UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA FACULDADE DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL

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1 UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA FACULDADE DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL MODELAGEM DE PROBLEMAS DE FLUXO NA ESCALA GRANULAR USANDO O MÉTODO LATTICE BOLTZMANN DIEGO ALEXANDER OCAMPO GÓMEZ ORIENTADOR: MÁRCIO MUNIZ DE FARIAS CO-ORIENTADOR: RAÚL DARÍO DURAND FARFÁN DISSERTAÇÃO MESTRADO EM GEOTECNIA PUBLICAÇÃO: G. DM 8/13 BRASÍLIA/ DF: JULHO/013

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3 UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA FACULDADE DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL MODELAGEM DE PROBLEMAS DE FLUXO NA ESCALA GRANULAR USANDO O MÉTODO LATTICE BOLTZMANN DIEGO ALEXANDER OCAMPO GÓMEZ DISSERTAÇÃO DE MESTRADO SUBMETIDA AO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL DA UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE. APROVADA POR: MÁRCIO MUNIZ DE FARIAS, Ph.D. (UnB) (ORIENTADOR) RAÚL DARÍO DURAND FARFÁN, Ph.D. (UnB) (CO-ORIENTADOR) MANOEL PORFIRIO CORDÃO NETO, DSc. (UnB) (EXAMINADOR INTERNO) CARLOS ALEXANDER RECAREY MORFA, Dr. Ing. (UCLV) (EXAMINADOR EXTERNO) DATA: BRASÍLIA/DF, 19 DE JULHO DE 013.

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5 FICHA CATALOGRÁFICA OCAMPO-GÓMEZ, DIEGO ALEXANDER Modelagem de Problemas de Fluxo na Escala Granular Usando o Método Lattce Boltzmann. Dstrto Federal, 013. xxv, 118 p., 10x97 mm (ENC/FT/UnB, Mestre, Geotecna, 013) Dssertação de Mestrado - Unversdade de Brasíla. Faculdade de Tecnologa. Departamento de Engenhara Cvl 1. Fluxo em meos porosos. Método lattce Boltzmann 3. Le de Darcy- Forchhemer 4. Parâmetros ntrínsecos I. ENC/FT/UnB II. Título (sére) REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA OCAMPO-GÓMEZ, D.A. (013). Modelagem de Problemas de Fluxo na Escala Granular Usando o Método Lattce Boltzmann. Dssertação de Mestrado, Publcação G.DM-8/13, Departamento de Engenhara Cvl, Unversdade de Brasíla, Brasíla, DF, 118 p. CESSÃO DE DIREITOS NOME DO AUTOR: Dego Alexander Ocampo Gómez TÍTULO DA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO: Modelagem de Problemas de Fluxo na Escala Granular Usando o Método Lattce Boltzmann GRAU / ANO: Mestre / 013 É concedda à Unversdade de Brasíla a permssão para reproduzr cópas desta dssertação de mestrado e para emprestar ou vender tas cópas somente para propóstos acadêmcos e centífcos. O autor reserva outros dretos de publcação e nenhuma parte desta dssertação de mestrado pode ser reproduzda sem a autorzação por escrto do autor. Dego Alexander Ocampo Gómez CLN 09 Bloco B Apartamento 09 CEP: Brasíla/DF Brasl e-mal: elgode4@gmal.com v

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7 A m famla, son m fuente de nspracón y de voluntad para superarme daramente v

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9 AGRADECIMENTOS Ao meu orentador, Professor Márco Munz de Faras, pela sua pacênca, dsponbldade, acompanhamento e, prncpalmente, por ter confado em mm para realzar este trabalho. Ao Professor Raúl Durand, pela ajuda valosa na fase de desenvolvmento do códgo computaconal. Ao Professor Hernán Martínez e à Professora Yamle Valenca, pelas ndcações para entrar no curso de pós-graduação. Espero ter honrado os seus votos de confança. Ao Programa de Pós-Graduação em Geotecna por me brndar esta oportundade únca. Ao meu colega e amgo Marcelo Llano, pelas númeras dscussões acadêmcas, durnas e noturnas, e pela ajuda nos momentos mas crítcos do meu trabalho. À famíla Chaparro, pelo acolhmento, a ajuda ncondconal e a alegra, vocês são parte da mnha famíla no Brasl. Aos meus colegas e amgos, pela força, a motvação e a companha, especalmente ao Lusk e ao Danel (Satán). Ao Conselho Naconal de Desenvolvmento Centífco e Tecnológco (CNPq) pelo apoo fnancero. A todas as pessoas que de uma ou outra forma contrbuíram à realzação deste trabalho. Muto Obrgado. x

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11 RESUMO O fluxo de fludos em meos porosos é um fenômeno comum na natureza e o seu estudo tem uma mportânca partcular na área da geotecna. A análse deste tpo de problema deve ser feta em uma escala em que as característcas do domíno que são relevantes ao fenômeno físco sejam levadas em consderação e a escala mas adequada é a do tamanho dos grãos. Smulações de fluxo de fludos na escala dos grãos podem tornar-se mpratcáves quando são usados esquemas numércos tradconas como o método dos elementos fntos (MEF) ou o de volumes fntos (MVF), pos a geometra arbtraramente complexa dos meos porosos dfculta a mposção de condções de contorno. O método lattce Boltzmann (LBM) é um método baseado em uma escala mesoscópca que consegue contornar este tpo de problema ao mplementar uma dnâmca smples que ncorpora faclmente geometras muto complexas. Neste trabalho são apresentadas as equações macroscópcas que descrevem o fluxo de fludos (Equações de Naver-Stokes) e as smplfcações dessas equações para meos porosos (Le de Darcy-Forchhemer); o método lattce Boltzmann também é ntroduzdo. Com base em um processo de expansão multescala é demostrado que o método recupera a dnâmca macroscópca do fluxo de fludos. Um códgo computaconal baseado no LBM com operador de colsão BGK fo desenvolvdo, valdado e utlzado para smular fluxo em meos porosos gerados computaconalmente com dferentes estruturas de poros. São apresentadas estmatvas da permeabldade ntrínseca, fator beta de Forchhemer e tortuosdade para esses meos porosos. Fnalmente, fo comprovado que correlações empírcas baseadas apenas em parâmetros macroscópcos podem fornecer estmatvas com erros sgnfcatvos. Portanto, o método lattce Boltzmann consttu uma ferramenta smples, mas poderosa para esta tarefa. PALAVRAS CHAVES: Fluxo em meos porosos, Método lattce Boltzmann, Le de Darcy- Forchhemer, parâmetros ntrínsecos. x

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13 ABSTRACT Flud flow through porous meda s a common phenomenon n nature. Understandng ths phenomenon s partcularly mportant n geotechncal applcatons. Seepage problems analyss should be carred out n a scale that accounts for the features of the porous meda that are relevant for ths phenomenon,.e. pore sze scale. Flud flow smulatons at gran scale could be unpractcal when tradtonal numercal technques such as fnte elements methods (FEM) or volume fnte methods (VFM) are used, because several dffcultes arse when mposng boundary condtons for complex porous meda geometres. Lattce Boltzmann method (LBM) s a mesoscopc approach that can overcome ths dffcultes. By mplementng a straghtforward dynamcs, lattce Boltzmann methods can easly ncorporate complex geometres. The equatons governng flud flow (Naver-Stokes equatons) and smplfcatons for the case of porous meda (Darcy-Forchhemer law) are presented n ths work along wth the lattce Boltzmann method. A multscale procedure shows that the LBM recovers the macroscopc dynamcs of flud flows. A computatonal code based on lattce Boltzmann method wth BGK collson operator was also developed and valdated. Ths code was used for smulatng flux through computer generated package of grans wth dfferent pore structures (gran sze and gran dstrbuton). Estmates of ntrnsc permeablty, Forchhemer beta factor, and tortuosty for that meda are computed. It s noted that estmatng these parameters by emprcal correlatons based on macroscopc parameters may lead to sgnfcant errors. LBM provdes a powerful tool for measurng these ntrnsc parameters. KEYWORDS: Flud flow n porous meda, lattce Boltzmann method, Darcy- Forchhemer law, ntrnsc parameters. x

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15 ÍNDICE Págna 1 INTRODUÇÃO MOTIVAÇÃO OBJETIVOS ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO... MODELAGEM DE FLUXO DE FLUIDOS NA ENGENHARIA ESCALAS DE DESCRIÇÃO FÍSICA DE FLUIDOS... 5 MODELOS NUMÉRICOS PARA SIMULAÇÃO DE FLUIDOS MODELOS NUMÉRICOS MACROSCÓPICOS MODELO MATEMÁTICO PROCESSO DE DISCRETIZAÇÃO MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS MÉTODO DOS VOLUMES FINITOS MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS MODELOS MICROSCÓPICOS MÉTODOS DE MONTE CARLO MÉTODOS DA DINÂMICA MOLECULAR MODELOS MESOSCÓPICOS MODELOS LATTICE BOLTZMANN MODELOS NUMÉRICOS NA SIMULAÇÃO DE FLUXO EM MEIOS POROSOS MÉTODO LATTICE BOLTZMANN PARA SIMULAR FLUXO EM MEIOS POROSOS PROBLEMAS DE ACOPLAMENTO HIDROMECÂNICO PROBLEMAS EM MEIOS POROSOS NÃO SATURADOS ESTIMATIVA DE PARÂMETROS EM MEIOS POROSOS SATURADOS EQUAÇÕES MACROSCÓPICAS GOVERNANTES DO PROBLEMA DE FLUXO DE FLUIDOS... 1 xv

16 3.1 NOTAÇÃO UTILIZADA EQUAÇÕES DE CONSERVAÇÃO FORMA GERAL DE UMA EQUAÇÃO DE CONSERVAÇÃO CONSERVAÇÃO DA MASSA CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR CONSERVAÇÃO DA ENERGIA FLUXOS ISOTÉRMICOS E INCOMPRESSÍVEIS FORMULAÇÃO ADIMENSIONAL EQUAÇÃO DE DARCY-FORCHHEIMER PERMEABILIDADE INTRÍNSECA OU COEFICIENTE DE DARCY FATOR BETA OU COEFICIENTE DE FORCHHEIMER TORTUOSIDADE MODELO LATTICE BOLTZMANN PARA SIMULAÇÃO DE FLUXO DE FLUIDOS VARIÁVEIS DISCRETAS MODELOS LATTICE BOLTZMANN ESTRUTURA DA MALHA ANÁLISE MULTI-ESCALA DE CHAPMAN-ENSKOG EXPANSÃO EM SÉRIES COM SEPARAÇÃO DE ESCALAS SIMETRIAS DA MALHA EXPANSÃO MULTIESCALA LEIS DE CONSERVAÇÃO FLUXO DE FLUIDOS: ANSATZ DE CHAPMAN-ENSKOG ACURÁCIA DOS MÉTODOS LATTICE BOLTZMANN ACURÁCIA DO MODELO PARA FLUIDOS INCOMPRESSÍVEIS CONDIÇÕES INICIAIS E DE CONTORNO CONDIÇÕES DE CONTORNO CONDIÇÕES DE CONTORNO PERIÓDICAS CONDIÇÕES DE BOUNCE-BACK (REFLEXÃO) CONDIÇÕES DE VELOCIDADE OU DE VON NEUMANN CONDIÇÕES DE PRESSÃO OU DE DIRICHLET CONDIÇÕES INICIAIS xv

17 5 METODOLOGIA IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA DO MODELO LATTICE BOLTZMANN BGK ALGORITMO SIMULAÇÃO DE PROBLEMAS DE REFERÊNCIA E VALIDAÇÃO DO MÉTODO ESCOLHA DAS UNIDADES FLUXO POISEUILLE DEFINIÇÃO DO PROBLEMA E DISCRETIZAÇÃO DAS VARIÁVEIS CONDIÇÕES DE CONTORNO E CONDIÇÕES INICIAIS RESULTADOS FLUXO PASSANDO AO REDOR DE UM CILINDRO CIRCULAR DEFINIÇÃO DO PROBLEMA E DISCRETIZAÇÃO DAS VARIÁVEIS CONDIÇÕES DE CONTORNO E CONDIÇÕES INICIAIS RESULTADOS APLICAÇÃO PARA A DETERMINAÇÃO DE PROPRIEDADES INTRÍNSECAS ANÁLISE DA RESOLUÇÃO E DO PARÂMETRO DE RELAXAÇÃO GEOMETRIA DO PROBLEMA PARA ANÁLISE DA RESOLUÇÃO EFEITO DA RESOLUÇÃO E DO PARÂMETRO DE RELAXAÇÃO NO CÁLCULO DA PERMEABILIDADE E DA TORTUOSIDADE ESTUDO DA LEI DE DARCY FORCHHEIMER GEOMETRIA DOS MEIOS POROSOS SIMULADOS SIMULAÇÕES E CÁLCULOS APRESENTAÇÃO DE RESULTADOS E DISCUSSÃO ARRASTO PERMEABILIDADE INTRÍNSECA CONDUTIVIDADE HIDRAULICA FATOR BETA TORTUOSIDADE LINHAS DE FLUXO CONCLUSÕES xv

18 LIMITAÇÕES SUGESTÕES PARA PESQUISAS FUTURAS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS A CÓDIGO DE IMPLEMENTAÇÃO DO MODELO LATTICE BOLTZMANN COM OPERADOR DE COLISÃO BGK B CÓDIGO PARA SIMULAÇÃO DE FLUXO POISEUILLE C CÓDIGO PARA SIMULAÇÃO DE FLUXO PASSANDO POR UM CILINDRO CIRCULAR D.1- CÓDIGO PARA GERAÇÃO DE ARRANJOS DE PARTÍCULAS CIRCULARES DISTRIBUÍDAS REGULARMENTE D.- CÓDIGO PARA GERAÇÃO DE ARRANJOS DE PARTÍCULAS CIRCULARES DISTRIBUÍDAS ALEATORIAMENTE xv

19 LISTA DE FIGURAS Fgura.1. Exemplo de uma malha estruturada em D (Ferzger & Perc, 001) Fgura.. Exemplo de uma malha trangular desestruturada em D (Zenkewcz et al., 005a) Fgura 3.1. Relação entre o gradente de pressão e a méda volumétrca da velocdade para fluxo em meos porosos (modfcado de Chukwudoze (011)) Fgura 4.1. Dscretzação espacal de uma sub-amostra cúbca em um modelo lattce Boltzmann Fgura 4.. Malha bdmensonal com 9 velocdades (DQ9) (Durand et al., 01) Fgura 4.3. Nó no topo de uma malha DQ9, a regão sombreada está fora do domíno. As populações desconhecdas são representadas pelos vetores lattce com traço descontínuo (Latt et al., 008) Fgura 4.4. Topologa clíndrca do domíno computaconal quando aplcadas condções peródcas em uma dreção, a fenda no clndro é meramente lustratva, enfatzando como o domíno se enrola ao redor de s mesmo (Sukop & Thorne, 006) Fgura 4.5. Topologa torodal de um domíno computaconal peródco em ambas as dreções. As fendas no toróde lustram como o domíno se enrola ao redor de s mesmo (Sukop & Thorne, 006) Fgura 4.6. Condção de não-escorregamento nas paredes com a regra de reflexão em um lattce DQ9 (Durand et al., 01) Fgura 5.1. Fluxograma da metodologa seguda no presente estudo Fgura 5.. Perfl de velocdade tpo Poseulle Fgura 5.3. Campo vectoral de velocdades e campo escalar de densdades em um fluxo tpo Poseulle smulado pelo método lattce Boltzmann com Re Fgura 5.4. Perfl teórco de velocdades em um fluxo tpo Poseulle com Re 5e perfs obtdos com o LBM Fgura 5.5. Confguração geométrca usada para smulação de fluxo ao redor de um clndro crcular Fgura 5.6. Processo do desenvolvmento da estela por trás de um clndro crcular (Taneda, 1956) Fgura 5.7. Lnhas de fluxo passando por um clndro crcular para Re 5 smulado com o método lattce Boltzmann. A escala de cores ndca a magntude da velocdade em xx

20 undades da malha Fgura 5.8. Gráfco da relação entre o dâmetro do clndro, o comprmento dos vórtces gêmeos e o número de Reynolds (modfcado de Taneda, 1956) Fgura 5.9. Lnhas de fluxo passando por um clndro crcular para Re 0 smulado com o método lattce Boltzmann. A escala de cores ndca a magntude da velocdade em undades da malha Fgura Lnhas de fluxo passando por um clndro crcular para Re 40 smulado com o método lattce Boltzmann. A escala de cores ndca a magntude da velocdade em undades da malha Fgura Lnhas de fluxo passando por um clndro crcular para Re 50 smulado com o método lattce Boltzmann. A escala de cores ndca a magntude da velocdade em undades da malha Fgura 5.1. Arranjo unforme de círculos usado para estudar a resolução e parâmetro de relaxação Fgura Varação da permeabldade com a resolução da malha Fgura Varação da tortuosdade com a resolução da malha Fgura Varação da permeabldade com o parâmetro de relaxação Fgura Varação da tortuosdade com o parâmetro de relaxação Fgura Máxmo número de Reynolds que pode ser smulado em função do tempo de relaxação e da resolução com ulbmáx Fgura Arranjo regular de partículas usado para estudar a le de Darcy-Forchhemer Fgura Curvas granulométrcas dos arranjos gerados aleatoramente com dferentes porosdades. Classfcação de tamanhos segundo (Lambe, 004) Fgura 6.1. Resultados do arraste de Darcy-Forchhemer para váras porosdades e números de Reynolds em um arranjo com dstrbução regular Fgura 6.. Resultados do arraste de Darcy-Forchhemer para váras porosdades e números de Reynolds em arranjos gerados aleatoramente Fgura 6.3. Fração do arrasto de Forchhemer em relação ao arrasto total no modelo de Ergun para camadas de partículas granulares Fgura 6.4. Fração do arraste de Forchhemer para o arranjo regular com o método de lattce Boltzmann Fgura 6.5. Fração do arraste de Forchhemer para o arranjo aleatóro com o método de lattce Boltzmann xx

21 Fgura 6.6. Permeabldade normalzada em meos porosos com dstrbução regular de partículas e com dstrbução aleatóra, calculada com o método lattce Boltzmann Fgura 6.7. Comparação entre o alfa de smulações com lattce Boltzmann, os resultados de Ergun (195) e os de Lee e Yang (1997) Fgura 6.8. Fator beta de ambos os arranjos, calculado com o método lattce Boltzmann e com a correlação de Ergun para camadas granulares Fgura 6.9. Tortuosdades calculadas para um arranjo regular de partículas com dferentes porosdades Fgura Tortuosdades calculadas para arranjos de partículas de dâmetro aleatóro, dstrbuídas aleatoramente Fgura Dados de tortuosdade méda em função da porosdade do arranjo e ajuste de Nabovat e Souza (007) Fgura 6.1. Varação da tortuosdade méda com o fator beta de Forchhemer para arranjos regulares e arranjos aleatóros Fgura Varação da tortuosdade com a permeabldade normalzada Fgura Lnhas de fluxo no estado estaconáro no contorno nferor de um arranjo com dstrbução regular com 67% e Re Fgura Lnhas de fluxo no estado estaconáro para um arranjo aleatóro com 70% e Re xx

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23 LISTA DE TABELAS Tabela 3.1. Notação usada para operações entre vetores e tensores... Tabela 4.1. Estrutura da malha DQ Tabela 5.1. Algortmo utlzado na mplementação de um códgo para o modelo lattce Boltzmann BGK Tabela 5.. Característcas do computador usado nas smulações Tabela 5.3. Parâmetros do sstema físco admensonal e do sstema lattce usados na smulação de fluxo Poseulle Tabela 5.4. Parâmetros do problema para análse da resolução em undades físcas e undades lattce Tabela 6.1. Condutvdade hdráulca com o método lattce Boltzmann para meos porosos 3 3 conformados por partículas crculares com Pa s e 9.8 kn / m xx

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25 LISTA DE SÍMBOLOS, NOMENCLATURA E ABREVIAÇÕES ABREVIAÇÕES DFC Dnâmca de fludos computaconal LBM Método lattce Boltzmann (Lattce Boltzmann method) MDF Método das dferenças fntas MEF Método dos elementos fntos MVF Método dos volumes fntos Tol Tolerânca D Bdmensonal 3D Trdmensonal LETRAS ARÁBICAS a a * a s A b c Dstânca entre a parede e o centro de um canal com um fluxo Poseulle Fator do termo de força no operador de colsão BGK Área superfcal dos grãos Fator geométrco de Kozeny-Carman Fator do termo de força no operador de colsão BGK Fator do termo de correção no operador de colsão BGK c Vetores de malha ( 0,1,,..., q) c s CT d D e e E E m Velocdade do som Vetores de malha no espaço q Termo de correção no operador de colsão BGK Dâmetro médo de um sóldo crcular em uma smulação lattce Boltzmann Número de dmensões de um espaço Quantdade físca escalar genérca Vetores base de um espaço eucldano (=1,,3) Energa Energa por undade de massa Parâmetro de expansão nas séres f ( r, t ) Aproxmação numérca de uma função f jk Nt f Função dscreta de dstrbução de partículas na dreção do vetor de malha c xxv

26 eq f Função dscreta de dstrbução de equlíbro de partículas na dreção do vetor de malha c F FT g g G h h x h t F I j k K Kn l 0 L L e L m m Ma N N f N n N t p p * p Termo fonte de forças externas Termo de força no operador de colsão BGK Vetor de aceleração por forças externas Populações de partículas desconhecdas em um nó no contorno de uma smulação Gradente de pressão em um fluxo Poseulle Função de dstrbução sem ponderar Ordem de acuráca espacal Ordem de acuráca temporal Frequênca de um fluxo peródco Tensor untáro Momento de prmera ordem da função de dstrbução de partículas Condutvdade hdráulca Permeabldade ntrínseca Número de Knudsen Comprmento característco de um problema Separação entre os grãos em arranjos de partículas crculares dstrbuídos regularmente Comprmento realmente percorrdo por uma partícula de fludo em um meo poroso Comprmento do meo poroso em uma dada dreção do fluxo Grandeza vectoral físca genérca Número Mach Número de pontos de dscretzação de um comprmento característco Número de nós fludos em uma smulação com lattce Boltzmann Número total de nós em uma smulação com lattce Boltzmann Número de passos para dscretzar um tempo característco Pressão Pressão admensonalzada Pressão méda xxv

