MÉTODO DE SEGMENTAÇÃO DE OBJETOS EM IMAGENS BASEADO EM CONTORNOS ACTIVOS E ALGORITMO GENÉTICO

Transcrição

1 MÉTODO DE SEGMENTAÇÃO DE OBJETOS EM IMAGENS BASEADO EM CONTORNOS ACTIVOS E ALGORITMO GENÉTICO Elza Marsa Pava de Fgueredo Chagas & Denlson Laudares Rodrgues Programa de Pós-Graduação em Engenhara Mecânca / MEA Pontfíca Unversdade Católca PUC MINAS, Av. Dom José Gaspar, 500, Coração Eucarístco Belo Horzonte, MG, BRASIL, (+55 3) e-mal: {qussala, denlsonlr}@pucmnas.br João Manuel R. S. Tavares Insttuto de Engenhara Mecânca e Gestão Industral, Laboratóro de Óptca e Mecânca Expermental / Faculdade de Engenhara da Unversdade do Porto, Departamento de Engenhara Mecânca e Gestão Industral, Rua Dr. Roberto Fras, s/n, Porto, PORTUGAL. e-mal: tavares@fe.up.pt, url: Palavras-Chave: Análse de Imagem, Segmentação de Imagem, Contornos Actvos, Algortmos Genétcos. RESUMO: Este trabalho apresenta um método de segmentação de magem baseado em modelos deformáves, em partcular contornos atvos do tpo balão. O contorno ncal é vsto como uma curva elástca que deve ser deformada através da mnmzação de uma função de energa entre as forças nternas da curva relaconadas com a suavdade, elastcdade e rgdez do contorno deformável e as forças externas potencal de atração do contorno em dreção ao objeto de nteresse geradas a partr da magem. Este contorno ncal, neste caso nserdo no nteror do objeto, evolu sob a ação das forças nternas e externas. Por este motvo, o modelo deformável de balão consderado equvale a nsuflar ou expandr um contorno, sto é a curva ncal defnda, até que esta se adapte de manera ótma à estrutura de nteresse presente na magem a segmentar. A mnmzação da energa conduz a um equlíbro entre as forças envolvdas no modelo. O método proposto utlza o conceto de algortmos genétcos em conjunto com contornos actvos (usualmente conhecdos como snakes) de modo a fornecer uma solução robusta ao problema dos mínmos quadrados que estes tradconalmente apresentam. Os resultados apresentados confrmam o potencal da abordagem proposta e ncentvam a contnuação de trabalhos de pesqusa de manera a amplar sua contrbução em atvdades que demandem tarefas de análse de magem.. INTRODUÇÃO Em mutas aplcações de análse de magem, a segmentação das magens a analsar é uma das etapas necessáras para a obtenção de nformações qualtatvas, como a dentfcação do objeto de nteresse, bem como de nformações quanttatvas deste, como área, perímetro e volume. Trata-se de um processo que subdvde uma magem nas suas partes ou objetos consttuntes [33]. Segmentar uma magem sgnfca, portanto, separá-la em regões com propredades comuns as quas correspondem a objetos ou partes de objetos na mesma magem, ou mesmo ao fundo (background) da mesma. De manera geral, os métodos para segmentação fazem uso de lmares (thresholds) e hpóteses ncas para as estruturas a segmentar tas como tpos de texturas, dstrbução de hstogramas, dentre outras ([7]). Tradconalmente, as técncas de segmentação, tas como detecção de orlas de ntensdade (bordas dos objectos), análse de textura e crescmento de regões, consderam somente a nformação local, podendo assm assumr hpóteses ncorretas durante o processo de segmentação, dfcultando o processo o posteror processo de análse. Quando uma quantdade consderável de nformação é necessára para o reconhecmento de objectos em magens, a obtenção manual destes dados a partr de magem orgnal torna-se

2 váras vezes uma tarefa muto cansatva e complexa, sendo assm sujeta a erros e requerendo grande atenção e dsponbldade de um especalsta da área envolvda ([8, 25]). O modelo de contornos atvos, também conhecdo como snakes em Vsão Computaconal ([8, 34]) caracterza-se como um recurso bem suceddo na solução de problemas relaconados com a segmentação de magens, pos além de contarem com nformação local da magem envolvda, podem ncorporar outras nformações, tas como a topologa e suavdade do objecto a ser segmentado. Portanto, é desejável que processos computaconas como estes sejam automatzados. Entretanto, a segmentação automátca de magens é consderada um problema dfícl de ser mplementado em város casos reas de análse de magem devdo, por exemplo, à presença de estruturas complexas, regões não homogêneas e ruídos. Outro problema comum em magens é a perda do snal e a oclusão parcal ou mesmo total dos objetos de nteresse, o que pode produzr contornos ndstntos e desconectados durante a segmentação. Os métodos de segmentação descrtos na lteratura podem ser classfcados em [33]: fltragem local (realce das orlas de ntensdade); crescmento e agrupamento de regões (subdvde em sub-regões com algum crtéro de homogenedade); otmzação de funções de energa (usam funções de energa defndas globalmente na magem) e modelos deformaves, como contornos atvos (fazem uso de nformações locas da magem e sobre o objecto). As técncas de segmentação, caracterzadas como detecção de orlas de ntensdade, crescmento de regões e análse de textura, utlzam somente a nformação local. Neste caso, é possível que durante o processo de segmentação sejam assumdas hpóteses ncorretas. Usualmente, a resolução deste problema utlza duas abordagens: por smlardade e por descontnudade. A prmera abordagem por smlardade derva uma representação do contorno a partr da segmentação da magem em regões bem defndas, a partr do agrupamento de pxels que apresentam semelhança com os seus vznhos ([32]). Em técncas como lmarzação e crescmento por regões, por exemplo, não há possbldade de nserr conhecmento sobre a forma da regão. Quando as magens não apresentam contraste homogêneo, a segmentação produz váras vezes contornos desconexados e ocos no nteror dos objetos envolvdos. A técnca de crescmento por regões, em partcular, é muto sensível à ncalzação das sementes a consderar na fase de ncalzação. A abordagem por descontnudade basea-se dretamente nos pxels do contorno do objecto e pode detectar descontnudades ou orlas usando propredades dferencas como, por exemplo, técnca do gradente. Em magens com ruído e objetos mal defndos, a segmentação pode recuperar falsas orlas e contornos descontínuos. As duas abordagens requerem um pós-processamento para construr uma representação adequada do contorno do obejcto através, por exemplo, de um algortmo edge lnkng ou edge followng [7], tornando-as por vezes dependentes da acção manual de um especalsta do domno envolvdo ([23]). Geralmente, para realçar as orlas de ntensdade de uma magem suavzada, usando uma fltragem como a gaussana, são seleconados pontos com alto valor de gradente. O resultado é uma fltragem passa-alta da magem orgnal que realça as fronteras dos objetos presentes na mesma. Entretanto, não há possbldade de defnr precsamente a geometra das orlas dos objetos; além dsso, não se conhece a melhor curva a ser utlzada para melhor representar a borda do objeto em questão. De acordo com [34], os modelos de snakes orgnas necesstam nformações ncas sobre o contorno a ser segmentado. Isto representa uma consderável desvantagem do método, além do mas as snakes orgnas apresentam dfculdades em aproxmar-se de contornos de objectos em concavdade uma vez que as forças externas envolvdas são horzontas, deslocando o contorno vertcalmente mas não progredndo adequadamente para a concavdade. É em relação a sto que a segmentação baseada em modelos apresenta vantagens consderáves. Nesta abordagem, um modelo do contorno ncal é nserdo no nteror do objeto e é deformada até alnhar-se com o contorno desejado. Neste modelo, não se espera como resultado propredades de contnudade e suavdade dos contornos, uma vez que estas são mpostas desde o níco da segmentação e, em um únco processo, o contorno é localzado e representado. Técncas deste tpo são conhecdas como

