Formulação Unificada Para a Análise de Cascas Cilíndricas Finas e Espessas pelo Método dos Elementos Finitos

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1 João Carlos Vrgolno Soares Formulação Unfcada Para a Análse de Cascas Clíndrcas Fnas e Espessas pelo Método dos Elementos Fntos (Unfed Fnte Element Formulaton for Tn and Tck Cylndrcal Sell Analyss) Projeto de Graduação Trabalo de pesqusa apresentado como requsto parcal para conclusão do curso de Engenara Mecânca da PUC-Ro. Orentador: Prof. Carlos Alberto de Almeda Ro de Janero, Dezembro de 05

2 Agradecmentos A Deus, razão da mna vda, que me ajudou na camnada dára, em meo a todos os obstáculos e dfculdades. Aos meu pas, meus maores exemplos. A meu pa João Carlos Pnero Soares, que me ensnou a amar o trabalo, a ser responsável, que fo mna maor nspração a fazer engenara e, acma de tudo, por ter sdo meu melor amgo. A mna mãe, Imar Marrão Vrgolno, por todo amor, carno, compreensão, ajuda nos momentos mas dfíces e por me ensnar desde cedo que a escola não era uma obrgação, e sm meu maor dreto. A Ana Baltazar, mna grande companera que sempre esteve no meu lado nos momentos bons e runs. Ao meu orentador, Professor Carlos Alberto de Almeda, pela pacênca, por todos os ensnamentos e por servr de grande exemplo para mm e para dversos outros alunos de engenara. Ao Professor Mauro Speranza, pela oportundade de estágo que me proporconou mutas experêncas valosas. Ao Professor Marco Meggolaro e a todos os membros da equpe RoBotz, que me acoleram num lugar tão agradável e desafador, onde aprend muto e fz grandes amzades. A todos os amgos que fz durante o curso, que sempre fzeram o da a da na Puc mas dvertdo, especalmente Igor Grsas e Gabrel Bars, por me motvarem a r mas longe. A todos os meus amgos de nfânca e famlares. A PUC-Ro, pela bolsa concedda que me permtu conclur meus estudos e por me proporconar esse período de ntenso aprendzado e transformação. Learn from yesterday, lve for today, ope for tomorrow. Te mportant tng s not to stop questonng Albert Ensten I

3 Resumo Neste trabalo é apresentada uma formulação analítca e numérca para análse de cascas clíndrcas fnas e espessas, sob carregamentos de pressão nterna e externa, empregando-se o método dos elementos fntos undmensonas com número varável de nós. No modelo numérco, os deslocamentos assocados aos pontos nodas são representados por campos de deslocamentos nas dreções longtudnal e radal da casca, verfcando as restrções de tensões nulas nas faces nterna (pressão externa) e externa (pressão nterna) em uma combnação das soluções analítcas para cascas espessas clíndrcas e esfércas. Esses campos de deslocamentos são representados por ses graus de lberdade em cada ponto nodal. As condções de contorno naturas de csalamento nulo nas superfíces nterna e externa da casca são garantdas na vnculação entre os graus de lberdade do modelo. A condção de contnudade entre elementos adjacentes e a condção de fxação de um elemento são mpostas utlzando o Método das Penaldades. Os resultados numércos obtdos com a mplementação do modelo proposto são comparados com aqueles fornecdos em um software comercal, para a valdação do trabalo. Palavras-Cave Cascas Clíndrcas Fnas e Espessas, Método dos Elementos Fntos, Método das Penaldades II

4 Abstract In ts work s presented an analytcal and numercal formulaton for te analyss of tn and tck cylndrcal sells, under nternal and external pressure loads, utlzng te undmensonal Fnte Element Metod wt varable number of nodes. In te numercal model, dsplacements assocated to te nodal ponts are represented by dsplacement felds n te longtudnal and radal drectons of te sell, verfyng te restrctons of zero sear stress at te nternal and external surfaces of te sell, n a combnaton of analytcal solutons for tck cylndrcal and spercal sells. Tose dsplacement felds are represented by sx degrees of freedom n eac nodal pont. Te natural boundary condton of zero sear stress at te nternal and external surfaces of te sell are guaranteed troug te mposton of te lnkng between te model s degrees-offreedom. Te contnuty between two adjacent elements and te fxaton condtons of an element are mposed usng te Penalty Metod. Te numercal results obtaned from te mplementaton of te proposed model are compared wt tose provded by commercal software, for te work s valdaton. Keywords Cylndrcal Tn and Tck Sells, Fnte Elements Metod, Penalty Metod III

5 Lsta de Fguras Fgura : Sstemas de Coordenadas em Uma Casca Axssmétrca... 4 Fgura : Elemento Undmensonal... 5 Fgura 3: Mala de um clndro de paredes espessas... 9 Fgura 4: Tensão Crcunferencal ao longo da espessura (p = MPa) Fgura 5: Tensão Radal ao longo da espessura (p = MPa) Fgura 6: Deformação Crcunferencal ao longo da espessura (p = MPa)... 3 Fgura 7: Deformação Radal ao longo da espessura (p = MPa)... 3 Fgura 8: Tensão Crcunferencal ao longo da espessura (pe = MPa) Fgura 9: Tensão Radal ao longo da espessura (pe = MPa) Fgura 0: Deformação Crcunferencal ao longo da espessura (pe = MPa) Fgura : Deformação Radal ao longo da espessura (pe = MPa) Fgura : Tensão Crcunferencal ao longo da espessura no nó do engaste (p = MPa) Fgura 3: Tensão Longtudnal ao longo da espessura no nó do engaste (p = MPa) Fgura 4: Deslocamento Radal ao longo da comprmento (p = MPa) Fgura 5: Deformação Radal ao longo da espessura (p = MPa) Fgura 6: Tensão Crcunferencal ao longo da espessura (p = MPa) Fgura 7: Tensão Radal ao longo da espessura (p = MPa) Fgura 8: Deformação crcunferencal ao longo da espessura (p = MPa)... 4 Fgura 9: Deformação Radal ao longo da espessura (p = MPa)... 4 Fgura 0: Tensão Crcunferencal ao longo da espessura (pe = MPa) Fgura : Tensão Radal ao longo da espessura (pe = MPa) Fgura : Deformação crcunferencal ao longo da espessura (pe = MPa) Fgura 3: Deformação Radal ao longo da espessura (pe = MPa) Fgura 4: Tensão Crcunferencal ao longo da espessura (p = MPa) Fgura 5: Tensão Longtudnal ao longo da espessura (p = MPa) Fgura 6: Deslocamento Radal ao longo da comprmento (p = MPa) Fgura 7: Tensão Crcunferencal ao longo da espessura (p = MPa) Fgura 8: Tensão Crcunferencal ao longo da espessura (p = MPa) Fgura 9: Tensão Longtudnal ao longo da espessura (p = MPa) Fgura 30: Deslocamento Radal ao longo da comprmento (p = MPa) Fgura 3: Tensão Crcunferencal ao longo da espessura (p = MPa)... 5 IV

