ESTUDO DA SOLUÇÃO LAJE DE CONCRETO ARMADO SOBRE BASE ELÁSTICA PARA PAVIMENTOS PORTUÁRIOS ATRAVÉS DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

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1 FUDAÇÃO UIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRADE CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EGEHARIA OCEÂICA ESTUDO DA SOLUÇÃO LAJE DE COCRETO ARMADO SOBRE BASE ELÁSTICA PARA PAVIMETOS PORTUÁRIOS ATRAVÉS DO MÉTODO DOS ELEMETOS FIITOS Charle Marcelo Palga Dssertação apresentada à comssão de Curso de Pós-Graduação em Engenhara Oceânca da Fundação Unversdade Federal do Ro Grande, como requsto à obtenção do título Mestre em Engenhara Oceânca. Orentador: Prof.Dr.Mauro de Vasconcellos Real Ro Grande, abrl de 3.

2 Dedco este trabalho aos meus famlares.

3 AGRADECIMETOS Em especal ao professor Mauro de Vasconcellos Real, pelas valosas e constantes orentações, não só no sentdo de desenvolvmento deste trabalho. Pela dedcação para que este trabalho tvesse êto, e pela pacênca, confança e amzade que mostrou durante este período. À todos meus famlares, pelo carnho, apoo e ncentvo. À mnha nova pela pacênca, carnho e amor. Aos colegas de curso. Ao CPq pelo auílo fnancero durante a elaboração deste trabalho. À todos que de alguma forma colaboraram para a realzação deste trabalho. v

4 SUMÁRIO LISTA DE TABELAS... LISTA DE FIGURAS... LISTA DE SÍMBOLOS... RESUMO... ABSTRACT... ITRODUÇÃO.... COSIDERAÇÕES GERAIS.... OBJETIVO E DESCRIÇÃO DO TRABALHO REVISÃO BIBLIOGRÁFICA COTRIBUIÇÃO DO TRABALHO ESTRUTURAÇÃO DO TRABALHO FORMULAÇÃO PARA PLACAS SOBRE BASE ELÁSTICA, ICLUIDO A DEFORMAÇÃO POR CORTE E A ÃO-LIEARIDADE GEOMÉTRICA...9.-ITRODUÇÃO...9.-GEOMETRIA E CARREGAMETO HIPÓTESES QUATO AO CAMPO DE DEFORMAÇÕES....4-DEFIIÇÃO DO CAMPO DE DESLOCAMETOS CÁLCULO DAS COMPOETES DO TESOR DE DEFORMAÇÕES PRICÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS (P.T.V.) AÁLISE ÃO-LIEAR DE PLACAS SOBRE BASE ELÁSTICA PELO MÉTODO DOS ELEMETOS FIITOS ITRODUÇÃO GEOMETRIA DO ELEMETO CAMPO DE DESLOCAMETOS CAMPO DE DEFORMAÇÕES Componentes de deformação nfntesmas Componentes de deformação não-lneares AÇÕES ODAIS E CARREGAMETOS COMPOETES GEERALIZADAS DE TESÃO...36 v

5 3.7-APLICAÇÃO DO PRICÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS CASO PARTICULAR: MATERIAL ELÁSTICO-LIEAR E REGIME DE PEQUEOS DESLOCAMETOS MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMETO ITEGRAÇÃO UMÉRICA SOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES ÃO-LIEARES O método BFGS MODELOS COSTITUTIVOS DOS MATERIAIS ITRODUÇÃO MODELO COSTITUTIVO PARA O COCRETO Deformação unaal equvalente Crtéro de ruptura de KUPFER e GERSTLE Concreto em compressão Concreto em tração Concreto em csalhamento Módulo de deformação por corte reduzdo Cálculo das resultantes de tensões no concreto Cálculo das resultantes de tensões no concreto antes do aparecmento da prmera fssura Cálculo das resultantes de tensões no concreto depos do aparecmento da prmera fssura MODELO COSTITUTIVO PARA O AÇO Cálculo das resultantes de tensões na armadura MODELO DO SOLO PARA AÁLISE DA ITERAÇÃO SOLO-FUDAÇÃO MODELO PARA O COCRETO ARMADO SOBRE BASE ELÁSTICA VALIDAÇÃO DO MODELO ITRODUÇÃO IFLUÊCIA DA DEFORMAÇÃO POR CORTE O COMPORTAMETO DE PLACAS SAPATA RÍGIDA COM CARGA EXCÊTRICA PLACA SOBRE BASE ELÁSTICA (RADIER)...85 v

6 5.5 PLACA QUADRADA COM CARGA COCETRADA E SOB FORÇAS DE COMPRESSÃO AO LOGO DOS BORDOS LAJES DE COCRETO ARMADO Laje de McEICE Laje S de TAYLOR Laje S6 de TAYLOR APLICAÇÃO DO MODELO ITRODUÇÃO PROJETO DA LAJE AÁLISE DA LAJE COSIDERADO DIFERETES COEFICIETES DE REAÇÃO VERTICAL DO TERREO Laje assente sobre solo establzado com cnza de carvão mneral mas cal Laje assente sobre area compactada Laje assente sobre terreno de area de méda compacdade Comparação entre as respostas do sstema lajesolo para os três tpos de solo AÁLISE DA LAJE COSIDERADO DIFERETES ESPESSURAS Laje com espessura de 5cm Laje com espessura de 5cm Laje com espessura de 35cm Comparação entre as respostas do sstema lajesolo para cada espessura da laje AÁLISE DA LAJE PARA DIFERETES VALORES DA RESISTÊCIA CARACTERÍSTICA À COMPRESSÃO DO COCRETO ( f ck ) f ck de MPa f ck de 3MPa f ck de 4MPa Comparação entre as respostas do sstema lajesolo para cada valor de f ck AÁLISE DA LAJE COSIDERADO DIFERETES TAXAS DE ARMADURA Taa de armadura gual a metade da calculada no dmensonamento...3 v

7 6.6. Taa de armadura gual a obtda no dmensonamento à fleão Dobro da taa de armadura Comparação entre as respostas do sstema lajesolo para cada taa de armadura COCLUSÕES E SUGESTÕES GEERALIDADES COCLUSÕES SUGESTÕES PARA APRIMORAMETO DO MODELO...43 REFERÊCIAS BIBLIOGRÁFICAS...44 AEXO A DESCRIÇÃO DO PROGRAMA PSBEL / FORTRA...47 A. ITRODUÇÃO...47 A. DESCRIÇÃO DAS SUBROTIAS...47 A.3 FLUXOGRAMA...49 AEXO B PROCESSO DE SUAVIZAÇÃO DE TESÕES UTILIZADO O MÉTODO DOS MÍIMOS QUADRADOS, PARA ELEMETOS FIITOS PLAOS...5 v

