PROGRAMA FRANCISCO EDUARDO MOURÃO SABOYA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA ESCOLA DE ENGENHARIA UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

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1 PGMC PROGRAMA FRANCISCO UARO MOURÃO SABOYA PÓS-GRAUAÇÃO M NGNHARIA MCÂNICA SCOLA NGNHARIA UNIVRSIA FRAL FLUMINNS Tese de outorado UM NOVO APROXIMANT RIMANN PARA SIMULAÇÃO SCOAMNTOS COM ONAS CHOQU LIAN MARACAJÁ PORTO JULHO 2009

2 LIAN MARACAJÁ PORTO UM NOVO APROXIMANT RIMANN PARA SIMULAÇÃO SCOAMNTOS COM ONAS CHOQU Tese de outorado apresentada ao Programa Francsco duardo Mourão Saboya de Pós- Graduação em ngenhara Mecânca da UFF como parte dos requstos para a obtenção do título de outor em Cêncas em ngenhara Mecânca Orentadores: Mara Laura Martns Costa (PGMC/UFF ) Rogéro Martns Saldanha da Gama (URJ) UNIVRSIA FRAL FLUMINNS Nteró, 21 de Julho de 2009

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4 Agradecmentos À professora Mara Laura Martns Costa, pelo ncentvo e dedcação constantes durante sua orentação, desde o níco desta empretada, fazendo com que este trabalho fosse possível. Ao professor Rogéro Martns Saldanha da Gama pela pacênca e carnho durante a sua precosa co-orentação, sempre se colocando à dsposção para superar as mnhas dfculdades. A todos os professores da Coordenação de Pós-Graduação pelos mprescndíves conhecmentos transmtdos. Ao Laboratóro Naconal de Computação Centífca LNCC/MCT, e em especal aos professores Marco Antôno Raupp e Pedro Lete da Slva as, seus dretores, pela oportundade, concedendo-me a lberação parcal de mnhas atvdades na nsttução durante o doutorado. À mnha famíla pelo ncentvo e a todos aqueles, que dreta ou ndretamente contrbuíram para a realzação deste trabalho.

5 SUMÁRIO Lsta de Fguras... Lsta de Tabelas...v Lsta de Símbolos...v Resumo...v Abstract...v Capítulo 1. Introdução 1.1. Consderações Geras Revsão Bblográfca escrção do Trabalho...10 Capítulo 2. escrção Matemátca do Problema 2.1. Introdução escrção ulerana e escrção Lagrangeana do Movmento ervada Materal Segundo a Partícula da spéce A Teorema do Transporte de Reynolds Teorema do Transporte de Reynolds para uma Regão com Interface de Fases Conservação de Massa Conservação de Massa para uma spéce Balanço de Momentum Lnear para uma Mstura Balanço de Momentum Angular para uma Mstura Modelo Mecânco da spersão de Poluentes na Atmosfera...32

6 Capítulo 3. Sstemas Hperbólcos de Les de Conservação 3.1. Introdução Sstema Hperbólco Lnear de Les de Conservação Sstemas Não Lneares de Les de Conservação Solução Clássca e Característcas Solução Fraca Condções para xstênca de escontnudade xstênca e Uncdade de Soluções Fracas Condção de ntropa Crtéro de Vscosdade...49 Capítulo 4. O Problema de Remann 4.1. Introdução O Problema de Remann para Sstemas Lneares O Problema de Remann para Sstemas Não Lneares Campos Característcos Solução Generalzada do Problema de Remann O Problema de Remann Assocado Solução do Problema de Remann Assocado Análse do Salto na Conexão *1 * Soluções Generalzadas para o Problema Remann Assocado...85

7 Capítulo 5. Aproxmante de Remann 5.1. escrção Físca Aproxmação Numérca Técnca de Partção do Operador O squema de Glmm Procedmento Alternatvo Aproxmante de Remann O Aproxmante de Remann...98 Capítulo 6. squema de Glmm e Técnca de Partção do Operador 6.1. O squema de Glmm Introdução Aproxmação Numérca Técnca de Partção do Operador Introdução Aproxmação Numérca Capítulo 7. Resultados Numércos Capítulo 8. Conclusões e Sugestões para Trabalhos Futuros Referêncas Bblográfcas APÊNIC: Métodos Numércos para Les de Conservação...160

8 Lsta de Fguras Fgura 4.1 Ilustração dos comportamentos: genunamente não lnear e lnearmente degenerado...57 Fgura 4.2 Função degrau...61 Fgura 6.1 Ilustração de um passo genérco no esquema de Glmm Fgura 6.2 Construção de uma dstrbução constante por partes para uma função F Fgura 6.3 squema de uma Casca sférca Fgura 7.1 Varação da densdade do gás, velocdade e concentração do poluente por undade de volume com a posção. ados ncas: e 1 constantes e função degrau para v Fgura 7.2 Varação da densdade do gás, velocdade e concentração do poluente por undade de volume com a posção. ados ncas: e 1 constantes e velocdade constante na maor parte do domíno, exceto por uma pequena regão com baxa velocdade Fgura 7.3 Varação da densdade do gás, velocdade e concentração dos poluentes por undade de volume com a posção radal. ados ncas: funções degrau para, 1, 2 e 3 e função lnear decrescente para v Fgura 7.4 Superfíces de densdade do gás, velocdade e concentração do poluente por undade de volume 1, referentes à Fgura 7.3 (a), (c), (e): Solução exata do problema de Remann; (b), (d), (f): Aproxmante de Remann Fgura 7.5 Varação da densdade do gás, velocdade e concentração dos poluentes por undade de volume com a posção radal. ados ncas: funções degrau para, 1 e 2 e funções lneares para 3 e para v Fgura 7.6 Superfíces de densdade do gás, velocdade e concentração do poluente por undade de volume 1, referentes à Fgura 7.5 (a), (c), (e): Solução exata do problema de Remann; (b), (d), (f): Aproxmante de Remann Fgura 7.7 Varação da densdade do gás, velocdade e concentração dos poluentes por undade de volume com a posção radal. ados ncas: funções degrau para, 1 e 2 ; função lnear para 3 e função lnear e constante para v Fgura 7.8 Superfíces de densdade do gás, velocdade e concentração do poluente por undade de volume 1, referentes à Fgura 7.7 (a), (c), (e): Solução exata do problema de Remann; (b), (d), (f): Aproxmante de Remann...125

