ANÁLISE DA MAGNETOHIDRODINÂMICA COM TRANSFERÊNCIA DE CALOR

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA MARIA DAS GRAÇAS OLIVEIRA RÊGO ANÁLISE DA MAGNETOHIDRODINÂMICA COM TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM CANAIS DE PLACAS PARALELAS VIA TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL Natal - RN 12 de Novembro de 21

2 MARIA DAS GRAÇAS OLIVEIRA RÊGO ANÁLISE DA MAGNETOHIDRODINÂMICA COM TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM CANAIS DE PLACAS PARALELAS VIA TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL Dssertação submetda à Unversdade Federal do Ro Grande do Norte como parte dos requstos para a obtenção do grau de Mestre em Engenhara Mecânca. Orentador: Prof. Dr. João Alves de Lma Área de Concentração: Mecânca Computaconal Natal - RN 12 de Novembro de 21

3 Rêgo, Mara das Graças Olvera. Análse da magnetohdrodnâmca com transferênca de calor em canas de Dvsão de Servços Técncos Catalogação da Publcação na Fonte. UFRN / Bbloteca Central Zla Mamede Rêgo, Mara das Graças Olvera. Análse da magnetohdrodnâmca com transferênca de calor em canas de placas paralelas va transformação ntegral / Mara das Graças Olvera Rêgo. Natal, RN, f. Orentador: João Alves de Lma. Dssertação (mestrado) Unversdade Federal do Ro Grande do Norte. Centro de Tecnologa. Programa de Pós-Graduação em Engenhara Mecânca. 1. Magnetohdrodnâmca Dssertação. 2. Escoamento lamnar Dssertação. 3. Calor Convecção forçada Dssertação. 4. Transformada ntegral Dssertação. I. Lma, João Alves de. II. Unversdade Federal do Ro Grande do Norte. III. Título. RN/UF/BCZM CDU (43.2)

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5 Dedco este trabalho aos meus pas: Francsco Gomes de Olvera e Ana Dantas de Olvera (n memoran); às mnhas duas amadas flhas: Lara Olvera Rêgo e Camla Olvera Rêgo; ao meu amado e companhero, Sérgo Rêgo dos Santos.

6 AGRADECIMENTOS A Deus, por tudo que sou e tenho. Aos Meus Pas, por todo amor dedcado na construção do meu ser. Ao meu esposo Sérgo, pelo ncentvo, apoo e companhersmo. Ao professor João Alves de Lma, meu orentador, por sua dedcação e seus ensnamentos. À UFRN, pela a oportundade de realzação desse mestrado. Às mnhas flhas, Camla e Lara por me compreender e apoar. Aos meus rmãos Clóvs, pela ajuda nas apresentações, Míram, Pedro e Lus. Ao meu to Patrocíno Olvera e Joana Dar c, obrgado pelo apoo no momento dfícl.

7 Os problemas sgnfcatvos que enfrentamos não podem ser resolvdos no mesmo nível de pensamento em que estávamos quando os cramos. Albert Ensten

8 Rêgo, Mara das Graças Olvera. Análse da magnetohdrodnâmca com transferênca de calor em canas de RESUMO O propósto do estudo desenvolvdo nesse trabalho está relaconado com a dnâmca do escoamento ncompressível, lamnar, em regme permanente, com transferênca de calor, de um fludo newtonano condutor elétrco, no nteror de um canal de placas planas paralelas, submetdo a um campo magnétco externo unforme. Para a solução das equações de governo, modeladas através da formulação parabólca de camada lmte em função corrente, fo empregado o método híbrdo, numérco-analítco, conhecdo como Técnca da Transformada Integral Generalzada (GITT). O escoamento analsado é sustentando por um gradente de pressão e assume-se que o campo magnétco externo, aplcado na dreção normal ao escoamento, permanece unforme, muto maor do que quasquer outros campos gerados em outras dreções, não sendo, dessa forma, nfluencado por nenhum efeto magnétco nterno. Para avalar a nfluênca do campo magnétco sobre o desenvolvmento térmco e hdrodnâmco desse problema de convecção forçada, e também para fns de valdação da metodologa de solução adotada, foram empregados dos tpos de condções de contorno para o campo de velocdade na entrada no canal: perfl unforme e perfl parabólco do escoamento sem campo magnétco completamente desenvolvdo. Para o problema térmco, por outro lado, empregou-se apenas o perfl unforme de temperatura na entrada do canal e consderou-se que as placas se mantém à temperatura constante, guas ou dferentes uma da outra. Resultados para os campos de velocdade, temperatura e potencas correlatos são produzdos e comparados aos da lteratura em função dos prncpas parâmetros de governo, a saber, número de Reynolds, número de Hartmann e parâmetro elétrco, para algumas stuações típcas. Com o objetvo de lustrar a consstênca da técnca da transformada ntegral generalzada, análses de convergênca são também efetuadas e apresentadas. Palavras-chave: Convecção Forçada. Magnetohdrodnâmca (MHD). Transformação Integral (GITT). Placas Paralelas

9 Rêgo, Mara das Graças Olvera. Análse da magnetohdrodnâmca com transferênca de calor em canas de ABSTRACT The man goal of the present work s related to the dynamcs of the steady state, ncompressble, lamnar flow wth heat transfer, of an electrcally conductng and Newtonan flud nsde a flat parallel-plate channel under the acton of an external and unform magnetc feld. For soluton of the governng equatons, wrtten n the parabolc boundary layer and stream-functon formulaton, t was employed the hybrd, numercalanalytcal, approach known as Generalzed Integral Transform Technque (GITT). The flow s sustaned by a pressure gradent and the magnetc feld s appled n the drecton normal to the flow and s assumed that normal magnetc feld s kept unform, remanng larger than any other felds generated n other drectons. In order to evaluate the nfluence of the appled magnetc feld on both entrance regons, thermal and hydrodynamc, for ths forced convecton problem, as well as for valdatng purposes of the adopted soluton methodology, two knds of channel entry condtons for the velocty feld were used: an unform and an non-mhd parabolc profle. On the other hand, for the thermal problem only an unform temperature profle at the channel nlet was employed as boundary condton. Along the channel wall, plates are mantaned at constant temperature, ether equal to or dfferent from each other. Results for the velocty and temperature felds as well as for the man related potentals are produced and compared, for valdaton purposes, to results reported on lterature as functon of the man dmensonless governng parameters as Reynolds and Hartman numbers, for typcal stuatons. Fnally, n order to llustrate the consstency of the ntegral transform method, convergence analyses are also effectuated and presented. Keywords: Forced Convecton. Magnetohydrodynamcs (MHD). Integral Transforms (GITT). Parallel-Plate Channels.

