Introdução ao Método dos Elementos Finitos: Elasticidade Plana e Tridimensional

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1 Introdução ao Método dos Elementos Fntos: Elastcdade Plana e Trdmensonal. Introdução Este teto resume a aplcação do elemento de deslocamento do Método dos Elementos Fntos na solução de problemas de elastcdade plana e trdmensonal. Começa-se por defnr as hpóteses da análse físca e geometrcamente lnear, e recordar as stuações em que se pode admtr que corpos elástcos têm comportamento plano. É este o tpo de comportamento utlzado na apresentação e nterpretação do Método dos Elementos Fntos, o qual é posterormente generalzado para a análse de sóldos elástcos. Defnem-se as varáves necessáras para caracterzar o problema e as equações que smulam o comportamento da estrutura, recorrendo-se a um eemplo smples para lustrar a dentfcação das varáves e a função de cada uma das equações, as quas são organzadas de forma dêntca às da modelação do comportamento de peças lneares: as condções de equlíbro e de compatbldade, no domíno e na frontera da peça, e as relações de elastcdade. O eemplo de aplcação é também usado para mostrar que a solução eacta dessas equações não tem epressão analítca, na maora das aplcações. Introduz-se, por sso, a dea básca da formulação do Método dos Elementos Fntos aqu adoptada, de apromar o campo de deslocamentos. Descreve-se depos, sumaramente, a generalzação para o caso plano da formulação anterormente desenvolvda para a análse de peças lneares. Essa generalzação é lustrada com um eemplo de ntrodução, o qual é utlzado para formular e analsar os crtéros de apromação do campo de deslocamento e a consequente apromação do campo de deformações, de modo a assegurar a condção central de obter soluções apromadas cnematcamente admssíves. A apromação que se obtém para o campo de tensões aplcando as relações de elastcdade é utlzada para mostrar que não é possível, em

2 geral, satsfazer localmente as condções de equlíbro, tanto no domíno como na frontera do elemento. O conceto de força nodal equvalente é depos generalzado e utlzado para formular a equação resolvente do Método dos Elementos Fntos, cuja nterpretação é análoga à obtda para peças lneares: defne o equlíbro nodal dos elementos da malha, combnando as forças nodas devdas aos deslocamentos nodas (os termos da matrz de rgdez do elemento) e resultante das forças nodas equvalentes às forças aplcadas, desgnadamente as forças de massa e as forças de frontera do elemento. Estes concetos são depos gradualmente generalzados. Começa-se por defnr os elementos mas smples usados na análse de estados planos e usam-se esses resultados para generalzar a formulação do Método dos Elementos Fntos. As dfculdades de mplementação do eemplo usado para lustrar essa generalzação são depos usadas para justfcar a formulação dos elementos soparamétrcos, correntemente utlzados nos programas comercas. A grande vantagem destes elementos é permtrem generalzar, de uma manera computaconalmente muto efcaz, a representação da geometra da peça em análse e a formulação de elementos com dferentes graus de apromação do campo de deslocamentos. Para além de demonstrar as vantagens alcançadas com o desenvolvmento de elementos soparamétrcos, o objectvo prncpal do teto é o de realçar e fundamentar os cudados a ter na sua utlzação. Dá-se partcular atenção à análse da adequabldade das malhas de dscretzação que suportam a utlzação desses elementos na análse de problemas bdmensonas. Concluída a apresentação e a lustração dos prncpas concetos que suportam a aplcação do Método dos Elementos Fntos na análse de problemas de elastcdade plana, sstematza-se a generalzação da formulação para a análse de problemas trdmensonas. Como essa generalzação não ege a ntrodução de novos concetos, o teto ncde fundamentalmente na dentfcação das varáves e das equações que as relaconam, e na técnca usada para dscretzar a geometra do sóldo em análse e para apromar os campos de deslocamento, deformação e tensão. Generalza-se o conceto de elemento soparamétrco e comenta-se brevemente o processo utlzado na montagem da equação resolvente do Método dos Elementos Fntos. Como a sstematzação da aplcação do método é análoga à anterormente descrta na sua aplcação de estruturas artculadas e retculadas, opta-se aqu por analsar as dferentes fases que caracterzam a utlzação de um programa de elementos fntos, dando-se especal atenção às fases que dependem da ntervenção drecta do utlzador, ou seja a defnção dos dados, a avalação da qualdade da malha de dscretzação gerada automatcamente e, prncpalmente, à análse crítca dos resultados obtdos.

3 . Hpóteses Na etensão da aplcação do Método dos Elementos Fntos para análse de problemas de elastcdade plana e trdmensonal contnua-se a admtr que o materal é elástco lnear (lneardade físca) e que os deslocamentos e as deformações são nfntesmas (lneardade geométrca). Contnua-se também a admtr que são desprezáves as forças de nérca e de amortecmento que se possam desenvolver durante o carregamento da estrutura (comportamento quase-estátco). Relatvamente à geometra da peça e a forma como é solctada, consderam-se dos tpos de problemas que podem ser adequadamente modelados recorrendo à formulação bdmensonal da Teora da Elastcdade, desgnadamente, o comportamento de peças sujetas a estados planos de tensão ou a estados planos de deformação. Uma placa é uma peça lamnar plana solctada no própro plano, com uma espessura sufcentemente pequena em relação às restantes dmensões característcas para justfcar a hpótese de serem desprezáves as componentes correspondentes do tensor das tensões. Esta hpótese é frequentemente utlzada na análse de paredes resstentes. Se, pelo contráro, a peça é prsmátca com uma espessura muto maor que as dmensões da sua secção transversal, em cujo plano actuam as cargas, torna-se legítmo assumr que as secções se deformam no própro plano, sendo desprezáves as três componentes do tensor das deformações relatvas à dmensão transversal. Esta é a hpótese adoptada, por eemplo, na análse de muros de suporte e de secções de túnes. L z L Γ Γ L Ω V z EPT : L L L EPD : L L L z z z ED L L L : z Fgura : Problemas de Elastcdade Plana e Trdmensonal Como se lustra na Fgura, o elemento estrutural é representado no plano em que actuam as cargas, o qual corresponde ao plano médo da placa, num estado plano de tensão (EPT), ou a