8 LISTA DE TABELAS TABELA 5. Propredades mecâncas e geométrcas: placa crcular engastada TABELA 5. Propredades mecâncas e geométrcas: sapata rígda com carga ecêntrca TABELA 5.3 Propredades mecâncas: rader TABELA 5.4 Momentos fletores M TABELA 5.5 Momentos fletores M... 9 TABELA 5.6 Propredades mecâncas e geométrcas: placa sob forças de compressão... 9 TABELA 5.7 Propredades dos materas e carregamento: laje de McEICE TABELA 5.8 Propredades dos materas e carregamento: laje S de TAYLOR TABELA 5.9 Propredades dos materas e carregamento: laje S6 de TAYLOR TABELA 6. Propredades para dmensonamento da laje...3 TABELA 6. Propredades usadas no tem TABELA 6.3 Propredades usadas no tem TABELA 6.4 Propredades usadas no tem TABELA 6.5 Comparação dos resultados obtdos no tem TABELA 6.6 Propredades usadas no tem TABELA 6.7 Propredades usadas no tem TABELA 6.8 Comparação entre os resultados obtdos no tem TABELA 6.9 Propredades usadas no tem TABELA 6. Propredades usadas no tem TABELA 6. Comparação entre os resultados obtdos no tem TABELA 6. Propredades usadas no tem TABELA 6.3 Propredades usadas no tem TABELA 6.4 Comparação entre os resultados obtdos no tem

9 LISTA DE FIGURAS FIGURA. Equpamento portuáro sobre pavmento em concreto... FIGURA. Equpamento portuáro com patolas... FIGURA.3 Eecução de pavmento portuáro... 3 FIGURA. Geometra da formulação de placas... FIGURA. Campo de deslocamentos na dreção... FIGURA.3 Resultantes de tensões para placas... 7 FIGURA.4 Esforços normas no contorno... FIGURA.5 Momentos fletores e torçores no contorno... FIGURA.6 Esforços cortantes no contorno... FIGURA.7 Sstemas de coordenadas no contorno... FIGURA 3. Carregamento e aspectos geométrcos da placa... 6 FIGURA 3. Geometra do elemento soparamétrco quadrátco... 7 FIGURA 3.3 O método Quas-ewton para o caso undmensonal... 5 FIGURA 4. Deformação unaal equvalente para um materal lnear FIGURA 4. Crtéro de ruptura de KUPFER e GERSTLE FIGURA 4.3 Curva tensão-deformação unaal equvalente para o concreto em compressão... 6 FIGURA 4.4 Curva tensão-deformação do concreto traconado... 6 FIGURA 4.5 Fases do cálculo das tensões no concreto antes da fssuração FIGURA 4.6 Fases de cálculo das tensões no concreto após a fssuração FIGURA 4.7 Modelo consttutvo blnear para o aço... 7 FIGURA 4.8 Cálculo das resultantes de tensões das armaduras FIGURA 4.9 Modelo de Wnkler para o solo FIGURA 5. Placa crcular engastada sob carga unforme FIGURA 5. Influênca da deformação por corte... 8 FIGURA 5.3 Sapata rígda com carga ecêntrca FIGURA 5.4 Pressão de contacto solo-fundação: sapata rígda FIGURA 5.5 Solução analítca: sapata rígda com carga ecêntrca FIGURA 5.6 Rader a ser calculado FIGURA 5.7 Defleões do rader... 86

10 FIGURA 5.8 Pressão de contacto solo-fundação: rader FIGURA 5.9 Momentos fletores M no nteror do rader FIGURA 5. Momentos fletores M no nteror do rader FIGURA 5. Placa quadrada sobre base elástca... 9 FIGURA 5. Curva carga deslocamento do ponto central... 9 FIGURA 5.3 Laje de McEICE FIGURA 5.4 Curvas carga-deslocamento: Laje de McEICE FIGURA 5.5 Laje S de TAYLOR FIGURA 5.6 Curvas carga-deslocamento: Laje S de TAYLOR FIGURA 5.7 Laje S6 de TAYLOR FIGURA 5.8 Curvas carga-deslocamento: Laje S6 de TAYLOR FIGURA 5.9 Comparação das curvas carga-deslocamento... FIGURA 6. Seção transversal... FIGURA 6. Cargas transmtdas ao pavmento... FIGURA 6.4 Pressão de contacto solo laje: tem FIGURA 6.5 Momentos fletores M : tem FIGURA 6.6 Momentos fletores M : tem FIGURA 6.7 Pressão de contacto solo-laje: tem FIGURA 6.8 Momentos fletores M : tem FIGURA Momentos fletores M : tem FIGURA 6. Pressão de contacto solo-laje: tem FIGURA 6. - Momentos fletores M : tem FIGURA 6. - Momentos fletores M : tem FIGURA 6.3 Curvas carga-deslocamento do ponto 88: tem FIGURA 6.4 Pressão de contacto solo-laje: tem FIGURA 6.5 Momentos fletores M : tem FIGURA 6.6 Momentos fletores M : tem FIGURA 6.7 Pressão de contato solo-laje: tem FIGURA 6.8 Momentos fletores M : tem FIGURA 6.9 Momentos fletores M : tem FIGURA 6. Pressão de contacto solo-laje: tem FIGURA 6. Momentos fletores M : tem

11 FIGURA 6. Momentos fletores M : tem FIGURA 6.3 Curvas carga-deslocamento do ponto 88: tem FIGURA 6.4 Pressão de contacto solo-laje: tem FIGURA 6.5 Momentos fletores M : tem FIGURA 6.6 Momentos fletores M : tem FIGURA 6.7 Pressão de contacto solo-laje: tem FIGURA 6.8 Momentos fletores M : tem FIGURA 6.9 Momentos fletores M : tem FIGURA 6.3 Pressão de contacto solo-laje: tem FIGURA 6.3 Momentos fletores M : tem FIGURA 6.3 Momentos fletores M : tem FIGURA 6.33 Curvas carga-deslocamento do ponto 88: tem FIGURA 6.34 Pressão de contacto solo-laje: tem FIGURA 6.35 Momento fletor M : tem FIGURA 6.36 Momentos fletores M : tem FIGURA 6.37 Pressão de contacto solo-laje: tem FIGURA 6.38 Momentos fletores M : tem FIGURA 6.39 Momentos fletores M : tem FIGURA 6.4 Pressão de contacto solo-laje: tem FIGURA 6.4 Momentos fletores M : tem FIGURA 6.4 Momentos fletores M : tem FIGURA 6.43 Curvas carga-deslocamento do ponto 88: tem FIGURA A. Fluograma do programa PSBEL / FORTRA...5 FIGURA B. Tensões suavzadas e não suavzadas...5

12 LISTA DE SÍMBOLOS LETRAS ROMAAS MAIÚSCULAS A A * A e - superfíce ndeformada da placa - superfíce deformada da placa - área do elemento A - vetor de ações nodas não-lneares da estrutura L e L A - vetor de ações nodas não-lneares do elemento A s B B r * B r - área de aço - largura da placa - vetor de forças por undade de volume ndeformado - vetor de forças por undade de volume deformado B - matrz de deformações completa da estrutura B - matrz de deformações nfntesmas B G - matrz de deformações não-lneares D E E co E cs E s E s F - matrz de constantes elástcas - módulo de deformação longtudnal - módulo de deformação longtudnal do concreto, tangente à orgem - módulo de deformação longtudnal do concreto, secante à curva σ c =f(ε c ) - módulo de deformação do aço antes do escoamento - módulo de deformação do aço após o escoamento - força nodal

