Carlos Sérgio Araújo dos Santos José Antonio Aleixo da Silva Gauss Moutinho Cordeiro Joseilme Fernandes Gouveia Alisson de Oliveira Silva

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1 Modelos Smétrcos Transformados não lneares com aplcação na estmatva volumétrca em Híbrdo de Eucalyptus teretcorns no Pólo Gessero do Ararpe - PE Carlos Sérgo Araújo dos Santos José Antono Alexo da Slva Gauss Moutnho Cordero Joselme Fernandes Gouvea Alsson de Olvera Slva 1 Introdução A vegetação natural da Caatnga vem sofrendo grandes desmatamentos, sendo explorada de forma rregular, caracterzando-se em grande parte pela ausênca de crtéros técncos no corte da vegetação e consequentemente, colocando em rsco de extnção váras espéces vegetas e anmas predomnantes desta vegetação (RIBEIRO et al., 2001). No Pólo Gessero do Ararpe, localzado na regão do sem-árdo pernambucano, este fato se deve prncpalmente a crescente demanda por bomassa renovável para energa, aumentando gradatvamente a sua degradação, tanto a nível domclar como a nível ndustral e comercal, com a utlzação da madera na calcnação da gpsta para produção do gesso. Consderando que a regão do Pólo Gessero do Ararpe se destaca pela grande produção de gpsta, de onde se produz 95% de todo gesso consumdo no Brasl (ALBUQUERQUE, 2002). Portanto, meddas efcazes devem ser tomadas para soluconar essa problemátca. Baseado neste contexto, realzar uma modelagem do volume de árvores de eucalptos é essencal para estmar ou predzer a vabldade da mplantação destas árvores para fns energétcos na regão do Pólo Gessero do Ararpe. O uso de modelos volumétrcos em nventáro florestal são bastante utlzados para cálculo de volume de madera em pé e estmatva da altura das árvores por meo da relação DAP (dâmetro à altura do peto) e altura total (Ht). Baseados nas dstrbuções smétrcas Cordero e Andrade (2009) ntroduzram uma nova classe de Modelos Smétrcos Transformados (MST) com dstrbução smétrca para a varável resposta e uma Departamento de Cêncas da Natureza, IFPB, CEP: , João pessoa, PB, Brasl, E-mal: carlossergoaraujo@gmal.com. Programa de Pós-graduação em Bometra e Estatístca Aplcada, UFRPE, CEP: , Recfe, PE, Brasl, E-mal: jaalexo@uol.com.br. Departamento de Estatístca e Informátca, UFRPE, CEP: , Recfe, PE, Brasl, E-mal: gauss@denfo.ufrpe.com. Departamento de Informátca e Estatístca, UFPI, Teresna, PI, Brasl, E-mal:junorfg99@hotmal.com. Unversdade Federal da Paraíba, UFPB, CEP: , João Pessoa, PB, Brasl, E-mal: alsson nocente@hotmal.com. 1