27 q q H Número de funções de dstrbução de partículas em uma malha Fontes de calor dferentes de condução térmca rr, jk Vetor de posção r * Vetor de posção admensonalzado R Re Q e Q m Q Coefcente de determnação em um ajuste lnear por mínmos quadrados Número admensonal de Reynolds Vazão (fluxo) de uma quantdade físca escalar genérca Vazão (fluxo) de uma grandeza físca vectoral genérca Tensor de segunda ordem formado pelo produto dádco dos vetores de malha s s S S t Fontes ou sorvedouros de uma quantdade físca escalar Fontes ou sorvedouros de uma grandeza físca vectoral Comprmento dos vórtces gêmeos formados no fluxo por trás de um clndro crcular Tensor de taxa de deformação do fludo Tempo t * Tempo admensonalzado t 0 Tempo característco de um problema t T T Pesos de ponderação dos vetores de malha Temperatura Tensor arbtráro de segunda ordem u Vetor velocdade u * Vetor velocdade admensonalzado u u lb Velocdade méda Velocdade no sstema lattce Boltzmann u f u Velocdade de fluxo de Darcy Projeção da velocdade sobre a normal ao contorno de uma smulação que aponta para fora do domíno LETRAS GREGAS Constante do termo de arraste vscoso na equação de Darcy-Forchhemer ( rt, ) Campo escalar genérco xxv

28 ( t ) Aproxmação numérca de um campo escalar genérco jk n Fator beta de Forchhemer x t Peso untáro de um fludo Espaçamento da malha Passo de tempo no sstema lattce Boltzmann Delta de Kronecker f Tortuosdade Ângulo de formação de vórtces gêmeos no fluxo por trás de um clndro crcular Condutvdade térmca Parâmetro de vscosdade por compressbldade Camnho lvre médo de uma molécula de gás Vscosdade dnâmca Vscosdade cnemátca Densdade Densdade méda Soma das populações de partículas desconhecdas em um nó no contorno de uma smulação LBM _ Soma das populações de partículas na dreção oposta às partículas desconhecdas em um nó no contorno de uma smulação LBM Soma das populações de partículas com vetor nulo ou tangencal em um nó no contorno de uma smulação LBM Tensor de tensões nternas no fludo Tempo de relaxação do método lattce Boltzmann Tensor desvo das tensões nterna no fludo Porosdade Constante no cálculo da acuráca do modelo numérco Parâmetro de relaxação do método lattce Boltzmann Π Operador de colsão na dreção do vetor de malha c Vetor de vortcdade Momento de segunda ordem da função de dstrbução de partículas xxv

29 1. INTRODUÇÃO 1 INTRODUÇÃO O fluxo de fludos em meos porosos é um fenômeno comum na natureza e em mutos campos da cênca e da engenhara. Processos técncos economcamente mportantes como a recuperação de petróleo demandam um entendmento aprmorado dos fenômenos de fluxo em meos porosos. Nas aplcações da engenhara e partcularmente na geotecna, este tema é relevante em váras frentes, p. ex., na avalação de volumes de nfltração, análse da erosão, prevsão da evolução de plumas de contamnantes, análse da sucção, adesvdade entre emulsões asfáltcas e agregados, etc. Na maora aplcações, parâmetros ntrínsecos do meo poroso como a permeabldade ajudam a quantfcar o fluxo de fludos monofáscos. Correlações empírcas como a de Ergun (195) podem fornecer estmatvas dos parâmetros ntrínsecos do meo poroso, mas estas relações foram desenvolvdas para condções específcas e são baseadas em parâmetros macroscópcos, o que pode levar a erros sgnfcatvos. Smulações numércas de fluxo de fludos no nível dos poros podem produzr estmações acuradas dos parâmetros ntrínsecos, se houver um modelo acurado da geometra do meo real. Tradconalmente a smulação de fluxo na engenhara tem segudo uma abordagem macroscópca, na qual o modelo matemátco consste em um conjunto de equações dferencas parcas ou ntegral-dferencas dscretzadas com um método como dferenças fntas (MDF), volumes fntos (MVF) ou elementos fntos (MEF). Em uma escala em que só alguns poros são observados anda é possível usar a abordagem macroscópca, porém quando o domíno nclu mutos poros a mplementação das condções de contorno consttu um desafo, devdo à complexdade arbtrára dos contornos que são defndos por cada partícula sólda ndvdualmente. Métodos mesoscópcos representam uma abordagem mas adequada para smulação de fluxo na escala dos grãos, sendo o lattce Boltzmann uma das técncas mas destacadas. Nesta abordagem a dea fundamental é construr modelos cnétcos smplfcados, que ncorporem a físca essencal dos processos mcroscópcos ou mesoscópcos, de forma que a méda das propredades macroscópcas obedeça às equações macroscópcas desejadas (Chen & Doolen, 1998). A superordade do método lattce Boltzmann decorre de sua smplcdade, pos geometras complexas são mplementadas com a smples desgnação dos nós como sendo sóldos. 1

30 1. INTRODUÇÃO 1.1 MOTIVAÇÃO Esta pesqusa é motvada pela necessdade de estudar o fluxo na escala dos grãos, de forma que todas as característcas da estrutura porosa sejam levadas em conta na descrção deste fenômeno. A descrção do fluxo a partr da escala granular permte que parâmetros ntrínsecos sejam calculados com maor acuráca e que parâmetros macroscópcos possam ser relaconados com a estrutura dos poros. Como a abordagem macroscópca pode tornar-se mpratcável na smulação de fluxo em domínos porosos, a abordagem mesoscópca do método lattce Boltzmann é a opção mas adequada neste caso, devdo à sua smplcdade. 1. OBJETIVOS O objetvo desta pesqusa é desenvolver e valdar um códgo computaconal que mplemente o método lattce Boltzmann para ser usado na smulação de problemas de fluxo na escala granular, com o ntuto de obter estmatvas dos parâmetros ntrínsecos de meos porosos. Os objetvos específcos desta pesqusa são: Escrever e valdar um códgo computaconal fundamentado no método lattce Boltzmann que possa ser usado para smulação de fluxo em meos porosos. Smular problemas de fluxo na escala granular em dferentes tpos de estruturas porosas para obter parâmetros ntrínsecos dos arranjos analsados. Analsar as dferenças entre os parâmetros obtdos pelo método lattce Boltzmann com propostas baseadas em propredades macroscópcas. Analsar as relações entre os parâmetros ntrínsecos calculados e as propredades da estrutura porosa. 1.3 ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO A presente dssertação está dvdda em sete capítulos. O prmero capítulo ntroduz o problema de fluxo de fludos em meos porosos e descreve a mportânca dos parâmetros ntrínsecos para a quantfcação do fluxo. O método lattce Boltzmann é apresentado como técnca adequada para obter estmatvas acuradas destes parâmetros. No capítulo são apresentadas e analsadas algumas abordagens de uso comum na descrção de fludos na engenhara. Também são apresentados os prncípos de alguns dos modelos numércos usados comumente em cada uma das abordagens. Fnalmente, é dscutda a adequabldade destes modelos numércos para smular fluxo em meos porosos, dando

31 1. INTRODUÇÃO ênfase ao modelo lattce Boltzmann. No capítulo 3 é apresentada a forma básca dferencal da equação de conservação de uma quantdade físca. Equações de conservação para massa, momento e energa de um fludo são dervadas a partr desta expressão. A equação de Naver-Stokes para fludos sotérmcos e ncompressíves é dervada e levada à forma admensonal, a qual permte ntroduzr o conceto de smlardade dnâmca. Fnalmente, são apresentadas as equações de Darcy e Darcy Forchhemer para modelar o fluxo em meos porosos, fazendo ênfase nos parâmetros do meo poroso que são objeto desta pesqusa. No capítulo 4 é descrto o método lattce Boltzmann, apresentando a estrutura da malha e a equação de evolução. A análse multescala de Chapman-Enskog é ntroduzda para mostrar como o lattce Boltzmann recupera a dnâmca da equação de Naver Stokes. Por últmo a acuráca do método é analsada e são apresentadas as condções de contorno. A metodologa seguda nesta pesqusa é descrta no capítulo 5, o qual está dvddo bascamente em duas partes: (1) mplementação e valdação do códgo para o método lattce Boltzmann e () aplcação a problemas de fluxo em meos porosos. O capítulo 6 contém os resultados e dscussões das smulações de aplcação e no capítulo 7 aparecem as conclusões, lmtações e sugestões para pesqusas futuras. 3

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33 . MODELAGEM DE FLUXO DE FLUIDOS NA ENGENHARIA MODELAGEM DE FLUXO DE FLUIDOS NA ENGENHARIA Neste capítulo são apresentadas e analsadas algumas abordagens de uso comum na descrção de fludos na engenhara. Também são apresentados os prncípos de alguns dos modelos numércos usados comumente em cada uma das abordagens. Fnalmente, é dscutda a adequabldade destes modelos numércos para smular fluxo em meos porosos, dando ênfase ao modelo lattce Boltzmann..1 ESCALAS DE DESCRIÇÃO FÍSICA DE FLUIDOS A matéra, concetualmente classfcada como fludos ou sóldos, pode ser completamente descrta pela físca mcroscópca de seus átomos ou moléculas consttuntes. Nesta abordagem, fludos são descrtos consderando o movmento dos átomos ou das moléculas ndvduas. Na descrção molecular as varáves fundamentas são aquelas que defnem o movmento de cada molécula, p. ex., as velocdades moleculares e o número de partículas por undade de volume. Este tpo de descrção leva à defnção de temperatura, como uma medda da energa cnétca méda das moléculas de gás; de pressão, como a resultante do mpulso das moléculas nas paredes do corpo que contém o gás; e de vscosdade como resultante da troca de momento devdo ao movmento molecular térmco (Hrsch, 007). Na maora das aplcações da engenhara uma descrção macroscópca é usualmente sufcente, devdo à grande dspardade entre a dnâmca molecular subjacente e as escalas espacas e temporas relevantes às aplcações. Neste caso, a físca mcroscópca smplesmente determna propredades do materal como a vscosdade do fludo ou as constantes elástcas de um sóldo. A teora que ajuda a descrever os fenômenos macroscópcos, neglgencando a estrutura do materal em pequena escala, é conhecda como teora do contínuo. Nesta teora a matéra é consderada como ndefndamente dvsível, e os pontos no espaço contínuo descrevem volumes nfntesmas do materal (La et al., 009). As propredades ntrínsecas do fludo não podem ser dervadas com uma abordagem macroscópca, mas a natureza qualtatva da dnâmca macroscópca com frequênca é nsensível aos detalhes das nterações mcroscópcas subjacentes. O retrato tradconal dos papes da físca macroscópca e mcroscópca está sendo desafado com o surgmento de novos problemas multfíscos e mult-escala (Hoekstra et al., 010). Por exemplo, em sstemas na nanoescala a teora macroscópca é nadequada, pos a suposção de separação de escalas dexa de ser válda, enquanto que a teora mcroscópca pode ser mpratcável em termos computaconas. Métodos baseados na escala mesoscópca 5

34 . MODELAGEM DE FLUXO DE FLUIDOS NA ENGENHARIA conectam as descrções mcroscópca e macroscópca, fornecendo uma abordagem promssóra para este tpo de problema.. MODELOS NUMÉRICOS PARA SIMULAÇÃO DE FLUIDOS A abordagem tradconal na nvestgação de processos físcos basea-se em observações, expermentos e medções. A quantdade de nformação que pode ser obtda desta forma usualmente é lmtada e sujeta a erros de medção. Por outro lado, nvestgações expermentas podem levar muto tempo, às vezes são pergosas, extremamente custosas ou smplesmente mpossíves de serem executadas (Kuzmn, 010). Alternatvamente, pode ser executado um estudo analítco usando um modelo matemátco adequado. Os modelos de fluxo de fludos mas detalhados são baseados em prncípos báscos como a conservação da massa, momento e energa. As equações matemátcas que descrevem esses prncípos fundamentas são conhecdas há muto tempo, mas elas permaneceram pratcamente nútes devdo à sua complexdade. Até o surgmento dos métodos numércos e dos computadores dgtas só era possível obter soluções analítcas em alguns casos deas, como fluxo totalmente estaconáro com geometras bastante smples. Na segunda metade do século vnte ocorreu o surgmento da dnâmca de fludos computaconal (Ferzger & Perc, 001; Hrsch, 007; Wesselng, 009), um novo ramo da matemátca aplcada que trata da smulação numérca de fluxo de fludos. A dnâmca de fludos computaconal (DFC) permte prever o comportamento do fluxo e outros processos de forma qualtatva e quanttatva em alguns casos, usando ferramentas matemátcas e numércas. No campo da físca estatístca, o uso de ferramentas computaconas na smulação de líqudos na escala atômca ou molecular é conhecdo como smulação computaconal de líqudos (Gubbns, 1985; Allen & Tldesley, 1989). Atualmente, códgos de computador baseados em modelos numércos são usados rotneramente para prever uma grande e complexa varedade de fenômenos de fluxo. Um modelo numérco completo é composto por três elementos báscos: o modelo matemátco, o método numérco e as ferramentas computaconas (Latt, 007). O modelo matemátco geralmente consste em um conjunto de equações dferencas parcas (com condções de contorno e ncas), que descrevem a evolução das quantdades físcas observáves no fluxo, baseados em consderações fenomenologas e/ou teórcas. Como alternatva, um modelo mcroscópco pode ser smulado em um computador sem usar uma equação parcal dferencal explctamente. O método numérco fornece uma forma matemátca de encontrar soluções aproxmadas da 6

35 . MODELAGEM DE FLUXO DE FLUIDOS NA ENGENHARIA equação dferencal parcal, ou de resolver a dnâmca de um modelo mcroscópco. As ferramentas computaconas consstem em algortmos especalzados usados para mplementar algumas partes do modelo numérco. Utldades de pré e pós-processamento são requerdas para ncalzar uma smulação e para analsar os dados smulados...1 MODELOS NUMÉRICOS MACROSCÓPICOS Tradconalmente na engenhara, a smulação de fluxo de fludos, e outros processos físcos, tem segudo uma abordagem macroscópca MODELO MATEMÁTICO Na abordagem macroscópca o modelo matemátco consste em um conjunto de equações dferencas parcas ou ntegral-dferencas. Essas equações expressam les de conservação, dervadas a partr de uma representação macroscópca padrão na qual é assumda a hpótese de meo contínuo e de equlíbro termodnâmco. O modelo matemátco pode nclur smplfcações das les de conservação exatas. Uma vez escolhdo o modelo mas adequado para a aplcação desejada (fluxo ncompressível, fluxo não vscoso, turbulênca, etc.) é defndo o método numérco aproprado para soluconar as equações dscretamente...1. PROCESSO DE DISCRETIZAÇÃO O método de dscretzação aproxma as equações dferencas como um sstema de equações algébrcas das varáves, em um conjunto de posções e tempos dscretos. Exstem város métodos para dscretzar as equações do modelo matemátco, sendo os mas relevantes o método das dferenças fntas (MDF), o método dos volumes fntos (MVF) e o método dos elementos fntos (MEF). Se a malha numérca da dscretzação for muto refnada todos os métodos produzem aproxmadamente a mesma solução, porém alguns métodos podem ser mas convenentes para determnados problemas. As varáves são calculadas em posções defndas da numérca, que é uma representação dscreta do domíno geométrco da solução do problema. A malha dvde o domíno da solução em um número fnto de subdomínos (elementos, volumes de controle, etc.). Em domínos com geometras smples é comum usar malhas estruturadas que consstem em famílas de lnhas (Fgura.1), onde os membros de uma mesma famíla não se cruzam entre s e se cruzam uma únca vez com os membros de outras famílas. Malhas estruturadas em bloco, com város níves de dvsão do domíno da solução, são usadas em geometras mas complexas. 7

36 . MODELAGEM DE FLUXO DE FLUIDOS NA ENGENHARIA Fgura.1. Exemplo de uma malha estruturada em D (Ferzger & Perc, 001). Uma grade desestruturada, como a apresentada na Fgura., é usada em geometras complexas com qualquer um dos esquemas de dscretzação das equações, porém ela é mas adequada para o esquema de elementos fntos ou de volumes fntos. Fgura.. Exemplo de uma malha trangular desestruturada em D (Zenkewcz et al., 005a) MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS O método das dferenças fntas é a técnca mas antga usada para dscretzar equações dferencas parcas e acredta-se que ela fo ntroduzda por Euler no século 18 (Ferzger & 8

37 . MODELAGEM DE FLUXO DE FLUIDOS NA ENGENHARIA Perc, 001). A partr das aproxmações por dferenças fntas, desenvolvdas entre o fnal da década de 50 e o começo da década de 80, surgram mutos esquemas numércos modernos da dnâmca de fludos computaconal. A dervação e mplementação deste método é partcularmente smples para malhas estruturadas, que são topologcamente equvalentes a uma malha cartesana unforme. O ponto de partda é a equação de conservação na forma dferencal e o domíno da solução é coberto por uma grade numérca. Em cada ponto da malha a equação dferencal é aproxmada substtundo as dervadas parcas por aproxmações em termos do valor da função nos nós. O resultado é uma equação algébrca para cada nó da malha, onde os valores da varável nos nós e em alguns nós vznhos são desconhecdos. O método das dferenças fntas pode ser aplcado em qualquer tpo de malha, porém, ele geralmente é aplcado em malhas estruturadas, onde as lnhas da grade servem de coordenadas locas. Expansão em séres de Taylor ou ajuste polnomal são usados para obter aproxmações das dervadas das varáves em relação às coordenadas. Estes métodos também são usados para nterpolar valores em posções que não correspondem a nós da grade. O método das dferenças fntas é smples e efetvo para malhas estruturadas, mas a restrção para geometras smples é um nconvenente na smulação de fluxos complexos. Segundo Kuzmn (010), este método eventualmente perdeu a sua posção de lderança devdo à demanda por smulações numércas em domínos D e 3D com forma complexa MÉTODO DOS VOLUMES FINITOS De acordo com Hrsch (007) o método dos volumes fntos é amplamente usado na dnâmca de fludos computaconal, devdo à sua smplcdade concetual e facldade de mplementação em malhas arbtráras, estruturadas ou não. O domíno da solução é subdvddo em um número fnto de volumes de controle e as equações de conservação, na sua forma ntegral, são aplcadas em cada um deles. O valor da varável é calculado no centrode de cada volume de controle, onde exste um nó computaconal. Interpolação é usada para expressar os valores da varável na superfíce do volume de controle, em termos dos valores nodas. Integras de volume e de superfíce são aproxmadas usando uma fórmula de quadratura adequada, obtendo uma equação algébrca para cada volume de controle. O método do volume fnto pode ser usado em qualquer tpo de malha, portanto ele serve para qualquer geometra. Neste caso, a malha só defne o contorno do volume de controle e 9

38 . MODELAGEM DE FLUXO DE FLUIDOS NA ENGENHARIA não precsa estar relaconada com nenhum sstema coordenado. O método é conservatvo por construção, contanto que as ntegras de superfíce (que representam o fluxo convectvo e dfusvo) sejam as mesmas para os volumes de controle que compartlham um contorno. Este método requer de três níves de aproxmação: nterpolação, dferencação e ntegração, o que faz com que seja dfícl desenvolver métodos em 3D de tercera ordem ou superor MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS O método dos elementos fntos (Zenkewcz et al., 005b) é muto smlar ao método dos volumes fntos, pos o domíno também é partconado em um conjunto de volumes dscretos, ou elementos fntos. A malha numérca geralmente é desestruturada, formada por trângulos ou quadrláteros em D e tetraedros ou hexaedros em 3D. A característca dstntva do método dos elementos fntos é que geralmente as equações são multplcadas por uma função de ponderação antes de serem ntegradas sobre o domíno total. Na forma mas smples do método a solução em cada elemento é aproxmada por uma função de nterpolação lnear de forma, de modo que se garanta a contnudade ao longo do contorno do mesmo. Essa função pode ser construída a partr dos valores na esquna, a função de ponderação usualmente tem a mesma forma da função de nterpolação (elementos soparamétrcos). A aproxmação anteror é substtuída na ntegral da le de conservação ponderada e as equações a serem resolvdas são defndas forçando um valor nulo da dervada da ntegral em relação a cada valor nodal. Isto corresponde a escolher a melhor solução do conjunto de funções permtdas e o resultado em um conjunto de equações algébrcas não lneares. Uma vantagem característca do método dos elementos fntos é a sua habldade para ldar com geometras arbtráras e a lteratura dedcada à construção de malhas é prolxa (Zenkewcz et al., 005b). Além dsso, o método é fácl de analsar matematcamente e possu propredades excelentes para tratar alguns tpos de equações. Um nconvenente comum nos métodos que usam malhas desestruturadas é que as matrzes das equações lnearzadas não fcam bem estruturadas, quando comparadas com as matrzes de malhas regulares, dfcultando uma solução efcente. Elementos fntos e volumes fntos têm muto em comum, eles são pratcamente equvalentes no caso de polnômos de baxa ordem. Os pontos fortes tradconas de ambos os métodos são complementares, quando aplcados às equações de fluxo. Por tanto mutos esquemas híbrdos têm sdo propostos, p. ex., funções de forma de elementos fntos podem ser usadas para nterpolar os fluxos em um método de volumes fntos (Ferzger & Perc, 10

39 . MODELAGEM DE FLUXO DE FLUIDOS NA ENGENHARIA 001)... MODELOS MICROSCÓPICOS Os métodos de Monte Carlo e os métodos da dnâmca molecular são as abordagens mas usadas na físca estatístca para a smulação computaconal de fludos. Ambas as técncas são reconhecas como ferramentas mportantes na cênca, complementando a teora analítca e os expermentos. A smulação computaconal tem um papel partcularmente mportante no complexo problema da físca estatístca: explcar as propredades macroscópcas da matéra que resultam da nteração de um grande número de átomos (Gubbns, 1985). Uma grande varedade de técncas de modelagem no nível molecular fo desenvolvda ao longo dos anos. Além da dnâmca molecular e do método clássco de Monte Carlo exstem técncas baseadas na mecânca quântca; algumas delas usam a ntegral de trajetóras com o método de Monte Carlo, outras combnam a dnâmca molecular com a teora da função de densdade (Rapaport, 004)....1 MÉTODOS DE MONTE CARLO O método de Monte Carlo fo desenvolvdo por von Neumann, Ulam e Metropols no fnal da segunda guerra mundal para estudar a dfusão de nêutrons em materal fssonável. O nome de Monte Carlo fo cunhado por Metropols em 1947, devdo ao frequente uso de números aleatóros nos cálculos (Allen & Tldesley, 1989). Uma smulação de Monte Carlo tenta acompanhar a dependênca no tempo de um modelo cuja mudança ou crescmento não segue uma tendênca rgorosamente predefnda (p.ex. de acordo as equações de movmento de Newton), mas uma tendênca estocástca, que depende de uma sequênca de números aleatóros gerados durante a smulação. Gerando uma nova sequênca de números aleatóros a smulação não terá resultados dêntcos, mas produz valores que concordam com os obtdos na prmera sequênca dentro de um erro estatístco. Mutos problemas se enquadram nesta categora, p. ex., em percolação, uma malha vaza é preenchda gradualmente colocando uma partícula em uma posção aleatóra a cada avanço do tempo. Mutas questões surgem acerca dos clusters resultantes, compostos de locas contíguos ocupados por partículas. A determnação do lmar de percolação é especalmente nteressante, ele é defndo como a concentração crítca de nós ocupados na qual aparece um prmero cluster de percolação nfnto. Um cluster de percolação é aquele que va desde um contorno (macroscópco) de um sstema até o contorno oposto. As propredades desses clusters são nteressantes no contexto de dversos problemas físcos tas como a condutvdade de msturas aleatóras, fluxo através de rochas porosas e comportamento de mãs dssolvdos 11