9 Fgura 7.9 Varação da densdade do gás, velocdade e concentração dos poluentes por undade de volume com a posção radal. ados ncas: funções degrau para v, 1, 2 e 3 e função lnear para Fgura 7.10 Superfíces de densdade do gás, velocdade e concentração do poluente por undade de volume 1, como função do tempo e da posção radal, referentes à Fgura 7.9 (a), (c), (e): Solução exata do problema de Remann; (b), (d), (f): Aproxmante de Remann Fgura 7.11 Varação da densdade do gás, velocdade e concentração dos poluentes com a posção radal para R 0.05 e 0.8. ados ncas: Caso I Fgura 7.12 Varação da densdade do gás, velocdade e concentração dos poluentes com a posção radal para R 2.05 e 0.8. ados ncas: Caso I Fgura 7.13 Varação da densdade do gás, velocdade e concentração dos poluentes com a posção radal para R 0.05 e 0.2. ados ncas: Caso I Fgura 7.14 Varação da densdade do gás, velocdade e concentração dos poluentes com a posção radal para R 2.05 e 0.2. ados ncas: Caso I Fgura 7.15 Varação da densdade do gás, velocdade e concentração dos poluentes com a posção radal para R 0.05 e 0.8. ados ncas: Caso II Fgura 7.16 Varação da densdade do gás, velocdade e concentração dos poluentes com a posção radal para R 2.05 e 0.8. ados ncas: Caso II Fgura 7.17 Varação da densdade do gás, velocdade e concentração dos poluentes com a posção radal para R 0.05 e 0.2. ados ncas: Caso II Fgura 7.18 Varação da densdade do gás, velocdade e concentração dos poluentes com a posção radal para R 2.05 e 0.2. ados ncas: Caso II Fgura 7.19 Varação da densdade do gás, velocdade e concentração dos poluentes com a posção radal para R 0.05 e 0.8. ados ncas: Caso III Fgura 7.20 Varação da densdade do gás, velocdade e concentração dos poluentes com a posção radal para R 2.05 e 0.8. ados ncas: Caso III Fgura 7.21 Varação da densdade do gás, velocdade e concentração dos poluentes com a posção radal para R 0.05 e 0.2. ados ncas: Caso III...138

10 Fgura 7.22 Varação da densdade do gás, velocdade e concentração dos poluentes com a posção radal para R 2.05 e 0.2. ados ncas: Caso III Fgura 7.23 Varação da densdade do gás, velocdade e concentração dos poluentes com a posção radal para R 0.05 e 0.8. ados ncas: Caso IV Fgura 7.24 Varação da densdade do gás, velocdade e concentração dos poluentes com a posção radal para R 2.05 e 0.8. ados ncas: Caso IV Fgura 7.25 Varação da densdade do gás, velocdade e concentração dos poluentes com a posção radal para R 0.05 e 0.2. ados ncas: Caso V Fgura 7.26 Varação da densdade do gás, velocdade e concentração dos poluentes com a posção radal para R 2.05 e 0.2. ados ncas: Caso V Fgura 7.27 Varação da densdade do gás, velocdade e concentração dos poluentes com a posção para o Caso I Fgura 7.28 ferença entre as soluções apresentadas na fgura 7.27, consderando as varações de, ve com a posção Fgura 7.29 Varação da densdade do gás, velocdade e concentração dos poluentes com a posção para o Caso II Fgura 7.30 ferença entre as soluções apresentadas na fgura 7.29, consderando as varações de, ve com a posção Fgura 7.31 Varação da densdade do gás, velocdade e concentração dos poluentes com a posção para o Caso III Fgura 7.32 ferença entre as soluções apresentadas na fgura 7.31, consderando as varações de, ve com a posção Fgura 7.33 Varação da densdade do gás, velocdade e concentração dos poluentes com a posção para o Caso IV Fgura 7.34 ferença entre as soluções apresentadas na fgura 7.33, consderando as varações de, ve com a posção Fgura 7.35 Varação da densdade do gás, velocdade e concentração dos poluentes com a posção para o Caso V Fgura 7.36 ferença entre as soluções apresentadas na fgura 7.35, consderando as varações de, ve com a posção...149

11 v Lsta de Tabelas Tabela 4.1 Soluções Possíves do Problema de Remann...65 Tabela 4.2 scolhas a pror de Possíves Soluções do Problema de Remann...69 Lsta de Símbolos A Consttunte F Redefnção da varável G Redefnção da varável v H Redefnção da varável Solução do problema homogêneo assocado Fn 1 Solução do problema homogêneo assocado Gn 1 Solução do problema homogêneo assocado H n 1 F ˆn Solução generalzada do problema de Remann assocado G ˆn Solução generalzada do problema de Remann assocado Hˆ n 1 Solução generalzada do problema de Remann assocado stado à dreta stado à esquerda f força externa por undade de massa f salto da grandeza f p pressão termodnâmca r taxa de produção da espéce por undade de volume devdo a reações químcas

12 v t vetor tensão T tensor tensão v velocdade méda da mstura v velocdade méda da espéce na mstura varável de smlardade x largura de cada degrau número escolhdo aleatoramente no ntervalo 1/2, 1/2 n -ésmo nvarante de Remann s j velocdade de propagação do salto massa específca do consttunte massa específca da mstura * massa específca do estado ntermedáro concentração do -ésmo poluente razão entre e j j-ésmo autovalor

13 v RSUMO ste trabalho utlza um procedmento alternatvo para ldar com uma classe de sstemas hperbólcos não lneares, empregando um modelo prelmnar para descrever o movmento de poluentes em uma atmosfera, representado por um sstema hperbólco não lnear de m+2 equações dferencas parcas, a saber: conservação de massa e momentum para uma mstura com múltplos componentes de gases e ar e m equações de balanço de massa para os gases. A smulação deste sstema segue um procedmento sstemátco, tratando um problema smultâneo como um problema seqüencal, através da fatoração do operador em uma parte ordnára não homogênea (dependente do tempo) e o operador hperbólco homogêneo assocado. ste últmo é smulado por um esquema de Glmm de evolução no tempo, especfcamente ndcado para a smulação de problemas hperbólcos, apresentando precsão assegurada matematcamente, baseado em uma teora com sóldo embasamento termodnâmco. ste esquema é o que melhor preserva a dentdade do choque, sto é, a magntude e a posção da onda de choque. ntretanto, além de sua lmtação a problemas undmensonas, sua mplementação requer a solução completa, ou aproxmada, do problema de Remann assocado. Neste trabalho emprega-se um aproxmante de Remann buscando evtar a exgênca de uma solução completa do problema de Remann assocado para cada dos passos consecutvos, aproxmando, assm a solução do problema de Remann assocado por funções constantes por partes, sempre satsfazendo a condção de salto sem, necessaramente, satsfazer a condção de entropa. Comparações entre os resultados obtdos através da solução exata do problema de Remann assocado com aqueles obtdos pelo aproxmante de Remann mostram o bom desempenho desta metodologa.

