Sumário e Objectivos. Sumário: Resolução de Problemas. Objectivos da Aula: Ser Capaz de resolver problemas com perfis tubulares

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1 Sumário e Objectivos Sumário: Resolução de Problemas. Objectivos da Aula: Ser Capaz de resolver problemas com perfis tubulares 1

2 Vigas 2

3 Camião 3

4 Bicicleta 4

5 Função de Tensão de Prandtl A solução do problema de torção de um veio de secção arbitrária, na ausência de forças de massa, passa pela solução do sistema de equações τ x τ y zx zy + = 0 y τ x τzx zy = 2G θ considerando as condições de fronteira seguintes l+ m= 0 τzx τzy na superfície lateral do sólido M = (xτ y τ )dxdy t yz xz A para z=0 e z=l. 5

6 Função de Tensão de Prandtl Para resolver este problema um dos métodos disponíveis recorre à chamada função de tensão de Prandtl que é uma função tal que verificando automaticamente as equações de equilíbrio. τ zx φ = e τzy = y φ x Substituindo estas expressões na equação de compatibilidade obtém-se φ x φ + = θ y 2 2 2G 2 2 Esta equação é muitas vezes referida como Equação de Poisson. A solução do problema passa agora pela solução da equação de compatibilidade sujeita às condições de fronteira φ φ l m= 0 y x 6

7 Veio de Secção Elíptica x y A função φ a considerar é b a x 2 2 x y φ = k a b sendo k uma constante Substituindo a função φ na equação de compatibilidade, obtém-se 2k a 2k + = 2Gθ= b 2 2 H k = 2 2 ab b a 2 2 2( + ) H 7

8 Veio de Secção Elíptica A função de Prandtl para o veio de secção elíptica toma a forma ab x y φ= H a b 2 2 ( a b ) A1ª condição de fronteira refere-se ao contorno do veio e é φ y φ x φ + = = 0 y s x s s A outra condição de fronteira diz respeito aos extremos do veio e é φ φ M t = (xτyz y τxz)dxdy = (x y )dxdy A + A x y φ ( x) φ ( y) M t = ( y 2 )dxdy por aplicação do teorema de Gauss + φ = A x y obtém-se =- (xφcos( ν, x) + yφcos( ν, y))ds + 2φdxdy C A 8

9 Veio de Secção Elíptica O integral estendido ao contorno é nulo pela 1ª condição de Fronteira e o Momento torsor é 3 3 M t = 2φdxdy Ou seja πab M t = Gθ 2 2 A ( a + b ) No caso do veio elíptico a função de Prandtl pode ser escrita em termos do Momento torsor, com a seguinte forma 2 2 Mt x y φ= πab a b As tensões são φ 2 ty ty xz = = M = M Tensão Resultante τ 3 y πab 2Ix 2 1/2 φ 2Mtx Mtx 2 2 2M t x y τxz = = = τzα = ( τ ) zx +τ zy = + 3 πab x πba 2Iy a b /2 9

10 Membrana Elástica 10

11 Membrana Elástica 11

12 Membrana Elástica 12

13 Membrana Elástica 13

14 Analogia de Membrana 14

15 Analogia de Membrana de Prandtl φ x φ + = θ y 2 2 2G 2 2 S α z dx y p d y 2 2 z z p + = 2 2 x y T S x x Prandtl mostrou que as deformações de corte numa barra elástica rectilínea sujeita a um momento torsor estão relacionadas com as inclinações da membrana estendida num orifício de uma placa plana e sujeita a uma pressão p, considerando o orifício com a forma da secção recta da barra e a membrana ligada à fronteira do orifício. 15

16 Analogia de Membrana Secção Rectangular 16

17 Analogia de Membrana Secção Rectangular 17

18 Analogia de Membrana Secção Rectangular 18

19 Secções Abertas de parede delgada τ = 3M = G θ t; bt t max 2 3M t 1 3 θ= 3 ; C=GIp = bt G bt G 3 19

20 Secções Abertas de parede delgada 20

21 Secções Abertas de parede delgada 21

22 22

23 Secções Abertas de Paredes Delgadas G C= GI = k b a τ = θ θ t n 3 p i i 3 i = 1 G a i sendo = M / C 23

24 Secção Tubular de parede Fina 24

25 Secção Tubular de parede Fina 25

26 Secção Tubular de parede Fina 26

27 Secção Tubular de parede Fina L é o perímetro 27

28 Secção Tubular de parede Fina 28

29 Secção Tubular de parede Fina 29

30 Secção Tubular de parede Fina 30

31 Secção Multicelular 31

32 Secção Multicelular 32

33 Secção Multicelular 33

34 Veio Circular de Secção Variável 34

35 Veio Circular de Secção Variável 35

36 Veio Circular de Secção Variável 36

37 Veio Circular 37

38 Energia de Deformação de Torção 38

39 Problema 1 39

40 Resolução Problema 1 40

41 Resolução Problema 1 41

42 Resolução Problema 1 42

43 Resolução Problema 1 43

44 Resolução Problema 1 44

45 Problema 2 45

46 Resolução Problema 2 46

47 Resolução Problema 2 47

48 Resolução Problema 2 48

49 Resolução Problema 2 49

50 Resolução Problema 2 50

51 Problema 3 51

52 Resolução Problema 3 52

53 Resolução Problema 3 53

54 Resolução Problema 3 54

55 Resolução Problema 3 55

56 Resolução Problema 3 56

57 Resolução Problema 3 57

58 Problema 4 58

59 Resolução Problema 4 59

60 Resolução Problema 4 60

61 Resolução Problema 4 61

62 Resolução Problema 4 62

63 Problemas Propostos 1. Mostre que a função de tensão G 2a 2a a φ = θ x 3y x 3y x 2a é adequada para efeitos de cálculo das tensões num triângulo equilátero com a forma representada na figura. Determine as tensões tangenciais x a/3 2a/3 63