MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

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1 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA SOLUÇÃO ANALÍTICA DAS EQUAÇÕES DA CINÉTICA PONTUAL E ESPACIAL DA TEORIA DE DIFUSÃO DE NÊUTRONS PELAS TÉCNICAS DA GITT E DECOMPOSIÇÃO por Claudo Zen Petersen Tese para obtenção do Título de Doutor em Engenhara Porto Alegre, Novembro 20.

2 SOLUÇÃO ANALÍTICA DAS EQUAÇÕES DA CINÉTICA PONTUAL E ESPACIAL DA TEORIA DE DIFUSÃO DE NÊUTRONS PELAS TÉCNICAS DA GITT E DECOMPOSIÇÃO por Claudo Zen Petersen Tese submetda ao Programa de Pós-Graduação em Engenhara Mecânca, da Escola de Engenhara da Unversdade Federal do Ro Grande do Sul, como parte dos requstos necessáros para a obtenção do Título de Doutor em Engenhara Área de Concentração: Fenômeno de Transportes Orentador: Prof. Dr. Marco Tullo Menna Barreto de Vlhena Co-orentador: Prof. Dr. Pero Ravetto Aprovada por: Prof. Dr. Sérgo de Queroz Bogado Lete (CNEN/RJ) Prof. Dr. Rcardo Carvalho de Barros (UERJ/RJ) Prof. Dr. Francs Henrque Ramos França (UFRGS/RS) Prof. Dr. Francs Henrque Ramos França Coordenador do PROMEC Porto Alegre, 9, Novembro 20.

3 AGRADECIMENTOS Agradeço prmeramente a Deus pela vda que me fo concedda. Agradeço aos meus pas pela educação, ncentvo e por tudo aqulo que fzeram e anda fazem por mm. Agradeço ao professor Vlhena pela orentação, apoo e confança ao longo do trabalho. Agradeço aos colegas do DENUC que contrbuíram e partcparam desta camnhada. Agradeço ao CNPq pelo suporte fnancero. Agradeço ao PROMEC pela possbldade de cursar o doutorado. Por fm, agradeço a Smone pela total compreensão, carnho e amor dedcados a mm.

4 RESUMO Neste trabalho, relatam-se soluções analítcas para as equações da cnétca da teora de dfusão de nêutrons. Para a solução das equações da cnétca pontual consderam-se ses grupos de precursores de nêutrons atrasados e assume-se reatvdade varável como uma função arbtrára do tempo. A dea prncpal consste ncalmente na determnação da solução das equações da cnétca pontual com reatvdade constante apenas usando os resultados bem conhecdos para a solução de sstemas de equações dferencas matrcas lneares de prmera ordem com entradas constantes. Com a aplcação do método de Decomposção, é possível transformar as equações da cnétca pontual com reatvdade varável com o tempo em um conjunto de problemas recursvos semelhantes às equações da cnétca pontual com reatvdade constante, o que pode ser resolvdo dretamente com a técnca menconada anterormente. Para lustração, apresentam-se smulações para as funções com reatvdade constante, lnear e senodal, bem como comparações com resultados na lteratura. Já com relação às equações da cnétca espacal, consderam-se um e ses grupos de precursores de nêutrons atrasados, modelo multgrupo de energa, meo homogêneo e dmensões espacas b e trdmensonas. O formalsmo do procedmento da solução é geral em relação ao número de grupos de energa, famílas de precursores de nêutrons atrasados e regões com dferentes composções químcas. O fluxo rápdo e térmco e as concentrações de nêutrons atrasados são expanddos em uma sére de termos de autofunções que, pela aplcação da técnca da GITT, resulta em uma equação dferencal matrcal de prmera ordem semelhante às equações de cnétca pontual. Por esse motvo, a solução deste problema transformado segue o formalsmo do método da Decomposção aplcado às equações da cnétca pontual. Por fm, apresentam-se smulações numércas e comparações com resultados dsponíves na lteratura. Palavras-chave: Cnétca multgrupo; equação da dfusão de nêutrons; método da Decomposção; GITT; solução analítca. v