13 e F - vetor de ações nodas do elemento e eq F - vetor de ações nodas equvalentes do elemento G co G r I - módulo de deformação por csalhamento do concreto, tangente à orgem - módulo de deformação por csalhamento reduzdo do concreto, no plano da fssura - matrz dentdade J - matrz Jacobana do elemento e K - matrz de rgdez do elemento K - matrz de rgdez global da estrutura na orgem K T - matrz de rgdez tangente da estrutura K L M - fator de forma para o csalhamento - comprmento da placa - momento fletor ou torçor por undade de comprmento M ν - momento fletor por undade de comprmento atuante na dreção normal ao contorno M ν s - momento fletor por undade de comprmento atuante na dreção tangencal ao contorno - esforço normal ou tangencal por undade de comprmento - matrz de nterpolação do elemento - função de nterpolação assocada ao nó ν - esforço atuante na dreção normal ao contorno ν s - esforço atuante na dreção tangencal ao contorno v

14 P - vetor de cargas eternas et P s P u Q - pressão de contacto entre o solo e a fundação - valor mámo atngdo para a carga total sobre a laje - esforço cortante por undade de comprmento Q ν ν T r r * (n') T ν U - esforço cortante por undade de comprmento atuante no contorno - vetor de forças por undade de superfíce ndeformada - vetor de forças por undade de superfíce deformada, que na geometra orgnal orentava-se na dreção η - vetor de deslocamentos nodas da estrutura U V e V * W - vetor de deslocamentos nodas do elemento - volume ndeformado da placa - volume deformado da placa - trabalho LETRAS ROMAAS MIÚSCULAS c d e f c f cm f ck f ct f ctm - assocado ao concreto - operador dferencal - assocado ao elemento - resstênca à compressão do concreto - resstênca méda à compressão do concreto - resstênca à compressão característca do concreto - resstênca à tração dreta do concreto - resstênca méda à tração do concreto v

15 f ctk f f m f k g g k h j k o p p - resstênca à tração característca do concreto - resstênca ao escoamento do aço - resstênca méda ao escoamento do aço - resstênca característca ao escoamento do aço - carga dstrbuída permanente - valor característco da carga dstrbuída permanente - espessura da placa - índce - índce - índce, coefcente de reação vertcal do solo - relatvo à orgem, assocado ao valor mámo - força por undade de superfíce - vetor de forças por undade de superfíce q q k r s t s u - carga dstrbuída por undade de superfíce - valor característco da carga dstrbuída acdental - número da teração - dreção tangencal ao contorno, assocado ao aço - espessura equvalente da camada de armadura - vetor de deslocamentos em um ponto qualquer u u ν u s u v - deslocamento na dreção do eo no sstema global - deslocamento na dreção normal ao contorno - deslocamento na dreção tangencal ao contorno - deslocamento na dreção - deslocamento na dreção, vetor de atualzação para o BFGS v

16 w w o z z s - deslocamento na dreção z, vetor de atualzação para o BFGS - flecha correspondente ao mámo valor da carga P - coordenada cartesana local - coordenada cartesana global na dreção - coordenada cartesana local - coordenada cartesana local - posção da camada de aço em relação ao plano médo LETRAS GREGAS MAIÚSCULAS Γ Σ - curva que delmta o contorno da placa - ncremento - somatóro LETRAS GREGAS MIÚSCULAS α γ γ δ δ r - coefcente de correção para o csalhamento, fator de redução de f ct - dstorção, coefcente para o cálculo de tensões após fssuração do concreto - dstorção no nível do plano médo - operador delta (varação) - vetor de ncremento de deslocamentos ε ε ε j - deformação específca aal - deformação específca aal no nível do plano médo - tensor de deformações de Green v

17 ε - vetor de deformações generalzadas ε - vetor de componentes nfntesmas de deformação ε G - vetor de componentes não-lneares de deformação ε co ε cr ε cu ε s ε,ε ε u,ε u - deformação do concreto correspondente à f c - deformação de ruptura do concreto por tração - deformação últma do concreto em compressão - deformação na camada de aço (armadura) - deformações prncpas - deformação unaas equvalentes segundo as dreções de ortrotopa η - coordenada natural do elemento (perpendcular à ξ) θ λ ν ν,ν - rotação da reta normal ao plano médo - esbeltez da laje, coefcente para o cálculo de tensões após fssuração do concreto - coefcente de Posson, vetor normal - cossenos dretores da dreção normal ao contorno ξ - coordenada natural do elemento (perpendcular à η) ρ σ σ,σ σ f,σ f - taa de armadura - tensão normal - tensões prncpas - tensões mámas segundo as dreções de ortrotopa σ j - tensor de pseudo-tensões de Krchhoff σ - vetor de tensões generalzadas v

18 τ τ j ω φ χ ψ - tensão tangencal - tensor de tensões de Cauch - parâmetro de rotação - dstorção provocada pelo esforço cortante - curvatura da placa - vetor de desequlíbro

19 RESUMO Os pavmentos dos portos normalmente estão sujetos à cargas de grande ntensdade. Quando a posção da carga é fa, pode-se adotar a solução de estaqueamento, como é feto sob as bases dos gundastes fos, por eemplo. Contudo, quando a posção das cargas é varável, como nos pátos de armazenamento de contêneres e nos locas de trânsto das emplhaderas e gundastes móves, uma solução em pavmento de concreto deve ser adotada. Dependendo da ntensdade das cargas este pavmento de concreto deverá ser armado. O objetvo deste trabalho é estudar o comportamento de lajes de concreto armado apoadas dretamente no solo (base elástca) sob a ação de cargas dstrbuídas e concentradas, devdas à equpamentos portuáros, empregando o método dos elementos fntos. O concreto é modelado através de elementos fntos soparamétrcos quadrátcos de oto nós, no qual a formulação de placas de Mndln e o estado plano de tensões são combnados. O modelo consttutvo do concreto é bdmensonal, e nclu o comportamento não-lnear do materal e a fssuração. A armadura é consderada como uma camada mas rígda dentro do elemento de concreto, que apenas resste a esforços aas na dreção das barras. Através do Prncípo dos Trabalhos Vrtuas é ncluída uma base elástca contínua sob todo o elemento, para representar o solo. O modelo fo testado comparando seus resultados com resultados numércos e epermentas obtdos por outros autores. É apresentado um estudo de caso de pavmento portuáro submetdo à cargas de grande ntensdade, onde foram testadas váras varáves como espessura da placa, resstênca à compressão do concreto, taa de armadura e coefcente de reação vertcal do solo. Palavras Chave: elementos fntos, concreto armado, lajes, base elástca, pavmento, porto

