Uma Abordagem via Simulação de Fluidos em Campos Eletrostáticos para Geração de Padrões por Múltiplos Robôs

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1 Uma Abordagem va Smulação de Fludos em Campos Eletrostátcos para Geração de Padrões por Múltplos Robôs Lucano C. A. Pmenta, Mguel L. Mendes, Renato C. Mesquta e Gulherme A. S. Perera Dep. de Eng. Elétrca, Unv. Federal de Mnas Geras - Av. Antono Carlos 667, Belo Horzonte, MG, Brasl {lucpm, mguel}@dcc.ufmg.br, {renato, gperera}@ufmg.br Resumo Este artgo propõe uma metodologa escalável para a solução do problema de geração de padrões bdmensonas por grandes grupos de robôs, em ambentes com obstáculos estátcos. Esta metodologa é baseada numa analoga com a smulação de fludos em campos eletrostátcos. Por meo de um acoplamento fraco entre o método de Hdrodnâmca de Partículas Suavzadas e o Método de Elementos Fntos dervam-se controladores descentralzados que levam os robôs até a regão se desea formar o padrão e dstrbuem os mesmos sobre a curva. Palavras-chaves Controle de Múltplos Robôs, Hdrodnâmca de Partículas Suavzadas, Problemas Eletrostátcos. I. INTRODUÇÃO Um problema relevante em robótca é a geração de padrões geométrcos por múltplos robôs [1]. Mutas tarefas como vglânca, solamento de regões pergosas e manpulação de obetos grandes por grupos de robôs requerem uma solução escalável para este problema. Por escalável, entende-se uma solução que sea efcente para grandes grupos de robôs (da ordem de centenas de robôs). Para obter soluções deste tpo devem-se buscar abordagens descentralzadas, ou sea, abordagens as decsões de um dado robô do grupo dependem apenas de nformação local. Além dsso, deve-se preservar o anonmato dos robôs, ou sea, em nenhum momento um dado robô deve necesstar saber qual é a dentdade do robô com o qual se está nteragndo. Em [1] propõe-se uma metodologa escalável para o problema de geração de padrões bdmensonas. Esta metodologa é baseada na modelagem dos padrões por funções mplíctas construídas por meo de nterpolações a partr de pontos localzados sobre os padrões. As funções são tas que os padrões formam uma regão de mínmo das mesmas. Dervando-se les de controle baseadas nos gradentes descendentes destas funções, adconados a um termo de repulsão entre robôs, os padrões são formados corretamente. Uma lmtação desta abordagem é o não tratamento de obstáculos que podem estar presentes no ambente. No presente trabalho propõe-se uma abordagem escalável que nclu o tratamento de obstáculos. Assm como em [] e [3], que utlzam a teora cnétca dos gases, esta abordagem procura controlar grandes grupos de robôs modelando estes grupos como fludos. Porém, dferentemente das metodologas prevamente adotadas na área de robótca, modela-se aqu o grupo de robôs como um fludo ncompressível merso num campo eletrostátco. Para realzar esta modelagem utlza-se o método de Hdrodnâmca de Partículas Suavzadas (SPH), o qual é descrto na próxma seção. Este método é amplamente utlzado para resolver problemas de dnâmca dos fludos pela facldade no tratamento de fronteras móves e grandes deformações. Também é empregado neste trabalho o Método de Elementos Fntos (MEF) para o cálculo dos campos eletrostátcos. São estes campos que permtem o tratamento efcente de obstáculos os quas podem ter geometras quasquer. II. HIDRODINÂMICA DE PARTÍCULAS SUAVIZADAS (SPH) O SPH é um método numérco de partículas, lagrangano e sem malha. Ele fo ntroduzdo em [4] e em [5] como um método para resolver problemas de astrofísca que eram modelados como problemas trdmensonas de dnâmca dos fludos. Este método é baseado no conceto de representação