6 Lsta de Tabelas Tabela : Comparação da solução Analítca com a solução em C para tensões... 3 Tabela : Comparação da solução Analítca com a solução em C para deformações... 3 Tabela 3: Comparação da solução Analítca com a solução em C para tensões Tabela 4: Comparação da solução Analítca com a solução em C para deformações Tabela 5: Comparação da solução Analítca com a solução em C para tensões... 4 Tabela 6: Comparação da solução Analítca com a solução em C para deformações... 4 Tabela 7: Comparação da solução Analítca com a solução em C para tensões Tabela 8: Comparação da solução Analítca com a solução em C para deformações V

7 Sumáro. Introdução.... Modelo Matemátco Analítco Teora Geral de Cascas Defnção das Superfíces Deslocamentos para o caso de casca espessa Deslocamento na Dreção Longtudnal (ξ) Deslocamento na Dreção Radal (ζ) Relação Deformação-Deslocamento Smplfcações para Cascas Clíndrcas Equações Consttutvas Condções de Contorno Formulação Numérca do Modelo Prncípo dos Deslocamentos Vrtuas Método dos Elementos Fntos Formulação do Elemento Undmensonal Consderado Matrz Rgdez Global do Elemento Consderado Defnção da Matrz B (Deformação - Deslocamento) Defnção da Matrz C (Consttutva) Defnção da Matrz K (Rgdez Global) Vetor Carregamento Condções de Contnudade e de Fxação Método da Função Penaldade Aplcação do Método na Formulação Numérca Condção de Contnudade Condção de Fxação Solução Numérca Clndros de Paredes Fnas Lvres sob Pressão Interna Clndros de Paredes Fnas Lvres sob Pressão Externa Clndros de Paredes Fnas com Engaste Smples sob Pressão Interna Clndros de Paredes Espessas Lvres sob Pressão Interna Clndros de Paredes Espessas Lvres sob Pressão Externa Clndros de Paredes Espessas com Engaste Smples sob Pressão Interna Clndros de Paredes Espessas com Engaste Duplo sob Pressão Interna Conclusão... 5 Apêndce I - Solução Analítca dos Deslocamentos para uma Casca Clíndrca Espessa Apêndce II - Condções de Contorno Naturas Apêndce III Formulação da Matrz B Apêndce IV Matrz de Penaldades da Contnudade Bblografa VI

8 . Introdução Váras estruturas nas áreas de engenara podem ser classfcadas como estruturas axssmétrcas. Um caso partcularmente mportante desse tpo de estrutura é a casca clíndrca, que geralmente aparece como vasos de pressão ou em recpente para líqudos. O Método dos Elementos Fntos é uma ferramenta bastante utlzada no cálculo de projeto dessas estruturas. A utlzação do Método de Elementos Fntos para análse de estruturas axssmétrcas com modelos de smplfcação de mala utlzando elementos undmensonas é reportada na lteratura, como nas referêncas [] e [3], com bons resultados quanto à precsão e efcênca numérca. O objetvo desse trabalo é desenvolver a formulação de um modelo para cascas fnas e espessas axssmétrcas pelo método dos elementos fntos, através do emprego de um elemento com nterpolação undmensonal dos graus de lberdade, utlzando uma parametrzação para a representação de clndros. O modelo apresentado possu ses graus de lberdade, que representam as ncógntas do problema, fo mplementado em um programa de computador na lnguagem C, e que permte a realzação dos testes necessáros. O presente trabalo está organzado da segunte forma: Na seção, são apresentados concetos báscos de superfíces e cascas e as consderações para cascas clíndrcas do modelo: compatbldade geométrca, equações consttutvas e as equações dos campos de deslocamento radal e longtudnal, defndos em função dos graus de lberdade. Fnalmente, são defndas as condções de contorno naturas do modelo. Na seção 3 é feta uma ntrodução aos concetos báscos do Método dos Elementos Fntos e a sua formulação. Nessa seção é obtda a equação de equlíbro do sstema nvocandose o Prncípo dos Deslocamentos Vrtuas, e são obtdas as matrzes e vetores que compõem o

9 problema: nterpolação, compatbldade geométrca deformação-deslocamento, rgdez e vetor carregamentos. Na seção 4 é apresentada a utlzação do Método das Penaldades para garantr as condções de contnudade entre elementos adjacentes e de fxação de elementos, mostrando as condções necessáras, os cálculos e a resultante modfcação da matrz de rgdez obtda na seção anteror. As seções 5 e 6 destnam-se à exposção dos resultados numércos obtdos através de smulações e a comparação destes com as soluções fornecdas pelo programa Ansys, um software comercal de elementos fntos. Dessa forma fo possível analsar de forma coerente e consstente as soluções fornecdas pelo modelo numérco smplfcado desenvolvdo e apresentar-se as devdas conclusões e propostas para desenvolvmentos futuros.

10 . Modelo Matemátco Analítco Nessa seção são expostos concetos sobre superfíces e cascas, necessáros para o entendmento da formulação do modelo numérco. Também são apresentadas as equações de compatbldade geométrca e consttutvas referentes à geometra de casca clíndrca e as equações dos campos de deslocamento radal e longtudnal... Teora Geral de Cascas Uma casca é defnda como a regão delmtada por duas superfíces curvas. Em uma casca de revolução a superfíce méda é obtda da gração de uma lna (reta ou curva) em torno de um exo contdo no seu própro plano e é tomada como referênca das coordenadas locas, sendo o lugar geométrco dos pontos equdstantes das superfíces nterna e externa. A espessura da casca é a dstânca entre essas superfíces, medda ao longo da dreção normal à superfíce méda, para cada ponto da mesma. A formulação desenvolvda neste trabalo é proposta para aplcações tanto a cascas fnas quanto a cascas espessas... Defnção das Superfíces Uma superfíce é representada matematcamente em um sstema de coordenadas global, tendo um sstema ortogonal local defndo por coordenadas curvlíneas, como apresentado na fgura. Assm, as coordenadas globas do vetor posção de um ponto de uma superfíce podem ser expressas segundo a expressão: 3

11 Fgura : Sstemas de Coordenadas em Uma Casca Axssmétrca X (ξ, θ) = f (ξ, θ)ê + f (ξ, θ)ê + f 3 (ξ, θ)ê 3 (-) Onde ê, ê e ê3 são os vetores da base canônca do sstema de coordenadas global e f, f e f3 são funções contínuas, defndas pelos parâmetros geométrcos da superfíce. Consderando-se uma superfíce de revolução, tema de estudo do presente trabalo, obtda através da rotação de uma curva geratrz em torno de um exo, pode-se defnr as coordenadas locas como r(ξ) e z(ξ), representando as coordenadas radal e longtudnal, respectvamente. Desta forma, reescrevendo-se X obtém-se, então: X (ξ, θ) = r(ξ) cos(θ) ê + r(ξ) sn(θ) ê + z(ξ)ê 3 (-) De consderações geométrcas a varação do comprmento do vetor posção ds e as varações dr e dz das coordenadas r(ξ) e z(ξ), respectvamente, relaconam-se pela equação: ( ds dξ ) = ( dr(ξ) dξ ) + ( dz(ξ) dξ ) (-3) 4

