ESTUDO DO COMPORTAMENTO MECÂNICO DO CONCRETO COM DIFERENTES MODELAGENS DA ZONA DE TRANSIÇÃO EM ELEMENTOS FINITOS NA ESCALA MESOSCÓPICA

Transcrição

1 ETUDO DO COMPORTAMENTO MECÂNICO DO CONCRETO COM DIFERENTE MODELAGEN DA ZONA DE TRANIÇÃO EM ELEMENTO FINITO NA ECALA MEOCÓPICA Wanessa Mesquta Godo Quaresma Programa de Pós-Graduação em Geotecna, Estruturas e Construção Cvl Unversdade Federal de Goás Avenda Unverstára, 1488, Qd. 86, Lt. Área, etor Leste Unverstáro, , Goás, Goâna, Brasl José Julo de Cerquera Ptuba julo_ptuba@ufg.br Laboratóro de Mecânca Computaconal, Unversdade Federal de Goás Regonal Catalão Av Dr Lamartne Pnto de Avelar, 1120, , Catalão, Goás, Brasl Resumo. Este trabalho trata do estudo do comportamento mecânco do concreto utlzando uma proposta de modelagem numérca bdmensonal em escala mesoscópca. O materal é consderado como composto por três fases consstndo de zona de nterface, matrz e nclusões. Uma das abordagens permte que a zona de nterface seja modelada por meo de elementos fntos coesvos de contato, onde um modelo de fratura e contato recentemente proposto é ncorporado ao elemento. Por outro lado, a zona de transção pode ser modelada por elementos fntos trangulares onde o modelo de Mohr-Coulomb com característcas de menor resstênca em relação à argamassa, é utlzado. A nclusão é consderada um materal elástco lnear e a matrz é um materal elastoplástco obedecendo ao modelo de Mohr- Coulomb. Objetva-se avalar as potencaldades e lmtações de uma proposta de modelagem do comportamento mecânco de materas heterogêneos, como o concreto. Pretende-se, portanto, obter respostas macroscópcas complexas do comportamento mecânco do concreto utlzando modelos consttutvos smples, em formulação e quantdade de parâmetros, empregados na mesoescala segundo uma modelagem baseada em técnca de homogenezação

2 Estudo do comportamento mecânco do concreto com dferentes modelagens da zona de transção... usando um procedmento em elementos fntos dentro de uma teora Multescala. Os resultados encontrados demonstram que as modelagens propostas apresentam resultados promssores para o emprego numa modelagem multescala. Palavras-chave: Modelos Multescala, Concreto, Fratura Coesva, Zona de Transção Interfacal, Plastcdade. 1 INTRODUÇÃO O comportamento mecânco dos materas compóstos é de grande mportânca no projeto de componentes estruturas de váras áreas de aplcação. Baseado nsso, o estudo da resposta consttutva de um corpo submetdo a uma determnada carga, ou estado de exctação, confgura uma mportante ferramenta para a cênca dos materas, podendo melhorar as propredades macroscópcas por meo de mudanças de forma e/ou tpologa em nível mcro estrutural. Os modelos desenvolvdos em multescala são atratvos por terem grande potencal de desenvolvmento e utlzação. Alados aos modelos Multescala, modelos consttutvos baseados em teoras como Mecânca da Fratura, Mecânca do Contato, Mecânca do Dano e Teora da Plastcdade são atualmente utlzados para a modelagem do comportamento mcromecânco de materas heterogêneos. Mas especfcamente, no caso do concreto, os processos de plastfcação da matrz e de propagação de mcrofssuras, prncpalmente na Zona de Transção, são mportantes fenômenos a serem modelados. Portanto, este trabalho pretende utlzar as ferramentas supractadas no âmbto de uma formulação do Método dos Elementos Fntos para contrbur no estudo do comportamento mecânco do concreto. Para tanto, pode-se ctar a utlzação da formulação multescala desenvolvda em Ptuba et al. (2016), Fernandes et al. (2015), além do elemento fnto de fratura coesva e les de fratura e contato assocadas. Vale anda destacar os trabalhos de Borges (2015), Olver et al. (2015), Blanco et al. (2014), Olver et al. (2014), Km e Al Rub (2011), Nguyen et al. (2011) e Nguyen et al. (2010), entre outros. 2 MODELAGEM PROPOTA Para smular o comportamento mecânco do concreto, uma modelagem em sua mesoestrutura é realzada consderando o comportamento mecânco de cada materal consttunte e suas nterações. O estudo da mesoescala é realzado através da defnção de um EVR e seu domíno é dscretzado através do Método dos Elementos Fntos (MEF). A zona de nterface em uma das abordagens é modelada por meo de elementos fntos coesvos de contato, onde um modelo de fratura e contato recentemente proposto é ncorporado ao elemento. Por outro lado, a zona de transção pode ser modelada por elementos fntos trangulares onde o modelo de Mohr-Coulomb com característcas de menor resstênca em relação à argamassa, é utlzado. A nclusão é consderada um materal elástco lnear e a matrz é um materal elastoplástco obedecendo ao modelo de Mohr-Coulomb. Na Fgura 1 observa-se o EVR de tamanho 100 mm x 100 mm. Em todos os EVRs, manteve-se os raos dos agregados graúdos, médo e fnos com 10 mm, 5 mm e 2,5 mm, respectvamente.