3 modelos deformáves, sendo as snakes ([8]) orgnas e do tpo de balão (balloon) ([5]), exemplos destes modelos. Assm o método de Contorno Atvos é vantajoso ([2, 3]), pos se tem sempre uma curva fechada completamente defnda dentro do domíno da magem, que pode representar a borda do objecto a segmentar. Entretanto, a extração de regões de nteresse a partr da aplcação de snakes possu váras lmtações. Uma delas é que este método fo orgnalmente projetado para ser aplcado em modelos teratvos, sto é, necados e melhorados com a ntervenção de um operador especalsta. Quando tem-se modelos não-teratvos, a extração de regões de nteresse deve ser ncada em local próxmo à estrutura de nteresse para garantr um bom desempenho. Além dsso, a topologa de tal estrutura deve ser prevamente conhecda, pos o método não é capaz de executar alterações em sua topologa orgnal sem algum processamento adconal ([23]). Neste sentdo, o modelo de balão tem como prncpal vantagem fornecer, desde o níco da segmentação, uma representação polgonal para o contorno, a partr de uma ncalzação que não precsa necessaramente estar próxma do contorno fnal. A proposta aqu apresentada explora a utlzação de algortmos genétcos em conjunto com snakes do tpo balão com objetvo de fornecer uma solução robusta ao problema dos mínmos locas que as mesmas apresentam. Dvddo em cnco seções, este artgo apresenta um estudo envolvendo a segmentação de magens a partr da utlzação de contornos atvos e algortmos genétcos. Assm, a seção segunte apresenta um resumo sobre o referencal teórco relaconado com algortmos genétcos, snakes orgnas e do tpo balão. Na tercera seção é descrta a metodologa aplcada neste trabalho. Os resultados obtdos são apresentados na quarta seção. Na qunta e últma seção são apresentadas as consderações fnas. 2. REFERENCIAL TEORICO 2.. Algortmos Genétcos Os algortmos genétcos são algortmos de busca baseados no mecansmo de seleção natural das espéces proposta por Charles Darwng ao defnr que a cada geração, um novo conjunto de ndvíduos é crado a partr das característcas herdadas dos seus antepassados e novas característcas por eles desenvolvdos. Isto garantrá a varedade do conjunto de ndvíduos. Neste sentdo, apesar de sua natureza aleatóra, os algortmos genétcos exploram efcentemente nformação hstórca com objetvo de nvestgar novos pontos de busca com melhor desempenho ([]). Embora exstam dferentes mplementações de algortmos genétcos, todas operam nteratvamente, alterando um conjunto de ndvíduos que representarão uma possível solução do problema. Além dsso, a cada teração todos os membros desta população têm sua aptdão avalada de acordo com algum crtéro estabelecdo. Uma função de avalação é responsável por ndcar a qualdade do ndvíduo na população. Por fm, uma nova população é gerada alterando genetcamente alguns ndvíduos da população corrente, por meo de uma seleção probablístca, mantendo os demas ndvíduos nalterados. Esta etapa tem como objetvo a mstura de característcas entre ndvíduos, de manera a possbltar a geração de ndvíduos com maor grau de aptdão, ou, no caso deste trabalho, fornecer soluções mas adequadas ao problema da segmentação de magem usando snakes do tpo balão. De acordo com [], um algortmo genétco possu três operações báscas de busca: reprodução ou seleção, cruzamento e mutação. A operação conhecda como reprodução ou seleção é o processo pelo qual os ndvíduos contrbuem para a busca de acordo com seu valor de aptdão, smulando o processo natural de seleção, em que o mas adaptado sobrevve. Ou seja, ndvíduos com maor aptdão terão maor probabldade de ser escolhdos. O método de produção de um par de novos ndvíduos por meo da combnação de dos ndvíduos gentores é conhecdo como cruzamento. Nesta operação, um pedaço de um ndvíduo é combnado com

