UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA E DE MATERIAIS

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1 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA E DE MATERIAIS RODRIGO ESPERANÇA DA CUNHA PIMENTEL DE MEIRA ESTUDO DO ESCOAMENTO DE FLUIDOS DE LEI DE POTÊNCIA E DE BINGHAM EM CANAL PARCIALMENTE POROSO UTILIZANDO O MÉTODO LATTICE BOLTZMANN DISSERTAÇÃO CURITIBA 2016

2 RODRIGO ESPERANÇA DA CUNHA PIMENTEL DE MEIRA ESTUDO DO ESCOAMENTO DE FLUIDOS DE LEI DE POTÊNCIA E DE BINGHAM EM CANAL PARCIALMENTE POROSO UTILIZANDO O MÉTODO LATTICE BOLTZMANN Dssertação de mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenhara Mecânca e de Materas da Unversdade Tecnológca Federal do Paraná como requsto parcal para obtenção do título de Mestre em Engenhara Área de Concentração: Engenhara Térmca. Orentador: Prof. Dr. Slvo L. M. Junquera Coorentador: Prof. Cezar O. R. Negrão, PhD CURITIBA 2016

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4 Dados Internaconas de Catalogação na Publcação M514e Mera, Rodrgo Esperança da Cunha Pmentel de 2016 Estudo do escoamento de fludos de le de potênca e de Bngham em canal parcalmente poroso utlzando o método Lattce Boltzmann / Rodrgo Esperança da Cunha Pmentel de Mera p.: l.; 30 cm. Texto em português, com resumo em nglês. Dssertação (Mestrado) - Unversdade Tecnológca Federal do Paraná. Programa de Pós-Graduação em Engenhara Mecânca e de Materas. Área de Concentração: Engenhara Térmca, Curtba, Engenhara mecânca - Dssertações. 2. Fluídos - Escoamento. 3. Método Lattce Boltzmann. 4. Materas porosos - Dnâmca dos fludos. 5. Fludo de Bngham. 6. Fludodnâmca computaconal. 7. Engenhara térmca. I. Junquera, Slvo Luz de Mello. II. Negrão, Cezar Otavano Rbero. III. Unversdade Tecnológca Federal do Paraná - Programa de Pós-Graduação em Engenhara Mecânca e de Materas. IV. Título. CDD: Ed Bbloteca Ecovlle da UTFPR, Câmpus Curtba

5 TERMO DE APROVAÇÃO Rodrgo Esperança da Cunha Pmentel de Mera ESTUDO DO ESCOAMENTO DE FLUIDOS DE LEI DE POTÊNCIA E DE BINGHAM EM CANAL PARCIALMENTE POROSO UTILIZANDO O MÉTODO LATTICE BOLTZMANN Esta Dssertação fo julgada para a obtenção do título de Mestre em Engenhara, área de concentração em Engenhara Térmca, e aprovada em sua forma fnal pelo Programa de Pósgraduação em Engenhara Mecânca e de Materas. Prof. Paulo César Borges, Dr. Coordenador do Programa Banca Examnadora Prof. Slvo Luz de Mello Junquera, Dr. UTFPR - orentador Prof. Paulo Cesar Phlpp, Dr. UFSC Prof. Cezar Otavano Rbero Negrão, PhD. UTFPR - coorentador Prof. Admlson Texera Franco, Dr. UTFPR Curtba, 18 de Novembro de 2016

6 A todos os envolvdos.

7 AGRADECIMENTOS Aos professores Slvo Junquera e Cezar Negrão, bem como ao colega Fernando De La, pelas númeras conversas que me ajudaram a compreender melhor cada um dos dversos aspectos deste trabalho, desde o problema estudado, passando pelas profundezas do LBM, até a forma de apresentação de cada uma das análses realzadas. Aos professores da banca, Admlson Franco e Paulo Phlpp, pelo tempo dedcado à avalação deste documento. Seus comentáros, crítcas e elogos foram de grande vala para o desenvolvmento deste trabalho. Ao Programa de Pós-Graduação em Engenhara Mecânca e de Materas (PPGEM), à Petrobras e ao Centro de Pesqusas em Reologa e Fludos Não Newtonanos (CERNN) pela formação proporconada, suporte fnancero e estrutura oferecda. Aos meus colegas do CERNN pelas horas de trabalho compartlhadas, com boas conversas, sugestões, comentáros, padas e rsadas, que com certeza contrbuíram para o desenvolvmento deste trabalho. Aos meus pas, Monca (n memoran) e Jeronmo, mnha rmã, Alexandra, mnha namorada, Vvan, e a todos os meus amgos por tudo que representam para mm. Vocês sabem que sou uma pessoa de poucas palavras e se um da tverem a oportundade de ler estas palavras com certeza saberão que fu quem as escreveu!

8 RESUMO MEIRA, Rodrgo Esperança da Cunha Pmentel de. Estudo do escoamento de fludos de le de potênca e de Bngham em canal parcalmente poroso utlzando o método lattce Boltzmann f. Dssertação - Programa de Pós-Graduação em Engenhara Mecânca e de Materas, Unversdade Tecnológca Federal do Paraná. Curtba, Neste trabalho, propõe-se o estudo numérco do escoamento de fludos de le de potênca e de Bngham em canal parcalmente poroso utlzando o método lattce Boltzmann. Para tanto, consdera-se o escoamento entre placas planas e paralelas entre as quas se faz presente um materal poroso localzado na parte nferor do canal, o qual é abordado de forma heterogênea (resolução espacal da ordem de grandeza dos poros) e representado através de obstáculos sóldos e quadrados. As equações de conservação da massa e da quantdade de movmento são resolvdas através do modelo de He e Luo (1997a) utlzando-se a estrutura de retículo bdmensonal D2Q9, sendo o comportamento não newtonano do fludo ncorporado ao modelo por meo da varação local do fator de relaxação em função da vscosdade aparente do fludo. As análses realzadas mostram o efeto de parâmetros admensonas do problema relaconados à regão porosa (porosdade, densdade de obstáculos e dâmetro hdráulco da regão porosa), à nérca do escoamento e aos modelos de fludo (índce de le de potênca e tensão lmte de escoamento) sobre o fator de atrto na regão lvre do canal. De um modo geral, constata-se que o fator de atrto na regão lvre do canal dmnu em relação ao caso do escoamento entre placas planas e paralelas com o aumento da porosdade e do número de Bngham (tensão lmte de escoamento admensonal) e com as reduções da densdade de obstáculos admensonal, número de Reynolds e índce de le de potênca. Ademas, propõe-se a adaptação do modelo analítco para a nterface fludo-porosa proposto por Ochoa-Tapa e Whtaker (1995b) ao escoamento de fludo de le de potênca, verfcando-se a possbldade de ncorporar o comportamento não newtonano do fludo ao coefcente de salto de tensão. Palavras-chave: nterface fludo-porosa, fludo de le de potênca, fludo de Bngham, meo poroso heterogêneo, método lattce Boltzmann.