20 ABSTRACT Ports pavements are usuall subjected to heav equpment loads. When the loadng poston s fed, the ple foundaton soluton can be adopted, under the bass of fed cranes, for eample. However, when the loadng poston s varable, as n contaner storage areas and n places subjected to movable cranes and stackers traffc, a soluton n concrete mat foundaton should be adopted. Dependng on the loadng ntenst, ths concrete slab should be renforced. The objectve of ths work s to stud the behavor of renforced concrete mat foundatons under the acton of dstrbuted and concentrated loads due to port equpments usng the fnte element method. The mat s modeled through soparametrc eght node elements, n whch Mndln plate bendng and plane stress state formulatons are combned. The concrete consttutve model s two-dmensonal and ncludes materal s non-lnear behavor and crackng. The renforcement s consdered as a stffer laer nsde the concrete element resstng onl to aal forces n the bars drecton. In order to represent the sol, a contnuous elastc base s ncluded under the whole element. The computatonal program was tested aganst numercal and epermental results obtaned b other authors. A case of stud consderng a port pavement submtted to large loads s presented. Mat foundaton thckness, concrete compressve strength, renforcement rate and sol s coeffcent of sub grade reacton were taken as varables and tested. Ke-words: fnte elements method, renforced concrete, mat foundaton, port

21 ITRODUÇÃO. COSIDERAÇÕES GERAIS a área portuára, tem-se a presença de cargas (normalmente concentradas) de grande ntensdade, atuando usualmente sobre solos de baa capacdade de carga. Quando as cargas são fas, ou quando há a presença de equpamentos que trabalham sobre trlhos, como gundastes de pórtco, por eemplo, pode se adotar uma solução em estacas. Porém, quando as cargas são móves, ou seja, quando há ações varáves normas provenentes de veículos, equpamentos móves, rodas, esteras ou pneus, a solução adotada deverá ser de pavmento em placa de concreto, ou, dependendo da ntensdade das cargas, pavmento em placa de concreto armado. É nteressante adotar-se uma solução para melhorar as propredades do solo no qual a placa será assentada. Para um solo em area, uma solução é a establzação com uma mstura de cnza de carvão mneral mas cal. Outra solução para a melhora da resstênca do solo é adconar uma camada de concreto compactado a rolo sobre o mesmo. Estas soluções tornam o projeto mas econômco, pos é possível adotar-se espessuras menores para a placa. a FIGURA. é apresentado um equpamento portuáro operando sobre um pavmento em concreto com espessura de 3cm. As cargas são transmtdas ao pavmento através das rodas.

22 FIGURA. Equpamento portuáro sobre pavmento em concreto a FIGURA. é apresentado outro equpamento portuáro, na qual é nteressante observar outro método de transmssão das cargas ao pavmento, através de patolas, as quas entram em contato com o pavmento quando o equpamento está em operação. FIGURA. Equpamento portuáro com patolas

23 3 a FIGURA.3, é apresentada a eecução de juntas de dlatação no pavmento portuáro em concreto. FIGURA.3 Eecução de pavmento portuáro. OBJETIVO E DESCRIÇÃO DO TRABALHO O objetvo deste trabalho é estudar o comportamento de lajes de concreto armado apoadas dretamente no solo (base elástca) sob a ação de cargas dstrbuídas e concentradas, devdas a equpamentos portuáros, empregando o método dos elementos fntos, e fazendo-se uma combnação entre a teora de placas espessas de Mndln e um estado plano de tensões. O concreto é modelado através de elementos fntos soparamétrcos quadrátcos de oto nós. O modelo consttutvo do concreto é bdmensonal, e nclu o comportamento nãolnear do materal e a fssuração. A armadura é consderada como uma camada mas rígda dentro do elemento de concreto, que apenas resste a esforços aas na dreção das barras. Através do Prncípo dos Trabalhos Vrtuas é ncluída uma base elástca contínua sob todo o elemento para representar o solo, através da hpótese de Wnkler.

24 4 O modelo fo testado comparando seus resultados com resultados teórcos e epermentas obtdos por outros autores. É apresentado um estudo de caso de pavmento portuáro submetdo à cargas de grande ntensdade, onde foram testadas váras varáves como espessura da placa, resstênca à compressão do concreto, taa de armadura e coefcente de reação vertcal do solo..3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Entre os trabalhos clásscos na área de placas sobre base elástca, pode ser ctado TIMOSHEKO (959), no qual podem ser encontradas as soluções analítcas para dversos casos, como placas crculares, com ou sem furo, sujetas à cargas concentradas e dstrbuídas transversalmente ao plano médo da mesma, placas contínuas e placas retangulares com todas as quatro etremdades smplesmente apoadas. Também podem ser encontradas as soluções para grandes placas carregadas em pontos eqüdstantes ao longo do eo por cargas concentradas. A solução para placas com cargas concentradas em pontos eqüdstantes ao longo de eos paralelos aos eos de referênca e, sendo que cada carga é dstrbuída unformemente sobre uma pequena área retangular, também é mostrada. Em BOWLES (974), são apresentados dos programas computaconas para a análse de placas quadradas ou retangulares sobre base elástca. o prmero programa, é empregado o método das dferenças fntas para a solução do problema, já no segundo, é empregado o método dos elementos fntos, sendo que após, é feta uma comparação entre os dos métodos adotados na solução. Em HETÉYI (979), podem ser encontradas as soluções analítcas para dversos casos de vgas sobre base elástca, como vgas de comprmento nfnto, vgas de comprmento fnto, dversos casos de carregamentos, como cargas concentradas em qualquer ponto sobre o eo da vga, cargas dstrbuídas ao longo de todo eo da vga ou em trechos, cargas momento e cargas trangulares. Também são encontradas soluções analítcas para dversos tpos de vínculos.

25 5 Já em HAH (98), encontram-se algumas equações para o cálculo dos momentos em placas sobre base elástca com carga concentrada em três pontos dstntos: carga no centro da placa, carga em um bordo da placa e carga em um vértce da placa. Entre outros autores que analsaram o problema de contato unlateral entre a fundação e a base elástca, pode-se ctar WEITSMA (97), que apresentou uma formulação varaconal para análse de placas e vgas sujetas a uma carga concentrada, com a base elástca modelada segundo a hpótese de Wnkler. SVEC (976), no qual é apresentada uma análse de placas espessas através do método dos elementos fntos, com elementos trangulares de placa. LI e DEMPSEY (988), apresentaram uma solução para o problema de contato unlateral sem atrto entre uma placa quadrada sujeta a uma carga vertcal e um sem-espaço nfnto, onde o solo também fo modelado através da hpótese de Wnkler. Como publcações mas recentes pode-se ctar LIEW et al. (996), na qual são analsadas placas retangulares sobre solo de Wnkler, usando-se uma formulação com base na teora de placas espessas de Mndln. As placas estão sujetas a combnações nas condções de contorno, entre bordos lvres, smplesmente apoados e engastados, e as soluções para o problema são obtdas usando o método da quadratura dferencal. ERATIL e AKÖZ (997), apresentaram uma formulação para placas espessas através do método dos elementos fntos, usando elementos retangulares e trangulares. Em VELLOSO e LOPES (997), são apresentados métodos para o cálculo dos esforços nternos no rader, como o método estátco, cálculo como um sstema de vgas sobre base elástca, método da placa sobre solo de Wnkler, método do Amercan Concrete Insttute, método das dferenças fntas, e método dos elementos fntos. Em SILVA (998), tanto a placa quanto à base elástca são dscretzadas através do método dos elementos fntos. São analsadas placas com restrções blateras (o solo oferece reação quando comprmdo e traconado) e unlateras (o solo oferece reação somente quando comprmdo) de contato, e são ntroduzdos város modelos para a base elástca, estando