3 W.M.G. Quaresma, J. J. C. Ptuba. Fgura 1. Elemento de Volume Representatvo. 2.1 Formulação do modelo mesoescala O EVR é descrto como contnuo de modo que o conceto de tensão permaneça váldo na mcroescala. Consderando um tensor de deformação ε x, t, bem como σ x, t tensor de tensão em um ponto x da macroestrutura, são obtdos como a méda volumétrca sobre o y, t σ y, t através de um EVR assocado a respectvo campo mcroscópco ε ou ε σ x, sendo y um ponto da mcroestrutura, sto em um nstante t arbtráro, temos então: 1 ε x dv. (1) (, ε V 1 σ x dv. (2) (, σ V As Equações (1) e (2) apresentam a deformação macroscópca ou homogenezada e a tensão macroscópca ou homogenezada, processo resultante da transformação de uma quantdade mcroscópca em uma quantdade macroscópca por meo de um processo de homogenezação, além dsso, os campos podem ser escrtos em relação à tensão mcroscópca a segur na Eq. (3): σ f ( ε ). (3) y endo f y o funconal consttutvo, defndo neste trabalho pelo modelo de Mohr- Coulomb, assm, a deformação mcroscópca ε pode ser escrta em termos de campo de deslocamento mcroscópco u do EVR conforme a Eq. (4): ε. (4) u Onde o é o operador gradente smétrco do campo de deslocamento u. Já o campo de deslocamento mcroscópco u, sem perda de generaldade, é composto pelas seguntes contrbuções, mostrada na Eq. (5): u u( x, u u~. (5)