2 possível função de lgação não lnear para a resposta méda. Essa classe de modelos se estende os modelos clásscos de Box e Cox (1964) abrangendo com váras outras dstrbuções contínuas smétrcas com caldas menores ou mas longas que normas. Essa nova classe de modelos nclu dstrbuções tas como normal, t de Student, exponencal potênca, logístcas I e II, Cauchy e Laplace, permtndo ajustar uma ampla varedade de modelos para város tpos de dados. 2 Objetvos A proposta prncpal deste estudo fo modelar por meo dos Modelos Smétrcos Transformados não lneares o volume em Híbrdo de Eucalyptus teretcorns (cruzamento natural), em ponto de corte para produção de lenha. 3 Materal e Métodos A regão na qual o expermento está mplantado possu as seguntes coordenadas geográfcas de posção S e W e alttude de 816 metros. O clma regonal predomnante é do tpo BShw de Koppen, quente e seco das baxas lattudes, com chuvas de verão. A presença da Chapada do Ararpe confere uma dferencação no clma regonal, elevando a pluvometra, regstrando cerca de 735 mm anuas (ALVES, 2007). Na aplcação dessa nova classe de modelos, foram utlzadas para este trabalho 56 árvores pertencentes ao clone 01, referente ao Híbrdo de Eucalyptus teretcorns. As árvores amostras foram derrubadas e seconadas com motosserra, para se proceder à cubagem rgorosa das mesmas na área do povoamento. Devdo à facldade dos cálculos e rapdez na medção das pequenas seções, a fórmula de Smalan (LOESTCH et al., 1973), fo empregada, para calcular o volume rgoroso total e o volume das seções. Os modelos foram ajustados supondo dferentes dstrbuções smétrcas para os erros (normal, t-student, Exponencal Potênca, Cauchy, logístca I e logístca II). Para os dados da varável volume em (m 3 ) a transformação de Box-Cox utlzada mas aproprada devdo a natureza dos dados fo { y (λ) y λ (λ 0) = log(y) (λ = 0) Para estmar os volumes das árvores fo utlzado o modelo de Schumacher-Hall de 1933 especfcado por: vol (λ) = β 0 DAP β 1 Ht β 2 ɛ em que λ é o parâmetro da transformação de Box-Cox, β 0, β 1 e β 2 são os parâmetros a serem estmados, vol representa o volume da árvore em m 3, DAP representa o dâmetro à altura do peto em cm (medda a 1,30m) e Ht representa a altura total da árvore em m e ɛ é o erro aleatóro. O parâmetro λ da transformação de Box-Cox fo estmado por meo da verossmlhança perflada. 2

3 3.1 Modelos Smétrcos Transformados não lneares Neste estudo consdera-se uma famíla paramétrca geral de transformações da varável resposta Y especfcada por Y (λ) = Λ(Y, λ), (1) em que λ é um parâmetro escalar defnndo uma transformação partcular. Admte-se que para cada λ, Y (λ) é uma função monotônca de Y. Usualmente, consdera-se a transformação de potênca de Box Cox (1964), Y (λ) = (Y λ 1)/λ em que λ 0 ou Y (λ) = log(y ) em que λ = 0. Geralmente é assumdo que exste um valor de λ para a varável resposta tal que Y (λ) segue um modelo de regressão não-lnear µ = h(x, β) com erro normal e varânca constante. Assumndo-se que as varáves aleatóras transformadas Y (λ) 1,..., Y n (λ) em Y (λ) são ndependentes e cada Y (λ) tem uma dstrbução contínua smétrca com parâmetro de locação µ R e parâmetro de dspersão φ > 0 especfcada por ( π(y (λ) ; µ, φ) = 1 h φ y (λ) µ φ ) 2, y(λ) R, (2) em que a função h(.) (conhecda como a geradora de densdades) tal que h(u) > 0, para u > 0 e 0 u 1/2 h(u)du = 1, sendo u = (y µ)2 φ. Esta condção é necessára para que π(y (λ) ; µ, φ) seja uma função de densdade de probabldade da varável aleatóra padronzada Z (λ) = yλ µ φ é π(v, 0, 1) = h(v 2 ) v R, sto é, Z (λ) S(0, 1). A famíla de densdades smétrca de locação-escala (2) retém a estrutura da dstrbução normal, mas elmna a forma específca da densdade normal. Esta famíla nclu densdades smétrcas que têm caldas menores ou mas longas que normas. Para ntrduzr uma estrutura de regressão na classe de modelos (2), assume-se um componente sstemátco para o vetor da méda µ = E(Y (λ) ) expresso por g(µ) = η (β) = h(x, β) (3) em que g(.) é conhecda e duplamente dferencável, η (β) é o predtor não-lnear, X é uma matrz n p de posto completo e β = (β 1,..., β p ) T é um vetor de parâmetros não-lneares desconhecdos a serem estmados. Os modelos smétrcos transformados não-lneares supõem a exstênca de alguns valores de λ em (1) de modo que as varáves aleatóras transformadas Y (λ) 1,..., Y n (λ) podem ser tratadas como ndependentemente dstrbuídas segundo a componente aleatóra (2) e a componente sstemátca (3). A comparação entre todos os modelos transformados ajustados aos dados será realzada através do crtéro de nformação de Akake (1974) AIC, defndo por AIC = 2ˆl + 2r (4) 3

