UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

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1 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Insttuto de Cêncas Matemátcas e de Computação Programa de Pós-Graduação em Cêncas de Computação e Matemátca Computaconal (PPG-CCMC) O método das nterfaces mersas para a solução da equação de Posson-Boltzmann Mguel Angel Rojas Meza Dssertação de Mestrado

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3 SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP Data de Depósto: Assnatura: Mguel Angel Rojas Meza O método das nterfaces mersas para a solução da equação de Posson-Boltzmann Dssertação apresentada ao Insttuto de Cêncas Matemátcas e de Computação ICMC-USP, como parte dos requstos para obtenção do título de Mestre em Cêncas Cêncas de Computação e Matemátca Computaconal. VERSÃO REVISADA Área de Concentração: Cêncas de Computação e Matemátca Computaconal Orentador: Prof. Dr. José Alberto Cumnato USP São Carlos Julho de 27

4 Fcha catalográfca elaborada pela Bbloteca Prof. Achlle Bass e Seção Técnca de Informátca, ICMC/USP, com os dados fornecdos pelo(a) autor(a) M634o Meza, Mguel Angel Rojas O método das nterfaces mersas para a solução da equação de Posson-Boltzmann / Mguel Angel Rojas Meza; orentador José Alberto Cumnato. São Carlos SP, p. Dssertação (Mestrado - Programa de Pós-Graduação em Cêncas de Computação e Matemátca Computaconal) Insttuto de Cêncas Matemátcas e de Computação, Unversdade de São Paulo, 27.. Mecânca dos Fludos e Aplcações. 2. Posson-Boltzmann. 3. Método das Interfaces Imersas. I. Cumnato, José Alberto, orent. II. Título.

5 Mguel Angel Rojas Meza The mmersed nterface method for the soluton of the Posson-Boltzmann equaton Master dssertaton submtted to the Insttuto de Cêncas Matemátcas e de Computação ICMC- USP, n partal fulfllment of the requrements for the degree of the Master Program n Computer Scence and Computatonal Mathematcs. FINAL VERSION Concentraton Area: Computer Scence and Computatonal Mathematcs Advsor: Prof. Dr. José Alberto Cumnato USP São Carlos July 27

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7 Este trabalho é dedcado às mulheres da mnha vda, avós, mãe, rmas, tas e prmas. Em especal, a memora de Elv e para meus amores Ly e Alcta.

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9 AGRADECIMENTOS A Deus pelo dom da vda e da fé. A meus pas Mguel Angel Rojas V. e Leda Meza P. por todos os esforços que fzeram para eu poder consegur estudar. Também a mnhas rmas Vanys e Merly. A meus famlares, em especal às mnhas avós Lucla e Ana por tudo que elas fzeram na mnha vda. À mnha mulher Elane Crstna pela força, amor, carnho e compreensão nos momentos dfíces e a mnha flha Alca Marana por me fazer tentar melhorar a cada da e fazer felz com seu sorrso e todo o seu amor. Ao meu orentador Prof. Dr. José Alberto Cumnato pela colaboração, pacênca e pelas chances dadas e ao Prof. Dr. Leandro Franco de Souza por me ajudar mas do que eu precsava. Aos meus amgos Rodolfo, Rogelo, Alfredo, Edwn, Mguel, John, Ruben, Henry pela ajuda e ncentvo nos das dfíces. Aos amgos e colegas do laboratóro Lmacc, funconáros e professores do ICMC-USP, pela convvênca, dcas e ajudas na pesqusa, menção especal para o Stevens, a Fran e o Mílton que foram os que mas me ajudaram. Ao Conselho Naconal de Desenvolvmento Centífco e Tecnológco-CNPq pelo apoo fnancero. Fnalmente a todos os que dreta ou ndretamente contrbuíram para a realzação deste trabalho. Muchísmas Gracas!

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11 Transforme as pedras que você tropeça nas pedras de sua escada. (Sócrates)

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13 RESUMO M.A.R MEZA. O método das nterfaces mersas para a solução da equação de Posson- Boltzmann p. Dssertação (Mestrado em Cêncas Cêncas de Computação e Matemátca Computaconal) Insttuto de Cêncas Matemátcas e de Computação, Unversdade de São Paulo, São Carlos SP, 27. A equação de Posson-Boltzmann tem uma vasta gama de aplcações, desde a cênca colodal e mcrofluídca até boquímca e bofísca. O potencal elétrco na dupla camada elétrca leva a um potencal de força, em termos das equações de Naver-Stokes que é então usado para smular o fluxo resultante. Em escoamentos bfáscos uma smplfcação desta equação é usada para se obter o campo de pressão. O presente trabalho tem como prncpal objetvo estudar o problema de Posson-Boltzmann com coefcente constante e propor uma solução através da mplementação do método das nterfaces mersas utlzando dferenças fntas de altas ordens de precsão numérca. Palavras-chave: Mecânca dos Fludos e Aplcações, Posson-Boltzmann, Método das Interfaces Imersas.

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15 ABSTRACT M.A.R MEZA. The mmersed nterface method for the soluton of the Posson-Boltzmann equaton p. Dssertação (Mestrado em Cêncas Cêncas de Computação e Matemátca Computaconal) Insttuto de Cêncas Matemátcas e de Computação, Unversdade de São Paulo, São Carlos SP, 27. The Posson-Boltzmann equaton has a wde range of applcatons, from collodal and mcrofludc scence to bochemstry and bophyscs. The electrcal potental n electrc double layer leads to a force potental n terms of the Naver-Stokes equatons that s then used to smulate the resultng flow. In bphasc flows a smplfcaton of ths equaton s used to obtan the pressure feld. The present study has as man objectve to study the problem of Posson-Boltzmann wth constant coeffcent and propose a soluton through mplementaton of the mmersed nterfaces method usng hgh order fnte dfference scheme sand thus get hgh order numercal accuracy. Keywords: Flud Mechancs and Applcatons, Posson-Boltzmann, Immersed Interfaces Method.

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17 LISTA DE ILUSTRAÇÕES Fgura Ilustração do domíno contendo uma nterface mersa Fgura 2 Solução para a equação de Posson-Boltzmann em 2D Fgura 3 Ilustração da função f (x) com descontnudade em x = α Fgura 4 Ilustração da dscretzação do domíno na descontnudade Fgura 5 Ilustração da dscretzação explcta do domíno para o método de segunda ordem Fgura 6 Ilustração do domíno contendo uma nterface mersa crcular Fgura 7 Soluções de segunda ordem, h= Fgura 8 Erro de segunda ordem do exemplo Fgura 9 Soluções de quarta ordem, h= Fgura Erro de quarta ordem do exemplo Fgura Soluções de altas ordem, h= Fgura 2 Erro de altas ordens em escala logarítmca do exemplo Fgura 3 Solução segunda ordem do exemplo Fgura 4 Erro de segunda ordem em escala logarítmca do exemplo Fgura 5 Solução quarta ordem do exemplo Fgura 6 Erro de quarta ordem em escala logarítmca do exemplo Fgura 7 Solução de alta ordem do exemplo Fgura 8 Erro de alta ordem em escala logarítmca do exemplo Fgura 9 Solução segunda ordem do exemplo Fgura 2 Erro de segunda ordem em escala logarítmca do exemplo Fgura 2 Solução quarta ordem do exemplo Fgura 22 Erro de quarta ordem em escala logarítmca do exemplo Fgura 23 Solução alta ordem do exemplo Fgura 24 Erro de alta ordem em escala logarítmca do exemplo

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19 LISTA DE TABELAS Tabela Erro cometdo no cálculo da solução aproxmada de segunda ordem, exemplo 54 Tabela 2 Erro cometdo no cálculo da solução aproxmada de quarta ordem, exemplo 55 Tabela 3 Erro cometdo no cálculo da solução aproxmada de alta ordem, exemplo. 56 Tabela 4 Erro cometdo no cálculo da solução aproxmada de segunda ordem para o exemplo Tabela 5 Erro cometdo no cálculo da solução aproxmada de quarta ordem para o exemplo Tabela 6 Erro cometdo no cálculo da solução aproxmada de alta ordem para o exemplo Tabela 7 Erro cometdo no cálculo da solução aproxmada de segunda ordem para o exemplo Tabela 8 Erro cometdo no cálculo da solução aproxmada de quarta ordem para o exemplo Tabela 9 Erro cometdo no cálculo da solução aproxmada de alta ordem para o exemplo

