ANÁLISE DE ESTRUTURAS E MECANISMOS RETICULADOS PLANOS COM LIGAÇÕES VISCOELÁSTICAS PELA FORMULAÇÃO POSICIONAL DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

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1 ANÁLISE DE ESTRUTURAS E MECANISMOS RETICULADOS PLANOS COM LIGAÇÕES VISCOELÁSTICAS PELA ORMULAÇÃO POSICIONAL DO MÉTODO DOS ELEMENTOS INITOS Danel Boy Vasconcellos

2 V33a Vasconcellos, Danel Boy. Análse de estruturas e mecansmos retculados planos com lgações vscoelástcas pela formulação posconal do método dos elementos fntos [manuscrto] / Danel Boy Vasconcellos. 8. x, 8 f., enc.: l. Orentador: Marcelo Greco. Dssertação (mestrado) Unversdade ederal de Mnas Geras, Escola de Engenhara. Apêndce: f Bblografa : f Engenhara de estruturas - Teses.. Método dos elementos fntos - Teses. 3. Vscoelastcdade - Teses. I. Greco, Marcelo. II. Unversdade ederal de Mnas Geras. Escola de Engenhara. III. Título. CDU: 64(43)

3 UNIVERSIDADE EDERAL DE MINAS GERAIS ESCOLA DE ENGENHARIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE ESTRUTURAS ANÁLISE DE ESTRUTURAS E MECANISMOS RETICULADOS PLANOS COM LIGAÇÕES VISCOELÁSTICAS PELA ORMULAÇÃO POSICIONAL DO MÉTODO DOS ELEMENTOS INITOS Danel Boy Vasconcellos Dssertação apresentada ao Programa de Pósgraduação em Engenhara de Estruturas da Escola de Engenhara da Unversdade ederal de Mnas Geras, como parte dos requstos necessáros à obtenção do título de Mestre em Engenhara de Estruturas. Comssão Examnadora: Prof. Dr. Marcelo Greco DEES UMG (orentador) Prof. Dr. Hermes Carvalho DEES UMG Prof. Dr. Danel Nelson Macel URN Belo Horzonte, 3 de agosto de 8

4 AGRADECIMENTOS A Deus pela sua grande msercórda e graça para comgo, pos é Ele quem me sustenta da após da. Aos meus pas e às mnhas rmãs pelo ncentvo e constante apoo ao longo deste curso. Ao professor Marcelo Greco pela atenção, dedcação e pacênca ao longo deste trabalho. Aos rmãos da Igrea Presbterana da Pampulha (IPP) pela comunhão em Crsto e pelo grande aprendzado. Aos seguntes professores pelos conhecmentos transmtdos através das dscplnas mnstradas no prmero ano de mestrado: Gabrel de Olvera Rbero, ernando Amorm de Paula, Armando Cesar Campos Lavall, Samuel Slva Penna e Roque Luz da Slva Ptanguera. Aos colegas do PROPEEs pelas conversas e debates técncos. Ao CNPq pelo auxílo fnancero.

5 Se o SENHOR não edfcar a casa, em vão trabalham os que a edfcam; se o SENHOR não guardar a cdade, em vão vga a sentnela. Inútl vos será levantar de madrugada, repousar tarde, comer o pão que penosamente graneastes; aos seus amados Ele o dá enquanto dormem. Salmo 7 :

6 RESUMO Este trabalho trata da aplcação da ormulação Posconal do Método dos Elementos ntos (PME) para análse de estruturas e mecansmos retculados planos com lgações vscoelástcas não lneares. Apresenta-se também uma formulação alternatva para a análse estátca de estruturas empregando-se a PME e a abordagem clássca do método ncremental-teratvo. Na formulação posconal, as posções nodas são tratadas como as ncógntas do problema, em vez dos deslocamentos nodas normalmente utlzados. As equações de equlíbro do sstema são escrtas consderando o prncípo da energa potencal total estaconára e a solução do sstema não lnear fnal de equações é obtda pelo método de Newton-Raphson. O algortmo de ntegração temporal mplementado é o de Newmar. Consdera-se a formulação Lagrangeana total, a cnemátca de Bernoull-Euler e o comportamento lnear elástco no materal. Na modelagem das lgações, constró-se uma estratéga que possblta a consderação de dversos modelos reológcos, embora nesta dssertação apenas a conexão de Kelvn-Vogt é abordada. Ao fnal, realza-se exemplos numércos a fm de se lustrar a aplcabldade da formulação para problemas prátcos. Palavras-chave: Lgações Vscoelástcas, ormulação Posconal do Método dos Elementos ntos, Dnâmca Não Lnear, Mecansmos Multcorpos

7 v ABSTRACT The wor deals wth the applcaton of the Postonal ormulaton of the nte Element Method (PEM) for analyss of D framed structures and mechansms wth nonlnear vscoelastc connectons. An alternatve formulaton for statc analyss of structures s presented usng the PEM and the classcal aproach of the ncremental-teratve method. In the postonal formulaton, the nodal postons are choosen as the unnown varables of the problem, rather than nodal dsplacements normally used. The equlbrum equatons of the system are wrtten through the prncple of statonary total potental energy and the soluton of the fnal nonlnear system of equatons are obtan by the Newton-Raphson procedure. The temporal ntegraton s performed by the Newmar s algorthm. The total lagrangan formulaton, the nematcs of Bernoull-Euler and the elastc lnear model n the materal s used. In the connectons modelng, an strategy that s able to consder many reologc models s created, though only Kelvn-Vogt s connectons s addressed n ths wor. At the end, numercal examples are provded showng the applcablty of formulaton for pratcal problems. Key-words: Vscoelastc Connectons, Postonal ormulaton of nte Element Method, Nonlnear Dynamc, Multbody Mechansms

8 v SUMÁRIO. Introdução..... Generaldades..... Justfcatva Obetvos Organzação do texto undamentação Teórca Comportamento vscoelástco Prncípo dos Trabalhos Vrtuas para o problema dnâmco Prncípo da Energa Potencal Total Estaconára ormulação Posconal do Método dos Elementos ntos Metodologas para solução do processo ncremental-teratvo Metodologa Inclusão das lgações vscoelástcas Abordagem clássca para o método ncremental-teratvo aplcada à PME Exemplos Numércos Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Conclusões e consderações fnas Referêncas Bblográfcas... 7

9 7. Apêndce A Sobre o scrpt desenvolvdo v

10 v LISTA DE IGURAS gura Amortecedores utlzados em uma ponte (extraído de &theater).... gura Trem de pouso de um Arbus A35 (extraído de undercarrage.html).... gura 3 Dspostvo com materal vscoelástco utlzado em edfíco (adaptado de ttps:// gura 4 - Modelos reológcos báscos (adaptado de lho et al. (7)) gura 5 - enômenos comuns em város materas vscoelástcos (adaptado de ndley et al. (989))... 7 gura 6 - Resposta de alguns tpos de modelos reológcos: (a) elástco; (b) vscoso; (c) Maxwell; (d) Kelvn-Vogt; (e) Zener (adaptado de Bažant e Cedolm ())... 8 gura 7 (a) Sstema massa-mola-amortecedor de grau de lberdade. (b) Dagrama de corpo lvre.... gura 8 Deslocamento vrtual u.... gura 9 Posção ncal ( ), posção fnal () e deslocamento (u) para um sstema de referênca fxo gura Elemento fnto deformado.... gura Algortmo para análse estátca utlzado por Greco (4) adotando-se controle de força gura - Algortmo para análse estátca utlzado por Greco (4) adotando-se controle de deslocamento gura 3 Algortmo para abordagem clássca gura 4 Representação do snap-through gura 5 Representação do snap-bac gura 6 Curva multlnear gura 7 Graus de lberdade ncas e reordenados gura 8 Graus de lberdade para o modelo de Kelvn-Vogt... 39

11 v gura 9 Graus de lberdade para o modelo de Maxwell gura Graus de lberdade para o modelo de Zener gura Modelo generalzado de Maxwell gura Modelo generalzado de Kelvn-Vogt gura 3 Modelo Zener (horzontal), Modelo Maxwell (vertcal) e Modelo Kelvn- Vogt (rotaconal) gura 4 Dados no arquvo de entrada gura 5 Algortmo proposto para análse estátca utlzando a abordagem clássca gura 6 Dados do exemplo gura 7 Dados geométrcos para solução analítca gura 8 Dados para o equlíbro de uma das barras do sstema gura 9 Dados para análse numérca gura 3 Traetóra de equlíbro utlzando a solução analítca, o controle de força e o controle de deslocamento gura 3 Dados do exemplo gura 3 Decomposção da rgdez... 5 gura 33 orça P posção horzontal do nó A gura 34 Aspecto deformado da estrutura em algumas etapas de carga gura 35 Dados do exemplo gura 36 Camnhos de equlíbro para dferentes valores de gura 37 Dados do exemplo gura 38 Deslocamento horzontal do ponto de aplcação da força tempo gura 39 Deslocamento horzontal do ponto de aplcação da força para dferentes valores de P(t) gura 4 Dados do exemplo gura 4 Deslocamento vertcal tempo para vga bengastada gura 4 Deslocamento vertcal tempo para lgação elástca gura 43 Resposta da vga com conexões elástcas para dferentes valores de P gura 44 Resposta para lgação elástca e vscoelástca gura 45 Dados do exemplo gura 46 Le da mola da lgação vscoelástca rotaconal no nó B gura 47 Les utlzadas para os amortecedores gura 48 Coordenadas dos pontos das les utlzadas nos amortecedores gura 49 Posção horzontal do nó C tempo para as lgações estudadas.... 6

12 x gura 5 Mecansmo bela-manvela em alguns nstantes de tempo gura 5 Dados do exemplo gura 5 Posção horzontal do ponto C tempo para lgação de Kelvn-Vogt e para rótula lvre gura 53 Posção horzontal do ponto C tempo para = 6 Nm/(rad/s) gura 54 Mecansmo em alguns nstantes de tempo gura 55 Dados do exemplo gura 56 Carregamento dnâmco aplcado no mecansmo Peauceller gura 57 Posção vertcal do ponto E tempo gura 58 Mecansmo sem lgações em alguns nstantes de tempo (parte /) gura 59 - Mecansmo sem lgações em alguns nstantes de tempo (parte /) gura 6 Mecansmo com v em alguns nstantes de tempo (parte /) gura 6 Mecansmo com v em alguns nstantes de tempo (parte /) gura 6 Mecansmo com (v+v) em alguns nstantes de tempo (parte /) gura 63 Mecansmo com (v+v) em alguns nstantes de tempo (parte /) gura 64 Mecansmo com todas as conexões vscoelástcas em alguns nstantes de tempo (parte /) gura 65 - Mecansmo com todas as conexões vscoelástcas em alguns nstantes de tempo (parte /) gura 66 Dados de entrada para a anmação gura 67 Trecho do scrpt.... 8

13 x LISTA DE SÍMBOLOS,, x,u x,u c R t,, u e c e c orça Rgdez Deslocamento Velocdade relatva de um amortecedor Coefcente de amortecmento Lmte de resstênca de um modelo plástco Tensão de csalhamento Taxa de deformação de csalhamento Tempo Tensão normal Deformação normal Aceleração orça externa resultante aplcada sobre um nó orça nterna resultante aplcada sobre um nó orça conservatva externa orça conservatva nterna nc e orça não conservatva externa nc orça não conservatva nterna c nc nt c e nc e c nc I u W nt mu Deslocamento vrtual Trabalho real das forças conservatvas nternas U Varação real da energa de deformação W c Trabalho real das forças externas conservatvas V Varação real da energa potencal do sstema

14 x K s M C Energa cnétca Energa Potencal Total Posção ncal Posção Instante de tempo Matrz de massa (lumped) Matrz de amortecmento Grau de lberdade Iteração Passo

15 . INTRODUÇÃO.. Generaldades Em estruturas suetas a ações dnâmcas é comum o emprego de dspostvos que amortecem a resposta estrutural, sto é, que dsspam energa. Esses dspostvos podem ser encontrados em edfcações resstentes a ssmos e, como mostra a gura, também em pontes. gura Amortecedores utlzados em uma ponte (extraído de AEngenhara/photos/pcb / /?type=3&theater). Nos setores automoblístco e aeronáutco os elementos dsspadores de energa, usualmente assocados a molas, podem também ser encontrados em mecansmos. Segundo Norton (), mecansmo é um sstema de elementos (rígdos ou deformáves) undos e organzados para transmtr movmento de uma manera predetermnada. Um mecansmo pode ser entenddo como uma estrutura hpostátca que realza um movmento de acordo com um padrão deseado. A gura mostra o mecansmo do trem de pouso de um avão.