4 Estudo do comportamento mecânco do concreto com dferentes modelagens da zona de transção... endo um deslocamento constante de corpo rígdo concdente com o deslocamento macroscópco u ( x, assocado ao ponto x, um campo de deformação macroscópca ε : u ( y, : ε( x, y. (6) Que vara lnearmente com a coordenada y, e num campo de flutuação de deslocamento u ~ t ). Reescrevendo de forma smplfcada a relação acma detalhada: u ε( x, y u~. (7) Na Equação (7) a parte ε ( x, y vara lnearmente em y e sto resulta na multplcação macroscópca de deformação ε do EVR, que é constante para as coordenadas do ponto y. No caso de deslocamento mcroscópco unforme ε, o deslocamento de flutuação u ~, é nulo, também no EVR são satsfetas as seguntes relações para deformação mcroscópca ε e deformação mcroscópca de flutuação ε~ : ε u. (8) ~ ε u~ t ). (9) Consderando a Eq. (7) e as relações acma, de forma análoga, a deformação mcroscópca pode ser escrta da segunte forma: ε ε( x, ~ ε. (10) Após algumas manpulações (Fernandes et al., 2015), pode-se reescrever a Eq. (10) em forma de velocdade, onde uma velocdade de deformação mcroscópca é dta cnematcamente admssível se: ε ~ u~. (11) u ε( x, ε A mcroescala é representada pelo EVR e a formulação do MEF é a ferramenta que resolve o problema de equlíbro do mesmo. As varáves do EVR, como por exemplo, dmensões e constantes elástcas, são dstntas do materal no macrocontínuo e essas característcas são defndas para um EVR padrão e ele será extrapolado para todos os EVRs da estrutura. Assm, a solução de um EVR, ou seja, o cálculo dos deslocamentos, das forças nternas, das tensões verdaderas e da matrz consttutva atualzada dos seus elementos fntos é obtda quando se alcança a convergênca, de acordo com a tolerânca adotada, do seu problema de equlíbro proposto. No entanto, para resolver esse problema de equlíbro, necessta-se defnr as condções de contorno a ser mpostas no EVR. Assm, a resposta obtda pode varar em função da condção de contorno adotada. Desta forma, com objetvo de estruturar e organzar melhor a apresentação da formulação segundo uma abordagem multescala para este trabalho, consderam-se cnco etapas: Equação de equlíbro no EVR; Prncípo de Hll-Mandel; Homogenezação das tensões; Condções de contorno mpostas no EVR; Módulo consttutvo tangente homogenezado. Por motvos de smplfcação será consderado o domíno das nclusões e o da matrz m como um só domíno dos sóldos. Assumndo que as forças de nérca são desprezíves e que o EVR é submetdo a um campo de força de corpo b b e a um

5 W.M.G. Quaresma, J. J. C. Ptuba. e e campo de forças de superfíce t t atuando em todo o contorno, o prncípo dos trabalhos vrtuas estabelece que o EVR está em equlíbro, se somente se, o campo de tensão σ em satsfaz a equação varaconal clássca da elastcdade: σ : ηdv e t. ηda 0 b( y,. ηdv σ : ηdv b( y,. ηdv v v η v. (12) Os trabalhos de Hll e Mandel (Gust et al., 2009) estabeleceram o prncípo de macro homogenedade que dz que a potênca das tensões macroscópcas em qualquer ponto arbtráro do macrocontínuo deve ser gual à méda volumétrca da potênca das tensões mcroscópcas sobre o EVR assocado a esse ponto para qualquer movmento cnematcamente admssível do EVR (Gust et al.,2009). Consderando as Eq. (8) e (10) escrevendo σ como σ f y ( ε ), sendo f o funconal y consttutvo e assumndo u~ η, pode-se obter a segur a equação em termos de deslocamento de flutuação: ~ fy ( ε( x, u ): ηdv 0 η V. (13) E por fm, a formulação é completada com a escolha aproprada do volume V, ou seja, com a escolha das restrções cnemátcas do EVR. Portanto, o problema de equlíbro mcroscópco consste em dado o tensor de deformação macroscópco ε, o campo u ~ V de tal modo que a cada nstante t, a Eq. (13) é satsfeta, em vsta da arbtraredade de η, após a dscretzação do domíno do EVR em elementos, os seguntes ncrementos da equação de equlíbro mcroscópco devem ser mantdos para o ncremento de carga no tempo t n tn1 tn e a dscretzação de h, de modo a encontrar o deslocamento de flutuação u~ u~ u~ : ( n 1) ( n) ( n) G n1 h T ( ~ B f y ε n1 Bu ( n1) ) dv 0. (14) h h Onde B é a matrz global de deformação-deslocamento, ndca o domíno dscretzado do EVR. e o ncremento de carga n é não-lnear, a Eq. (14) é resolvda pela aplcação do método de Newton-Raphson que consste em buscar a correção de flutuação ~ 1 δ para nteração 1, tal que: u ~ F K δu 1 0. (15) Assm, F é o vetor de forças e K é a matrz de rgdez tangente do EVR. Após a 1 computação das correções δ ~ da Eq. (15), o próxmo processo que o campo de flutuação de u deslocamentos, consderando a nteração 1 relatva ao mcrocontínuo, é dado por: 1 1 u~ u~ δu~.

