Análise Limite com Otimizador de Grande Escala e Análise de Confiabilidade

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1 Mauro Artemo Carrón Pachás Análse Lmte com Otmzador de Grande Escala e Análse de Confabldade TESE DE DOUTORADO Tese apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenhara Cvl da PUC-Ro como requsto parcal para obtenção do título de Doutor em Engenhara Cvl. Ênfase: Geotécnca Orentador: Eurípedes do Amaral Vargas Júnor Co-orentadores: Luíz Eloy Vaz José Hersovts Norman Ro de Janero, março de 9

2 Mauro Artemo Carrón Pachás Análse Lmte com Otmzador de Grande Escala e Análse de Confabldade Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenhara Cvl da PUC-Ro como requsto parcal para obtenção do título de Doutor em Engenhara Cvl. Aprovada pela Comssão Examnadora abaxo assnada. Prof. Eurípedes do Amaral Vargas Júnor Presdente/Orentador Departamento de Engenhara Cvl PUC-Ro Prof. Luz Eloy Vaz Co-Orentador-UFRJ Prof. José Hersovts Norman Co-Orentador-UFRJ Prof. Luz Fernando Marta Departamento de Engenhara Cvl PUC-Ro Prof. Ivan Menezes PUC- Ro Prof. Aldo Duran Farfán UENF Prof. Slva Almeda UFG Prof. José Eugêno Leal Coordenador Setoral do Centro Técnco Centífco PUC Ro Ro de Janero, março de 9

3 Todos os dretos reservados. É probda a reprodução total ou parcal do trabalho sem autorzação da unversdade, do autor e do orentador. Mauro Artemo Carrón Pachás Graduou-se em Engenhara Cvl na Unversdade Naconal de Engenhara (UNI-PERU) em 996. Trabalhou como pesqusador no Centro Peruano Japonês de Investgações Sísmcas e Mtgação de Desastres CISMID em Lma-Perú no período de 997 a. Estudou mestrado na PUC-Ro, em Engenhara Cvl, na área de Geotecna, no período.-4.. Ingressou no curso de doutorado na PUC- Ro no período 4., atuando na lnha de Pesqusa Numérca. Análse Lmte com Otmzador de Grande Escala e Análse de Confabldade. Carrón Pachás, Mauro Artemo Fcha Catalográfca Análse Lmte com Otmzador de Grande Escala e Análse de Confabldade / Mauro Artemo Carrón Pachás; orentador: Eurípedes do Amaral Vargas Júnor; coorentadores: Luz Eloy Vaz, José Hersovts Norman f. : l. ; 3 cm Tese (Doutorado em Engenhara Cvl) Pontfíca Unversdade Católca do Ro de Janero, Ro de Janero, 9. Incluí referêncas bblográfcas.. Engenhara cvl Teses.. Análse lmte. 3. Métdo de elementos fnto. 4. Otmzação. 5. Escoamento. 6. GEOLIMA. 7. Confabldade. 8. Função de falha. 9. FORM. I. Vargas Júnor, Eurípedes do Amaral. II. Vaz, Luz Eloy. III. Norman, José Hersovts. IV. Pontfíca Unversdade Católca do Ro de Janero. Departamento de Engenhara Cvl. V. Título. CDD: 64

4 Para meus pas, Juan Carrón e Marna Pachás, pelo grande amor, confança e exemplo..

5 Agradecmentos Desejo expressar mnha gratdão ao professor Eurípedes do Amaral Vargas Júnor, por ter-me convencdo para fazer o curso de doutorado. Aos professores Eurípedes do Amaral Vargas Júnor, Luíz Eloy Vaz e José Hersovts Norman pela orentação durante a realzação deste trabalho. Ao Professor Luz Fernando Martha pela confança e apoo. Aos professores dos departamentos de Cvl, Informátca e Elétrca, pelos conhecmentos transmtdos em cada uma das dscplnas que curse. A meus pas, rmão, rmãs, meu prmo Felx e a toda mnha famíla, que sempre me apoaram e ncentvaram para a realzação deste curso de doutorado. À Mshel, pelo grande amor e compreensão, muto obrgado. À Rta, secretára da pós-graduação, por sua atenção e dsponbldade. À PUC-Ro, CAPES e CNPq pelos auxílos fnanceros conceddos e ao TECGRAF/PUC-Ro pela oportundade de poder trabalhar e estudar, sem a qual não tera sdo possível realzar este estudo. A todos os colegas do trabalho, do estudo e das peladas, muto obrgado pela convvênca. A Deus, porque sem a ajuda d Ele nada acontece.

6 Resumo Pachás, Mauro Artemo Carrón; Vargas Júnor, Eurípedes do Amaral; Vaz, Luíz Eloy e Hersovts, José Norman. Análse Lmte com Otmzador de Grande Escala e Análse de Confabldade. Ro de Janero, 8. 88p. Tese de Doutorado - Departamento de Engenhara Cvl, Pontfíca Unversdade Católca do Ro de Janero. O presente trabalho tem por objetvo desenvolver um otmzador efcente de grande escala, que permta a aplcabldade prátca da Análse Lmte Numérca pelo MEF, para resolver problemas reas da Engenhara Geotécnca. Para sto, fo desenvolvdo um otmzador para o programa GEOLIMA (GEOtechncal LIMt Analyss) (Carrón, 4) baseado no algortmo de Pontos Interores, computaconalmente mas efcente que os otmzadores comercas exstentes. Pelo fato das propredades do solo serem de natureza aleatóra, a possbldade de aplcar Análse de Confabldade com a Análse Lmte pelo método FORM em problemas geotécncos é pesqusada também. Sendo a grande vantagem do método FORM a possbldade de se aplcar para funções de falha quasquer e varáves com dstrbução quasquer. Incalmente, são apresentados os fundamentos da teora de Análse Lmte e sua formulação numérca pelo MEF (Método dos Elementos Fntos). A segur, é nvestgada a possbldade de se usar otmzadores comercas para resolver o problema matemátco resultante da aplcação de Análse Lmte com o MEF e são descrtos os fundamentos teórcos do otmzador mplementado baseado no algortmo de Pontos Interores. Um resumo dos fundamentos teórcos da Análse de Confabldade é apresentado. É descrto o processo de cálculo pelo método FORM e dos exemplos de aplcação são realzados. Fnalmente, análses de dferentes problemas resolvdos com o otmzador mplementado são apresentados ndcando o grande potencal da Análse Lmte Numérca, na solução de problemas reas da Engenhara Geotécnca. Palavras-chave Análse lmte; método de elementos fntos; otmzação; função de escoamento; GEOLIMA; confabldade; função de falha; FORM.

7 Abstract Pachás, Mauro Artemo Carrón; Vargas Júnor, Eurípedes do Amaral; Vaz, Luíz Eloy e Hersovts, José Norman (Advsors). Lmt Analyss wth Large Scale Optmzer and Relablty Analyss. Ro de Janero, 8. 88p. DrSc. These - Department of Cvl Engneerng, Pontfíca Unversdade Católca do Ro de Janero. Ths wor has, as ts man objectve, the development of an effcent and large scale optmzer, that allows the practcal applcaton of Numercal Lmt Analyss (NLA) wth Fnte Element Method (FEM) to solve real problems n Geotechncal Engneerng. For that purpose, an optmzer was developed for GEOLIMA (GEOtechncal LIMt Analyss) program (Carrón, 4), based on Interor Ponts algorthm, computatonally more effcent than the exstng commercal optmzers. Due to the fact that sols have random propertes, the possblty to apply Relablty Analyss wth Lmt Analyss usng the FORM method was also nvestgated. Intally, Lmt Analyss theory was presented together wth ts numercal formulaton usng the FEM. In sequence, the use of commercal optmzers was nvestgated n order to solve the resultng mathematcal problem. Subsequently, the theorcal foundatons of the developed optmzer, based on the Interor Ponts algorthm were descrbed. A summary of Relablty Analyss was also presented together wth a descrpton of computatonal procedures usng FORM and two examples were developed. Fnally, analyses of dfferent problems solved wth developed optmzer were presented. The obtaned results demonstrated the great potental of Numercal Lmt Analyss (NLA), n the soluton of real problems n Geotechncal Engneerng. Keywords Lmt analyss; fnte element method; optmzaton; yeld functon; GEOLIMA; relablty; falure functon; FORM.

8 Sumáro INTRODUÇÃO ANÁLISE LIMITE NUMÉRICA 3.. Teoremas da Análse Lmte 4... Campos de Tensões Estatcamente Admssíves 4... Campos de Velocdades Cnematcamente Admssíves Teorema de Lmte Inferor Teorema de Lmte Superor 5.. Consderações na Análse Lmte 5... Consderação de Plastcdade Perfeta 5... Consderações sobre Escoamento Consderações sobre a Le de Fluxo 8.3. Prncpo dos Trabalhos Vrtuas 3.4. Crtéros de Escoamento Crtéro de Mohr-Coulomb Crtéro de Drucer-Prager Formulação Numérca da Análse Lmte pelo MEF Condção de Equlíbro Condções de Contorno Condção de Escoamento Problema de Análse Lmte Elementos Fntos Implementados 39 3 SOLUÇÃO NUMÉRICA DA ANÁLISE LIMITE Otmzadores Matemátcos Testados Otmzador Lngo Otmzador Mnos Otmzador Lancelot Comparação de Desempenho de Otmzadores Testados Otmzador Implementado 54

9 3... Condções de Otmaldade Algortmo de Pontos Interores Incalzação Dreção de Busca Técnca de deflexão Técnca de relaxação-contração Técnca Vetoral - Proposto Comprmento de Passo Atualzação das Varáves Teste de Desempenho dos Algortmos Manpulação de sstemas lneares a serem resolvdos Manpulação matrcal global Manpulação matrcal por elementos Solução dreta sem manpulação - proposta Teste de Desempenho das Manpulações Resolvedores Implementados Método dos gradentes conjugados (CG) Teste de desempenho de resolvedores mplementados Resolvedor SAMG Testado Melhora do desempenho Tratamento de Matrz Esparsa Formato CSR(Compressed Sparse Row) Teste de desempenho de CG com tratamento da matrz esparsa Precondconamento Escala Dagonal (DS) Escala Smétrca (SS) Fatoração Incompleta de Cholesy (ICF) Pré-condconadores mstos - proposto Teste de Desempenho de Pré-condconadores Teste de desempenho do Otmzador Implementado Teste com problema em D Teste com problema em 3D 9

10 4 ANÁLISE DE CONFIABILIDADE COM ANÁLISE LIMITE Concetos Fundamentas da Análse de Confabldade Incertezas Função de Falha Função Densdade de Probabldade Conjunta Probabldade de Falha Confabldade Índce de Confabldade Espaço Reduzdo Dstrbução Normal Equvalente Métodos de Cálculo Método FORM (Frst-Order Relablty Method) 4... Transformação de Varáves 4... Pesqusa de Ponto de Projeto Processo de Cálculo Exemplos de Aplcação Talude D Talude Confnado 3D 5 APLICAÇÕES Análse D - Talude Infnto Homogêneo Análse D - Talude Infnto Heterogêneo Análse D - Talude com Percolação Análse D - Barragem de Terra Análse 3D - Talude Confnado Análse 3D - Depósto de Rejeto 55 6 CONCLUSÕES E SUGESTÕES Conclusões Sugestões para Futuras Pesqusas 65 7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 66

11 A CONCEITOS ESTATÍSTICOS 7 A.. Varáves Determnístcas e Aleatóras 7 A.. Espaço Amostral, Evento e Valor Observado 7 A.3. Meddas de Tendênca Central 7 A.3.. Momento estatístco de ordem m 7 A.3.. Méda artmétca 7 A.3.3. Característcas da méda artmétca 73 A.4. Meddas de Dspersão da Varável Aleatóra 73 A.4.. Desvo 73 A.4.. Momento estatístco central de ordem m 74 A.4.3. Desvo absoluto médo 74 A.4.4. Varânca 74 A.4.5. Desvo padrão 75 A.4.6. Coefcente de varação 76 A.5. Meddas de Correlação de Varáves Aleatóras 77 A.5.. Covarânca 77 A.5.. Coefcente de correlação 78 A.6. Caracterzação de Varáves Aleatóras 8 A.6.. Função Densdade de Probabldade (PDF) 8 A.6.. Função Dstrbução de Probabldade 8 A.6.3. Coefcente de Inclnação de uma Dstrbução 85 A.6.4. Coefcente de Curtose 86 A.7. Esperança Matemátca de uma Varável Aleatóra 86

