Sumário e Objectivos. Método dos Elementos Finitos 11ªAula e 12ªAula. Novembro

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1 Sumário e Objectivos Sumário: Dependência do Tempo. Equações de Equilíbrio. Matriz de Massa para alguns Elementos. Vibrações Livres e Forçadas. Métodos de Resolução das Equações Diferenciais de Equilíbrio. Objectivos da Aula: Apreensão dos Aspectos mais relevantes para efeitos de análise de Problemas que envolvam Vibrações e Solicitações Dinâmicas no contexto do. 1

2 Aplicações

3 Princípio dos Trabalhos Virtuais δu δu δε σ V V T T T ρ u+ cu+ dv= TBdV T u FdS n T u i F i S i= 1 = δu + δ + δ δu deslocamento Virtual ρ massa específica c parâmetro de Amortecimento Trabalho realizado pelas Forças Exteriores iguala o trabalho absorvido pelas forças de Inércia, de amortecimento e esforços internos. B representa as forças de Volume, F representa as forças de superfície e F i representa as forças nodais. 3

4 Discretização por Elementos Finitos u = Nd u = Nd u = Nd ε = Bd σ = Dε T T T T dv c dv dv δd BDB d+ NN d + ρ NN d = V V V n T = dv + ds δd NB NF + Fi V S i= 1 K = B DB C N N M ρn N e ext e T T T dv e = c dv e= dv V V V n T T i dv dv Fe V V i= 1 F = N b + N F + 4

5 Discretização por Elementos Finitos Kd+Cd+Md=F ext e e e e Sendo: K = ( ) K e, C= ( ) C e,m= ( ) M e, Δ= ( ) d e e F ext =( ) F e ext obtém-se K Δ+C Δ +M Δ =F e ext 5

6 Matrizes de Massa Elemento Triangular Linear T T T M = ρn NdV = dzρn NdA= tρn NdA e 0 V A A t e e e N N 0 N 0 N = 0 N1 0 N 0 N 3 Nó 1 Nó Nó 3 y, v 1 (x 1, y 1 ) (u 1, v 1 ) 3 (x 3, y 3 ) (u 3, v 3 ) A f y f x (x, y ) (u, v ) x, u 1 N = [(y - y )(x - x ) + (x - x )(y - y )] Ae 1 N = [(y - y )(x - x ) + (x - x )(y - y )] Ae 1 N = [(y - y )(x - x ) + (x - x )(y - y )] Ae 6

7 Matrizes de Massa Elemento Triangular Linear M tρ e NN NN 1 0 NN N N 0 N N 0 N N NN 0 NN 0 NN e = 0 NN1 0 NN 0 NN A 3 A NN NN 3 0 NN N N 0 N N 0 N N m n p m!n!p! N1 NNdA 3 = A (m + n + p + )! M e da ρta = sim. 0 7

8 Elemento Rectangular Linear 4 ( 1, +1) η 3 (1, +1) N N 0 N 0 N 0 N = 0 N1 0 N 0 N3 0 N 4 Nó 1 Nó Nó 3 Nó 4 ξ N = (1 +ξξ )(1 +ηη) 1 j 4 j j 1 ( 1, 1) (1, 1) T t T e dv dx da 0 V A M = ρ N N = ρ N N = = ρ = ρ ξ η T T t NNdA abt d d 1 NN 1 A y, v b 4 (x 4, y 4 ) (u 4, v 4 ) 1 (x 1, y 1 ) (u 1, v 1 ) a η ξ = xa, η= yb ξ 3 (x 3, y 3 ) (u 3, v 3 ) (x, y ) (u, v ) x, u 8

9 Elemento Rectangular Linear M e = ρtab sim

10 Elemento Linear Isoparamétrico Plano y 4 (x 4, y 4 ) 3 (x 3, y 3 ) 4 ( 1, +1) η 3 (1, +1) ξ 1 (x 1, y 1 ) (x, y ) x 1 ( 1, 1) (1, 1) h u ( ξη, ) = N( ξη, ) de x( ξ, η) = N( ξ, η) x e 10