10 Rêgo, Mara das Graças Olvera. Análse da magnetohdrodnâmca com transferênca de calor em canas de LISTA DE FIGURAS CAPÍTULO 2 Fgura 2.1 Fgura 2.2 Esquema (a) de uma bomba eletromagnétca (adaptado de Sherclff, 1965) e (b) do confnamento magnétco de plasma (adaptado de Davdson, 21). Esquema (a) de agtação magnétca de um lngote, (b) do amortecmento magnétco de movmento durante fundção e (c) de uma válvula eletromagnétca. Adaptado de Davdson (21) Fgura 2.3 Instabldade em uma célula de redução de alumíno. 27 Fgura 2.4 Interação entre um campo magnétco e um fo crcular em movmento. 29 Fgura 2.5 Le de Ohm em um condutor (a) estaconáro e (b) em movmento. 33 Fgura 2.6 Le de Ampère aplcada a um fo. Adaptado de Davdson (21). 34 Fgura 2.7 Le de Faraday (a) fem gerada pelo movmento de um condutor, (b) fem gerada por um campo magnétco dependente do tempo. Adaptado de Davdson (21). 35 CAPÍTULO 4 Fgura 4.1 Fgura 4.2 Fgura 4.3 Esquema de possbldades tecnológcas magnetohdrodnâmcas: (a) bomba eletromagnétca, (b) gerador eletromagnétco e (c) meddor de vazão eletromagnétco. Adaptado de Davdson (21). Esquema da geometra e das característcas elétrcas e magnétcas do canal. Adaptado de Setayesh e Saha (199) e Sutton e Sherman (26). Representação esquemátca do problema analsado (plano central do duto)

11 Rêgo, Mara das Graças Olvera. Análse da magnetohdrodnâmca com transferênca de calor em canas de CAPÍTULO 6 Fgura 6.1 Fgura 6.2 Fgura 6.3 Fgura 6.4 Fgura 6.5 Fgura 6.6 Fgura 6.7 Fgura 6.8 Fgura 6.9 Comparação com os resultados de Hwang et al. (1966) da componente axal de velocdade ao longo do canal, em dferentes posções transversas, para Ha = 8 e perfl de velocdade parabólco na entrada do canal. Comparação com os resultados de Hwang et al. (1966) da componente axal de velocdade ao longo do canal, em dferentes posções transversas, para Ha = 2 e perfl de velocdade parabólco na entrada do canal. Influênca do campo magnétco sobre o desenvolvmento do perfl da componente axal de velocdade e comparação com os resultados de Hwang et al. (1966). Comparação com os resultados de Manohar (1966) da componente axal de velocdade ao longo do canal, em dferentes posções transversas, para Ha = e perfl de velocdade unforme na entrada do canal. Comparação com os resultados de Shohet et al. (1962) e Manohar (1966) da componente axal de velocdade ao longo do canal, em dferentes posções transversas, para Ha = 8 e perfl de velocdade unforme na entrada do canal. Comparação com os resultados de Manohar (1966) da componente axal de velocdade ao longo do canal, em dferentes posções transversas, para Ha = 12 e perfl de velocdade unforme na entrada do canal. Comparação com os resultados de Manohar (1966) da componente axal de velocdade ao longo do canal, em dferentes posções transversas, para Ha = 2 e perfl de velocdade unforme na entrada do canal. Comparação com os resultados de Shohet et al. (1962) do campo de temperatura ao longo do canal, em dferentes posções transversas, para Ha = 8, Pr =,1, E c = -1, e E z =,. Perfs de temperatura e velocdade unformes na entrada. Comportamento do campo de temperatura ao longo do canal, em dferentes posções transversas, para Ha = 8, Pr =,1, E c = -1, e E z =,. Perfl de temperatura unforme e de velocdade parabólco na entrada do canal

12 Rêgo, Mara das Graças Olvera. Análse da magnetohdrodnâmca com transferênca de calor em canas de Fgura 6.1 Fgura 6.11 Fgura 6.12 Fgura 6.13 Fgura 6.14 Fgura 6.15 Influênca do tpo de perfl de velocdade na entrada do canal sobre o desenvolvmento da temperatura méda de mstura, para Ha = 8, Pr = 1, E c = e E z =. Perfl de temperatura unforme na entrada do canal. Influênca do tpo de perfl de velocdade na entrada do canal sobre o desenvolvmento do número de Nusselt médo local, para Ha = 8, Pr = 1, E c = e E z =. Perfl de temperatura unforme na entrada do canal. Comparação com os resultados de Setayesh e Saha (199) da temperatura méda de mstura e do número de Nusselt médo local ao longo do canal, para Ha = 2, Pr =,75, E c =,1 e E z = -,5. Perfs de temperatura e velocdade unformes na entrada. Comparação com os resultados de Hwang (1962) e Setayesh e Saha (199) do número de Nusselt médo local ao longo do canal, para Ha = 2, Pr = 1, E c = (1, e,1) e E z = (, e -1.). Perfs de temperatura e velocdade unformes na entrada. Influênca dos números de Hartmann e de Eckert sobre o desenvolvmento da temperatura méda de mstura, para Pr =,75 e E z = -,5. Influênca dos números de Hartmann e de Eckert sobre o desenvolvmento do número de Nusselt médo local, para Pr =,75 e E z = -,

13 Rêgo, Mara das Graças Olvera. Análse da magnetohdrodnâmca com transferênca de calor em canas de LISTA DE TABELAS CAPÍTULO 6 Tabela 6.1 Tabela 6.2 Análse de convergênca dos prncpas campos, em dferentes posções axas. (Ha = 8, Pr = 1,, E c =,, E z =, e perfl de velocdade parabólco na entrada). Análse de convergênca dos prncpas campos, em dferentes posções axas. (Ha = 2, Pr =,75, E c =,1, E z = -,5 e perfl de velocdade unforme na entrada)

14 Rêgo, Mara das Graças Olvera. Análse da magnetohdrodnâmca com transferênca de calor em canas de LISTA DE SÍMBOLOS A B Cɶ ( y) c p d l ds E E c E E E r E z F Área total das placas Vetor campo magnétco externo Autofunção relaconada ao campo de temperatura Calor específco à pressão constante Elemento dferencal de comprmento Elemento dferencal de área/superfíce Vetor campo elétrco Número de Eckert Campo elétrco nduzdo Campo elétrco externo Campo eletrostátco Parâmetro elétrco admensonal Vetor força eletromagnétca f ( ) m x Coefcente de atrto médo local G z Ha Ha ef Número de Graetz Número de Hartmann Número de Hartmann efetvo h ( ) m x Coefcente médo local de transferênca de calor por convecção Itot ( x ) Corrente total por undade de comprmento J Vetor densdade de corrente elétrca k Condutvdade térmca k e Condutvdade térmca na entrada do canal k ( ) m x Condutvdade térmca méda local k ( ) m,1,2 x Condutvdade térmca méda nas paredes 1 e 2 do canal l Escala característca de comprmento

