CONSERVAÇÃO DE VOLUME EM TÉCNICAS DE TRATAMENTO DE INTERFACE EM MÉTODOS ISPH

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1 CONSERVAÇÃO DE VOLUME EM TÉCNICAS DE TRATAMENTO DE INTERFACE EM MÉTODOS ISPH Douglas Faras Cordero, 1 Ana Teresa Chaves Lete, 2 Cro José Almeda Macedo, 2 Marcos Aurélo Batsta, 3 1 Unversdade Federal de Goás - Faculdade de Informação e Comuncação Campus Samambaa, Goâna - GO, Insttuto Federal de Educação, Cênca e Tecnologa de Goás Campus Cdade de Goás, Quartel do XX, Praça Brasl Ramos Cadado, Goás - GO, Unversdade Federal de Goás - Departamento de Cênca da Computação Av. Dr. Lamartne P. Avelar, 1120, Catalão - GO, Resumo. O método SPH é um método de solução numérca baseado na utlzação de partículas e empregado em problemas de dnâmca de fludos. Entre as prncpas estratégas de aplcação do método SPH, o ISPH se destaca como uma das alternatvas que apresenta melhor acuráca e establdade nos resultados. Entretanto, quando aplcado como solução de escoamentos que possuem valores de Reynolds altos, o ISPH apresenta problemas de aglomeração de partículas, sendo necessáro a utlzação de técncas auxlares para a correção das posções das partículas, o que acaba por alterar as lnhas de correntes naturas. Essa característca provoca problemas na smulação de escoamentos bfáscos, prncpalmente no que se refere à dsposção da nterface entre fludos. Para prevenr sso, fo ntroduzda em Cordero et al. (2013) uma técnca de tratamento de nterface baseada em Level Set, a qual apresenta resultados consderáves, porém com algumas varações de volume durante as smulações, o que pode representar um problema em determnados tpos de smulações. Neste sentdo, é apresentado aqu um aperfeçoamento da técnca de tratamento de nterface, através da ncorporação de rotnas que prevnem tas varações de volume. Palavras-chave: sph, métodos numércos, conservação de volume, escoamentos bfáscos 1. INTRODUÇÃO Em 1977 Gngold e Monaghan (1977), e ndependentemente Lucy (1977), ntroduzram um método numérco a ser aplcado em soluções de problemas astrofíscos em espaços trdmensonas. O método, denomnado de SPH (Smoothed Partcle Hydrodynamcs), trata-se de um método puramente lagrangeano, onde o estado de um sstema é representado por um conjunto fnto de partículas, as quas possuem propredades como volume, massa, densdade e velocdade, e se movem de acordo com as equações governantes de conservação. A dnâmca do sstema é aproxmada através das nterações entre as partículas, as quas estão relaconadas à utlzação de uma função núcleo, também conhecda por função suave. A defnção orgnal do SPH o caracterza como um método adequado para ser utlzado em processos de smulação de escoamentos de fludos compressíves. Entretanto, sua aplcação como solução de escoamentos ncompressíves não apresentava resultados satsfatóros. Neste sentdo, a busca por soluções numércas para este tpo de problema levou ao aperfeçoamento e adequação do método, e através de uma estratéga que consdera os fludos ncompressíves como quase-compressíves, fo ntroduzdo por Monaghan (1994) um novo método, denomnado WCSPH (Weakly Compressble Smoothed Partcle Hydrodynamcs). No WCSPH a pressão é resolvda através da utlzação de uma equação de estado, que basea-se prncpalmente na varação da densdade de partículas e na velocdade do som no meo. Apesar de proporconar bons resultados para algumas classes de problemas e a vantagem de ser um método completamente lvre de malhas, esta abordagem apresentou alguns problemas e lmtações, assocados prncpalmente ao cálculo da pressão e a necessdade de passos de tempos pequenos.