11 Elemento Linear Isoparamétrico Matriz de Massa T t T T e = ρ = ρ = 0 ρ V A A M N NdV dx N NdA t N NdA T 1 1 = tρnndet Jdξdη 11

12 Elemento Hexaédrico de 8 Nós N d N 0 0 N 0 0 N i 8 = 0 N Ni N8 0 ei N i 0 0 N 0 0 N 0 0 N 1 i 8 ui = v i ( i = 1,,,8) w i = 1 8 (1 + ξξ )(1 + ηη )(1 + ζζ ) i i x i z y 3 1

13 Elemento Hexaédrico M = N T N d = N T ρ V ρ N det [J] dξdηdζ e V e det[j] = abc = Ve Sub - matrizes ij 1 1 NN 1 i j M = ρabc dξdηdζ N 0 0 N 0 0 i j i j = ρabc 0 N 0 0 N 0 dξdηdζ 0 0 N 0 0 N i j NN 0 0 i j i j =ρabc 0 N N 0 dξdηdζ 0 0 NiN j 13

14 Elemento Hexaédrico Matriz de Massa sendo Mij 0 0 Mij 0 M M = ij ij Ou seja: ij 1 1 i j M =ρabc N N dξdηdζ ρabc = (1 +ξξ 1 i )(1 +ξξ j )d ξ (1 1 i )(1 j )d (1 1 i )(1 j )d +ηη +ηη η +ζζ + ζζ ζ 64 ρhab ( = + 3ξξ i j )(1 + 3ηη i j )(1 + 3ζζ i j ) 8 14

15 Elemento Hexaédrico Matriz de Massa (direcção x) M e x = ρabc sim

16 Elemento de Placa de Mindlin com 4 Nós w = 4 i= 1 N i w i, θ x = 4 i= 1 N θ i x i, θ y = 4 i= 1 N θ i y i sendo N = 1 (1 + ξ ξ )(1 + η η ) i 4 i i Matriz das Funções de Forma N N 0 0 N 0 0 N 0 0 N = N N N N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N Nó 1 Nó Nó 3 Nó 4 16

17 Matriz de Massa Elemento de Placa de Mindlin de 4 Nós M e = A e T N I N da I ρt ρt = ρt

18 Matriz de Amortecimento A existência de amortecimento implica a diminuição da amplitude de vibração com o tempo. O Amortecimento pode ser provocado ou estar inerente ao problema em causa. Em muitos problemas o amortecimento é suficiente pequeno (as forças de amortecimento são da ordem dos 10% das outras forças)para poder ser considerado como viscoso. Amortecimento de Rayleigh C=α K+βM 18

19 Diagonalização da Matriz de Massa A matriz de massa acabada de obter para alguns elementos é a Matriz de Massa Consistente que representa uma discretização de uma distribuição de Massa Contínua e esta matriz não é Diagonal. É conveniente nalguns casos e sobretudo por questões numéricas associadas aos tempos de execução a consideração de uma Matriz de Massa Diagonal. O processo mais conhecido de diagonalização da Matriz de Massa é designado por HRZ e é devido a Hinton, Rock e Zienkiewicz. 19

20 Diagonalização HRZ 1. Calcular os Elementos de Massa da Diagonal da Matriz de Massa Consistente M ii.. Para cada direcção em que se considera o movimento possível de acordo com o número de graus de Liberdade por nó: a) Determinar a soma dos elementos da diagonal associados a essa direcção (S) b) Multiplicar M ii por M/S sendo M a massa do Elemento 0

21 Vibrações Livres Na ausência de Amortecimento e Carregamento Exterior as Equações de Equilíbrio Dinâmico tomam a forma: K Δ+M Δ =0 Nestas Condições todos os graus de Liberdade se movem em fase e à mesma frequência ω. O movimento devido às Vibrações consiste numa amplitude nodal Ū que varia sinusoidalmente com o tempo em relação aos deslocamentos que correspondem ao equilíbrio estático Δ st produzido por Cargas independentes do tempo. 1