40 . MODELAGEM DE FLUXO DE FLUIDOS NA ENGENHARIA (Landau & Bnder, 009). Números aleatóros também podem ser utlzados para gerar uma sequênca de confgurações moleculares com uma determnada dstrbução, e estmatvas das propredades são obtdas calculando médas artmétcas sobre essas confgurações. O método de Monte Carlo só é adequado para tratar propredades estatístcas e tem a vantagem de poder ser usado em város conjuntos (ensembles), p. ex., o conjunto canônco (temperatura T, número de partículas N e volume V fxos), o grande canônco (temperatura T, potencal químco μ e volume V fxos) ou o sobárco (temperatura T, número de partículas N e pressão p fxas) (Gubbns, 1985). É claro que na prátca os números aleatóros acabam sendo pseudoaleatóros, ou seja, são uma sequenca de números produzdos em um computador com um procedmento determnístco adequado a partr de uma semente (seed) adequada. Números verdaderamente aleatóros são mprevsíves em avanço e produzdos por um processo físco adequado, tal como o decamento radoatvo. Séres de tas números têm sdo documentadas, mas o seu uso no método de Monte Carlo sera muto complexo (Bnder, 1997).... MÉTODOS DA DINÂMICA MOLECULAR A base teórca da dnâmca molecular (Rapaport, 004) envolve mutos dos resultados mportantes produzdos por os grandes nomes da mecânca analítca: Euler, Hamlton, Lagrange e Newton. Alguns desses resultados contêm observações fundamentas sobre o funconamento aparente da natureza, outros são reformulações elegantes que geram desenvolvmentos teórcos adconas. A forma mas smples da dnâmca molecular é a de partículas desestruturadas e envolve pouco mas do que a segunda le de Newton. Moléculas rígdas requerem o uso das equações de Euler, talvez expressadas em termo de quaternões de Hamlton. Moléculas com graus de lberdade nternos, sujetas a restrções estruturas, podem envolver o método de Lagrange para ncorporar restrções geométrcas nas equações dnâmcas. Na dnâmca molecular as equações de Newton para movmento translaconal e rotaconal são resolvdas numercamente para cada molécula. As propredades físcas são obtdas ao calcular a méda temporal da função aproprada de posção molecular, orentação, velocdades lnear e angular. A dnâmca molecular tem a vantagem de obter tanto as propredades estátcas quanto as dependentes do tempo, mas o seu uso é restrto ao conjunto mcrocanônco (energa E, número de partículas N e volume V fxos). Em algumas stuações, p. ex., no estudo do equlíbro gás-líqudo ou líqudo-líqudo, onde a energa lvre precsa ser calculada, sto 1

41 . MODELAGEM DE FLUXO DE FLUIDOS NA ENGENHARIA pode ser uma desvantagem, sendo mas fácl usar o método de Monte Carlo com o ensemble canônco ou o sobárco (Gubbns, 1985). Líqudos representam o estado da matéra mas frequentemente estudado com dnâmca molecular, sto acontece por razões hstórcas, pos enquanto gases e sóldos tem bases teórcas bem desenvolvdas não exste uma teora geral para os líqudos. Para os sóldos, a teora começa supondo que os elementos atômcos sofrem pequenas osclações ao redor de posções fxas de uma malha. Nos gases, são assumdos átomos ndependentes e as nterações são ntroduzdas como perturbações fracas. No caso dos líqudos as nterações são tão mportantes quanto no estado sóldo, mas não exste uma estrutura subjacente ordenada para começar. Rapaport (004) mencona as aplcações da dnâmca molecular a problemas com fludos em três áreas fundamentas: dnâmca de fludos, transção de fase e fludos complexos. Na dnâmca de fludos é smulado fluxo lamnar, comportamento de camadas de fludo nos contornos e reologa de fludos não newtonanos. Os estudos de transção de fase ldam com problemas como coexstênca de fases e parâmetros de ordem de fenômenos crítcos. Estrutura e dnâmca de vdros, líqudos moleculares, água pura e soluções aquosas, crstas líqudos, nterfaces de fludos, películas e monocamadas são trabalhados na área de fludos complexos...3 MODELOS MESOSCÓPICOS De acordo com Hoekstra et al. (010), métodos mesoscópcos são canddatos promssóros para lgar efetvamente a escala macroscópca com a mcroscópca, estendendo a capacdade das smulações numércas. Exemplos de métodos mesoscópcos são: o método lattce gás celular autômata, o método lattce Boltzmann, o método das velocdades dscretas da equação de Boltzmann, esquemas gás cnétcos, o método de hdrodnâmca de partículas suavzadas e o de dnâmca de partículas dsspatvas. Estes métodos foram dervados para a hdrodnâmca macroscópca e não são baseados nas equações de Naver-Stokes, mas estão ntmamente lgados à teora cnétca e a equação de Boltzmann. O método lattce Boltzmann ocupa uma posção de destaque entre os modelos mesoscópcos como uma alternatva para soluconar equações dferencas parcas não lneares. Modelos lattce Boltzmann têm uma notável habldade para smular fludos monofáscos e multfáscos, comportamentos como fluxos não estaconáros, separação de fluxo, evaporação, condensação, cavtação e nterações com superfíces (Sukop & Thorne, 13

42 . MODELAGEM DE FLUXO DE FLUIDOS NA ENGENHARIA 006). O método lattce Boltzmann atra, cada vez mas, pesqusadores em dversas áreas, que vão desde modelagem de fluxos turbulentos até fluxo em meos porosos. Város lvros de texto a respeto do método foram escrtos (Succ, 001; Wolf-Gladrow, 005; Sukop & Thorne, 006; Wagner, 008), mostrando a necessdade de aprender esta técnca relatvamente recente. Novos modelos, nvestgações de modelos antgos e aplcações de nteresse usando o lattce Boltzmann são publcados em artgos a cada mês MODELOS LATTICE BOLTZMANN O método lattce Boltzmann (McNamara & Zanett, 1988; Hguera & Jmenez, 1989; Chen et al., 199) segue uma abordagem mesoscópca, onde a dnâmca de fludos é aproxmada por nterações entre partículas fctícas em uma malha (lattce) regular. Hstorcamente, o prmero método lattce Boltzmann surgu como resposta a um dos prncpas nconvenentes dos modelos lattce gás celular autômata (Frsch et al., 1987), qual seja, o ruído estatístco provocado por operações aleatóras. Pouco tempo depos, tornou-se evdente que outras anomalas presentes nos modelos lattce gás podam ser corrgdas naturalmente usando a abordagem do método lattce Boltzmann. Como resultado, o método evoluconou rapdamente como uma área de pesqusa ndependente, cada vez mas afastada do lattce gás autômata celular. He & Luo (1997) mostraram que a equação de lattce Boltzmann pode ser obtda a partr da equação contínua de Boltzmann usando velocdades dscretas e uma expansão para número de Mach baxos. O ponto ncal desta dervação é a equação de lattce Boltzmann BGK (Bhatnagar et al., 1954). Nos últmos anos, o método lattce Boltzmann tem se tornado uma alternatva promssora para a smulação de fluxo de fludos e a modelagem físca de fludos. Este esquema é partcularmente bem suceddo em aplcações de fluxo de fludos que envolvem dnâmca de nterfaces e contornos complexos. Ao contráro dos esquemas numércos convenconas, baseados na dscretzação de equações contínuas, o método lattce Boltzmann é baseado em modelos mcroscópcos e em equações cnétcas mesoscópcas. A dea fundamental do método lattce Boltzmann é construr modelos cnétcos smplfcados, que ncorporem a físca essencal dos processos mcroscópcos ou mesoscópcos, de forma que a méda das propredades macroscópcas obedeça às equações macroscópcas desejadas. A premssa básca para usar este tpo de modelos na smulação de fluxo de fludos macroscópcos é que a dnâmca macroscópca de um fludo é nsenstva aos 14

43 . MODELAGEM DE FLUXO DE FLUIDOS NA ENGENHARIA detalhes subjacentes na físca mcroscópca, pos ela é o resultado do comportamento coletvo de mutas partículas mcroscópcas no sstema (Chen & Doolen, 1998). Desenvolvendo uma versão smplfcada da equação cnétca são evtadas equações complcadas, como a forma completa da equação de Boltzmann, pos não é necessáro segur cada partícula, como é feto nas smulações de dnâmca molecular. Embora o método lattce Boltzmann seja baseado em um esquema de partículas, o foco prncpal dele é o comportamento macroscópco médo. A equação cnétca fornece mutas das vantagens da dnâmca molecular, tas como uma representação físca clara, fácl mplementação das condções de contorno e algortmos totalmente paralelzáves. Segundo Chen & Doolen (1998), a natureza cnétca do método lattce Boltzmann ntroduz três característcas mportantes que o dferencam de outros métodos numércos. A prmera é que o operador de convecção (ou processo de propagação) do lattce Boltzmann é lnear no espaço fase. Esta característca é herdada da teora cnétca e contrasta com os termos de convecção não lneares usados nas representações macroscópcas. A combnação do processo de convecção smples com o processo de relaxação permte recuperar a advecção macroscópca não lnear usando expansões mult-escala. A segunda característca é que a equação de Naver-Stokes para fludos ncompressíves pode ser obtda perto do lmte ncompressível do método lattce Boltzmann. No método lattce Boltzmann a pressão é calculada usando uma equação de estado. Na smulação numérca dreta da equação ncompressível de Naver-Stokes, a equação de Posson é soluconada em um processo que geralmente requer um tratamento especal como teração ou relaxação. A tercera característca do método lattce Boltzmann é que ele utlza um conjunto dscreto de velocdades no espaço fase (espaço de posções e momentos lneares) e não um espaço funconal completo como na teora cnétca tradconal. O método lattce Boltzmann só usa duas velocdades e algumas dreções de propagação, o que smplfca a transformação que relacona a função de dstrbução mcroscópca com a macroscópca, pos ela consste em smples cálculos artmétcos..3 MODELOS NUMÉRICOS NA SIMULAÇÃO DE FLUXO EM MEIOS POROSOS A escolha de um modelo computaconal para smular fludos é dtada pela natureza do processo físco a ser smulado, pelos objetvos do estudo numérco e pelos recursos dsponíves. Como regra geral, o modelo matemátco deve ser tão detalhado quanto possível, 15

44 . MODELAGEM DE FLUXO DE FLUIDOS NA ENGENHARIA sem ser muto custoso computaconalmente. O uso de um modelo de aplcação unversal dfculta o desenvolvmento e mplementação de um algortmo numérco efcente. Em mutos dos casos, a nformação desejada pode ser obtda usando uma versão smplfcada que explora o conhecmento a pror do padrão do fluxo ou que ncorpora correlações empírcas suportadas teórca ou expermentalmente. Portanto, em problemas partcularmente dfíces, como no caso da smulação numérca de turbulênca, usualmente é usada a segunte herarqua: modelos fundamentas, fenomenológcos e empírcos (Kuzmn, 010). Segundo Jambhekar (011), o tratamento de problemas de fluxo em estruturas porosas é altamente dependente da escala consderada. O fluxo em meos porosos é um fenômeno mult-escala típco, que chega a envolver até quatro níves de descrção báscos (Succ, 001): mcroscópco (nível molecular), mesoscópco (nível dos poros), macroscópco (mutos poros, nível do tamanho da amostra) e megascópco (nível do tamanho no campo). Claramente, uma abordagem que envolva todas as escalas está fora de dscussão e, portanto foram desenvolvdas técncas ndependentes para cada um desses níves. Tradconalmente, nas descrções mega e macroscópca a estrutura nterna do meo poroso é gnorada e o conhecmento mcroscópco é reundo em quantdades médas, como o volume de sóldo/fludo, usando procedmentos chamados de homogenezação. Um resultado típco desta análse é que o meo poroso permte o fluxo de fludos, em função das quantdades médas menconadas. O nível megascópco é descrto usualmente por um agrupamento de undades macroscópcas com propredades de transporte que varam localmente. A relação governante no nível macroscópco é a le de Darcy ou a le de Darcy-Forchhemer. Smulações numércas de fluxo de fludos no nível dos poros podem prover estmações acuradas dos parâmetros ntrínsecos se houver um modelo acurado da geometra do meo real. Em uma escala em que só alguns poros são observados anda é possível usar a abordagem macroscópca para descrever os fenômenos de fluxo nos espaços fludos. Em uma escala maor o campo de vsão pode nclur mutos poros, consttundo um desafo para mplementar modelos macroscópcos, devdo à complexdade arbtrára dos contornos que são defndos por cada partícula sólda ndvdualmente. Ao contráro dos métodos macroscópcos convenconas o método lattce Boltzmann usa uma equação mesoscópca para determnar a dnâmca macroscópca do fludo. A equação é flexível para a especfcação de varáves em contornos complexos, os contornos sóldos são tratados em termos de smples reflexões das partículas que chegam a um nó na superfíce da partícula real. Na dnâmca molecular o objetvo é smular o comportamento macroscópco de fludos 16

45 . MODELAGEM DE FLUXO DE FLUIDOS NA ENGENHARIA reas ao consderar um modelo que descreve às nterações mcroscópcas da melhor forma possível, obtendo equações de estado realstas. O método lattce-boltzmann só possu relações sotérmcas entre a massa, densdade e pressão, porém a complexdade das nterações smuladas pelos métodos mcroscópcos restrnge o número de partículas e o tempo de ntegração. Métodos baseados em partículas, como a lattce Boltzmann, não só são vantajosos para tratar problemas dscretos em materas granulares, mas também para problemas contínuos com nterfaces nternas, problemas de nteração fludo-sóldo ou modelagem de superfíces lvres (Mer Torreclla, 010). Exste um amplo consenso em afrmar que o método lattce Boltzmann está entre os melhores métodos para smular fluxos hdrodnâmcos em meos porosos (Succ, 001)..3.1 MÉTODO LATTICE BOLTZMANN PARA SIMULAR FLUXO EM MEIOS POROSOS A prmera smulação de lattce Boltzmann em meos porosos fo executada por Succ et al. (1989), em uma malha cúbca de baxa resolução (3 3 ). Essas smulações permtram avalar a valdade da le de Darcy e também forneceram estmações razoáves da permeabldade em função da porosdade. Cancellere et al. (1990) refnaram a resolução melhorando a representação da mcrogeometra, defnda por uma coleção aleatóra de esferas. A pesar da representação grossa das superfíces esfércas, as smulações forneceram uma boa correspondênca com resultados analítcos para proporções de sóldos altas e baxas. Os últmos também demostraram que o regme de porosdade ntermedara, nacessível para os cálculos analítcos, conecta suavemente as regões com baxa e alta proporção de sóldos. Dards & McCloskey (1998) desenvolveram um esquema lattce Boltzmann que permtem resolver problemas na escala macroscópca ao parametrzar o meo poroso em termos da sua densdade sólda. Fraturas, macroporos e fluxos não estaconáros em escalas com números de Reynolds altos podem ser smulados com este tpo de métodos. Guo & Zhao (00) desenvolveram um modelo lattce Boltzmann que reproduz as equações macroscópcas para fluxos ncompressíves em meos porosos (le de Darcy) PROBLEMAS DE ACOPLAMENTO HIDROMECÂNICO Esquemas numércos de acoplamento hdromecânco oferecem uma poderosa ferramenta para smular a deformação de um meo poroso submetdo ao fluxo de fludos. É comum o uso de modelos lattce Boltzmann para a fase lquda enquanto a fase sólda é modelada por 17

46 . MODELAGEM DE FLUXO DE FLUIDOS NA ENGENHARIA técncas tradconas. Haslam et al. (008) e Khan & Adun (010) acoplaram o método lattce Boltzmann com o método dos elementos fntos para smular médos porosos deformáves. Velloso (010) usou o lattce Boltzmann para modelar a fase lquda enquanto os sóldos foram tratados com método dos elementos dscretos. Este tpo de abordagens é usada para nvestgar relações consttutvas em geometras complexas e permte valdar modelos teórcos PROBLEMAS EM MEIOS POROSOS NÃO SATURADOS Modelos lattce Boltzmann multfáscos e multcomponentes, os quas utlzam dferentes equações de estado, tem sdo mplementados para estudar dversos problemas em meos não saturados. Os resultados ajudam ao entendmento dos fenômenos físcos que acontecem em meos porosos. A segur são menconados alguns dos trabalhos nesta área. Sukop & Or (003) analsaram o comportamento de nterfaces lqudo-sóldo e lqudo-vapor em problemas de percolação em geometras de meos porosos reas. Segundo esta lnha de trabalho, Pan et al. (004) usou resultados expermentas para avalar smulações de fluxo multfásco e multcomponente na escala granular usando geometras esfércas e modelo proposto por Shan & Chen (1994), os resultados concordaram acuradamente com os resultados expermentas. Galndo-Torres et al. (013) também usou o modelo de Shan & Chen (1994) para estudar os cclos de molhagem e secagem em solos não saturados, com o objetvo de melhorar a formulação dos modelos consttutvos exstentes. Um modelo baseado em meddores de campo fo proposto por Wolf (005), o método fo mplementado para estudar fenômenos de molhabldade e caplardade em meos porosos ESTIMATIVA DE PARÂMETROS EM MEIOS POROSOS SATURADOS Modelos lattce Boltzmann são adequados para estmar parâmetros em meos porosos saturados. Os resultados deste tpo de smulação numérca são usados para estudar a relação entre os parâmetros macroscópcos e a confguração geométrca do meo poroso. Correlações e modelos consttutvos exstentes podem ser avalados usando esta abordagem. Com frequênca, o método é usado para estmar ou valdar os parâmetros de meos porosos reas como solos ou rochas. Neste caso, as geometras são obtdas usando técncas como a mcro tomografa de raos-x (Rustchell & Skrzypek, 010). Os parâmetros obtdos desta forma também podem ser comparados com correlações empírcas ou teórcas, como feto por Chukwudoze (011). Os resultados das smulações podem ser comparados com outros métodos, ou modelos de acuráca reconhecda como feto por Aaltosalm (005). Outra possbldade é a valdação 18

47 . MODELAGEM DE FLUXO DE FLUIDOS NA ENGENHARIA expermental (Camargo et al., 01; Rozas et al., 01). Confgurações regulares que possuem correlações empírcas ou confgurações geradas aleatoramente são de nteresse na análse da dependênca dos parâmetros macroscópcos na geometra dos arranjos. Por exemplo, Nabovat & Sousa (007) desenvolveram correlações entre a porosdade e tortuosdade gerando retângulos aleatóros com dferentes relações de forma. Smulações em meos porosos também são útes para avalar a establdade e acuráca da mplementação de uma condção de contorno, como feto por Grucelsk & Pozorsk (013). 19

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49 3. EQUAÇÕES MACROSCÓPICAS GOVERNANTES DO PROBLEMA DE FLUXO DE FLUIDOS 3 EQUAÇÕES MACROSCÓPICAS GOVERNANTES DO PROBLEMA DE FLUXO DE FLUIDOS Neste capítulo é apresentada a forma básca dferencal das equações de conservação de massa, momento e energa de um fludo. A partr destas expressões a equação de Naver- Stokes para fludos sotérmcos e ncompressíves é dervada e reformulada em forma admensonal, a qual permte ntroduzr o conceto de smlardade dnâmca. Fnalmente, são apresentadas as equações de Darcy e Darcy Forchhemer para modelar o fluxo em meos porosos, dando ênfase ao parâmetros do meo poroso que são objeto desta pesqusa. 3.1 NOTAÇÃO UTILIZADA Ao longo deste trabalho, vetores no espaço eucldano são representados por caracteres arábcos com uma seta, p.ex., a, tensores de ordem superor são denotados com negrto, p.ex., A. Notação ndcal pode ser usada em algumas partes do texto, em expressões mas complexas que envolvem tensores de ordem superor. Nesta notação os subscrtos são letras gregas, p. ex., a representa um vetor e A um tensor de segunda ordem. O símbolo de somatóro é omtdo e a soma deve ser efetuada quando aparecer um índce é repetdo duas vezes no mesmo termo. O produto dádco, geralmente denotado com o símbolo, fca mplícto quando não houver algum símbolo ndcando operação entre dos vetores, p. ex. A= ab. A notação de Euler é utlzada para expressar as dervadas funconas, portanto, f x ndca a dervada parcal da função f em relação à varável x. Em concordânca com as defnções anterores, o operador dferencal nabla é denotado como ( x, y, z ). Dervadas de ordem superor são denotadas por múltplos subscrtos, p. ex., ndca a dervada em relação a y da dervada de f em relação a x. Então, o Laplacano de uma função xy f fca denotado como f ( xx f yy f zz f ). A grandeza das varáves utlzadas ao longo do texto é expressa ao lado da defnção de cada uma, seguda pelas undades da -1 varável no sstema nternaconal, p. ex., pressão p ( ML T, N / m ). A Tabela 3.1 apresenta város exemplos de notação das operações entre vetores e tensores em ambas as notações: 1

50 3. EQUAÇÕES MACROSCÓPICAS GOVERNANTES DO PROBLEMA DE FLUXO DE FLUIDOS Tabela 3.1. Notação usada para operações entre vetores e tensores Notação smbólca Notação ndcal Produto escalar ab ab Contração dupla de tensores A: B A B Produto dádco entre vetores A= ab A a b Gradente de uma função escalar f a f a f Dvergente de uma função vetoral a f a f a Dvergente de um tensor (ordem ) a A a A Dvergente de um tensor (ordem 3) A T A T 3. EQUAÇÕES DE CONSERVAÇÃO O problema de fluxo de fludos é descrto geralmente por les de conservação de quantdades físcas no fludo. Como estas equações não possuem solução conhecda é comum obter soluções aproxmadas nas quas só são consderadas as forças domnantes que agem no nteror dos fludos sob condções partculares de fluxo. O fluxo de fludos monofáscos em meos porosos é controlado por forças vscosas e por forças nercas. As equações governantes neste caso podem ser dervadas a partr da equação de Naver-Stokes segundo uma abordagem macroscópca, resultando na le de Darcy e na le de Darcy-Forchhemer. A aplcação de uma ou de outra depende do regme de fluxo que por sua vez é descrto pelo número admensonal de Reynolds. O estado de um fludo smples é descrto pelas seguntes varáves macroscópcas: a 3 densdade do fludo ρ ( ML, m s), 3 1 kg / m no SI), o vetor de velocdade do fludo u ( LT, / -1 a pressão p ( ML T, N / m ), a energa E ( ML T, J) e a temperatura T (, K ) FORMA GERAL DE UMA EQUAÇÃO DE CONSERVAÇÃO As equações governantes do problema podem ser dervadas por métodos da físca estatístca, a partr das equações de movmento do modelo mcroscópco. Alternatvamente, elas podem ser nterpretadas como les de conservação das quantdades físcas envolvdas, escrtas em forma ntegral ou dferencal. A forma dferencal de uma equação de conservação de uma quantdade escalar e por undade de volume (p. ex. temperatura ou massa por undade de volume), dervada em um volume de controle, é:

51 3. EQUAÇÕES MACROSCÓPICAS GOVERNANTES DO PROBLEMA DE FLUXO DE FLUIDOS e Q s (3.1) t onde e t ndca a varação por undade de tempo da quantdade físca no volume de controle, Q e representa o balanço resultante do fluxo da quantdade físca através do volume de controle e s é a contrbução de fontes ou sorvedouros. Se a quantdade conservada for uma grandeza vetoral físca m (p. ex. momento lnear), a equação de conservação assume a forma segunte: onde Q m é um tensor de segunda ordem. t e m Q s (3.) m 3.. CONSERVAÇÃO DA MASSA A le de conservação da massa é uma expressão geral de natureza cnemátca, ou seja, ela é ndependente da natureza do fludo, ou das forças agndo nele. Ela expressa o fato empírco de que a massa no sstema fludo não pode ser nem crada nem destruída. Na conservação da massa a quantdade físca transportada é a densdade e o fluxo dfusvo (relatvo à agtação molecular) é nulo, pos a massa só pode ser transportada por convecção. Na ausênca de fontes ou sorvedouros de massa no volume de controle a equação de convecção- dfusão se smplfca para: ( u) 0 (3.3) t 3..3 CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR O momento lnear é uma quantdade vetoral, defnda como o produto do vetor velocdade pela massa, ou pela densdade, quando expressado por undade de volume. É assumdo que o momento lnear não sofre dfusvdade, ou seja, o momento lnear não é transportado por agtação térmca molecular. Pela le de Newton, as fontes da varação do momento são as forças agndo sobre ele. Essas forças consstem em forças externas por undade de volume e forças nternas. Desta forma obtém-se: ( u) ( uu ) g (3.4) t e onde g ( LT, e m/ s ) é o vetor de aceleração devda às forças externas, o termo ge ( - ML T, 3 N / m ) é o somatóro das forças externas agndo no volume de controle, expressadas por undade de volume. As forças nternas dependem da deformabldade do meo fludo e são obtdas a partr do tensor de tensões nternas no volume de fludo que se 3

52 escreve: 3. EQUAÇÕES MACROSCÓPICAS GOVERNANTES DO PROBLEMA DE FLUXO DE FLUIDOS pi (3.5) -1 onde I é o tensor untáro e pi ( ML T, N / m ) expressa a componente de pressão sotrópca, o snal negatvo ndca que as pressões agem para dentro do volume de controle. O -1 tensor desvo ( ML T, N / m ) representa os esforços csalhantes vscosos, decorrentes da força de atrto nterno entre as camadas de fludo. Assumndo que o fludo é sotrópco e lnear (Newtonano) o tensor de desvo se escreve: τ ( u) I S (3.6) 1 ( ( ) T u u ) S (3.7) 1 onde S ( T, m / ( m s) ) é o tensor de taxa de deformação, análogo à deformação nfntesmal em mecânca de sóldos, ( ML T 1 1, N s / m ) é a vscosdade dnâmca, análoga ao módulo de csalhamento (G) da teora da elastcdade lnear e o parâmetro ( 1 1 ML T, N s / m ) está assocado à vscosdade por compressbldade do fludo. A relação a segur é válda, exceto para faxas de temperatura ou pressão muto altas: 1 A vscosdade cnemátca ( MT, 3 0 (3.8) m / s) é defnda como: (3.9) Quando o tensor de desvo para fludos newtonanos, Eq. (3.6), é ntroduzdo na equação de conservação, Eq. (3.4), é obtda a equação de Naver-Stokes, onde os esforços vscosos agem como uma dfusão, com a vscosdade cnemátca como coefcente de dfusão CONSERVAÇÃO DA ENERGIA Da análse termodnâmca dos meos contínuos é sabdo que o conteúdo de energa de um sstema é meddo pela energa nterna por undade de massa E m ( LT, J / kg ). A energa nterna é uma varável de estado do sstema, portanto a varação desta durante uma transformação termodnâmca depende só no estado ncal e fnal do mesmo. Em um fludo, a quantdade conservada é a energa total defnda como a soma da energa nterna com a energa cnétca por undade de massa: u E Em (3.10) 4

53 3. EQUAÇÕES MACROSCÓPICAS GOVERNANTES DO PROBLEMA DE FLUXO DE FLUIDOS A prmera le da termodnâmca dz que as fontes que causam varação da energa total são o trabalho das forças agndo no sstema e o calor transmtdo ao sstema. A equação de conservação da energa se escreve: onde E ( ML T 1 -, E ( ue) ( T ) ( u) g u q (3.11) t e H 3 J / m ) é a energa total por undade de volume, o termo T k é a le de Fourer, que descreve a dfusão de calor em um meo em repouso devdo a condução térmca -3 molecular, ( MLT, J / ( sm K) é a condutvdade térmca. As fontes de energa são: os esforços nternos no fludo, ( u), o trabalho das forças por undade de volume, ge u, e as fontes de calor dferentes de condução, H reações químcas. q, p. ex., radação ou calor devdo a As les de conservação representam um sstema de D+ equações para D+4 ncógntas em um espaço com D dmensões, pos o momento lnear é um vetor. O sstema deve ser completado com equações que relaconam a pressão com a temperatura e a temperatura com a energa FLUXOS ISOTÉRMICOS E INCOMPRESSÍVEIS Em um fluxo sotérmco, o efeto da temperatura é neglgencado e a equação de conservação da energa, Eq.(3.11), não é levada em consderação. Neste caso deve ser desenvolvda uma equação de estado para relaconar a pressão e a densdade no fludo. Por exemplo, pode ser usada uma equação na qual a pressão é proporconal à densdade: onde c s é a velocdade do som do sstema. p c (3.1) s Em um fludo homogêneo e ncompressível a densdade é constante ( 0 ) no tempo. Portanto, a le de conservação de massa é smplfcada para uma expressão que ndca que o dvergente do campo de velocdades é gual a 0 (campo solenodal): u 0 (3.13) Esta equação é usada com frequênca para defnr a ncompressbldade de um fludo. Quando aplcada a smplfcação anteror à le de conservação do momento, Eq. (3.4), obtémse a equação de Naver-Stokes para fludos ncompressíves: 1 u t ( u ) u p u (3.14) 0 5

54 3. EQUAÇÕES MACROSCÓPICAS GOVERNANTES DO PROBLEMA DE FLUXO DE FLUIDOS Aplcando o dvergente em ambos os lados da Eq. (3.14) e supondo um campo de velocdade solenodal, Eq. (3.13), a dervada temporal e o termo de vscosdade são cancelados. A expressão resultante é: p u u (3.15) 0 ( ) : ( )T que é chamada de equação de Posson. Esta equação, que é ndependente do tempo, substtu a equação de conservação de massa para fludos ncompressíves, Eq.(3.13). No cálculo numérco da evolução de um fluxo compressível a Eq. (3.15) deve ser resolvda com um procedmento teratvo em cada passo dscreto. Neste procedmento o valor da pressão é ajustado de forma a manter um campo de velocdades solenodal durante a evolução no tempo FORMULAÇÃO ADIMENSIONAL Antes de resolver computaconalmente as equações governantes para o fluxo de fludos é precso se lvrar das undades físcas das varáves macroscópcas, o que leva a um conjunto de equações dferencas parcas que agem sobre varáves admensonas. As propredades destas equações são ajustadas com parâmetros admensonas genércos. A título de lustração as equações de conservação para fludos sotérmcos ncompressíves (Eq. (3.13) e Eq. (3.14)) serão convertdas a segur para a forma admensonal. São ntroduzdas uma escala de comprmento e uma escala de tempo representatvas da confguração do fluxo, l 0 e t 0, respectvamente. O comprmento l 0 pode representar o comprmento de um obstáculo merso no fludo ou de qualquer dmensão característca da confguração geométrca; o tempo t 0 sera o tempo necessáro para que uma partícula de fludo percorra esse comprmento. As varáves físcas para tempo e posção, t e r, são substtuídas pelas seguntes varáves: t r * * t (3.16) t 0 r (3.17) l Da mesma forma, são realzadas as seguntes mudanças de varáves, onde a estrela ndca a varável no sstema admensonal: u l t 0 0 * u (3.18) 0 1 * t t (3.19) t 0 6

55 3. EQUAÇÕES MACROSCÓPICAS GOVERNANTES DO PROBLEMA DE FLUXO DE FLUIDOS p 1 l * (3.0) 0 l 00 * p (3.1) t0 Substtundo as equações anterores na equação de Naver-Stokes para fludos sotérmcos ncompressíves, Eq. (3.14), obtêm-se a equação admensonal de Naver-Stokes: u u u p 1 u t Re * * * * * * * * * ( ) (3.) e a equação de contnudade ou condção de campo solenodal: * * u 0. (3.3) onde Re é o número admensonal de Reynolds, que expressa a relação entre forças nercas e forças vscosas: l0 Re. (3.4) t Dos problemas que obedecem à mesma equação de Naver-Stokes e com o mesmo número de Reynolds são dnamcamente smlares. O fato de fluxos serem caracterzados pelo seu número de Reynolds e pela le de smlardade dnâmca fo ncalmente reconhecdo por Stokes em 1851 e por Reynolds em A le da smlardade dnâmca permte que as soluções de equações em sstemas admensonas sejam váldas para sstemas reas EQUAÇÃO DE DARCY-FORCHHEIMER O fluxo de fludos monofáscos em meos porosos é controlado por duas forças: a força vscosa que age entre as camadas do fludo e a força nercal entre os fludos e a fase sólda. Como mostrado na Fgura 3.1, as forças vscosas são predomnantes em um regme de baxo gradente de pressão ( Re 1.0 ), com uma relação lnear entre o gradente de pressão e a velocdade. Nesta regão domnada pela vscosdade, equação de Naver-Stokes (neglgencando as forças nercas) é smplfcada para a equação de Stokes, a partr da qual é possível dervar a equação de Darcy, orgnalmente desenvolvda a partr de observações expermentas em areas unformes: u f K p (3.5) onde 1 u ( LT, m/ s) é a velocdade de fluxo, o símbolo (sem seta) representa o f gradente dreconal de uma quantdade, neste caso representa a queda de pressão em uma 7

56 Gradente de Pressão[ML - T - ] Unversdade de Brasíla 3. EQUAÇÕES MACROSCÓPICAS GOVERNANTES DO PROBLEMA DE FLUXO DE FLUIDOS determnada dreção de fluxo, K ( L, m ) é a permeabldade ntrínseca do meo poroso. A partr da permeabldade ntrínseca é defnda a condutvdade hdráulca do meo poroso como: - onde ( ML T, 3 N / m ) é o peso específco do fludo e k ( k K (3.6) 1 LT, / m s) é a condutvdade hdráulca, que é uma medda físca macroscópca que descreve a nfluenca da vscosdade na aderênca na superfíce dos grãos sóldos Fluxo Darcano Fluxo não Darcano Contrbução Inercal Contrbução Vscosa Velocdade [LT -1 ] Fgura 3.1. Relação entre o gradente de pressão e a méda volumétrca da velocdade para fluxo em meos porosos (modfcado de Chukwudoze (011)). Quando o gradente de pressão aumenta as forças nercas tornam-se domnantes e a relação entre o gradente e a velocdade dexa de ser lnear. Nestas condções a le de Stokes não consegue representar a nfluênca dos efetos nercas. Forchhemer (1914) estendeu a le de Darcy para este tpo de regme de fluxo ao adconar um termo quadrátco de velocdade, análogo ao termo usado para fluxos turbulentos na mecânca dos fludos: p u f u f (3.7) K onde é uma propredade do meo chamado de fator de Forchhemer que também será analsado posterormente. Embora as equações de Darcy e de Darcy-Forchhemer tenham sdo desenvolvdas emprcamente, elas podem ser obtdas por uma técnca de méda das equações de transporte mcroscópco sobre um volume de controle de tamanho fnto que contém ambas as fases (Whtaker, 1996). 8

57 3. EQUAÇÕES MACROSCÓPICAS GOVERNANTES DO PROBLEMA DE FLUXO DE FLUIDOS PERMEABILIDADE INTRÍNSECA OU COEFICIENTE DE DARCY A permeabldade é determnada no laboratóro a partr de ensaos de permeabldade ou ndretamente a partr de ensaos de adensamento. Este coefcente é altamente dependente do tamanho, dstrbução e conectvdade entre os poros. Portanto, a prevsão quanttatva e qualtatva desta propredade requer de um modelo mcroscópco acurado do meo poroso, além do entendmento da contrbução da mcroestrutura do meo à dstrbução do fluxo. Os métodos expermentas na escala macroscópca não capturam o efeto da tortuosdade, as rregulardades dos poros e outros detalhes mcroscópcos, nem fornecem a dstrbução nterna do fluxo nos poros. Devdo às dfculdades para medr a permeabldade de meos porosos, surgram algumas relações empírcas para estmá-lo. A abordagem mas smples na mcroescala é dervada da equação de Hagen-Poseulle para fluxo em uma tubulação e é conhecda como a equação de Kozeny-Carman. Neste caso o meo é consderado como sotrópco e a permeabldade é calculada como: K 3 d A (1 ) (3.8) onde é a porosdade do meo, d (L, m) é o dâmetro da partícula e A é um fator geométrco que combna a área superfcal específca a s e a tortuosdade : A a s 8 7 (3.9) A 150 para a equação de Ergun (195) e 180 na de Kozeny-Carman FATOR BETA OU COEFICIENTE DE FORCHHEIMER O coefcente beta de Forchhemer quantfca a magntude do desvo de um fluxo em relação ao regme lnear de Darcy. Geralmente o fator beta é assumdo como uma constante e é obtdo ao manpular a equação de Darcy-Forchhemer para obter a expressão segunte: p 1 u f (3.30) u K 1 Esta é a equação de uma lnha reta, onde o coefcente ( L, f 1 m ) é a nclnação e o nverso da permeabldade ntrínseca é o ntercepto. A expressão admensonal da equação anteror é: pd u f d d Re (3.31) K 9

58 3. EQUAÇÕES MACROSCÓPICAS GOVERNANTES DO PROBLEMA DE FLUXO DE FLUIDOS onde d é o dâmetro médo do grão. Na prátca o fator beta é encontrado com os dados de velocdade e gradente de pressão para város números de Reynolds. também é uma propredade do meo poroso e é constante no regme de Forchhemer. Uma sére de expressões empírcas e analítcas foram propostas para estmar o fator beta e a mas smples delas é a equação de Ergun. A equação de Ergun fo modelada para uma coleção de esferas e para condutos clíndrcos com ajuda de um modelo tubular. Nesta proposta tanto o fator beta quanto a permeabldade são proporconas ao dâmetro da partícula e à porosdade do meo. A correlação de Ergun é: (1 ) uf (1 ) uf p (3.3) 3 3 d d e K são obtdos por smlardade com a equação de Darcy-Forchhemer (Eq. (3.30)): (1 ) (3.33) d 3 d K 150(1 ) (3.34) A equação de Ergun, assm como outras correlações empírcas dsponíves na lteratura, fo desenvolvda para um meo poroso partcular, portanto ela não é aplcável em qualquer caso. As correlações empírcas tratam o meo poroso como um meo contínuo, e como resultado, tanto a dstrbução de fluxo quanto a das partículas não são dentfcadas. Por outro lado, os métodos numércos podem resolver as equações de fluxo em cada poro e no contorno dos sóldos, de forma a produzr a dstrbução de fluxo no domíno a partr da qual podem ser formuladas ou verfcadas correlações empírcas TORTUOSIDADE O fluxo de fludos através de meos porosos é nfluencado por propredades mcroscópcas do meo como o volume e a estrutura do espaço poroso. A quantdade de espaços vazos é quantfcada pela porosdade do meo enquanto que o percurso complexo por estes espaços é quantfcado com uma propredade conhecda como tortuosdade, defnda por Kozeny-Carman como o segunte fator: L L e m (3.35) L m é o comprmento do meo poroso em uma dreção enquanto que L e é o comprmento realmente percorrdo pelas partículas de fludo dentro do meo poroso. Maor tortuosdade de 30

59 3. EQUAÇÕES MACROSCÓPICAS GOVERNANTES DO PROBLEMA DE FLUXO DE FLUIDOS um meo poroso mplca em menor permeabldade e em fatores betas maores, ou seja, a tortuosdade não está presente na equação de Darcy-Forchhemer, mas fca refletda no coefcente de permeabldade e no fator beta de Forchhemer. Não há métodos estabelecdos para medr a tortuosdade, porém ela tem sdo estmada expermentalmente usando ressonânca magnétca nuclear (Rgby e Gladden, 1996) e numercamente a partr de smulações de fluxo (Nabovat & Sousa, 007). 31

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61 4. MODELO LATTICE BOLTZMANN PARA SIMULAÇÃO DE FLUXO DE FLUIDOS 4 MODELO LATTICE BOLTZMANN PARA SIMULAÇÃO DE FLUXO DE FLUIDOS Os modelos lattce-boltzmann são métodos para smulação de fluxo de fludos e de uma grande varedade de processos que podem ser descrtos no nível macroscópco com equações dferencas parcas. Neste capítulo é apresentado o modelo lattce Boltzmann BGK, medante uma expansão mult-escala é demostrado que o método recupera adequadamente a hdrodnâmca macroscópca de um fludo a partr de uma descrção mesoscópca, o que o valda para smular este tpo de problemas. Condções de contorno e acuráca do método também são analsadas. 4.1 VARIÁVEIS DISCRETAS Os problemas da dnâmca de fludos possuem um número nfnto de graus de lberdade, pos as quantdades consderadas são campos espacalmente estenddos. Por sua vez, os computadores manpulam um número fnto de varáves e as representam com uma precsão fnta. Então, os campos estenddos espacalmente devem ser substtuídos por uma sére de valores escalares que são aproprados para a nvestgação numérca do problema em um processo chamado de dscretzação espacal do problema. Uma forma de dscretzar o espaço é dvd-lo em células. Neste caso, uma representação numérca do fludo consste de uma sére de números que representam o valor médo de uma varável do fludo em uma célula. Outra abordagem consste em substtur os campos espacalmente estenddos pelo seu valor em uma dada população fnta de pontos no espaço. O método de Lattce-Boltzmann segue este ponto de vsta em que o espaço é dscretzado em uma malha regular com espaçamento fxo entre os pontos. Para uma sub-amostra cúbca de um sstema trdmensonal de tamanho l 0 l 0 l 0 (Fgura 4.1) o sstema coordenado é defndo de forma a se ter um vértce do cubo posconado na orgem e o vértce oposto na posção l0e1 l0e l0e3. Neste caso, l 0 pode representar um comprmento característco do domíno geométrco do problema, como menconado na admensonalzação da equação de Naver-Stokes. O cubo e representado numercamente por N pontos r jk, com, j, k = 0... N - 1, posconados em rjk e1 x je x ke3 x. Esses pontos são chamados de pontos da malha. O espaçamento da malha / ( 1) x l0 N que é gual à dstânca entre dos pontos vznhos da 33

62 4. MODELO LATTICE BOLTZMANN PARA SIMULAÇÃO DE FLUXO DE FLUIDOS malha. Um campo escalar ( rt, ) é representado por N 3 valores () t, que são aproxmações numércas de ( r, t). jk jk l 0 r e e,1,0 1 x 3 x x e 3 l 0 e e 1 x x l 0 Fgura 4.1. Dscretzação espacal de uma sub-amostra cúbca em um modelo lattce Boltzmann. O exo temporal também é dscretzado com um conjunto fnto de passos de tempo dstrbuídos em ntervalos guas tal que tnt N t t. Na representação numérca adotada aqu a varável dependente do tempo f() t é substtuída por uma aproxmação numérca. Fnalmente, a expressão f ( r, t ) é usada para representar a aproxmação numérca (e não o valor exato) de f na posção r jk no passo de tempo t Nt. jk Nt 4. MODELOS LATTICE BOLTZMANN Os modelos lattce Boltzmann são baseados nos modelos lattce Gás Autômata Celular (LGAC), ambos utlzam a mesmo tpo de malha e executam a colsão da mesma forma. Porém, os modelos LGAC usam partículas ndvduas enquanto que o lattce Boltzmann usa funções contínuas de dstrbução de partículas que nteragem localmente se propagando para os nós vznhos logo após da colsão (Wolf-Gladrow, 005). As fórmulas do modelo lattce Boltzmann são dervadas teorcamente por meo de dferentes abordagens. O método pode ser vsto como uma versão contínua dos modelos 34

63 4. MODELO LATTICE BOLTZMANN PARA SIMULAÇÃO DE FLUXO DE FLUIDOS lattce gás autômata celular ou dervado da equação contínua de Boltzmann (He & Luo, 1997). A equação de Boltzmann consdera o movmento de moléculas em um gás e descreve seu comportamento estatstcamente no nível contínuo. Por este motvo, a teora por trás da equação de Boltzmann é frequentemente chamada de teora cnétca. Por extensão, o método de lattce Boltzmann às vezes é chamado de esquema cnétco de malha e as quantdades estudadas de varáves cnétcas. Cada nó de uma smulação de lattce Boltzmann tem um conjunto de q varáves = 0... q - 1, chamadas de funções de dstrbução de partículas. Cada uma dessas funções é responsável por levar a nformação de um nó para os vznhos, a posção do nó vznho é defnda por um vetor c que aponta na dreção do nó da malha. O vetor c é característco da malha e não depende do espaço ou do tempo. A Fgura 4. apresenta um modelo bdmensonal com nove dreções denotado como DQ9. A segunte regra geral para a evolução de um modelo lattce Boltzmann mostra o papel do vetor c : f, f ( r c, t 1) f ( r, t) (4.1) onde os termos da esquerda ndcam a propagação das dstrbuções de partículas na dreção do vetor c e é o operador de colsão, que descreve como nteragem os q valores de f defndos no mesmo nó em um passo de tempo t. A Eq. (4.1) está escrta em undades de malha, nas quas tanto o espaçamento entre dos nós adjacentes como os ntervalos de tempo entre uma teração e a subsequente são untáros. Esta abordagem dfere da usada comumente em outros esquemas numércos nos quas é usado um sstema de undades admensonal (tem 3..6) Fgura 4.. Malha bdmensonal com 9 velocdades (DQ9) (Durand et al., 01). As varáves macroscópcas densdade ( ) e velocdade ( u ) são defndas localmente 35