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21 SUMÁRIO INTRODUÇÃO FORMULAÇÃO Modelo matemátco METODOLOGIA Interface Imersa IIM clássco Sére de Taylor corrgda Dferenças Fntas Compactas Esquema Compacto de Alta Ordem PROBLEMAS BIDIMENSIONAIS Esquemas Explíctos Dferenças de 2 a Ordem Dferenças de 4 a Ordem Dferenças de Alta Ordem Equação de Posson 2D Condções de contorno do tpo Neumann RESULTADOS NUMÉRICOS MII em Posson D Exemplo MII em problemas de Posson em 2D Exemplo Exemplo CONCLUSÕES Trabalhos gerados Trabalhos futuros REFERÊNCIAS

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23 2 CAPÍTULO INTRODUÇÃO As equações de Naver-Stokes modelam o escoamento de fludos que podem ou não conter estruturas mersas. A solução numérca dessas equações pode ser realzada através de um método de projeção onde uma versão da equação de Posson-Boltzmann é resolvda a cada passo de tempo para fazer o acoplamento entre as equações de contnudade e quantdade de movmento. Devdo à aplcabldade em dversos campos, a equação de Posson-Boltzmann é amplamente estudada. Uma boa revsão desses métodos pode ser encontrada em (LU et al., 28) e cabe destacar os métodos de elementos fntos com domíno rregular (CHEN; HOLST; XU, 27) são mutas vezes utlzados para resolver a equação de Posson-Boltzmann. A prncpal dfculdade com os métodos de dferenças fntas para a solução da equação de Posson-Boltzmann é capturar corretamente a geometra com as condções de contorno corretas na nterface (CHEN; HOLST; XU, 27). Alguns esforços para resolver este problema são propostos em (ZHOU; FEIG; WEI, 28) e (GENG; YU; WEI, 27). Estes autores foram os prmeros a mplementar o salto da nterface e os métodos de frontera para a equação de Posson-Boltzmann. A nterface também pode ser capturada com métodos de nterface mersas, que para a equação de Posson-Boltzmann só foram utlzados em geometras smples em duas dmensões (ou três dmensões espacas com smetra) (QIAO; LI; TANG, 26). Matematcamente este tpo de problema leva a equações dferencas, com dados e soluções com descontnudades nas nterfaces. Alguns métodos desenvolvdos para solução desta equação não funconam devdo às rregulardades. O método conhecdo por Método de Interface Imersa (MII) fo desenvolvdo por Leveque e L (LEVEQUE; LI, 994) para melhorar a ordem de precsão do Método de Frontera Imersa (PESKIN, 972). Este método trata as equações com coefcentes descontínuos e são utlzados para resolver numercamente problemas de valor ncal e de contorno em domínos com geome-

24 22 Capítulo. Introdução Fgura Ilustração do domíno contendo uma nterface mersa Ω. Fonte: Lnnck e Fasel (25). tras rregulares e evta o uso da dstrbução Delta de Drac para defnr o termo forçante. Para modelar as descontnudades na nterface, os coefcentes no cálculo das dervadas por dferenças fntas são modfcados e termos de correção são adconados e determnados dependendo do salto da função. Pode-se obter segunda ordem de precsão (LI; ITO, 26) e, com a mposção das condções de contorno em stuações onde a geometra do domíno não concde com a malha computaconal, como mostrado na Fgura, é possível obter quarta ordem (LINNICK; FASEL, 25). Recentemente foram propostos métodos de elementos fntos mersos para algumas equações dferencas parcas elíptcas (JI; CHEN; LI, 26). Também fo feto em (ZHU; ZHANG; LI, 26) um método de volumes fntos para as condções de saltos não homogêneas e uma extensão da teora de Posson-Boltzmann (BEN-YAAKOV et al., 2), (ZHAO; HOU; LI, 22) utlza um polnômo auxlar quadrátco para um método de nterface mersa de segunda ordem que resolve equações elíptcas e um soluconador de nterface merso para a equação de Posson (caso bdmensonal). É proposto em (MARICHAL; CHATELAIN; WINCKELMANS, 24) uma abordagem de nterface mersa é feta utlzando uma metodologa de segunda ordem. Na sequênca deste texto apresentaremos o Capítulo 2, onde é descrta a formulação matemátca referente ao problema que va ser estudado, enquanto que no capítulo 3 explca-se o método das Interface Imersas e as duas metodologas mplementadas no trabalho, detalhando-se as dferenças fntas explíctas e compactas que são utlzadas na dscretzação das equações. No capítulo 4 apresentaremos a versão da metodologa utlzada para resolver problemas bdmensonas. No capítulo 5 serão mostrados os resultados numércos obtdos em uma e duas dmensões. E, por fm, no capítulo 6 são apresentados as conclusões e os trabalhos futuros.

25 23 CAPÍTULO 2 FORMULAÇÃO Neste capítulo é apresentada uma ntrodução de um problema elíptco undmensonal com coefcentes descontínuos apresentado no lvro (LI; ITO, 26), partndo de uma equação elíptca específca para obter o modelo mas geral que represente a equação de Posson- Boltzmann. 2. Modelo matemátco Consderamos o modelo elíptco undmensonal, que pode modelar o deslocamento de uma corda elástca com duas extremdades fxas sob a nfluêca de uma força externa, onde a varável β representa o coefcente de tensão da superfíce da corda (βu x ) x σu = f + νδ(x α), < x,α <, (2.) com condções de contorno especfcadas por u(x) em x = e x =. A função β(x) admte descontnudade em x = α. O termo δ(x α) é a dstrbução delta de Drac que tem como função representar a nterface. O método de nterface mersa elmna a necessdade de usar uma aproxmação para essa dstrbução nas equações de dferenças. Para verfcar essa característca do método faremos uma reformulação para o problema, onde será possível elmnar a dstrbução delta de Drac estabelecendo-se condções de salto e a constante ν representará a magntude do fluxo na nterface. Vamos denotar os valores lmtes com snal +, quando x > α e snal quando x < α. Defnmos a condção do salto de uma função u no ponto α por [u] x=α u(α + ) u(α ) lm u(x) lm u(x) x α + x α u+ u. (2.2) [u x ] x=α u x (α + ) u x (α ) lm x α + u x (x) lm x α u x (x) u x + u x. (2.3)

26 24 Capítulo 2. Formulação Integrando (2.) entre x = α e x = α +, tem-se α + α α + α ((βu x) x σu)dx = (βu x)dx α + α σudx = α + α α + ( f + νδ(x α))dx α f dx + α + α νδ(x α)dx [βu x ] x=α = β + u + x β u x = ν, (2.4) onde ν é uma constante e para que todas as ntegras possam exstr, as funções f, σ e β devem cumprr as condções de quadrado ntegrável, contnudade e prmera dervada contínua respectvamente. Tem-se também que [u] x=α = ω u + u = ω, (2.5) onde ω é uma constante. Uma forma alternatva de escrever o problema (2.) é requerer que u(x) satsfaça a equação (βu x ) x σu = f, < x,α <, (,α) (α,). (2.6) Aplcando o conceto da condção de salto em (2.6), obtém-se [(βu x ) x σu] = [ f ] [(βu x ) x ] [σu] = [ f ] β x + u x + β x u x + β + u xx + β u xx (σ + u + σ u ) = [ f ] β + u xx + = β u xx + β x u x β x + u x + (σ u σ + u + ) + [ f ] u xx + = β β + u xx + β β + u x β + x β + ( β β + u x + ν ) ( [σ]u + ωσ + β + + β + + [ f ] ) β +. (2.7) Nas expressões (2.4), (2.5) e (2.7) vamos expressar os valores lmtes do lado postvo +, em termos daqueles que estão do lado negatvo, da segunte forma u + =u + ω, u + x = β β + u x + ν β + (2.8) u + xx = β β + u xx + β β + u x β x + β (β + ) 2 u x + β x + ν (β + ) 2 + [σ]u β + + ωσ + β + + [ f ] β +. Para smplfcar o problema assummos que σ(x) e f (x) são funções suaves e β(x) é uma função constante por partes com salto fnto em α. Assm tem-se σ + = σ, β x + = β x = e u + = u, donde obtém-se