15 Rêgo, Mara das Graças Olvera. Análse da magnetohdrodnâmca com transferênca de calor em canas de M N N Norma da autofunção assocada ao campo de função corrente Parâmetro de nteração magnétca Norma da autofunção assocada ao campo de temperatura Nu ( ) m x Número de Nusselt médo local Nφ Nθ P P r Número de termos empregado nas expansões do campo de função corrente Número de termos empregado nas expansões do campo de temperatura Campo de pressão Número de Prandtl q joule Taxa de geração de energa por efeto Joule q vsc Taxa de geração de energa por efetos de dsspação vscosa Q( x ) q Re Re m T ( x, y ) Taxa de transferênca de calor local Carga do elétron Número de Reynolds Número de Reynolds magnétco Campo escalar de temperatura do fludo T ( ) b x Temperatura méda de mstura local T e Temperatura na entrada do canal T w1 Temperatura na parede nferor do canal T w2 Temperatura na parede superor do canal u Campo vetoral de velocdade u ( x, y ) Componente longtudnal de velocdade do fludo U e v ( x, y ) Yɶ ( y) Velocdade méda do fludo na entrada do canal Componente transversal de velocdade do fludo Autofunção relaconada ao campo de função corrente

16 Rêgo, Mara das Graças Olvera. Análse da magnetohdrodnâmca com transferênca de calor em canas de LETRAS GREGAS α β β γ ε Expoente da expressão da vscosdade Expoente da expressão da condutvdade elétrca Autovalores relaconados à autofunção do campo de temperatura Expoente da expressão da condutvdade térmca Permssvdade do espaço lvre θ ew Parâmetro relaconado à razão entre as temperaturas na entrada e na placa nferor do canal θ ( x, y) Campo escalar fltrado de temperatura θ ( x) Campo fltrado e transformado de temperatura µ Vscosdade dnâmca/absoluta do fludo µ Autovalor relaconado ao campo de função corrente µ m Permeabldade magnétca µ w1,2 Vscosdade absoluta do fludo avalada à temperatura das placas nferor e superor do canal ρ ρ e σ Massa específca do fludo Densdade de carga elétrca Condutvdade elétrca do fludo σ w1,2 Condutvdade elétrca do fludo avalada à temperatura das placas nferor e ( x, y) superor do canal φ Campo fltrado de função corrente φ ( x) Campo fltrado e transformado de função corrente ψ ( y ) Fltro relaconado ao campo de função corrente F ψ ( x, y) Campo escalar de função corrente

17 Rêgo, Mara das Graças Olvera. Análse da magnetohdrodnâmca com transferênca de calor em canas de SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO MAGNETOHIDRODINÂMICA: FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA INTRODUÇÃO CONCEITOS BÁSICOS EQUAÇÕES DA ELETRODINÂMICA CAMPO ELÉTRICO E FORÇA DE LORENTZ LEI DE OHM E FORÇA DE LORENTZ VOLUMÉTRICA LEI DE AMPÈRE LEI DE FARADAY CONSERVAÇÃO DE CARGA - DIVERGÊNCIA: J = e B = EQUAÇÃO DE TRANSPORTE DO CAMPO MAGNÉTICO EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES E A FORÇA DE LORENTZ TENSÕES DE MAXWELL REVISÃO BIBLIOGRÁFICA MAGNETOHIDRODINÂNICA EM CANAIS TÉCNICA DA TRASNFORMADA INTEGRAL FORMULAÇÃO MATEMÁTICA MODELAGEM MATEMÁTICA ADIMENSIONALIZAÇÃO E GRUPOS ADIMENSIONAIS PRINCIPAIS PARÂMETOS DE COMPARAÇÃO... 6

18 Rêgo, Mara das Graças Olvera. Análse da magnetohdrodnâmca com transferênca de calor em canas de 5 METODOLOGIA DE SOLUÇÃO FORMULAÇÃO EM FUNÇÃO CORRENTE FILTRAGEM DOS CAMPOS DE FUNÇÃO CORRENTE E TEMPERATURA EXPRESSÃO DO FILTRO PARA O CAMPO DE FUNÇÃO CORRENTE EXPRESSÃO DO FILTRO PARA O CAMPO DE TEMPERATURA PROBLEMAS DE AUTOVALOR AUXILIARES PROBLEMA DE AUTOVALOR PARA O CAMPO DE FUNÇÃO CORRENTE PROBLEMA DE AUTOVALOR PARA O CAMPO DE TEMPERATURA TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL DAS EQUAÇÕES RECUPERAÇÃO DOS PRINCIPAIS CAMPOS RESULTADOS E DISCUSSÃO ANÁLISE DE CONVERGÊNCIA RESULTADOS OBTIDOS E VALIDAÇÃO CONCLUSÕES E SUGESTÕES CONCLUSÕES SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS... 1 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANEXOS... 17

19 CAPÍTULO I Introdução

20 Rêgo, Mara das Graças Olvera. Análse da magnetohdrodnâmca com transferênca de calor em canas de 2 1 INTRODUÇÃO O escoamento, lamnar ou turbulento, e a transferênca de calor envolvendo fludos condutores elétrcos (não magnétcos) submetdos a campos magnétcos externos (Magnetohdrodnâmca - MHD) tem se apresentado em mportantes aplcações ndustras atuas sob as mas varadas formas e stuações, como por exemplo, no desenvolvmento de bombas e geradores magnetohdrodnâmcos, no resframento de reatores nucleares, e mas fortemente nas ndústras de alumíno (células de redução de alumíno) e sderúrgcas. Incando-se no começo do século vnte, estudos sobre a magnetohdrodnâmca aplcada à engenhara reapareceram nos anos sessenta, tendo ganhado, atualmente, forte atenção devdo prncpalmente às necessdades energétcas e ambentas, tornando-se, consequentemente, o objeto de mutas nvestgações centífcas (Sherclff, 1965; Davdson, 21 e Sutton e Sherman, 26). Paralelamente, o desenvolvmento de métodos numércos, empregados na solução das equações que governam o escoamento e a transferênca de calor dos mas dversos campos das cêncas, tem ganhado cada vez mas espaço na comundade centífca e tecnológca, prncpalmente no que dz respeto ao seu uso e aplcação. Atualmente, os métodos conhecdos como volumes fntos e elementos fntos formam a base das metodologas numércas empregadas nos núcleos de cálculo dos softwares atuas encontrados nos campos de dnâmca dos fludos computaconal e de análse estrutural computaconal (ANSYS, 29). Por outro lado, o apelo pelo desenvolvmento e aplcação de metodologas matemátcas que mantenham um caráter analítco na obtenção da solução das equações de governo dos mas varados campos da cênca se mantém como meta centífca. Dentre as metodologas que satsfazem tal requermento, pelo menos parcalmente, está o método conhecdo como Técnca da Transformada Integral Generalzada (GITT). A GITT é uma técnca híbrda, numérco-analítca, que vem sendo desenvolvda de forma paralela aos métodos puramente numércos, e que mantém, na sua aplcação, todas as característcas de uma solução analítca, como o método de separação de varáves, assocada, por outro lado, à robustez dos métodos puramente numércos para soluções de sstemas de equações dferencas ordnáras.

