Renato de Siqueira Motta

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL OTIMIZAÇÃO ROBUSTA DE ESTRUTURAS UTILIZANDO O MÉTODO DA BASE REDUZIDA Renato de Squera Motta Dssertação submetda ao Corpo Docente do Curso de Pós-Graduação da Unversdade Federal de Pernambuco, como parte dos requstos necessáros à obtenção do Grau de Mestre em Cêncas em Engenhara Cvl. Orentador: Slvana Mara Bastos Afonso da Slva Co-orentador: Paulo Roberto Macel Lyra Recfe, Pernambuco Brasl Novembro de 2009.

2 OTIMIZAÇÃO ROBUSTA DE ESTRUTURAS UTILIZANDO O MÉTODO DA BASE REDUZIDA Renato de Squera Motta Dssertação submetda ao Corpo Docente do Curso de Pós-Graduação da Unversdade Federal de Pernambuco, como parte dos requstos necessáros à obtenção do Grau de Mestre em Cêncas em Engenhara Cvl. Aprovada por: Prof. Slvana Mara Bastos Afonso da Slva, Ph.D. Orentador - UFPE Prof. Paulo Roberto Macel Lyra, Ph.D. Co-orentador - UFPE Prof. Bernardo Horowtz, Ph.D. Examnador Interno - UFPE Prof. Ramro Brto Wllmersdorf, Ph.D. Examnador Externo - UFPE Prof. Lus Eloy Vaz, Dr.-Ing. Examnador Externo - UFRJ Recfe, Pernambuco Brasl Novembro de 2009.

3 M921o Motta, Renato de Squera Otmzação robusta de estruturas utlzando o método da base reduzda / Renato de Squera Motta. - Recfe: O Autor, x, 121 f.; l., gráfs., tabs. Dssertação (Mestrado) Unversdade Federal de Pernambuco. CTG. Programa de Pós-Graduação em Engenhara Cvl, Inclu Referêncas bblográfcas. 1. Engenhara cvl. 2. Otmzação Robusta. 3. Método da Colocação Probablístca. 4. Otmzação Multobjetvo. 5. Método da Base Reduzda. I. Título. UFPE 624 CDD (22. ed.) BCTG/

4 No processo de evolução das espéces, somos um ótmo local v

5 Renato de Squera Motta OTIMIZAÇÃO ROBUSTA DE ESTRUTURAS UTILIZANDO O MÉTODO DA BASE REDUZIDA Resumo Com o rápdo aumento da capacdade computaconal, o tema otmzação avançou de manera notável nos últmos anos. Atualmente númeras aplcações de projetos ótmos em dferentes especaldades, como mecânca estrutural, custos de produção, escoamento de fludos, acústca, etc. têm sdo descrtas na lteratura. Entretanto, na maora das aplcações da engenhara, a abordagem tradconal é consderar modelos e parâmetros determnístcos. Infelzmente a abordagem determnístca pode levar a soluções cujo desempenho pode car sgnfcatvamente devdo às perturbações decorrentes das ncertezas. Nestas crcunstâncas, um objetvo melhor sera um projeto ótmo que tenha um alto grau de robustez. O processo de encontrar este ótmo é chamado Otmzação Robusta (OR). Aqu, abordaremos duas técncas para a análse de propagação de ncerteza, não ntrusvas, que utlza modelos computaconas determnístcos: o método de Monte Carlo (MC) e o método da Colocação Probablístca ( Probablstc Collocaton Method ) (PCM). A análse de propagação de ncerteza essencalmente envolve o cálculo de momentos estatístcos da função de nteresse. Váras meddas de robustez têm sdo propostas na lteratura, em partcular, o valor médo e o desvo padrão da função envolvda no problema de otmzação serão consderados aqu. Quando estas meddas de robustez são usadas combnadas, a procura de projetos ótmos robustos surge como um problema de Otmzação Multobjetvo Robusta (OMR). Técncas de Otmzação Multobjetva permtem o projetsta modelar um problema específco consderando um comportamento mas realsta, o qual comumente envolve o atendmento de város objetvos smultaneamente. O procedmento adequado, quando um problema multobjetvo precsa ser resolvdo, é determnar a frontera de Pareto. Nos últmos 15 anos, dstrbuções efcentes de pontos de Pareto têm sdo obtdas através de novos algortmos como o NBI (Normal-Boundary Intersecton) e o NNC (Normalzed Normal-Constrant). Estas estratégas são mplementadas aqu, junto com outras abordagens comumente utlzadas na lteratura, como o método da soma ponderada e o método Mn-Max. Como a geração de pontos de Pareto e a análse de ncerteza podem ser muto custosas, técncas de aproxmação, baseada no uso do Método da Base Reduzda (MBR), são ncorporadas ao nosso procedmento. O propósto do método é obter um modelo de alta fdeldade com custo computaconal acetável. Além dsto, uma estratéga de separabldade com uma decomposção afm, permte o desenvolvmento de uma estratéga efcente de cálculo off-lne/on-lne, para a mplementação computaconal do MBR. Problemas contínuos em duas dmensões submetdos a carregamentos estátcos e térmcos são as aplcações consderadas neste trabalho, os desempenhos das dferentes estratégas examnadas são comparadas. A combnação das váras técncas de aproxmação descrtas permtu a obtenção das soluções OMR em pouco tempo computaconal. Palavras chaves: Otmzação robusta, método da Colocação Probablístca, Otmzação Multobjetvo, Método da base reduzda. v

6 STRUCTURAL ROBUST OPTIMIZATION CONSIDERING REDUCED-BASIS METHOD Renato de Squera Motta Abstract The topc of optmzaton has advanced n a remarkable manner n recent years, wth the rapd growth of computatonal power. Nowadays a number of applcatons on desgn optmzaton from dfferent dscplnes such as structural mechancs, acoustcs, etc. have been already reported n lterature. However, n most engneerng applcatons, the tradtonal approach s to consder determnstc models and parameters. Unfortunately, the determnstc approach generally leads to a fnal desgn whose performance may degrade sgnfcantly because of perturbatons arsng from uncertantes. In ths scenaro a better target that provdes an optmal desgn s one that gves a hgh degree of robustness. The process to fnd such optmal s referred to as robust optmzaton (RO). Here, we dscuss two nonntrusve uncertanty propagaton analyss technques that explot determnstc computer models: Monte Carlo (MC) method and Probablstc Collocaton Method (PCM). The uncertanty propagaton analyss essentally nvolves computng the statstcal moments of the output. Several robustness measures have been proposed n the lterature, n partcular, the expected value and standard devaton of the functon nvolved n the optmzaton problem are consdered here. When usng these robustness measures combned the search of optmal robust desgn appears as a robust multobjetve optmzaton (RMO) problem. Multobjectve optmzaton technques allow a desgner to model a specfc problem consderng a more realstc behavor, whch commonly nvolves the satsfacton of several targets smultaneously. The computaton of the Pareto front solutons s the adequate procedure when a multobjectve problem has to be solved. In the last 15 years effcent Pareto pont dstrbuton has been obtaned through the use of new algorthms such as NBI (Normal-Boundary Intersecton), and NNC (Normalzed Normal-Constrant). These two strateges are mplemented n ths work together wth other commonly consdered approaches n lterature such as weghted sum method and mn-max method. As the generaton of Pareto ponts and the uncertanty analyss could be very costly, approxmaton technques based on the use of Reduced Bass Method (RBM) are also ncorporated n our procedure. The purpose of such scheme s to get hgh fdelty model nformaton wth acceptable computatonal expense. Moreover, a parameter separablty strategy together wth the affne decomposton allows the development of an effcent off-lne/on-lne calculaton strategy for the computatonal mplementaton of the RBM. Two dmensonal contnua problems under statc loads are the applcatons addressed n ths work and the performance of the dfferent strateges dscussed are compared. The combnaton of all the approxmate methodologes descrbed n ths work allows the computatons of RMO solutons, wth very low computatonal tme. Keywords: Robust optmzaton, Probablstc Collocaton Method, Multobjetve optmzaton, Reduced bass method v

7 SUMÁRIO LISTA DE SÍMBOLOS x 1. INTRODUÇÃO MOTIVAÇÃO E CONSIDERAÇÕES INICIAIS OBJETIVOS ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO REFERÊNCIAS 5 2. PROBLEMAS BIDIMENSIONAIS FORMULAÇÃO DE PROBLEMAS TÉRMICOS Método dos Elementos Fntos aplcado à problemas térmcos FORMULAÇÕES DOS PROBLEMAS ELÁSTICOS Método dos Elementos Fntos aplcado à elastcdade bdmensonal Acoplamento termo-elástco MAPEAMENTO DAS EQUAÇÕES DO MEF Mapeamento da equação térmca Mapeamento da equação elástca MÉTODO DA BASE REDUZIDA Procedmento Computaconal Off-Lne/On-Lne EXEMPLOS Placa quadrada com orfíco central Exemplo termo-elástco acoplado REFERÊNCIAS OTIMIZAÇÃO ESCALAR E ANÁLISE DE SENSIBILIDADE INTRODUÇÃO FORMULAÇÃO MATEMÁTICA PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA Condções de ótmo para problemas com restrções Programação Quadrátca Sequencal - SQP ANÁLISE DE SENSIBILIDADES 40

8 Método das dferenças fntas globas Método dreto INTEGRAÇÃO ANÁLISE/OTIMIZAÇÃO O método da base reduzda no procedmento de otmzação 43 (a) Análse de sensbldade através do RBM EXEMPLOS REFERÊNCIAS OTIMIZAÇÃO MULTIOBJETIVO DEFINIÇÃO DO PROBLEMA CONCEITO DE ÓTIMO DE PARETO MÉTODOS PARA GERAÇÃO DE PONTOS DE PARETO Método da Soma Ponderada dos Objetvos Método Mn-Max Método da Interseção Contorno-Normal (NBI) Método da Restrção Normal Normalzada (NNC) Dferenças entre o NBI e o NNC EXEMPLOS Trelça de 3 barras Placa quadrada com um orfíco central Placa engastada - problema aclopado PROBLEMAS COM MAIS DE DUAS FUNÇÕES OBJETIVO Exemplo geométrco com 3 funções objetvo Exemplo analítco com 3 funções objetvo Placa sob ação termo-estrutural acoplada com 3 funções objetvo REFERÊNCIAS OTIMIZAÇÃO CONSIDERANDO INCERTEZAS INTRODUÇÃO TEORIA PROBABILÍSTICA E ESTATÍSTICA Varáves Aleatóras Dstrbuções de probabldade CÁLCULO DAS ESTATÍSTICAS Método de Monte Carlo Técncas de amostragem 89

9 (a) Exemplo - MC por dferentes amostragens Método da Colocação Probablístca (PCM) 92 (a) Polnômos ortogonas 92 (b) Quadratura de Gauss 93 (c) Aplcando Quadratura de Gauss à estatístca - PCM 95 (d) Implementação Computaconal Exemplos 101 (a) Verfcação - PCM 101 (b) Função Peródca 103 (c) Função com sngulardade OTIMIZAÇÃO ROBUSTA Meddas de Robustez Exemplo: Placa quadrada com orfíco central 112 (a) Determnação das amostras 112 (b) Resultado da otmzação REFERÊNCIAS CONCLUSÃO E TRABALHOS FUTUROS PRINCIPAIS DESENVOLVIMENTOS CONCLUSÕES DOS RESULTADOS OBTIDOS TRABALHOS FUTUROS 120

10 LISTA DE SÍMBOLOS ABREVIATURAS E SIGLAS Capítulo 2 MEF EF Q4 T3 CST MBR NGL Le Método dos Elementos Fntos. Elementos Fntos. Elemento retangular soparamétrco lnear de quatro nós. Elemento trangular lnear de três nós (vde CST). Constant Stran Trangle Elemento trangular de deformação constante. Método da Base Reduzda. Número de Graus de Lberdade Tamanho médo dos elementos Capítulo 3 SSO SQP KKT BFGS MDF Structural Shape Optmzaton - Otmzação estrutural de forma. Sequental Quadratc Programmng - Programação sequencal quadrátca. Karush-Kuhn-Tucker Relatvo às condções de ótmo. Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shann - Métodos para aproxmação da matrz Hessana Método das Dferenças Fntas Capítulo 4 OM POM WS NBI NBIm ECMI NNC NC Otmzação Multobjetvo Problema de Otmzação Multobjetvo Weght Sum Método da soma ponderada Normal-Boundary Intersecton - Interseção Contorno-Normal NBI modfcado (vde NBI) Envoltóra Convexa de Mínmos Indvduas Normalzed Normal Constrant - Método da Restrção Normal Normalzada Normal Constrant - Restrção Normal x

11 NU Normal à lnha utópca Capítulo 5 OMR Otmzação Multobjetvo Robusta OR Otmzação Robusta PDF Probablty Densty Functon - Função densdade de probabldade CDF Cumulatve Dstrbuton Functon - Função de dstrbução acumulada MC Método de Monte Carlo DoE Desgn of experments Plano de amostragem LHS Latn Hpercube Samplng - Método para gerar amostras aleatóras MT Mersenne Twster - método para a geração de amostras pseudo-aleatóra PCM Probablstc Collocaton Method - Método da colocação probablístca ME-PCM Mult-Element Probablstc Collocaton Method LISTA DE SÍMBOLOS ROMANOS Escalares c 1 c 2 Constante de Lamé Constante de Lamé D jkl Componente do tensor de elastcdade E Módulo de elastcdade do materal F obj (x) Função objetva g (x) Restrção de desgualdade h (x) Restrção de gualdade k j Termos do tensor de condutvdade térmca N Tamanho da Base N f ( μ ) Função de forma do nó Flexbldade N f ( μ ) Flexbldade aproxmada L(x,α,β,λ) Função Lagrangeana t Largura da regão T Temperatura no nó r x Coordenada de um nó na sub-regão r l x k Lmte nferor da varável de projeto x

12 u x k Lmte superor da varável de projeto Vetores b Forças de volume agndo sobre o domíno V* b r (μ) Forças de volume agndo sobre o domíno computaconal para uma subregão r e d Vetor de deslocamentos nodas de um elemento ε Vetor de deformação f n Forças normas aplcadas no contorno Γ* f t Forças tangencas e tangentes aplcadas no contorno Γ* r f n (μ) Forças normas aplcadas no contorno Γ para uma sub-regão r r f t (μ) Forças tangencas aplcadas no contorno Γ para uma sub-regão r r F TE Carregamento devdo à deformação térmca F Vetor de forças, Vetor das funções objetvo F* Vetor do mínmo ndvdual das funções objetvo (μ) Vetor de carregamentos transformado F N *r F Vetor de carregamentos do domíno real de uma sub-regão r r F j ˆF q q v S T u N Vetor de carregamento ndependente de μ para uma sub-regão r Vetor de Pseudo-força Fluxo de calor no contorno Calor nterno gerado sobre o domíno V*, Vetor da dreção de busca Vetor de temperaturas aproxmado Vetor de deslocamento N u (μ) Deslocamento aproxmado T 0 Matrzes *e B Temperatura ncal Matrz que relacona as componentes da dervada de deslocamento com deslocamentos C (μ) Operador smétrco usado para relaxação D Matrz de elastcdade * D Pseudo-matrz de elastcdade no domíno real G Matrz de transformação r G Matrz de transformação de uma sub-regão r H Hessana da função Lagrangeana I Matrz dentdade Matrz de rgdez K s * K s Matrz de rgdez no domíno real x

13 *N K s Matrz de rgdez no domíno real no espaço reduzdo *r K s Matrz de rgdez do domíno real de uma sub-regão r r K s j Matrz de rgdez ndependente de μ para uma sub-regão r K T * K T Matrz de rgdez térmca ou condutvdade térmca generalzada Matrz de rgdez térmca transformada *N K T Matrz de rgdez térmca transformada no espaço reduzdo r K kj Matrz de condutvdade ndependente de μ r K Γc Matrz de convecção no contorno de referênca Nr K Γc Matrz de convecção no contorno de referênca no espaço reduzdo r K Ωc Matrz de convecção no domíno de referênca Nr K Ωc Matrz de convecção no domíno de referênca no espaço reduzdo K k Matrz de condutvdade térmca N Matrz de função de forma N S Conjunto de amostras para campo de solução W N Espaço da Base Reduzda Z Matrz compostas por soluções base do espaço reduzdo GREGOS Escalares α α Ω α Ω β r s ( ) β μ r T ( ) β μ j j Passo da busca lnear Coefcente de convecção no domíno Coefcente de convecção no contorno Componentes do vetor com os pesos para os problemas multobjetvo Termos que dependem do parâmetro μ da transformação da Matrz de rgdez Termos que dependem do parâmetro μ da transformação da Matrz de condutvdade térmca Δ x Pertubação da varável λ, β, φ Multplcadores de Lagrange Γ Contorno μ Parâmetros varáves low μ Lmte nferor do espaço de projeto up μ Lmte superor do espaço de projeto r ϕ Ω ( μ ) r ϕ Γ ( μ ) Termos da transformação no domíno que dependem de μ Termos da transformação no contorno que dependem de μ x

14 Ω * Ω σ j ν γ Domíno Domíno real (transformado) Tensão Coefcente de Posson Coefcente de expansão térmca Vetores α(μ) * ε 0 Coefcente lnear da aproxmação no espaço reduzdo Deformações ncas (térmcas) Vetor dos Multplcadores de Lagrange das funções restrções para um x ϕ, λ qualquer ϕ *, λ * Vetor dos Multplcadores de Lagrange das funções restrções para x* ótmo μ Vetor de parâmetros varáves ζ N Conjunto de soluções do espaço Dervadas da função de forma para um nó Matrzes Φ σ * Matrz auxlar na defnção dos pontos que compõem a ECMI Tensor de tensões xv

15 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 1 INTRODUÇÃO 1.1 MOTIVAÇÃO E CONSIDERAÇÕES INICIAIS Técncas de otmzação têm sdo extensvamente usadas para obter projetos váves e econômcos nos mas varados campos das Engenharas. Atualmente as abordagens têm se tornado cada vez mas realstas, tendo sdo comumente empregadas na solução de problemas não trvas da engenhara prátca, nclundo o projeto de estruturas ótmas através de smulação computaconal. No entanto, dos pontos apenas recentemente têm sdo abordados de forma mas ncsva. A prmera questão dz respeto a atender smultaneamente váras metas (funções objetvo) em geral confltantes, além das váras restrções a serem satsfetas, quase sempre envolvdas no desenvolvmento de projetos ótmos de problemas reas. Otmzadores de propósto geral não resolvem tas problemas. Uma classe de estratégas baseadas no denomnado conceto de Pareto (ARORA et al., 2007), consttu a abordagem adequada quando problemas de otmzação multobjetvo (OM) devem ser resolvdos. Nos últmos 15 anos dstrbuções efcentes de pontos de Pareto têm sdo obtdas graças ao desenvolvmento de algortmos efcentes tas como o NBI ( Normal- Boundary Intersecton ) (DAS e DENNIS, 1996) e o NNC ( Normalzed Normal Constrant ) (MESSAC et al, 2003). Essas estratégas juntamente com outras abordagens de mas fácl mplementação (Método da soma ponderada e Método mn-max) (ARORA et al., 2007) são aqu mplementados e analsadas. Outra questão mportante, são as ncertezas embutdas de váras formas no problema de otmzação. Na maora das aplcações na engenhara, a abordagem tradconal é consderar modelos determnístcos. Porém, algum grau de ncerteza ou varação nas característcas de qualquer sstema estrutural é nevtável. Infelzmente, a abordagem determnístca pode levar a soluções cujo desempenho pode car sgnfcatvamente devdo às perturbações decorrentes de ncertezas. A Otmzação Robusta (OR) leva em consderação as varáves ncertas (aleatóras) e suas probabldades de ocorrênca, de modo a encontrar um ótmo menos vulnerável a varação dos parâmetros ncertos. Nesta dssertação, serão examnadas algumas abordagens para a consderação das ncertezas no processo de otmzação e assm obter projetos robustos. As meddas de robustez utlzadas aqu foram: a esperança e a varânca da função de nteresse. Quando usa-se estas meddas, a busca por um projeto robusto ótmo, surge com um problema de decsão com múltplos crtéros (otmzação mult-objetvo robusta - OMR). 1

16 Neste trabalho, uma ferramenta para obter projetos ótmos robustos, sobre város crtéros, é descrta, mplementada e aplcada no âmbto estrutural. Para o cálculo dos parâmetros estatístcos serão empregadas duas técncas não ntrusvas de análse de propagação de ncerteza, o método de Monte Carlo (MC) e o método da colocação probablístca ( Probablstc Collocaton Method - PCM) (RAMAMURTHY, 2005). O MC é um dos métodos mas tradconas para este tpo de análse, porém é nvável para ser aplcado dretamente em modelos complexos de alta fdeldade, devdo ao grande número de análses necessáras. O PCM é uma ferramenta desenvolvda vsando uma análse de ncerteza efcente, mesmo em modelos complexos e computaconalmente custosos. A déa básca do PCM é aproxmar a resposta do modelo em função das varáves aleatóras, por funções polnomas, e estmar os parâmetros estatístcos por ntegração numérca. Fo anda estudado o comportamento do MC para o cálculo das estatístcas de funções especfcas, através do uso de dferentes técncas de amostragem. Os problemas de otmzação estrutural aqu consderados, abordam modelos elástcos lneares e/ou térmcos bdmensonas, além de trelças planas. Para sua solução, fo utlzado um algortmo padrão de otmzação de forma ( Structural Shape Optmzaton - SSO) ntegrando aos procedmentos de otmzação, a modelagem geométrca, a análse estrutural (ou térmca) e a análse de sensbldade, para o cálculo dos gradentes requerdos pelo otmzador. Este algortmo usa a programação sequencal quadrátca ( Sequental Quadratc Programmng - SQP) (VANDERPLAATS, 2004) como otmzador e na versão ncal do algortmo SSO, cada análse estrutural (e/ou térmca) é calculada através de smulação computaconal utlzando o Método dos Elementos Fntos (MEF) (COOK et al, 2003). O algortmo SSO será aprovetado e adaptado para os métodos de obtenção de pontos de Pareto, e nele também serão ntroduzdos os procedmentos para os cálculos dos parâmetros estatístcos das funções de nteresse. A depender da aplcação, o custo das análses dos modelos, bem como da análse de sensbldade va MEF, pode ser elevado. No entanto, as obtenções dos pontos de Pareto para os problemas de OM e prncpalmente nos problemas de OMR estão assocados a um grande número de avalações de funções e cálculos de gradentes, assm sendo o tempo total de CPU no procedmento de otmzação pode ser bastante elevado. Para amenzar esta dfculdade, técncas de aproxmação baseadas no método das bases reduzdas (MBR) (AFONSO, 2003; ALBUQUERQUE, 2005; AFONSO et al., 2009) são nserdas na metodologa, para as etapas de análse e de análse de sensbldade requerdas pelo algortmo, durante o processo de otmzação, produzndo um grande ganho computaconal, sem grande perda de fdeldade do modelo. O MBR aqu mplementado, é uma projeção do tpo Galerkn em um espaço de aproxmação de baxa ordem, formado por soluções do modelo de alta fdeldade, para o problema de nteresse em pontos seleconados do espaço de projeto. O procedmento combna dos aspectos, a saber: uma aproxmação com precsão e uma melhora na efcênca computaconal. No MBR utlza-se do mapeamento da geometra das regões do modelo para aplcar uma estratéga de separabldade de parâmetros (varáves aleatóras, varáves de projeto). Todos os cálculos são conduzdos em um domíno fxo denomnado domíno 2

17 de referênca. Transformações geométrcas entre o domíno real e computaconal são conduzdas e nserdas nas equações governantes de cada problema específco. Isto, junto com a decomposção dos termos da rgdez e de força permte o desenvolvmento de um algortmo para mplementação computaconal do método dvddo em dos estágos denomnados off-lne e on-lne. Os cálculos off-lne são conduzdos somente uma vez e usados subseqüentemente no estágo on-lne para cada novo parâmetro desejado. Com sso, para cada novo projeto, funções e gradentes são obtdos muto rapdamente. A conseqüênca de avalações de funções (e seus gradentes) precsas e de baxo custo computaconal torna este procedmento bem atratvo para propóstos de OMR. Város exemplos utlzando as váras estratégas serão nvestgados com o objetvo de se verfcar a efetvdade e robustez dos procedmentos desenvolvdos. Será demonstrado que a unão de estratégas efcentes de OM e OMR e procedmentos de aproxmação consttu uma ferramenta efetva e confável para se obter os pontos de Pareto nos problemas aqu estudados e por segunte dá ndícos de sucesso para outros problemas mas complexos. 1.2 OBJETIVOS O objetvo fnal desta dssertação é nvestgar, desenvolver e mplementar procedmentos geras para a otmzação multobjetvo convenconal e robusta, ncorporando um procedmento de aproxmação (MBR), aplcado na análse estrutural e/ou térmca e análse de sensbldade. Na Fgura 1.1 é apresentado o fluxograma do processo de otmzação para as dferentes confgurações possíves mplementadas. Os prncpas aspectos relaconados ao desenvolvmento deste trabalho são: Adaptar e mplementar rotnas para análse estrutural e/ou térmca e análse de sensbldade va Método dos Elementos Fntos (aqu denomnado modelo real); Automatzar, desenvolver e mplementar os procedmentos para análse estrutural e/ou térmca e o cálculo das sensbldades no contexto do MBR (aqu denomnado modelo aproxmado); Realzar um estudo comparatvo dos dos procedmentos descrtos nos tens anterores, através de exemplos envolvendo análse estrutural e/ou térmca; Desenvolver e mplementar rotnas que soluconem o problema OM para ambos os modelos (real e aproxmado) a fm de obter os pontos de Pareto; Acoplar aos algortmos de otmzação multobjetvo, as rotnas de otmzação estrutural; Realzar um estudo comparatvo através exemplos envolvendo otmzação multobjetvo; 3