4 em que ˆl é a log-verossmlhança maxmzada, r = p + 2 e p é o número de parâmetros estmados. O modelo com menor valor do AIC, entre todos os modelos ajustados, pode ser consderado como o que melhor explca os dados. Para avalar melhor os ajustes abtdos, calculou-se o erro médo quadrátco (EQM) e o erro percentual absoluto médo (M AP E) especfcados como e EQM = 1 n n =1 (y (ˆλ) ˆµ ) 2 (5) MAP E = 100% n n =1 y (ˆλ) ˆµ. (6) y (ˆλ) Para verfcar se um modelo é adequado, temos que analsar se as pressuposções fetas para o desenvolvmento do modelo não estão sendo voladas. Para o melhor modelo remos ressaltar bascamente métodos gráfcos, especfcamente os gráfcos das médas ajustadas versus valores observados, bem como os resíduos de Pearson versus os valores ajustados. 4 Resultados Na Tabela 1, encontram-se as estmatvas dos parâmetros dos modelos smétrcos transformados não lneares, bem como do parâmetro de dspersão φ condconado em λ estmado e seus respectvos errospadrões. O parâmetro λ da transformação de Box-Cox fo estmado usando a verossmlhança perflada. Não houveram estmatvas não-sgnfcatvas dos parâmetros. Tabela 1: Estmatvas dos parâmetros e (erros padrões) dos modelos smétrcos transformados. Dstrbução ˆλ ˆβ0 ˆβ1 ˆβ2 ˆφ Normal 0, , , , , (0,005842) (0,003478) (0,024329) (0,024722) (0,000012) Student t 2 0, , , , , (0,006476) (0,001304) (0,025671) (0,026328) (0,000008) Exp. Potênca (0, 5) 0, , , , , (0,011022) (0,000194) (0,048876) (0,048762) (0,000004) Cauchy 0, , , , , (0,007193) (0,001367) (0,021871) (0,021444) (0,000006) Logístca I 0, , , , , (0,009353) (0,002730) (0,040220) (0,039824) (0,000016) Logístca II 0, , , , , (0,008910) (0,001347) (0,033674) (0,033898) (0,000004) 4

5 Para escolher o modelo que melhor se ajustou aos dados, apresenta-se na Tabela 2 a log-verossmlhança maxmzada ˆl e o crtéro de nformação de Akake (AIC) e os valores das estatístcas EQM e MAP E para os modelos transformados. O modelo supondo erro com dstrbução t-student transformado produzu maor valor para a log-verossmlhança ˆl (362,21) e um menor valor do AIC (-714,43) como também os menores valores para o EQM (0,000535) e para o MAP E (0,004994), comparado com os demas modelos smétrcos, sendo assm, o modelo mas ndcado para representar os dados de acordo com esses crtéros. Tabela 2: Estatístcas para seleção dos modelos e comparação dos erros para os modelos ajustados. Dstrbução ˆl AIC EQM MAP E (%) Normal 354,80-699,61 0, , Student t 2 362,21-714,43 0, , Exp. Potênca (0, 5) 254,12-498,24 0, , Cauchy 341,31-672,62 0, , Logístca I 284,12-558,25 0, , Logístca II 280,25-550,51 0, , Para verfcar se o modelo t-student transformado é razoável para ajustar os dados de volume de eucalíptos, apresentamos na Fgura 1(a) o gráfco de dspersão dos valores observados versus médas ajustadas. Observa-se através da fgura que os pontos apresentam-se de forma lnear, ndcando que os dados foram bem ajustados. Além dsso, na Fgura 1(b), os resíduos de Pearson apresentaram uma dstrbução aleatóra quando feta a sua dspersão versus os valores ajustados, ndcando assm, que os resíduos são não correlaconados, ou seja, hpótese de ndependênca e varânca constante para os resíduos são acetas. Fgura 1: Gráfcos de verfcação da qualdade do ajuste. A partr das estmatvas dos parâmetros do modelo com erros t 2 transformado representado pelo modelo não-lnear de Schumacher-Hall, pode-se agora, escrever o modelo ajustado com parâmetro de dspersão φ = 0,