27 2.. Modelo matemátco 25 u + = u, u + x = β β + u x + ν β +, u xx + = β β + u xx. As expressões em (2.8) serão utlzados mas adante para desenvolver o MII, pos carregam nformações da Interface. Por fm, consderamos um modelo bdmensonal da equação (2.6), com σ = e ntroduzndo o termo fonte k 2 snh(u) + g, que é não lnear, e assm obtemos a equação de Posson- Boltzmann (β u) = k 2 snh(u) + g. (2.9) Na fgura 2 temos a solução para esta equação no domíno retangular ω = [,] [,], onde já é possível perceber o tpo de decomposção em dos subdomínos que aparecerá em nossas aplcações. Fgura 2 Solução para a equação (2.9) em 2D. Com domíno [,] [,], com solução u = exp(xy), β = x 2 + y 2 e k =. Regão azul está dentro de Ω e vermelha dentro de Ω +. Fonte: Helgadóttr e Gbou (2). A equação (2.9) pode também descrever o potencal elétrco em uma solução, onde u é o potencal electrostátco desconhecdo, k é o nverso do comprmento de Debye-Hückel, β é o coefcente de delétrco e g é o termo fonte. Desta forma chegamos a equação que será objeto de nosso estudo mas precsamente o caso onde β é uma função constante (fxa ou por partes), com k = e sendo que um dos dos subdomínos tem solução dentcamente nula.

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29 27 CAPÍTULO 3 METODOLOGIA Neste capítulo é apresentado o MII que captura com precsão as descontnudades na solução, descreve-se os dferentes métodos de dferenças fntas utlzados nas equações e apresenta-se também a obtenção das ordens de precsão desejadas. 3. Interface Imersa O método MII é uma modfcação de um método de dferenças fntas tradconal para aumentar a precsão da solução quando houver descontnudades nas equações envolvdas. É de extrema mportânca para o MII ter conhecmento à pror das condções de salto, que podem ser obtdas a partr de nformações físcas ou das equações governantes. Os métodos numércos são modfcados de acordo com as condções de salto apenas em pontos ou elementos da malha próxmos ou sobre a nterface, enquanto longe da nterface adota-se a dscretzação padrão em dferenças ou elementos fntos. No presente caso, os detalhes utlzados na dferencação, serão apresentados na próxma seção. Um avanço sgnfcatvo no MII fo proposto por (WIEGMANN; BUBE, 2) que ntroduzram o método das nterfaces mersas com salto explícto. Esses pesqusadores fzeram a smples, mas mportante observação: técncas de dferenças fntas falham quando aplcadas à funções não suaves, pos a expansão da sére de Taylor em que as mesmas se baseam são nváldas. Neste contexto, uma expansão em sére de Taylor nclundo saltos é utlzada para obter aproxmações de segunda ordem de precsão. Segundo (LINNICK; FASEL, 25) a prncpal dea do MII é que os esquemas de dferenças fntas nas nterfaces mersas devem ser corrgdos para manter a precsão do método numérco. Além dsso, segundo (LI; ITO, 26) o MII é um método de nterfaces mersas no qual as condções de salto são forçadas exata ou aproxmadamente. Exstem város tpos de problemas de nterface dependendo da estrutura das equações

30 28 Capítulo 3. Metodologa dferencas, com coefcentes descontínuos ao longo da nterface mas não nos termos fontes. A estrutura da nterface pode ser fxa (não depender do tempo) ou móvel através do tempo quando há mas de uma nterface. 3.2 IIM clássco Este esquema adota aproxmações de segunda ordem para dscretzar a Equação (2.6) com σ =, abordagem feta por L e Ito em (LI; ITO, 26). No método das nterface mersas para o modelo geral undmensonal que representa a equação de Posson-Boltzmann, as funções β(x) e f (x), podem ter um salto fnto em x = α. A solução admte um salto [u] = ω e anda é possível mpor condção de salto na sua prmera dervada, [βu x ] = ν. Para uma dscretzação unforme do domíno, dada pelos pontos de malha x, para =,...,N, N >, admte-se que x j e x j+ são pontos rregulares se α [ x j,x j+ ), e x é regular se j. Para os pontos regulares adota-se o esquema de segunda ordem β(x 2 )U β(x 2 )U β(x + 2 )U + β(x + 2 )U + h 2 = f (x ), (3.) onde h = x + x é o tamanho de malha. Para os pontos rregulares x j e x j+ tem-se, respectvamente, γ j, U j + γ j,2 U j + γ j,3 U j+ = f j +C j, (3.2) γ j+, U j + γ j+,2 U j+ + γ j+,3 U j+2 = f j+ +C j+. (3.3) Expandndo os termos u(x j ), u(x j ), u(x j+ ) e f (x j ) em torno da nterface α, e em cada lado da nterface adotando-se as relações de salto defndas em (2.8), para expressar as funções da expansão em termos de um lado em partcular é possível obter o erro de truncamento local e assm consegur os coefcentes que conduzem a segunda ordem de precsão. Vamos consderar a expansão de u(x j ), u(x j ) e u(x j+ ) em torno de α, onde tem-se, u(x r ) = u (α) + (x r α)u x (α) + 2 (x r α) 2 u xx(α) + O((x r α) 3 ),r = j, j. (3.4) u(x j+ ) = u + (α) + (x j+ α)u + x (α) + 2 (x j+ α) 2 u + xx(α) + O((x r α) 3 ). (3.5) Utlzando as relações de salto (2.8) com σ = e substtundo u + (α), u + x (α) e u + xx(α) em (3.5), obtém-se: u(x j+ ) =u (α) + ω + β β + (x j+ α)u x + ν β + (x j+ α) (β +x β x + β + β 2β + (x j+ α) 2 u xx(α) + (x j+ α) 2 2β + (x j+ α) 2 β + x ν 2(β + ) 2. β + ) u x (α) (3.6)

31 3.2. IIM clássco 29 Agora determna-se as expressões que mnmzam a magntude do erro de truncamento local (ETL), através do método dos coefcentes ndetermnados que é dado por: T j = γ j, u(x j ) + γ j,2 u(x j ) + γ j,3 u(x j+ ) f (x j ) C j. (3.7) Substtundo as equações (3.4) e (3.6) na equação (3.7) do (ETL) temos T j =[γ j, + γ j,2 + γ j,3 ]u (α) + [(x j α)γ j, + (x j α)γ j,2 + { β ( β β + (x j+ α) x β + β β x + ) (x j+ α) 2 (β + ) 2 }γ j,3 ]u x (α) 2 + [ (x j α) 2 γ j, + (x j α) γ j,2 + (x j+ α) 2 β γ j,3 ]u 2 xx(α) f (α) O(h) C j + γ j,3 {ω + (x j+ α) ν β + β + x ν(x j α) 2 2(β + ) 2 } + O( max k 3 γ j,k h 3 ). onde ω [u] x=α, e f j = f (α) + O(h). Assumndo que f é uma função suave, β uma função constante por partes com um salto fnto em α e ω =, obtém-se β x + = β x = e u + = u. Com sto, os coefcentes γ j,k, com k =,2,3, que conduzem à segunda ordem de precsão do método, são dados pela solução do sstema γ j, + γ j,2 + γ j,3 = (x j α)γ j, + (x j α)γ j,2 + β β + (x j+ α)γ j,3 = 2 (x j α) 2 γ j, + 2 (x j α) 2 γ j,2 + β 2β + (x j+ α) 2 γ j,3 = β e o termo de correção é C j = γ j,3 (x j+ α) ν β +. (3.9) De forma análoga, pode-se calcular os coefcentes γ j+,k, k =,2,3, para x j+ através do sstema γ j+, + γ j+,2 + γ j+,3 = β + β (x j α)γ j+, + (x j+ α)γ j+,2 + (x j+2 α)γ j+,3 = β + 2β (x j α) 2 γ j+, 2 (x j+ α) 2 γ j+,2 + 2 (x j+2 α) 2 γ j+,3 = β + e o novo termo de correção é (3.8) (3.) C j+ = γ j+, (α x j ) ν β. (3.) Assm o método tem o erro global de segunda ordem de precsão na norma nfnta, se β é constante então resolvendo o sstema (3.8) voltamos ao esquema padrão de dferenças fntas de 3 pontos centras com γ j, = γ j,3 = β e γ h 2 j,2 = 2β, onde h é o tamanho da malha. Por últmo, se h 2 ν =, então C j = C j+ =, nesse caso a descontnudade em β afeta somente os coefcentes, mas não o lado dreto. A análse da establdade deste método e dos casos mas geras podem ser vstas em (HUANG; LI, 999), neste artgo tem-se o Teorema que garante a establdade do método aqu proposto e assm sua convergênca de segunda ordem.

