X Encontro Nacional de Educação Matemática Educação Matemática, Cultura e Diversidade Salvador BA, 7 a 9 de Julho de 2010

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1 Salvador BA, 7 a 9 de Julho de 00 ODELOS ATEÁTICOS E CONSUO DE ENERGIA ELÉTRICA Clece de Cássa Franco Cdade Centro Unverstáro Francscano Leandra Anversa Foreze Centro Unverstáro Francscano Resumo: A crescente utlzação da energa elétrca pelo ser humano denota sua mportânca e necessdade nos tempos atuas, mas esta energa tem um custo mensal que é cobrado dos consumdores. Como exstem dferenças tarfáras conforme mudam as categoras (resdencal, ndustral, rural e comercal), qual é o procedmento para calcular o valor a pagar em função do consumo em kwh de cada categora? Neste trabalho é apresentada uma parte de um estudo voltado à construção de um modelo matemátco que representa o valor a pagar em função do consumo de energa elétrca, utlzando a metodologa da modelagem matemátca. A modelagem matemátca contrbu para construr este modelo, pos vsa relaconar a realdade com os conteúdos matemátcos, consstndo em um método alternatvo para ensnar matemátca, que contrbu para formar ndvíduos crítcos e atuantes. Para encontrar uma expressão matemátca que represente o valor a pagar em função do consumo, serão utlzados conteúdos específcos da matemátca comercal, além de consderar neste modelo alguns mpostos que contrbuem para o encarecmento do custo da energa elétrca ao consumdor. Palavras-chave: Energa Elétrca; odelagem; Consumo. INTRODUÇÃO O valor pago pela energa que se consome em uma dada casa é calculado levando em conta o pagamento de alguns trbutos federal, estadual e muncpal. Sera bastante smples se fosse apenas coletada a letura em kwh do meddor, subtrar da letura dada no mês anteror e multplcar pelo o valor da tarfa do kwh. Na verdade esta é uma manera smplfcada de resolver este problema. Então, para encontrar o modelo que leve em conta todos os trbutos embutdos na conta da luz, se faz necessáro explcar quas são estes trbutos e de que forma eles estão ncluídos na conta da luz. A déa de utlzar a modelagem matemátca numa aplcação da matemátca voltada ao cálculo da conta da luz, seja ela resdencal, comercal, ndustral ou rural, é para que os alunos aprendam a resolver problemas dáros e sejam crítcos em relação às realdades da

2 Salvador BA, 7 a 9 de Julho de 00 vda, sendo capazes de dentfcar no seu da a da a matemátca, e assm assocá-la com seus estudos em sala de aula, tendo a percepção de sua mportânca. Sendo assm, a mportânca da modelagem matemátca é contrbur na compreensão de conteúdos complcados que no entendmento dos alunos fcam sem sentdo, mas que representados em forma de problemas aplcados se tornam compreensíves. O que se pode exemplfcar é a necessdade de representar o sentdo do estudo matemátco, e demonstrar através dos exemplos voltados à realdade a verdadera necessdade de estudá-la. O método de modelagem matemátca, em trabalhos, teve sua prmera utlzação pelo professor Arstdes Camargo Barreto, da PUC do Ro de Janero, na década de 970 (BIEBENGUT, HEIN; 00). Com este passo ncal tem-se o merecdo reconhecmento de sua mplantação para o ensno, pos já era utlzado em tempos antgos, e assm vndo a contrbur nclusve para a formação de professores e nos estudos contnuados, aprmorando o trabalho do professor na sala de aula. O estudo da modelagem se estende na formação de professores, transformando a matemátca pura em uma matemátca aplcada, que nterage com a realdade. [...] O desafo do professor que toma o camnho da modelagem como método de ensno, é ajudar o aluno a compreender, construndo relações matemátcas sgnfcatvas, a cada etapa do processo (BASSANEZI, 999, p.). O essencal é prvlegar um ensno voltado para os nteresses e necessdades da comundade, onde o estudante seja consderado como um partcpante atvo (BASSANEZZI, 999). Dante dessas consderações, o objetvo prncpal deste trabalho é construr um modelo que represente o valor a pagar em função do consumo de energa elétrca, de forma que um problema da realdade seja transformado em um problema matemátco. O modelo construído em função do consumo de energa elétrca pode proporconar o desenvolvmento de conteúdos específcos do Ensno Fundamental, édo ou Superor, dependendo do enfoque dado. Partndo de stuações que sejam sgnfcatvas para o aluno, é construído o modelo, que representa uma stuação real, pos para a sua obtenção, foram observadas váras faturas de dferentes categoras (rural, comercal e resdencal), bem como fo realzado dversas entrevstas com pessoas responsáves por dar nformações que trabalham em concessonáras de energa elétrcas exstentes no Ro Grande do Sul. Neste artgo é relatado parte da pesqusa desenvolvda com bolsa de pesqusa, realzada pela aluna do curso de atemátca (lcencatura) da UNIFRA. Neste trabalho, são