12 Os raos prncpas de curvatura R e R na superfíce méda da casca [] são expressos pelas equações: R = R = s r z s 3 r z z r (-4) (-5) em que se utlzam as notações s = ds dξ, r = dr dξ, z = dz dξ. Para smplfcar o desenvolvmento teórco, assume-se que a casca possu espessura constante e também que as coordenadas curvlíneas longtudnal (ξ), crcunferencal (θ) são ndependentes, ou seja, dθ/dξ = dξ/dθ = Deslocamentos para o caso de casca espessa Os campos de deslocamento de clndros de casca fna são referdos à superfíce méda. Porém, o mesmo não se aplca para o caso de cascas espessas, pos a pótese de segmentos normas se manterem retos e perpendculares à superfíce da casca não é mas aplcável. Desta forma, cada uma das coordenadas deverá ser assocada a um campo de deslocamento ndependente..3.. Deslocamento na Dreção Longtudnal (ξ) U é defndo como o deslocamento na dreção longtudnal ξ da casca e é resultado da adção de um campo de deslocamento constante de membrana a um campo de deslocamentos que representa as condções de csalamento nulo nas superfíces da casca. U (ξ, ζ) = U 0 (ξ) + Υ (ξ)t + Φ (ξ)t + Ψ (ξ)t 3 (-6) 5

13 Onde U 0 representa o campo de deslocamento de membrana, Υ, Φ e Ψ são varáves de estado generalzadas, ao longo da dreção longtudnal (ξ), enquanto T se refere à coordenada local ao longo da espessura, tomada a partr da superfíce méda da casca..3.. Deslocamento na Dreção Radal (ζ) O deslocamento na dreção radal W é obtdo combnando-se as soluções analítcas para cascas clíndrcas e esfércas submetdas à pressão nterna e externa na forma segunte: W(ξ, ζ) = W 0 (ξ) + W (ξ) R(ξ,ζ) + W (ξ)r(ξ, ζ) + com R(ξ, ζ) = R (ξ) + T(ζ) W 3(ξ) [R(ξ,ζ)] (-7) onde W0 se refere à solução analítca para cascas de paredes fnas. A segunda parcela é a solução para clndros espessos, cuja forma é W/R + WR, e, fnalmente, a solução para esferas espessas, tem a forma WR + W3/R, conforme mostrado no desenvolvmento analítco apresentado nos Apêndces I e II..4. Relação Deformação-Deslocamento As equações de deformação da casca espessa são determnadas a partr da defnção da extensão ε de uma fbra ds, paralela à superfíce méda: ℇ = 3 3 ℇ j l l j = (ds ds) = j= (-8) ds Onde εj são as componentes do tensor deformação, ds * é o comprmento da fbra na superfíce deformada e l e lj referem-se aos cossenos dretores do elemento ds. 6

14 Pode-se defnr o comprmento ds a partr das dervadas X / θ e X / ξ, onde X é o vetor posção de um ponto da casca, como dto anterormente nesta seção. As relações deformação-deslocamento, explctadas a segur, são obtdas a partr das componentes analítcas das deformações lneares e de csalamento. [4] ε ξξ = ε θθ = A (+ T R ) ( U ξ + U A A θ + A W R ) A (+ T R ) ( U + U A + A W ) θ A ξ R ε ζζ = W T (-9) γ ξθ = A (+ T R ) [ U A (+ T R ) ξ A (+ T )] + A T (+ R ) R [ U A (+ T R ) θ A (+ T )] R γ ξζ = W + A A (+ T R ) ξ ( + T ) [ U R T A (+ T )] R γ θζ = W + A A (+ T R ) ξ ( + T ) [ U R T A (+ T )] R Onde A = ds dξ A = r T = ζ (-0) Nas eq. (-9) e (-0), W é o deslocamento radal, U é o deslocamento longtudnal ao longo do merdano da casca, U é o deslocamento referdo à coordenada crcunferencal θ e T é a coordenada local ao longo da espessura da casca. 7

15 .5. Smplfcações para Cascas Clíndrcas Para o caso de cascas axssmétrcas sob carregamentos axssmétrcos, a condção de smetra mplca que o deslocamento U na dreção crcunferencal e as dervadas dos demas deslocamentos em relação à coordenada θ devem ser nulas: U = du dθ = dw = ds = dr = dr = dr = 0 (-) dθ dθ dθ dθ dθ Além destas condções, também para o caso partcular das cascas clíndrcas consderado neste estudo, as seguntes consderações referentes aos raos prncpas de curvatura devem ser fetas: R R = R Aplcando-se essas smplfcações nas relações (-0) e (-) e substtundo-se o resultado nas equações (-9), estas resultam nas seguntes equações para as deformações: ε ξξ = s ( U ξ ) ε θθ = W (R+T) ε ζζ = W T (-) γ ξζ = W + U s ξ T γ ξθ = γ θζ = 0 8

16 .6. Equações Consttutvas Após as smplfcações mostradas na seção anteror, verfca-se que apenas quatro componentes de deformações são não nulas para a geometra de cascas clíndrcas. Utlzando-se a relação lnear da Le de Hooke, assocada ao materal omogêneo sotrópco, as seguntes equações deformação-tensão para cascas são obtdas: ε ξξ = [σ E ξξ ν(σ θθ + σ ζζ )] ε θθ = E [σ θθ ν(σ ξξ + σ ζζ )] (-3) ε ζζ = E [σ ζζ ν(σ ξξ + σ θθ )] γ ξζ = (+ν) τ E ξζ correspondentes às seguntes equações da transformação tensão-deformação: σ ξξ = σ θθ = σ ζζ = τ ξζ = E( ν) ( ν)(+ν) [ε ξξ + E( ν) ( ν)(+ν) [ε θθ + E( ν) ( ν)(+ν) [ε ζζ + E (+ν) γ ξζ ν ν ε θθ + ν ν ε ξξ + ν ν ε ξξ + ν ν ε ζζ] ν ν ε ζζ] (-4) ν ν ε θθ].7. Condções de Contorno Um dos objetvos da função nterpolação do campo de deslocamento U, como mostrado na seção.3., é permtr representar-se a condção de csalamento nulo nas faces nteror e exteror da casca, quando submetda a pressões nternas e externas. Como explctado na seção.6, a deformação angular γ ξζ depende da únca componente não nula da tensão de csalamento, resultando que a mesma também seja nula para a coordenada local ζ=±. 9

17 Com essas nformações, a partr das equações de deslocamento mpondo-se γ ξζ =0 para ζ=±, é possível defnr-se as varáves de estado Φ e Ψ, componentes do deslocamento U da casca em função dos demas campos de deslocamento, conforme está mostrado no Apêndce II. Φ = ( s W ξ ζ=+ s W ξ ζ= ) (-5) Ψ = ( W ξ ζ=+ + W ξ ζ= ) 3 s + γ (-6) 0