32 3 Capítulo 3. Metodologa Teorema. [Assumndo que β +, β > com σ. Se β + x = β x =, então o sstema (3.8) tem únca solução. Para problemas mas geras é garantda uma únca solução se h for sufcentemente pequeno. O teorema também se aplca quando tem-se mas de un ponto rregular] 3.3 Sére de Taylor corrgda Consdere uma função f (x) com uma descontnudade no ponto x = x α. Deseja-se utlzar a expansão em sére de Taylor no ponto x para aproxmar f (x) no ponto x +. Assume-se que f (x) é analítca em todos os pontos do domíno D = {x x x x + } exceto no ponto x α onde há um salto (descontnudade) no valor da função e/ou suas dervadas. Se x < x α a expansão em sére de Taylor padrão envolvendo x α não pode ser usada para aproxmar f (x + ) a menos que um termo de correção J α seja adconado: onde f (x + ) = f (x ) + f () (x )h + f (2) (x ) h2 2! + + J α, (3.2) J α = [ f ] α + [ f () ] α (h + ) + 2! [ f (2) ] α (h + ) 2 +, (3.3) com h = x + x e h + = x + x α. O termo [φ] α representa o salto no valor da função em x = x α, sto é, [φ] α = lm φ(x) lm φ(x), (3.4) x x α + x xα assm, o termo [ f ] α representa o salto no valor da função em x = x α, [ f () ] α representa o salto no valor da prmera dervada da função e assm por dante. A equação (3.2) é denomnada sére de Taylor corrgda. A prova da exstênca dessa expansão é dada por (WIEGMANN; BUBE, 2). Consdere-se o caso em que x < x α. Usando o termo de correção J α pode-se agora, modfcar qualquer método de dferenças fntas, e o método corrgdo pelo salto rá manter a ordem de precsão do orgnal quando o estêncl envolver uma sngulardade/salto da função Dferenças Fntas Compactas Uma aproxmação de dferenças fntas compactas de quarta ordem para a segunda dervada, feta por Fasel e Lnnck em (LINNICK; FASEL, 25), pode ser escrta como L 2 f (2) + L2 f (2) + L 2 + f (2) + = R2 f + R 2 f + R 2 + f + + (L 2 I J α2 R 2 I J α ), (3.5) onde L n e R n são, respectvamente, os coefcentes dos lados esquerdo e dreto da aproxmação para a n-ésma dervada e J αn são as expansões dos saltos em sére de Taylor de f (n) no ponto x = x α.

33 3.3. Sére de Taylor corrgda 3 Nestes dos esquemas, I = + se o salto ocorre em x < x α < x +, e neste caso h + = x + x α e J α =[ f () ] α + (h + )[ f () ] α + (h+ ) 2 [ f (2) ] α + (h+ ) 3 [ f (3) ] α + (h+ ) 4 [ f (4) ] α + (h+ ) 5 [ f (5) ] α, 2! 3! 4! 5! (3.6) J α2 =[ f (2) ] α + (h + )[ f (3) ] α + (h+ ) 2 [ f (4) ] α + (h+ ) 3 [ f (5) ] α. 2! 3! (3.7) Se o salto ocorre em x < x α < x, então I = e neste caso h = x α x e J α = [ f () ] α + (h )[ f () ] α (h ) 2 [ f (2) ] α + (h ) 3 [ f (3) ] α (h ) 4 [ f (4) ] α + (h ) 5 [ f (5) ] α, 2! 3! 4! 5! (3.8) J α2 = [ f (2) ] α + (h )[ f (3) ] α (h ) 2 [ f (4) ] α + (h ) 3 [ f (5) ] α. 2! 3! (3.9) Os saltos podem ser obtdos por onde f (n) + e f (n) podem ser obtdos pelas nterpolações [ f (n) ] α = f (n) + f (n), (3.2) f (n) + = c n α + f α + c n+2 f +2 + c n+3 f +3 + c n+4 f +4 + c n+5 f +5 + c n+6 f +6, f (n) = c n α f α + c n f + c n 2 f 2 + c n 3 f 3 + c n 4 f 4 + c n 5 f 5. Note que, os pontos x e x + foram evtados para contornar problemas de nstabldade. Os coefcentes c n para calcular f (n) α = c α f α + c f + c + f + + c +2 f +2 + c +3 f +3 + c +4 f +4, (3.2) são obtdos da resolução do sstema lnear h h + h +2 h +3 h +4 h 2 h 2 + h 2 +2 h 2 +3 h 2 +4 h 3 h 3 + h 3 +2 h 3 +3 h 3 +4 h 4 h 4 + h 4 +2 h 4 +3 h 4 +4 c α c c + c +2 c +3 = δ n δ n 2!δ n2 3!δ n3 4!δ n4, (3.22) h 5 h 5 + h 5 +2 h 5 +3 h 5 +4 c +4 5!δ n5 em que h = x x α e δ j é a função delta de Kronecker { = j δ j = j. (3.23) Desta forma a segunda dervada pode ser obtda a partr da relação em que 2 f (2) + 2 f (2) + 2 f (2) + = h 2 f 2 h 2 f + h 2 f + + (L 2 I J α2 R 2 I J α ), (3.24) L 2 I = 2 e R 2 I = h 2 se I = ou I = +. (3.25)

34 32 Capítulo 3. Metodologa Fgura 3 Ilustração da função f (x) com descontnudade em x = α. Fonte: Lnnck e Fasel (25). Em ambos os esquemas J αn pode ser calculado pelas equações de (3.6) ou (3.8), dependendo do valor de I. O erro de truncamento local ETL que forma a quarta ordem de precção é dado por T L 2 f (2) L2 f (2) L 2 + f (2) + + R2 f + R 2 f + R 2 + f + + (L 2 I J α2 R 2 I J α ), (3.26) Calculam-se 4 expressões cada uma separadamente, para depos juntá-las e obter a expressão fnal T I + II + III + IV, com I = L 2 f (2) L2 f (2) L+ 2 f (2) +, II = R 2 f + R 2 f + R 2 + f +, III = L 2 I J α2 e IV = R 2 I J α (3.27) I = 2 [ 2( f (x ) + h2 2! f (4) + h4 4! f (6) + )] 2 f (x ) + O(h 6 ), I = f (2) h2 2 f (4) h4 288 f (6) + O(h 6 ) (3.28) II = h 2 [ 2( f (x ) + h2 2! f (2) + h4 4! f (4) + h6 6! f (6) + )] 2 h 2 f + O(h 6 ), II = f (2) + h2 2 f (4) + h4 36 f (6) + O(h 6 ) (3.29)

