RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II TORÇÃO PARTE II

Transcrição

1 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II TORÇÃO PARTE II Prof. Dr. Daniel Caetano

2 Objetivos Calcular deformações por torção Capacitar para o traçado de diagramas de momento torsor em barras

3 Material de Estudo Material Apresentação Acesso ao Material (Resistência dos Materiais II Aula 6) Material Didático Resistência dos Materiais (Hibbeler), págs 139 a 150. Biblioteca Virtual Resistência dos Materiais

4 RELEMBRANDO: CISALHAMENTO E A TORÇÃO

5 Deformação por Torção Torção é a deformação por efeito do torque Torque é um esforço que deforma... Em torno do eixo longitudinal

6 Ângulo de Torção Defini-se a deformação pelo ângulo φ(x) φ(x) : varia com a distância do engastamento φ(0) Engastamento φ(l/2) φ(l)

7 Cisalhamento na Torção Fórmula da Torção 10m 10kN T τ MAX = T. R J τ(ρ) = T. ρ J τ(ρ)? τ MAX? O que era, mesmo?

8 Cisalhamento na Torção Esforços internos causados pelo torque R 0 T τ(ρ) τ MAX ρ T

9 Exercício Um momento torçor de 1MN.m age sobre um eixo de aço, G=50GPa, com raio 0,1 m (seção circular). Qual é o cisalhamento máximo na barra? 10m 1MN.m

10 Exercício 10m 1MN.m G = 50GPa R = 0,1 m J = π R4 2 J = π. (10 1 ) 4 2 J = π J = π m 4

11 Exercício 10m 1MN.m G = 50GPa R = 0,1 m J = π m 4 τ MAX = T. R J τ MAX = π τ MAX = π τ MAX 637MPa

12 DEFORMAÇÃO POR TORÇÃO

13 Deformações Axiais x Torcionais Nos lembramos da deformação axial 10m 10kN Como calcular a deformação torcional? 10m 10kN.m

14 Deformação por Torção γ dφ s Engastamento γ = ρ dφ dx ρ γ dx φ(x) L ρ.dφ = γ.dx T ρ Vamos partir daqui!

15 CÁLCULO DO ÂNGULO DE TORÇÃO

16 Ângulo de Torção De maneira geral: γ = ρ dφ dx Queremos calcular φ γ = ρ dφ dφ = γ dx dx ρ Mas, pela lei de hooke... τ = G γ γ = τ G γ s dx dφ ρ dφ = τ G dx ρ

17 Ângulo de Torção s dφ Juntando... dφ = τ G dx ρ... com... T. ρ τ = J γ dx ρ dφ = T. ρ G. J dx ρ dφ = T G. J dx φ = 0 L T G. J dx φ(x) T ρ γ L

18 Ângulo de Torção Considerando T, G e J constantes... φ = 0 L T G. J dx φ = T G. J L dx 0 δ = P. L E. A φ = T. L G. J [rad] Fórmula geral γ φ = 0 L T(x) G(x). J(x) dx φ(x) T ρ L

19 EXERCÍCIO: ÂNGULO DE TORÇÃO

20 Exercício Um momento torçor de 1MN.m age sobre um eixo de aço, G=50GPa, com raio 0,1 m (seção circular). Qual é a rotação entre os dois extremos do eixo, distantes 10m entre si? 10m 1MN.m

21 Exercício 10m 1MN.m G = 50GPa R = 0,1 m J = π R4 2 J = π. (10 1 ) 4 2 J = π J = π m 4

22 Exercício 10m 1MN.m G = 50GPa R = 0,1 m J = π m 4 φ = T. L G. J φ = π φ = π φ = π φ 1, 27 rad

23 RESUMO DE FÓRMULAS

24 Fórmulas para Torção Pelo que vimos até agora... Apenas seções circulares! Dependemos sempre do T! τ MAX = T J. R R T τ MAX P = T. ω φ = T. L G. J φ T R L