ntegral de uma função: Ω f ( x) f ( x ) δ ( x x ) dx, (1) f é uma função do vetor posção x, δ(x - x ) é a função delta de Drac e Ω é o domíno da função. Se a função delta em (1) for substtuída por uma função de suavzação W, que aproxme a função delta, ter-se-á uma aproxmação da representação ntegral de f. No SPH, as representações ntegras aproxmadas são dscretzadas como somatóros sobre um conunto não ordenado de pontos, também chamados de partículas. Como a função de suavzação é escolhda para ser dferencável tem-se, então, uma nterpolação dferencável da função f a partr de seus valores nas partículas. Representações ntegras para as dervadas da função podem ser obtdas da mesma forma a partr do gradente da função de suavzação [6]. Cada partícula pode ser tratada como uma entdade ndependente com suas própras característcas, como massa, volume, densdade, etc. Numa smulação, estas característcas evoluem no tempo segundo equações dferencas ordnáras ou nterpolações. O trabalho de utlzar o SPH na smulação de um dado fenômeno físco consste da conversão das equações dferencas parcas que modelam o fenômeno num conunto de equações dferencas ordnáras para cada partícula. Algumas das técncas empregadas nesta conversão

2 são apresentadas em [6]. No caso de dnâmca dos fludos as equações de conservação de massa, momento e energa são convertdas respectvamente em: dv dt m W ( r r, h) ρ, () P P m + + Π ( ) + W r r, h F, (3) ρ ρ du 1 P P m + + Π ( ) v W r r, h, (4) dt ρ ρ h é o chamado comprmento de suavzação, o qual defne a área de nfluênca da função de suavzação, é a densdade da partícula, v é a velocdade, u é a energa nterna, P é a pressão, r é a posção, é o gradente com respeto às coordenadas da partícula, F é a soma de todas as forças externas na partícula e v v - v. A escolha da função W não é únca [6]. Neste trabalho utlza-se a segunte função baseada em splnes cúbcas, recomendada em [7], para problemas em duas dmensões: q + q se 0 q 1, W ( r,h) ( q) se 1 q, (5) 7πh 4 0 demas casos, q r / h e. é a norma eucldana do vetor em questão. O aspecto mas nteressante desta função é sua característca de suporte compacto. Observa-se que a função se anula para pontos localzados a uma dstânca superor a h do centro. Este fato permte efcênca no cálculo á que partículas fora do domíno de suporte não precsam ser consderadas. O termo Π é uma vscosdade artfcal adconada para tratar choques. Dentre as possíves opções para Π, a mas utlzada é [7]: Π αc µ + βµ µ ρ 0 hv r se se v v r r < 0, > 0, (6) r. (7) + η Em (6), ρ é a densdade méda das partículas e, e são constantes de vscosdade, c é a velocdade méda do som e η 0,01h. O termo η é utlzado para evtar sngulardades e a escolha de seu valor deve ser tal que sea pequeno o sufcente para evtar suavzação muto severa do termo de vscosdade em regões de alta densdade [7]. A velocdade do som para uma partícula é dada por [8]: c γ ( P + B ), (8) ρ 00ρ gh B, (9) γ H é a profunddade máxma do fludo, g é a constante gravtaconal e é uma constante relatva ao calor específco usualmente gual a 7. Para realzar a smulação de um fludo, além das equações dferencas parcas, necessta-se também da equação de estado do fludo. Neste trabalho utlzou-se uma equação aproprada para modelar fludos ncompressíves, como a água [9]: γ ρ P B 1, (10) ρ 0 0 é a densdade ncal do sstema. Nas smulações apresentadas neste trabalho utlzou-se uma densdade ncal de 1000 kg / m 3, que é equvalente à da água. Além da efcênca computaconal do SPH, pode-se destacar sua natureza adaptatva, á que a formulação não é afetada pela dstrbução espacal das partículas no domíno. Esta dstrbução vara a