4 um pedaço de outro ndvíduo gerando o ndvíduo flho. Por fm, a operação e mutação altera aleatoramente alguma característca do própro ndvíduo com objetvo de manter a dversdade da população. A Fgura apresenta a estrutura básca de um algortmo genétco. Fgura. Estrutura básca de um algortmo genétco Snakes Geometrcamente, uma snake pode ser defnda como um contorno paramétrco defndo no 2 plano da magem ( x, y) R. Uma snake é defnda como um uma curva polgonal, váras vezes nserda no nteror do objeto, representada por v ( ψ) = ( x( ψ), y( ψ) ), com ψ [ 0,] ndcando o domíno paramétrco, que se move no domíno de uma magem no plano ( x, y) R ([23]) a fm de alnhar-se ao contorno do objecto a segmentar. A convergênca da snake se dá-se pela mnmzação da função de energa que controla o seu movmento, com objetvo de encontrar mínmos de energa E snake que concdam com o contorno do objeto. Usualmente, estes mínmos de energa correspondem aos máxmos de ntensdade na magem. Portanto, a forma de contorno de uma magem I ( x, y) é defnda como E snake = E nt + Eext, onde E representa a energa nterna referente à deformação da curva e está assocada com nt conhecmento a pror e E ext representa a energa dependente da magem na qual a snake está nserda. Dto de outra forma, o modelo ncal é deformado sob a ação de forças nternas à curva e forças externas que atraem o modelo em dreção ao contorno. A forma fnal do contorno corresponde ao mínmo dessa energa. A correspondênca do modelo ncal deformado com o contorno é obtda pela busca de um vetor de parâmetros que mnmze a soma das energas nternas e externas. Matematcamente, sto é representado como: = nt + ( v( ψ) ) E ( v( ψ) ) dψ E ( v( ψ) ) Esnake ext dψ. () 0 0 Mas especfcamente, a energa nterna da snake, defnda como: 2 2 v ( ( )) ( ) ( ψ) v ( ) ( ψ) E nt vψ = αψ + βψ, (2) 2 ψ ψ é responsável por manter a suavdade da curva quando nserda no campo de forças de magem. A energa defnda em (2) caracterza a deformação de um contorno flexível e elástco. As funções não negatvas α ( ψ) e β ( ψ), defndas em (2), controlam a elastcdade e a rgdez da curva, respectvamente. A energa externa é responsável por atrar a snake para característcas de nteresse na magem, como contornos e superfíces de determnadas estruturas. Matematcamente, esta energa pode ser representada como uma função potencal escalar defnda no plano da magem ([23]), formulada de acordo com a característca de nteresse a detectar. Assm, tem-se que:

5 onde E E lnha borda lnha ( v( ψ) ) =± I( v( ψ) ) ( v( ψ) ) =± I( v( ψ) ) 2, (3) E representa uma funconal responsável por atrar a snake para lnhas na magem I e E borda a funconal correspondente para orlas de ntensdade. De forma a atuar na redução do nível de ruído da magem orgnal e na suavzação das orlas presentes na mesma, um fltro do tpo Gaussano pode ser consderado de manera a aumentar o alcance de captura da snake. Este fltro é representado a partr da equação apresentada como: E ext = ( x( ψ), y( ψ) ) ( v( ψ) ) 0 dψ E ( ( ψ), ( ψ) ) [ ( ( ψ), ( ψ) )] 2 ext x y = c Gσ I x y onde c controla a magntude do potencal, ( xψ ( ) yψ ( )), (4) I, representa a magem analsada, G σ ndca um fltro Gaussano bdmensonal com desvo padrão σ aplcado à magem e representa o operador gradente. O operador ( v ( ψ) ) ndca que trata-se de uma função potencal escalar a defnr no plano magem. A aplcação de snakes em magens exge a defnção de potencas externos cujos mínmos locas concdam com extremos de ntensdades, orlas ou outras característcas com nteressa na magem. O operador σ ( x( ψ) y( ψ) ) G I, representa a convolução da magem orgnal com um fltro de suavzação (fltro Gaussano) cujo desvo-padrão σ controla a extensão espacal do mínmo local de. De acordo com o cálculo de varações, o contorno v ( ψ) que mnmza a energa E nt vψ deve satsfazer a equação de Euler-Lagrange, defnda como: ( ( )) 2 2 v v α + ( ( )) = 0 2 β 2 + vψ. (5) ψ ψ ψ ψ A equação dferencal parcal (5) representa o balanço das forças nternas e externas quando o contorno atnge o equlíbro. A solução numérca de (5) pode ser obtda a partr da solução teratva de v ( ψ), conforme descrto em [33]. Na forma dscreta, uma snake é defnda como um contorno bdmensonal formado por um conjunto de n nodos conectados ([7]). Neste sentdo, cada nodo da snake, = 0, K, n, conecta-se a outro através de arcos e está assocado a uma posção (pxel) que vara no tempo x ( t) = [ x( t), y( t) ], a forças de tensão α ( t), flexão β ( t) e força dos dados da magem f ( t). O conceto de energa aqu utlzado torna-se uma função dscreta de n 2 pontos onde n representa o número de pontos da curva dscretzada. Neste caso, a análse de convexdade rá reduzr a análse dos autovalores de sua Hessana. Assm, procura-se estabelecer as condções necessáras para que estes autovalores sejam estrtamente postvos, ou, em outras palavras, procura-se por condções que tornem o conceto de energa estrtamente convexa. O problema nerente à convexdade do modelo é contornado mergndo o modelo orgnal em um contexto dnâmco, onde a curva, medante o uso da formulação Lagrangeana ([3, 20]), apresenta a característca de aceleração, o que lhe permte abandonar o domíno de atração de um mínmo local ([7]). A deformação da snake é, portanto, governada pela equação do movmento de Lagrange na sua forma dscreta. A força nterna de tensão, que age para manter um espaçamento unforme entre os nodos do modelo, é defnda como: α ( t) = 2 x( t) x ( t) x+ ( t). (6) Por seu lado, a força nterna de flexão, que relacona-se à suavdade da snake, é defnda como: β t = α t α t α t. (7) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 +