12 Lsta de fguras Fgura. Relação tensão deformação para solo real e deal (Chen, 975). 6 Fgura. Superfíce de escoamento no espaço de tensões prncpas. 7 Fgura.3 Superfíce de escoamento e vetor de deformação plástca. 9 Fgura.4 Superfíce de escoamento, crtéro de Mohr-Coulomb. 3 Fgura.5 Crtéro de escoamento de Mohr-Coulomb D. 33 Fgura.6 Crtéro de escoamento de Drucer & Prager. 34 Fgura.7 Elemento fnto: (a) quadrlateral (D), (b) hexaédrco (3D). 4 Fgura 3. Problema para teste de otmzadores. 4 Fgura 3. Malhas: (a) 8, (b) 64, (c) 6, (d) 5, (e) 36, (f) 5 e (g) 75 elementos. 43 Fgura 3.3a Varação da memóra usada pelo otmzador LINGO. 45 Fgura 3.3b Varação de número de terações do otmzador LINGO. 45 Fgura 3.3c Desempenho do otmzador LINGO. 46 Fgura 3.3d Varação do fator de colapso obtdo com LINGO. 46 Fgura 3.4a Varação da memóra usada pelo otmzador MINOS. 48 Fgura 3.4b varação de número de terações do otmzador MINOS. 48 Fgura 3.4c Desempenho do otmzador MINOS. 49 Fgura 3.4d Varação do fator de colapso obtdo com MINOS. 49 Fgura 3.5a Comparação de uso da memóra entre Lngo e Mnos 5 Fgura 3.5b Comparação de número de Iterações entre Lngo e Mnos 5 Fgura 3.5c Comparação de desempenho entre Lngo e Mnos 53 Fgura 3.5d Comparação de varação de fator de colapso, obtdos com Lngo e Mnos. 53 Fgura 3.6 Técnca de deflexão. 57 Fgura 3.7 Técnca de Relaxação-Contração. 59 Fgura 3.8 Técnca Vetoral - Proposta. 59 Fgura 3.9 Comprmento de passo s. 6 Fgura 3. Atualzação da varável x. 6 Fgura 3. Geometra do problema para teste de algortmos (malha de 5 elementos). 6

13 Fgura 3. Memóra requerda pela manpulação matrcal global. 69 Fgura 3.3 Tempo empregado na manpulação e solução do sstema. 7 Fgura 3.4 Memóra requerda para a solução do sstema. 7 Fgura Tempo empregado na manpulação e solução do sstema. 7 Fgura Memóra requerda para a solução do sstema. 7 Fgura 3.7 Tempo empregado na solução do sstema. 73 Fgura 3.8 Memóra usada pelas técncas. 74 Fgura 3.9 Tempo empregado pelas técncas. 75 Fgura 3. Algortmo de Gradente Conjugado pré-condconado (Sandoval, 6). 77 Fgura 3. Malhas: (a) 8, (b) 5, (c) 64, (d) 5, (e) 4 e (f) 676 elementos. 78 Fgura 3. Comparação do desempenho dos métodos mplementados. 79 Fgura 3.3a Armazenamento da matrz esparsa (SMAILBEGOVIC et all, 6). 8 Fgura 3.3b Produto de uma matrz esparsa A por um vetor d. 8 Fgura 3.4 Desempenho do método CG com tratamento da matrz esparsa CSR. 8 Fgura 3.5 Desempenho de CG com os pré-condconadores mplementados. 86 Fgura 3.6 Comparação de uso da memóra pelos otmzadores. 88 Fgura 3.7 Comparação de número de terações. 88 Fgura 3.8 Comparação do desempenho dos otmzadores. 89 Fgura 3.9 Varação de fator de colapso. 89 Fgura 3.3 Geometra da estrutura a ser analsada. 9 Fgura 3.3 Malha de elementos fntos (676 elementos e 945 nós). 9 Fgura 3.3 Mecansmo de colapso da estrutura obtdo pelo programa GEOLIMA.. 9 Fgura 3.33 Mecansmo de ruptura obtdo a partr de ensaos em modelo físco em escala reduzda (Sterp,996) 9 Fgura 4. Função de falha. 96 Fgura 4. Função densdade de probabldade conjunta (Melchers, ). 99 Fgura 4.3 Probabldade de falha. Fgura 4.4 Função densdade de probabldade. Fgura 4.5 Espaço orgnal e espaço reduzdo para uma varável. 4

14 Fgura 4.6 Espaço orgnal e reduzdo para duas varáves. 5 Fgura 4.7 Funções densdade de probabldade PDF. 5 Fgura 4.8 Funções dstrbução de probabldade CDF. 6 Fgura 4.9 Varáves em coordenadas reduzdas: função de falha não lnear. Fgura 4. Espaço orgnal e reduzdo para duas varáves. 6 Fgura 4. Fluxograma da Análse de Confabldade pelo método FORM. 7 Fgura 4. Malha de elementos fntos D (5 elementos com 36 nós). 9 Fgura 4.3 Zonas de plastfcação no MPP(Most Probable Pont). Fgura 4.4 Superfíce de falha no MPP. Fgura 4.5 Malha de elementos fntos 3D (7 elementos com 64 nós). 3 Fgura 4.6 Zonas de plastfcação no MPP. 3 Fgura 4.7 Superfíce de falha no MPP. 4 Fgura 5. Talude Infnto homogêneo. 7 Fgura 5. Malha de elementos fntos (5 elementos e 56 nós). 7 Fgura 5.3(a) Zonas de plastfcação (talude com materal coesvo). 8 Fgura 5.3(b) Vetor de velocdades (materal coesvo). 8 Fgura 5.3(c) Superfíce de falha (talude com materal coesvo). 9 Fgura 5.3(d) Mecansmo de colapso (talude com materal coesvo). 9 Fgura 5.4(a) Zonas de plastfcação (talude com materal com atrto). 3 Fgura 5.4(b) Vetor de veolcdades (talude com materal com atrto). 3 Fgura 5.4(c) Superfíce de falha (talude com materal com atrto). 3 Fgura 5.4(d) Mecansmo de colapso (talude com materal com atrto). 3 Fgura 5.5(a) Zonas de plastfcação (talude com materal macço rochoso). 3 Fgura 5.5(b) Vetor de velocdades (talude com materal macço rochoso). 3 Fgura 5.5(b) Superfíce de falha (talude com materal macço rochoso). 33 Fgura 5.5(c) Mecansmo de colapso (talude com materal macço rochoso). 33 Fgura 5.6 Talude nfnto heterogêneo. 36 Fgura 5.7(a) Malha de elementos fntos ( elementos e 6 nós). 36 Fgura 5.7(b) Zonas de plastfcação (malha: elementos e 6 nós). 37 Fgura 5.7(c) Superfíce de falha (malha: elementos e 6 nós). 37 Fgura 5.8(a) Malha de elementos fntos (5 elementos e 56 nós). 38 Fgura 5.8(b) Zonas de plstfcação (malha: 5 elementos e 56 nós). 38 Fgura 5.8(c) Superfíce de falha (malha: 5 elementos e 56 nós). 39

15 Fgura 5.9(a) Malha de elementos fntos 3 (45 elementos e 468 nós). 39 Fgura 5.9(b) Zonas de plastfcação (malha: 45 elementos e 468 nós). 4 Fgura 5.9(c) Vetor de velocdades (malha: 45 elementos e 468 nós). 4 Fgura 5.9(d) Superfíce de falha (malha: 45 elementos e 468 nós). 4 Fgura 5. Geometra de talude. 43 Fgura 5. Malha de elementos fntos ( elementos e 3 nós). 43 Fgura 5.(a) Zonas de plastfcação, sem consderar percolação. 44 Fgura 5.(b) Superfíce de falha sem consderar percolação. 44 Fgura 5.(c) Vetor de velocdades sem consderar percolação. 44 Fgura 5.3(a) Zonas de plastfcação, consderando percolação. 45 Fgura 5.3(b) Superfíce de falha, consderando percolação. 45 Fgura 5.3(c) Vetor de velocdades, consderando percolação. 45 Fgura 5.4 Plano em planta do projeto (CISMID, ). 47 Fgura 5.5 Secção 3-3 Barragem de Terra (CISMID, ). 48 Fgura 5.6 Malha de elementos fntos (64 elementos e 689 nós). 48 Fgura 5.7(a) Zonas de plastfcação. 49 Fgura 5.7(b) Superfíce de falha. 49 Fgura 5.7(c) Vetores de velocdade. 49 Fgura 5.8(a) Zonas de plastfcação. 5 Fgura 5.8(b) Superfíce de falha. 5 Fgura 5.8(c) Vetor de velocdade. 5 Fgura 5.9 Malha de elementos fntos (8 elementos e 96 nós). 5 Fgura 5.(a) Zonas que plastfcam. 5 Fgura 5.(b) Vetor de veolocdades. 53 Fgura 5.(c) Dstrbução de campo de velocdades. 53 Fgura 5.(d) Dstrbução de campo de velocdades na seção longtudnal. 54 Fgura 5. (e) Mecansmo de colapso do talude. 54 Fgura 5. Topografa e lmte do materal de rejeto (CISMID, 998). 56 Fgura 5. Modelo 3D da baca sem materal de rejeto. 57 Fgura 5.3 Materal de rejeto. 58 Fgura 5.4 Malha de elementos fntos ( elementos e 54 nós). 58 Fgura 5.5(a) Zonas de plastfcação. 59 Fgura 5.5(b) Zonas de plastfcação na seção longtudnal. 59

16 Fgura 5.5(c) Vetor de velocdades. 59 Fgura 5.5(d) Dstrbução de velocdades. 6 Fgura 5.5(e) Dstrbução de velocdades na seção longtudnal. 6 Fgura A. Interpretação gráfca de coefcente de correlação. 79 Fgura A. Função densdade de probabldade normal. 8 Fgura A.3 Função dstrbução de probabldade normal. 83 Fgura A.4 (a) Função de varável aleatóra; (b) Função de ponderação; (c) Esperança matemátca da função de varável aleatóra. 88

17 Lsta de tabelas Tabela 3. Testes realzados com o programa Lngo. 44 Tabela 3. Testes realzadas com o otmzador Mnos. 47 Tabela 3.3 Comparação da efcênca entre Lancelot e Mnos (Bongartz et all, 997). 5 Tabela 3.4 Desempenho dos algortmos mplementados 63 Tabela 3.5 Teste da manpulação matrcal global. 69 Tabela 3.6 Teste da manpulação matrcal por elementos. 7 Tabela 3.7 Teste da solução dreta sem manpulação. 7 Tabela 3.8 Comparação de resultados com as três técncas de solução. 74 Tabela 3.9 Comparação do desempenho dos métodos mplementados. 79 Tabela 3. Desempenho dos métodos com o tratamento da matrz esparsa. 8 Tabela 3. Teste de pré-condconadores mplementados. 86 Tabela 3. Resultados do teste em D do otmzador mplementado. 87 Tabela 4. Índce de confabldade e probabldade de falha. 3 Tabela 4. Coefcente de correlação equvalente. 3 Tabela 5. Propredades de materas e resultados da Análse Lmte. 6 Tabela 5. Problema de otmzação e resultados da Análse Lmte. 35 Tabela 5.3 Propredades de materas e resultados da Análse Lmte. 43 Tabela 5.4 Propredades dos materas (CISMID, ). 48 Tabela 5.4 Resultados da Análse Lmte. 48 Tabela 5.5 Propredades dos materas (CISMID, 998). 57 Tabela A. Grão de dependênca das varáves aleatóras. 79 Tabela A. Funções densdade probabldade (PDF) e de dstrbução de probabldade (CDF) ( Lopes, 7). 84

18 Lsta de Símbolos Na Análse Lmte (AL) F( σ j ) Função de escoamento em termos de tensões σ j I J J 3 ε& j e ε& j p ε& j λ & σ σ σ 3 Campo de tensões Prmero nvarante de tensor de tensões Segundo nvarante desvador Tercero nvarante desvador Velocdade de deformação total Velocdade de deformação elástca Velocdade de deformação plástca Fator de proporconaldade (escalar). Tensão prncpal maor Tensão prncpal nterméda Tensão prncpal menor θ φ C Ângulo de Lode Ângulo de atrto do materal Coesão do materal, α Parâmetros do materal (crtéro de Drucer-Prager) c o Resstênca à compressão unaxal No MEF N r,s,t r,s,t σ σˆ u& û& Função de nterpolação Coordenadas locas Coordenadas locas nodas Vetor campo de tensões Vetor campo de tensões nodas Vetor campo de velocdades Vetor campo de velocdades nodas

19 ε& F T a B b Vetor campo de velocdades de deformação Força de volume ncal Força de superfíce ncal Fator de colapso Matrz de equlíbro Vetor de carregamentos nodas Otmzação x Vetor das varáves λ, µ Multplcadores de Lagrange n m p Número de varáves Número de restrções de desgualdade Número de restrções de gualdade f (α) Função objetvo g ( x ) Restrções de desgualdade G S H θ Matrz de escoamento (dagonal) Matrz gradente Matrz Hessana Ângulo de deflexão Confabldade Varável aleatóra X j x j-ésmo valor observado da varável aleatóra X s m X Momento estatístco de ordem m da amostra s X Méda da amostra da varável aleatóra X s m X Momento estatístco central de ordem m da amostra s X Desvo absoluto médo da amostra Var( x ) s Varânca da varável aleatóra X σ x Desvo padrão da varável aleatóra X σ Matrz desvo padrão δ x Coefcente de varação da varável aleatóra X

20 Cov(X,X ) Covarânca das varáves aleatóras X e X S Matrz covarânca ρ x, Coefcente de correlação das varáves aleatóras X j e X ρ p(x) j x Matrz coefcente de correlação Função densdade de probabldade P ( x a ) Função dstrbução de probabldade Pr[ X xa ] Probabldade de que a varável X seja menor ou gual a x a X Vetor de varáves aleatóras F (X ) Função de falha F σ F P f C β Y φ Φ J L * y Méda da função de falha Desvo padrão da função de falha Probabldade de falha Confabldade Índce de confabldade Varável aleatóra reduzda Função dstrbução de probabldade normal padrão Função cumulatva normal padrão Jacobano Matrz trangular nferor Operador dferencal Ponto de pesqusa

21 INTRODUÇÃO A avalação de segurança ou establdade de Estruturas Geotécncas é resolvda, na prátca, por métodos smples como Equlíbro Lmte, que é um método de tentatvas e erros, baseado na comparação de forças atuantes e resstentes sobre uma superfíce de ruptura predetermnada pelo usuáro ou por algum programa de computador. Tas métodos se resumem a encontrar uma superfíce com menor fator de segurança, defnda normalmente como o quocente entre a força atuante e a força resstente. Por outro lado exstem na teora de plastcdade, métodos como a Análse Lmte, baseados nos teoremas do lmte nferor e superor. Esses métodos, apesar de oferecerem boas perspectvas para a análse de establdade de problemas Geotécncos, encontram-se atualmente em nível de pesqusa no âmbto acadêmco, não sendo aplcados na prátca, por falta de algortmos ou métodos efcentes para resolver o problema matemátco resultante da aplcação da teora de Análse Lmte (AL) e do Método de Elementos Fntos (MEF). Na formulação msta fraca, empregada no presente trabalho, o problema consste em encontrar um campo de tensões correspondente à carga que leva ao colapso uma estrutura (carga de colapso). Este problema pode ser resolvdo por alguma técnca de otmzação, onde a função objetvo é o fator de carga e as restrções do problema são expressas na forma de um sstema de equações que correspondem às equações de equlíbro com número de varáves muto maor que o número de equações e um outro sstema de nequações desacopladas não lneares que satsfazem um crtéro de escoamento do materal. O objetvo prncpal do presente trabalho é aplcar a Análse Lmte na análse de problemas reas de Geotecna de manera computaconalmente efcente, e pelo fato de testes realzados com otmzadores comercas exstentes ter-se mostrado nefcentes, o grande desafo é desenvolver um otmzador efcente para resolver o problema descrto no parágrafo anteror.

