ALGORITMO DE PROGRAMAÇÃO DINÂMICA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES EM EXTRAÇÃO DE FEIÇÕES

Transcrição

1 ALGORITMO DE PROGRAMAÇÃO DINÂMICA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES EM EXTRAÇÃO DE FEIÇÕES Alur P. Dal Poz Govane Maa do Vale Unversdade Estadual Paulsta UNESP Departamento de Cartografa alur@prudente.unesp.br Unversdade Estadual Paulsta UNESP Programa de Pós-Graduação em Cêncas Cartográfcas gmvale@pos.prudente.unesp.br RESUMO O algortmo de programação dnâmca vem sendo usado em processamento de magens dgtas e vsão computaconal por mas de trnta anos. A prmera aplcação fo no reconhecmento de caracteres tpografados e manuscrtos em magens dgtas. Desde este trabalho ponero, ele vem sendo aplcado numa varedade de problemas de extração de feções envolvendo dferentes tpos de magens, nclundo magens aéreas e de satélte e magens de mcroscópo. A programação dnâmca é uma técnca para resolver problemas de otmzação quando nem todas as varáves na função custo estão nterrelaconadas smultaneamente. Dos exemplos de aplcação do algortmo de programação dnâmca em extração de feções lneares são brevemente apresentados e dscutdos. A prmera aplcação é na extração de rodovas em magens de baxa resolução, como as magens SPOT. Em qualquer aplcação da programação dnâmca o problema mas mportante a ser resolvdo é a defnção da função custo. Para o problema de extração de rodova esta função é defnda levando em conta 5 propredades báscas de rodova, sendo três fotométrcas (por exemplo, rodovas são feções lneares com alta ntensdade de brlho) e duas geométrcas (por exemplo, rodovas são feções suaves). Prova-se que apenas ses varáves são nterrelaconadas smultaneamente nesta função custo e, como tal, pode ser efcentemente resolvda pelo algortmo de otmzação por programação dnâmca. A segunda aplcação é uma técnca para detecção de bordas, cuja função custo é defnda como uma soma ponderada entre as somatóras de magntudes do gradente e de curvaturas, as quas são tomadas ao longo de cadeas de pxels canddatas a consttur bordas. Mostra-se que esta função custo pode ser efcentemente resolvda pelo algortmo de programação dnâmca. Este artgo apresenta e dscute o algortmo de otmzação de programação dnâmca, bem como sua aplcabldade em problemas de extração de feções, mas uma atenção especal é dada para dos exemplos específcos envolvendo extração de rodova e detecção de borda. Palavras-chave: Programação Dnâmca, Função Custo, Extração de Feções. DYNAMIC PROGRAMMING ALGORITHM: FUNDAMENTALS AND APPLICATIONS IN FEATURE EXTRACTION ABSTRACT Dynamc programmng algorthm has been used n dgtal mage processng and computer vson for over thrty years. The earlest applcaton was n the recognton of type and handwrtten characters n dgtal mages. Snce ths poneer work, t has been appled n a plenty of feature extracton problems nvolvng dfferent knds of mage data, as for example aeral and satellte mages, and mcroscope mages. Dynamc programmng s a technque for solvng optmzaton problems when not all varables n the cost functon are nterrelated smultaneously. Two examples of applcaton of the dynamc programmng algorthm n lnear feature extracton are brefly presented and dscussed. The frst applcaton s on the road extracton from low-resoluton mages, lke SPOT satellte mage. In any dynamc programmng applcaton the key problem to be solved s the defnton of the cost functon. The cost functon for ths road extracton problem s formulated takng nto account 5 basc road propertes, three descrbng photometrc (for example, roads are lght lnear features) and two descrbng geometrc (for example, roads are smooth features) behavor. It s shown that only sx varables are nterrelated smultaneously n ths cost functon and, as such, t can be effcently solved by the dynamc programmng optmzaton algorthm. The second applcaton s a technque for edge detecton, whose cost functon s defned as a weghted sum of cumulatve edge strength and cumulatve curvature along pxel chans canddate to