35 3.3. Sére de Taylor corrgda 33 III = L 2 I {( f (2) + f (2) ) + (h+ )( f (3) + f (3) ) + (h+ ) 2 2! ( f (4) + f (4) ) + (h+ ) 3 3! ( f (5) + f (5) )}. Substtundo cada f (n) + e f (n) tem-se pela sua nterpolação correspondente obtda através de (3.22), III =LI 2 {[(c 2α + f α + c 2+2 f +2 + c 2+3 f +3 + c 2+4 f +4 + c 2+5 f +5 + c 2+6 f +6 ) (c 2α f α + c 2 f + c 2 2 f 2 + c 2 3 f 3 + c 2 4 f 4 + c 2 5 f 5 )] + (h + )[(c 3α + f α + c 3+2 f +2 + c 3+3 f +3 + c 3+4 f +4 + c 3+5 f +5 + c 3+6 f +6 ) (c 3α f α + c 3 f + c 3 2 f 2 + c 3 3 f 3 + c 3 4 f 4 + c 3 5 f 5 )] + (h+ ) 2 [(c 4α + f α + c 4+2 f +2 + c 4+3 f +3 + c 4+4 f +4 + c 4+5 f +5 + c 4+6 f +6 ) 2! (c 4α f α + c 4 f + c 4 2 f 2 + c 4 3 f 3 + c 4 4 f 4 + c 4 5 f 5 )] + (h+ ) 3 [(c 5α + f α + c 5+2 f +2 + c 5+3 f +3 + c 5+4 f +4 + c 5+5 f +5 + c 5+6 f +6 ) 3! (c f 5α α + c 5 f + c 5 2 f 2 + c 5 3 f 3 + c 5 4 f 4 + c 5 5 f 5 )]}. Fazendo o desenvolvmento em seres de Taylor para f +k e f k ao redor de f α, obtém-se as expressões f +k = f α + h +k f + h2 +k 2! f (2) + h3 +k 3! f (3) + h4 +k 4! f (4) + h5 +k f (5) + O(h 6 ), (3.3) 5! f k = f α + h k f + h2 k 2! f (2) + h3 k 3! f (3) + h4 k 4! f (4) + h5 k f (5) + O(h 6 ), (3.3) 5! é consderada a segunte notação para smplfcar as contas c 2α + + c 3α + + c 4α + + c 5α + = T c 2+k + (h + )c 3+k + (h+ ) 2 c 4+k + (h+ ) 3 c 5+k = T k, k = 2,...,6 2! 3! c 2α + c 3α + c 4α + c = P 5α c 2 r + (h + )c 3 r + (h+ ) 2 c 4 r + (h+ ) 3 c 5 r = P r+, r =,...,5 2! 3! (3.32)

36 34 Capítulo 3. Metodologa Fgura 4 Ilustração da dscretzação do domíno na descontnudade Fonte: Lnnck e Fasel (25). Substtundo (3.3), (3.3) e (3.32) na expressão (III) e reagrupando os coefcentes de cada uma das f (n) para obter a constante total de cada soma, tem-se III = L 2 I {[(T + T 2 + T 3 + T 4 + T 5 + T 6 ) (P + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 )] f α + f [(T 2.h +2 + T 3.h +3 + T 4.h +4 + T 5.h +5 + T 6.h +6 ) (P 2.h + P 3.h 2 + P 4.h 3 + P 5.h 4 + P 6.h 5 )] + f (2) 2! [(T 2.h T 3.h T 4.h T 5.h T 6.h 2 +6 ) (P 2.h 2 + P 3.h P 4.h P 5.h P 6.h 2 5 )] + f (3) 3! [(T 2.h T 3.h T 4.h T 5.h T 6.h 3 +6 ) (P 2.h 3 + P 3.h P 4.h P 5.h P 6.h 3 5 )] + f (4) 4! [(T 2.h T 3.h T 4.h T 5.h T 6.h 4 +6 ) (P 2.h 4 + P 3.h P 4.h P 5.h P 6.h 4 5 )] + f (5) 5! [(T 2.h T 3.h T 4.h T 5.h T 6.h 5 +6 ) (P 2.h 5 + P 3.h P 4.h P 5.h P 6.h 5 5 )] + f (6) 6! [(T 2.h T 3.h T 4.h T 5.h T 6.h 6 +6 ) (P 2.h 6 + P 3.h P 4.h P 5.h P 6.h 6 5 )]}.

37 3.3. Sére de Taylor corrgda 35 Desenvolvendo cada uma das contas obtém-se T + T 2 + T 3 + T 4 + T 5 + T 6 = P + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 = T 2.h +2 + T 3.h +3 + T 4.h +4 + T 5.h +5 + T 6.h +6 = P 2.h + P 3.h 2 + P 4.h 3 + P 5.h 4 + P 6.h 5 = T 2.h T 3.h T 4.h T 5.h T 6.h 2 +6 = P 2.h 2 + P 3.h P 4.h P 5.h P 6.h 2 5 = T 2.h T 3.h T 4.h T 5.h T 6.h 3 +6 = h+ P 2.h 3 + P 3.h P 4.h P 5.h P 6.h 3 5 = h+ T 2.h T 3.h T 4.h T 5.h T 6.h 4 +6 = (h+ ) 2 2! P 2.h 4 + P 3.h P 4.h P 5.h P 6.h 4 5 = (h+ ) 2 2! T 2.h T 3.h T 4.h T 5.h T 6.h 5 +6 = (h+ ) 3 3! P 2.h 5 + P 3.h P 4.h P 5.h P 6.h 5 5 = (h+ ) 3 3! T 2.h T 3.h T 4.h T 5.h T 6.h 6 +6 = 274h4 225(h 3 ).h + 85.h2.(h + ) h.(h+ ) 3 + 5(h+ ) P 2.h 6 + P 3.h P 4.h P 5.h P 6.h 6 5 = 44h4 + 58(h 3 ).h + 55.h2.(h + ) 2.h.(h+ ) (h+ ) Substtundo cada soma pelo seu valor correspondente, tem-se III = L2 I. f (6) 6! {77h 4 85(h 3 ).h h 2.(h + ) h.(h+ ) 3 }. (3.33) 6 Utlza-se a mesma estratéga para calcular a últma expressão do ETL, só que agora tem-se dos termos a mas no somatóro IV = R 2 I.J α = R 2 I. 5 k= (h + ) k [ f (k) ] α, k! Novamente utlza-se as expressões do desenvolvmento de Taylor (3.3) e (3.3), e, também,

38 36 Capítulo 3. Metodologa consdera-se os seguntes novos coefcentes para smplfcar as contas c α + + c α + + c 2α + + c 3α + + c 4α + + c 5α + = L c +k + (h + )c +k + (h+ ) 2 c 2+k + (h+ ) 3 c 3+k 2! 3! + (h+ ) 4 c 4+k + (h+ ) 5 c 5+k = L k, k = 2,...,6 4! 5! c α + c α + c 2α + c 3α + c 4α + c = R 5α c s + (h + )c s + (h+ ) 2 c 2 s + (h+ ) 3 c 3 s 2! 3! + (h+ ) 4 c 4 s + (h+ ) 5 c 5 s = R s, s =,...,5 4! 5! (3.34) reagrupando de novo os coefcentes de cada uma das f (n) soma, tem-se para obter a constante total de cada IV = R 2 I {[(L + L 2 + L 3 + L 4 + L 5 + L 6 ) (R + R 2 + R 3 + R 4 + R 5 + R 6 )] f α + f [(L 2.h +2 + L 3.h +3 + L 4.h +4 + L 5.h +5 + L 6.h +6 ) (R 2.h + R 3.h 2 + R 4.h 3 + R 5.h 4 + R 6.h 5 )] + f (2) 2! [(L 2.h L 3.h L 4.h L 5.h L 6.h 2 +6 ) (R 2.h 2 + R 3.h R 4.h R 5.h R 6.h 2 5 )] + f (3) 3! [(L 2.h L 3.h L 4.h L 5.h L 6.h 3 +6 ) (R 2.h 3 + R 3.h R 4.h R 5.h R 6.h 3 5 )] + f (4) 4! [(L 2.h L 3.h L 4.h L 5.h L 6.h 4 +6 ) (R 2.h 4 + R 3.h R 4.h R 5.h R 6.h 4 5 )] + f (5) 5! [(L 2.h L 3.h L 4.h L 5.h L 6.h 5 +6 ) (R 2.h 5 + R 3.h R 4.h R 5.h R 6.h 5 5 )] + f (6) 6! [(L 2.h L 3.h L 4.h L 5.h L 6.h 6 +6 ) (R 2.h 6 + R 3.h R 4.h R 5.h R 6.h 6 5 )]}.

