ANÁLISE DINÂMICA DE PLACAS E CASCAS ATRAVÉS DO ELEMENTO FINITO DE NOVE NÓS COM REFINAMENTO HIERÁRQUICO

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1 AÁLISE DIÂMICA DE PLACAS E CASCAS ATRAVÉS DO ELEMETO FIITO DE OVE ÓS COM REFIAMETO HIERÁRQUICO Amarldo Tabone Paschoaln UESP Faculdade de Engenhara de Ilha Soltera Departamento de Engenhara Mecânca Av. Brasl Centro Ilha Soltera SP Brasl E-mal: tabone@dem.fes.unesp.br Lor Afonso Morera UICAMP Faculdade de Engenhara Mecânca Departamento de Projeto Mecânco Fernando Igut UICAMP Faculdade de Engenhara Mecânca Departamento de Mecânca Computaconal Resumo Este trabalho apresenta a análse de vbração lvre não amortecda de placas e cascas através de um elemento fnto do tpo herárquco baseado no conceto de aproxmação p. O prmero nível de aproxmação da solução é obtdo através do elemento soparamétrco quadrlateral quadrátco de 9 nós da famíla Lagrangeana formulado a partr da teora de Ressner-Mndln com ntegração numérca consstente. Para outros níves de aproxmação são realzados sucessvos refnamentos herárqucos com o propósto de retrar a característca de rgdez excessva do elemento soparamétrco na análse de placas e cascas fnas. São apresentados exemplos numércos para mostrar a precsão efcênca e vantagens da presente formulação e os resultados obtdos freqüêncas naturas e modos de vbrar são comparados com os dsponíves na lteratura. Palavras-chave: Método dos elementos fntos Versão p Vbração lvre Placa Casca.. ITRODUÇÃO A maor parte das estruturas compostas por placas e cascas projetadas atualmente requerem algum tpo de análse dnâmca para comprovar sua capacdade de suportar carregamentos transtóros. Embora a análse de estruturas compostas por placas e cascas pelo Método dos Elementos Fntos já se estenda por mas de três décadas o estabelecmento de um modelo que seja confável efcente e aplcável a qualquer stuação placas e cascas fnas ou placas e cascas moderadamente grossas anda contnua a ser objeto de estudo de mutos autores. Bathe e Dvorkn 985 e 986 resumram os requstos que devem ser encontrados no desenvolvmento de um elemento fnto confável e efcente para análse de casca:. o elemento deve satsfazer os requstos usuas de nvarânca e convergênca Zenkewcs 977;. o elemento deve ser formulado sem o uso de uma teora específca de manera que possa ser aplcável em qualquer stuação de placa ou casca; 3. o elemento deve ser smples barato e utlzar consderando a análse de cascas cnco ou ses graus de lberdade por nó;

