efeto gerado pelo aumento do número de graus de lberdade assocados à seção transversal (gros ndependentes e varação na espessura de cada lâmna). Da mesma forma como no Item 4.4.3, o carregamento fo ncrementado (passos de 50 N) até a desestablzação dos pórtcos que fo dentfcada pela formação de trechos com rgdez muto baxa nas trajetóras de equlíbro referentes ao deslocamento horzontal do nó superor esquerdo. Essas trajetóras estão lustradas na Fgura 7 e foram representadas até um deslocamento de 0,30m.

203 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado 03 Fgura 7 Geometra, carregamento e parâmetros elástcos do Exemplo 5.4 O processo de solução baseado no método de Newton-Raphson é empregado em todas as análses e os crtéros de convergênca adotados são em posção e em força com tolerâncas de 0-9 e 0-6, respectvamente. Todas as ntegrações numércas foram realzadas com emprego de 4 x 0 pontos de Gauss em cada lâmna da dscretzação. As trajetóras de equlíbro obtdas com o elemento de pórtco plano lamnado representaram o comportamento da estrutura de forma coerente com os resultados utlzados como referênca. Assm, a técnca proposta para o acoplamento entre elementos lamnados é verfcada e consderada consstente. O comportamento fo apenas um pouco mas flexível do que o apresentado para o elemento homogêneo em vrtude do maor número de graus de lberdade presentes na dscretzação da seção transversal do elemento lamnado. A nfluênca dsso é dentfcada no aumento das dferenças à medda que a rgdez da lgação cresce. Nos casos com rgdezes de 449Nm e 9730Nm, a flexbldade gerada pelas lgações parece ser predomnante sobre a flexbldade gerada pelo aumento do número de graus de lberdade e as trajetóras de equlíbro dos elementos homogêneo e lamnado pratcamente concdem. Já nos casos com rgdez de 30705Nm e lgação rígda, a flexbldade causada pela lgação fo menor e o efeto do aumento do número de graus de lberdade fo mas sgnfcatvo sobre o comportamento do pórtco. Assm, uma dferença maor é dentfcada em relação às trajetóras de equlíbro obtdas com o elemento homogêneo. Apesar dsso, os resultados são bastante satsfatóros, pos as dferenças somente refletem uma coerênca com a cnemátca de ambos os elementos.

204 04 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado Fgura 7 Trajetóras de equlíbro para o pórtco com lgações semrrígdas analsado com o elemento lamnado (superor). Trecho ncal (nferor) Para lustrar a coerênca no comportamento obtdo, as formas dos pórtcos na confguração deformada referentes ao últmo ncremento de força aplcada são apresentadas na Fgura 73. As legendas e o mapa de cores se referem ao deslocamento horzontal u (m).

205 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado 05 a) Pórtco com K = 449Nm b) Pórtco com K = 9730Nm c) Pórtco com K = 30705Nm

206 06 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado d) Pórtco com lgações rígdas Fgura 73 Resultados do Exemplo 5.4: Confgurações atuas no últmo passo de carga Exemplo 5.5: Pórtcos lamnados Dante dos resultados satsfatóros obtdos nas análses realzadas nos problemas dos quatro exemplos anterores, tanto a formulação do elemento de pórtco plano lamnado quanto sua mplementação computaconal estão verfcadas. Assm, neste últmo exemplo, dos pórtcos lamnados foram analsados e os resultados são apresentados na forma de dstrbuções de deslocamentos ao longo de seções transversas localzadas em alguns pontos específcos dos pórtcos. Como dto anterormente, os exemplos lustratvos apresentados aqu rão contrbur com resultados que possam ser utlzados como referênca para a verfcação de formulações futuras. Dos trabalhos consultados na revsão bblográfca, a grande parte deles contnha exemplos de placas ou cascas lamnadas e somente alguns poucos contnham exemplos de vgas lamnadas. Problemas de pórtcos planos lamnados não foram encontrados. Além dsso, os exemplos dsponíves se restrngam ao regme de lneardade geométrca. Dto sso, os dos problemas propostos são o pórtco com cnco pavmentos e o pórtco smples com um pavmento, ambos com apoos engastados, lgações rígdas e submetdos à ação de forças concentradas e dstrbuídas. Os pórtcos apresentam seções transversas lamnadas consttuídas por cnco lâmnas. A geometra, propredades elástcas dos materas e carregamento estão descrtos na Fgura 74. Para o exemplo do pórtco com cnco pavmentos, todas as barras foram dscretzadas com 4 elementos e 0 lâmnas dstrbuídas em ////. Somente 4 elementos foram utlzados porque são apresentadas apenas as dstrbuções de deslocamentos nas seções transversas S, S, S3, S4, S5 e S6. Já no exemplo do pórtco com um pavmento, os plares

207 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado 07 foram dscretzados com 6 elementos e a vga com 0. A seção fo dscretzada também com 0 lâmnas dstrbuídas em ////. Dstrbuções de deslocamentos são apresentadas para as seções transversas S e S. As trajetóras de equlíbro referentes ao deslocamento horzontal do nó superor esquerdo são também lustradas para ambos os pórtcos. Fgura 74 Geometra, carregamento e parâmetros elástcos dos pórtcos lamnados. O carregamento fo ncrementado em 4 passos guas e o processo de solução baseado no método de Newton-Raphson fo empregado em todas as análses com crtéros de convergênca em posção (tolerânca de 0-9 ) e em força (tolerânca de 0-6 ). Todas as ntegrações numércas foram realzadas com emprego de 4 x 0 pontos de Gauss em cada lâmna da dscretzação.

208 08 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado Os resultados obtdos para os dos exemplos são apresentados nas Fgura 75, Fgura 76, Fgura 77, Fgura 78 e Fgura 79. a) Seção S b) Seção S c) Seção S3 d) Seção S4 e) Seção S5 f) Seção S6 Fgura 75 Dstrbução de deslocamentos longtudnas u (m) para algumas seções transversas do pórtco com cnco pavmentos. Resultados para o últmo ncremento de carga.

209 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado 09 a) Deslocamento horzontal u (m) b) Deslocamento vertcal v (m) Fgura 76 Deslocamentos globas do pórtco com cnco pavmentos. Resultados para o últmo ncremento de carga. a) Seção S b) Seção S Fgura 77 Dstrbução de deslocamentos longtudnas u (m) para algumas seções transversas do pórtco com um pavmento. Resultados para o últmo ncremento de carga.

210 0 Capítulo 5 Elemento fnto de pórtco plano lamnado a) Deslocamento horzontal u (m) b) Deslocamento vertcal v (m) Fgura 78 Deslocamentos globas do pórtco com um pavmento. Resultados para o últmo ncremento de carga. Fgura 79 Trajetóras de equlíbro referente ao deslocamento horzontal u (m) do nó superor esquerdo. Nesses exemplos propostos, resultados em tensão não são apresentados porque já foram exaustvamente verfcados e apresentados nos exemplos anterores.