9 ABSTRACT MEIRA, Rodrgo Esperança da Cunha Pmentel de. Numercal analyss of power law and Bngham fluds flow n a channel partally flled by a porous doman usng the lattce Boltzmann method f. Dssertação - Programa de Pós-Graduação em Engenhara Mecânca e de Materas, Unversdade Tecnológca Federal do Paraná. Curtba, The goal of ths work s to nvestgate the flow of power law and Bngham fluds n a channel partally flled by a porous medum usng the lattce Boltzmann method. The porous regon s located n the bottom half of the channel and s analyzed consderng a pore level approach n whch the porous medum s represented by a set of sold square obstacles. Mass and momentum conservaton equatons are solved usng the lattce Boltzmann model proposed by He and Luo (1997a) and D2Q9 dscretzaton model. The non-newtonan flud behavor s taken nto account by varyng the relaxaton factor locally wth the flud apparent vscosty. Results show the nfluence of varous non-dmensonal parameters related to de porous regon (porosty, obstacles densty and porous regon hydraulc dameter), flow nerta and flud model parameters (power law ndex and yeld stress) on the frcton factor of the flow occurrng n free regon of the channel. In general, decreasng the power law ndex, the Reynolds number (nertal parameter) or the nondmensonal parameter assocated to the obstacles densty composng the porous doman causes the reducton of the frcton factor n comparson to the flow between parallel plates. The same behavor occurs when ncreasng the Bngham number (non-dmensonal yeld stress) or the porosty. Moreover, the flud-porous nterface model developed by Ochoa-Tapa and Whtaker (1995b) for Newtonan flows s used to descrbe the flow of power law fluds by varyng the stress jump coeffcent wth the power law ndex. Keywords: flud-porous nterface, power law flud, Bngham flud, heterogeneous porous medum, Lattce Boltzmann method.

10 LISTA DE FIGURAS Fgura 1.1 Exemplos de meos porosos. (a) rocha carbonátca, (b) osso humano, (c) asfalto permeável e (d) espuma metálca Fgura 1.2 Exemplos de escoamentos de fludos não newtonanos ocorrendo junto à nterface fludo-porosa. (a) fludo de perfuração escoando no espaço anular entre a coluna de perfuração e o reservatóro, (b) escoamento de sangue em vasos sanguíneos e (c) fltração tangencal de fludo com partículas em suspensão Fgura 1.3 Esboço do perfl de velocdades do escoamento em canal parcalmente poroso Fgura 1.4 Representação das escalas de análse de um fludo Fgura 3.1 Vscosdade aparente em função da taxa de csalhamento para uma solução dluída de polacrlamda em xarope de glcose Fgura 3.2 Comportamento típco de fludos newtonanos, pseudoplástcos, dlatantes e vscoplástcos Fgura 3.3 Comparação entre as vscosdades aparentes dos modelos de Bngham e Papanastasou (1987) em função da taxa de csalhamento para dferentes valores de np Fgura 3.4 Abordagens homogênea e heterogênea do meo poroso Fgura 3.5 Escalas de análse mcro, meso e macroscópca da nterface-fludo porosa Fgura 4.1 Geometra e condções de contorno do escoamento em canal parcalmente poroso Fgura 5.1 Representação do volume de controle hexadmensonal dxαdcα Fgura 5.2 Processos de deslocamento e colsão Fgura 5.3 Estrutura de retículo D2Q Fgura 5.4 Funções dstrbução f ndetermnadas após a etapa de deslocamento na frontera S Fgura 5.5 Funções dstrbução f ndetermnadas (setas tracejadas) após a etapa de deslocamento nas fronteras N, S, L, O

11 Fgura 5.6 Formulações da condção de bounce-back (a) padrão e (b) ntermedára Fgura 5.7 Fluxograma do códgo computaconal Fgura 6.1 Geometra e condções de contorno do escoamento entre placas planas e paralelas Fgura 6.2 Componente axal (u1 * ) da velocdade do escoamento entre placas planas e paralelas. Perfs de velocdade para (a) fludo de le de potênca para Relp = 10 0 e dferentes valores de n e (b) fludo de Bngham para ReB = 10 0 e dferentes valores de B Fgura 6.3 Tensão de csalhamento ao longo da dreção x2 * para o escoamento entre placas planas e paralelas. (a) fludo de le de potênca para n = 0,25, 1,00 e 4,00 com Relp = 10 0 e (b) fludo de Bngham para B = 0,00; 0,10; 0,20 e 0,40 com ReB = Fgura 6.4 Taxa de csalhamento ao longo da dreção x2 * para o escoamento entre placas planas e paralelas. (a) fludo de le de potênca para n = 0,25, 1,00 e 4,00 com Relp = 10 0 e (b) fludo de Bngham para B = 0,00; 0,10; 0,20 e 0,40 com ReB = Fgura 6.5 Geometra e condções de contorno do escoamento em canal poroso utlzando a abordagem heterogênea Fgura 6.6 Vazão mássca em função do gradente de pressão para o escoamento de fludo de le de potênca em canal poroso: DO * = 16, ϕ = 0,75 e n = 0,25; 1,00 e 4, Fgura 6.7 Vazão mássca em função do gradente de pressão para o escoamento de fludo de Bngham em canal poroso: DO * = 16, ϕ = 0,75 e τ0 = 0,00; 0,10; 1,00 e 10,00 Pa Fgura 7.1 Campos escalares de velocdade (a) e componente axal (u1 * ) da velocdade (b) dos escoamentos de fludo newtonano (n = 1,00) entre placas planas e paralelas e em canal parcalmente poroso para Relp = 10 0, ϕ = 0,75, DO * = 16, Dh,rp /Dh,rl = 1, Fgura 7.2 Campo vetoral de velocdade na regão da nterface fludo-porosa a montante do obstáculo (a) e detalhe na regão lateral do obstáculo (b) para o escoamento em canal parcalmente poroso para Relp = 1,00, ϕ = 0,75, DO * = 16, Dh,rp /Dh,rl = 1,00 e n =1,