22 Vibrações Livres No caso das cargas serem nulas Δ st =0 e Ū representam amplitudes em relação à configuração de tensão nula. Δ = Usenωt e Δ= ω ω As equações de equilíbrio tomam a forma ( K ) Usen t ω M U=0 Onde ω éum valor próprio e ω éa frequência natural. A matriz dos coeficientes de Ū, é por vezes designada por Matriz de Rigidez Dinâmica.

23 Vibrações Livres Escrevendo a equação seguinte: Com a forma: KU =ω MU ( K ) ω M U=0 Pode-se dizer que os modos de vibração correspondem a configurações em que existe equilíbrio entre as resistências elásticas e as forças de Inércia. No caso de Ū conter graus de liberdade que são não nulos após a supressão dos modos de corpo rígido e mecanismos, a matriz K é positiva definida. No caso da matriz de massa ter elementos diagonais só positivos então a Matriz de Massa é também positiva definida. 3

24 Vibrações Livres O número de valores não nulos da frequência natural ω i, é igual ao número de graus de liberdade em Ū. Ocorre por vezes a existência de valores iguais de ω i. Estruturas sem restrições ou com mecanismos têm uma Matriz de Rigidez positiva semidefinida e um valor próprio nulo associado a cada movimento de corpo rígido ou mecanismo. As formas de vibração correspondentes descrevem o movimento de corpo rígido ou o mecanismo. No caso de existirem valores nulos na diagonal da Matriz de Massa corresponde-lhe um valor próprio infinito. No caso de existência de valores nulos na diagonal eles podem ser eliminados através de um processo de condensação estática antes da obtenção dos valores próprios. 4

25 Vibrações Livres Considerando a equação KU =ω MU Para cada modo i e multiplicando à esquerda por Ū T i obtém-se: T T Ui KUi = ωi Ui MUi Resolvendo em ordem a w i obtém-se: Conhecido por Coeficiente de Rayleigh ω i = U U T i T i KU i MU i 5

26 Vibrações Livres A Redução de Guyan é utilizada para reduzir o número de Graus de Liberdade ao número de graus relevantes para a obtenção da Solução. Kmm Kms Mmm Mms Um 0 Ksm K ω = ss Msm M ss U s 0 A consideração de um processo de condensação estática pura e simples conduziria a matrizes no sistema final que são dependentes da frequência. Para obter uma transformação independente da frequência Guyan e Irons sugeriram que a relação entre graus de liberdade escravos e graus de liberdade principais fosse inteiramente dominada pela rigidez. 6

27 Redução de Guyan Ignorando a massa nos coeficientes dos graus de liberdade escravos obtém-se: { } 1 T U { } s = Kss Kms Um U m I m 1 T s Kss K ms U = = TU sendo T= U Problema de valores próprios reduzido T KrUm ω MrUm = 0 onde Kr = T KT M r = T T MT 7

28 Equações de Equilíbrio Dinâmico Reduzidas A redução de Guyan pode considerar-se aplicada também ao sistema de equilíbrio dinâmico global e não só ao problema de valores próprios. K Δ+C Δ +M Δ =F e ext T KrΔ m + CrΔ m + MrΔ m = R r onde Kr = T KT T Mr = T MT T Cr = T CT ext 8

29 Determinação da Resposta em Função do Tempo Métodos de Sobreposição Modal Métodos de Integração Directa: Implícitos Explícitos 9

30 { } { Δ ( )} Δ( ) Sistema de Equações diferenciais a resolver Após Discretização, Assemblagem e Minimização da Energia Total obtém-se o Sistema de Equações Diferenciais de Equilíbrio seguinte no caso da Dinâmica K Δ+C Δ +M Δ =R 0, 0 Condições Iniciais conhecidas M Matriz de Massa Global C - Matriz de Amortecimento Global K Matriz de Rigidez Global R ext Vector da Solicitação Exterior Global ext 30