21 Rêgo, Mara das Graças Olvera. Análse da magnetohdrodnâmca com transferênca de calor em canas de 21 Em função de tal panorama, o prncpal objetvo do presente trabalho consste no desenvolvmento de soluções híbrdas, através da aplcação da Técnca da Transformada Integral Generalzada (GITT), para o problema do desenvolvmento smultâneo do escoamento e da transferênca de calor de fludos newtonanos condutores elétrcos submetdos a campos magnétcos constantes, em um canal de placas planas e paralelas. Tal geometra se apresenta como boa smplfcação para mutos escoamentos encontrados na prátca e faclta extremamente o procedmento de análse e valdação da técnca. O escoamento, modelado através das equações parabólcas e na formulação de função corrente, é mantdo por um gradente de pressão e o campo magnétco é aplcado na dreção normal ao escoamento. Assume-se que tal campo magnétco não é afetado pelo escoamento, permanecendo muto maor do que qualquer campo gerado em outras dreções coordenadas. Analsa-se, assm, a nteração de uma va apenas entre o escoamento de um fludo condutor elétrco e um campo magnétco, uma vez que o campo magnétco afeta o campo de escoamento, mas o campo de escoamento não afeta o campo magnétco mposto. Esta smplfcação mplca que não há necessdade da resolução das equações de Maxwell, uma vez que o campo magnétco aplcado não é alterado pelo escoamento. Para avalar mas efetvamente a nfluênca do campo magnétco aplcado sobre as regões de entrada hdrodnâmca e de entrada térmca, dos tpos de condções de entrada para o campo de velocdade na entrada do canal são empregadas: perfl unforme e perfl parabólco do escoamento completamente desenvolvdo sem aplcação de campo magnétco. Para o campo de temperatura, consdera-se um perfl de entrada unforme. Resultados para os campos de velocdade, temperatura e outras varáves correlatas são mostrados em função dos prncpas parâmetros governantes, como número de Reynolds, número de Hartmann e parâmetro elétrco, entre outros, para stuações típcas encontradas na prátca. Para fns de valdação, os resultados obtdos com a presente metodologa são anda confrontados com outros resultados numércos e expermentas prevamente reportados na lteratura. À luz de sua natureza híbrda, numérco-analítca, e de sua garanta de controle de erro local e global, espera-se que a metodologa empregada se reafrme, em função dos resultados apresentados, como uma ferramenta aproprada para fns de valdação numérca ( benchmarkng ) neste campo de pesqusa.

22 Rêgo, Mara das Graças Olvera. Análse da magnetohdrodnâmca com transferênca de calor em canas de 22 A segur, no Capítulo 2, é realzada uma breve descrção, baseada em Sherclff (1965) e Davdson (21), dos fundamentos do escoamento de fludos condutores elétrcos (não magnétcos) submetdos a campos magnétcos. Nesse capítulo, são mostradas as equações báscas da eletrodnâmca, os seus parâmetros característcos e a forma de nteração entre os campos magnétcos e do escoamento. No Capítulo 3, é realzada uma revsão bblográfca acerca dos trabalhos numércos e expermentas desenvolvdos anterormente sobre o estudo da magnetohdrodnâmca com e sem transferênca de calor em dutos. No fnal do capítulo, é mostrado anda o estado da arte de aplcação da técnca da transformada ntegral generalzada a problemas de mecânca dos fludos e transferênca de calor. No Capítulo 4, é desenvolvda a formulação matemátca do problema, lustrando-se a geometra estudada e as condções de contorno assocadas ao fenômeno físco analsado. O problema é mostrado nas suas formas dmensonal e admensonal, e os grupos admensonas empregados são, nesse momento, defndos. As defnções dos prncpas parâmetros correlatos aos campos de velocdade e magnétco são também estabelecdas no fnal desse capítulo. O Capítulo 5 descreve completamente a metodologa de solução empregada nas equações de governo do problema. O uso da formulação em função corrente, o emprego do processo de fltragem numérca dos campos de função corrente e temperatura, o estabelecmento dos problemas de autovalores assocados, o desenvolvmento do processo analítco de transformação ntegral das equações de governo e a recuperação dos potencas (campos) orgnas são detalhadamente descrtos nesse capítulo. No Capítulo 6 são mostrados, na forma gráfca e em tabelas, os resultados obtdos no presente trabalho com aplcação da técnca da transformada ntegral generalzada. Valdação numérca, análses de convergêncas dos prncpas campos do escoamento e uma completa dscussão de tas resultados são nesse momento efetuadas. Fnalmente, no Capítulo 7, são traçadas as conclusões obtdas com o desenvolvmento do presente trabalho e as prncpas sugestões de contnudade para trabalhos futuros são apresentadas. As referêncas bblográfcas empregadas como base e para comparação dos resultados alcançados com o presente trabalho são lstadas no fnal da dssertação.

23 CAPÍTULO II MHD: Fundamentação Teórca

24 Rêgo, Mara das Graças Olvera. Análse da magnetohdrodnâmca com transferênca de calor em canas de 24 2 MAGNETOHIDRODINÂMICA: FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 2.1 INTRODUÇÃO Campos magnétcos nfluencam mutos escoamentos naturas e artfcas. Na ndústra, eles são rotneramente usados para aquecer, bombear, agtar e levtar metas líqudos. Por outro lado, tem-se conhecmento da exstênca do campo magnétco terrestre, o qual é mantdo pelo movmento do fludo no núcleo da terra, do campo magnétco solar, o qual gera manchas e chamas solares e do campo magnétco galáctco, o qual se atrbu à formação de estrelas a partr de nuvens solares. O estudo desses escoamentos é denomnado magnetohdrodnâmca (MHD). Formalmente, a magnetohdrodnâmca está voltada para a nteração mútua entre o escoamento de fludos e campos magnétcos. Os fludos em questão devem ser eletrcamente condutores e não-magnétcos, os quas se lmtam a metas líqudos, gases quentes onzados (plasmas) e eletróltos fortes. As les do magnetsmo e do escoamento de fludos foram desenvolvdas por volta do século XIX, no entanto, a magnetohdrodnâmca tornou-se um assunto completamente desenvolvdo apenas no fnal da década de 193 e níco da década de 194. A razão era, provavelmente, que exsta pouco ncentvo para as possbldades oferecdas pela magnetohdrodnâmca. Assm, enquanto poucos expermentos solados eram realzados por físcos, como Faraday, o assunto permaneceu nexplorado até a vrada daquele século. O panorama começou a mudar quando os astrofíscos perceberam o quão onpresentes são campos magnétcos e plasmas por todo o unverso. Isto culmnou em 1942 com a descoberta das ondas de Alfvén, um fenômeno pecular à magnetohdrodnâmca e mportante em astrofísca (uma lnha de campo magnétco pode transmtr ondas nercas transversas). Ao mesmo tempo, geofíscos começaram a suspetar que o campo magnétco da terra era gerado pela ação de dínamo do metal líqudo de seu núcleo, uma hpótese ncalmente fomentada por Larmor em 1919 no contexto do campo magnétco do sol. Os físcos de plasma, por outro lado, despertaram nteresse em MHD na década de 195 com a busca pela fusão termonuclear controlada. Estavam partcularmente nteressados na establdade (perda de establdade) de plasmas confnados por campos magnétcos. Como resultado, grandes avanços na teora da establdade foram obtdos.