64 4. MODELO LATTICE BOLTZMANN PARA SIMULAÇÃO DE FLUXO DE FLUIDOS como momentos das funções dstrbução: 1 1 q cf 0 u (4.) q1 f (4.3) 0 Para manter a notação mas smples a faxa de varação da varável não se fará explcta quando apareça uma somatóra de todas as funções de dstrbução, p. ex., a soma dos q elementos da varável f, q1 f 0 é escrta como f. O operador de colsão mas usado é chamado de operador de BGK e mplementa uma dnâmca de relaxação para um equlíbro local com um parâmetro de relaxação : O parâmetro de relaxação fludo pela equação: O equlíbro local é defndo como: BGK eq ( f f ) (4.4) está dretamente lgado à vscosdade csalhante dnâmca do 1 1 c s (4.5) ( eq) 1 1 f t 1 c : u Q 4 uu (4.6) cs cs que é uma aproxmação da função de Maxwell-Boltzmann para temperatura constante e número Mach baxo. Esta função descreve a dstrbução das velocdades das partículas em um gás. O tensor Q é defndo como Qc c c I (4.7) s a constante c s é a velocdade do som do modelo e este parâmetro, assm como os q parâmetros t, são constantes da malha. Concetualmente, a constante c s pode ser escolhda lvremente adotando-se um valor do peso da partícula no repouso t 0 que permta recuperar algumas smetras da malha. Na prátca c 1/ 3 é o valor numercamente mas estável, portanto é o s mas usado. O modelo de lattce Boltzmann é defndo por dos ngredentes báscos: os detalhes do operador de colsão e t. e a estrutura da malha, defnda pelas constantes q, c s, c 4.3 ESTRUTURA DA MALHA Uma malha (lattce) com q dreções dscretas em um nó, defnda em um espaço com D 36

65 4. MODELO LATTICE BOLTZMANN PARA SIMULAÇÃO DE FLUXO DE FLUIDOS dmensões é comumente dentfcada pelo nome de malha DDQq. A smetra da malha é mportante para recuperar assntotcamente as equações macroscópcas, p. ex., um tensor de quarta ordem, formado pelo produto dos vetores da malha, faz parte do termo de advecção e deve ser sotrópco, outras restrções serão explcadas na expansão de Chapman-Enskog (tem ). Em fluxos sotérmcos basta consderar estruturas nas quas os vetores da malha c apontam para os nós na vznhança medata, chamados de vznhos mas próxmos. Os pesos t são usados para consderar vetores de comprmentos dferentes. Toda malha tem três tpos de pesos: o peso correspondente ao vetor de velocdade zero c 0, pesos para baxas velocdades e pesos para as altas velocdades. Em D as baxas velocdades são aquelas paralelas aos lados da malha e tem comprmento gual a 1, enquanto que as altas velocdades seguem dreções dagonas e tem comprmento gual a. A Tabela 4.1 resume as varáves da estrutura mas utlzada na smulação de fluxos sotérmcos em duas dmensões, a DQ9 (Fgura 4.). c s 1 3 Tabela 4.1. Estrutura da malha DQ9 4 c0 (0,0) t 9 1 c1 (1,0); c (0,1); c3 ( 1,0); c4 (0, 1) t 9 1 c5 (1,1); c6 ( 1,1); c7 ( 1, 1); c8 (1, 1) t ANÁLISE MULTI-ESCALA DE CHAPMAN-ENSKOG Dervar a equação de Naver-Stokes a partr da equação de Boltzmann é de nteresse fundamental e prátco, p. ex., ao aplcar alguns modelos dos processos de colsão mcroscópca são obtdas fórmulas explctas para os coefcentes de transporte. A dervação da equação de Naver-Stokes a partr da equação de Boltzmann é conhecda como a expansão de Chapman-Enskog. Este método fo desenvolvdo por Chapman e Enskog entre 1910 e EXPANSÃO EM SÉRIES COM SEPARAÇÃO DE ESCALAS Neste tem é nspeconada a equação de evolução dos métodos de lattce-boltzmann (Eq. (4.1)) por meo de uma expansão de Taylor truncada e uma análse mult-escala. Os resultados 37

66 4. MODELO LATTICE BOLTZMANN PARA SIMULAÇÃO DE FLUXO DE FLUIDOS são usados para mostrar que um método lattce-boltzmann específco resolve assntotcamente a dnâmca da equação dferencal parcal macroscópca desejada SIMETRIAS DA MALHA Para que a malha seja adequada para uma smulação de lattce Boltzmann, um conjunto de condções de smetra deve ser verfcado para que a smulação reproduza assntotcamente a equação dferencal parcal. Por exemplo, o modelo BKG para fludos requer uma constante c s e um conjunto de pesos ( t ) para as velocdades da malha ( c ) que verfquem as seguntes relações: 4 ( a) t 1 ( c) tc c cs ( e) c c c c cs ( ) ( b) t c 0 ( d) t c c c 0 ( f ) t c c c c c 0 (4.8) Notação ndcal fo usada nas expressões anterores para ndcar as componentes dos tensores, onde fo ntroduzdo o tensor smétrco delta de Kronecker ( ), que é equvalente à matrz dentdade ( ), portanto a expressão c s equvale a c c c s. Observa-se que na notação ndcal é omtdo o símbolo do somatóro. A repetção do subscrto ndca a soma sobre os tensores resultantes das operações ndcadas pela notação ndcal, a qual usa os algarsmos gregos. Como dto anterormente, exste lberdade na escolha do valor de velocdade do som em uma smulação. c s, em deduções posterores será mostrado que este parâmetro é gual à As equações (4.8) também podem ser vstas como propredades de ortogonaldade entre vetores da malha defndos no espaço vetoral c c q. O prmero desses vetores de malha é chamado de 0 e é defndo como: O segundo é um conjunto de d vetores de malha defndos como: 1 Por últmo, é ntroduzdo um conjunto de q. (4.9), c para 0... D 1 e 0... q. (4.10) D vetores de malha:, Q para, 0... D 1 e 0... q, (4.11) onde o tensor smétrco Q Q fo defndo na Eq. (4.7) e os vetores cumprem a relação devdo à smetra do tensor, logo a Eq. (4.11) defne só DD ( 1) / vetores 38

67 4. MODELO LATTICE BOLTZMANN PARA SIMULAÇÃO DE FLUXO DE FLUIDOS ndependentes em vez de D. Defne-se aqu o produto escalar entre dos vetores a e b no espaço q como sendo: a b t a b. (4.1) Com sto, é fácl conclur que os vetores de malha defndos na Eq. (4.8) são ortogonas entre s, mas não necessaramente untáros: (4.13) 0 0 (4.14) 1 0 (4.15) (4.16) 1 1 cs 4 c s I (4.17) ( ) (4.18) O fato de a Eq. (4.18) expressar uma relação de ortogonaldade entre todos os vetores da famíla fca claro quando o tensor resultante de um produto escalar entre estes vetores é contraído com um tensor arbtráro T : T c ( T T ). (4.19) 4 s O espaço vetoral com q dmensões ntroduzdo neste capítulo é de nteresse teórco e técnco. Para explcar sto são ntroduzdas as funções de dstrbução de partículas não ponderadas: h f / t (sem soma mplícta em ) (4.0) As funções são nterpretadas como vetores em q, portanto o subscrto pode ser gnorado. As varáves hdrodnâmcas em um modelo lattce-boltzmann, ntroduzdas como momentos das funções de dstrbução nas Eq. (4.) e Eq. (4.3), podem ser renterpretadas como projeções de h sobre os vetores da malha. Por exemplo, a densdade de massa é calculada como 0 h e o momento como u 1 h. Este ponto de vsta é útl porque os termos que desaparecem nos cálculos algébrcos a segur podem ser nterpretados como projeções entre vetores ortogonas. A pesar de as equações (4.8) serem fundamentas para os modelos de lattce Boltzmann BGK exstem modelos Boltzmann que trabalham em malhas com smetras fracas. Por 39

68 4. MODELO LATTICE BOLTZMANN PARA SIMULAÇÃO DE FLUXO DE FLUIDOS exemplo, o modelo apresentado por d Humères et al. (001), trabalha bem em uma malha com treze velocdades em três dmensões (D3Q13). Por outro lado, modelos chamados de térmcos requerem propredades de smetra adconas, e devem usar um conjunto de velocdades que nclu nterações com os vznhos ao lado dos vznhos mas próxmos EXPANSÃO MULTIESCALA Os modelos Lattce-Boltzmann com um operador de colsão genérco ( ) são defndos pela equação de evolução Eq. (4.1). O lado esquerdo desta equação pode ser expanddo em uma sére de Taylor de segunda ordem: f ( r c, t 1) f ( r, t) 1 ( t c ) f ( t t c : cc ) f (4.1) Para relaconar a equação de lattce-boltzmann com alguma equação dferencal parcal é necessáro separar formalmente escalas de tempo dferentes. Desta forma os fenômenos físcos que acontecem nas dferentes escalas são dscutdos separadamente, contrbundo ndvdualmente para as equações de movmento fnas. Para consegur sto a dervada no tempo é expandda em termos de um parâmetro : (4.) 3 t t1 t ( ) onde o parâmetro é a quantdade pequena ( 1), que é frequentemente dentfcado como o número admensonal de Knudsen ( Kn ): Kn f (4.3) onde f é o camnho lvre médo de uma molécula de gás e l 0 é uma escala de comprmento macroscópca. Esta termnologa é motvada por uma análse dmensonal da equação de Boltzmann. Como resultado da expansão mult-escala truncada a equação de lattce Boltzmann (e a de Naver-Stokes) só é válda para fluxos com número de Knudsen baxos não sendo adequada para gases dluídos ou mcrofludos. O símbolo l 0 também pode ser consderado como uma dentfcação (label) da ordem de magntude dos erros relatvos de cada termo, sendo dspensado ao fnal dos cálculos fazendo 1(Wolf-Gladrow, 005). A dervada espacal não é expandda além do termo de prmera ordem: (1) ( ) (4.4) A função de dstrbução é expandda de forma smlar começando com uma contrbução 40

69 4. MODELO LATTICE BOLTZMANN PARA SIMULAÇÃO DE FLUXO DE FLUIDOS de ordem zero: f f f f (0) (1) () 3 ( ) (4.5) Da expansão em séres de Taylor Eq. (4.1), conclu-se que o termo de colsão não possu contrbuções constantes em relação ao parâmetro, ou seja, 0, então: (0) ( 1) ( ) 3 ( ) (4.6) Uma expansão até os termos de segunda ordem em relação ao parâmetro parece ser sufcente para recuperar a equação de Naver-Stokes, mas na dnâmca do lattce Boltzmann aparecem termos de ordem superor, conhecdos como termos de Burnett, que também podem ser calculados. Substtundo as expansões em escalas separadas, Eqs. (4.), (4.4), (4.5) e (4.6), na expansão em séres de Taylor, e neglgencando os termos de ordem ( 3 ), chega-se na versão em escalas separadas da equação de evolução: ( ) ( ) ( c c : c c )( f ( ) f ( ) )(4.7) t1 t 1 t t LEIS DE CONSERVAÇÃO As varáves macroscópcas do fluxo são defndas como momentos das funções de dstrbução de partículas. Isto leva à defnção do momento escalar de ordem zero ρ, momento vetor de prmera ordem j e momento tensor de segunda ordem Π: f, (4.8) j c f (4.9) I Π Q f (4.30) A dnâmca do fluxo pode ser expressa as les de conservação aplcadas a alguns desses momentos. A conservação global de uma quantdade macroscópca é expressa localmente por um nvarante de colsão, p. ex., a conservação de massa em um fludo é forçada pela conservação de massa durante a colsão entre partículas. O nvarante de colsão sgnfca que a projeção do operador de colsão não ponderado ( / t ) sobre os correspondentes vetores é nula. Balanço do momento de ordem zero (conservação da massa): A conservação da massa é garantda pelo nvarante local de colsão 41

70 4. MODELO LATTICE BOLTZMANN PARA SIMULAÇÃO DE FLUXO DE FLUIDOS e pela segunte condção: 0 (4.31) (0) f f (4.3) Desta forma se entende ntutvamente que as varáves conservadas são momentos das funções de dstrbução de partículas de ordem zero ( f (0) ), como o operador de colsão age sobre as dstrbuções f (1), as varáves conservadas permanecem guas durante a colsão. Alternatvamente, as Eqs. (4.31) e (4.3) podem ser vstos como smples requstos técncos para achar um esquema de lattce-boltzmann que leve à equação de Naver-Stokes. Se o nvarante de colsão, Eq. (4.31), é expanddo separadamente sobre as escalas partndo da Eq. (4.7), chega-se na segunte expressão para a escala : f c f (1) (0) (0) t1 1 (1) (0) t1 1 j 0 e, (4.33) onde fo aplcado o somatóro e o momento das funções de ordem zero, Eq. (4.3), fo substtuído. No caso da escala parâmetro no numerador. alguns termos são elmnados por fcarem com o pequeno 1 f f c f f c f () (1) (0) (1) (0) (0) t1 t 1 t1 1 1 Q (0) 11: ( cs I) f (4.34) Ao aplcar o somatóro e substtur os momentos Eqs. (4.8), (4.9) e (4.30), chega-se na expressão segunte: () (1) (0) (0) t 1 j t1 t1 1 j 1 1 : cs 1 0 Π (4.35) que também é gual a zero pela condção de nvarante. Ao combnar as expressões para as duas escalas, Eq. (4.33) e (4.35), elmna-se o termo de segunda ordem da dervada temporal ( t1 ) fcando a expressão: (1) (0) 1 (0) 1 t 1 j t11 j 11 : Π cs1 0 (4.36) Conservação do momento de prmera ordem (momento lnear): Um termo fonte de 4

71 4. MODELO LATTICE BOLTZMANN PARA SIMULAÇÃO DE FLUXO DE FLUIDOS prmera ordem é adconado ao momento de prmera ordem: F (1) F (4.37) Este termo fonte representa uma força externa agndo sobre o fludo. Dependendo dos requermentos específcos para o modelo numérco um termo fonte correspondente pode anda ser adconado ao momento de ordem zero. Isto permtra, por exemplo, chegar à equação de advecção-dfusão com termos fonte. O nvarante de colsão de prmera ordem neste caso é: c F (4.38) Analogamente ao momento de ordem zero, o momento de prmera ordem só deverá depender da função de dstrbução de partículas de ordem zero. Um termo de correção devdo à força F deve ser adconado por motvos que fcarão claros mas adante: F j c f c f (4.39) (0) A contrbução da escala à equação anteror é: c 1c f 1 ( Q c I ) f (4.40) (1) (0) (0) t s Substtundo os somatóros pelos momentos das funções obtém-se: Aplcando o operador gradente na expressão anteror e reorganzando os termos, obtémse: (1) (0) (0) (1) c t1 j 1 Π c s1 F (4.41) j F : Π c (4.4) (0) (1) (0) 1 t s 1 A Eq. (4.39) é operada da mesma forma para chegar à segunte expressão para a escala : (1) 1 (1) 1 j 1 F (4.43) As Eqs. (4.43) e (4.4) são substtuídas na expressão do balanço de massa, Eq. (4.36), cancelando a dervada temporal: 0 (4.44) t Ou seja, a expressão do nvarante de colsão para o balanço de massa, Eq. (4.33),reúne todas as contrbuções das dervadas temporas, portanto pode ser expressa como: (0) t 1 j 0. (4.45) que é a equação de contnudade ou de balanço de massa. O termo de força adconado na Eq. 43

72 4. MODELO LATTICE BOLTZMANN PARA SIMULAÇÃO DE FLUXO DE FLUIDOS (4.39) fo requerdo para cancelar as contrbuções errôneas da força à equação de contnudade. As contrbuções de ordem (ϵ ) à Eq. (4.39) são: c c f c f ( Q c I) f () (1) (0) (1) t1 t 1 s c f ( Q c I) f Π : R (0) (0) (0) (0) t1 t1 1 s 1 1 onde fo ntroduzdo o tensor de tercera ordem R R c c c f (0) (0) (4.46). Para elmnar a dervada de segunda ordem no tempo da expressão anteror, obtém-se a dervada temporal da Eq.(4.41): j F Π c (4.47) (0) (1) (0) t1 t1 1 s 1 O mesmo procedmento é aplcado à equação do momento de prmera ordem, Eq. (4.39). Tas expressões smplfcam a Eq. (4.46) para: (0) (1) 1 (0) 1 1 (0) t j 1 Π t11 Π cs t : R 0. (4.48) Fnalmente, os termos ( ) e ( ), Eqs. (4.40) e (4.46), são combnados para formar a equação completa de conservação de momento: (0) (0) (0) t j Π cs I t1 Π cs I 1 R F (4.49) Esta equação está escrta na forma de dvergênca. No próxmo tem será desenvolvdo um operador de colsão de forma a obter uma correspondênca exata entre os termos na Eq.(4.49) e é obtda a equação de conservação macroscópca, Eq. (3.4), onde o termo de prmera ordem Π c I pode ser dentfcado com uu pi e os termos restantes de segunda ordem com (0) s. Uma característca atraente dos modelos Lattce-Boltzmann é que eles conseguem a reproduzr as les de conservação sem erro. De fato, as les de conservação prescrtas para o operador de colsão, Eq. (4.31) e Eq.(4.38), decorrem do fato de que as varáves conservadas e j produzem o mesmo valor ndependentemente de serem calculados a partr de funções de dstrbução de entrada f ou de funções de dstrbução de saída f. Isto mplca que a méda espacal destas varáves não muda durante a evolução do tempo, a não ser que um termo fonte seja ntroduzdo no contorno do domíno ou por uma fonte externa de momento F. Porém, é claro que uma mplementação numérca dos modelos LB exbe erros nas les de 44

73 4. MODELO LATTICE BOLTZMANN PARA SIMULAÇÃO DE FLUXO DE FLUIDOS conservação devdo à precsão lmtada das representações de ponto flutuante em um computador (Latt, 007). 4.5 FLUXO DE FLUIDOS: ANSATZ DE CHAPMAN-ENSKOG O operador de colsão é representado pelo termo de relaxação BGK (Bhatnagar, Gross & Krook) com correções: Os termos de força eq ( f f ) FT CT (4.50) FT e de correção CT são produzdos sobre os vetores de prmera e segunda ordem 1 e, segundo a abordagem descrta por Guo et al. (00), da segunte forma: a* b FT t c F t Q : ( Fu uf) (4.51) 4 cs cs onde o termo com o fator a* é acrescentado ao momento total do sstema e representa a contrbução de uma força na conservação do momento lnear de momento e o termo com o fator b age sobre o momento de tercera ordem, corrgndo os erros numércos do termo de força devdo às dervadas temporas de segunda ordem. O termo de correção é: CT c t Q : Π. (4.5) 4 c s onde fo ntroduzdo um termo que corrge a defcênca numérca do modelo. A função de dstrbução de equlíbro eq f é construída de forma a ter um termo de colsão que respete as les de conservação apresentadas no tem anteror. Os momentos das funções de dstrbução de partículas devem ser tas que a equação de conservação de momento, Eq. (4.49), seja equvalente à equação de Naver-Stokes. Para lograr sto, os momentos das funções de dstrbução são expanddos sobre os vetores base obtendo-se a expressão defnda na Eq. (4.6). A dnâmca descrta pelas equações (4.50), (4.5) e (4.6) só pode ser usada para resolver a equação de Naver-Stokes quando a velocdade relatva 0, u/ c s é pequena. Essa relação é da mesma ordem de grandeza do número admensonal de Mach ( Ma ) e erro numérco de escala 1 e até a tercera ordem do número de Mach 3 ( Ma ). Portanto, os termos que multplcam até a tercera ordem do número de Mach serão neglgencados. Adconalmente, assume-se que as varações da densdade com o tempo são de uma ordem de grandeza gual ou nferor à do número de Mach: 45

74 4. MODELO LATTICE BOLTZMANN PARA SIMULAÇÃO DE FLUXO DE FLUIDOS ( ) ( Ma) (4.53) t Esta suposção e compatível com os resultados da teora cnétca dos gases próxmos do lmte sotérmco (Landau & Lfshtz, 1976). Perto do lmte ncompressível as varações da densdade escalam como o quadrado do numero Mach, a restrção da Eq. (4.53) é menos restrtva e permte que o modelo possa ser levado além do seu lmte de ncompressbldade. No caso em que a equação de lattce Boltzmann também pode ser dervada por dscretzação da equação contínua de Boltzmann a dstrbução de equlíbro corresponde a uma dstrbução Maxwellana das velocdades (Wolf-Gladrow, 005). Algumas propredades de smetra descrtas na Eq. (4.8) permtem provar que o termo de colsão na Eq. (4.50) conserva a massa (Eq. (4.31)). A conservação do momento de prmera ordem (momento lnear, Eq. (4.38)) é provada com as smetras e a Eq. (4.39): c a* F (4.54) Para que a Eq. (4.38) seja respetada o valor da constante a* deve ser a* 1. (4.55) As equações governantes do modelo lattce Boltzmann para fludos sotérmcos são a equação de contnudade, Eq. (4.45), e a de conservação do momento lnear, Eq. (4.49). Para achar os demas termos nessas equações deve ser defnda uma separação de escalas para a função de dstrbução de partícula f. Na aproxmação de Chapman-Enskog o modelo é expanddo em torno do termo de equlíbro local, ou seja, o termo de equlíbro é dentfcado como (0) f : f (0) eq f. (4.56) Ao usar todas as propredades de smetra lstadas na Eq. (4.8) obtêm-se os termos de ordem zero: (0) j u (4.57) (0) Π uu (4.58) R c ( ( u) ( ( u)) ( u) I ) (4.59) T 1 s Usando a Eq. (4.56) e escrevendo os termos da expansão em séres de Taylor de prmera ordem, como feto na Eq. (4.7), obtém-se: até a 46

75 4. MODELO LATTICE BOLTZMANN PARA SIMULAÇÃO DE FLUXO DE FLUIDOS (1) t f ( t1 1 c ) 1 c : ( ) u Q 4 uu FT CT cs cs t 1 1 t1 t1( c u) 4 t1( Q : uu) (4.60) cs cs 1 1 c 1 c : c 1( u) ( c 1)( Q : uu) ( FT CT ) cs As dervadas temporas na equação anteror são substtuídas por dervadas espacas obtdas ao substtur as expressões a segur. Da Eq. (4.33) combnada com a Eq. (4.57) obtémse: (4.61) t1 1 u. A Eq. (4.41) combnada com o momento de segunda ordem da função de dstrbução (4.58) fornece: ( c u) c F c : uu c (4.6) c c c (1) t1 1 1 s s s Substtundo a dervada temporal da Eq. (4.61) e neglgencando os termos 3 ( Ma ) resultantes obtém-se: 4 t1 4 t1 t1 t1 s cs 4 s 3 ( Ma ) 1 1 Q : ( uu) Q : ( ( u) u u ( u) ( ) uu) c 1 = Q: c 4 s t1 ( uu ) (por smetra de Q) 3 ( Ma ) 1 (1) = Q: F 1( uu) cs1 u (da equação ncal) c 1 (1) = Q : 4 F cs1 u. cs (4.63) Substtundo todos os termos na Eq.(4.60) obtém-se a segunte expressão para as funções de dstrbução de prmera ordem: (1) t 1 f : Q 1u c1 : uu ( c 1)( Q : uu) cs cs 1 t ( b 1) t ct c F Q : ( Fu uf) Q : Π c c c 4 4 s s s Quando as funções de dstrbução são projetadas sobre os vetores de (4.18) chega-se em: (4.64) usando a Eq. 47