2 Com o objetvo de resolver as lmtações exstentes no WCSPH, Cummns e M. (1999), utlzando como base o método da projeção, propuseram uma nova abordagem para o procedmento de cálculo da pressão no SPH. De acordo com a nova abordagem, a resolução da pressão é realzada através do uso de uma equação de Posson, e além dsso, o valor da densdade é consderado constante durante toda a smulação. Esta nova abordagem fo denomnada de ISPH (Incompressble Smoothed Partcle Hydrodynamcs), e proporconou uma consderável melhora nos resultados obtdos, além de permtr a utlzação de passos de tempo maores e a elmnação da dependênca de defnção de um valor para a velocdade do som. Entretanto, a nova estratéga apresentou problemas em relação à aplcação para a solução de escoamentos com elevados números de Reynolds, onde foram observados a formação de agrupamentos de partículas, devdo ao alto movmento nercal relaconado. As lmtações do ISPH, especalmente no que dz respeto ao problema de agrupamento de partículas, levou à concepção de modelos alternatvos, os quas propuseram, prncpalmente, uma varação na construção da equação de Posson, levando-se em conta nformações referentes à varação da densdade, a qual, nestes modelos, não é consderada fxa Shao e Lo (2003); Hu e Adams (1995). Além dsso, também foram propostas técncas de tratamento da dstrbução de partículas, sem alteração do modelo orgnal do ISPH. Entre estas técncas, a que mostrou-se mas nteressante fo a nserção de um deslocamento artfcal, baseado na dstrbução das partículas, com consecutva correção das varáves hdrodnâmcas Xu et al. (2009). Apesar do método ISPH proporconar bons resultados para a solução de escoamentos newtonanos monofáscos, sua aplcação para escoamentos multfáscos anda possu alguns obstáculos, prncpalmente no que se refere à manutenção da nterface entre fludos, devdo a problemas relaconados à nterpenetração de partículas entre as fases. Neste sentdo, fo proposta por Cordero et al. (2013) uma técnca de correção da nterface baseada na utlzação de uma função Level Set. Embora esta técnca proporcone resultados consderáves, ela apresenta a desvantagem de não garantr a conservação de volume ao longo da smulação, o que pode acabar por prejudcar a acuráca do sstema. Dante dsso, neste trabalho é proposto um aperfeçoamento desta técnca, com base em uma redstrbução de massa, de modo a garantr a conservação do volume ao longo das smulações. 2. EQUAÇÕES DE CONSERVAÇÃO Os métodos ISPH podem ser aplcados como forma de aproxmação para problemas regdos pelas Equações de Naver-Stokes, as quas podem ser descrtas, em sua forma Lagrangeana, como: v = 0, (1) Dv Dt = 1 ρ p + µ ρ 2 v + F. (2) sendo ρ a densdade, p a pressão, µ a vscosdade dnâmca, v o vetor velocdade e F as forças externas presentes no problema. 3. O MÉTODO ISPH 3.1. Formulação SPH De um modo geral, os métodos baseam-se no fato de uma uma função f qualquer pode ser representada em uma forma ntegral, dta rgorosa ou exata, dada por: f(x) = f(x )δ(x x )dx, (3) sendo δ(x x ) o Delta de Drac. Sabe-se que não é possível defnr uma função capaz de satsfazer as propredades de δ(x x ). Uma alternatva para resolver este problema é utlzar uma aproxmação por uma função núcleo W, que pode ser descrta como: f(x) f(x )W (x x )dx, (4) e dscretzada como: f(x) j Ω m j ρ j f(x j )W j, (5) sendo m j a massa da partícula e W j = W (x x j, h). Tal dscretzação parte do fato de que a ntegral de uma determnada função aplcada a um ponto do domíno Θ, pode ser dscretzada como o somatóro sobre as partículas vznhas, as quas