14 v ABSTRACT Ths work employs an alternatve procedure to deal wth a class of nonlnear hyperbolc systems, usng a prelmnary model to descrbe pollutants moton n an atmosphere, represented by a nonlnear hyperbolc system of m+2 partal dfferental equatons: mass and momentum conservaton for the multcomponent mxture of gases and ar and m mass balance equatons for the gases. Ths system smulaton follows a systematc procedure, treatng a smultaneous problem as a sequental one by splttng the operator nto a non-homogeneous (tmedependent) ordnary part and the homogeneous assocated hyperbolc operator. Ths latter s treated by a Glmm s scheme for evoluton n tme, specfcally ndcated for smulatng hyperbolc problems presentng mathematcally ensured accuracy, based on a theory wth sold thermodynamc bass. It s the scheme that better preserves the shock dentty.e. shock wave magntude and poston. However, besdes ts lmtaton to one-dmensonal problems, ts mplementaton requres the complete soluton, or approxmaton, of the assocated Remann problem. In ths work an approxmate Remann solver s employed crcumventng the requrement of a complete soluton of the assocated Remann problem for each two consecutve steps, whch approxmates the soluton of the assocated Remann problem by pecewse constant functons, always satsfyng the jump condton, but not necessarly the entropy condton. Comparson among results obtaned by employng an exact soluton of the assocated Remann problem wth ths Remann solver results has shown the good performance of the latter strategy.

15 Capítulo 1 Introdução 1.1. Consderações Geras esde a sua cração em 1988, pela Organzação Meteorológca Mundal (OMN) e pela Unted Natons nvronment Programme (UNP), um dos prncpas objetvos do Panel Intergovernamental sobre Mudanças Clmátcas (IPCC) é o de produzr nformações centífcas através de relatóros, que são dvulgados perodcamente, baseados na revsão de pesqusas de 2500 centstas de todo o mundo, sobre mudanças clmátcas, mpactos, vulnerabldade e formas de adaptação dos sstemas bológcos e físcos a essas mudanças e meos de reduzr a emssão/concentração na atmosfera de gases de efeto estufa. e acordo com estes relatóros, o aquecmento global é resultado do lançamento excessvo de gases de efeto estufa (Gs), sobretudo o dóxdo de

16 2 carbono CO 2, na atmosfera. les são lançados na atmosfera prncpalmente pela quema de combustíves fósses (como petróleo, carvão e gás natural) e o desmatamento, que no Brasl é o prncpal responsável por nossas emssões de Gs. Ao desmatar, mutas pessoas quemam a madera que não apresenta valor comercal e o gás carbônco contdo na fumaça provenete das quemadas sobe para a atmosfera e se acumula a outros gases aumentando desta forma o efeto estufa. studado há mutos anos, ver, por exemplo, o trabalho de Perkns, datado de 1974 [1], a denomnação vem de uma analoga orgnada no fato do vdro de uma estufa também ser transparente para radações com baxo comprmento de onda e ser opaco à radação de altos comprmentos de onda emtda no nteror da estufa. A concentração atmosférca de dóxdo de carbono (CO 2 ), metano (CH 4 ) e óxdo ntroso (N 2 O) tem aumentado sgnfcatvamente como resultado das atvdades humanas desde 1750, devdo prncpalmente à quema de combustível fóssl e mudanças de uso da terra, enquanto o metano e o óxdo ntroso são, prncpalmente, devdos à agrcultura. No níco da revolução ndustral a concentração de CO 2 na atmosfera era de 280 ppmv (partícula por mlhão por volume); no níco da década de 1990 era de aproxmadamente 350 ppmv [2]. Um estudo das causas e conseqüêncas da polução atmosférca requer a compreensão do mecansmo de transporte de radação térmca. A radação solar, normalmente modelada como radação de corpo negro apresenta um comportamento dstnto da radação que alcança o espaço partndo da terra (stuada na regão de radação nfravermelha). Processos de combustão produzem dóxdo de carbono e cerca de metade do dóxdo de carbono produzdo permanece na atmosfera, provocando seu gradual aumento no meo ambente. Além dsso, como sua maor absorção da radação ocorre na faxa nfravermelha longos comprmentos de onda, o

17 3 dóxdo de carbono atua no sentdo de refletr a radação que dexa a terra, lmtando muto a parcela que atnge o espaço [1]. Além da presença de dóxdo de carbono na atmosfera, verfca-se a presença das partículas poluentes líqudas e sóldas de dmensões muto pequenas que podem ser provenentes de emssões de veículos (ex: chumbo fnamente dvddo) ou de ndústras e uma de suas manfestações comuns ocorre no sentdo de ncar e controlar precptações pluvométrcas. Além dsso, outro fator relevante é o aumento da temperatura da superfíce terrestre, causado pela dsspação de calor provenente de atvdades ndustras, que afeta o cclo de evaporação e condensação da água e o tamanho das calotas polares, o qual, por sua vez rá afetar o nível dos oceanos [3]. esta forma, mudanças na quantdade de gases assocados ao efeto estufa e aerossós, na radação solar e nas característcas da superfíce da Terra vêm alterando a dnâmca do sstema clmátco. Alterações na composção atmosférca, com altas taxas de materal partculado, nfluenca não só a qualdade do ar como também as condções meteorológcas, colocando em rsco as condções de sobrevvênca de toda a bosfera. m fereverero de 2007 o IPCC dvulgou os resultados de seu Quarto Relatóro de Avalação das Mudanças Clmátcas do planeta, chamado de IPCC-ARA [4], que alertam para um aumento médo global das temperaturas entre 1,8 0 C e 4,0 0 C até 2100, podendo este aumento ser anda maor (6,4 0 C) se a população e a economa contnuarem crescendo rapdamente e se for mantdo o consumo ntenso dos combustíves fósses. As conseqüêncas do aquecmento global podem ser sentdas em dversas partes do planeta como o aumento da ntensdade de eventos clmátcos extremos como furacões, tempestades tropcas, nundações, ondas de calor e seca, além do