31 Matriz de Amortecimento D=Δ D=Δ Representa o vector das Acelerações Representa o vector das Velocidades D=Δ Representa o Vector dos Deslocamentos A matriz de Amortecimento pode ser considerada como uma combinação linear das Matrizes de Rigidez e de Massa, ou seja: C= α K+βM 31

32 Métodos de Solução A forma de solução do sistema de equações diferenciais recorre à integração directa das equações de equilíbrio dinâmico. Sendo conhecida a solução no instante inicial, t=0, procuram-se soluções que verifiquem as equações de equilíbrio num conjunto discreto de posições no tempo. A maior parte dos métodos usa intervalos de tempo iguais, Dt, Dt, 3DT,, ndt. Os métodos utilizados podem ser classificados em explícitos e implícitos. 3

33 Métodos Explícitos Nos métodos explícitos não há necessidade de resolução de um sistema de equações. Estes métodos utilizam a solução das equações diferenciais no instante t para prever a solução no instante t+dt. Na maior parte dos casos intervalos de tempo muito pequenos são necessários de modo a obter-se uma solução estável. Estes métodos são condicionalmente estáveis no que respeita ao intervalo de tempo. A dimensão do intervalo de tempo é inversamente proporcional à frequência mais elevada do sistema discreto. 33

34 Métodos Implícitos Nos métodos Implícitos o sistema de equações diferenciais deve ser verificado no instante t+dt conhecida a solução no instante t. Estes métodos exigem a solução de um sistema de equações em cada intervalo de tempo. Os intervalos podem ser mais elevados que no caso dos métodos explícitos. Os métodos implícitos podem ter estabilidade condicional e incondicional. 34

35 Método das Diferenças Centrais Considerando um desenvolvimento em Série de Taylor para o deslocamento D nos instantes t+δt (D n+1 )e t-δt (D n-1 ), obtém-se: 3 Δt Δt Dn+ 1= Dn+Δ t D n+ D n+ Dn Δt Δt Dn 1= Dn Δ t D n+ D n Dn

36 Método das Diferenças Centrais Velocidade A diferença das duas equações anteriores é: D D D 3 n+ 1 n 1= n + O( Δt ) Resolvendo em ordem à velocidade obtém-se: D n Dn+ 1 Dn 1 3 = + O( Δt ) Δt 36

37 Método das Diferenças Centrais Aceleração A soma das duas equações do desenvolvimento em série de Taylor dos deslocamentos nos instantes t n+1 e t n-1 permite obter a aceleração: D 1 = D D + D Δt n { } n+ 1 n n 1 37

38 Método das Diferenças Centrais Considerando a equação de equilíbrio no instante t que é KDn + CD n+ MD n = Substituindo nesta equação as expressões para a velocidade e aceleração obtém-se: 1 1 KDn+ C ( Dn+ 1 Dn 1) + M ( Dn+ 1 Dn+ Dn 1) = R Δt Δt R ext ext 38

39 Método das Diferenças Centrais Esta última equação pode ser escrita com a seguinte forma: M+ C t t = K M M C Δ t t Δt Δ Δ Δ ext Dn + 1 R Dn Dn 1 Por resolução deste sistema de equações podem obter-se os deslocamentos D n+1. No caso das matrizes M e C serem diagonais os valores dos deslocamentos D n+1 obtém-se sem necessidade de resolução de um sistema de equações. Ver: Concepts and Applications of Finite Element Analysis,COOK, R. D; MALKUS, D. S. and PLESHA, M. E., John Wiley & Sons,third edition,