cada passo de tempo e permte ao método a capacdade de tratar problemas que apresentam grandes deformações. A combnação harmônca entre a formulação lagrangana e a aproxmação por partículas confere ao método todas as vantagens relatvas aos métodos lagranganos e aos sem malha. Além dsso, dferentemente de outros métodos sem malha, as partículas do SPH contêm propredades do materal e se movem sob a ação de forças nternas ou externas como se tvessem vda própra. Este fato torna o método deal para o tratamento de fronteras móves e fluxos com superfíce lvre [6]. III. GERAÇÃO DE PADRÕES POR MÚLTIPLOS ROBÔS Nesta seção apresenta-se a defnção do problema de geração de padrões geométrcos em duas dmensões por múltplos robôs e a metodologa proposta para a solução do mesmo. Esta metodologa é baseada numa analoga com a smulação de fludos va SPH, as partículas sofrem ação de um campo externo que converge para o padrão deseado. Por sua vez, o campo externo é gerado segundo uma analoga com um problema eletrostátco defndo num domíno sem densdade de carga com um únco materal sotrópco. A. Defnção do Problema Seam N robôs, o mapa do ambente, o qual defne um domíno compacto Ω, os robôs devem navegar e uma curva Γ :Ι Ω, I, a qual defne um padrão geométrco bdmensonal. O problema consste em controlar os robôs, sem que haa colsões entre s e com os obstáculos, a partr de uma dada dstrbução ncal contda em Ω, para

3 que os mesmos convram para Γ e se dstrbuam sobre a curva de manera a formar o padrão deseado. Com o obetvo de smplfcar o problema ou mesmo tornar a sua solução vável, algumas consderações são fetas aqu:. O número de robôs é sufcente para preencher o padrão deseado;. Os robôs são puntuas com dnâmca: v z, (11) v é a velocdade do robô e z é uma entrada de controle;. O mapa do ambente é estátco; v. Os robôs têm a capacdade de estmar posção e velocdade deles mesmos e de outros robôs do grupo localzados a uma dstânca menor que R. A consderação () é óbva e se não for atendda torna a solução do problema nvável. Por sua vez, () consste de uma smplfcação do problema. Apesar dsto, deve fcar claro que esta smplfcação não mplca em perda de generaldade da solução. Um robô real pode ser perfetamente tratado como um ponto se for utlzado o espaço de confgurações do mesmo [10]. Neste espaço, os obstáculos são dlatados de tal forma que colsões entre o robô e os obstáculos reas ocorrem se e somente se colsões entre o ponto que representa o robô e os obstáculos dlatados ocorrerem. Além dsso, para evtar colsões entre robôs podem-se adotar soluções semelhantes à apresentada em [11] se supõe que o robô é revestdo com uma envoltóra protetora vrtual. Anda sobre a consderação (), a dnâmca em (11) assume que se tem atuação dreta no vetor aceleração do robô, o que na maora das vezes não é verdade para robôs reas. Contudo, é possível construr controladores que permtem que esta aproxmação sea válda, obvamente dentro de certos lmtes de aceleração. As consderações () e (v) trazem aspectos de smplfcação que refletem lmtações atuas da metodologa proposta na próxma subseção. Em () se expressa o fato de atualmente esta metodologa não tratar obstáculos móves, com exceção dos própros robôs do grupo que podem ser encarados como obstáculos para um dado robô deste mesmo grupo, ou não prevamente modelados. Na Seção V propõe-se a elmnação desta restrção como possível trabalho futuro. Em (v) tem-se uma restrção forte e que é ntrínseca à solução adotada. Apesar dsto, a metodologa contnua sendo vável á que normalmente os robôs reas são dotados de sensores, que permtem a estmação de seus estados própros, e também de equpamentos