3 encontram-se no sub-espaço Ω de Θ, tal que Ω = x j, x x j κh, com h referndo-se ao comprmento do núcleo e κ a constante que determna a área não nula da função núcleo. Além dsso, é mportante destacar que o volume nfntesmal dx é aproxmado pelo volume ocupado por uma partícula, representado por δv, o que equvale a razão entre massa e densdade da partícula. De manera smlar ao apresentado anterormente, é possível se obter os operadores SPH para o cálculo de dervadas, como pode ser vsto em Lu e Lu (2003). É mportante destacar que exstem dferentes tpos de operadores. Em Petronetto (2008) é apresentada uma análse sobre operadores SPH. Neste trabalho, será utlzado o segunte operador gradente SPH: φ = j m j ρ j φ j W j, (6) o qual é smlar ao operador dvergente, os quas são utlzados para aproxmação do gradente de pressão e do dvergente de velocdade. Por outro lado, o termo vscoso, presente na equação 2 pode ser aproxmado por: ( ) µ ρ 2 v = j m j (µ + µ j )x j W j ρ j x 2 v j. (7) j Além dsso, é mportante destacar que o laplacano da pressão utlza um operador específco ntroduzdo em Cleary e Monaghan (1999), o qual é mas adequado para escoamentos multfáscos: ( ( )) 1 ρ p = j m j ρ j ( 4 ρ + ρ j ) x j p j x 2 W j. (8) j Os testes realzados neste artgo utlzam uma função núcleo de qunta ordem, ntroduzda por Morrs (1996) e determnada como: W(R) = α d (3 R) 5 6(2 R) (1 R) 5, 0 R < 1 (3 R) 5 6(2 R) 5, 1 R < 2 (3 R) 5, 2 R 3 0, R > 3, com α 1 = 120/h, α 2 = 7/(478πh 2 ) e α 3 = 3/(359πh 3 ), e consderando que W(R) = W (x x j, h) e R = x xj h Estratéga de solução do ISPH Uma das característcas do ISPH é ter o valor da densdade defndo como constante, sendo assocado às partículas no passo ncal de smulação, o que não ocorre no WCSPH. Esta estratéga garante a não volação da condção de ncompressbldade, representada na equação 2. A partr dsso, o método utlza a equação de conservação da quantdade de movmento (equação 2) para obter a dnâmca do sstema. Para tal, a prmera tarefa, em cada passo de smulação, é defnr uma posção ntermedára x : (9) x = x n + tv n, (10) e, através dsso, um campo de velocdades ntermedáro v, o qual refere-se à um campo de velocdade lvre de dvergênca, sendo este calculado com base na equação de quantdade de movmento sem a contrbução do gradente de pressão, tal que: v = v n + (µ 2 v n ) t. (11) A pressão, no tempo n + 1, é então calculada através da segunte equação de Posson: ( ) 1 ρ p = 1 t v. (12) Utlzando-se os valores de pressão calculados, é possível corrgr o campo de velocdade lvre de dvergênca, no tempo n + 1, onde:

4 v n+1 e, fnalmente, calcular a nova posção das partículas: x n+1 ( ) 1 = v ρ pn+1 t (13) = x n + t 2 ( v n+1 + v n ). (14) Uma manera de se mpor condções de contorno em soluções através do ISPH é através da utlzação de partículas fantasmas (Lu e Lu (2003)). Nos problemas abordados neste trabalho são consderadas condções de contorno de Drchlet para a velocdade e de Neumann para a pressão Correção de posção no ISPH Embora o ISPH apresente bons resultados e seja consderavelmente mas estável que o WCSPH, as característcas do própro método fazem que as partículas sgam contnuamente as lnhas de corrente do escoamento, o que pode acabar gerando regões com aglomerados ou de baxa densdade de partículas. Esse fenômeno é um problema crítco em soluções através do ISPH, uma vez que pode ter consequêncas ndesejáves, tas como o mal condconado da matrz referente à equação de Posson (12). Na Fg. 1- esquerda é apresentado um passo de smulação do expermento clássco vórtce smples, onde é possível notar claramente a formação de agloramerados e regões vazas. A fm de corrgr este problema, Xu et al. (2009) ntroduzram uma técnca de correção de posção, a qual consste na aplcação de um deslocamento artfcal das partículas e na posteror correção das varáves hdrodnâmcas. Fgura 1. Problema de agrupamento de partículas em altos Reynolds usando o ISPH. Para aplcar a técnca proposta por Xu et al. (2009), após a obtenção de x n+1 14), é calculado o deslocamento artfcal: através da aproxmação ISPH (Equação δx = CαX, (15) onde C é uma constante entre 0.01 e 0.1, α é a magntude do deslocamento, tal que α = V max t, tendo V max como a velocdade máxma do sstema e X como o vetor deslocamento, sendo este calculado como: X = j x 2 x 2 j n j, com x = 1 x j, (16) M sendo M a quantdade de vznhos da partícula. Neste sentdo, efetua-se a correção das varáves hdrodnâmcas (velocdade e pressão) através de uma expansão de prmera ordem em Sére de Taylor, tal que: j φ = φ + δx ( φ), (17) sendo que φ refere-se à varável a ser corrgda e δx trata-se do vetor dstânca entre a posção antga x e nova posção x. O erro da correção é da ordem de O(δr 2 ). A Fg. 1 - dreta mostra o resultado deste procedmento.