12 Fgura 7.3 Componentes axal (a) e transversal (b) da velocdade ao longo da dreção x1 * junto à nterface fludo-porosa (x2 * = 1, ) para Relp = 10 0, ϕ = 0,75, DO * = 16, Dh,rp /Dh,rl = 1,00 e n =1, Fgura 7.4 Campos escalares de tensão (a) e de pressão (b) dos escoamentos entre placas planas e paralelas (à esquerda) e em canal parcalmente poroso (à dreta) para Relp = 1,00, ϕ = 0,75, DO * = 16, Dh,rp /Dh,rl = 1,00 e n = 1, Fgura 7.5 Cf,p/Cf, em função do número de Reynolds para ϕ = 0,75, DO * = 16, Dh,rp /Dh,rl = 1,00: (a) fludo de le de potênca e (b) fludo de Bngham Fgura 7.6 Componente axal (u1 * ) da velocdade ao longo do canal (à esquerda) e na regão da nterface fludo-porosa (à dreta) para ϕ = 0,75, DO * = 16, Dh,rp /Dh,rl = 1,00 e dferentes valores de Relp: (a) n = 0,25, (b) 1,00 e (c) 4, Fgura 7.7 Campos de vscosdade aparente para o escoamento em canal parcalmente poroso para Relp = 1,00, ϕ = 0,75, DO * = 16, Dh,rp /Dh,rl = 1,00 para n =0,25, 1,00 e 4, Fgura 7.8 Componente axal (u1 * ) da velocdade ao longo do canal (à esquerda) e na regão da nterface fludo-porosa (à dreta) para ϕ = 0,75, DO * = 16, Dh,rp /Dh,rl = 1,00 e dferentes valores de ReB: (a) B = 0,00, (b) B = 0,10 e (c) B = 0, Fgura 7.9 Lnhas de corrente na regão da nterface fludo-porosa a montante do obstáculo para ϕ = 0,75, DO * = 16, Dh,rp /Dh,rl = 1,00 e Relp = 10 0 (à esquerda) e 10 3 (à dreta): (a) n = 0,25 e (b) 4, Fgura 7.10 Cf,p/Cf, em função da porosdade para Relp e ReB = 10 0, DO * = 16, Dh,rp /Dh,rl = 1,00: (a) fludo de le de potênca e (b) fludo de Bngham Fgura 7.11 Componente axal (u1 * ) da velocdade ao longo do canal (à esquerda) e na regão da nterface fludo-porosa (à dreta) para Relp e ReB = 10 0, DO * = 16, Dh,rp /Dh,rl = 1,00 e dferentes valores de ϕ: (a) n = 0,25, (b) 1,00 e (c) 4, Fgura 7.12 Componente axal (u1 * ) da velocdade ao longo do canal (à esquerda) e na regão da nterface fludo-porosa (à dreta) para ReB = 10 0, ϕ = 0,75, DO * = 16, Dh,rp /Dh,rl = 1,00 e dferentes valores de B Fgura 7.13 Componentes axal (a) e transversal (b) da velocdade ao longo da dreção x1 * junto à nterface fludo-porosa (x2 * = 1, ) para Relp = 10 0, ϕ = 0,75, Dh,rp /Dh,rl = 1,00, n = 0,25 e dferentes valores de DO *

13 Fgura 7.14 Cf,p/Cf, em função da densdade de obstáculos admensonal para Relp = 10 0, ϕ = 0,75, Dh,rp /Dh,rl = 1,00: (a) fludo de le de potênca e (b) fludo de Bngham Fgura 7.15 Cf,p/Cf, em função de Dh,rp/Dh,rl para Relp = 10 0, ϕ = 0,75, DO * = 16: (a) fludo de le de potênca e (b) fludo de Bngham Fgura 7.16 Curvas Cf,p/Cf, σ obtdas através dos modelos BJ (αbj = 27,00), NN (μef /μ = ϕ -1 ) e OTW (βotw = -5.85) e do LBM para o escoamento em canal parcalmente poroso para Relp = 1,00, ϕ = 0,75, DO * = 16, Dh,rp = 1,00 m, n =1, Fgura 7.17 Componente axal (u1 * ) da velocdade ao longo do canal (à esquerda) e na regão da nterface fludo-porosa (à dreta) para o escoamento em canal parcalmente poroso para Relp = 1,00, ϕ = 0,75, DO * = 16, Dh,rp = 1,00, n =1,00 e dferentes valores de Dh,rl Fgura 7.18 Resultados para Cf,p/Cf, em função de σ obtdos através do LBM para Relp = 10 0, ϕ = 0,75, DO * = 16, Dh,rp = 1,00 e dferentes valores n Fgura 7.19 Curvas Cf,p/Cf, σ obtdas através do modelo OTW para dferentes valores de βotw Fgura 7.20 Comparação entre os resultados apresentados na Fgura 7.18 e o modelo OTW consderando os valores de βotw apresentados na Tabela Fgura C.1 Análse das condções de contorno de bounce-back. Comparação entre os perfs de velocdade analítco e obtdos com bounce-back (a) padrão e (b) ntermedáro. À esquerda: perfs de velocdade ao longo de toda a seção transversal do canal. À dreta: detalhe da regão próxma a parede nferor Fgura C.2 Canal parcalmente poroso com dferentes comprmentos. (a) L = 0,25 e (b) L = 0, Fgura C.3 Perfs de velocdade do escoamento em canal parcalmente poroso em dferentes posções do canal

14 LISTA DE TABELAS Tabela 5.1 Valores de w, cs e cα, para o modelo D2Q Tabela 7.1 Faxas de valores das varáves ndependentes Tabela 7.2 Valores de Cf,p/Cf, para dferentes de números de Reynolds e índces de le de potênca Tabela 7.3 Valores de Cf,p/Cf, para dferentes de números de Reynolds e números de Bngham Tabela 7.4 Valores de Cf,p/Cf, para dferentes porosdades e índces de le de potênca Tabela 7.5 Valores de Cf,p/Cf, para dferentes porosdades e números de Bngham Tabela 7.6 Valores de Cf,p/Cf, para dferentes números de obstáculos e índces de le de potênca Tabela 7.7 Valores de Cf,p/Cf, para dferentes números de obstáculos e números de Bngham Tabela 7.8 Valores de β e R 2 para cada valor de n Tabela D.1 Parâmetros das smulações para o escoamento de fludo de le de potênca Tabela D.2 Teste de sensbldade à Δx e Δt para o escoamento de fludo de le de potênca entre placas planas e paralelas para n = 0, Tabela D.3 Teste de sensbldade à Δx e Δt para o escoamento de fludo de Bngham entre placas planas e paralelas para B = 0,40 e np = Tabela D.4 Teste de sensbldade à np para o escoamento de fludo de Bngham entre placas planas e paralelas para B = 0, Tabela D.5 Teste de sensbldade à Δx e Δt para o escoamento de fludo de le de potênca em canal poroso para n = 0,25 e ( Δp/L) = 48,00 Pa/m Tabela D.6 Teste de sensbldade à Δx e Δt para o escoamento de fludo de Bngham em canal poroso para τ0 = 10 Pa, ( Δp/L) = 2,50 Pa/m e np = Tabela D.7 Teste de sensbldade em relação a np para o escoamento de fludo de Bngham em canal poroso para τ0 = 0,10 Pa e ( Δp/L) = 2,50 Pa/m

15 Tabela D.8 Teste de sensbldade à Δx e Δt para o escoamento de fludo de le de potênca em canal parcalmente poroso para n = 0,25 e Relp = Tabela D.9 Teste de sensbldade à Δx e Δt para o escoamento de fludo de Bngham em canal parcalmente poroso para B = 0,40, ReB = 10 0 e np = Tabela D.10 Teste de sensbldade à np para o escoamento de fludo de Bngham em canal parcalmente poroso para B = 0, Tabela D.11 Parâmetros das smulações para o escoamento de fludo de le de potênca Tabela D.12 Parâmetros das smulações para o escoamento de fludo de Bngham

16 LISTA DE SIGLAS BGK Aproxmação para o operador colsão proposta por Bhatnagar et al. (1954) BJ Modelo de Beavers e Joseph (1967) CA Cellular Automata DaQb Estruturas de lattce FHP Modelo de Frsch et al. (1986) HL Modelo de He e Luo (1997a) LBM Método lattce Boltzmann LGCA Lattce-Gas Cellular Automata NN Modelo de Neale e Nader (1974) OTW Modelo de Ochoa-Tapa e Whtaker (1995b)