18 4 aumento do nível do mar devdo ao derretmento das calotas polares e o aumento da temperatura méda do planeta em 0,8 0 C desde a Revolução Industral. Os fluxos atmosfércos transportam e dfundem os poluentes através do efeto de dspersão e são defndos como sendo a soma da contrbução de dos fatores: o transporte devdo à advecção, assocado aos efetos de grande escala, e aquele devdo à dfusão turbulenta, assocado aos efetos da mcroescala. O estudo da dspersão de poluentes pode ser realzado utlzando-se modelos uleranos ou Lagranganos. No modelo ulerano, a evolução da concentração de uma substânca, no espaço e no tempo, é descrta em relação a um sstema de coordenadas fxas, devendo satsfazer a um balanço materal de elementos de volume do domíno. Na descrção Lagrangana, por sua vez, a evolução da concentração, consdera partículas que representam porções de massa da substânca que são conduzdas pelo escoamento. No Capítulo 2 dscute-se um pouco mas este conceto. A smulação do movmento de um poluente permte compreender o comportamento de partículas emtdas na atmosfera favorecendo o desenvolvmento de novos processos e produtos, como forma de nvestgar os mpactos ambentas causados por este fenômeno. A smulação do transporte de poluentes na atmosfera possu uma hstóra recente, cujo avanço ocorreu após o surgmento da meteorologa, que se orgnou da necessdade humana de desenvolver a agrcultura e prever desastres naturas como enchentes. Nesta tese, fo empregado um modelo hperbólco para modelar o transporte de poluentes em um ambente representando uma atmosfera, no qual esta últma é modelada como um gás deal sotérmco e os poluentes são transportados radalmente.

19 5 A taxa de produção ou destrução deste devdo a reações químcas será consderada no modelo adotado. A descrção matemátca do problema é representada, assm, por um sstema hperbólco não lnear de equações dferencas parcas no qual se emprega um modelo smplfcado para as equações de conservação de massa e de momentum lnear para a mstura ar-poluentes, combnadas a balanços de massa para os poluentes, apresentada em Slattery [5]. Além dsto, supõe-se muto pequena a quantdade dos poluentes presentes na mstura o que permte aproxmar as equações do balanço de massa e momentum da mstura pelos balanços para o ar apenas. sta hpótese possblta defnr como a densdade do ar, v sua velocdade, p e g como a pressão e aceleração da gravdade, respectvamente, atuando sobre o ar. Neste contexto, as ncógntas do problema são a densdade do ar, sua velocdade e as concentrações dos poluentes, sendo todas funções tanto da posção espacal x como do tempo t. O sstema homogêneo assocado ao problema hperbólco é aproxmado numercamente pelo método de Glmm [6], [7], construído especfcamente para tratar problemas onde ocorrem soluções descontínuas. Sua prncpal característca é a capacdade de preservar a magntude e a posção das ondas de choque. Para tratar a parte não homogênea do operador hperbólco, será empregada uma técnca de partção do operador. ssencalmente, o problema orgnal um problema smultâneo será tratado como um problema seqüencal. O método de Glmm é um procedmento numérco que requer o conhecmento prévo da solução completa do problema de Remann assocado para gerar soluções aproxmadas para as equações hperbólcas sujetas a condções ncas arbtráras. ste método é bastante adequado para a solução de sstemas hperbólcos não lneares, uma vez que preserva a magntude e a posção dos choques. Por outro lado, sua

20 6 aplcação é restrta a problemas undmensonas. A técnca de partção do operador consste em decompor este últmo em uma parte puramente hperbólca, representada pelo problema homogêneo assocado ao problema orgnal, evolundo tanto no espaço como no tempo e outra parte representada por um sstema de equações dferencas ordnáras evolundo somente no tempo. ssencalmente, esta técnca numérca trata um problema smultâneo de forma seqüencal: o operador defndo no sstema hperbólco é decomposto em duas partes, sendo o problema homogêneo assocado (parte hperbólca do operador) separado do problema puramente evolutvo no tempo. m Martns-Costa e Saldanha da Gama [8], a descrção matemátca de um modelo smplfcado para o transporte de um poluente em uma atmosfera sotérmca deu orgem a um sstema hperbólco não lnear de três equações, que fo aproxmado empregando-se o esquema numérco de Glmm. Neste mesmo trabalho é apresentada uma dscussão completa do sstema e do problema de Remann assocado, onde nclu-se sua solução completa. m Saldanha da Gama e Martns Costa [9] é proposta uma forma alternatva para a mplementação do esquema de Glmm: um aproxmante de Remann, que é aplcado a um problema de transporte de um poluente na atmosfera em Martns Costa et al [10]. A comparação dos resultados obtdos utlzando este aproxmante com a solução exata do problema de Remann assocado mostrou o bom desempenho do aproxmante. Num trabalho subseqüente, Porto et al [11], foram consderados m poluentes (gerando um sstema hperbólco não lnear não homogêneo de m+2 equações) cuja smulação combnou a técnca de fatoração do operador para ldar com a porção não homogênea do operador hperbólco com o esquema de Glmm, utlzando um aproxmante de Remann (ao nvés do procedmento usual para mplementar o esquema de Glmm e avançar no tempo: a solução completa do problema de Remann assocado). O procedmento alternatvo utlzado consste em

21 7 aproxmar a solução do problema de Remann assocado por funções constantes por partes, sempre satsfazendo a condção de salto. sta aproxmação, além de ter mplementação mas fácl, tem um custo computaconal muto menor, já que não requer escolhas de soluções Revsão Bblográfca A descrção de grande parte dos fenômenos de transporte envolve a aplcação de equações dferencas parcas elíptcas ou parabólcas que, em geral, admtem soluções regulares e cujas smulações são mplementadas através de métodos numércos conhecdos, tas como elementos fntos, volumes fntos ou dferenças fntas. Os sstemas hperbólcos, por outro lado, permtem uma descrção mas realsta de certos fenômenos de transporte, como o escoamento de fludos compressíves não vscosos ou o escoamento através de meos porosos não saturados, uma vez que a propagação de qualquer quantdade ou nformação presente nestes fenômenos pode ser caracterzada por uma velocdade fnta. No entanto, tas sstemas podem não admtr soluções regulares, mas sm soluções descontínuas, que se caracterzam por soluções generalzadas envolvendo ondas de choque, o que requer o emprego de ferramentas numércas específcas tas como o esquema de Glmm [6] ou o esquema de Godunov [12] para tratar a natureza descontnua do problema. Assm, um dos grandes desafos que envolvem o tratamento de soluções descontínuas resde no fato de técncas analítcas efcentes que predomnam na teora de equações