18 3. Formulação Numérca do Modelo A formulação para cascas clíndrcas apresentada na seção é agora mplementada através do Método dos Elementos Fntos baseado nos deslocamentos. Nesse método o domíno consderado na análse é dvdo em sub-domínos (elementos) compostos por nós, onde são calculados os deslocamentos regdos pelas relações geométrcas e equações desenvolvdas no capítulo anteror. Por conta da smetra axal do sóldo consderado, é proposta uma dscretzação undmensonal soparamétrca ao longo da geratrz da superfíce méda do clndro, dvda em elementos segundo a coordenada ξ na dreção longtudnal. Estes elementos são representados pelos deslocamentos avalados em 4 nós, em que o prmero e o últmo nós são comuns aos dos elementos adjacentes do elemento consderado. Como usual na formulação numérca por Elementos Fntos, a equação equlíbro estátco do sstema assocada aos deslocamentos é obtda através do Prncípo dos Deslocamentos Vrtuas. Nesta seção são abordados os concetos do Método dos Elementos Fntos e o seu desenvolvmento para a solução do modelo proposta no presente trabalo. 3.. Prncípo dos Deslocamentos Vrtuas Na formulação geral do Método de Elementos Fntos a equação de equlíbro do sstema assocada aos deslocamentos é obtda mpondo-se o Prncípo dos Deslocamentos Vrtuas: O equlíbro de um corpo é satsfeto para qualquer campo de deslocamento pequeno e compatível quando o trabalo vrtual nterno for gual ao trabalo vrtual externo.[6] Desta forma, consderando-se o prncípo da conservação da energa (ª le da Termodnâmca) para sstemas adabátcos, W nterno = W externo (3-)

19 Em outras palavras, a condção de equlíbro estátco em um corpo é satsfeta quando o trabalo realzado pelas forças externas (forças de corpo, forças de superfíce e cargas concentradas) for gual ao trabalo resultante das tensões e deformações nternas do corpo. Essa condção é equvalente à condção de mnmzação da Energa Potencal Total de um corpo elástco lnear contínuo, que mposta resulta na equação de equlíbro. Assm, de uma forma geral, a Energa Potencal Total é descrta da segunte manera: Π = V ε T σ dv V U TF BdV A U AT F AdA U CT F C (3-) em que, ε T e σ são vetores contendo as componentes dos tensores das deformações e tensões, que em um sstema de coordenadas em 3 dmensões são representados por: ε T = [ε xx ε yy ε zz γ xy γ yz γ zx ] (3-3) σ T = [σ xx σ yy σ zz σ xy σ yz σ zx ] (3-4) ε e σ relaconam-se através das equações consttutvas, organzadas na forma matrcal através da Matrz Consttutva C, a qual está explctada na eq. (3-8),.e. σ = Cε (3-5) F A, F B e F C, representam os vetores representatvos das forças de superfíce, forças de corpo e carregamentos concentrados, respectvamente: F A = [F Ax F Ay F Az ] F B = [F Bx F By F Bz ] (3-6) F C = [F Cx F Cy F Cz ] E, fnalmente, o vetor U T contém os deslocamentos nas três coordenadas globas de um ponto do corpo: U T = [u v w] (3-7)

20 Da condção de estaconardade do funconal Π (mnmzação da energa), ou seja, fazendo δπ = 0, obtém-se a equação de equlíbro do sstema: δε T Cε dv = V δu TF BdV V δu AT F AdA A δu CT F C (3-8) Na equação anteror δu T, δu AT e δu CT são as varações dos deslocamentos assocados às forças de corpo, superfíce e concentradas, respectvamente, que satsfazem as condções de contorno essencas do problema. δε T corresponde à varação dos componentes do vetor de deformação do corpo. 3.. Método dos Elementos Fntos O Método dos Elementos Fntos é uma técnca numérca de resolução das equações dferencas parcas representatvas das condções de contorno, compatbldade geométrca e consttutva. Nesse método o domíno estudado é sub-dvddo em elementos conectados por pontos nodas. As coordenadas dos deslocamentos no nteror do elemento são relaconadas com as coordenadas dos deslocamentos dos pontos nodas através de uma matrz de nterpolação dos (n) deslocamentos H (x,y,z), defnda à pror, (n) u (x,y,z) (n) = H U (n) (x,y,z) (3-9) onde û (n) representa o vetor que contém as componentes dos deslocamentos nas coordenadas globas x,y,z, e U (n) é o vetor dos componentes dos deslocamentos dos k nós do elemento (n). U (n)t = [U V W... U k V k W k ] (3-0) Utlzando-se o campo de deslocamentos na eq. (3-9) obtém-se a equação para as meddas das deformações: 3

21 ε (n) (n) = B U (n) (x,y,z) (3-) que são obtdas, no problema lnear para pequenos deslocamentos, das dervadas das (n) componentes dos deslocamentos u (x,y,z), defndos em (3-9), em relação às coordenadas globas. Na eq. (3-) B (n) é a matrz que relacona as deformações com os deslocamentos nodas do elemento (n). Ela é composta por equações que são funções de grandezas geométrcas do elemento e dos polnômos de nterpolação. Substtundo-se os campos de deslocamento e deformações na equação de equlíbro (3-8), para todos os elementos e ntegrando sobre cada domíno, obtém-se o sstema lnear que governa o comportamento da estrutura, na forma: KU = R (3-) onde Û é o vetor dos deslocamentos contendo todos os graus de lberdade assocados aos pontos nodas (deslocamentos), K é matrz de rgdez global e R é o vetor dos carregamentos nodas equvalentes. Desta forma a matrz de rgdez global K, defnda combnando-se a matrz deformação-deslocamento B e a matrz consttutva C, resulta em: K = n K (n) = n (n) T B C (n) B (n) dv (n) (3-3) V (n) R = R B + R A + R C (3-4) O vetor de carregamentos resulta da adção dos vetores das forças de corpo, de superfíce e das cargas concentradas, que são expressos, respectvamente, na forma: (n) dv (n) R B = n (n) H T B F B (3-5) V (n) (n) da (n) R A = n (n) H T A F A (3-6) A (n) R C = F C (3-7) 4

22 3... Formulação do Elemento Undmensonal Consderado Para a defnção das equações de equlíbro e suas respectvas matrzes, é precso caracterzar-se geometrcamente os elementos (sub-domínos) que formam a mala de elementos fntos. No presente estudo, conforme mostrado na Fg. 3, consdera-se a geometra de um sóldo (casca) axssmétrco em relação ao exo coordenado-z cujos graus-de-lberdade são referdos à superfíce méda. Desta forma, a formulação apresentada utlza elementos undmensonas com dscretzação ao longo da geratrz (posconada na superfíce méda). O elemento resultante que defne uma casca clíndrca será, consequentemente, uma subdvsão dessa lna méda, reta paralela ao exo-y de smetra. Fgura : Elemento Undmensonal 5

23 Na Fg. 3 um elemento axssmétrco genérco, e seus respectvos quatro nós, estão dspostos na ordem Para o caso partcular do clndro, o ângulo da fgura de transformação das coordenadas globas e locas é gual a zero. A cada nó tem-se assocados dos campos de deslocamento translaconas, prevamente explctados na Seção, nas eqs. (-6) e (-7), U e W. U representa o deslocamento do ponto nodal na dreção longtudnal ξ, enquanto W é o deslocamento na dreção radal ζ. Na formulação lagrangana consderada, os parâmetros geométrcos e os deslocamentos são nterpolados por funções polnomas de tercero grau que, para um elemento de 4 nós, possuem a segunte forma: (ξ) = ( 9ξ3 +9ξ +ξ ) 6 (ξ) = (9ξ3 +9ξ ξ ) 6 (3-8) 3 (ξ) = (7ξ3 9ξ 7ξ+9) 6 4 (ξ) = ( 7ξ3 9ξ +7ξ+9) 6 Com sso, explctam-se as coordenadas cartesanas globas radal e axal, respectvamente, consderando: k r(ξ) = = (ξ) r (3-9) k z(ξ) = = (ξ) z (3-0) Onde k=4 é o número de nós do elemento, ξ é a coordenada longtudnal local soparamétrca, válda no ntervalo [-, ] e ζ é a coordenada local que percorre a espessura da casca. Para o caso específco das cascas clíndrcas r(ξ) é constante. As componentes dos campos de deslocamento são também nterpoladas na dreção longtudnal da casca. Empregando-se as funções em (3-8) pode-se representar os deslocamentos defndos no capítulo, nas equações (-6) e (-7), da segunte forma: 6