17 LISTA DE SÍMBOLOS Símbolos Romanos a Número de dmensões da estrutura de lattce [-] A Área da seção transversal [m 2 ] At Área total (meo poroso bdmensonal) [m 2 ] Af Área de fludo (meo poroso bdmensonal) [m 2 ] b Número de orentações/velocdades de deslocamento no [-] retículo B Número de Bngham [-] cα Componente do vetor velocdade das partículas [m/s] c Velocdade fundamental das partículas [m/s] Cf Fator de atrto [-] cf Fator de forma (termo de Forchhemer) [-] cs Velocdade do som [m/s] ca Coefcente angular da reta [-] C1, C2 Constantes [-] Dh Dâmetro hdráulco [m] DO Densdade de obstáculos na regão porosa [obstáculos/m 2 ] e Energa [J] Eg Erro global [-] EΔx Erro assocado à dscretzação espacal [-] EMa Erro assocado à compressbldade [-] EΔt Erro assocado à dscretzação temporal [-] EM Expressão a ser mnmzada (método dos mínmos [-] quadrados) Ep Erro percentual [-] f Função dstrbução de velocdade [-] fm Função dstrbução de Maxwell [-] f eq Função de equlíbro local [-]

18 f neq Parcela de não equlíbro da função dstrbução de [-] velocdade Fα Componente do vetor força externa [N] gα Componente do vetor aceleração da gravdade [m/s 2 ] Orentação de deslocamento das partículas no retículo [-] kb Constante de Boltzmann [m 2 kg/s 2 K] K Permeabldade [m 2 ] Kn Número de Knudsen (llcm/lref) [-] llcm Lvre camnho médo das partículas [m] lref Comprmento de referênca [m] L Comprmento do canal [m] m Massa das partículas [kg] ṁ Vazão mássca [kg/m 3 ] Ma Número de Mach [-] n Índce de le de potênca [-] nvp ndp np Número de varáves do problema (Teorema P de [-] Buckngham) Número de dmensões prmáras (Teorema P de [-] Buckngham) Parâmetro de regularzação do modelo de Papanastasou [s] (1987) N Número de partículas [-] N, S, L, O Fronteras do retículo [-] p Pressão [Pa] P Perímetro [m] Δp Dferença de pressão [Pa] Q Operador colsão [-] Re Número de Reynolds [-] R 2 Coefcente de determnação (método dos mínmos [-] quadrados) s Dstânca entre os obstáculos [m] S Lado dos obstáculos [m] t Tempo [s]

19 Δt Passo de tempo [s] T Temperatura [K] uα Componente do vetor velocdade do escoamento [m/s] ud Velocdade de Darcy [m/s] unt Velocdade do escoamento na nterface fludo-porosa [m/s] ū Velocdade méda do escoamento [m/s] un Velocdade do núcleo não csalhado (Fludo de Bngham) [m/s] uref Velocdade de referênca do escoamento [m/s] V Volume [m 3 ] Vp Volume total de poros [m 3 ] Vp Volume de poros nterconectados [m 3 ] Vt Volume total do meo poroso [m 3 ] w Fator de ponderação [-] xα Componente do vetor posção [m] xn Comprmento do núcleo não csalhado (Fludo de [m] Bngham) Δx Dstânca horzontal/vertcal entre nós vznhos [m] Símbolos Gregos αbj Coefcente de deslzamento (modelo BJ) [-] βotw Coefcente de salto de tensão (modelo OTW) [-] Taxa de csalhamento/magntude do tensor taxa de csalhamento Componente do tensor taxa de csalhamento [s -1 ] ξ Parâmetro de escala da expansão de Chapman-Enskog [-] η Vscosdade aparente [Pa s] ηc Índce de consstênca [Pa s n ] ηp Vscosdade plástca [Pa s] μ Vscosdade dnâmca [Pa s] μef Vscosdade dnâmca efetva [Pa s] ρ Massa específca do fludo [kg/m 3 ] ρ0 Massa específca ncal [kg/m 3 ] [s -1 ]

20 δρ Flutuação da massa específca [kg/m 3 ] σ Parâmetro admensonal (hrl/ K ) [-] λ Fator de relaxação [s] λlb Fator de relaxação admensonal (λ/δt) [-] ς Seção transversal dferencal de choque [m 2 ] τ Tensão/Magntude do tensor tensão [Pa] ταβ Componente do tensor tensão [Pa] τ 0 Tensão lmte de escoamento [Pa] ϕ Porosdade [-] ϕef Porosdade efetva [-] φ Varável qualquer do problema [-] Φ Acréscmo percentual de vazão na regão lvre [-] ψk Momento de ordem k da função dstrbução [-] dω Elemento de ângulo sóldo [sr] Π Parâmetro admensonal [-] Subscrtos Orentação de deslocamento das partículas no retículo α, β, γ, δ, χ Índces da notação ndcal n Fludo newtonano lp Fludo de le de potênca B Fludo de Bngham lbm Método lattce Boltzmann ma Modelos analítcos ref Referênca rl Regão lvre rp Regão porosa mod Modfcado Canal parcalmente poroso mpermeável p Canal parcalmente poroso permeável c Crítco

21 Sobrescrtos * Varável/Parâmetro admensonal

22 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO Motvação Caracterzação do problema Abordagem do problema Objetvos Organzação do trabalho REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Escoamento junto à nterface fludo-porosa: fludo newtonano Escoamento junto à nterface fludo-porosa: fludos não newtonanos Síntese do capítulo FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Fludos newtonanos e não newtonanos Meos porosos Fator de atrto e número de Reynolds Síntese do capítulo FORMULAÇÃO DO PROBLEMA Geometra e condções de contorno e ncal Hpóteses smplfcadoras e equações de balanço Parâmetros e varáves admensonas do problema Síntese do capítulo MÉTODO LATTICE BOLTZMANN Hstórco Concetos báscos sobre teora cnétca dos gases Modelo de He e Luo (1997a) Estruturas de retículo Equvalênca entre o modelo HL e as Equações de Naver-Stokes Expansão de Chapman-Enskog Adaptação do modelo HL para o escoamento de fludos de le de potênca e de Bngham Condções de contorno... 77

23 5.8 Metodologa para o teste de sensbldade à dscretzação espacal (Δx) e temporal (Δt) Estrutura do códgo computaconal Síntese do capítulo PROBLEMAS DE VERIFICAÇÃO Escoamento entre placas planas e paralelas Escoamento em canal poroso Síntese do capítulo RESULTADOS E DISCUSSÕES Parâmetros de análse do problema Influênca da nterface fludo-porosa sobre o escoamento na regão lvre Análse paramétrca Estudo da adaptação dos modelos analítcos BJ, NN e OTW ao escoamento de fludo de le de potênca Síntese do capítulo CONSIDERAÇÕES FINAIS Sugestões para trabalhos futuros REFERÊNCIAS APÊNDICE A PARÂMETROS ADIMENSIONAIS APÊNDICE B RESULTADOS INTERMEDIÁRIOS DO MÉTODO LATTICE BOLTZMANN B.1 Função de equlíbro do modelo de He e Luo (1997a) Equação B.2 Momentos de ordem zero e um das funções dstrbução de velocdade do modelo de He e Luo (1997a) Equações 5.13 e B.3 Momentos de ordem zero e um das parcelas de não equlíbro das funções dstrbução de velocdade Equações 5.26 e B.4 Obtenção da equação da conservação da quantdade de movmento lnear expansão de Chapman-Enskog APÊNDICE C TESTES DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO DO LBM C.1. Comparação entre as formulações padrão e ntermedára da condção de bounceback 152 C.2. Avalação da condção de contorno peródca de Lao e Jen (2008) APÊNDICE D RESULTADOS DOS TESTES DE SENSIBILIDADE A Δx E Δt D.1 Escoamento entre placas planas e paralelas