2 consttute edges. It s shown that ths cost functon can be effcently solved by the dynamc programmng algorthm. Ths paper presents the dynamc programmng optmzaton algorthm, as well as ts applcablty n feature extracton problems, but specal attenton s gven for two specfc examples concernng road extracton and edge detecton. Keywords: Dynamc Programmng, Cost Functon, Feature Extracton. INTRODUÇÃO O algortmo de programação dnâmca fo ntroduzdo em processamento de magens por Kovalevsk (967), cujo problema tratado fo o reconhecmento de caracteres tpografados e manuscrtos. Desde então, númeras pesqusas foram realzadas sobre extração de feções utlzando o algortmo de programação dnâmca, estendendo-se pelas mas dversas áreas de conhecmento. Montanar (97) contrbuu sgnfcatvamente ao propor uma metodologa para a extração de feções lneares geometrcamente suaves em magens dgtas. O problema colocado e resolvdo por este autor conssta em detectar e extrar curvas caracterzadas como uma seqüênca de n pxels adjacentes (p,..., p n ). Uma metodologa smlar fo proposta por Martell (97, 976), só que o problema é agora colocado como uma busca pelo camnho de custo mínmo em um grafo ponderado. Fschler et al. (98) propuseram uma metodologa para a extração de rodovas em magens (LANDSAT) de baxa resolução, nas quas as rodovas se manfestam como lnhas. O problema básco conssta, prmeramente, em classfcar cada pxel da magem usando propredades báscas (no caso, homogenedade e contrate) de rodova e, após, extrar os contornos usando o algortmo de programação dnâmca, sob restrções geométrcas de suavdade e contnudade. O algortmo de programação dnâmca fo também aplcado no delneamento de glomérulos em magens de mcroscópo de seções renas (Yamada et al., 988). Os glomérulos são estruturas aproxmadamente crculares, podendo então ser modelados por polígonos com curvatura constante. O método conssta em reconhecer feções na magem com característca de modelo crcular, tratando-se na verdade de um problema de correspondênca usando programação dnâmca. Em Mortensen e Barret (995) a programação dnâmca é transformada num problema de busca em grafo para gerar uma árvore de custo mínmo, na qual se tem camnhos ótmos entre pxels da magem. Estes camnhos ótmos correspondem a feções na magem. Uma metodologa versando sobre extração de rodovas em magens SPOT de baxa resolução fo proposta em Gruen e L (995, 997), onde o algortmo de programação dnâmca fo utlzado para resolver um modelo de rodova, formulado com base em propredades radométrcas (por exemplo, contraste e homogenedade) e geométrcas (por exemplo, suavdade) de rodova. Versões modfcadas desta metodologa foram apresentadas em Dal Poz (000) e Dal Poz e Agours (00). Nos processos de extração de feções exstem dos tpos báscos de feções lneares que são alvo de extração (Agours et al., 988, Bellman e Shorts, 00): ) feções descrevendo os contornos dos objetos, como por exemplo bordas e lnhas; e ) feções descrevendo exos de smetra, como por exemplo o exo de rodova em magens de alta resolução. Vale ressaltar que os trabalhos prévos, como alguns que foram brevemente descrtos acma, destnam-se à extração de feções lneares de tpo, sto é, contornos dos objetos. Neste sentdo, Vale e Dal Poz (003) propuseram uma metodologa para tratar de forma rgorosa as feções do tpo, mas num contexto específco de extração de rodovas em magens de méda e alta resolução. Nesses tpos de magem as rodovas têm que ser modeladas como faxas estretas e