Simulação da Deformação de Objectos em Imagens Segundo Princípios Físicos. Patrícia C. T. Gonçalves Raquel R. Pinho João Manuel R. S.

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1 Simulação da Deformação de Objectos em Imagens Segundo Princípios Físicos Patrícia C. T. Gonçalves Raquel R. Pinho João Manuel R. S. Tavares

2 Objectivo Dadas duas imagens de um objecto em instantes distintos (ou de dois objectos), pretende-se simular o movimento/deformação existente: 2/16

3 Metodologia Identificação dos dois contornos (inicial e final) Modelação física dos contornos: elementos finitos correspondências entre os pontos dos contornos: análise modal Determinação do campo de deslocamentos: equação equilíbrio dinâmico 3/16

4 Elementos finitos de Sclaroff A cada um dos dois contornos corresponde: matriz de massa, M matriz de rigidez, K função das propriedades do material virtual escolhido e da interacção pretendida entre os pontos do contorno 4/16

5 Análise modal Determinação da matriz modal, Φ, e da matriz das frequências de vibração, Ω, para cada contorno através da resolução do problema de valores/vectores próprios: KΦ = MΦΩ A matriz modal é composta pelos vectores de forma (u,v) que descrevem o deslocamento de cada ponto associado a cada modo de vibração 5/16

6 Determinação da matriz de afinidade, Z, entre os dois contornos: 2 2 = u u + v v Zij I,i F,j Z ij é tanto maior quanto menor for a afinidade entre os pontos i e j dos contornos inicial e final, respectivamente Encontrar as melhores correspondências entre os pontos dos dois contornos minimizando o custo global do emparelhamento problema de afectação I,i F,j 6/16

7 Equação de equilíbrio dinâmico Para estimar a deformação/movimento que o objecto sofreu do estado inicial para o estado final resolve-se a equação de equilíbrio dinâmico: U vector de deslocamento U vector de velocidade U vector de aceleração R vector de carga t t t M U CU + KU = + C matriz de amortecimento (obtida a partir das matrizes de massa e de rigidez e do amortecimento crítico do material) R t 7/16

8 Vector carga Consideramos a carga aplicada em cada ponto como proporcional ao seu deslocamento: R i = k X X ( ) ( ) F,j X t,i coordenadas do ponto i do contorno estimado no instante t X F,j coordenadas do ponto j (emparelhado com i) do contorno final k constante global de rigidez t,i 8/16

9 Métodos de integração Diferença central método explícito de integração directa condicionalmente estável intervalo de integração deve ser pequeno Newmark método implícito de integração directa incondicionalmente estável Sobreposição de modos obtém novas matrizes de massa, rigidez e amortecimento com menor largura de banda permitindo a resolução da equação de equilíbrio com menos cálculos método de integração indirecta precisa de um método directo (diferença central ou Newmark) 9/16

10 Caixa torácica 23s para atingir U < 0,001 (Newmark) 10/16 46 pontos Material virtual: camada externa dos ossos das costelas

11 Coração (Newmark) 10s para atingir U < 0,001 11/16 35 pontos Material virtual: miocárdio

12 Pé 12/16 29 pontos

13 Pé (cont.) (Newmark) Material virtual: espuma de poliuretano 9s para atingir U < 0,001 13/16

14 Os resultados experimentais obtidos na simulação da deformação entre dois estados de um objecto são coerentes com o comportamento físico esperado Os 4 métodos de integração obtêm resultados semelhantes O método da sobreposição de modos pode acelerar o processo computacional de resolução da equação de equilíbrio, mas pode comprometer significativamente a precisão dos resultados obtidos Por ser incondicionalmente estável, o método de Newmark permite a utilização de intervalos de integração maiores, sendo por isso mais rápido 14/16

15 Trabalho futuro Considerar restrições no processo de simulação para impedir que um ponto de uma forma estimada ultrapasse o seu ponto correspondente nos contornos inicial e final Utilizar elementos finitos adequados a grandes deformações 15/16

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