24 D.2 Escoamento em canal poroso D.3 Escoamento em canal parcalmente poroso

25 1 INTRODUÇÃO 1.1 MOTIVAÇÃO Meos porosos tas como, area, madera, asfalto, rochas, pães, tecdos do corpo humano, esponjas, solantes térmcos e espumas metálcas estão presentes em dversas stuações cotdanas e aplcações tecnológcas (NIELD e BEJAN, 2006; SAHIMI, 2010). A Fgura 1.1 apresenta alguns exemplos de meos porosos naturas, como rochas carbonátcas da camada pré-sal (Fgura 1.1a) e ossos humanos (Fgura 1.1b), e artfcas, como asfalto permeável (Fgura 1.1c) e espuma metálca (Fgura 1.1d). Estas últmas encontram aplcações na construção cvl e ndústras automotva, aeroespacal, bomédca, entre outras (BANHART, 2001). Equaton Chapter (Next) Secton 1 (a) (b) (c) (d) Fgura 1.1 Exemplos de meos porosos. (a) rocha carbonátca, (b) osso humano, (c) asfalto permeável e (d) espuma metálca. Fonte: (a) GLOBO, (b) BRITANNICA, (c) WIKIPÉDIA e (d) MOREINSPIRATION. 23

26 Em certas crcunstâncas, observa-se o escoamento de fludos ocorrendo junto e no nteror de materas porosos, como os ctados no parágrafo anteror. Prasad (1991) destaca a nteração entre solantes térmcos fbrosos ou granulares e a vznhança ao redor, a convecção da água junto às rochas em sstemas geotérmcos, o contato das águas de oceanos com o leto marnho, o processo de soldfcação dendrítca de alguns tpos de lgas metálcas, assm como a lubrfcação das artculações snovas (e.g., ombros e joelhos) e de rolamentos porosos. Outros exemplos em que ocorrem escoamentos junto à nterface entre uma regão lvre e outra porosa (nterface fludo-porosa) são: processos de secagem de almentos e cmento (MOSTHAF et al., 2014), fltragem ndustral (HANSPAL et al., 2006), coletores solares (AL-NIMR e ALKAN, 1997), trocadores de calor (MOROSUK, 2005), perfuração de poços de petróleo e gás (MARTINS, 2004; MARTINS-COSTA et al., 2013), escoamento de flmes líqudos sobre superfíces rugosas (SADIQ e USHA, 2010), moldagem por transferênca de resna (YANG et al., 2008), propagação de ncêndos em florestas (SÉRO-GUILLAUME e MARGERIT, 2002) e fluxo de sangue em vasos sanguíneos e de outros fludos bológcos em órgãos do corpo humano (RAO e MISHRA, 2004). Devdo à quantdade de aplcações, o estudo de fenômenos de transporte junto à nterface fludo-porosa tem sdo realzado de forma extensva, sendo consderados dversos níves de complexdade do problema, desde o escoamento de fludo newtonano, lamnar e sotérmco (BEAVERS e JOSEPH, 1967; OCHOA-TAPIA e WHITAKER, 1995b) até, por exemplo, escoamentos turbulentos (SILVA e DE LEMOS, 2003), convecção forçada (KUZNETSOV, 1999) ou natural (GOBIN e GOYEAU, 2008) e transferênca de massa (GOBIN et al., 2005). Segundo Chandesrs e Jamet (2006), o prncpal desafo consste na modelagem adequada da zona de transção entre as regões lvre e porosa de modo a descrever corretamente os fluxos de massa, quantdade de movmento e energa na regão nterfacal. Partcularmente, o escopo do presente trabalho se restrnge aos casos em que o fludo escoando junto à nterface fludo-porosa apresenta comportamento não newtonano, mas especfcamente, segundo os modelos de le de potênca e de Bngham. As consderações físcas e matemátcas dos modelos de fludos não newtonanos utlzados neste trabalho são apresentadas em detalhes no Capítulo 3, mas vale ressaltar que dos exemplos ctados anterormente, os fludos de perfuração utlzados pela ndústra petrolífera, o sangue e os fludos com partículas sóldas em suspensão seguem os modelos de le de potênca e de Bngham (CHHABRA e RICHARDSON, 2008). A Fgura

27 lustra stuações em que estes fludos escoam em contato com uma superfíce permeável, caracterzando-se, assm, o escoamento junto a nterface fludo-porosa. (a) fludo de perfuração (regão fluda) reservatóro (regão porosa) (b) endotélo (regão porosa) sangue (regão fluda) (c) fltrado suspensão (regão fluda) membrana (regão porosa) fltrado Fgura 1.2 Exemplos de escoamentos de fludos não newtonanos ocorrendo junto à nterface fludo-porosa. (a) fludo de perfuração escoando no espaço anular entre a coluna de perfuração e o reservatóro, (b) escoamento de sangue em vasos sanguíneos e (c) fltragem tangencal de fludo com partículas em suspensão. Fonte: (a) LEARNTODRILL, (b) WISEGEEK e (c) LIQTECH A Fgura 1.2a mostra o fludo de perfuração carregando os cascalhos gerados durante o processo de perfuração através do espaço anular entre a coluna de perfuração e as paredes do poço (rochas permeáves). A Fgura 1.2b lustra a passagem de sangue no nteror de vasos caplares, cujas paredes são permeáves de modo a permtr a passagem de nutrentes e substâncas químcas. Por fm, a Fgura 1.2c retrata o processo de fltragem tangencal no qual um fludo com partículas em suspensão escoa sobre uma membrana permeável que permte a separação das partículas de maor granulometra do fltrado composto por fludo e partículas menores. 25

28 1.2 CARACTERIZAÇÃO DO PROBLEMA Neste trabalho, a análse do escoamento junto à nterface fludo-porosa é realzada através do estudo do escoamento em canal parcalmente poroso, o qual é formado por duas placas planas e paralelas entre as quas se faz presente um materal poroso acomodado sobre a placa nferor. No nteror do canal são dentfcadas duas regões: uma porosa, determnada pelo própro materal poroso, e outra lvre, compreendda entre a regão porosa e a placa superor do canal, como lustra a Fgura 1.3. x h 2 rf x2, u2 Regão lvre Interface fludo-porosa Acréscmo de vazão mássca x1, u1 x2 0 Zona de transção Regão porosa x h 2 rp u D x1 0 x1 L Fgura 1.3 Esboço do perfl de velocdades do escoamento em canal parcalmente poroso. Tal geometra remete aos expermentos realzados por Beavers e Joseph (1967), cujo trabalho representou o prmero esforço no sentdo de modelar o escoamento junto à nterface fludo-porosa. A prncpal questão a ser nvestgada é a nfluênca do meo poroso sobre o escoamento na regão lvre, a qual se traduz no modo como o perfl de velocdades se comporta na zona de transção entre as regões porosa e lvre. Conforme lustrado na Fgura 1.3, a zona de transção é caracterzada pela passagem de um perfl de velocdade aproxmadamente unforme, ud, no nteror da regão porosa (sufcentemente longe da zona de transção e da placa nferor) para um perfl aproxmadamente parabólco na regão lvre. É mportante notar que a presença do meo poroso nduz uma vazão mássca através da regão lvre superor àquela esperada no caso em que o meo poroso é substtuído por um meo mpermeável, já que a velocdade do escoamento na nterface fludo-porosa é maor do que zero. 26