24 U 0 (ξ) = Υ (ξ) = k = k = k (ξ) (ξ) U 0 Υ W 0 (ξ) = = (ξ) W 0 (3-) W (ξ) = W (ξ) = W 3 (ξ) = k = k = k = (ξ) (ξ) (ξ) Utlzando os campos de deslocamentos acma defndos, as equações das meddas de deformações descrtas pelas equações (-) podem ser reescrtas em função das componentes dos deslocamentos nodas. Assm, tem-se: k k ε ξξ = ( [ s ξ = (ξ) U 0 ] + [ ξ = (ξ) Υ ]T + [ ξ = (ξ) Φ ]T + W W W 3 k [ k ξ = (ξ) Ψ ]T 3 ) k = W k = (ξ) W 0 + (ξ) R + T ε θθ = k = W 3 + k = (ξ) W (R + T) + (ξ) [R + T] (R + T) ε ζζ = k = (ξ) W T (3-) γ ξζ = s (R+T) k = (ξ) ξ (W 0 + W + W R+T (R + T) + W 3 [R+T] ) + ([ = (ξ) Υ ] + k [ k = (ξ) Φ ]T + [3 k = (ξ) Ψ ]T ) onde s = z ξ R(ξ, ζ) = R (ξ) + T(ζ) T = ζ 7

25 Assm, os campos de deformação assocados ao elemento axssmétrco undmensonal são defndos em função de seus graus de lberdade. A matrz de rgdez global K do elemento e o vetor de carregamentos nodas R são consderados nas seções seguntes Matrz Rgdez Global do Elemento Consderado Defnção da Matrz B (Deformação - Deslocamento) A relação de compatbldade geométrca, que relacona as deformações do elemento com as 6 componentes do deslocamento assocados aos quatro nós do mesmo elemento, é representada pela matrz B (n) na forma: ε ξξ ε θθ [ ε ζζ ] γ ξζ (n) = B (n) Û (n) (3-3) onde Û é o vetor contendo os deslocamentos da casca assocados aos 4 pontos nodas de cada elemento (n), tendo portanto um total de 4 graus-de-lberdade. Û (n)t = [U 0 Υ W 0 W W W 3 U U U 0... ] (3-4) Desta forma, tem-se que a matrz B (n) para um determnado elemento pode ser escrta na forma segunte: B (n) = [B B 3 B 4 B ] (3-5) Com B, B, B3 e B4 sendo as sub-matrzes de B obtdas para cada nó do elemento, na segunte forma: 8

26 B = [ a a a a a a a a a a a a a 3 a 3 a 3 a 3 a 3 a 3 a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 ] (3-6) Os elementos de cada coluna da Matrz B referem-se ao grau de lberdade específco de cada nó do elemento (n), conforme explctado no vetor em (3-4), e cada lna de B se refere a cada uma das componentes de deformação do elemento, conforme lstado no vetor de deformações mostrado à eq. (3-3). Portanto, assocado a cada elemento tem-se um vetor de deformações, um vetor de deslocamentos e uma matrz B(ξ, ζ) correspondente. As dervações das equações para os termos aj em (3-6) estão descrtas no Apêndce IV Defnção da Matrz C (Consttutva) A Matrz Consttutva representa a relação entre as componentes das tensões e das deformações, em cada ponto da estrutura (casca). Consderando-se a relação lnearzada desta relação para materas omogêneos e sotrópcos, tem-se: σ ξξ σ θθ [ σ ζζ ] τ ξζ (n) ε ξξ = C (n) ε θθ [ ε ζζ ] γ ξζ (n) (3-7) onde a matrz C (n), resultante da Le de Hooke, apresenta-se na forma segunte: C (n) = E( ν) ( ν)(+ν) [ ν ( ν) ν ( ν) ν ( ν) ν ( ν) ν ( ν) ν ( ν) ( ν) ( ν)] (3-8) 9

27 onde E e ν são, respectvamente, o Módulo de Elastcdade e o coefcente de Posson do materal Defnção da Matrz K (Rgdez Global) Consderando-se cada elemento resultante da dscretzação da estrutura obtém-se a matrz de rgdez K local, que relacona o vetor dos deslocamentos com o vetor dos carregamentos nodas, conforme expresso na eq. (3-). Consderando-se o Prncípo dos Trabalos Vrtuas, esta matrz é obtda da ntegração, sobre o volume V (n) do elemento, da combnação das matrzes B (n) e C (n) na forma: K (n) = B (n)t C (n) B (n) dv (n) V (n) (3-9) Devdo à smetra axal da casca esta equação é, neste estudo, smplfcada, realzando-se a ntegração sobre o volume correspondente ao ângulo central de radano da casca. Dessa manera a equação reduz-se à ntegral sobre a área de revolução da casca clíndrca, nas coordenadas locas ξ e ζ, na forma: K (n) = B(ξ, ζ) (n)t C (n) B(ξ, ζ) (n) R(ζ) dz dξ dξdζ (3-30) 0

28 3.4. Vetor Carregamento De acordo com a eq. (3-), além da matrz de rgdez, é também necessáro defnr-se o vetor dos carregamentos nodas equvalentes, para a obtenção dos deslocamentos. Neste estudo são consderadas as pressões agndo nas superfíces nterna e externa do clndro. Para este tpo de carregamento, o vetor das forças nodas equvalentes assocado a um elemento (n) é dado pela expressão: R A (n) = H (n)t p (n) da A (n) (3-3) onde p (n) é o vetor das pressões atuantes e A é a área de atuação da pressão correspondente ao ângulo central de radano da casca, consderando-se se a pressão é nterna ou externa. Já H (n)t ( ξ) é a matrz contendo as funções de nterpolação assocadas às componentes de deslocamento. Assm, a matrz H (n)t (ξ) possu a segunte forma, correspondente ao deslocamento radal da casca: H (n)t = [0 0 (ξ) (ξ) /R A (ξ)r A (ξ) /R A (ξ) (ξ) (ξ) /R A (ξ)r A (ξ) /R A ] (3-33) Inserndo os termos referentes à área, obtém-se da eq. (3-3): R A (n) = onde H (n)t (ξ) p (n) R A dz dξ dξ (3-34) R A = R + e R A = R para pressão externa (3-35) para pressão nterna

