MODELAGEM DE CURVAS DE MAGNETIZAÇÃO PARA SOLUÇÃO ITERATIVA DE CIRCUITOS MAGNÉTICOS NÃO LINEARES

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1 MODELAGEM DE CURVAS DE MAGNETIZAÇÃO PARA SOLUÇÃO ITERATIVA DE CIRCUITOS MAGNÉTICOS NÃO LINEARES MEZA, Rafael Argüello, estudante de graduação, CEFET-PR, 2005 Centro Federal de Educação Tecnológca do Paraná Av. Sete de Setembro,.65, Curtba/PR Tel. ( mal: ROCHA, Marlon Antono, estudante de graduação, CEFET-PR, 2005 Centro Federal de Educação Tecnológca do Paraná Av. Sete de Setembro,.65, Curtba/PR Tel. ( mal: marlonar_eng@hotmal.com ALMEIDA, Alvaro Augusto de, Engenhero Eletrcsta, CEFET-PR. Centro Federal de Educação Tecnológca do Paraná Av. Sete de Setembro,.65, Curtba/PR Tel. ( mal: alvaro@electraenergy.com.br RESUMO Neste trabalho apresenta-se um estudo teórco com enfoque na resolução de problemas de crcutos magnétcos construídos com núcleos compostos por dos ou três materas ferromagnétcos, com ou sem entreferro. Fo desenvolvda uma metodologa para a resolução de problemas onde se conhece a corrente elétrca e se deseja conhecer o fluxo magnétco, para o qual é necessára a execução de um processo teratvo. Consderando que o método proposto basea-se na utlzação da equação Hf(B, fo necessáro o ajuste matemátco das curvas B-H de três materas ferromagnétcos. Neste estudo foram ajustadas as curvas de magnetzação dos seguntes materas: aço-slíco, aço-funddo e lga ferro-níquel, utlzando-se para tal o método dos mínmos quadrados. A segur, com base nas equações ajustadas e utlzando-se o método teratvo da Secante, fo desenvolvdo um programa computaconal utlzando-se o software Vsual Basc for Applcatons, do Excel, o qual fo concebdo para automatzar a resolução do problema em questão. INTRODUÇÃO Os crcutos magnétcos construídos com núcleos ferromagnétcos e entreferros podem ser dvddos ddatcamente em dos tpos: (a tpo I: são problemas em que o fluxo magnétco é conhecdo e onde se deseja conhecer a força magnetomotrz NI; (b tpo II: são problemas onde se conhece a corrente e se deseja conhecer o fluxo magnétco. Os problemas do tpo I são de resolução dreta, mas são raros de se encontrar na prátca, pos geralmente o fluxo é a ncógnta. A resolução de crcutos magnétcos não lneares do tpo II pode ser conduzda de duas formas possíves: (a métodos gráfcos, onde se desenvolve a equação da reta de carga do dspostvo e se determna o ponto de operação (B, H do mesmo; (b métodos teratvos, onde se arbtra valores ncas para B e se va refnando a solução até a convergênca a um erro prevamente especfcado. A proposta deste trabalho é o desenvolvmento de um algortmo que possblte a solução automátca (computaconal de crcutos magnétcos que envolvem dos ou três materas magnétcos. 2 METODOLOGIA 2. Equaconamento do Problema Bascamente a resolução de crcutos magnétcos construídos com materas ferromagnétcos envolve 2 tpos de problemas conforme especfcado anterormente. Nesta seção faremos referênca à metodologa para a resolução dos problemas onde se conhece a corrente elétrca e se deseja conhecer o fluxo magnétco por métodos teratvos, onde se arbtra valores ncas para B e se va refnando a solução até a convergênca a um erro prevamente especfcado. Consderando que temos os dados báscos, corrente I, número de espras N, área S, comprmento e tpo do materal. Como a solução do fluxo magnétco Φ não pode ser determnado dretamente porque deve ser conhecdo a relutânca de parte do crcuto magnétco, os quas só podem ser conhecdos quando a densdade do fluxo é conhecdo, o que sgnfca que o fluxo deve ser ncalmente conhecdo, o que é claramente mpossível.