5 ABSTRACT In ths work we report analytcal solutons for the neutron knetcs dffuson equatons. For the soluton of the pont knetcs equatons we consder sx groups of delayed neutron precursors and assume that the reactvty s an arbtrary functon of tme. The man dea ntally conssts n the determnaton of the soluton of the pont knetcs equatons wth constant reactvty by just usng the well-known results of the soluton of systems of frst-order lnear ordnary dfferental equatons n matrx form wth constant matrx entres. Applyng the decomposton method, we are able to transform the pont knetcs equatons wth tme dependent reactvty nto a set of recursve problems smlar to the pont knetcs equatons wth constant reactvty, whch can be drectly solved by the above mentoned technque. For llustraton, we also report smulatons for constant, lnear and snusodal reactvty tme functons of tme as well as comparsons wth results publshed n the lterature. As for the space knetcs equatons we consder sx groups of delayed neutron precursors, energy multgroup model, homogeneous meda and two and three-dmensonal geometres. The soluton procedure formalsm s general wth respect to the number of energy groups, neutron precursor famles and regons wth dfferent chemcal compostons. The fast and thermal flux and the delayed neutron precursors concentratons are expanded n a seres n terms of egenfunctons that, upon nserton nto the knetcs equaton and upon takng moments, result n a frst order lnear dfferental matrx equaton wth source terms smlar to the pont knetcs equatons. The soluton of ths transformed problem follows the formalsm of the decomposton method appled to the pont knetcs equatons. We present numercal smulatons and comparsons wth avalable results n the lterature. Keywords: Multgroup knetcs; neutron dffuson equaton; Decomposton method; GITT; analytcal soluton. v

6 ÍNDICE. INTRODUÇÃO AS EQUAÇÕES DA CINÉTICA DA TEORIA DE DIFUSÃO DE NÊUTRONS EQUAÇÃO MULTIGRUPO DE ENERGIA DA TEORIA DE DIFUSÃO DE NÊUTRONS Cálculos de crtcaldade Equação multgrupo da dfusão de nêutrons com fonte de fssão (problema de autovalor) Equação da dfusão de nêutrons a dos grupos de energa (problema de autovalor) CINÉTICA DE REATORES NUCLEARES A mportânca dos nêutrons atrasados nas equações da cnétca Dervação das equações da cnétca pontual SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DA CINÉTICA PONTUAL PELO MÉTODO DA DECOMPOSIÇÃO O MÉTODO CLÁSSICO DA DECOMPOSIÇÃO DE ADOMIAN SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DA CINÉTICA PONTUAL PELO MÉTODO DA DECOMPOSIÇÃO CRITÉRIO DE CONVERGÊNCIA Crtéro de Lyapunov RESULTADOS NUMÉRICOS Caso A. Reatvdade Constante Caso B. Reatvdade varável com o tempo SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DA CINÉTICA ESPACIAL A GITT O PROBLEMA 2D O PROBLEMA 3D CRITÉRIO DE CONVERGÊNCIA E UNICIDADE PARA O PROBLEMA AUXILIAR RESULTADOS NUMÉRICOS Caso teste para o problema 2D CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS FUTURAS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS APÊNDICE A - DIFUSÃO ESTACIONÁRIA DE NÊUTRONS A. O PROBLEMA DE DIFUSÃO ESTACIONÁRIO DE NÊUTRONS APÊNDICE B - TESTE DE ABEL B. CRITÉRIO DE CAUCHY PARA A CONVERGÊNCIA UNIFORME v

7 B.2 TESTE DE ABEL PARA CONVERGÊNCIA UNIFORME ANEXO A - POLINÔMIOS DE CHEBYSHEV v

8 LISTA DE FIGURAS Fgura 2. - Varação da energa para um grupo de energa g... 7 Fgura Esquema multgrupo de energa Fgura Caracterzação dos grupos de energa para um reator térmco Fgura 3. - Densdade de nêutrons para ρ ( t) = a t Fgura Densdade de nêutrons para ρ ( t) = at + bt Fgura Densdade de nêutrons para ρ ( t) = 0,00073 sen( t) Fgura 4. - Dstrbução do fluxo térmco de nêutrons para t = 0, 4s Fgura Dstrbução do fluxo rápdo de nêutrons para t = 0, 4s... 6 Fgura Potênca normalzada para uma rampa lnear consderando um grupo de precursores de nêutrons atrasados Fgura Potênca normalzada para uma rampa lnear consderando ses grupos de precursores de nêutrons atrasados Fgura Potênca normalzada para uma rampa lnear seguda de uma perturbação unforme consderando um grupo de precursores de nêutrons atrasados Fgura Potênca normalzada para uma rampa lnear seguda de uma perturbação unforme consderando ses grupos de precursores de nêutrons atrasados Fgura Potênca normalzada para uma perturbação senodal consderando um grupo de precursores de nêutrons atrasados Fgura Potênca normalzada para uma perturbação senodal consderando ses grupos de precursores de nêutrons atrasados Fgura Fluxo térmco para z = 00 cm e t = 0,4 s Fgura Fluxo rápdo para z = 00 cm e t = 0,4 s Fgura 4. - Potênca normalzada para uma perturbação do tpo rampa lnear para um grupo de precursor Fgura Potênca normalzada para uma perturbação do tpo osclatóra para um grupo de 3 precursores consderando α = 0, Fgura Potênca normalzada para uma perturbação do tpo osclatóra para um grupo de 4 precursor consderando α = 0, v