16 gura Trem de pouso de um Arbus A35 (extraído de Nos dspostvos de amortecmento podem anda ser utlzados materas com comportamento vscoelástco, como mostra a gura 3. O uso dessa tecnologa em estruturas de concreto armado, segundo pesqusadores, é mas atratvo do que o emprego de amortecedores de massa sncronzada, tendo em vsta que estes ocupam város psos no topo de arranha-céus. Dessa forma, os proetstas podem dstrbur os elementos vscoelástcos ao longo da altura da estrutura. De acordo com a gura 3, esses dspostvos entram em servço quando há movmento relatvo de paredes e/ou plares. Movmento relatvo de paredes/plares Materal vscoelástco Materal vscoelástco fxado entre as placas de aço gura 3 Dspostvo com materal vscoelástco utlzado em edfíco (adaptado de ttps://

17 3 Dentro desse contexto, constata-se que uma análse de estruturas/mecansmos consderando a presença de lgações vscoelástcas se faz necessára. Destaca-se que os componentes estruturas envolvdos nessa análse podem ser leves e flexíves, o que pode resultar em grandes deslocamentos e rotações do corpo em questão. Dante dsso, uma análse não lnear do problema é mas ndcada. A lteratura apresenta város trabalhos relaconados à estruturas/mecansmos com lgações semrrígdas e com conexões vscoelástcas, tas como: Slva et al. (8), Valpour e Bradford (), Attarnead e Prmoz (4), Ambróso e Veríssmo (9), lores (4), John e George (6) e Huang et al. (5). Dante da dfculdade de se obter soluções analítcas para esses casos, especalmente em corpos submetdos a forças dnâmcas, opta-se por utlzar métodos numércos para encontrar respostas aproxmadas para tas problemas. Dentre os métodos numércos empregados atualmente, destaca-se o Método dos Elementos ntos (ME) que será utlzado neste trabalho com algumas modfcações... Justfcatva A formulação a ser empregada consdera, em vez dos deslocamentos nodas, as posções dos nós como ncógntas, sendo referda como ormulação Posconal do Método dos Elementos ntos (PME). A consderação de conexões vscoelástcas em mecansmos utlzando a PME é de caráter novador e, como vsto anterormente, é necessára para uma melhor descrção do comportamento do sstema..3. Obetvos Este trabalho propõe: aplcar a PME para a análse de estruturas e mecansmos retculados planos com lgações vscoelástcas não lneares; mplementar um códgo computaconal para a análse estátca de estruturas usando a PME, empregando-se a metodologa consagrada na lteratura ncalmente concebda nos trabalhos de Argyrs (965), Pan e Tong (97) e Zenewcz (97).

18 4 Além dsso, para melhor vsualzação do comportamento de um mecansmo/estrutura, propôsse a construção de um scrpt que mostra o movmento descrto pelo corpo ao longo do tempo (anmação). Detalhes desse scrpt encontram-se no Apêndce A. Todos os códgos computaconas foram desenvolvdos no software MATLAB aprovetando-se as rotnas em ortran elaboradas por Greco (4)..4. Organzação do texto O presente texto é composto por cnco capítulos prncpas, além do capítulo ncal (Introdução). No capítulo dos (undamentação Teórca) é apresentado os concetos báscos para a construção das formulações a serem utlzadas posterormente. No capítulo três (Metodologa) descreve-se os procedmentos e passos algébrcos utlzados para se alcançar os obetvos referdos no tem.3. No capítulo quatro (Exemplos Numércos) são apresentados os resultados obtdos empregando-se a metodologa proposta e as comparações com resultados encontrados na lteratura. Por fm, no capítulo cnco (Conclusões e consderações fnas) é feta uma análse global do trabalho e dos resultados, bem como a sugestão de temas futuros de pesqusas na área tratada.

19 5. UNDAMENTAÇÃO TEÓRICA.. Comportamento vscoelástco A evolução das varáves tensão e deformação ao longo do tempo e a valdade da Le de Hooe são hpóteses adotadas pela teora da elastcdade lnear e amplamente empregadas na engenhara. Contudo, um proeto de estruturas de alto desempenho geralmente leva em conta um comportamento mecânco complexo dos materas e/ou das lgações. Nesse caso, as soluções baseadas nas premssas clásscas ctadas anterormente não condzem com os resultados obtdos na prátca. Dante dsso, busca-se adotar modelos reológcos conugados capazes de representar com maor fdeldade o comportamento real das estruturas. Esses modelos conugados são obtdos através da assocação em sére e/ou em paralelo de dos ou mas modelos reológcos báscos. A gura 4 mostra os modelos báscos. Ressalta-se que, para um mesmo materal, dferentes modelos conugados podem ser construídos, a fm de se representar fenômenos dstntos em determnadas crcunstâncas. Segundo lho et al. (7), reologa é o ramo da ísca que estuda as relações entre as tensões, deformações e o tempo.

20 6 Modelo Comportamento Smbologa Tpo de deformação Comentáro Elástco = x Reversível e Imedata Recupera nstantaneamente a energa de deformação quando descarregado Plástco => x = = R R => x = lvre R Irreversível e Imedata Não recupera energa de deformação quando descarregado Vscoso = c ẋ c Reversível e Não-medata Recupera lentamente a energa de deformação quando descarregado gura 4 - Modelos reológcos báscos (adaptado de lho et al. (7)). O modelo elástco se refere ao surgmento de deslocamentos reversíves e medatos quando submetdo por uma força. Entende-se por deslocamentos reversíves aqueles que dexam de exstr após um descarregamento estátco. Os deslocamentos medatos são os que surgem smultaneamente com as forças correspondentes e que permanecem constantes ao longo do tempo, se as forças a elas assocadas também se mantverem nalteradas. O modelo plástco representa a ocorrênca de deslocamentos medatos não reversíves, sto é, de deslocamentos medatos que não se anulam totalmente no descarregamento. Na gura 4, R equvale a um lmte acma do qual os deslocamentos são lvres e abaxo do qual não há deslocamento. O modelo vscoso busca representar um fenômeno característco de líqudos. Sabe-se da Mecânca dos ludos que os líqudos reas são capazes de transmtr tensões de csalhamento apenas em movmento e que, para fludos Newtonanos, a tensão tangencal é proporconal à taxa de deformação de csalhamento : (.) No caso de sóldos, segundo lho et al. (7), a vscosdade é entendda como o fenômeno do surgmento de deformações não medatas. No modelo vscoso, os deslocamentos podem varar ao longo do tempo mesmo que as forças a elas assocadas se mantêm constantes. Assm, a Eq. (.) é estendda para forças/tensões e deslocamentos/deformações normas ( = c ẋ), conforme mostra a gura 4.

21 7 Neste trabalho será consderado nas lgações apenas o modelo conugado vscoelástco de Kelvn-Vogt, formado pela assocação em paralelo de uma mola com um amortecedor. De acordo com ndley et al. (989), dentre os materas com comportamento vscoelástco estão plástcos, madera, fbras naturas e sntétcas, concreto e metas em altas temperaturas. A gura 5 mostra alguns fenômenos que podem ocorrer em modelos vscoelástcos. Em (a) observar-se uma deformação nstantânea devdo a uma tensão aplcada subtamente. Em (b) é evdencado o fenômeno da fluênca, sto é, o aumento lento e contínuo da deformação do materal, de forma assntótca, quando sueto a uma tensão constante. Em (c) tem-se a relaxação, ou sea, as tensões dmnuem gradualmente quando há uma deformação constante. Os casos (d), (e) e (f) podem ser observados quando uma tensão é constante em um ntervalo de tempo. O caso (d) representa uma deformação nstantânea recuperada, o (e) uma deformação recuperada ao longo de um período e o (f) uma deformação permanente. Entrada Resposta (a) t t (b) t t (c) t t t t (d) (e) (f) gura 5 - enômenos comuns em város materas vscoelástcos (adaptado de ndley et al. (989)). A gura 6 apresenta as respostas de alguns modelos vscoelástcos quando submetdos a uma força constante, a um deslocamento constante e a um aumento lnear de deslocamento com o

22 8 tempo. O modelo reológco vscoelástco de Kelvn-Vogt que será abordado neste trabalho está ndcado no tem (d) da gura 6 x x. x t t t (a) (b) (c) c c x x x / c c / t t t t t t c c t t t (d) c x / c t t t (e) c x + t / + t c + t gura 6 - Resposta de alguns tpos de modelos reológcos: (a) elástco; (b) vscoso; (c) Maxwell; (d) Kelvn-Vogt; (e) Zener (adaptado de Bažant e Cedolm ()).