26 6 presente o modelo de Wnkler. Fnalmente, VITORETI (3), estudou a nteração solo-fundação para sapatas contínuas sob estado plano de deformação, através do método dos elementos fntos. Foram analsados dversos fatores como tpo de solo, altura da sapata, rgdez relatva entre o solo e a sapata, etc..4 COTRIBUIÇÃO DO TRABALHO Este trabalho basea-se em REAL (99), que trata da análse não-lnear físca e geométrca de lajes de concreto armado, através do método dos elementos fntos. Uma base elástca fo ntroduzda no problema sob todo o elemento de placa, para representar o solo. O modelo para o concreto passou a ser representado como bdmensonal, para levar em conta o efeto de Posson. A solução do sstema de equações não-lneares, que surgem no problema por causa da possbldade de ocorrerem grandes deslocamentos e por causa do comportamento mecânco não-lnear do materal, é resolvdo através do método BFGS, sendo sua efcênca comprovada em relação a outros métodos computaconas para resolução de sstema de equações não-lneares (STRICKLI et al., 973). As tensões generalzadas passaram a ser obtdas também nos pontos nodas da placa e não apenas nos pontos amostras de ntegração de Gauss. O processo adotado é o de suavzação de tensões, utlzando o método dos mínmos quadrados para elementos fntos planos, sendo que este processo está apresentado no AEXO B. Houve também um aumento na capacdade de análse com o aumento no dmensonamento de matrzes e vetores envolvdos no problema. Cabe também ressaltar os melhoramentos na entrada e saída de dados do programa. Com tudo sso, chegou-se a um modelo capaz de analsar placas de concreto armado sobre base elástca consderando a não-lneardade físca e geométrca, com aplcações em

27 7 estruturas portuáras..5 ESTRUTURAÇÃO DO TRABALHO Este trabalho é dvddo em sete capítulos, sendo que este, é o prmero. o Capítulo, é desenvolvda uma formulação analítca para placas sobre base elástca nclundo a deformação por corte e a ocorrênca de grandes deslocamentos. A partr da aplcação do Prncípo dos Trabalhos Vrtuas são estabelecdas as equações de equlíbro e as condções de contorno. o Capítulo 3, é desenvolvda uma formulação para análse não-lnear de placas sobre base elástca através do Método dos Elementos Fntos. ovamente utlzando-se o Prncípo dos Trabalhos Vrtuas, chega-se à um sstema de equações não-lneares de equlíbro ndependente da equação consttutva do materal. Como caso partcular, são obtdas as equações de equlíbro para um materal elástco lnear no regme de pequenas defleões. Fnalmente, é analsada a solução do sstema de equações não-lneares através do método BFGS, com o uso de lne-searches. Os modelos consttutvos dos materas concreto, aço e solo, são descrtos no Capítulo 4. O modelo consttutvo bdmensonal para o concreto é baseado no modelo proposto por DARWI (977), empregando-se o conceto de deformação unaal equvalente e o crtéro de ruptura bdmensonal de KUPFER e GERSTLE (973). Para o concreto traconado, após a fssuração, adota-se uma curva de tenson-stffenng, para levar em conta a colaboração do concreto entre fssuras na resstênca à tração. A rgdez ao corte no plano da fssura também é consderada. O aço é modelado como um materal elasto-plástco perfeto ou com um endurecmento lnear, após o escoamento. O solo é modelado como um materal elastoplástco, reagndo apenas quando comprmdo. o Capítulo 5, é feta a comprovação epermental do modelo de elementos fntos, comparando-se análses numércas com soluções analítcas ou com resultados epermentas. O Capítulo 6 apresenta um estudo de caso de pavmento portuáro submetdo à cargas

28 8 de grande ntensdade. As propredades mecâncas do solo são melhoradas através da aplcação de uma camada de cnza de carvão mneral cal sobre o solo compactado. Foram testadas váras varáves como rgdez do solo, espessura da placa, resstênca à compressão do concreto e taa de armadura. As conclusões obtdas durante a elaboração e a aplcação deste modelo para análse de estruturas de concreto armado sobre uma base elástca são resumdas no Capítulo 7. Também são sugerdos futuros desenvolvmentos para o modelo.

29 9 - FORMULAÇÃO PARA PLACAS SOBRE BASE ELÁSTICA, ICLUIDO A DEFORMAÇÃO POR CORTE E A ÃO-LIEARIDADE GEOMÉTRICA.-ITRODUÇÃO As placas são elementos estruturas planos nos quas duas dmensões, denomnados lados, são muto maores que a tercera dmensão defnda como espessura. O objetvo de se desenvolver uma formulação específca para a análse de placas é reduzr um problema, ncalmente compleo e dependente das coordenadas no espaço, a um problema mas smples, função apenas das coordenadas contdas no plano médo da placa. Assm sendo, partndo-se das equações fundamentas da Mecânca dos Sóldos e estabelecendo-se hpóteses a cerca do campo de deslocamentos, passa-se de um problema trdmensonal a um problema plano. A partr da aplcação do Prncípo dos Trabalhos Vrtuas são deduzdas as equações de equlíbro e as condções de contorno. A base elástca é ntroduzda na formulação através da sua reação dstrbuída sob todo elemento, sto se dá através da nclusão do termo kw no Prncípo dos Trabalhos Vrtuas, como será mostrado posterormente. Devdo à nclusão da possbldade de ocorrerem grandes defleões, as equações de equlíbro e as condções de contorno obtdas serão dependentes do própro campo de deslocamentos, resultando daí a não-lneardade de orgem geométrca..-geometria E CARREGAMETO A FIGURA. descreve a geometra básca envolvda na formulação. Incalmente, estabelece-se um sstema global de coordenadas cartesanas ortogonas 3, stuado em um ponto qualquer do espaço. O deslocamento de um ponto qualquer referdo a este sstema, é descrto por três componentes, as quas são: u, u e u 3, respectvamente.

30 A segur é fado um sstema de referênca local z, sendo que os eos e, bem como a orgem do sstema, encontram-se stuados sobre a superfíce méda da placa. Deve-se observar anda que os eos, e z são paralelos aos eos,, e 3 respectvamente, e possuem os mesmos sentdos defndos como postvos. Seja, então, a placa mostrada na FIGURA., apoada sobre uma base elástca, cuja espessura é h e cujo contorno é descrto por uma curva regular Γ=Γ(,). O carregamento eterno é formado pela carga p(,), que atua por undade de superfíce, na dreção normal ao plano médo da placa. o contorno, podem atuar forças normas por undade de comprmento ν e também forças tangencas por undade de comprmento ν s. 3 θ z FIGURA. Geometra da formulação de placas O campo de deslocamentos em relação ao sstema global será defndo a partr das componentes de deslocamento do plano médo da placa u,v e w nas dreções, e z; bem como através das rotações da reta normal á superfíce méda nos planos z e z, θ e θ, respectvamente.