9 LISTA DE TABELAS Tabela 2. - Parâmetros nucleares dos precursores de nêutrons atrasados para alguns núcleos Tabela 3. - Parâmetros nucleares para um reator térmco Tabela Densdade de nêutrons entre dferentes tempos de geração Λ para reatvdades constantes ρ( t) = ρ Tabela Comparação dos resultados numércos com x Λ = 0, s para dferentes reatvdades constantes ρ( t) = ρ Tabela Parâmetros nucleares para um reator térmco Tabela Densdade de nêutrons para reatvdade do tpo rampa ρ ( t) = at para um tempo de geração de Λ = 0,0000 s Tabela 3.6- Satsfação do crtéro de Lyapnouv para os R sstemas recursvos com o uso da contnuação analítca para ρ = 0,5t, t = s e h = 0,25 s Tabela Parâmetros nucleares para um reator térmco Tabela 3.8- Parâmetros nucleares para um reator térmco Tabela 3.9- Comparação dos resultados numércos para densdade de nêutrons com reatvdade senodal ρ ( t) = 0, sen( t) Tabela 4. - Parâmetros nucleares Tabela Parâmetros nucleares para ses grupos de precursores Tabela Comparação numérca do fluxo térmco de nêutrons no centro do domíno (00, 00, t) para dferentes tempos Tabela Dstrbução do fluxo de nêutrons para t = 0,4s Tabela Fluxo de nêutrons rápdo no centro do domíno (00, 00, t) para dferentes tempos Tabela Dstrbução do fluxo de nêutrons consderando um grupo de precursores para 4 α = 0, e t = 0,4 s Tabela Dstrbução do fluxo de nêutrons consderando ses grupos de precursores para 4 α = 0, e t = 0,4 s Tabela Dstrbução do fluxo de nêutrons consderando um grupo de precursores para α 4 = 0,396 0 e t = 0,4s Tabela Dstrbução do fluxo de nêutrons consderando ses grupos de precursores para α 4 = 0,396 0 e t = 0,4s Tabela Dstrbução do fluxo de nêutrons consderando um grupo de precursores para T = 0, 28s e t = 0, 4s Tabela 4. - Dstrbução do fluxo de nêutrons consderando ses grupos de precursores para T = 0, 28s e t = 0, 4s... 68

10 Tabela Comparação numérca do fluxo térmco no centro do reator (00, 00, 00, t) para dferentes tempos Tabela Dstrbução do fluxo de nêutrons para z = 00 cm e t = 0, 4s Tabela Fluxo de nêutrons rápdo no centro do domíno (00, 00, 00,t) para dferentes tempos x

11 LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS AEM CNEN GAEM GITT GITTDM GRK PROMEC PWS SCM UERJ UFRGS Analytcal Exponental Method Comssão Naconal de Energa Nuclear Generalzed Analytcal Exponental Method Generalzed Transform Integral Technque Generalzed Transform Integral Technque Decomposton Method Generalzed Runge-Kutta Method Programa de Pós-Graduação em Engenhara Mecânca Power Seres Soluton Stff Confnement Method Unversdade Estadual do Ro de Janero Unversdade Federal do Ro Grande do Sul x

12 LISTA DE SÍMBOLOS A A A kj Operador dferencal de segunda ordem Matrz de entradas constantes Polnômos de Adoman 2 B Bucklng materal, cm 2 C( t ) Concentração de precursores de nêutrons atrasados no tempo t, C ( r, t) Concentração de precursores de nêutrons atrasados na posção r para o grupo cm 3 C ( r,0) D D 0 de precursores no tempo t, cm 3 Concentração de precursores de nêutrons atrasados na posção r para o grupo de precursores no tempo t = 0 s, Matrz dagonal dos autovalores cm 3 Matrz dagonal com entradas constantes D ( t) Matrz dagonal com entradas dependentes do tempo D Coefcente de dfusão de nêutrons, cm D( r, t) Coefcente de dfusão de nêutrons na posção r no tempo t, cm D( r ) Dg D D 2 f G g g l L L L ( r, t) Coefcente de dfusão de nêutrons na posção r, cm Coefcente de dfusão de nêutrons na posção r do grupo g no tempo t, cm Coefcente de dfusão de nêutrons do grupo rápdo, cm Coefcente de dfusão de nêutrons do grupo térmco, cm Funções não lneares Número de grupo de energa Grupos de energa Funções conhecdas Tempo médo de vda do nêutron, s Comprmento de dfusão de nêutrons, cm Operador assocado ao problema de Sturm Louvlle Dmensão espacal na dreção x, cm x