5 4. CORREÇÃO DE INTERFACE BASEADA EM SÉRIE DE TAYLOR O método ISPH em conjunto com a técnca de correção de posção de Xu et al. (2009) pode apresentar problemas quando aplcado em escoamentos multfáscos, uma vez que o deslocamento artfcal realzado pode acabar por provocar a nterpenetração de partículas através da nterface entre fludos. Este problema torna-se anda maor quando a nterface entre fludos está localzada em uma regão que possu um alto movmento nercal, e consequentemente com grande chance de formação de áreas de aglomeramento ou áreas de baxa densdade de partículas, as quas serão tratadas através de sucessvos deslocamentos artfcas, sendo provável que partículas próxmas à nterface sejam deslocadas para o nteror do outro fludo. Para mnmzar este problema, fo proposta por Cordero et al. (2013) uma técnca de tratamento de nterface baseada no uso de uma função level-set. De um modo geral, a técnca determna uma função level-set em que os zeros encontrem-se exatamente sobre a nterface entre fludos. Além dsso, a função assoca valores postvos a uma fase, e valores negatvos a outra fase. Para tanto, é utlzada uma função dstânca com snal. As nformações referentes à localzação da nterface podem ser tanto consderadas como entrada do problema, ou também podem ser obtdas através da utlzação de técncas específcas de detecção de nterface. A partr desta nformação, é então possível construr uma função level-set sobre o conjunto de partículas de fludo do sstema, tal que: φ = (x x b )n x + (y y b )n y, (18) sendo que x = (x, y ), x b = (x b, y b ) é a partícula de borda mas próxma à partícula, e n = (n x, n y ) refere-se à normal untára da partícula de borda b. Sabe-se que em cada passo de smulação as posções das partículas são alteradas, logo tem-se que a nterface entre fludos contnuamente modfcada. Dante dsso, a função level-set representa apenas a confguração ncal da nterface, sendo então necessáro sua constante atualzação, com base na dnâmca do sstema. Para realzar tal correção pode ser utlzada uma estratéga à utlzada por Xu et al. (2009) na correção de partículas hdrodnâmcas. Neste sentdo, a função φ pode então ser corrgda da segunte manera: φ = φ + δx ( φ), (19) sendo que refere à partícula em sua posção corrgda, δx ao deslocamento artfcal aplcado à partícula. Além dsso, é mportante destacar que o termo φ pode ser obtdo através de uma aproxmação SPH: ( φ) = m j ρ j (φ j φ ) W j. (20) A partr dos valores da função φ é possível realzar uma avalação em relação às posções das partículas de fludo em referênca à nterface entre fludos. Para facltar a compreensão do processo, sejam consderado um escoamento bfásco com dos fludos A e B, de tal modo que para o fludo A são assocados valores postvos e para o fludo B valores negatvos. A partr dsso, é realzado uma avalação sobre todas as partículas de fludo, caso seja detectado que uma partícula de fludo A tenha valor de φ negatvo, pode-se conclur que esta encontra-se fora de sua fase. O mesmo teste é realzado com as partículas do fludo B. Com base nsso, ao se detectar uma partícula fora de sua fase, suas propredades alteradas, e esta passa a pertencer à outra fase. Para exemplfcar o problema da nterpenetração de partículas no ISPH fo realzado um teste numérco com um campo de velocdades prescrto e fxo dado por: u(x, y, t) = cos(2πx) sn(2πy) v(x, y, t) = sn(2πx) cos(2πy), (21) onde é consderado um domíno bdmensonal [0, 1] [0, 1] e condções de contorno peródcas. Para efetos de valdação, as partículas de fludos são ntegradas temporalmente durante um certo tempo t/2. Após sso, o campo de velocdades é nvertdo, e as partículas são ntegradas até um tempo t. É mportante destacar que a quantdade de passos de ntegração de 0 até t/2 e de t/2 até t é equvalente. Neste sentdo, espera-se que ao fnal da smulação a confguração ncal seja recuperada. Neste sentdo, fo realzado um teste sobre a confguração representada na Fg. 3(a-d), onde em uma das fases as partículas encontram-se posconadas dentro de um círculo de centro em (0.5, 0.5) e rao r = 0.4, representadas na cor vermelha. Para a ntegração temporal fo utlzado um método Runge-Kutta de ordem 4, a fm de mnmzar possíves erros numércos. Ao fnal da smulação a confguração ncal da nterface é recuperada, tendo apenas os erros causados pelo método de ntegração, os quas são pratcamente mperceptíves. Por outro lado, é mportante consderar que ao se utlzar o método ISPH, stuações em que ocorrem regões com aglomeração ou vazos podem ser prejudcas à establdade do sstema, sendo então necessára a utlzação de técncas