2 Verfca-se, então, que, com os dados fornecdos, é possível obter a força magnetomotrz I, pos a mesma pode ser obtda com base na corrente I e do número de espras N, que são dados neste tpo de problema, conforme é apresentado na equação ( a segur: I N.I, I é dado em ampère-espras; N é dado em espras; I é dado em ampère. Além dsto, esta força também pode ser expressa em função da somatóra do produto entre a ntensdade do campo magnétco H e o comprmento de cada materal que compõe o crcuto em estudo, como mostra a equação (2 abaxo: I n H. (2 H é dado em ampère-espras/metro; é dado em metro; representa cada materal que compõe o crcuto. Por sua vez a ntensdade do campo magnétco H, possu uma relação com a ndução magnétca B, dada pela segunte equação H B / µ. Porém, neste tpo de problema a ser resolvdo, o valor de B não é dretamente conhecdo. Contudo, este conjunto de pontos ( B,H pode também ser obtdo através da denomnada curva de magnetzação de materas ferromagnétcos. Esta curva pode ser matematcamente ajustada através do método dos mínmos quadrados, fornecendo, então, uma equação H f ( B. Uma vez obtda a relação H f ( B, através do ajuste da curva de magnetzação de cada materal que compõe o crcuto em estudo, é possível substtur o valor de H na equação de (2 pelas respectvas equações H f ( B, resultando a expressão ( a segur: ( n [ f ( B ]. I H ( onde B é dado em tesla (ou Wb/m 2 Como se sabe, a ndução magnétca B pode ser expressa pela relação em função do fluxo magnétco Φ, dada pela equação B Φ / S. Então, substtundo esta relação na equação (, obtém-se a expressão (4: n Φ H f. S I Φ é dado em weber; S é dado em metro quadrado. Fnalmente, substtundo a equação ( na relação (4 acma, e gualando a mesma zero, obtém-se a expressão a segur: n Φ 0 H f. S ( N. I Observa-se que todas as varáves que compõem esta equação são dados conhecdos no problema, com exceção do fluxo magnétco Φ. Portanto, tem-se o segunte problema a ser resolvdo: uma equação a uma ncógnta. Consderando sto, a solução deste problema não poderá ser obtda de forma dreta, e sm através da realzação de um processo teratvo, até se obter o resultado desejado. Neste trabalho optou-se em utlzar o método da secante para realzar as terações necessáras para resolver o problema em questão. A aplcação deste método será melhor explanada na seqüênca. Destaca-se que a equação (5 é válda para o caso em que o crcuto magnétco a ser resolvdo é composto por até tpos de materas dferentes. Porém, caso o crcuto seja composto por um ou dos materas (4 (5

3 mas um entreferro esta equação passa a ter um formato pouco dferente como mostrado a segur: n 0 Φ Φ H f. +. S S g µ 0 g ( N. I S g é a área do entreferro, dado em metro quadrado; g é o comprmento do entreferro, dado em metro; µ o é o coefcente de permeabldade do ar, cujo valor é 4π.0-7 H/m. Nota-se que no caso da equação (6 a únca varável desconhecda é também o fluxo magnétco Φ. Logo, a solução da mesma deverá ser obtda através da utlzação de um método teratvo, como no caso anteror. 