13 ν / + L B + L B f a k k eff Coefcente de multplcação efetvo, = k M m Coefcente de multplcação nfnto, Dmensão espacal na dreção y, cm Intero postvo n( t ) Densdade de nêutrons no tempo t, cm 3 ν a f n (0) Densdade de nêutrons no tempo t = 0 s, cm 3 N Quadrado da Norma N max Ordem de truncamento das séres P p Número de grupos de precursores de nêutrons atrasados Função real e contínua Q Qg Dmensão espacal na dreção z, cm ( r, t) Fonte de nêutrons na posção r do grupo g no tempo t, cm s 3 ext Q g Fonte externa de nêutrons, cm s 3 q Função real e contínua R t T Ordem de truncamento do problema transformado Tempo, s Período, s v Velocdade do nêutron, cm / s v g Velocdade do nêutron do grupo g, cm / s v Velocdade do nêutron do grupo térmco, cm / s v 2 Velocdade do nêutron no grupo rápdo, cm / s U Elemento Urâno U Elemento Urâno 235 U V Matrz dos elementos restantes fora da dagonal Volume arbtráro W ( t) Matrz do problema transformado com entradas dependente do tempo X Matrz dos autovetores x

14 X Matrz nversa dos autovetores Y β Vetor solução desconhecdo Fração de nêutrons atrasados β γ r ε Λ λ λ λ η ν ν g Fração de nêutrons atrasados para o grupo de precursores Autovalor Varação da dmensão espacal do domíno Parâmetro de valor pequeno e postvo Tempo médo de geração entre o nascmento do nêutron e posteror absorção, s Constante de decamento, Autovalor s Constante de decamento para o grupo de precursores, Autofunção Número médo de nêutrons produzdos na fssão Número médo de nêutrons produzdos na fssão do grupo g s ν ' Número médo de nêutrons produzdos na fssão do grupo g g ν ν 2 Número médo de nêutrons produzdos na fssão do grupo rápdo Número médo de nêutrons produzdos na fssão do grupo térmco ρ a Reatvdade, keff k eff Seção de choque macroscópca de absorção, cm ( r, t) Seção de choque macroscópca de absorção na posção r no tempo t, a cm a Seção de choque macroscópca de absorção do grupo rápdo, cm a2 Seção de choque macroscópca de absorção do grupo térmco, cm ( ) a2 r Seção de choque macroscópca de absorção na posção r do grupo térmco, cm (0) a2 Seção de choque macroscópca de absorção no grupo 2 no estado estaconáro, cm xv

15 f Seção de choque macroscópca de fssão, cm ( r, t) Seção de choque macroscópca de fssão na posção r no tempo t, f cm ( r) Seção de choque macroscópca de fssão na posção r, f cm ' ( r, t) Seção de choque macroscópca de fssão na posção r do grupo g no tempo t, fg cm f Seção de choque macroscópca de fssão do grupo rápdo, cm f 2 Seção de choque macroscópca de fssão do grupo térmco, cm R Seção de choque macroscópca de remoção, cm ( r, t) Rg ( ) R r Seção de choque macroscópca de remoção na posção r do grupo g no tempo t, cm Seção de choque macroscópca de remoção na posção r do grupo rápdo, cm ( ) R2 r Seção de choque macroscópca de remoção na posção r do grupo térmco, s cm Seção de choque macroscópca de espalhamento, cm ( r, t) sg ' ( r, t) sg g ( ) s2 r Seção de choque macroscópca de espalhamento na posção r do grupo g no tempo t, cm Seção de choque macroscópca de espalhamento na posção r do grupo g para o grupo g no tempo t, cm Seção de choque macroscópca de espalhamento na posção r do grupo rápdo para o grupo térmco, cm T Seção de choque macroscópca total, cm Tg Seção de choque macroscópca total no grupo g, τ Autovalor φ( r, t) Fluxo escalar de nêutrons na posção r no tempo t, φ( r ) Fluxo escalar de nêutrons na posção r, cm s 2 cm cm s 2 xv