6 Com objetvo de fazer com que a evolução da snake pare em orlas sgnfcantes, pode-se utlzar a força externa de dados da magem defnda como: f( t) = p P( x( t) ). (8) A equação (8), conhecda como força do contorno, utlza a função P como um potencal de atração defndo pelo gradente da magem suavzada e p defndo como ntensdade da força. A aplcação do operador é utlzada aqu como forma de realçar as freqüêncas altas. Outra manera de dmnur os efetos da não convexdade da energa é usar métodos mult-escala ([, 3, 4, 0, 23]) em que a solução é obtda medante o refnamento da solução anteror. Neste sentdo, à medda que o modelo refna a solução, espera-se que fque mas próxmo do mínmo global desejado. Como trata-se de uma metodologa teratva, o custo computaconal pode aumentar devdo a representação mult-escala consderada. Além dsso, caso a seqüênca de escala utlzada não seja adequada, pode não ocorrer a convergênca para o contorno desejado. Como já referdo, apesar das númeras vantagens da utlzação de snakes no processo de segmentação de magem, as parametrzações da energa nterna da snake podem lmtar sua flexbldade geométrca e mpedr a representação de formas tubulares, salêncas e bfurcações. Além dsso, os métodos de snakes são sensíves à ncalzação, a problemas de mnmzação e a mudanças de topologa do modelo, ou seja, o método snakes, em sua forma orgnal ([8]). Estes modelos requerem nformação ncal referente à curva a ser nserda no nteror do objeto, que deve ser smlar e estar muto próxma do objetvo fnal, o que torna o processo cansatvo quando da segmentação de um grande número de magens. Se a snake for ncalzada dstante do contorno fnal, a sua evolução pode estaconar em falsas orlas que mutas vezes podem ser artefatos e ruídos presentes no nteror do objeto desejado; a snake também é mutas vezes atraída para mínmos locas de energa que são nsgnfcantes. Assm, em mutos casos prátcos, a evolução da snake precsa ser supervsonada pelo usuáro através da utlzação de nterfaces nteratvas. Se em uma seqüênca de magens as varações são pequenas, é possível partr de uma só ncalzação e propagar os contornos obtdos em uma magem como as curvas ncas das próxmas magens ([5, 6, 20, 2]). A utlzação de métodos varaconas para a resolução do funconal de energa, como o descrto em [], não oferecem a garanta de que a solução encontrada seja a mínma global ([2]), pos, como já referdo, a solução pode fcar presa a um mínmo local. Para resolver este problema, [] propõe um método de busca de uma mínma global utlzando programação dnâmca, sob pena de um elevado custo computaconal. Mas tarde, [5] propõe o modelo de balão que adcona uma força externa extra ao modelo orgnal de snakes. A desgnação adoptada vem do fato de que esta força faz a curva comportar-se como um balão nsuflando-se em dreção às fronteras do objeto. Contudo, o modelo de balão não produz uma correta dentfcação de concavdades nas estruturas de nteresse, apesar de ser menos sensível às condções ncas da snake. Em [29], um novo tpo de energa, conhecdo como Gradent Vector Flow, fo proposto. Na solução proposta, a curva é gerada por meo da dfusão dos vetores de gradente sobre os níves de cnza dervados da magem orgnal. A prncpal vantagem deste método em relação ao modelo tradconal caracterza-se por sua habldade de reconhecer concavdades profundas com uma menor sensbldade em relação à defnção da curva ncal. Apesar deste modelo ser menos sensível às condções ncas e consegur representar objetos de natureza não convexa, a segmentação pode falhar quando a curva é ncada longe do contorno do objeto a ser segmentado, conforme descreve [7]. O modelo T-Snakes, também conhecdo como modelo Topologa Adaptável, proposto por [23], combna a representação paramétrca do modelo tradconal com a flexbldade geométrca e topológca dos modelos mplíctos ([4, 2]). A déa básca deste método é utlzar o modelo Snakes em uma decomposção trangular do domíno de nteresse de forma que os resultados ntermedáros obtdos possam ser utlzados em métodos de contnuação numérca para a execução efcente e robusta de mudanças topológcas ([0]). Neste caso, há

7 uma reparametrzação da snake baseada na subdvsão do espaço no qual ela está nserda. Além dsso, esse modelo resolve os problemas de representação de formas tubulares, de salêncas e de bfurcações. Como apresentam um aumento no custo computaconal ([25]), o modelo T-Snakes exge que a curva seja ncalzada próxmo ao contorno desejado ([0]). Além dsso, o processo de reparametrzação apresenta pelo menos duas desvantagens: ) perturbar a snake, partcularmente nas proxmdades das bordas desejadas, tornando o método muto sensível à trangulação usada; 2) tornar a energa nterna da snake não-nvarante por rotação e translação da curva, uma vez que sua dscretzação dependerá da sua posção no espaço. Por fm, é recomendado o refnamento da solução obtda por meo de um modelo paramétrco, tas como o modelo de balão ou de Gradent Vector Flow ([23]). Estas lmtações do modelo T-Snake fazem com que sua evolução seja defnda va nformações estrtamente locas, não envolvendo, portanto, nenhum processo de mnmzação explícto. O modelo Dual, proposto por [2] e redefndo em [0], e desgnado como Dual-T- Snake, combna a evolução de dos contornos nterlgados: um que expande a partr do nteror do objeto de nteresse e outro que se contra a partr do exteror do mesmo objeto. Apesar da utlzação de duas curvas garantr que o método seja mas apto a rejetar mínmos locas, garantndo maor robustez, ele necessta da correspondênca entre os pontos das duas snakes e o estabelecmento a pror dos modelos de forma consstente com o modelo. O objetvo deste método é unr as característcas topológcas do modelo T-Snake com a robustez do método Dual em rejetar mínmos locas. Entretanto, este modelo também pode necesstar de uma etapa de refnamento, pos utlza o T-Snake. A utlzação de algortmos genétcos com snakes, proposta por [2], fornece uma solução robusta para o problema da sensbldade à ncalzação; além dsso, este método também permte obter uma solução mínma global dentro da regão de nteresse. Outra abordagem de algortmos genétcos com snakes é proposta em [8], na qual o algortmo genétco em conjunto com o modelo tradconal é utlzado em segmentação volumétrca. O método B-Snakes, proposto por [24], utlza B-splnes em conjunto com snakes para aproxmar o contorno desejado por uma curva B-Splne que controla sua tensão e rgdez, substtundo a componente nterna da equação de energa. Algumas abordagens foram utlzadas em conjunto com B-Snakes, como a técnca do gradente conjugado ([9]) e a técnca multescalar ([3, 27]). Entretanto, como os pontos de controle da B-Splne não fazem parte da curva, o equlíbro pode ser alcançado antes da frontera da estrutura de nteresse ([8]). Para mnmzar a energa, o algortmo Greddy ([3]) fo proposto baseado no modelo de programação dnâmca, porém utlza uma busca local ao nvés de uma busca global. A prncpal vantagem deste algortmo vem justamente da redução do custo computaconal e da manutenção das característcas de establdade numérca da programação dnâmca. Entretanto, ele não garante que a solução encontrada seja mínma global. Algumas melhoras ao algortmo Greddy orgnal podem ser encontradas na lteratura ([8, 9]). No modelo estatístco, proposto por [4], a força de pressão é controlada em função de característcas estatístcas dos dados da magem ([5]). Neste caso, é necessáro que uma parte da curva sobreponha a estrutura de nteresse e que os parâmetros estatístcos sejam aproprados, para se obter um resultado satsfatóro ([5]). A escolha de parâmetros aproprados tem o objetvo de fazer com que a curva se expanda ou se contraa de acordo com uma regão ncal defnda pelo usuáro ([3]). O método tube snake, proposto por [25], oferece uma alternatva para representação de estruturas estretas e alongadas. Isto é consegudo graças ao uso de uma topologa fxa de um clndro. Entretanto, a habldade de representar estruturas tubulares pode se consderada a sua prncpal desvantagem na representação de formas dstntas. Com o objetvo de evtar o problema de mínmos locas, [5] ntroduzram uma força de expansão (de balão) que pressona a curva além das orlas soladas, parando apenas em orlas mas ntensas. Neste caso, a snake passa a ser vsta como um balão que é nsuflado até atngr o contorno do objeto. Portanto, snakes baseadas em regões tornam a evolução menos sensível à

