Resistência dos Materiais

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1 Resistência dos Materiais Eng. Mecânica, Produção UNIME Lauro de Freitas, Março, 2016.

2 3 Torção 2da. Parte

3 Ângulo de Torção no Regime Elástico Lembre-se que o ângulo de torção e a deformação de cisalhamento máxima estão relacionados, γ max = cφ L No regime elástico, a tensão de cisalhamento e a deformação de cisalhamento estão relacionados pela Lei de Hooke, τ γ max = max G = Tc JG Igualando as expressões para a tensão de cisalhamento e resolvendo para o ângulo de TL torção φ= JG Se o eixo consistir em várias partes com diferentes seções transversais e diferentes materiais ao longo do seu comprimento, o ângulo de torção é encontrado com a soma dos ângulos de torção de cada componente. φ= T i Li i J i Gi

4 Eixos Estaticamente Indeterminados Dadas as dimensões do eixo e o torque aplicado, encontrar as reações aplicadas no eixo devido aos apoios A e B. A partir de uma análise de corpo livre do eixo, T A +T B=120 N. m que não é suficiente para encontrar os torques desconhecidos. O problema é estaticamente indeterminado. Divida o eixo em dois componentes que devem ter deformações compatíveis. φ=φ 1 +φ2 = T A L1 J1G T B L2 J2G =0 T B= L1 J 2 L2 J 1 TA Substitua na equação de equilíbrio original, T A+ L1 J 2 L2 J 1 T A= 120 N. m

5 Problema Resolvido 3.4 SOLUÇÃO: Aplicar uma análise de equilíbrio estático sobre os dois eixos para encontrar uma relação entre TCD e T0. Aplicar uma análise cinemática que relacione as rotações angulares das engrenagens. Encontre o torque máximo permitido Dois eixos cheios de aço estão ligados por em cada eixo, escolha o menor. engrenagens. Sabendo que para cada eixo G = 77,2 Gpa, e que a tensão de Encontrar o ângulo de torção cisalhamento admissível é de 55 MPa, correspondente para cada eixo e da determine (a) o maior torque T0 que pode rotação angular da extremidade final A. ser aplicado à extremidade A do eixo AB e (b) o ângulo correspondente pelo qual a extremidade A do eixo AB gira.

6 Problema resolvido 3.4 SOLUÇÃO: Aplicar uma análise de equilíbrio estático sobre os dois eixos para encontrar uma relação entre TCD e T0. Aplicar uma análise cinemática que relacione as rotações angulares das engrenagens. r B φ B=r C φc rc 62 mm φ B = φc = φ rb 22 mm C φ B=2, 82 φc M B=0=F ( 22 mm ) T 0 M C =0=F ( 62 mm ) T CD T CD=2,8 T 0

7 Encontrar o ângulo correspondente de torção Encontrar T0 para o torque máximo para cada eixo e o ângulo de rotação da permitido para cada eixo, escolher extremidade A. o menor. 3-7

8 Projeto de eixos de transmissão As principais especificações no projeto de eixos de transmissão são: potência Velocidade de rotação O projetista deve selecionar o material e as dimenssões da seção transversal para reunir as especificações sem exceder a tensão máxima admissivel. Para determinar o torque aplicado ao eixo numa determinada potência e velocidade, P=Tω=2π ft P P T= = ω 2πf Para encontrar a seção transversal a qual não excederá a tensão maxima cisalhante disponível, Tc τ max = J J π 3 T = c= ( eixos solidos ) c 2 τ max J π T = c24 c 14 )= ( eixos vazados ) ( c2 2 c2 τ max

9 Concentrações de tensões em eixos circulares A derivação da fórmula de torção, Fig Acoplamento de eixos usando: (a) com flange, (b) chavetas. τ max = Tc J assumindo um eixo circular com seção transversal uniforme carregado nas extremidades através de placas rígidas. É aplicado como: τ max =K Fig Coeficientes de concentração de tensão. Tc J 3-9

10 Problema Resolvido 3.6

11 Deformações plásticas em eixos circulares Assumindo um material linearmente elástico, τ max = Tc J Fig Distribuição da tensão de cisalhamento para a torção de um eixo circular. Fig Relação nãolinear, tensão em função da deformação. Fig Distribuição de tensões. A integral dos momentos a partir da distribuição interna de tensões: c c T = ρτ ( 2 πρ dρ )=2 π ρ2 τ dρ

12 Eixos circulares de material elastoplástico No torque elástico máximo, J 1 3 T Y = τ Y = 2 πc τ Y c φy = Lγ Y c A medida que o torque aumenta, uma região plástica ρ ( τ =τ Y ) se desenvolve no núcleo elástico ( τ = τ Y ) ρy = ρy Lγ Y φ ( 2 1 T = 3 πc 3 τ Y 1 4 T = 43 ( T Y 1 14 φ 3Y φ3 ρ3y c3 ) ( 4 1 = 3 T Y 1 4 ρ3y c3 ) ) Como ρy 0, o torque atinge o valor limite, Fig T P= 43 T Y = torque plástico Válido para um eixo de material elastoplástico. 3-12