31 .3-HIPÓTESES QUATO AO CAMPO DE DEFORMAÇÕES Antes de formular as hpóteses quanto ao campo de deformações, que se desenvolve na placa pela aplcação do carregamento eterno, tratar-se-á de algumas defnções fundamentas da Mecânca dos Sóldos. Adotar-se-á, sempre que necessáro, a notação tensoral, na qual os índces,j e k assumem sucessvamente os valores, e 3, e os índces repetdos (mudos) ndcam um somatóro. Consderando-se a possbldade de ocorrerem deformações fntas, deve-se utlzar o tensor de deformações de Green ε j completo dado por ε j = ( u, j u j, uk, uk, j ) (.) Os parâmetros de rotação ω j, no caso de grandes deformações, não representam os ângulos de rotação propramente dtos, porém são apenas proporconas a estes, sendo defndos por ω j = ( u, j u j, ) (.) A partr destas defnções, são estabelecdas as seguntes hpóteses: ou seja, I - As deformações ε j e os parâmetros de rotação ω j são muto menores que a undade, ε j <<, e ω j <<,. (.3) Esta afrmação traz como conseqüênca, que os efetos de alteração de geometra durante a deformação podem ser desprezados na defnção das componentes de tensão e nos lmtes de ntegração necessáros para consderações de trabalho e energa.

32 II Consdera-se que as deformações sejam muto menores que as rotações, portanto ε j << ω j <<,. (.4) É possível, então, demonstrar(dym e SHAMES, 977) que as componentes do tensor de deformações fntas podem ser dadas pela epressão ε j = ( u, j u j, ) ω kω kj (.5) III Lnhas retas e normas ao plano médo da placa na geometra orgnal, após a deformação permanecem retas, porém não necessaramente normas à superfíce deformada. Esta não-ortogonaldade se deve a presença das dstorções φ e φ nos planos z e z, respectvamente, devdo à atuação do esforço cortante, conforme é mostrado na FIGURA.. Esta hpótese é a base da Teora de Placas de MIDLI(95). θ φ θ FIGURA. Campo de deslocamentos na dreção

33 3 Assm sendo, tem-se que w w = θ φ e = θ φ (.6).4-DEFIIÇÃO DO CAMPO DE DESLOCAMETOS A partr das hpóteses formuladas no tem anteror, pode-se estabelecer que o campo de deslocamentos seja fornecdo através das equações u (,, 3 )=u(,)-zθ (,) (.7) u (,, 3 )=v(,)-zθ (,) (.8) u 3 (,, 3 )=w(,) (.9) Desta forma, o campo de deslocamentos no sstema global fca completamente defndo em função das componentes de deslocamento do sstema local, stuado sobre o plano médo da placa..5-cálculo DAS COMPOETES DO TESOR DE DEFORMAÇÕES Antes de se proceder ao cálculo das componentes de deformação, é necessáro analsar os parâmetros de rotação ω j. O parâmetro de rotação ω aproma um ângulo de rotação em torno do eo z, conforme pode ser mostrado para deformações nfntesmas, enquanto que ω 3 e ω 3 são proporconas aos ângulos de rotação em torno dos eos e, respectvamente. Se a placa for sufcentemente esbelta, pode-se afrmar que ω << ω 3 e ω << ω 3 (.) logo o parâmetro ω pode ser desprezado em presença de ω 3 e de ω 3.

34 4 Baseando-se nas consderações anterores, utlzando-se as equações (.7)-(.9) para o campo de deslocamentos e empregando-se as relações deformação-deslocamento dadas por (.5), chega-se às seguntes epressões para as componentes de deformações fntas (REAL, 99) = w z u θ ε (.) w w z u = θ θ ε (.) = w θ ε 3 (.3) = w z v θ ε (.4) = w θ ε 3 (.5) = 33 w w ε (.6).6-PRICÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS (P.T.V.) O emprego do Prncípo dos Trabalhos Vrtuas, daqu a dante P.T.V., é convenente, pos permte a obtenção das equações de equlíbro e das condções de contorno para o problema de forma ndependente da equação consttutva do materal. As equações obtdas através deste processo serão váldas, portanto, para um materal como o concreto armado, que possu um acentuado comportamento não-lnear. A epressão geral para o P.T.V., com a consderação de deformações fntas é dada

35 5 por DYM e SHAMES(977) ν * * * ( n') * B δu dv T δu da = r σ j δε * * j V A V dv (.7) onde: V * = volume da placa após a deformação; A * = superfíce da placa após a deformação; V = volume orgnal da placa; A = superfíce orgnal da placa; δ u = vetor de deslocamentos vrtuas compatível e consstente com as condções de contorno do problema; * B = vetor de forças de volume referdo ao volume deformado da placa; r * ( n') T ν = vetor de forças de superfíce, referdo a superfíce deformada da placa, que na geometra orgnal possuía a orentação do eo η; σ j = tensor de pseudo-tensões de Pola-Krchhoff II; δε j = tensor de deformações vrtuas compatível e consstente com as condções de contorno do problema. Tendo-se em conta as hpóteses que foram fetas em relação ao campo de deformações, é possível adotar as seguntes smplfcações: I O volume deformado da placa é muto prómo do volume ndeformado, logo V * V (.8) II A superfíce deformada da placa permanece pratcamente gual à superfíce na geometra orgnal, portanto A * = A (.9) III Como conseqüênca das duas afrmações anterores, as pseudo-tensões de Pola-

36 6 Krchhoff II podem ser tomadas como guas ao tensor de tensões referdo de forma clássca ao sstema orgnal ndeformado, então σ j τ j (.) e segundo a mesma lnha de racocíno, as forças podem ser referencadas também ao sstema ndeformado, resultando r ν r ν * ( T n ') T = (.) e * B B (.) onde ν T v = vetor de forças por undade de superfíce ndeformada; B = vetor de forças por undade de volume ndeformado. O P.T.V pode, então, ser escrto de forma smplfcada r ν τ j δε j A V B δu dv T δu da = V dv (.3) Antes de se desenvolver o P.T.V., recuperar-se-á a hpótese da Teora de Placas de Krchhoff, a qual assegura que as tensões normas ao plano médo da placa, τ 33, podem ser desprezadas em presença das demas componentes do tensor de tensões. Assm sendo, o trabalho vrtual realzado pelas forças nternas será dado por δ h W = = nt τ j δε j dv kwδw da A h ( τ δε τ δε τ δε τ 3δε3 V A - 3 τ 3 δε ) dzda kwδw da (.4) A