3 Salvador BA, 7 a 9 de Julho de 00 construídos modelos matemátcos relaconados à categora resdencal e rural. Os trbutos que são relatados no tem a segur são aqueles que estão embutdos na conta de luz. TRIBUTOS EBUTIDOS NA CONTA DA LUZ Observando a conta de luz, verfcou-se que os mpostos cobrados são o PIS (Programa de Integração Socal), a COFINS (Contrbução para o Fnancamento da Segurdade Socal), o ICS (Imposto sobre a Crculação de ercadoras e Servços) e a CIP (Contrbução para Custeo do Servço de Ilumnação Públca). O PIS e a COFINS são trbutos cobrados pela a Unão com o objetvo de manter programas socas aplcáves ao trabalhador. Em 004 foram aumentadas estas alíquotas e com sso houve um aumento no valor a pagar da energa elétrca (Agênca Naconal de E- nerga Elétrca, 008). O ICS é um mposto prevsto na consttução, no artgo 55 da Consttução Federal, o qual ncde nas operações relatvas à crculação de mercadoras e servços e é de competênca dos governos estaduas e do Dstrto Federal. (ANEEL, 008, p. 4). Este mposto é regulamentado pelo códgo trbutáro dos governos estaduas, por sso vara de estado para estado, sendo recolhdo pela dstrbudora e repassado ntegralmente para o Governo do Estado (ANEEL, 008). No Ro Grande do Sul, o mposto tem um percentual de 5%. Alguns muncípos anda possuem a CIP, prevsta no artgo 49-A da Consttução Federal, sendo aprovado nas Câmaras uncpas para ser efetvada a cobrança e repassada ntegralmente para o uncípo (ANEEL, 008). FORULAÇÃO DE ODELOS A matemátca comercal contrbu como subsdo teórco, pos para encontrar os modelos matemátcos da conta de luz nos basearemos na fórmula do preço de custo em função da taxa de lucro sobre o preço de venda. Para encontrarmos a fórmula, consdere o exemplo: uma loja vende um eletrodoméstco pelo valor de PV e tem uma taxa de lucro sobre o preço de venda. Qual o preço de custo PC do eletrodoméstco para a loja? Consderando o preço de venda (PV) e trando deste valor o lucro (L), obtém-se o preço de custo (PC), ou seja: PV L = PC