22 8 dferencas parcas dsspatvas não poderem ser dretamente aplcadas àquelas stuações. O estudo matemátco de soluções descontínuas teve níco com o trabalho ponero de Remann [13], que prmero resolveu um problema de valor ncal, conhecdo como problema de Remann, para as equações soentrópcas undmensonas de uler, cuja aplcação é bastante frequente na solução de dferentes problemas de dnâmca de gases. Além de sua mportânca na solução de tas problemas, ele desempenha um papel essencal tanto na teora de les de conservação hperbólcas como na análse numérca e computaconal de soluções descontínuas. Inúmeros métodos para resolver as equações de uler foram propostos desde o níco dos anos cnqüenta quando Courant et al. [14] e Lax [15] desenvolveram métodos de prmera ordem de precsão, sendo este últmo um dos prmeros a utlzar a déa de dferenças fntas para provar a exstênca de soluções fracas, obtendo soluções auto-smlares para o problema de Remann e o conceto de admssbldade para choques, o qual hoje leva seu nome. Posterormente, dversos outros métodos forma propostos como os de Lax e Wendroff [16] e MacCormack [17]. stes métodos explíctos ctados foram desenvolvdos empregando esquemas centrados e ambos apresentam segunda ordem de precsão no tempo e no espaço. ntretanto, os esquemas centrados não levam em consderação as característcas físcas de dreção de propagação de nformações presentes no escoamento. Os métodos que consderam tas característcas são aqueles que utlzam dscretzações espacas de acordo com o comportamento do escoamento e são conhecdos como esquemas upwnd. A prncpal mportânca do estudo dos esquemas upwnd resde no fato destes oferecerem bons resultados na análse de problemas que

23 9 envolvam descontudades como as ondas de choque que surgem nos escoamentos com alta velocdade. m seu artgo clássco de 1959, Godunov [12] propôs um esquema upwnd de prmera ordem de precsão, como uma extensão aos métodos desenvolvdos por Courant et al. [14] para sstemas hperbólcos não lneares de les de conservação, no qual resolve um problema de Remann exato para cada ntervalo da malha, em função das descontnudades dos valores das varáves de estado nas nterfaces desta mesma malha. Nesta mesma lnha, podemos ctar os esquemas de ngqust e Osher [18], Osher [19] e Roe [20], que são métodos de separação de dferenças de fluxos. m 1965, Glmm [6] ntroduzu o Método de scolha Aleatóra (Random Choce Method). ste esquema surge como uma prova construtva da exstênca de soluções para uma classe de sstemas hperbólcos não lneares de les de conservação, onde se provou a exstênca global de soluções para estes sstemas. m 1976, Chorn [7] mplementou com sucesso uma versão modfcada deste esquema como uma ferramenta computaconal para resolver as equações de uler de dnâmca de gases. m 1979, van Leer [21], segundo o conceto do método de Godunov [12], propôs uma aproxmação lnear das varáves de estado em cada célula da malha, resultando em um esquema de segunda ordem de precsão. A partr da metade do século passado, o estudo analítco da teora de les de conservação teve um grande desenvolvmento devdo a renomados matemátcos, como berhard Hopf [22], um dos precursores na utlzação do método de vscosdade nula, segudo por Olenk [23], que provou exstênca, uncdade, comportamento assntótco e decamento de soluções para equações escalares em uma varável espacal.

24 10 Mas recentemente, podemos ctar os trabalhos de Constantn afermos [24] e outros renomados matemátcos mundas na área de les de conservação, dentre eles, Frd e Chen [25] e ens Serre [26]. Atualmente, város matemátcos chneses têm dado relevantes contrbuções ao problema de Remann e problemas correlatos. Basta ver, por exemplo, os trabalhos de Gu et al. [27] e ng et al. [28], bem como as contrbuções mas recentes em Chang e Hsao [29], ng e Lu [30], L net al. [31] e L e Yu [32] escrção do Trabalho O objetvo desta tese é propor um aproxmante para o problema de Remann que permta construr um procedmento smples e efcente para a smulação de sstemas hperbólcos de forma que não seja necessáro conhecer (ou escolher) a pror a solução completa do problema de Remann assocado. sta solução é aproxmada por funções constantes por partes, satsfazendo as condções de salto, porém, não necessaramente a condção de entropa. O procedmento proposto, empregado para fornecer as soluções do problema de Remann, requerdas na mplementação do esquema de Glmm, combnado a uma técnca de partção do operador, convenente para tratar a parte não homogênea do operador hperbólco, é uma metodologa adequada para smular sstemas hperbólcos. Algumas smulações de transporte de poluentes na atmosfera foram mplementadas para exemplfcar a metodologa utlzada. No Capítulo 2, apresentam-se as equações báscas da dnâmca de fludos e o modelo mecânco que descreve matematcamente o problema da dspersão de

25 11 poluentes na atmosfera, através de concetos e defnções das les físcas que governam esse fenômeno. Neste trabalho, consderou-se a atmosfera modelada como um gás deal sotérmco, os poluentes transportados radalmente e levou-se em conta a taxa de produção ou destrução de poluentes, devdo a reações químcas. No Capítulo 3 foram dscutdos alguns concetos que envolvem o tratamento e a solução de sstemas hperbólcos não lneares de les de conservação tas como solução fraca, solução entrópca, uncdade e condção de descontnudade. No Capítulo 4 é apresentado o problema de Remann, onde se dscutem os concetos que envolvem a sua solução tas como campo característco, ondas de rarefação, ondas de choque e ondas de contato e descreve-se o problema de Remann assocado ao sstema hperbólco estudado neste trabalho, vsto que o sstema homogêneo correspondente ao problema orgnal fo aproxmado com o emprego do método de Glmm que requer o conhecmento prévo da solução completa (ou de sua aproxmação) do problema de Remann assocado. Apresenta-se, também, neste capítulo a solução generalzada do nosso problema. No Capítulo 5 é apresentado o aproxmante de Remann proposto, juntamente com o seu conceto físco e a descrção do método para resolvê-lo. No Capítulo 6 descreve-se o esquema de partção do operador, empregado na aproxmação numérca do problema tratado neste trabalho, cuja metodologa consste em transformar o problema orgnalmente smultâneo em um problema seqüencal, permtndo, desta forma, que o problema homogêneo assocado (aproxmado pelo esquema de Glmm) e o problema evolutvo no tempo, no qual se consdera a parte não homogênea do operador hperbólco sejam resolvdos seqüencalmente.

26 12 No Capítulo 7 foram dscutdos os resultados obtdos através de algumas smulações mplementadas, utlzando o aproxmante de Remann proposto, que é comparado com a solução clássca do problema. Fnalmente, no Capítulo 8, são apresentadas as conclusões e as prncpas contrbuções deste trabalho para estudos futuros.