37 7 a equação (.4) a prmera ntegral representa o trabalho vrtual no volume da placa, e a segunda é a parcela do trabalho devdo à base elástca, sendo k o coefcente de reação vertcal do solo e w o afundamento. Substtundo-se as epressões para as componentes de deformação obtdas em (.)- (.6) { = A h h w w w w z v u w w z u W nt δ δ δθ δθ δ δ τ δ δθ δ τ δ } A da w kw dzda w w w z v w δ δθ δ τ δ δθ δ τ δθ δ τ 3 3 (.5) Introduzndo aqu as defnções clásscas das resultantes de tensões para placas, conforme a FIGURA.3, e lembrando que as tensões referdas ao sstema global 3 são dêntcas àquelas referdas ao sstema local z, tem-se que FIGURA.3 Resultantes de tensões para placas

38 8 h = h τ dz, h = h τ dz, h = h h M = h τ z dz, h M = h τ z dz, h = h h Q = h τ zdz, h = h z τ dz (.6) M τ z dz (.7) Q τ dz. (.8) Determna-se então a segunte epressão para o trabalho vrtual nterno W δ nt δu w δw δθ = { M A δu δv δw w w δw M δθ δθ δv w δw M δθ Q δw δθ Q δw δθ kwδw }da (.9) O trabalho vrtual realzado pelas forças eternas será calculado através da equação δw et p(, ) δw d d δuν ds = ν s δus A Γ Γ ν ds (.3) onde ds é um elemento de comprmento ao longo da curva Γ, u ν é a componente de deslocamento na dreção normal à curva Γ, u s é a componente de deslocamento na dreção tangencal à curva Γ, ν são forças normas por undade de comprmento, no contorno, ν s são forças tangencas por undade de comprmento, no contorno.

39 9 O P.T.V. estabelece a condção necessára e sufcente para o equlíbro do corpo deformável na forma δw nt - δw et = (.3) Substtundo-se as defnções de δw nt e δw et segundo as equações (.9) e (.3), chega-se à A w w w w v u M w w u { δ δ δ δ δθ δ δ w Q w Q M w w v M δθ δ δθ δ δθ δ δ δθ δθ kwδw } dd Γ Γ = A s s ds u ds u w d d ) p(, δ δ δ ν ν ν (.3) Através da aplcação sucessva do Teorema de Green de forma a elmnar os deslocamentos vrtuas δu, δv, δw, δθ e δθ das epressões que envolvem dervadas parcas e reagrupando os termos em função destes, resulta que A w w w w v u { δ δ dd Q M M Q M M w kw p Q Q } ), ( δθ δθ δ [ ] [ ] w w w w w v u { δ ν ν ν ν δ ν ν δ ν ν Γ [ ] [ ] [ ] ds u - ds M M M M w Q Q Γ ν ν δ δθ ν ν δθ ν ν δ ν ν } Γ = ds u s s δ ν (.33)

40 o contorno Γ, pode-se demonstrar(dym e SHAMES, 977) a valdade das seguntes epressões, que são lustradas através das FIGURAS.4,.5 e.6. FIGURA.4 Esforços normas no contorno ν ν ν ν ν = (.34) νs ( ) ν ν ( ν ν ) = (.35) FIGURA.5 Momentos fletores e torçores no contorno

41 M ν M ν M ν ν M ν = (.36) M νs ( M M ) ν ν M ( ν ν ) = (.37) FIGURA.6 Esforços cortantes no contorno Q ν ν = Q Q ν (.38) o que dz respeto ao campo de deslocamentos, no contorno é possível estabelecer as seguntes relações u = u ν u ν, (.39) ν s v = u ν u ν, (.4) ν s θ = θνν θ ν, (.4) s θ = θν ν θ ν. (.4) s

42 Além dsso, eamnando uma pequena etensão do contorno Γ=Γ(,), pode-se far as seguntes epressões em função dos sstemas de coordenadas mostrados na FIGURA.7. FIGURA.7 Sstemas de coordenadas no contorno (.43) s = ν ν ν (.44) As equações de (.34) a (.44) podem ser substtuídas nas ntegras de lnha da equação (.33) como artfíco para se chegar a uma epressão fnal mas smples para o P.T.V. na forma A w w w w v u { δ δ dd Q M M Q M M w kw p Q Q } ), ( δθ δθ δ [ ] [ ] ds M M w Q s w w u u { s s s s s s = Γ } δθ δθ δ ν δ δ ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν (.45) s = ν ν ν

43 3 Como o campo de deslocamentos pode ser arbtráro, é possível fazer-se sucessvamente um dos deslocamentos vrtuas gual à undade e consderar smultaneamente os demas como sendo nulos; resultando deste processo as equações de equlíbro e as condções de contorno que regem o problema. Desta forma, tem-se que no nteror da superfíce delmtada pela curva regular Γ=Γ(,), são váldas as seguntes equações dferencas de equlíbro: = (.46) = (.47) w w w w Q Q p(, ) kw = (.48) M M Q = (.49) M M Q = (.5) Ao longo da curva Γ=Γ(,), que delmta a placa, valem as seguntes condções mecâncas ou cnemátcas de contorno (REAL, 99) Condções Mecâncas Condções Cnemátcas = ou u ν = uν (.5) ν ν ν s = ν s ou s s u = u (.5)

44 4 w w ν ν s Qν = ou w = w (.53) ν s M ν = ou θ ν = θν (.54) M ν s = ou θ s = θ s (.55) Como se pode observar, as equações de equlíbro (.46)-(.5) e as condções de contorno (.5)-(.55) resultam dependentes do campo de deslocamentos, que é justamente a prncpal ncógnta do problema, tratando-se portanto, desde o prncípo, de uma formulação não-lnear de orgem geométrca.

45 5 3 - AÁLISE ÃO-LIEAR DE PLACAS SOBRE BASE ELÁSTICA PELO MÉTODO DOS ELEMETOS FIITOS 3.-ITRODUÇÃO O objetvo deste capítulo é estabelecer uma formulação para análse não-lnear de placas sobre base elástca através do Método dos Elementos Fntos, daqu a dante M.E.F., com solução em deslocamentos. Incalmente é feta a descrção do elemento fnto utlzado e de suas funções de nterpolação. A partr das relações entre as componentes de deformação generalzadas e os deslocamentos, obtém-se a matrz de deformações do elemento. A segur é defndo o vetor de componentes generalzadas de tensões. Fnalmente aplca-se o Prncípo dos Trabalhos Vrtuas, deduzndo-se então o sstema de equações não-lneares de equlíbro que governa o problema. Encerrando o capítulo, apresenta-se como caso partcular a solução do problema quando se trata de um materal elástco-lnear, dentro do regme de pequenos deslocamentos. Aborda-se então o cálculo da matrz de rgdez do elemento e a questão da ntegração numérca. Deve-se salentar que esta formulação lnear apenas servrá para o ajuste ncremental-teratvo do sstema de equações não-lneares, através do algortmo desenvolvdo no fnal deste capítulo. 3.-GEOMETRIA DO ELEMETO Seja a placa representada na FIGURA 3. através de seu plano médo apoada sobre uma base elástca, e que se encontra submetda a um carregamento formado pelas forças por undade de superfíce p, p e p z atuando respectvamente nas dreções, e z. O M.E.F. consste em dvdr o plano médo da placa em elementos de superfíce (elementos fntos), que estão conectados entre s por meo de pontos nodas. a solução em deslocamentos, as ncógntas do problema são os deslocamentos dos pontos nodas, sendo as tensões no nteror do elemento e as reações de apoo calculadas a partr destes.