22 Este trabalho é uma contnuação da pesqusa realzada na dssertação de mestrado do autor, onde fo desenvolvdo o programa computaconal GEOLIMA (GEOtechncal LIMt Analyss), versão., e fo feta também a valdação do algortmo da Análse Lmte mplementado. Naquela versão, o programa faza uso do otmzador Mnos 5.5 para resolver o problema de otmzação, onde somente pequenos problemas puderam ser analsados. Neste trabalho, apresenta-se GEOLIMA versão. com algumas melhoras, mas com um otmzador própro, mas efcente, baseado no algortmo de Pontos Interores. A valdação do otmzador mplementado é feta comparando-se os resultados obtdos com os otmzadores comercas LINGO(Lndo system nc., 997) e MINOS (Murtagh e Saunders, 998). Mutas pesqusas e publcações já foram realzadas na área da Análse Lmte Numérca, a grande maora usando otmzadores comercas como LINGO (Lndo system nc., 997), MINOS (Murtagh e Saunders, 998) e LANCELOT (Conn, Gould e Ton, 99). Exstem também város trabalhos sobre Análse Lmte com uso do algortmo de Pontos Interores como Borges (99), Zouan (993), Lyamn e Sloan (993) e Farfan (); mas não se encontraram aplcações com malhas sufcentemente refnadas ou aplcações reas. Neste trabalho propõe-se uma mplementação alternatva do algortmo de Pontos Interores, computaconalmente mas efcente. Sendo as propredades dos materas geotécncos de natureza aleatóra, como complemento ao objetvo prncpal, neste trabalho aplca-se a Análse de Confabldade com a Análse Lmte pelo método FORM (Frst Order Relablty Method). Não sendo o objetvo deste trabalho expor as teoras da Análse Lmte (AL), Método de Elementos Fntos (MEF), Programação Matemátca (PM) e da Confabldade, no Capítulo, é apresentado somente um resumo de alguns concetos sobre a Análse Lmte e sua formulação pelo MEF. No Capítulo 3, é apresentada a solução numérca do problema da Análse Lmte. No Capítulo 4, são apresentados os fundamentos da Análse de Confabldade. No Capítulo 5, são apresentados exemplos de aplcação da Análse Lmte, realzados com o programa GEOLIMA. e fnalmente, no Capítulo 6, são apresentadas as conclusões e sugestões do presente trabalho.

23 ANÁLISE LIMITE NUMÉRICA O objetvo prncpal da Análse Lmte é determnar a carga que leva uma estrutura ao colapso (carga de colapso). As formulações exstentes na Análse Lmte para o cálculo da carga de colapso são baseadas nos teoremas de Análse Lmte (nferor ou superor). A formulação pelo lmte nferor (formulação estátca) deve satsfazer as condções de admssbldade estátca dos campos de tensões; a formulação pelo lmte superor (formulação cnemátca) deve satsfazer as condções de admssbldade cnemátca dos campos de velocdades; e, fnalmente, a formulação msta tem a forma da formulação pelo lmte nferor, com varáves em tensões, mas o campo de tensões não é estatcamente admssível, a não ser de forma aproxmada. A solução de problemas geotécncos, então, pode ser feta por meo da aplcação de qualquer uma das formulações estátca, cnemátca ou msta. Estas formulações podem também ser classfcadas em formulação forte e formulação fraca. A formulação é forte quando satsfaz explctamente as condções dos teoremas da Análse Lmte, e é fraca quando as condções são satsfetas por meo do prncípo dos trabalhos vrtuas. No presente trabalho é usada a formulação msta fraca baseada no prncípo dos trabalhos vrtuas para representar as equações de equlíbro do sstema, o qual estabelece que, para qualquer pequeno movmento cnematcamente admssível, o trabalho das forças externas será gual ao trabalho das forças nternas. Não é o propósto deste trabalho descrever em detalhe toda a teora da Análse Lmte, portanto, neste Capítulo é apresentado somente um resumo de alguns concetos mportantes que permtem a compreensão das formulações estabelecdas no Capítulo segunte.

24 4.. Teoremas da Análse Lmte Os teoremas fundamentas da Análse Lmte foram apresentados por Gvosdev (96); Drucer et. al. (95); Drucer, Greenberg and Prager (95). Chen (975) apresentou estes teoremas para materas com comportamento plástco perfeto (Fgura.). Neste tpo de comportamento, as deformações plástcas ocorrem sem que haja mudança nas tensões. Apesar de representar apenas uma aproxmação do comportamento real dos materas, a hpótese pode ser utlzada com segurança porque as deformações elástcas são desprezíves em relação às plástcas. Os teoremas da Análse Lmte são formulados em termos de admssbldade dos campos, conforme descrto a segur.... Campos de Tensões Estatcamente Admssíves Defne-se que um campo de tensões em um corpo trdmensonal é estatcamente admssível quando satsfaz as seguntes condções: Equlíbro no volume. Condções de contorno. Crtéro de escoamento.... Campos de Velocdades Cnematcamente Admssíves Defne-se que um campo de velocdades é cnematcamente admssível ou geometrcamente compatível quando: Satsfaz as condções de contorno em termos de velocdades. Satsfaz as condções de compatbldade cnemátca em termos de deformações. Trabalho externo é gual à dsspação de energa nterna.

25 5..3. Teorema de Lmte Inferor Se um campo de tensões correspondente a uma carga atuante (ou externa) é estatcamente admssível, então a carga atuante é menor ou gual à carga de colapso. A carga ou fator de colapso assm obtdo será um lmte nferor do fator de colapso real...4. Teorema de Lmte Superor Se um campo de velocdades é cnematcamente admssível, o colapso ocorre quando o trabalho externo (forças externas) for gual ou maor ao trabalho nterno (forças nternas). A carga ou fator de colapso assm obtdo será um lmte superor ao fator de colapso real... Consderações na Análse Lmte Algumas consderações mportantes são apresentadas a segur, para um melhor entendmento dos concetos utlzados na formulação pelo MEF.... Consderação de Plastcdade Perfeta O solo exbe comportamento elástco para pequenas deformações. Evdêncas de expermentos em laboratóro mostram que deformações permanentes ou rrecuperáves ocorrem quando elas ultrapassam uma deformação de tolerânca. Este tpo de comportamento pode ser descrto por meo da Teora da Plastcdade. A Análse Lmte faz a consderação de que o materal, no colapso, comporta-se como perfetamente plástco (Fgura.). Neste tpo de comportamento, as característcas de endurecmento e amolecmento são gnoradas.

26 6 σ Perfetamente Plástco (Ideal) Real Fgura. Relação tensão deformação para solo real e deal (Chen, 975). ε... Consderações sobre Escoamento Para se caracterzar o comportamento de um materal submetdo a um estado de tensões complexo, a Teora de Plastcdade defne uma superfíce de escoamento (Fgura.), caracterzada por uma função de escoamento. A superfíce de escoamento pode ser nterpretada como: para um estado de tensões dentro da superfíce, só acontecem deformações elástcas; se o estado de tensões alcança a superfíce, ocorrem deformações plástcas e fnalmente, os estados de tensões acma da superfíce de escoamento são excluídos. Assm, os estados de tensões para o qual F( σ ) > são excluídos, enquanto que, F( σ ) < mplca em comportamento elástco e F( σ ) = ndca que ocorre fluxo plástco. j j j

27 7 Fgura. Superfíce de escoamento no espaço de tensões prncpas. Para um materal perfetamente plástco, a função de escoamento F depende somente do conjunto de componentes de tensões σ j e não de componentes de deformação ε j. Portanto, a função de escoamento é fxa no espaço de tensões e o fluxo plástco ocorre quando a função de escoamento é gual a zero, ou seja: F( σ j ) = (.) Se o materal é sotrópco, o escoamento plástco depende apenas da magntude das três tensões prncpas e não de suas dreções. Neste caso, de uma manera geral, a superfíce de escoamento pode ser expressa matematcamente em função dos nvarantes de tensões, ou seja: F ( I,J,J ) (.) 3 = onde: I J J 3 Prmero nvarante do tensor de tensões Segundo nvarante do tensor desvador Tercero nvarante desvador

28 8..3. Consderações sobre a Le de Fluxo Dz-se que um fluxo plástco acontece quando o estado de tensões no espaço das tensões (Fgura.3) alcança a superfíce de escoamento. A magntude do fluxo plástco total ( ε ) nestas condções é lmtado. Portanto é evdente que não p j se pode falar nada sobre a deformação plástca total e por sso a descrção do processo de fluxo plástco é feta pela cnemátca de fluxo plástco, ou seja, por meo das velocdades de deformação plástca ( ε& ) em vez da deformação plástca total ( ε p j ). A velocdade de deformação total ( ε& j ) é composta por uma parte elástca e outra plástca, que pode ser expressa da segunte forma (Chen, 975): p j & ε = & ε + & ε (.3) j e j p j onde: ε& j e ε& j p ε& j Velocdade de deformação total Velocdade de deformação elástca Velocdade de deformação plástca As velocdades de deformação elástca e as tensões estão relaconadas por meo da le de Hooe. Mas, como as velocdades de deformação elástca são pequenas em relação às plástcas, elas são consderadas desprezíves. Não entanto, as velocdades de deformação plástca dependem do estado de tensões (Chen e Lu, 99). Para a dscussão sobre as velocdades de deformação plástca, é necessáro defnr suas dreções. Os exos das coordenadas no espaço de tensões já menconados para a superfíce de escoamento podem também ser usados para representar smultaneamente velocdades de deformação plástca. Sendo assm, cada exo de tensões representará também um exo de velocdades de deformação plástca (Fgura.3).

29 9 Fgura.3 Superfíce de escoamento e vetor de deformação plástca. Para materas estáves, nos quas o ncremento de tensões e deformações realza um trabalho postvo, o vetor de velocdades de deformação plástca tem dreção e sentdo das normas à superfíce de escoamento (Fgura.3). Portanto, a velocdade de deformação plástca pode ser expressa por (Lancellotta, 995): F( σ = & ) p j & j λ (.4) σ j ε onde: σ j Campo de tensões F(σ j ) Função de escoamento λ & p ε& j Fator de proporconaldade (escalar) Velocdade de deformação plástca A Equação.4 representa a le de fluxo assocada ou le da normaldade, por ser assocada com a normal à superfíce de escoamento do materal.

30 3.3. Prncpo dos Trabalhos Vrtuas O prncípo dos trabalhos vrtuas pode ser usado para tratar problemas de colapso de estruturas em materas geotécncos. Este prncípo é uma expressão de trabalho equlbrado e pode ser aplcado para materas deformáves como o solo. Para a análse lmte, o prncípo dos trabalhos vrtuas deve ser escrto em termos do campo de velocdades vrtuas e campo de tensões reas: se uma estrutura está em equlíbro, o trabalho das forças externas sobre um campo de velocdades vrtuas dado, compatível com as condções de frontera, deve ser gual ao trabalho nterno realzado pelas tensões sobre as velocdades de deformações vrtuas, compatíves com o campo de velocdades vrtuas dado (Lancellotta, 995)..4. Crtéros de Escoamento Sendo de nteresse conhecer as tensões de escoamento para defnr um campo de tensões estatcamente admssível (condção do teorema de lmte nferor da Análse Lmte), neste trabalho são mostrados dos crtéros de escoamento que, medante equações matemátcas, defnem o lugar geométrco onde se dá o escoamento do materal. De uma forma geral estas funções de escoamento podem ser defndas em termos dos nvarantes de tensões, ou seja: I = σ + + (.5) σ σ 3 J 3 = 7 J = [( σ σ ) + ( σ σ 3 ) + ( σ 3 σ ) ] (.6) 6 4 [ σ ( σ + σ 3 ) + σ ( σ + σ 3 ) + σ 3 ( σ + σ )] σ σ σ 3 ( σ + σ + σ 3 ) (.7) onde: I J J 3 σ Prmero nvarante de tensor de tensões Segundo nvarante do tensor de tensões desvador Tercero nvarante desvador Tensão prncpal maor

31 3 σ σ 3 Tensão prncpal ntermedara Tensão prncpal menor.4.. Crtéro de Mohr-Coulomb De acordo com o crtéro de ruptura de Mohr-Coulomb, a função de escoamento F que defne a superfíce de escoamento é expressa em sua forma mas geral pela Equação.8 (Chen e Lu, 99). e π π F ( I, J, θ ) = J sn( θ + ) I J cos( θ ) sn( φ) + C cos( φ) (.8) 3 3 J 3 θ = sn 3 / (.9) 3 J onde: θ φ C Ângulo de Lode Ângulo de atrto Coesão No espaço de tensões prncpas, o crtéro de escoamento de Mohr- Coulomb é representado por uma prâmde hexagonal rregular (Fg..4).