de comuncação, que permtem a obtenção de nformações de outros robôs do grupo dentro de um dado rao. A razão de se fazer esta consderação será dscutda na próxma subseção após a exposção do método. com um únco alvo. Bascamente, o problema é modelado pela equação de Laplace sueta a condções de contorno de Drchlet constante: φ 0, Γ1 Γ 0, (1) Ω1 Ω P V > 0, φ é o potencal eletrostátco, Γ 1 Γ + ε, Γ Γ - ε e ε (vea Fg. 1) corresp a uma dstânca acrescentada ao padrão deseado para garantr robustez na solução, uma vez que não exste um sstema de localzação perfeto dsponível para os robôs. Os contornos que defnem o padrão recebem uma condção de Drchlet nula. A borda do domíno é defnda pela unão Ω Ω 1 U Ω, tal que Ω 1 é a borda que delmta o problema e Ω corresp às bordas dos obstáculos. Estas bordas devem receber uma únca condção de Drchlet de valor postvo. Além dsso, quando o padrão defne uma curva fechada força-se a exstênca de um ponto P no nteror da curva com condção de Drchlet constante postva para que robôs no nteror do padrão também convram para o mesmo. Assm como em [1], a solução do problema eletrostátco defne lnhas de campo que saem perpendcularmente dos obstáculos e da frontera externa do domíno e convergem para o alvo, tem-se no presente caso lnhas que abandonam os obstáculos e a frontera externa da mesma forma e convergem perpendcularmente para o padrão. Desta forma, um robô que segur uma destas lnhas de campo, bastando para tanto segur a dreção determnada pelo gradente descendente - φ, atngrá a regão do padrão delmtada por Γ 1 e Γ num tempo fnto sem coldr com os obstáculos. Propõe-se neste trabalho também, de forma smlar à [1], resolver (1) por meo do MEF á que os obstáculos podem ter formas genércas. B. Metodologa Proposta Para resolver o problema de geração de padrões apresentado na subseção anteror propõe-se uma metodologa composta de duas etapas. Na prmera etapa obtém-se a solução de um problema eletrostátco análogo defndo num únco meo sotrópco sem densdade de carga. Este problema análogo é smlar ao proposto em [1] utlzado para resolver o problema de navegação de um únco robô em um mapa Fg. 1. Defnção do problema eletrostátco sem densdade de carga. A segunda etapa da metodologa proposta consste da aplcação de controladores descentralzados que efetvamente levam os robôs até a regão se desea formar o padrão geométrco e dstrbuem os mesmos sobre a regão. Os controladores aplcados neste trabalho são baseados na

4 smulação de fludos va SPH. Neste caso, cada robô é consderado como sendo uma partícula e a força externa que atua em cada uma destas partículas é dada pela soma do campo calculado na etapa anteror com um termo de atrto vscoso. O controlador para um dado robô é defndo pela segunte le de controle: G z 1 +, (13) k G F P P m + + Π W, ρ ρ φ F k v ( r r h), (14) β, φ (15) k 1, k e são constantes postvas utlzadas para permtr austes e os termos em (14) são os mesmos descrtos na Seção II para a smulação de fludos ncompressíves. O prmero termo em (15) corresp à convergênca para o padrão e o segundo representa um atrto proporconal à velocdade do robô utlzado para establzar o sstema. Sem este últmo termo, não há nenhum outro que faça o papel de amortecmento e os robôs atngrão velocdades muto elevadas, o que obvamente não é deseável. Como se pode observar em (13), (14) e (15) a metodologa consdera o grupo de robôs como um fludo ncompressível que se move sueto a ações externas de atrto e de um campo eletrostátco. O prmero termo em (13) representa a nteração entre robôs, a qual confere o aspecto de fludo ao sstema, enquanto o segundo termo corresp às ações