alongadas, fcando como alvo de extração o exo central de cada rodova. Tendo por base o trabalho anteror de Dal Poz e Agours (00), uma mportante modfcação fo realzada por Vale e Dal Poz (003) no modelo de rodova para forçar a defnção do exo central de rodova, possbltando a obtenção de excelentes resultados com magens de méda e alta resolução. A comprovada mportânca do algortmo de programação dnâmca em aplcações envolvendo extração de feções em magens de dferente natureza (magens de mcroscópo, magens aéreas e de satélte etc.) é uma das motvações para este trabalho. Entretanto, a prncpal motvação vem da constatação de que revsões compreensvas do algortmo de programação dnâmca não têm sdo apresentadas em publcações de grande crculação (prncpalmente as vnculadas em peródcos), lgadas à área de Fotogrametra Dgtal - alguns exemplos onde sso ocorre são Fschler et al. (98), Gruen e L (995, 997), Dal Poz (000), Dal Poz e Agours (00) e Vale e Dal Poz (003). As razões para este procedmento vão desde a relatva complexdade matemátca nerente e a necessdade de um espaço relatvamente grande para expô-lo, até a boa documentação exstente em publcações da área de Vsão Computaconal - ver, por exemplo, Ballard e Brown (98). Assm, geralmente se apresenta uma noção bastante superfcal do algortmo de programação dnâmca, fcando o foco do artgo quase que exclusvamente sobre o desenvolvmento da função custo e sobre os detalhes geras de sua solução usando o algortmo de programação dnâmca. Em vsta do exposto, este artgo segue uma lnha relatvamente nversa, dando grande ênfase a uma revsão compreensva do algortmo de programação dnâmca (Seção ) e apresentando dos exemplos de aplcação em extração de feções em magens

3 dgtas (Seção 3), sto é, extração de rodovas e bordas. O artgo é fnalzado na Seção 4, onde algumas consderações fnas são apresentadas. ALGORITMO DE PROGRAMAÇÃO DINÂMICA. FUNDAMENTOS BÁSICOS Quando em um problema, nem todas as varáves envolvdas estão nterrelaconadas smultaneamente, a solução pode ser efcentemente encontrada através de uma técnca de otmzação conhecda como programação dnâmca (BALLARD e BROWN, 98). A fgura mostra o problema clássco da programação dnâmca (LI, 997). A déa básca é encontrar o camnho ótmo em um grafo, entre os nós A e N, cuja solução pode ser encontrada seqüencalmente. No prmero estágo, é necessáro escolher um dos camnhos entre o nó A e os nós 0, ou. Supondo que o nó é a melhor escolha, a próxma decsão deve ser tomada entre os nós 0, e. Esta estratéga va sendo repetda até que o nó N seja alcançado. O camnho defndo pelos nós A,,, 3, 4 e N é o camnho ótmo procurado, correspondendo à trajetóra de custo mínmo. A Fgura - Problema Clássco de Programação Dnâmca N A segur, o problema é apresentado de manera mas formal (LI, 997). Sejam {P }, =,,..., n, um conjunto de nós e [C j ] uma matrz custo, onde C j é o custo para r do nó P para o nó P j. O camnho ótmo é tal que o custo para r do nó ncal P A para o nó fnal P N seja mínmo. Sejam agora g(,j) a função (ou função custo) que descreve o custo para mover do nó P para o nó P j e s os nós ao longo do camnho. Pode-se escrever, g(,,j)= g(,s) + g(s,,j) () Para encontrar o camnho ótmo entre os nós P e P j é necessáro encontrar g(,j) e um conjunto s que satsfaça, g(,,j)= mn[g(,s) + g(s, j)] () s Se nenhuma restrção for mposta, a expressão estabelece um problema geral de busca em grafo. Entretanto, se o grafo for smlar àquele apresentado na fgura, onde apenas alguns nós estão dretamente conectados, então a busca pelo camnho ótmo envolve um procedmento de otmzação seqüencal e, como tal, um algortmo efcente para resolver o problema é o da programação dnâmca. O algortmo para resolver o problema estabelecdo acma é apresentado na