2 4. o elemento deve ser "numercamente seguro" sto é não deve conter qualquer modo própro nulo e deve estar lvre do efeto de bloqueo; 5. o elemento não deve ser baseado em fatores de ajuste numérco; 6. o elemento deve ser relatvamente nsensível às dstorções geométrcas; 7. o elemento deve ter a capacdade de proporconar soluções precsas e efcentes. A formulação para análse de casca baseada na degeneração de um elemento sóldo trdmensonal através da redução de sua dmensão na dreção da espessura tem sdo escolhda por um grande número de pesqusadores nos últmos anos com o objetvo de satsfazer os requstos acma e baseado nessa formulação o elemento de nove nós da famíla Lagrangeana tem sdo usado como base para o desenvolvmento de mutos elementos fntos para análse de casca. Em parte sto se deve às seguntes observações: na análse de tensões no plano o elemento soparamétrco de nove nós é menos sensível a dstorções geométrcas que o elemento de oto nós Cook 98 e Verhegghe e Powell 986 e para o caso geral de flexão de placas o elemento de nove nós tem um ótmo desempenho se comparado a outros elementos quadrlateras lneares quadrátcos e cúbcos Pugh et al Além dsso os elementos de nove nós para análse de cascas são geralmente consderados como vantajosos em casos onde exstem grandes varações de tensões onde as deformações por flexão domnam a solução e onde a geometra é curva Park e Stanley 986. Entretanto é bem conhecdo que os resultados obtdos através do elemento de nove nós para análse de cascas apresentam dversas defcêncas Oñate 99. A ntegração exata do elemento quadrlateral quadrátco de nove nós exge 3x3 pontos de ntegração na quadratura de Gauss-Legendre para a matrz de rgdez que contém os termos relatvos à flexão e 3x3 pontos de ntegração para a matrz de rgdez que contém os termos relatvos à cortante ntegração numérca consstente. Os resultados obtdos são excelentes para stuações de placas e cascas moderadamente grossas contudo com a redução da espessura o elemento torna-se excessvamente rígdo e os resultados não tendem àqueles da teora clássca de Krchhoff para placas e cascas fnas. A ntegração numérca reduzda x pontos de ntegração para a matrz de rgdez que contém os termos relatvos à cortante elmna em mutos casos o efeto de bloqueo na análse de placas e cascas fnas mas pode gerar elementos com modos própros faclmente propagáves em toda malha para váras condções de contorno que dstorcem a solução. Este trabalho apresenta uma formulação do tpo herárquca baseada no conceto de aproxmação p. O prmero nível de aproxmação da solução é obtdo através do elemento soparamétrco quadrlateral quadrátco de 9 nós da famíla Lagrangeana formulado a partr da teora de Ressner-Mndln com ntegração numérca consstente. Para outros níves de aproxmação são realzados sucessvos refnamentos herárqucos 3º 4º e 5º graus com o propósto de retrar a característca de rgdez excessva do elemento soparamétrco na análse de placas e cascas fnas. o processo de refnamento h a malha de elementos é refnada através da dmnução sucessva do tamanho dos elementos. este processo o número e o tpo de funções de nterpolação sobre cada elemento permanecem fxos. A utlzação deste tpo de refnamento tende a aumentar o custo da análse novos nós e elementos têm de ser gerados e produzr erros assocados à subdvsão excessva da malha de dscretzação. Ao contráro no processo de refnamento p herárquco o número e a dstrbução de nós e elementos sobre a malha dscretzada permanecem fxos no entanto o número e o grau das funções de nterpolação são aumentados progressvamente. As matrzes de rgdez produzdas nos estágos anterores àquele da aproxmação pretendda reocorrem e não precsam ser recalculadas. A qualdade de aproxmação da solução e o custo computaconal são vantagens que a versão p herárquca de refnamento oferece em relação à versão h.

3 . FORMULAÇÃO De acordo com Zenkewcz et al. 97 o campo de deslocamento do elemento de casca é nterpolado a partr das funções de forma quadrlateras quadrátcas e é dado por: n n n v t v t β α δ + onde o deslocamento é um vetor coluna de componentes w v e u nas dreções X Y e Z respectvamente de um sstema de referênca global assocado ao elemento e da mesma manera u v e w as componentes do deslocamento δ. este trabalho o campo de deslocamento do elemento de casca será nterpolado a partr das funções de forma quadrlateras quadrátcas de nove nós da famíla Lagrangeana portanto n9. O refnamento da expansão quadrátca especfcada pela Eq. pode ser consegudo adconando-se a ela funções de forma herárqucas M pk de ordem superor a dos Babuska et al. 98. As funções M pk são polnômos de grau p assocados a cada um dos lados do elemento k 3 e 4 ou são polnômos de grau p do tpo bolha assocados ao elemento k este trabalho o refnamento da expansão quadrátca fo feto adconando-se funções de forma herárqucas de 3 o 4 o e 5 o graus. As funções de forma utlzadas foram defndas em termos das ntegras dos Polnômos de Legendre Szabo et al. 99 conforme mostra a Tabela. Tabela. Funções de forma herárqucas de 3 o 4 o e 5 o graus. k k k 3 k 4 k 5 k 6 p 3 p 4 p 5 Desta forma o deslocamento dado pela Eq. para o caso do elemento soparamétrco torna-se: pk k pk p M v t v t δ β α δ para o caso de elemento paramétrco do tpo herárquco. esta expressão pk δ de componentes a pk b pk e c pk segundo os exos X Y e Z do sstema de referênca global é o