29 1.3 ABORDAGEM DO PROBLEMA Como será vsto na revsão bblográfca apresentada no Capítulo 2, o problema do escoamento junto à nterface fludo-porosa é abordado na lteratura segundo as metodologas expermental e teórca, a qual, por sua vez, pode ser analítca ou numérca. A complexdade matemátca assocada à modelagem do escoamento na zona de transção torna a obtenção de soluções puramente analítcas extremamente dfícl. Os modelos analítcos encontrados na lteratura dependem, por exemplo, de parâmetros empírcos relatvos ao meo poroso ou são smplfcados a tal ponto que a generaldade dos resultados é comprometda. Desta forma, mutos estudos lançam mão de técncas numércas para solução das equações que modelam o problema, se utlzando, por exemplo, de ntegração numérca, do método das dferenças fntas, da smulação numérca dreta e do método lattce Boltzmann (LBM). Anda levando em conta a complexdade mposta pelo meo poroso na modelagem do problema, a abordagem expermental se mostra a melhor alternatva para a reprodução e nvestgação de problemas reas, fornecendo também subsídos para a valdação de modelos analítcos e numércos. Neste trabalho, opta-se pela solução do problema através do LBM, método numérco baseado na teora cnétca dos gases para a representação de fenômenos físcos em fludos (CHEN e DOOLEN, 1998). O LBM é apresentado detalhadamente no Capítulo 5 e será brevemente contextualzado a segur. Conforme apresentam Guo e Shu (2013), a análse do escoamento de fludos pode ser realzada em três escalas espacas: mcro, meso e macroscópca, lustradas na Fgura 1.4. Na escala mcroscópca é possível dstngur cada átomo ou molécula que compõe o fludo, o qual pode ser consderado um sstema de partículas ndvduas em constante movmentação nteragndo entre s por meo de colsões. O fludo é caracterzado pelas trajetóras das partículas, as quas são descrtas pelas mecâncas clássca ou hamltonana. No extremo oposto se encontra a escala macroscópca, na qual o lvre camnho médo das partículas (.e., dstânca méda percorrda entre duas colsões sucessvas) é muto menor do que o comprmento característco do escoamento. Neste caso, o fludo é consderado um meo contínuo. Através da análse dos fluxos de massa, quantdade de movmento e energa em um volume de controle nfntesmal, obtém-se as respectvas equações de balanço que descrevem o escoamento. Fnalmente, a escala mesoscópca se encontra numa posção ntermedára, não sendo possível dstngur cada partícula ndvdualmente nem 27

30 consderar o fludo como um meo contínuo. Assm sendo, o fludo é caracterzado de forma estatístca através de funções dstrbução de velocdade, f (xα, cα, t), as quas correspondem ao número provável de partículas dentro de determnadas faxas de posção e velocdade num dado nstante de tempo. xα e cα representam, respectvamente, posções dos espaços físco e de velocdades e t o tempo. Através das funções dstrbução, determna-se as propredades macroscópcas do fludo, como massa específca, velocdade e energa nterna (GUO e SHU, 2013). l ref l lcm F,5 l lcm F,1 f x, c, t F,7 F,2 F,6 F,4 F,3 Meo contínuo Representação estatístca Sstema de partículas ndvduas Fgura 1.4 Representação das escalas de análse de um fludo. Fundamentado na escala mesoscópca, o LBM se mostra uma alternatva a métodos numércos como a dnâmca molecular (escala mcroscópca) e o método dos volumes fntos (escala macroscópca). Algumas das vantagens do LBM são a lneardade do termo advectvo, a fácl adaptação do algortmo à computação paralela e a smplcdade de mplementação de condções de contorno. Além dsso, não é necessáro resolver a equação de Laplace a cada passo de tempo para que a equação da contnudade seja satsfeta. Outra característca mportante consste no cálculo da pressão através de uma equação de estado ndependente da velocdade do escoamento, não sendo necessára a ntrodução de um acoplamento entre pressão e velocdade, que em geral causa dfculdades numércas. Por fm, o número reduzdo de velocdades e dreções de deslocamento dos conjuntos de partículas torna desnecessára a solução da equação de Boltzmann para todo o espectro de velocdades, o que confere maor efcênca ao método (CHEN e DOOLEN, 1998; MOHAMAD, 2011). 28

31 Sukop e Thorne Jr (2007) destacam o aumento do número de trabalhos centífcos envolvendo o LBM nas últmas décadas com aplcações em dversas áreas da cênca e da engenhara. Guo e Shu (2013) apresentam modelos do LBM, com potencas aplcações na área de engenhara térmca, os quas foram desenvolvdos para a solução de escoamentos turbulentos, multfáscos, compressíves, com transferênca de calor, em escala mcroscópca e em meos porosos. Também são encontrados na lteratura modelos para o escoamento de fludos não newtonanos (PHILLIPS e ROBERTS, 2011), combustão (YAMAMOTO et al., 2002) e mudança de fase (MILLER, 2001). 1.4 OBJETIVOS O objetvo neste trabalho é nvestgar o escoamento de fludos de le de potênca e de Bngham em canal paracalmente poroso utlzando o método lattce Boltzmann, sendo o meo poroso representado através de obstáculos sóldos e quadrados dstrbuídos unformemente na parte nferor do canal. O parâmetro utlzado na análse do escoamento é o fator de atrto na regão lvre do canal, sendo estudadas as nfluêncas de parâmetros admensonas relaconados à regão porosa (.e., porosdade, densdade de obstáculos e altura da regão porosa admensonas), à nerca do escoamento (.e., número de Reynolds) e aos modelos de fludo (.e., índce de le de potênca e número de Bngham). Ademas, estuda-se a adaptação de modelos analítcos que descrevem a nterface fludo-porosa no caso do escoamento de fludos newtonanos para o escoamento de fludos de le de potênca. 1.5 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO A sequênca deste documento é dvdda em sete capítulos. No Capítulo 2 é realzada a revsão bblográfca, na qual são descrtos os prncpas estudos relaconados ao escoamento de fludos newtonanos e não newtonanos junto à nterface fludo-porosa. Ao fnal do capítulo são evdencados os prncpas dferencas e contrbuções do presente trabalho. No Capítulo 3 é apresentada a fundamentação teórca necessára para o desenvolvmento deste trabalho, sendo apresentados concetos báscos sobre fludos newtonanos e não newtonanos, meos porosos, bem como a defnção de fator de atrto. Em seguda, no Capítulo 4, realza-se a formulação do problema, sendo apresentadas a geometra, as condções de contorno e ncal, as hpóteses smplfcadoras 29