25 Rêgo, Mara das Graças Olvera. Análse da magnetohdrodnâmca com transferênca de calor em canas de 25 Apesar de alguns trabalhos poneros terem sdo realzados pelo engenhero Hartmann que, em 1918, nventou a bomba eletromagnétca (lustrada na Fgura 2.1a) e também, em 1937, empreendeu uma sstemátca nvestgação teórca e expermental do escoamento de mercúro sob um campo magnétco homogêneo (Hartmann é consderado o pa da magnetohdrodnâmca de metal líqudo, sendo o termo escoamento de Hartmann usado para descrever escoamentos em dutos na presença de um campo magnétco), o desenvolvmento da magnetohdrodnâmca na engenhara só aconteceu efetvamente a partr da década de 196. Esse lento progresso deveu-se especalmente à baxa condutvdade elétrca dos fludos comumente empregados na engenhara, a saber, o mercúro e alguns eletróltos. O ímpeto à mudança veo, prncpalmente, a partr de três novações tecnológcas: a) reatores de almentação/produção rápda, que usam sódo líqudo como fludo refrgerante e necessta ser bombeado (bomba eletromagnétca Fgura 2.1a); b) fusão termonuclear controlada, que requer que um plasma quente seja mantdo dstante das superfíces do reator por forças eletromagnétcas (Fgura 2.1b), c) geração de potênca magnetohdrodnâmca, na qual um gás onzado é propeldo através de um campo magnétco. Tal novação mostrou-se, posterormente, tecncamente nvável. (a) (b) Fgura 2.1 Esquema (a) de uma bomba eletromagnétca (adaptado de Sherclff, 1965) e (b) do confnamento magnétco de plasma (adaptado de Davdson, 21).

26 Rêgo, Mara das Graças Olvera. Análse da magnetohdrodnâmca com transferênca de calor em canas de 26 Enquanto a pesqusa por geração de potênca declnava, a ndústra metalúrgca demonstrava nteresse por MHD. Duas décadas mas tarde, campos magnétcos eram rotneramente empregados para aquecer, bombear, agtar (Fgura 2.2a), amortecer o movmento (Fgura 2.2b) e levtar (Fgura 2.2c) metas líqudos em ndústras metalúrgcas de todo o mundo. (a) (b) (c) Fgura 2.2 Esquema (a) de agtação magnétca de um lngote, (b) do amortecmento magnétco de movmento durante fundção e (c) de uma válvula eletromagnétca. Adaptado de Davdson (21). O ponto chave destas aplcações é que a força de Lorentz fornece um meo não ntrusvo de se controlar o escoamento de metas. Assm, com a constante pressão comercal em se produzr materas mas baratos, melhores e mas consstentes, a magnetohdrodnâmca aparece como uma ferramenta únca de exercíco de maor controle na fundção e nos processos de refnamento de metas.

27 Rêgo, Mara das Graças Olvera. Análse da magnetohdrodnâmca com transferênca de calor em canas de 27 A magnetohdrodnâmca também é mportante no processo de eletrólse, partcularmente em células de eletrólse usadas para reduzr óxdo de alumíno em alumíno. Essas células consstem de camadas largas, mas rasas, de eletrólto/crolta e alumíno líqudo, com o eletrólto permanecendo no topo. Uma corrente elétrca extrema (aproxmadamente 2 ka) passa vertcalmente para baxo através das duas camadas, reduzndo contnuamente o óxdo de metal. Esse processo é energetcamente ntensvo, prncpalmente por causa da elevada resstênca elétrca do eletrólto. Sabe-se que campos magnétcos dspersos podem desestablzar a nterface entre o eletrólto e o alumíno, através de ondas de gravdade nterfacas, as quas absorvem energa do campo magnétco convertendo-a em energa cnétca (Fgura 2.3). De manera a evtar estas nstabldades, a camada de crolta deve ser mantda em uma espessura acma de algum valor crítco, às custas de uma severa penaldade energétca. Fgura 2.3 Instabldade em uma célula de redução de alumíno. Adaptado de Davdson (21). Entre outras aplcações da magnetohdrodnâmca na engenhara e na metalurga podem-se ctar anda a fundção eletromagnétca de alumíno, a reformulação de super lgas baseadas em ttâno e níquel, a remoção eletromagnétca de nclusões não-metálcas de metal funddo, propeldores/lançadores eletromagnétcos e o chamado processo de fundção à fro por ndução em cadnhos (vtrfcação de lxo nuclear altamente atvo). Como se pode perceber, a magnetohdrodnâmca tem encontrado um lugar permanente e substancal na engenhara, mas especfcamente na vasta área de processamento de materas.

28 Rêgo, Mara das Graças Olvera. Análse da magnetohdrodnâmca com transferênca de calor em canas de CONCEITOS BÁSICOS A nteração mútua de um campo magnétco, B, e um campo de velocdade, V, surge parcalmente como resultado das les de Faraday e Ampère, e parcalmente por causa da força de Lorentz expermentada por um corpo condutor de corrente elétrca. De manera convenente, embora artfcal, dvde-se essa nteração em três ações: ) O movmento relatvo de um fludo condutor e um campo magnétco gera uma força eletromotrz, fem (da ordem de u B ), de acordo com a le de Faraday da ndução. Em geral, correntes elétrcas são geradas/nduzdas, a densdade de σ u B, e σ sendo a condutvdade elétrca. corrente, J, sendo da ordem de ( ) ) As correntes nduzdas devem também, de acordo com a le de Ampère, gerar/nduzr um segundo campo magnétco. Esse campo magnétco se soma ao campo magnétco orgnal e a mudança é geralmente tal que o fludo parece arrastar as lnhas de campo magnétcas. ) O campo magnétco combnado nterage com a densdade de corrente nduzda, J, gerando/nduzndo uma força por undade de volume, a força de Lorentz, J B. Essa força age sobre o condutor e, geralmente, é drgda de manera a nbr o movmento relatvo entre o campo magnétco e o fludo. As duas últmas ações têm conseqüêncas smlares. Em ambos os casos, o movmento relatvo entre o fludo e o campo magnétco tende a ser reduzdo. Fludos podem arrastar lnhas de campo magnétco (efeto ) e campos magnétcos podem segurar fludos condutores (efeto ). É este congelamento parcal do meo e do campo magnétco que é o ponto prncpal da magnetohdrodnâmca. Esses efetos são, talvez, mas famlares no contexto da eletrodnâmca convenconal. Consdere um fo crcular o qual é puxado através de um campo magnétco (Fgura 2.4). Logo que o fo é deslocado para a dreta, uma força eletromotrz, fem, da ordem de u B é gerada, fazendo com que uma corrente elétrca crcule no fo como mostrado (efeto ).