40 Método das Diferenças Centrais { D(0) } Condições iniciais { D( 0 )},{ D( 0) } podendo obter-se Para iniciar o processo é preciso conhecer-se D (-Δt) que pode ser determinado a partir de { D ( 0 )} e { D ( 0) }. Este Método é condicionalmente estável sendo necessário considerar um intervalo de tempo crítico Δt cr = T n /π sendo T n o menor dos períodos do sistema com n graus de liberdade. Para mais informação ver: Concepts and Applications of Finite Element Analysis,COOK, R. D; MALKUS, D. S. and PLESHA, M. E., John Wiley & Sons,third edition,

41 Método de Newmark Newmark apresentou um conjunto de Métodos para a solução de problemas em Dinâmica Estrutural e estes métodos têm sido muito utilizados. Considere-se as equações de equilíbrio no instante t+δt, considerando U=D: KUn+ 1+ CU n+ 1+ MU n+ 1= R + ext n 1 41

42 Método de Newmark O desenvolvimento em Série de Taylor do deslocamento e da velocidade fornece as equações seguintes: 3 Δt Δt Un+ 1= Un+Δ t U n+ U n+ Un Δt Un+ 1= U n+δ t U n+ Un+... 4

43 Método de Newmark Newmark truncou estas séries e deu-lhe a seguinte forma: Δt 3 n+ 1= n+δ t n+ n+βδ n U U U U t U U n+ 1= U n+δ tu n+γδt Un Admitindo que a aceleração é linear no intervalo de tempo Δt 1 U = U n+ ( U n+ 1 U n) τ sendo 0 τ Δt Δt U n+ 1 U n U = Δt 43

44 Método de Newmark Substituindo esta última equação nas equações anteriores obtém-se: 1 n+ 1= n+δ t n+ ( β) Δt n+βδ n+ 1 U U U U t U U n+ 1= U n+ (1 γ) Δ tu n+γδt U n+ 1 Resolvendo a 1ª equação em ordem à aceleração no instante t+δt obtém-se: U = ( U U ) U 1 U βδt βδt β n+ 1 n+ 1 n n n 44

45 Método de Newmark Substituindo o valor obtido para a aceleração no instante t+δt na expressão que fornece a velocidade no mesmo instante obtém-se: γ γ γ U = ( U U ) + 1 U +Δt 1 U βδt β β n+ 1 n+ 1 n n n 45

46 Método de Newmark Substituindo os valores obtidos para a aceleração e velocidade no instante t+δt nas equações de equilíbrio no referido instante obtém-se: γ γ γ KUn+ 1+ C ( Un+ 1 Un) + C 1 U n+ CΔt 1 U n+ βδt β β M M 1 ext + ( n 1 n) U + U U n M 1 U n = R n+ 1 βδt βδt β 46

47 Método de Newmark Resolvendo em ordem ao deslocamento no instante t+δt obtém-se γ M ext M γ K+ C + Un+ 1= R n C Un+ βδt βδt βδt βδt M γ 1 γ + C 1 U n+ M 1 C Δ t 1 U βδt β β β Conhecido o deslocamento no instante t+δt é fácil obter a velocidade e a aceleração no mesmo instante. n 47

48 Método de Newmark Os parâmetros γ e β podem ser considerados de acordo com a tabela seguinte Versão γ β Estabilidade Aceleração Média Aceleração Linear Fox-Goodwin Amortecimento Algorítmico 1/ 1/4 Incondicional 1/ 1/6 1/ 1/1 Condicional 1/ 1/4(γ+1/) Incondicional 48

49 Método de Newmark Para mais informação ver: Concepts and Applications of Finite Element Analysis,COOK, R. D; MALKUS, D. S. and PLESHA, M. E., John Wiley & Sons,third edition, (Ver algumas das referências indicadas neste texto) 49

50 Método de Wilson θ O Método de Wilson θ é um método implícito e é essencialmente uma extensão do Método da Aceleração Linear. No Método de Wilson θ a aceleração admite-se linear no intervalo t a t+ θδt sendo θ 1. Considerando τ tal que 0 τ θδt a aceleração toma a forma 1 U = U t+ ( U t+θδt U t) τ θδt Integrando 1 U = U tτ+ ( U t+θδt U t) τ + C1 θδt 50