6 Estudo do comportamento mecânco do concreto com dferentes modelagens da zona de transção... Já a tensão homogenezada é calculada pela Eq. (2), consderando que o EVR é composto v por partes vazas e sóldas (matrz e agregados), e resulta em: σ σ 1 ( x, σ dv σ V V v 1 dv. (16) A complementação da formulação sobre equlíbro do EVR descrta é realzada com a escolha do volume aproprado v, ou seja, com escolha das restrções cnemátcas a serem mpostas no EVR que leva a dferentes classes de modelos multescala e consequentemente dferentes resultados numércos (Perc et al., 2011; ouza Neto et al., 2006). Aqu é utlzada a condção de flutuação peródca. Observa-se que cada lado Γ, do qual a dreção normal é n, corresponde a um lado gual Γ com dreção normal n, sendo n n, smlarmente, para cada ponto y defndo sobre Γ exste um ponto y sobre o lado Γ, sto mostra que a flutuação do deslocamento deve ser peródca no contorno do EVR, ou seja, cada par y, y dos pontos de ter: u~ y t ~ (, ) u ( y,, y y 2.2 Modelo de Fratura Coesva e Plastcdade. (17) Ptuba et al. (2016) propôs um modelo de fratura coesva modfcado a partr de Crak et al. (2005) para ldar com meos dúctes de modo a smular o processo de fssuração até a falha da mcroestrutura. O modelo proposto descreve a le coesva de deformação-fnta rreversível. A energa coesva lberada é dada pela Eq. (18): ( n,, q). (18) Onde, n é a abertura devdo ao modo I (normal); s é a abertura devdo ao modo II (escorregamento) e q é a varável que descreve os processos nelástcos da coesão. É possível assumr que a deformação devda a abertura por escorregamento é um valor escalar ndependente da dreção de sua fssura na superfíce, assm s = s, dando um caráter sotrópco para seu comportamento, para a formulação da le coesva dos modos mstos, é ntroduzdo um deslocamento de abertura efetva dado pela Eq. (19): (19) n O parâmetro β assume valores dferentes para as aberturas, varando de 0 a 1, por outro lado, assumndo que a energa potencal lberada depende de, a le coesva é escrta como: t 2 ( δ n). (20) t n Onde, n é o vetor normal à fssura; é o vetor de abertura por escorregamento localzado na superfíce da fssura; t é vetor de tensão coesva ao longo da fssura, as relações propostas para a tensão efetva t são descrtas a segur nas Eq. (21) e Eq. (22): / c t c e se max e 0. (21)