18 Implementar rotna para o cálculo dos parâmetros estatístcos da resposta de nteresse, além de seus gradentes, através do método de MC, com dferentes técncas de amostragem; Implementar o procedmento para o desenvolvmento e aplcação do PCM para varáves aleatóras consderando as dstrbuções de probabldade; Incorporar o PCM, na rotna para o cálculo dos parâmetros estatístcos e seus gradentes; Realzar um estudo comparatvo entre o MC e o PCM; Adaptar o MBR para consderar as varáves aleatóras no espaço da base reduzda; Consderar os parâmetros estatístcos no processo de otmzação un e multobjetvo, tanto utlzando apenas o MEF como va MBR; Obter resultados fnas, consderando as dferentes metodologas para a otmzação multobjetvo, para a análse, e para o cálculo dos parâmetros estatístcos. 4

19 Iníco Caso Estocástco: Defnr varáves aleatóras e suas dstrbuções Defnr: Geometra do problema Condções de contorno Varáves de projeto Funções objetvo e restrção Caso MBR: Defnr amostras Caso MBR: Gerar soluções va MEF e a estruturas de dados off-lne Geração do projeto ncal Otmzação Escalar Análse Estrutural/Térmca Análse de Sensbldade MEF ou MBR Determnístco ou Estocástco ou Otmzação Multobjetvo (neste caso, repetr o processo para cada ponto de Pareto) Não Otmzador SQP Geração do novo projeto Convergu? Sm Fm Fgura 1.1 Algortmo para as dferentes opções de otmzação consderadas. 5

20 1.3 ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO Esta dssertação consste de ses capítulos organzados conforme será descrto a segur. Após este breve capítulo ntrodutóro, é apresentado no segundo capítulo a formulação do problema bdmensonal térmco e estrutural, o MEF aplcado a estes, a separabldade das varáves do problema e a aproxmação pelo MBR. Este capítulo é uma contnuação da dssertação de (ALBUQUERQUE, 2005), com a nclusão do uso do elemento retangular blnear (Q4) para o cálculo va MEF (o elemento trangular lnear (CST) já hava sdo consderado). No tercero capítulo, é explanado o problema de otmzação escalar, seus procedmentos de solução e as dferentes técncas para a análse de sensbldade, aplcadas va o MEF e o MBR. Em seguda são confrontados os resultados obtdos por ambas as a- bordagens. No capítulo quarto é apresentada a formulação do problema de otmzação multobjetvo, o conceto de pontos de Pareto e os métodos para encontrá-los. Alguns exemplos são resolvdos para a comparação das técncas. Este capítulo é baseado na dssertação de (MACEDO, 2002) aplcado para otmzação de trelças planas. As extensões aqu conduzdas, foram a ncorporação de ferramentas para a solução de problemas 2D contínuos, a nclusão do método NNC (MESSAC et al., 2003) e de uma modfcação da estratéga NBI (DAS e DENNIS, 1996), proposta neste trabalho, para problemas com mas de duas funções objetvo. O capítulo cnco é onde as ncertezas passam a ser consderadas no problema de otmzação. Nele é feta uma breve ntrodução sobre probabldade e concetos estatístcos para, a segur, serem apresentados e nvestgados os métodos MC e o PCM para o cálculo das estatístcas de nteresse. Posterormente, é feta uma ntrodução à otmzação robusta, para só então, serem apresentados os exemplos utlzando este conceto de otmzação. No sexto capítulo serão fetas algumas conclusões e sugestões de trabalhos futuros. 1.4 REFERÊNCIAS AFONSO, S.M.B, LYRA, P.R.M, ALBUQUERQUE, T.M. M., R. S., MOTTA. Structural Analyss and Optmzaton n the Framework of Reduced-Bass Method. Structural and Multdscplnary Optmzaton, Sprnger Berln / Hedelberg, DOI: /s , Publshed onlne, January AFONSO, S. M. B. e PATERA, A. T. Structural Optmzaton n Framework of Reduced Bass Method. n XXIV CILAMCE, Congresso Ibero Latno Amercano de Métodos Computaconas na Engenhara, ARORA J. S.; MESSAC, A.; MULLUR, A. A. OPTIMIZATION OF STRUCTURAL AND MECHANICAL SYSTEMS. Chapter 4 - Multobjectve Optmzaton: Concepts and Methods. Jasbr S Arora, Unversty of Iowa, USA,

21 ALBUQUERQUE T. M. M.. Análse e Otmzação de Problemas Térmcos e Estruturas Bdmensonas Através do Método das Bases Reduzdas. Dssertação de mestrado, Dept. de Engenhara Cvl, Unversdade Federal de Pernambuco, Recfe-PE, Brasl, COOK, R. D., MALKUS, D. S., PLESHA, M. E. e WITT R. J. Concepts and Applcatons of Fnte Element Analyss. Fourth edton, Wley, DAS, I. e DENNIS, J.E. Normal Boundary Intersecton: A New Method for Generatng Pareto Surface n Nonlnear Multcrtera Optmzaton Problems. SIAM J. Otmzaton, Vol. 8, No. 3, pp , MACEDO, C. M. H. Otmzação de Trelças Planas sob Váras Solctações com Ênfase a Problemas Multobjetvos. Dssertação de Mestrado, Dept. de Engenhara Cvl, Unversdade Federal de Pernambuco. Recfe-PE, Brasl, MESSAC, A., ISMAIL-YAHAYA A. e MATTSON C. A. The Normalzed Normal Constrant Method for Generatng the Pareto Fronter. Structural Optmzaton, Vol. 25, No. 2, pp , RAMAMURTHY, D. Smart smulaton technques for the evaluaton of parametrc uncertantes n black box systems. Thess (M.S. n computer scence). Washngton State Unversty VANDERPLAATS, G. N. Numercal Optmzaton Technques for Engneerng Desgn - wth Applcatons. 4rt Edton, Vanderplaats Research & Development, Inc., Colorado Sprngs, CO,

22 CAPÍTULO 2 PROBLEMAS BIDIMENSIONAIS 2 PROBLEMAS BIDIMENSIONAIS 2.1 FORMULAÇÃO DE PROBLEMAS TÉRMICOS Nesta seção estão apresentadas as equações governantes dos problemas térmcos no regme estaconáro (ou permanente). Incalmente deve-se levar em conta que as equações governantes são descrtas para um materal homogêneo e ortotrópco, onde este corpo Ω possu contorno Γ. A varável T, que representa neste caso a temperatura, satsfaz a equação dferencal parcal q nd = Q α Ω T T0 em Ω (2.1) = 1 x (2.1) ( ) onde q representa a componente do vetor de fluxo de calor, nd é o número de dmensões do problema, Q representa o termo de fonte (ou sumdouro) de calor no domíno, α Ω é o coefcente de convecção no domíno, T 0 é a temperatura ambente e Ω representa o domíno do problema. O fluxo de calor se relacona com o gradente de temperatura através da le de Fourer da condução, (2.2) q T nd kj (2.2) j= 1 x j = onde k j representa os termos do tensor da condutvdade térmca. A Equação (2.1) pode então ser expressa como nd nd T kj + α Ω T T0 = Q em Ω = 1 x j= 1 x j (2.3) ( ) (2.3) Além dsso, as seguntes condções de contorno são consderadas T = T em Γ T (2.4) q = q α Γ T T0 em Γq n n ( ) (2.4) 8

23 onde ΓT representa a porção de contorno com temperaturas prescrtas contorno de Drchlet), Γ q representa a parcela do contorno sujeta a fluxo e/ou a convecção (condção de contorno de Cauchy), T (condção de qn α Γ é o coefcente de convecção no contorno e é o fluxo na dreção n ortogonal à T 0 é a temperatura ambente. As expressões foram escrtas até então, utlzando notação ndcal. Na forma matrcal, as equações governantes no domíno Ω (2.3) e no contorno Γ (2.4) podem ser expressas como q Γ q, T k T + αωt = αωt0 + Q em Ω (2.5) e k Tn+ α T = α T + q em Γ Γ Γ 0 n q (2.5) Para o caso bdmensonal ortotrópco, [ / x, / y] T = e k é a matrz consttutva que contém as condutvdades térmcas do materal nas dreções x e y, dado por kx 0 (2.6) k = 0 k y (2.6) Método dos Elementos Fntos aplcado à problemas térmcos Na aproxmação va elementos fntos é feta uma dscretzação do domíno em subdomínos chamados de elementos, onde serão efetuadas as aproxmações. Para os problemas térmcos em regme estaconáro, onde todos os graus de lberdade estão assocados à temperatura em determnado nó, a temperatura T e (ξ,η) no elemento e, em qualquer ponto (ξ,η) deste elemento, é aproxmada da segunte forma n T, N, T (2.7) ( ξη) ( ξη) e = NT e e e = 1 e (2.7) e e onde é a temperatura no nó e é a função de forma assocado ao nó. Consderando T N ( ξ, η ) as coordenadas locas do nó j as funções de forma são defndas de tal j j forma que (ZIEKIEWICZ e TAYLOR, 2000) (2.8) N ( ξ j ηj) 1, para j =, =, j = 1... n (2.8) 0, para j 9

24 e e e e Defnmos, então, os vetores N e T, onde,, e N = N,, 1 N N e n é o vetor das e e e e funções de forma do elemento e, T = T1,, T,, T n é o vetor das temperaturas nodas deste mesmo elemento e n é o número de nós do elemento. Utlzando a aproxmação dada em (2.7), as equações governantes (2.5) para o domíno Ω e para o contorno, podem ser aproxmadas como Γ q T ( T k N α ) Ω (2.9) + N T= α T + Q em Ω ( α ) k Nn+ N T= α T + q em Γ Γ Γ 0 Ω 0 n q (2.9) onde N é o vetor contendo as funções de formas relaconadas aos nós, e T é o vetor contendo as temperaturas nodas dos nós. Para a solução do sstema de equações dferencas (2.9), será usado o Método dos Resíduos Ponderados. A partr da parametrzação da aproxmação da solução do problema, este método consste em encontrar os parâmetros referentes à aproxmação consderada (no nosso caso T), que anule a ntegral em todo o domíno, do resíduo das e- quações ponderado por dferentes funções peso W l, para l =1..nl, onde nl é o número de funções de peso utlzadas. As equações do problema estaconáro de condução de calor devem satsfazer, então, a segunte equação (2.10) k N + N Ω + k Nn + N Wd l Γ q T = Γ q (2.10) + Ω+ + WdΓ T ( αω ) Wd l ( αγ ) Ω ( αωt0 Q) Wd ( αγt0 q ) Ω para l =1..nl l n l q Γq Consderando uma dscretzação em elementos fntos do domíno em estudo, aplcando a aproxmação de Galerkn do Método dos Resíduos Ponderados, onde as funções de peso são as própras funções de forma (utlzadas para a aproxmação da solução), e ntegrando por partes o termo com dervada de maor ordem, chega-se a forma fraca do problema estaconáro de condução de calor (ALMEIDA, 2001) (2.11) T T T Nk N+ αωnndω+ αγnndγ q T= Γ q (2.11) ( ) Ω T ( αω 0 ) d ( αγ 0 n) Ω T + Ω+ + dγq T Q N T q N Γq As ntegras que aparecem na Equação (2.11), podem ser avaladas, somando as contrbuções de cada elemento. A equação governante do problema térmco na forma dscreta, pode ser expressa como 10

25 (2.12) KT T = F T (2.12) onde K T é a matrz de rgdez térmca, F T é o vetor com termos de cargas térmcas total e T é o vetor das temperaturas nodas ncógntos. O vetor é dado por F T (2.13) F T = F Ω + F Γ (2.13) onde FΩ representa as cargas no domíno e F Γ as cargas no contorno, dado por T (2.14) Ω = ( αω 0 + ) dω ; Γ = ( αγ 0 + n) F T Q N F T q N T dγ (2.14) q Ω Γq Para o problema descrto na Equação (2.12) a matrz de rgdez térmca apresenta a contrbução das parcelas relatvas à condutvdade térmca K k, convecção no domíno K e convecção contorno,.e. Ωc K Γ c (2.15) KT = Kk + K Ω c + K Γ c (2.15) onde T T (2.16) K = N k NdΩ ; K = α N NdΩ ; K = α N T Nd Γ (2.16) k Ωc Ω Γc Γ Ω Ω Γq q 2.2 FORMULAÇÕES DOS PROBLEMAS ELÁSTICOS Nesta seção serão apresentadas as equações governantes da elastcdade lnear nas formas forte. Para tornar mas prátca a apresentação da formulação, consdera-se a deformação de um corpo homogêneo Ω com contorno Γ sujeto à forças volumétrcas e carregamentos dstrbuídos. Além dsso, consdera-se que o gradente do deslocamento é sufcentemente pequeno, de forma que o modelo de elastcdade lnear descreva adequadamente a deformação. Desta forma as equações de equlíbro são satsfetas na forma nd σ j (2.17) + bj = 0 em Ω (2.17) = 1 x j onde b j é a força volumétrca agndo sobre o domíno Ω na dreção j e o tensor de tensões σ j está relaconado lnearmente com o vetor de deformação. Na forma matrcal, as equações de equlíbro para o caso bdmensonal, podem ser expressas da segunte forma 11

26 T (2.18) σ + b = 0 (2.18) onde é um operador dferencal, σ é o vetor das tensões e b o vetor das forças de volume, defndos respectvamente por σ xx 0 0 T x y σ yy bx (2.19) =, σ =, b σ = xy b (2.19) y 0 0 y x σ yx A equação consttutva, para a elastcdade lnear na forma matrcal, é apresentada através da segunte relação (2.20) σ = Dε (2.20) onde ε o vetor de deformações dado por ε = u onde u é o vetor dos deslocamentos, que no caso de problemas de elastcdade plana é dado por ( ) u x, y (2.21) u = (2.21) v( x, y) Para materas sotrópcos com módulo de elastcdade E e coefcente de Posson υ, a matrz de elastcdade D (Equação (2.20)) para o estado plano de deformação é dada por (VILLAÇA e GARCIA, 2000). 2c2 + c1 c (2.22) c c + c 0 D = (2.22) 0 0 c2 c2 0 0 c2 c2 onde, e c são as constantes de Lamé defndas por c1 2 E E (2.23) c = υ 1, c 2 (1 + υ)(1 2 υ) = 2(1 + υ) (2.23) A equação de equlíbro para elastcdade plana pode então ser expressa, em função dos deslocamentos, da segunte forma 12

27 T (2.24) D u+ b= 0 (2.24) em Além das equações no domíno, têm-se as condções de contorno de deslocamento Γ e de tensão prescrta em, ou seja, D Γ N u= u em Γ (2.25) σ= σ em Γ D N (2.25) Método dos Elementos Fntos aplcado à elastcdade bdmensonal Na aproxmação va elementos fntos para os problemas b-dmensonas onde todos os graus de lberdade estão assocados aos deslocamentos nodas. Os deslocamentos u e (ξ,η) e v e (ξ,η) em qualquer ponto (ξ,η) no elemento e, onde u e v são, respectvamente, as componentes horzontas e vertcas do deslocamento, são aproxmados da segunte forma (2.26) u v e e n e ( ξη, ) N ( ξη, ) = 1 n e ( ξη, ) N ( ξη, ) = 1 u v e e (2.26) e e onde u e v são as componentes do deslocamento no nó do elemento e e N é a função de forma assocado ao nó, da mesma forma como fo defndo para o caso térmco na seção Com sso pode-se reescrever a equação que relacona deformação e deslocamento para um elemento genérco e da segunte manera n e e e e e (2.27) ε Bd = Bd (2.27) = 1 onde B e é matrz que relacona as deformações com deslocamentos, d e [ e e ] T = u v o número de nós por elemento. Para um nó específco, pode ser escrta como e B e n é e e (2.28) B = N (2.28) Partndo da formulação forte e aplcando a aproxmação de Galerkn em Elementos Fntos (ZIEKIEWICZ e TAYLOR, 2000) a equação dferencal governante para problemas de elastcdade pode ser escrta como 13

28 (2.29) T BDBdΩ u= NbdΩ+ NfdΓ+ Nf d t Γ (2.29) T T T n Ω Ω n t Γ Γ Na Equação (2.29) b é o vetor das forças de volume agndo sobre o domíno, e f t são respectvamente os vetores das forças normas e tangentes aplcadas no contorno Γ n e Γ t respectvamente, N é a matrz relaconada com as funções de forma utlzadas pelo Método dos Elementos Fntos em modelos b-dmensonal e B a matrz que relacona as componentes das deformações com deslocamentos, apresentadas anterormente. A Equação (2.29), pode ser reescrta como Ω f n (2.30) Ku s = F s (2.30) onde K s é a matrz de rgdez da estrutura e F s é o vetor com termos de carregamento e condções de contorno Acoplamento termo-elástco A equação governante para problemas termo-elástcos consttu uma extensão da apresentada na Equação (2.29) com a nclusão de um termo de carregamento adconal relaconado com as deformações térmcas. Assm, tem-se T T T T T (2.31) BDBdΩ u= NbdΩ+ Nf d ndγ+ Nft dγ+ BDε 0 Ω (2.31) Ω Ω Γ Γ Ω ε 0 Na equação anteror, é o vetor das deformações ncas devdo à varação térmca. Assm, o últmo termo da Equação (2.31) é o responsável pelo acoplamento entre os problemas térmco e estrutural. As deformações ncas são causadas por varação térmca do materal em uma estrutura e devdo a restrções orundas das condções de a- poo. Consderando um materal sotrópco com coefcente de expansão térmca γ, coefcente de Posson υ e uma varação da temperatura em relação a uma temperatura de referênca ΔT, tem-se para as condções de Estado Plano de Deformação que ( ) 1+ ν γ ΔT (2.32) ( 1+ ν) γ ΔT ε0 = (2.32)

29 As deformações térmcas produzem apenas uma varação no volume da estrutura, sem varar sua forma. Por sso, as componentes da deformação de csalhamento são guas à zero. Como se pode observar, o efeto dos carregamentos térmcos é ntroduzdo na análse estrutural transferndo-se o campo de temperaturas do modelo térmco para o modelo elástco. Este campo de temperaturas é utlzado para computar as deformações ncas térmcas, que ntroduzem carregamentos mecâncos na estruturas através do últmo termo da Equação (2.31). 2.3 MAPEAMENTO DAS EQUAÇÕES DO MEF Os elementos utlzados neste trabalho serão: o quadrlateral soparamétrco blnear de quatro nós (Q4) e o trângular lnear de três nós (T3) conhecdo como CST Constant Stran Trangle, pos como suas funções de forma são lneares, a deformação é constante no elemento. A fm de evtar a necessdade de uma nova dscretzação, bem como reduzr o custo computaconal relatvo ao processamento da solução va MEF a cada mudança de parâmetro que altere a geometra da estrutura, pode-se realzar os cálculos sobre um domíno de referênca Ω mantdo constante durante todo o procedmento e aplcar transformações a fm de obter as equações em outro domíno Ω *, chamado domíno real. Para tal utlza-se ncalmente o conceto de separabldade (ALBUQUERQUE, 2005), escrevendo os termos da matrz de rgdez e vetor de carga em forma decomposta. Assm, os domínos bdmensonas serão dvddos em váras regões r = 1 R, de acordo com a dependênca dos parâmetros varáves para o problema em partcular. Consderando a r contrbução de cada sub-regão Ω a matrz de rgdez e o vetor dos termos de carregamento defndos nas Equações (2.12) e (2.30) podem ser reescrtos como r (2.33) K = K F= R R r= 1 r= 1 r F (2.33) Separando os termos (regões) que dependem do parâmetro varável, um novo conjunto de parâmetros constturá somente um novo dado a ser ajustado na forma decomposta, não se tornando necessáro outro processo de dscretzação de um novo domíno, por consegunte, contrbundo para a melhora da efcênca computaconal. Este procedmento se mostrará anda mas nteressante mas adante, ao se utlzar o MBR (Método da Base Reduzda) (AFONSO e PATERA, 2003). * Cada novo domíno real Ω bdmensonal é dvddo em um número de regões R, *r onde cada regão r possu uma transformação dferente, entre o domíno real Ω e o r domíno de referênca Ω, a depender dos parâmetros ajustáves de cada regão. Isto sgnfca que para cada regão, há uma assocação lnear entre os domínos de referênca e o real, defndo da segunte forma (2.34) x * r = G r x r ou x * r = G r x r com, j = 1, 2, e r = 1,..., R (2.34) j j 15

30 onde x 1 e x 2 correspondem às coordenadas nas dreções x e y respectvamente, e a matrz de mapeamento (ou transformação) G é dada por * * x1 x 1 x r 1 x2 (2.35) G () μ = (2.35) * * x2 x2 x1 x2 Esta matrz jacobana (2.35) é escrta em função dos parâmetros varáves μ, para maores nformações vde (ALBUQUERQUE, 2005). O mapeamento desta transformação permtrá obter as equações para novos domínos, sem a necessdade de gerar nova malha nem construr as matrzes ou vetores do novo sstema de equação. Consderando a transformação apresentada, pode-se então obter as equações governantes para um novo domíno qualquer Ω em função dos parâmetros μ, a partr das *r r equações no domíno de referênca Ω. Para uma regão específca r, as transformações dos nfntesmas do domíno e do contorno podem ser escrtas como * r r r * r r (2.36) dω = ( μ) dω e dγ = ϕ r ( ) dγ (2.36) ϕ Ω Γ μ onde 1 1 (2.37) r rt ( ) det[ r ϕ μ = G ( μ)] e ϕ r ( μ) = [ G r ( μ)] n (2.37) Ω Γ *rt onde n é o vetor untáro tangente ao contorno Γ r de uma regão partcular r e sgnfca a norma eucldana do vetor Mapeamento da equação térmca Aplcando os concetos de separabldade, juntamente com as transformações aplcada á matrz N e aos nfntesmas dω e dγ, tem-se que as matrzes de rgdez térmca e o vetor de carregamento térmco decompostos, podem ser transformados do domíno de referênca para o domíno real como ( ) K μ = N G ( μ) kg( μ) Ndet[ G ( μ)] dω * r T rt r r r 1 k r Ω ( ) * 1 (2.38) K μ = α NNdet[ G( μ)] dω r r T r r Ωc Ω r Ω ( ) K μ = α NN[ G( μ)] n dγ * r r T r 1 rt r Γc Γ q r Γq r (2.38) 16

31 ( αω 0 ) F = T + Q N det[ G ( μ)] dω * r r r T r 1 r Ω r Ω (2.39) r r r T r F = α T q N [ G ( μ)] n ( Γ 0 n) dγ * 1 rt r Γ q r Γq (2.39) r Na presente aplcação, o únco termo dependente de μ é G ( μ ). Estas transformações, nas aplcações aqu analsadas, são constantes no domíno de cada regão, sendo possível retrá-las das ntegras e desta forma reescrever as matrzes e vetores decompostos apresentados nas Equações (2.38) e (2.39) com o auxlo da Equação (2.37), da segunte manera nt r r r r r r r r k T j k j Ωc Ω Ωc Γc = ϕγ j= 1 (2.40) K * ( ) = ( ) ; * ( ) = ( ) ; * ( ) * (2.41) ( ) r μ β μ K K μ ϕ μ K K μ ( μ) K (2.40) r r r r FT μ = ϕω( μ) FΩ + ϕγ( μ) F r (2.41) Γ Γc onde os termos ndependentes do parâmetro µ são dados pelas Equações (2.14) e (2.16) r aplcada a cada regão. As matrzes K kj são formadas a partr da sub-decomposção da r matrz de condutvdade térmca. Nesta decomposção nt e β μ varam de a- K ( ) *r k são calculadas da se- cordo com a transformação específca da regão. As matrzes gunte forma r K kj T j r T r r (2.42) Kkj = N k j NdΩ, j = 1... nt (2.42) r Ω r onde as sub-matrzes consttutvas k j são obtdas através da decomposção de que é defnda a partr do seu valor de referênca como * r k ( μ ), (2.43) * r rt r r r 1 k ( μ) = G ( μ) kg( μ) det[ G ( μ )] (2.43) r A partr desta transformação (Equação (2.43)) são retradas não só as matrzes k j como r também o parâmetro βk ( μ ) que contêm os fatores de dependênca da varável µ, de tal j modo que * r r r (2.44) ( ) β ( ) nt k μ = T μ k j j (2.44) j= 1 Para maores detalhes vde (ALBUQUERQUE, 2005). 17

32 A partr da Equação (2.33) e das matrzes e vetores decompostos mostrados nas Equações (2.40) e (2.41), respectvamente, obtém-se as equações governantes, no domíno real, para valores de μ quasquer, da mesma forma como fo feto nas Equações (2.15) e (2.16). Temos assm * * * (2.45) KT= F (2.45) T T * Resolve-se este novo sstema para se obter as temperaturas atualzadas T Mapeamento da equação elástca Utlzando as transformações de coordenadas das Equações (2.34) e (2.35), aplcadas à matrz B, as relações nfntesmas da Equação (2.36) e o conceto da separabldade, tem-se as novas sub-matrzes de rgdez K e *r *r e os termos de carregamento F e no domíno real de cada regão (Equações (2.29) e (2.30)), da segunte forma K μ = ( G μ B ) D ( G μ B)det[ G ( μ)] (2.46) ( ) ( ) ( ) * r rt T r r r 1 s r Ω r dω (2.46) (2.47) ( ) F μ = Nbdet[ G( μ)] dω + Nf [ G( μ)] n * r T r r 1 r T r r 1 nrt nr s n r Ω nr Γ + Nf [ G( μ)] n dγ tr Γ T r r 1 trt tr t dγ (2.47) Assm como para o caso térmco, as componentes que dependem de μ podem ser retrados das ntegras e desta forma obter nt r r r s = s j j j= 1 * (2.48) K ( ) β ( ) * (2.49) F ( ) μ μ K (2.48) μ = ϕ ( μ) F + ϕ ( μ) F (2.49) r r r r r s Ω b Γ f onde r T r (2.50) K j = B DjBdV r (2.50) r V r T r r r T r r T r r (2.51) Fb = NbdV, Ff = NfndΓ + Nft dγ (2.51) r nr tr V Γ Γ 18