29 Rêgo, Mara das Graças Olvera. Análse da magnetohdrodnâmca com transferênca de calor em canas de 29 Fgura 2.4 Interação entre um campo magnétco e um fo crcular em movmento. Adaptado de Davdson (21). O campo magnétco assocado com a corrente nduzda perturba o campo magnétco orgnal, e o resultado líqudo é que as lnhas de campo magnétcas parecem ser arrastadas pelo fo (efeto ). A corrente nduzda também faz surgr a força de Lorentz, J B, a qual age no fo na dreção oposta ao do movmento (efeto ). Assm, é necessáro fornecer uma força para movmentar o fo. Para um melhor entendmento do efeto (), nca-se pela percepção de que o campo magnétco mposto deverá ser nfluencado (a) pela velocdade típca do fludo, (b) pela condutvdade elétrca do fludo e, de manera não tão explícta, (c) por uma escala característca de comprmento, l, do movmento. Se o fludo não é condutor ou a sua velocdade é desprezível, não exstrá campo magnétco nduzdo sgnfcante. Por outro lado, se σ ou u são grandes, então o campo magnétco nduzdo pode alterar o campo magnétco mposto (ver Fgura 2.4). Conforme ctado, a fem gerada pelo movmento relatvo entre o campo magnétco mposto e o meo é da ordem de u B, de manera que, pela le de Ohm, a densdade de corrente nduzda é da ordem de σ ( u B). No entanto, uma densdade de corrente modesta espalhada sobre uma área grande pode produzr um campo magnétco elevado, enquanto que a mesma densdade de corrente espalhada sobre uma área pequena nduz apenas um campo magnétco fraco. Logo, é o produto σu l que determna a razão do campo magnétco nduzdo para o campo magnétco aplcado. No lmte em que σu l (típco dos condutores deas), os campos magnétcos, nduzdo e mposto, são de mesma ordem de grandeza. Em tas crcunstâncas, o campo magnétco combnado se comporta como se estvesse preso ao fludo. Por outro lado, quando σu l, o campo magnétco mposto permanece relatvamente nalterado.

30 Rêgo, Mara das Graças Olvera. Análse da magnetohdrodnâmca com transferênca de calor em canas de 3 A astrofísca se stua mas próxma do prmero caso, não apenas pela alta condutvdade dos plasmas, mas devdo à grande escala de comprmento envolvda. A MHD de metal líqudo, por outro lado, se stua no segundo lmte, de manera que o campo de velocdade não perturba sgnfcatvamente o campo magnétco mposto. Apesar desse fato, o efeto () anda é forte em metas líqudos, de manera que um campo magnétco mposto altera substancalmente o campo de velocdade (nteração de uma va). Consderando-se a permeabldade do espaço lvre, µ m, a condutvdade elétrca, σ, a massa específca do meo, ρ, e uma escala de comprmento característca, l, pode-se construr os três seguntes parâmetros chaves da magnetohdrodnâmca. Re m = µ m σul Número de Reynolds Magnétco (2.1) v a B = Velocdade de Alfvèn ρµ m (2.2) 2 σ B τ = ρ 1 Tempo de Amortecmento Magnétco (2.3) O número de Reynolds magnétco é uma medda admensonal da condutvdade elétrca, de manera que é Re m, e não apenas σ, o fator mportante em MHD. Quando Re m é grande, as lnhas de campo magnétcas agem como cordas elástcas agarradas ao meo, mplcando em duas conseqüêncas. Prmero, o fluxo magnétco através de uma curva materal fechada tende a ser conservado durante o movmento do fludo (as lnhas de fluxo tendem a acompanhar a curva, Fgura 2.4). Segundo, pequenos dstúrbos no meo resultam em osclações quas-elástcas, o campo magnétco fornecendo a força de restauração para as osclações. Isso resulta nas ondas de Alfvèn, de freqüênca ω v a / l. Quando Re m é pequeno, u tem pouca nfluênca sobre B, pos o campo nduzdo é desprezível comparado ao mposto. O campo magnétco comporta-se de manera dsspatva, não elástca, amortecendo o movmento pela conversão de energa cnétca em calor, va efeto Joule. A escala de tempo relevante é agora o tempo de amortecmento, τ, e não l / va.

31 Rêgo, Mara das Graças Olvera. Análse da magnetohdrodnâmca com transferênca de calor em canas de EQUAÇÕES DA ELETRODINÂMICA As les báscas do eletromagnetsmo são denomnadas de les de Lorentz, de Ohm, de Faraday e de Ampère, e serão dscutdas em maores detalhes nesta seção CAMPO ELÉTRICO E FORÇA DE LORENTZ Uma partícula se movendo com velocdade u e transportando uma carga q está, em geral, submetda a três forças eletromagnétcas: f = qe + qe + qu B s (2.4) - O prmero termo é a força eletrostátca, ou força de Coulomb, a qual surge da repulsão ou atração mútua de cargas elétrcas ( E é o campo eletrostátco), s - O segundo termo é a força que a carga expermenta na presença de um campo magnétco dependente do tempo ( E é o campo elétrco nduzdo pelo campo), - O tercero termo é a força de Lorentz, a qual surge com o movmento da carga em um campo magnétco. A le de Coulomb afrma que dvergênca (Eq.2.8). Assm: E s é rrotaconal, e a le de Gauss estabelece a sua ρe E s = ε ; = E s (2.5.a-b) onde ρ e é a densdade de carga total (cargas lvres e de lgação) e ε é a permssvdade do espaço lvre. Em função da Eq. (2.5.b), pode-se ntroduzr o potencal eletrostátco V, 2 defndo por E = V, de manera que da Eq. (2.5a) tem-se V = ρ / ε. s Por outro lado, o campo elétrco nduzdo tem dvergênca nula, enquanto o seu rotaconal é fnto e governado pela le de Faraday (ver Eq. 2.7): e E = ; B E = t (2.6, 2.7)

32 Rêgo, Mara das Graças Olvera. Análse da magnetohdrodnâmca com transferênca de calor em canas de 32 Assm, é convenente defnr o campo elétrco total como E = Es + E, de tal manera que se pode escrever de manera generalzada: ρe E = ε Le de Gauss ; B E = t Le de Faraday (2.8, 2.9) f = q E + u B ( ) Força Eletrostátca + Força de Lorentz (2.1) Se, dferentemente de u, E e B, for meddo um campo elétrco em um sstema de coordenadas fxo na carga em movmento, defne-se o campo elétrco relatvo/efetvo: f = qe r ; r E = E + u B (2.11, 2.12) LEI DE OHM E FORÇA DE LORENTZ VOLUMÉTRICA Em MHD, o nteresse é na força global agndo sobre o meo, não nas forças sobre partículas ndvduas. Assm, um somatóro sobre um volume untáro do condutor produz: q = ρ Densdade de Carga e qu = J Densdade de Corrente (2.13,2. 14) Logo, a versão volumétrca da Eq. (2.1), sto é, da força de Lorentz é: F = ρ E + J B e Força p/ Undade de Volume (2.15) Por outro lado, as velocdades comumente encontradas em aplcações de engenhara são muto menores do que a velocdade da luz e a densdade de carga é muto pequena, de manera que o prmero termo da Eq. (2.15) pode ser desprezado. Assm, na magnetohdrodnâmca de metas líqudos, a força de Lorentz é escrta na forma: F = J B Força de Lorentz volumétrca (MHD) (2.16)