7 W.M.G. Quaresma, J. J. C. Ptuba. tmax t se max ou 0. (22) max Onde e é o exponencal (e 2,71828), é a máxma tensão de tração normal coesva, velocdade de abertura e c é a abertura crítca. Antes do aparecmento das fraturas, uma rgdez entre as bordas da possível fratura presente entre os elementos fntos trangulares é chamada de fator de penaldade. Este fator de penaldade é um parâmetro de valor p escalar. Na prátca, valores altos para o fator de penaldade são adotados a fm de obter uma aproxmação precsa. Tal procedmento garante que a possível fratura permaneça fechada até se atngr o crtéro de separação e, ao mesmo tempo, garante a admssbldade físca de todo o processo. De manera geral, esta estratéga pretende crar rgdez nos nós dos pares com o contato de elementos fntos coesvos, a fm de não permtr a penetração das superfíces de fssura. Por outro lado, no regme de tensão, este fator de penaldade efetvamente substtu a porção rígda ncal da le coesva por uma resposta lnear rígda na forma da Eq. 23. Para detectar o fenômeno de contato coesvo, é adotado o conceto das dferenças entre os pontos de Gauss do elemento fnto de contato e fratura coesva. t se. (23) p P c Os tpos de elementos consderados nesse trabalho são compostos por duas superfíces que são concdentes na confguração ndeformada do EVR. O elemento fnto de contato e fratura coesva é defndo como um elemento de quatro nós sendo a sua geometra compatível com a de dos elementos trangulares bdmensonas usados para modelar as fases da matrz e de nclusão. A formulação desenvolvda pode ser encontrada em Ptuba e ouza Neto (2015) e Ptuba et al. (2016). Por outro lado, para ldar com as deformações plástcas que surgem quando a macroestrutura do concreto está solctada, sobretudo por tensões de compressão, o bem conhecdo modelo de Mohr-Coulomb é utlzado aqu na representação do comportamento mecânco da matrz cmentíca. Tal modelo rá auxlar na modelagem dos processos dsspatvos ocorrdos na Zona de Interface na representação das deformações plástcas, haja vsta que mesmo consderando um comportamento elástco para a matrz, o processamento de fratura da Zona de Interface alado à geometra dos agregados é capaz de smular o surgmento de deformações plástcas macroscópcas homogenezadas quando em processo de descarregamento e nversão de sentdo, evdencando o efeto unlateral desse materal (Ptuba e ouza Neto, 2015). Por fm, vale ressaltar que todo o equaconamento é resolvdo através de uma formulação tangente consstente, o que leva a uma solução numérca com taxa quadrátca de convergênca, sendo esse um fator postvo, haja vsta que em análses multescala, o custo computaconal tem alto valor. 3 ANÁLIE NÚMERICA - INFLUÊNCIA DA DITRIBUIÇÃO DO AGREGADO Quatro dferentes dstrbuções são mostradas na Fgura 2. O tamanho do EVR é de 100 mm x 100mm, e a fração de volume de agregados dos modelos é dêntca a 50%. Todos

8 Estudo do comportamento mecânco do concreto com dferentes modelagens da zona de transção... os agregados são dstrbuídos aleatoramente com a mesma gradação total de 5:3:2 em relação a fração volumétrca. Fgura 2. EVRs da análse de sensbldade da dstrbução dos agregados. (a) Modelo 1. (b) Modelo 2. (c) Modelo 3. (d) Modelo 4. (KIM; AL-RUB, 2011). Adotando-se os modelos da Fgura 2 foram realzadas duas análses: a prmera, onde a nterface matrz/agregado fo modelada com elementos trangulares com a espessura ndcada na Tabela 1; a segunda abordagem consdera a nterface matrz/agregado modelada por elementos de fratura e contato. A Tabela 1, ndca as nformações sobre a malha de elementos fntos que cada modelo possu, tanto para os EVRs com Zona de Transção nterfacal quanto para os EVRs com elemento de fratura e contato entre a matrz/agregado. Tabela 1. Número de Elementos Fntos para os EVRs com dferentes dstrbuções de agregados. EVR Zona de Transção com EF trangular Espessura (mm) Nº de nós Nº de elementos Zona de Transção com EF de fratura e contato Nº de EF fratura Nº de nós Nº de elementos Modelo 1 0, Modelo 2 0, Modelo 3 0, Modelo 4 0, Modelagem da Zona de Transção com Elementos Fntos trangulares A Fgura 3 apresenta a resposta macroscópca carga x deslocamento de concretos contendo as dferentes dstrbuções de agregados mostrados na Fgura 2. Percebe-se que a resposta macroscópca do materal até o carregamento últmo ndepende da dstrbução de agregados na mcroestrutura. Portanto, essa constatação é reflexo do que acontece na mcroestrutura do materal. Esse comportamento na escala mesoscópca é percebdo quando do emprego da modelagem proposta neste trabalho (ver Fgura 4).

9 W.M.G. Quaresma, J. J. C. Ptuba. Fgura 3. Relação macroscópca de carga-deslocamento para dferentes dstrbuções de agregados na mcroestrutura, adaptado pelo autor (KIM; AL-RUB, 2011). Nesta análse cada modelo fo submetdo a uma deformação macroscópca arbtrára sob regme predomnante de tração em (0, , 0, , 0, e 0, ), em x y = -0, , sendo xy tomado como aproxmadamente nulo e subdvddas em 30 ncrementos. Com as deformações aplcadas, obtêm-se os valores das tensões homogenezadas para o EVR. Que são 1,8727; 1,8303; 1,8684 e 1,8550 MPa para os EVRs com modelo de dstrbução 1, 2 3 e 4 respectvamente. O gráfco da Fgura 4 relacona a tensão homogenezada na dreção x com a deformação macroscópca no mesmo exo do modelo proposto.