externas. Vale ressaltar aqu que a solução do problema de geração de padrões podera ser obtda utlzando como termo de nteração entre robôs um termo de smples repulsão. Apesar dsto, o modelo de fludo confere ao grupo comportamentos nteressantes como, por exemplo, movmentar-se em grupo. Conforme consderação (v) na subseção anteror, a metodologa proposta depende dos robôs serem capazes de estmar velocdade e posção de robôs localzados num rao de dstânca R. Este fato está relaconado à equação (14) provenente do SPH. De acordo com a Seção II, o cálculo de aceleração de cada partícula no SPH depende dos valores de velocdade e posção das partículas localzadas a uma dstânca de até h. Assm, a metodologa está lmtada a utlzar nos cálculos h < R/. Observando () e (5), vê-se que a densdade de uma partícula no SPH depende da dstânca e da quantdade de partículas dentro do seu domíno de suporte. Por (10), a densdade das partículas tende a 0. Como os robôs estão se afastando, a densdade dmnu até fcar menor que 0. Este fato gera pressão negatva, o que leva a uma força de atração entre os robôs. Porém, como neste momento o termo devdo ao campo na equação (13) é maor que a atração entre os robôs eles não se aproxmam. No fnal, o campo elétrco comprme os robôs dentro da regão meta. Isto gera uma maor densdade de robôs e, portanto, uma pressão postva faz com que os robôs se afastem e se dstrbuam ao longo da regão meta. (a) (b) Fg robôs gerando um círculo. (a) Iníco. (b) Fm. A Fg. 3 apresenta um domíno com um obstáculo retangular e pode-se vsualzar o campo vetoral gerado pela solução do problema eletrostátco. Observam-se claramente os vetores convergndo para o padrão deseado (círculo) e dvergndo do obstáculo e da borda externa como esperado. IV. SIMULAÇÕES Nesta seção apresentam-se smulações que vsam lustrar a metodologa proposta e comprovar o seu funconamento. As smulações foram desenvolvdas em C++ com auxílo da bbloteca OpenGL. Flmes estão dsponíves na segunte págna web: A Fg. mostra a smulação de 196 robôs aplcando a metodologa proposta para gerar um círculo. Incalmente, as partículas formam uma matrz 14 por 14 e são dspostas a uma dstânca d h/1, umas das outras. O campo elétrco força os robôs a se afastarem para formar o círculo. Fg. 3. Campo elétrco em um problema smétrco com obstáculo. Na Fg. 4 mostra-se a smulação de 81 robôs, ncalmente dspostos numa matrz 9 por 9, navegando no domíno defndo na Fg. 3. Ao encontrar o obstáculo o grupo se dvde em dos pela presença de uma lnha de sela. Depos os robôs se reagrupam e formam o círculo. A dvsão dos robôs em dos grupos está lgada à smetra do problema. Em outras smulações do mesmo problema, quando se defne a dstrbução ncal dos robôs próxma ao exo y da Fg. 4, os

5 robôs passam todos pelo lado esquerdo do obstáculo, formando um únco grupo. (a) (b) (c) Fg robôs gerando um círculo no problema com obstáculo. (a) Iníco. (b) Desvo. (c) Fm. Além de círculos, podem-se gerar outros tpos de curvas. Na Fg. 5 tem-se 34 robôs, ncalmente dspostos numa matrz 18 por 18, gerando uma estrela suavzada. dentro do domíno de suporte. Dependendo da aplcação, estas estmatvas consttuem também uma lmtação ntrínseca da metodologa. Um aspecto nteressante da metodologa é o anonmato dos agentes do grupo. Um possível trabalho futuro é a extensão dos resultados para ambentes exstam obstáculos dnâmcos. Atualmente, os autores pesqusam maneras de se fazer sto por meo de analogas com smulações de fludos mult-fase. Tendo em vsta os resultados obtdos até o momento também é de nteresse a extensão da analoga para outros tpos de problemas em robótca, como por exemplo manpulação