32 3 Fgura.4 Superfíce de escoamento, crtéro de Mohr-Coulomb. Este crtéro apresenta algumas defcêncas, como por exemplo: Em D, a envoltóra no dagrama de Mohr-Coulomb é composta de lnhas retas, o que ndca que o parâmetro φ (ângulo de atrto) não muda com a pressão de confnamento. Esta aproxmação é razoável somente para um ntervalo lmtado de pressões de confnamento. Em 3D, a superfíce de escoamento tem descontnudades, as quas dfcultam seu uso em análse numérca. É, portanto, nadequada matematcamente para seu uso na análse trdmensonal de problemas geotécncos (Chen e Lu, 99). Pela defcênca descrta no parágrafo anteror, no presente trabalho, este crtéro é somente usado para análse de problemas em D. Para o caso bdmensonal (D), a Equação.8 fca smplfcada para: F( I, J ) = J I sn( φ) C cos( φ) (.) O caso bdmensonal (D) do crtero de Mohr-Coulomb é representado no espaço de tensões prncpas pela Fgura.5.

33 33 σ ψ tan( ψ ) = + sn( φ ) sn( φ ) c c cos( φ ) = C sn( φ ) σ 3 Fgura.5 Crtéro de escoamento de Mohr-Coulomb D..4.. Crtéro de Drucer-Prager Drucer e Prager (95) propuseram uma extensão do crtéro de Von Mses. Este crtéro é muto usado em númeras aplcações prátcas. Em termos dos nvarantes das tensões, a função de escoamento F que defne a superfíce de escoamento (Fgura.6) é expressa por: F( I, J, α, J α I (.) ) = onde: I J Prmero nvarante do tensor de tensões Segundo nvarante do tensor de tensões desvador α, Parâmetros do materal

34 34 Fgura.6 Crtéro de escoamento de Drucer & Prager. As prncpas característcas deste crtéro são: O crtéro de ruptura é relatvamente smples. Possu somente dos parâmetros, e α. Estes parâmetros podem ser faclmente aproxmados a partr dos parâmetros de resstênca (C e φ ) no caso de materas geotécncos. A superfíce é contínua e, por sso, matematcamente apropada para uso em aplcações trdmensonas (3D). Os parâmetros e α podem ser obtdos a partr de uma aproxmação do crtéro de Mohr-Coulomb para o qual são ajustados dos círculos dferentes, um deles passando pelos vértces de compressão e outro passando pelos vértces de tração. A prmera aproxmação é obtda fazendo o ângulo de Lode de θ = no crtéro de escoamento geral de Mohr-Coublomb (Equação.8), obtendo-se os parâmetros e α do círculo superor ou de compressão como mostradas pelas seguntes expressões (Chen e Lu, 99):

35 35 α = sn( φ ) 3( 3 sn( φ )) (.) = 6C cos( φ ) 3( 3 sn( φ )) (.3) A segunda aproxmação é obtda para um valor de ângulo de Lode de θ = 6 no crtéro de escoamento geral de Mohr-Coulomb, obtendo-se os parâmetros e α do círculo nferor ou de tração, ou seja (Chen e Lu, 99): α = sn( φ ) 3( 3 + sn( φ )) (.4) = 6C cos( φ ) 3( 3 + sn( φ )) (.5) onde: C,φ Parâmetros de resstênca do materal No caso D, para os problemas em estado plano de deformação, os parâmetros e α do crtéro de Drucer-Prager podem ser aproxmados pelas seguntes Equações (Chen e Lu, 99): tan( φ ) α = (.6) 9 +tan ( φ ) 3C = (.7) 9 + tan ( φ ).5. Formulação Numérca da Análse Lmte pelo MEF O objetvo prncpal da Análse Lmte é determnar a carga que leva uma estrutura ao colapso (carga de colapso), onde a carga de colapso é determnada como produto da carga ncal por um fator de colapso. As formulações exstentes na Análse Lmte para o cálculo da carga de colapso são baseadas nos teoremas de Análse Lmte (nferor ou superor). A formulação pelo lmte nferor

36 36 (formulação estátca) deve satsfazer as condções de admssbldade estátca dos campos de tensões; a formulação pelo lmte superor (formulação cnemátca) deve satsfazer as condções de admssbldade cnemátca do campo de velocdades; e, fnalmente, a formulação msta tem a forma da formulação pelo lmte nferor, com varáves em tensões, mas o campo de tensões não é estatcamente admssível a não ser de forma aproxmada. A solução de problemas geotécncos pode então ser feta através da aplcação de qualquer uma das formulações estátca, cnemátca ou msta. Estas formulações, podem também ser classfcadas em formulação forte e formulação fraca. A formulação é forte quando satsfaz explctamente as condções dos teoremas da Análse Lmte, e é fraca quando as condções são satsfetas através do prncípo dos trabalhos vrtuas. No presente trabalho é usada a formulação msta fraca com o uso do prncípo dos trabalhos vrtuas para representar as equações de equlíbro estátco..5.. Condção de Equlíbro Na formulação msta fraca a condção de equlíbro é garantda pelo prncípo dos trabalhos vrtuas. Este prncípo estabelece que, para qualquer campo de velocdades cnematcamente admssível, o trabalho das forças nternas é gual ao trabalho das forças externas, como mostra a Equação.9. T δ ε& σ dv δu & α F dv + V = T δu α T V S & ds (.9) onde: F T Força de volume ncal Força de superfíce ncal α Fator (escalar) que multplca as forças ncas δ u& Campo de velocdades vrtuas δ ε& Campo de velocdades de deformação vrtuas σ Campo de tensões

37 37 Pela teora de elementos fntos, os campos são nterpolados a partr de valores nodas: u& uˆ& N T T T δ = δ u (.) ˆ ) T T T δ ε& = δu& B (.) σ = N σˆ (.) σ onde: σ σˆ u& û& ε& N u N σ Campo de tensões Campo de tensões nodas Campo de velocdades Campo de velocdades nodas Campo de velocdades de deformação Matrz de nterpolação de velocdades Matrz de nterpolação de tensões B ) Matrz de compatbldade cnemátca obtda de N u Substtundo-se as equações (.), (.) e (.) em (.9), tem-se que: T T T T δu & B N σˆ = u& σ α δ N F dv + u V ˆ ) ˆ α δu& ˆ N T T dv u V S T ds (.3) Fatorzando: ˆ ) T T T T δu& ˆ B Nσ dv σ α N u F dv + N u T ds = (.4) V V S Como δ u& ˆ T, deslocamentos vrtuas arbtráros, a Eq..4 fca como: V ) B T N σ dv σ T T ˆ α Nu F dv + Nu T ds = V S (.5)

38 38 Fazendo: b = V T B = B ) N σ dv (.6) N T u V T F dv + N ds u T S (.7) A Equação.5 pode ser escrta como: Bσˆ = α b (.8) Note-se que, na Equação.8, as varáves do problema a serem determnadas são as tensões nodas e o fator de colapso. Quando os elementos são consderados de tensão constante, a matrz que conduz a: ) B = B N σ é gual à matrz dentdade I, o V T dv (.9).5.. Condções de Contorno As condções de contorno precsam ser fornecdas para a solução do problema. Para nós com campos de velocdades prescrtos δ u & = δu& ˆ =, então, deve-se elmnar de B e b (Equação.8) as lnhas correspondentes às velocdades prescrtas Condção de Escoamento Uma das condções para que o campo de tensões seja estatcamente admssível (requsto do teorema de lmte nferor) é que ele satsfaça um crtéro de escoamento (Equação.3). g ( σ) (.3)

39 Problema de Análse Lmte Das Equações.8 e.3, a solução do problema pela Análse Lmte (AL) consste em determnar o campo de tensões correspondentes a um fator α, que maxmza a carga que a estrutura pode suportar sem volar a condção de escoamento do materal. O problema a ser resolvdo consste em um problema de otmzação como é apresentado a segur e cuja solução será mostrada no Capítulo 3 deste trabalho. max. f ( α ) = α (.3) st. g( σ) (.3) Bσ = α b (.33).5.5. Elementos Fntos Implementados No presente trabalho foram mplementados dos tpos de elementos fntos: o elemento quadrlateral de 4 nós em D e o elemento hexaédrco de 8 nós em 3D. Estes elementos são mostrados nas Fguras.7 (a) e (b). As funções de nterpolação N u utlzadas para nterpolar as velocdades são as mesmas funções de nterpolação utlzadas para nterpolar deslocamentos na formulação convenconal do MEF em deslocamentos.

40 4 (a) (b) Fgura.7 Elemento fnto: (a) quadrlateral (D), (b) hexaédrco (3D). N N = ( + r r)( ss) =,..,4 (.34) 4 u + = ( + r r)( + ss)( tt) =,..,8 (.35) 8 u + onde: N u Funções de nterpolação de velocdades r,s,t Coordenadas paramétrcas r,s,t Coordenadas nos pontos nodas paramétrcas Para se nterpolar os campos de tensões usa-se uma matrz dentdade (Equação.36) que corresponde a se adotar um campo de tensões constante dentro do elemento. N σ = I (.36) A escolha desses campos de tensões fo baseada em estudos fetos em trabalhos anterores (Gonzaga, 997) (Farfan, ) e (Carrón, 4).

41 3 SOLUÇÃO NUMÉRICA DA ANÁLISE LIMITE O problema matemátco resultante da aplcação de teora da Análse Lmte (AL) assocado ao Método dos Elementos Fntos (MEF) Equações (.8) e (.3), pode ser representado pelas Equações Estas equações confguram um problema de otmzação e que pode ser resolvdo usando técncas de otmzação. Max f ( α ) = α (3.) s. t. g( x) (3.) B x bα = (3.3) onde: α R Fator de colapso n x R Campo de tensões m g (x) R Função de escoamento pxn B R Matrz de equlíbro p b R Vetor de cargas nodas ncas Na tentatva de resolver efcentemente o problema da Análse Lmte expresso pelas Equações (3.), (3.) e (3.3), foram pesqusados e testados város otmzadores comercas exstentes baseados nas técncas de programação matemátca e otmzadores baseados em algortmos genétcos. O uso de otmzadores baseados em algortmos genétcos para resolver o problema expresso pelas Equações (3.), (3.) e (3.3) não fo bem suceddo e os otmzadores comercas baseados nas técncas de programação matemátca mostraram ser nefcentes para problemas de grande escala como mostram os resultados de testes apresentados na seção 3.. Fnalmente, fo mplementado um otmzador específco para o tpo de problema da análse lmte baseado em técncas de programação matemátca (PM).

42 4 3.. Otmzadores Matemátcos Testados Os otmzadores baseados em técncas de programação matemátca que foram pesqusados e testados são LINGO (Lndo system nc., 997), MINOS (Murtagh e Saunders, 998) e LANCELOT (Conn, Gould e Ton, 99). Os problemas de otmzação podem ser classfcados como de pequena, méda e de grande escala. Segundo Murtagh e Saunders (998) os problemas são consderados de pequena escala quando o número de restrções lneares mas o número de restrções não lneares são menores que, de méda escala quando o número de restrções são aproxmadamente ou e de grande escala quando o número de restrções são maores que 5. O objetvo deste trabalho é resolver problemas da Análse Lmte de grande escala, para os quas os otmzadores comercas são testados. Para testar a efcênca dos otmzadores ndcados, um problema geotécnco de establdade de talude em D é formulado. A Fgura 3. mostra a geometra, as condções de contorno e as propredades do materal do problema a ser analsado. Fgura 3. Problema para teste de otmzadores. Para se ter uma déa comparatva do desempenho dos otmzadores, sete análses foram fetas mantendo constantes os seguntes parâmetros: geometra do problema, condções de contorno, propredades do materal (Fgura 3.) e os mesmos recursos de hardware (Pentum IV com processador Intel de 3.7 GHz e memóra RAM de.4 Gb).