51 Método de Wilson θ A constante C 1 obtém-se considerando que U = U t para τ =0 ou seja C1 = U Consequentemente 1 U = U t + U tτ+ ( U t+ θδt U t) τ θδt Integrando 1 1 U = U + U τ + U + U U 6θΔt t ( ) 3 t t tτ t+ θδt t τ 51

52 Método de Wilson θ Usando estas expressões para obter o deslocamento e a velocidade no instante t+θδt tem-se: θδt U ( ) t+θδt = U t + U t+ θδt U t θδt U = U + θδ tu + U + U 6 ( ) t+θδt t t t+ θδt t 5

53 Método de Wilson θ Considere-se as equações de equilíbrio no instante t+θδt ou seja: ( ) +θδ KUt+θΔ t+ CU t+θδ t+ MU t+θδt = R +θ R R ext ext ext t t t t Das equações anteriores (acetato anterior) pode obter-se U 6 6 = ( Ut+ θδt Ut) U U θδt θδt U 3 θδt = ( Ut+ θδt Ut) U U θδt t+ θδt t t t+θδt t t 53

54 Método de Wilson θ Substituindo estas expressões para a velocidade e aceleração no instante t+θδt nas equações de equilíbrio obtém-se 3 6 ext ext ext K+ C+ M U t+θδt = Rt +θ( Rt+θΔt Rt ) + θδt θδt θδt + C+ M C M C M U + + U + + U t t t θδ θδ θδ t t t Este sistema de equações resolve-se obtendo-se U t+θδt 54

55 Método de Wilson θ Conhecido U t+θδt obtém-se a aceleração no instante t+θδt que é: 6 6 U t+ θδ t = ( t+ t t) U θδ U U t U t θδt θδt Este valor é utilizado nas expressões seguintes para obter os respectivos valores no instante t+δt 1 1 U = U + U τ + U U U τ + θδ 6θΔt 1 U = U ( ) t + U tτ+ Ut+ θδt Ut τ θδt ( ) 3 t t t t+ t t τ 1 U = U t+ ( U t+θδt U t) τ θδt 55

56 Método de Wilson θ Os valores da Aceleração, Velocidade e Deslocamento no instante t+δtsão: U = ( Ut+θΔt Ut) U + 1 U θδt θδt θ t+δt t t Δt U = U + U + U ( ) t+δt t t+ Δt t Δt U = U + U Δ t+ U + U 6 ( ) t+δ t t t t+δt t 56

57 Método de Hilber Hughes and Taylor O Método α Considerem-se as equações de equilíbrio nos instantes t e t+δt, ou seja: ext KU t+δ t+ CU t+δ t+ MU t+δt = R t+δ KU t + CU t+ MU t = R ext t Subtraindo as duas equações e multiplicando por α obtém-se: ext ext αk( Ut+Δ t Ut) +αc( U t+δ t U t) +αm( U t+δt U t) =α( Rt+Δt Rt ) t 57

58 Método de Hilber Hughes and Taylor O Método α Desprezando a variação da aceleração nestas últimas equações e adicionando às equações de equilíbrio no instante t+δt obtém-se: (1 + α )K U t+δ t+ (1 +α )CU t+δ t+ MU t+δt = ext ext = (1 +α) Rt+Δ t α Rt+Δt+α CU t +αku t As expressões para o deslocamento e velocidade são análogas ao Método de Newmark 1 t+δ t = t+δ t t+ ( β) Δt t+βδ t+δt U U U U t U U t+δ t = U t+ (1 γ) Δ tu t+γδt U t+δt 58

59 Método de Hilber Hughes and Taylor O Método α O Método de solução das equações de equilíbrio é semelhante ao Método de Newmark considerando: 1 α γ= (1 α ) 1 β= (1 α ) 4 59