4 secção transversal da peça prsmátca, num estado plano de deformação (EPD). A área ocupada pela peça defne o domíno, Ω, e a lnha que a lmta defne a frontera, Γ. Quando as dmensões característcas da peça são da mesma ordem, ou quando o tpo de acção torna nadequadas as hpóteses smplfcatvas sobre o estado de tensão ou de deformação, a peça é analsada recorrendo à formulação trdmensonal da Teora da Elastcdade. O volume ocupado pela peça defne o domíno, Ω, e a superfíce que a lmta defne a frontera, Γ. Para smplfcar a apresentação, a aplcação do Método dos Elementos Fntos a problemas de elastcdade é feta tratando prmero a análse de estados planos, estabelecendo-se depos a generalzação da formulação para a análse de problemas trdmensonas.. Varáves Em consequênca das hpóteses que caracterzam os estados planos de tensão e de deformação, e de acordo com a notação defnda nas Fguras e, o estado de tensão em cada ponto da peça é defndo por três componentes do tensor das tensões (smétrco), as quas são organzadas matrcalmente na forma, σ σ s () σ sendo nulas as restantes componentes nos estados planos de tensão: σ σ σ. z z zz t, u t, u σ, ε σ, γ σ, ε f, u f, u Fgura : Convenção adoptada na medção de varáves O estado de deformação é defndo pelas três componentes correspondentes do tensor das deformações (smétrco), as quas são organzadas matrcalmente de forma análoga, ε ε e () γ

5 em que γ ε representa a dstorção total. As restantes componentes são nulas nos estados planos de deformação: γ γ ε. z z zz Relatvamente às forças aplcadas, dstnguem-se as forças de domíno ou de massa (equvalentes às cargas de vão das barras), f f () f e as forças de frontera (equvalentes às forças de etremdade): t t t As forças de domíno podem ser dstrbuídas, na área ou em lnha, ou concentradas, e as forças de frontera dstrbuídas ou concentradas. Os deslocamentos correspondentes são organzados de modo análogo: Varáves estátcas u u () u 5 Varáves cnemátcas Tensões, σ (, ) Deformações, ε (, ) j Forças, f (, ), t (, ) Deslocamentos, u (, ) Quadro : Varáves correspondentes Admte-se, em geral, que não estem momentos aplcados no plano do carregamento, m z no domíno e na frontera. A rotação correspondente é uma varável dependente, podendo ser determnada a partr do campo de deslocamentos:. Balanço Energétco ( u u ) ω (5) z De acordo com a notação anterormente defnda, são as seguntes as defnções do trabalho realzado pelas forças nterores e eterores: W e s dω ( ε σ + ε σ + γ σ ) dω T Ω Ω W u f dω + u t dγ ( u f + u f ) dω + ( u t + u t ) dγ (6) T T e Ω Γ Ω Γ A condção de balanço energétco toma agora a segunte forma: Ω Ω Γ T T T e s d u f d + u t d (7) Ω Ω Γ j

6 F, u F, u F, u Γ l f, u l l F, u Fgura : Forças descontínuas e deslocamentos correspondentes A defnção (6) mantém-se válda quando se pretende calcular o trabalho realzado por forças de domíno dstrbuídas ao longo de lnhas e de forças de domíno e de frontera concentradas, representando essas forças através de funções de Drac. Na defnção eplícta que se obtém, W dω + dγ + dγ + e T T T T u f u t u f u F Ω Γ Γ l l l f l é a força dstrbuída aplcada sobre a lnha Γ l e F o vector que lsta as forças concentradas. O vector u defne, no prmero caso, as componentes do deslocamento ao longo da lnha Γ l e, no segundo, as componentes do deslocamento correspondentes às forças concentradas, como se lustra na Fgura. 5. Equações Báscas As equações que caracterzam um problema de Elastcdade Plana estão resumdas no Quadro, analsando-se em seguda o sgnfcado das condções de domíno (8) a () e das condções de frontera () e (). Equlíbro Elastcdade Compatbldade Domíno (8) Domíno (9) Domíno () T A s + f em Ω em Ω s D e e Au em Ω T N s t u em Γ t u u em Γ Frontera () Frontera () Quadro : Equações báscas Estas equações são a segur escrtas eplctamente, sublnhando-se o sgnfcado das condções físcas que mpõem. Dá-se partcular atenção às condções de frontera, pos são 6

7 aquelas que mas drectamente prestam nformação sobre a qualdade das soluções apromadas que são obtdas utlzando o Método dos Elementos Fntos. 5. Condções de Domíno A condção de equlíbro no domíno assegura que a varação do campo de tensões equlbra, em cada ponto, as forças de massa, σ + σ + f em Ω () σ + σ + f enquanto a condção de compatbldade no domíno defne, em cada ponto, as meddas de deformação em função da varação do campo de deslocamentos: ε ε γ u u u + u em Ω () Quando se admte que o materal elástco lnear é homogéneo e sotrópco, obtém-se a segunte defnção para as relações consttutvas, sto é, as condções que defnem, em cada ponto, o estado de tensão provocado por um determnado estado de deformação, E σ ( ε ) + ν ε ν E σ ( ε ) + ν ε em Ω (5) ν E σ γ ( + ν ) para estados planos de tensão, sendo E o módulo de elastcdade e ν o coefcente de Posson. A relação consttutva para estados planos de deformação é a segunte: E ν σ ( ε + ν ε ) ν + ν E ν σ ( ε + ν ε ) em Ω (6) ν + ν E σ γ ( + ν ) As condções de equlíbro, compatbldade e de elastcdade () a (5) ou (6) estão epressas matrcalmente no Quadro, de acordo com as defnções () e () para os vectores de tensão e deformação e as defnções () e () para os vectores das forças de domíno e dos deslocamentos, respectvamente. 7

8 As epressões que se encontram para os operadores dferencas de compatbldade e de equlíbro e para a matrz de rgdez são as seguntes: A T A (7) G κ + κ D κ κ + κ κ em que G E / ( + ν ) é o módulo de dstorção, com κ ( ν ) /( + ν ) para estados planos de tensão e κ ν para estados planos de deformação, respectvamente. A relação de elastcdade (9) pode ser generalzada para nclur o efeto de campos resduas: s D ( e er ) + s r em Ω (8) As tensões resduas, s r, resultam normalmente de erros de fabrco. Um eemplo típco da utlzação do campo de deformações resduas, e r, é a modelação de varações térmcas, sendo, { α α } T e r T T para materas homogéneos e sótropos, em que α é o coefcente de dlatação térmca e T (, ) a varação de temperatura. Eercíco : Consdere a consola trangular representada na Fgura. Admtndo ser o segunte o campo de deslocamentos, u(, ) u (, ) ( / L) d com d,6 / E ( m), verfque que, para um estado plano de tensão, são as seguntes as defnções dos campos de deformação e de tensão (corte puro), 8 (9) ε (, ) ε (, ) ; γ (, ),6 / E () σ σ σ () (, ) (, ) ; (, ) ( knm ) calculadas recorrendo às condções de compatbldade () e de elastcdade (5). Confrme anda que a condção de equlíbro no domíno () só é verfcada para forças de massa nulas: f f ()