33 r s Nas equações anterores, cada componente das sub-matrzes de elastcdade ( ) β μ são defndos de manera análoga à decomposção da matrz de condutvdade j térmca *r k (Equação (2.43) e (2.44)), de tal modo que r D j e * nt r r r ( ) = s j j = rt ( ) r r ( ) det[ r ( )] 1 j= 1 (2.52) β ( ) D μ μ D G μ DG μ G μ (2.52) Como se pode verfcar na Equação (2.52), dependendo da transformação a ser a- plcada em cada regão, a pseudo-matrz de elastcdade D *r depende dretamente de G r e, portanto, da geometra/transformação da regão. O vetor que acopla os efetos térmcos ao carregamento elástco é calculado novamente para cada varação do parâmetro μ (estago on-lne do MBR que será tratado mas adante), pos os valores das deformações varam em função da temperatura, que não pode ser mapeada no domíno da regão r. Desta forma, para cada valor de μ se tem F μ = B Dε ( μ) dv r (2.53) ( ) * * T * TE o * r V * r (2.53) O vetor carregamento que acopla os efetos térmcos, pode ser decomposto de forma lnear em relação às temperaturas, porém tal decomposção não fo aplcada. O vetor de carregamento total consderando os efetos térmcos nas deformações - ncas de uma regão r para um valor de μ qualquer, pode ser calculado como * (2.54) r ( ) r ( ) r r ( ) r * F = ϕ + ϕ + r ( ) μ μ F μ F F μ (2.54) s Ω b Γ f TE A partr da Equação (2.33) as equações governantes são obtdas para valores de μ * quasquer. Para se obter os deslocamentos atualzados u, no domíno real, resolve-se o novo sstema. * * * (2.55) Ku = F (2.55) s s 2.4 MÉTODO DA BASE REDUZIDA O MBR consste numa projeção do tpo Galerkn em um espaço de ordem reduzda que contém soluções (base) para o problema de nteresse em pontos seleconados do espaço de projeto. O campo de soluções u(μ) (onde, no presente trabalho, u pode representar deslocamentos ou temperaturas) faz parte do espaço de solução de dmensões nfntas Y, e claramente os possíves valores de u(μ) não cobrem nteramente o espaço Y. Consderando Y como um espaço tr-dmensonal, observa-se que u em função de μ pode ser representado por uma curva ou superfíce conforme a Fgura 2.1 (a). A partr dsto, po- 19

34 de-se afrmar que o espaço das soluções não se trata de um espaço de dmensão nfnta N Y e sm um espaço de dmensão reduzda Y, onde é observado a dependênca do parâmetro varável μ (PRUD` HOMME et al, 2002), como lustrado na Fgura 2.1 (b). u(μ novo ) u(μ 1 ) u(μ 2 ) u(μ) u(μ N ) Y (a) (b) Fgura 2.1 Redução de dmensões do espaço solução - (a) Varação da solução com o parâmetro μ; e (b) aproxmação da solução μ novo através de uma combnação lnear de soluções u(μ ) pré-calculadas. Conforme comentado acma, não é mas precso representar todas as possíves funções em Y para aproxmar u(μ), tornando-se necessáro aproxmar somente aquelas funções no espaço reduzdo Y N. Com sso, pode-se smplesmente calcular a solução u em város pontos do conjunto correspondente a dferentes valores de μ e para qualquer novo parâmetro μ novo pode-se aproxmar u(μ novo ) através de uma combnação lnear de soluções conhecdas u(μ ). A lustração desta combnação lnear encontra-se na Fgura 2.1 (b). Para se construr uma aproxmação para o campo de solução, ncalmente deve-se construr a amostra de pontos sob a qual a base será montada. Desta forma tem-se a defnção do conjunto de amostras representada da segunte forma N { } N 1 (2.56) S ( μ, μ ),,( μ,, μ ) = (2.56) 1, R 1 R onde cada ( μ,, μ R 1 ) está contdo no espaço D μ, sto sgnfca que (2.57) μ low μ r μ up (2.57) 20

35 low up no qual μ e μ são os lmtes nferor e superor, respectvamente, do espaço de projeto D μ e N é o número de amostras. Para cada componente de S N calcula-se a solução u(μ) através do Método dos Elementos Fntos, utlzando as Equações (2.12) e/ou (2.30). Isto nos permte construr um espaço de Base Reduzda W N tal que (2.58) N W = span{u[ ( ) 1 1,, μr μ ],,u[ ( μ,, μ ) N ]} (2.58) 1 R Para smplfcar a notação defn-se ζ n R como ( ) (2.59) u ( μ,...,μ ) ζ = (2.59) 1 e assm W N pode ser escrto como R = ζ c 1,, (2.60) N (2.60) W span{ } om = N A equação acma sgnfca que qualquer vetor do espaço reduzdo W N pode ser expresso como uma combnação lnear das soluções ζ. Vale salentar que as soluções nos pontos amostras devem ser lnearmente ndependentes, para que ζ seja base de W N. Caso haja soluções redundantes elas devem ser desconsderadas. Isto nos leva à defnção da aproxmação do MBR para a solução como u N μ = μ j j ζ j n α R (2.61) j= 1 N (2.61) ( ) α( ) ou na forma matrcal (2.62) u ( μ) = Zα ( μ) N (2.62) no qual 1 N T 1 (2.63) = ( ) = α( ) α( ) N Z [ ζ,..., ζ ] ; α μ [ μ,..., μ ] (2.63) Partndo da equação fundamental do MEF (Equações (2.12) e (2.30)) e substtundo o vetor solução u (ou T) por u N tem-se (2.64) ( μ) Zα( μ) F( μ) K = (2.64) Pre-multplcando ambos os lados de (2.64) por Z T, ou alternatvamente, aplcando mínmos quadrados em (2.62), obtemos 21

36 T T (2.65) Z K( μ) Zα( μ) Z F( μ) = (2.65) Com sso, os coefcentes lneares α(μ) são obtdos resolvendo o problema no espaço W N dado da segunte forma N N (2.66) K ( μ) α( μ) = F ( μ) (2.66) no qual N T N N N T N (2.67) ( ) R R K μ = Z K( μ) Z, F ( μ) = Z F( μ) (2.67) Para ganhar anda mas agldade, pode-se utlzar o conceto da separabldade, já dscutdo, onde a matrz de rgdez e o vetor de carregamento no espaço W N podem ser escrto como R (2.68) K N Nr N = K, F = F Nr (2.68) r= 1 r= 1 R Nr Nr com K e F representando, respectvamente, a contrbução de cada sub-regão na matrz de rgdez e no vetor de carregamento no espaço W N,.e. N r T r N r T r (2.69) K ( μ) Z K ( μ) Z, F ( μ) = Z F ( μ) = (2.69) Nas equações acma os termos K r (μ) e F r (μ) podem ser mapeados como fo vsto nas seções e 2.3.2, e assm reescrevê-los, para se obter os mesmos correspondentes ao domíno real de cada regão r. Por exemplo, para o caso elástco, resulta em nt * Nr r Nr * (2.70) K s ( μ) βs ( μ) K j s j ; s ( ) = j= 1 Nr r Nr r Nr F μ = ϕ ( μ) F + ϕ ( μ) F f (2.70) Ω b Γ r r r onde apenas os termos β, ϕ, ϕ e ϕ dependem do parâmetro varável, K e r s j b n t são constantes, calculados para o domíno de referênca e projetados no espaço de base reduzda. Além dsso, nt é o número de termos da matrz e tal como anterormente menconado vara com a transformação específca da regão correspondente r. Vale salentar que estes parâmetros foram dscutdos com mas profunddade na seção 2.3. Para o caso térmco, as matrzes e vetores de cada regão podem ser escrtos da segunte forma Nr s j Nr F j nt Nr r Nr Nr r Nr Nr r Nr k βt j k j Ωc ϕ Ω Ωc Γc ϕγ( ) c j= 1 (2.71) * ( ) = ( ) ; * ( ) = ( ) ; * ( ) K μ μ K K μ μ K K μ = μ K Γ (2.71) 22

37 * (2.72) ( ) Nr r Nr r Nr F μ = ϕ ( μ) F + ϕ ( μ) F (2.72) d d c c Procedmento Computaconal Off-Lne/On-Lne No mapeamento das equações governantes da base reduzda, os termos que são dependentes/não dependentes do parâmetro μ são claramente dstngudos. Como uma conseqüênca desta subdvsão, a mplementação computaconal para cálculo das grandezas pelo Método da Base Reduzda é conduzda por um algortmo off-lne (ndependente de μ)/ on-lne (dependente de μ). A déa deste algortmo consste no fato que a parte off-lne só é executado uma vez, gerando varáves contendo as matrzes Nr Nr K e vetores de força F. Consequentemente, no estágo on-lne utlza-se estes dados gerados anterormente para executar uma resposta em tempo real para um novo μ. No caso de problemas de termo-elastcdade, o procedmento do Método da Base Reduzda é mplementado de acordo com o algortmo menconado na Tabela 2.1. Para os problemas térmcos o algortmo é bastante smlar. Para mas detalhes sobre o procedmentos do MBR utlzado, bem como suas aplcações e resultados, vde (AFONSO e PATERA, 2003; ALBUQUERQUE, 2005; MOTTA et al., 2007; AFONSO et al., 2009) Tabela 2.1 Algortmo do Método da Base Reduzda: OFF-LINE/ON-LINE. (Problemas acoplados) OFF-LINE - μ ndependent: 1- Problema Térmco N {( μ1,..., μr,..., μ1,..., μr) } N Escolher a amostra: = ) ( S ; 1.2 Construr a matrz de soluções térmcas va MEF: Ζ ζ ζ 1 N T = [ T,..., T ] ; 1.3 Construr as componentes matrzes de rgdez térmca no espaço reduzdo: Nr T r Nr T r Nr T r K = Z K Z ; K = Z K Z ; K = Z K Z ; k j T k j T Ωc T Ωc T Γc T Γc T 1.4 Constró as componentes dos vetores de cargas térmcas no espaço reduzdo: Nr T r ; Nr T r F = Z F F = Z F Ω T Ω Γ 2- Elástco Acoplado T Γ. 2.1 Construr a matrz de soluções dos deslocamentos va MEF (a partr da amostra e 1 das soluções térmcas): Ζ = [ ζ,..., ζ N ]; s s s Nr T r 2.3 Construr as componentes da matrz de rgdez no espaço reduzdo: Ks j = ZsKs jz s ; 2.4 Construr as componentes dos vetores de carga estrutural no espaço reduzdo: F = Z F ; F = Z F. Nr T r Nr T r b s b f s f 23

38 ON-LINE para um novo vetor μ : 1- Problema Térmco 1.1 Formar a matrz de rgdez térmca no espaço reduzdo: R nt K * N ( μ r Nr Nr r Nr T ) = ϕ ( μ ) K r Ω Ωc + ϕ ( μ ) K Γ Γc + βt ( μ ) K j k j ; r= 1 j= Formar o vetor de cargas térmcas no espaço reduzdo: R * N r Nr r Nr T ( ) = ( ϕω( ) Ω + ϕγ( ) Γ ) r= 1 F μ μ F μ F ; 1.3 Resolver: K ( μ) α ( μ) = F ( μ) ; * N * N T T T N 1.4 Calcular: T ( μ) = Z α ( μ). T T 2- Elástco Acoplado 2.1. Formar a matrz de rgdez no espaço reduzdo: K μ μ K j ; 2.2 Formar o vetor de carga estrutural no espaço reduzdo: R * N r Nr r Nr * Nr s ( ) = ϕω( ) Ω + ϕγ( ) f + TE r= 1 ( ) F μ μ F μ F F μ ; * N * N 2.3 Resolver: K ( μα ) ( μ) = F ( μ) ; s s s N 2.4 Calcular: u ( μ) = Z α ( μ ) ; s s R nt * N r Nr s ( ) = βs ( ) j s r= 1 j= EXEMPLOS Placa quadrada com orfíco central O prmero exemplo a ser consderado será uma placa quadrada com um orfíco central cujo comportamento estrutural pode ser modelado como estado plano de tensões. Devdo à smetra do problema apenas um quarto da placa será modelada. A geometra, as condções de contorno e as varáves de projeto estão apresentadas na Fgura 2.1. As varáves do problema são as dmensões μ 1 e μ 2 representadas na fgura. 24

39 μ μ 2 Fgura 2.1 Um quarto da placa quadrada Defnção do problema. As propredades do materal e as dmensões do modelo são as seguntes: O Módulo de elastcdade das regões 1 e 2 é E = 10 5 MPa, O Módulo de elastcdade da regão 3 é E 3 = 5x10 4 MPa, O Coefcente de Posson υ = 0.3, Espessura t = 1mm, Comprmento lateral é 100mm, Carregamento dstrbuído p = 1 N/mm. Para as dmensões do orfíco os lmtes nferor e superor mpostos são 25mm e 75mm, respectvamente. Neste exemplo, é analsada a estrutura ctada para μ 1 = 45 mm e μ 2 = 55 mm. Um teste de convergênca da malha fo realzado para dos tpos de elementos utlzados no modelo de Elementos Fntos (EF), varando seus tamanhos médos (Le). A convergênca fo estudada em relação à flexbldade total da estrutura (F T u). Os elementos utlzados foram o quadrlateral soparamétrco blnear de quatro nós (Q4) e o trângulo lnear de três nós (T3). A Fgura 2.2 apresenta um gráfco do valor da flexbldade total para dferentes refnamentos de malha. Na Fgura 2.2 (a) o exo x é o tamanho dos elementos (Le), enquanto que na Fgura 2.2 (b) o exo x é o número de graus de lberdade. As malhas utlzadas são estruturadas e unformes, os elementos quadrlateras possuem lados guas (quando possível) e as malhas de elementos trangulares se sobrepõem as malhas de elementos quadrlateras, ou seja, possuem os mesmos nós. A densdade (refnamento) da malha é defnda pelo tamanho médo dos elementos (Le). 25

40 a) b) Fgura 2.2 Um quarto da placa quadrada Convergênca da malha de EF em relação à flexbldade total (10-3 J): a) Le tamanho médo do elemento, b) Número de graus de lberdade. Apesar da convergênca mas efcente do elemento quadrlateral, a formulação do sstema de equações do elemento trangular é mas rápda devdo à obtenção da ntegração analítca das equações, sem a necessdade de utlzar a ntegração numérca. Para maores detalhes vde (COOK et al, 2003). Agora, será examnado o procedmento de análse va MBR. Para tal, as malhas de elementos fntos consderadas, foram as que apresentaram um erro (em relação à flexbldade utlzando a malha mas refnada) próxmo de 0,1 %, portanto: Para o elemento Q4 adotou-se elementos de dmensão méda de 2mm. O modelo possu graus de lberdade (erro 0,12%). Para o elemento T3 adotou-se elementos de dmensão méda de 1mm. O modelo possu graus de lberdade (erro 0,10%). Os resultados para estas malhas estão ndcados com um X na Fgura 2.2 (a e b). O valor absoluto dos deslocamentos máxmos para o modelo utlzando o elemento Q4 de 2mm e o elemento T3 de 1mm foram, respectvamente, x10-3 mm e x10-3 mm, as flexbldade foram, respectvamente, x10-3 J e x10-3 J e o tempo de CPU foram 4.41s e 9.83s, respectvamente. A Fgura 2.3 apresenta a dstrbução das tensões de von Mses do modelo deformado, utlzando as dscretzações menconadas, dstrbuções smlares podem ser observadas. Na Fgura 2.3 (a) fo utlzada uma malha de elementos Q4 de tamanho médo de 2mm e na Fgura 2.3 (b) fo utlzada uma malha de elementos T3 de tamanho médo de 1mm. 26

41 a) Q4 b) T3 Fgura 2.3 Um quarto da placa quadrada Contornos das tensões von Mses para a confguração deformada calculadas consderando-se os elementos Q4 e T3. Para a aproxmação va MBR, 3 regões (ndcadas na Fgura 2.1) são defndas. A base reduzda fo construída no espaço vável das varáves geométrcas, D ={[25, 75]²}. O número de pontos amostras N fo varado de 4 à 10, e as análses foram fetas consderando as malhas (modelos computaconas) utlzadas anterormente. Para verfcar a convergênca do MBR, construímos o gráfco da flexbldade aproxmada (F NT α) com o número de pontos amostras N, apresentado na Fgura 2.4. No gráfco pode-se verfcar a convergênca para poucas soluções base (tamanho da amostra). Fgura 2.4 Um quarto da placa quadrada Convergênca do MBR com malhas de EF utlzando elementos Q4 e T3. A Tabela 2.2 lustra os tempos de CPU do MBR OFF-Lne e ON-Lne (para uma reavalação), para dferentes tamanhos de amostras, utlzando o elemento Q4. Fca evdencada a efcáca no processo de reavalação de funções, a ser utlzado para procedmentos de otmzação e cálculos estocástcos, os quas serão consderados nesta dssertação. 27

42 Tabela 2.2 Desempenho do MBR utlzando o elemento Q4. N Tempo OFF-Lne (s) Tempo ON-Lne (s) Exemplo termo-elástco acoplado Como segundo exemplo, será consderada uma estrutura plana bdmensonal ndcada na Fgura 2.5 (a) e (b) com o total de treze (13) regões, especfcadas para o presente problema, numeradas conforme ndcado na Fgura 2.5 (a) em função dos parâmetros varantes do problema em questão (μ 1 à μ 4 ndcados na Fgura 2.5(a)). Todas as dmensões do problema estão especfcadas na Fgura 2.5 (a). Condções de contorno para o problema elástco e de transferênca de calor estão ndcadas na Fgura 2.5 (b). A estrutura é engastada na lateral esquerda e esta solada termcamente (não possu fluxo de calor) nos vazos no centro da estrutura e na parte superor. a) 28

43 b) Fgura 2.5 Defnção do problema: a) Geometra, b) Condções de contorno. As propredades do materal são: E= 10 4 MPa (1000 kn/cm²), o coefcente de Posson υ = 0.2, coefcente de convecção h = 10 W/m² ºC, a condutvdade térmca κ x = κ y = 1 W/(mK), o coefcente de dlatação térmca α = 2x10-4 ºC -1 e as condções de convecção são para temperatura ambente Ta = 20 ºC na base nferor e 100 ºC na lateral dreta da estrutura (o sentdo da convecção ndcado na fgura é meramente lustratvo). Os quatro parâmetros consderados são: as espessuras t 1, t 2 e as dstâncas horzontas L 1 e L 2, ndcados na Fgura 2.5 (a). A aproxmação fo construída de forma que os parâmetros μ=( t 1, t 2, L 1, L 2 ) pertençam ao espaço de projeto D μ 2 = [ 0, 5; 5] [ 10;21] [28;38]cm 4. A dscretzação de um exemplo de domíno real, onde μ 1 = 2, μ 2 = 2, μ 3 = 14, μ 4 = 31 cm e o domíno de referênca se encontram respectvamente na Fgura 2.6 (a) e (b). a) b) Fgura 2.6 Malha de elementos fntos: a) domíno real (projeto ncal) e b) domíno computaconal. 29

44 Para este exemplo de dscretzação foram usados elementos trangulares T3, totalzando 1976 graus de lberdade para o problema elástco e 1023 para o térmco. Um teste de convergênca, smlar ao realzado no exemplo anteror, fo conduzdo para esta estrutura. As malhas foram refnadas, varando o tamanho médo (Le) dos e- lementos. Os elementos utlzados foram os mesmos do exemplo anteror: o quadrlateral (Q4) e o trangular (T3). A Fgura 2.7 apresenta um gráfco do valor da flexbldade total para dferentes refnamentos de malha. Na Fgura 2.7 (a) o exo da abscssa representa o tamanho dos elementos (Le), enquanto que na Fgura 2.7 (a) o exo da abscssa ndca o número de graus de lberdade. Fgura 2.7 Problema acoplado Convergênca da malha de EF Fo então examnado o procedmento de análse va MBR. Para tal, as malhas de e- lementos fntos consderadas, foram as que apresentaram um erro (em relação à flexbldade utlzando a malha mas refnada) próxmo de 0,1 %, portanto: Para o elemento Q4 adotou-se elementos de dmensão méda de 0.5 cm. O modelo possu graus de lberdade (erro 0,11%). Para o elemento T3 adotou-se elementos de dmensão méda de 0.25 cm. O modelo possu graus de lberdade (erro 0,10%). A Fgura 2.8 apresenta a dstrbução das temperaturas e o contorno das tensões de von Mses no modelo deformado, utlzando as malhas descrtas anterormente. Na Fgura 2.8 (a) e (b) são apresentados o resultado da análse para uma malha de elementos Q4 de tamanho médo de 0.5 cm e na Fgura 2.8 (c) e (d) o resultado da análse para uma malha de elementos T3 de tamanho médo de 0.25cm. a) Térmco Q4 (Cº) b) Acoplado Q4 (kn/cm²) 30

45 c) Térmco T3 (Cº) d) Acoplado T3 (kn/cm²) Fgura 2.8 Problema acoplado Contornos das temperaturas e das tensões von Mses para as malhas consderadas. O valor absoluto dos deslocamentos máxmos para o modelo utlzando o elemento Q4 e para o elemento T3 foram, respectvamente, cm e cm, já as flexbldades foram, respectvamente, 4,6828 kj e 4,6835 kj enquanto que o tempo de CPU foram 3.11 s e 3.56 s, respectvamente. Na Fgura 2.9 (a) é apresentado o gráfco da convergênca da flexbldade calculada pelo MBR em função do tamanho da base N utlzada, para as malhas ctadas anterormente. Na Fgura 2.9 (b) é apresentado o tempo de CPU off-lne, para a construção das bases. Fgura 2.9 Problema acoplado Convergênca do MBR e tempo off-lne. O tempo on-lne não varou sgnfcatvamente com o número de pontos da amostra, sendo o tempo on-lne médo para a malha de elementos T3 = 0.8s e para a malha de elementos Q4 = 1.3s. O MBR para o problema acoplado se mostra menos efcente que nos outros tpos de solctações (puramente elástco ou puramente térmco) devdo à atualzação do vetor de carga gerado pela deformação térmca que é desenvolvdo durante o estágo on-lne. 31

46 2.6 REFERÊNCIAS AFONSO, S.M.B, LYRA, P.R.M, ALBUQUERQUE, T.M. M., R. S., MOTTA, 2009, Structural Analyss and Optmzaton n the Framework of Reduced-Bass Method. Structural and Multdscplnary Optmzaton, Sprnger Berln / Hedelberg, DOI: /s , Publshed onlne, January AFONSO, S. M. B. e PATERA, A. T. Structural Optmzaton n Framework of Reduced Bass Method. n XXIV CILAMCE, Congresso Ibero Latno Amercano de Métodos Computaconas na Engenhara, ALBUQUERQUE T. M. M. Análse e Otmzação de Problemas Térmcos e Estruturas Bdmensonas Através do Método das Bases Reduzdas. Msc. Thess ( n Portuguese), Dept. de Engenhara Cvl, Unversdade Federal de Pernambuco, Recfe-PE, Brasl, ALMEIDA, F. P. C. OTIMIZAÇÃO DE FORMA EM PROBLEMAS TERMO- ESTRUTURAIS ACOPLADOS. Dssertação de mestrado, Dept. de Engenhara Mecânca, Unversdade Federal de Pernambuco, Recfe-PE, Brasl, COOK, R. D., MALKUS, D. S., PLESHA, M. E. e WITT R. J. Concepts and Applcatons of Fnte Element Analyss. Fourth edton, Wley, MOTTA, R. S.; AFONSO, S. M. B.; LYRA, P. R. M. Multobjectve Solutons for 2d Contnua Problems Consderng Reduced-Bass Approxmatons. CMNE/CILAMCE Porto, Portugal, PRUD HOMME, C., ROVAS, D. V., VEROY, K., MACHIELS, L., MADAY, Y., PA- TERA, A.T. e TURICINI, G. Relable Real-tme Soluton of Parameterzed Partal Dfferental Equatons: Reduced-bass Output Bound Method. J. of Fluds Eng., Vol.124, pp.70-79, VILLAÇA, S. F. e GARCIA, L. F. T. Introdução à Teora da Elastcdade. 4ª edção, COPPE/UFRJ, Ro de. Janero, RJ, Brasl, VEROY, K. Reduced-Bass Methods Appled to Problems n Elastcty: Analyss and Applcatons PhD Thess. Department of Cvl and Envronmental Engneerng, Massachusetts Insttute of Technology, ZIENKIEWICZ O C & TAYLOR R L. The fnte element method. Vol. I. Basc formulatons and lnear problems. London: McGraw-Hll. 648 p. Vol. 2,

