Resistência dos Materiais II: Torção de Perfis Abertos e Fechados

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1 Resistência dos Materiais II: Torção de Perfis Abertos e Fechados Prof. Jorge A. R. Durán Enga. Mecânica UFF Volta Redonda duran@vm.uff.br June 15 1

2 Objetivos Desenvolvimento das principais equações da torção em perfis abertos e fechados. Aplicações ao projeto mecânico. Bibliografia Principal Hibbeler RC, (008) Resistência dos Materiais. Thomson Learning Ltda., 5 a Ed., Brasil. Cook, R.D., Young, W.C. (1999), Advanced Mechanics of Materials. nd ed, Prentice-Hall, Inc. NJ, USA, 481pp. Budynas, R.G., Young, W.C. (00), Roark s Formulas for Stress and Strain, MGraw-Hill, 7ed., New York, June 15 USA.

3 Equações Fundamentais Taxa de Torção (Rate of Twist) T G K Rigidez Torsional (Torsional Stiffness) T G K June 15 3

4 Torção de Barra Circular Maciça. Método da Mecânica dos Materiais Definição de Taxa de Torção: df dx f (x) f f June 15 4

5 Análise Geométrica bb' dx max bb' r df max r df dx df dx 001 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. Thomson Learning is a trademark used herein under license. Deformation of an element of length dx cut from a bar in torsion. June 15 5

6 Parte Física G G 001 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. Thomson Learning is a trademark used herein under license. Shear stresses in a circular bar in torsion. June 15 6

7 Equilíbrio T T como A da G A A da G da T G J G T J 001 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. Thomson Learning is a trademark used herein under license. Determination of the resultant of the shear stresses acting on a cross section. June 15 7

8 J 4 ( r r 4 1 ) 001 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. Thomson Learning is a trademark used herein under license. Circular tube in torsion. June 15 8

9 Energia de Deformação U T L K G dx June Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. Thomson Learning is a trademark used herein under license.

10 Densidade de Energia de Deformação no Cisalhamento puro 001 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. Thomson Learning is a trademark used herein under license. G G u vol U u h t vol t h h h t U V U W h h t V June 15 10

11 Exemplo: Obtenha a expressão da energia de deformação U da barra engastada de seção circular mostrada. 001 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. Thomson Learning is a trademark used herein under license. June 15 11

12 Prob p. 163, Hibbeler 5ª ed. June 15 1

13 Prob p. 163, Hibbeler 5ª ed. June 15 13

14 Prob p. 170, Hibbeler 5ª ed. June 15 14

15 Prob p. 171, Hibbeler 5ª ed. June 15 15

16 Problemas de Revisão Prob p. 197, Hibbeler 5ª ed. Se as engrenagens em E e F estiverem temporariamente fixas, calcule a e o ângulo de torção nos segmentos CB e BD do eixo de aço de de diâmetro. June 15 16

17 Prob p. 198, Hibbeler 5ª ed. O pino suporta uma força cortante média de 550N antes de falhar. Calcule o máximo torque que pode ser transmitido de um eixo para outro e a em cada eixo quando o pino está na iminência de falhar. June 15 17

18 Torção de Eixos Sólidos não circulares June 15 18

19 Torção de Eixos Sólidos não circulares June 15 19

20 Torção de Eixos Sólidos não circulares June 15 0

21 Problema 5.9 p. 180 Hib. 5ª ed. O eixo é feito de latão C83400 e tem seção transversal elíptica. Supondo que seja submetido à carga de torção mostrada, determinar o max nas regiões AC e BC e o f de B com relação a A. June 15 1

22 Torção em Tubos de Paredes Finas 001 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. Thomson Learning is a trademark used herein under license. June 15

23 Observações Importantes = constante através da espessura. pode variar ao redor do tubo se a espessura não for constante. f = fluxo de cisalhamento = força por unidade de comprimento ao redor da seção. const. t f t t F F dx t F dx t F c c b b c b c c c b b b June 15 3

24 dt f ds r T f r ds S S r ds A m T f A m t T A m Cross section of thin-walled tube. June Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. Thomson Learning is a trademark used herein under license.