9 u d,6 / E ( m) L u L m ν, E const knm. ( ) L a) Geometra e materal b) Deformada u (, ) u (, ) ( / L) d ε ε γ,6 / E σ σ σ knm ( ) c) Estado de deformação d) Estado de tensão t t t f t + f t + t 5. Condções de Frontera e) Forças segundo f) Forças segundo Fgura : Consola trangular com campo de deslocamentos lnear As restantes equações resumdas no Quadro defnem as condções de frontera estátcas () e as condções de frontera cnemátcas (). Essas condções também são desgnadas por condções de Neumann (ou condções de frontera naturas) e por condções de Drchlet (ou condções de frontera essencas), respectvamente. A frontera da peça, Γ, é decomposta nas duas regões em que essas condções são mpostas, a frontera estátca Γ t (ou de Neumann) e a frontera cnemátca Γ u (ou de Drchlet). Essas regões são complementares, Γ Γ t Γ u e Γ t Γ u, por não ser fscamente possível mpor num ponto smultaneamente uma força e o deslocamento correspondente. 9

10 A condção de frontera estátca () defne o estado de tensão na frontera que equlbra as forças aplcadas. A forma eplícta dessa equação é a segunte, em que n e n σ + n σ t n σ + n σ t em Γ n representam as componentes da normal eteror untára, como se lustra na Fgura 5. Quando esta condção é epressa matrcalmente, conclu-se que a matrz de equlíbro na frontera é análoga à matrz de equlíbro no domíno (7), sendo obtda substtundo a componente da normal untára eteror o operador dferencal correspondente: n n n t () T n n N n n () F E p σ σ D n n n Fgura 5: Normal eteror untára ( n + n ) A B n + n C Fgura 6: Condções de frontera σ A frontera estátca da placa representada na Fgura 6 é defnda pelas lnhas de contorno ABC e DEF, devendo aí ser mpostas as seguntes condções: ( + ) σ + ( ) σ t ( ) σ ( ) + + σ t ( ) σ + ( ) σ t ( ) σ + () σ t ( ) σ + () σ t () σ + ( ) σ t p em Γ em Γ em Γ A condção de compatbldade na frontera, a equação (), assegura que os deslocamentos meddos no domíno, junto ao contorno, são coerentes com os deslocamentos que aí estejam mpostos. A forma eplícta dessa condção é a segunte, BC DEF AB

11 ou, para o eemplo da Fgura 6: u u u u u u u u em Γ u em Γ Ilustra-se na mesma fgura um tercero tpo de condção de frontera, a condção de frontera msta ao longo do bordo Γ CD deslocamento correspondente: AF, em que é mposta uma força e a componente complementar do u u ( ) σ + () σ t em Γ Esta condção de frontera resulta, normalmente, de smplfcações de smetra. A epressão complementar defnra a condção de frontera decorrente de uma condção de ant-smetra: () σ + () σ t u u Eercíco : Verfque serem as forças de frontera representadas na Fgura que equlbram o campo de tensões aí defndo. Confrme que essas forças estão globalmente em equlíbro, sto é, têm resultantes nulas e produzem um momento nulo em torno do eo ortogonal ao plano. Em vez de mpor uma força ou o deslocamento correspondente, é possível mpor uma relação entre a força e o deslocamento. Este tpo de condção de frontera, também desgnada por condção de Robn, é utlzado para smular o comportamento de apoos elástcos, como se lustra na Fgura 7. A condção é escrta na forma, e e CD t D u em Γ (5) reunndo a matrz apoo. D e os coefcentes de rgdez que caracterzam a deformabldade do meo de Γ e Fgura 7: Apoo elástco

12 5. Fronteras Interores Interessa referr, anda, as condções de frontera que são artfcalmente ntroduzdas quando a peça é dscretzada em elementos fntos, como sera, por eemplo, o segmento BE se a consola representada na Fgura 5 fosse dscretzada em dos elementos, como se mostra na Fgura 8. E E t, u t, u t, u t, u B B Fgura 8: Frontera nteror Fgura 9: Elemento de junta As condções nesta frontera devem garantr a contnudade dos deslocamentos, j k u u (6) em Γ em que os índces j e k dentfcam dos elementos que partlham a frontera nteror Γ, assm como o equlíbro das forças em qualquer ponto da frontera, j k t + t t (7) em Γ sendo t a força aplcada eterormente sobre a frontera ( t no eemplo da Fgura 8). As forças na frontera de um elemento são calculadas recorrendo à condção de equlíbro na frontera (), a qual é válda para qualquer secção do domíno da peça, σ j j N t em Γ para o elemento j j em que N é a matrz de equlíbro () escrta para a frontera Γ do elemento j e t o vector das forças que nessa frontera equlbram o estado de tensão no elemento. Ou seja, se se secconar uma peça, na representação de corpo lvre daí resultante as forças (ndetermnadas) que se aplcam na secção de corte são calculadas em função do campo de tensão recorrendo à equação (). O conceto é dêntco ao utlzado na defnção de dagramas de corpo lvre de peças lneares, em que se aplca na secção de corte como força eteror o esforço aí estente. Como as normas eterores de dos elementos que partlham a mesma frontera nteror são smétrcas, a condção de equlíbro (7) pode ser epressa drectamente em termos do estado de tensão em cada elemento na forma:

13 j k N ( σ σ ) t em Γ (8) É mportante notar que, em consequênca desta equação, as três componentes do estado de tensão em cada elemento são relaconadas por apenas duas condções, e não as três que seram necessáras para estabelecer o equlíbro em termos de tensões. Ou seja, permte que o estado de j k tensão entre dos elementos seja dferente, σ σ na frontera que partlham, Γ, mesmo que seja nula a força eteror aí aplcada, t. Portanto, este enfraquecmento da condção de contnudade do campo de tensão na peça, dscretzação da peça em dos elementos dstntos. j k σ σ se t σ σ, resulta drectamente da Eercíco : Verfque que a condção (8) escrta para a frontera entre os dos elementos do eemplo lustrado na Fgura 7 mpõe as condções de contnudade σ permte que σ σ : σ σ σ σ σ σ em BE σ e σ σ mas Eercíco : Os elementos de junta (undmensonas, sto é, sem espessura em problemas planos, como se lustra na Fgura 9) são usados para modelar dferentes condções de contacto entre elementos. Escreva a condção de frontera entre dos elementos lgados entre s por um elemento de junta com as seguntes propredades: a) Impede o afastamento mas permte o deslzamento entre elementos, sem atrto; b) Impede o afastamento mas permte o deslzamento entre elementos, com atrto; c) Permte o movmento elástco entre elementos. 6. Soluções Eactas e Apromadas Mantêm-se as classfcações anterormente defndas para os dferentes tpos de solução do sstema de equações (8) a (), resumdas no Quadro : Um campo de tensões, s, que satsfaz as condções de equlíbro no domíno (8) e na frontera (), nclundo as fronteras nterores, é, por defnção, uma solução estatcamente admssível; Um campo de deslocamentos, u, que é contínuo no domíno da peça e que satsfaz as condções de frontera (), nclundo as fronteras nterores, é, por defnção, uma solução cnematcamente admssível, sendo o campo de deformações compatível assocado, e, defndo pela condção de compatbldade no domíno ();