4 Salvador BA, 7 a 9 de Julho de 00 Como a taxa de lucro () ncde sobre o valor fnal, então: L = PV. Logo o preço de custo é de: PC = PV L PC = PV PV. PC = PV. (- ) A ANEEL (Agenca Naconal de Energa Elétrca) estabelece o valor das tarfas às empresas de energa elétrca. Esta agênca vsa assegurar ao consumdor uma tarfa justa, em que haja equlíbro econômco-fnancero para a concessonára da dstrbução, podendo a concessonára oferecer um servço com qualdade e confabldade. A tarfa é dada em R$/kWh (reas por qulowatt-hora), que corresponde ao preço de um qulowatt consumdo em uma hora. Nesta tarfa são acrescdos os mpostos, correspondentes aos percentuas de PIS e COFINS e ICS. Um problema que ntrga mutas pessoas é de que forma é calculada a nossa conta de energa elétrca, e como é cobrado o ICS. Debate este que envolve cdadãos comuns e até advogados, procedendo então a causas judcas que consderam estarem sendo lesados, pos pagam ICS sobre ICS, ou seja, a taxa ncde sobre o valor fnal da conta de luz, que já contém ICS. O que o cdadão comum não sabe é que além de pagar ICS sobre o valor fnal da conta de luz, estará pagando também ICS sobre o PIS e o COFINS. Isto faz com que haja generalzadas reclamações sobre o alto valor das contas de energa. Tentando responder algumas questões referentes ao tema escolhdo, propõem-se então algumas stuaçõesproblemas. Os modelos construídos levam em conta taxas de trbutos fxas e consumo de kwh varáves. O problema a segur mostrará como é feta a conta da energa elétrca para o consumdor na categora resdencal: Stuação-Problema : a) Qual é o modelo que representa o valor a pagar em função do consumo de kwh para um consumdor na categora resdencal, consderando que se têm os seguntes mpostos: ICS, PIS, COFINS e CIP? b) Em uma resdênca, feta a letura do consumo de energa elétrca do mês, tem-se o e- quvalente a 5 kwh. Se a tarfa por kwh for gual a R$ 0, 476 (valor padrão para a classe resdencal no mês de dezembro de 007 sem os mpostos), o percentual do PIS e 4

5 Salvador BA, 7 a 9 de Julho de 00 COFINS adconados forem de 6,%, o ICS for de 5% (base referênca no Ro Grande do Sul) e a CIP em 5%, qual o valor pago pelo cdadão? Resolução: a) Sendo: a taxa untára de ICS; a taxa untára de PIS e COFINS sem ICS e P a taxa untára de PIS e COFINS com ICS, então, como fo colocado anterormente, sobre o PIS e COFINS nclu-se a taxa de ICS. Ou seja: P P solandoo P () () Acrescentando na tarfa os percentuas dos mpostos, temos: T P T I )( Onde T é a tarfa do kwh sem PIS e COFINS; T I é a tarfa do kwh com PIS e COFINS. O P é substtuído pela equação (): T T )4( I Isolando a tarfa do kwh com PIS e COFINS, tem-se a fórmula de como é calcula- T da a tarfa com os mpostos, assm: T I )5( O consumo é calculado pela dferença da letura atual com a anteror multplcado T pela expressão dada em (5), ou seja: CL )6( L é a dferença da letura do meddor atual e a anteror, ou seja, quanto de kwh fo consumdo no mês, e C é o consumo. Smplfcando a expressão (6): LT C )7( Encontrado a fórmula do consumo, será calculado o ICS. A base de cálculo do ICS é sobre o valor fnal, ou seja, o consumo adconado ao valor do ICS pago em reas. Ou seja: I CI )8( Onde I representa o valor em reas do ICS pago. Isolando I na expressão (8), C obtém-se: I )9( Além do ICS, tem-se o valor da CIP, que ncde sobre o consumo. Deste modo: 5

