ESTUDO DO ESCOAMENTO DE FLUIDOS DE LEI DE POTÊNCIA E BINGHAM EM CANAL PARCIALMENTE POROSO UTILIZANDO O MÉTODO LATTICE BOLTZMANN

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1 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS CURITIBA DEPARTAMENTO DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA E DE MATERIAIS PPGEM RODRIGO ESPERANÇA DA CUNHA PIMENTEL DE MEIRA ESTUDO DO ESCOAMENTO DE FLUIDOS DE LEI DE POTÊNCIA E BINGHAM EM CANAL PARCIALMENTE POROSO UTILIZANDO O MÉTODO LATTICE BOLTZMANN DISSERTAÇÃO Orentador: Prof. Dr. Slvo Luz de Mello Junquera Co-Orentador: Prof. Cezar O. R. Negrão, PhD CURITIBA OUTUBRO 2016

2 RODRIGO ESPERANÇA DA CUNHA PIMENTEL DE MEIRA ESTUDO DO ESCOAMENTO DE FLUIDOS DE LEI DE POTÊNCIA E BINGHAM EM CANAL PARCIALMENTE POROSO UTILIZANDO O MÉTODO LATTICE BOLTZMANN DISSERTAÇÃO Orentador: Prof. Dr. Slvo Luz de Mello Junquera Co-Orentador: Prof. Cezar O. R. Negrão, PhD CURITIBA OUTUBRO 2016

3 RESUMO Neste trabalho, propõe-se o estudo numérco do escoamento de fludos de le de potênca e Bngham junto à nterface entre uma regão lvre e outra porosa (nterface fludo-porosa) utlzando o método lattce Boltzmann. Para tanto, consdera-se o escoamento entre placas planas e paralelas entre as quas se faz presente um meo poroso abordado de forma heterogênea (resolução espacal da ordem de grandeza dos poros) e representado através de obstáculos sóldos quadrados unformemente dstrbuídos na parte nferor do canal. As análses realzadas mostram o efeto dos dversos parâmetros admensonas do problema sobre o fator de atrto na regão lvre do canal. De um modo geral, constata-se que a dscrepânca entre os fatores de atrto na regão lvre do canal e para o escoamento entre placas planas e paralelas cresce com o aumento da porosdade e do número de Bngham e com as reduções do número de obstáculos que compõem o meo poroso, número de Reynolds e índce de le de potênca. Ademas, propõese a adaptação do modelo analítco de nterface fludo- porosa para escoamento de fludo newtonano proposto por Ochoa-Tapa e Whtaker (1995b) ao escoamento de fludo de le de potênca, verfcando-se a possbldade de ncorporar o comportamento não newtonano do fludo ao parâmetro empírco do modelo. Palavras-chave: nterface fludo-porosa, fludo de le de potênca, fludo de Bngham, meo poroso heterogêneo, método lattce Boltzmann.

4 ABSTRACT The goal of ths work s to numercally nvestgate the flow of power law and Bngham fluds next to the nterface between a free and a porous regon (flud-porous nterface) usng the lattce Boltzmann method. For ths, the flow n a channel partally flled by a porous materal s studed. The porous regon s located n the bottom half of the channel and s analyzed consderng a pore level approach n whch the porous medum s represented by a set of sold square obstacles. Results show the nfluence of varous non-dmensonal parameters on the frcton fator of the flow occurng n free regon of the channel. In general, decreasng the power law ndex, Reynolds number (nertal parameter) or number of obstacles composng the porous doman causes the reducton of the frcton factor n comparson to the case where the fludporous nterface s replaced by an mpermeable wall. The same behavor occurs when ncreasng the Bngham number (non-dmensonal yeld stress) or porosty. Moreover, the applcaton of the flud-porous nterface model developed by Ochoa-Tapa e Whtaker (1995b) for Newtonan flows s used to descrbe the flow of power law fluds by varyng the stress jump coeffcent wth the power law ndex. Palavras-chave: flud-porous nterface, power law flud, Bngham flud, heterogeneous porous medum, Lattce Boltzmann method.

5 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO Motvação Caracterzação do problema Abordagem do problema Objetvos Organzação do trabalho REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Escoamento junto à nterface fludo-porosa: fludo newtonano Escoamento junto à nterface fludo-porosa: fludos não newtonanos Síntese do capítulo FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Fludos newtonanos e não newtonanos Meos porosos Fator de atrto e número de Reynolds Síntese do capítulo FORMULAÇÃO DO PROBLEMA Geometra e condções de contorno e ncal Hpóteses smplfcadoras e equações de balanço Parâmetros admensonas do problema Síntese do capítulo MÉTODO LATTICE BOLTZMANN Hstórco Concetos báscos sobre teora cnétca dos gases Modelo de He e Luo (1997) Estruturas de retículo Equvalênca entre o modelo HL e as Equações de Naver-Stokes Expansão de Chapman-Enskog Adaptação do modelo HL para o escoamento de fludos de le de potênca e Bngham Condções de contorno... 71

6 5.8 Metodologa para o teste de sensbldade à dscretzação espacal (Δx) e temporal (Δt) Estrutura do códgo computaconal Síntese do capítulo PROBLEMAS DE VERIFICAÇÃO Escoamento entre placas planas e paralelas Escoamento em canal poroso Síntese do capítulo RESULTADOS E DISCUSSÕES Parâmetros de análse do problema Influênca da nterface fludo-porosa sobre o escoamento na regão lvre Análse paramétrca Estudo da adaptação dos modelos analítcos BJ, NN e OTW ao escoamento de fludo de le de potênca Síntese do capítulo CONSIDERAÇÕES FINAIS Sugestões para trabalhos futuros REFERÊNCIAS APÊNDICE A PARÂMETROS ADIMENSIONAIS DO ESCOAMENTO EM CANAL PARCIALMENTE POROSO A.1 Fludo de le de potênca A.2 Fludo de Bngham APÊNDICE B RESULTADOS INTERMEDIÁRIOS DO MÉTODO LATTICE BOLTZMANN B.1 Função de equlíbro do modelo de He e Luo (1997) Equação B.2 Momentos de ordem zero e um das funções dstrbução de velocdade do modelo de He e Luo (1997) Equações 5.13 e B.3 Momentos de ordem zero e um das parcelas de não equlíbro das funções dstrbução de velocdade Equações 5.26 e B.4 Obtenção da equação da conservação da quantdade de movmento lnear expansão de Chapman-Enskog APÊNDICE C TESTES DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO DO LBM C.1. Comparação entre as formulações padrão e ntermedára da condção de bounceback 144

7 C.2. Avalação da condção de contorno peródca de Lao e Jen (2008) APÊNDICE D RESULTADOS DOS TESTES DE SENSIBILIDADE À Δx E Δt PARA OS PROBLEMAS DE VERIFICAÇÃO E O ESCOAMENTO EM CANAL PARCIALMENTE POROSO D.1 Escoamento entre placas planas e paralelas D.2 Escoamento em canal poroso D.3 Escoamento em canal parcalmente poroso fludo de le de potênca D.4 Escoamento em canal parcalmente poroso fludo de Bngham APÊNDICE E EXPRESSÕES PARA A RELAÇÃO Cf,p/Cf, SEGUNDO OS MODELOS BJ, NN e OTW