14 A solução eacta é a solução que para além de ser estátca e cnematcamente admssível satsfaz também a relação de elastcdade (9); A solução eacta este e é únca, mas pode não ter epressão analítca. Para o eemplo da consola trangular defndo na Fgura, o campo de deslocamentos (9) defne uma solução cnematcamente admssível, pos é contnuo no domíno da peça, satsfaz a condção de frontera cnemátca ao longo do bordo encastrado, Γ ( ) : u u (9) u e está assocado a um campo de deformações () compatível. Para o mesmo problema, o campo de tensões () defne uma solução estatcamente admssível se se admtr que as forças de massa são nulas, de acordo com a condção (), e, anda, se as forças eterores aplcadas equlbrarem esse campo de tensões, ou seja, se as condções de frontera estátcas forem as seguntes: Γ t ( ) : t ; t Γ ( ) : t + ; t t Nestas condções, a solução é eacta e únca, pos os campos de tensão e de deformação satsfazem também localmente a relação de elastcdade. As reacções no bordo encastrado da consola são determnadas calculando as forças que aí equlbram o campo de tensão (): () Γ ( ) : t ; t () u p p b b Fgura : Placa carregada transversalmente a Fgura : Placa carregada aalmente a É muto lmtado o número de problemas com relevânca prátca que têm solução analítca, mesmo quando a geometra da peça e as condções de frontera são muto smples. Por eemplo, a consola carregada transversalmente lustrada na Fgura não tem solução analítca eacta, e o caso mas smples da carga de tracção unforme só tem solução analítca eacta quando se desprezam as forças de massa e o efeto de Posson.

15 Eercíco 5: Consdere a placa carregada aalmente representada na Fgura e verfque o segunte, admtndo um estado plano de tensão: a) A solução u ( /a) d, u é uma solução cnematcamente admssível; b) A solução σ p, σ σ é uma solução estatcamente admssível quando se desprezam as forças de massa, f f ; c) Essas soluções defnem a solução eacta, com d a p/ E, quando se despreza o efeto de Posson. Para melhor esclarecer as razões que, por regra, mpedem a determnação de soluções eactas para problemas de elastcdade plana (e trdmensonal), é convenente elmnar varáves e compactar as equações (8) a () que governam o problema, tal como resumdas no Quadro. Tal como se fez para as peças lneares, a condção de compatbldade no domíno () é usada para elmnar as deformações na condção de elastcdade (9), recorrendo-se à epressão resultante para o campo de tensões, s D Au em Ω para eprmr as condções de equlíbro no domíno (8) e na frontera () em função dos deslocamentos, e juntando a únca condção anda omssa, a condção de frontera (): T A D Au + f em Ω () T N D Au t () em Γ t u u em Γ u () Qualquer solução do sstema de equações dferencas () satsfaz localmente (ou de manera forte) todas as condções de domíno do problema, desgnadamente as condções de equlíbro (8), de elastcdade (9) e de compatbldade (). A técnca geralmente usada para obter essas soluções consste em combnar as soluções complementar e partcular, u u + u c em Ω defnndo a prmera o conjunto das soluções da equação homogénea, T A D Auc em Ω e a segunda uma qualquer solução que represente o efeto das forças de massa: T A D Au f + em Ω Estas soluções da equação de Naver () foram há muto estabelecdas para materas homogéneos e sotrópcos, recorrendo a potencas de deslocamento (funções cujas dervadas defnem o campo de deslocamento, u) ou a potencas de tensão (funções cujas dervadas 5

16 defnem o campo de tensão, s). Estem também soluções para materas homogéneos ansótropos, sendo mas lmtados os casos resolvdos para materas heterogéneos. Na maora das aplcações, a dfculdade de obter soluções eactas para problemas de elastcdade plana (e trdmensonal) não está, portanto, na determnação das soluções da equação de Naver (). A dfculdade está em consegur que essas soluções satsfaçam, também de manera forte, as condções de frontera do problema, defndas pelas equações () e (). 7. Método dos Elementos Fntos O modelo de deslocamento do Método dos Elementos Fntos é a segur utlzado para determnar soluções apromadas do problema de elastcdade plana defndo pelas equações resumdas no Quadro, ou pelo sstema equvalente defndo pelas equações () a (). A aplcação do método é conceptualmente dêntca à adoptada na análse de estruturas retculadas, podendo ser resumda em quatro fases: Prmera fase: Apromações A estrutura é dscretzada em elementos fntos; O campo de deslocamentos é apromado em cada elemento usando funções contínuas, na forma, u Ψ d (5) sendo Ψ a matrz que reúne as funções de apromação e d o vector dos deslocamentos nodas do elemento; A condção de compatbldade () é mposta localmente para defnr a apromação do campo de deformações em cada elemento: e B d (6) B A Ψ (7) A relação de elastcdade (9) é mposta localmente para defnr o campo de tensões em cada elemento: Segunda fase: Forças Nodas Equvalentes s DB d (8) A equação resolvente do elemento é estabelecda nterpretando-a como uma condção de equlíbro de forças nodas equvalentes, K d F (9) reunndo a matrz de rgdez do elemento as forças devdas aos deslocamentos nodas, 6

17 e o vector, as forças nodas equvalentes às forças de massa, T K B D B d () Ω 7 Ω F Ff + Ft + F n () Ψ as forças nodas equvalentes às forças aplcadas na frontera, Ω T Ff f d () Ω Ψ e as forças concentradas aplcadas nos nós do elemento, Tercera fase: Equação Resolvente Γ T Ft t d () Γ A solução apromada em cada elemento está sujeta à condção de ser cnematcamente admssível, sendo construída de manera a satsfazer localmente (ou de manera forte) a condção de frontera cnemátca () da malha de elementos fntos e, anda, a condção equvalente (6) entre elementos; Essa condção é mposta relaconando os deslocamentos nodas dos elementos, d, com os deslocamentos nodas da malha de elementos fntos, q, através de uma condção de ncdênca nodal: F n. d I q () As forças nodas equvalentes na malha de elementos fntos defnem as resultantes das contrbuções das forças nodas equvalentes geradas em cada elemento, T Q I F (5) e são utlzadas para estabelecer a equação resolvente do problema: K* q Q (6) Este sstema de equações defne as condções de equlíbro das forças nodas equvalentes, mpondo apromadamente (ou de manera fraca) as condções de equlíbro no domíno (8) e na frontera estátca (), ou as equações equvalentes () e (), estenddas de modo a ncluírem as condções de equlíbro (8) nas fronteras entre elementos. Quarta fase: Análse da Solução Resolvdo o sstema (6) nas ncógntas do problema, os deslocamentos nodas da malha de elementos fntos, q, os deslocamentos, as deformações e as tensões são calculadas em cada elemento recorrendo às apromações (5), (6) e (8), depos de determnar os deslocamentos nodas em cada elemento através da relação de ncdênca ().