4 vetor consttuído dos parâmetros herárqucos. As funções M pk quando nserdas na Eq. não modfcam o nível de aproxmação do elemento mas no entanto a ncógnta δ pk dexa de ter o sgnfcado físco de varável nodal. a realdade as componentes de δ são pk parâmetros dependentes das ncógntas nodas δ α e β. De uma manera compacta a Eq. pode anda ser dada por: { u} [ ] { a} 3 onde { u } é uma matrz consttuída dos deslocamentos u v e w [ ] é uma matrz consttuída das funções de forma e M pk e {a} é uma matrz consttuída dos deslocamentos nodas u v w α e β e dos parâmetros herárqucos a pk b pk e c pk. De acordo com as hpóteses báscas da teora de placa e casca Tmoshenko et al. 959 e em função da solctação do elemento um ponto genérco va apresentar segundo o sstema de referênca local x y z a ele assocado o segunte estado de deformação específca: ε x ε y γ x y γ y z γ x z x 0 y 0 z 0 y x z u 0 v w y x 4 ou anda { } []{ L u } ε 5 onde {ε } é uma matrz coluna consttuída das deformações específcas e dstorções em um ponto genérco do elemento segundo o sstema de referênca local {u } corresponde aos deslocamentos segundo o sstema de referênca local e [L] é o operador lnear. Aplcando o Prncípo do Trabalho Vrtual e o Prncípo de D Alembert chega-se à determnação das matrzes de rgdez e de massa do elemento: [ K ] e T [ B] [ D' ] [ B] J d d d [ M ] e T ρ [ ] [ ] J d d d 6 7 onde [B] é uma matrz que relacona as deformações específcas com os deslocamentos e as rotações nodas [D ] é uma matrz quadrada smétrca consttuída das constantes elástcas do materal J o determnante da matrz jacobano da transformação global-local e ρ a densdade de massa por undade de volume do elemento. De uma forma compacta pode-se escrever a equação que representa o equlíbro do sstema: [ M ] {} [ ] {} { } e a + K e a f e 8

5 onde [M e ] é a matrz de massa do elemento { a } é um vetor coluna consttuído das acelerações nodas e dos parâmetros herárqucos [K e ] é a matrz de rgdez do elemento {a} é um vetor coluna consttuído dos deslocamentos nodas e dos parâmetros herárqucos {f e } é o vetor de carga. Encontradas as equações algébrcas que descrevem as característcas de cada elemento do sstema estrutural o próxmo passo é combná-las para formar um conjunto completo de equações que governe a reunão de todos os elementos. O procedmento de montagem deste conjunto de equações é baseado na necessdade de que o equlíbro se verfque por todo o sstema. Pode-se portanto escrever que: [ M ] {} a + [ K] {} a { f } 9 Esta equação representa o caso geral de vbração forçada para sstemas não amortecdos e se não exstem forças atuantes no sstema tem-se o caso de vbração lvre. Admtndo-se movmento harmônco a Eq.9 pode ser reescrta na segunte forma: [ K] λ [ M] { φ} {} 0 0 onde [ K] e [ M] são as matrzes de rgdez e de massa globas do sstema respectvamente e λ o quadrado da freqüênca angular. Entretanto este problema só pode ser resolvdo após a mposção das condções de contorno do sstema estrutural em análse. Para um sstema estrutural com n graus de lberdade podemos escrever que: [ K] [ Φ] [ M] [ Φ] [ Λ ] onde [ K] e [ M] são as matrzes n n de rgdez e de massa globas do sstema respectvamente [ Λ ] a matrz dagonal n n que contém os n autovalores λ e [ Φ ] [{ φ} { φ } { φ n }] a matrz n n que contém os n autovetores { φ }. O processo de resolução do problema de autovalor generalzado consste na obtenção das matrzes [ ] Φ. Para tanto resolve-se prmeramente o sstema soparamétrco: Λ e [ ] [ K ] [ Φ ] [ M ] [ Φ ] [ Λ ] so so so so so Sendo n so o número de graus de lberdade da análse soparamétrca [K so ] [M so ] [Φso] e [Λ so ] são submatrzes n so x n so correspondentes ao sstema soparamétrco. Pode-se fazer o refnamento da solução obtda através da prmera reanálse do sstema ntroduzndo funções de forma herárqucas de tercero grau: [ Kso] [ Kso h3] [ K ] [ K ] h3 so h3. [ Φso] [ Φso h3] [ Φ ] [ Φ ] h3 so h3 [ Kso] [ Kso h3] [ K ] [ K ] h3 so h3. [ Φso] [ Φso h3] [ Φ ] [ Φ ] h3 so h3 [ Λ so] [ Λ so h3] [ ] [ ] Λ h3 so Λ h3 onde as submatrzes correspondentes ao sstema soparamétrco já foram obtdas anterormente na análse ncal. Sendo nh3 o número total de varáves herárqucas ntroduzdas na prmera reanálse [K soh3 ] [M soh3 ] [Φ soh3 ] e [Λ soh3 ] são submatrzes nso x nh3 correspondentes ao acoplamento entre o sstema soparamétrco e o sstema herárquco relaconado com a prmera reanálse [K h3 ] [M h3 ] [Φ h3 ] e [Λ h3 ] são submatrzes n h3 x n h3 correspondentes ao sstema herárquco para a prmera reanálse. De manera 3