47 33

48 CAPÍTULO 3 OTIMIZAÇÃO ESCALAR E ANÁLISE DE SENSIBILIDADE 3 OTIMIZAÇÃO ESCALAR E ANÁLISE DE SENSIBILIDADE 3.1 INTRODUÇÃO Os procedmentos de otmzação de forma consstem numa abordagem geral para projetar estruturas dos mas varados campos da engenhara tas como Cvl, Mecâncas, Aeroespacas, Marítmas, etc. Através da varação de parâmetros de forma e/ou dmensões que defnam a estrutura, um dado projeto ncal é melhorado com relação a um conjunto de funções objetvo e restrções pré-defndas. A pesqusa centífca no campo da otmzação (un ou multobjetvo) fo substancalmente aumentada durante as últmas décadas, e um progresso consderável fo atngdo. Este desenvolvmento fo devdo prncpalmente ao progresso de ferramentas confáves para a análse em geral, tas como o método dos elementos fntos, métodos de análse de sensbldades e métodos de programação matemátca. Tal procedmento fo fortemente alavancado pelo crescmento acentuado das velocdades e capacdades dos computadores dgtas. Uma déa geral das atvdades em tal campo nas últmas décadas pode ser encontrada na lteratura (BATES, 2003; VENKATARAMAN e HAFTKA, 2004; VANDERPLAATS, 2006). Com o objetvo de dmensonar formas estruturas efcentes, surge o processo de Otmzação Estrutural de Forma ( Structural Shape Optmzaton - SSO) que nclu, além do algortmo de otmzação adequado, a análse estrutural e a análse de sensbldade, quando o método de otmzação requer a determnação dos gradentes das funções objetvo e restrção. Desta forma, as alterações no processo de dmensonamento são fetas de forma automátca, baseadas em nformações sobre o comportamento do projeto, obtdas ao longo do processo de otmzação. Para sso, essas técncas de programação matemátca podem ser ntegradas ao procedmento de análse por Elementos Fntos, resultando em uma excelente ferramenta automatzada para a otmzação do projeto estrutural. Estes procedmentos podem ser assocados também, a métodos aproxmados como o Método da Base Reduzda, permtndo assm, uma grande economa computaconal como será vsto posterormente. Para a obtenção de projetos ótmos através da otmzação de forma será utlzado um algortmo SSO (ALBUQUERQUE, 2005), o qual permte tanto a otmzação segundo o procedmento convenconal (MEF) quanto através das aproxmações va o Método da Base Reduzda. Este procedmento teratvo envolve város processos de análse antes de atngr a solução ótma. 34

49 3.2 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA Quando os problemas de otmzação envolvem uma únca função objetvo ele é denomnado problema de otmzação escalar (HAFTKA e GURDAL, 1993). Sua representação genérca é dada por: (3.1) mn f ( x) x nvp (3.1) Sujeto às seguntes condções: (3.2) h ( x) = 0 k = 1,, ne k g ( x) 0 = 1,, n x x x j = 1,, npv lj j uj (3.2) sendo: f(x) função objetvo; h(x) função restrção de gualdade; g(x) função restrção de desgualdade; x vetor das varáves de projeto; ne número de funções restrções de gualdade; n número de funções restrções de desgualdade; nvp número de varáves de projeto; nvp espaço das varáves de projeto (nvp dmensonal). As funções restrções de gualdade, h(x), e de desgualdade, g(x) defnem o espaço vável ou admssível para a(s) varável(es) de projeto. As restrções, em certo ponto x * vável, são dtas natvas, caso g ( x ) < 0 e atvas caso g ( x ) = 0, todas as restrções de gualdade são consderadas atvas. 3.3 PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA A Programação Matemátca pode ser consderada como a prmera lnha de métodos para resolução de problemas de otmzação. Ela trata o problema de forma teratva e determnístca, sto é, através de gradentes, funconas, operações matrcas, etc., para encontrar o ponto ótmo. Na maora dos casos de otmzação, supõe-se a contnudade das funções, assm como de suas dervadas, o que nem sempre ocorre acarretando na prncpal dfculdade encontrada por estes tpos de métodos. O processo de otmzação é abordado no espaço R nvp. A dferencabldade e a convexdade do problema nfluem, fundamentalmente, sobre a natureza das condções de ótmo. 35

50 Os métodos mas empregados para soluconar problemas de otmzação nãolneares com restrções, são os métodos dretos (VANDERPLAATS, 2004). Estes métodos defnem um subproblema para a determnação de uma dreção de busca S e em seguda realzam uma busca lnear para se determnar o tamanho do passo α, nessa dreção. A forma clássca da atualzação das varáves, por este procedmento teratvo, é dada por: (3.3)x k+1 = x k + αs k+1 (3.3) onde S é o vetor da dreção de busca e α representa o tamanho do passo na dreção de S. A seleção do algortmo de otmzação depende fundamentalmente do problema envolvdo. Isto é mportante para se obter uma otmzação confável e um alto nível de efcênca computaconal (tempo de computação, taxa de convergênca, memóra requerda). Város são os algortmos utlzados na resolução dos problemas de otmzação nãolneares com restrções baseadas no método dreto (KLEIBER, 2005). A resolução destes problemas pode ser feta por meo dos chamados métodos ndretos. Estes transformam o problema orgnal defndo pela Equações (3.1) e (3.2), num problema sem restrções através de algum artfíco como: penaldade, dualdade, lagrangeano aumentado, etc... (BATES, 2003; HAFTKA e GURDAL, 1993). O algortmo usado neste trabalho, na busca da solução ótma para os problemas de otmzação, é o da programação quadrátca seqüencal, mas conhecdo como SQP ( Sequental Quadratc Programmng ). As etapas e as equações báscas deste método estão descrtas na seção Condções de ótmo para problemas com restrções Um ponto x é dto regular, caso os gradentes das funções restrção atvas sejam lnearmente ndependentes. Neste caso o número de restrções atvas deve ser menor ou gual ao número de varáves de projeto. Um ponto regular vável x, para ser dto um ponto de mínmo local (x * ), deve atender às condções necessáras de prmera ordem, dadas pelas condções de Karush- Kuhn-Tucker (condções KKT) (KARUSH, 1939; KUHN e TUCKER, 1950). Neste ponto o gradente da função objetvo deve ser capaz de se anular (mesma dreção e sentdo opostos), como uma combnação lnear dos gradentes das restrções atvas, e os coefcente lneares relaconados às restrções de desgualdade atvas devem ser não negatvos. As condções de KKT podem ser escrtas como: ne * * * * * (3.4) f( x ) + λ h ( x ) + φ g ( x ) = 0 (3.4) k k k= 1 = 1 n * (3.5) φ 0, = 1.. n (3.5) (3.6) φ * g ( x * ) = 0, = 1.. n (3.6) 36

51 onde λ k e φ, são os multplcadores de Lagrange assocados respectvamente às restrções h k, g, no ponto x e formam as varáves duas do problema. Os coefcentes φ, também são conhecdos como os multplcadores de KKT. Os asterscos ndcam se tratar de um ponto de ótmo, nclundo os multplcadores de Lagrange ótmos. Nas restrções g estão ncluídas também, as 2npv restrções de lateraldade defndas na Equação (3.2). A Equação (3.4) é chamada de condção de estaconardade. A Equação (3.5) é conhecda como as condções de vabldade dual e mpõe que os multplcadores de Lagrange assocados às restrções de desgualdade (multplcadores de KKT) atvas em x * sejam postvos (ou nulas para restrções redundantes). Isto porque as restrções são escrtas na forma g 0. A Equação (3.6) é chamada de condção de complementardade, ela mplca que uma restrção natva tem um multplcador nulo e que uma restrção atva pode ter multplcador dferente de zero. É convenente utlzar a função Lagrangeana, para o desenvolvmento metodológco do processo de otmzação. A função Lagrangeana é defnda por (CHONG, 2001): (3.7) ( ) ne n L x, λ, φ = f( x) + λ h ( x) + φ g ( x ) (3.7) k k k= 1 = 1 A Equação (3.4) representa, então, o gradente da função Lagrangeana em relação a x num ponto de ótmo, ou seja, L x, λ, φ = f( x) + λ h ( x) + φ g ( x ) = 0 (3.8) (3.8) ( ) ne k k k= 1 = 1 n Para as condções de ótmo de segunda ordem, é necessáro defnr S que representa uma dreção de decréscmo da função objetvo pertencente ao subespaço tangente das dreções váves T, onde pequenas perturbações nestas dreções mantêm a vabldade do problema. O subespaço tangente T é defndo como: (3.9)T = N( h( x)) N( g j ( x)), j J ( x ) (3.9) onde N( ) representa o núcleo e J ( x) é o conjunto dos índces das restrções de desgualdade atvas, ou seja, (3.10) J( x) = { j: g j ( x ) = 0} (3.10) { } { } T N( h( x)) = núcleo( h( x)) = S S 0 e S h( x) = 0 (3.11) T N( g ( x)) = núcleo( g ( x)) = S S 0 e S g ( x ) 0, j J ( x) j j j (3.11) 37

52 Assm, as dreções váves estaconáras S pertencem a N( h ( x )) e N( g j ( x )), que são os espaços tangentes das superfíces defndas pelas restrções de gualdade e pelas restrções de desgualdade atvas ( g ( x ) = 0), respectvamente. j A condção necessára de segunda ordem pode ser enuncada da segunte manera (CHONG, 2001): Se exstrem os vetores λ, φ tas que as restrções (3.4) a (3.6) sejam satsfetas, então a condção dada na equação abaxo é necessára para x * ser um mínmo local. T (3.12) SHS 0, S T (3.12) ou anda, podemos ter a condção sufcente para x * ser um mínmo local estrto. T (3.13) SHS> 0, S T (3.13) sendo S qualquer dreção de decréscmo da função objetvo pertencente ao subespaço tangente das dreções váves T e H representa a matrz Hessana da função Lagrangeana em relação a x: (3.14) ( φ) ne n L, f( ) λk hk( ) φ k= 1 = 1 H = x,λ = x + x + g ( x ) (3.14) Programação Quadrátca Sequencal - SQP No método da programação quadrátca sequencal, o problema é resolvdo por meo de uma seqüênca de subproblemas quadrátcos convexos aproxmados (POWEL, 1978). Partndo-se da solução do passo anteror, para se obter um novo ncremento das varáves de projeto, resolve-se uma seqüênca de problemas quadrátcos aproxmados. Essa seqüênca deve convergr para um ponto de mínmo x *. Assm, dado x, procura-se o valor de S que resolve o problema orgnal: (3.15) mn f ( x+s) S nvp (3.15) Sujeto as seguntes condções: (3.16) h ( x+s) = 0 k = 1,,ne k g ( x+s) 0 = 1,, n (3.16) A função Lagrangeana assocada às Equações (3.15) e (3.16) é: 38

53 ( ) T T (3.17) L x+ S,λ, φ = f( x+ S) + λ hx ( + S) + φ g( x+ S) (3.17) Sendo h = (h 1,..., h ne ) T e g = (g 1,..., g n ) T vetores que contêm as restrções e λ = (λ 1,..., λ ne ) T e φ = (φ 1,..., φ n ) T os vetores que contêm os multplcadores de Lagrange de dmensão ne e n, respectvamente. As condções de ótmo de prmera ordem aplcadas ao problema (3.15) e (3.16) fornecem as equações: ( ) T T (3.18) L x+ S,λ, φ = f( x+ S) + λ hx ( + S) + φ gx ( + S) = 0 (3.18) (3.19) hx ( + S ) = 0 (3.19) (3.20) gx ( + S ) 0 (3.20) T (3.21) φ gx ( + S) = 0 (3.21) (3.22) φ 0, = 1.. n (3.22) (3.23) onde g e h são matrzes Jacobanas cujas lnhas são os gradentes de g e h k, respectvamente. Aproxmando as Equações de (3.18) até (3.21) por uma sére de Taylor até termos de prmera ordem em x resulta: 2 (3.24) L( x) + L( x) S = 0 (3.23) (3.25)h( x) + hxs ( ) = 0 (3.24) (3.26) gx ( ) + gxs ( ) 0 (3.25) [ ] T (3.27) φ gx ( ) + gxs ( ) = 0 (3.26) é a matrz Hessana da função Lagrangeana, def- onde L( x) ndos por: é o gradente e 2 L( x) T T (3.28) L( x) = f( x) + λ hx ( ) + φ g( x) (3.27) (3.29) L( x) = f( x) + λ hx ( ) + φ g( x) (3.28) Utlzando a segunte notação: λ hx) ( = λ h( x) e φ g( x) = φ g( x). ne = 1 As Equações (3.22) e de (3.23) a (3.26) são as condções de otmaldade do subproblema de determnação da dreção de busca S dado por: n = 1 39

54 T 1 T 2 (3.30) mn f ( x) S+ S L( x) S ndv S 2 (3.29) Sujeto as seguntes restrções hx) ( + hxs ( ) = 0 (3.31) gx) ( + gxs ( ) 0 (3.30) Este é o esquema básco de lnearzação que, demonstra-se, é localmente de segunda ordem, desde que satsfetas algumas hpóteses, evdentemente, uma delas a condção de ótmo de segunda ordem. As dfculdades na solução deste subproblema são a determnação dos multplcadores de Lagrange e o cálculo a cada teração da Hessana 2 L que depende dos multplcadores, sendo geralmente, um processo caro. Assm, surgram os métodos Quase-Newton, nos quas uma aproxmação da matrz Hessana da função Lagrangeana 2 L é construída a partr dos gradentes L da Lagrangeana ao longo das terações. Estes métodos possuem convergênca superlnear e são largamente utlzados na solução dos problemas de otmzação. Entre os métodos Quase-Newton, o Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shann (BFGS) é o utlzado neste trabalho. Entretanto, a questão dos multplcadores permanece, e é necessáro utlzar alguma técnca para estmá-los (VANDERPLAATS, 2004). Após a obtenção da dreção de busca S, é necessáro calcular o tamanho do passo nessa dreção, a fm de se obter o novo vetor das varáves de projeto. A forma como estes dos componentes são determnados reflete, fundamentalmente, na efcênca e confabldade do algortmo de programação para cada caso. O parâmetro tamanho do passo é determnado de modo a produzr o maor decréscmo na função mérto. A função mérto usada aqu, é a própra função Lagrangeana, porém os multplcadores de Lagrange são parâmetros de penaldade (POWELL, 1978). Todo o processo de otmzação (obter dreção de busca, busca lnear, atualzação da matrz hessana, atualzação das varáves, etc..) é feto automatcamente, através de ferramentas do ambente computaconal MATLAB (MATHWORKS, 2007), utlzadas neste trabalho. 3.4 ANÁLISE DE SENSIBILIDADES A análse de sensbldades consttu uma fase mportante de qualquer algortmo de otmzação que necessta do cálculo dos gradentes. A análse de sensbldade avala a resposta da função objetvo ou das restrções às alterações das varáves de projeto e normalmente está relaconada com procedmentos numércos para o cálculo das dervadas destas funções e restrções em relação às varáves de projeto. Város são os procedmentos para o cálculo de sensbldades (CHOI et al, 2005; KEULEN et al, 2005). Na elaboração deste trabalho foram utlzados dos métodos, são eles o método das dferenças fntas (MDF) e método dreto. A segur, os métodos usados serão dscutdos e em seguda aplcados na solução de exemplos-padrão. O método das dferenças fntas apresenta a vantagem de ser de fácl mplementação, porém podem nduzr a erros elevados. Já os métodos dreto e adjunto, que não fazem uso de cálculos va dferenças fntas, apresentam como mérto prncpal a prec- 40

55 são na solução e a efcênca computaconal, mas sua mplementação é mas elaborada e consequentemente mas propíca a erros Método das dferenças fntas globas É um dos mas antgos métodos usados para a análse de sensbldade. Possu como característca prncpal a smplcdade de mplementação do algortmo. Apresenta um nconvenente quando o número de varáves de projeto é grande, pos o custo computaconal passa a ser alto. Isto ocorre porque para cada varável de projeto perturbada é necessára a resolução das equações governantes. Um outro problema é encontrar um valor do tamanho da perturbação que modfque as varáves de projeto de tal forma que forneça uma boa precsão para os gradentes (HAFTKA e GURDAL, 1993; CHOI et al, 2005). Sua formulação vem da representação da função em análse na forma da sére de Taylor, cuja forma é: 2 2 f ( μ) f ( μ + e δδμ) Δμ (3.32) f( μ+ e Δ μ) = f( μ) + Δ μ + 2 μ μ 2! (3.31) para algum δ entre 0 e 1. ) e realzando-se algumas opera- Truncando-se os termos de ordem superor ( Δ ções matemátcas, tem-se: 2 μ f Δ f f( μ + e Δμ) f( μ ) (3.33) =, para = 1,..., m (3.32) μ Δμ Δμ O prncpal fator que nfluenca a precsão deste método é o tamanho do passo Δ μ usado. Quando as sensbldades são obtdas usando o método das dferenças fntas, o dlema em relação ao tamanho da perturbação surge (HAFTA e GURDAL, 1993; KEULEN et al, 2005), pos grandes perturbações geram erros de truncamento (estão relaconados aos termos neglgencados no truncamento da sére de Taylor) e pequenas amplfcam os erros de arredondamento. No caso deste método o tamanho do passo em torno de 10-4 μ a 10-6 μ é tdo como satsfatóro (AFONSO, 1995) Método dreto Este método possblta a obtenção de gradentes com custo computaconal mas baxo quando comparado ao MDF, anterormente apresentado. O gradente é determnado aplcando-se a dervada de prmera ordem à função em análse com relação a uma dada varável de projeto. Apesar deste método não ser tão smples quanto o anteror é computaconalmente mas efcente. Para demonstrar este método parte-se da forma dscretzada da equação governante (CHOI et al, 2005). No caso de problemas elástcos, 41

56 (3.34) Ku = F (3.33) onde K é a matrz de rgdez, u é o vetor de deslocamento e F é o vetor de carregamento. Dervando a equação em relação à varável de projeto x tem-se (3.35) K u + K u = F (3.34) μ μ μ k k k o gradente dos deslocamentos pode ser calculado, então, da segunte forma: 1 (3.36) u F K = K u (3.35) μk μk μk K F Caso as dervadas e sejam calculadas ndretamente, como por dferenças x x fntas, tem-se as versões do método dreto, denomnada sem-analítca (convenconal ou exato) (AFONSO, 1995). Porém, através da decomposção por regão e do mapeamento aplcado ao domíno de referênca, abordado no seção 2.3.2, pode-se obter as dervadas analítcas das matrz de rgdez e vetor carregamento de cada regão. Para sto, basta dervar as Equações (2.48) e (2.49) em relação a k-esma varável de projeto, logo * r K s μ (3.37) μ r nt ( ) βs ( μ) k = j= 1 μ k j K ; r j ( ) F μ μ F (3.36) * r r ( ) r s ϕ r ϕ ( μ Ω Γ ) r = b + F f μk μk μk Os gradentes da matrz de rgdez e vetor carregamento são calculados somando-se a contrbução de cada regão ( ) * nr * r s s (3.38) K = K μ ; μ μ k r= 1 k ( μ ) F * nr * r s (3.37) μ k = F μ r= 1 k Através deste método podemos usar a matrz de rgdez já decomposta e para cada novo x calculamos apenas as dervadas dos parâmetros varáves (dependentes de x), estas dervadas são analtcamente conhecdas, obtendo assm um ganho computaconal. Apesar das equações para a análse de sensbldade apresentadas, estarem relaconadas com as equações do problema de elastcdade, estas são estenddas para problemas de condução de calor tratados aqu (regme estaconáro), bem como para o caso acoplado. 3.5 INTEGRAÇÃO ANÁLISE/OTIMIZAÇÃO O sstema computaconal desenvolvdo neste trabalho ncorpora todos os elementos necessáros para a otmzação de forma/dmensões, nclundo: modelagem geométrca, 42

57 geração de malhas, análse estrutural e/ou térmca, análse de sensbldades e o módulo que ntegra o procedmento completo com um algortmo de programação matemátca. Este sstema permte executar uma otmzação de projetos estruturas envolvendo efetos mecâncos, termo-mecâncos acoplados em regme estátco, e otmzação térmca em regme permanente. Na Tabela 3.1 é mostrado o Algortmo SSO, que resume o procedmento utlzado na otmzação de forma. Tabela 3.1 Algortmo SSO: procedmento de otmzação de forma. SSO1. Defnr o problema de otmzação de forma; SSO2. Gerar a geometra e dscretzar o problema; SSO3. Efetuar a análse estrutural, térmca ou termo-estrutural conforme o caso; SSO4. Efetuar a análse de sensbldades (va Dferenças Fntas ou Método Dreto Analítco) ; SSO5. Obter um novo projeto utlzando o procedmento de programação matemátca; SSO6. Verfcar o crtéro de convergênca para a otmzação de forma: SSO6.1 parar se o novo projeto satsfaz ao crtéro; SSO6.2 caso contráro atualzar o projeto e retornar ao passo SSO O método da base reduzda no procedmento de otmzação Nesta seção serão descrtas algumas peculardades relaconadas ao MBR no procedmento de otmzação. No algortmo SSO apresentado na Tabela 3.1, esta técnca se nsere no módulo de análse (avalação de funções) e no módulo de análse de sensbldades (avalação dos gradentes das funções). O procedmento aplcado para análse va MBR foram dscutdos nos capítulo 2. No que se segue, apresenta-se a análse de sensbldades va MBR, onde as equações foram partcularzadas para problemas de elastcdade. (a) Análse de sensbldade através do MBR O uso das matrzes decompostas para as matrzes de rgdez e vetores de carregamento de cada regão, além do mapeamento e projeção das grandezas, permte que o Método da Base Reduzda aplque o Método Dreto Analítco na análse de sensbldade, de forma smplfcada. Estas matrzes e vetores são ndependentes do valor da varável de projeto vde Equações (3.36) e (3.37). Com sso, para cada novo parâmetro μ executamos a análse de sensbldade com um menor custo computaconal que os métodos baseados nas equações tradconas provenentes do MEF. 43

58 No caso do cálculo das sensbldades utlzando o método das dferenças fntas, o MBR também é vantajoso pos as análses são obtdas de manera mas rápda que o método convenconal (totalmente va MEF). No caso de problemas de elastcdade por exemplo, a análse de sensbldade va o método dreto é conduzda conforme descrto a segur (CHOI et al, 2005). Utlzando a equação dos deslocamentos aproxmados Equação (2.62), e aplcando dferencação dreta tem-se N u (3.39) μ k N α = Z (3.38) μ k onde a dervada dos coefcentes lneares α, pode ser obtda dervando-se dretamente a Equação (2.66), N N N N K N α F α N 1 F K (3.40) α + K = = μk μk μk μ K α (3.39) k μk μk ou na forma compacta (KEULEN et al, 2005) α (3.41) μ k N 1 F ˆ N = K (3.40) onde ˆ N F é o pseudo vetor de força da base reduzda, defndo como (3.42) F ˆ N N N F K = μk μk α (3.41) De forma análoga à dferencação no MEF, através da decomposção por regão, do mapeamento aplcado ao domíno de referenca abordado no seção 2.3.2, e aplcando as projeções na base reduzda (seção 2.4), pode-se então dervar as Equações (2.70) em relação a k-esma varável de projeto, para se obter, no domíno real, as dervadas das matrz de rgdez e vetor carregamento de cada regão no espaço de base reduzda W N. Somando-se as contrbução de cada regão, os gradentes no domíno real, das matrz de rgdez e vetor carregamento totas, na base reduzda, são obtdos através de (3.43) K r ( μ) βs ( μ) * N nr nt s μ k ( ) = r= 1 j= 1 μ k j Nr s j * N nr r r Fs μ ϕω( μ) Nr ϕγ( μ) Nr = Fb + Ff μk r= 1 μk μk K (3.42) 44

59 As Equações (3.38), (3.40), (3.41) e (3.42) são desenvolvdas para cada nova varável de projeto (μ ). O algortmo completo para a mplementação computaconal va o Método da Base Reduzda Tabela 2.1, fcará acrescdo de um tem na etapa on-lne para a análse de sensbldade, após o cálculo do vetor u N, o cálculo do gradente de u N através da Equação (3.38). Para comprovar a efcáca do método, são apresentados na seção segunte alguns exemplos envolvendo análse de sensbldade e otmzação. 3.6 EXEMPLOS Neste exemplo remos realzar va Método dos Elementos Fntos e Método da Base Reduzda a análse de sensbldade e otmzação do problema apresentado na seção e que se refere à análse do estado plano de tensões em uma placa quadrada com um orfíco central. Neste exemplo prátco as dmensões do orfíco são as varáves do projeto seleconadas para a otmzação. Os valores ncas das varáves de projeto são μ 1 = 60 mm e μ 2 = 43 mm, e os lmtes nferor e superor mpostos são 25mm e 75mm, respectvamente. O objetvo consderado é mnmzar a flexbldade. Ao volume, é mposto ser nferor ou gual ao seu valor ncal. O problema de otmzação pode ser formulado como: Mnmzar: f ( μ ) sujeto a ( μ ) V0 V 25mm μk 75mm k = 1,... ndv f μ é a flexbldade, ( ) Onde ( ) V μ o volume da estrutura, n dv o número de varáves de projeto. V 0 o volume ncal e Serão consderados város modelos de elementos fntos, onde o número de graus de lberdade será varado através da alteração na dmensão méda dos elementos, na confguração de referênca onde μ 1 = μ 2 = 50mm. Uma análse de sensbldade fo realzada, consderando as malhas utlzadas para o estudo do comportamento do MBR para o cálculo da flexbldade, defndas na seção O gradente da flexbldade fo calculado va MEF e va MBR, o número de a- mostras utlzada neste caso fo 8 e os resultados obtdos estão lustrados na Tabela 3.2. Pode-se notar que para poucas reavalações da sensbldade, o tempo total va MEF superara o tempo total va MBR, pos as reavalações va MBR são fetas todas no estago on-lne (o tempo da avalação é o tempo on-lne ). 45