32 e as equações de balanço que descrevem o problema. Além dsso, os parâmetros admensonas que caracterzam o escoamento em canal parcalmente poroso são dentfcados. O método lattce Boltzmann é apresentado no Capítulo 5, destacando-se aspectos ntrodutóros do método, o modelo de He e Luo (1997a), a estrutura de retículo D2Q9 e o acoplamento dos modelos de le de potênca e de Bngham. Ademas, são apresentadas as condções de contorno utlzadas na modelagem do escoamento em canal parcalmente poroso, a metodologa utlzada para o desenvolvmento dos testes de sensbldade à malha computaconal, bem como uma noção geral da estrutura do códgo de programação. No Capítulo 6 são apresentados os estudos de dos problemas de verfcação utlzados para avalar a mplementação numérca do LBM e a sua capacdade na solução do escoamento de fludo de le de potênca e de Bngham em dferentes geometras. Partcularmente, analsa-se os escoamentos entre placas planas e paralelas e em canal poroso. As análses do escoamento em canal parcalmente poroso são apresentadas no Capítulo 7, no qual são dscutdas as nfluêncas do meo poroso sobre o escoamento na regão lvre do canal, bem como o comportamento do fator de atrto em função da varação de cada parâmetro admensonal do problema. Além do mas, neste capítulo é estudada a adaptação de modelos analítcos que descrevem a nterface fludo-porosa para o escoamento de fludos newtonanos para o caso do escoamento de fludos de le de potênca. Fnalmente, no Capítulo 8 é apresentada a conclusão do trabalho, na qual são consderados os prncpas resultados obtdos e sugestões para trabalhos futuros. 30

33 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Neste capítulo são revsados trabalhos da lteratura que nvestgaram o escoamento junto à nterface fludo-porosa. Na seção 2.1 são apresentados estudos relatvos ao escoamento de fludo newtonano, enquanto a seção 2.2 trata do escoamento de fludos não newtonanos, com destaque aos modelos de le de potênca e de Bngham. No fnal do capítulo são apontados as prncpas dferenças e contrbuções do presente trabalho. 2.1 ESCOAMENTO JUNTO À INTERFACE FLUIDO-POROSA: FLUIDO NEWTONIANO O prmero trabalho a tratar do escoamento junto à nterface fludo-porosa é atrbuído a Beavers e Joseph (1967), que nvestgaram o problema de forma analítca e expermental. Para tanto, Beavers e Joseph (1967) analsaram o escoamento de Poseulle (.e., escoamento promovdo por um gradente de pressão) em uma geometra smlar à da Fgura 1.3,.e., escoamento entre duas placas planas e paralelas entre as quas se faz presente um materal poroso, de tal forma que duas regões são estabelecdas: uma lvre (superor) e outra porosa (nferor). Expermentalmente, constatou-se que a vazão mássca na regão lvre era superor àquela esperada no caso em que o materal poroso é mpermeável (escoamento entre placas planas e paralelas), de modo que os autores nferram a exstênca de uma velocdade de deslzamento, unt, sobre a superfíce do materal poroso. O modelo analítco proposto por Beavers e Joseph (1967), que neste trabalho é denotado por BJ, consderou o escoamento de Stokes undmensonal e plenamente desenvolvdo na regão lvre e a le de Darcy na regão porosa. Para modelar a nterface fludo-porosa fo proposta a segunte condção de contorno: Equaton Chapter (Next) Secton 1 du dx 1 2 x2 0 BJ unt ud 2.1 K 31

34 sendo u 1 a componente da velocdade na dreção do escoamento, x 2 a componente da posção na dreção perpendcular ao escoamento, x 2 = 0 + a posção da nterface pelo lado da regão lvre, K a permeabldade do meo poroso, u D a velocdade méda do escoamento na regão porosa (velocdade de Darcy) e α BJ um parâmetro empírco assocado ao meo poroso (coefcente de deslzamento). A Equação 2.1 pode ser vsta como uma aproxmação do gradente de velocdade na zona de transção entre as regões lvre e porosa, o qual é proporconal, por meo do parâmetro α BJ, à dferença entre u D (velocdade do escoamento no nteror da regão porosa) e unt (velocdade do escoamento na nterface fludo-porosa) ao longo de um comprmento característco da regão porosa, representado por K. Para valdar o modelo BJ, Beavers e Joseph (1967) analsaram a relação entre o acréscmo percentual de vazão mássca na regão lvre, Φ, e o parâmetro admensonal σ, os quas são dados, respectvamente, por: m m m rl 2.2 h rl 2.3 K sendo ṁrl e ṁ, respectvamente, as vazões másscas através da regão lvre quando o meo poroso é permeável e mpermeável, e hrl a altura da regão lvre. Consderando as característcas do expermento conduzdo por Beavers e Joseph (1967), no qual o escoamento é promovdo por um gradente de pressão gualmente aplcado nas regões lvre e porosa, a expressão analítca de Φ para o modelo BJ, ΦBJ, é dada por: BJ 3 2BJ 1 BJ 2.4 Os resultados expermentas apresentados por Beavers e Joseph (1967), obtdos para dos tpos de fludo (água e óleo) e cnco amostras de meo poroso (foametal e 32

35 aloxte), mostraram que Φ cresce assntotcamente com a redução de σ, podendo alcançar valores superores a 1,2. De um modo geral, o modelo BJ apresentou resultados qualtatvamente coerentes com os resultados expermentas. Para uma faxa de σ varando aproxmadamente entre 2 e 90, o parâmetro α se mostrou ndependente do fludo e varou entre 0,1 e 4,0, dependendo da amostra de meo poroso utlzada. Em um estudo posteror, Sahraou e Kavany (1992) analsaram o escoamento junto à nterface fludo-porosa através de smulação numérca dreta, representando o meo poroso através de um conjunto de clndros sóldos. Os resultados obtdos mostraram que o parâmetro α BJ depende da porosdade, efetos nercas, altura da regão lvre, posção da nterface fludo-porosa, dreção do escoamento e acabamento superfcal do meo poroso. Beavers et al. (1970) avalaram o fator de atrto, Cf, do escoamento na regão lvre do canal, confrontando resultados obtdos expermentalmente com o modelo BJ. Os autores dentfcaram que o produto Cf Re é constante para uma determnada confguração geométrca de canal e meo poroso (σ e α BJ fxos), sendo Re o número de Reynolds baseado na velocdade méda do escoamento e na altura da regão lvre. Especfcamente, Beavers et al. (1970) demonstraram que o produto Cf Re é nversamente proporconal a (1 + Φ). Desta forma, conclu-se que Cf Re dmnu na presença da nterface fludo-porosa, sendo este efeto tanto maor quanto maor o acréscmo percentual de vazão mássca na regão lvre, ou seja, quanto menor a altura da regão lvre ou maores forem a permeabldade do meo poroso e o parâmetro α. Neale e Nader (1974) propuseram a nclusão do termo de Brnkman, assocado ao arrasto vscoso do fludo com a matrz sólda do meo poroso, na modelagem do escoamento na regão porosa. Desta forma, é possível capturar a penetração dos efetos vscosos na zona de transção entre as regões lvre e porosa. No modelo apresentado por Neale e Nader (1974), neste trabalho denotado por NN, a nterface fludo-porosa é representada pela contnudade da velocdade e da tensão de csalhamento, a qual é calculada utlzando a vscosdade efetva assocada ao termo de Brnkman, μef, pelo lado do meo poroso: u u x20 x20 33