seção... ALGORITMO PARA RESOLVER O PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO DINÂMICA Consderar o problema de encontrar o máxmo M da função, Portanto, o objetvo é encontrar a ênupla ( x, x,..., g= g(x, x,..., x n ) (3) x n ) que maxmza a função 3. Se esta função é analtcamente desconhecda, e as varáves ndependentes (x,..., x n ) assumem valores dscretos, a solução pode ser encontrada através da exaustva combnação dessas varáves. Contudo, se nem todas as varáves são smultaneamente nterrelaconadas, então um algortmo de programação dnâmca pode ser aplcado para resolver o problema. Supor então, que,

4 g(x, x,..., x n )= g (x, x, x 3 ) g n- (x n-, x n-, x n ) (4) onde, a função g depende apenas de x, x e x 3, a função g apenas de x, x 3, e x 4, e assm por dante. Assm posto o problema, o valor máxmo da função 4 pode ser encontrado através de um processo de elmnação seqüencal das varáves envolvdas. O processo nca então com a elmnação da varável x. Como as funções g,..., g n- não dependem de x, somente a função g deve ser consderada nesse momento. A elmnação de x é realzada através da seleção do valor de x que maxmza g, para cada realzação do par (x, x 3 ), sto é, f (x, x 3 )= max [ g (x, x, x 3 ) ] (5) x O processo contnua com a elmnação da varável x, sendo que o mesmo prncípo é aplcado, como segue, f (x 3, x 4 )= max [ f (x, x 3 ) + g (x, x 3, x 4 ) ] (6) x A elmnação das demas varáves segue o mesmo prncípo da etapa anteror. Entretanto, é convenente formalzar a elmnação das duas últmas varáves (x n-, x n ), como segue, f n- (x n )= max [f n- (x n-, x n )] (7) x n M= max(g)= max [ f n- (x n )] (8) x n Fnalmente, pode-se generalzar o algortmo descrto acma através das seguntes equações recursvas, f 0 (x, x )= 0 (9) f k (x k+, x k+ )= max [f k- (x k, x k+ ) + g k (x k, x k+, x k+ )] (0) x k f n- (x n )= max [f n- (x n-, x n )] () x n M= max[g]= max [f n- (x n )] () x n O prncípo representado pelas equações 5, 6, 7 e 8 é usado para construr uma sére de tabelas, possbltando posterormente a obtenção da ênupla ( x, x,..., x n ) que maxmza a função 4. Para facltar o entendmento do algortmo, BALLARD; BROW (98) apresentam um exemplo artfcal bem smples, onde n = 4 e as funções g dependem apenas de varáves. Como mostra a fgura, cada varável x assume três valores dscretos. Como um exemplo, a varável x pode assumr os valores 0, e. As funções g são defndas pelas tabelas da fgura. Por exemplo, g (, -)=. x x 3 x x 8 x 3 x g (x,x ) g (x,x 3 ) g 3 (x 3,x 4 ) Fgura - Representação das Funções g, g e g 3 Através de Tabelas. A fgura 3 mostra o prmero passo para a solução do problema de determnação de máxmo da função defnda pela soma das funções g, g e g 3. Como mostra a fgura 3, cada valor de x é assocado com o valor de x que maxmza g (x, x ), obtendo-se assm os valores máxmos de g. x f x

5 Fgura 3 Prmero Passo As fórmulas de recursão 9 e 0 são usadas para a construção da função f (x ): f (x ) = max [f 0 (x ) + g (x, x )], com f 0 (x ) = 0 (3) x Aplcando a equação 3 para os possíves valores de x (. e.,, e 3), obtém-se os respectvos valores de f (x ) (fgura 3): f (x = ) = f (x = ) = f (x = 3) = max [f 0 (x ) + g (x =, x = )] = 6 (4) x max [f 0 (x ) + g (x = 0, x = )] = 7 (5) x max [f 0 (x ) + g (x =, x = 3)] = 8 (6) x x 3 x 3 f x x (a) (b) Fgura 4 - Segundo Passo. (a) f (x ) + g (x, x 3 ); e (b) f (x 3 ) As fguras 4(a) e 4(b) mostram o segundo passo da solução do problema de otmzação. Os elementos da tabela da fgura 4(a) são obtdos pela adção dos elementos da função f (x ) às respectvas lnhas de g (x, x 3 ), tendo por base a segunte fórmula de recursão: f (x 3 ) = max [f (x ) + g (x, x 3 )] (7) x O argumento do operador max[.] (equação 7) é usado para construr a tabela da