8 LISTA DE FIGURAS Fgura 1.1 Exemplos de meos porosos. (a) rocha carbonátca, (b) osso humano, (c) espuma metálca e (d) asfalto permeável Fgura 1.2 Exemplos de escoamentos de fludos de le de potênca ou Bngham ocorrendo junto à nterface fludo-porosa. (a) fludo de perfuração escoando no espaço anular entre a coluna de perfuração e o reservatóro, (b) escoamento de sangue em vasos sanguíneos e (c) fltração tangencal de fludo com partículas em suspenção Fgura 1.3 Esboço do perfl de velocdades do escoamento em canal parcalmente poroso Fgura 1.4 Representação das escalas de análse de um fludo Fgura 3.1 Vscosdade aparente em função da taxa de csalhamento para uma solução dluída de polacrlamda em xarope de glcose Fgura 3.2 Comportamento típuco do gtráfco τ para fludos newtonanos, pseudoplástcos, dlatantes e vscoplástcos Fgura 3.3 Comparação entre os modelos de Bngham e Papanastasou em termos da varação da vscosdade aparente em função da taxa de csalhamento para dferentes valores de np Fgura 3.4 Abordagens homogênea e heterogênea do meo poroso Fgura 3.5 Escalas de análse mcro, meso e macroscópca da nterface-fludo porosa Fgura 4.1 Geometra e condções de contorno do escoamento em canal parcalmente poroso Fgura 5.1 Representação do volume de controle hexadmensonal dxαdcα Fgura 5.2 Processos de deslocamento e colsão Fgura 5.3 Estrutura de retículo D2Q Fgura 5.4 Funções dstrbução f ndetermnadas após a etapa de deslocamento na frontera S Fgura 5.5 Funções dstrbução f ndetermnadas (setas tracejadas) após a etapa de deslocamento nas fronteras N, S, L, O

9 Fgura 5.6 Formulações da condção de bounce-back (a) padrão e (b) ntermedára Fgura 5.7 Fluxograma do códgo computaconal Fgura 6.1 Geometra e condções de contorno do escoamento de fludo de le de potênca entre placas planas e paralelas Fgura 6.2 Escoamento entre placas planas e paralelas. Perfs de velocdade para (a) fludo de le de potênca para Relp = 10 0 e dferentes valores de n e (b) fludo de Bngham para ReB = 10 0 e dferentes valores de B Fgura 6.3 Geometra e condções de contorno do escoamento de fludo de le de potênca em meo poroso utlzando a abordagem heterogênea Fgura 6.4 Gráfco ṁ ( Δp/L) para o escoamento de fludo de le de potênca em canal poroso: NO = 2, ϕ = 0,75 e n = 0,25; 1,00 e 4, Fgura 6.5 Gráfco ṁ Δp/L para o escoamento de fludo de Bngham em canal poroso: NO = 2, ϕ = 0,75 e τ0 = 0,00; 0,10; 1,00 e 10,00 Pa Fgura 7.1 (a) Campos e (b) perfs de velocdade dos escoamentos entre placas planas e paralelas e em canal parcalmente poroso para Relp = 1,00, ϕ = 0,75, NO = 2, Dh,rp /Dh,rl = 1,00 e n =1, Fgura 7.2 Campo vetoral de velocdade na regão da nterface fludo-porosa à montante do obstáculo (à esquerda) e detalhe na regão lateral do obstáculo (à dreta) para o escoamento em canal parcalmente poroso para Relp = 1,00, ϕ = 0,75, NO = 2, Dh,rp /Dh,rl = 1,00 e n =1, Fgura 7.3 Varação de (a) u1 e (b) u2 junto à nterface fludo-porosa na dreção x1 para Relp = 1,00, ϕ = 0,75, NO = 2, Dh,rp /Dh,rl = 1,00 e n =1, Fgura 7.4 Comparação entre os escoamentos entre placas planas e paralelas (à esquerda) e em canal parcalmente poroso (à dreta) para Relp = 1,00, ϕ = 0,75, NO = 2, Dh,rp /Dh,rl = 1,00 e n =1,00: campos de (a) tensão e (b) pressão Fgura 7.5 Cf,p/Cf, em função do número de Reynolds para ϕ = 0,75, NO = 2, Dh,rp /Dh,rl = 1,00: (a) fludo de le de potênca e (b) fludo de Bngham Fgura 7.6 Perfs de velocdade (à esquerda) e detalhe na regão da nterface fludoporosa (à dreta) para ϕ = 0,75, NO = 2, Dh,rp /Dh,rl = 1,00 e dferentes valores de Relp: (a) n = 0,25, (b) 1,00 e (c) 4, Fgura 7.7 Campo vetoral de velocdade na regão da nterface fludo-porosa à montante do obstáculo para ϕ = 0,75, NO = 2, Dh,rp /Dh,rl = 1,00 e Relp = 10 0 (à esquerda) e Relp = 10 3 (à dreta): (a) n = 0,25 e (b) 4,

10 Fgura 7.8 Perfs de velocdade (à esquerda) e detalhe na regão da nterface fludoporosa (à dreta) para ϕ = 0,75, NO = 2, Dh,rp /Dh,rl = 1,00 e dferentes valores de B: (a) ReB = 10 0 e (b) ReB = Fgura 7.9 Cf,p/Cf, em função da porosdade para Relp = 10 0, NO = 2, Dh,rp /Dh,rl = 1,00: (a) fludo de le de potênca e (b) fludo de Bngham Fgura 7.10 Perfs de velocdade (à esquerda) e detalhe na regão da nterface fludo-porosa (à dreta) para Relp = 10 0, NO = 2, Dh,rp /Dh,rl = 1,00 e dferentes valores de ϕ: (a) n = 0,25, (b) 1,00 e (c) 4, Fgura 7.11 Perfs de velocdade (à esquerda) e detalhe na regão da nterface fludo-porosa (à dreta) para ReB = 10 0, ϕ = 0,75, NO = 2, Dh,rp /Dh,rl = 1,00 e dferentes valores de B Fgura 7.12 Varação de u1 (a) e u2 (b) junto à nterface fludo-porosa (x2 = 1, ) na dreção x1 para Relp = 10 0, ϕ = 0,75, Dh,rp /Dh,rl = 1,00, n = 0,25 e dferentes valores de NO Fgura 7.13 Cf,p/Cf, em função do número de obstáculos para Relp = 10 0, ϕ = 0,75, Dh,rp /Dh,rl = 1,00: (a) fludo de le de potênca e (b) fludo de Bngham Fgura 7.14 Cf,p/Cf, em função de Dh,rp/Dh,rl para Relp = 10 0, ϕ = 0,75, NO = 2: (a) fludo de le de potênca e (b) fludo de Bngham Fgura 7.15 Perfs de velocdade (à esquerda) e detalhe na regão da nterface fludo-porosa (à dreta) para Relp = 10 0, ϕ = 0,75, NO = 2 e dferentes valores de Dh,rp /Dh,rl : (a) n = 0,25 e (b) B = 0, Fgura 7.16 Curvas Cf,p/Cf, σ obtdas através dos modelos BJ (α = 27,00), NN (μef /μ = ϕ -1 ) e OTW (β = -5.85) e do LBM para o escoamento em canal parcalmente poroso para Relp = 1,00, ϕ = 0,75, NO = 2, Dh,rp = 1,00, n =1, Fgura 7.17 Perfs de velocdade (à esquerda) com detalhe na regão da nterface fludo-porosa (à dreta) para o escoamento em canal parcalmente poroso para Relp = 1,00, ϕ = 0,75, NO = 2, Dh,rp = 1,00, n =1,00 e dferentes valores de Dh,rl Fgura 7.18 Resultados para Cf,p/Cf, em função de σ obtdos através do LBM para Relp = 10 0, ϕ = 0,75, NO = 2, Dh,rp = 1,00 e dferentes valores n Fgura 7.19 Curvas Cf,p/Cf, σ obtdas através do modelo OTW para dferentes valores de β Fgura 7.20 Comparação entre os resultados apresentados na Fgura 7.18 e o modelo OTW consderando os valores de β apresentados na Tabela