de grandes obetos. Neste trabalho pode-se observar um acoplamento fraco entre o método de Hdrodnâmca de Partículas Suavzadas (SPH) e o Método de Elementos Fntos (MEF). O MEF é utlzado uma únca vez no níco da smulação e seu resultado é utlzado como força externa para o SPH. A obtenção de um acoplamento forte, o MEF é chamado em todos os passos de smulação de forma a caracterzar um método teratvo, é outro trabalho em andamento no Grupo de Otmzação e Proeto Assstdo por Computador (GOPAC) na UFMG. Neste caso, não se desea resolver problemas de robótca mas sm problemas físcos reas de smulação de fludos em stuações eletrostátcas. A smulação de fludos e partículas carregadas em campos eletrostátcos é de nteresse em mutas aplcações como: eletroforese, deposção de partículas de aerosol, fltragem eletrostátca, etc. REFERÊNCIAS (a) (b) Fg robôs gerando uma estrela. (a) Iníco. (b) Fm. Embora as curvas aproxmadas nas smulações apresentadas seam todas fechadas, poder-se-a também formar curvas abertas. É mportante ressaltar também que a dstrbução homogênea dos robôs ao longo das regões meta, no fm das smulações, é devda à teração entre partículas do SPH, uma vez que o campo elétrco dentro dessas regões é nulo. Eventualmente, alguns robôs poderam fcar fora destas regões se os parâmetros não fossem austados de forma que o campo fosse capaz de comprmr os robôs na regão. V. CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS Fo proposta uma metodologa escalável para a solução do problema de geração de padrões bdmensonas por grandes grupos de robôs, em ambentes com obstáculos estátcos. Esta metodologa é baseada numa analoga com a smulação de fludos em campos eletrostátcos. Os controladores dervados são descentralzados na medda em que cada robô necessta de nformações locas: o campo elétrco no ponto de localzação do robô e as velocdades e posções de robôs [1] L. Chamowcz, N. Mchael, and V. Kumar, Controllng swarms of robots usng nterpolated mplct functons, Proc. of the IEEE Internatonal Conference on Robotcs and Automaton, pp , 005. [] W. Kerr and D. F. Spears, Robotc smulaton of gases for a survellance task, Proc. of the IEEE/RSJ Internatonal Conference on Intellgent Robots and Systems, pp , 005. [3] W. Kerr, D. F. Spears, W. M. Spears, and D. R. Thayer, Two formal fluds models for multagent sweepng and obstacle avodance, Lecture Notes n Artfcal Intellgence, vol. 38, Sprnger-Verlag, 004. [4] L. B. Lucy, Numercal approach to testng the fsson hypothess, Astronomcal Journal, vol. 8, pp , [5] R. A. Gngold and J. J. Monaghan, Smoothed Partcle Hydrodynamcs: Theory and Applcaton to Non-sphercal stars, Monthly Notces of the Royal Astronomcal Socety, vol. 181, pp , [6] G. R. Lu and M. B. Lu, Smoothed Partcle Hydrodynamcs a meshfree partcle method, World Sc. Publshng Co. Pte. Ltd., 003. [7] J. J. Monaghan, Smoothed Partcle Hydrodynamcs, Annual Revew of Astronomy and Astrophyscs, vol. 30, pp , 199. [8] T. M. Roy, Physcally Based Flud Modelng Usng Smoothed Partcle Hydrodynamcs, master thess n Graduate College of the Unversty of Illnos, [9] J. J. Monaghan, Smulatng free Surface Flows wth SPH, Journal of Computatonal Physcs, vol. 110, pp , [10] J. C. Latombe, Robot Moton Plannng, Kluwer Academcs Publshers, [11] P. Song and V. Kumar, A potental feld based approach to multrobot manpulaton, Proc. of the IEEE Internatonal Conference on Robotcs and Automaton, pp , 00. [1] L. C. A. Pmenta, A. R. Fonseca, G. A. S. Perera, R. C. Mesquta, E. J. Slva, W. M. Camnhas, and M. F. M. Campos, Robot navgaton based on electrostatc feld computaton, IEEE Transactons on Magnetcs, vol. 4, no 4, pp , 006.