76 4. MODELO LATTICE BOLTZMANN PARA SIMULAÇÃO DE FLUXO DE FLUIDOS (1) (1) cs ( b1) c Π Q f S ( Fu uf ) Π (4.65) onde S é o tensor de taxa de deformação defndo na Eq.(3.7). Para achar o termo desconhecdo se derva o tensor obtendo: lnear: (0) Π com as mesmas consderações que levaram à Eq. (4.63), (0) (1) (1) t1 t1 s 1 1 Π ( uu) F u uf c ( ) u u( ) (4.66) Substtundo as expressões anterores chega-se na segunte equação para o momento (1) 1 (0) b 1 1 cs 1 Π t1π ( Fu uf) S + cs( u) I. (4.67) Na equação anteror o termo de força está acompanhado de um termo não desejado que é elmnado assumndo o segunte: b 1. (4.68) O termo de correção Π não é consderado e, portanto c é gualado a 0. Esta escolha de constantes leva às seguntes equações: onde o tensor de tensão desvadora é ( u) 0 (4.69) t u c I uu τ F (4.70) t( ) ( s ) τ S (4.71) e a vscosdade dnâmca csalhante é relaconada com o parâmetro de relaxação assm: 1 1. c s (4.7) As equações dferencas parcas dervadas na análse multescala são guas às equações de conservação macroscópcas ntroduzdas na seção ACURÁCIA DOS MÉTODOS LATTICE BOLTZMANN Na análse mult-escala a equvalênca entre o método lattce Boltzmann e a equação dferencal parcal macroscópca assocada é alcançada desenvolvendo uma sére de Taylor fnta da equação de evolução f ( r c t, t 1) f ( r, t). Como a sére é truncada no termo de segunda ordem é comum dzer que o lattce Boltzmann é um método precso até segunda 48

77 4. MODELO LATTICE BOLTZMANN PARA SIMULAÇÃO DE FLUXO DE FLUIDOS ordem em tempo e espaço. O sgnfcado da acuráca espacal de um método numérco fca mas claro quando consderado um sstema estaconáro (ndependentes do tempo), onde uma solução numérca u ( ) n r é comparada com uma solução exata do problema vr ( ). Uma abordagem comum para defnr a acuráca numérca é dzer que o método é da ordem de h x no espaço quando exste uma constante que cumpre a relação segunte: onde a somatóra é sobre todos os nós da malha. ( un( r) v( r) ) r h x (4.73) N A acuráca no tempo pode ser defnda para fluxos peródcos, com frequênca F. Analogamente, o método é dto com acuráca de ordem constante que cumpre a relação segunte: h t no tempo quando exste uma ( un( r, t) v( r, t) ) r h F t (4.74) N t onde o erro de dscretzação espacal é pequeno o sufcente como para ser neglgencado. Em alguns métodos numércos para a resolução de equações dferencas parcas as dervadas espacas são substtuídas por uma sére fnta de Taylor de ordem de h x e as dervadas temporas por séres até a ordem h t. Demonstrações formas ndcam que a acuráca espacal desses métodos é da ordem de h x e acuráca temporal é da ordem de h t, no sentdo das Eqs. (4.73) e (4.74). Intutvamente, pode-se argumentar que o método lattce Boltzmann possu uma relação smlar, embora não exsta uma prova formal da acuráca do mesmo ACURÁCIA DO MODELO PARA FLUIDOS INCOMPRESSÍVEIS Na smulação de fludos ncompressíves deve ser escolhdo um número de Mach baxo e é concluído que a dervada temporal da densdade relacona-se com o quadrado do número Mach ( t ( Ma )), portanto a densdade é descrta assntotcamente como uma constante ndependente do tempo. No método lattce Boltzmann a velocdade do som é uma constante da malha e o número de Mach do sstema é: u Ma (4.75) c s 49

78 4. MODELO LATTICE BOLTZMANN PARA SIMULAÇÃO DE FLUXO DE FLUIDOS A velocdade u no sstema lattce Boltzmann é proporconal aos parâmetros de dscretzação ( u / ), a velocdade do som é uma constante da malha e pode ser mudada x t adaptando o fator de peso para as partículas em repouso ( t 0), porém velocdades do som dferentes de 1/3 nduzem nstabldades numércas. Fnalmente, o número de Mach no sstema lattce é proporconal aos parâmetros de dscretzação e o erro por compressbldade escala como ( Ma) ( / ). x t Como o método lattce Boltzmann é de segunda ordem em acuráca o erro por dscretzação é proporconal ao quadrado da dscretzação espacal ( ). Se o erro por compressbldade e o erro por dscretzação são mantdos da mesma ordem em uma smulação lattce Boltzmann, obtém-se a segunte relação: (4.76) t que é uma restrção comum em outros esquemas numércos de solução de problemas de fluxo. x x x 4.7 CONDIÇÕES INICIAIS E DE CONTORNO Os modelos lattce Boltzmann não smulam dretamente a evolução de um fluxo, mas a dnâmca de populações de partículas que descrevem o fludo mcroscopcamente. A pressão macroscópca e os campos de velocdade são calculados faclmente a partr das populações de partículas, porém o procedmento oposto é bem mas complcado. Portanto, a mplementação de uma condção de contorno se resume a achar uma forma de traduzr as varáves de fluxo macroscópco para populações de partículas CONDIÇÕES DE CONTORNO No contorno de uma malha algumas populações de partículas são desconhecdas durante a evolução do método devdo à falta de nós correspondentes. Esta stuação é lustrada na Fgura 4.3 para um contorno no topo de uma malha DQ9 onde três populações de partículas desconhecdas são ndcadas por setas com traço descontínuo. O papel de uma condção de contorno é encontrar uma substtução para essas três populações e, potencalmente, para as ses populações restantes. A substtução feta deve ser consstente com a dnâmca do modelo e deve levar ao comportamento macroscópco desejado no contorno do domíno. 50

79 4. MODELO LATTICE BOLTZMANN PARA SIMULAÇÃO DE FLUXO DE FLUIDOS Fgura 4.3. Nó no topo de uma malha DQ9, a regão sombreada está fora do domíno. As populações desconhecdas são representadas pelos vetores lattce com traço descontínuo (Latt et al., 008) CONDIÇÕES DE CONTORNO PERIÓDICAS Condções peródcas são as mas smples entre todas e o domíno é tratado como um sstema fechado com bordas opostas conectadas. Desta forma as populações de partículas que saem de um contorno entram no contorno oposto e vce-versa. A topologa do domíno computaconal é um clndro quando a condção é aplcada em uma dreção (Fgura 4.4) e torodal quando aplcada em ambas as dreções (Fgura 4.5). Fgura 4.4. Topologa clíndrca do domíno computaconal quando aplcadas condções peródcas em uma dreção, a fenda no clndro é meramente lustratva, enfatzando como o domíno se enrola ao redor de s mesmo (Sukop & Thorne, 006). A mplementação deste tpo de condções de contorno é extremadamente smples, porém 51

80 4. MODELO LATTICE BOLTZMANN PARA SIMULAÇÃO DE FLUXO DE FLUIDOS sua aplcação é lmtada a casos onde os domínos sejam nfntos ou sem-nfntos. Fgura 4.5. Topologa torodal de um domíno computaconal peródco em ambas as dreções. As fendas no toróde lustram como o domíno se enrola ao redor de s mesmo (Sukop & Thorne, 006) CONDIÇÕES DE BOUNCE-BACK (REFLEXÃO) Nas paredes sóldas de uma smulação de fluxo geralmente é aplcada a condção de não escorregamento (non-slp) na qual a partícula de fludo se reflete na parede, retornando a dreção oposta à de ncdênca. Esta condção é mplementada no método lattce Boltzmann com um esquema conhecdo como a regra do bounce-back. Para utlzar o esquema bounceback pontos da malha devem ser nomeados como sóldos ou líqudos. Quando uma população de partículas parte de um nó fludo para um nó sóldo ela refletda de volta ao nó fludo com a mesma dreção de entrada como lustrado na Fgura 4.6 para um contorno em uma malha DQ9. Durante o processo teratvo as populações de partículas são armazenadas temporaramente dentro dos sóldos e reemergem no passo posteror. Para que o esquema bounce-back seja de segunda ordem em acuráca, o contorno físco deve ser consderado a meo camnho entre o nó sóldo e o nó fludo. Essa suposção fo proposta por Zou & He (1997) e é conhecda como regra de bounce-back ameo camnho. Condções de bounce-back são partcularmente fáces de mplementar e são umas das responsáves do sucesso do método lattce Boltzmann na smulação de fludos em geometras complexas como as encontradas em meos porosos. A mplementação da condção smplesmente requer de nomear os nós sóldos e não há tratamento adconal, portanto a ncorporação de magens de meos porosos é trval. 5

81 4. MODELO LATTICE BOLTZMANN PARA SIMULAÇÃO DE FLUXO DE FLUIDOS Antes da propagação Fludo Propagação Fludo Sóldo Sóldo Fludo Propagação Sóldo Bounce-back Fludo Sóldo Fgura 4.6. Condção de não-escorregamento nas paredes com a regra de reflexão em um lattce DQ9 (Durand et al., 01) CONDIÇÕES DE VELOCIDADE OU DE VON NEUMANN Uma condção de von Neumann restrnge o fluxo no contorno usando um vetor de velocdade u 0, as populações de partículas desconhecdas no contorno e a densdade (pressão) são calculadas de forma a manter a velocdade prescrta. Por outro lado, a densdade pode ser determnada a partr das populações conhecdas e da velocdade prescrta como explcado a segur. A densdade no contorno pode ser expressa como: (4.77) onde é a soma das populações de partículas desconhecdas, denota a soma das populações de partículas na dreção oposta às desconhecdas e é a soma das populações com vetor de malha nulo ou tangencal ao contorno. O momento normal ao contorno é calculado como: u, (4.78) onde u é a projeção da velocdade sobre uma normal ao contorno que aponta para fora do domíno, p. ex., para um nó no topo do domíno (Fgura 4.3) sera a componente vertcal da velocdade na dreção postva. Ao combnar as equações (4.77) e (4.78) obtém-se a expressão 53

82 4. MODELO LATTICE BOLTZMANN PARA SIMULAÇÃO DE FLUXO DE FLUIDOS segunte: 1 ( ), 1 u (4.79) que é ndependente da quantdade. Este método só pode ser aplcado em contornos retos; em outros tpos de contorno, p. ex., nós nas qunas, a nformação local dsponível pode ser nsufcente para calcular a densdade sendo necessáro extrapolar a densdade com as das células vznhas. Exstem na lteratura város tpos de condções de contorno para o modelo BGK. Latt et al. (008) classfcam as abordagens em dos tpos: métodos que conservam as populações conhecdas e métodos que substtuem todas as populações. Nos métodos que conservam as partículas, a ação da condção de contorno pode ser pensada como o efeto de um fludo fctíco localzado fora da malha numérca. Essa porção de fludo executa uma operação magnara nos nós do contorno e atrbu um valor às populações de partículas desconhecdas. No segundo tpo de condção de contorno, todas as populações de partículas no contorno são substtuídas e a dea de dnâmca magnara é abandonada. Os nós no contorno desenvolvem a mesma dnâmca que os nós no nteror do domíno, portanto os dos podem ser analsados nos mesmos termos teórcos. Em partcular, a análse multescala também é válda para os nós no contorno e as populações de partículas no contorno podem ser dvddas em uma componente em equlíbro ( f contrbução que não está em equlíbro f (0) eq ) e uma (1) f, Eq. (4.5). Uma restrção mportante para determnar os valores das populações de partículas é dada pelas les de conservação ou nvarantes de colsão ( 0 e F ). A conservação exata da massa local e do c momento lnear é o plar do método lattce Boltzmann, portanto é desejável que sto também seja respetado no contorno de uma smulação. A conservação da massa e do momento lnear é automatcamente verfcada fazendo que as equações f e j = c f exatamente o valor desejado. produzam De acordo com Latt et al. (008), condções de contorno que preservam as populações de partículas conhecdas são recompensadas por melhor acuráca em D, mas perdem essa vantagem em 3D; por outro lado, as últmas são mas estáves quando são smulados números de Reynolds maores. O método usado para mpor as condções de contorno neste trabalho conserva as populações de partículas conhecdas, fo proposto por Zou & He (1997) e é baseado na dea 54

83 4. MODELO LATTICE BOLTZMANN PARA SIMULAÇÃO DE FLUXO DE FLUIDOS de aplcar a regra do bounce-back às partes fora do equlíbro. No caso de um contorno superor em uma malha DQ9 (Fgura 4.3) a condção aplca a regra de bounce-back à população desconhecda na dreção perpendcular ao contorno: onde e g f (4.80) (1) (1) 4 g denota às populações de partículas desconhecdas. As populações desconhecdas (1) g 8 são calculadas forçando o valor da velocdade prescrta com na Eq. (4.9). (1) g 7 (1) (1) (1) (1) g 7 f 1 ( ) 5 f1 f (4.81) 3 (1) (1) (1) (1) g 8 f 1 ( ) 6 f3 f1 (4.8) O valor das populações de partículas desconhecdas é construído somando as partes em equlíbro com as não equlbradas: g g (4.83) eq (1) f (, u0) para 4,7,8. As populações conhecdas são mantdas guas: g f para 0,1,,3,5,6. (4.84) CONDIÇÕES DE PRESSÃO OU DE DIRICHLET Uma condção de Drchlet restrnge a pressão/densdade no contorno do domíno numérco. A solução para este tpo de condção de contorno segue o mesmo enfoque anteror. Neste caso a densdade 0 é prescrta e tanto as populações de partículas como a velocdade devem ser calculadas de forma a manter essa densdade prescrta. Assumndo que a componente da velocdade tangente ao contorno é gual a zero, calcula-se a componente normal da velocdade que aponta para o nteror do domíno ( u ) a partr das populações conhecdas: u 1 0 onde o símbolo negatvo ou postvo é dado pela dreção da componente da velocdade. (4.85) O método de Zou e He é usado novamente para resolver a condção de pressão no contorno esquerdo de uma malha com estrutura DQ9. Neste caso a população desconhecda com vetor paralelo à normal do contorno é (1) f 1, então: g f (4.86) (1) (1)

84 4. MODELO LATTICE BOLTZMANN PARA SIMULAÇÃO DE FLUXO DE FLUIDOS As outras duas populações desconhecdas g (1) 5 e (1) g 8 são calculadas forçando a densdade e a componente da velocdade tangente ao contorno prescrta ncalmente, obtendo-se: (1) (1) (1) (1) g 5 f 1 ( ) 7 f4 f (4.87) (1) (1) (1) (1) g 8 f 1 ( ) 6 f f (4.88) 4 O valor das populações de partículas desconhecdas é construído ao adconar ambas as partes em equlíbro e as em desequlíbro: g g (4.89) eq (1) f ( 0, u) para 1,5,8. As populações conhecdas são mantdas guas: g f para 0,,3, 4,6,7. (4.90) As soluções da condção de pressão/densdade e de velocdade podem ser dervadas analogamente para o resto dos contornos. O códgo de mplementação destas condções é apresentado no Anexo A CONDIÇÕES INICIAIS O estado ncal de um sstema só é mportante quando são estudados fluxos dependentes do tempo. Segundo Me et al. (006), na smulação de fludos ncompressíves com o método lattce Boltzmann BGK a abordagem comum consste em usar a função de dstrbução de equlíbro para ncalzar as populações de partículas. No caso de fluxos ndependentes, o campo de velocdades e o campo de densdade são defndos de forma a acelerar as smulações para alcançar mas rapdamente o estado estaconáro. No caso de fluxos dependentes do tempo Skordos (1993) propôs calcular as populações a partr da solução dreta da equação de Posson para obter a pressão e a densdade va a equação de estado e a parte não equlbrada com o procedmento de Chapman-Enskog. De acordo com Me et al. (006), na prátca a metodologa anteror é dfícl de mplementar, e propõem um procedmento teratvo para gerar condções ncas consstentes. Nesta metodologa a densdade é a únca varável conservada no sstema enquanto que o momento do fluxo é relaxado para o estado prescrto pelo campo de velocdades ncal. Já que o objetvo desta pesqusa é calcular parâmetros, é desejável chegar a um estado estaconáro. Portanto, a ncalzação das funções de dstrbução de partículas será feta de forma a acelerar as smulações para alcançar o estado estaconáro. 56

85 Estágo 1 Estágo Unversdade de Brasíla 5. METODOLOGIA 5 METODOLOGIA A metodologa usada nesta dssertação para aplcar o método lattce Boltzmann a problemas de fluxo em meos porosos pode ser resumda em dos estágos. O prmero estágo abrangeu o desenvolvmento de um códgo que mplementa o método de lattce Boltzmann com operador de colsão BGK. Este estágo nclu a valdação do códgo medante a smulação de problemas de referênca que possuem soluções acuradas ou que foram amplamente estudados ( benchmarks ). O segundo estágo consstu na aplcação do método a problemas de fluxo de fludos em meos porosos, vsando especfcamente a estmação de parâmetros do meo poroso. O algortmo descrto no fluxograma na Fgura 5.1 descreve brevemente a metodologa seguda neste estudo: Inco Desenvolvmento do códgo para o método lattce Boltzmann com operador BGK Smulação de problemas de referênca Valdação, resultados acurados? Sm Defnção das varáves físcas do problema de aplcação Não Estudo da resolução e dos parâmetros do método Revsão do códgo Execução das smulações Não Resultados satsfatóros? Sm Fm Comparação com resultados de outros autores Fgura 5.1. Fluxograma da metodologa seguda no presente estudo. Os detalhes de cada uma das etapas no processo do desenvolvmento do códgo são 57

86 5. METODOLOGIA explcados nos tens a segur. 5.1 IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA DO MODELO LATTICE BOLTZMANN BGK O modelo mplementado nesta dssertação é o lattce Boltzmann com operador de colsão BGK e tempo de relaxação únco. O esquema de malha usado é o DQ9, que possu nove velocdades em um espaço bdmensonal ALGORITMO O algortmo utlzado para mplementar o modelo lattce Boltzmann em uma malha numérca com estrutura DQ9 consste em terar a equação de evolução das funções de dstrbução de partículas com operador de colsão BGK, expressa como: eq f ( r c, t 1) f ( r, t) ( f ( r, t) f (, u)) (5.1) onde o lado esquerdo da equação é o termo de propagação e o lado dreto é o termo de colsão. Nos nós sóldos no nteror do domíno numérco não se aplca o operador de colsão descrto na Eq. (5.1), que é substtuído pela condção de reflexão, portanto a mplementação deve ser dvdda em duas partes (colsão e propagação) em cada teração. Adconalmente, condções de contorno devem ser aplcadas e varáves macroscópcas devem ser calculadas durante cada teração. As varáves macroscópcas de velocdade e densdade são calculadas em cada teração com as expressões: 8 1 u c f (5.) f (5.3) Usando os pesos da malha ( t ) e os vetores de velocdade ( c ) apresentados na Tabela 4.1 para uma malha DQ9 obtém-se a segunte expressão para a função de equlíbro: 9 3 eq f (, u) t 1 3( c u) ( c u) u u (5.4) A Tabela 5.1 apresenta o algortmo segudo no códgo mplementado nesta dssertação, dvddo em cnco sub-rotnas. Os nós da malha são dvddos em três tpos: nós de fludo, nós sóldos e nós com condção de contorno. Algumas sub-rotnas são executadas em todos os nós enquanto que outras só operam em um tpo de nó. As populações de partículas (nós sóldos) são ncalzadas a partr da função de equlíbro, pos não serão estudados fluxos dependentes 58

87 5. METODOLOGIA do tempo. Tabela 5.1. Algortmo utlzado na mplementação de um códgo para o modelo lattce Boltzmann BGK. Entrada: Valores ncas de 0 e u 0 e de condções de contorno Saída: Valores atualzados de e u para cada passo de tempo 0. Incalzação t = 0 * 0 0 bc e u bc eq f f (, u ) Eq. (5.4) Repetr: 1. Cálculo das varáves macroscópcas. (Todos os nós). Condções de contorno. (Nós no contorno). t t 1 f * e u Eqs. (5.) e (5.3) * bc f, e u f Eq. (4.77) a (4.90) bc bc 3. Bounce-back (Nós sóldos). f * f bb 4. Colsão. (Nós fludos). 5. Propagação para os nós vznhos. (Todos os nós). * 1 * ( eq f f f f ) 1 f bc* bc ( bc eq f f f ) bb bc f, f, f f * * Imprmr e u Eq. (5.4) com e u Eq. (5.4) com bc e u bc bc f : Função de dstrbução após condção de contorno, bb f : Função após do bounce-back O processo de dscretzação do domíno e a escolha dos parâmetros da smulação consttuem uma etapa préva à smulação e será analsada em detalhe em tens posterores. O códgo desenvolvdo nesta dssertação é apresentado detalhadamente no Anexo A. A lnguagem de programação utlzada para a mplementação do método fo Python na sua versão.7.3. A escolha desta lnguagem de programação para o desenvolvmento do códgo fo feta com o ntuto de usar uma lnguagem de alto nível, lvre, expressva, fácl de ler e de escrever (Ceder, 010). A baxa velocdade de execução de Python quando comparado com outras lnguagens é uma desvantagem que chega a ser compensada pelo pouco tempo que deve ser nvestdo no desenvolvmento dos códgos. A escrta dos códgos fo feta sob o ambente de desenvolvmento ntegrado do nterpretador CPython, chamado de IDLE da sgla em nglês (Integrated Development 59