8 ncalzação e a problemas de mínmos locas ([22, 26]). Mudanças de topologa são útes para resolver problemas nerentes à segmentação de múltplos contornos e objetos com ocos, concavdades ou ramfcados. Estas mudanças permtem que a snake seja dvdda para crar múltplas snakes ou, anda, fundr snakes. Snakes envolvendo curvas e superfíces ([23, 30]) e usando modelos mplíctos ([4, 20, 2]) têm sdo largamente empregadas em problemas de análse de magem Modelo de balão O modelo de balão ([5]) adcona às snakes clásscas uma força externa de expansão p ( t) defnda como: p ( t) = qf( I( x( t) )) n( t), (8) para nsuflar o modelo em dreção aos contornos na magem I ( x, y), onde n representa o vetor normal ao contorno no nó e q ndca a ampltude da força. A função bnára representada como: ( x, y) +, se I T F( I( x, y) ) =, (9), caso contráro relacona a força e expansão aos dados da magem para um lmar T. Ou seja, a função faz o balão contrar quando F ( I( x, y) ) < T, evtando, com sso, que o balão ultrapasse os lmtes do objecto. Portanto, a força de expansão permte que a snake ultrapasse as orlas que não formam o contorno do objeto. O método de Euler e o método de dferenças fntas utlzados sobre a equação do movmento de Lagrange transformam a equação de deformação de balão (8) em: ( aα + bβ p f ) ( t+ t) ( t) t ( t) ( t) ( t) ( t) x = x, (0) γ ou seja, a posção do nó x é atualzada no ntervalo de tempo t ; o parâmetro γ representa um coefcente de deslocamento, enquanto os parâmetros a e b controlam a resstênca do modelo às deformações. Neste caso, cada nodo da snake sofrerá sucessvas deformações até atngr o contorno fnal após um dado número de terações. 3. METODOLOGIA 3.. Dscretzação e Smulação Numérca A solução de energa mínma é obtda a partr da dscretzação da função de energa E snake ( vψ ( )), defnda em (). Usualmente, o modelo geométrco contínuo Ψ é representado como uma combnação lnear de funções de base com suporte local ou com suporte global. São exemplos de métodos locas: elementos fntos, dferenças fntas e splne geométrcos; já os métodos baseados na transformada de Fourer são do tpo representação global. E snake vψ é defnda como: Matematcamente, a forma dscreta da energa ( ( )) E T ( u) { u} [ k]{ u} + p( { u} ) = 2, () onde o vetor { u } representa, de forma dscreta, o modelo contínuo v ( ψ), [ ] rgdez e ({ u} ) k é a matrz de p representa versão dscretzada do potencal externo. A equação () pode ser re-escrta como: k u = p = f, (2) [ ]{ } { } { }

9 com { f } defnndo o vetor de forças externas generalzadas. A relação apresentada pela equação (2) torna-se verdadera uma vez se quer a solução para o mínmo de energa em que o gradente da equação defnda em () seja nula. Escrevendo a versão dscreta da equação dnâmca Lagrangeana de (5) em equações dferencas ordnáras de segunda ordem, tem-se:... [ m ] u + [ c] u + [ k]{ u} = { f}, (3) c é a matrz de amortecmento. As dervadas em (5) são aproxmadas por dferenças fntas; métodos explíctos ou mplíctos de ntegração são onde [ m ] representa a matrz de massa e [ ] usados para smular o sstema ordnáro de equações dferencas defndos em (3) com base nos parâmetros de forma { u } Algortmos Implementados Os algortmos consderados foram mplementados em Matlab com objetvo de explorar a utlzação do conceto de algortmos genétcos com snakes do tpo de balão. Especfcamente, a partr de uma população ncal (magem ncal ou magem exemplo), o algortmo genétco busca pela melhor curva para ncar o processo de segmentação. Posterormente, o algortmo balão do método Snake é executado refnando a solução ncal encontrada. A Fgura 2 apresenta o dagrama do modelo proposto. Os problemas relaconados com a representação do espaço de busca, nerentes à técnca de algortmos genétcos ([]) são atenuados a partr da aplcação das seguntes técncas: eltsmo smples ([6]), eltsmo global e redução de espaço de busca ([28]). Os expermentos realzados neste trabalho envolvendo magens consstram dos seguntes passos: (a) seleção manual de um contorno ncal na magem delmtando a regão de nteresse; (b) execução do algortmo tradconal a partr do contorno ncal; (c) execução da abordagem baseada em algortmo genétco e snakes a partr do mesmo contorno ncal; (d) comparação entre as duas abordagens. Fgura 2. Dagrama smplfcado do modelo proposto. A mplementação do algortmo genétco segue os procedmentos apresentados na Fgura. Para sso, foram fetas as seguntes defnções: Cromossomo: Um cromossomo é defndo como um vetor com tamanho gual ao número de segmentos apresentados na regão de nteresse. Neste caso, cada bt do cromossomo corresponde a um segmento na magem, ncalzado randomcamente em 0 (zero) e (um) (Fgura 3). A probabldade que o valor (um) seja alocado para o bt é adaptatvamente modfcada de acordo com o número de segmentos presentes