6 Salvador BA, 7 a 9 de Julho de 00 I C ( 0 ) Onde I corresponde ao valor em reas da CIP e a taxa untára da CIP. Para encontrar a fórmula que dará o valor fnal da fatura de energa elétrca em uma resdênca é necessáro adconar as expressões dadas por (7), (9) e a (0). F CI I ( ) A letra F representa o valor fnal a ser pago pelo consumdor no faturamento de sua C energa elétrca. Substtuído I e I, tem-se: F C C ( ) Evdencando o C: F C ( ) Substtundo a equação dada por (7) em (), encontramos o modelo procurado: F L T ( 4 ) F L T ( 5 ) b) Se não houvesse mpostos no exemplo dado, o gasto de energa tera um custo mas baxo. O valor a pagar sera de: 5 0,476 5, 47, ou seja, o consumdor pagara por 5 kwh o correspondente a R$ 5,47. Como exstem mpostos, aplcamos a expressão dada por (5): 5,0476,005,05 F,05,006 e encontramos: F 77, 5 Ou seja, o valor a pagar pelo cdadão que consome 5 kwh com os mpostos é de R$77,5, o que corresponde a uma dferença de R$6,05 (em porcentagem, 50,6% do valor sem mpostos). Stuação- Problema : O governo do estado do Ro Grande do Sul propôs, em 007, um pacote de aumento de alguns mpostos. Uma dessas meddas corresponda a um aumento do ICS de energa elétrca, passando dos 5% para 0%. Consderando os mesmos dados do problema (letra b), porém taxa de ICS de 0%, qual sera o novo custo para o consumdor? 6

7 Salvador BA, 7 a 9 de Julho de 00 Substtundo a nova taxa de 0% em (5), tem-se: 5,0 476,0 05,0 0 F,0 0,0 06 F8, 9 Com o aumento do ICS para 0%, o consumdor pagara pelos 5 kwh o equvalente a R$ 8,9. Se comparado com o valor de R$5,47 (cálculo realzado no problema ), os mpostos corresponderam a 6,0% (acréscmo de R$,9) e quando comparado ao valor fnal (com mpostos), os mpostos corresponderam a 8,% (dvsão de,9 por 8,9). Comparando-se os valores de R$ 77,5 com R$ 8,9, havera um aumento percentual de 7,6% se a alíquota do ICS passasse de 5% para 0%. Isso contradz o pensamento ncal, feto sem maores análses, de que o aumento sera de 5% (0% - 5%). Felzmente, esta medda não fo aprovada pelo parlamento gaúcho, levando em consderação que já se paga uma carga consderavelmente alta de mpostos. O trabalho não se resume somente à construção de um modelo para o cálculo do valor a pagar em função do consumo de energa elétrca da classe resdencal, consderandose também a conta de luz da classe rural. Stuação-problema : a) Consderando a categora rural, qual é o modelo matemátco que determna o valor a pagar em função do consumo em kwh, sabendo que exstem os mpostos PIS, COFINS, ICS e CIP? b) Numa chácara fo consumdo o equvalente a 45 kwh, durante um mês. A tarfa por kwh é gual a 0, 558 (valor padrão para a classe rural no mês de dezembro de 007 sem os mpostos), o percentual do PIS e COFINS adconados foram de 6,%, o ICS fo de % (base referênca no Ro Grande do Sul para esta categora) e a CIP gual a 5%. Consderando estes dados, qual o valor pago pelo consumdor? Resolução: a) Na classe rural ocorre uma mudança sgnfcatva em relação ao resdencal. Até 00 kwh são acrescdos % de ICS; o que exceder de 00 kwh não é cobrado ICS. Assm como apresentado na resdencal, os mpostos PIS, COFINS e ICS são a- crescdos no valor do kwh, como nas fórmulas dadas em () e (5). Para calcular o ICS é 7

8 Salvador BA, 7 a 9 de Julho de 00 utlzado o mesmo racocíno como na fórmula (9). O modelo da CIP está representado na expressão dada em (0). Para encontrar o consumo se utlzará a fórmula (7) apresentada na resdencal. Ou LT seja: C. No cálculo do ICS se utlzará a fórmula dada em (9), consderando que o ICS é calculado sobre o que for nferor ou gual ao consumo de 00 kwh. LT I, L 0 (6) 0 T, L 0(7) I Por fm a CIP, que é calculada sobre o consumo. Utlzando a expressão (0), temse: I C (8) Para encontrar a expressão que representa o valor a pagar em função do consumo de energa elétrca da classe rural, tem-se: CII, L0 F CI IL, 0 (9) A letra F representa o valor em reas pago pelo consumo de energa elétrca. Substtundo as ncógntas C, I, I e I na expressão (9), temos: LT LT LT L, 0 F (0) LT 0 T LT L, 0 Ou seja: LT ( L ), 0 F () T 0 ( L L), L0 que é o modelo procurado para a categora rural. b) Sem mpostos, o gasto com a energa equvalera a: 450,5897,6 Ȯu seja, o consumdor pagara por 45 kwh o correspondente a R$ 97,66. Como exstem os mpostos, então substtundo os dados na expressão dada por (): 8