18 Este procedmento é a segur apresentado e nterpretado recorrendo a um eemplo smples, sendo posterormente sstematzado. Dscute-se a defnção das funções que são utlzadas para estabelecer a apromação em que o método se basea, a apromação (5) do campo de deslocamento em cada elemento. Essa generalzação da apromação é depos utlzada para lustrar as operações () e (5) de reunão de elementos de que decorre a formulação da equação resolvente (6) para uma malha de elementos fntos. Eercíco 6: Deduza a equação resolvente elementar (9) e obtenha as defnções () a () mpondo as apromações (5), (6) (8) na condção de balanço energétco (7). Recupere os mesmos resultados estaconarzando a energa potencal do elemento: Mn Π dω dω dγ T T T T e s u f u t u F Ω Ω Γ Eercíco 7: Generalze a epressão da equação resolvente (9) para nclur a defnção do vector das forças nodas equvalentes a campos de deformação e de tensão resduas (8): F T r B ( sr D e r ) dω (7) Ω Eercíco 8: Mostre ser a segunte a contrbução de uma frontera elástca (5) para a matrz de rgdez elementar: K Ψ D Ψ dγ (8) T e Γ e e e 8. Eemplo de Introdução O eemplo de aplcação escolhdo é o problema de estado plano de tensão representado na Fgura, em que se despreza o efeto das forças de massa ( knm ), como estabelece a condção (), e se consdera o carregamento ndcado na Fgura a). De acordo com a dentfcação das fronteras defnda na Fgura b), a placa trangular está encastrada no bordo, sujeta a uma carga unforme transversal no bordo, defnndo o lado um bordo lvre. A condção de frontera cnemátca (9) mantém-se válda, sendo a condção de frontera estátca () substtuída pela segunte: Γ t ( ) : t ; t Γ t ( ) : t t Este eemplo é resolvdo admtndo a mas smples apromação possível. A placa é dscretzada num únco elemento em que se admte ser lnear a varação do campo de deslocamentos, descrta pelos deslocamentos do vértce lvre da consola, os deslocamentos nodas d e d dentfcados na Fgura c). (9) 8

19 p ( knm ) Γ ( ) t m ν, m E const. Γ ( ) a) Carregamento b) Fronteras u Γ t ( ) d F c) Apromação dos deslocamentos d) Apromação das tensões Fgura : Consola trangular sujeta a uma carga transversal unforme Como se usa apenas um elemento, este eemplo não serve para lustrar as operações de reunão de elementos para formar a malha de dscretzação, defndas pelas condções de ncdênca nodal () e (5), as quas são analsadas posterormente. O que se pretende lustrar são os dos aspectos fundamentas da formulação de deslocamento do Método dos Elementos Fntos aplcado à solução de problemas de elastcdade plana: A solução apromada é construída de manera a ser cnematcamente admssível, sendo escrta em função dos deslocamentos nodas, os deslocamentos d e d dentfcados na Fgura c); A apromação resultante para o campo de tensões, defnda na Fgura d), vola, em geral, as condções de equlíbro, sendo o equlíbro mposto sobre forças nodas equvalentes às forças de massa e de frontera, as forças F e F ndcadas na mesma fgura. m u u 8. Apromação dos Deslocamentos A hpótese do campo de deslocamentos varar lnearmente no domíno do elemento é formulada da segunte manera ( L m), m u u d ( ) d ( ) d m σ σ σ m F σ (, 99 E) d σ (, E) d σ (,85 E) d 9

20 u (, ) a + ( / L) a + ( / L) a u (, ) b + ( / L) b + ( / L) b sendo mportante notar que apenas as componentes de translação do movmento são apromadas ndependentemente. A componente de rotação é uma varável dependente. É calculada pela equação (5), encontrando-se: ω ( ) z b a Esta apromação permte representar os três movmentos de corpo rígdo no plano, desgnadamente duas translações, a com a a e b com b b, e uma rotação, a b, e, anda, a mas smples apromação para o campo de deformações, o estado de deformação constante, que adante se defne. Os pesos das funções de apromação, a e b, são escolhdos usando crtéros análogos aos adoptados na formulação dos elementos fntos para peças lneares. São defndos mpondo localmente a condção de frontera cnemátca (9), a a b b a qual elmna as componentes de corpo rígdo, e escolhdos de modo a representar as componentes do deslocamento num nó do elemento, neste caso o vértce lvre da placa, d u (,) a d d u (,) b d ver Fgura c), obtendo-se a segunte epressão para a apromação (5) do campo de deslocamentos: u u d d Sendo o campo de rotação dependente das componentes de translação, as rotações dos nós não são escolhdas como ncógntas do problema, sendo o vector dos deslocamentos nodas presente na defnção (5) sempre defndo em termos das componentes de translação meddas no referencal global da estrutura. 8. Apromação das Deformações e das Tensões Em consequênca das condções anterormente mpostas sobre a apromação dos deslocamentos (5), para assegurar que essa apromação defne uma solução cnematcamente admssível no sentdo forte, sto é, em todos os pontos do domíno da placa e da sua frontera cnemátca, basta defnr a apromação do campo de deformações mpondo localmente a condção de compatbldade no domíno (), encontrando-se o segunte resultado para a defnção (6): (5)