11 Fgura C.1 Análse das condções de contorno de bounce-back. Comparação entre os perfs de velocdade analítco e obtdos com bounce-back (a) padrão e (b) ntermedáro. À esquerda: perfs de velocdade ao longo de toda a seção transversal do canal. À dreta: detalhe da regão próxma a parede nferor Fgura C.2 Canal parcalmente poroso com dferentes comprmentos. (a) L = 0,25 e (b) L = 0, Fgura C.3 Perfs de velocdade do escoamento em canal parcalmente poroso em dferentes posções do canal

12 LISTA DE TABELAS Tabela 5.1 Valores de w, cs e cα, para o modelo D2Q Tabela 7.1 Faxas de valores das varáves ndependentes Tabela 7.2 Valores de Cf,p/Cf, para dferentes de números de Reynolds e índces de le de potênca Tabela 7.3 Valores de Cf,p/Cf, para dferentes de números de Reynolds e números de Bngham Tabela 7.4 Valores de Cf,p/Cf, para dferentes porosdades e índces de le de potênca Tabela 7.5 Valores de Cf,p/Cf, para dferentes porosdades e números de Bngham Tabela 7.6 Valores de Cf,p/Cf, para dferentes números de obstáculos e índces de le de potênca Tabela 7.7 Valores de Cf,p/Cf, para dferentes números de obstáculos e números de Bngham Tabela 7.8 Valores de Cf,p/Cf, para dferentes relações de dâmetros hdráulcos e índces de le de potênca Tabela 7.9 Valores de Cf,p/Cf, para dferentes relações de dâmetros hdráulcos e números de Bngham Tabela 7.10 Valores de β e R 2 para cada valor de n Tabela D.1 Teste de sensbldade à Δx e Δt para o escoamento de fludo de le de potênca entre placas planas e paralelas para n = 0, Tabela D.2 Teste de sensbldade à Δx e Δt para o escoamento de fludo de Bngham entre placas planas e paralelas para B = 0, Tabela D.3 Teste de sensbldade à Δx e Δt para o escoamento de fludo de le de potênca em canal poroso para n = 0,25 e ( Δp/L) = 48 Pa/m Tabela D.4 Teste de sensbldade à Δx e Δt para o escoamento de fludo de Bngham em canal poroso para τ0 = 10 Pa e ( Δp/L) = 48 Pa/m

13 LISTA DE SIGLAS BGK Aproxmação para o operador colsão BJ Modelo de Beavers e Joseph (1967) CA Cellular Automata DaQb Estruturas de lattce FHP Modelo de Frsch et al. (1986) HL Modelo de He e Luo (1997) LBM Método lattce Boltzmann LGCA Lattce-Gas Cellular Automata NN Modelo de Neale e Nader (1974) OTW Modelo de Ochoa-Tapa e Whtaker (1995)

14 LISTA DE SÍMBOLOS Símbolos Romanos A Número de dmensões da estrutura de lattce [-] A Área da seção transversal [m 2 ] At Área total (meo poroso bdmensonal) [m 2 ] Af Área de fludo (meo poroso bdmensonal) [m 2 ] B Número de orentações/velocdades de deslocamento da estrutura de lattce [-] B Número de Bngham [-] cα Vetor velocdade das partículas [m/s] C Velocdade fundamental das partículas [m/s] Cf Fator de atrto [-] cf Fator de forma (termo de Forchhemer) [-] cs Velocdade do som [m/s] Ca Coefcente angular da reta [-] C1, C2 Constantes [-] D Dstânca entre os obstáculos [m] D Lado dos obstáculos [m] Dh Dâmetro hdráulco [m] E Energa [J] Eg Erro global [-] EΔx Erro assocado à dscretzação espacal [-] EMa Erro assocado à compressbldade [-] EΔt Erro assocado à dscretzação temporal [-] Ep Erro percentual [-] F Função dstrbução de velocdade [-] fm Função dstrbução de Maxwell [-] f eq Função de equlíbro local [-] f neq Parcela de não equlíbro da função dstrbução de [-] velocdade

15 Fα Vetor força externa [N] gα Vetor aceleração da gravdade [m/s 2 ] I Orentação de deslocamento das partículas [-] kb Constante de Boltzmann [m 2 kg/s 2 K] K Permeabldade [m 2 ] Kn Número de Knudsen (llcm/lref) [-] llcm Lvre camnho médo das partículas [m] lref Comprmento de referênca [m] L Comprmento do canal [m] M Massa das partículas [kg] ṁ Vazão mássca [kg/m 3 ] Ma Número de Mach [-] N Índce de le de potênca [-] nvp ndp np Número de varáves do problema (Teorema P de Buckngham) [-] Número de dmensões prmáras (Teorema P de Buckngham) [-] Parâmetro de regularzação do modelo de Papanastasou (1987) [s] N Número de partículas [-] N, S, L, O Fronteras do retículo [-] P Pressão [Pa] P Perímetro [m] Δp Dferença de pressão [Pa] Re Número de Reynolds [-] R 2 Coefcente de determnação (método dos mínmos [-] quadrados) NO Número de obstáculos [-] Q Operador colsão [-] S Expressão a ser mnmzada (método dos mínmos quadrados) T Tempo [s] Δt Passo de tempo [s]

16 T Temperatura [K] uα Vetor velocdade do escoamento [m/s] ud Velocdade de Darcy [m/s] unt Velocdade do escoamento na nterface fludo-porosa [m/s] Ū Velocdade méda do escoamento [m/s] um Velocdade do núcleo não csalhado (Fludo de Bngham) [m/s] uref Velocdade de referênca do escoamento [m/s] V Volume [m 3 ] Vp Volume total de poros [m 3 ] Vp Volume de poros nterconectados [m 3 ] Vt Volume total do meo poroso [m 3 ] W Fator de ponderação [-] xα Vetor posção [m] xn Comprmento do núcleo não csalhado (Fludo de Bngham) [m] Δx Dstânca horzontal/vertal entre nós vznhos [m] Símbolos Gregos α Coefcente de deslzamento (modelo BJ) [-] β Coefcente de salto de tensão (modelo OTW) [-] Taxa de csalhamenento/magntude do tensor taxa de csalhamento Tensor taxa de csalhamento [s -1 ] ξ Parâmetro de escala da expansão de Chapman-Enskog [-] η Vscosdade aparente [Pa s] ηc Índce de consstênca [Pa s n ] ηp Vscosdade plástca [Pa s] μ Vscosdade dnâmca [Pa s] μef Vscosdade dnâmca efetva [Pa s] ρ Massa específca do fludo [kg/m 3 ] ρ0 Massa específca ncal [kg/m 3 ] δρ Flutuação da massa específca [kg/m 3 ] σ Parâmetro admensonal (Dh,rl/ K) [-] [s -1 ]