43 43 Para aumentar a complexdade do problema de otmzação, a geometra do problema (Fgura 3.) fo modelada com malhas de Elementos Fntos com número de elementos varáves, como mostrado pela Fgura 3.. Fgura 3. Malhas: (a) 8, (b) 64, (c) 6, (d) 5, (e) 36, (f) 5 e (g) 75 elementos Otmzador Lngo O programa LINGO desenvolvdo pelo Lndo System Inc. (Lndo system nc., 997) é um otmzador para resolver problemas de otmzação não lneares. A grande vantagem deste otmzador é a sua facldade de uso já que o problema pode ser formulado faclmente no seu edtor de texto ou ser mportado a partr de um arquvo de texto. O uso do programa é fácl porque tanto a função objetvo, as restrções lneares e não lneares são escrtas em forma de equações

44 44 explíctas. Uma outra vantagem deste programa é o pouco número de parâmetros a serem controlados pelo usuáro. Na Tabela 3. apresentam-se os resultados obtdos a partr dos testes realzados para o problema da Fgura 3. com malhas da Fgura 3., onde C é a coesão, φ ângulo de atrto e γ peso especfco do materal; n é o número de varáves do problema, m é número de restrções não lneares e p número de restrções lneares; Mem é a quantdade de memóra usada pelo otmzador, ter é o número de terações, t é o tempo requerdo para otmzar e α é o fator de colapso obtdo. Materal Malha Problema Lngo Análse C φ γ Elem. Nós n m p m+p Mem.(MB) α ter. t(seg) Tabela 3. Testes realzados com o programa Lngo. Nas Fguras 3.3a, 3.3b, 3.3c e 3.3d lustram-se os resultados obtdos com o otmzador LINGO, onde, a Fgura 3.3(b) ndca a varação do número de terações requerdas pelo otmzador com o ncremento de complexdade do problema (número de elementos da malha). A Fgura 3.3(c) ndca o desempenho do otmzador em termos de tempo em segundos com o ncremento de complexdade do problema. A Fgura 3.3(a) ndca a memóra requerda pelo otmzador com o ncremento de complexdade do problema. A Fgura 3.3(d) ndca o fator de colapso obtdo com o refnamento da malha. Os resultados ndcam que o uso da memóra cresce lnearmente com a complexdade do problema, enquanto que o número de terações tem uma varação quase lnear até malhas com 35 elementos aproxmadamente e logo aumenta fortemente. O resultado mas mportante é o desempenho do otmzador em termos de tempo, a Fgura 3.3c ndca que o tempo de otmzação cresce exponencalmente com o número de elementos da malha. A Fgura 3.3d mostra a varação do fator de colapso com o refnamento da malha, este comportamento era de se esperar, porque equações de equlíbro obtdas por malhas menos refnadas

45 45 obtdas por elementos fntos tendem a fornecer modelos mas rígdos e resstentes, superestmando as cargas de colapso. Isso explca porque o fator de colapso se aproxma pelo lmte superor ao fator de colapso real como acontece na formulação pelo lmte superor. Memora (MB) Uso da Memóra - LINGO Elementos da Malha Sére Fgura 3.3a Varação da memóra usada pelo otmzador LINGO. 4 Iterações - LINGO 35 3 Iterações 5 5 Sére Elementos da Malha Fgura 3.3b Varação de número de terações do otmzador LINGO.

46 46 5 Desempenho - LINGO Tempo(seg) 5 Sére Elementos da Malha Fgura 3.3c Desempenho do otmzador LINGO. 3.8 Fator de Colapso - LINGO Fator de Colapso Elementos da Malha Sére Fgura 3.3d Varação do fator de colapso obtdo com LINGO. Dos testes realzados com otmzador LINGO conclu-se que, para problemas pequenos com malhas de elementos fntos com número de elementos de ate, a efcênca deste otmzador é acetável como pode ser observado pelas análses,, 3 e 4 da Tabela 3., mas, para malhas com número de elementos maores de, o tempo de otmzação cresce exponencalmente (Fgura 3.3c). Da Tabela 3., pode-se observar que para malha com 75 elementos este otmzador converge a uma solução não ótma, portanto, é de se esperar que o número de terações e o tempo empregado não sejam reas e por sso a análse 7 não é usada para comparações.

47 Otmzador Mnos MINOS é um programa de otmzação para resolver problemas de otmzação lneares e não-lneares, desenvolvdo na unversdade de Stanford por Bruce A. Murtagh e Mchael A. Saunders (Murtagh e Saunders, 998). O programa MINOS apresenta uma maor dfculdade para seu uso em comparação ao programa LINGO. Entre as dfculdades que apresenta MINOS estão a quantdade de parâmetros, 94 no total, que o usuáro precsa controlar, uso de arquvo com formato MPS (Mathematcal Programmng System) para a entrada de dados das restrções lneares e um arquvo com formato SPECS (Specfcaton) para especfcar a confguração dos parâmetros. O teste com este otmzador fo feto para o problema apresentado pela Fgura 3., com malhas de Elementos Fntos apresentadas na Fgura 3. e nas mesmas condções que os testes realzados com o otmzador LINGO. Os resultados dos testes realzados com o otmzador MINOS são apresentados na Tabela 3. e nas Fguras 3.4a, 3.4b, 3.4c e 3.4d são lustrados grafcamente estes resultados. Materal Malha Problema Mnos Análse C φ γ Elem. Nós n m p m+p Mem(MB) α ter. t(seg) Tabela 3. Testes realzadas com o otmzador Mnos.

48 48 Memóra (MB) Uso da Memóra - MINOS Elementos da Malha Sére Fgura 3.4a Varação da memóra usada pelo otmzador MINOS. Número de Iterações - MINOS Iterações Elementos da Malha Sére Fgura 3.4b varação de número de terações do otmzador MINOS.

49 49 8 Desempenho - MINOS Tempo(seg) Elementos da Malha Sére Fgura 3.4c Desempenho do otmzador MINOS. 3.8 Fator de Colapso - MINOS Fator de Colapso Elementos da Malha Sére Fgura 3.4d Varação do fator de colapso obtdo com MINOS. Os resultados dos testes realzados mostram que este otmzador faz uma alocação préva de 53 MB de memóra como apresentado nas análses,, 3, 4, 5 e 6 da Tabela 3. e somente quando a aplcação precsa de mas memóra, o programa faz uma realocação de memóra como mostrado na análse 7 da Tabela 3.. Este otmzador apresenta um melhor desempenho que o otmzador LINGO, mas para malhas com mas 3 elementos o tempo de desempenho também cresce quase exponencalmente (Fgura 3.4c).

50 5 O teste também mostra a mesma varação do fator de colapso com o ncremento de número de elementos da malha obtdos com o otmzador LINGO (Fgura 3.4d) Otmzador Lancelot O otmzador LANCELOT (Lnear And Nonlnear Constraned Extended Lagrangan Otmzaton Technques), segundo o manual do usuáro (Conn, Gould e Ton, 99) é um programa para resolver problemas de otmzação não lnear de grande escala. Este programa fo desenvolvdo pelos seguntes nsttutos de pesqusa: Facultés Unverstares Notre-Dame de la Pax, Namur Bélgca; Harwell Laboratory, UK; IBM, USA; Rutherford Appleton Laboratory, UK e a Unversty of Waterloo, Canada. Este programa tem mutos parâmetros a serem controlados pelo usuáro e para a especfcação de dados utlza arquvos com formato SIF (Standard Input Format). Este programa apesar de ser mult-plataforma não apresenta suporte ou não tem uma versão para o sstema operaconal Wndows. Os sstemas operaconas para os quas este programa apresenta suporte são: CRAY Uncos DEC OSF DEC Ultrx DEC VMS HP HP-UX IBM AIX IBM CMS IBM DOS (Salford and Waterloo Fortran) Lnux g77 Slcon Graphcs IRIX Sun SunOS and Solars

51 5 No processo a pesqusa e adequação do códgo de LANCELOT para rodar no sstema operaconal Wndows, encontrou-se um trabalho de testes de efcênca e comparação realzados entre o programa LANCELOT e MINOS. O trabalho é denomnado A Numercal Comparson Between the LANCELOT and MINOS Pacage for Large-Scale Nonlnear Optmzaton (Bongartz et all., 997). Na Tabela 3.3 apresentam-se os resultados de testes realzadas por Bongartz e outros (Bongartz et all., 997), onde LP ndca problemas lneares, QP problemas quadrátcos, BC problemas sem restrção ou com restrções de contorno smplesmente, LC problemas com restrções lneares e NC problemas com restrções não lneares. A prmera coluna ndca número total de problemas testados e as colunas LANCELOT e MINOS ndcam o tempo total acumulado em segundos empregados pelos otmzadores. Tabela 3.3 Comparação da efcênca entre Lancelot e Mnos (Bongartz et all, 997). Para os objetvos do presente trabalho de resolver efcentemente o problema da Análse Lmte com restrções lneares e não lneares, os resultados mas mportantes da Tabela 3.3 são as duas últmas lnhas, onde se mostra que para problemas com restrções lneares (LC) o programa MINOS tem uma melhor efcênca com um tempo acumulado de 9 segundos contra 56 segundos do programa LANCELOT e para problemas com restrções não lneares (NC) o programa MINOS também tem uma melhor efcênca com um tempo acumulado de 93 segundos contra 5754 segundos de LANCELOT. Pelos resultados apresentados no trabalho ctado era de se esperar que não sera obtda nenhuma melhora em termos da efcênca (tempo de otmzação) com o uso do programa LANCELOT e se decdu não segur com a pesqusa sobre o uso deste otmzador.

52 Comparação de Desempenho de Otmzadores Testados Na Fgura 3.5, apresenta-se uma comparação do desempenho dos otmzadores pesqusados e testados. A Fgura 3.5a mostra que o otmzador LINGO faz um melhor uso da memóra do computador, mas o resultado mas mportante é que MINOS tem um melhor desempenho em termos de tempo empregado para otmzar o problema (Fgura 3.5c). Ambos os otmzadores mostraram a mesma varação do fator de colapso com o número de elementos da malha (Fgura 3.5d) Uso da Memóra Memóra (MB) Elementos da Malha Lngo Mnos Fgura 3.5a Comparação de uso da memóra entre Lngo e Mnos Número de Iterações Iterações Elementos da Malha Lngo Mnos Fgura 3.5b Comparação de número de Iterações entre Lngo e Mnos

53 53 Desempenho 5 Tempo(seg) 5 5 Lngo Mnos Elementos da Malha Fgura 3.5c Comparação de desempenho entre Lngo e Mnos Fator de Colapso Fator de Colapso Elementos da Malha Lngo Mnos Fgura 3.5d Comparação de varação de fator de colapso, obtdos com Lngo e Mnos. Da pesqusa e dos testes realzados com os otmzadores comercas exstentes conclu-se que o otmzador LINGO pode ser usado efcentemente para problemas da Análse Lmte de pequena escala e o otmzadores MINOS podera ser usado efcentemente para problemas da Análse Lmte de até méda escala. A Análse Lmte de problemas em 3D tem uma complexdade maor se comparada com problemas em D porque o número de varáves e o número de restrções é muto maor. Portanto, o uso destes otmzadores pesqusados é quase nvável. Em geral para problemas de Análse Lmte de grande escala o uso destes otmzadores não é recomendável.

54 Otmzador Implementado Após a tentatva de usar otmzadores comercas como Lngo e Mnos e sendo o desempenho alcançado não satsfatóro para resolver problemas geotécncos pela Análse Lmte com malhas sufcentemente refnadas ou problemas de grande escala, optou-se neste trabalho por desenvolver um otmzador exclusvo para o tpo de problema da Análse Lmte. Assm, nesta pesqusa, mplementou-se o algortmo de Pontos Interores. Sendo o objetvo da tese a aplcabldade prátca da Programação Matemátca para resolver efcentemente o problema da análse lmte, neste trabalho são expostos apenas alguns concetos que permtem o entendmento do algortmo mplementado Condções de Otmaldade As condções de otmaldade, conhecdas também como as condções de Karush, Kuhn e Tucer (Condções KKT), são o resultado teórco mas mportante no campo da programação não lnear. Estas condções devem de ser satsfetas para a solução ótma de qualquer problema. Estas condções são as bases para o desenvolvmento de mutos algortmos computaconas e proporcona um crtéro de parada para mutos outros (Castllo et all, ). Para S = g(x), as condções de otmaldade para o problema de otmzação expresso pelas equações (3.), (3.) e (3.3), são escrtas como segue: λ t S + µ t B = (3.4) µ t b = (3.5) B x bα = (3.6) λ t g( x) = (3.7) λ (3.8) j g ( x) (3.9)

55 55 onde: m λ R e p µ R são os multplcadores de Lagrange assocados respectvamente às restrções (3.3) e (3.). As condções (3.6) e (3.9) são conhecdas como condções de factbldade prmal, a condção (3.7) é conhecda como condção de complementardade e a condção (3.8) ndca a não negatvdade do multplcador de Lagrange e é conhecda como condção de factbldade dual Algortmo de Pontos Interores Este algortmo fo proposto por Hersovts (986 e 989) (Farfan, ). Ele já fo usado em város trabalhos para resolver problemas da Análse Lmte como em Borges (99), Zouan e outros (993), Lyamn e Sloan (997), e Farfan (). Os algortmos são chamados de Pontos Interores por que todo ponto gerado deve de estar na regão vável, ou seja, para cada teração deve ser preservada a factbldade das restrções de desgualdade g ( x) e λ. A condção λ é garantda pelo crtéro de atualzação utlzado ao fnal de cada teração. Portanto, deve-se garantr a admssbldade plástca g ( x). Na lteratura pesqusada encontraram-se dos algortmos de pontos nterores; o prmero, conhecdo como Newton e Técnca de Deflexão e o segundo conhecdo como Newton e Técnca de relaxação-contração. Neste trabalho, propõe-se uma outra técnca, denomnada Vetoral. Como dscutdo na seção 3..4 os três algortmos se dferencam na técnca utlzada para garantr a factbldade das desgualdades. Sendo o objetvo deste trabalho mplementar um otmzador efcente, os três algortmos foram mplementados e testados Incalzação A ncalzação das varáves prmáras (Equações 3. e 3.) é feta consderando que o ponto ncal deve satsfazer as equações de equlíbro e a admssbldade plástca do materal. Para satsfazer a condção de otmaldade

56 56 (Equação 3.8) a varável dual λ deve ser postva, portanto, esta varável é ncada conforme sugerdo por Borges (99). x = (3.) α = (3.) λ = (3.) g( x ) Dreção de Busca Para o cálculo da dreção de busca, o algortmo de Newton-Rapson é aplcado nas equações de otmaldade ( ) e para H = λ [ g( x )], G g( x ) / = λ (matrz dagonal), d equações ncrementas: x = x + x e d α = α + α são obtdas as + + H d x + S λ + B µ = (3.3) b t µ + = (3.4) B d b = (3.5) x d α + S d x + G λ = (3.6) As Equações (3.3)-(3.6) formam um sstema de quatro blocos de equações com quatro grupos de ncógntas onde as varáves ou ncógntas a serem determnadas são d x, + λ, + µ e d α. A solução deste sstema de equações é dscutda na seção 3..8 Para o cálculo da dreção de busca encontraram-se na lteratura duas técncas e uma tercera técnca é proposta neste trabalho. A prmera técnca mplca o cálculo de ângulo de deflexão e o sstema de equações é resolvdo duas vezes (Zouan e outros, 993). Na segunda técnca, fatores de relaxação-contração são usados para determnar a dreção vável e o sstema de equações é resolvdo somente uma vez (Borges, 99). Uma tercera técnca vetoral é proposta neste trabalho, onde a dreção vável é determnada medante álgebra vetoral a partr do cálculo do ângulo de deflexão e o sstema de equações é resolvdo uma únca vez.