fgura 4(a). Por exemplo, para montar a prmera lnha (valores 7, 3 e 7) basta fxar x = e atrbur à x 3 os valores -, 0 e. A exemplo do passo, a função f (x 3 ) (fgura 4(b)) é obtda seleconando-se os máxmos (em cnza) na tabela da fgura 4(a), como segue: f (x 3 = -) = max [f (x = 3) + g (x = 3, x 3 = -)] = 3 (8) x f (x 3 = 0) = max [f (x = 3) + g (x = 3, x 3 = 0)] = 4 (9) x f (x 3 = ) = max [f (x = ) + g (x =, x 3 = )] = 0 (0) x As tabelas das fguras 5(a) e 5(b) são montadas como no passo anteror. A segunte fórmula de recursão é utlzada: f 3 (x 4 ) = max [f (x 3 ) + g 3 (x 3, x 4 )] () x 3

6 x 4 x 4 f 3 x x (a) (b) Fgura 5 - Tercero Passo. (a) f (x 3 ) + g 3 (x 3, x 4 ); e (b) f 3 (x 4 ). Fnalmente, a solução para o problema de otmzação é encontrada segundo-se, pela ordem, as tabelas das fguras 5(b), 4(b) e 3. Conforme mostra a fgura 5(b), o máxmo de f 3 (x 4 ) está assocado com x 4 = e x 3 = -. Retrocedendo-se à tabela da fgura 4(b), nota-se que o valor a ser consderado de f (x 3 ) é 3, pos é este que está relaconado com x = 3 e x 3 = -, sendo que este últmo fo prevamente seleconado na tabela anteror. Em seguda, segundo o camnho nverso, encontra-se x =, que é o valor relaconado a x = 3, em f (x ). Assm, tem-se a solução ótma g (x, x, x 3, x 4 ) =, com x =, x = 3, x 3 = - e x 4 =. Retornando-se agora ao caso mas geral (eq. 4), e levando-se em conta as equações 9 e 0, podese resumr o algortmo descrto através dos seguntes passos : - fazer K= e f 0 (x, x )= 0; - construr a tabela de máxmos para a função f k (x k+, x k+ ); 3- se K< n-, então fazer K= K + e r para o passo ; 4- tomar o valor máxmo de f n- e retroagr pelas n- tabelas para obter a ênupla solução. O fluxo acma pode ser melhor vsualzado através da fgura 6. f 0 (x, x )= 0, k= Construr e armazenar a tabela de máxmos para: f k (x k+, x k+ )= max [f k- (x k, x k+ ) + g k (x k, x k+, x k+ )] x k K = n+ S k< n- N Tomar o máxmo de f n- e retroagr pelas n- tabelas M, (x,,x n ) Fgura 6 - Fluxo do algortmo de programação dnâmca Abaxo são apresentados alguns comentáros adconas sobre o algortmo apresentado (LI, 997): o procedmento apresentado é ótmo, pos todas as possbldades são avaladas; consderando que cada uma das n varáves assume m valores dscretos, o esforço computaconal é 0(nm 3 ); uma possbldade nteressante desse algortmo é a ntrodução de njunções de desgualdade. Por exemplo, na extração de uma rodova, pontos que superam uma determnada lmar de curvatura não são avalados; o algortmo pode ser utlzado para encontrar o valor mínmo, em vez do máxmo. Para tanto, basta substtur o operador máx(.) por mín(.); a função 4 pode ser estendda para um caso mas geral, onde cada varável depende de p subseqüentes varáves. Para o caso analsado p= 3. A complexdade computaconal cresce exponencalmente com o aumento de p; e

7 a equação 4 é conhecda como função custo. 3 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO EM EXTRAÇÃO DE FEIÇÕES Dos exemplos envolvendo extração de feções através do algortmo de otmzação por programação dnâmca são apresentados abaxo. O prmero exemplo refere-se à extração de rodovas em magens de baxa resolução. O segundo exemplo mostra uma aplcação envolvendo o problema de extração de bordas. Em ambos os casos não há a ntenção de descrever em detalhes as respectvas soluções, uma vez que uma descrção básca da função custo relatva a cada aplcação é sufcente para entender o processo nerente de otmzação pelo algortmo de programação. 