33 Rêgo, Mara das Graças Olvera. Análse da magnetohdrodnâmca com transferênca de calor em canas de 33 Sabe-se por outro lado que à densdade de corrente, J, em um condutor estaconáro é proporconal à força gerada pelas cargas lvres, qe, sendo descrta pela le de Ohm convenconal como J = σ E (Fgura 2.5a). Fgura 2.5 Le de Ohm em um condutor (a) estaconáro e (b) em movmento. Adaptado de Davdson (21). Se, em adção, o condutor se move com velocdade u sob um campo magnétco, as cargas lvres expermentarão uma força adconal qu B, e a le de Ohm é agora escrta de manera generalzada como (Fgura 2.5b): J = σ E = σ E + u B r ( ) Le de Ohm (MHD/Não-MHD) (2.17) Se o condutor é um meo fludo, o campo de velocdade u varará, em geral, com a posção. Esta característca torna a nteração entre u e B mas sutl e mas dfícl de quantfcar LEI DE AMPÈRE Smplfcadamente, a le de Ampère trata do campo magnétco gerado por uma dstrbução de corrente (Fgura 2.6). Se C é uma curva fechada, composta de elementos de lnha d l, e S é qualquer superfíce lmtada por essa curva, a le de Ampère estabelece: B dl = µ m J ds Le de Ampère (2.18) C S

34 Rêgo, Mara das Graças Olvera. Análse da magnetohdrodnâmca com transferênca de calor em canas de 34 Fgura 2.6 Le de Ampère aplcada a um fo. Adaptado de Davdson (21). Essa le pode ser entendda como a crculação do campo magnétco em torno da curva C é gual ao fluxo (densdade) de corrente através da superfíce (área, S) delmtada pela curva sobre a qual a crculação está sendo calculada. Na forma dferencal, aplcando o teorema de Gauss, a le de Ampère é descrta como: B = µ J m Le de Ampère (2.19) Posterormente, Maxwell verfcou que a le necesstara levar em conta a antes desconhecda corrente de deslocamento (a qual se faza necessára para satsfazer o prncípo de conservação da carga, ver Eq.2.23), de manera que a le passou a ser denomnada le de Ampère-Maxwell. Na forma dferencal ela é escrta como: E B = µ m J + ε t Le de Ampère-Maxwell (2.2) Entretanto, a correção de Maxwell não é necessára em MHD de metal líqudo, de manera que é empregada na sua forma pré-maxwellana dada pela Eq. (2.19) LEI DE FARADAY A le de Faraday trata da força eletromotrz (fem) a qual é gerada em um condutor como resultado de () um campo magnétco varável (dependente do tempo), ou (b) do movmento de um condutor no nteror de um campo magnétco (Fgura 2.7).

35 Rêgo, Mara das Graças Olvera. Análse da magnetohdrodnâmca com transferênca de calor em canas de 35 Fgura 2.7 Le de Faraday (a) fem gerada pelo movmento de um condutor, (b) fem gerada por um campo magnétco dependente do tempo. Adaptado de Davdson (21). Em um ou outro caso, a le de Faraday pode ser escrta como: d r l Le de Faraday/Lenz C dt (2.21) S fem = E d = B ds Onde C é uma curva fechada, composta de elementos de lnha d l e S é qualquer superfíce lmtada por essa curva. Novamente, como na Eq. (2.12), E r é o campo elétrco efetvo, meddo em uma referênca fxa na carga/elemento d l em movmento. Smlarmente à le de Ampère, a le de Faraday pode ser entendda como a crculação do campo elétrco em torno da curva C (fem gerada) é gual ao decréscmo da taxa de varação como tempo do fluxo (densdade) magnétco através da superfíce (área, S) delmtada pela curva sobre a qual a crculação está sendo calculada. Na forma dferencal, aplcando o teorema de Gauss e supondo que a curva é rígda e está em repouso (e logo a carga de cada elemento d l ), a le de Faraday é descrta como: B E = t Le de Faraday(MHD/Não-MHD) (2.22) A Eq. (2.22) é um caso especal da Eq. (2.21), sendo uma defnção menos geral do que a sua versão orgnal. Na Eq. (2.22), a fem pode ser gerada pela varação do fluxo de B com o tempo, pelo movmento unforme da curva em um campo não-homogêneo, ou pela mudança da forma da curva. Por outro lado, a Eq. (2.22) estabelece apenas o campo elétrco nduzdo por um campo magnétco varante com o tempo.

36 Rêgo, Mara das Graças Olvera. Análse da magnetohdrodnâmca com transferênca de calor em canas de CONSERVAÇÃO DE CARGA - DIVERGÊNCIA: J = e B = Conforme já ctado, o requermento de conservação da carga requer que a taxa na qual a carga decresce em um volume de controle deve ser gual ao fluxo de carga para fora através de sua superfíce (densdade de corrente, Eq.2. 14): ρe J = t Eq. Conservação da Carga (2.23) Tomando o dvergente em ambos os lados da equação anteror, e usando a le de Gauss, obtém-se: ρ t ρ τ ( u B) e e + + = e σ ε τ = σ ; e (2.24.a,b) A quantdade τ e é o tempo de relaxação da carga, e para um condutor típco é aproxmadamente 1-18 s, um valor extremamente pequeno. Para aprecar a orgem do seu nome, consdere a stuação onde u =. Nesse caso a Eq. (2.24.a), e sua solução, são: ρe ρe + = t τ e t ; ρe( t) = ρe() exp τ e (2.25a,b) Qualquer densdade de carga líquda que, no tempo t =, estver no nteror de um condutor se moverá rapdamente para a superfíce sob a ação de forças de repulsão eletrostátcas. Assm, ρ e é sempre zero em condutores estaconáros, exceto durante algum mnúsculo período, como, por exemplo, quando uma batera é lgada. Agora, consdere a stuação em que u. Desde que se está nteressado em eventos que ocorrem em uma escala de tempo muto maor do que τ e, pode-se desprezar ρe t em comparação com ρ / τ, de manera que a Eq. (2.24) é escrta como: e e ( ) ρ = e ε u B (2.26)