9 Salvador BA, 7 a 9 de Julho de 00 0,580, 0, F (45 450,05) 0,0,06 0,, encontra-se: F,6 Resposta: O valor pago pelo consumo de 45 kwh com os mpostos é equvalente a R$,6. Comparando com o valor a pagar sem os mpostos, os mpostos correspondem a 6,08%. Essa taxa é nferor ao percentual de mpostos da classe resdencal, pos o consumdor da classe rural não paga o ICS sobre o valor total e a tarfa do ICS é reduzda (apenas %). Além dsso, o valor do kwh da categora rural é bem mas barato (pratcamente a metade) do valor do kwh para a classe resdencal. 4 CONCLUSÃO O objetvo deste estudo fo encontrar um modelo que represente o valor a pagar em função do consumo de energa elétrca, contrbundo para esclarecer mutas dúvdas sobre quas são os mpostos cobrados e como eles são acrescdos na fatura de energa elétrca. O ICS cobrado na tarfa e no valor fnal do faturamento da energa elétrca fo uma descoberta que poucos consumdores estão centes. Com o avanço da tecnologa e o surgmento de novas dstrbudoras de energa, mas econômcas, pode haver uma redução no custo de energa elétrca. Porém depende de novas les para a dmnução dos mpostos, que sejam acessíves a todos os consumdores de energa, não nteressando a classe. Com este trabalho, surgem algumas perspectvas de estudos futuros. Por exemplo, um tópco nteressante que não fo explorado corresponde ao cálculo da energa elétrca para a classe ndustral. Outra ênfase adotada podera ser relaconada ao consumo de uma famíla resdencal e os componentes elétrcos que ela possu, obtendo um modelo que representasse o valor a pagar em função da quantdade de kwh, consderando o peso de cada tem elétrco no cálculo do total de kwh consumdo mensalmente. Este tema faz com que os alunos refltam sobre quas tens tem maor ou menor peso no gasto da energa elétrca e o que é possível fazer para que possa haver uma dmnução nos gastos. Ou seja, estes são assuntos nteressantes que podem ser explorados em sala de aula e adaptado pelo professor 9

10 Salvador BA, 7 a 9 de Julho de 00 conforme muda o nível de ensno e a realdade dos alunos, tornando sgnfcatvo e prazeroso o ensnar e o aprender nas aulas de matemátca. 5 BIBLIOGRAFIA ANEEL. Agênca Naconal de Energa Elétrca: Por Dentro da Conta de Luz: Informação de Utldade Públca. 4 ed. Brasíla: 008. Dsponível em: <http://www.aneel.gov.br /arquvos/pdf/cartlha_p_atual.pdf > Acesso em 5 mar BASSANEZZI, Rodney Carlos. Ensno-Aprendzagem com odelagem atemátca: Uma Nova Estratéga. São Paulo: Contexto, 00. BASSANEZZI. Rodney Carlos. odelagem atemátca: Uma Dscplna Emergente nos Programas de Formação de Professores. Bomatemátca, Campnas, v. 9, p Dsponível em: < >Acesso em 5 ago BIEBENGUT, ara Salett; HEIN, Nelson. odelagem atemátca no Ensno. Blumenau: Contexto, 00. BRASIL. Consttução, 988. Dsponível em < consttucao/consttu%c%a7ao.htm> acesso em 5 jul CIDADE, Clece de Cássa Franco; FIOREZE, Leandra Anversa. odelagem atemátca e a Água. Santa ara: X SIPÓSIO DE ENSINO, PESQUISA E EXTENSÃO - U- NIFRA, 006, UNIFRA. CD-RO. 0

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