3. EXTRAÇÃO DE RODOVIAS EM IMAGENS DE BAIXA RESOLUÇÃO Uma rodovára em uma magem de baxa resolução pode ser modelada como uma feção lnear suave e de alta ntensdade de brlho. O modelo matemátco de rodova basea-se em cnco propredades báscas, sendo três fotométrcas e duas geométrcas. A prmera propredade é fotométrca e estatu que os pxels de uma rodova são mas claros que os de fundo. Isto sgnfca que uma rodova em uma magem dgtal pode ser consderada como uma faxa estreta e contínua de alta ntensdade de brlho, margeada por regões (fundos) de baxa ntensdade. Portanto, a soma dos quadrados dos tons de cnza da magem (G(x,y)) ao longo da rodova é máxma, sto é, Ep = G (x,y ) Máx () A segunda propredade é também fotométrca e fundamenta-se no conhecmento a pror de que o materal de rolagem, geralmente asfalto ou concreto, não vara muto em curtas dstâncas. Isso mplca em respostas espectras smlares em segmentos curtos. Portanto, uma expressão matemátca baseada no conceto de homogenedade pode ser escrta, como segue, E p = [G(x,y ) G ] Mín (3) j j j DS m d onde, DS m d G é dada pela expressão 4. G DS m d G(x j,y j ) j = (4) DS Nas equações 3 e 4, o índce j é usado para ndexar pontos ao longo de cada vetor (, +). A dstânca DS é dada por, DS = (y y ) + (x+ x ) + (5) A tercera propredade é uma generalzação das prmeras. Vsto que uma rodova é uma feção lnear de alta ntensdade de brlho, e que os pontos mas dstantes dessa curva têm menor nfluênca na defnção da mesma, pode-se escrever a segunte expressão matemátca para representar esta propredade, E p3 = e d G (x,y ) Máx (6) onde, d é a dstânca entre um ponto (x, y ) e a curva dscreta representando a rodova; e

8 d e é uma função gaussana, nversamente proporconal ao quadrado de d. A quarta propredade reflete uma característca geométrca fundamental de uma rodova, sto é, a suavdade. Por questões prátcas, uma rodova é normalmente composta por segmentos retos e curvas suaves, geralmente crculares. Esta propredade dá orgem ao segunte modelo matemátco (fgura 7), E g = [ cos(a a+ )] / DS Mín (7) onde, a a + é o ângulo de deflexão entre dos vetores sucessvos da entdade dscreta representando a rodova; e DS é a dstanca entre o vértce e - ou +. DS a a + DS - + Fgura 7 - Curvatura no Vértce A qunta propredade estatu que a curvatura local de uma rodova possu um lmte máxmo, sto é, Cg < = a a + T (8) onde, T é um lmar. Consderando agora que uma rodova pode ser representada por uma lnha polgonal de n vértces, o segunte par de equações pode ser usado para modelar o objeto rodova (DAL POZ e AGOURIS, 00), n- E = ((Ep bep + cep3 )[+ cos(a a+ )] / = E DS ) (p,p,p+ ) (9) = = n C = a a + <T, =,..., n- (30) onde, b e c são duas constantes postvas e Ep, Ep e Ep3 são dados respectvamente pelas equações, 3 e 6. Portanto, o modelo matemátco de rodova é composto por funções: E: corresponde à função objetvo (eq. 9), podendo ser decomposta em funções E dependendo apenas de três pontos vznhos (p -, p, p + ) da lnha polígonal que representa a rodova; e C : devdo a sua defnção (eq. 30), também é denomnada de njunção de desgualdade e permte lmtar o espaço de busca do problema, pos a função E é apenas avalada para pontos que satsfaçam C < T. Como mostra a equação 9, o modelo matemátco de uma rodova em uma magem de baxa resolução depende smultaneamente de três vértces sucessvos da lnha polgonal representado a rodova. Isto sgnfca que ses varáves estão nterrelaconadas smultaneamente. Assm, a estrutura da equação (9) é semelhante à da equação 4, podendo então ser resolvda efcentemente pelo algortmo de otmzação por programação dnâmca. O resultado desse processo de otmzação é uma lnha polgonal que maxmza a equação (9) e satsfaz a njunção de desgualdade (eq. 30). 3. EXTRAÇÃO DE BORDA Os detectores de borda podem ser agrupados em duas classes (ZIOU e TABBONE, 998): - autônomos: estes detectores não usam conhecmento a pror sobre a magem ou borda a ser detectada,