27 Capítulo 2 escrção Matemátca do Problema 2.1. Introdução: A dnâmca dos fludos é uma área da Mecânca do Contínuo caracterzada por uma dependênca explícta entre o tensor tensão de Cauchy e o tensor taxa de deformação que representa a parte smétrca do tensor gradente de velocdades. A aplcação de métodos numércos na resolução de problemas provenentes da dnâmca de fludos orgna a área denomnada nâmca de Fludos Computaconal, uma lnha de pesqusa fortemente explorada nos últmos anos, em função de sua crescente aplcação nas mas dversas áreas da ngenhara e, em especal, a ngenhara Mecânca. Como exemplos, podem ser ctados o estudo de fenômenos atmosfércos tas como cclones e tornados.

28 14 A modelagem dos fenômenos em dnâmca de fludos consste numa combnação das equações de contnudade e de quantdade de movmento lnear com uma relação consttutva para o tensor tensão de Cauchy, orgnando um sstema de equações dferencas parcas, sujeto a condções ncas e de contorno. stes problemas, em geral, não apresentam uma solução analítca, o que leva ao emprego de recursos de análse numérca e de métodos numércos, com o objetvo de se obter uma aproxmação para a solução do problema orgnal. ste trabalho estuda o transporte de poluentes na atmosfera utlzando um modelo mecânco smplfcado usual [5] que combna os balanços de massa e momentum lnear para uma mstura ar-poluentes as equações clásscas de dnâmca dos gases com os balanços de massa dos m poluentes. Hpóteses consttutvas são empregadas para o tensor tensão de Cauchy e para um termo de fonte/sorvedouro dos poluentes, numa prmera aproxmação para a smulação de reações químcas. O estudo de fenômenos de transporte, que nclu transferênca de momentum, energa, massa, entre outras formas, tem grande mportânca em engenhara. Algumas relações smplfcadas ajudam a explcar fscamente esses processos de transferênca, que ocorrem a partr de uma busca por um estado de equlíbro [33]. Por exemplo, a transferênca de calor ocorre devdo a um gradente de temperaturas, sendo o fluxo de calor defndo como a taxa de energa transferda devdo a um gradente de temperaturas, no sentdo oposto ao do gradente de temperaturas (casos sotrópcos). Outro exemplo sera uma pequena quantdade de perfume vaporzada no ar o processo de transferênca de massa causa a dfusão do perfume no ar até que seja atngda uma concentração unforme. No escoamento de um fludo vscoso, as tensões vscosas (lgadas ao atrto vscoso) estão relaconadas com o fluxo de momentum de um sstema, a transmssão de calor está relaconada à taxa de varação de energa

29 15 nterna do sstema e a transferênca de massa pode ser relaconada à taxa de varação de composção de uma mstura, devdo ao transporte de um ou mas consttuntes dessa mstura. Pode-se fazer uma analoga entre três les que essencalmente defnem propredades de uma substânca. A prmera sera a clássca le de Newton da vscosdade deduzda para um escoamento bastante smples: aquele que ocorre entre duas placas planas paralelas (uma em repouso e outra movendo-se com velocdade constante) com valdade para escoamentos de fludos newtonanos: v / x. j j Neste caso, observa-se que a tensão de csalhamento ( j ) é proporconal ao gradente de velocdades ( v / x ), sendo a constante de proporconaldade dada pela j vscosdade ( ). A tensão de csalhamento pode ser nterpretada como uma transferênca de momentum, ou seja, devdo ao gradente de velocdades, a camada de fludo vznha à placa que se move possu mas momentum na dreção do escoamento que as camadas mas dstantes. O snal negatvo ndca que a transferênca de momentum ocorre na dreção de potencal decrescente. efne-se uma vscosdade cnemátca: /, sendo a densdade do fludo, constante no caso ncompressível, quando tem-se a segunte relação: / v x. j j A segunda le sera a le de Fourer para a condução de calor emprcamente deduzda a partr de uma placa sólda nfnta ncalmente à temperatura T 0, cujo plano superor é mantdo a T 0, enquanto o plano nferor é subtamente submetdo a uma temperatuta T 1 >T 0, sendo T 0 e T 1 sufcentemente próxmas para evtar outras mudanças nas propredades do sóldo. A le de Fourer: q/ A k T / xj estabelece uma proporconaldade dreta entre o gradente de temperaturas ( T / xj ) e a taxa de energa transferda por undade de área q/ A através do sóldo, na j j

30 16 dreção perpendcular às supefíces superor e nferor, sendo a constante de proporconaldade dada pela condutvdade térmca k. O snal negatvo vem do fato da transferênca de energa ocorrer da regão com maor temperatura para a regão com menor temperatura, de acordo com a segunda le da termodnâmca. efne-se, por convenênca, a dfusvdade térmca: k / c, sendo c o calor específco, que permte obter, no caso de calor específco constante: q/ A e / xj, sendo e a energa nterna por undade de volume. A tercera le sera a le de Fck da dfusão, que pode ser emprcamente defnda a partr de duas placas paralelas com ar seco entre elas, sendo a placa nferor coberta com uma gaze e a superor revestda por uma camada de uma substânca hgroscópca, capaz de absorver todo o vapor dágua que entrar em contato com ela. Subtamente a gaze da placa nferor é colocada em contato com água, de forma a terse a densdade parcal do vapor d água na superfíce molhada mantda a um valor c 0. A dfusão ocorre até ser atngdo o regme permanente. Na placa superor a concentração do vapor d água na superfíce é mantda como c =0. Fck verfcou expermentalmente que a taxa de dfusão do vapor d água j A era dretamente j / j proporconal ao gradente de concentração ( c / xj ), ou seja: j / A c / xj, sendo o coefcente de dfusão. j Observa-se que a vscosdade cnemátca,, a dfusvdade térmca,, e o coefcente de dfusão, são dmensonalmente semelhantes, permtndo defnr números admensonas que relaconam transferêncas de momentum, energa e massa. No caso de sstemas sotérmcos com transferênca smultânea de momentum e massa, por exemplo, defne-se o número de Schmdt: Sc=/, com valor aproxmadamente untáro para gases, podendo assumr valores elevados para líqudos