25 T t r 001 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. Thomson Learning is a trademark used herein under license. Thin-walled circular tube. June 15 5

26 T t bh Thin-walled rectangular tube. 001 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. Thomson Learning is a trademark used herein under license. June 15 6

27 Energia de Deformação e Constante de Torção para Tubos de Paredes Finas Elemento de largura ds, espessura t e profundidade dx Vol.=t.ds.dx 001 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. Thomson Learning is a trademark used herein under license. June 15 7

28 G K L T G K L T U t ds A K t ds G A L T dx t ds G A T U ds dx t G A t T du A t T ds dx t G du G u m m m L m L m L L m m m f June 15 8

29 Problema Gere Determine a espessura necessária t min do tubo de forma que a tensão de cisalhamento máxima não exceda a tensão de cisalhamento na barra sólida. 001 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. Thomson Learning is a trademark used herein under license. June 15 9

30 Problema Gere Obtenha as fórmulas para a tensão de cisalhamento e para o ângulo de torção f. 001 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. Thomson Learning is a trademark used herein under license. June 15 30

31 Problema Hibbeler 5ª ed. Devido a um erro de fabricação o círculo interno do tubo é excêntrico em relação ao externo. Em quantos por cento a resistência à torção diminui quando a excentricidade é um quarto da diferença entre os raios? June 15 31

32 Torção de Perfis Abertos Necessária a utilização da Teoria da Elasticidade TE Na mecânica dos materiais assume-se um modo de deslocamento para obter a solução. Na TE a solução tem que satisfazer três requerimentos básicos: compatibilidade geométrica, equilíbrio e condições de contorno. June 15 3

33 June 15 33

34 Torção de Perfis Abertos Equações Principais da TE para torção (Prandtl, L. 1903): T df dx A da y xs z G n A solução de um problema de torção consiste em achar a função =(y,z) que satisfaz as equações acima. June 15 34

35 Analogia da Membrana As deflexões laterais de uma membrana sob pressão em um dos seus lados correspondem à função de Prandtl. O método consiste em obter as equações que governam uma membrana (pode-se imaginar uma fina película de sabão), esticada em uma abertura da mesma forma que a seção transversal analisada. Para o caso da próxima figura tem-se: June 15 35

36 A soma das curvaturas em direções mutuamente perpendiculares é constante em toda a membrana. June 15 36

37 Analogia da Membrana Uma comparação entre as duas equações indica que corresponde a e que p/s corresponde a G. y z G y z O torque corresponde a duas vezes o volume entre a membrana defletida e o contorno =0. As tensões cisalhantes correspondem à inclinação da membrana nos diferentes pontos. p S June 15 37

38 Analogia da Membrana A figura anterior (à direita) corresponde a contornos experimentais de uma membrana formada em uma abertura em forma de I. Todos os contornos estão separados pelo mesmo incremento na elevação. O espaçamento entre as linhas de contorno é menor na região de transição o que indica que as tensões cisalhantes são maiores. Soluções tabeladas no Roark s Formulas... Cap. 10, p June 15 38

39 Analogia da Membrana: Análise Qualitativa. June 15 39

40 Analogia da Membrana: Análise Qualitativa. Quanto maior a espessura, maior a inclinação da membrana, então B > C > D na figura anterior à esquerda. Desprezando a concentração das tensões, esperase que o maior ocorra na interseção do maior círculo inscrito com o contorno, ou pontos G na figura anterior à direita. Cantos vivos como o do ponto E, no entanto, apresentam uma elevada concentração das tensões o que pode transformar-os em críticos. June 15 40

41 Analogia da Membrana Obtenha as equações fundamentais da torção em barras de seção circular maciça utilizando a analogia da membrana. June 15 41

42 Exercícios Estudar os exemplos resolvidos do Hibbeler. Ver exemplos resolvidos p. 381 Roark s. June 15 4