9 sendo que uma característca em comum dos detectores autônomos é o processamento local dos dados da magem. Exemplos: os detectores de borda de Sobel e Canny; e - contextual: estes detectores têm sdo propostos para aplcação em conteúdos mas específcos de magem, nclundo dessa forma algum conhecmento a pror de objetos presentes na magem. Exemplos: detectores baseados em contorno atvo (snakes) (KASS et al., 987) e programação dnâmca (BALLARD e BROWN, 98). A metodologa a ser apresentada abaxo faz parte da classe dos detectores contextuas. Novamente são apresentados detalhes essencas relaconados com a função custo do método e argumentos sobre a aplcabldade do algortmo de otmzação por programação dnâmca. Detalhes adconas podem ser encontrados em BALLARD e BROWN (98). A defnção da função custo depende da determnação a pror da magem de orentação do gradente (d(p ), sendo p a posção de um pxel da magem) e da magem de magntude do gradente (m(p )), procedmentos bastante comuns em textos báscos de processamento de magens dgtas. A função custo é defnda com base em duas característcas das bordas que se pretende detectar. A prmera característca é básca em qualquer detector de bordas, pela qual as bordas são consttuídas de uma seqüênca de pxels assocados com máxmos locas do gradente. A segunda característca mpõe uma restrção mportante sobre as bordas que se pretende detectar, segundo a qual as mesmas devem ser suaves. Assume-se então que as bordas possuem aspecto de feções suaves. Assm, como as rodovas são geralmente feções suaves, esta característca é favorável à detecção de bordas que delmtam rodovas. Do exposto, a função custo pode ser defnda a partr das seguntes parcelas: Soma das magntudes do gradente ao longo dos pontos que defnem uma borda: como estes pontos correspondem a máxmos locas do gradente, esta soma deve ser máxma; e Soma das curvaturas locas ao longo dos pontos que defnem uma borda: como se quer forçar que as bordas sejam suaves, esta soma deve ser mínma. Matematcamente, tendo em vsta as característcas das bordas que se quer detectar, a função custo é formulada como segue: onde, n g(p,..., p )= m(p ) + α d(p ) - d( p+ ), com α < 0 (3) = n =. é o operador valor absoluto; p, =,..., n, são pxels vznhos de uma borda qualquer; e g(p,..., p ) é a função custo, que deverá ser máxma para seqüêncas de pxels descrevendo bordas. Notar que o parâmetro α é defndo como negatvo, justamente para forçar a detecção de bordas suaves. Em outras palavras, seqüêncas de pxel com maor curvatura serão mas penalzadas. Observando a equação 3, conclu-se faclmente que a mesma pode ser decomposta na forma que segue, g(p,..., p )= g (p, p ) g n- (p n-, p n ) (3) A equação 3 mostra que somente dos pontos de borda estão nterrelaconados smultaneamente na função custo. Em outras palavras, apenas quatro varáves estão nterrelaconadas smultaneamente, permtndo conclur que a equação 3 possu a mesma estrutura da equação 4. Dessa forma, a programação dnâmca é o algortmo aproprado para resolver o problema de extração de bordas colocado. 4 CONSIDERAÇÕES FINAIS Este artgo apresentou o algortmo de programação dnâmca em seus aspectos teórco e algorítmco, bem como mostrou sua aplcabldade em problemas de extração de feções em magens dgtas de dversas naturezas. Em especal, foram apresentados dos exemplos de aplcação em problemas relaconados com a coleta de nformações espacas. No que se refere ao prmero exemplo, fo apresentada uma metodologa para a extração de rodovas em magens de baxa resolução (pxels > m). Como pode ser constado em DAL POZ (000) e DAL POZ e AGOURIS (00), esta metodologa é útl também para aplcação em magens de méda resolução (pxels entre 0,7 m e m). Entretanto, modfcações realzadas na função custo (VALE e DAL POZ, 003) possbltaram a aplcação da metodologa em magens aéreas de alta resolução (pxels < 0,7 m), permtndo a extração acurada do exo de rodova. Referente ao método contextual para detecção de bordas, não se tem dsponível