10 na regão de busca. O processo segunte é determnar o grau de aptdão de um cromossomo durante o seu processo evoluconáro. Neste caso, somente foram consderados segmentos com valor (um) e uma população N = 00, pos foram estes parâmetros que melhores resultados apresentaram. Função de avalação de aptdão: Em cada regão de nteresse, os resultados obtdos pelo algortmo genétco foram mapeados de forma que o valor (um) corresponde-se à máxma aptdão daquele da snake frente a famílas de snakes geradas. Para avalar os resultados obtdos, fo defnda uma função baseada nas característcas das magens a serem segmentadas e nos fatores de agrupamentos usados na etapa de ncalzação do algortmo. Ou seja, de N representa o número de bts que tenham (um) em cada cromossomo, a função de avalação de aptdão é determnada pelos seguntes fatores: proxmdade (P), curvalneardade (C), homogenedade (H) e comprmento (L). Estes fatores são defndos como: onde P= N = p, c, N N p c h, C=, H = N h e = N = N e L= N = l N p, (4) l representam, respectvamente, proxmdade, curvalneardade, homogenedade e comprmento do -ésmo segmento com um bt (um) no cromossomo. Especfcamente, a curvalneardade é defnda como o valor máxmo de curvalneardade entre o -ésmo segmento e outro segmento com bt (um). A noção de proxmdade ajustada à proxmdade entre o -ésmo segmento, fornecendo o valor de curvalneardade máxmo. O valor h representa o número de pxels com (um) no -ésmo segmento dvddo pelo número total de pxels presente no segmento. Portanto, a função de avalação de aptdão fo defnda da segunte manera: onde F( n) = ω P( n) + ω2c( n) + ω3h( n) + ω4l( n) ω com = {,2,3,4}, (5) representam fatores de ponderação para a função aptdão. Neste trabalho, estes fatores foram defndos como 0.5, 0, e 0.03, respectvamente. Os valores destes fatores são determnados expermentalmente de forma a atngr um certo grau de aptdão, prevamente defndo pelo usuáro. Processo evoluconáro: Os algortmos genétcos envolvem processos de cruzamento (crossover) e mutação (Fgura 4). Em cada geração, metade dos ndvíduos com valores mas elevados da aptdão sobrevve; a outra metade é extnta. Dos pas, seleconados dos ndvíduos não extntos, geram um tercero ndvíduo (flho) usando o conceto de crossover; ou seja, os cromossomos dos dos pas são separados e rearranjados em duas posções aleatóras. Como o número de ndvíduos crados é o mesmo que aqueles extntos, a população total é sempre mantda constante em todas as gerações. O processo de mutação para quando a aptdão máxma da população permanece constante em 5 gerações. Quando o algortmo genétco pára, o ndvíduo com aptdão máxma é utlzado; ou seja, este ndvíduo representa o contorno de ncalzação para o algortmo de snake a usar na segmentação. Fgura 3. Defnção esquemátca de um cromossomo. Fgura 4. Representação esquemátca das operações crossover e mutação.

11 3.3. Expermentos Város expermentos foram realzados durante este trabalho usando magens sntétcas com objetvo de ajustar adequadamente os parâmetros e avalar os algortmos envolvdos no processo proposto. Nesses testes, as ncalzações foram fetas de forma automátca, na tentatva de usar ncalzações que não fossem próxmas em forma e localzação ao contorno fnal desejado. A snake de balão fo ncalmente defnda por um conjunto reduzdo de pontos que formam uma representação polgonal. No decorrer do processo de expansão, fez-se uma reamostragem destes pontos sempre que um dado número de terações M é alcançado. Isto fez com que um maor número de magens fosse analsdo. No algortmo mplementado, essa reamostragem dvdu cada arco da snake de balão em duas partes após encontrar o ponto médo do arco. Reamostragens baseadas na busca por nterseções entre os arcos referdo e uma grelha quadrangular também podem ser realzadas. A Fgura 5 apresenta um exemplo das magens utlzadas. O contorno externo delmta a regão de nteresse para a procura da solução do problema. A população ncal é defnda manualmente dentro dessa frontera. Os ndvíduos do algortmo genétco são representados por formas geométrcas como círculos, elpses, qudrados, os quas sofrem as operações genétcas ao longo das sucessvas gerações. Essas operações são executadas na forma de transformações geométrcas, tas como unão, nterseção, rotação e translação. A energa total da snake, defnda em (), é utlzada como a função de avalação da aptdão dos ndvíduos. Fgura 5. Imagens utlzadas na avalação do modelo proposto. A aplcação do modelo proposto pode ser resumda em três etapas (Fgura 5): ) execução do algortmo genétco, a partr da regão de nteresse defnda, obtendo as melhores soluções para o problema da localzação do contorno ncal; 2) as soluções do algortmo genétco são aplcadas na defnção do contorno ncal para a snake de balão; 3) a snake é executada realzando a sua deformação até atngr o equlíbro junto à frontera da estrutura de nteresse. 4. RESULTADOS OBTIDOS A partr dos expermentos realzados, a confguração dos modelos utlzados fo devdamente realzada. Assm, para a snake de balão fo estabelecdo um valor de 0.48 para os parâmetros α e β. Nos testes realzados, verfcou-se o aumento da possbldade de colapso da snake na confguração de valores acma deste lmte. O algortmo genétco fo executado com uma população de 000 ndvíduos ao longo de 500 gerações com 40% de mutação e 80% de cruzamento. A Fgura 6 apresenta os resultados obtdos com as magens apresentadas na Fgura 5. A escolha do parâmetro T, defndo em (9), pode levar em consderação a méda de ntensdade do objeto e uma varânca. Desta forma, a snake de balão expande em regões com ntensdade próxma às do objeto e contra em regões com ntensdade próxma às do fundo da magem. Neste trabalho, T é smplesmente um parâmetro de lmarzação da magem. Quanto ao parâmetro M, se for alto, a snake de balão terá poucos pontos, nsufcentes para delnear adequadamente o contorno do objeto. Pelo contráro, se M for baxo, haverá um acúmulo de pontos sobre o contorno. A Fgura 6 apresenta os resultados da detecção do contorno de um círculo após 36 e 49 terações. A ncalzação fo um quadrado totalmente nserdo no nteror