60 Tabela 3.2 Resultados da análse de sensbldade. f ( μ ) f ( μ) μ 1 μ 2 Tempo (s) da avalação Tempo (s) off-lne MEF T MBR T MEF Q MBR Q Para o processo de otmzação va MEF, o valor da dmensão méda dos elementos fo varada de 10 mm à 1 mm, resultando em modelos de EF (Elementos Fntos) que varam de malhas grosseras até as mas refnadas. Para cada refnamento de malha será feta uma otmzação. Analsou-se a função objetvo e as varáves de projeto ótmas resultantes das otmzações. A Fgura 3.1 lustra o resultado de cada otmzação varando com o número de graus de lberdade da malha utlzada para a otmzação. Na Fgura 3.1 (a) é apresentado a convergênca do valor ótmo de X1 (X1 ótmo), onde X1= 50 μ1 se refere à prmera varável de projeto, com a varação do número de graus de lberdade (NGL). Já na Fgura 3.1 (b), vemos o gráfco da função objetvo (flexbldade) no ponto ótmo versus o NGL. a) varável X1 b) função objetvo f Fgura 3.1 Um quarto da placa quadrada Varação do ótmo com a varação do número de graus de lberdade: a) valor da prmera varável no ponto ótmo, b) valor da função objetvo. Esses gráfcos lustram a nfluênca da aproxmação do MEF no resultado fnal da otmzação, ressaltando a mportânca de uma boa modelagem. Também se pode magnar um processo mas efcente, utlzando recursvamente como ponto ncal, um ponto ótmo obtdo com uma malha mas grossera, para obter um ponto de ótmo de um modelo mas refnado, porém este procedmento não fo testado aqu. Fo examnado o procedmento de otmzação, realzando a etapa das análses va MBR. Para tal, as malhas de elementos fntos consderadas foram a que apresentaram resultados satsfatóros para a função objetvo no ponto ótmo, são elas: 46

61 Para o elemento Q4 adotou-se elementos de dmensão méda de 10/3 mm. O modelo possu graus de lberdade. Para o elemento T3 adotou-se elementos de dmensão méda de 2 mm. O modelo possu graus de lberdade. A base fo construída no espaço das varáves de projeto, D ={[25, 75]²}. Foram realzados város processos de otmzação para o problema consderado, varando o número de pontos amostrados para a base reduzda N de 5 à 16. Para verfcar a convergênca do MBR, construímos o gráfco apresentado na Fgura 3.2 (a) do valor referente à prmera varável no ponto ótmo (X1 ótmo) varando com número de pontos amostrados N, e o gráfco do objetvo (flexbldade) ótmo varando com N, Fgura 3.2 (b). No gráfco podemos verfcar a convergênca para poucas soluções base. A Fgura 3.3 lustra os tempos de CPU para o procedmento off-lne e para o processo de otmzação ( on-lne ) va MBR. a) varável X1 b) função objetvo f Fgura 3.2 Um quarto da placa quadrada Convergênca do ponto ótmo com o tamanho da base. a) Tempo off-lne b) Tempo on-lne Fgura 3.3 Um quarto da placa quadrada: a) Tempo off-lne, b) tempo de otmzação on-lne. 47

62 A Tabela 3.3 resume o desempenho de otmzações va MEF e va MBR, onde X1 e X2 são respectvamente 50 μ1 e 50 μ2. As malhas utlzada foram as mesmas consderadas para o estudo da otmzação va MBR e o número de pontos amostrados para a aproxmação do MBR fo 11. Tabela 3.3 Comparatvo dos resultados das otmzações: MEF x MBR Flexbldade Tempo Tempo X1 X2 on-lne (s) off-lne (s) Tempo Total MEF T MBR T MEF Q MBR Q Os resultados comprovam a efcênca do método, prncpalmente para problemas de otmzação complexos onde são exgdos mutos cálculos das funções de nteresse. Além dsso, o estágo off-lne pode ser faclmente paralelzável dmnundo sgnfcatvamente o tempo off-lne, consequentemente o tempo total da otmzação. 3.7 REFERÊNCIAS AFONSO, S. M. B. Shape Optmzaton of Shells Under Statc and Free Vbratons Condtons. Tese de Doutorado, Unversty of Swansea, Wales, U.K AFONSO, S. M. B.; MACEDO, C. M. H.; OLIVEIRA, D. A. P. Structural Shape Optmzaton under Multcrtera Condtons In: V World Congress on Computatonal Mechancs, Vena ALBUQUERQUE T. M. M. Análse e Otmzação de Problemas Térmcos e Estruturas Bdmensonas Através do Método das Bases Reduzdas. Msc. Thess ( n Portuguese), Dept. de Engenhara Cvl, Unversdade Federal de Pernambuco, Recfe-PE, Brasl, BATES, S. Development of Robust Smulaton, Desgn and Optmzaton Technques for Engneerng Applcatons. PhD Thess. School of Engneerng, Unversty of Wales, Swansea CHOI K.K.; KIM N. H. Structural Senstvty Analyss and Optmzaton 1 Lnear Systems. Sprnger Mechancal Engneerng Seres, Sprnger New York,

63 CHONG, E. K. P.; ZAK, S. H. An Introducton to Optmzaton, Second edton, John Wley & Sons, HAFTKA, R.T.; GURDAL, Z. Elements of Structural Optmzaton. Thrd Revsed and Expanded Edton, Kluwer Academc Publshers, KARUSH, W. Mnma of Functons of Several Varables wth Inequaltes as Sde Constrants. M.Sc. Dssertaton. Dept. of Mathematcs, Unv. of Chcago, Chcago, Illnos, KEULEN F. V.; HAFTKA, R. T.; KIM N. H. Revew of optons for structural desgn senstvty analyss. Part 1: Lnear systems. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 194, pp , KIRSCH, U. Structural Optmzaton Fundamentals and Applcatons. Sprnger Verlag, KLEIBER M. Parameter Senstvty n Nonlnear Mechancs Theory and Fnte Element Computatons. John Wley & Sons, KUHN, H. W.; TUCKER, A. W. Nonlnear Programmng. In: Procedeerng 2 nd Berkeley Symposum Mathematcs Statstcs and Probablty, 481, MACEDO, C. M. H. Otmzação de Trelças Planas sob Váras Solctações com Ênfase a Problemas Multobjetvos. dssertação de Mestrado, Unversdade Federal de Pernambuco. Recfe-PE, Brasl, MATHWORKS. MATLAB User s Gude. Mathworks Inc., Natack, POWEL, M. J. D. Algorthms for Nonlnear Constrants that use Lagrangan Functon. Math. Programmng, vol 14, pp , ROCKAFELLAR, R. T. LAGRANGE MULTIPLIERS AND OPTIMALITY. Vol. 35, No. 2, pp , June VANDERPLAATS, G. N. Numercal Optmzaton Technques for Engneerng Desgn - wth Applcatons. 4rt Edton, Vanderplaats Research & Development, Inc., Colorado Sprngs, CO,

64 VANDERPLAATS, G. N. Structural Optmzaton for Statcs, Dynamcs, and Beyond. Journal of the Brazlan Socety of Mechancal Scences and Engneerng. vol. 28, no.3, p ISSN , September VENKATARAMAN, S.; HAFTKA, R.T. Structural optmzaton complexty: what has Moore s law done for us?. Structural and Multdscplnary Optmzaton, 28(6), pp ,

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66 CAPÍTULO 4 OTIMIZAÇÃO MULTIOBJETIVO 4 OTIMIZAÇÃO MULTIOBJETIVO O projeto ótmo de problemas reas quase sempre está envolvdo com váras metas (funções objetvo) a serem aprmoradas e váras restrções a serem satsfetas. Os algortmos de otmzação de propósto geral (exstentes na lteratura) são capazes de resolver problemas que envolvam uma únca função objetvo. A maora dos otmzadores dsponíves na lteratura não lda, portanto com váras funções objetvo smultaneamente. No entanto, o problema de otmzação multobjetvo (POM) pode ser resolvdo empregando-se uma das estratégas: O uso do conceto de Pareto O uso da Programação Herárquca Na presente pesqusa, serão consderadas metodologas baseadas no uso do conceto de Pareto. Nos últmos 15 anos dstrbuções efcentes de pontos de Pareto têm sdo obtdas graças ao desenvolvmento de algortmos efcentes tas como o NBI (Normal-Boundary Intersecton) (DAS e DENNIS, 1996) e o NNC (Normalzed Normal Constrant) (MESSAC et al, 2003 ). Essas estratégas juntamente com outras abordagens de mas fácl mplementação (Método da soma ponderada e Método mn-max) são aqu mplementadas. 4.1 DEFINIÇÃO DO PROBLEMA O problema multobjetvo pode ser expresso como: (4.1) mn Fx ( ) f ( x), f ( x), f ( x),, f ( x), nobj 2 (POM) x = nobj (4.1) Sujeto às seguntes condções: (4.2) h ( x) = 0 k = 1,, ne k g ( x) 0 = 1,, n x x x j = 1,, npv lj j uj (4.2) onde as restrções são as mesmas defndas no capítulo 3, porém os objetvos agora formam um vetor de nobj funções objetvo, as quas precsam ser mnmzadas. 52

67 4.2 CONCEITO DE ÓTIMO DE PARETO Nos problemas de otmzação multobjetvo encontrar um x * que mnmze váras funções objetvo smultaneamente é uma tarefa muto árdua, senão mpossível para a quase totaldade dos problemas. Uma forma de determnar um x que satsfaça em parte os POM (Equações (4.1) e (4.2)) está contda na defnção de Otmaldade de Pareto (ARORA et al., 2007). Pontos de Pareto são pontos x P tas que não exsta nenhum ponto x o qual: P ) f ( x) f ( x ) para k = 1,, n k k P ) f ( x) < f ( x ) para uma função objetvo ao menos k k Os pontos de Pareto apresentam a propredade de que quando se movem na dreção decrescente de uma das funções, pelo menos uma das outras funções restantes tem seu valor aumentado. Vê-se sso na Fgura 4.1, onde o ponto ótmo de Pareto é qualquer ponto no ntervalo x 1 x x 2. Também, devdo às restrções, o ponto ótmo de Pareto pode estar localzado ao longo do contorno da regão vável. f f 2 f 1 f 1 * f 2 * x 1 x 2 x Fgura 4.1 Problema de otmzação com uma varável e duas funções objetvo. Em problemas rrestrtos, os ótmos de Pareto são pontos onde os gradentes das funções objetvo se anulem através de coefcentes lneares não-negatvos. No caso bobjetvo, os gradentes possuem dreções opostas (Fgura 4.2). x 1 f 2 x P f 1 x Fgura 4.2 Pareto mínma com duas varáves de projeto e duas funções objetvo. x 2 53

68 Em problemas de otmzação multobjetvo é muto mportante formular o problema no espaço das funções objetvo. Isto pode ser feto usando-se um sstema de equações geradas pelas funções objetvo e conjuntos das restrções atvas. Para cada projeto vável, haverá correspondentes valores das funções objetvo que defnrão o espaço vável das funções objetvo. Sobre seu contorno se localzam os pontos ótmos de Pareto. Na Fgura 4.3, tem-se o exemplo de um problema com duas varáves de projeto e duas funções objetvo. Em ambas as Fgura 4.3 (a) e (b), a lnha tracejada representa os pontos ótmos de Pareto. x 2 f2 x x P F(x P ) F(x) x 1 f 1 a) b) Fgura 4.3 Regão vável e pontos de Pareto: a) no espaço das varáves de projeto, b) no espaço das funções objetvo Conforme já menconado, em problemas multobjetvo, o nteresse do projetsta é encontrar um vetor das varáves de projeto x * tal que as Equações (4.1) e (4.2) sejam satsfetas. Usualmente, não exste tal x * devdo ao aspecto de conflto comum entre as funções objetvo. Usando o conceto de Pareto, o projetsta tem que encontrar tantos pontos quanto possíves. A partr destes pontos, será escolhdo o projeto o qual rá satsfazer, mas adequadamente, cada função objetvo. 4.3 MÉTODOS PARA GERAÇÃO DE PONTOS DE PARETO Exstem váras técncas para se obter o chamado conjunto de mínmo de Pareto (DAS e DENNIS, 1997; BATES, 2003; COLLETTE, 2004). Entre eles, métodos baseados em metodologas metaheurístcas têm sdo usados com algum sucesso (LALONDE et al 2009). Porém, neste trabalho apenas serão consderados procedmentos que fazem uso de programação matemátca. Os métodos consderados serão os seguntes: Método da Soma Ponderada (STEUER, 1985), Método Mn-Max (HWANG et all, 1980), Método NBI (DAS e DENNIS, 1997) e o Método da Restrção Normal Normalzada (MES- SAC et al, 2003) Método da Soma Ponderada dos Objetvos Dentre os métodos desenvolvdos para otmzação multobjetvo, no qual se substtu as funções objetvo por uma únca função, denomnada de função substtuta, o mas 54

69 empregado e de uso mas smples é o método da soma ponderada ( Weght Sum method WS) (KOSKI, 1985; AFONSO, 1997; AFONSO e SIENZ, 1999; AFONSO et al, 2002). Sua técnca basea-se em atrbur um vetor de coefcentes de ponderação β, às funções objetvo normalzadas, combnando-as lnearmente, ou seja, transformandoas em uma únca função objetvo. Sua representação algébrca é dada da segunte forma j nobj T fk (4.3) F = f β = j β j, k (4.3) f f 0 k = 1 0k onde os elementos de β jk, são normalzados, da segunte manera: nobj (4.4) β jk, = 1, 0 β jk, 1 k = 1 (4.4) e f 0 k é a função objetva k no projeto ncal x 0. O algortmo desse método pode ser representado pelos seguntes passos: ) Defnr o número de subconjuntos β; ) Normalzar as funções objetvo; ) Para cada β j faça:.a) Obter a função objetvo substtuta usando a Equação (4.3);.b) Otmzar a função substtuta e encontrar o ponto x * j ;.c) Substtur o x * j nas funções objetvo e obter os seus valores; Problemas na obtenção de pontos de Pareto va WS poderão surgr quando o contorno da regão vável no espaço das funções objetvos for não-convexa, como mostra a Fgura 4.4. Neste caso, não exstrá nenhum β j capaz de fornecer uma solução que esteja na parte não-convexa. f 2 f 1 * f 2 * Fgura 4.4 Regão vável não-convexa no espaço das funções objetvo. Em geral, quando se utlza essa metodologa, ocorre que uma dstrbução unforme dos pesos β não fornece uma dstrbução unforme de pontos de Pareto. f 1 55

70 4.3.2 Método Mn-Max Este método fo desenvolvdo com o propósto de sanar os problemas lstados anterormente no método da soma ponderada dos objetvos, o que é parcalmente alcançado no que se refere a obter pontos unformemente dstrbuídos. Neste procedmento, as funções objetvo são normalzadas, de forma dferente daquela do método da soma ponderada dos objetvos, sendo para sso acrescdo dos parâmetros: max f k e mn f k. Estes parâmetros são obtdos das soluções das otmzações escalares, sto é, que envolvem a consderação ndvdual das funções objetvo soladas. Obtém-se, então, um conjunto de varáves x k *, resultante de cada otmzação k solada. Aplca-se esse conjunto a cada função objetvo e daí atrbu-se o máxmo valor da função a max f k e o mínmo a mn f k. As novas funções objetvo normalzadas assumrão a forma: (4.5) fk mn fk fk =, k = 1,..., nobj (4.5) max f mn f k k O novo vetor das funções objetvo é (4.6) F = f1, f2,..., fk,..., f nobj (4.6) Então, um coefcente β k é assocado a cada nova função objetvo e o segunte problema é proposto: (4.7) mn ( γ ) (4.7) onde (4.8) γ = max( β f ), k = 1,..., nobj (4.8) k k sujeta às restrções defndas na Equação (4.2) e às restrções adconas (4.9) β k f k γ k = 1,..., nobj (4.9) para város conjuntos de vetores β, pos para cada vetor β dferente um novo subproblema de otmzação é formulado e um novo ponto de Pareto é obtdo Método da Interseção Contorno-Normal (NBI) O método da Interseção Contorno-Normal ou Normal-Boundary Intersecton (NBI) (DAS e DENNIS, 1996) é uma técnca crada para encontrar pontos efcentes (ou pontos NBI) do contorno do espaço vável gerado pelos vetores objetvos alcançáves, {F(x): x C}, que possbltem a construção de uma curva suave, de forma que o projetsta possa defnr em qual daqueles pontos será consderada a solução compromsso para o problema multobjetvo. Quando os pontos efcentes estverem sobre uma parte 56

71 do contorno sufcentemente convexa daquele espaço vável, esses são defndos como pontos de Pareto. Isto acontece para a grande maora dos casos estudados na engenhara. Porém, se aqueles pontos estverem na parte côncava do contorno, não há a garanta de que eles sejam pontos de Pareto. Apesar dsso, esses pontos contrbuem para que a curva Pareto seja defnda. Este método é novador com relação à obtenção dos pontos efcentes sobre a superfíce Pareto, permtndo que se obtenha uma dstrbução unforme daqueles pontos até mesmo para um pequeno conjunto de vetores do parâmetro β, ndependentemente do número de funções objetvos. Este método dfere daqueles descrtos anterormente por não ocorrer a transformação do vetor das funções objetvo em uma únca função objetvo, através de uma combnação lnear. A déa central do NBI é encontrar uma porção do contorno do denomnado espaço das funções objetvo (DAS e DENNIS, 1996), o qual contém os pontos ótmos de Pareto. Tas pontos podem ser encontrados resolvendo-se um problema de otmzação. No que se segue, apresentam-se, ncalmente, algumas termnologas específcas do método para em seguda detalharmos a metodologa. Defne-se F * como sendo o vetor do mínmo local das funções objetvo, denomnado de Ponto Utópco (Shadow Mnma ou Utopa Pont) (DAS e DENNIS, 1996), representado por: (4.10) F * * * * * T = f 1, f2, f3,, f nobj (4.10) * onde cada f representa um mínmo local ndvdual. Sendo o vetor x * a solução ótma * * de f, temos que f = f( x ). Defne-se a envoltóra convexa do mínmo ndvdual (ECMI) como: (4.11) Φβ n n : β R, β = 1, β 0 = 1 (4.11) onde (4.12) Φ j = f x f = nobj j = nobj (4.12) * * (, ) ( j), 1,, ; 1,, Assm, os pontos pertencentes a ECMI são defndos por um conjunto de pontos do R n, que são defndos pelas combnações convexas de {F(x * )- F * }, armazenados sob a forma de matrz, Φ, denomnada de "pay-off" (DAS e DENNIS, 1996). Um exemplo da representação gráfca da ECMI é lustrada na Fgura 4.5. Nesta fgura é consderado que na orgem esteja o ponto de utopa F * e, dessa forma, todas as funções objetvos são não-negatvas, sto é, F(x) é substtuída por F que é defndo da segunte forma: F (x) = F(x) F * 57

72 f 2 A 0 C B f 1 Fgura 4.5 Representação gráfca da ECMI num espaço bdmensonal. Com esta redefnção, observa-se na Fgura 4.5 que o ponto A é F (x 1 * ) e o ponto B é F ( x 2 * ), 0 é a orgem e ao mesmo tempo o ponto Utópco F *, o segmento tracejado é a ECMI, enquanto que o arco ACB é a frontera de Pareto no espaço das funções objetvo. O conjunto das funções objetvo no espaço vável {F(x): x C} será denomnado por ƒ e o seu contorno por ƒ. A técnca NBI possu o objetvo de encontrar parte do contorno ƒ que contém os pontos ótmos de Pareto. A déa geométrca assocada ao método é que tas pontos de Pareto são encontrados a partr da nterseção da reta quase-normal à ECMI, apontada para a orgem, e o contorno ƒ como lustrado na Fgura 4.6. Nesta, observa-se que a famíla dos vetores quase-normas unformemente espaçados ntercepta os pontos gualmente espaçados sobre o contorno. f 2 F( x *) 1 ECMI ƒ F( x *) 2 f 1 Fgura 4.6 A magem do conjunto vável sobre o mapeamento de ƒ no espaço das funções objetvo. Matematcamente, tas pontos podem ser encontrados resolvendo-se um problema de otmzação descrto a segur. Dados os parâmetros β, Φβ representa pontos sobre a ECMI. Seja ˆn o vetor untáro quase-normal à ECMI,.e. dreção que lga o ponto méda da ECMI e o ponto Utópco F *. Então, Φβ + tn ˆ, com t R, representa o conjunto de pontos sobre ˆn, que formam uma reta quase-normal à ECMI. A nterseção entre a 58

73 reta quase-normal a ECMI, e o contorno que defne o espaço {F(x) x C}, ƒ, mas próxmo da orgem é a solução global do segunte problema de programação não-lnear: (4.13) max t x,t (4.13) sujeta às restrções defndas na Equação (4.2) e às restrções adconas (4.14) Φβ + tnˆ = F( x) (4.14) sendo esta equação de restrção a garanta do mapeamento de x por Fx ( ) sobre a reta quase-normal. O problema apresentado nas Equações (4.13), (4.14) e (4.2) passa a ser defndo com um subproblema NBI, representado por NBI β, consderando que β seja o parâmetro que caracterza o subproblema. Cada vetor parâmetro β, resultará em uma solução pretendente à Pareto. Resolvendo esse subproblema para um conjunto de parâmetros β, encontra-se um conjunto de pontos sobre ƒ, que poderão fornecer uma curva suavzada. Esses pontos serão pontos de Pareto de ótmo caso estejam numa porção convexa do ƒ. Em caso contráro, eles poderão não ser ponto de Pareto de ótmo. Em não sendo, poderão ser útes na suavzação da curva Pareto, além da garanta de que todo ƒ fo explorado, o que não ocorre para os métodos descrtos anterormente. Para maores detalhes, ver referêncas (DAS e DENNIS, 1996; MACEDO, 2002) Método da Restrção Normal Normalzada (NNC) Este método fo ntroduzdo por (MESSAC et al, 2003) e é uma melhora sobre o método da Restrção Normal (NC) de Yahaya e Messac removendo problemas numércos de escala com a normalzação das funções objetvo. Este método mostrou ser capaz de gerar uma propagação unforme de pontos Pareto. O NNC trabalha de forma smlar ao método da Interseção Contorno-Normal (NBI), (dscutdo anterormente), e sua representação gráfca, trada da referênca (MESSAC et al, 2003), é mostrada a segur. No espaço das funções objetvo normalzadas (mesma normalzação usada no método Mn-Max), todos os pontos mínmos locas das funções objetvo, estão a uma undade de dstânca do Ponto Utópco. E o Ponto Utópco está na orgem por defnção Na Fgura 4.7 nós observamos o espaço vável e a frontera de Pareto correspondente. Nós também notamos os dos pontos de mínmo das funções objetvo que são obtdos pela mnmzação separada do prmero e do segundo objetvo do projeto. Uma lnha lgando os dos pontos é chamada de Lnha Utópca, ela é equvalente à envoltóra convexa do mínmo ndvdual (ECMI) no método NBI. Ela é dvdda em m-1 segmentos, resultando em m pontos. 59

74 f 2 1 F( x ) * N k m 1 * F( x ) 2 f 1 Fgura 4.7 Um conjunto de pontos espaçados na lnha Utópca para um problema b-objetvo. Na Fgura 4.8 um ponto genérco X pertencente à Lnha Utópca é utlzado para defnr uma reta normal (NU). Está lnha normal (NU) dmnu a regão vável, como ndcado na Fgura 4.8. Como pode ser vsto, mnmzando-se f 2, o resultado ótmo será o ponto f. Transladando o ponto genérco X, pela Lnha Utópca, podemos ver que um conjunto de Pontos Pareto correspondente será obtdo. f 2 1 f 1 Regão Vavel Lnha NU 0 f 0 X pj f 1 Plano Utópco Regão Invavel 2 f 1 Fgura 4.8 Representação gráfca do método da NNC para um problema b-objetvo. No que se segue, a formulação matemátca do Método da Restrção Normal Normalzada para a otmzação multobjetvo em geral é apresentada. O vetor x defne as varáves de projeto e f ( f R ) a -esma função objetvo. x ( x R ) é o ponto ótmo n * * nx da função f. Sendo nobj o número de funções objetvo de um problema genérco, os * * vetores do Plano Utópco N k são defndos como a dreção dos F ( x k ) até F ( x nobj ), para k=1..nobj-1, pela equação: (4.15) N F x F x k nobj (4.15) * * k = ( nobj ) ( k ), = 1,2,

75 Um conjunto de n p pontos dstrbuídos no Plano Utópco é gerado da segunte forma. nobj * (4.16) X = β F( x ), j = 1,2,... n j j, k k p k = 1 (4.16) onde nobj (4.17) 0 β j, k < 1 e β j, k = 1, j = 1, 2,..., n p (4.17) k = 1 Agora nós geramos pontos dstrbuídos no espaço das funções objetvas normalzadas. Para cada ponto X gerados anterormente é obtdo um Ponto Pareto correspondente, soluconando o problema abaxo: (4.18) Para j = 1, 2,..., np mn x f nobj (4.18) sujeta às restrções defndas na Equação (4.2) e às restrções adconas: T (4.19) N ( F Xj) 0, k = 1, 2,..., n 1 k (4.19) Dferenças entre o NBI e o NNC As dferenças entre o método da Interseção Contorno-Normal e o método da Restrção Normal Normalzada são três: 1. Enquanto o NNC faz a normalzação das funções objetvo, o NBI faz apenas uma translação. 2. O NNC dmnu a regão vável, do problema orgnal, à uma regão lmtada (na dreção de f n ) pela reta NU (normal ao Plano Utópco). Enquanto que no NBI a regão vável se restrnge estrtamente à reta (quase) normal á ECMI. 3. Com relação à reta normal à ECMI (no NBI) ou ao Plano Utópco (no NNC), enquanto no NNC ela é na dreção perpendcular, no NBI ela é quase normal (dreção de um ponto médo da ECMI ao Ponto utópco). Sem estas dferenças, os resultados seram absolutamente os mesmos. 61