39 3.3. Sére de Taylor corrgda 37 Desenvolvendo cada uma das novas contas obtém-se L + L 2 + L 3 + L 4 + L 5 + L 6 = R + R 2 + R 3 + R 4 + R 5 + R 6 = L 2.h +2 + L 3.h +3 + L 4.h +4 + L 5.h +5 + L 6.h +6 = h + R 2.h + R 3.h 2 + R 4.h 3 + R 5.h 4 + R 6.h 5 = h + L 2.h L 3.h L 4.h L 5.h L 6.h 2 +6 = (h+ ) 2 2! R 2.h 2 + R 3.h R 4.h R 5.h R 6.h 2 5 = (h+ ) 2 2! L 2.h L 3.h L 4.h L 5.h L 6.h 3 +6 = (h+ ) 3 3! R 2.h 3 + R 3.h R 4.h R 5.h R 6.h 3 5 = (h+ ) 3 3! L 2.h L 3.h L 4.h L 5.h L 6.h 4 +6 = (h+ ) 4 4! R 2.h 4 + R 3.h R 4.h R 5.h R 6.h 4 5 = (h+ ) 4 4! L 2.h L 3.h L 4.h L 5.h L 6.h 5 +6 = (h+ ) 5 5! R 2.h 5 + R 3.h R 4.h R 5.h R 6.h 5 5 = (h+ ) 5 L 2.h L 3.h L 4.h L 5.h L 6.h 6 +6 = h+ 24 [ 288.h5 3288(h 4 ).h + 9.h 3.(h + ) 2 5! + 85.(h 2 ).(h + ) h.(h + ) (h + ) 5 ] R 2.h 6 + R 3.h R 4.h R 5.h R 6.h 6 5 = h+ 24 [728.h5 2528(h 4 ).h h 3.(h + ) 2 Substtundo cada nova soma por seu valor correspondente, tem-se + 55.(h 2 ).(h + ) 3 76.h.(h + ) (h + ) 5 ] IV = 7.h.h+.R 2 I. f (6) {288h 4 32(h 3 ).h h 2.(h + ) 2 +.h.(h + ) 3 9.(h + ) 4 }. 24.6! (3.35) Agora são substtuídas as expressões (3.28), (3.29), (3.33) e (3.35) no ETL (3.27) T ( ).h [L2 I.(III) R 2 I.(IV )] Se L 2 I = h 2, R2 I = 2 e h+ = β.h com < β, tem-se T ( 399.β β β β β 4584 ).h 4 + O(h 6 ) (3.36) 584 de forma análoga se faz o ETL para o ponto I = +.

40 38 Capítulo 3. Metodologa Esquema Compacto de Alta Ordem Nós propomos um esquema de dferenças fntas compactas undmensonal de sétma ordem com cnco pontos será utlzado para aproxmar numercamente a segunda dervada espacal, o esquema é dado por 2 f (2) (2) + f + 2 f (2) + = 3 4h 2 f h 2 f 5 2h 2 f + 2 h 2 f h 2 f +2 +C I, (3.37) com C I = (L I J α2 R I J α ) + (L2 I J α2 R 2 I J α), em que L I = L2 I = R I = e R2 I = 3 4h 2 se I = ou I = + 2, L I = L2 I = 2 R I = 3 4h 2 e R 2 I = 2 h 2 se I = ou I = +, (3.38) Nestes esquemas, o salto ocorre em x < x α < x +, então quando I = + ou I = + 2, nestes casos h + = x + x α, defnmos J α = J α2 = J α = J α2 = 7 k= 7 k=2 7 k= 7 k=2 quando I = ou I =, nestes casos h = x α x e (h + ) k [ f (k) ] α, (3.39) k! (h + ) k 2 (k 2)! [ f (k) ] α, (3.4) (h + h + ) k [ f (k) ] α, (3.4) k! (h + h + ) k 2 [ f (k) ] α. (3.42) (k 2)! J α = J α2 = J α = J α2 = 7 k= 7 k=2 7 k= 7 k=2 De novo os saltos podem ser obtdos por ( ) k+ (h ) k [ f (k) ] α, (3.43) k! ( ) k+ (h ) k 2 (k 2)! [ f (k) ] α, (3.44) ( ) k+ (h + h ) k [ f (k) ] α, (3.45) k! ( ) k+ (h + h ) k 2 [ f (k) ] α. (3.46) (k 2)! [ f (n) ] α = f (n) + f (n), (3.47)

41 3.3. Sére de Taylor corrgda 39 em que f (n) + e f (n) podem ser obtdos pelas nterpolações f (n) + = c n α + f α + c n+2 f +2 + c n+3 f +3 + c n+4 f +4 + c n+5 f +5 + c n+6 f +6 + c n+7 f +7 + c n+8 f +8, f (n) = c n α f α + c n f + c n 2 f 2 + c n 3 f 3 + c n 4 f 4 + c n 5 f 5 + c n 6 f 6 + c n 7 f 7. Os novos coefcentes c n para calcular f (n) α = c α f α + c f + c + f + + c +2 f +2 + c +3 f +3 + c +4 f +4 + c +5 f +5 + c +6 f +6, (3.48) são obtdos da resolução do novo sstema lnear h h + h +2 h +3 h +4 h +5 h +6 h 2 h 2 + h 2 +2 h 2 +3 h 2 +4 h 2 +5 h 2 +6 h 3 h 3 + h 3 +2 h 3 +3 h 3 +4 h 3 +5 h 3 +6 h 4 h 4 + h 4 +2 h 4 +3 h 4 +4 h 4 +5 h 4 +6 h 5 h 5 + h 5 +2 h 5 +3 h 5 +4 h 5 +5 h 5 +6 h 6 h 6 + h 6 +2 h 6 +3 h 6 +4 h 6 +5 h 6 +6 c α c c + c +2 c +3 c +4 c +5 = δ n δ n 2!δ n2 3!δ n3 4!δ n4 5!δ n5 6!δ n6, (3.49) h 7 h 7 + h 7 +2 h 7 +3 h 7 +4 h 7 +5 h 7 +6 c +6 7!δ n7 em que h = x x α e δ j é a função delta de Kronecker. Os termos dos saltos J αn novamente podem ser calculado pelas equações de (3.39) ou (3.43), dependendo do valor de I só que agora deve-se aumentar duas lnhas e duas colunas no esquema anteror para completar a submatrz de Vandermonde como pode-se ver em (3.49). Agora é determnado o erro de truncamento T = 2 f (2) (2) f 2 f (2) h 2 f h 2 f 5 2h 2 f + 2 h 2 f h 2 f +2 +C, (3.5) T I + II + III, com I = 2 f (2) (2) f 2 f (2) +, II = 3 f 4h f h 2 5 f 2h f h f 4h 2 +2 e III = C = R J α + L2 J α2 R 2 J α I = 5 f (2) 2h 2 f (4) h4 6 f (6) (3.5) h6 8 f (8) + O(h 8 ), (3.52) II = 5 f (2) + 2h 2 f (4) + h4 6 f (6) + 7h6 68 f (6) + O(h 8 ) (3.53) Para calcular (III) são utlzadas as seguntes notações J α = 8 s= (l s r s ) f α + 8 k= 7 m= (l m+ h k +m+ r m+h k m) f (k) k!, (3.54)

42 4 Capítulo 3. Metodologa onde J α2 = J α = 8 s= 8 s= (T s P s ) f α + (L s R s ) f α + l k = 7 q= r s+ = 7 q= T k = 7 q=2 P s+ = 7 q=2 8 k= 8 k= 7 m= 7 m= (T m+ h k +m+ P m+h k m) f (k) (L m+ h k +m+ R m+h k m) f (k) l = 7 c qα +, q= (h + h + ) q c q+k, k = 2,...,8 q! r = 7 c qα, q= (h + h + ) q c q s, s =,...,7 q! T = 7 c qα +, q=2 (h + ) q 2 (q 2)! c q +k, k = 2,...,8 P = 7 c qα, q=2 (h + ) q 2 (q 2)! c q s, s =,...,7 L = 7 c qα +, q= L k = 7 (h + ) q c q+k, k = 2,...,8 q= q! R = 7 c qα, q= R s+ = 7 (h + ) q c q s, s =,...,7 q= q! k!, (3.55) k!, (3.56) (3.57) (3.58) (3.59) (3.6) (3.6) (3.62) Estas fórmulas são equvalentes às (3.34) e (3.32), porém descrtas de forma smplfcada e com dos termos a mas em cada somatóro, calculando cada uma das somas e substtundo em (III), tem-se C = R R 2 7 m= 7 m= (l m+ h 8 +m+ r m+h 8 m) f (8) 8! + L2 (L m+ h 8 +m+ Rm+h 8 m) f (8) 8! 7 m= (T m+ h 8 +m+ Pm+h 8 m) f (8) 8!