88 5. METODOLOGIA Envroment). As rodadas dos códgos foram fetas no nterpretador PyPy, o qual possu velocdade de execução maor quando comparado com CPython. Os resultados das smulações foram escrtos em arquvos com formatação vtk, que é a formatação requerda pela ferramenta de vsualzação e pós processamento dos dados, chamada de Paravew. O computador usado para as smulações possu as característcas lstadas na Tabela 5.. Tabela 5.. Característcas do computador usado nas smulações Processador Intel Core 7-600K Memóra RAM Tpo de sstema 16 GB 64 Bts 5. SIMULAÇÃO DE PROBLEMAS DE REFERÊNCIA E VALIDAÇÃO DO MÉTODO Para valdar os resultados do códgo mplementado foram smulados dos problemas de referênca (benchmarks): fluxo tpo Poseulle e fluxo ao redor de um clndro sob város números de Reynolds. Estes problemas são de grande nteresse no campo da mecânca de fludos computaconal, pos possuem relações empírcas e/ou analítcas de acuráca reconhecda que podem ser usadas para valdar um modelo numérco ESCOLHA DAS UNIDADES As smulações com o método lattce Boltzmann devem representar a físca de um dado sstema real em um sstema dscreto. Portanto, as undades do sstema lattce devem ser escolhdas de forma a obter equvalênca com as undades do sstema real. Esta conexão é feta com ajuda dos números admensonas. Restrções própras do modelo e algumas relações entre as varáves da malha podem facltar a escolha dos parâmetros de smulação. Os efetos da compressbldade do modelo lattce Boltzmann aumentam com o quadrado do número Mach, Eq. (4.75), que é proporconal à velocdade. Portanto, deve ser escolhda uma velocdade de malha de forma a ter um número de Mach baxo e consequentemente reduzr o efeto da compressbldade. Uma abordagem comum consste em manter a velocdade lattce nferor a 0.1 (undades de malha por undade de tempo). Uma segunda restrção é devda à relação entre a vscosdade no sstema lattce e o parâmetro de relaxação na Eq. (4.7). Como a vscosdade deve ser sempre postva, o termo 1 deve ser mantdo maor do que 0.5, porém valores próxmos de 0.5 podem levar a 60

89 5. METODOLOGIA nstabldade numérca (Sukop & Thorne, 006). Por outro lado, a relação entre a vscosdade do método lb e a vscosdade real é dada pela expressão: lb (5.5) onde l / N, e t / N são parâmetros de conversão entre o sstema real e o sstema x o t o t lattce, l o e t o são o comprmento e o tempo de referênca do sstema real, N é o número de células usadas para dscretzar o comprmento característco e t x N t o número de terações necessáras para atngr o tempo característco. Naturalmente, a velocdade em undades de malha é dada por: u N / N (5.6) lb Para que o sstema lattce seja equvalente ao sstema real smulado, ambos os sstemas devem possur a mesma geometra e o mesmo número de Reynolds. Então, a vscosdade também está relaconada com N e t N t por meo do número de Reynolds assm: Re u N Têm-se então quatro parâmetros báscos Re N, lb (5.7) lb N t e (ou lb ) e três graus de lberdade. Por exemplo, se em uma smulação o número de Reynolds e a velocdade são defndos a pror, a vscosdade fca em função do N (ou vce-versa, pela Eq. (5.7)), o parâmetro de relaxação é dado pela Eq. (4.7) e o N t pela Eq. (5.6). 5.. FLUXO POISEUILLE O fluxo Poseulle é um tpo de fluxo smples que acontece no nteror de tubulações ou no espaço entre duas placas paralelas. A velocdade nas paredes de uma tubulação é nula (contorno não deslzante) e atnge um valor máxmo no ponto meo, formando um perfl parabólco descrto pela equação: G u( x) ( a x ) (5.8) onde ux ( ) é a velocdade na dreção do fluxo, G pode ser um gradente lnear de pressão G ( P P ) / L, ou um gradente de pressão gravtaconal G g, é a vscosdade 0 f dnâmca do fludo e a é a metade do comprmento do canal como mostrado na Fgura 5.. As velocdades perpendculares à dreção de fluxo são guas a zero. 61

90 x a x 0 u x 5. METODOLOGIA x a Fgura 5.. Perfl de velocdade tpo Poseulle. A velocdade méda em um perfl de fluxo tpo Poseulle é: u G 3 a (5.9) A velocdade máxma é atngda em x 0 e equvale a 1.5 vezes a velocdade méda DEFINIÇÃO DO PROBLEMA E DISCRETIZAÇÃO DAS VARIÁVEIS A mplementação de um fluxo tpo Poseulle com o método lattce Boltzmann requer somente da aplcação de condções de bounce-back nas paredes do canal e de condções de contorno na entrada e na saída. O códgo desenvolvdo para este caso é apresentado no Anexo B. A geometra do problema a ser dscretzado é a de um caxa quadrada com nós sóldos no topo e na base e lateras abertas, o número de Reynolds fo escolhdo como Re 5. Para manter o problema em termos geras é consderado um sstema admensonal em que as varáves característcas báscas l e 0 t 0 são untáras, obtendo-se a segunte expressão para a vscosdade: 1 (5.10) Re No sstema lattce o parâmetro de relaxação fo escolhdo como 1.0 e o comprmento untáro do canal fo dscretzado com N 0. Os outros parâmetros são calculados como descrto no tem 5..1 e são apresentados na Tabela 5.3. Note que a restrção de número de Mach baxo para fludos ncompressíves é cumprda. 6

91 5. METODOLOGIA Tabela 5.3. Parâmetros do sstema físco admensonal e do sstema lattce usados na smulação de fluxo Poseulle. Sstema físco admensonal Sstema lattce Fator de conversão l0 1 N 0 x 0.05 t N t t u u lb lb 1.0 lb, lb t x 0.83 t x 5... CONDIÇÕES DE CONTORNO E CONDIÇÕES INICIAIS Condções de contorno e de não escorregamento (bounce-back) foram mplementadas neste problema segundo a proposta de Zou & He (1997). Os nós no topo e na base de domíno foram defndos como nós sóldos com condção de não escorregamento. Na entrada do canal a condção de contorno é de um perfl de velocdade parabólco, segundo a Eq. (5.8). G fo obtdo a partr da Eq. (5.9) com u u lb. A condção na saída é de pressão (densdade) constante e gual a 1.0. As funções de dstrbução de equlíbro foram ncalzadas com 1.0, ux ulb e u 0.0. y RESULTADOS O crtéro de parada do programa é o de estado estaconáro, defndo pela expressão (Zou & He, 1997): j u (, j, t t) u (, j, t) u (, j, t t) u (, j, t) x x y y onde a tolerânca (Tol) fo fxada em j u (, j, t) u (, j, t) x y Tol (5.11) Na Fgura 5.3 aparece o campo escalar de densdades (pressão) obtdas com o método de lattce Boltzmann e representadas em uma escala de cores. Aparece também o campo vectoral de velocdades representado por setas cuja dreção ndca a dreção da velocdade no nó correspondente e cujo comprmento ndca a magntude do vetor no ponto. As velocdades ao longo do domíno seguem o perfl de fluxo teórco de Poseulle, onde a componente vertcal é zero e a velocdade máxma é atngda no meo da seção vertcal. Por outro lado, a queda de pressão entre a entrada e a saída é descrta por uma varação sutl das densdades. 63

92 5. METODOLOGIA Fgura 5.3. Campo vectoral de velocdades e campo escalar de densdades em um fluxo tpo Poseulle smulado pelo método lattce Boltzmann com Re 5. Na Fgura 5.4 foram plotados o perfl teórco de velocdades e os perfs obtdos com o método de lattce Boltzmann em seções na entrada, no meo e no fnal do domíno smulado. Note-se como na saída a restrção de pressão constante produz naturalmente o perfl de velocdades desejado. A correspondênca entre os resultados teórcos e os resultados do método é notável. Segundo Zou & He (1997) o método é de segunda ordem em acuráca para este tpo de problema. Os resultados satsfatóros obtdos na smulação permtram passar à fase segunte que envolve problemas mas complexos Poseulle LBM na entrada LBM na metade LBM na saída u(x) x Fgura 5.4. Perfl teórco de velocdades em um fluxo tpo Poseulle com Re 5e perfs obtdos com o LBM. 64

93 5. METODOLOGIA 5..3 FLUXO PASSANDO AO REDOR DE UM CILINDRO CIRCULAR O fluxo ao redor de um clndro (um dsco em D) é um problema de grande nteresse na dnâmca de fludos computaconal, pos ele tem sdo amplamente estudado por meo de trabalhos empírcos. Uma das característcas mas nteressantes deste problema é que para uma geometra smples fxa é possível observar dferentes fenômenos em função das condções de fluxo. Com frequênca este problema é smulado para avalar o desempenho de um esquema numérco sob dversas condções (p. ex., Zenkewcz et al. (005b) e Guo et al. (000)). Por outro lado, os trabalhos empírcos desenvolvem relações entre a força de arraste exercda sobre o clndro e o número de Reynolds (Lenhard, 1966). Em outros casos, o nteresse é uma análse vsual dos padrões de fluxo (Taneda, 1956, 1976). Esses resultados também podem ser usados para valdar qualtatvamente o comportamento de um determnado método numérco DEFINIÇÃO DO PROBLEMA E DISCRETIZAÇÃO DAS VARIÁVEIS A mplementação do problema de fluxo ao redor de um clndro requer das mesmas condções usadas no fluxo Poseulle e de condções de não escorregamento no contorno do clndro. O códgo desenvolvdo para este caso é apresentado no Anexo C. A geometra do problema de fluxo passando por um clndro é apresentada na Fgura 5.5. Para manter o problema em termos smples a geometra a ser dscretzada é defnda em um sstema admensonal onde as varáves característcas ( l 0, t 0 ) são untáras. De novo, a vscosdade neste sstema pode ser calculada pela Eq. (5.10). Observe que o comprmento característco neste caso é o dâmetro do clndro. Foram smulados fluxos com város números de Reynolds com o objetvo de analsar dferentes regmes e compará-los qualtatvamente com as observações apresentadas por (Taneda, 1956). Os números de Reynolds smulados foram Re = 5,0,40 e 50. Incalmente fo defnda uma velocdade baxa no sstema lattce ( ulb 0.1), de forma a cumprr com a restrção para a compressbldade, o parâmetro de relaxação fo assumdo como 1.0 e a vscosdade do método fo calculada com a Eq. (4.5). Pelas escolhas anterores a resolução a ser utlzada em cada smulação fca defnda em função do número de Reynolds: N Re u lb (5.1) lb 65

94 5. METODOLOGIA 3 d Fluxo d 6 d d 10 d Fgura 5.5. Confguração geométrca usada para smulação de fluxo ao redor de um clndro crcular. Consequentemente, o tempo característco no sstema lattce N t também fca em função do Re, sendo calculado com a Eq. (5.6). Ressalta-se que números de Reynolds maores requerem uma maor resolução, o que é mportante em termos de custos computaconas. Desta forma fcam defndos todos os parâmetros necessáros para executar a smulação para cada número de Reynolds CONDIÇÕES DE CONTORNO E CONDIÇÕES INICIAIS As condções de contorno nestas smulações são as mesmas utlzadas no problema de fluxo de Poseulle. Condções de não escorregamento foram aplcadas nos nós correspondentes ao clndro e no topo e base do domíno numérco. Na entrada do canal a condção de contorno é de um perfl de velocdade parabólco enquanto que na saída a condção é de pressão (densdade) constante e gual a 1.0. As funções de dstrbução de equlíbro foram ncalzadas com 1.0, ux ulb e u 0.0. y RESULTADOS A Fgura 5.6 mostra os resultados obtdos por Taneda (1956) ao analsar o comportamento das lnhas de fluxo atrás de um clndro em função do número de Reynolds do fluxo. Na Fgura 5.7 é apresentado o resultado da smulação de fluxo com Re 5 usando o método lattce Boltzmann. Neste caso a smulação fo rodada até atngr o estado estaconáro do sstema, defndo pela Eq. (5.11) com tolerânca de A confguração das lnhas de fluxo para este número de Reynolds é claramente lamnar, onde são observadas camadas que se mantêm estáves, sem sofrer separação ao longo do sstema. Segundo Taneda (1956) esta 66

95 5. METODOLOGIA confguração é mantda para números de Reynolds próxmos de cnco e após essa faxa acontece separação das lnhas de fluxo na forma de vórtces gêmeos por trás do clndro. Fgura 5.6. Processo do desenvolvmento da estela por trás de um clndro crcular (Taneda, 1956). Fgura 5.7. Lnhas de fluxo passando por um clndro crcular para Re 5 smulado com o método lattce Boltzmann. A escala de cores ndca a magntude da velocdade em undades da malha. A Fgura 5.8 apresenta a relação entre o comprmento dos vórtces gêmeos formados por trás do clndro, o dâmetro do clndro e o número de Reynolds; desenvolvda pelo mesmo autor. Taneda anda descreve como os vórtces gêmeos permanecem estáves até números de Reynolds próxmos de 45 e a partr dessa faxa os vórtces assumem outras confgurações. 67

96 5. METODOLOGIA S/d Re Fgura 5.8. Gráfco da relação entre o dâmetro do clndro, o comprmento dos vórtces gêmeos e o número de Reynolds (modfcado de Taneda, 1956). A smulação com o método lattce Boltzmann para Re 0 (Fgura 5.9) segue as característcas descrtas no parágrafo anteror. Ao calcular a relação entre o dâmetro e o comprmento dos vórtces fo obtdo S/ d 1.0, que é muto próxmo da proposta de Taneda ( S/ d 0.9 ). Fgura 5.9. Lnhas de fluxo passando por um clndro crcular para Re 0 smulado com o método lattce Boltzmann. A escala de cores ndca a magntude da velocdade em undades da malha. Taneda também medu o ângulo de formação dos vórtces gêmeos (Fgura 5.8) para Re 40 e encontrou 53. O ângulo calculado para os resultados do método lattce Boltzmann nestas condções de fluxo (Fgura 5.10) é 57. Pequenas osclações na 68

97 5. METODOLOGIA confguração geométrca dos vórtces gêmeos e nas lnhas de fluxo por trás deles foram observadas, e sto concorda com as observações expermentas. A relação entre o dâmetro e o comprmento dos vórtces neste caso é de S/ d.1, que é exatamente o valor relatado por Taneda. Fgura Lnhas de fluxo passando por um clndro crcular para Re 40 smulado com o método lattce Boltzmann. A escala de cores ndca a magntude da velocdade em undades da malha. Os resultados da smulação lattce Boltzmann com Re 50 (Fgura 5.11) mostram que tanto a confguração de vórtces gêmeos quanto as lnhas de fluxo por trás deles começam a osclar. Note-se aqu que o vórtce nferor é menor. Confgurações de vórtces como as descrtas na Fgura 5.6 não foram observadas, porém esses comportamentos são assocados a uma faxa de números de Reynolds e não a um valor específco. Fgura Lnhas de fluxo passando por um clndro crcular para Re 50 smulado com o método lattce Boltzmann. A escala de cores ndca a magntude da velocdade em undades da malha. A acuráca dos resultados do método para este problema pode ser nfluencada por fatores 69

98 5. METODOLOGIA como a proxmdade do clndro com as paredes e a representação escalonada das superfíces curvas, decorrente da forma do domíno computaconal. Contudo os resultados obtdos mostram que o códgo desenvolvdo para o método lattce Boltzmann responde adequadamente na smulação de problemas de fluxo em dferentes regmes e na presença de obstáculos. Com sto, fo fechado o prmero estágo proposto no desenvolvmento desta pesqusa. 5.3 APLICAÇÃO PARA A DETERMINAÇÃO DE PROPRIEDADES INTRÍNSECAS Os resultados da etapa anteror permtram valdar o método lattce Boltzmann para smulação de dferentes regmes de fluxo em domínos com obstáculos. Nesta dssertação são usados o método lattce Boltzmann e a le de Darcy-Forchhemer para encontrar estmatvas das propredades ntrínsecas de meos porosos em meos porosos dealzados, formados por partículas crculares. Como a acuráca dos resultados obtdos no método numérco depende dos parâmetros usados para dscretzar o problema, estes devem ser defndos adequadamente a partr de um estudo paramétrco ANÁLISE DA RESOLUÇÃO E DO PARÂMETRO DE RELAXAÇÃO Na maora de esquemas numércos para smulação de fluxo, a resolução ( N ) é um dos parâmetros fundamentas, pos afeta dretamente a acuráca do método e o tempo computaconal de uma dada smulação. Portanto, a escolha da resolução deve obedecer a dos crtéros concomtantes: mnmzação do erro por dscretzação e otmzação do tempo computaconal. Em uma smulação lattce Boltzmann o parâmetro de relaxação ( ) também é mportante, pos ele está assocado à vscosdade e não pode assumr valores arbtráros. Para avalar o efeto da resolução nos resultados é smulado o mesmo sstema váras vezes mudando a resolução a cada rodada enquanto que as outras varáves de entrada permanecem fxas em todas as smulações. O efeto da varação é observado no valor de alguma varável calculada a partr dos resultados GEOMETRIA DO PROBLEMA PARA ANÁLISE DA RESOLUÇÃO O efeto da resolução fo avalado em um arranjo unforme de partículas crculares de dâmetro d m, que é o dâmetro de uma area grossa a méda. A confguração 70

99 5. METODOLOGIA geométrca do problema é apresentada Fgura 5.1. O número de Reynolds fo fxado em 6 1 Re 0.1, a vscosdade cnemátca é ms e a densdade do fludo como kg m, respectvamente. d d Fluxo 10 d d Fluxo Fgura 5.1. Arranjo unforme de círculos usado para estudar a resolução e parâmetro de relaxação. 0 d No sstema lattce o parâmetro de relaxação fo escolhdo como 1.0, o dâmetro de referênca fo dscretzado usando N 10,15, 0,...,80 e a densdade fo 1.0. A Tabela 5.4 resume os parâmetros ncas para a smulação e os fatores de conversão entre sstema real e o sstema dscreto. Os nós no topo e na base do domíno foram defndos como sendo sóldos. Na entrada do domíno foram defndas condções de velocdade unforme constante e na saída a condção é de pressão (densdade) constante. As smulações foram executadas até alcançar um estado estaconáro com uma tolerânca calculada pela Eq. (5.11). lb Tabela 5.4. Parâmetros do problema para análse da resolução em undades físcas e undades lattce. Sstema físco Sstema lattce Fator de conversão d x d N 3 m N 0 t0 39.9s N t t t0 5 m s ulb N Nt t x u ms lb kg m lb lb t x N t 71

100 5. METODOLOGIA EFEITO DA RESOLUÇÃO E DO PARÂMETRO DE RELAXAÇÃO NO CÁLCULO DA PERMEABILIDADE E DA TORTUOSIDADE O efeto da resolução é estudado ao observar a varação da permeabldade ntrínseca e da tortuosdade. Como o número de Reynolds é baxo, a permeabldade pode ser calculada usando a le de Darcy: onde K é a permeabldade ntrínseca do fludo, u K (5.13) p p e o gradente dreconal da pressão e u é a méda volumétrca da magntude da velocdade. A velocdade no sstema lattce é transformada para undades físcas usando os parâmetros de dscretzação: u u x t p lb (5.14) onde o subscrto p ndca undades físcas enquanto lb undades no sstema lattce Boltzmann. A pressão no sstema lattce Boltzmann está relaconada com a densdade por meo da equação de estado segunte: p c s 3 (5.15) Portanto, a expressão para calcular a pressão no sstema físca a partr do sstema lattce Boltzmann é: onde (5.16) pp cs lu Consequentemente, o gradente dreconal da pressão é calculado como: p p L x t ( ). x lu p t 3N (5.17) lu ndca a dferença entre a méda das densdades na entrada do domíno e a méda das densdades na saída. A vscosdade dnâmca é, portanto a conversão para undades físcas é: (5.18) x p p p lu lu t Ao combnar as Eqs. (5.14) a (5.18) obtém-se a segunte expressão para a permeabldade ntrínseca em termos das varáves dscretas e do parâmetro de dscretzação: K 3u lb lu N x lu (5.19) 7

101 5. METODOLOGIA Na Fgura 5.13 é apresentada a varação da permeabldade normalzada com a resolução. Para N superores a 5 o valor da permeabldade se mantém estável e a porcentagem de varação entre duas resoluções consecutvas é nferor a.6%. Uma malha com resolução N 30 é uma boa escolha, pos resoluções superores não mplcam em varações sgnfcatvas do valor da permeabldade K/d N Fgura Varação da permeabldade com a resolução da malha. Para avalar o efeto da resolução na tortuosdade é utlzada a expressão proposta por Nabovat & Sousa (007): N N u u lb lb (5.0) onde as barras ndcam a magntude do vetor, o sobrescrto ndca a dreção em que a propredade está sendo calculada e o somatóro é feto sobre todos os pontos fludos no domíno. A tortuosdade calculada para as dferentes resoluções é apresentada na Fgura A varação percentual deste parâmetro, calculada entre duas resoluções consecutvas, é nferor a 0.13%. Fo concluído que no problema smulado os valores dos parâmetros têm pequenas taxas de varação em função da resolução. A varação é menor para resoluções maores ou guas do que N 5, mantendo-se aproxmadamente estável. 73

102 Unversdade de Brasíla 5. METODOLOGIA N Fgura Varação da tortuosdade com a resolução da malha. Assumndo N 30, procedeu-se à verfcação do efeto do parâmetro de relaxação nas estmatvas de permeabldade e tortuosdade. O valor do parâmetro de relaxação é restrto pelo requsto de vscosdade postva que por sua vez é defnda como: lb (5.1) onde 1 deve ser maor que 0.5. O efeto do parâmetro de relaxação na permeabldade e na tortuosdade fo estudado defnndo a varável 1, chamada comumente de tempo de relaxação. Foram fetas smulações para os valores 0.6,08,1.,1.4 na mesma malha defnda anterormente mantendo a resolução fxa ( N 30).A Fgura 5.15 apresenta a varação da permeabldade em função do tempo de relaxação, e a varação percentual neste caso é sempre nferor a 3.9%. No caso da tortuosdade (Fgura 5.16), as varações percentuas entre meddas consecutvas são nferores a 0.08%. Pode ser concluído aqu que a tortuosdade é pouco nfluencada pela resolução e/ou pelo tempo de relaxação, nas faxas de varação consderadas nestas smulações. 74

103 Unversdade de Brasíla 5. METODOLOGIA 0.10 K/d Fgura Varação da permeabldade com o parâmetro de relaxação Fgura Varação da tortuosdade com o parâmetro de relaxação Quando o parâmetro de relaxação e a resolução são defndos a pror em uma smulação, só há lberdade para escolher um entre Re, u lb ou N t, o resto fca em função do escolhdo devdo às relações menconadas no tem Portanto, ao defnr uma velocdade máxma u lbmáx, com o objetvo de cumprr a restrção de número de Mach baxo, os outros parâmetros fcam em função desta. Então o N t é calculado da Eq. (5.6) e o máxmo número de Reynolds que poderá ser smulado mantendo o erro por compressbldade baxo será: Re u N lbmáx max (5.) lb 75

104 5. METODOLOGIA A Fgura 5.17 apresenta o máxmo número de Reynolds que pode ser smulado sob a restrção de número de Mach baxo (assumndo ulbmáx 0.06 ) para váras resoluções da malha. Note-se que para smular números de Reynolds altos em ocasões pode ser mas efetvo dmnur o valor do tempo de relaxação do que aumentar a resolução. Já que o nteresse desta pesqusa é estudar a le de Darcy-Forchhemer o valor do parâmetro de relaxação deve ser tal que possam ser smulados fluxos onde a contrbução nercal seja mportante ( Re 1). Porém, é sabdo que nstabldades numércas surgem quando o tempo de relaxação é próxmo de 0.5 (Sukop & Thorne, 006). Fnalmente, fo escolhdo um valor, obtendo Remax Re máx Fgura Máxmo número de Reynolds que pode ser smulado em função do tempo de relaxação e da resolução com ulbmáx ESTUDO DA LEI DE DARCY FORCHHEIMER Uma vez que foram defndas as varáves do sstema dscreto é possível executar smulações sobre geometras de meos porosos com o objetvo de determnar os parâmetros ntrínsecos dos mesmos GEOMETRIA DOS MEIOS POROSOS SIMULADOS Os domínos consderados nas smulações consstem em meos porosos dealzados, formados por partículas crculares. Estes meos porosos dealzados foram construídos de duas formas dferentes: uma dstrbução ordenada de partículas de dâmetro gual e uma 76