76 4.4 EXEMPLOS Trelça de 3 barras Neste prmero exemplo consderamos a trelça de 3 barras de Kosk (1985), lustrada na Fgura 4.9, na qual L = 1 m. Para este exemplo em partcular, a carga aplcada é F = 20 KN e o módulo de Young é E = 200 GPa. Fgura 4.9 Trelça de três barras: defnção do problema. As varáves de projeto são as áreas das seções transversas das barras e os lmtes superores e nferores são respectvamente X L = 0.1 cm 2 e X U = 2 cm 2. Neste problema, soluções multobjetvo serão encontradas consderando a mnmzação de duas funções objetvas: (1) Volume total da estrutura, (2) Combnação lnear dos deslocamentos: d p = 0.25δ δ 2. Além das restrções das varáves de projeto, são mpostas restrções de tensão para todas as barras σ all < 200 Mpa (para compressão e tração). Na seqüênca 100 soluções de Pareto para o problema são apresentadas, consderando os métodos WS, Mn-Max, NBI e NNC, respectvamente nas Fgura 4.10 (a), (b), (c) e (d). Os resultados estão em acordo com os reportados na lteratura (KOSKI, 1985, MESSAC et al., 2003). Como esperado, os métodos NBI e NNC produzram pontos de Pareto melhores dstrbuídos. Além dsso exste uma regão côncava na frontera de Pareto como ndcado na Fgura 4.10 (a). É mportante enfatzar que as técncas Mn-Max, NBI e NNC são capazes de calcular pontos nesta área ao contráro do método WS, que assume uma combnação convexa entre as funções. Na regão côncava exste alguns pontos não Pareto, o método NBI encontrou esses pontos, como apresenta a Fgura 4.10 (c). Apesar dsso, (DAS e DENNIS, 1996) argumentam que esses pontos contrbuem para que a curva Pareto seja defnda. O método Mn-Max defnu bem a curva de Pareto, desconsderando corretamente a parcela não 62

77 Pareto da regão convexa, Fgura 4.10 (b). A dstrbução de pontos do NNC excluu alguns deles, como observado na Fgura 4.10 (d). Porém todos os pontos não Pareto podem ser faclmente separados através de um fltro nos pontos. a) WS b) Mn-Max c) NBI d) NNC Fgura 4.10 Trelças de três barras Dstrbução de Pareto: (a) WS, (b) Mn-Max, (c) NBI e (d) NNC Placa quadrada com um orfíco central O segundo exemplo se refere ao já apresentado na seção e consderado também, na seção 3.6. Nele fo consderada a análse do estado plano de tensão em uma placa quadrada com um orfíco central. O módulo de elastcdade é consderado o mesmo para todas as regões: E = 10 5 N/mm. As dmensões do orfíco são as varáves do projeto seleconadas para a otmzação. Os valores ncas das varáves de projeto são μ 1 = μ 2 = 50mm, e os lmtes nfe- 63

78 ror e superor mpostos são 25mm e 75mm, respectvamente. Dos objetvos são consderados, são eles: mnmzar o volume total e mnmzar a flexbldade total da placa. As soluções MO serão obtdas consderando 10 pontos de Pareto. Para a aproxmação va MBR, três regões são defndas. A base reduzda será construída no espaço vável do projeto D = [25, 75]² e o número de amostras analsadas fo N = 10, baseada no estudo de convergênca do MBR, já realzado para este caso, na seção O domíno de referênca (o qual neste caso é gual ao projeto ncal) com sua respectva malha de EF para elementos trangulares CST, com número total de graus de lberdade ndof = 6.732, é mostrado na Fgura 4.11 (a). A dstrbução das tensões de von Mses e a confguração deformada para o projeto ncal é mostrada na Fgura 4.11 (b) Fgura 4.11 Projeto ncal (domíno de referênca). a) malha EF (ndof = 6.732), b) tensão de von Mses (N/mm²). A Fgura 4.12 apresenta as dstrbuções dos pontos Paretos obtdos para os métodos aqu consderados. As soluções são obtdas consderando o modelo de MEF e o modelo aproxmado va MBR. Verfca-se que as curvas de Pareto va MEF e MBR estão de acordo. Como pode ser observado, soluções va o método da soma ponderada (WS) são bastante pobres com pontos aglutnados (cluster) e regões vazas sobre a frontera de Pareto esperada. Soluções va Mn-Max se mostraram melhores. Entretanto os métodos NBI e NNC são os que conseguem obter pontos unformemente espaçados em todas as partes da frontera de Pareto. 64

79 3 2.5 FEM RBM FEM RBM Stran Energy (N.mm) Stran Energy (N.mm) Volume (mm³) a)ws Volume (mm³) b)mn-max FEM RBM FEM RBM Stran Energy (N.mm) Stran Energy (N.mm) Volume (mm³) c)nbi Volume (mm³) d)nnc Fgura 4.12 Placa quadrada com um orfíco central Pontos Paretos: a) WS, b) Mn-Max, c) NBI, d) NNC. A Tabela 4.1 sumarza as performances de cada método nvestgado. Soluções va MBR são mas que duas ordens de magntude mas rápdas em comparação com os resultados totalmente obtdos va MEF. Para a obtenção de pontos de Pareto pelos procedmento consderados, utlzando o MBR, o estágo off-lne, fo avalado apenas uma vez, totalzando 37.4 s. Além dsso, o processo de obtenção dos pontos de Pareto (estágo on-lne ) pelos quatro métodos, foram fetas em paralelo em um computador dotado de um processador quad core, através de ferramentas do ambente computaconal MATLAB. Um ganho computaconal anda maor sera alcançado paralelzando, também, o estágo off-lne. Tabela 4.1 Placa quadrada com um orfíco central Desempenho dos algortmos. WS Mn-Max NBI NNC FEM s s s s RBM (37.4 s) 21.5s 5.2s 7.3s 7.8s Na Fgura 4.13 os projetos ótmos (na confguração deformada) para os pontos de Pareto 1, 3, 5, 7, 9 e 10 são lustrados, para dar uma déa dos pontos de Pareto obtdos pelo método NBI. 65

80 Ponto de Pareto - 1 Ponto de Pareto - 3 Ponto de Pareto - 5 Ponto de Pareto - 7 Ponto de Pareto - 9 Ponto de Pareto - 10 Fgura 4.13 Placa quadrada com um orfíco central Tensões von Mses (N/mm²) na confguração deformada, dos projetos para pontos de Pareto ótmos obtdos pelo método NBI Placa engastada - problema aclopado Fnalzando as aplcações consderando duas funções objetvo, será estudada uma estrutura plana bdmensonal, a mesma analsada na seção e ndcada na Fgura 4.14 (a), porém com condções de contorno dferentes, ndcada na Fgura 4.14 (b). Tem-se um total de treze (13) regões especfcadas para o presente problema, numeradas conforme ndcado na Fgura 4.14 (a) em função dos parâmetros varantes do problema em questão. Condções de contorno para o problema estátco e de transferênca de calor estão ndcadas na Fgura 4.14 (b), onde a lateral esquerda está engastada e a parte superor está submetda a um carregamento dstrbuído de 1MPa, ambas regões, assm como o nteror vazo da estrutura, encontram-se soladas termcamente. Todas as dmensões do problema estão especfcadas na fgura. p=1 MPa q = 1 W/m² Ta = 20 ºC Fgura 4.14 Defnção do problema: a) Geometra, b) Condções de contorno. 66

81 As propredades do materal são E= 10³ MPa, o coefcente de Posson υ = 0.2, coefcente de convecção h = 10 W/m² ºC, a condutvdade térmca κ x = κ y = 1 W/(mK), o coefcente de dlatação térmca α = 10-4 ºC -1 e as condções de convecção são para temperatura ambente Ta = 20ºC. Quatro parâmetros (varáves de projeto), ndcados na Fgura 4.14 (a) serão consderados na otmzação. São eles: as espessuras t 1, t 2 e as dstâncas horzontas L 1, L 2 ndcadas na fgura acma. A aproxmação fo construída de forma que os parâmetros μ=( t 1, t 2, L 1, L 2 ) pertençam ao espaço de projeto D μ = 2 [ 0.5;5] [ 10,21] [28,38]. Para o presente problema o número de amostras consderadas fo N=30, baseado no estudo realzado no capítulo 2, seção A dscretzação do domíno real (projeto ncal) onde μ 1 = 2, μ 2 = 2, μ 3 = 19, μ 4 = 31 e o domíno de referênca (1976 graus de lberdade para o problema elástco e 1023 para o térmco) se encontram, respectvamente, na Fgura 4.15 (a) e (b). A otmzação será conduzda consderando os seguntes objetvos: Mnmzação da temperatura máxma e mnmzação da tensão Von Mses máxma. Além dos lmtes das varáves, o volume ncal deve ser mantdo constante. As soluções OM serão obtdas consderando 15 pontos de Pareto. a) domíno real b) domíno de referênca Fgura 4.15 Malha de elementos fntos: a) domíno real (projeto ncal), b) domíno de referênca. A Fgura 4.16 apresenta a dstrbução de Pontos Pareto para os métodos aqu consderados. As curvas de Pareto obtdas pelo MEF e MBR estão de acordo. Como podese observar, as soluções va o método WS e o Mn-Max apresentam regões vazas na frontera de Pareto esperada, o WS anda apresenta pontos sobrepostos. Já os métodos NBI e NNC conseguram obter pontos bem dstrbuídos em todas as partes da frontera de Pareto. 67

82 a)ws b)mn-max c)nbi d)nnc Fgura 4.16 Pontos de Pareto: a) Soma Ponderada, b) Mn-Max, c) NBI, d) NNC. A Tabela 2 resume as performances de cada procedmento nvestgado. Soluções va MBR foram mas rápdas comparadas com o procedmento baseado apenas no MEF. O ganho computaconal do MBR não fo tão grande quanto o obtdo no exemplo anteror, devdo à computação do termo de acoplamento, realzado na etapa on-lne. Tabela 2. Desempenho dos algortmos. WS Mn-Max NBI NNC FEM 777,12s 826,92s 1239,30s 963,00s RBM 340,53s 387,46s 353,25s 323,51s 4.5 PROBLEMAS COM MAIS DE DUAS FUNÇÕES OBJETIVO Pode-se obter qualquer ponto de Pareto de um problema qualquer, tanto pelo NBI como pelo NNC, resolvendo um subproblema com um determnado vetor β assocado (Equações (4.14), (4.16) e (4.19)). Porém no caso de problemas com mas de duas funções objetvo, as componentes do vetor β não são necessaramente não-nulas. Encon- 68

83 trar pontos sobre toda a frontera de Pareto em problemas com mutas funções objetvo anda é um problema em aberto (ARORA, MESSAC e MULLUR, 2007). Como exemplo, consdere a Fgura 4.17 (a) (DAS e DENNIS, 1996) onde é apresentado o espaço de três funções objetvo de um problema qualquer. Caso o vetor β só tenha componentes postvas, as Equações (4.11) e (4.16) ndcam que apenas é possível encontrar pontos partndo do nteror do trângulo formado por F(X1 * ), F(X2 * ) e F(X3 * ) (vde Fgura 4.17 (b)), desprezando deste modo, a regão da frontera de Pareto adjacente, nclundo os arcos F(X1 * )F12*F(X2 * ), F(X1 * )F13*F(X3 * ) e F(X2 * )F23*F(X3 * ). Além dsto, os pontos podem recar sobre uma regão fora da superfíce de Pareto, é o que ocorre neste caso. Como podemos observar na Fgura 4.17, uma parte do segmento * * de reta F(X1 ) F(X3 ), se projeta no exteror da regão de Pareto. Neste caso o NBI rá encontrar um ponto não-pareto, devdo a sua restrção rígda (de gualdade). Já o ótmo encontrado através do NNC, pode se deslocar para a regão de Pareto, devdo à suas restrções mas flexíves (de desgualdade). A Fgura 4.17 (b), apresenta os pontos θβ (Equação (4.11)) na ECMI (para o NBI) ou os pontos X j (Equação (4.16)) no plano utópco (para o NNC), para coefcentes β normalzados gualmente espaçados. Nota-se que os métodos só se preocupam com a regão formada pelos pontos F(X1 * ), F(X2 * ) e F(X3 * ). F12 * F13 * F23 * a) Frente de Pareto 69

84 b) Pontos base para os sub-problemas Fgura 4.17 Problema com 3 funções objetvo (DAS e DENNIS, 1996), a) Frente de Pareto no espaço de três funções objetvo, b) Pontos base para a defnção dos sub-problemas de otmzação dos métodos NBI e NNC. Para encontrar toda a frontera de Pareto, (MESSAC e MATTSON, 2004) apresentam uma modfcação no método NNC orgnal, que vsa soluconar o problema das regões nexploradas pelo método orgnal, através da amplação do Plano Utópco (ou a ECMI) de forma que ele contenha toda a superfíce de Pareto. Deste novo Plano Utópco são desconsderadas algumas partes onde há menos probabldade em haver pontos Pareto projetados. Porém o problema das otmzações em regões onde não há pontos de Pareto projetados contnua e anda é amplfcado, podendo anda os pontos se projetarem em regões nváves, gerando um problema de otmzação mal formulado. Quanto mas pontos não-paretos encontrados, menos efcente se torna o procedmento, mesmo retrando-os por um processo de fltragem, pos é uma otmzação desperdçada. Outra possível solução, proposta no presente trabalho, é defnr ncalmente os contornos da frontera de Pareto e encontrar os pontos no seu nteror. Para sso é precso resolver o problema multobjetvo por pares de funções objetvo e assm defnr cada contorno da frontera de Pareto, ou seja, resolvendo o POM consderando apenas os objetvos f1 e f2, obtemos a curva de Pareto F12 *, resolvendo o POM para f2 e f3, encontramos a curva de Pareto F23 *, já desconsderando a função f2, alcançamos a curva de Pareto F13 *. Na Fgura 4.18 vemos um exemplo de pontos de Pareto encontrados para cada par de funções objetvo marcados em preto, a partr destes pontos de Pareto são dstrbuídos os restantes dos pontos centras, marcados de azul. 70

85 Fgura 4.18 Problema com 3 funções objetvo Dstrbução dos pontos. Depos de encontrados os pontos de Pareto que formam o contorno da frontera total (pontos pretos na Fgura 4.18), projeta-se as curvas formadas por estes pontos, no plano formado por F(X1 * ), F(X2 * ) e F(X3 * ). Estas curvas projetadas delmtam uma regão a qual é utlzada (ao nvés do trângulo orgnal) para encontrarmos o restante dos pontos centras. As curvas F12 *, F23 * e F13 * são consderadas as soluções de Pareto dos subproblemas onde o coefcente β da função desconsderada é nulo. Um exemplo desta metodologa é tratada a segur a partr da seção onde será utlzado o NBI para se encontrar as curvas de Pareto do contorno da superfíce de Pareto, bem como para as otmzações dos subproblemas relaconados aos pontos centras, este procedmento proposto, será chamado NBIm. Para problemas com mas de 3 funções objetvo a déa básca é a mesma, 1. Resolver os problemas de otmzação un-objetvo para cada objetvo. 2. Em posse dos mínmos ndvduas, que lmtam as curvas de Pareto, resolver os problemas b-objetvos para todas as possíves permutações de objetvos. 3. Em posse das curvas de Pareto para os pares de objetvos, que delmtam as superfíces de Pareto, resolver os problemas com três objetvos para todas as possíves permutações. 4. Em posse das superfíces de Pareto para os tros de objetvos, que delmtam as hper-superfíces de Pareto, resolver os problemas com quatro objetvos para todas as possíves permutações. E assm sucessvamente até que se chegue ao número total de objetvos. 71

86 4.5.1 Exemplo geométrco com 3 funções objetvo Consdere o problema defndo na Fgura 4.19, a qual lustra o espaço das (duas) varáves de projeto. Serão consderados três objetvos, são eles mnmzar a dstânca do ponto defndo pelas varáves, aos pontos A, B e C. Tem-se anda a restrção que o espaço vável exclu o crculo preto ndcado na Fgura 4.19, ou seja, a dstânca do ponto defndo pelas varáves, ao ponto D deve ser maor que 0.5. Fgura 4.19 Defnção do problema. A Fgura 4.20 (a) lustra a regão ótma exata dos pontos de Pareto, ndcada pela cor azul. As fguras seguntes apresentam os resultados obtdos para as dferentes técncas, onde cada ponto azul ndca o valor da varável de projeto para cada subproblema otmzado. Na legenda de cada fgura, a partr da letra (b), se encontram o método utlzado e, entre parênteses, o número total de funções avaladas, utlzadas pelo método. Nota-se, novamente, os espaçamentos vazos entre as soluções do método da soma ponderada e o grande numero de funções calculadas. O Mn-Max já apresenta um resultado melhor apresentando uma boa defnção dos contornos da regão de ótmos e um numero bem menor de funções avaladas, porém com poucos resultados centras. O NNC e o NBI, apresentam pontos bem dstrbuídos, porém apresentando soluções não- Pareto, prncpalmente o NBI, por motvos já ctados. Ambos os métodos também realzaram um grande número de avalações de funções, sto ocorreu prncpalmente, devdo a procura de pontos váves em sub-problemas mal formulados sem regão vável. O NBIm, fo o que melhor cobru a regão de ótmos, com pontos relatvamente bem dstrbuídos e contorno defndo, fo também, o que utlzou o menor número de avalações de funções entre os métodos nvestgados. a) Solução exata do problema b) WS (9263) 72

87 c) Mn-Max (3802) d) NBI (7553) e) NNC (6819) f) NBIm (2048) Fgura 4.20 Soluções de Pareto: a) Solução exata, b) Soma Ponderada (9263), c) Mn-Max (3802), d) NBI (7553), e) NNC (6819), f) NBIm (2048) Exemplo analítco com 3 funções objetvo Consdere o segunte problema de otmzação multobjetvo: mn f( x) = x, = 1, 2,3 x Sujeto às seguntes restrções : x1 + ; x2 + ; x3 + x2 x3 x1 x3 x1 x x 10, = 1, 2,3 A Fgura 4.21 apresenta os pontos de Pareto para 15 valores de β, = 1..3 unformemente dstrbuídos, que combnados totalzam 120 vetores β dferentes, para mas detalhes sobre as combnações dos parâmetros β vde (DAS e DENNIS, 1996). O gráfco da esquerda apresenta uma vsta de topo ( f ( x) 1x f( x )) do espaço das funções objetvo, onde a escala de cor se refere ao valor da tercera função objetvo f ( x ). O gráfco 2 3 da dreta apresenta uma vsta sométrca do espaço das funções objetvo. Na legenda de cada par de fgura, se encontram o método utlzado e, entre parênteses, o número total de funções avaladas. 73

88 a) WS (7092) b) Mn-Max (6090) c) NBI (3281) 74

89 d) NNC (5617) e) NBIm (2748) Fgura 4.21 Pontos de Pareto: a) Soma Ponderada (7092), b) Mn-Max (6090), c) NBI (3281), d) NNC (5617), e) NBIm (2748). Como se pode observar, os métodos da Soma Ponderada e o Mn-Max apresentaram concentrações de pontos em alguns lugares, espaços vazos em outros e os maores números de funções calculadas. Já os métodos NNC e o NBI obtveram pontos gualmente espaçados, porém não foram capazes de cobrr toda a superfíce de Pareto, apenas as regões onde se projeta a ECMI (trangulo formado pelos mínmos ndvduas). Entre estes, o NBI apresentou um numero menor de funções avaladas. Já com o NBIm, através da estratéga de defnr os contornos da regão de Pareto, foram obtdos pontos bem dstrbuídos sobre toda a regão de Pareto, apresentando anda o menor número de funções avaladas entre os métodos nvestgados Placa sob ação termo-estrutural acoplada com 3 funções objetvo Como exemplo, fo consderada a placa engastada do exemplo com condções de contorno, para o problema estátco e de transferênca de calor, dferentes, mostradas na Fgura

90 Fgura 4.22 Defnção do problema - Condções de contorno. As propredades do materal são: E= 10 4 MPa, o coefcente de Posson υ = 0.2, coefcente de convecção h = 10 W/m² ºC, a condutvdade térmca κ x = κ y = k = 1 W/(mK), o coefcente de dlatação térmca α = 2x10-4 ºC -1 e as condções de convecção são para temperatura ambente Ta = 20 ºC e uma temperatura externa de 100 ºC na lateral dreta da estrutura (o sentdo da convecção ndcado na fgura é meramente lustratvo). Os mesmos quatro parâmetros (varáves de projeto), ndcados na Fgura 4.14 (a) serão consderados na otmzação. Para o presente problema o número de amostras consderadas fo N=30, vde estudo de convergênca seção A otmzação será conduzda consderando três objetvos: Mnmzar o volume da estrutura, mnmzar a flexbldade total e mnmzar o deslocamento máxmo. Além dos lmtes das varáves, a tensão Von Msses fo lmtada a 124 kn/cm². As soluções OM serão obtdas consderando 55 pontos de Pareto. A Fgura 4.23 apresenta a dstrbução de Pontos Pareto para os métodos MO aqu consderados obtdas pelo MBR. Nos resultados obtdos, foram fltrados os pontos domnados (não Pareto), esse fltro verfca para toda solução se exste algum outra que a domna. Os x marcados de vermelho na Fgura 4.23, são pontos não Paretos, pos foram domnados por alguma solução de algum dos métodos. Como podemos observar na Fgura 4.23, a solução va o método WS e o Mn-Max são nefcentes, pos apresentam pontos sobrepostos e regões vazas na superfíce de Pareto. Assm como, os métodos NBI e NNC apresentaram resultados bem dferentes, como o NBI não tem flexbldade nas restrções adconas, ele não fo capaz de encontrar a verdadera superfíce de Pareto, apenas alguns pontos, pos ela não se encontra totalmente na projeção da ECMI. O NNC se comportou pouco melhor, porém não conseguu defnr toda a superfíce de Pareto e não consegu obter um resultado melhor que o WS. Já o NBIm fo o que conseguu defnr melhor todas as partes da frontera de Pareto, seus resultados podam ser anda melhor através de melhoras no procedmento de dstrbução dos pontos centras (estudo anda não concluído). 76

91 a) WS b) Mn-Max c) NBI d) NNC e) NBIm Fgura 4.23 Pontos de Pareto: a) Soma Ponderada, b) Mn-Max, c) NBI, d) NNC, e) NBIm. 4.6 REFERÊNCIAS AFONSO, S. M. B.; MACEDO, C. M. H.; OLIVEIRA, D. A. P. Structural Shape Optmzaton under Multcrtera Condtons In: V World Congress on Computatonal Mechancs, Vena

92 ARORA J. S.; MESSAC, A.; MULLUR, A. A. OPTIMIZATION OF STRUCTURAL AND MECHANICAL SYSTEMS. Chapter 4 - Multobjectve Optmzaton: Concepts and Methods. Jasbr S Arora, Unversty of Iowa, USA, BATES, S. Development of Robust Smulaton, Desgn and Optmzaton Technques for Engneerng Applcatons. PhD Thess. School of Engneerng, Unversty of Wales, Swansea COLLETTE, Y., SIARRY, P. Multobjectve Optmzaton: Prncples and Case Studes, Sprnger, DAS, I.; DENNIS, J.E. Normal Boundary Intersecton: A New Method for Generatng Pareto Surface n Nonlnear Multcrtera Optmzaton Problems. SIAM J. Optmzaton, Vol. 8, No. 3, pp , HWANG, C. L.; PAIDY, S. R.; YOON, K. e MASUD, A. S. M., Mathematcal Programng whth Multple Objectves: A Tutoral, Comput. and Ops. Res., Vol. 7, pp LALONDE, N.; KIM, I. Y.; WECK, O. A Comprehensve Comparson between Determnstc and Probablstc Multobjectve Optmzaton Algorthms wth Mathematcal and Practcal Applcatons. 8º World Congress on Structural and Multdscplnary Optmzaton. Lsbon, Portugal, MACEDO, C. M. H. Otmzação de Trelças Planas sob Váras Solctações com Ênfase a Problemas Multobjetvos. dssertação de Mestrado, Unversdade Federal de Pernambuco. Recfe-PE, Brasl, MESSAC, A., ISMAIL-YAHAYA, A. e MATTSON C. A. The Normalzed Normal Constrant Method for Generatng the Pareto Fronter. Structural Optmzaton, Vol. 25, No. 2, pp , MESSAC, A.; MATTSON C.A. Normal constrant method wth guarantee of even representaton of complete Pareto fronter, 45th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures, Structural Dynamcs & Materal Conference, Palm Sprngs, CA, STEUER, R. E. Multcrtera optmzaton theory, computaton and applcaton. John Wley & Sons,