23 9 Nota-se que nos casos (b) e (d), quando se submete o modelo a um deslocamento constante, a força tende ao nfnto no nstante que o deslocamento é aplcado. Além dsso, observa-se que no modelo de Kelvn-Vogt o amortecedor não permte deslocamento no nstante em que uma força súbta é aplcada. No modelo de Zener, também chamado de modelo padrão de sóldo, o comportamento elástco nstantâneo depende dos parâmetros e, sendo que a soma deles representa a rgdez do materal. Nesse modelo, conforme mostra a gura 6, determna o deslocamento fnal após um ntervalo de tempo sufcentemente grande... Prncípo dos Trabalhos Vrtuas para o problema dnâmco Em um sstema dscreto, a equação de equlíbro estátco referente a um Grau de Lberdade (GL) de um nó, supondo um corpo deformável, pode ser expressa como: e (.) em que e é a força externa resultante aplcada sobre o nó e é a força nterna que o corpo atua no nó. No problema dnâmco, a equação de equlíbro pode ser escrta de acordo com o Prncípo de d Alembert: e mu (.3) em que m é a massa pontual relatva ao GL em questão e ü é a aceleração dessa massa. Vale ressaltar que, quando = na Eq. (.3), obtém-se a conhecda expressão da ª Le de Newton para corpos rígdos. Na Eq. (.), a força externa resultante e pode ser decomposta em uma parcela de força conservatva externa c e e em uma parcela de força não conservatva externa nc e. Analogamente, a força nterna resultante pode ser decomposta em uma parcela conservatva pelo própro corpo. Assm, tem-se pela Eq. (.3): c nc e em uma parcela não conservatva, ambas exercdas e c nc mu c nc c nc mu c nc nc c mu nt I e e e e (.4)

24 em que defnu-se c c e, nc nc e nc, e mu. Nota-se que, por c nt construção, nt é defndo como a parcela conservatva da força nterna e, portanto, deve ser obtda utlzando-se as deformações elástcas do materal (podendo este ser lnear ou não lnear). As forças dsspatvas decorrentes de eventuas deformações nelástcas ou devdas ao amortecmento ntrínseco da estrutura devem ser ncluídas na parcela I nc. A Eq. (.4) pode ser usada para encontrar a equação de movmento do sstema mostrado na gura 7a. c g nt I nc nt I u m Referênca m m u p(t) c e nc c nc (a) (b) gura 7 (a) Sstema massa-mola-amortecedor de grau de lberdade. (b) Dagrama de corpo lvre. Assm, pelo dagrama de corpo lvre da gura 7b, tem-se: c mg pt cu u mu nc nt mu cu u pt I (.5) em que = mg é a força peso. Caso se desconsderasse a gravdade, sera entendda como uma força externa dretamente aplcada sobre o nó na dreção do grau de lberdade em questão. A partr da Eq. (.4) pode-se chegar a uma forma alternatva de se expressar o equlíbro. Sea a grandeza u um deslocamento arbtráro, sto é, que pode assumr qualquer valor. Consdera-se que essa grandeza é magnára, ou sea, vrtual. Isso posto, a condção de

25 equlíbro alternatva é obtda multplcando-se os membros da Eq. (.4) por um deslocamento vrtual u: u u u u u u c nc nt I c nc W W W W (.6) c nc nt I nt I em que W c é chamado de trabalho vrtual de c na dreção de u e assm, de manera análoga, defn-se W nc, W nt e W I. Como a Eq. (.4) é válda para qualquer tempo, o desenvolvmento na Eq. (.6) pode ser nterpretado como a mposção de um deslocamento vrtual na dreção do grau de lberdade em um nstante de tempo fxo qualquer. Ressalte-se, então, que o deslocamento vrtual não é uma função do tempo (Crag e Kurdla, 6). Além dsso, como o deslocamento vrtual é mposto em um tempo fxo, as forças são constantes ao longo de u. A gualdade em destaque na Eq. (.6) é a expressão matemátca do Prncípo dos Trabalhos Vrtuas (PTV) para o problema dnâmco. Como nesse caso forneceu-se um deslocamento vrtual, esse prncípo também é chamado de Prncípo dos Deslocamentos Vrtuas. Observa-se que o deslocamento vrtual não precsa ser nfntesmal. Ele pode ser fnto desde que as forças permaneçam constantes em módulo, dreção e sentdo durante u. Assm, o PTV é aplcável tanto para deslocamentos vrtuas fntos ou vrtuas nfntesmas. Outra ponderação mportante é que os deslocamentos vrtuas não necesstam obrgatoramente de ser cnematcamente compatíves com as restrções do sstema. Não obstante, é convenente que eles o seam, pos, assm, apenas as forças que realzam trabalho vrtual não nulo são ncluídas na expressão do PTV (Chen e Lu, 987). A segur, propõe-se determnar a equação de movmento do problema dado na gura 7a utlzando-se o PTV, e tendo como base a gura 8. Nesse caso, tem-se:

26 nt I m c nt I nc u m c nc gura 8 Deslocamento vrtual u. W W W W u u u u c nc nt I c nc nt I mg[ p( t) cu ] umu mgu [ p( t) cu ] u uu mu u u mg [ p( t) cu] u mu mu cu u p t (.7) que é a mesma gualdade encontrada na Eq. (.5)..3. Prncípo da Energa Potencal Total Estaconára Além do PTV, exste outra manera de se exprmr a condção de equlíbro de um sstema. Da Resstênca dos Materas, sabe-se que o trabalho real das forças nternas conservatvas W nt é a própra varação real da energa de deformação U do corpo: W nt U (.8) Neste ponto, um comentáro oportuno se faz necessáro. Segundo Wylen et al. (995), o trabalho, dferentemente da energa de deformação, é uma forma de energa em trânsto, sto é, ele se defne apenas durante um estado ncal e um estado fnal de um sstema. Dante dsso, pode-se utlzar notações alternatvas que remetem a essa dea de uma manera mas dreta. Sendo assm, as notações W nt,, utlzada por Wylen et al. (995), e W nt, utlzada Outra energa em trânsto também muto comum na engenhara é o calor.

27 3 por Bažant e Cedolm (), por exemplo, enfatzam que o trabalho da força fo realzado durante a mudança entre dos estados. Ressalta-se, portanto, que W nt não sgnfca W nt, W nt,. Isso posto, a Eq. (.8) pode ser reescrta semelhantemente da segunte forma: W nt U (.9) Logo, em se tratando de grandezas vrtuas, da Eq. (.9) pode-se escrever: W nt U (.) em que W nt é o trabalho vrtual (e não varação do trabalho) das forças nternas conservatvas e U é a varação (de fato) vrtual da energa de deformação. Adconalmente, recorda-se da ísca que o trabalho das forças externas conservatvas W c sobre um corpo se relacona com a varação real da energa potencal do sstema V de acordo com a Eq. (.). W c V (.) Analogamente ao racocíno feto para W nt anterormente, pode-se afrmar que: W c V (.) em que W c é o trabalho vrtual das forças externas conservatvas e V é a varação vrtual da energa potencal do sstema. A energa cnétca K, por sua vez, é escrta do segunte modo para um grau de lberdade: K m( u ) (.3) em que u é a velocdade da massa m. Determnando-se, agora, o ncremento vrtual da energa cnétca K devdo a um deslocamento vrtual u, tem-se:

28 4 du K mu u du du du m u mu u u dt du I W I (.4) Por fm, substtundo-se as Eqs. (.), (.) e (.4) na Eq. (.6) tem-se: W W W W V W U K c nc nt I nc U V K W ( U V K W ) nc nc (.5) em que defnu-se = U + V + K W nc. A grandeza é chamada de energa potencal total ou funconal, pos transforma um campo vetoral (descrto por deslocamento, força, velocdade e aceleração) em um campo escalar (energa). A Eq. (.5) é a forma alternatva procurada de se expressar a condção de equlíbro. Ela é a expressão matemátca do Prncípo da Energa Potencal Total Estaconára (PEPTE). É ndspensável destacar que a Eq. (.4), o PTV e o PEPTE são equvalentes. Em outras palavras, se um dos três for váldo os outros dos também o serão. Agora, propõe-se novamente a determnação da equação de movmento do problema da gura 7a utlzando-se, dessa vez, o PEPTE. Prmeramente calcula-se as parcelas energétcas do sstema separadamente: U u (.6) u V W V mg du mgu (.7) c K m( u ) (.8)

29 5 u* W u W p( t) cu du (.9) nc nc nc em que na Eq. (.7) a energa potencal ncal (gual a zero) é relatva à lnha de referênca adotada para o problema conforme mostra a gura 7a e u* é a dstânca total acumulada ao longo da qual agem as forças p(t) e cu. Assm, é escrto como: U V K W nc u u* mgu m( u ) p( t) cu du (.) Aplcando-se o PEPTE tem-se: u* d du d u u mg mu u du du du p( t) cudu du u mg mu p( t) cu u (.) du O cálculo das dervadas na Eq. (.) merece uma observação relevante. Nota-se que não se utlzou a regra da cadera na parcela referente ao amortecmento vscoso ( cu ). Além dsso, mesmo se a força externa fosse dependente do tempo e da posção explctamente, ou sea, p = p(t,u), anda assm não se utlzara a regra da cadea nesse termo. Isso se ustfca pelo fato de que as forças atuantes na dreção do grau de lberdade são constantes ao longo de uma perturbação u, como menconado no tem.. Assm, como u é arbtráro, a Eq. (.) é genercamente satsfeta se: du du du u mg mu du dt du p( t) cu u mg m p( t) cu p( t) cu u mg mu mu cu u p( t) (.) que é a mesma equação de movmento encontrada na Eq. (.5).

30 6 Até aqu se consderou o deslocamento u como ncógnta do problema. A fm de apresentar a ormulação Posconal do Método dos Elementos ntos (PME) posterormente, desenvolve-se agora a expressão da energa potencal total para o problema da gura 7a tomando-se como ncógnta a posção do nó. A gura 9 mostra a relação entre posção e deslocamento: u. c m Referênca u p(t) gura 9 Posção ncal ( ), posção fnal () e deslocamento (u) para um sstema de referênca fxo. Como não vara no tempo, pode-se afrmar que u e e o fato de que u dud, tem-se pela Eq. (.): u. Utlzando-se essas relações u * u mgu m( u ) p( t) cu du mg m( ) p( t) c u* d (.3) Aplcando-se o PEPTE na Eq. (.3) para se obter a equação de movmento e, ressaltando-se que as forças cẋ e p(t) são constantes ao longo de, tem-se: d d ( ) mg m d d d d ( ) mg m dt d p( t) c p( t) c m c ) p( t) (.4) (

31 7 É nteressante notar que a expressão de da Eq. (.3) pode ser reescrta de forma mas sntétca e, mesmo assm, conduzr à mesma equação dferencal de (.4). Para sso, neglgenca-se o termo +mg da Eq. (.3) que não depende de : * u* mg m( ) p( t) c d (.5) Pode-se verfcar, então, que a equação de movmento orunda de será dêntca à Eq. (.4). nalmente, a Eq. (.5) apresenta-se de uma forma mas geral como: U * u* mg m( ) p( t) c d (.6) em que U() é a energa de deformação do sstema escrta em função da posção. Portanto, a equação de equlíbro dnâmco (ou equação de movmento) que será utlzada na PME é, de acordo com a Eq. (.6): p( t) c du( ) * mg m d du( ) m c [ p( t) ] (.7) d É fundamental destacar que caso se quera calcular a energa potencal total do sstema a Eq. (.3) deve ser utlzada, e não a Eq. (.5)..4. ormulação Posconal do Método dos Elementos ntos A PME fo ncalmente concebda nos trabalhos de Coda (3) e de Coda e Greco (4). Nessa formulação, as equações de equlíbro são construídas a partr do Prncípo da Energa Potencal Total Estaconára (PEPTE), consderando, em vez dos graus de lberdade de translação dos nós, as posções nodas como ncógntas.