105 5. METODOLOGIA dstrbução aleatóra de partículas de dâmetro aleatóro. A dea de ter dos tpos de arranjos resulta da necessdade de estudar as dferenças dos parâmetros calculados para meos com a mesma porosdade macroscópca, mas com arranjos de grãos dferentes. O tamanho do domíno smulado e o dâmetro médo do grão são guas em todos os arranjos gerados, de forma a manter os parâmetros do método seleconados no tem anteror. Em ambos os tpos de arranjos foram geradas estruturas dferentes, cada uma com um valor de porosdade macroscópca na faxa de 50% a 75%. O dâmetro médo dos arranjos gerados fo gual em 3 todos os casos ( d 10 m) e fo dscretzado com 30 undades de malha. A dstrbução regular é mostrada na Fgura L d Fluxo 10 d L Fluxo Fgura Arranjo regular de partículas usado para estudar a le de Darcy-Forchhemer. 0 d Dferentes porosdades são obtdas ao varar o valor de L. Quando o comprmento L guala ao dâmetro, as partículas se tocam mpedndo o fluxo em D. Porém no método de lattce Boltzmann é recomendável que os canas de fluxo tenham um comprmento superor a cnco undades de malha (Aaltosalm, 005; Sukop & Thorne, 006). Este requsto fo atenddo por todos os arranjos gerados. No segundo tpo de arranjo consderado, váras porosdades são cradas a partr da geração aleatóra de clndros crculares com dâmetros e posções aleatóras, escolhdos de uma dstrbução de probabldade unforme. A geração aleatóra deste tpo de arranjo mplca em curvas granulométrcas dferentes para cada porosdade, como mostrado na Fgura Para que a escolha da resolução feta se mantvesse válda para todos os arranjos gerados, o comprmento característco do problema deva ser gual em todos os arranjos. Portanto, o dâmetro médo era forçado durante a geração aleatóra. No Anexo D são apresentados os códgos para geração de ambos os arranjos. 77

106 Porcentagem que passa (%) Unversdade de Brasíla 5. METODOLOGIA Cada rodada do códgo de dstrbução aleatóra das partículas gera uma estrutura porosa dferente para um mesmo valor de porosdade macroscópca. Só fo analsada uma confguração aleatóra por cada porosdade, pos o resultado da smulação em um meo com dstrbução aleatóra serve apenas ao propósto de observar as dferenças com o arranjo de dstrbução regular que tem os mesmos parâmetros macroscópcos. Ou seja, as análses fetas são váldas para cada estrutura gerada e não representam o comportamento de qualquer outra estrutura aleatóra com os mesmos parâmetros macroscópcos que possa ser gerada pela mesma técnca. 100 ⅜ ¼ N 4 N 10 N 0 N 30 N 40 N 60 N Pedregulho Area Grossa Area Méda Area Fna Dâmetro dos grãos (mm) 0.1 Fgura Curvas granulométrcas dos arranjos gerados aleatoramente com dferentes porosdades. Classfcação de tamanhos segundo (Lambe, 004) SIMULAÇÕES E CÁLCULOS Foram executadas smulações com números de Reynolds entre 0.5 e 30 até alcançar um estado estaconáro com uma tolerânca de Condções de não escorregamento (bounce back) foram aplcadas no topo e na base de cada domíno numérco smulado. Na entrada, a condção é de velocdade unforme constante enquanto que na saída a condção é de densdade constante. A porosdade dos arranjos fo calculada como: N f 100 (5.3) N n onde N f é o número de nós fluídos e N n é o número total de nós em uma smulação. A 78

107 5. METODOLOGIA permeabldade e o coefcente beta de Forchhemer são obtdos como os parâmetros de uma regressão lnear da equação de Darcy-Forchhemer: p u lb 1 ulb (5.4) K lb lb lb onde o coefcente admensonal é a nclnação e o nverso da permeabldade ntrínseca é o ntercepto, ulb, plb e lb são como menconados no tem 0. A tortuosdade fo calculada com a Eq. (5.0). 79

108

109 Arrasto Unversdade de Brasíla 6. APRESENTAÇÃO DE RESULTADOS E DISCUSSÃO 6 APRESENTAÇÃO DE RESULTADOS E DISCUSSÃO Neste capítulo são apresentados e analsados os resultados decorrentes das smulações executadas sobres os meos porosos dealzados defndos no tem anteror. 6.1 ARRASTO O termo arrasto é usado para se referr à força que age em um objeto sóldo na dreção da velocdade de fluxo relatva. A equação admensonalzada de Darcy Forchhemer, Eq. (3.31), pode ser vsta como a soma de um termo de arrasto vscoso (ou de Darcy) e um termo de arrasto nercal (ou de Forchhemer). Na Fgura 6.1 aparece o arrasto calculado das smulações em meos porosos regulares e na Fgura 6. o caso aleatóro; a correlação de Ergun para fluxo através de camadas granulares, Eq. (3.3), também é plotada. A contrbução do arrasto vscoso é descrta pelo trecho lnear constante no começo das curvas. No caso do arranjo regular a contrbução do termo vscoso domna o arrasto total em uma faxa de números de Reynolds baxos, até Re 4. Para números de Reynolds acma desse valor a contrbução das forças nercas (termo de Forchhemer) torna-se mas mportante. Sob estas condções a le de Darcy pode levar a um erro sgnfcatvo. O valor do arrasto dmnu com o aumento da porosdade Ergun 43% Ergun 51% Ergun 54% Ergun 60% Ergun 67% Ergun 70% Ergun 75% 43% % 4% % 7% 7% 7% Re Fgura 6.1. Resultados do arraste de Darcy-Forchhemer para váras porosdades e números de Reynolds em um arranjo com dstrbução regular. 81

110 Arrasto Unversdade de Brasíla 6. APRESENTAÇÃO DE RESULTADOS E DISCUSSÃO Ergun 51% Ergun 55% Ergun 60% Ergun 65% Ergun 69% Ergun 74% % % % % 9% 74% Re Fgura 6.. Resultados do arraste de Darcy-Forchhemer para váras porosdades e números de Reynolds em arranjos gerados aleatoramente. Nos arranjos aleatóros a contrbução nercal só entra no arrasto total quando números de Reynolds próxmos de Re. O valor do arrasto também dmnu com o aumento da porosdade, porém está relação não fo cumprda para Reynolds altos nas smulações com porosdades altas ( 69% e 74% ). Neste caso a maor proporção de partículas grossas na granulometra (Fgura 5.19) do meo poroso com 74% pode favorecer um arrasto nercal maor. Portanto a relação entre o arrasto e a porosdade macroscópca pode não ser muto clara para números de Reynolds altos e porosdades altas, a proxmdade com o regme a fluxo lvre também pode nfluencar nestes casos. As contrbuções nercas são claramente mas mportantes no caso de arranjos aleatóros, p. ex., no arranjo aleatóro com porosdade 51% o valor do arrasto para Re 8 é de 191, enquanto que no caso regular com a mesma porosdade o valor é de 170. Por outro lado, as contrbuções vscosas são pratcamente as mesmas em ambos os casos, p. ex. para Re 1 o valor é de 148 tanto para o aleatóro quanto para o regular. Comparações qualtatvas podem ser fetas para outros valores de porosdade obtendo resultados smlares. Os valores obtdos pelo método lattce Boltzmann para os dos tpos de arranjo analsados subestmam os obtdos pela correlação de Ergun. Porém a correlação está escrta em termos de uma propredade macroscópca e fo desenvolvda para um arranjo regular de partículas em 3D. Desvos observados nos arranjos aleatóros podem ser decorrentes da dscretzação e das condções de contorno. Para estudar as contrbuções vscosa e o nercal separadamente, é calculada a proporção 8

111 6. APRESENTAÇÃO DE RESULTADOS E DISCUSSÃO do arrasto nercal em relação ao arrasto total: d Re 100 (6.1) d d Re K Na proposta de Ergun (Fgura 6.3) a fração do arrasto correspondente às forças nercas cresce com o aumento da porosdade e obvamente com o aumento do número Reynolds, porém a contrbução nercal só chega a ser predomnante (>50%) para Re=30 e para porosdades maores que 60%. 100 (%) 10 Re=30.0 Re=15.0 Re=8.0 Re=4.0 Re=.0 Re=1.0 Re= (%) Fgura 6.3. Fração do arrasto de Forchhemer em relação ao arrasto total no modelo de Ergun para camadas de partículas granulares. No caso de meos porosos com dstrbução regular (Fgura 6.4) os resultados do método lattce Boltzmann mostram curvas com concavdade voltada para cma, com valores mínmos no ntervalo de porosdades entre 55 e 65%. Neste caso não há uma dependênca clara entre o aumento da porosdade macroscópca e o arrasto nercal, portanto este termo não pode ser analsado em função da porosdade macroscópca. Por outro lado, e em concordânca com a proposta de Ergun, o aporte nercal neste caso cresce com o número de Reynolds e só chega a ser predomnante em Re=30. Nos meos porosos com dstrbução aleatóra de partículas (Fgura 6.5) a fração de arraste de Forchhemer forma curvas com concavdade voltada para cma e com valores mínmos no ntervalo de porosdades entre 55 e 65%. A análse feta para o caso regular também é válda neste caso. Mas smulações em arranjos com outras porosdades poderam fornecer uma tendênca melhor defnda em ambos os casos. No caso aleatóro, as osclações também podem ser 83

112 6. APRESENTAÇÃO DE RESULTADOS E DISCUSSÃO devdas ao fato de que só está sendo consderada uma confguração de partículas para cada porosdade estudada como menconado no tem (%) 10 Re=30.0 Re=15.0 Re=8.0 Re=4.0 Re=.0 Re=1.0 Re= (%) Fgura 6.4. Fração do arraste de Forchhemer para o arranjo regular com o método de lattce Boltzmann. 100 (%) 10 Re=30.0 Re=15.0 Re=8.0 Re=4.0 Re=.0 Re=1.0 Re= (%) Fgura 6.5. Fração do arraste de Forchhemer para o arranjo aleatóro com o método de lattce Boltzmann. Deve ser observado que há ausênca de dados para porosdades baxas e números de Reynolds altos, devdo ao surgmento de nstabldades numércas nas smulações. Nestes casos, canas de fluxo pequenos combnados com velocdades altas provocam um aumento exagerado da densdade macroscópca. Devdo aos canas pequenos as dstrbuções de 84

113 6. APRESENTAÇÃO DE RESULTADOS E DISCUSSÃO partículas se concentram e aparece um erro numérco que pode ser propagado ao resto do domíno. 6. PERMEABILIDADE INTRÍNSECA A permeabldade ntrínseca de cada um dos arranjos fo calculada a partr da regressão lnear dos dados das smulações, como menconado no tem A Fgura 6.6 apresenta os resultados de permeabldade normalzada com o tamanho de grão, ou seja, o nverso do termo de vscosdade na equação de Darcy-Forchhemer; o valor da correlação de Ergun também é apresentado Ergun Regular LB Aleatóro LB K/d (%) Fgura 6.6. Permeabldade normalzada em meos porosos com dstrbução regular de partículas e com dstrbução aleatóra, calculada com o método lattce Boltzmann. Em todos os casos a permeabldade apresenta uma tendênca exponencal em relação à porosdade. A tendênca é claramente mas estável no caso de meos porosos com dstrbução regular. As estmatvas de permeabldade dos arranjos regulares calculadas pelo método lattce Boltzmann são maores do que as do modelo de Ergun, e no caso aleatóro sto só acontece para porosdades maores que 60%. A permeabldade dos meos porosos gerados aleatoramente é menor do que a dos meos com dstrbução regular. Este resultado era esperado ntutvamente, pos o percurso do fluxo em meos porosos aleatóros segue por camnhos mas ntrncados. De novo, a correlação de Ergun não leva em conta estas partculardades. Por outro lado, para porosdades mas altas os valores de permeabldade de ambos os arranjos se aproxmam entre s, devdo à mnênca da 85

114 6. APRESENTAÇÃO DE RESULTADOS E DISCUSSÃO condção de superfíce lvre. Um ajuste exponencal dos dados de permeabldade obtdos pelo método lattce Boltzmann fornece as seguntes relações entre a permeabldade normalzada e a porosdade para arranjos dstrbuídos regularmente e arranjos aleatóros respectvamente. K 5 10 exp d (6.) K 1 10 exp d (6.3) onde o coefcente de determnação (R ) é de para dstrbuções regulares e de 0.98 na nas aleatóras. Os resultados obtdos com as smulações estão em concordânca com os resultados de Nabovat & Sousa (007), onde é ndcado que a permeabldade vára exponencalmente com a porosdade, e a permeabldade de arranjos aleatóros é menor que a permeabldade de arranjos regulares. A correlação de Ergun para o termo de arrasto vscoso Eq. (3.34) pode ser reescrta como: d K (1 ) (6.4) Esta expressão é usada para comparar os resultados de permeabldade obtdos pelo método lattce Boltzmann com o trabalho de Lee & Yang (1997) na Fgura 6.7. Estes autores resolveram numercamente as equações de contnudade e de momento lnear em um domíno regular de clndros crculares. A porosdade mínma que pode ser obtda nos arranjos regulares e o valor de segundo Ergun também são apresentados Lee e Yang Ergun Lmíte Regular Aleatóro (%) Fgura 6.7. Comparação entre o alfa de smulações com lattce Boltzmann, os resultados de Ergun (195) e os de Lee e Yang (1997). 86

115 6. APRESENTAÇÃO DE RESULTADOS E DISCUSSÃO No lattce Boltzmann e na proposta de Lee & Yang o valor de alfa é função da porosdade, enquanto que Ergun consdera um valor fxo 150. Os valores de alfa obtdos pelo método lattce Boltzmann em ambos os arranjos são menores do que a proposta de Lee & Yang (1997). Na representação em termos de anda é possível ver a tendênca de crescmento exponencal em relação à porosdade CONDUTIVIDADE HIDRAULICA A condutvdade hdráulca, Eq. (3.6), do meo poroso fo calculada para o caso de fluxo de água, com 3 agua Pa s 3 e 9.8 kn / m. A Tabela 6.1 apresenta os valores agua para cada um dos arranjos gerados. Os valores calculados em ambos os casos correspondem aos encontrados comumente para pedregulhos e/ou áreas grossas (Lambe & Whtman, 004), o que é coerente com as granulometras smuladas (Fgura 5.19). Tabela 6.1. Condutvdade hdráulca com o método lattce Boltzmann para meos porosos 3 3 conformados por partículas crculares com Pa s e 9.8 kn / m. Dstrbução regular Dstrbução aleatóra (%) k (m/s) (%) k (m/s) FATOR BETA O fator beta calculado das smulações com lattce Boltzmann e o obtdo da correlação de Ergun para camadas granulares é plotado em um espaço sem-logarítmco na Fgura 6.8. Neste espaço, o fator beta de Ergun decresce lnearmente com o aumento da porosdade. Nos resultados do método lattce Boltzmann a tendênca também é a dmnur com o aumento da porosdade. A relação nestes casos é aproxmadamente blnear, onde uma porosdade em torno de 60% separa as duas lnhas retas. O fator beta decresce a uma taxa maor nos resultados do método lattce Boltzmann até chegar em porosdades próxmas de 60%, onde a 87

116 6. APRESENTAÇÃO DE RESULTADOS E DISCUSSÃO taxa se reduz Ergun Regular LB Aleatóro LB (%) Fgura 6.8. Fator beta de ambos os arranjos, calculado com o método lattce Boltzmann e com a correlação de Ergun para camadas granulares. De novo, os arranjos com dstrbução aleatóra possuem fatores betas maores do que os arranjos organzados regularmente. Esta stuação é entendda ntutvamente em termos de arrasto, pos a dsposção ordenada faclta o fluxo enquanto que uma dsposção aleatóra fornece maor oposção. 6.4 TORTUOSIDADE A tortuosdade para ambos os modelos fo estmada pela Eq. (5.0). Os resultados para o arranjo regular e para o arranjo aleatóro são mostrados na Fgura 6.9 e Fgura 6.10, respectvamente. Em ambos os arranjos a tortuosdade estmada se mantém constante até um determnado número de Reynolds e depos começa a decrescer. Portanto, a estmatva da tortuosdade pela proposta de Nabovat é nfluencada por números de Reynolds altos, ndcando que a tortuosdade é menor para velocdades altas. Nos arranjos regulares (Fgura 6.9) os desvos são observados a partr de números de Reynolds próxmos de Re 8. A tortuosdade nestes arranjos cresce com a dmnução da porosdade, pos os camnhos das partículas fcam mas tortuosos à medda que as partículas fcam mas próxmas entre s. Nos arranjos com dstrbução aleatóra (Fgura 6.10) as varações nas estmatvas da tortuosdade aparecem para números de Reynolds próxmos de Re. 88

117 6. APRESENTAÇÃO DE RESULTADOS E DISCUSSÃO % % 4% % 7% 7% 7% Re Fgura 6.9. Tortuosdades calculadas para um arranjo regular de partículas com dferentes porosdades % % % 4% 9% 74% Re Fgura Tortuosdades calculadas para arranjos de partículas de dâmetro aleatóro, dstrbuídas aleatoramente. A relação entre a tortuosdade e a porosdade é analsada ao calcular a tortuosdade méda de cada um dos arranjos, a Fgura 6.11 apresenta esses resultados junto com a proposta de Nabovat & Sousa (007). As médas das estmatvas da tortuosdade decrescem com o aumento da porosdade. Os valores calculados neste estudo fcam abaxo do ajuste feto por Nabovat e Souza (007), que usaram retângulos com váras relações de forma em vez de clndros em D. Isto e a grande dspersão dos dados em ambos os estudos pode explcar as dvergêncas. As estmatvas obtdas aqu mostram que quando a tortuosdade é calculada com 89

118 6. APRESENTAÇÃO DE RESULTADOS E DISCUSSÃO a proposta de Nabovat & Souza (007) ela pode ser relaconada com a porosdade, mas persstem algumas osclações Regular LBM Aleatóro LBM Nabovat (%) Fgura Dados de tortuosdade méda em função da porosdade do arranjo e ajuste de Nabovat e Souza (007). A Fgura 6.1 apresenta a varação da tortuosdade com o fator beta nos dos tpos de arranjos smulados Regular LBM Aleatóro LBM Fgura 6.1. Varação da tortuosdade méda com o fator beta de Forchhemer para arranjos regulares e arranjos aleatóros. A relação entre estes dos parâmetros é clara no caso de arranjos regulares, onde a 90

119 6. APRESENTAÇÃO DE RESULTADOS E DISCUSSÃO tortuosdade cresce com o aumento do fator nercal, mas segue um comportamento aparentemente assntótco. Ou seja, neste tpo de arranjo a relação entre a tortuosdade e o fator beta é constante para valores de beta elevados. Em meos aleatóros a relação entre a tortuosdade e o fator beta não é clara devdo a osclações dos valores. As osclações podem estar relaconadas ao fato de smulações serem fetas em uma únca confguração aleatóra para cada porosdade macroscópca. Quando relaconada com a tortuosdade, como mostrado na Fgura 6.13, a permeabldade decresce com o aumento da prmera Regular LBM Aleatóro LBM K/d Fgura Varação da tortuosdade com a permeabldade normalzada. Os valores de tortuosdade estmada para os arranjos aleatóros são menores do que para os arranjos regulares, devdo à forma da equação proposta por Nabovat & Souza (007), onde o termo quadrátco no denomnador faz que o valor da componente da velocdade na dreção do fluxo seja sempre postvo. Como será vsto no tem a segur a componente da velocdade na dreção do fluxo no caso de arranjos regulares é sempre postva, mas sto não acontece no caso de arranjos aleatóros. 6.5 LINHAS DE FLUXO Usando a ferramenta computaconal Paravew foram plotadas as lnhas de fluxo para analsar o comportamento do campo de velocdades nos arranjos smulados. Em todos os arranjos com dstrbução regular de partículas as lnhas de fluxo mantveram uma confguração lamnar para todos os números de Reynolds. Por exemplo, a Fgura 6.14 apresenta a confguração das lnhas de fluxo no estado estaconáro para o arranjo regular com 91

120 6. APRESENTAÇÃO DE RESULTADOS E DISCUSSÃO Re 30 e 67%, onde a escala de cores ndca a vortcdade. A vortcdade é um campo pseudovetoral que descreve o movmento gratóro local de um fludo perto de um ponto e é calculado como o rotaconal do campo vectoral: u (6.5) onde ndca o produto vetoral. Em D a vortcdade é sempre perpendcular ao plano de fluxo, portanto pode ser consderada como um escalar. Fgura Lnhas de fluxo no estado estaconáro no contorno nferor de um arranjo com dstrbução regular com 67% e Re 30. O fludo nestes casos fca sujeto a vortcdade nos contornos das partículas devdo ao estrangulamento dos canas de fluxo, porém a vortcdade se anula por trás das partículas uma vez que os canas se amplam. Separação das lnhas de fluxo fo observada só em alguns casos, no contorno de alguns domínos porosos onde hava perda de smetra e quando o número de Reynolds era elevado, como lustrado na Fgura Estas partculardades são decorrentes do processo de dscretzação e da necessdade de condções de contorno, e embora elas possam afetar a estmatva dos parâmetros causando osclações nos valores calculados, os domínos smulados são grandes o sufcente para ponderar as sngulardades. A confguração lamnar do fluxo nestes arranjos condz com os resultados de maor permeabldade em relação a arranjos aleatóros, pos as partículas de fludo neste caso apenas contornam os obstáculos sóldos mantendo sempre a dreção do fluxo. No caso dos arranjos com dstrbução aleatóra de partículas (Fgura 6.15) é observada 9

121 6. APRESENTAÇÃO DE RESULTADOS E DISCUSSÃO vortcdade alta nos contornos das partículas, assm como formação de vórtces e zonas de estagnação. Porosdades altas favorecem a formação de vórtces maores devdo ao espaço dsponível, porém o número o Reynolds também deve ser alto para que estes apareçam. Fnalmente, a confguração das lnhas de fluxo nos meos porosos aleatóros é congruente com os resultados obtdos de menor permeabldade em relação aos meos regulares, pos o percurso das partículas de fludo é claramente mas complexo. e Fgura Lnhas de fluxo no estado estaconáro para um arranjo aleatóro com 70% Re