93 79

94 CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO CONSIDERANDO INCERTEZAS 5 OTIMIZAÇÃO CONSIDERANDO INCERTEZAS 5.1 INTRODUÇÃO Este capítulo se concentra no projeto de sstemas estruturas na presença de ncertezas. A motvação para tal vem do fato de que algum grau de ncerteza ou varação nas característcas de qualquer sstema estrutural é nevtável. Quando se analsa e projeta-se um sstema estrutural, a caracterzação determnístca de suas propredades e do ambente que o cerca pode não ser oportuno por váras razões, nclundo ncertezas nas propredades dos materas, varação na geometra devdo à tolerânca na fabrcação, ncerteza no carregamento devdo à natureza não determnístca do ambente operaconal, ncertezas devdo a degradação do sstema em servço, e assm por dante. Na prátca da engenhara é comum assumr valores nomnas para os parâmetros ncertos ao realzar estudos de projeto, de fato, a consderação determnístca tem sdo feta mplctamente em toda esta dssertação até o presente. Infelzmente, a abordagem determnístca leva a um projeto fnal cujo desempenho pode car sgnfcatvamente devdo a perturbações decorrentes de ncertezas. Este problema é acentuado quando lda-se com projetos que foram severamente otmzados, pos projetos ótmos tendem a se localzar nos extremos da função objetvo ou no contorno das restrções (pequenas perturbações podem levar a queda de desempenho e/ou volação das restrções do projeto). Como conseqüênca, um ótmo determnístco pode potencalmente ser uma solução de alto rsco (BEYER et al, 2007). Marczyk escreveu Otmzação, na verdade é o oposto de robustez (MARCZYK, 2000). Apesar de não ser de todo certo, há alguma verdade nsso, porém pode-se utlzar os atuas algortmos de otmzação, de forma aproprada para atngr projetos robustos. Uma manera de garantr segurança contra ncertezas é aplcar restrções mas rígdas que as dealmente mpostas. Por exemplo, quando se projeta um sstema estrutural, para garantr que ele não falhe geralmente são mpostas restrções de projetos nas tensões da forma σ ( x ) < σ max, onde σ max é a tensão de falha do materal e x é o conjunto das varáves de projeto. Para consderar as ncertezas já ctadas, a restrção pode ser escrta como FSσ ( x) < σ max, onde F s é chamado o fator de segurança. Normalmente o valor do fator de segurança vara entre 1.2 e 3.0. Este valor mutas vezes é defndo com base na experênca a pror do materal usado e de projetos com concetos smlares. Claramente, o novo projeto ótmo será mas conservador quanto mas se aumenta o valor de F s, haja vsto que o ótmo se dstanca do contorno da restrção orgnal σ ( x ) σ max = 0. Para o uso de novos materas e projetos com novos concetos, para os quas não há a pror experênca no projeto e lmtada nformação expermental, não é 80

95 trval decdr um valor aproprado para os fatores de segurança (KEANE e NAIR, 2005). Neste capítulo, serão examnadas algumas abordagens para a consderação das ncertezas no processo de otmzação e assm obter projetos robustos. Isto contrasta com as abordagens que utlzam o fator de segurança, nos quas os parâmetros ncertos não são explctamente ncorporados na formulação do projeto. Projetos robustos requerem que seu desempenho pouco se altere quando exposto à ncertezas. Váras meddas de robustez foram propostas, ncluído meddas de esperança e de dspersão. Em partcular, a esperança e a varânca são as meddas báscas usadas para otmzação robusta (DOLTSINIS e KANG, 2004; BEYER et al, 2007; SCHUËLLER e JENSEN, 2008). Quando usa-se estas meddas, à busca por um projeto robusto ótmo, surge com um problema de decsão com múltplos crtéros. Por exemplo, ao otmzar a esperança pode se encontrar um valor alto de dspersão ou varânca, o que em geral não é desejável. Nestes casos há uma negocação (trade-off) entre o valor médo e a varânca, então uma solução combnada deve ser encontrada (otmzação multobjetvo robusta - OMR). Alternatvamente, pode ser usada alguma das metodologas descrtas no Cap. 4 para geração de um conjunto de soluções ótmas de Pareto que são possíves canddatas à solução. 5.2 TEORIA PROBABILÍSTICA E ESTATÍSTICA Esta seção ntroduz concetos elementares da teora da probabldade e concetos estatístcos. Intutvamente, a probabldade é uma medda da freqüênca de ocorrênca de um determnado evento. Em um expermento sto pode ser meddo dvdndo o número de stuações favoráves pelo número de eventos possíves. Entretanto, uma defnção matematcamente mas rgorosa pode ser formulada a partr de três axomas báscos. Consderando eventos relaconados aos subconjuntos ABC,,... contdos num conjunto Ω, que é o conjunto de todos os eventos possíves, a função Prob (.e. probabldade) é defnda através de três axomas: (5.1) Prob[ ] 0 A 1 (5.1) (5.2) Prob[ Ω ] = 1 (5.3) [ A B] = [ A] + [ B] [ A ] (5.2) Prob Prob Prob Prob B (5.3) A probabldade de um evento A condconado a ocorrênca de um evento B, é a probabldade de ocorrer A dado que o evento B ocorreu, e pode ser defnda como: (5.4) Prob Prob AB = Prob [ A B] [ B] (5.4) 81

96 5.2.1 Varáves Aleatóras Varáves aleatóras são funções de um espaço amostral que assumem valores numércos através de um mapeamento do fenômeno aleatóro assocado. Elas podem ser de dos tpos: dscretas ou contínuas. Varáves aleatóras dscretas podem assumr apenas um número fnto de valores. Varáves aleatóras contínuas podem assumr nfntos valores dstntos, em geral são valores reas de alguma medda. Neste trabalho serão u- sadas apenas varáves aleatóras contínuas reas. Para toda varável aleatóra real, exste uma função chamada de Função Densdade de Probabldade ( Probablty Densty Functon - PDF) P( ξ ) que defne a dstrbução de ocorrêncas de ξ assocada a um fenômeno aleatóro, tal que (MEYER, 1983): b (5.5) Prob( a ξ b) = P( ξ) dξ a, b e a b (5.5) a Um evento aleatóro A pode ser defndo como a ocorrênca de uma determnada varável aleatóra real ξ ser menor que um valor determnístco prescrto x. Assm, A= { ξξ< x }. A probabldade Prob[A] assocado com este evento obvamente depende do valor prescrto x,.e. Prob[A] = Fξ ( x), esta função Fξ ( x) é chamada função de dstrbução acumulada ( Cumulatve Dstrbuton Functon - CDF), calculada como: x = (5.6) Fξ ( x) P( ξ) dξ x (5.6) Se ξ é uma varável aleatóra, então uma função qualquer f ( ξ ) também será, porém com uma PDF própra assocada. As PDFs são dependentes de parâmetros, os quas podem possur nterpretações prátcas, tas como o seu valor médo ou méda f ( ξ ) e a sua varânca υ. Matematcamente, a méda em relação a uma função aleatóra é cha- E f( ξ ), calculado como mada de esperança da função [ ] f = E f( ξ) = f( ξ) P( ξ) dξ (5.7) (5.7) [ ] 2 A varânca ( [ ] 2 σ = σ f ( ξ) ) pode ser calculada como: f 2 (5.8) = ( ) = ( ) ou 2 2 σ f E f( ξ) f f( ξ) f P( ξ) dξ (5.8) (5.9) σ = ( ξ) ( f ) = ( f ) = ( ( ξ) ) ( ξ) ( f ) f E f f f P dξ (5.9) 82

97 onde σ f é a raz quadrada da varânca de f ( ξ ), conhecda como desvo padrão. A descrção das varáves aleatóras em termos da méda e do desvo padrão é chamada representação de segundo momento. Uma generalzação desta representação é dada pela defnção do momento central de k-ésma ordem (BUCHER, 2009). k (5.10) ( ) ( ) k μk = E f( ξ) f = f( ξ) f P( ξ) dξ, k 2 (5.10) Estes momentos serão útes aqu, para o cálculo de duas outras estatístcas: a oblqüdade ("skewness") e a curtose ( kurtoss ). A oblqüdade é uma medda da assmetra de uma determnada dstrbução, enquanto que a curtose é uma medda de dspersão que caracterza o "achatamento" da curva da função de dstrbução e são defndas respectvamente por: 3 4 (5.11) s = μ μ e κ σ = σ (5.11) Dstrbuções de probabldade Neste trabalho serão utlzadas apenas dos tpos de dstrbução, a dstrbução Normal ou Gaussana e a dstrbução Lognormal. A dstrbução Normal, também conhecda como Gaussana, é uma das dstrbuções fundamentas da teora estatístca. O teorema do lmte-central, dz que o somatóro de varáves aleatóras de dstrbução quasquer, tende a uma dstrbução Normal (PA- POULIS, 1965). Ela descreve bem, város fenômenos aleatóros naturas. É também bastante smples, pos é defnda com apenas dos parâmetros báscos, a méda e o desvo padrão. Se uma varável ξ tem uma dstrbução Normal, escrevesse smbolcamente ξ ~ N ( μσ, ), onde μ é a méda e σ o desvo padrão da varável. A PDF normal para uma varável aleatóra ξ é expressa por: (5.12) 2 1/2 ξ μ σ P( ξ) = 2πσe (5.12) Sua formula padrão N (0,1 ) consdera méda gual a zero e desvo padrão untáro: (5.13) P( ξ) = ( 2πe ) ξ 2 1/2 (5.13) 83

98 A Fgura 5.1 apresenta o gráfco da PDF normal padrão. 0.4 Função Densdade de Probabldade P(x) x Fgura 5.1 Função densdade de probabldade (PDF) Normal. A dstrbução Normal e a Lognormal estão fortemente relaconadas. Se uma varável aleatóra ξ tem dstrbução Normal com méda μ e varânca v, então exp( ξ ) tem dstrbução Lognormal, com méda μ log e varânca v log, respectvamente, guas a: (5.14) μ log = v 2 e μ + ( 2μ+ v ) v = ( ) v e e log 1 (5.14) Esta dstrbução é muto usada para varáves aleatóras que só acetam valores postvos, pos ela é defnda apenas para valores reas maores do que zero. Quando sua méda se afasta de zero, com um valor fxo do desvo padrão, a dstrbução Lognormal se aproxma de uma dstrbução Normal. A PDF Lognormal é defnda como: (5.15) ( ξ a) 2 ( ) ( ) 12 ln / 1 ξ a ln 1 P( ξ) = exp = b2 b π ξ a ξ b2π 2b (5.15) x 2 μ σ onde b= ln( c + 1), a = e c = é o coefcente varaconal defndo apenas 2 c + 1 X para varáves aleatóras com médas não-zero. A Fgura 5.2 apresenta o gráfco da PDF Lognormal com varânca untára para dferentes valores de méda. 84

99 1 Pdf Lognormal com varânca Meda 1 Meda 2 Meda P(x) x Fgura 5.2 Função densdade de probabldade Lognormal para valores dstntos de méda. 5.3 CÁLCULO DAS ESTATÍSTICAS Sendo ξ uma varável aleatóra com dstrbução de probabldade conhecda, pode-se calcular dretamente a dstrbução de probabldade para uma função f ( X ), caso f seja uma função monotônca, através da sua função nversa (BUCHER, 2009). Fo a- presentado também como encontrar dretamente parâmetros estocástcos de f utlzando a dstrbução de probabldade da varável aleatóra ξ, através de Equações (5.7) à (5.10). Porém, na grande maora dos problemas envolvendo smulação numérca, estes procedmentos analítcos não são váves ou possíves. Neste caso é necessáro o uso de métodos aproxmados. Há duas classes báscas de métodos usados no cálculo das estatístcas da função f ( ξ ), os métodos não-ntrusvos ( Black-box ) e os métodos ntrusvos ( Physcsbased ). Na análse de ncertezas o objetvo central é ter um método geral que possa ser aplcado a sstemas complexos com parâmetros ncertos. Grandes esforços têm sdo a- plcados no desenvolvmento de um método não-ntrusvo para análse de ncerteza, que explora modelos computaconas determnístcos exstentes. Estas abordagens consderam o sstema computaconal como uma caxa-preta ( Black-box ) que retornam o valor da função para um dado vetor de entradas. Neste trabalho serão utlzados dos métodos que satsfazem esta condção, o método de Monte Carlo (MC) e o Método da Colocação Probablístca ( Probablstc Collocaton Method - PCM) (RAMAMURTHY, 2005; WEBSTER). Os problemas aqu tratados, essencalmente envolveram o cálculo apenas de alguns momentos estatístcos sem a necessdade de se encontrar toda a dstrbução de probabldade da função aleatóra. Consdere as Equações (5.7) e (5.9) a déa básca é aproxmar numercamente estas ntegras, através de smulações determnístcas. Ambas as metodologas serão tratadas nas seções subsequentes. 85

100 5.3.1 Método de Monte Carlo O método de Monte Carlo é o mas popular método não-ntrusvo e pode ser utlzado para qualquer problema de propagação de ncerteza (KEANE e NAIR, 2005). Dado uma dstrbução conjunta de probabldade das varáves aleatóras envolvdas, o método de MC pode ser aplcado para o cálculo aproxmado da estatístca da resposta de nteresse, nclundo sua dstrbução, com um nível de erro arbtráro, desde que seja fornecdo um número sufcente de amostras. Esta abordagem é utlzada também para valdar outras técncas, no cálculo das estatístcas. No método de MC as funções f ( ξ ) de nteresse, são calculadas em m pontos ξ (), = 1 m gerados aleatoramente a partr de suas dstrbuções P( ξ ), então as ntegras das Equações (5.7) e (5.9) são aproxmadas, respectvamente, por: m 1 (5.16) f fmc = f( ξ() ) (5.16) m = 1 1 m 1 (5.17) [ ] σ f() ξ = σ ˆ ( ( ) ( ) 2 f σ f = f ξ() ) m fmc m = 1 (5.17) onde m é o número de pontos amostrados, f MC é a aproxmação de MC da méda de f () ξ e ˆ σ f é a aproxmação de MC do desvo padrão de f () ξ. Se f é ntegrável em ξ, então fmc f a medda em que m. O cálculo da varânca pode ser usada para verfcar a aproxmação f através da Equação (5.9), e então pode-se estmar o erro MC dado por σ f m (KEANE e NAIR, 2005 ), o qual ndepende do número de varáves a- leatóras do problema. O maor problema do método de MC é sua baxa taxa de convergênca, já que o seu erro estmado é de ordem O(1 m ). Por exemplo, para melhorar em um décmo a aproxmação, é necessáro uma amostra 100 vezes maor. Porém o método é faclmente paralelzável, pos o cálculo de cada f ( ξ () ) pode ser feto de forma ndependente. No caso das avalações de f ( ξ() ) serem caras computaconalmente, recomenda-se o emprego de modelos substtutos. Pode-se calcular a partr das Equações (5.16) e (5.17) os gradentes da méda e do desvo padrão em relação a varáves quasquer (aleatóras ou determnístcas). Estes gradentes serão requerdos durante o processo de otmzação, e podem ser calculados dervando as Equações (5.16) e (5.17) em relação às varáves de projeto x: (5.18) f ( x, ξ) f 1 m f (, ) = x ξ x x x MC () (5.18) m = 1 86

101 ( ) ( ) 2 2 σ ˆ m f σ f 1 f ( x, ξ() ) f MC (5.19) = 2 f( x, ξ() ) 2m( fmc ) x x m 1 = 1 x x (5.19) 2 dervando ˆ σ ( ˆ f σ f ) 2 (5.20) ( σ ) =, tem-se que 2 ( ˆ σ f ) ˆ σ m f 1 1/2 1 f ( x, ξ() ) f MC = ˆ f = f(, () ) m( fmc ) 2 ˆ σ f ( m 1) x ξ x x = 1 x x (5.20) Um ponto muto mportante, quando se utlza o método de MC para um processo de otmzação teratvo, é usar uma mesma semente ( seed ), para a geração de amostras parentes, para as váras etapas do processo de otmzação. Caso a PDF das varáves aleatóras não dependam das varáves de projeto, as amostras geradas devem ser sempre guas. Caso contráro, as amostras devem sofrer alterações em função do valor da varável de projeto correspondente. Este requsto é fundamental, prncpalmente, para alguns métodos que teratvamente aproxmam gradentes ( f ) ou hessanas ( 2 f ) de uma função f calculada a partr de MC, pos a utlzação de amostras ndependentes (aleatóras) para cada teração gera um erro aleatóro O(1 m ) dfcultando (ou até mpossbltando) a convergênca de tas métodos. Nesse caso são necessáros outros métodos de otmzação que ldam dretamente com as ncertezas, é o caso de métodos de otmzação estocástca como algortmos evoluconáros, métodos de aproxmação estocástca ( stochastc approxmaton methods ), entre outros (ANDRADÓTTIR, 1998; SCHUË- LLER e JENSEN, 2008). Esta dfculdade no uso de amostras ndependentes é ressaltada quando se consdera o cálculo da função f no mesmo ponto em duas terações sucessvas, o que leva a um gradente (ou hessana) ndetermnado, pos a função f terá dos valores (ou gradentes) dstntos para o mesmo ponto, causado pelo uso de amostras dferentes. (a) Exemplo Para lustrar a conseqüênca do uso de amostras aleatóras e a mportânca de se fxar a semente ( seed ), consdere a função f( x, ξ) = ξ ξ, onde x (1 + x x ) 10 3 * ξ ~ N ( 0,1), e pretende-se encontrar x que mnmze a méda da função f ( x, ξ ) em relação à ξ. A méda de f ( x, ξ ) pode ser analtcamente encontrada através das Equações (5.7) e (5.13), obtém-se f ( x ) = x 10, logo x * = 0. Fo realzada uma aproxma- 2 ção da méda da função de nteresse por MC ( fmc ( x )) utlzando uma amostra ξ com 30 pontos, para város valores de x, varando-o de -1 a 1 com ncrementos de Porém duas estratégas dferentes para a construção das amostras foram consderadas: 87

102 mantendo a mesma amostra ξ para todos os pontos de x ( seed fxo) e gerando uma nova amostra aleatóra para cada ponto de x ( seed aleatóro). Na Fgura 5.3 (a) é apresentado o gráfco de f ( x ) (méda de f ( x, ξ ) ) em função de x, calculada por quatro procedmentos dferentes: 1. Cálculo analítco já menconado, 2. Cálcular va PCM com 3 pontos de ntegração, 3. Aproxmar f ( x ) utlzando a mesma amostra para todos os pontos ( seed fxo) MC 4. Aproxma fmc ( x ) utlzando uma amostra dferente para cada ponto de x ( seed aleatóro). Nos tens 3 e 4, o MC fo feto com 30 pontos. Para a função utlzada neste exemplo, o PCM com 3 pontos encontra a resposta exata da méda e do desvo padrão (este método será tratado adante), por sso as curvas da solução analítca e da solução por PCM estão sobrepostas (exato* (PCM)). a) b) Fgura 5.3 Monte Carlo: a) Gráfco da méda de f ( x, ξ ) e b) Gráfco do erro f ( ) ( ) MC x f x. Na Fgura 5.3, nota-se claramente a dfculdade em otmzar a função fmc ( x ) usando MC com amostras aleatóras (MC - seed aleatóro) ndcada em vermelho. Já o MC com o uso da mesma amostra (MC - seed fxo), mesmo apresentando um erro médo consderável, apresenta uma curva tão suave quanto a função f( x, ξ ) para um ξ qualquer. Isto ocorre, pos se fmc ( x) trata da méda das funções f( x ) = f( x, ξ ), = 1..m, onde m é o tamanho da amostra. Assm, a função f ( x ) pode ser otmzada e se encontrar ótmos adequados. Neste caso o ótmo de f ( x ) será x ξ = para qual ξ + 2ξ quer amostra (fxa) de ξ, pos MC MC ˆ* MC 88

103 (5.21) 2 2 x 2 (1 + x x ) fmc ( x) = ξ ξ e 10 3 dfmc dx x 2 1 ( x, ξ ) = (3ξ + 10 ξ) ξ (5.21) 15 3 onde mostra. À medda que a amostra aumenta (melhora) ξ 2 ( ξ ) 2 σ 2 (Equação (5.9)), ξ 2 com sso ξ e ξ tendem, respectvamente, a zero e a um, consequentemente, * * xˆmc x. Para a amostra de 30 pontos utlzada no gráfco, ξ = e * x ˆ = MC 2 ξ e ξ são respectvamente a méda da amostra e a méda dos quadrados da a Técncas de amostragem A geração das amostras pode ser feta de manera totalmente aleatóra (ou pseudoaleatóra), ou utlzando técncas mas efcentes para o plano de amostragem ( Desgn of experments DoE) (GIUNTA et al, 2002) tal como o método LHS ( Latn Hpercube Samplng ) que melhora a dstrbução dos pontos da amostra e conseqüentemente aumenta a convergênca do MC. As amostras com dstrbução Lognormal são geradas a partr de amostras com dstrbução Normal, estas são geradas a partr de amostras com dstrbução Unforme. A geração computaconal desta ultma é feta através de algortmos determnístcos, capazes de gerar recursvamente uma sequênca fnta de números nteros ou de ponto flutuante, com um determnado período, sendo por sso chamados de números pseudo-aleatóros. No presente trabalho as metodologas utlzadas para a geração das amostras serão uma técnca pseudo-aleatóra e o LHS. Na prmera abordagem será consderado o algortmo Mersenne Twster (MT) (MATSUMOTO, 1998) para a geração de amostras com dstrbução unforme, segudo por um algortmo polar para obter as amostras com dstrbução Normal. Ambos os algortmos usados são do ambente MATLAB 7.5 (MATHWORKS, 2007). O LHS é um método utlzado para a geração de uma amostra que cubra mas efcentemente o espaço das varáves aleatóras, para um determnado número de pontos. A sua déa básca é dvdr o ntervalo de cada uma das n dmensões da amostra pelo número de pontos pretenddos N, onde cada subntervalo tem a mesma probabldade de ocorrênca. Os N pontos são dspostos de forma que cada subntervalo de cada uma das n varáves tenha apenas um ponto, para mas detalhes vde (BARÓN, et al, 1999). As amostras LHS são geradas a partr de uma amostra aleatóra com dstrbução normal, a qual é ajustada para que as dstrbuções margnas de cada varável se aproxme da sua dstrbução de probabldade teórca (STEIN, 1987). Quando se faz o cálculo das estatístcas de uma amostra de varáves aleatóras geradas por alguma das técncas menconadas, em geral esses parâmetros não apresentam os mesmos valores orgnas das varáves aleatóras, calculados através das PDF das varáves. Estes parâmetros são desejados, pos, como se pode notar na aproxmação de MC do exemplo anteror, eles estão dretamente lgados à convergênca da aproxma- 89

104 ção. Pode-se ver no exemplo anteror, que quanto mas esses valores se aproxmam de seus valores orgnas, melhor será a aproxmação do MC para esta amostra. Deste modo, como será utlzada a mesma amostra-base, durante todo o processo de otmzação, fo crada uma estratéga para a seleção de uma amostra, escolhda a partr de um conjunto de amostras. A amostra seleconada será a que apresentar as estatístcas mas próxmas da desejada, a partr de uma determnada norma. Para a dstnção das amostras fo proposta uma função que faz uma ponderação do erro (de forma empírca) das estatístcas da amostra. As amostras são geradas consderando uma dstrbução Normal padrão N ( 0,1). Essa equação empírca, que qualfca as amostras, faz a ponderação dos logartmos dos erros quadrátcos dos momentos centras estatístcos das amostras, dando maor peso aos momentos de maor ordem. Esta função é defnda como: (5.22) FErr ln ( μ ) ( σ x ) ( s ) ( κ ) ln ( 1) ln ln 2 = (5.22) FEr r onde μ é a méda da amostra, σ x o seu desvo padrão, s a oblqüdade e κ a curtose. Para uma amostra com dstrbução Normal padrão N ( 0,1) : μ, s e κ devem ser guas a zero, enquanto σ x deve se aproxmar de um. A amostra seleconada é a que apresenta o menor valor de. Este procedmento não pretende escolher a amostra que consegurá a melhor aproxmação por MC do parâmetro de nteresse, apenas se quer evtar que ocasonalmente se utlze uma amostra defcente que empobreça a aproxmação. Vale salentar que o mesmo fo crado de manera ntutva e adaptado em função de expermentos numércos realzados. Outras duas funções teste, para se dferencar as amostras, foram aplcadas: o teste de Kolmogorov-Smrnov e o teste de Anderson-Darlng, (NIST/SEMATECH, 2009). Elas testam o quanto a CDF de uma dada amostra se aproxma da CDF de uma dada dstrbução. Os resultados de propagação de ncerteza obtdos com amostras LHS seleconadas por estes crtéros não apresentaram grande avanço em comparação com as amostras LHS orgnas (sto é, sem crtéro de seleção), para o exemplo consderado (especfcado a segur). (a) Exemplo - MC por dferentes amostragens Para exemplfcar o uso da amostra seleconada, consdere a função f ( XY, ) = senxcosy ( ) ( ), onde X e Y são varáves aleatóras N ( 1, 0.1). Fo realzada uma aproxmação da méda f MC e do desvo padrão ˆ σ f de f ( XY, ) por MC, utlzando três técncas de amostragem dferentes: totalmente aleatóra, LHS padrão e LHS seleconada, para este últmo, foram analsados conjuntos de cnco ml amostras. Varou-se o tamanho da amostra de 64 até para cada tpo de amostra. Este procedmento fo repetdo 50 vezes, pos seus resultados são aleatóros, então fo calculado o erro médo no cálculo de f de cada tpo de amostra. MC 90