32 8 Coda (3) e Coda e Greco (4) desenvolveram a formulação para análse estátca de estruturas retculadas consderando cnemátca de Bernoull-Euler nos elementos fntos, comportamento elástco lnear do materal e o referencal Lagrangeano total. Nos exemplos realzados nesses trabalhos, a formulação posconal mostrou-se precsa e apresentou satsfatóra convergênca quando comparada com resultados de soluções analítcas e numércas presentes na lteratura. Destaca-se que a PME é ntrnsecamente não lnear geométrca. Greco (4) e Greco e Coda (6) estenderam a formulação para o problema dnâmco com amortecmento vscoso em estruturas retculadas e mecansmos multcorpos, utlzando equações de ntegração temporal de Newmar. Em Greco (4) são consderados problemas de contato/mpacto entre estruturas e entre estruturas e anteparos rígdos. Nessa tese também são consderados efetos elastoplástcos no materal. Em relação ao tpo de referencal adotado, vale ressaltar que, na análse dnâmca, técncas que utlzam de sstemas de coordenadas ntermedáros que gram, como a corrotaconal, dependem de referencas não nercas. Portanto, surgem pseudo-forças referentes a não unformdade da velocdade de rotação do referencal, à aceleração centrífuga e à aceleração de Corols. Desse modo, os termos da matrz de massa acabam se tornando não lneares o que dfculta a análse, em especal no que dz respeto à ntegração temporal (Ibrahmbegovć et al., 3; Mänen, 7). Isso não ocorre na formulação lagrangeana total, pos suas varáves são todas descrtas em relação a um únco referencal, que é, portanto, nercal (Squera, 6). Marques (6) amplou o estudo de contato/mpacto empregando elementos fntos bdmensonas. Nessa dssertação, o autor utlza o algortmo de Newmar com algumas modfcações a fm de garantr sua establzação. Greco e Venturn (6) aplcaram a PME na análse de establdade de trelças trdmensonas. A dentfcação de pontos crítcos é realzada de forma ndreta através da análse de sngulardade da matrz Hessana. Segundo os autores, a formulação pode ser usada para analsar problemas com severo comportamento não lnear geométrco, além de possbltar estudos de pós-flambagem. Em Greco et al. (6) o estudo de establdade de trelças é aprmorado devdo à consderação de efetos elastoplástcos no materal.

33 9 Coda e Paccola (7) utlzaram a formulação posconal na análse estátca de placas com espessura constante, empregando elementos fntos soparamétrcos trangulares curvos. Em Coda e Paccola (8) há a nclusão da varação da espessura na formulação e adota-se a relação consttutva de Sant-Venant-Krchhoff. Macel (8) e Macel e Coda () estenderam a formulação para a análse dnâmca de sóldos trdmensonas. Em Macel (8) há a abordagem de análses de pórtcos planos com cnemátca de Ressner e problemas de mpacto de estruturas trdmensonas em anteparos rígdos. Nessa tese, o comportamento do materal é consderado elástco. Carrazedo (9) e Carrazedo e Coda () consderaram efetos térmcos em mpactos entre estruturas adotando a formulação posconal. Segundo os autores, a consderação desses efetos é muto mportante, pos além de se avalar a transformação da energa mecânca em calor, pode-se consderar as mudanças das propredades mecâncas do materal ao longo da análse. Para prevsão do mpacto, fo utlzado a técnca do multplcador de Lagrange assocada à teora potencal. Os resultados encontrados para a formulação proposta mostraram boa correlação com os fornecdos pela lteratura. Rgobello () e Rgobello et al. (4) aplcaram a PME na análse estátca termomecânca de estruturas de aço aportcadas. Os autores adotaram um modelo consttutvo trdmensonal, de modo que o efeto combnado das tensões normas e csalhantes na verfcação do crtéro 3D de plastcdade é consderado. Res () mplementou computaconalmente uma técnca a fm de nclur lgações semrrígdas elastoplástcas na análse estátca geometrcamente não lnear de pórtcos planos. O autor consderou cnemátca de Ressner e comportamento elastoplástco multlnear para a lgação. O acoplamento numérco fo realzado através de uma formulação algébrca em que a matrz de rgdez e as forças nternas das lgações semrrígdas são ncorporadas na matrz e no vetor de forças nternas da estrutura, respectvamente, em cada teração do método de Newton-Raphson. O autor adconou uma parcela devda à energa nterna da mola na expressão da energa potencal total. Res e Coda (4) expandram o trabalho de Res () nclundo efetos elastoplástcos nas barras. Conexões semrrígdas também foram

34 consderadas no trabalho de Coda e Paccola (4), em que o colapso progressvo e a análse dnâmca de pórtcos planos foram abordados. Em Lacerda (4) dferentes meddas de deformação são adotas para avalar a resposta de trelças planas e trdmensonas usando a formulação posconal. Segundo esse trabalho, a formulação mostrou pratcdade na mplementação computaconal e os resultados obtdos foram satsfatóros quando comparados com os da lteratura. Olvera () e Olvera e Greco (5) empregaram a PME na análse de problemas envolvendo massas móves em cabos e vgas. Olvera () verfca as nfluêncas dos valores da massa e de sua velocdade no comportamento de cabos, bem como as nfluêncas da velocdade da massa, das condções de apoo e dos efetos elastoplástcos no comportamento de vgas suetas a massas móves. Em Olvera e Greco (5), vgas lamnadas são consderadas na análse. Essa confguração lamnada permte consderar barras consttuídas de materas dferentes e com seções de geometra complexa, por exemplo. Rabelo (5) fo um dos poneros na nclusão de modelos reológcos em análses que utlzam a formulação posconal. Em sua dssertação, o autor trata do estudo do comportamento vscoelástco de fluênca de materas compóstos em trelças. Adotou-se o modelo reológco de Zener que é capaz de retratar o fenômeno da fluênca através de uma taxa de deformação temporal. Os resultados do códgo desenvolvdo foram satsfatóros e condzentes com a teora. Becho et al. (5) e Becho (6) adotaram modelos reológcos para descrever o comportamento de fluênca em pórtcos planos. Segundo os autores, a formulação é capaz de representar a evolução dos deslocamentos ao longo do tempo, sob carregamento estátco, de acordo com o esperado pela teora da vscoelastcdade. Squera (6) e Squera e Coda (6) analsaram estruturas e mecansmos planos contendo lgações deslzantes. Essas lgações foram ntroduzdas no sstema mecânco através do método dos multplcadores de Lagrange. A formulação demonstrou versatldade e precsão nas aplcações e, além dsso, grandes deslocamentos e rotações foram corretamente modelados tanto em análses estátcas quanto dnâmcas.

35 Madera e Coda (6) realzaram um estudo de controle de vbrações utlzando um modelo reológco de Kelvn-Vogt. A ntrodução das massas dos dspostvos é feta por meo de multplcadores de Lagrange que mpõem o movmento da massa ao longo do elemento fnto. Os autores ressaltam que a prncpal vantagem dessa formulação, quando comparada com as exstentes na lteratura, é a possbldade de consderar modelos reológcos mas complexos sem a necessdade de resolver as equações dferencas analtcamente. Em Kzam (6) um estudo aprofundado da nstabldade local e global de estruturas trdmensonas é realzado. O autor afrma que o uso do método do Newton-Raphson em conunto com o algortmo de Lanczos pode determnar com precsão sgnfcatva os valores das cargas lmtes das estruturas. Cavalcante (6) apresenta uma formulação termodnamcamente consstente para analsar problemas dnâmcos em trelças com comportamento elástco e/ou plástco. O trabalho também abrange problemas de mpacto consderando efetos térmcos, empregando algortmos de ntegração temporal alternatvos ao clássco Método de Newmar. Slva (7) estende o estudo de Cavalcante (6) para o caso de pórtcos planos com cnemátca de Ressner. Nesse trabalho, a autora conclu que o acoplamento termomecânco tem grande nfluênca na flexbldade das estruturas analsadas, sendo ntensfcada em proporção com a temperatura de referênca. Sanches e Coda (7) apresentam uma metodologa de análse dnâmca de mecansmos multcorpos planos que nclu colapso progressvo. Os autores adotam a cnemátca de Tmosheno e, a fm de permtr a ruptura das barras durante a análse, empregam os multplcadores de Lagrange na montagem dos elementos fntos. Avancn (8) aplca a PME e o Método de Partículas em problemas de nteração fludoestrutura bdmensonas. Nesse trabalho a metodologa proposta fo estudar o escoamento ncompressível do fludo em descrção Lagrangenana, utlzando as posções e pressões como varáves prncpas, em vez de velocdades e pressões tradconalmente empregadas. Segundo o autor, a vabldade da análse Lagrangeana na Mecânca dos ludos depende da preservação da qualdade da malha de elementos fntos, e sso fo obtdo através da utlzação

36 do Método dos Elementos ntos de Partículas, combnado à técnca de trangulação de Delaunay e o método alpha shape para o reconhecmento do contorno. A segur, apresenta-se a formulação posconal para os problemas estátco e dnâmco. Os detalhes matemátcos podem ser encontrados em Greco (4). Problema Estátco A equação de equlíbro para o problema estátco, de acordo com a Eq. (.7), pode ser escrta como: du( ) d (.8) em que neste trabalho denota força externa dretamente aplcada sobre o nó. Nota-se, então, que é necessáro calcular a energa de deformação em função da posção. Para sso é adotado o Elemento nto (E) de barra de nós conforme mostra a gura. Y Y Y gura Elemento fnto deformado. As ncógntas do nó são posção no exo horzontal ( ), posção no exo vertcal ( Y ) e gro ( ). De manera análoga, defne-se as ncógntas para o nó. A energa de deformação é dada por:

37 3 U V d dv V E d dv E V dv (.9) em que consderou-se o materal Hooeano. Como o referencal é Lagrangeano total, a ntegral da Eq. (.9) é realzada no volume ncal V do E. A deformação é escrta com base na cnemátca de Bernoull-Euler e com base na segunte medda obetva 3 : ds ds méd (.3) ds em que ds é o comprmento de uma fbra do exo médo do E após a deformação e ds representa o comprmento dessa fbra na confguração orgnal. Consdera-se que na posção de referênca todos os elementos fntos são retos. Utlzando-se a varável admensonal da gura, escreve-se = f() e Y = f() para a confguração deformada, adotando-se um polnômo cúbco entre e Y: l (.3) 3 Y c d e f (.3) em que defnu-se: l (.33) l Y Y Y (.34) tan tan l ly c (.35) d 3l Y tan tan l (.36) 3 Medda de deformação obetva é aquela que fornece valor nulo para movmentos de corpo rígdo.