31 17 [33]. No caso de transferênca de momentum, a propredade transferda é o momentum, v, enquanto o fluxo de momentum é dado por j e a dfusvdade por. Já para transferênca de massa, a propredade transferda é c, o fluxo é j /A e a dfusvdade é. As equações dferencas parcas que modelam a dnâmca dos fludos podem apresentar três tpos de comportamento: hperbólco, parabólco e elíptco. m geral, os problemas elíptcos descrevem os fenômenos em regme permanente; os parabólcos representam os problemas transentes, envolvendo termos dfusvos e sem advecção e os hperbólcos caracterzam problemas onde as nformações se propagam com velocdade fnta. Sstemas hperbólcos de equações dferencas parcas são empregados para modelar números fenômenos físcos que surgem nas mas dversas áreas como dnâmca dos gases, acústca, geofísca, entre outras, que envolvem, por exemplo, o transporte advectvo de substâncas, onde a característca típca de propagação de sngulardades está presente. A descrção matemátca de um fenômeno físco, em partcular o movmento de fludos, deve levar em consderação o nível de aproxmação necessáro ao estudo das propredades de nteresse. sta questão está assocada à escolha da escala na qual se pretende estudar o sstema. No caso do estudo de fludos, temos a escala mcroscópca e a escala macroscópca. Na dnâmca de gases, a prmera escala requer uma análse estatístca, baseada nas les da teora cnétca e físca estatístca, cuja descrção permte tratar varáves, tas como temperatura e pressão como médas estatístcas de grandezas macroscópcas. Sob o ponto de vsta macroscópco, a nteração entre um número sufcentemente grande de partículas (átomos e moléculas) nfluenca o movmento

32 18 ndvdual de cada partícula, onde podemos consderar a densdade de partículas sufcentemente alta, que possblte tratar tal sstema (fludo) como um contínuo. Nesta escala, uma partícula de fludo é uma porção de fludo pequena, mas sufcentemente grande para permtr a defnção de médas de grandezas mcroscópcas. Por exemplo, a energa cnétca mcroscópca, que é traduzda pela temperatura escrção ulerana e escrção Lagrangeana do Movmento Consdere o movmento de uma partícula (ponto materal) fluda. As trajetóras das partículas podem ser descrtas pela equação: x χ X,t (2.1) onde X, X, X X = representa a posção na confguração de referênca da partícula em observação. Logo, no espaço trdmensonal, temos, juntamente com a varável temporal, as chamadas coordenadas Lagrangeanas X,t. A descrção acma caracterza a posção da partícula que ocupa a posção X na confguração de referênca no nstante t. No entanto, quando nvestgamos o movmento do fludo, não estamos nteressados no movmento de uma determnada partícula fluda. Na descrção do movmento de um fludo, usualmente trabalha-se com as chamadas coordenadas uleranas x,t, que estão assocadas à confguração atual do corpo. A dstrbução de velocdades num meo contínuo é obtda a partr da dervada do campo χ (o movmento), dada por: χ( X, t) v (2.2) t

33 19 Seja F uma quantdade físca qualquer (temperatura, densdade, etc) transportada pelo movmento das partículas em um fludo. Segundo a descrção Lagrangeana, esta quantdade é vsta como Fˆ X, t quantdade é representada por uma função F x, t. Por outro lado, na descrção ulerana, a, que denota o valor desta mesma quantdade no ponto x, no tempo t. Assm, descrevendo o camnho de uma partícula fluda defndo pela equação (2.1), pode-se expressar a taxa de varação da quantdade F x, t como F, t, t F,tgrad F, t, t t χ X t x x v x (2.3) A taxa de varação da quantdade F, representada acma é denomnada dervada materal, ou seja, d F F: grad Fv dt t dervada local dervada convectva (2.4) onde a dervada local vem da dependênca explícta de F em relação ao tempo e a dervada convectva ocorre devdo ao transporte da quantdade F em função do movmento do fludo ervada Materal Segundo a Partícula da spéce A Um corpo (um consttunte) da espéce é um conjunto formado por elementos da espéce, também denomnados pontos materas do consttunte, que, por abuso de notação, são denomnadas partículas. A representação do movmento de uma mstura pode ser representado por uma transformação contínua do espaço eucldano nele própro, parametrzada pelo tempo 0, t : χ : R, onde

34 20 denota um corpo composto pelo -ésmo consttunte da mstura, uma transformação regular nversível referda como seu movmento e t = 0 um nstante ncal arbtráro. Um corpo da espéce - - é um conjunto cujos elementos são as partículas materas da espéce. A confguração do corpo da espéce A, A, é defnda como uma função contínua bunívoca do corpo da espéce numa regão do espaço eucldano de pontos, parametrzado pelo tempo t [0, ), consttundo uma famíla de confgurações, tal que:, t ou 1 x, t x (2.5) 0 0 onde χ ndca o mapeamento nverso de χ. 1 Assm, em uma dada confguração da espéce, cada ponto x do espaço eucldano é ocupado por uma únca partícula do corpo da espéce e cada partícula do corpo da espéce está localzado num únco ponto x de. esta manera, escolhendo um ponto de como orgem, o vetor posção é x x e. ˆ A confguração de Referênca R representa a confguração utlzada para dentfcar as partículas do corpo da espéce. mbora não se possa confundr o corpo da espéce com uma de suas confgurações, é convenente estudá-lo em uma delas. Posções numa confguração partcular servem para especfcar as partículas da espéce que formam o corpo. A confguração de referênca pode ser uma regão efetvamente ocupada pelo corpo durante seu movmento, onde cada partícula pode ser caracterzada a partr da sua posção na confguração de referênca, sto é, x 1 R R R R ( ) onde x (2.6)

35 21 Aqu, x R é a posção da partícula do corpo da espéce na confguração de referênca referênca R. Se R é um movmento do corpo da espéce na confguração de R, então tem-se: 1 x (, t) ( x ), R t (2.7) efnndo 0 1 ( xr, t) ( ), x R R t, tem-se: x 0 ( x, ) (2.8) t R Logo, se um corpo da espéce descreve um movmento 0, x representa a posção da partícula no nstante de tempo t. Neste caso, a dervada materal segundo a partícula da espéce é dada por: d R, t dt t x (2.9) onde x ( ) defne a partícula da espéce. R R Se é um campo escalar R, t x, então, d dt t v onde,t Se é um campo vetoral, então, d dt t v onde,t x (2.10) x (2.11) onde a velocdade do consttunte, representando a taxa de varação no tempo da posção ocupada por uma partícula da espéce, é dada por d x 1 v (, t) A ( ), R t dt t t x (2.12)

36 Teorema do Transporte de Reynolds A transformação relaconando as descrções formulações eulerana e lagrangeana é feta empregando-se um mportante teorema cnemátco, dervado da dentdade de uler [34], conhecdo como teorema de transporte de Reynolds [35]. Seja mapeamento 3 F : : uma função contnuamente dferencável e o, também contnuamente dferencável. Consdere o 3 3 transporte de uma quantdade F, uma regão de espaço t na confguração atual num nstante t concdente com a regão fechada lmtada pela superfíce () t e seja v a velocdade de uma partícula materal. ntão, para cada t, d dt F FdV gradffdv dv t v v (2.13) () t () t A gualdade (2.13) pode ser reescrta da segunte forma d dt df FdV Fdv dv dt v (2.14) () t () t mpregando a defnção de dervada materal (2.4) e o teorema da dvergênca, chega-se, a partr da gualdade (2.13), ao teorema de transporte de Reynolds em sua forma mas usual: d dt F FdV dv F da t v n (2.15) () t () t () t Onde n é o vetor normal untáro exteror a t.