29 4. Condções de Contnudade e de Fxação Na formulação do modelo de Elementos Fntos apresentada na Seção 3, deve-se atentar para a necessdade de serem mpostas duas condções: Contnudade e Fxação. A contnudade entre elementos deve ser garantda entre dos elementos adjacentes. As condções de fxação devem ser mpostas nos graus de lberdade assocados aos nós extremos da casca, na representação da condção de contorno em dferentes stuações. A condção de contnudade do deslocamento radal W entre dos elementos adjacentes é automatcamente garantda ao longo da coordenada longtudnal e ao longo da espessura por meo dos graus de lberdade generalzados no ponto nodal comum aos elementos adjacentes. A condção de contnudade do deslocamento axal U é garantda pela mposção da condção de contorno natural de deformação angular nula nas faces nterna e externa da casca, conforme vsto na Seção. Fnalmente, faz-se também necessáro mpor uma condção de fxação na casca. Neste caso, os valores nodas dos graus de lberdade são nulos nos pontos de fxação. Estas restrções são mpostas no presente trabalo através do Método de Penaldades, um método numérco de mposção de restrções amplamente utlzado em problemas de otmzação. 4.. Método da Função Penaldade O Método de Penaldades ou Método da Função Penaldade é um método usado em problemas de otmzação, e consste em transformar um problema de mnmzação sujeto a restrções em uma sére de problemas de mnmzação sem restrções. [7] Defne-se ncalmente a função a ser mnmzada: φ(x, α) = F(X ) + α [g (X )] N = (4-)

30 Onde F(X ) é a função a ser mnmzada sujeta às restrções g (X ) = 0, X é um vetor contendo as varáves do problema e α é a magntude do parâmetro de penaldade, assumndo valores maores ou guas a 0. Para que a solução obtda da mnmzação satsfaça a restrção g (X ) = 0, é precso defnr um valor adequado para o parâmetro α. Para valores crescentes de α, a convergênca da solução é assegurada. Deve-se atentar ao fato, porém, de que a escola de um valor muto elevado para α torna o termo N [g (X )] = domnante na equação de mnmzação, o que resulta na perda da dentfcação matemátca orgnal do problema, defnda pela função objetvo F(X ). Para evtar sso, defne-se um valor de α que mantena os dos termos da equação na mesma ordem de grandeza Aplcação do Método na Formulação Numérca Como dto na seção 4., o método de penaldades mplca em adconar-se a uma função objetvo, sujeta a restrções e a ser mnmzada, um funconal que representa a mposção de restrções de gualdade. Na presente formulação do modelo de cascas clíndrcas, a função objetvo F(X ) a ser mnmzada é o funconal da Energa Potencal Π, conforme defndo na Seção 3. Portanto, a partr da eq. (4-), defne-se um novo funconal Π : Π = Π + α (restrção) (4-) onde tem-se restrções da forma: restrção = 0 (4-3) Pela mnmzação do funconal Π,.e., mpondo-se a condção de estaconardade δπ = 0, obtém-se o resultado da mnmzação de Π, satsfazendo as condções prescrtas em (4-3). Estas restrções são representatvas das condções de contnudade e de fxação. 3

31 Embora os deslocamentos radal e longtudnal têm sua contnudade entre elementos garantda por graus de lberdade generalzados e por condções de contorno naturas, como vsto no níco desta seção, é precso também garantr a contnudade da prmera dervada do deslocamento radal W, mpondo a condção de gualdade entre as dervadas obtdas em dos elementos adjacentes, no nó comum. Já a condção de fxação de um elemento é representada mpondo-se valores nulos para as componentes dos campos de deslocamento e para a prmera dervada de W em relação à coordenada ξ Condção de Contnudade Esta condção a ser mposta pelo método das penaldades garante a contnudade da prmera dervada do deslocamento radal W entre elementos adjacentes. Para sso, são defndas duas restrções: nas paredes nterna e externa do clndro, entre os elementos (n) e (n+). restrção = [( W ) (n) ( W ) (n+) ] s ξ ξ=+ s ξ ξ= ζ=+ restrção = [( W ) (n) ( W ) (n+) ] s ξ ξ=+ s ξ ξ= ζ= (4-4) (4-5) Aplcando estas restrções na eq. (4-) e mpondo a condção de estaconardade do funconal Π, obtém-se uma nova equação de equlíbro para o sstema: (K + K C PT )U = R (4-6) C Os termos K, Û e R são os mesmos vstos na seção 3. O termo K PT representa a matrz de penaldades, que mpõe a contnudade para N pontos nodas. Essa matrz pode ser expressa pela soma de outras duas, cada uma referente às faces nterna ou externa da casca. K C PT = K C P C + K P (4-7) 4

32 C C Na eq. (4-7), K P representa a matrz para a superfíce externa e K P para a superfíce nterna. Por sua vez, estas matrzes são representadas pelo somatóro das matrzes de penaldade defndas para cada ponto nodal j. C = j= K Pj K P K P N N C C C = j= K Pj (4-8) (4-9 C Fnalmente, cada matrz K Pkj pode ser defnda como: C K Pkj T = α G Ck G Ck (4-0) e G Ck = [G k G k G 3k ] (4-) Como vsto anterormente nesta seção, α é a magntude da penaldade, enquanto G Ck é uma matrz composta pelos graus-de-lberdade nodas de dos elementos adjacentes, Portanto, possu 4 componentes, explctados a segur: G k = [a b c d e f a 3... a 4... ] (4-) G k = [g j k l] (4-3) G 3k = [u 3 v 3 w 3 x 3 y 3 z 3 u 4... u... ] (4-4) As componentes da matrz G Ck estão assocadas a componentes do vetor dos graus de lberdade globas: T U T = [û (n) T û (nt) T û (n+) ] (4-5) T û (n) = [U o (n) Υ (n) W o (n) W (n) W (n) W 3 (n) U o 3(n)... U o 4(n)... ] (4-6) T û (n+) = [U o 3(n+)... U o 4(n+)... U o (n+)... ] (4-7) T û (n) = [U o (nt) Υ (nt) W o (nt) W (nt) W (nt) W 3 (nt) ] (4-8) Os graus de lberdade do elemento (n) estão assocados com os termos de G k, assm como os do elemento (n+) estão assocados a G 3k. O nó ntermedáro, comum aos dos 5

33 elementos, está assocado a G k. Os termos que preencem a matrz G Ck estão deduzdos no Apêndce V Condção de Fxação Esta condção se faz necessára nos pontos nodas em que á a condção de engaste da casca clíndrca. Nesta condção, as componentes do deslocamento são nulas, bem como a prmera dervada do campo de deslocamento radal W, nas faces nterna e externa, para o nó fxado, relatvamente à coordenada axal da casca. Anular as componentes do deslocamento é equvalente a remover-se da matrz de rgdez global os graus de lberdade nodas correspondentes. E, para a condção de dervada de W nula, aplcam-se as seguntes restrções, usando o mesmo procedmento usado na condção de contnudade: restrção = [( W restrção = [( W () ξ ) ξ=± () ξ ) ξ=± ] ] ζ=+ ζ= (4-9) (4-0) Aplcando-se essas restrções à eq. (4-), esta resulta na segunte equação de equlíbro: (K + K F PT )U = R (4-) F onde os termos K, Û e R são conforme defndos na seção 3 e o termo K PT representa a matrz de penaldades de fxação. Essa matrz pode ser expressa pela soma de outras duas, cada uma referente às faces nterna ou externa da casca. K F PT = K F P F + K P (4-) 6