46 6 a FIGURA 3. é mostrada uma possível dscretzação da placa em elementos fntos de oto nós. pz p p FIGURA 3. Carregamento e aspectos geométrcos da placa este trabalho serão empregados elementos soparamétrcos quadrátcos, de oto nós, da famíla Serendpt, cuja geometra se encontra descrta na FIGURA 3.. Como sstema de referênca local do elemento é adotado um sstema de coordenadas curvlíneas ξ e η. Os pontos nodas se encontram numerados de a 8. Os elementos soparamétrcos quadrátcos são muto versátes, pos permtem dscretzar placas com contornos curvlíneos, além de sua ecelente performance estar comprovada em dversos estudos(hito, 977; OWE, 98; ZIEKIEWICZ, 989).

47 7 Posção dos pontos de ntegração de Gauss FIGURA 3. Geometra do elemento soparamétrco quadrátco 3.3-CAMPO DE DESLOCAMETOS O prmero passo em uma análse de placas através do M.E.F. em deslocamentos é descrever de forma únca o campo de deslocamentos no nteror do elemento como função dos deslocamentos dos pontos nodas. Isto é feto medante o emprego de funções de nterpolação. Assm sendo, o vetor de deslocamentos é calculado por u em ponto qualquer no nteror do elemento e u = U (3.) onde u = { u, v, w,θ,. (3.) T θ } A matrz, denomnada matrz de nterpolação do elemento, é da ordem de 54, sendo defnda por = [,,...,,..., ], (3.3) 8

48 8 onde é uma submatrz 55, dada pelo produto de nterpolação correspondente ao nó e ( ξ, η) * I, no qual ( ξ, η) 5 I é uma matrz dentdade é a função O vetor de deslocamentos nodas do elemento e U é defndo por U e T = { U, U,..., U,..., U }, (3.4) 8 onde U é o vetor de deslocamentos do nó, dado por U T = { u, v, w, θ, θ }. (3.5) O elemento soparamétrco é aquele no qual são empregadas as mesmas funções tanto para nterpolar a geometra, quanto para nterpolar os deslocamentos. Desta forma, adotandose o sstema de coordenadas naturas ( ξ, η) no elemento, as coordenadas cartesanas ( ξ, η) e ( ξ, η) em um ponto dentro do elemento são fornecdas pelas epressões 8 ( ξ, η) = ( ξ, η) (3.6) = 8 ( ξ, η) = ( ξ, η) (3.7) = onde e são as coordenadas cartesanas do nó. As funções de nterpolação quadrátcas bdmensonas da famíla Serendpt ( ξ, η), são as seguntes ( ξ, η) = ( ξ )( η)( ξ η), (3.8) 4

49 9 ( ξ, η) = ( ξ )( η), (3.9) 3( ξ, η) = ( ξ )( η)( ξ η ), (3.) 4 4 ( ξ, η) = ( ξ )( η ), (3.) 5 ( ξ, η) = ( ξ )( η)( ξ η ), (3.) 4 6 ( ξ, η) = ( ξ )( η), (3.3) 7 ( ξ, η) = ( ξ )( η)( ξ η ), (3.4) 4 8 ( ξ, η) = ( ξ )( η ), (3.5) sendo que a numeração dos nós corresponde a da FIGURA 3.. Cada função de nterpolação deve assumr o valor untáro quando são fornecdas as coordenadas do nó que lhe corresponde e deve anular-se, quando forem dadas as coordenadas de outro nó. Em um ponto qualquer no nteror do elemento, a soma dos valores das funções de nterpolação para as coordenadas deste ponto deve ser gual à undade. 3.4-CAMPO DE DEFORMAÇÕES o estudo de placas através do M.E.F. é vantajoso trabalhar-se com componentes generalzadas de deformação, que são função apenas das coordenadas contdas no plano médo da placa. Deste modo, o vetor de deformações generalzadas ε pode ser epresso por

50 3 T = { ε, ε, ε,ε } (3.6) P F C S ε onde ε é um vetor contendo as componentes de deformação correspondentes a um estado P plano de tensões, dado por T = { ε, ε γ }, (3.7) P ε, ε é um vetor que contém as curvaturas da placa com o snal trocado, defndo por F T ε = { χ, χ, χ }, (3.8) F ε é um vetor composto pelas componentes de deformação por corte na forma C T = { φ φ }, (3.9) C ε, e ε é um vetor composto pela componente de deformação por afundamento devdo a base S elástca, defndo por ε = { w }. (3.) S Deve-se observar que neste trabalho consdera-se que a dstorção por corte no nível do plano médo da placa se mantém constante ao longo de toda espessura h. Com base nesta hpótese, tem-se que φ = γ, (3.) φ = γ. (3.) z Esta afrmação permte recuperar a hpótese das seções planas, que é de grande vala

51 3 neste estudo. Posterormente será ntroduzdo um fator de correção para esta smplfcação, no que se refere à dstrbução das tensões. Havendo a possbldade de ocorrerem grandes deslocamentos, o vetor de deformações generalzadas deve ser composto por duas parcelas na forma G ε ε ε = (3.3) a equação (3.3), ε é um vetor que contém as componentes de deformações nfntesmas (lneares) e G ε é um vetor contendo os termos não-lneares correspondentes as deformações fntas. Estes vetores serão descrtos a segur Componentes de deformação nfntesmas Levando-se em consderação apenas as parcelas lneares das relações deformaçãodeslocamento estabelecdas no capítulo, o vetor correspondente as componentes de deformações generalzadas nfntesmas é dado por T S C F P },ε ε ε ε ε,, { =, (3.4) onde T P v u v u =,, ε, (3.5) T F = θ θ θ θ ε,,, (3.6) T C w w = θ θ ε,, (3.7)

52 3 e { } w S = ε. (3.8) Empregando-se para o campo de deslocamentos, segundo o M.E.F., a equação (3.), chega-se à e U B = ε (3.9) onde ],...,,...,, [ 8 B B B B B =, (3.3) é uma matrz 94, chamada matrz de deformações do elemento sendo B uma submatrz nodal 95, que contém dervadas das funções de nterpolação )., ( η ξ A submatrz nodal de deformações do nó apresenta a segunte composção = 3) ( ) ( 3) ( ) ( 3) (3 ) (3 3) (3 ) (3 S C F P B B B B B (3.3) onde = B P (3.3)

53 33 é a submatrz de deformações para um estado plano de tensões; = B F (3.33) é uma submatrz de deformações para fleão e torção de placas; = C B (3.34) é uma submatrz de deformações para o csalhamento; [ ] S B = (3.35) é uma submatrz de deformações para a base elástca. Assm as componentes de deformação generalzadas para deformações nfntesmas podem ser calculadas em qualquer ponto no nteror do elemento, a partr do vetor de deslocamentos nodas. Deve anda observar que a prmera varação do vetor ε, defndo na equação (3.9), é dada por e B δ U ε δ =, (3.36) sendo este resultado utlzado mas adante.