25 DIAGRAMA DE MOMENTO TORSOR

26 Convenção de Sinais Sinal é dado pela regra da mão direita Seta saindo da superfície: + T

27 Diagramas Planos Momentos Torsores Concentrados 200kN.m T:

28 Diagramas Planos Momentos Torsores Concentrados 200kN.m T:

29 Diagramas Planos Momentos Torsores Concentrados 200kN.m T: + 200kN.m

30 Diagramas Planos Momentos Torsores Concentrados 200kN.m T:

31 Diagramas Planos Momentos Torsores Concentrados 200kN.m T:

32 Diagramas Planos Momentos Torsores Concentrados 200kN.m T: - 200kN.m

33 Diagramas Planos Vários Momentos Torsores Concentrados 100kN.m 200kN.m T:

34 Diagramas Planos Vários Momentos Torsores Concentrados 100kN.m 200kN.m T:

35 Diagramas Planos Vários Momentos Torsores Concentrados 100kN.m 200kN.m T: + 200kN.m

36 Diagramas Planos Vários Momentos Torsores Concentrados 100kN.m 200kN.m T: + 200kN.m

37 Diagramas Planos Vários Momentos Torsores Concentrados 100kN.m 200kN.m T: + 100kN.m + 200kN.m

38 Diagramas Planos Vários Momentos Torsores Concentrados 300kN.m 200kN.m T: - 100kN.m + 200kN.m

39 ATENÇÃO: Força Normal x Torque Essas são forças normais (tração/compressão) 200kN 50kN 150kN Esses são torques (momentos torçores) 200kN.m 50kN.m 150kN.m

40 EXERCÍCIO PRÉ-INTERVALO

41 Exercício Traçar o diagrama de momentos torsores 200kN.m 50kN.m 150kN.m

42 PAUSA PARA O CAFÉ

43 BREVE RECORDAÇÃO/INTRODUÇÃO: SISTEMAS DE FORÇAS MECANICAMENTE EQUIVALENTES

44 Sistemas de Forças ME Quando, para seção transversal específica: Configurações de forças diferentes... Esforços solicitantes iguais Exemplo: Do ponto de vista de A D A P P M = P.D A

45 Sistemas de Forças ME Outro exemplo: Do ponto de vista de A D A P D P 2.P M = P.D + P.2.D A

46 Sistemas de Forças ME Outro exemplo: Do ponto de vista de A D A P D P 2.P M = P.D + P.2.D A

47 DIAGRAMA DE MOMENTO TORSOR TRIDIMENSIONAL

48 Diagramas Tridimensionais Momentos Torsores Concentrados T: + 200kN.m 200kN.m

49 Diagramas Tridimensionais Momentos Torsores Concentrados T: 100kN.m + 300kN.m 200kN.m - 200kN.m

50 Diagramas Tridimensionais Momentos Torsores Concentrados T: 3m 10kN

51 Diagramas Tridimensionais Momentos Torsores Concentrados T: 3m 10kN

52 Diagramas Tridimensionais Momentos Torsores Concentrados T: 3m 10kN 0

53 Diagramas Tridimensionais Momentos Torsores Concentrados T: 3m 10kN 0

54 Diagramas Tridimensionais Momentos Torsores Concentrados T: 3m 10kN + 10kN.m 10kN 10kN.m 0

55 Diagramas Tridimensionais Momentos Torsores Concentrados 20kN T: 2m 10kN

56 Diagramas Tridimensionais Momentos Torsores Concentrados 20kN T: 2m 10kN

57 Diagramas Tridimensionais Momentos Torsores Concentrados 20kN T: 2m 10kN 0

58 Diagramas Tridimensionais Momentos Torsores Concentrados 20kN T: 2m 10kN 0

59 Diagramas Tridimensionais Momentos Torsores Concentrados 20kN T: 2m 10kN 0

60 Diagramas Tridimensionais Momentos Torsores Concentrados 20kN T: 2m 10kN 10kN 10kN.m kN.m

61 Diagramas Tridimensionais Momentos Torsores Concentrados 20kN T: 2m + 10kN 0 10kN.m

62 Diagramas Tridimensionais Momentos Torsores Concentrados 20kN T: 2m kN 0 10kN.m

63 Diagramas Tridimensionais Momentos Torsores Concentrados 20kN T: 2m kN 0 10kN.m

64 Diagramas Tridimensionais Momentos Torsores Concentrados 20kN 20kN T: 10kN 2m 10kN 10kN.m 20kN.m kN.m

65 Diagramas Tridimensionais Momentos Torsores Concentrados 20kN T: 10kN.m 30kN 2m 10kN 10kN.m kN.m

66 Exercício Trace o Diagrama de Momentos Torsores 20kN T: 2m 10kN 20kN

67 EXERCÍCIO COMPLETO

68 Exercício Completo A barra abaixo, que possui G = 20GPa, tem R = 10 cm. Calcule quanto ponta da barra irá girar com relação ao engastamento e o τ MAX. 2m 30kN.m 10kN.m