21 ε d ε (5) d γ Como o campo de deformações é constante, a apromação (8) que resulta para o campo de tensões mpondo localmente as relações de elastcdade (5) é: σ, 99E d σ,e d σ, 85E (5) 8. Condções de Equlíbro no Domíno e na Frontera Como a apromação lnear do campo de deslocamentos está assocada a uma apromação constante (5) para o campo de tensões e se admte que as forças de massa () são nulas, conclu-se que (contra o que geralmente sucede) a condção de equlíbro () é localmente satsfeta neste eemplo de aplcação. (,85 E) d (, E) d (, 99 E) d f (,85 E) d f + (, 777 E) d (, 7 E) d (, E) d + (, 7 E) d a) Forças segundo b) Forças segundo Fgura : Forças de massa e de frontera equlbradas pela apromação do campo de tensões No entanto, quando se recorre à defnção () para calcular as forças na frontera que equlbram o estado de tensão, σ t (,85 E) d Γ ( ) : t σ (, E) d σ σ t + (, 777 E) d (, 7 E) d Γ ( ) : t E d E d + σ + (, ) (, 7 ) σ +

22 σ t (, 99 E) d Γ ( ) : t σ (, 85 E) d σ conclu-se que não é possível escolher valores para os graus de lberdade do problema, os deslocamentos nodas d e d, que permtam mpor localmente as condções de frontera estátcas (9), como se lustra na Fgura. Para obter uma solução apromada útl torna-se necessáro mpor as condções de equlíbro de uma manera fraca, recorrendo-se novamente ao crtéro de determnar os deslocamentos nodas equaconando o trabalho das forças nterores ao das forças eterores. 8. Equação Resolvente A equação (9) que se obtém aplcando esse crtéro (ver Eercíco 6) tem a segunte epressão:,5(, 99 E) d,5(,85 E) d,5 A matrz de rgdez é calculada aplcando a defnção (), eplorando o facto de serem constantes os campos de tensão e de deformação no domíno da consola trangular (com área Ω,5m ): T T T K B D B dω B D B d d,5 B D B Ω K K,5(, 99 E) K K,5(,85 E) (5) K (5) Como as forças de massa são nulas, f em Ω, e não estem forças aplcadas no nó lvre da consola, só a força transversal (9) contrbu para o vector das forças nodas equvalentes () obtendo-se o segunte resultado aplcando as defnções () e (): F t F f F T t F (55) F,5 T f d d f t d d + t t,5 T

23 8.5 Interpretação da Equação Resolvente Na nterpretação dada ao sstema resolvente (5) no conteto da aplcação do Método dos Deslocamentos na análse de estruturas retculadas, cada equação defne uma condção de equlíbro entre dos conjuntos de forças nodas, as forças nodas devdas aos deslocamentos nodas q e as forças nodas aplcadas, F. d d p m m K K F K K F a) Acção de d b) Acção de d c) Acção do carregamento Fgura : Interpretação dos termos da equação resolvente Como se lustra na Fgura, contnua a ser possível nterpretar o coefcente K j da matrz de rgdez K como a força nodal F devda ao deslocamento nodal q e, no termo j ndependente do sstema (5), os coefcentes do vector de forças nodas F como sendo as forças nodas F aplcadas. A dferença essencal é que essas forças nodas representam agora forças concentradas equvalentes às que equlbram o campo de tensões no domíno e na frontera do domíno bdmensonal agora em análse. Nas Fgura 5a) e 5c) defnem-se os sstemas de forças que equlbram a apromação das tensões devdos aos deslocamentos untáros, de acordo com os resultados apresentados na Fgura, e nas Fguras 5b) e 5d) defnem-se as forças nodas equvalentes. Sendo nulas as forças de massa e lnear a apromação do campo de deslocamentos, essas forças são calculadas, como adante se mostra, determnando a resultante das forças de frontera e atrbundo metade dessa resultante a cada nó de etremdade.

24 t t +,E t,99 E f t f t +,777E a) Forças de domíno e de frontera devdas a d t, E ( +, E) (,99 E) ( +, 777 E) ( +, 99 E) (, E) (, E) t b) Forças nodas equvalentes devdas a d +,85E t t f t,85e f t,7e t +,7E c) Forças de domíno e de frontera devdas a d ( +,85 E) (, 7 E) (,85 E) (,85 E) ( +, 7 E) ( +,85 E) d) Forças nodas equvalentes devdas a d Fgura 5: Forças nodas equvalentes devdas à apromação do deslocamento

25 Os resultados das Fguras 5b) e 5d) recuperam a defnção (5) da matrz de rgdez, mostrando que: As forças nodas equvalentes F e F devdas ao deslocamento d são K + (, 777 E),5(, 99 E) e K ( +, E) + (, E) ; As mesmas forças devdas ao deslocamento d são, respectvamente, K (, E) + ( +, E) e K + (, 7 E),5(,85 E). Quando se aplca o mesmo crtéro para determnar as forças nodas equvalentes ao carregamento da consola obtém-se a defnção (55), como se lustra na Fgura 6. p knm,5 knm m a) Carregamento b) Forças equvalentes Fgura 6: Forças nodas equvalentes ao carregamento 8.6 Análse da Solução Depos de calcular a solução do sstema (5), d e d,6 / E ( m), aplcam-se as defnções (5) a (5) para determnar as apromações dos deslocamentos, deformações e tensões. A solução que assm se obtém está representada na Fgura, conclundo-se que: A solução é cnematcamente admssível e produz uma apromação coerente para a deformada, lustrada na Fgura b); Como a apromação dos deslocamentos é lnear e o materal homogéneo e sótropo, obtém-se uma apromação constante para o campo de tensões, defnda na Fgura d); Essa apromação verfca (neste caso partcular) a condção de equlíbro no domíno (por serem nulas as forças de massa), mas vola as condções de equlíbro na frontera; O carregamento dado, representado na Fgura a) e defndo pelas condções de frontera (9), não é recuperado pelo sstema de forças que equlbra na frontera estátca a apromação do campo de tensão, defndo nas Fguras e) e f) e que corresponde ao carregamento defndo na Fgura 7; 5

26 No entanto, esses dos sstemas de forças têm as mesmas forças nodas equvalentes, como se lustra na Fgura 8, por ser apenas sso o que se mpõe ao estabelecer a equação resolvente (9) do Método dos Elementos Fntos. knm F,5 knm F m knm m Fgura 7: Forças na frontera em equlíbro com a apromação das tensões Fgura 8: Forças nodas equvalentes às forças dadas e às forças calculadas 8.7 Refnamento e Convergênca Tal como se fez na análse de estruturas retculadas, as soluções obtdas para problemas de elastcdade plana podem ser melhoradas mantendo o grau de apromação e aumentando o número de elementos de dscretzação da peça (refnamento-h), ou mantendo a malha de dscretzação e aumentando o grau da apromação (refnamento-p). Na Fgura 9 apresentam-se as soluções obtdas para o problema da consola quando se subdvde a malha e se mantém o grau de apromação (lnear) em cada elemento. A solução mas refnada aí apresentada, em que se nota a localzação da concentração de tensões nos cantos da secção de encastramento, está já muto próma da solução eacta. A análse desses resultados permte estabelecer conclusões análogas às obtdas na análse de peças lneares: A convergênca em deslocamentos é relatvamente rápda, sendo muto mas lenta a convergênca em tensões (a convergênca para a função que se aproma drectamente é mas rápda do que a convergênca para a sua dervada); A solução é localmente compatível, no domíno e na frontera, mas mas rígda do que a solução eacta (subestma o deslocamento mámo); A solução é localmente desequlbrada, no domíno e na frontera, e não está do lado da segurança (subestma a tensão máma); A convergênca para a solução eacta é anda fraca sempre que se reconhece a malha de elementos fntos na representação dos campos de tensão (desequlíbro entre elementos). 6