6 de correção. Neste sentdo, fo realzado o mesmo teste, porém aplcando a correção de posção proposta por Xu et al. (2009). A Fg. 3(e-h) apresenta a evolução deste problema, onde é possível notar que apesar da boa dstrbução de partículas, a nterface não fo bem recuperada (Fg. 2). Fgura 2. Detalhe da confguração fnal obtda: (a) sem correção de Xu et al. (2009), e (b) usando correção de Xu et al. (2009). Fnalmente, fo realzado um teste com a aplcação da correção da posção das partículas e utlzação da técnca de correção de nterface, onde fo utlzada uma função suave assocada a cada partícula como: Φ(x, y) = (x 0.5) 2 + (y 0.5) (22) O campo Φ é negatvo no nteror do círculo, postvo no exteror, e permte uma boa defnção da nterface. Consderando o fato de que este campo é suave, aplca-se então, em cada passo de smulação, uma correção baseada em expansão em sére de Taylor de prmera ordem: Φ = Φ + δx ( Φ) (23) que permte realzar avalações sobre as posções das partículas em relação à nterface nos sucessvos passos de smulação. Neste sentdo, o resultado fnal obtdo é uma nterface bem defnda (Fg. 4). 5. REDISTRIBUIÇÃO DE MASSA EM TÉCNICAS DE CORREÇÃO DE INTERFACE EM MÉTODOS ISPH Embora a técnca de correção de nterface possua grandes vantagens, a constante alteração de partículas entre as fases pode acabar provocando efetos ndesejados com relação à conservação de massa, podendo gerar erros numércos durante a smulação. Uma forma de ver sso é através de uma análse sobre a evolução do volume normalzado de uma das fases, defndo como: V n (t) = V (t) V 0, (24) onde V 0 é o volume ncal da fase, e V (t) o volume no nstante t. A Fg. 5 apresenta uma análse da evolução do problema descrto na Fg. 3, onde é possível notar a varação do volume ao longo do tempo. Para resolver este problema pode ser realzada uma redstrbução da massa entre as partículas que representam cada fase do escoamento. Neste sentdo, sabe-se que ncalmente, um escoamento bfásco tem assocado à ele uma fase A com massa total M A, e uma fase B com massa total M B. Além dsso, para que a le de conservação de massa não seja volada, os valores de M A e M B não devem sofrer alterações, consderando que não há nserções adconas de matéra no sstema. A partr dsso, ncalmente, para cada partícula de fludo é assocada uma massa m, tal que: m = M A /N A, (25)

7 Fgura 3. Integração das trajetóras em um escoamento de Taylor-Green: (a-e) ; (f-j) com correção de Xu et al. (2009); (k-o) com correção de Xu et al. (2009) e correção de nterface de Cordero et al. (2013). Em cada lnha são representados os passos: ncal (a, f, k), 200 passos (b, g, l), 400 passos (onde ocorre a nversão do campo)(c, h, m), 600 passos (d,, n), e (e) confguração fnal, após 800 passos (e, j, o). Fgura 4. Detalhe da confguração fnal obtda: (a) usando correção de Xu et al. (2009), e (b) usando correção de Xu et al. (2009) e correção de nterface de Cordero et al. (2013). onde N A é o número de partículas da fase A. Para as partículas da fase B, o cálculo é smlar. Com base nsso, em cada passo de smulação, onde são realzadas alterações das propredades das partículas provenente da correção de nterface, tem-se uma alteração na quantdade de partículas de cada fase. Neste sentdo, realza-se uma nova redstrbução de massa m para as partículas, com base na nova quantdade de partículas de cada fase e con-