69 Exercício Completo G = 20GPa R = 10 cm φ=? τ MAX =? 2m 30kN.m 10kN.m Passo 1: Diagrama de Torção T: 20kN.m kN.m

70 Exercício Completo G = 20GPa R = 10 cm φ=? τ MAX =? T: 20kN.m 2m Passo 2: Cálculo de φ kN.m J = π. R4 2 φ = T. L G. J T. L φ = G. 1 T. L φ = J G. 2 π. R 4 φ = 2. T. L G. π. R 4

71 Exercício Completo G = 20GPa R = 10 cm φ=? τ MAX =? T: 20kN.m 2m kN.m 1 2. T. L φ = G. π. R 4 Passo 3: Cálculo de φ 1 φ 1 = 2. T 1. L 1 G. π. R 4 φ 1 = 2. ( ) π. ( ) 4 φ 1 = π φ 1 0,013 rad

72 Exercício Completo G = 20GPa R = 10 cm φ=? τ MAX =? T: 20kN.m 2m Passo 4: Cálculo de φ kN.m 2. T. L φ = G. π. R 4 1 φ 1 0,013 rad φ 2 = 2. T 2. L 2 G. π. R 4 φ 2 = 2. ( ) π. ( ) 4 φ 2 = π φ 2 +0,003 rad

73 Exercício Completo G = 20GPa R = 10 cm φ=? τ MAX =? T: 20kN.m 2m kN.m 2. T. L φ = G. π. R 4 1 φ 1 0,013 rad Passo 5: φ = φ 1 + φ 2 φ 2 +0,003 rad φ 0, ,003 φ 0, 010 rad φ 0,57 o Sentido Horário!

74 Exercício Completo G = 20GPa R = 10 cm φ=? τ MAX =? T: 20kN.m 2m - Passo 6: Cálculo de τ MAX T. R τ MAX = J 1 τ MAX = T. R. 1 J kN.m φ 0, 010 rad J = 2. T τ MAX = π. R 3 τ MAX = τ MAX 12, 7MPa π. R4 2 τ MAX = T. R π ( ) 3 2. π. R 4

75 Exercício Completo G = 20GPa R = 10 cm φ=? τ MAX =? T: 20kN.m 2m - 30kN.m 1 Passo 6: Cálculo deτ MAX τ MAX = T. R J τ MAX = kN.m φ 0, 010 rad τ MAX = T. R. 1 J 10kN.m 2. T π. R 3 τ MAX = J = τ MAX 12, 7MPa π. R4 2 τ MAX = T. R π ( ) 3 2. π. R 4

76 CONCLUSÕES

77 Resumo Pode-se determinar o ângulo de torção M. Torsor: calcular as grandezas de interesse Diagramas: determinar o ponto de máximo momento de torção Exercitar: Exercícios Hibbeler E se a torção ocorrer em eixo bi-engastado? E se o eixo não possuir seção transversal circular?

78 PARA TREINAR

79 Para Treinar em Casa Mínimos: Exercícios 5.44, 5.50, 5.47, 5.50 Extras: Exercícios 5.45, 5,49, 5.48, 5.56

80 Para Treinar em Casa

81 EXERCÍCIO NO SAVA

82 Exercício Entrega Individual A barra abaixo, que possui G = 20GPa, tem R = 10 cm. Calcule quanto ponta da barra irá girar com relação ao engastamento e o τ MAX. 20π kn.m 20π kn.m Calcule qual seria a diferença de rotação e cisalhamento máximo se a barra fosse oca, com o raio interno igual a 5cm?

83 PERGUNTAS?

84 EXERCÍCIO EM SALA

85 Exercício Individual, para Agora! Trace o diagrama de momento torsor da barra abaixo e calcule a rotação entre os dois extremos da barra, com G = 200GPa e raio = 5 cm 7m 3m 100kN.m φ = T. L G. J T: 100kN.m + 0 φ = 0, 36 rad