6 vol ˆ (0,377258) = 0, DAP 0, Ht 0, Logo, ˆ vol = 0, DAP 1, Ht 0, (7) Dentre os modelos smétrcos transformados não lneares testados o modelo com erros t-student com 2 graus de lberdade representado pelo modelo não-lnear de Schumacher-Hall mostrado na equação (7) fo o que mostrou maor confabldade estatístca e apresentou melhor ajuste para o volume de Híbrdo de Eucalyptus teretcorns no Pólo Gessero do Ararpe. Vale ressaltar que os demas modelos com erros smétrcos se ajustaram satsfatoramente aos dados. O modelo apresentado em (7) permte nferr o volume ndvdual do clone utlzado neste estudo a partr dos valores do dâmetro à altura do peto (DAP ) e altura total (Ht). A vantagem da utlzação dessa nova classe de modelos é a maor adequação e a flexbldade em face ao modelo normal, pos permtem ajustar uma ampla varedade de modelos para dversos tpos de dados, além do mas, buscar outras alternatvas à suposção de erros normalmente dstrbuídos torna-se mportante, pos nem sempre a modelagem se ajusta adequadamente aos dados. 5 Conclusões A nova classe de Modelos Smetrcos Transformados Não Lneares, ntroduzda neste estudo mostrou-se uma ferramenta bastante efcaz para modelagem do volume de Híbrdo de Eucalyptus Teretcorns devdo a flexbldade da dstrbução dos erros. Para as condções em que se realzou este estudo, pode-se conclur que o modelo t 2 transformado se ajustou aos dados mas adequadamente utlzando o modelo não lnear de Schumacher e Hall, quando comparado aos demas modelos smétrcos, dante dos crtéros estabelecdos para escolha do melhor ajuste. Entretanto, os demas modelos também se ajustaram satsfatóramente aos dados expermentas. Assm, as possves correções volumétrcas deverão ser estudadas para cada caso partcular de aplcação, permanecendo, portanto, o problema em aberto para futuras pesqusas. Entretanto, para a fnaldade de produção energétca, fo apresentado um estudo da volumetra em Híbrdo de Eucalyptus Teretcorns que servrá de suporte em estudos do volume de eucalptos na regão do Pólo Gessero do Ararpe. Espera-se que este estudo possa contrbur para defnção de estratégas vsando melhor aprovetamento, em termos de produção e qualdade, das fontes de energa utlzadas no processo de fabrcação do gesso, que atenda às necessdades da ndústra, que preserve o meo ambente, bem como contrbundo para a promoção do desenvolvmento regonal no Pólo Gessero do Ararpe. 6

7 Referêncas [1] AKAIKE, H., A new look at the statstcal model dentfcaton., IEEE Trans. Auto Cntl AC-19, 6, p , [2] ALBUQUERQUE, J. de L. Dagnóstco ambental e questões estratégcas: uma análse consderando o Pólo Gessero do Sertão do Ararpe - Estado de Pernambuco. 185p. Tese (Doutorado em Engenhara Florestal) - Unversdade Federal do Paraná, Curtba, [3] ALVES, A. M. C. Quantfcação da produção de bomassa e do teor de carbono fxado por clones de eucalpto, no pólo gessero do Ararpe-PE. 62f. Dssertação (Mestrado em Cêncas Florestas) - Unversdade Federal Rural de Pernambuco, Recfe, [4] BOX, G. E. P.; COX, D. R., An analyss of transformaton, Journal of the Royal Statstcal Socety B, v. 26, n.2, p , [5] CORDEIRO, G. M.; ANDRADE, M. G., Transformed symmetrc models, Statstcal Modellng, (artgo aceto), [6] LOESTCH, F. et al. Forest nventory. Munchen: BLV Verlagellschaft, v. 469p. [7] NELDER, J. A., WEDDERBURN, R. W. M. Generalzed lnear models.journal of the Royal Statstcal Socety, A, 135 (1972) [8] RIBEIRO, C.A.S. et al. Seleção de modelos volumétrcos para leucena no Agreste de Pernambuco. Brasl Florestal, Brasíla, DF, ano 20, n. 72, nov,