8 sderando os valores M A e M B, os quas são constantes durante toda a smulação. Os novos valores de m podem ser obtdos utlzando-se novamente a equação 25. Essa abordagem rá garantr a conservação do volume ao longo do tempo, como mostra a Fg. 5. Fgura 5. Hstórco de conservação de volume para a técnca ISPH com correção de nterface: (em negro) sem utlzação da técnca de redstrbução de massa, (em azul) com utlzação da técnca de redstrbução de massa. 6. CONCLUSÃO Neste trabalho fo apresentado um aperfeçoamento da técnca de correção de nterface baseada em Sére de Taylor para métodos ISPH através da nserção de rotnas de redstrbução de massa. Embora a técnca seja relatvamente smples, ela representa ganhos consderáves no que se refere à prevenção de possíves erros numércos e a não volação da le de conservação de massa. REFERÊNCIAS Chorn, A. J Numercal soluton of the naver-stokes equatons. Mathematcs of Computaton, 22. Cleary, P., e Monaghan, J Conducton modellng usng smoothed partcle hydrodynamcs. J. Comput. Phys., 148(1), Cordero, D. F., Sousa, A., F. S. Castelo Flho, e Nóbrega, J. M Uma técnca de correção de nterface para o método ncompressble smoothed partcles hydrodynamcs. Trends n Appled and Computatonal Mathematcs, 4(3), Cummns, S., e M., R An sph projecton method. Journal of Computatonal Physcs, 152, Gngold, R. A., e Monaghan, J. J Smoothed partcle hydrodynamcs - Theory and applcaton to non-sphercal stars. Royal Astronomcal Socety, 181, Hu, X. Y., e Adams, N. A A mult-phase sph method for macroscopc and mesoscopc flow. Journal Comput. Phys, 213(2), Lee, E. S., Moulnec, C., Xu, R., Voleau, D., Laurence, D., e Stansby, P Comparsons of weakly compressble and truly ncompressble algorthms for the sph mesh free partcle method. Journal of Computatonal Physcs, 227. Lu, G. R., e Lu, M. B Smoothed Partcle Hydrodynamcs - a meshfree partcle method. Sngapure: World Scentfc. Lucy, L. B A numercal approach to the testng of the fsson hypothess. Astron. Journal, 82, Marrone, S., Colagross, A., Touzé, D. L., e Grazan, G Fast free-surface detecton and level-set functon defnton n {SPH} solvers. Journal of Computatonal Physcs, 229(10), Monaghan, J. J Smulatng free surface flow wth sph. Journal of Computatonal Physcs, 110, Morrs, J. P Analyss of Smoothed Partcle Hydrodynamcs wth Applcatons. Phd thess, Monash Unversty. Petronetto, F A Equação de Posson e a Decomposção de Helmholtz-Hodge com Operadores SPH. Phd thess, Pontfíca Unversdade Católca do Ro de Janero. Shao, S., e Lo, E. Y. M Incompressble sph method for smulatng newtonan and non-newtonan flows wth a free surface. Advances n Water Resources, 26, Xu, R., Stansby, P., e Laurence, D Accuracy and stablty n ncompressble sph (sph) based on the projecton method and a new approach. Journal of Computatonal Physcs, 228,

9 RESPONSABILIDADE AUTORAL Os autores são os úncos responsáves pelo conteúdo deste trabalho. CONSERVATION OF VOLUME FOR INTERFACE TREATMENT TECHNIQUES IN ISPH METHODS Douglas Faras Cordero, 1 Ana Teresa Chaves Lete, 2 Cro José Almeda Macedo, 2 Marcos Aurélo Batsta, 3 3 Unversdade Federal de Goás - Faculdade de Informação e Comuncação Campus Samambaa, Goâna - GO, Insttuto Federal de Educação, Cênca e Tecnologa de Goás Campus Cdade de Goás, Quartel do XX, Praça Brasl Ramos Cadado, Goás - GO, Unversdade Federal de Goás - Departamento de Cênca da Computação Av. Dr. Lamartne P. Avelar, 1120, Catalão - GO, Abstract. The Smoothed Partcle Hydrodynamcs s partcle-based method, used for flud dynamcs problems. Among the strateges for mplementng the SPH method, the ISPH (Incompressble SPH) has better accuracy and stablty of results. The ISPH may be mproved usng artfcal dsplacement technques, removng the partcles from ther natural trajectores. However, ths technque causes a unphyscal behavor on the nterface between the fluds. To prevent ths, Cordero et al. (2013) ntroduces a nterface treatment technque based on Level Set, whch provdes consderable results. However, the technque presents some volume varaton durng the smulatons. Here s presented an mprovement to the treatment nterface technque by ncorporatng routnes that prevent these volume varaton. Keywords: sph, numercal methods, conservaton of volume, two-phase flows