12 do objeto. Os parâmetros utlzados neste expermento foram: a= 0.0, b= 0.04, q = 5, p = 8, t= 0.5, γ = e M = 5. A Fgura 7 lustra a habldade da snake de balão em recuperar contornos que possuem gaps com 55 e 60 terações, respectvamente. Os parâmetros utlzados foram: a= 0.0, b= 0.04, q = 5, p = 8, t= 0.5, γ = e M = 20. Fgura 6. Resultados obtdos com as magens da Fgura 5. Imagem a esquerda representa o objeto na forma crcula; magem a dreta representa o objeto com forma rregular. Fgura 7. Detecção de círculos sendo a ncalzação um quadrado totalmente nserdo no nteror do objeto (Fgura da esquerda) até a sua completa nserção dentro da frontera do círculo (Fgura da dreta). A Fgura 8 apresenta a detecção de um quadrado, mostrando a habldade obtda pelo método proposto para a detecção a partr de uma ncalzação não contda totalmente no objeto. Observa-se pelos resultados obtdos que, numa mesma teração, algumas zonas da snake contraem e outros expandem. Tal efeto é provocado pela função F ( I( x, y) ) da força de expansão, defnda em (9). Os parâmetros utlzados para a realzação deste teste foram: a= 0.0, b= 0.04, q = 5, p = 8, t= 0.5, γ = e M = 4. A partr dos resultados obtdos, observa-se anda que um número maor de terações é necessáro quando as magens apresentam nves de ruído superores porque ao snake pode osclar em torno de zonas de ruído e fca retda nas mesmas durante algumas terações. A Fgura 9 apresenta os resultados obtdos medante a comparação entre os métodos de snakes analsados com o método proposto. Especfcamente, foram analsados o método de snakes clássco, o modelo de snake de balão e o método de Gradent Vector Flow. Como esperado, o prmero e segundo modelos não resolveram de forma satsfatóra o problema

13 relaconado com a evolução na superfíce côncava, enquanto o modelo proposto e o método Gradent Vector Flow apresentaram bons resultados. Entretanto, os resultados expermentas obtdos mostram a habldade do modelo proposto em evolur quando o objeto apresenta concavdadea abruptas, casos nos quas o modelo de Gradent Vector Flow falha. Fgura 8. Detecção de círculos usando a técnca de snakes de balão proposta (método de snakes de balão genétca). Fgura 9. Comparação entre os prncpas métodos estudados e o modelo proposto. A prncpal dfculdade do método proposto é a nstabldade produzda pela utlzação de parâmetros nadequados. Se as forças de regularzação forem domnantes, a snake de balão pode contrar em dreção ao centro ou pode haver uma grande resstênca à expansão. Se a relação entre os parâmetros de velocdade for alta, a snake avança muto rápdamente a cada teração, oscla em torno do contorno fnal desejado sem, entretanto, aproxmar-se dele. Efeto semelhante ocorre com a força de expansão. Deve haver um equlíbro entre os parâmetros das forças de expansão q e da magem p, com p maor que q, tal que uma orla ntensa seja capaz de parar a expansão da snake, mas com q sufcentemente grande para que a snake ultrapasse orlas de menor ntensdade. 5. CONSIDERAÇÕES FINAIS O prncpal objetvo deste trabalho fo apresentar um método de segmentação de objetos em magens a partr da utlzação de contornos atvos (snakes) de balão conjungados com um algortmo genétco. Os resultados obtdos dos expermentos realzados comprovaram a efcênca do método proposto no processo de segmentação de magens, pos a otmzação

14 oferecda pelo uso de algortmos genétcos torna o método de snakes tradconal menos sensível à sua localzação ncal. Ou seja, a convergênca para a regão de nteresse ocorreu de manera mas preemnente. O modelo tradconal de contornos atvos apresenta problemas relaconados com a representação correta de objetos que possuem concavdades acentuadas, bem como a sensbldade na confguração dos parâmetros de evolução da curva. No contexto de dentfcação de estruturas crculares, essas lmtações podem ter menor relevânca. Nesse sentdo, os resultados obtdos mostraram que as técncas de Gradent Vector Flow aplcadas na tarefa de deformação do contorno obtda pelo Algortmo Genétco amenzam a representação de objetos não-convexos. Para evtar o problema de mínmos locas, advndos da aplcação do método de snakes tradconal, fo ntroduzda uma força de expansão, conhecda como de balão, que pressona a curva além das orlas soladas, parando apenas em orlas mas ntensas. Neste caso, a snake passa a ser vsta como um balão que é nsuflada até atngr o contorno do objeto desejado, tornando a evolução menos sensível à ncalzação e a problemas de mínmos locas. No que tange a utlzação do método de balão, verfcou-se que ocorre grande nstabldade nos resultados produzdos quando são nserdos parâmetros nadequados. Nesse sentdo, a snake de balão se contra em dreção ao centro ou produz uma grande resstênca à expansão quando as forças de regularzação são domnantes. Caso a relação entre os parâmetros de velocdade for alta, o método avança muto rápdo a cada nova teração, sem, contudo, aproxmar-se do contorno desejado. Os resultados mostraram que deve haver um equlíbro entre os parâmetros das forças de expansão e da magem, de forma que a snake de balão ultrapasse as orlas de menor ntensdade. REFERÊNCIAS [] AMINI, A., A.; WEYMOUTH T.; JAIN, C.R.J. Usng Dynamc Programmng for Solvng Varatonal Problems n Vson, IEEE Transactons on Pattern Analyss and Machne Intellgence, 2(9), , 990. [2] BALLERINI, L. Genetc Snakes for Medcal Images Segmentaton, Proc st European Workshop on Evolutonaty Computaton n Image Analyss and Sgnal Processng, Göteborg, Sweden, 999. [3] BRIGGER, P.; UNSER, M. Mult-Scale B-Splne Snakes for General Contour Detecton, Wavelet Applcatons n Sgnal Image Processng VI, Proc. of SPIE, 3458, 998. [4] CASELLES, V.; CATTE, F.; COLL, T.; DIBOS, F. A Geometrc Model for Actve Contours n Image Processng, Techncal Report 920, CEREMADE, 992. [5] COHEN, L.D.; COHEN, I. Fnte Element Methods for Actve Contour Models and Balloons for 2D and 3D Images, IEEE Transactons on Pattern Analyss and Machne Intellgence, 5, 3-47,993. [6] DE JONG, K.A. An Analyss of the Behavor of a Class of Genetc Adaptatve Systems, PhD thess, Unversty of Mchgan, 975. [7] DUMITRAS, A.; VENETSANOPOULOS, A.N. A Comparatve Study of Snake Models wth Applcaton to Object Shape Descrpton n B-Level and Gray-Level Images, IEEE EURASIP Workshop on Nonlnear Sgnal and Image Processng, 200. [8] FAN, Y.; JIANG, T.; EVANS, D.J. Volumetrc Segmentaton of Bran Images Usng Parallel Genetc Algorthms, IEEE Transactons on Medcal Imagng, 2(8), [9] FLICKNER, M.; SAWHNEY, H.; PRYOR, D.; LOTSPIECH, J. Intellgent Interactve Image Outlnng Usng Splne Snakes, In 28th Asmolar Conf. Sgnals, Systems, Computers,, , 994.