16 φ ( r, t) Fluxo escalar de nêutrons na posção r do grupo g no tempo t, g cm s 2 φg ( r,0) Fluxo escalar de nêutrons na posção r do grupo g no tempo t = 0 s, cm s 2 φ ( r, t) Fluxo escalar de nêutrons na posção r do grupo rápdo no tempo t, 2 cm s φ ( r, t) Fluxo escalar de nêutrons na posção 2 r do grupo térmco no tempo t, 2 cm s ϕ Autofunção χ g ψ Ω 2 Espectro de fssão para o grupo g Autofunção Função quadrado ntegrável Gradente Dvergente Laplacano Norma do máxmo xv

17 . INTRODUÇÃO Para um reator nuclear operar em um nível de potênca constante, a taxa de produção va fssão de nêutrons deverá ser balanceada pela perda va absorção ou fuga de nêutrons. Isto equvale a dzer que a densdade neutrônca ou o fluxo não depende do tempo. Esse é conhecdo como o estado crítco de um reator. Algum desvo dessa condção de balanço resultará em uma dependênca temporal da população de nêutrons e, consequentemente, uma varação temporal da potênca do reator. Isso pode acontecer devdo a uma sére de fatores. Por exemplo, quando se deseja lgar ou deslgar um reator, ou quando se deseja mudar o nível de potênca em que o reator está funconando, o que é muto frequente nas usnas geradoras de eletrcdade; nesse caso a potênca do reator varará ao longo do tempo e, consequentemente, a densdade e o fluxo de nêutrons. Ao estudo do comportamento de um reator cuja densdade e o fluxo varam com o tempo chama-se de cnétca de reator. Dentro da teora de dfusão de nêutrons, as equações que governam a dnâmca temporal e espaço-temporal da população de nêutrons são chamadas equações de cnétca. As equações da cnétca da teora da dfusão dvdem-se em: equações da cnétca pontual e equações da cnétca espacal. As equações da cnétca pontual envolvem exclusvamente a varação da ampltude do fluxo com o tempo, ou seja, assumem total separabldade no tempo e no espaço, na qual a forma espacal do fluxo é conhecda o que torna essas equações exclusvamente dependentes do tempo. O modelo da cnétca pontual anda tem um papel relevante em físca de reatores na medda em que pode ser utlzado, quando devdamente resolvdo, para uma prevsão de tempo quase real da potênca do reator, o que permte um controle em tempo útl e de ntervenção na planta, a fm de evtar a ocorrênca de acdentes graves [Buzano, 985]. Quando as equações da cnétca pontual têm coefcentes constantes, soluções analítcas são faclmente estabelecdas [Aboanber, 2002; Zhangsheng et al. 2006], mas elas tornam-se complcadas quando os coefcentes varam com o tempo. A rgdez é uma grande dfculdade em resolver numercamente as equações da cnétca devdo à grande dferença em magntude entre os tempos de vda méda dos nêutrons prontos e atrasados, o que resulta na exgênca de ncrementos muto pequenos no ntervalo de tempo na resolução por métodos numércos. Tem havdo um grande esforço na nvestgação sobre a elmnação do problema da rgdez. Exstem város métodos, especalmente adaptados