34 F F Na eq. (4-), K P representa a matrz para a superfíce externa e K P para a superfíce nterna. Ambas as matrzes podem ser representadas pelo somatóro das matrzes de penaldade defndas para cada ponto nodal, na forma: F = j= K Pj K P K P N N F F F = j= K Pj (4-3) (4-4) F Com cada matrz K Pkj podendo ser defnda como: F K Pkj T = α G Fk G Fk (4-5) Onde α é a magntude do fator de penaldade e G Fk pode ser explctada na forma: G Fk = [m n o p q r m 3... m 4... m... ] (4-6) Os termos que compõem essa matrz estão desenvolvdos no Apêndce V e podem ser representados como: m p = 0 n p = 0 o p = p ξ ζ=± p p = ( R p ξ R R ξ ) ζ=± (4-7) q p = (R p ξ + R ξ ) ζ=± r p = ( R p ξ R 3 R ξ ) ζ=± O vetor deslocamento assocado a essa matrz de penaldades é o mesmo elementar apresentado na eq. (3-4) e, portanto, a combnação das condções de contnudade e fxação resultam na segunte equação de equlíbro a ser consderada: (K + K C PT + K F PT )U = R (4-8) 7

35 5. Solução Numérca O modelo descrto nesse trabalo fo mplementado em um programa de computador utlzando-se a lnguagem C. Os valores encontrados no programa foram comparados com aqueles fornecdos no software comercal Ansys, para a valdação do trabalo. Em todos os testes numércos foram utlzados os seguntes parâmetros geométrcos e físcos: Módulo de Coefcente de Pressão Magntude da Comprmento Elastcdade (E) Posson () (p) penaldade (α) (L) 00 GPa 0,3 MPa mm Nos casos de clndros lvres (com a condção de fxação nula nas extremdades), os testes numércos foram realzados para malas formadas por elemento apenas. Nos casos de clndros com engaste, os testes numércos foram realzados com malas formadas por 80 elementos. A magntude do parâmetro de penaldade fo estabelecda através da expermentação numérca. Nas smulações utlzando software, utlzou-se uma mala com elementos sóldos trdmensonas representando ¼ do sóldo clíndrco, conforme mostrado na Fg.3. Condções de contorno de apoo smples foram empregadas nas faces paralelas aos exos x e y, representando a smetra axal do problema, além da condção de contorno smples ou de fxação na base, conforme a condção de clndro lvre ou engastado, respectvamente. A mala utlzada para o caso de clndros de paredes espessas está mostrada na Fg.3. 8

36 Fgura 3: Mala de um clndro de paredes espessas 5.. Clndros de Paredes Fnas Lvres sob Pressão Interna Incalmente consderou-se um clndro de casca fna, em que R,.e., no caso em que o rao do clndro é maor que a espessura em uma ordem de grandeza ou mas. No presente estudo consdera-se: R 0 (5-) utlzando-se um clndro com os seguntes parâmetros: R = 50 mm = 5 mm (5-) As Fguras 4, 5, 6 e 7 a segur apresentam uma comparação entre as soluções obtdas com o presente estudo e com o programa Ansys para as meddas das tensões e deformações (crcunferencal e radal) ao longo da espessura da casca. 9

37 ,E+08,0E+08,8E+08,6E+08,4E+08,E+08 Crc - Ansys Crc - Pres. Estudo,0E+08,08E+08,06E ,00 0,00 0,003 0,004 0,005 0,006 Fgura 4: Tensão Crcunferencal ao longo da espessura (p = MPa),00E+06 0,00E+00 -,00E ,00 0,00 0,003 0,004 0,005 0,006-4,00E+06-6,00E+06 Radal - Ansys radal - Pres. Estudo -8,00E+06 -,00E+07 -,0E+07 -,40E+07 Fgura 5: Tensão Radal ao longo da espessura (p = MPa) 30

38 6,30E-04 6,0E-04 6,0E-04 6,00E-04 5,90E-04 5,80E-04 5,70E-04 Def - Ansys Def - Pres. Estudo 5,60E-04 5,50E-04 5,40E-04 5,30E ,00 0,00 0,003 0,004 0,005 0,006 Fgura 6: Deformação Crcunferencal ao longo da espessura (p = MPa) 0,00E ,00 0,00 0,003 0,004 0,005 0,006-5,00E-05 -,00E-04 -,50E-04 -,00E-04 deformação Ansys deformação - Pres. Estudo -,50E-04-3,00E-04 Fgura 7: Deformação Radal ao longo da espessura (p = MPa) Destes resultados, observa-se que as soluções encontradas com o presente modelo estão de acordo com a solução numérca fornecda pelo software Ansys. 3

39 Dos resultados nas fgs. 4 e 5 observa-se a dferença de uma ordem de grandeza das Tensões Crcunferencas em relação às Tensões Radas, o que permte comprovar a aproxmação usual nas soluções analítcas com as Tensões Radas nulas em clndros de paredes fnas. Observa-se também na fg.5 a verfcação das condções de contorno para as Tensões Radas: nulas na parede exteror da casca e guas ao valor negatvo da pressão aplcada na pressão nterna. Desta forma, uma comparação dos resultados do presente estudo com a solução analítca do problema está mostrada nas tabelas e, onde são comparadas as tensões radas e crcunferencas e as deformações radas e crcunferencas, avaladas nas superfíces nterna e externa da casca. Uma muto boa concordânca destes resultados pode ser observada. Clndro lvre, paredes fnas, σ θθ σ θθ σ ζζ σ ζζ pressão nterna ζ = ζ = + ζ = ζ = + Resultado C (MPa) Resultado Analítco (MPa) Erro (%) Tabela : Comparação da solução Analítca com a solução em C para tensões Clndro lvre, paredes fnas, ε θθ ε θθ ε ζζ ε ζζ pressão nterna ζ = ζ = + ζ = ζ = + Resultado C (0-4 ) Resultado Analítco (0-4 ) Erro (%) Tabela : Comparação da solução Analítca com a solução em C para deformações 3

40 Desta forma pode-se conclur que o modelo utlzado apresenta resultados compatíves para a representação de comportamento de cascas fnas axssmétrcas lvres submetdas à pressão nterna. Na seção segunte consdera-se a valdação para o carregamento de pressão externa. 5.. Clndros de Paredes Fnas Lvres sob Pressão Externa O mesmo modelo consderado no teste anteror é agora consderado sob a pressão na superfíce externa do clndro. Nas fguras 8 a consderam-se as soluções para as meddas das tensões e deformações (crcunferencal e radal) ao longo da espessura da casca. -,8E+08 -,0E ,00 0,00 0,003 0,004 0,005 0,006 -,E+08 -,4E+08 -,6E+08 -,8E+08 Crc - Ansys Crc - Pres. Estudo -,30E+08 -,3E+08 -,34E+08 Fgura 8: Tensão Crcunferencal ao longo da espessura (pe = MPa) 33

41 0,00E ,00 0,00 0,003 0,004 0,005 0,006 -,00E+06-4,00E+06-6,00E+06-8,00E+06 Radal - Ansys Radal - Pres. Estudo -,00E+07 -,0E+07 -,40E+07-5,70E-04-5,80E-04 Fgura 9: Tensão Radal ao longo da espessura (pe = MPa) 0 0,00 0,00 0,003 0,004 0,005 0,006-5,90E-04-6,00E-04-6,0E-04-6,0E-04 def - Ansys def - Pres. Estudo -6,30E-04-6,40E-04-6,50E-04-6,60E-04-6,70E-04 Fgura 0: Deformação Crcunferencal ao longo da espessura (pe = MPa) 34