6 semelhante pode-se fazer o refnamento da solução obtda através da segunda reanálse do sstema ntroduzndo funções de forma herárqucas de quarto grau e depos de qunto grau. Como o algortmo desenvolvdo permte que se escolham ndependentemente os lados e elementos a serem refnados os graus das funções de forma herárqucas a serem ntroduzdas bem como as varáves herárqucas de nteresse pode-se ter tantas reanálses quanto se quera. Assm de uma forma geral se se pretender fazer a -reanálse pode-se escrever que: [ K ] [ K ] [ Φ ] [ Φ ] [ ] [ ] [ Φ ] [ Φ ] [ Λ ] [ Λ ] so so h so so M M h so so h so so h so so h [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 4 K K Φ Φ M M Φ Φ Λ Λ h so h h so h h so onde todas as submatrzes anterores àquelas relaconadas com a reanálse já foram obtdas. Sendo nh o número total de varáves herárqucas ntroduzdas na -ésma reanálse [Ksoh] [M soh ] [Φ soh ] e [Λ soh ] as submatrzes n so x n h correspondentes ao acoplamento entre o sstema soparamétrco e o sstema herárquco relaconado com a -ésma reanálse [K h ] [M h ] [Φ h ] e [Λ h ] as submatrzes n h x n h correspondentes ao sstema herárquco relaconado com a -ésma reanálse. h h so h h so h 3. RESULTADOS UMÉRICOS A segur são apresentados alguns resultados numércos onde a confabldade e a efcênca consderando a análse dnâmca de placas e cascas do elemento fnto herárquco proposto são analsadas. Fez-se além da comparação dos resultados obtdos nas análses soparamétrca p e herárquca de 3º grau p3 4º grau e 5º grau a comparação dos resultados obtdos com os elementos fntos 9URI soparamétrco quadrlateral quadrátco de nove nós com ntegração totalmente reduzda e Shell93 dsponível no "software" comercal ASYS 5.4. Todos os resultados obtdos com os város elementos fntos descrtos acma foram comparados com os obtdos analítca ou expermentalmente dsponíves na lteratura. Os resultados apresentados foram normalzados dvdndo-se a freqüênca natural calculada pela freqüênca natural "exata" obtda na lteratura. 3. Casca esférca engastada em uma extremdade Em função da geometra a casca esférca engastada em uma extremdade Fgura a fo modelada com ses malhas de dscretzação de x 3x3 4x4 5x5 6x6 e 7x7 elementos. As Fguras b c d e e f apresentam as cnco prmeras freqüêncas naturas normalzadas Lessa et al. 983 para cada malha de dscretzação e o número de graus de lberdade envolvdos na análse do elemento fnto proposto com seus refnamentos p p3 e e dos outros elementos fntos comparados 9URI e Shell93.

7 Freqüênca normalzada º MODO smétrco p p3 9URI shell93 Freqüênca normalzada a º MODO ant-smétrco p p3 9URI shell93 Freqüênca normalzada úmero de graus de lberdade b 3º MODO smétrco p p3 9URI shell93 Freqüênca normalzada úmero de graus de lberdade c 4º MODO ant-smétrco p p3 9URI shell úmero de graus de lberdade e Freqüênca normalzada úmero de graus de lberdade d 5º MODO smétrco p p3 9URI shell úmero de graus de lberdade f Fgura. Casca esférca engastada em uma extremdade a e suas freqüêncas naturas normalzadas para o º modo b º modo c 3º modo d 4º modo e e 5º modo f. 3. Placa quadrada apoada nos quatro cantos Para verfcar se o elemento fnto com refnamento herárquco gera elementos com modos própros propagáves em toda malha fo feto um teste clássco proposto na lteratura: a análse de uma placa quadrada apoada nos quatro cantos que é extremamente sensível à exstênca de modos própros de flexão. Em função da geometra a placa fo modelada com malha de dscretzação regular de 3x3 5x5 7x7 e 9x9 elementos. A Fgura apresenta as ses prmeras freqüêncas naturas normalzadas Lessa 969 para cada malha de dscretzação e o número de graus de lberdade envolvdos na análse do elemento fnto proposto com seus refnamentos p p3 e e dos outros elementos fntos comparados 9URI e Shell93.