57 Técnca de deflexão Nesta técnca, um ângulo de deflexão θ é calculado a partr da solução do sstema de equações ( ). O ângulo de deflexão é calculado de tal forma a garantr uma dreção vável para d α e d x como mostrada pela Equação 3.7, onde β [,] é um parâmetro prefxado (Zouan et al,993). Uma demonstração completa para o cálculo de θ é apresentada por Borges (99) e Zouan e outros (993). da malha. θ ( α = + β ) d λ λ (3.7) O sub-índce ndca que o somatóro é calculado para todos os elementos Na Fgura 3.6 o ângulo de deflexão θ é lustrado grafcamente para uma restrção g (x), onde a dreção d é uma dreção não vável calculada a partr da solução do sstema de equações Fgura 3.6 Técnca de deflexão. Após o cálculo do ângulo de deflexão θ, a dreção de busca vável d é calculada. Para sso o sstema de equações ( ) é resolvdo novamente mas desta vez consderando o ângulo de deflexão como mostrado pelas Equações (3.8-3.). + + H d x + S λ + B µ = (3.8) b t µ + = (3.9)

58 58 onde e é um vetor com todos os componentes untáros. B d b = (3.) x d α + S d x + G λ = θe (3.) Técnca de relaxação-contração Neste algortmo, a factbldade das tensões é garantda propondo-se uma contração unforme para as tensões e o fator de colapso. O procedmento consste em ncrementar as tensões e o fator de colapso a partr da solução das Equações ( ), relaxada de um fator r. Em seguda calcula-se um fator de contração c para garantr a factbldade das tensões. A contração do fator de colapso pelo mesmo fator c garante que a condção de equlíbro (3.5) seja preservada ao fnal da teração, enquanto o fator de relaxação r é calculado para garantr a condção de factbldade na teração. Nesta técnca o novo ponto é calculado como mostrado na Equação 3. sem calcular dreção de busca vável nem o comprmento de passo. x + = c ( x + r d) (3.) Para lustrar esta técnca apresenta-se a Fgura 3.7, onde a dreção d é calculada a partr da solução das Equações ( ) e x são as varáves da teração anteror. Esta técnca consste em que para um fator de relaxação r o vetor AM = rd é calculado, a segur o vetor OM = OA + AM é calculado e fnalmente o vetor ON = com é calculado. Este processo é realzado para dferentes valores do fator de relaxação r até que se cumpra a segunte condção de acréscmo + α > α pela busca lnear na dreção do vetor OM.. O fator de contração c neste processo é determnado

59 59 Fgura 3.7 Técnca de Relaxação-Contração Técnca Vetoral - Proposto Pelo fato de que, resolver duas vezes o sstemas de equações como proposto pela prmera técnca (de deflexão) é computaconalmente custoso e sto afeta dretamente o desempenho do otmzador mplementado, neste trabalho propõe-se uma técnca vetoral para o cálculo da dreção de busca vável. Esta técnca é descrta a segur. Da solução do sstema de Equações ( ) a dreção tangente não vável d = d x é determnada como mostra a Fgura 3.8, a segur um ângulo de deflexão é calculado como expresso pela Equação 3.7 e fnalmente a dreção vável d é calculada vetoralmente medante álgebra vetoral, como a soma de dos vetores (Fgura 3.8), onde um vetor untáro na dreção negatva do gradente é determnado pela Equação 3.3, a segur a norma eucldana do vetor oposto ao ângulo de deflexão é calculada pela Equação 3.4 e logo a dreção de busca vável d é obtda como a soma de dos vetores conforme Equação 3.5. d g(x)= g(x)> g(x)< Regão vável x g(x) x + θ d tû Fgura 3.8 Técnca Vetoral - Proposta.

60 6 g( x) uˆ = (3.3) g( x) t = d tan( θ ) (3.4) d = d + uˆ (3.5) t onde g(x), é o vetor gradente com n elementos formados pelos gradentes das restrções g (x) de cada elemento, û é um vetor untáro no sentdo oposto ao vetor gradente e t é o módulo do vetor oposto ao ângulo de deflexão θ Comprmento de Passo O comprmento de passo ndcado na Fgura 3.9 é determnado somente para a prmera e a tercera técnca. Determnada a dreção de busca vável d na etapa anteror, é necessáro determnar o comprmento de passo. As restrções não lneares neste trabalho são apresentadas pelos crtéros de escoamento (Equações.8 e.9). Por sugestão de Hersovts (8), estas equações foram transformadas na sua forma quadrátca equvalente e substtundo na Equação 3.6 é obtda uma equação quadrátca em função de s como expresso na Equação 3.7, onde a = f ( d, φ), c = f ( x, d, C, φ) e q = f x, C, φ, γ ). Fnalmente, o comprmento de passo s ( f é obtdo resolvendo a equação quadrátca 3.7. g( x + s d ) γ. g( x ) = (3.6) f a s + c s + q = (3.7) onde γ f é um parâmetro (Borges, 99), C e φ são as propredades do materal.

61 6 Fgura 3.9 Comprmento de passo s Atualzação das Varáves Calculada a dreção vável e o comprmento de passo nas etapas anterores as varáves x e α são atualzadas conforme Equações 3.8 e 3.9. Grafcamente, este processo de atualzação é lustrado na Fgura 3., onde se vê que o + x é atualzado como a soma dos vetores x e d s. + x = x + + α = α + sd x s d α (3.8) (3.9) Fgura 3. Atualzação da varável x. Pela condção de Karush-Kuhn-Tucer (Equação 3.8) a varável dual λ tem que ser sempre postva. A atualzação desta varável é feta da segunte forma:

62 6 onde λ = max{ λ, λ,..., λm} e λ + = λ max( λ, γ λ ) (3.3) γ é um parâmetro (Borges, 99). λ Teste de Desempenho dos Algortmos Para lustrar o desempenho dos algortmos, um talude D como ndcado na Fgura 3. é analsado. As análses são fetas para as mesmas condções, ou seja, consderando-se as mesmas propredades do materal coesão (C=5 N/m²), ângulo de atrto (φ = 5 ) e peso específco (γ = 7 N/m³); a mesma geometra com o mesmo número de elementos da malha; o mesmo crtéro de escoamento, Mohr-Coulomb; e usando o mesmo computador (Pentum IV com processador de 3.7 GHz e memóra RAM de.4 Gb). Na Tabela 3.4, apresentam-se as comparações de fator de colapso, número de terações, tempo de otmzação e o mecansmo de ruptura obtdo com cada um dos algortmos. Fgura 3. Geometra do problema para teste de algortmos (malha de 5 elementos).

63 63 Algortmo α Iter t(seg) Superfce de Falha Deflexão Relax.-Cont Vetoral Tabela 3.4 Desempenho dos algortmos mplementados Manpulação de sstemas lneares a serem resolvdos Para resolver os sstemas de Equações ( ) e (3.8-3.), na lteratura pesqusada foram encontradas duas formas de reduzr estes sstemas para logo serem resolvdos por algum método dreto ou ndreto, onde o sstema a ser resolvdo tem a mesma ordem que o número de restrções lneares do problema. A prmera, é uma manpulação matrcal global como mostrado por Lyamn & Sloan (997) ou por Farfan (). A segunda é uma manpulação matrcal por elementos como mostrado por Borges (99) ou Zouan e outros (993). Neste trabalho, é proposta uma tercera forma de resolver estes sstemas medante uma solução dreta sem manpulação préva. Para λ = λ x = x, e λ = λ, as equações (3.3), (3.4), (3.5) e (3.6) podem ser re-escrtas como as Equações (3.3), (3.3), (3.33) e (3.34) representado um sstema de 4 blocos de equações com 4 grupos varáves ( d, + λ, + µ e d α ). x T + + Hd x + S λ + B µ = (3.3) + S d + G λ = (3.3) x

64 64 B d b = (3.33) x d α b t µ + = (3.34) Neste trabalho foram mplementadas e testadas as três formas de resolver o sstema de Equações descrtas acma, tendo como objetvo a busca de um melhor desempenho do otmzador mplementado. As vantagens e desvantagens de cada uma das formas de resolver são descrtas a segur e fnalmente é apresentada uma comparação de desempenho testado Manpulação matrcal global Nesta forma de manpulação as matrzes H, S, G e B são calculadas para todo o sstema, onde n x n H R, m x n S R, m x m G R e p x n B R ; n é o número de varáves do problema, m é o número de restrções não lneares e p é o número de restrções lneares. O vetor d x pode ser explctado na Equação 3.3 gerando a Equação Substtundo-se em seguda d x da Equação 3.35 na Equação 3.3 e consderando que obtda. T Q = S H e W = Q S G a Equação 3.36 é T + + d = H ( S λ + B ) (3.35) x µ + T + λ = W QB u (3.36) Para D = H Q W T Q e substtundo a Equação 3.36 em 3.35, a Equação 3.37 é obtda. Substtundo a Equação 3.37 na Equação 3.33, e para v = u + ( d α ), a Equação 3.38 é obtda. T K = BDB T + d x = DB u (3.37) Kv = b (3.38) A matrz K pode ser chamado de uma pseudo matrz de rgdez já que ela relacona forças aplcadas e velocdades. A Equação 3.38 é um sstema de equações lneares de ordem gual ao número de restrções lneares ( p ) e pode ser resolvdo por qualquer dos métodos dscutdos na seção e

65 65 Conhecdo o vetor v e substtundo + u = vd α na Equação 3.34, a varável d α é determnada e, logo, Equações 3.37 e 3.36 as varáves + u é conhecdo também. Substtundo d x e + λ são calculados. + u nas O processo de solução do sstema de Equações 3.8, 3.9, 3. e 3. consderando o ângulo de deflexão θ são smlares e pode ser encontrado em Lyamn e Sloan (997) ou Farfan (). Observa-se que o uso deste processo mplca realzar operações como a obtenção da nversa de matrz de ordem n (número de varáves do problema), assm como o produto de matrzes e produto de matrzes por vetores. Sendo estas operações computaconalmente caras é de se esperar que esta mplementação seja nefcente como lustrado com os testes realzados Manpulação matrcal por elementos Uma segunda forma de manpulação na solução de sstema de Equações (3.3), (3.3), (3.33) e (3.34) é apresentada por Borges (99) e por Zouan e outros em (993). Nesta forma, a matrz K da Equação 3.38 é obtda pela montagem de matrzes de rgdez elástco-plástca de cada elemento fnto. Nesta forma de manpulação as varáves H, S, Q, W, ep D e calculadas para cada elemento fnto como ndcado nas equações a segur: e K são H = λ[ g( x)] (3.39) S = g( x) (3.4) G / = g( x) λ (3.4) Q = S H (3.4) W = Q S T G (3.43) D ep = H Q W T Q (3.44) K e T ep = B D B (3.45) onde, para os elementos fntos mplementados, quadrlateral em D e hexaédrco em 3D, H é uma matrz de 3x3 para problemas em D e de 6x6 para problemas em 3D, S e Q são vetores de 3 elementos para problemas em D e de 6