10 Estudo do comportamento mecânco do concreto com dferentes modelagens da zona de transção... Fgura 4. Relação de tensão-deformação homogenezadas na dreção x para dferentes dstrbuções de agregados. Observa-se na Fgura 4 as curvas de tensão-deformação homogenezadas obtdas nesta análse entre os modelos com dferentes dstrbuções. As curvas são dêntcas confrmando que a forma de dstrbução dos agregados não nfluenca a resposta macromecânca homogenezada do EVR. Contudo, ressalta-se que a Fgura 4 evdenca pouca nfluênca no regme de softenng da resposta macromecânca. Porém, é mportante ressaltar que o foco deste trabalho é analsar a mcroestrutura do materal e, para se obter a resposta macromecânca de uma estrutura composta por este materal, como fez Km e Al-Rub (2011), é precso realzar uma análse multescala, o que não o objetvo aqu. 3.2 Modelagem da Zona de Transção com Elementos de fratura e contato De posse dos mesmos EVRs, porém com a nclusão de elementos de fratura e contato na zona de transção, foram repetdas as análses do tem anteror, submetendo os EVRs a uma deformação macroscópca arbtrára sob regme predomnante de tração em ( , , e ), em y = , sendo xy tomado como aproxmadamente nulo e subdvddas em 30 ncrementos. Com as deformações aplcadas, obtêm-se os valores das tensões homogenezadas na dreção x para o EVR. Que são 0,0688; 0,0762; 0,0697 e 0,0552 MPa para os EVRs com modelo de dstrbução 1, 2, 3 e 4 respectvamente. Uma prmera conclusão parcal que se pode observar é que parece que a dentfcação do parâmetro σc do modelo de fratura é fundamental, pos ele governa o funconamento do elemento de fratura e contato, como elemento em processo de abertura ou, mas mportante, como elemento de contato fazendo com que a fratura prevamente nserda permaneça fechada conferndo um comportamento de meo contínuo da zona de transção e, consequentemente, uma resstênca maor ao EVR, contudo, devdo à nserção dos elementos de fratura e contato para modelar a zona de transção, as respostas homogenezadas apresentaram uma perda substancal de resstênca e rgdez em comparação às respostas encontradas no tem anteror. x

11 W.M.G. Quaresma, J. J. C. Ptuba. O gráfco da Fgura 5 relacona as tensões homogenezadas na dreção x com as deformações macroscópcas no mesmo exo do modelo proposto. Fgura 5. Relação de tensão-deformação na dreção x para dferentes dstrbuções de agregados. Nesta análse pode-se observar que o comportamento é o mesmo da análse com zona de transção modelada por elementos trangulares, porém quando é adconado ao elemento de fratura e contato a análse está sujeta a maores nstabldades das respostas numércas sto justfca as dferentes tensões e deformações fnas. 4 CONCLUÕE O objetvo geral do trabalho em avalar as potencaldades e lmtações de uma proposta de modelagem do comportamento mecânco do concreto na mesoescala fo atngdo, mostrando que uma formulação baseada na homogenezação computaconal é uma alternatva promssora, aos modelos consttutvos macroscópcos complexos para o comportamento mecânco de matéras fráges usando um procedmento baseado no Método dos Elementos Fntos no âmbto de uma teora multescala. Ressaltando a necessdade do progresso deste estudo, prncpalmente relaconados a dentfcação paramétrca do modelo de fratura e contato na análse mcroestrutural do concreto. Acredta-se que a utlzação de um modelo baseado na Mecânca do Dano possa gerar resultados melhores de dentfcação paramétrca. A estratéga de utlzar modelos trangulares na ITZ apresentou um comportamento numérco estável. Pensa-se que se utlzar um modelo consttutvo que capture o regme de softenng como modelos de dano assocada a mplementação de elementos trangulares com baxa razão de aspecto deve ser uma ferramenta promssora (Rodrgues et al., 2016). Contudo deve-se anda pensar no problema de localzação do dano na mcroestrutura e a posteror formação de fratura na macroestrutura numa análse multescala.