27 elemento elementos 8 elementos 5 elementos Fgura 9: Refnamento-h da solução da consola trangular (elementos lneares) A segunda opção de refnamento (refnamento-p) está lustrada nas Fguras e para o eemplo da consola quadrada ( a b) representada na Fgura. O problema é resolvdo com elementos de nós (apromação lnear dos deslocamentos) e 6 nós (apromação quadrátca), os quas são adante defndos. As duas malhas têm o mesmo número de nós lvres, pelo que os sstemas resolventes (6) correspondentes envolvem o mesmo número de ncógntas (dos deslocamentos por nó lvre). 7

28 5 elementos lneares 8 elementos quadrátcos Fgura : Solução da consola quadrada com elementos lneares e quadrátcos (89 nós) 5 elementos lneares 8 elementos quadrátcos Fgura : Solução da consola quadrada com elementos lneares e quadrátcos (89 nós) 8

29 Ambas as soluções são cnematcamente admssíves mas qualquer delas anda está longe de apromar correctamente o campo de tensão, pos é anda vsível o desequlíbro entre elementos. No entanto estes resultados servem para lustrar outra conclusão trada na análse de estruturas retculadas pelo Método dos Elementos Fntos: Para o mesmo número de graus de lberdade, a qualdade da solução cresce com o grau da apromação do campo de deslocamentos. 9. Dscretzação e Apromação Na aplcação do Método dos Elementos Fntos à solução de problemas de Elastcdade Plana o domíno é decomposto em elementos com geometra smples de modo a vablzar e facltar as váras fases de aplcação do método resumdas na Secção 7. A utlzação de elementos smples, tpcamente elementos com três e quatro lados, assegura a prmera condção de facltar a representação, com o rgor desejado, da geometra e das condções de frontera do domíno em análse. Na Fgura lustra-se a dscretzação de um açude usando elementos trangulares de nós. A modelação da galera no centro do açude pode ser melhorada dmnundo a dmensão dos elementos e/ou aumentando o número de nós do elemento, como adante se mostra. m,5,,, d b d a d c d d Fgura : Dscretzação de um açude com elementos trangulares de nós Uma segunda condção mportante é ser fácl defnr epressões geras para as funções usadas na apromação (5) do campo de deslocamentos. A tercera condção, essencal à formulação em termos de deslocamentos do Método dos Elementos Fntos, que aqu se adopta, é assegurar que essas funções produzam soluções cnematcamente admssíves. A últma condção, muto mportante em termos de mplementação numérca, é a de facltar o cálculo dos ntegras que defnem a matrz de rgdez () de cada elemento e os vectores das forças nodas equvalentes às forças de massa () e de frontera (). 9

30 Como adante se mostra, a manera mas efcaz de satsfazer esses objectvos é recorrer ao conceto de elemento soparamétrco. No entanto, nesta fase da apresentação é sufcente analsar como se pode apromar uma função sobre os dos tpos de elementos acma referdos, usando a mas smples apromação que cada um deles permte, escrta na forma, N f (, ) Ψ (, ) f (56) desgnadamente o elemento trangular de nós ( N ) e o elemento rectangular de nós ( N ) representados nas Fgura e. (, ) (, ) (, ) (, ) b (, ) (, ) a (, ) Fgura : Elemento trangular de nós Fgura : Elemento rectangular de nós Mantém-se o prncípo de basear a apromação em funções polnomas, defnndo-as de modo a terem valor untáro num nó e nulo nos restantes, se j Ψ ( j, j ) se j (57) para assegurar que os coefcentes da apromação, f, representam o valor da função nos nós do elemento. Para além dsso, é necessáro assegurar que a apromação (56) permte representar a função polnomal mas smples, a função untára: N Ψ (, ) (58) 9. Apromação Lnear Em consequênca das condções acma mpostas, as funções presentes na apromação (56) para o elemento de nós defnem os planos representados na Tabela, com a segunte epressão geral, Ψ (, ) ( α + β + γ ) com,, A em que A representa a área do elemento trangular, dada por,

31 A α+ α + α se a numeração dos nós for sequencal e no sentdo nverso ao dos ponteros do relógo, tendo os termos constantes as seguntes epressões, α j k k j β j k γ k j em que j k e onde se permutam os índces pela sequênca natural: α ; α ; α (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) Ψ ( α + β + γ ) /A Ψ β /A Ψ γ /A (, ) Ψ ( α + β + γ ) /A Ψ β /A Ψ γ /A (, ) Ψ ( α + β + γ ) /A Ψ β /A Ψ γ /A (, ) Tabela : Elemento trangular de nós Estes resultados mostram que a apromação (56) para N é lnear e completa, sto é, envolve todos os termos lneares, e, e todos os monómos de grau nferor, que agora se reduz ao termo constante. Eercíco 9: Recupere a apromação (5) do campo de deslocamentos na consola trangular representada na Fgura usando as funções de apromação defndas na Tabela. 9. Apromação Blnear Quando o mesmo processo de construção das funções de apromação é aplcado ao domíno rectangular representado na Fgura, trabalhando apenas com os nós colocados nos vértces, obtêm-se as funções defndas e representadas na Tabela, em que se usa a notação ' ', para smplfcar a defnção das funções de apromação.

32 A análse dessas funções mostra que a apromação (56) para N é quadrátca mas ncompleta, sto é, envolve apenas o termo blnear, (ou ' ' na notação usada), dos três monómos quadrátcos possíves, desgnadamente, e. (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) Ψ ( '/ a) ( '/ b) Ψ ( '/ b) / a Ψ ( '/ a) / b (, ) Ψ ( '/ b) '/ a Ψ ( '/ b) / a Ψ '/ ab (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, Ψ Ψ Ψ (, ) ' '/ ab '/ ab '/ ab Ψ ( '/ a) '/ b Ψ '/ ab Ψ ( '/ a) / b (, ) Tabela : Elemento rectangular de nós ( ' ; ' ) 9. Grau da Apromação no Domíno e na Frontera A apromação (56) é adante generalzada para obter uma maor precsão na representação da função, tanto para elementos trangulares como para elementos quadrangulares. Esse enrquecmento é obtdo aumentando o número de termos da apromação, N, ou seja, o número de nós do elemento de acordo com a condção (57), garantndo que se ncluem na apromação tantos termos quantos possíves de grau nferor ao termo de maor grau, M, na apromação (56).