37 Teorema de Transporte de Reynolds para uma Regão com Interface de Fases Sejam t o volume ocupado pelo corpo da espéce no nstante de tempo t concdente com uma regão do espaço ocupada por uma mstura de partículas materas e,t v x uma função escalar, vetoral ou tensoral da posção x. efne-se uma nterface de fases Σ como sendo uma superfíce não materal possundo cnemátca própra, representando uma superfíce dvsóra na qual uma ou mas grandezas físcas como a densdade ou a velocdade podem ser descontínuas. Tal superfíce movmenta-se através do materal com uma determnada velocdade de deslocamento. Seja u a velocdade num dado ponto desta superfíce, defnmos u ξ a velocdade medda na dreção postva ξ e negatva regões ξ conforme descrto por Truesdell e Toupn [34]. u ξ a velocdade medda na dreção Supõem-se as grandezas e v contnuamente dferencáves nas duas e separadas pela nterface de fases Σ, com fronteras e, respectvamente, que assm como Σ, são regões não materas. Assm, a taxa de varação de é dada por: obtém-se: d d d dv dv dv dt dt dt (2.16) Aplcando o Teorema de Transporte aos termos à dreta da gualdade acma, d dt d dt dv dv v n da uξ da t dv dv v n da uξ da t (2.17)

38 24 Aqu, e representam o lmte da função quando um ponto x aproxma-se de um ponto x 0 na nterface de fases Σ e n é o vetor normal untáro exteror à superfíce. efnndo Bξ B ξ B ξ como o salto de uma grandeza através de uma nterface e substtundo (2.17) em (2.16), tem-se: d dt dv dv v n da uξ da t A dv v dv t v u ξ Teor. v da (2.18) onde os dos últmos termos após o segundo snal da gualdade foram obtdos a partr da aplcação do Teorema da vergênca. Pela defnção de dervada materal, pode-se expressar, para qualquer volume de controle arbtráro e tempo t, o teorema de transporte para um corpo descontínuo da espéce, como: d dt d dv dv v dv da dt v u ξ (2.19) 2.5 Conservação de Massa A massa de um corpo composto por m consttuntes ndepende do tempo. Consderando ˆ( x, t) sua densdade, a massa do corpo ocupando uma regão é dada por: M dv (2.20) Logo a conservação de massa pode ser expressa como:

39 25 d dt dv 0 (2.21) ( t ) substtundo no Teorema de Transporte, dado pela equação (2.19), tem-se d dv v dv da 0 dt v u ξ (2.22) Como esta equação é válda para um volume arbtráro, o teorema da localzação [35], permte obter, para cada ponto e em cada fase, o balanço global dferencal para uma mstura de múltplos componentes, que pode ser representado como d dv v dv v 0 (2.23) dt t e em cada ponto e cada nterface de fases, o salto global do balanço de massa a ser satsfeto é dado por v u ξ 0 (2.24) Conservação de Massa para uma spéce A massa de um corpo da espéce, é uma grandeza ndependente do tempo, defnda por M dv, sendo ˆ ( x, t) a densdade ou concentração mássca do consttunte. A teora usual que descreve os processos de transporte em msturas fludas consdera os balanços de massa, momentum lnear e angular e energa, além da desgualdade entrópca para a mstura como um todo, enquanto cada consttunte da

40 26 mstura deve obedecer à equação de balanço de massa [5]. A cada processo são dados os campos de densdades parcas, e velocdades assocadas a cada uma das espéces químcas (consttuntes da mstura). Com estas compõe-se a densdade total da mstura, e a velocdade méda da mstura, dadas por: m m 1 e v v (2.25) 1 1 Por convenênca, defne-se a fração em massa do consttunte : (2.26) A partr de (2.25) chega-se a outras defnções mportantes que são a velocdade de dfusão (a velocdade do consttunte em relação à mstura) e o fluxo dfusvo de massa de um consttunte, que são dados por: u v v e j v v (2.27) O fluxo total de massa de cada consttunte, v, é dado pela soma de duas parcelas: uma correspondendo à convecção acompanhando o centro de massa da mstura enquanto a outra é a parcela dfusva propramente dta. Neste ponto, cabe um comentáro acerca da dfusão de massa a clássca le de Fck: Para processos de dfusão em estado estaconáro, a equação que correlacona o fluxo de dfusão j com o gradente de concentração sendo dada por: é denomnada le de Fck, j (2.28) Na equação (2.28), que pode ser nterpretada como uma defnção do coefcente de dfusão, o snal negatvo ndca que o fluxo ocorre na dreção contrára à do gradnte de concentração.

41 27 A taxa de varação no tempo da massa de um corpo da espéce, 1,2,..., m, em uma mstura de m consttuntes é gual à taxa de produção de massa da espéce devdo a reações químcas. A equação do balanço de massa para a espéce é dada por: d dt dv r dv r da (2.29) ( t) ( t) onde: t ˆ representa o volume ocupado pelo corpo da espéce no nstante de tempo t; r a taxa de produção da espéce por undade de volume devdo a reações químcas homogêneas; r : taxa de produção da espéce por undade de área devdo a reações químcas heterogêneas na nterface de fases. Aplcando o Teorema de Transporte ao termo à esquerda de (2.29), tem-se: d dv 0 v r dv r da dt v u ξ (2.30) Mas, para todos os pontos na nterface de fases, o salto no balanço de massa para o consttunte é tal que: v u ξ r (2.31) Logo, pelo teorema da localzação e pelo fato de (2.29) ser váldo para qualquer volume arbtráro t, tem-se que o ntegrando deve ser nulo, sto é, d dv v r ou dv v r dt t equação de conservação da espéce (2.32) Observação: A taxa de produção da espéce, r, é normalmente função da composção químca, temperatura, pressão, etc. Supõe-se, ncalmente, que exstam dados empírcos ou alguma equação consttutva para r.