36 ef du dx du 2.6 dx x20 x20 sendo x 2 = 0 - a posção da nterface pelo lado da regão porosa. O acréscmo percentual de vazão mássca na regão lvre prevsto pelo modelo NN resulta num caso partcular do modelo BJ, com α BJ 2 = (μef /μ): NN 3 2 ef 1 ef 2.7 Suportados pelos resultados expermentas apresentados por Beavers e Joseph (1967), Neale e Nader (1974) consderaram o modelo NN váldo, apontando para a necessdade de maores nformações a respeto da relação entre μ e μef. Além do termo de Brnkman, Vafa e Km (1990) ntroduzram o termo de Forchhemer na modelagem do escoamento na regão porosa, de modo que os efetos assocados ao arrasto de forma da matrz sólda do meo poroso foram contablzados. A nterface fludo-porosa fo representada pelas Equações 2.5 e 2.6, consderando μef = μ. Das análses apresentadas por Vafa e Km (1990), pode-se constatar que a dstrbução de vazão mássca entre as regões lvre e porosa depende do número de Darcy (permeabldade admensonal) e do parâmetro nercal resultante do produto entre o número de Reynolds (baseado na altura da regão lvre e na velocdade de Darcy) e o parâmetro admensonal relaconado ao termo de Forchhemer. A vazão mássca através da regão lvre cresce com a redução do número de Darcy ou com o aumento do parâmetro nercal, pos em ambos os casos a resstênca do meo poroso ao escoamento cresce, de tal forma que o fludo escoa preferencalmente pela regão lvre. Através da aplcação do método da méda volumétrca, Ochoa-Tapa e Whtaker (1995a, 1995b) obtveram as equações de Stokes e Darcy-Brnkman para a modelagem do escoamento nas regões lvre e porosa do canal, respectvamente. Como resultado da méda volumétrca, a nterface fludo-porosa é caracterzada pela contnudade da velocdade, Equação 2.5, e pela descontnudade da tensão de csalhamento, a qual é representada por: 34

37 du du u OTW ef dx2 dx x 2 K 20 x20 nt sendo β OTW um parâmetro empírco assocado ao meo poroso (coefcente de salto de tensão) e μef = μ/ϕ, com ϕ representando a porosdade do meo poroso. Para o caso partcular em que β OTW = 0, o modelo OTW de Ochoa-Tapa e Whtaker (1995b) se reduz ao modelo NN (ver Equações 2.6 e 2.8). O acréscmo percentual de vazão mássca na regão lvre prevsto pelo modelo de Ochoa-Tapa e Whtaker (1995b), ΦOTW, é dado por: OTW OTW 2.9 Ochoa-Tapa e Whtaker (1995b) mostraram que o modelo OTW representa os resultados expermentas apresentados Beavers e Joseph (1967) de manera mas satsfatóra que os modelos BJ e NN (com μef = μ/ϕ), com o parâmetro β OTW varando entre -1,00 e 1,47 dependendo do meo poroso analsado. Na tentatva de aperfeçoar o modelo OTW, elmnando a dealzação da nterface fludo-porosa e, por consequênca, o parâmetro empírco β OTW, Ochoa-Tapa e Whtaker (1995b) propuseram um modelo, resolvdo numercamente, no qual fo suposta a varação espacal da porosdade dentro da zona de transção entre as regões lvre e porosa. No entanto, os resultados obtdos não foram satsfatóros. Como destacaram Goyeau et al. (2003), a consderação de uma nterface separando as regões lvre e porosa representa a dealzação da zona de transção ndcada na Fgura 1.3, na qual ocorre uma rápda varação das propredades do meo poroso (e.g., porosdade, permeabldade, vscosdade efetva). Dentro desta perspectva, os parâmetros empírcos α BJ e β OTW podem ser vstos como representações das nformações gnoradas através da smplfcação realzada pela consderação da nterface fludo-porosa. Na lteratura são encontrados outros modelos para a representação da nterface fludo-porosa, os quas buscam aprmorar a descrção do escoamento na zona de transção (GOYEAU et al., 2003; CHANDESRIS e JAMET, 2006; CHANDESRIS e JAMET, 2007; VALDÉS-PARADA et al., 2007; JAMET e CHANDESRIS, 2009; VALDÈS- PARADA et al., 2013). No entanto, o maor número de parâmetros empírcos envolvdos 35

38 e/ou a complexdade matemátca assocada ao conhecmento da geometra do meo poroso na zona de transção tornam a aplcação prátca destes modelos menos atratva. Algumas análses encontradas na lteratura dspensam a modelagem matemátca da nterface fludo-porosa, sendo o efeto da zona de transção entre as regões lvre e porosa dado pela varação das propredades do meo poroso na regão nterfacal. Nestas abordagens, o escoamento é representado por um únco conjunto de equações tanto na regão lvre quanto na porosa, de modo que não se faz necessára a utlzação de condções de contorno representando a nterface fludo-porosa (utlzadas para acoplar dferentes conjuntos de equações). De especal nteresse para este trabalho é a representação do meo poroso através de obstáculos sóldos, como nos trabalhos de James e Davs (2001), Nabovat e Sousa (2008), Nabovat e Amon (2013) e Mera et al. (2014), além do já ctado estudo de Sahraou e Kavany (1992). James e Davs (2001) analsaram os escoamentos de Couette (.e., placa superor do canal se movendo com velocdade constante) e Poseulle em um canal parcalmente poroso bdmensonal utlzando um método de sngulardade. O meo poroso fo representado através de dferentes arranjos de obstáculos sóldos crculares. No caso do escoamento de Poseulle, observou-se que a dferença entre a velocdades na nterface fludo-porosa no nteror do meo poroso é depende da porosdade e da altura da regão lvre. Consderando os casos analsados, os autores concluíram que para ϕ < 0,99 a velocdade de deslzamento pode ser aproxmada pela velocdade do escoamento no nteror do meo poroso, uma vez que a dferença entre ambas é nferor a 10% da velocdade máxma do escoamento na regão lvre. Além do mas, os autores verfcaram que, em comparação aos resultados numércos, o modelo NN superestma a velocdade do escoamento na nterface fludo-porosa. Utlzando o LBM, Nabovat e Sousa (2008) smularam o escoamento de fludo newtonano em canal parcalmente poroso bdmensonal, representando o meo poroso através de obstáculos sóldos e quadrados dstrbuídos de forma aleatóra na parte nferor do canal. Os resultados apresentados mostraram que a velocdade do escoamento na nterface fludo-porosa aumenta com a porosdade. Os autores verfcaram que o modelo numérco é qualtatvamente coerente com o modelo BJ e que o parâmetro α BJ vara lnearmente com a porosdade. Nabovat e Amon (2013) estudaram, através de um modelo trdmensonal do LBM, o escoamento em canal parcalmente poroso, no qual o meo poroso é representado por um emaranhado de fbras. Analsando o efeto da porosdade sobre o escoamento, os 36