18 2 para resolver os problemas de valor ncal para sstemas rígdos de equações dferencas ordnáras. Dentre os métodos numércos ctamos: o de ntegração usando a regra de Smpson [Keepn e Cox, 960], o método dos elementos fntos [Kang e Hansen, 973; Zhyuan, 98], o método de Runge Kutta [Allerd e Carter, 958; Sánchez, 989], o método quaseestátco [Ott e Meneley, 969; Koclas et al., 996], o método sngular de perturbação [Hendry e Bell, 969; Goldsten e Shotkn, 969; Bensk et al., 978] e o método de dferenças fntas [Brown, 957]. A maora destes métodos funconam com sucesso em alguns problemas específcos, mas contnuam a ter desvantagens como menconado por [Vgl, 967]. Essas lmtações concentram-se no passo de tempo máxmo admssível para assegurar a establdade computaconal. Para transentes lentos em reatores rápdos, mesmo a contnuação analítca mostrado em [Vgl, 967] deve ser mudada no seu procedmento básco para alcançar a computação efcente e ncapacdade de resolver as equações da cnétca pontual em sua generaldade completa. Devdo a esse problema, [Chao e Attard, 985] desenvolveram o método de confnamento da rgdez (SCM). [Basken e Lewns, 996] ntroduzram a solução das equações da cnétca pontual por uma sére de potêncas com a reatvdade varando com o tempo. [Aboanber e Hamada, 2003] desenvolveram o método PWS (solução em séres de potênca) para resolver as equações de cnétca pontual com acoplamento dos efetos da temperatura newtonana. Dversos outros métodos têm sdo mplementados por dversos pesqusadores tas como [Nóbrega 97], [Lawrence e Dorng 976], e [Aboanber e Nahla 2004]. Alterações nas propredades nucleares que ocorrem durante um transente podem causar alterações na dstrbução da população de nêutrons tanto no espaço como em energa. A fonte fundamental de desvo no modelo da cnétca pontual é a falta de elementos responsáves por estas alterações na dstrbução espacal do fluxo de nêutrons. Expermentos numércos realzados por Yasnsky e Henry [Yasnsky e Henry, 965] demonstraram claramente a nadequação das equações da cnétca pontual e necessdade de modelos mas sofstcados, o que despertou o nteresse para a questão dos problemas de cnétca com dependênca espacal. Desde então, foram fetas mutas análses comparatvas entre a cnétca pontual e aproxmações espacas, o que proporconou uma melhor compreensão da aplcabldade de cada modelo. As equações da cnétca espacal, utlzando a teora da dfusão multgrupo de energa a uma, duas ou três-dmensões têm sdo acetas pela maora dos pesqusadores em físca de

19 3 reatores como a melhor aproxmação para a predção do comportamento dos nêutrons em um reator nuclear. Város métodos têm sdo desenvolvdos por mutos pesqusadores para encontrar uma solução numérca para as equações da cnétca espacal, já que uma solução analítca completa dessas equações não se tem conhecmento. Estes métodos geralmente são classfcados como: métodos de dferenças fntas [Chou et al., 990; Urku e Chrstenson, 994; Jagannathan, 985 a, b], método dos elementos fntos [Koclas, 998], síntese nodal ou métodos de expansão [Kaplan, 962; Dougherty e Shen, 962; Kaplan et al., 964; Yasnsky, 967; Yasnsky e Kaplan, 967; Stacey, 968; Jagannathan, 985a, b; Crouzet, 996], os métodos de malha nodal [Ott, 969; Dodds, 976; Camcola et al., 986; Koclas et al., 997; Dahman et al., 200], que mas tarde evoluu para os métodos quase-estátco e métodos adabátcos. Uma ampla classe de métodos chamados métodos sem-mplíctos para a solução das equações de cnétca espacal são examnados por Reed e Hansen [Reed e Hansen, 970]. Para melhorar a precsão e permtr uma maor efcênca computaconal, uma classe de métodos de Runge-Kutta generalzados fo desenvolvda para tratar das defcêncas dos tradconas Runge-Kutta de Kaps [Kaps e Rentrop, 979]. No entanto, os métodos de Kaps e Rentrop foram aplcados com sucesso por [Sanchez, 989] e [Kelly e Harrs, 99]. Recentemente, um método de Runge-Kutta estável generalzado fo desenvolvdo por [Aboanber e Hamada, 2008] para resolver as equações da cnétca espacal. A fm de desenvolver métodos que possam prever o comportamento da população de nêutrons no núcleo de um reator nuclear com sufcente precsão e confabldade, soluções analítcas são necessáras. A motvação por trás do desenvolvmento de métodos analítcos para resolver as equações da cnétca não é apenas o desafo de desenvolver um método para resolver um conjunto de equações dferencas acopladas, mas também uma necessdade real para prever o desempenho e avalar a segurança de reatores nucleares de potênca, tanto estes atualmente em funconamento quanto aqueles que estão sendo projetados para o futuro. Além da possbldade de se obter uma solução em forma fechada, a solução analítca possu uma aptdão relevante para gerar soluções benchmark, para valdar códgos computaconas. Além dsso, a solução analítca de certa forma elmna ou pelo menos atenua a avalação do desvo exgdo por métodos numércos. A título de lustração da lteratura sobre soluções analítcas, ctam-se os trabalhos de [Bodmann et al., 200], [Ceoln, 200], [Petersen et al., 2009] e [Vlhena et al., 2008].