38 4 e l tan (.37) f Y (.38) Para a confguração ndeformada tem-se: (.39) l Y Y (.4) l Y tendo em vsta que o E ncalmente é reto. Nota-se que: ds d d d dy d (.4) e de manera análoga defn-se para ds, d e dy. Assm, pode-se substtur ds e ds na Eq. (.3) e obter a deformação do exo médo em função das ncógntas dos nós e da varável admensonal : méd l l 3c d e (.4) em que l é o comprmento do E na confguração deformada e l na confguração ndeformada. A fm de se ter a deformação em qualquer fbra localzada a uma dstânca y perpendcular ao exo neutro, tem-se: méd y (.43) em que é a curvatura de um comprmento ds. A curvatura exata é dada por:

39 5 d d Y d d d d d d dy d dy d 3 (.44) Calculando-se as dervadas da Eq. (.44) utlzando-se as Eqs. (.3) e (.3) e substtundose na Eq. (.43) tem-se: l 6c d y (.45) 3/ l l 3c d e l 3c d e Assm, é possível realzar a ntegral da Eq. (.9) utlzando a expressão da Eq. (.45). Neste trabalho fez-se essa ntegral através da quadratura de Gauss-Legendre utlzando-se dos pontos de Gauss. Após o cálculo da energa de deformação em função das ncógntas do problema (para um E serão 6 varáves), realza-se a dervação em relação a um grau de lberdade e obtêm-se a equação de equlíbro dada pela Eq. (.8). Essa equação pode, então, ser escrta para um grau de lberdade da segunte forma: u l (.46) d g em que u é a densdade de energa de deformação e defnu-se: g l u d, (.47) Nota-se que a solução do problema é a raz da função resíduo g e, como g é não lnear, utlzou-se o Método de Newton-Raphson para soluconá-lo. Assm, expandndo-se g em polnômo de Taylor até o termo de prmera ordem e empregando-se a notação vetoral temse, para um E: g g g Δ (.48)

40 6 Em que é o vetor da posção ncal dos nós do E, Δ é o termo ncógnto da equação e g( ), chamada de Matrz Hessana, é expressa por: g l u, g, d (.49) As dervadas u, e u, podem ser encontradas em Greco (4). Através do Método da Rgdez Dreta monta-se o vetor resíduo (função g) e a matrz Hessana para todo o modelo. O crtéro de parada consderado para o processo ncremental-teratvo fo: N Tol Δ Δ (.5) em que N é o número total de graus de lberdade do modelo. O vetor Δ é obtdo por: g ) g( ) Δ (.5) ( A atualzação da posção é dada por: Δ (.5) Problema Dnâmco De acordo com a Eq. (.7), a equação de equlíbro dnâmco para um grau de lberdade é dada por: U( ) m c [ p ( t) ] (.53) Para o problema dnâmco, consderou-se neste trabalho apenas a aplcação de forças varáves com o tempo sobre os nós, e neglgencou-se a presença da gravdade. Então, da Eq. (.53) tem-se:

41 7 ) ( ) ( g t p c m U (.54) em que, de manera análoga ao problema estátco, defnu-se: ) (, t p c m d u l g (.55) tendo em vsta que o cálculo da energa de deformação segue o mesmo procedmento do problema estátco. Para ntegrar a Eq. (.54) no tempo utlza-se o Método mplícto de Newmar cua dea básca é supor a varação da aceleração conhecda durante um ntervalo de tempo t. Dessa forma, as seguntes equações são obtdas, de acordo com Greco (4): ) ( s s s s s t t (.56) s s s s t t (.57) em que s é um nstante de tempo atual e, consderando-se Ẍ constante tem-se = / e = /4 e para Ẍ lnear tem-se = / e = /6. Escrevendo-se a Eq. (.55) em um nstante posteror s + e utlzando-se as Eqs. (.56) e (.57) tem-se:, s s s s s p c m d u l g ) (, s s s s s s s p tt t R c T t m d u l (.58) em que:

42 8 s s s s t t T ) ( (.59) s s s t R (.6) Da mesma forma do problema estátco, utlza-se o Método de Newton-Raphson para encontrar a raz da função g. Empregando-se a notação vetoral para um E, tem-se da Eq. (.58): Δ g g g s s s (.6) em que s é o vetor da posção ncal dos nós do E no nstante posteror s +, é a ncógnta da equação e s g é a matrz Hessana para o problema dnâmco, dada por: C M g g t t d u s s s ) (,, (.6) em que: Al M (.63) sendo a massa específca do materal e A a área da seção transversal. Além dsso, supôs-se o amortecmento proporconal à massa: C m M c (.64)

43 9 em que c m é o coefcente de amortecmento adotado. Uma vez calculados o vetor resíduo e a matrz Hessana para cada E, monta-se o vetor resíduo e matrz Hessana para todo o sstema. O crtéro de parada consderado aqu é o mesmo do problema estátco. O termo ncógnto é dado por: g g Δ (.65) s s A posção é atualzada como: Δ (.66) s s.5. Metodologas para solução do processo ncremental-teratvo Abordagens utlzadas em Greco (4) Para a análse estátca, Greco (4) concebeu duas formas de solução. A prmera é admtr as posções como ncógntas e ncrementar-se as forças externas, conforme mostra o procedmento da gura. O índce ndca o passo e o índce ndca a teração. Na prátca, o contador de terações é zerado a cada passo por convenênca. Destaca-se que o vetor é constante ao longo de toda a análse.

44 3 INÍCIO (). Austa se () Calcula se () Se (v) Calcula se (v) Se Atualza se fmse g (v) Calcula se g (v) Calcula se Δ Δ Tol e Δ, e Δ Retorna se ao tem () se não Retorna se ao tem () fmse IM gura Algortmo para análse estátca utlzado por Greco (4) adotando-se controle de força. Δ Δ ncal A segunda forma de solução é admtr as forças como ncógntas e ncrementar-se as posções, como mostra a gura. O vetor é defndo pelo usuáro e o vetor de forças externas (), referente a todo o modelo, é obtdo através do vetor de forças nternas ( nt ): du d nt (.67) Depos desse procedmento, o vetor de forças externas é zerado para a contnudade da análse em um novo passo. Nota-se que dada uma posção deslocada da estrutura, exstrá apenas um únco vetor de forças externas nodas que satsfaz o equlíbro. No entanto, a uncdade do carregamento nodal externo não garante uncdade das ações sobre o domíno dos elementos fntos.

45 3 É nteressante notar que o vetor a ser fornecdo pelo usuáro deve ser compatível com a estrutura e com o carregamento externo, o que requer uma análse qualtatva préva do problema mas aprofundada. INÍCIO (). Austa se () Calcula se () Se (v) Calcula se (v) Se IM Atualza se fmse se não fmse g (v) Calcula se g (v) Calcula se Δ Δ Tol Armazena se Retorna se ao tem () Retorna se ao tem () e Δ Δ nt ncal Δ e Δ gura - Algortmo para análse estátca utlzado por Greco (4) adotando-se controle de deslocamento. Abordagem clássca Como aponta Yang e Sheh (99), a metodologa a segur fo ncalmente dealzada nos trabalhos de Argyrs (965), Pan e Tong (97) e Zenewcz (97). Essa metodologa se apresenta na segunte equação de equlíbro ncremental, no âmbto do ME formulado em deslocamentos (una, 4): K δu P Q (.68) δλ

46 3 em que K é a matrz de rgdez tangente da teração - do passo, função do campo de deslocamentos U ; δu é o vetor ncremental de deslocamentos da teração do passo ; δλ é o ncremento do fator de carga da teração do passo ; P é vetor de forças externas (constante durante a análse); Q é o vetor de forças resduas da teração - do passo. Como δu é a ncógnta da equação, pode-se reescrever a Eq. (.68) na segunte forma: δu, P, Q K δλ P Q δλ K P K Q δλ δu δu (.69) em que defnu-se: δu, P K P (.7) K Q δu (.7), Q A convergênca é verfcada da segunte forma: Q P Tol e/ou δu U Tol (.7) em que o vetor de forças resduas é calculado como: Q nt P (.73) sendo que no níco de cada passo o vetor Q é zerado e ( nt ) é calculado com base no vetor U. A atualzação das varáves é feta através de forma ncremental:

47 33 (.74) U U δu (.75) sendo que δu é obtdo pela Eq. (.69). A gura 3 mostra o algortmo genérco para esse método ncremental-teratvo. INÍCIO ().Austa sep () Calcula sek () Calcula seδu (v) Calcula se (Depende do Método de Controle) (v) Calcula seδu (v) Atualza seu (v) Calcula se (v) Calcula seq, P nt e eδu, Q (x)se converge Retorna se ao tem() se não Retorna se ao tem() fmse IM gura 3 Algortmo para abordagem clássca. Na etapa (v) do algortmo da gura 3, o ncremento do fator de carga é calculado de acordo com o Método de Controle escolhdo. Os Métodos de Controle usuas são: controle de força, controle dreto de deslocamento, controle de comprmento de arco, controle de deslocamento generalzado, controle por trabalho e controle de resíduo ortogonal. Neste trabalho será dado um foco apenas no controle de força e no controle dreto de deslocamento.

48 34 O controle de força tem por dea básca ncrementar a força externa somente na prmera teração de cada passo. Para as terações seguntes o ncremento do fator de carga é zerado, como mostra a Eq. (.76): Constante, para (.76) para Como nesse Método supõe-se que a força é a varável ndependente e o deslocamento é a varável dependente, sto é, o deslocamento é função da força, ocorre falha no traçado da traetóra de equlíbro em regões que, na verdade, há um decréscmo de força e um acréscmo de deslocamento. Desse modo, o fenômeno snap-through acontece, como mostra a gura 4. Snap-through u gura 4 Representação do snap-through. O controle dreto de deslocamento, por sua vez, adota a força como a varável dependente e o deslocamento como a varável ndependente. Assm, ncrementa-se o deslocamento/rotação de um grau de lberdade apenas na prmera teração de cada passo, e nas terações seguntes o ncremento zerado, como ndca a Eq. (.77): Constante, para U (.77) para O ncremento do fator de carga é obtdo pela Eq. (.69), escrta para um grau de lberdade :

49 35, Q U U, P U (.78) Como o vetor de forças resduas é nulo na prmera teração, e nas demas terações o ncremento de deslocamento é nulo, então tem-se: U, para, P U (.79), Q U, para, P U Nesse Método, em contraste ao controle de força, ocorre falha no traçado da traetóra de equlíbro em regões que, na verdade, há um acréscmo de força e um decréscmo de deslocamento. Dante dsso, o fenômeno snap-bac acontece, como mostra a gura 5. Snap-bac u gura 5 Representação do snap-bac. Destaca-se que o método de controle dreto de deslocamento requer como dado de entrada apenas o ncremento de deslocamento de um grau de lberdade, em contrapartda à abordagem mostrada na gura, que necessta de um vetor ncremental de deslocamentos. Assm, a análse qualtatva préva do comportamento da estrutura utlzando o método de controle de deslocamento torna-se mas smples.

50 METODOLOGIA 3.. Inclusão das lgações vscoelástcas O comportamento não lnear de uma mola ou de um amortecedor fo modelado utlzando-se uma curva multlnear, como mostra a gura 6. g g n g g x, x x x x x x n x n gura 6 Curva multlnear. Essa abordagem, adotada também por Res (), permte ao usuáro nserr a curva que melhor lhe atenda, e apresenta maor establdade numérca do que a alternatva de se mplementar uma função analítca para representar a não lneardade. Como cada trecho da curva é lnear, adotaram-se as seguntes relações para a mola e para o amortecedor, respectvamente: g g g c g c c c (3.)