43 3.3. Sére de Taylor corrgda 4 C =(2.h 2.(5696.h h 5 (h + ) h h 4 (h + ) h 4 (h + ) 2394.h 3 (h + ) 3 + (29925.h 3 (h + ) 2 )/2 + (63.h 2 (h + ) 5 )/ h 2 (h + ) 4 44.h 2 (h + ) 3 (63.h(h + ) 6 )/2 378.h(h + ) 5 + (777.h(h + ) 4 )/8) (h +.(2934.h h 6 (h + ) h 5 (h + ) h 4 (h + ) h 4 (h + ) h 3 (h + ) h 3 (h + ) h 2 (h + ) h 2 (h + ) h 2 (h + ) 4 3.h(h + ) 7 54.h(h + ) h(h + ) 5 + 3(h + ) 8 + 8(h + ) 7 429(h + ) 6 ))/96 (5959.h(h + ) 6 )/8 ( h 6 (h + ))/6 + 8.h(h + ) h 7 (h + ) + (7.h(h + ) 8 )/4 (48.h 8 (h + ))/6 ( h 7 )/ h 8 (73.h 9 )/6 + (429(h + ) 7 )/64 (225(h + ) 8 )/8 (3(h + ) 9 )/64 + ( h 2 (h + ) 5 )/2 (24995.h 3 (h + ) 4 )/3 + (3373.h 4 (h + ) 3 )/2 + ( h 5 (h + ) 2 )/2 (27.h 2 (h + ) 6 )/ h 3 (h + ) 5 + (7255.h 4 (h + ) 4 )/ h 5 (h + ) 3 + (33743.h 6 (h + ) 2 )/2 + (4.h 2 (h + ) 7 )/32 + (7.h 3 (h + ) 6 )/3 (49.h 4 (h + ) 5 )/5 (392.h 5 (h + ) 4 )/5 (973.h 6 (h + ) 3 )/3 (22.h 7 (h + ) 2 )/ + ((h + h + ) 2.(46.h h 6 (h + ) h h 5 (h + ) h 5 (h + ) h h 4 (h + ) h 4 (h + ) h 4 (h + ) + 5.h 3 (h + ) h 3 (h + ) h 3 (h + ) h 2 (h + ) h 2 (h + ) h 2 (h + ) h(h + ) h(h + ) h(h + ) 4 + 3(h + ) 7 + 8(h + ) 6 429(h + ) 5 ))/6). f (8) h 2.8! C =((3.h.( 48.h 8 24.h 7 (h + ) h h 6 (h + ) h 6 (h + ) h h 5 (h + ) h 5 (h + ) h 5 (h + ) + 68.h 4 (h + ) h 4 (h + ) h 4 (h + ) h 3 (h + ) h 3 (h + ) h 3 (h + ) h 2 (h + ) h 2 (h + ) h 2 (h + ) h(h + ) h(h + ) h(h + ) 5 + 2(h + ) (h + ) (h + ) 6 ))/32). f (8) h 2.8! C = (K.h 5 + K2.h 6 + K3.h 7 ) f (8) + O(h 8 ), (3.63) substtundo as expressões (3.52), (3.53) e (4.3) em (3.5), obtém-se T = (K.h 5 + (K )h6 + K3.h 7 ) f (8) + O(h 8 ), (3.64)

44 42 Capítulo 3. Metodologa Então o esquema compacto da parte contínua da dscretzação dos pontos regulares é de sexta ordem mas multplcado por coefcente 23/54 e o termo de correção é de qunta ordem mas com um coefcente K e o coefcente de sexta ordem é K2, os quas são sufcentemente pequenos. De forma análoga pode-se obter o ETL para os pontos I =, I = + e I = + 2. Para os pontos que fcam próxmos à borda adota-se as seguntes dscretzações 3 f (2) + 37 f (2) 2 = 9775 f 2285 f f 3 55 f 4 45 f f 6 6h 2 + O(h 5 ), (3.65) f (2) + 2 f (2) f (2) 3 = 4834 f 8424 f f f 4 8 f f 6 26 f 7 36h 2 + O(h 6 ), (3.66) f (2) (2) N + 2 f N + 3 f (2) N 2 = 4834 f N 8424 f N + 89 f N f N 3 8 f N f N 5 26 f N 6 36h 2, (3.67) 3 f (2) (2) N + 37 f N = 9775 f N 2285 f N + 7 f N 2 55 f N 3 45 f N f N 5 6h 2. (3.68)

45 43 CAPÍTULO 4 PROBLEMAS BIDIMENSIONAIS Neste capítulo, são apresentados os métodos explíctos de dferenças fntas que serão utlzados para resolver a equação de Posson em 2D. Serão analsados também os erros de truncamentos dos 3 métodos, onde serão verfcadas as suas respectvas ordens de convergênca. 4. Esquemas Explíctos Nesta seção serão apresentados os esquemas de dferenças fntas explíctos padrão que foram utlzados para dscretzar a segunda dervada, os coefcentes da dferencação dos dferentes esquemas foram obtdos através do artgo (FORNBERG, 988) onde são apresentadas váras tabelas com dversos esquemas para a segunda dervada, onde varam-se os coefcentes de cada esquema dependendo da posção do pontos onde gera-se uma equação de dferenças fntas. Dferentemente dos métodos compactos não será feta uma dscretzação no termo fonte e assm também não terá correção para este lado da dscretzação. Então aparecerá somente um termo de correção correspondente à dferença fnta utlzada e este termo terá a mesma ordem de convergênca que a dscretzação nos pontos regulares de cada método. Na fgura 5 tem-se uma lustração da dscretzação explícta utlzada para o método de segunda ordem. 4.. Dferenças de 2 a Ordem O método utlzado por (MARICHAL; CHATELAIN; WINCKELMANS, 24) para obter segunda ordem de precsão para a segunda dervada é dado por f 2 = R 2 f + R 2 f + R 2 + f + +C I, (4.) onde R 2 = R2 + = h 2, R2 = 2 h 2 e C I = R 2 I J α. Neste esquema, I = + se o salto

46 44 Capítulo 4. Problemas bdmensonas Fgura 5 Ilustração da dscretzação explícta do domíno para o método de segunda ordem. Fonte: Marchal, Chatelan e Wnckelmans (24). ocorre em x < x α < x +, e neste caso h + = x + x α e J α = [ f () ] α + (h + )[ f () ] α + (h+ ) 2 [ f (2) ] α + (h+ ) 3 [ f (3) ] α. (4.2) 2! 3! Se o salto ocorre em x < x α < x, então I = e neste caso h = x α x e J α = [ f () ] α + (h )[ f () ] α (h ) 2 [ f (2) ] α + (h ) 3 [ f (3) ] α. (4.3) 2! 3! Os saltos podem ser obtdos por onde f (n) + e f (n) podem ser obtdos pelas nterpolações [ f (n) ] α = f (n) + f (n), (4.4) f (n) + = c n α + f α + c n+2 f +2 + c n+3 f +3 + c n+4 f +4, f (n) = c n α f α + c n f + c n 2 f 2 + c n 3 f 3. Os coefcentes c n para calcular são obtdos da resolução do sstema lnear f (n) α = c α f α + c f + c + f + + c +2 f +2, (4.5) h h + h +2 h 2 h 2 + h 2 +2 c α c c + =!δ n!δ n 2!δ n2, (4.6) h 3 h 3 + h 3 +2 c +2 3!δ n3

47 4.. Esquemas Explíctos 45 onde h = x x α e δ j é a função delta de Kronecker. O ETL é dado por T f (2) + R 2 f + R 2 f + R 2 + f + R 2 I J α, (4.7) onde o termo de correção do salto pode ser obtdo à partr de com J α = 4 s= (L s R s ) f α + Substtundo cada termo no ETL temos 4 k= 3 m= (L m+ h k +m+ R m+h k m) f (k) L = 3 c qα +, q= L k = 3 (h + ) q c q+k, k = 2,...,4 q= q! R = 3 c qα, q= R s+ = 3 (h + ) q c q s, s =,...,3 q= q! T = f (2) + h 2 [ 2( f (x ) + h2 R 2 3 m= 2! f (2) (L m+ h 4 +m+ R m+ h 4 m) f (4) T = h2 2 f (4) R 2 Se R 2 I = h 2 e h+ = β.h com < β, 3.h 3.h +. f (4) 24 + h4 24 f (4) )] 2 h 2 f (x ) 4! + O(h4 ) + O(h 4 ), k!, (4.8) (4.9) (4.) T = ( 5.β)h2 2 f (4) + O(h 4 ) (4.) A establdade deste método para o caso de Posson com coefcentes constante por partes pode ser vsta em (WIEGMANN; BUBE, 2) Dferenças de 4 a Ordem Um esquema de dferenças fntas explíctas undmensonal de quarta ordem com cnco pontos será utlzado para aproxmar numercamente a segunda dervada espacal, o esquema é dado por f (2) = 2h 2 f h 2 f 5 2h 2 f + 4 3h 2 f + 2h 2 f +2 +C I, (4.2)