20 4 Dentro desse contexto, esta tese enquadra-se no objetvo de resolver em forma analítca as equações da cnétca pontual com reatvdade varável a ses grupos de precursores de nêutrons atrasados e as equações da cnétca espacal b e trdmensonas com dos grupos de energa, ses grupos de precursores de nêutrons atrasados e dependênca temporal dos parâmetros nucleares. Para resolver as equações da cnétca pontual para uma reatvdade varável com o tempo, aplca-se o método da Decomposção [Adoman, 988], [Adoman, 996], [Adoman, 994], [Eugene, 993]. A dea prncpal compreende as seguntes etapas: expandr a densdade de nêutrons e concentração de precursores de nêutrons atrasados em uma sére truncada, substtur estas expansões nas equações da cnétca pontual e construr um conjunto de sstemas recursvos de equações dferencas de prmera ordem semelhante às equações da cnétca pontual com coefcentes constantes. A solução deste sstema recursvo é prontamente obtda utlzando-se soluções conhecdas para equações dferencas matrcas de prmera ordem lnear com entradas constantes. Esta técnca fo utlzada recentemente por [Petersen, et al, 2009]. Uma vez encontrada as soluções para as equações da cnétca pontual, resultados numércos são gerados e comparados com algumas metodologas encontradas da lteratura para a valdação do método. Alguns casos teste são elaborados para verfcação e análse do comportamento da solução obtda. A convergênca é assegurada satsfazendo o crtéro de Lyapunov. Para resolver as equações da cnétca espacal b e trdmensonas com o modelo de dfusão, aplca-se a técnca da GITT (Generalzed Integral Transform Technque) nas coordenadas espacas. A dea básca compreende as seguntes etapas: expandr os fluxos de nêutrons e a concentração de precursores de nêutrons atrasados em séres em termos de autofunções. Substtur estas séres na equação da cnétca espacal, multplcando a equação resultante por autofunções e utlzar a propredade da ortogonaldade, resultando assm em uma equação dferencal ordnára lnear matrcal conhecda como problema transformado. Este problema transformado é resolvdo de forma análoga às equações da cnétca pontual, segundo a dea do método da Decomposção. Para problemas de ordem superor, a resolução do problema transformado pode ser tratada dvdndo a matrz que aparece no problema transformado como soma de uma matrz dagonal, mas a matrz restante dos demas termos.

21 5 Essa reformulação do problema transformado permte trabalhar com matrzes de ordem muto elevada, uma vez que a exponencal de uma matrz dagonal é faclmente estabelecda. A técnca da GITT é uma metodologa bem estabelecda para resolver analtcamente as equações dferencas parcas lneares para uma ampla classe de problemas na área de físca e engenhara. Por analítco quer se dzer que nenhuma aproxmação é feta ao longo da dervação da solução, a não ser o truncamento das expansões em séres. A dea prncpal dessa abordagem consste na construção de um par de transformações a partr dos termos adjuntos do laplacano que aparecem na equação dferencal a ser resolvda. Esse fato nos permte escrever a solução como uma expansão em sére em termos de autofunções ortogonas, obtdas da solução de um problema de Sturm-Louvlle auxlar, construído a partr dos termos adjuntos. A ortogonaldade das autofunções completa o par de transformações. Exste uma vasta lteratura sobre este método na qual menconam-se os lvros de [Cotta, 993], [Cotta e Mkhaylov, 997] e [Cotta, 998]. O modelo multgrupo de cnétca espacal da teora de dfusão de nêutrons fo mplementado consderando dos grupos de energa e ses grupos de precursores para os nêutrons atrasados. Para problemas deste tpo, encontra-se uma lteratura predomnantemente baseada em esquemas numércos para soluções aproxmadas. Em prncípo, não exste nenhuma tentatva até agora que se concentre em uma solução exata para o referdo problema, com exceção de abordagens analítcas fetas por [Olvera, 2007], [Corno, 2008], [Dulla et al., 2007] e recentemente [Petersen et al., 20 a]. Neste trabalho, a solução das equações da cnétca espacal de dfusão de nêutrons é obtda de forma geral, no sentdo que extensões para mas grupos energa, mas grupos de precursores de nêutrons atrasados e problemas heterogêneos com dferentes composções químcas não demandam por modfcações sgnfcatvas da solução, a não ser o número de termos do sstema de equações. Uma vez estabelecda a solução das equações da cnétca espacal, aplca-se a solução a casos numércos para valdação da metodologa. Casos testes são elaborados para verfcar o comportamento da solução. Para completar a análse matemátca, dscute-se a convergênca, utlzando uma analoga com o Teorema de Interpolação Cardnal. O teste de Abel reforça a convergênca unforme. A presente tese encontra-se estruturada da segunte manera: no capítulo 2, apresentam-se alguns concetos sobre a físca de reatores, bem como a dervação das