10 mplementação computaconal para realzação de testes. Entretanto, embora nenhum teste tenha sdo realzado, a metodologa para extração de rodovas pode ser utlzada, à prncípo sem modfcação, para a extração de bordas em uma magem de magntude do gradente. Isto é teorcamente possível porque as bordas, que são descontnudades numa magem qualquer, manfestam-se como lnhas na correspondente magem de magntude do gradente, sto é, da mesma forma que rodovas em magens de baxa resolução. 5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS AGOURIS, P., GYFTAKIS, S., STEFANIDIS, A. Usng a fuzzy supervsor for object extracton wthn an ntegrated geospatal envromment. In SYMPOSIUM ON OBJECT RECOGNITION AND SCENE CLASSIFICATION FROM MULTISPECTRAL AND MULTISENSOR PIXELS, v. 3, 998, Columbus, Oho. Internatonal Archves of the Photogrammetry and Remote Sensng, Columbus - EUA, 998. p BALLARD, D. H.; BROWN, C. M. Computer Vson. Englewood Clfs, New Jersey: Pretce Hall, 98. BELLMAN, C. J., SHORTIS, M. R. A machne learnnng approach to buldng recognton n aeral photographs. In: ISPRS COMMISSION III, SYMPOSIUM 00, PCV0 (Part A), v. 34, 00, Graz - Austra. Internatonal Archves of the Photogrammetry, Remote Sensng and Informaton Scences, Graz - Austra, 00. p DAL POZ, A. P. Processo automátco para reconhecer rodovas georeferencadas de uma fotografa aérea dgtalzada. Relatóro FAPESP de Pós-Doutorado, Unversdade do Mane, EUA, 5 p., 000. DAL POZ, A. P.; AGOURIS, P. Um algortmo de otmzação global para a extração de rodovas de magens dgtas. Revsta Braslera de Cartografa, Ro de Janero 53, p. 65-7, 00. FISCHLER, M. A., TENENBAUM, J. M., WOLF, H. C. Detecton of roads and lnear structures n lowresoluton aeral magery usng a multsource knowledge ntegraton technque. Computer Graphcs and Image Processng, v. 5, p. 0-3, 98. GRUEN, A.; LI, H. Road extracton from aeral and satellte mages by dynamc programmng. ISPRS Journal of Photogrammetry and Remote Sensng, v. 50, n. 4, p. -0, 995. GRUEN, A.; LI, H. Sem-automatc lnear feature extracton by dynamc programmng and LSBsnakes. Photogrammetrc Engneerng and Remote Sensng, v. 63, n. 8, p , 997. KASS, M., WITKIN, A., TERZOPOULOS, D. (987). Snakes: Actve Contour Models. In: ST INT. CONF. ON COMPUTER VISION, London, pp KOVALEVSKII, V. A. (967), An optmal recognton algorthm for some sequences of patterns. Cybernetcs, 3(4), pp LI, H. Sem-automatc road extracton from satellte and aeral mages. PhD thess, Report No. 6, Insttute of Geodesy and Photogrammetry, ETH-Zurch, Swtzerland, 6p., 997. MONTANARI, U. On the optmal detecton of curves n noysy pctures. Comuncatons of the ACM, v. 4, n. 5, p , 97. MARTELLI A. (97), Edge detecton usng heurstc search methods. Computer graphcs and Image Processng, (), pp MARTELLI, A. (976), An applcaton of heurstc search methods to edge and contour detecton. Communcaton of the ACM, 9(), pp MORTENSEN, E. N., BARRETT, W. A. Intellgent Scssors for mage composton. SIGGHAPH 95, 995, Los Angeles - EUA. nd Annual ACM Conference on Computer Graphcs and Interactve Technques, Los Angeles, CA, 995. p

11 YAMADA, H., MERRITT, C., KASVAND, T. Recognton of kdney glomerulus by dynamc programmng matchng method. IEEE Transactons on Pattern Analyss and Machne Intellgence, v. 0, n. 5, p , 988. VALE, G., DAL POZ, A. P. Metodologa modfcada de programação dnâmca para a extração acurada do exo de rodova em magens dgtas. Revsta Braslera de Cartografa RBC, Ro de Janero, n. 55/, junho de 003. ZIOU, D. TABBONE, S. Edge detecton technques- an overvew. Internatonal Journal of Pattern Recognton and Image Analyss, v.8 pp , 998.