33 O problema que se põe ao escolher um elemento com N nós para realzar uma dada análse é saber qual é o grau, M, que se está a usar na apromação no domíno do elemento, e o grau da apromação na frontera, M f. A manera mas epedta para obter esta nformação é recorrer ao Trângulo de Pascal representado na Fgura 5, o qual é construído de manera a agrupar em cada lnha todos os monómos possíves de um dado grau. Os lados do trângulo com orgem no termo constante defnem o grau da apromação (56) nos lados do elemento. Os termos nterores dentfcam o grau dos monómos da apromação (56) presentes no domíno do elemento. Constante Lnear Quadrátco Cúbco Quártco Fgura 5: Trângulo de Pascal Se se admtr que a apromação na frontera do elemento é completa, o que se verfca tanto para elementos trangulares como quadrangulares, conclu-se que o grau de apromação num lado com N nós é M N. É o que se verfca para o elemento trangular de nós e para f f f o elemento rectangular de nós anterormente defndos: a apromação é lnear nos lados de ambos os elementos ( N f, M f ), como se lustra nas Tabelas e. Nas Fguras 6 e 7 defnem-se outros tpos de elementos trangulares (de 6 e nós) e quadrangulares (de 8 e 9 nós). A todos eles se aplca a defnção anterormente dada para o grau da apromação (56) nos lados dos elementos: quadrátca nos lados com nós e cúbca nos lados com nós. η η 5 η ξ ξ ξ Fgura 6: Elementos trangulares com, 6 e nós.

34 η η η ξ ξ ξ Fgura 7: Elementos quadrangulares com, 8 e 9 nós. Na lteratura sobre o Método dos Elementos Fntos desgnam-se por serendpanos os elementos sem nós nterores e Lagranganos os elementos que os têm. Essa dstnção decorre da escolha das funções de apromação, sabendo-se que, para a mesma ordem de apromação, os elementos Lagranganos têm melhor comportamento. Se se admtr que a apromação (56) num elemento trangular com N nós é completa, para determnar o grau no domíno do elemento, M, basta varrer o Trângulo de Pascal por lnhas e contablzar tantos monómos quanto o número de nós do elemento. Aplcando este processo, conclu-se que a apromação no elemento de nós é lnear, M, como anterormente se verfcou, sendo quadrátca, M, e cúbca, M para os elementos trangulares com 6 e nós representados na Fgura 5. O processo para determnar o grau da apromação (56) num elemento quadrangular com N nós é semelhante mas dfcultado pelo facto da apromação ser ncompleta, sto é, não envolver todos os monómos de grau M, ou mesmo M, sendo M o maor grau envolvdo na apromação. Já se verfcou que o rectângulo de nós é completo nos termos lneares mas só contém o termo blnear dos monómos quadrátcos do Trângulo de Pascal. O elemento de 8 nós representado na Fgura 6 contém todos os termos quadrátcos, mas apenas dos dos monómos cúbcos, os termos e. Para manter a smetra da apromação, sto é, para não dar maor peso aos monómos em ou em, o nó adconal no elemento de 9 nós é usado para ntroduzr o termo, sendo portanto a apromação ncompleta nos termos cúbcos e quártcos. Estes elementos e estes crtéros de defnção das funções de apromação serão adante utlzados para defnr os elementos soparamétrcos usados na solução de problemas de Elastcdade Plana.

35 . Generalzação da Apromação As funções de apromação anterormente defndas podem ser utlzadas para nterpolar uma qualquer função defnda num domíno plano. Por eemplo, para representar a topografa de uma regão, pode-se trangularzar o terreno, defnr as cotas nos nós da malha de dscretzação e apromar o relevo usando a apromação (56) em cada um dos elementos, com N, representando f a cota do ponto do terreno que concde com esse nó. A mesma dea é aplcada à apromação do campo de deslocamentos num elemento fnto plano, em que os coefcentes f da apromação (56) passam a representar as componentes do deslocamento nos nós de cada elemento em que a estrutura fo dscretzada. Tomando como base essa apromação do campo de deslocamentos, pode-se determnar as apromações correspondentes para os campos de deformação e de tensão. É esta prmera fase da descrção sumára do Método dos Elementos Fntos apresentada na Secção 7 que a segur se analsa: A dscretzação da estrutura em elementos fntos; A apromação do campo de deslocamentos em cada elemento na forma (5); A determnação dos campos de deformação (6) e de tensão (8) correspondentes; A verfcação das condções de contnudade desses campos quando os elementos são reundos para consttur a estrutura. kpa m f f knm E GPa ν, Fgura 8: Dados e dscretzação para o eemplo da placa trapezodal. Apromação do Campo de Deslocamento Independentemente da geometra do elemento, as componentes (de translação) do campo de deslocamento são sempre meddas no referencal global da malha em que o elemento se nsere. Para além dsso, a apromação (56) é aplcada ndependentemente a cada componente do deslocamento, sendo também os deslocamentos nodas meddos no referencal global, de acordo com a sequênca de numeração dos nós, como se mostra na Fgura 9: 5

36 N u (, ) Ψ (, ) d N u (, ) Ψ (, ) d (59) De acordo com esta apromação, quando se provoca um deslocamento no nó j segundo a drecção, d, e se mpedem todos os outros deslocamentos nodas, d e d d para j j j, o elemento deforma-se apenas com deslocamentos segundo, u (, ) Ψ (, ) d ; u (, ) (6) j j obtendo-se um resultado análogo, mas segundo, quando se mpõe um deslocamento nodal nessa drecção: u (, ) ; u (, ) Ψ (, ) d j j d d d d u d u d d d d d d u u d d d a) Elemento trangular de nós b) Elemento rectangular de nós Fgura 9: Convenção para a medção das componentes do campo de deslocamento A epressão matrcal da apromação (59) é escrta na forma que for mas adequada para a questão que se estver a tratar. Pode ser convenente defnr separadamente cada componente, u α Ψ d α (6) com α ou α, reunndo o vector-lnha Ψ as funções de apromação, { Ψ Ψ Ψ } Ψ (6) N e o vector-coluna d α as componentes do deslocamentos nodas: d α d α d α d Nα 6