66 66 elementos para problemas em 3D, G e W são matrzes de x, ep D é a matrz conhecda como módulo elástco-plástco de 3x3 para problemas em D e de 6x6 para problemas em 3D, B é a matrz de equlíbro para cada elemento fnto obtdo pelo MEF com dmensões de 8x3 para problemas D e de 4x6 para problemas em 3D e K e é a matrz de rgdez elástco-plástca de 8x8 para problemas em D e de 4x4 para problemas em 3D. Da Equação 3.3, a varável d x para cada elemento pode ser expressa como mostra a Equação Substtundo (3.46) em (3.3), a Equação 3.47 é obtda. T + + d = H ( S λ + B ) (3.46) x µ + T + λ = W QB u (3.47) ep Substtundo a Equação 3.47 em 3.46 e para módulo elástco-plástco D expresso pela Equação 3.44 a Equação 3.48 é obtda. Substtundo a Equação 3.48 na Equação 3.33, para Equação 3.49 é obtda. ep K expresso pela Equação 3.45 e para + e u = v d α a ep T + d x = D B u (3.48) e e e K v = b (3.49) e A partr da matrz de rgdez elástco-plástca K de cada elemento (Equação 3.49), a matrz de rgdez elástco-plástco K para todo o sstema é montada. Esta montagem é smlar à montagem de matrz de rgdez global da análse convenconal por Elementos Fntos. Uma vez montada a matrz K e sendo b vetor dos carregamentos nodas montado também a partr dos carregamentos de cada elemento, a Equação 3.49 é escrta para todo o sstema como ndcado em Equação 3.5. Kv = b (3.5) A Equação 3.5 é smlar à Equação 3.38 e pode ser resolvda por algum dos métodos dscutdos na seção Determnado o vetor v as varáves + u são determnadas como expressas pelas equações 3.5 e 3.5. d α e

67 67 ). ( = v b d α (3.5) v u = d α + (3.5) Sendo o vetor + u um vetor global para todo o sstema, este vetor é decomposto faclmente para cada um dos elementos e logo os vetores x d e + λ para cada elemento são calculados pelas Equações 3.48 e Este mesmo processo também é segudo para resolver as Equações de 3.3 a 3.34, mas consderando o ângulo de deflexão θ. Uma abordagem completa pode ser encontrada em Borges (99) e Zouan e outros (993). Esta forma de manpulação para resolver o sstema de Equações ( ) é mas efcente que o prmero porque faz um melhor uso da memóra do computador e os cálculos como a nversa da matrz, o produto de matrzes e o produto de matrzes por vetores são fetos no nível de cada elemento e não para todo o sstema Solução dreta sem manpulação - proposta Como uma alternatva às duas formas anterores de resolver o sstema de Equações ( ), neste trabalho propõe-se resolver dretamente este sstema de equações como mostra a Equação O sstema de Equações (3.8-3.) ou ( ) consderando o ângulo de deflexão θ pode ser resolvdo também como ndcado na Equação = + + µ λ d b b B G S B S H x t t t d α (3.53) = + + e µ λ d b b B G S B S H θ α x t t t d (3.54)

68 68 Esta forma de resolver os sstemas de Equações ( ) tem vantagens e desvantagens. A vantagem é que não é necessáro realzar nenhum tpo de cálculo ou manpulação préva à solução do sstema. A desvantagem é que o sstema de equações a ser resolvdo é de ordem de ( n + m + p +), onde ( n +) é o número de varáves, m é o número de restrções não lneares de desgualdade e p é o número de restrções lneares de gualdade; sso ndcara que é necessáro realzar mas esforço computaconal em termos de FLOPS (FLoatng-pont OPeratonS) e também uso de mas recursos do computador como a memóra para armazenar a matrz de coefcentes. Sendo a matrz dos coefcentes uma matrz esparsa, as desvantagens ndcadas no parágrafo anteror como número de FLOPS e requermento de mas memóra para armazenar a matrz de coefcentes são resolvdas neste trabalho medante o uso de uma técnca de tratamento de matrzes esparsas como vetores, como dscutdo na seção Teste de Desempenho das Manpulações Neste trabalho, as três formas de manpular e resolver o sstema de Equações ( ) foram mplementadas e testadas. A efcênca das formas de manpular e resolver os sstemas de equações é medda em termos de quantdade de memóra requerda e de tempo empregado na manpulação e solução do sstema. Os testes foram fetos utlzando cada uma das manpulações para o problema apresentado na Fgura 3. com malhas apresentadas na Fgura 3.. Nos testes, para facltar a dentfcação de cada método, a manpulação matrcal global é smplesmente denomnada como Matrz, a manpulação matrcal por elementos é denomnada como Elementos e a solução dreta sem manpulação é denomnada como Dreta. a) Teste de manpulação matrcal global A Tabela 3.5 apresenta os resultados dos testes realzados com a mplementação medante a manpulação matrcal global. Nas Fguras 3. e 3.3 estes resultados são apresentados grafcamente para uma melhor nterpretação.

69 69 Como se pode verfcar nas Fguras 3. e 3.3 tanto a quantdade de memóra requerda como o tempo empregado para resolver o sstema cresce exponencalmente neste método. Devdo ao fato de que estes valores têm um crescmento exponencal os testes somente foram fetos para malhas de 8, 64 e 6 elementos. Da Fgura 3.3 pode-se observar também que entre 8 a 9 % de tempo total é empregado na manpulação do sstema e de a % de tempo é empregado na solução do sstema resultante. Manpulação Matrz Malha Problema Mem. Tempo(seg) Elem. Nós n m p m+p (MB) Manp. Resolv. total Tabela 3.5 Teste da manpulação matrcal global. Uso da Memóra Memóra (MB) Elementos da Malha Matrz Fgura 3. Memóra requerda pela manpulação matrcal global.

70 7 Tempo(seg) Desempenho Elementos da Malha Manp. Resolv. Total Fgura 3.3 Tempo empregado na manpulação e solução do sstema. b) Teste de manpulação matrcal por elementos A Tabela 3.6 apresenta os resultados dos testes realzados com a mplementação medante a manpulação matrcal por elementos. Nas Fguras 3.4 e 3.5 estes resultados são apresentados grafcamente para uma melhor nterpretação. Como se pode observar nas Fguras 3.4 e 3.5, esta forma de resolver o sstema de equações tem um melhor desempenho que a técnca anteror. A Fgura 3.4 mostra que o uso de memóra tem um crescmento exponencal suave, mas a Fgura 3.5 mostra um crescmento exponencal em relação ao tempo requerdo para resolver o sstema. A Fgura 3.5 mostra também que 9 % do tempo é empregado na manpulação, sendo o restante do tempo empregado na solução do sstema resultante. Manpulação Elementos Malha Problema Mem. Tempo(seg) Elem. Nós n m p m+p (MB) Manp. Resolv. total Tabela 3.6 Teste da manpulação matrcal por elementos.

71 7 Uso da Memóra Memóra (MB) Elementos da Malha Elementos Fgura 3.4 Memóra requerda para a solução do sstema. 6 5 Desempenho Tempo(seg) 4 3 Manp. Resolv. Total Elementos da Malha Fgura Tempo empregado na manpulação e solução do sstema. c) Teste de solução dreta sem manpulação - proposta Os resultados dos testes realzados com esta forma de resolver os sstemas de equações são apresentados na Tabela 3.7 e nas Fguras 3.6 e 3.7 estes resultados são apresentados grafcamente. Como esta forma de resolver o sstema de equações não tem manpulação, a coluna Manp da Tabela 3.7 tem todos os valores guas a zero, sendo portanto o tempo total gual ao tempo empregado pelo resolvedor.

72 7 A Fgura 3.6 ndca que o requermento de memóra tem um crescmento lnear com o número de elementos da malha. A Fgura 3.7 mostra que o desempenho em termos de tempo requerdo para resolver o sstema tem uma tendênca quase lnear com pequenas osclações. Estes resultados ndcam que esta técnca tem muto melhor desempenho, tanto em relação ao uso da memóra quanto em relação ao tempo requerdo para resolver o sstema. Manpulação Dreta Malha Problema Mem. Tempo(seg) Elem. Nós n m p m+p (MB) Manp. Resolv. total Tabela 3.7 Teste da solução dreta sem manpulação. Uso da Memóra Memóra (MB) Elementos da Malha Dreta Fgura Memóra requerda para a solução do sstema.

73 73 Tempo(seg) Desempenho Elementos da Malha Manp. Resolv. Total Fgura 3.7 Tempo empregado na solução do sstema. d) Comparação das técncas de solução Nesta seção apresenta-se uma comparação dos testes realzados com as três técncas mplementadas para resolver sstemas de equações. A Tabela 3.8 apresenta um resumo dos testes realzados com cada uma das técncas e as Fguras 3.8 e 3.9 apresentam as comparações do desempenho em termos de uso da memóra e de tempo total requerdo para manpular e resolver o sstema de equações. A Fgura 3.8 mostra que a solução dreta proposta neste trabalho é muto mas efcente em relação ao uso da memóra do computador. A Fgura 3.9 mostra também que a solução dreta proposta neste trabalho é muto mas efcente em comparação às duas técncas encontradas na lteratura pesqusada. O resultado mas mportante mostrado pela Fgura 3.9 é que o desempenho (em tempo) com a solução dreta proposta, cresce quase lnearmente com o refnamento da malha, este fato nfluenca dretamente no desempenho do otmzador mplementado.

74 74 Manpulação Matrz Elementos Dreta Malha Problema Mem. Tempo(seg) Elem. Nós n m p m+p (MB) Manp. Resolv. total Tabela 3.8 Comparação de resultados com as três técncas de solução. Memóra (MB) Uso da Memóra Elementos da Malha Matrz Elementos Dreta Fgura 3.8 Memóra usada pelas técncas.

75 75 Tempo(seg) Desempenho Elementos da Malha Matrz Elementos Dreta Fgura 3.9 Tempo empregado pelas técncas Resolvedores Implementados A efcênca do otmzador mplementado depende muto da solução efcente de sstema de equações lneares, por sso neste trabalho foram mplementados e testados dferentes algortmos dretos e ndretos que permtem resolver sstemas lneares da forma Ax = b. Os prmeros testes do otmzador mplementado foram fetos para resolver problemas pequenos com malha de 8 e 5 elementos usando o algortmo de Gauss Jordan (GJ) (Hoffman, 99 e Tsao, 989). Nos testes para aplcações com malhas refnadas, o otmzador mplementado usando Gauss-Jordan mostrou-se nefcente, por sso, foram mplementados e testados outros métodos de solução de sstemas lneares. Entre os métodos dretos, o algortmo de fatoração t L. L de Cholesy (Ames, e Alre, ) e fatoração LU de Doolttle (Gómez e Burguest, 4) foram mplementados e testados. Entre os métodos ndretos o método Quase Newton BFGS(Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno) QN-BFGS (Bathe, 996) e o método dos Gradentes Conjugados (CG) (Sandoval, 6), foram mplementados e testados também. Uma das vantagens dos métodos ndretos é que são adequados para aplcar técncas como tratamento da matrz esparsa e pré-condconadores. Por sso,

76 76 foram mplementados também o algortmo dos Gradentes Conjugados com tratamento da matrz esparsa (CSR-CG) e o método Quase Newton BFGS com tratamento da matrz esparsa (CSR-QN-BFGS). Dos testes realzados com os métodos mplementados, o método dos Gradentes Conjugados com tratamento da matrz esparsa apresentou melhor desempenho, portanto neste trabalho somente é descrto o algortmo dos Gradentes Conjugados. Os métodos dretos e o método BFGS foram mplementados com base nas referêncas ndcadas e pelo fato desses métodos serem amplamente conhecdos e dfunddos na lteratura, eles não foram apresentados no presente trabalho Método dos gradentes conjugados (CG) O método dos Gradentes Conjugados, ntroduzdo pela prmera vez por (Hestenes e Stfel, 95), é uma técnca de otmzação e tornou-se um dos mas populares métodos para a solução de sstemas lneares da forma Ax = b, onde o problema é resolvdo como um problema de mnmzação de uma função objetva quadrátca f (x) (Equação 3.55). A condção de prmera ordem para o mínmo de uma função f (x) mpõe que o gradente da função objetvo f ( x) = Ax b seja gual a zero, como mostra a Equação (3.56). Este método mnmza a função f (x), onde o valor de x que mnmza a função é a solução do sstema Ax = b. t t f ( x) = x Ax b x (3.55) f ( x) = Ax b = (3.56) O algortmo de Gradente Conjugado pré-condconado (Fgura 3.), mplementado no presente trabalho é a apresentado no trabalho de Sandoval em 6 (Sandoval, 6), onde M é a matrz pré-condconadora.

77 Fgura 3. Algortmo de Gradente Conjugado pré-condconado (Sandoval, 6). 77

78 Teste de desempenho de resolvedores mplementados Os testes de efcênca dos métodos mplementados foram fetos para os problemas mostrados pela Fgura 3.. Na Tabela 3.9 são apresentados os resultados dos testes dos métodos com melhor desempenho. Estes resultados são mostrados grafcamente na Fgura 3.. Da Tabela 3.9 pode-se observar que o método Quase Newton BFGS mostra-se nefcente. Por sso não foram realzados mas testes e não foram apresentados resultados com esse algortmo na Fgura 3.. (a) (b) (c) (d) (e) (f) Fgura 3. Malhas: (a) 8, (b) 5, (c) 64, (d) 5, (e) 4 e (f) 676 elementos.

79 79 A Fgura 3. mostra que o método baseado na decomposção LU tem um melhor desempenho para sstemas com número de varáves N menores que 4 (aproxmadamente), mas para N maores que 4 o método de elmnação de Gauss-Jordan (GJ) tem melhor efcênca. Técnca de tratamento de matrz esparsa fo aplcada aos métodos ndretos, para o qual o método de Gradente Conjugado (CG) apresenta um ganho de efcênca como dscutdo na seção Pré-condconadores também foram mplementados e aplcados no método de Gradente Conjugado para melhorar a efcênca como descrto na seção Tempo (seg) Malha N GJ LU QN_BFGS CG a b c d e f Tabela 3.9 Comparação do desempenho dos métodos mplementados. 7 Desempenho dos Métodos 6 T(seg) GJ LU CG N (No de varaves do sstema) Fgura 3. Comparação do desempenho dos métodos mplementados.