13 Tensão Residual em eixos circulares A região plástica se desenvolve em um eixo quando submetido a um momento torçor alto. Quando o torque é removido, a redução de tensão e deformação no ponto considerado ocorrera ao longo de uma linha reta com uma tensão residual não-zero. Fig Na curva T-, o eixo se descarrega ao longo de uma linha reta maior que zero. Tensão residual achada a partir do princípio de Tc superposição τ 'm= ρ ( τ da ) =0 J Fig Fig. 3.38

14 Aplicação de Conceito SOLUÇÂO: Solve Eq. (3.29) for Y/c and evaluate the elastic core radius Solve Eq. (3.15) for the angle of twist Fig Eixo circular cheio. Evaluate Eq. (3.16) for the angle which the shaft untwists when the torque is removed. The permanent twist is the difference between the angles of twist and untwist T 4.6 kn m τ Y =150 MPa G 77 GPa Determinar: (a) radio do núcleo elástico, (b) o ângulo de torção do eixo. Quando o torque é removido determinar (c) a torção permanente (d) a distribuição de tensões residuais Find the residual stress distribution by a superposition of the stress due to twisting and untwisting the shaft 3-14

15 SOLUÇÂO: Resolver para Y/c e evaluar o raio do núcleo elástico 4 T=3 ( T Y ρ 1 Y 4 3 c ) ρy T = 4 3 c TY ( 1 ) 3 1 J= 2 πc 4 =2 π ( m ) φy φ ρy = φ= φy c ρy /c T Y L ( N m ) ( 1. 2 m ) φy = = JG ( m 4 ) ( Pa ) φ Y = rad = m4 TY c τy J τy = TY= J c ( Pa )( m4 ) TY = m =3.68 kn m rad 3 o φ= = rad= φ= ρy = 4 3 = c 3.68 Y 15.8 mm ( Para o ângulo de torção ) o

16 Evaluar o ângulo para o qual o eixo se untwists quando o torque é removido. A torção permanente é a diferença entre os ângulo de twist and untwist 3 3 Tc ( N m )( m ) τ max = = J m4 = MPa ' TL φ= JG ( N m ) (1. 2 m ) = ( m4 )( Pa ) = rad=6. 69 φ p =φ φ ' = =1. 81o ' φ p =1.81o Fig Superposição da distribuição de tensão para obter a tensão residual.

17 Torção de elementos se seção não circular Previous torsion formulas are valid for axisymmetric or circular shafts Fig Twisting of shaft with square cross section. Planar cross-sections of noncircular shafts do not remain planar and stress and strain distribution do not vary linearly For uniform rectangular cross-sections, Fig Shaft with rectangular cross section, showing the location of maximum shearing stress. τ max = T c 1 ab 2 φ= TL c 2 ab 3 G At large values of a/b, the maximum shear stress and angle of twist for other open sections are the same as a rectangular bar.

18 Eixos vazados de paredes finas Fig Thinwalled hollow shaft subject to torsional loading. Summing forces in the x-direction on AB, F x=0=τ A (t A Δx ) τ B ( t B Δx ) τ A t A =τ B t B =τt =q=shear flow shear stress varies inversely with thickness Fig Segment of thinwalled hollow shaft. Compute the shaft torque from the integral of the moments due to shear stress dm 0 = p df= pτ ( t ds ) =q ( pds ) =2 q da T = dm 0 = 2 q da=2 qa T τ= 2 ta Fig Shear flow in the member wall. Angle of twist (from Chapter 11) Fig Area for shear flow. φ= TL ds 4 A2 G t 3-18

19 Aplicação de conceito Um tubo de aluminio com uma seção transversal retangular submetida a um torque de 24 kip-in. Determinar a tensão de cisalhamento em cada uma das quatro paredes com (a) uma espessura de in. e (b) in. sobre AB e CD, e in. sobre CD e BD. Fig. 3.54

20 Encontrar as tensões de cisalhamento. SOLUÇÂO: Determinar as tensões. Com uma espessura uniforme, τ= T 24 kip in. = =8. 35 ksi 2tA 2( in.)(8. 986in.2 ) τ =8.35 ksi A=( 3.84 in. )( 2.34 in. ) =8.986 in.2 Com uma espessura variável kip/in. τ AB=τ AC= in. τ AB=τ BC =11.13 ksi τ BD =τ CD = kip/in in. τ BC =τ CD =6. 68 ksi 3-20