12 Estudo do comportamento mecânco do concreto com dferentes modelagens da zona de transção... AGRADECIMENTO Os autores agradecem a CAPE e o CNPq pelo apoo para a realzação deste trabalho. REFERÊNCIA Blanco, P. J., ánchez, P. J., ouza Neto, E. A. And Fejóo, R. A Varatonal Foundatons and Generalzed Unfed Theory of RVE-Based Multscale Models. Numercal Methods n Engneerng, vol. 97, pp Borges, D.C. Estudo e avalação de uma proposta de modelagem do comportamento mcromecânco do concreto f. Dssertação (Mestrado em Engenhara Cvl) Escola de Engenhara Cvl, Unversdade Federal de Goás, Goâna. Crak, F., Ortz, M.; Pandolf, A A cohesve approach to thn-shell fracture and fragmentaton, Computer Methods n Appled Mechancs and Engneerng. vol. 194, pp Fernandes, G. R., Ptuba, J. J. C.; De ouza Neto, E. A FEM/BEM formulaton for mult-scale analyss of stretched plates. Engneerng Analyss wth Boundary Elements, vol. 54, pp Gust.M., Blanco P.J., De ouza Neto, E.A., Fejoo, R.A An assessment of the Gurson yeld crteron by a computatonal mult-scale approach, Engneerng Computatons, vol. 26, n. 3, pp Km,. M.; Al-Rub, R. K. A Meso-scale computatonal modelng of the plastcdamage response of cementtous compostes. Cement and Concrete Research, vol. 41, pp Nguyen, V.P.; Lloberas Valls, O.; troeven, M.; luys, L.J On the exstence of representatve volumes for softenng quas-brttle materals a falure zone averagng scheme. Computer Methods n Appled Mechancs Engneerng, vol. 199, pp Nguyen, V. P., Lloberas-Valls, O., troeven, M.; luys, L. J Homogenzaton-based multscale crack modelng: from mcro-dffusve damage to macro-cracks, Computer Methods n Appled Mechancs Engneerng., vol. 200, pp Olver, J.; Cacedo, M.; Roubn, E.; Huespe, A.E.; Hernández, J.A Contnuum approach to computatonal multscale modelng of propagatng fracture. Computer Methods n Appled Mechancs Engneerng, vol. 294, pp Olver, J.; Cacedo, M.; Roubn, E.; Hernández, J.A.; Huespe, A.E Mult-scale (FE2) analyss of materal falure n cement/aggregate-type composte structures. Computatonal Modellng of Concrete tructures, pp Perc, D.; De ouza Neto E. A.; Fejóo, R. Partov, M.; Molna, A. C On mcro-tomacro transtons for multscale analyss of heterogeneous materals: unfed varatonal bass and fnte element mplementaton. Internatonal Journal for Numercal Methods n Engneerng, wansea, vol. 87, n.1-5, pp , Ptuba, J. J. C., Fernandes, G. R. ouza Neto, E. A Modellng of cohesve fracture and plastcty processes n composte mcrostructures, Journal of Engneerng Mechancs, n revew process.

13 W.M.G. Quaresma, J. J. C. Ptuba. Ptuba, J. J. C.; De ouza Neto, E. A Modelng of unlateral effect n brttle materals by a mesoscopc scale approach. Journal Computers and Concrete, vol. 15, n. 5, pp Rodrgues, E. A.; Manzol, O. L.; Btencourt Jr., L. A. G.; Bttencourt. T. N D mesoscale model for concrete based on the use of nterface element wth a hgh aspect rato. Internatonal Journal of olds and tructures. vol , pp de ouza Neto, E. A.; Fejóo, R. A Varatonal foundatons of mult-scale consttutve models of sold: small and larges tran knematcal formulaton. Natonal Laboratory for centfc Computng (LNCC/MCT), Brazl, wansea. [s.e], 53 p.