105 No caso das amostras LHS seleconadas, para cada uma das 50 repetções fetas, um conjunto dferente de cnco ml amostras fo analsado, consequentemente 50 amostras seleconadas dferentes foram obtdas (totalzando amostras analsadas e 50 seleconadas), para cada tamanho de amostra dferente. Na Fgura 5.4 é apresentado o gráfco da do erro médo de f MC, para os dferentes tamanhos de amostras (de 64 até 16384) pelos três tpos de amostragem. O erro fo meddo em relação à méda exata f calculada smbolcamente pelo do MATLAB, através das Equações (5.7), (5.8) e (5.13). a) b) Fgura 5.4 Erro médo na aproxmação por MC utlzando três técncas de amostragem dferentes: totalmente aleatóra, LHS padrão e LHS seleconada: a) Erro da méda e b) Erro do desvo padrão. Como se pode observar na Fgura 5.4 (a) a amostra LHS Seleconada apresentou melhor resultado no cálculo da méda para tamanhos de amostras menores, porém à medda que o número de pontos aumenta a dferença entre as amostras LHS dmnu, sendo necessáro um conjunto maor de amostras para extrar uma que se sobressaa sgnfcatvamente. Os resultados da LHS Seleconada chega a apresentar um erro médo maor que o LHS smples para amostras maores. Já para o cálculo do desvo padrão os resultados não foram mutos dferentes, quando se compara o LHS com o LHS Seleconado. No gráfco nota-se também, a convergênca mas acentuada do LHS em relação à amostra totalmente aleatóra*, para o cálculo da méda e do desvo padrão. Para este caso smples o custo computaconal do LHS Seleconado não justfcara o seu uso, pos o tempo de CPU pra se gerar uma amostra LHS é maor que a propa avalação da função f ( XY, ). Porém, para problemas em que o custo computaconal, de se gerar e avalar uma amostra LHS, é rrelevante em comparação ao custo do cálculo da função de nteresse, o processo de seleção amostral mostrou-se adequado para os casos aqu consderados (seção 5.4.2). Assm sendo, nos exemplo analítcos posterores serão usadas amostras LHS padrão, enquanto que nos exemplos prátcos o processo de seleção amostral será empregado. 91

106 5.3.3 Método da Colocação Probablístca (PCM) Métodos tradconas como o MC, mesmo com técncas de amostragem que melhoram sua efcênca, são nváves para serem aplcadas dretamente em modelos complexos de alta fdeldade. O Método da Colocação Probablístca ( Probablstc Collocaton Method - PCM) (RAMAMURTHY, 2005) é uma ferramenta desenvolvda vsando uma análse de ncerteza efcente em modelos complexos e computaconalmente custosos. A déa básca do PCM é aproxmar a resposta do modelo em função das varáves aleatóras, por funções polnomas, e estmar as ntegras das Equações (5.7) e (5.9) por Quadratura de Gauss (STOER e BULIRSCH, 1991). Em partcular, um PCM de grau n- 1, aproxma a resposta do modelo por uma função polnomal de grau 2n-1, através de n pontos calculados, obtendo de forma exata as estatístcas de funções polnomas de grau menor ou gual a 2n-1. Este método é ndcado prncpalmente para problemas onde as funções de nteresse são suaves, pos as aproxmações polnomas podem apresentar dfculdades para funções osclatóras ou com sngulardades. Além dsso, o número de varáves aleatóras consderáves deve ser pequeno, pos o número de pontos necessáros, para a aproxmação de um mesmo grau, aumenta exponencalmente com o número de varáves aleatóras. Esta dfculdade pode ser superada utlzando técncas de ntegração por grades esparsas ( sparse grds) (HEISS e WINSCHEL, 2008). O PCM se basea nos concetos de Quadratura de Gauss e de polnômos ortonormas. A déa básca do método é aproxmar a função de nteresse por funções polnomas e calcular as ntegras (5.7) e (5.9) por quadratura de Gauss. Então, antes de explanar sobre os pormenores da estrutura do PCM, é necessáro apresentar os assuntos supractados. (a) Polnômos ortogonas Polnômos são dtos ortogonas entre s com relação a um produto nterno relaconado a um espaço, se este for nulo. Todo produto nterno em um dado espaço F, de funções reas f, g e h pertencentes a F, deve satsfazer as seguntes condções (APOS- TOL, 1967): (5.23) f, g+ h = f, g + f, h α f, g = α f, g = f, αg, onde α é um escalar f, g = g, f f, f > 0, se f 0 (5.23) Dado um espaço lnear de funções reas F e consderando duas funções polnom- f( x), g( x) F, o produto nterno aqu tratado é defndo como: as 92

107 (5.24) f ( x) g( x) f ( x) g( x), = P( x) dx (5.24) F onde P(x) é uma função de ponderação não negatva defnda no espaço F. Este produto nterno forma a base da ntegração por Quadratura de Gauss e para o PCM. Como já menconado, as funções polnomas f ( x), g( x) F são ortogonas se seu produto nterno for nulo. Um conjunto de polnômos h ( x) pertencentes ao espaço polnomal H, pode ser defndo como: (5.25) 2 ( ) =,0 +,1 +,2... +, =, j j (5.25) j= 0 h x a a x a x a x a x Estes polnômos serão ortonormas em relação a uma função de ponderação P(x), se a segunte relação exste para todos h ( x), =0,1..n, onde o índce de h ndca o grau do polnômo: (5.26) h( x), h ( x) j 1, para = j = (5.26) 0, para j Através destas relações são encontrados os coefcentes que defnem os polnômos ortonormas. Estes polnômos são úncos para cada função de ponderação dada, e formam uma base para H. Todas as raízes x * j, j = 1.. de um polnômo h ( x), estão * * contdas no espaço real, ou seja, h( x j) = 0, xj F, j = 1.., e dependem apenas da função de ponderação P(x). As raízes d e h ( x ) formam os pontos de colocação da quadratura de Gauss. Para mas detalhes consulte (GAUTSCHI, 2005). h0 ( x ) ( ) Note que é uma constante, h0 x = a 0,0, consequentemente propredades mportantes, a partr da Equação (5.26), podem ser obtdas, as quas serão usadas adante. a, j (5.27) 0 ( ) ( ) ( ) h x, h x = 0, h x P( x) dx= 0, >0 ( ) ( ) h x, h x = 1, a P( x) dx= ,0 F F (5.27) (b) Quadratura de Gauss Na ntegração numérca va quadratura de Gauss para ntegras da segunte forma: 93

108 (5.28) f ( xpxdx ) ( ) (5.28) F Aproxma-se a função f ( x ), por um polnômo de grau 2n-1, a partr da base ortonormal do espaço H, em relação à função de ponderação Px ( ), onde n é o número de pontos de ntegração, tal como segue (5.29) n 1 n 1 ( ) ˆ f x f( x) = bh ( x) + hn( x) ch ( x) = 0 = 0 (5.29) Na ntegral da Equação (5.28) aproxmada por quadratura de Gauss, o segundo termo da aproxmação se cancela (por ortogonaldade) e lembrando as propredades (5.27) os termos para = 1.. n 1 do prmero somatóro da aproxmação também é cancelado. A ntegral desejada (5.28), aproxmada por quadratura de Gauss, pode ser expressa então da segunte forma: f x P x dx b F 0h0 P x dx (5.30) F (5.30) ( ) ( ) ( ) Para encontrar os coefcentes b e c da aproxmação (Equação (5.29)), sera necessáro o cálculo da função f ( x ) em 2n pontos. Porém, como a ntegral não depende dos * coefcentes c, pode-se calcular a função f ( x ) nas n raízes x de hn ( x ), cancelando assm o segundo termo da aproxmação apresentada na Equação (5.29), pos * hn( x ) = 0, = 1.. n. Os coefcentes a, j que defnem os polnômos ortonormas são calculados através das relações (5.26), como já menconado. Desta forma, os coefcentes b são encontrados resolvendo o sstema: (5.31) f ( x ) h h ( x ) b (5.31) * * n n * * = j j = j= 0 * * f( xn) h0 hn 1( xn) b n 1 f( x ) b h ( x ) ; ou Defnndo-se a matrz h * j( x) nversa, como (5.32) * h0 hn 1( x1) Ap = * h0 hn 1( xn) 1 (5.32) os coefcentes b 0 podem ser calculados como: 94

109 * b0 f( x1) n * * (5.33) b = Ap f( x), logo b0 = Ap1, f( x ) (5.33) * = 1 b n 1 f( xn) Para o cálculo da ntegral, basta conhecer a prmera lnha da matrz Ap e ponderar as respostas da função nos pontos de ntegração (raízes de ), então, o vetor dos pesos P é defndo como P = Ap. Defnndo-se 1, h n (5.34) C0 = h0 P( x) dx F (5.34) o valor da ntegral (5.30) é aproxmado por bc 0 0. Os passos para a determnação dos parâmetros necessáros a aplcação da metodologa são: 1. A partr de uma função de ponderação qualquer Px ( ) (não negatva), encontra-se os polnômos h ( x ), =1..n (cujos coefcentes a, j são obtdos utlzando (5.26)). 2. Calcula-se as raízes 3. Calcula-se a matrz Ap. x de h ( x ). * 4. Computa-se o vetor de ponderação P, onde P = Ap1,. n 5. Calcula-se o valor da ntegral utlzada na Equação (5.30) e defn-se uma constante C 0 Equação (5.34). Restando apenas avalar a resposta calcular o valor desejado: f x em cada ponto de ntegração, para então * ( ) (5.35) F n * ( ) ( ) 0 ( ) = 1 f xpxdx C Pf x (5.35) Vale ressaltar que não é necessáro calcular estes parâmetros para as funções de dstrbução conhecdas, pos estes valores são conhecdos e podem ser encontrados na lteratura, bem como em bblotecas computaconas da maora dos programas. (c) Aplcando Quadratura de Gauss à estatístca - PCM A avalação das estatístcas defndas nas Equações (5.7) e (5.9) consderando o PCM ( Probablstc Collocaton Method ) é uma aplcação dreta da quadratura de Gauss consderando o espaço das varáves aleatóras ξ e sua PDF como função de 95

110 ponderação. Portanto tem-se que P () ξ d ξ = 1e pela segunda propredade em (5.27) F h 0 = 1, consequentemente a constante C 0 = 1 (defnda pela Equação (5.34)). Com sso o valor da ntegral (5.30) é aproxmado apenas por b 0. Os polnômos ortonormas são defndos para cada PDF. A méda e o desvo padrão de uma resposta de nteresse serão aproxmados pelo PCM da segunte forma: (5.36) f n * PC = Pf ξ() = 1 ( ) n 2 * 2 2 PC = Pf ξ() fpc = 1 ˆ σ ( ) (5.36) * onde ξ, 1.. () = n são as raízes do polnômo ortonormal. Pode-se calcular a partr da Equação (5.36) os gradentes da méda e do desvo padrão em relação a varáves quasquer, aleatóras ou determnístcas, da mesma forma como fo feto para o MC, dervando a Equação (5.36) em relação às varáves de projeto x (5.37) m f ( x, ξ) f f ( x, ξ() ) PC = P x x x = 1 (5.37) (5.38) 2 2 ( σ f ) ( σpc) ˆ m f ( x, ξ() ) = 2 Pf ( x, ξ() ) 2f x x = 1 x PC f x PC (5.38) 2 dervando ˆ σ ( ˆ PC σpc ) =, tem-se que PC 2 (5.39) ( ˆ σ ) 2 ( σ PC ) 1/2 m ˆ σ 1 ˆ 1 f ( x, ξ() ) f PC = PC = f(, () ) fpc 2 ˆ x ξ x x σ PC = 1 x x (5.39) Uma dfculdade da ntegração por Quadratura de Gauss e que também padece o PCM é a chamada maldção dmensonal ( dmensonal curse ), pos o número de pontos de ntegração (para um mesmo grau de aproxmação) cresce exponencalmente com o número de dmensões do problema. Ou seja, no caso do PCM, o número de varáves aleatóras a ser consderada não deve ser elevado. Por exemplo, para um problema de 10 varáves aleatóras, caso seja utlzado o PCM com 3 pontos de colocação para todas as varáves (aproxmação de 5º grau), serão necessáros (3 10 ) cálculos da função de nteresse. 96

111 Para problemas com mutas varáves aleatóras pode-se utlzar técncas de grades esparsas ( sparse grds ) baseadas nas regras de Smolyak (1963) para ntegração multvarável, dmnundo consderavelmente o número de pontos de colocação, para mas detalhes vde (HEISS e WINSCHEL, 2008). * Será mostrado aqu, como encontrar cada valor ξ, 1.. () = n, raízes do polnômo h ( ) n ξ e os coefcentes de ponderação P, porém estes valores apenas devem ser calculados uma únca vez para cada dstrbução e seus valores devem ser armazenados para serem usados em problemas dversos. No nosso caso, será tratada apenas a dstrbução normal padrão N ( 0,1), pos os mesmos valores podem ser aplcados a uma dstrbução normal com parâmetros dferentes, bem como a uma dstrbução Lognormal, através de uma transformação de varáves. Os polnômos ortogonas para uma dstrbução gaussana são conhecdos como polnômos Hermtanos. Como exemplo, será calculado os coefcentes ak,, k = 0.. dos polnômos ortonormas h ( ξ ), = 0..n, os quas foram defndos na Equação (5.25), usando como função de ponderação a PDF Normal padrão (Equação (5.13)). Isso será feto até ser encontrado o polnômo ortonormal do prmero grau, ou seja, = 0,1, através das relações descrtas na Equação (5.26) e sabendo que para uma dstrbução 2 normal padrão ξp( ξ) dξ = 0, ξ P( ξ) dξ =1 e ξ, obtém-se: (5.40) logo, h ( ξ), h ( ξ) = ,0 a P( ξ) dξ = 1 a 0,0 = 1. E para (5.40) h ( ξ), h( ξ) = (5.41) ( 0,0 )( 1,0 1,1 ) 1,0 1,1 logo, a a + a ξ P( ξ) dξ = 0 a P( ξ) dξ + a ξp( ξ) dξ = 0 a 1,0 = 0. E anda, para (5.41) h( ξ), h( ξ) = (5.42) ( a1,0 + a1,1ξ)( a1,0 + a1,1ξ) P( ξ) dξ = ,0 1,1 1,0 1,1 2 a P( ξ) dξ + 2 a a ξp( ξ) dξ + a ξ P( ξ) dξ = 1 logo, a 1,1 = 1. (5.42) 97

112 Portanto, os dos prmeros polnômos ortonormas são: h 0 ( ξ ) = 1 e h 1 ( ξ) = ξ. Para se encontrar um polnômo de grau j, a partr dos polnômos de menor grau já calculados (de 0 à j-1), resolve-se um sstema de j+1 equações não lneares defndos na Equação (5.26), onde = 0...j. Assm o segunte sstema é resolvdo: j k k 0, j (5.43) h( ξ), hj( ξ) = a, kξ aj, kξ P( ξ) dξ= (5.43) k= 0 k= 0 1, = j para = 0 j. Onde todos os coefcentes a k, dos polnômos h ( ξ ), para = 0 j 1, já são conhecdo. O sstema é resolvdo consderando os coefcentes do polnômo h ( ξ ), como ncógntas, onde j varando o j até atngr o polnômo de grau n ( a jk, k = 0 j. Esse procedmento é repetdo recursvamente h ( ) n ξ ) desejado. Depos de encontrados os n polnômos ortonormas, contnua-se analogamente os mesmos passos de 1 a 5 utlzados na quadratura de Gauss, Item (b).,.e: 1. Calcula-se as n raízes ξ * j, j = 1.. n de hn ( ξ ), 2. Cra-se a matrz de cada ξ * j, j = 1.. n. h ξ avalando os polnômos h( ξ ), = 0 n 1 em * ( j ) 3. Calcula-se sua nversa: Ap 4. Extraí-se da 1ª lnha de Ap os pesos P = Ap1,. Os valores de P j e ξ * j, j = 1.. n são armazenados e utlzados para obter as estatístcas de qualquer função em estudo, a partr da Equação (5.36). Para poder aplcar os valores de ξ *, obtdos para uma dstrbução normal padrão N (0,1), a uma dstrbução normal com parâmetros dferentes N ( μ, σ ), basta realzar um smples transformação (WEBSTER et al, 1996). * (5.44) ξ ' = ξσ+ μ (5.44) onde ξ ' será o vetor das raízes do polnômo ortonormal com relação à uma dstrbução normal N ( μ, σ ). Os pesos P são os mesmos para este caso, bem como para o caso de uma dstrbução lognormal. Através de uma transformação de varáves nversa à ctada na Equação (5.14), se obtém as raízes ξ ' do polnômo ortonormal para uma dstrbução lognormal. Esta log transformação é realzada da segunte forma: * (5.45) ξ ' log = exp( ξθ+ η) (5.45) 98

113 onde (5.46) η = ln 2 μ 2 2 μ + σ e 2 σ θ = ln μ (5.46) (d) Implementação Computaconal a, j b Para o desenvolvmento da metodologa, fo mplementado no MATLAB uma função para o cálculo dos coefcentes de cada polnômo ortonormal. Esta função smbolcamente calcula as ntegras de ξ P ( ξ) dξ para = 0...2n 1, onde a função de a ponderação P( ξ ), os lmtes [a,b] onde ela é defnda e o valor de n são dados de entrada. A partr dos valores das ntegras obtdos, cra-se um sstema de equações não lneares, apresentado na Equação (5.43), o qual também é resolvdo smbolcamente, para se obter os coefcentes de cada polnômo ortonormal. a, j Como exemplo da aplcação da metodologa ctada, os coefcentes que formam os dez prmeros polnômos ortonormas (até o polnômo de nono grau), obtdos para uma dstrbução Normal padrão com lmtes [a,b]=[-, ], estão ndcados abaxo: a, j= [ 1] [ 0, 1] [ -1, 0, 1]/2*2^(1/2) [ 0, -3, 0, 1]/6*6^(1/2) [ 3, 0, -6, 0, 1]/12*6^(1/2) [ 0, 15, 0, -10, 0, 1]/60*30^(1/2) [ -15, 0, 45, 0, -15, 0, 1]/60*5^(1/2) [ 0,-105, 0, 105, 0, -21, 0, 1]/420*35^(1/2) [ 105, 0,-420, 0, 210, 0, -28, 0, 1]/1680*70^(1/2) [ 0, 945, 0,-1260, 0, 378, 0, -36, 0, 1]/5040*70^(1/2) para = 0 n, e j = 0. Estes polnômos ortonormas estão de acordo com os polnômos ortogonas encontrados na lteratuda (WEBSTER et al, 1996), após normalzação. Depos de encontrado os polnômos ortonormas, pode-se encontrar os pontos de colocação calculando suas raízes através da função roots do própro MATLAB (MATHWORKS, 2007). Para o polnômo ortonormal de nona ordem ( h 9 ( ξ )), encontra-se: ξ * = 0 99

114 Os resultados acma obtdos estão em concordânca com os apresentados na referênca (GREENWOOD e MILLER, 1948), onde são obtdas as raízes de polnômos ortogonas Hermtanos, sendo necessáro a multplcação pela raz de 2, para se obter as raízes dos polnômos ortonormas em relação à função de peso Gaussana utlzada. Estes nove pontos de colocação são utlzados para uma aproxmação de 17ª ordem. Como já fo menconado, a partr destes pontos, cra-se a matrz de * ( j ) h ξ avalando os polnômos h ( ξ ), = 0 n 1 em cada ξ * j, j = 1.. n. Só restando então calcular Ap, nvertendo a matrz crada, e extrar da 1ª lnha os pesos P, onde P = Ap 1,. Os pesos obtdos para os nove pontos de colocação foram: P= e e e e e e Os resultados acma obtdos estão em concordânca com os apresentados na referênca (GREENWOOD e MILLER, 1948), onde são obtdas os coefcentes de ponderação para os polnômos ortogonas Hermtanos, sendo necessáro dvdí-los por π, para se obter os coefcentes de ponderação dos polnômos ortonormas em relação à função de peso Gaussana utlzada. Vale notar que a partr da matrz Ap pode-se encontrar os coefcentes da aproxmação polnomal para posteror verfcação, como será feto mas adante. Os valores de * P e ξ são armazenados e utlzados para obter as estatístcas da função em estudo a partr da Equação (5.36). 100

115 5.3.4 Exemplos (a) Verfcação - PCM Além da verfcação, já efetuada no tem anteror, relaconada com a obtenção dos parâmetros do método: pontos de colocação e coefcentes de ponderação, a verfcação geral da metodologa rá ser feta aqu, através do cálculo da méda e do desvo padrão para uma função polnomal de grau 8 P N = de uma varável aleatóra ξ N(0,1), para este caso o PCM deve obter uma solução exata para um determnado número de pontos. A função polnomal que será utlzada é: (5.47) NP 1 1 f( ξ) = ( ξ ( 1) ), ou f( ξ) = ( ξ + 1)( ξ 2)( ξ + 3 )...( ξ 8 C C = 1 ( N ) NP onde, C =! ( 1) = 1( 2)3...7( 8) P = 1 ) (5.47) Vale salentar que para o cálculo exato da méda de um polnômo de 8º grau, são necessáros 5 pontos de colocação, pos 2n-1 = 9. Já para o cálculo do desvo padrão, a 2 função aproxmada pelo PCM é a f ( ξ ), o que leva a um polnômo de 16º grau, sendo necessáros 9 pontos de colocação (2n-1 = 17) para a convergênca do PCM. A Tabela 5.1 lustra o erro no cálculo da méda e no desvo padrão pelo PCM, para aproxmações que utlzam de 3 até 9 pontos, onde nota-se a convergênca esperada do método. Tabela 5.1 Aproxmação da méda e do desvo padrão va PCM de uma função polnomal de otavo grau. PCM n 2n-1 Erro na méda Erro no desvo padrão

116 Como comparatvo, a Tabela 5.2 lustra a aproxmação do mesmo caso por MC utlzando amostras do LHS, onde se percebe a grande vantagem do PCM para este tpo de caso. Tabela 5.2 Aproxmação da méda e do desvo padrão va. MC Nº pontos Erro da méda Erro do desvo padrão A Fgura 5.5 sumarza os resultados obtdos pelos dos métodos o MC utlzando amostras LHS e o PCM, onde o erro mínmo fo fxado em Percebe-se a grande vantagem do PCM para este caso. Fgura 5.5 Teste de convergênca dos métodos MC e PCM, para um caso polnomal. (erro mínmo fxado em ). 102

117 (b) Exemplo - Função Peródca Neste exemplo será comparado o PCM com o LHS-MC consderando-se novamente a função f ( XY, ) = senxcosy ( ) ( ), onde X e Y N ( 1, σ ) são varáves aleatóras ndependentes. Para este exemplo o valor do desvo padrão σ será varado para que se tenham dferentes regões de abrangênca (regões onde há probabldade de ocorrênca sgnfcante) das varáves aleatóras. O MC fo testado com amostra LHS de pontos, enquanto que para o PCM utlzou-se 7 pontos de colocação para cada varável, totalzando 49 pontos de colocação analsados. Assm um estudo paramétrco sobre o desvo padrão σ das varáves aleatóras fo conduzdo, varando-o de 0.2 até 2.6. A Fgura 5.6 mostra para cada valor de σ, no ntervalo (de 0.2 até 2.6), o valor das estatístcas da função, méda (Fgura 5.6(a)) e desvo padrão (Fgura 5.6(b)), bem como os erros de cada método no cálculo da méda (Fgura 5.6(c)) e no cálculo do desvo padrão (Fgura 5.6(d)). (a) méda (b) desvo padrão (c) erro da méda (d) erro no desvo padrão Fgura 5.6 Estudo paramétrco da função f ( XY, ) varando σ das varáves aleatóras: (a) méda, (b) desvo padrão, erros de cada método no cálculo (c) da méda e (d) do desvo padrão. 103

118 Note que, quanto menor o desvo padrão das varáves aleatóras, mas smples será sua regão de nfluênca na função f ( XY, ) (menos osclações,.e. pcos e vales). Como pode-se observar o PCM com 49 pontos se mostrou melhor para valores menores de σ (menor regão de abrangênca), para todos as aproxmações da méda e do desvo padrão. Já o MC apresentou um desempenho quase constante, não apresentando grande varação na ordem de grandeza do erro com o aumento do desvo padrão. Vale frsar que com os parâmetros utlzados neste exemplo, a solução va o PCM é três ordens de grandeza mas rápdo que o LHS-MC, devdo a dferença no número de pontos em que a função é avalada por cada método (49 pontos o PCM e 50x10³ pontos o MC). Na Fgura 5.7 é apresentada a superfíce da função f ( XY, ), os pontos de colocação do PCM e os pontos de ntegração do MC, para o valor ncal de σ = 0.2, o que da uma déa da regão de abrangênca ncal. Os resultados deste caso correspondem aos ndcados pelos nícos das curvas apresentadas na Fgura 5.6. Fgura 5.7 Superfíce da função f ( XY, ), pontos de colocação do PCM, e amostra do MC para o valor ncal de σ = 0.2. Na Fgura 5.8 é apresentada a superfíce da função f ( XY, ) e os pontos de colocação do PCM, para o valor de σ = 1.6, o que já sera um valor elevado de desvo padrão, porém como pode-se ver nas Fgura 5.6 (c) e (d), através dos pontos crculados no gráfco, o PCM com 49 pontos anda apresenta um resultado melhor que o MC com pontos, tanto para a méda quanto para o desvo padrão, este ultmo com pequena dferença. Só a partr deste ponto, com o aumento do desvo padrão da varável aleatóra ( σ > 1.6 ), o MC com amostra LHS de pontos começa a apresentar resultados melhores que o PCM no cálculo de desvo padrão da função. Para o cálculo da méda o PCM obteve erros menores para todo o ntervalo do σ analsado. 104

119 (a) (b) Fgura 5.8 Valores de σ = 1.6 (ou183 ): (a) Pontos de colocação do PCM e (b) Pontos de ntegração do MC. À medda que se aumenta o valor de σ, aparecem regões de mínmos e máxmos e um comportamento multmodal é verfcado para a função f ( XY, ). Quando o número de regões de mínmos e máxmos torna-se elevado para um mesmo número de pontos de colocação, a aproxmação do PCM apresenta dfculdades. Uma alternatva sera usar métodos que utlzam aproxmações dscretas, dvdndo o domíno das varáves aleatóras, como o Mult-Element Probablstc Collocaton Method (ME-PCM) (FOO, WAN e KARNIADAKIS, 2008). 105