42 ,50E-04,00E-04,50E-04,00E-04 deformação Ansys deformação - Pres. Estudo 5,00E-05 0,00E ,00 0,00 0,003 0,004 0,005 0,006 Fgura : Deformação Radal ao longo da espessura (pe = MPa) Os resultados apresentados estão em muto boa concordânca. Mas uma vez, a sgnfcatva dferença entre os valores da componente Crcunferencal das tensões em relação às Tensões Radas permte que se consderem nulas as Tensões Radas para o caso de clndro de paredes fnas. Também, na fg. 9, observa-se que as condções de contorno quanto às Tensões Radas foram respetadas no modelo numérco: nulas na parede nterna da casca e guas ao valor negatvo da pressão aplcada na parede externa. Como na seção 5., aqu também fo feta uma avalação entre as soluções numércas e analítca do problema, conforme está mostrado nas Tabelas 3 e 4 a segur. 35

43 Clndro lvre, paredes fnas, σ θθ σ θθ σ ζζ σ ζζ pressão externa ζ = ζ = + ζ = ζ = + Resultado C (MPa) Resultado Analítco (MPa) Erro (%) Tabela 3: Comparação da solução Analítca com a solução em C para tensões Clndro lvre, paredes fnas, ε θθ ε θθ ε ζζ ε ζζ pressão externa ζ = ζ = + ζ = ζ = + Resultado C (0-4 ) Resultado Analítco (0-4 ) Erro (%) Tabela 4: Comparação da solução Analítca com a solução em C para deformações Este conjunto de resultados e comparações confrmam a efcáca do modelo proposto na representação de clndros lvres de paredes fnas Clndros de Paredes Fnas com Engaste Smples sob Pressão Interna Nesta seção consderam-se clndros de paredes fnas sob a condção de fxação em uma das extremdades. Desta forma é necessáro mpor-se a condção de fxação do prmero nó do modelo do clndro, resultando em um clndro com engaste smples. Os resultados numércos obtdos para os testes (crcunferencal e longtudnal) estão apresentados na fguras e 3. 36

44 ,50E+08,00E+08 5,00E+07 0,00E ,00 0,00 0,003 0,004 0,005 0,006 Crc - Ansys Crc - Pres. Estudo -5,00E+07 -,00E+08 -,50E+08 Fgura : Tensão Crcunferencal ao longo da espessura no nó do engaste (p = MPa) 4,00E+08 3,00E+08,00E+08,00E+08 0,00E ,00 0,00 0,003 0,004 0,005 0,006 Long - Ansys Long - Pres. Estudo -,00E+08 -,00E+08-3,00E+08 Fgura 3: Tensão Longtudnal ao longo da espessura no nó do engaste (p = MPa) 37

45 Devdo às condções de engaste consderadas e ao contráro do caso de clndros lvres, as Tensões Longtudnas não são nulas. Analsando-se os resultados para a Tensão Crcunferencal mostrados na fg., estes apresentam uma boa concordânca com a mesma tendênca da dstrbução. Porém, os resultados das Tensões Longtudnas apresentados na fg.3 revelam um afastamento maor, devdo prncpalmente à aproxmação dos deslocamentos utlzada no modelo numérco consderado. 0,035 0,03 0,05 0,0 0,05 desloc-ansys desloc-pres. Estudo 0,0 0, Fgura 4: Deslocamento Radal ao longo da comprmento (p = MPa) A fg. 4 apresenta os resultados para o deslocamento radal W ao longo do comprmento do clndro. Nota-se que a condção de fxação é respetada pela solução numérca obtda, com o deslocamento nulo na base onde é mposta a condção de fxação. 38

46 0,00E+00-5,00E ,00 0,00 0,003 0,004 0,005 0,006 -,00E-03 -,50E-03 -,00E-03 deformação Ansys deformação - Pres. Estudo -,50E-03-3,00E-03 Fgura 5: Deformação Radal ao longo da espessura (p = MPa) A fg. 5 apresenta a dstrbução da deformação radal ao longo da espessura obtda junto ao nó central do clndro, afastado do engaste. Este resultado valda o modelo proposto, pos concde com o resultado encontrado para o caso de clndro lvre de paredes fnas com pressão nterna, mostrado na Fg Clndros de Paredes Espessas Lvres sob Pressão Interna Com as soluções para clndros de casca fna confrmadas por outra solução numérca e analítca, nesta seção passa-se a verfcar as soluções para o caso de clndros de paredes espessas. Os parâmetros representatvos para o teste numérco consderado são os seguntes: R = 50 mm = 50 mm (5-5) Nas fguras 6 a 9 estão apresentadas as dstrbuções ao longo da espessura da casca das tensões e das deformações (crcunferencal e radal). 39

47 ,60E+07,40E+07,0E+07,00E+07 8,00E+06 6,00E+06 Crc - Ansys Crc - Pres. Estudo 4,00E+06,00E+06 0,00E ,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 Fgura 6: Tensão Crcunferencal ao longo da espessura (p = MPa) 0,00E+00 -,00E ,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06-4,00E+06-6,00E+06-8,00E+06 Radal - Ansys Radal - Pres. Estudo -,00E+07 -,0E+07 -,40E+07 Fgura 7: Tensão Radal ao longo da espessura (p = MPa) Nas fg. 6 e 7 observa-se que, ao contráro da geometra para clndros de paredes fnas, as tensões radas e crcunferencas possuem valores na mesma ordem de grandeza, não sendo possível a aproxmação utlzada para a geometra de cascas fnas. Por outro lado, observa-se da fg.7 que também aqu as condções de contorno referentes às Tensões Radas são respetadas: 40

48 nulas na parede exteror da casca e guas ao valor negatvo da pressão aplcada na parede nteror.,00e-04 9,00E-05 8,00E-05 7,00E-05 6,00E-05 5,00E-05 4,00E-05 def - Ansys def - Pres. Estudo 3,00E-05,00E-05,00E-05 0,00E ,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 Fgura 8: Deformação crcunferencal ao longo da espessura (p = MPa) 0,00E+00 -,00E ,00 0,00 0,003 0,004 0,005 0,006 -,00E-05-3,00E-05-4,00E-05-5,00E-05 deformação Ansys deformação - Pres. Estudo -6,00E-05-7,00E-05-8,00E-05-9,00E-05 Fgura 9: Deformação Radal ao longo da espessura (p = MPa) 4

49 Aqu também foram fetas comparações entre as soluções com o programa do presente estudo com as soluções analítcas, conforme está mostrado nas tabelas 5 e 6 a segur. Clndro lvre, paredes σ θθ σ θθ σ ζζ σ ζζ espessas, pressão nterna ζ = ζ = + ζ = ζ = + Resultado C (MPa) Resultado Analítco (MPa) Erro (%) Tabela 5: Comparação da solução Analítca com a solução em C para tensões Clndro lvre, paredes ε θθ ε θθ ε ζζ ε ζζ espessas, pressão nterna ζ = ζ = + ζ = ζ = + Resultado C (0-5 ) Resultado Analítco (0-5 ) Erro (%) Tabela 6: Comparação da solução Analítca com a solução em C para deformações A boa concordânca entre as soluções numércas obtdas com o modelo proposto e as soluções analítcas e numércas do programa Ansys permte conclur que o modelo utlzado também é adequado para a representação de cascas espessas axssmétrcas lvres submetdas a pressões nternas. 4