48 46 Capítulo 4. Problemas bdmensonas com C I = (R I J α + R2 I J α), em que R I = e R2 I = 4 3h 2 se I = ou I = + 2, (4.3) R I = 2h 2 e R 2 I = 4 3h 2 se I = ou I = +, Nestes esquemas o salto ocorre em x < x α < x +, então quando I = + ou I = + 2, nestes casos h + = x + x α, J α = J α = 5 k= 5 k= quando I = ou I =, nestes casos h = x α x e (h + ) k [ f (k) ] α, (4.4) k! (h + h + ) k [ f (k) ] α, (4.5) k! J α = J α = 5 k= 5 k= ( ) k+ (h ) k [ f (k) ] α, (4.6) k! ( ) k+ (h + h ) k [ f (k) ] α, (4.7) k! as nterpolações para representar os termos [ f (n) ] α podem ser calculadas pelas fórmulas (3.2), onde os coefcentes de cada combnação lnear é obtda a partr do sstema (3.22). Para calcular o ETL consdera-se as seguntes notações onde J α = J α = 6 s= 6 s= (l s r s ) f α + (L s R s ) f α + 6 k= 6 k= 5 m= 5 m= (l m+ h k +m+ r m+h k m) f (k) (L m+ h k +m+ R m+h k m) f (k) k!, (4.8) k!, (4.9) l k = 5 q= l = 5 c qα +, q= (h + h + ) q c q+k, k = 2,...,6 q! r = 5 c qα, q= r s+ = 5 (h + h + ) q c q s, s =,...,5 q= q! (4.2) (4.2)

49 4.. Esquemas Explíctos 47 Desta forma L = 5 c qα +, q= L k = 5 (h + ) q c q+k, k = 2,...,6 q= q! R = 5 c qα, q= R s+ = 5 (h + ) q c q s, s =,...,5 q= q! (4.22) (4.23) T = f (2) 5 f 2h 2 2h 2 [ 2( f (x ) + (2h)2 2! + 4 3h 2 [ 2( f (x ) + h2 2! f (2) + h4 24 f (4) f (2) + (2h)4 T = f (2) 5 f 2h 2 6h 2 f 3 f (2) h h 2 f f (2) + h2 9 f (4) + h4 27 f (6) R R 2 5 m= 5 m= 24 f (4) + (2h)6 72 f (6) )] + h6 72 f (6) )] +C + O(h 6 ) 9 f (4) (l m+ h 6 +m+ rm+h 6 m) f (6) 6! (L m+ h 6 +m+ R m+h 6 m) f (6) 2h4 35 f (6) 6! + O(h6 ) T = h4 9 f (6) ( ( h h 4.(h + ) h 3.(h + ) h 2.(h + ) h.(h + ) (h + ) 5 )/(288.h)). f (6) + O(h 6 ) T = K.h 4. f (6) + O(h 6 ) (4.24) De forma análoga podem-se obter o ETL para os pontos I =, I = + e I = + 2. Nos pontos que fcam próxmos à borda utlza-se as seguntes dscretzações f (2) = 5 f 75 f 2 2 f f 4 3 f f 6 6h 2 + O(h 5 ), (4.25) f (2) N = 5 f N 75 f N 2 f N f N 3 3 f N f N 5 6h 2 + O(h 5 ). (4.26)

50 48 Capítulo 4. Problemas bdmensonas 4..3 Dferenças de Alta Ordem Para obtermos um esquema de sexta ordem vamos consderar a segunte expressão f (2) = 9h 2 f 3 3 2h 2 f h 2 f 49 8h 2 f + 3 2h 2 f + 3 2h 2 f h 2 f +3 +C I, (4.27) com C I = (R I J α + R2 I J α + R 3 I J α ), onde R I = 3 R 2 2h 2 I = 3 2h 2 e R 3 I = 9h 2 se I = ou I = +, R I = 9h 2 R 2 I = 3 2h 2 e R 3 I = se I = ou I = + 2, (4.28) R I = R2 I = 9h 2 e R 3 I = se I = 2 ou I = + 3. Nestes esquemas, o salto ocorre em x < x α < x +, então quando I = +, I = +2 ou I = +3, nestes casos h + = x + x α, defnmos Jα = 7 (2h + h + ) k [ f (k) ] α, sendo que os termos de k= k! correção J α e Jα são os mesmo utlzados em (3.39). Quando I =, I = ou I = 2, nestes casos h = x α x, J α = 7 k= ( ) k+ (2h + h+ ) k [ f (k) ] α k! e os outros dos termos de correção J α e Jα serão os utlzados em (3.43). Cada uma das nterpolações serão obtdas medante o sstema (3.49). Para calcular o ETL utlzam-se as fórmulas (3.54) e (3.56), e os coefcentes de cada somatóros serão os mesmo utlzados em (3.6), (3.62), (3.57) e (3.58). Desta forma o termo de correção deste método é dado por C = R R 2 7 m= 7 m= (l m+ h 8 +m+ r m+h 8 m) f (8) 8! + R3 (L m+ h 8 +m+ Rm+h 8 m) f (8) 8! 7 m= (Lm+h 8 +m+ R m+h 8 m) f (8) 8! onde L k = 7 q= L = 7 c qα +, q= (2h + h + ) q c q+k, k = 2,...,8 q! R = 7 c qα, q= R s+ = 7 (2h + h + ) q c q s, s =,...,7. q= q! (4.29) (4.3)

51 4.2. Equação de Posson 2D 49 Substtundo cada uma das somas na expressão para o ETL temos T =.8.h 6. f (8) ( ( 687.h h 7.(h + ) h h 6.(h + ) h 6.(h + ) h h 5.(h + ) h 5.(h + ) h 5.(h + ) h 4.(h + ) h 4.(h + ) h 4.(h + ) 2 3.h 3.(h + ) h 3.(h + ) h 3.(h + ) 3 9.h 2.(h + ) h 2.(h + ) h 2.(h + ) 4 7.h.(h + ) h.(h + ) h.(h + ) (h + ) (h + ) (h + ) 6 )/(44.h)) f (8) 8! + O(h8 ) T = (K.h 5 + (.8 + K2).h 6 + K3.h 7 ) f (8) + O(h 8 ). (4.3) Novamente observa-se que o esquema explícto da parte contínua da dscretzação dos pontos regulares é de sexta ordem, multplcado pelo coefcente.8 e o termo de correção é de qunta ordem com um coefcente K, o coefcente de sexta ordem é K2 e o coefcente de sétma ordem é K3, os quas são sufcentemente pequenos. De forma análoga podem-se obter o ETL para os pontos I = 2, I =, I = +, I = +2 e I = +3. Nos pontos que fcam próxmos à borda utlza-se as seguntes dscretzações f (2) j = 469 f j 9h f j+ h f j+2 2h f j+3 8h f j+4 h 2 2 f j+5 h f j+6 8h 2 7 f j+7 h 2, (4.32) para j=,2, o qual é de ordem O(h 6 ), e para M=N, N-, também de O(h 6 ), a dscretzação f (2) M = 469 f M 9h f M h f M 2 2h f M 3 8h f M 4 h 2 2 f M 5 h f M 6 8h 2 7 f M 7 h 2. (4.33) 4.2 Equação de Posson 2D Para a dscretzação da equação de Posson 2D por dferenças fntas explíctas em pontos regulares utlza-se os esquemas de segunda, quarta e otava ordens que foram defndos na seção anteror. Para os pontos que fcam próxmos à nterface mersa, deve-se acrescentar termos de correção, então denota-se os esquemas da segunte forma f (2), j = R, j f, j +C, j, (4.34) onde R, j serão os coefcentes de cada um dos 3 esquemas aplcados a cada uma das duas dreções de forma separada.