51 37 Na Eq. (3.) g e g representam as forças nodas que atuam, respectvamente, na dreção dos graus de lberdade e, que estão conectados através de uma mola ou de um amortecedor. Destaca-se que e devem ser compatíves, sto é, relatvos a uma mesma dreção: horzontal, vertcal ou rotaconal. O termo é a ncógnta na dreção do grau de lberdade e é a ncógnta na dreção de. O parâmetro é a nclnação da reta corrente da curva da mola para um dado deslocamento x. Os termos Ẋ e Ẋ são as velocdades dos graus de lberdade e, respectvamente. Analogamente à, o parâmetro c é a nclnação da reta corrente da curva do amortecedor para uma dada velocdade x. Ressalta-se que e podem ser graus de lberdade translaconas ou rotaconas. Assm, uma vez calculado o deslocamento relatvo de uma mola ou a velocdade relatva de um amortecedor, verfca-se em qual trecho lnear de cada le de comportamento os dados se encontram e, através da Eq. (3.), calculam-se as forças nodas e a matrz Hessana correntes e os ncorpora, respectvamente, no vetor de forças nodas e na matrz Hessana da estrutura em cada grau de lberdade assocado à lgação. Essa ncorporação é feta dentro de cada teração do método de Newton-Raphson. Além dsso, caso o deslocamento ou velocdade calculado(a) concda com um ponto pertencente a duas retas (gura 6), adota-se a nclnação méda das retas adacentes ao ponto como a nclnação atual. O procedmento adotado para nclur lgações vscoelástcas neste trabalho é consderavelmente mas smples do que o apresentado por Kassmal (999) e Galvão et al. (), nos quas a matrz de rgdez do elemento fnto é modfcada para consderar as conexões. É mportante destacar que o amortecmento ntrínseco da estrutura (Eq. (.66)) permanece nalterado, uma vez que a massa não se altera. Porém, a matrz de amortecmento que será ncluída na matrz Hessana (Eq. (.64)) poderá não ser mas constante ao longo da análse, tendo em vsta a não lneardade de possíves amortecedores presentes no modelo. Dante dsso, a nova matrz Hessana será: g g, s s u, d M C (3.) ( t) t s s

52 38 evdencando que C é calculado para uma velocdade. s Por fm, nos problemas estátcos, apenas a nclusão de molas é realzada, segundo o procedmento anterormente exposto. Implementação computaconal A estratéga para a mplementação computaconal das conexões neste trabalho é geral, anda que apenas o modelo de Kelvn-Vogt sea adotado. O procedmento proposto permte a consderação de qualquer arrano vscoelástco para modelar uma lgação pontual e, além dsso, ele pode ser empregado sea qual for a formulação escolhda. A motvação para a referda estratéga tem como base a técnca de conexão nodal apresentada por Greco (4), como mostra a gura Graus de lberdade ncas Graus de lberdade reordenados gura 7 Graus de lberdade ncas e reordenados Nessa técnca, os elementos fntos vznhos podem possur nós de extremdade em uma mesma posção geométrca, porém com numeração nodal dstnta (Greco, 4). Assm, a cnemátca de um grau de lberdade de um nó pode fcar ndependente da do outro, como por exemplo, o gro, exemplfcado pela gura 7. Desse modo, a cração de dos nós em um mesmo ponto á permte a nclusão do modelo reológco de Kelvn-Vogt, tendo em vsta que nessa conexão necessta-se de apenas um grau de lberdade adconal (gura 8) para representar o movmento relatvo à esquerda e à dreta de um nó. Na gura 8 g é a força aplcada no nó, g é a força aplcada no nó, é o

53 39 grau de lberdade do nó em uma dada dreção e é o grau de lberdade do nó na mesma dreção. c g g gura 8 Graus de lberdade para o modelo de Kelvn-Vogt. No caso de um modelo de Maxwell ou de um modelo de Zener, para a correta descrção cnemátca da lgação, deve-se adconar mas um grau de lberdade. Dessa forma, o grau de lberdade extra é obtdo crando-se mas um nó na mesma posção geométrca em que a conexão será ntroduzda, como mostra a gura 9 e a gura. g g g c gura 9 Graus de lberdade para o modelo de Maxwell. A força g na gura 9 e na gura é aplcada no nó. Sua representação está um pouco acma do nó apenas para melhor vsualzação. c g g g gura Graus de lberdade para o modelo de Zener.

54 4 Assm, qualquer modelo vscoelástco pode ser ncluído na análse de forma smples, bastando apenas que se nsra um nó em uma mesma coordenada na malha, de acordo com o número de graus de lberdade adconas requerdos. A gura e a gura mostram, por exemplo, modelos vscoelástcos mas geras. c c c n n gura Modelo generalzado de Maxwell. c c c n n gura Modelo generalzado de Kelvn-Vogt. É mportante destacar que o scrpt mplementado possblta a consderação de movmento relatvo na dreção horzontal, vertcal e rotaconal em um mesmo ponto do modelo. Desse modo, é possível nclur em uma conexão pontual, por exemplo, o modelo de Zener na dreção horzontal, o modelo de Maxwell na dreção vertcal e o modelo de Kelvn-Vogt na dreção rotaconal. Nesse exemplo ctado deve-se crar três nós (, q e ), como mostra a gura 3.

55 4,,, g, g, c 3 g, g,, c 4 q g q, q, 5, g, c 6,3 7 g,3,3 g,3 gura 3 Modelo Zener (horzontal), Modelo Maxwell (vertcal) e Modelo Kelvn-Vogt (rotaconal). A gura 4 mostra o arquvo de entrada para o exemplo da gura 3.

56 4 Número de Les 7 Le,,,,, 4, Le 7,,,,, 4, Nó ncal Nó fnal Le_(H) Le_c(H) Le_(V) Le_c(V) Le_(R) Le_c(R) q 4 q 5 gura 4 Dados no arquvo de entrada. O campo Le_(H) denota qual é a le da mola dsposta na dreção horzontal, o campo Le_c(V) denota qual é a le do amortecedor dsposto na dreção vertcal e assm defne-se os demas campos. Além dsso, o número - ndca que não há mola/amortecedor na respectva dreção. Isso posto, entre o nó e na dreção horzontal defne-se um amortecedor de le 3, entre o nó e na dreção horzontal tem-se uma mola de le e entre e tem-se uma mola de le na dreção horzontal e uma mola de le 7 e um amortecedor de le 6 na dreção rotaconal. Entre e q há um amortecedor com le 4 e entre q e há uma mola com le 5, ambos na dreção vertcal. Destaca-se que as les e 7 representam les blneares, como mostra a gura 4.

57 Abordagem clássca para o método ncremental-teratvo aplcada à PME Repete-se aqu a equação do problema estátco (Eq. (.5): g g g Δ HΔ g Q (3.3) em que se defnu H g como sendo a matrz Hessana. Montando-se uma equação ncremental da Eq. (3.3) de forma análoga à Eq. (.7) tem-se: Q H δ δg (3.4) Nota-se que: δg du d δ P δ P δ δp δ P nt nt nt (3.5) em que: nt nt nt δ (3.6) nt No entanto, o termo da Eq. (3.6) anda é desconhecdo antes do cálculo de δ. Dante dsso, optou-se por realzar o cálculo do ncremento do vetor de força nterna utlzando nt da últma teração ( - ) e da penúltma teração ( - ): nt nt nt δ (3.7) O procedmento adotado na Eq. (3.5) permte que se defna P e da mesma forma que a abordagem clássca. Desse modo, pode-se construr os métodos de controle para a PME de manera análoga ao que fo feto no tem.5. Assm, utlzando-se a Eq. (3.5) na Eq. (3.4) tem-se:

58 44 H δ Q δ H P δ δ P nt nt Q δ H P H δ H nt Q δ δ, δ nt δ P,, Q (3.8) em que se defnu: δ, P H P (3.9) δ H nt, nt δ (3.) H Q δ (3.), Q A convergênca adotada fo: Q P Tol (3.) O vetor Q é calculado da segunte forma: Q nt P (3.3) sendo que no níco de cada passo o vetor Q é zerado e nt é calculado com base no vetor. A atualzação das varáves é feta como: (3.4) δ (3.5)

59 45 em que δ é obtdo pela Eq. (3.8). A gura 5 mostra o algortmo genérco para esse método ncremental-teratvo. INÍCIO ().Austa sep () Calcula seh () Calcula seδ (v) Calcula se (Depende do Método de Controle) (v) Calcula seδ (v) nt (v) Atualza se (x) Calcula seq nt, P (v) Calcula se nt, δ e, Q eδ, nt (x) Se converge Retorna se ao tem() se não Retorna se ao tem() fmse IM gura 5 Algortmo proposto para análse estátca utlzando a abordagem clássca. O cálculo de para o método de controle de força é dêntco ao ndcado pela Eq. (.78). Já para o controle dreto de deslocamento, a Eq. (.79) requer o ncremento de deslocamento. No entanto, o ncremento de deslocamento é gual ao ncremento da posção de um grau de lberdade : U U (3.6) Dante dsso, a entrada de dados pelo usuáro não se altera e, então, pode-se obter o valor de da Eq. (3.8), escrta para um grau de lberdade, da segunte forma:

60 46 P Q δ δ δ δ,,, nt (3.7) Como Q é nulo na prmera teração, e nas demas terações o ncremento de posção é nulo, então tem-se: para, para,,,,,, nt nt P Q P (3.8) Entretanto, o desenvolvmento anteror não conduzu a respostas satsfatóras para o controle por deslocamento devdo à nstabldade numérca gerada pela presença dos termos relatvos a nt δ. Dante dsso, optou-se por desprezar esses termos nas equações. Assm, a Eq. (3.8) se tornou: Q P,, δ δ δ (3.9) e a Eq. (3.8) fo modfcada para: para, para,,,, P Q P (3.) No próxmo capítulo aplca-se as formulações/metodologas propostas. Os exemplos, e 3 são referentes a problemas estátcos e os demas envolvem problemas dnâmcos.

61 EEMPLOS NUMÉRICOS 4.. Exemplo Desea-se obter a traetóra vertcal de equlíbro do ponto de aplcação da força P da trelça mostrada na gura 6 pela solução analítca e pela PME. As molas são consderadas lneares elástcas. P = 5 N 6 = N/m H =,5 m c w P L =, m E = 3 GPa - A =, m -5 4 I =,44 m H L L gura 6 Dados do exemplo. A solução analítca será obtda fazendo-se o equlíbro da estrutura na posção deslocada, como mostra a gura 7a.