2.2 Metodologa para o ajuste das curvas de magnetzação Para a obtenção da equação H f ( B de um materal ferromagnétco, deve-se partr de um conjunto de n pontos ( H,B que correspondem à curva de magnetzação fornecda pelo fabrcante do materal. De posse desses pontos, segundo Campos (98, a técnca mas comumente utlzada para se consegur um melhor ajuste é o método dos mínmos quadrados, e, sendo assm, o mesmo fo o escolhdo para ser utlzado neste trabalho. Neste método o objetvo é o de obter estmatvas para os parâmetros da função de ajuste das curvas de modo que os desvos ou resíduos sejam mínmos. Para se aplcar o método dos mínmos quadrados, é necessáro que se efetue uma lnearzação do problema através de alguma transformação convenente (RUGGIERO E LOPES, 996. Vsando obter o melhor ajuste possível para a representação da curva de magnetzação na forma H f ( B dos materas estudados, foram testados dversos modelos matemátcos, tas como polnomal de dversos graus, logarítmco, exponencal, hperbólco, entre outros. Após a realzação de váras tentatvas, concluu-se que os métodos mas adequados para o ajuste das curvas em estudo resultaram ser o polnomal de dversos graus e o exponencal. 2. Metodologa utlzada para a realzação do processo teratvo Um método teratvo consste de uma seqüênca de nstruções que são executadas passo a passo, algumas das quas são repetdas em cclos, sendo que a execução de um cclo recebe o nome de teração. Na aplcação desta técnca cada teração utlza resultados das terações anterores e efetua determnados testes que permtem verfcar se fo atngdo um resultado próxmo o sufcente do resultado esperado. Observa-se que os métodos teratvos fornecem apenas uma aproxmação para a solução, enquanto os métodos dretos, teorcamente, obtêm a solução exata da equação. O método da secante, escolhdo para ser utlzado para resolução do problema proposto neste trabalho, é um método teratvo baseado no método de Newton-Raphson, dferndo do mesmo somente na forma da função de teração. O que o método de Newton-Raphson faz, na tentatva de garantr e acelerar a convergênca do processo teratvo, é utlzar uma função de nteração ϕ ( B dada pela segunte expressão: f ( B ϕ ( B B (7 f ' ( B Como pode ser observado, no método de Newton-Raphson, a função de teração é composta pela dervada f ' ( B da equação a ser resolvda, o que consttu uma grande desvantagem, pos resulta necessáro obter f ' ( B e calcular seu valor numérco a cada teração. O que o método da Secante faz, de tal forma a contornar este problema, é substtur a dervada f ' ( B pelo quocente das dferenças: f ( B f ( B f ' ( B (8 B B onde B e B são duas aproxmações para a raz. Então, no método da secante, a função de teração fca (RUGGIERO E LOPES, 996: (6

4 f ( B ϕ ( B B (9 f ( B f ( B B B B f ( B ( B B (0 f ( B f ( B ou anda: B f ( B B f ( B ϕ ( B ( f ( B f ( B Vsto que o método da secante é uma aproxmação para o método de Newton-Raphson, as condções para a convergênca do método são pratcamente as mesmas; acrescenta-se anda que o método pode dvergr se f ( B f ( B. RESULTADOS Os resultados deste estudo foram dvddos em 2 seções. Prmeramente serão apresentados os resultados obtdos no processo de ajuste das curvas de magnetzação dos