17 ς Seção transversal dferencal de choque [m 2 ] τ Tensão/Magntude do tensor tensão [Pa] ταβ Tensor tensão [Pa] τ0 Tensão lmte de escoamento [Pa] Τ Fator de relaxação [s] Tlb Fator de relaxação admensonal (T/Δt) [-] ϕ Porosdade [-] ϕef Porosdade efetva [-] φ Varável qualquer do problema [-] Φ Acréscmo percentual de vazão na regão lvre [-] ψk Momento de ordem k da função dstrbução [-] dω Elemento de ângulo sóldo [rad] Π Parâmetro admensonal [-] Subscrtos 1,2 Dreções prncpal e perpendcular ao escoamento Dreção α, β, γ, δ, χ Índces da notação ndcal n Fludo newtonano lp Fludo de le de potênca B Fludo de Bngham lbm Método lattce Boltzmann ma Modelos analítcos ref Referênca rl Regão lvre rp Regão porosa mod Modfcado Canal parcalmente poroso mpermeável p Canal parcalmente poroso permeável c Crítco

18 1 INTRODUÇÃO 1.1 MOTIVAÇÃO Meos porosos estão presentes em dversas stuações cotdanas e aplcações tecnológcas, podendo-se ctar como exemplos: area, madera, asfalto, rochas, pães, tecdos do corpo humano, esponjas, solantes térmcos, espumas metálcas, entre outros (NIELD e BEJAN, 2006; SAHIMI, 2010). A Fgura 1.1 apresenta alguns exemplos de meos porosos naturas, como rochas carbonátcas da camada pré-sal (Fgura 1.1a) e ossos humanos (Fgura 1.1b), e artfcas, como asfalto permeável (Fgura 1.1c) e espuma metálca (Fgura 1.1d), cujas aplcações são encontradas na construção cvl e ndústras automotva, aeroespacal, bomédca, entre outras (BANHART, 2001). Equaton Chapter (Next) Secton 1 (a) (b) (c) (d) Fgura 1.1 Exemplos de meos porosos. (a) rocha carbonátca, (b) osso humano, (c) espuma metálca e (d) asfalto permeável. Fonte: (a) GLOBO, (b) BRITANNICA, (c) WIKIPÉDIA e (d) MOREINSPIRATION. 18

19 Em certas crcunstâncas, observa-se o escoamento de fludos ocorrendo junto a materas porosos como os ctados no parágrafo anteror. Prasad (1991) destaca a nteração entre solantes térmcos fbrosos ou granulares e a vznhança ao redor, a convecção da água junto às rochas em sstemas geotérmcos, o contato das águas de oceanos com o leto marnho, o processo de soldfcação dendrítca de alguns tpos de lgas metálcas, assm como a lubrfcação das artculações snovas (e.g., ombros e joelhos) e de rolamentos porosos. Outros exemplos nos quas se aplca a modelagem do escoamento junto à nterface entre uma regão lvre e outra porosa (nterface fludoporosa) são: processos de secagem de almentos e cmento (MOSTHAF et al., 2014), fltragem ndustral (HANSPAL et al., 2006), coletores solares (AL-NIMR e ALKAN, 1997), trocadores de calor (MOROSUK, 2005), perfuração de poços de petróleo e gás (MARTINS, 2004; MARTINS-COSTA et al., 2013), escoamento de flmes líqudos sobre superfíces rugosas (SADIQ e USHA, 2010), moldagem por transferênca de resna (YANG et al., 2008), propagação de ncêndos em florestas (SÉRO-GUILLAUME e MARGERIT, 2002) e fluxo de sangue em vasos sanguíneos e de outros fludos bológcos em órgãos do corpo humano (RAO e MISHRA, 2004). Devdo à quantdade de aplcações, o estudo de fenômenos de transporte junto à nterface fludo-porosa tem sdo realzado de forma extensva, sendo consderados dversos níves de complexdade do problema, desde o escoamento de fludo newtonano, lamnar e sotérmco (BEAVERS e JOSEPH, 1967; OCHOA-TAPIA e WHITAKER, 1995b) até, por exemplo, escoamentos turbulentos (SILVA e DE LEMOS, 2003), conveção forçada (KUZNETSOV, 1999) ou natural (GOBIN e GOYEAU, 2008) e transferênca de massa (GOBIN et al., 2005). Segundo Chandesrs e Jamet (2006), o prncpal desafo consste na modelagem adequada da zona de transção entre as regões lvre e porosa de modo a descrever corretamente os fluxos de massa, quantdade de movmento e energa na regão nterfacal. Partcularmente, o escopo deste trabalho se restrnge aos casos em que o fludo escoando junto à nterface fludo-porosa apresenta comportamento não newtonano, mas especfcamente, segundo os modelos de le de potênca ou Bngham. As consderações físcas e matemátcas destes modelos são apresentadas em detalhes no Capítulo 3, mas vale ressaltar que dos exemplos ctados anterormente, os fludos de perfuração utlzados pela ndústra petrolífera, o sangue e os fludos com partículas sóldas em suspensão são modelados como fludos de le de potênca ou Bngham (CHHABRA e RICHARDSON, 2008). A Fgura 1.2 lustra stuações em que estes fludos escoam em contato com uma 19

20 superfíce permeável, caracterzando-se, assm, o escoamento junto a nterface fludoporosa. (a) fludo de perfuração (regão fluda) reservatóro (regão porosa) (b) endotélo (regão porosa) sangue (regão fluda) (c) fltrado suspensão (regão fluda) membrana (regão porosa) fltrado Fgura 1.2 Exemplos de escoamentos de fludos de le de potênca ou Bngham ocorrendo junto à nterface fludo-porosa. (a) fludo de perfuração escoando no espaço anular entre a coluna de perfuração e o reservatóro, (b) escoamento de sangue em vasos sanguíneos e (c) fltração tangencal de fludo com partículas em suspenção. Fonte: (a) LEARNTODRILL, (b) WISEGEEK e (c) LIQTECH A Fgura 1.2a mostra o fludo de perfuração carregando os cascalhos gerados durante o processo de perfuração através do espaço anular entre a coluna de perfuração e as paredes do poço (rochas permeáves). A Fgura 1.2b lustra a passagem de sangue no 20

21 nteror de vasos caplares, cujas paredes são permeáves de modo a permtr a passagem de nutrentes e substâncas químcas. Por fm, a Fgura 1.2c retrata o processo de fltragem tangencal no qual um fludo com partículas em suspensão escoa sobre uma membrana permeável que permte a separação das partículas de maor granulometra do fltrado composto por fludo e partículas menores. 1.2 CARACTERIZAÇÃO DO PROBLEMA Neste trabalho, a análse do escoamento junto à nterface fludo-porosa é realzada através do estudo do escoamento em canal parcalmente poroso, o qual é formado por duas placas planas e paralelas entre as quas se faz presente um materal poroso acomodado sobre a placa nferor. No nteror do canal são dentfcadas duas regões: uma porosa, determnada pelo própro materal poroso, e outra lvre, compreendda entre a regão porosa e a placa superor do canal, como lustra a Fgura 1.3. x h 2 rf x2, u2 Regão fluda Interface fludo-porosa Acréscmo de vazão mássca x1, u1 x2 0 Zona de transção Regão porosa x h 2 rp u D x1 0 x1 L Fgura 1.3 Esboço do perfl de velocdades do escoamento em canal parcalmente poroso. Tal geometra remete aos expermentos realzados por Beavers e Joseph (1967), cujo trabalho representou o prmero esforço no sentdo de modelar o escoamento junto à nterface fludo-porosa. A prncpal questão a ser nvestgada é a nfluênca do meo poroso sobre o escoamento na regão lvre, a qual se traduz no modo como o perfl de velocdades se comporta na zona de transção entre as regões porosa e lvre. Conforme lustrado na Fgura 1.3, a zona de transção é caracterzada pela passagem de um perfl de velocdade aproxmadamente unforme, ud, no nteror da regão porosa (sufcentemente longe da zona de transção e da placa nferor) para um perfl aproxmadamente parabólco 21