62 48 c y P L L N N (a) (b) gura 7 Dados geométrcos para solução analítca. Convenconando-se a força normal N nas barras de tração, o equlíbro do nó da rótula fornece (gura 7b): P N sn (4.) v Consderando o materal elástco lnear tem-se: N u cos E E N EA u (4.) A c L em que A é área da seção transversal e u é dferença de comprmento ocorrda em cada barra. Realzando-se o equlíbro de uma das barras de acordo com a gura 8 tem-se: P/ R y P/ A L+ gura 8 Dados para o equlíbro de uma das barras do sstema. P M A R ( L ) (4.3) y

63 49 P h ( L ) (4.4) y Como a mola tem comportamento lnear ( = ), tem-se pela Eq. (4.4): P PL ( L ) (4.5) y y P Determnando-se u utlzando-se a Eq. (4.5) tem-se: cos cos PL y Pcos cos L L Ly cos u c c (4.6) cos cos Substtundo-se a Eq. (4.6) na Eq. (4.) tem-se: N cos y Pcos y cos P cos EA (4.7) Substtundo-se a Eq. (4.7) na Eq. (4.) tem-se: P EA y cos cos Pcos tan (4.8) y P em que: H arctan (4.9) L y y y P arctan arctan arctan (4.) L PL L L y P

64 5 A Eq. (4.8) está descrta em função de P e y e é a solução analítca procurada para o problema. Na resolução do problema através da PME foram adotadas as numerações mostradas na gura 9. Nota-se que a mola do apoo esquerdo nterlga os graus de lberdade (nó ) e 4 (nó ) e a mola do apoo dreto nterlga os graus de lberdade (nó 5) e 3 (nó 6). o utlzada uma tolerânca gual a E Nós gura 9 Dados para análse numérca. A gura 3 mostra as traetóras de equlíbro obtdas. Nota-se que a formulação de controle de deslocamento não fo capaz de traçar a traetóra de forma fdedgna no trecho em que P é negatvo. A traetóra va controle de força fo satsfatóra, mostrando ótma correlação com a solução analítca antes e após o snap-through. P (N) 5 5 Sol. Analítca Contr. de Desloc. (presente trabalho) Contr. de orça (presente trabalho) Contr. De desloc. (Abordagem de Greco (4)) 5-5,,4,6,8,,4 - w (m) gura 3 Traetóra de equlíbro utlzando a solução analítca, o controle de força e o controle de deslocamento.

65 5 4.. Exemplo O exemplo trata de um pórtco (gura 3) cuas barras horzontas foram dscretzadas em 5 E, as barras vertcas de 3, m em 8 E e as dagonas em 34 E. As molas translaconas são lneares e, para as lgações rotaconas, adotou-se uma dscretzação da função M. Nas conexões nclnadas, stuadas no meo das dagonas, fo utlzada uma decomposção da rgdez conforme mostra a gura 3. P P A P P = 3 N 6 = N/m E = 3 GPa A = 3,75 - m -4 4 I =,953 m P 3, m 3, m 6, m gura 3 Dados do exemplo. sen cos gura 3 Decomposção da rgdez. A gura 33 mostra a resposta obtda para o pórtco com e sem molas, sendo este últmo com os apoos engastados. Nota-se, então, que o uso das lgações horzontas nos apoos, em vez do engastamento, contrbuu para um aumento consderável no deslocamento horzontal do nó A.

66 5 P (N) Com molas Sem molas A (cm) gura 33 orça P posção horzontal do nó A. Na gura 34 são mostradas as deformadas do pórtco para alguns níves de carregamento. Os deslocamentos nodas foram aumentados 4 vezes para melhor vsualzação. Destaca-se que a PME se mostrou capaz e efcente para a análse do modelo. Y (m) Passo P = N Passo P = 5 7,5 N Passo P = 5 5 N Passo P = 75,5 N Passo P = 3 N (m) gura 34 Aspecto deformado da estrutura em algumas etapas de carga.

67 Exemplo 3 O exemplo trata de um arco senodal de formato y x z sn x submetdo a um L carregamento unformemente dstrbuído, como mostra a gura 35. O arco fo dscretzado em 8 E, cada um com comprmento horzontal gual a /8 m. Pretende-se comparar os resultados obtdos com os encontrados em Galvão et al. () para valores dferentes da rgdez das molas elástcas lneares. q z =. m L =. m E = GPa h =. m y x L d h h z gura 35 Dados do exemplo 3. A gura 36 mostra os resultados obtdos. Nota-se que há ótma concordânca com os resultados fornecdos pela lteratura. O método de controle por deslocamento dreto para este exemplo mostrou-se estável e efcaz..5 q/h (MPa)..5. Galvão et al. () Presente trabalho = EI/L = EI/L = 5 EI/L.5 = EI/L = d/z gura 36 Camnhos de equlíbro para dferentes valores de.

68 Exemplo 4 O exemplo trata de um pórtco em L com uma lgação semrrígda submetdo à força P(t) como mostra a gura 37. A vga e o plar foram dscretzados com E cada um. Consderou-se t = -4 e uma tolerânca de -8. Dos valores de amortecmento (c m ) foram adotados: c =, e c = 4,. Os resultados obtdos são comparados com os fornecdos por Slva (9). Este exemplo fo publcado no trabalho de ernandes, Vasconcellos e Greco (8). = 37.3 Nm/rad E = GPa = 78 g/m³ EI = 4.48 Nm² A =.8 Ns²/m² P (t) w.5 m P (t).5 m 9.6 N.5 m.987 t (s) gura 37 Dados do exemplo 4. A gura 38 mostra os resultados obtdos para o deslocamento horzontal do ponto de aplcação da força P(t). Nota-se que o caso não amortecdo concorda satsfatoramente com o encontrado por Slva (9). Além dsso, os casos amortecdos têm a mesma frequênca de fase do caso não amortecdo e a ampltude relatva à estrutura com c é menor do que a ampltude relatva à estrutura com c, com ambas decrescendo em toda a análse, conforme era esperado.

69 55.8 Slva (9) Presente trabalho (c) Presente trabalho (c) Presente trabalho (não amortecdo) w (cm) tempo (s) gura 38 Deslocamento horzontal do ponto de aplcação da força tempo. A gura 39 mostra a resposta do pórtco para dferentes valores de P(t). Percebe-se que quando P cresce um comportamento não peródco e rregular tende a ser mas vsível. Além dsso, para P = 8 N e P = 9 N uma nstabldade numérca é verfcada. w (cm) P = N P = 4 N P = 5 N P = 6 N P = 7 N P = 75 N P = 8 N P = 9 N tempo (s) gura 39 Deslocamento horzontal do ponto de aplcação da força para dferentes valores de P(t).

70 Exemplo 5 O exemplo trata de uma vga com lgação Kelvn-Vogt em ambas as extremdades que está submetda a uma força P(t) como mostra a gura 4. A estrutura fo dvdda em E. o escolhdo t = -5 e uma tolerânca gual a -8. O amortecmento estrutural não fo consderado. Uma comparação é feta com os trabalhos de Chan e Chu () e Slva (9). Este exemplo fo publcado no trabalho de ernandes, Vasconcellos e Greco (8). v L/ P (t) w L/ v P (t).85 N Carregamento. t (s) = g/m -5 A = 8.6 m I = m I = m 3 L =.5 m E = 6.84 GPa c =. Ns/m = EI/L = Nm/rad P (t).85 N Carregamento. t (s) gura 4 Dados do exemplo 5. A gura 4 mostra o deslocamento vertcal do ponto médo da vga bengastada obtdo por Slva (9), Chan e Chu () e pela formulação proposta usando a nérca I e o carregamento. A gura 4 mostra o caso para a vga com lgações elástcas usando também a nérca I e o carregamento. Concluí-se, então, que há boa concordânca dos resultados obtdos pela PME com os dsponblzados pela lteratura.

71 57.5. Slva (9) Chan e Chu () Presente trabalho w (cm) tempo (s) gura 4 Deslocamento vertcal tempo para vga bengastada..5 Slva (9) Chan e Chu () Presente trabalho. w (cm) tempo (s) gura 4 Deslocamento vertcal tempo para lgação elástca. Uma análse da resposta da vga com conexões elástcas para dferentes valores de P(t) com duração gual a -3 s revela um comportamento não esperado como pode ser observado pela gura 43. A ampltude de resposta para P = 8 N é menor do que para P = 5 N, que é

72 58 menor do que para P = N na vbração lvre. Desvando desse padrão, para P = 8 N o sstema oscla com uma ampltude maor do que para P = N. Outro comportamento anômalo é o fato da frequênca não permanecer constante para os dferentes valores de P. Então, é provável que para P em torno de N a vga sofre algum tpo de nstabldade estrutural, tendo em vsta a análse qualtatva de sua resposta. w (cm) P = N P = 5 N P = 8 N P = 8 N tempo ( -3 s) gura 43 Resposta da vga com conexões elástcas para dferentes valores de P. A gura 44 mostra a resposta da vga com lgações elástcas e vscoelástcas utlzando-se a nérca I e o carregamento. Observa-se que o modelo reológco de Kelvn-Vogt dmnu contnuamente a ampltude do deslocamento na vbração lvre, conforme se esperava..5 Lgação elástca Lgação vscoelástca. w (mm) tempo ( -3 s) gura 44 Resposta para lgação elástca e vscoelástca.

73 Exemplo 6 O exemplo trata de um mecansmo bela-manvela submetdo a um momento M(t), conforme mostra a gura 45. A haste AB fo dscretzada em 5 E e a haste BC em E. o escolhdo t = 5-3 e uma tolerânca gual a -. O amortecmento estrutural não fo consderado. No nó da rótula (nó B) empregou-se uma conexão de Kelvn-Vogt (KV) na dreção horzontal e uma na dreção rotaconal, como ndcado na gura 45. A rgdez da mola da lgação vscoelástca horzontal é constante e gual a 5, 4 N/m. A mola da lgação vscoelástca rotaconal segue a le dada pela gura 46 e o amortecedor dessa conexão pode segur as les mostradas na gura 48, ndcadas grafcamente na gura 47. Parte desse exemplo fo publcado no trabalho de Vasconcellos e Greco (7). M(t) = A M(t) y t 6. ( - e ) for t.7 s for t.7 s x. m B.4 m - A = 4. m 3 = 5. g/m -4 4 I =.33 m E = 3. GPa C KV KV B gura 45 Dados do exemplo 6. M (Nm) (,99; 9,9) (,66; 7,9) (,33; 4,6) (4,; 5,9) (rad) gura 46 Le da mola da lgação vscoelástca rotaconal no nó B.

74 6 M (Nm) I II III (rad/s) gura 47 Les utlzadas para os amortecedores. Le I Le II Le III (rad/s) M (Nm) (rad/s) M (Nm) (rad/s) M (Nm),,,,,,,,5,,,,8,,5,,5,, 9, 6,, 4,, 3,33 gura 48 Coordenadas dos pontos das les utlzadas nos amortecedores. A gura 49 mosta a posção do nó C em função do tempo para alguns casos de conexões. O rótulo rkv III ndca que fo utlzado apenas a lgação vscoelástca rotaconal de Kelvn- Vogt com o amortecedor segundo a le III e, de manera análoga, defnem-se os rótulos rkv II e rkv I. A ndcação rkv III + hkv I sgnfca que fo empregada a conexão de Kelvn-Vogt rotaconal com um amortecedor de le III e a conexão de Kelvn-Vogt horzontal com um amortecedor de le I. Nota-se que a presença apenas da lgação elástca rotaconal dmnuu a frequênca, mas manteve o caráter peródco da resposta, como era esperado. Além dsso, o amortecedor de le I mplcou na dmnução da ampltude de manera mas rápda que o amortecedor de le II, e esse de manera mas rápda que o amortecedor de le I. Esse resultado confrma uma análse qualtatva da gura 47 que mostra a le I com maor nclnação que a le II, e essa com maor nclnação que a le III. Outro aspecto nteressante é que quando a conexão vscoelástca horzontal é usada unto com a rotaconal, a posção horzontal do nó C ultrapassa a posção orgnal (6 cm) de manera mas acentuada, como pode ser vsto na gura 49 pouco depos de t = s.