materas consderados neste caso. Logo depos, será apresentado o algortmo do programa computaconal confecconado para facltar a resolução do problema sobre crcuto magnétco proposto, onde se conhece a corrente elétrca e se deseja conhecer o fluxo magnétco, através da utlzação de método teratvo.. Ajustes das curvas de magnetzação Neste estudo foram ajustadas as curvas de magnetzação dos seguntes materas ferromagnétcos: aço funddo, aço-slíco, lga ferro-níquel. Estes materas foram escolhdos devdo à dsponbldade de suas respectvas curvas de magnetzação. Uma vez obtdo grafcamente o conjunto de pontos ( B,H, para cada materal seleconado (aço funddo, aço-slíco, lga ferro-níquel, procedeu-se a realzação do ajuste das respectvas curvas. Neste estudo, optou-se por fazer o ajuste nvertendo os exos da curva de magnetzação, de tal forma a obter equações em que o campo magnétco H fque em função da ndução magnétca B, ou seja, H f ( B. O ajuste de cada uma destas curvas fo realzado pelo método dos mínmos quadrados, sendo cada curva novamente dvdda em alguns trechos de tal forma a se obter um melhor ajuste aos pontos grafcamente obtdos. Na tabela a segur apresenta-se o resumo das equações que obtveram o melhor ajuste possível para as curvas estudadas, em cada um dos trechos defndos, assm como o ntervalo de valdade de cada uma destas equações e o seu respectvo coefcente de correlação. Neste caso, a valdade das equações refere-se ao ntervalo da varável ndução magnétca B, cuja undade está dada em Tesla, para o qual cada equação deve ser aplcada. TABELA. Equações H f (B ajustadas para os materas estudados Materal Trecho Equação Valdade de B (tesla H 75, ,007B + 69,0547B 2 0,0 0,70 Aço Funddo 2 H 77, e 2, B 0,7,5 H , , B ,4984B ,502642B , B 4,6,64 Aço Slíco 2 H 42, , B - 0,5099B , B 0,0,00 H -62, ,854B - 764,4086B ,07265B,0,5 H 0, e 8, B,6,60

5 Materal Trecho Equação Valdade de B (tesla H -0, , B + 99, B 2-252,889627B + 94, B 4 0,0 0,90 Ferro- Níquel 2 H 0, e 6, B 0,9,4 H , ,75507B ,825694B ,9584B ,7797B 4,44,54 FONTE: OS AUTORES 4 H,54,54,54 Nas fguras a segur apresentam-se as curvas ajustadas para cada materal estudado, assm como os pontos obtdos grafcamente da lteratura. FIGURA. Curva de magnetzação aço funddo.,8 FIGURA.2 Curva de magnetzação açoslíco.,8,6,6,4,4,2,2 B (Tesla,0 0,8 B (Tesla,0 0,8 0,6 0,6 0,4 0,4 0,2 0,2 0, H (A/m 0, H (A/m Curva ajustada Pontos obtdos grafcamente FONTE: OS AUTORES. FONTE: OS AUTORES. Curva ajustada Pontos obtdos grafcamente FIGURA. Curva de magnetzação lga ferro-níquel.,8,6,4,2 B (Tesla,0 0,8 0,6 0,4 0,2.2 Algortmo do Programa Computaconal. 0, H (A/m Curva ajustada Pontos obtdos grafcamente FONTE: OS AUTORES. Na fgura.4 apresenta-se o algortmo que lustra a seqüênca do programa computaconal desenvolvdo de tal forma a automatzar a resolução do problema em questão, para o qual resulta necessáro a execução de um processo teratvo. O software Vsual Basc for Applcatons, do Excel fo utlzado para o desenvolvmento deste programa, pos a mesma consttu-se numa ferramenta bastante acessível e de fácl aplcação, sendo uma das lnguagens mas utlzadas na atualdade.