22 na regão lvre. É mportante notar que a presença do meo poroso nduz uma vazão mássca através da regão lvre superor àquela esperada no caso em que o meo poroso é substtuído por uma parede mpermeável, já que a velocdade do escoamento na nterface fludo-porosa é maor do que zero (Fgura 1.3). 1.3 ABORDAGEM DO PROBLEMA Como será vsto na revsão bblográfca apresentada no Capítulo 2, o problema do escoamento junto à nterface fludo-porosa é abordado na lteratura segundo as metodologas expermental e teórca, a qual, por sua vez, pode ser analítca ou numérca. A complexdade matemátca assocada à modelagem do escoamento na zona de transção torna a obtenção de soluções puramente analítcas extremamente dfícl. Os modelos analítcos encontrados na lteratura dependem, por exemplo, de parâmetros empírcos relatvos ao meo poroso ou são smplfcados a tal ponto que a generaldade dos resultados é comprometda. Nesse sentdo, mutos estudos lançam mão de técncas numércas para solução das equações que modelam o problema, se utlzando, por exemplo, de ntegração numérca, do método das dferenças fntas, da smulação numérca dreta e do método lattce Boltzmann. Anda levando em conta a complexdade mposta pelo meo poroso na modelagem do problema, a abordagem expermental se mostra a melhor alternatva para a reprodução e nvestgação de problemas reas, fornecendo também subsídos para a análse dos modelos analítcos e numércos. Neste trabalho, opta-se pela solução do problema através do método lattce Boltzmann (LBM), um método numérco baseado na teora cnétca dos gases para a representação de fenômenos físcos em fludos (CHEN e DOOLEN, 1998). O LBM é apresentado detalhadamente no Capítulo 5 e será brevemente contextualzado a segur. De um modo geral, a análse do escoamento de fludos pode ser realzada em três escalas espacas: mcro, meso e macroscópca, lustradas na Fgura 1.4. Na escala mcroscópca é possível dstngur cada átomo ou molécula que compõe o fludo, o qual pode ser consderado um sstema de partículas ndvduas em constante movmentação nteragndo entre s por meo de colsões. O fludo é caracterzado pelas trajetóras das partículas, as quas são descrtas pelas mecâncas clássca ou hamltonana. No extremo oposto se encontra a escala macroscópca, na qual o lvre camnho médo das partículas (.e., dstânca méda percorrda entre duas colsões sucessvas) é muto menor do que o comprmento característco do escoamento e o fludo é consderado um meo contínuo. 22

23 Através da análse dos fluxos de massa, quantdade de movmento e energa em um volume de controle nfntesmal, obtém-se as respectvas equações de conservação que descrevem o escoamento. Fnalmente, a escala mesoscópca se encontra numa posção ntermedára, não sendo possível dstngur cada partícula ndvdualmente nem consderar o fludo como um meo contínuo. Neste caso, o fludo é caracterzado de forma estatístca através de funções dstrbução de velocdade, f (xα,cα,t), que correspondem ao número provável de partículas dentro de determnadas faxas de posção e velocdade num dado nstante de tempo. xα e cα representam, respectvamente, posções do espaço físco e de velocdades e t um nstante de tempo. Através das funções dstrbução, determnase as propredades macroscópcas do fludo, como massa específca, velocdade e energa nterna (GUO e SHU, 2013). l l llcm ref lcm f x, c, t F,5 F,1 F,2 F,4 F,3 Meo contínuo Representação estatístca Sstema de partículas ndvduas Fgura 1.4 Representação das escalas de análse de um fludo. Fundamentado na escala mesoscópca, o LBM se mostra uma alternatva a métodos numércos como a dnâmca molecular (escala mcroscópca) e o método dos volumes fntos (escala macroscópca). Algumas das vantagens do LBM são a lneardade do termo convectvo, a fácl adaptação do algortmo à computação paralela e a smplcdade de mplementação de condções de contorno. Além dsso, não é necessáro resolver a equação de Laplace a cada passo de tempo para que a equação da contnudade seja satsfeta. Outra característca mportante consste no cálculo da pressão através de uma equação de estado ndependente da velocdade do escoamento, não sendo necessára a ntrodução de um acoplamento entre pressão e velocdade, que em geral causa dfculdades numércas. Por fm, o número reduzdo de velocdades e dreções de deslocamento dos conjuntos de partículas torna desnecessára a solução da equação de 23

24 Boltzmann para todo o espectro de velocdades, o que confere maor efcênca ao método (CHEN e DOOLEN, 1998; MOHAMAD, 2011). Sukop e Thorne Jr (2007) destacam o aumento do número de trabalhos centífcos envolvendo o LBM nas últmas décadas com aplcações em dversas áreas da cênca e da engenhara. Guo e Shu (2013) apresentam modelos do LBM, com potencas aplcações na área de engenhara térmca, desenvolvdos para a solução de escoamentos turbulentos, multfáscos, compressíves, com transferênca de calor, em escala mcroscópca e em meos porosos. Também são encontrados na lteratura modelos para o escoamento de fludos não newtonanos (PHILLIPS e ROBERTS, 2011), combustão (YAMAMOTO et al., 2002) e mudança de fase (MILLER, 2001). 1.4 OBJETIVOS O objetvo deste trabalho é avalar o fator de atrto do escoamento de fludos de le de potênca e Bngham num canal formado por uma parede sólda e um meo poroso utlzando o método lattce Boltzmann. Para tanto, estuda-se o escoamento em canal parcalmente poroso no qual o meo poroso é representado através de obstáculos sóldos e quadrados dstrbuídos unformemente na parte nferor do canal. Especfcamente, são realzadas análses paramétrcas do problema, nas quas são estudadas as nfluêncas de parâmetros admensonas relaconados à regão porosa (.e., porosdade, número de obstáculos e altura admensonal), à nerca do escoamento (.e., número de Reynolds) e aos modelos de fludo (.e., índce de le de potênca e número de Bngham) sobre a relação entre os fatores de atrto do escoamento entre placas planas e paralelas e na regão lvre do canal. Ademas, estuda-se a adaptação de modelos analítcos que descrevem a nterface fludo-porosa no caso do escoamento de fludos newtonanos para o escoamento de fludos de le de potênca. 1.5 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO A sequênca deste documento é dvdda em sete capítulos. No Capítulo 2 é realzada a revsão bblográfca, na qual são descrtos os prncpas estudos relaconados ao escoamento de fludos newtonanos e não newtonanos junto à nterface fludo-porosa. Ao fnal do capítulo são evdencados os prncpas dferencas e contrbuções do presente trabalho. 24