8 Os resultados obtdos com o elementos fntos 9URI e Shell93 estão muto dstantes do "exato" os modos própros se propagam em toda malha dstorcendo a solução e por esta razão os resultados para este elemento não aparecem na Fgura. a Tabela são apresentados os ses prmeros modos de vbrar da placa quadrada apoada nos quatro cantos obtdos a partr do elemento fnto proposto HIERÁRQUICO e do elemento Shell93 ASYS com malhas de dscretzação de 9x9 elementos estes resultados podem ser comparados com os obtdos analtcamente EXATO por Lessa 969. Pode-se verfcar que os modos de vbrar obtdos com o elemento fnto proposto são excelentes enquanto que os obtdos com o elemento Shell93 apresentam o problema de geração de modos própros que dstorcem a solução. Freqüênca normalzada º MODO p p Freqüênca normalzada º MODO p p úmero de graus de lberdade a úmero de graus de lberdade b º MODO p p º MODO p p3 Freqüênca normalzada.0.0 Freqüênca normalzada úmero de graus de lberdade úmero de graus de lberdade c d Freqüênca normalzada º MODO p p3 Freqüênca normalzada º MODO p p úmero de graus de lberdade úmero de graus de lberdade e f Fgura. Freqüêncas naturas normalzadas da placa quadrada apoada nos quatro cantos para o º modo a º modo b 3º modo c 4º modo d 5º modo e e 6º modo f.

9 Tabela. Modos de vbrar da placa quadrada apoada nos quatro cantos. "EXATO" HIERÁRQUICO ASYS º MODO º MODO 3º MODO 4º MODO 5º MODO 6º MODO

10 4. COCLUSÕES A partr dos resultados dos exemplos numércos verfca-se que o refnamento da solução do elemento soparamétrco através da ntrodução de polnômos de tercero p3 quarto e qunto graus apresenta os seguntes resultados: - excelente convergênca com o refnamento da malha; - não apresenta os problemas de bloqueo na análse de placas e cascas fnas; - não gera elementos com modos própros; - com o refnamento da malha os resultados convergem para os obtdos com ntegração reduzda. Enfm pode-se dzer que o elemento fnto proposto consderando a análse dnâmca atende pratcamente todos requstos que devem ser encontrados no desenvolvmento de um elemento fnto confável e efcente para análse de placas e cascas. 5. REFERÊCIAS Babuska I. Szabo B.A. and Katz I.. 98 The p-verson of the fnte element method SIAM J. um. Anal. vol. n.6 pp Bathe K.J. and Dvorkn E A four-node plate bendng element based on Mndln/Ressner plate theory and a mxed nterpolaton Int. J. um. Meth. Engng. vol. pp Bathe K.J. and Dvorkn E A formulaton of general shell elements - the use of mxed nterpolaton of tensoral components Int. J. um. Meth. Engng. vol. pp Cook W.A. 98 The effect of geometrc shape on two-dmensonal fnte elements. CAFEM 6 Proc. 6th Int. Semnar on Computaconal Aspects of the FEM Pars. Lessa A.W. Lee J.K. and Wang A.J. 983 Vbratons of cantlevered doubly curved shallow shells. Int. J. Solds Struct. vol.9 pp Lessa A.W. 969 Vbraton of plates. ASA SP-60 Washngton D.C. Oñate E. 99 Cálculo de estructuras por el método de elementos fntos - análss estátco lneal CIME Barcelona. Park K.C. and Stanley G.M. 986 A curved Cº shell element based on assumed natural-coordnate strans J. Appl. Mech. vol.53 pp Pugh E. Hnton E. and Zenkewcz O.C. 978 A study of quadrlateral plate bendng elements wth reduced ntegraton Int. J. um. Meth. Engng. vol. pp Szabo B.A. and Babuska I. Fnte Element Analyss Wley-Interscence ew York 99. Tmoshenko P. and Wonowsky-Kreger S. 959 Theory of plates and shells. ed. Kogakusha: McGraw-Hll. Verhegghe B. and Powell 986 Control of zero-energy n 9-node plane element Int. J. um. Meth. Engng. vol.3 pp Zenkewcs O.C. 977 The fnte element method 3rd ed. Mcgraw-Hll ew York. Zenkewcz O.C. Irons B.M Scott T.C. Campbell J.S. 97 Three dmensonal stress analyss. Proc. IUTAM Symp. On Hgh Speed Computng of Elastc Structures Lege Belgum vol.0 pp