15 [0] GIRALDI, G.A.; STRAUSS, E.; OLIVEIRA, A.F. A Boundary Extracton Method Based on Dual-T-Snakes and Dynamc Programmng, In Proc.of IEEE Computer Socety Conference on Computer Vson and Pattern Recognton (CVPR'2000), [] GOLDBERG, D.E. Genetc Algorthms n Search, Optmzaton, and Machne Learnng, 989. [2] GUNN, S.R.; NIXON, M.S. A Robust Snake Implementaton: A Dual Actve Contour, IEEE Transactons on Pattern Analyss and Machne Intellgence, 9(), 63-68, 997. [3] IVINS, J. Statstcal Snakes: Actve Regon Models, PhD thess, Unversty of Sheffeld, 996. [4] IVINS, J.; PORRILL, J. Statstcal Snakes: Actve Regon Models, Ffth Brtsh Machne Vson Conference, 2, , 994a. [5] IVINS, J.; PORRILL, J. Actve Regon Models For Segmentng Medcal Images, IEEE Frst Internatonal Conference On Image Processng, 2, , 994b. [6] CASELLES, V.; KIMMEL, R.; SAPIRO, G., Geodesc Actve Contours, IJCV, v. 22(), pp. 6-79, 997. [7] GONZALEZ, R.C.; WOODS, R.E., Dgtal Image Processng, ed. Addson-Wesley, [8] KASS, M.; WITKIN, A.; TERZOPOULOS, D. Snakes: Actve Contour Models, Internatonal Journal of Computer Vson, (4), 32-33, 988. [9] LAM, K.M.; YAN, H. Fast Greedy Algorthm for Actve Contours, Electronc Letters, 30(), 2-23, 994. [20] CASELLES, V.; CATTE, F.; COLL, T.; DIBOS, F. A geometrc model for actve contours, Numersche Mathematk, v. 66, -3, 993. [2] MALLADI, R.; SETHIAN, J.; VEMURI, B. Shape Modelng wth Front Propagaton: A Level Set Approach, IEEE Transactons on Pattern Analyss and Machne Intellgence, 7(2), 58-75, 995. [22] CHESNAUD, C.; RÉFRÉGIER, P.; BOULET, V. Statstcal regon snake-based segmentatonadapted to dfferent physcal nose models, IEEE Transactons on Pattern Analyss and Machne Intellgence, v. 2, n., pp , 999. [23] MCINERNEY, T.; TERZOPOULOS, D. Medcal Image Segmentaton Usng Topologcally Adaptable Surfaces, Proc. Frst Jont Conference of Computer Vson, Vrtual Realty, and Robotcs n Medcne and Medcal Robotcs and Computer Asssted Surgery (CVRMed-MRCAS 97), Grenoble, France, 997. [24] MENET, S.; SAINT-MARC, P.; MEDIONI, G. B-Snakes: Implementaton and aplcaton to stereo, In Image Understandng Workshop, , 990. [25] MONTAGNAT, J.; DELINGETTE, H.; SCAPEL, N.; AYACHE, N. Representaton, Shape, Topology and Evoluton of Deformable Surfaces. Applcaton to 3D Medcal Image Segmentaton, Techncal Report 3954, INRIA, [26] RONFARD, R. Regon-based strateges for actve contour models, IJCV, v. 3(2), pp , 994. [27] STAMMBERGER, T.; RUDERT, S.; MICHAELIS, M.; REISER, M.; ENGLMEIER, K.H. Segmentaton of MR Images wth B-splne Snakes. A Mult-Resoluton Approach Usng the Dstance Transformaton for Model Forces, Bldverarbetung für de Medzn, 998 [28] VASCONCELOS, J.A.; RAMIREZ, J.A.; TAKAHASHI, R.H.C.; SALDANHA, R.R.J.A. Improvements n Genetc Algorthms, IEEE Transactons on Magnetcs, 37, 5, , 200. [29] XU, C.; PRINCE, J.L. Snakes, Shapes and Gradent Vector Flow, IEEE Transactons on Image Processng, 7(3), , 998.

16 [30] SZELISKI, R.; TONNESSEN, D.; TERZOPOULOS, D. Curvature and contnuty control n partcle-based surface models, n Proc SPIE 93 Conf. On Geometrc Methods n Computer Vson, San Dego, CA, 993. [3] WILLIAMS, D.J.; SHAH, M. A Fast Algorthm for Actve Countors and Curvature Estmanton, CVGIP: Image Understandng, 55(), 4-26, 992. [32] BARBOSA, K.M.; ACCO, M.; KIRCHNER, F.F. Classfcação de magens Ikonos e comparação por meo de segmentação e fotonterpretação da área amostral. In: Smpóso Braslero de Sensoramento Remoto (SBSR), Anas XI SBSR, Belo Horzonte, Brasl, 05-0 abrl 2003, INPE, [33] MA, Z.; TAVARES, J.M.R.S.; JORGE, R.M.N.; MASCARENHAS, T. Revew of Algorthms for Medcal Image Segmentaton and ther Applcatons to the Female Pelvc Cavty. Computer Methods n Bomechancs and Bomedcal Engneerng (n press). [34] GONÇALVES, P.C.T; TAVARES, J.M.R.S.; JORGE, R.M.N. Segmentaton and Smulaton of Objects Represented n Images usng Physcal Prncples. Computer Modelng n Engneerng & Scences, 32(), 45-55, 2008.