25 No Capítulo 3 é apresentada a fundamentação teórca necessára para o desenvolvmento deste trabalho, sendo apresentados concetos báscos sobre fludos newtonanos e não newtonanos, meos porosos, bem como a defnção de fator de atrto. Em seguda, no Capítulo 4, realza-se a formulação do problema, sendo apresentadas a geometra, as condções de contorno e ncal, as hpóteses smplfcadoras e as equações de balanço que descrevem o problema. Além dsso, os parâmetros admensonas que caracterzam o escoamento em canal parcalmente poroso são dentfcados. O método lattce Boltzmann é apresentado no Capítulo 5, destacando-se aspectos ntrodutóros do método, o modelo de He e Luo (1997), a estrutura de retículo D2Q9 e o acoplamento dos modelos de le de potênca e Bngham. Ademas, são apresentadas as condções de contorno utlzadas na modelagem do escoamento em canal parcalmente poroso, a metodologa utlzada para o desenvolvmento dos testes de sensbldade à malha, bem como uma noção geral da estrutura do códgo de programação. No Capítulo 6 são apresentados os estudos de dos problemas de verfcação utlzados para avalar a mplementação numérca do LBM e a sua capacdade na solução do escoamento de fludo de le de potênca e Bngham em dferentes geometras. Partcularmente, são abordados os escoamentos entre placas planas e paralelas e em canal poroso. As análses do escoamento em canal parcalmente poroso são apresentadas no Capítulo 7, no qual são dscutdas as nfluêncas do meo poroso sobre o escoamento na regão lvre do canal, bem como o comportamento do fator de atrto em função da varação de cada parâmetro admensonal do problema. Além do mas, neste capítulo é estudada a adaptação de modelos analítcos que descrevem a nterface fludo-porosa para o escoamento de fludos newtonanos para o fludos de le de potênca. Fnalmente, no Capítulo 8 é apresentada a conclusão do trabalho, no qual são consderados os prncpas resultados obtdos e algumas sugestões para trabalhos futuros. 25

26 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Neste capítulo são revsados trabalhos da lteratura que nvestgam o escoamento junto à nterface fludo-porosa. Na seção 2.1 são apresentados estudos relatvos ao escoamento de fludo newtonano, enquanto a seção 2.2 trata do escoamento de fludos não newtonanos, com destaque aos modelos de le de potênca e Bngham. No fnal do capítulo são apontados os prncpas dferencas e contrbuções do presente trabalho. 2.1 ESCOAMENTO JUNTO À INTERFACE FLUIDO-POROSA: FLUIDO NEWTONIANO O prmero trabalho a tratar do escoamento junto à nterface fludo-porosa é atrbuído a Beavers e Joseph (1967), que nvestgaram o problema de forma analítca e expermental. Para tanto, Beavers e Joseph (1967) analsaram o escoamento de Poseulle (.e., escoamento promovdo por um gradente de pressão) em uma geometra smlar à da Fgura 1.3,.e., escoamento entre duas placas planas e paralelas entre as quas se faz presente um materal poroso, de tal forma que duas regões são estabelecdas: uma lvre (superor) e outra porosa (nferor). Expermentalmente, constatou-se que a vazão mássca na regão lvre era superor àquela esperada no caso em que o materal poroso é mpermeável (escoamento entre placas planas e paralelas), de modo que os autores nferram a exstênca de uma velocdade de deslzamento, unt, sobre a superfíce do materal poroso. O modelo analítco proposto por Beavers e Joseph (1967), que neste trabalho é denotado por BJ, consderou o escoamento de Stokes undmensonal e plenamente desenvolvdo na regão lvre e a le de Darcy na regão porosa. Para modelar a nterface fludo-porosa fo proposta a segunte condção de contorno: Equaton Chapter (Next) Secton 1 du dx 1 2 x 0 2 unt ud 2.1 K sendo u1 o componente da velocdade na dreção do escoamento, x2 o componente da posção na dreção perpendcular ao escoamento, x2 = 0 + a posção da nterface pelo lado 26

27 da regão lvre, K a permeabldade do meo poroso, ud a velocdade méda do escoamento na regão porosa (velocdade de Darcy) e α um parâmetro empírco assocado ao meo poroso (coefcente de deslzamento). A Equação 2.1 pode ser vsta como uma aproxmação do gradente de velocdade na zona de transção entre as regões lvre e porosa, o qual é proporconal, através do parâmetro α, à varação da velocdade de ud (no nteror da regão porosa) a unt (na nterface fludo-porosa) ao longo de um comprmento característco da regão porosa representado por K 1/2. Para valdar o modelo BJ, Beavers e Joseph (1967) analsaram a relação entre a varação do parâmetro σ = 0,5Dh,rl/K 1/2 e o acréscmo percentual de vazão mássca na regão lvre, Φ, o qual é dado por: m m rl pp 2.2 m pp sendo ṁrl a vazão mássca através da regão lvre na presença do materal poroso e ṁmp quando o mesmo é mpermeável. Consderando as característcas do expermento conduzdo, no qual o escoamento é promovdo por um gradente de pressão gualmente aplcado nas regões lvre e porosa, a expressão analítca de Φ para o modelo BJ, ΦBJ, é dada por: BJ sendo σ um parâmetro admensonal relaconando o dâmetro hdráulco da regão lvre, Dh,rl, e a permeabldade do meo poroso: D h, rl K Os resultados expermentas apresentados por Beavers e Joseph (1967), obtdos para dos tpos de fludo (água e óleo) e cnco amostras de meo poroso (foametal e 27

28 aloxte), mostraram que Φ cresce assntotcamente com a redução de σ, podendo alcançar valores superores a 1,2. De um modo geral, o modelo BJ apresentou resultados qualtatvamente coerentes com os resultados expermentas. Para uma faxa de σ varando aproxmadamente entre 2 e 90, o parâmetro α, que se mostrou ndependente do fludo, varou entre 0,1 e 4,0 em função da amostra de meo poroso utlzada. Em um estudo posteror, Sahraou e Kavany (1992) analsaram o escoamento junto à nterface fludo-porosa através de smulação numérca dreta, representando o meo poroso através de um conjunto de clndros sóldos. Os resultados obtdos mostraram que o parâmetro α depende da porosdade, efetos nercas, altura da regão lvre, posção da nterface fludo-porosa, dreção do escoamento e acabamento superfcal do meo poroso. Beavers et al. (1970) avalaram o fator de atrto, Cf, do escoamento na regão lvre do canal, confrontando resultados obtdos expermentalmente e através do modelo BJ. Os autores dentfcaram que o produto Cf Re é constante para uma determnada confguração geométrca de canal e meo poroso (σ e α fxos), sendo Re o número de Reynolds baseado na velocdade méda do escoamento e na altura da regão lvre. Especfcamente, pode-se mostrar que o produto Cf Re é nversamente proporconal a (1 + Φ). Desta forma, constatase que Cf Re dmnu na presença da nterface fludo-porosa, sendo este efeto tanto maor quanto maor o acréscmo percentual de vazão mássca na regão lvre, ou seja, quanto menor a altura da regão lvre ou maores forem a permeabldade do meo poroso e o parâmetro α. Neale e Nader (1974) propuseram a nclusão do termo de Brnkman, assocado ao arrasto vscoso do fludo com a matrz sólda do meo poroso, na modelagem do escoamento através do meo poroso. Desta forma, é possível capturar a penetração dos efetos vscosos na zona de transção entre as regões lvre e porosa. No modelo apresentado por Neale e Nader (1974), neste trabalho denotado por NN, a nterface fludoporosa é representada pela contnudade da velocdade e da tensão de csalhamento, a qual é calculada utlzando a vscosdade efetva assocada ao termo de Brnkman, μef, pelo lado do meo poroso: u u x20 x20 28