75 6 C (cm) Rótula sem lgação tempo (s) Lg. Elástca Rotaconal rkv III rkv II rkv I rkv III + hkv I gura 49 Posção horzontal do nó C tempo para as lgações estudadas. A gura 5 mostra a deformada do mecansmo com lgação rkv III + hkv I para alguns nstantes de tempo. Nota-se que a conexão horzontal provoca um deslocamento relatvo horzontal bem evdente no nó da rótula, tanto em nstantes que ocorrem afastamento das barras quanto nos nstantes quem ocorrem cruzamento das barras. Y(cm) 5 5-5, s, s,6 s,3 s,4 s,45 s,6 s (cm) gura 5 Mecansmo bela-manvela em alguns nstantes de tempo.

76 Exemplo 7 O exemplo trata de um mecansmo com 3 barras submetdo a um momento M(t) como pode ser vsto na gura 5. As barras AB e CD foram dscretzadas em 5 E e a barra BC em E. o escolhdo t = 5-3 e uma tolerânca gual a -. O amortecmento estrutural não fo consderado. Nas rótulas B e C foram empregadas lgações de Kelvn-Vogt rotaconas, cada uma com mola lnear de rgdez gual a,8 Nm/rad e amortecedor lnear cuo coefcente de amortecmento vale,9 Nm/(rad/s). O carregamento dnâmco M(t) está ndcado na Eq. (4.). E = 3, GPa -7 4 I = 5,8 m -3 A =,5 m = 5 g/m 3 5 cm B v v C 5 cm Y A 7º 7º D 5 cm M(t) gura 5 Dados do exemplo 7. M t 5 e 4,988t p/ p/ t,7s t,7s (4.) A gura 5 mostra a posção horzontal do ponto C em função do tempo para o caso com lgação vscoelástca, com lgação elástca e com rótula lvre. Constata-se que a análse com a rótula lvre fo abortada no nstante t =,9 s e a análse com lgação elástca no nstante t = 4,5 s, respectvamente. A análse numérca do mecansmo com lgação de Kelvn-Vogt, no entanto, fo forneceu resultados para um ntervalo de tempo maor, resultando em um amortecmento efcaz, como mostra a gura 5.

77 C (cm) Lgação vscoelástca Rótula lvre Lgação elástca tempo (s) gura 5 Posção horzontal do ponto C tempo para lgação de Kelvn-Vogt e para rótula lvre. A gura 53 mostra a posção horzontal do ponto C quando se utlza uma lgação apenas elástca com rgdez da mola gual a 6 Nm/(rad/s). Constata-se que o movmento com essa lgação permanece em caráter peródco com ampltude menor do que para o caso com rótula lvre, conforme era esperado. 8 7 Lgação elástca Rótula lvre 6 C (cm) tempo (s) gura 53 Posção horzontal do ponto C tempo para = 6 Nm/(rad/s). Para o caso em que a rgdez da mola vale 6 Nm/(rad/s) um comportamento curoso do mecansmo pode ser observado, como mostra a gura 54. Em vez de segur o gro anthoráro, as barras assumem uma confguração dferente, ndcada em t =,6 s. O movmento osclatóro permanece e a análse numérca consegue descrever a cnemátca do mecansmo até t =,8 s.

78 64 Y (cm) (cm),4 s,5 s,6 s,6 s,65 s,67 s,7 s gura 54 Mecansmo em alguns nstantes de tempo Exemplo 8 O exemplo trata de um mecansmo Peauceller (gura 55) submetdo a um momento M(t) conforme mostra a gura 56. As barras BC, C, E, ED e DC foram dscretzadas em 5 E cada uma, e as barras AD e A em E. o escolhdo t = -3 e uma tolerânca gual a -8. O amortecmento estrutural fo desprezado. Todas as conexões de Kelvn-Vogt possuem mola com rgdez gual a 6 Nm/rad e amortecedor com coefcente de amortecmento gual a 3 Nm/(rad/s). Braço D E = GPa -3 A = 3,6 m -6 4 I = 4,3 m 3 = 77 g/m Demas barras A v5 M(t) Braço C B v v v3 E,75 m E = GPa -3 A =,8 m -7 4 I =,57 m = 77 g/m 3 v4,75 m,5 m,5 m, m, m gura 55 Dados do exemplo 9.

79 65 M (Nm) 7,5 4, tempo (s) gura 56 Carregamento dnâmco aplcado no mecansmo Peauceller. A gura 57 mostra a posção vertcal do ponto E para o mecansmo com todas as rótulas lvres. Observa-se que, em geral, quanto maor o número de lgações presentes no modelo, maor é a frequênca do sstema, conforme se esperava Rótulas lvres Apenas v v+v v+v+v3+v4+v5 Y E (m) 3 -,,4,6,8,,4, tempo (s) gura 57 Posção vertcal do ponto E tempo. As fguras 58 e 59 mostram a confguração do mecansmo sem lgações para alguns nstantes de tempo. Nota-se que em t =,37 s a barra A fca acma da barra AD e a barra C também se stua acma da barra CD como mostra a gura 58.

80 66 Y (m) Posção orgnal t =,7 s t =,5 s t =,3 s t =,37 s (m) gura 58 Mecansmo sem lgações em alguns nstantes de tempo (parte /). Y (m) Posção orgnal t =,4 s t =,58 s t =,64 s t =,7 s (m) gura 59 - Mecansmo sem lgações em alguns nstantes de tempo (parte /). As fguras 6 e 6 mostram a confguração do mecansmo com a lgação v em alguns nstantes de tempo. Observa-se que a conexão mpede a sobreposção das barras AD e A, porém anda há grande aproxmação das barras C e CD, prncpalmente em t =,7 s na gura 6.

81 67 Y (m) Posção orgnal t =,7 s t =,5 s t =,3 s t =,37 s (m) gura 6 Mecansmo com v em alguns nstantes de tempo (parte /). Y (m) Posção orgnal t =,4 s t =,58 s t =,64 s t =,7 s (m) gura 6 Mecansmo com v em alguns nstantes de tempo (parte /). As fguras 6 e 63 mostram a confguração do mecansmo com as lgações v e v em alguns nstantes de tempo. Percebe-se que as conexões mpedem a sobreposção das barras AD e A e das barras C e CD.

82 68 Y (m) Posção orgnal t =,7 s t =,5 s t =,3 s t =,37 s (m) gura 6 Mecansmo com (v+v) em alguns nstantes de tempo (parte /). Y (m) Posção orgnal t =,4 s t =,58 s t =,64 s t =,7 s (m) gura 63 Mecansmo com (v+v) em alguns nstantes de tempo (parte /). As fguras 64 e 65 mostram a confguração do mecansmo com todas as lgações vscoelástcas em alguns nstantes de tempo. Comparando-se as confgurações dos mesmos tempos das fguras 6 e 64 nota-se que a frequênca do sstema com todas as lgações aumentou, como era esperado. De gual modo, tem-se a mesma conclusão ao se confrontar as fguras 63 e 65.

83 69 Y (m) Posção orgnal t =,7 s t =,5 s t =,3 s t =,37 s (m) gura 64 Mecansmo com todas as conexões vscoelástcas em alguns nstantes de tempo (parte /). Y (m) Posção orgnal t =,4 s t =,58 s t =,64 s t =,7 s (m) gura 65 - Mecansmo com todas as conexões vscoelástcas em alguns nstantes de tempo (parte /).

84 CONCLUSÕES E CONSIDERAÇÕES INAIS Neste trabalho a PME fo aplcada à análse de estruturas e mecansmos multcorpos retculados planos com lgações vscoelástcas não lneares de Kelvn-Vogt. A estratéga adotada para nclur as lgações na malha de elementos fntos permte a consderação de qualquer modelo reológco vscoelástco e, além dsso, pode ser empregada sea qual for a formulação escolhda. A utlzação da referda metodologa com lgações elástcas conduzu a resultados condzentes com os fornecdos pela lteratura como ndcado nos exemplos 3 (gura 36), 4 (gura 38) e 5 (gura 4). O uso das lgações do tpo Kelvn-Vogt levou a resultados satsfatóros do ponto de vsta qualtatvo como dscutdo nos exemplos 5, 6, 7 e 8. Além dsso, destaca-se que o procedmento proposto possblta a nserção de uma conexão na dreção horzontal, vertcal e rotaconal entre elementos fntos ou entre um apoo e um E. Salenta-se anda que a técnca adotada para nclur a não lneardade nas molas e amortecedores (curva multlnear) é geral e apresentou boa establdade numérca. Adconalmente, reforça-se que a formulação posconal mostrou-se capaz para a análse de mecansmos com conexões vscoelástcas, como mostrado nos três últmos exemplos. Outra proposta do trabalho fo uma formulação alternatva para a análse estátca utlzando-se a PME e a abordagem clássca do método ncremental-teratvo. O uso dessa abordagem possbltou estudar o exemplo 3, cua análse sera mas trabalhosa caso se utlzasse o algortmo da gura, tendo em vsta que este requer um vetor deslocamento ncremental como dado ncal. No entanto, contata-se que a formulação de controle de deslocamento não forneceu resultados satsfatóros para o exemplo, no trecho em que a força tem snal negatvo. Dante dsso, ressalta-se que a formulação requer revsões nesse aspecto em futuras pesqusas. Outros temas que poderão ser tratados posterormente são: mplementação de outros métodos de controle adotando a metodologa proposta, análse de mecansmos com

85 7 outros modelos reológcos nas lgações, extensão da análse de mecansmos com conexões D para mecansmos 3D, nclusão de efetos térmcos nos exemplos desta dssertação e desenvolvmento de algortmos para análse quase-estátca de estruturas com lgações vscoelástcas usando técncas de adaptatvdade do ncremento de tempo. Além dsso, podese utlzar a mesma dea de nserção de lgações vscoelástcas deste trabalho para analsar os casos mas geras com conexões vscoelastoplástcas. Por fm, destaca-se que a mplementação do scrpt que permte vsualzar o movmento de um mecansmo fo de grande vala, pos contrbuu para uma melhor análse do comportamento do sstema ao longo do tempo.

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93 79 7. APÊNDICE A SOBRE O SCRIPT DESENVOLVIDO A gura 66 mostra a caxa de dálogo gerada pelo scrpt crado. Dos arquvos de extensão.txt devem ser fornecdos para que o programa obtenha os dados ncas do modelo, bem como as posções nodas á calculadas prevamente. Além dsso, ncluu-se um campo ator de escala com o ntuto de aumentar os deslocamentos do mecansmo para melhor vsualzação de seu comportamento. gura 66 Dados de entrada para a anmação.