80 Resolvedor SAMG Testado Na procura por encontrar um método efcente para resolver os sstemas lneares na mplementação do otmzador, neste trabalho tentou-se usar o resolvedor comercal SAMG(Algebrac Multgrd Methods for System) desenvolvdo pelo Insttute of Algorthms and Scentfc Computaton (Klaus & Tonja, 5). Este programa usa o Método Multgrd para resolver sstema lneares. A tentatva de resolver o problema expresso pelas Equações 3.53 e 3.54 usando este programa não fo bem sucedda Melhora do desempenho Como o desempenho do otmzador mplementado depende do desempenho dos algortmos que servem para resolver o sstema de equações lneares, neste trabalho foram pesqusadas, mplementadas e testadas técncas como tratamento da matrz esparsa e uso de pré-condconadores. Estas técncas são descrtas a segur Tratamento de Matrz Esparsa Uma matrz esparsa é aquela que apresenta mutos elementos guas a zero, e elementos dferentes de zero podem ser armazenados em uma estrutura de dados especal ou em vetores (Tsal, 998). Exstem váras técncas ou formatos para tratamento de uma matrz esparsa com vetores, neste trabalho usou-se o formato CSR (Compressed Sparse Row) para armazenar a matrz de coefcentes em vetores Formato CSR(Compressed Sparse Row) Neste formato, uma matrz esparsa é representada por 3 vetores como é mostrado na Fgura 3.3a (SMAILBEGOVIC et all, 6), onde AN é um vetor com os valores dferentes de zero da matrz A, AJ é um vetor com os índces das

81 8 colunas da matrz A e AI são os lmtes dos índces de colunas do vetor AN para cada fla de A. Neste trabalho, a matrz de coefcentes das Equações (3.53) e (3.54) são armazenados em vetores no formato CSR. A escolha de este formato fo porque é adequado para realzar o produto de uma matrz por um vetor e sua mplementação é smples demas como mostrado pelo códgo na Fgura 3.3b. Fgura 3.3a Armazenamento da matrz esparsa (SMAILBEGOVIC et all, 6). Fgura 3.3b Produto de uma matrz esparsa A por um vetor d Teste de desempenho de CG com tratamento da matrz esparsa A Tabela 3. apresenta os resultados dos testes fetos com os métodos de Gradente conjugado CG e o método Quase-Newton BFGS com tratamento da matrz esparsa pelo formato CSR. Observa-se que com o método Quase Newton BFGS obteve-se uma melhora na efcênca de 5% aproxmadamente e com o método de Gradente Conjugado CG a melhora de efcênca fo anda maor. Na Fgura 3.4 são apresentados grafcamente os resultados dos testes, onde se pode vsualzar o ganho obtdo pelo método de Gradente Conjugado com tratamento da matrz esparsa CSR-CG. É de se esperar que este ganho nfluence dretamente na efcênca do otmzador mplementado.

82 8 Tempo (seg) Malha N GJ LU QN_BFGS CSR+QN_BFGS CG CSR_CG a b c d e f Tabela 3. Desempenho dos métodos com o tratamento da matrz esparsa. 7 Desempenho de CG com CSR 6 T(seg) GJ LU CG CSR_CG N (No de varaves do sstema) Fgura 3.4 Desempenho do método CG com tratamento da matrz esparsa CSR Precondconamento A déa do precondconamento é transformar um sstema lnear Ax = b em outro equvalente com condções espectras mas favoráves, onde o número de terações requerdas para a convergênca é reduzdo (Cervantes & Mejía, 4). Pré-condconadores são técncas utlzadas para acelerar a convergênca da solução de sstemas lneares (Equação 3.57) pelo método de Gradente Conjugado (CG) e, portanto aumenta o desempenho deste método em termos de tempo. Ax = b (3.57)

83 83 Neste trabalho foram mplementados e testados três pré-condconadores encontrados na lteratura e o uso de pré-condconadores mstos proposto neste trabalho. Os pré-condconadores mplementados e testados são Escala Dagonal(DS) (Pn e Gambolat, 99), Escala Smétrca (SS) (Jennngs e Mal, 978) e Fatoração Incompleta de Cholesy (ICF) (Mejern e Van der Vorst, 977). Os seguntes pré-condconadores mstos são propostos neste trabalho DS+SS e ICF+SS. É mportante menconar que os pré-condconadores mstos não aparecem na lteratura e fo uma tentatva deste trabalho de encontrar um précondconador efcente. Campos (999) ndca que, o precondconamento mplca em alterar a matrz de coefcentes do sstema, fazendo com que os autovalores desta matrz sejam mas próxmos e, logo, o sstema mas estável, reduzndo o número de terações necessáras para a solução do mesmo Escala Dagonal (DS) A escala dagonal é um pré-condconador muto smples, fácl de ser obtdo e mplementado. A matrz pré-condconadora M apresentada no algortmo da Fgura 3. é uma matrz dagonal cujos elementos são formados pela dagonal da matrz de coefcentes, como mostrado na Equação 3.58 (Pn e Gambolat, 99). M = dag( A) (3.58) Escala Smétrca (SS) Este pré-condconador fo apresentado por Jennngs e Mal (978) e consste em escalonar o sstema lnear apresentado pela Equação 3.57 como mostra a Equação A matrz pré-condconadora D é uma matrz dagonal cujos elementos são obtdos como ndcado na Equação 3.6. DADD x = Db (3.59)

84 84.5 d = ( a ) (3.6) Da Equação 3.59 para B = DAD, y = D x e c = Db a Equação 3.5 é transformada para a Equação 3.6. A Equação 3.6 é resolvda pelo método do Gradente Conjugado (Fgura 3.) com a matrz M = I. By = c (3.6) x = Dy. Conhecdo o vetor y, o vetor x é faclmente determnado pela relação Fatoração Incompleta de Cholesy (ICF) A fatoração ncompleta de Cholesy fo proposta por Mejern e Van der Vorst (977). Este pré-condconador basea-se na decomposção de Cholesy para resolver sstemas lneares (Equação 3.57), onde a matrz de coefcentes A é decomposta como o ndcado na Equação 3.6. T A = L L (3.6) onde L é uma matrz trangular nferor. Esta decomposção na sua forma orgnal, requer do cálculo da raz quadrada e dos elementos da dagonal, para evtar esse cálculo, Mejern e Van der Vorst (977) apresentam o algortmo de Cholesy modfcado como mostra a Equação T A = L DL (3.63) onde D é uma matrz dagonal e as matrzes L e D são obtdas como mostrado nas expressões: L D ( ) = A j L j L D / j =, N (3.64) = L

85 85 No processo de decomposção, a matrz A perde o padrão de dstrbução de zeros, ou seja, elementos nulos podem tornar-se não nulos após a decomposção. Para que a fatoração seja ncompleta deve-se manter a mesma dstrbução de zeros da matrz orgnal. Isto é consegudo fazendo-se com que os elementos nulos na matrz orgnal permaneçam nulos na matrz fatorzada. Benz & Tuma em ndcam que uma fatoração ncompleta pode falhar para uma matrz geral de tpo esparsa postva e defnda (SPD) devdo à ocorrênca de pvôs não postvos (Benz & Tuma, ). Na lteratura pesqusada encontraram-se trabalhos ndcando que o précondconador ICF tem o melhor desempenho, entre eles Pnhero (998), Campos (999) Pré-condconadores mstos - proposto Neste trabalho propõe-se o uso de pré-condconadores mstos para melhorar o desempenho do método do gradente conjugado na solução de sstemas lneares. Na tentatva de encontrar um pré-condconador efcente para os tpos de problema a serem resolvdos neste trabalho, foram mplementados e testados dos tpos de pré-condconadores mstos. A escala dagonal msturada com escala smétrca (DS+SS) e a escala dagonal msturada com fatoração ncompleta de Cholesy (DS+ICF). Os pré-condconadores mstos são fáces de ser mplementados. Para o précondconador DS+SS, prmero é aplcado o pré-condconador SS e logo o DS. Smlarmente para o pré-condconador DS+ICF, prmero aplca-se o ICF e logo o DS. Para o tpo de problema deste trabalho, o tpo de pré-condconador que mostrou o melhor desempenho é o pré-condconador msto proposto DS+SS como ndcam os resultados dos testes realzados (Fgura 3.5) Teste de Desempenho de Pré-condconadores A Tabela 3. apresenta os resultados obtdos com os pré-condconadores mplementados. Na Fgura 3.5 estes resultados são lustrados grafcamente, onde

86 86 pode-se observar que o método do gradente conjugado com pré-condconador msto DS+SS teve melhor desempenho para nosso tpo de problema. Temp(seg) Malha N CSR+CG DS+CSR+CG SS+CSR+CG ICF +CSR+CG DS+SS+SCR+CG ICF+SS+SCR+CG a b c d e f Tabela 3. Teste de pré-condconadores mplementados Desempenho dos Precondconadores T(seg) N (No de varaves do sstema) CSR+CG DS+CSR+CG SS+CSR+CG ICF +CSR+CG DS+SS+SCR+CG ICF+SS+SCR+CG Fgura 3.5 Desempenho de CG com os pré-condconadores mplementados.

87 Teste de desempenho do Otmzador Implementado Com o objetvo de ter uma déa comparatva do desempenho do otmzador mplementado, o mesmo problema em D da Fgura 3. com malhas da Fgura 3. fo analsado usando o otmzador mplementado e os resultados são comparados com os otmzadores Lngo e Mnos. Outro problema em 3D com resultados da análse já conhecdos (obtdos usando o otmzador MINOS 5.5) é analsado e a solução é obtda com o otmzador mplementado Teste com problema em D O problema da Fgura 3. com malhas da Fgura 3. que com o qual os programas Lngo e Mnos foram testados, fo analsado utlzando o otmzador mplementado. Os resultados obtdos com o programa Geolma versão. cujo otmzador fo mplementado neste trabalho são apresentados na Tabela 3.. Para fm de comparação, estes resultados são apresentados grafcamente nas Fguras 3.6, 3.7, 3.8 e 3.9, onde se observa que o programa Geolma com otmzador mplementado é mas efcente tanto no uso de memóra quanto no tempo de otmzação. Malha Lngo Mnos Geolma Elem. Nós Mem α ter. t(seg) Mem α ter. t(seg) Mem α ter. t(seg) Tabela 3. Resultados do teste em D do otmzador mplementado.

88 88 35 Uso da Memóra Memóra (MB) Lngo Mn os Geolma Elem entos da Malha Fgura 3.6 Comparação de uso da memóra pelos otmzadores. Número de Iterações Iteraç ões Elementos da Malha Lngo Mnos Geolma Fgura 3.7 Comparação de número de terações.

89 89 Desempenho 5 Tempo(s eg) 5 5 Lngo Mnos Ge olma Elementos da Malha Fgura 3.8 Comparação do desempenho dos otmzadores. 3.8 Fator de Colapso Fator de Colapso Elementos da Malha Lngo Mn os Geolma Fgura 3.9 Varação de fator de colapso.

90 Teste com problema em 3D Com a fnaldade de valdar o otmzador mplementado, um problema 3D de frente de escavação de túnes (Fgura 3.3) é analsado pelo programa GEOLIMA. com seu própro otmzador mplementado. Este problema é nteressante, porque se tem resultados da smulação físca do comportamento de frente de escavação, fetas medante ensaos de laboratóro em modelos 3D em escala reduzda. A smulação físca fo feta no Laboratóro da Mtsubsh Heavy Industres Ltda., Japão (Sterp et al., 996). Este problema fo usado também para valdar os resultados da Análse Lmte com GEOLIMA. mplementada na dssertação de mestrado e que usava o otmzador Mnos 5.5. Neste trabalho, a análse deste problema é feta com GEOLIMA. e os resultados são comparados com os obtdos com o otmzador MINOS. A análse fo feta mantendo todas as condções, ou seja para a mesma geometra (Fgura 3.3), a mesma malha (Fgura 3.3) (676 elementos com 945 nós), as mesmas condções de contorno, as mesmas propredades do materal coesão (C=5 N/m²), ângulo de atrto (φ = 5 ) e peso especfco (γ = 9.5 N/m³); o mesmo crtéro de escoamento Drucer-Prager (parâmetros de aproxmação do círculo superor); com um carregamento ncal de γ o =. N/m³ e usando o mesmo computador (Pentum IV com dos processadores de 3.7 GHz e memóra RAM de.4 Gb). O problema a ser resolvdo pelo otmzador tem um total de 457 varáves, 77 restrções lneares e 676 restrções não lneares. A ordem do sstema de equações lneares a ser resolvdo em cada teração é de 646. O tempo requerdo pelo Mnos fo de 6 horas 43 mnutos e o fator de colapso obtdo fo de α = 5.. O tempo requerdo pelo otmzador mplementado fo de 7 mnutos com 49 seg. e o fator de colapso obtdo fo de α = A Fgura 3.3 apresenta o mecansmo de ruptura do problema obtdo pela Análse Lmte com GEOLIMA. e é muto smlar à obtda com Mnos e também à obtda ao modelo físco (Fgura 3.33).

91 9 Fgura 3.3 Geometra da estrutura a ser analsada. Fgura 3.3 Malha de elementos fntos (676 elementos e 945 nós).

92 9 Fgura 3.3 Mecansmo de colapso da estrutura obtdo pelo programa GEOLIMA.. Fgura 3.33 Mecansmo de ruptura obtdo a partr de ensaos em modelo físco em escala reduzda (Sterp,996)