29 ef du dx du 2.6 dx x x2 sendo x2 = 0 - a posção da nterface pelo lado do domíno poroso. O acréscmo percentual de vazão mássca na regão lvre prevsto pelo modelo NN resulta num caso partcular do modelo BJ, com α = (μef /μ) 1/2. Suportados pelos resultados expermentas apresentados por Beavers e Joseph (1967), Neale e Nader (1974) consderam o modelo NN váldo, apontando para a necessdade de maores nformações a respeto da relação entre μ e μef. Além do termo de Brnkman, Vafa e Km (1990) consderam a ntrodução do termo de Forchhemer na modelagem do escoamento na regão porosa, de modo que os efetos assocados ao arrasto de forma da matrz sólda do meo poroso são contablzados. A nterface fludo-porosa é representada pelas Equações 2.5 e 2.6, consderando μef = μ. Das análses apresentadas por Vafa e Km (1990), pode-se constatar que a dstrbução de vazão mássca entre as regões lvre e porosa depende do número de Darcy (permeabldade admensonal) e do parâmetro resultante do produto entre o número de Reynolds (baseado na altura da regão lvre e na velocdade de Darcy) e o parâmetro admensonal relaconado ao termo de Forchhemer. A vazão mássca através da regão lvre cresce com a redução do número de Darcy ou com o aumento do parâmetro nercal, pos em ambos os casos a resstênca do meo poroso ao escoamento cresce, de tal forma que o fludo escoa preferencalmente pela regão lvre. Através da aplcação do método da méda volumétrca, Ochoa-Tapa e Whtaker (1995a, 1995b) obtveram as equações de Stokes e Darcy-Brnkman para a modelagem do escoamento, respectvamente, nas regões lvre e porosa do canal. Como resultado da méda volumétrca, a nterface fludo-porosa é caracterzada pela contnudade da velocdade, Equação 2.5, e pela descontnudade da tensão de csalhamento, a qual é representada por: du du unt 2.7 dx dx K 1 1 ef 2 x x2 29

30 sendo β um parâmetro empírco assocado ao meo poroso (coefcente de salto de tensão) e μef = μ/ϕ, com ϕ representando a porosdade do meo poroso. Para o caso partcular em que β = 0, o modelo OTW de Ochoa-Tapa e Whtaker (1995b) se reduz ao modelo NN (ver Equações 2.6 e 2.7). O acréscmo percentual de vazão mássca na regão lvre prevsto pelo modelo de Ochoa-Tapa e Whtaker (1995b), ΦOTW, é dado por: OTW Ochoa-Tapa e Whtaker (1995b) mostram que o modelo OTW representa os resultados expermentas apresentados Beavers e Joseph (1967) de manera mas satsfatóra que os modelos BJ e NN (com μef = μ/ϕ), com o parâmetro β varando entre -1,00 e 1,47 dependendo do meo poroso analsado. Na tentatva de aperfeçoar o modelo OTW, elmnando a dealzação da nterface fludo-porosa e, por consequênca, o parâmetro empírco β, Ochoa-Tapa e Whtaker (1995b) propuseram um modelo de porosdade varável, resolvdo numercamente, para o qual se deve supor que a porosdade vara espacalmente dentro da zona de transção entre as regões lvre e porosa. No entanto, os resultados obtdos não foram satsfatóros. Como destacaram Goyeau et al. (2003), a consderação de uma nterface separando as regões lvre e porosa representa a dealzação da zona de transção ndcada na Fgura 1.3, na qual ocorre uma rápda varação das propredades do meo poroso (e.g., porosdade, permeabldade, vscosdade efetva). Dentro desta perspectva, os parâmetros empírcos α e β pertencentes, respectvamente, aos modelos BJ e OTW, podem ser vstos como representações das nformações gnoradas através da smplfcação realzada pela consderação da nterface fludo-porosa. Na lteratura são encontrados outros modelos para a representação da nterface fludo-porosa, os quas buscam aprmorar a descrção do escoamento na zona de transção (GOYEAU et al., 2003; CHANDESRIS e JAMET, 2006; CHANDESRIS e JAMET, 2007; VALDÉS-PARADA et al., 2007; JAMET e CHANDESRIS, 2009; VALDÈS- PARADA et al., 2013). No entanto, o maor número de parâmetros empírcos envolvdos 30

31 e/ou a complexdade matemátca assocada ao conhecmento da geometra do meo poroso na zona de transção tornam a aplcação prátca destes modelos menos atratva. Algumas análses encontradas na lteratura dspensam a modelagem matemátca da nterface fludo-porosa, sendo que o efeto da zona de transção entre as regões lvre e porosa é dado pela varação das propredades do meo poroso na regão nterfacal. Nestas abordagens, o escoamento é representado por um únco conjunto de equações tanto na regão lvre quanto na porosa, de modo que não se faz necessára a utlzação de condções de contorno representando a nterface fludo-porosa (utlzadas para acoplar dferentes conjuntos de equações). De especal nteresse para este trabalho é a representação do meo poroso através de obstáculos sóldos, como nos trabalhos de James e Davs (2001), Nabovat e Sousa (2008), Nabovat e Amon (2013) e Mera et al. (2014), além do já ctado estudo de Sahraou e Kavany (1992). James e Davs (2001) analsaram os escoamentos de Couette (.e., placa superor do canal se movendo com velocdade constante) e Poseulle em um canal parcalmente poroso bdmensonal utlzando um método de sngulardade. O meo poroso fo representado através de dferentes arranjos de obstáculos sóldos crculares. No caso do escoamento de Poseulle, observou-se que a dferença entre a velocdades na nterface fludo-porosa no nteror do meo poroso é nfluencada pela porosdade e pela altura da regão lvre. Consderando os casos analsados, os autores concluem que para ϕ < 0,99 a velocdade de deslzamento pode ser aproxmada pela velocdade do escoamento no nteror do meo poroso, já que a dferença entre ambas tem magntude nferor a 10% da velocdade máxma do escoamento na regão lvre. Além do mas, os autores verfcaram que, em comparação aos resultados numércos, o modelo NN superestma a velocdade do escoamento na nterface fludo-porosa. Utlzando o LBM, Nabovat e Sousa (2008) smularam o escoamento de fludo newtonano em canal parcalmente poroso bdmensonal, representando o meo poroso através de obstáculos sóldos e quadrados dstrbuídos de forma aleatóra na parte nferor do canal. Os resultados apresentados mostraram que a velocdade do escoamento na nterface fludo-porosa aumenta com a porosdade. Os autores apresentam a curva Φ σ, mantendo a altura da regão lvre constante e varando a permeabldade do meo poroso através da porosdade, verfcando que o modelo numérco é qualtatvamente coerente com o modelo BJ, com o parâmetro α aumentando lnearmente com a porosdade. Nabovat e Amon (2013) estudaram, através de um modelo trdmensonal do LBM, o escoamento em canal parcalmente poroso, no qual o meo poroso é representado 31