37 Rêgo, Mara das Graças Olvera. Análse da magnetohdrodnâmca com transferênca de calor em canas de 37 Logo, quando exste movmento, pode-se sustentar uma densdade de carga fnta no nteror de um condutor. Entretanto, como se verá, ρ e é muto pequena, ncapaz de produzr qualquer força elétrca sgnfcante, (2.16). ρ E e, de manera que se justfca a Eq. Em termos de escalas característcas a equação anteror pode ser aproxmada por ρ ε ub / l, enquanto da le de Ohm por E J / σ, de manera que e uτ e ρee ( ε ub / l)( J / σ ) J B. Por argumentos dmensonas, l uτ e / 1 18 l, assm, a força de Lorentz domna completamente a Eq. (2.15), a qual passa a ser escrta como: F = J B Força de Lorentz volumétrca (MHD) (2.27) Observa-se também que para u ρe, uma hpótese básca fo desprezar t manera que a equação da conservação da carga, Eq. (2.23), passa a ser escrta como: de J = Eq. Conservação da Carga (MHD) (2.28) Com relação à le de Ampère-Maxwell, explctando a densdade de corrente J, aplcando o dvergente sobre a equação obtda e fazendo uso da le de Gauss, obtém-se: ρe J = ε ( E) = t t (2.29) Esta é exatamente a equação da conservação da carga, a qual demonstra que se a le de Ampère for empregada sem a corrente de deslocamento (correção de Maxwell), a conservação da carga sera volada. Entretanto, como já ctado, em condutores, o termo ρe é desprezível, ou, por argumentos dmensonas, a corrente de deslocamento é muto t menor do que J. Assm a Eq. (2.19) é sufcente para análses de MHD. B = µ J m Le de Ampère (MHD) (2.3)

38 Rêgo, Mara das Graças Olvera. Análse da magnetohdrodnâmca com transferênca de calor em canas de 38 Em adção, essa equação é consstente com a Eq. (2.28), a equação da conservação da carga smplfcada, uma vez que, tomando-se o dvergente da Eq. (2.19), obtém-se a Eq. (2.31). Fnalmente, com relação à le de Faraday, Eq. (2.23), tomando-se o dvergente em ambos os lados, obtém-se: = = t B ( E) (2.31) Tal resultado mostra que B = B t é solenodal. Na realdade, o própro B é solenodal: (MHD/Não-MHD) (2.32) Isto permte a ntrodução de um outro campo, A, denomnado vetor potencal, o qual é defndo tal que: A = B ; A = (2.33, 2.34) Essa defnção assegura, automatcamente, que B é solenodal, uma vez que A =. Agora a substtução de A na le de Faraday, Eq. (2.23), ( ) A A E = ( A) = E E = V t t t (2.35) onde V é uma função escalar arbtrára (potencal eletrostátco), necessára no resultado, tendo em vsta que E = Es + E e as restrções mpostas pelas Eqs. (2.6), E s =, e (7), E =. E s = V E A = t (2.36a,b)

39 Rêgo, Mara das Graças Olvera. Análse da magnetohdrodnâmca com transferênca de calor em canas de 39 Para conclur a presente seção, é mostrado um resumo das equações que descrevem todos os fenômenos da eletrodnâmca: as Equações de Maxwell e as equações adconas da força eletromagnétca e da conservação da carga (materas não magnétcos nem delétrcos). E ρ e = ε B E = t f = q E + u B ( ) E B = µ m J + ε t ρe J = t B = Le de Gauss (2.37) Le de Faraday dferencal (2.38) Força eletromagnétca (2.39) Le de Ampère-Maxwell (2.4) Conservação da carga (2.41) Natureza solenodal de B (2.42) Por outro lado, quando são consderadas as smplfcações de MHD, as equações da eletrodnâmca se reduzem à forma pré-maxwellana: B E = t F = J B ( ) J = σ E + u B ( ) B = µ mj J = B = Le de Faraday dferencal (2.43) Força eletromagnétca (2.44) Le de Ohm (2.45) Le de Ampère (2.46) Conservação da carga (2.47) Natureza solenodal de B (2.48)

40 Rêgo, Mara das Graças Olvera. Análse da magnetohdrodnâmca com transferênca de calor em canas de EQUAÇÃO DE TRANSPORTE DO CAMPO MAGNÉTICO Conforme já comentado, em stuações em que o número de Reynolds magnétco é de moderado a elevado, o campo magnétco é nfluencado pelo campo de escoamento. Para se obter a equação de transporte (advecção/dfusão) do campo magnétco, algumas vezes denomnada de equação da ndução, para esta stuação, basta combnar as les de Ohm, Faraday e Ampère: B = E = J u B = u B B t ( / σ ) ( / µ mσ ) (2.49) Notando que 2, uma vez que B é solenodal, a equação da B = B advecção/dfusão do campo magnétco é: B = 2 ( u B) + λm B t (2.5) onde λ ( µ σ ) 1 m = é denomnada de dfusvdade magnétca. Observe-se o forte m acoplamento entre o campo do escoamento e o campo magnétco, caracterzando a nteração de duas vas entre os dos campos. Condções de contorno e condções ncas devem ser especfcadas para o campo magnétco, de manera a se estabelecer a solução de cada problema (Sherclff, 1965). Quando essa equação é escrta na forma admensonal, aparece um parâmetro (admensonal) o qual ndca a ntensdade relatva entre a advecção e a dfusão do campo magnétco. Por sua analoga com a equação de transporte de quantdade de movmento, tal parâmetro recebeu o nome de número de Reynolds magnétco, já ntroduzdo na Eq. (2.1): u = l = l Número de Reynolds Magnétco (2.51) Re m µ m σu λm Assm, quando Re m é alto, a dfusão do campo magnétco é baxa, e o campo magnétco é arrastado/advectado pelo escoamento. Caso contráro, o campo magnétco é dfunddo no campo de escoamento.

41 Rêgo, Mara das Graças Olvera. Análse da magnetohdrodnâmca com transferênca de calor em canas de EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES E A FORÇA DE LORENTZ Campos magnétcos, como qualquer outra força de campo/corpo, atuam em todo ponto do escoamento, de manera que seu efeto é dretamente ncluído através de um termo adconal de força por undade de volume, a força de Lorentz por undade de volume. Assm, levando em conta tal força de corpo, as equações de Naver-Stokes para um fludo ncompressível com propredades físcas constantes são escrtas como: Du Dt 1 ρ ν 2 = p + u + F ρ Du Dt 1 J B ν ρ ρ 2 = p + u + ( ) (2.52) Três grupos admensonas aparecem quando a equação é escrta na forma admensonal. O prmero é o número de Reynolds, Re u = l, o qual, como na mecânca ν u u, pelas forças dos fludos convenconal, ndca a razão das forças nercas, ( ) vscosas, ν 2 u. O segundo grupo é o denomnado parâmetro de nteração magnétca, 2 σ Bl l N = = ρ u uτ (2.53) onde τ é o tempo de amortecmento magnétco, Eq. (2.3). O parâmetro de nteração magnétca é mportante em stuações onde a densdade de corrente J se deve prncpalmente à u B na le de Ohm. Em tal stuação, N representa a razão das forças de Lorentz, ( J B) / ρ u u. Fnalmente, o tercero parâmetro, pelas forças de nérca, ( ) admensonal, denomnado de número de Hartmann, é um híbrdo de Re e N, representando (a sua potênca quadrátca) a razão das forças de Lorentz, ( J B) / ρ, pelas forças vscosas, ν 2 u : 1/2 1/2 σ Ha = ( N Re) = Bl (2.54) ρν