6 FIGURA.4 Algortmo relatvo ao programa computaconal desenvolvdo. Dados de Entrada: N, I, l, S, H(, f[(b(,] da curva B-H., 2, (tpos de materas, 2, (trechos em que a curva B-H fo ajustada Força magnetomotrz (f.m.m.: I N.I Fluxo Magnétco (Φ e Indução Magnétca (B - Valores Incas: Φ 0 ; Φ 2 Φ Φ2 B, ; B2, S S Equações bases para o processo teratvo: F { H(, f [ B, (, ] } N. I F2 { H(, f [ B2, (, ] } N. I onde trecho para todos os materas no prmero processo teratvo, podendo varar na segunte etapa em função da valdade da equação de cada trecho de cada materal. Equação de Iteração: Φ F2 Φ2 F Φ' ( F2 F [( ( ] B ' Φ' S { H(, f [ B' (, ] N. I} F' Φ Φ 2 Φ 2 Φ' não F ' < 0,0000 sm ' B obtdos estão dentro do ntervalo de valdade das equações H f(b utlzadas Substtur H(, f[b(,] não pela equação ajustada para o trecho subseqüente sm Cálculo dos Dados de Saída: Φ ; B ; H ; µ Apresentação dos Resultados FONTE: OS AUTORES Fm

7 4 CONCLUSÕES O estudo das curvas B-H mostrou-se bastante nteressante, pos trata-se de um assunto abordado e utlzado em dversas dscplnas do curso, tas como Eletromagnetsmo e Conversão Eletromecânca. A vsão mas prátca adqurda ao longo deste trabalho, agregada aos conhecmentos teórcos, facltará o uso profssonal dos concetos estudados. Quanto às dfculdades encontradas na realzação deste estudo, cabe menconar que não fo fácl encontrar curvas B-H que reunssem as condções necessáras para a sua utlzação. Como o contato com fabrcantes de materas magnétcos não teve sucesso, optou-se, então, por utlzar os dados de gráfcos encontrados na lteratura. Na seqüênca fez-se o ajuste das curvas seleconadas para o estudo. Esta etapa fo bastante trabalhosa, utlzando-se para o ajuste de curvas o método dos mínmos quadrados. Uma vez realzado os ajustes das curvas, o trabalho ncluu o desenvolvmento de um programa computaconal que possbltasse a resolução do problema proposto, para o qual resulta necessáro a aplcação de um método teratvo. Este programa fo mplementado utlzando o software Vsual Basc for Applcatons, do Excel. Consdera-se que a solução apresentada é de grande relevânca, prncpalmente para ser utlzada em aplcações ddátcas, pos o que se encontra mas freqüentemente na lteratura são estudos que adotam técncas mas complexas, como a dos elementos fntos, cujo emprego requer um conhecmento profundo de modelagem matemátca. Fnalmente, os algortmos apresentados permtrão a extensão para trabalhos futuros. A partr das curvas de magnetzação modeladas, por exemplo, pode-se construr curvas de hsterese e, a partr delas analsar numercamente a dstorção de conteúdo harmônco produzda por um núcleo ferromagnétco. 5 REFERÊNCIAS BASTOS, J. P. A. Eletromagnetsmo e Cálculo de Campos. 2da. Edção. Edtora Unversdade Federal de Santa Catarna, 992. BOCCHETTI, P.; MENDEL, C. A. Eletrodnâmca e Eletromagnetsmo. Exped, Ro de Janero, p. CAMPOS, L. B. Cálculo Numérco. a Edção, Vol p. CHIAVERINI, V. Tecnologa Mecânca. 2 a Edção, p. DEL TORO, V. Electromechancal Devces for Energy Conversón and Control Systems. Prentce-Hall, INC. New Jersey. 6p. KOLTERMANN, P. I. Cálculo de Campos Magnétcos Consderando Hsterese. Tese de Doutorado em Engenhara Elétrca Unversdade Federal de Santa Catarna, Floranópols, Brasl, p. LEITE, J. V. Análse de Módulos Dferencas de Hsterese Magnétca Consderando Laços Menores de Indução. Dssertação em Engenhara Elétrca Unversdade Federal de Santa Catarna, Floranópols, Brasl, p. MACEDO, A. Eletromagnetsmo. Edtora Guanabara S. A., Ro de Janero p. MARTINS, N. Introdução à Teora da Eletrcdade e do Magnetsmo. 2 a. edção, edtora Edgard Blücher Ltda. São Paulo, 975. MENEZES, A. A. Eletrotécnca. Edtora Lvros Técncos e Centífcos, p. RUGGIERO, M. A. G.; LOPE, V. L. R. Cálculo Numérco. Mc Graw Hll, Sao Paulo, p. SADIKU, M. N. O. Elementos de Eletromagnetsmo. ª. Edção. Edtora Booman p. SCHIMIDT, W. Materas Elétrcos. a. Edção Vol. 2, p. REITZ, J. R.; MILFORD F. J.; CHRISTY, R. W. Fundamentos da Teora Eletromagnétca. Edtora Campos, p.