32 por um emaranhado de fbras. Analsando o efeto da porosdade sobre o escoamento, os autores verfcaram que à medda que a porosdade dmnu, menores são a velocdade do escoamento na nterface fludo-porosa, a espessura da zona de transção entre as regões lvre e porosa, bem como o acréscmo percentual de vazão mássca na regão lvre. A comparação dos resultados numércos com os modelos os modelos BJ e OTW mostrou a exstênca de uma relação lnear entre a porosdade e os parâmetros α e β. Também utlzando o LBM, Mera et al. (2014) analsaram o escoamento de fludo newtonano em canal parcalmente poroso, de modo smlar a Nabovat e Sousa (2008), consderando um arranjo unforme dos obstáculos. As análses foram realzadas para dferentes valores de porosdade, número de obstáculos e alturas da regão lvre, resultando numa varação de σ entre 2,3 e 111,5. As análses apresentadas mostraram que o modelo OTW representou melhor o modelo numérco nvestgado em relação ao modelo BJ. Consderando os casos analsados, o parâmetro β, ajustado através do método dos mínmos quadrados, varou entre 4,72 e 7,80, com R 2 apresentando valores superores a 0,98. Nesse sentdo, fo proposta uma correlação para o parâmetro β em função da porosdade e da quantdade de obstáculos compondo o meo poroso. 2.2 ESCOAMENTO JUNTO À INTERFACE FLUIDO-POROSA: FLUIDOS NÃO NEWTONIANOS Os estudos envolvendo o escoamento de fludo não newtonano junto à nterface fludo-porosa encontrados na lteratura se estendem a dversos modelos de fludo, como: ) fludo de le de potênca (CHEN et al., 2009; RAO E MISHRA 2004; KAMISLI, 2006; PASCAL, 2006; ATTIA, 2008; ERVIN et al., 2009; SAQID e USHA, 2010; MAHMOUD, 2011; MARTINS-COSTA et al., 2013; SILVA et al., 2016), ) fludo de Bngham (ATTIA e SAYED-AHMED, 2004; TSANGARIS et al., 2007; CHEN e ZHU, 2008; CHEMLOUL, 2013; AVINASHI et al., 2013), ) fludo de Herschel-Bulkley (CLOÈTE, 2013), v) fludo de Maxwell (EL-SHEHAWY et al., 2006), v) fludo de Walters modelo B (LAKSHMI et al., 2013) e v) fludo de segunda ordem (ARIEL, 2002). 32

33 A segur são destacados os trabalhos cujas análses e resultados são mas relevantes para o problema do escoamento em canal parcalmente poroso nvestgado no presente trabalho. Chen et al. (2009) utlzaram o LBM para smular o escoamento de um fludo de le de potênca em um canal bdmensonal parcalmente preenchdo por um meo poroso homogêneo. A resstênca do meo poroso ao escoamento do fludo é modelada através de uma condção de bounce-back parcal, determnada pela fração volumétrca da fase sólda no meo poroso (1 ϕ) e que dspensa a defnção de uma condção de contorno para a nterface fludo-porosa. Os autores verfcaram que, para um gradente de pressão constante, a velocdade do escoamento na nterface fludo-porosa, bem como a penetração dos efetos vscosos no meo poroso, é tanto maor quanto maor o índce de le de potênca, n, e menor o o valor de (1 ϕ). Através da teora de msturas, Martns-Costa et al. (2013) modelaram o escoamento de fludo de le de potênca em canal parcalmente poroso, sendo a nterface fludo-porosa representada por condções de compatbldade para a velocdade e sua dervada, as quas levam em conta a porosdade e um parâmetro escalar assocado à estrutura do meo poroso. O conjunto de equações fo resolvdo através do método Runge- Kutta de quarta ordem e os resultados apresentados corroboram os obtdos por Chen et al. (2009), ou seja, a velocdade do escoamento na nterface fludo-porosa aumenta com n. Slva et al. (2016) propuseram um modelo matemátco para a representação da nterface fludo porosa para o escoamento de fludo de le de potênca baseado no modelo OTW, sendo que a Equação 2.7 é modfcada para: rp du1 du1 rf nt unt 2.9 dx dx K 2 2 x20 x20 sendo ηrl, ηrp e ηnt, respectvamente, as vscosdades aparentes do fludo nas regões lvre, porosa, e na nterface. Para mas detalhes consultar as defnções apresentadas por Slva et al. (2016). Os autores analsaram o escoamento entre placas planas e paralelas sobre as quas se faz presente um meo poroso de tal forma que a regão lvre se encontra na regão central do canal. Consderando a varação do índce de le de potênca para uma vazão mássca total através do canal constante, observou-se que à medda que n cresce a vazão 33

34 mássca total no canal se redstrbu de tal forma que a vazão na regão porosa aumenta e na regão lvre dmnu. Os resultados apresentados não ndcam qualquer relação entre n e a velocdade do escoamento na nterface fludo-porosa. Consderando o escoamento de fludo de Bngham, Avnash et al. (2013) estudaram analtcamente o escoamento em um tubo cônco de paredes porosas, utlzando o modelo BJ para representar a nterface fludo-porosa. Os autores verfcaram que a velocdade do escoamento na nterface fludo-porosa é tanto maor quanto maor for a tensão lmte de escoamento do fludo. Analsando o escoamento de fludo de Herschel-Bulkey (.e., fludo de le de potênca com tensão lmte de escoamento) em canal parcalmente poroso, Cloète (2013) estendeu o modelo proposto por Neale e Nader (1974). Dferentemente do observado por Chen et al. (2009) e Martns-Costa et al. (2013), os resultados obtdos por Cloète (2013) mostram que à medda que o índce de le de potênca dmnu, maor é a velocdade do escoamento na nterface fludo-porosa. A dferença entre o comportamento observado por Cloète (2013) com relação aos trabalhos de Chen et al. (2009) e Martns-Costa et al. (2013) pode ser credtada à combnação dos valores de gradente de pressão, índce de consstênca e altura da regão lvre escolhdos por cada autor. Consderando a análse da nfluênca da tensão lmte de escoamento, Cloète (2013) observou que quanto maor a tensão menor é a velocdade do escoamento na nterface fludo-porosa. 2.3 SÍNTESE DO CAPÍTULO Neste capítulo foram apresentados alguns dos prncpas trabalhos encontrados na lteratura cujas análses englobam o escoamento de fludos newtonanos e não newtonanos junto à nterface fludo-porosa. De um modo geral, as análses estão relaconadas à modelagem matemátca e nvestgação da nfluênca da regão nterfacal sobre o escoamento nas regões lvre e porosa. Tal nfluênca é verfcada em termos do acréscmo percentual de vazão mássca na regão lvre, fator de atrto, velocdade do escoamento na nterface fludo-porosa e dstrbução da vazão mássca total entre as regões lvre e porosa. Os prncpas parâmetros que afetam o escoamento estão relaconados ao meo poroso, à altura da regão lvre, à nérca do escoamento e ao comportamento não newtonano do fludo. Consderando a proposta deste trabalho em analsar o escoamento de fludos de le de potênca e Bngham, pode-se destacar alguns dferencas em relação a trabalhos 34