22 6 prncpas equações de nteresse nesta tese. No capítulo 3, mostra-se a solução analítca e os resultados numércos para as equações da cnétca pontual para ses grupos de precursores de nêutrons atrasados consderando uma reatvdade constante e varável com o tempo. No capítulo 4, apresentam-se a solução analítca e os resultados numércos para as equações da cnétca espacal, consderando dmensões espacas b e trdmensonas, dos grupos de energa, um e ses grupos de precursores de nêutrons atrasados, reatvdade constante e varável com o tempo. No capítulo 5, apresentam-se as conclusões e perspectvas para trabalhos futuros. No apêndce A, mostra-se a obtenção da solução do problema estaconáro da dfusão de nêutrons em forma analítca. Por fm, no apêndce B, demonstra-se o teste de Abel para a convergênca unforme.

23 7 2. AS EQUAÇÕES DA CINÉTICA DA TEORIA DE DIFUSÃO DE NÊUTRONS 2. Equação multgrupo de energa da teora de dfusão de nêutrons Aplcando o conceto de balanço de nêutrons para um dado grupo de energa, na qual nêutrons podem entrar ou sar deste grupo tem-se uma manera de chegar às equações multgrupo de energa. Consderando um típco grupo de energa g, conforme Fgura 2.. Grupo g E E g+2 = 0 E g+ = 0 E g = 0 E g- = 0 E g-2 = 0 E g-3 = 0 Fgura 2. - Varação da energa para um grupo de energa g. Na Fgura 2., os índces estão ordenados de forma decrescente, pos correspondem fscamente ao fato de que usualmente os nêutrons perdem energa no processo mgratóro. Assm, os nêutrons da fssão nascem nos grupos de alta energa e passam para grupos de energas menores, à medda que sofrem colsões com núcleos leves. A prncpal lmtação do modelo monoenergétco é assumr que todos os nêutrons possuem a mesma energa cnétca, por sso, este modelo smplfcado também recebe a denomnação de modelo a uma velocdade. Os nêutrons em um reator possuem energas que varam de 0 MeV para menos do que 0,0 ev. Assm, há aproxmadamente umas nove ordens de magntude de varação na energa dos nêutrons [Duderstadt e Hamlton, 976]. Por sso, para cálculos globas em físca de reatores, precsa-se de um tratamento mas realístco da dependênca da energa. Neste caso, o fluxo de nêutrons dependerá de energa, mas, ao nvés de tratar a energa E do nêutron como varável contínua, dscretza-se o domíno energétco em ntervalos ou grupos contíguos. Isto é, dvde-se o domíno energétco em G grupos de energa, conforme a Fgura 2.2. Na Fgura 2.2, os índces estão ordenados de forma decrescente, pos correspondem fscamente ao fato de que usualmente os nêutrons perdem energa no processo mgratóro.

24 8 Grupo g E E G E G- E g- E E 0 E g Fgura Esquema multgrupo de energa. Portanto, tem-se o segunte balanço: Taxa de varação do Perda devdo à Perda devdo à fluxo de nêutrons fuga absorção no grupo g no grupo g. (2.) Fonte de Espalhamento de Espalhamento de + nêutrons nêutrons para fo ra do + nêutrons para dentro do no grupo g grupo g grupo g Esse balanço pode ser usado para chegar às equações multgrupo de energa da dfusão de nêutrons que aparecem como: v g φg ( r, t) =. Dg ( r, t) φg ( r, t) ag ( r, t) φg ( r, t) + Qg ( r, t) sg ( r, t) φg ( r, t) t, (2.2) G + ' g g ' sg g ( r, t) φ ( r, t) ' g para g = : G na qual: φ ( r, t) representa o fluxo escalar de nêutrons na posção r do grupo g no tempo t; g v g representa a velocdade dos nêutrons no grupo g; Dg ( r, t) representa o coefcente de dfusão na posção r do grupo g no tempo t; ( r, t) representa a seção de choque macroscópca de absorção de nêutrons na posção Qg ag r do grupo g no tempo t; ( r, t) representa a fonte de nêutrons na posção r do grupo g no tempo t;

25 9 ( r, t) representa a seção de choque macroscópca de espalhamento de nêutrons na sg posção r do grupo g para o grupo g no tempo t; sto é, G ( r, t) =. sg g ' = sgg ' ' ( r, t) representa a seção de choque macroscópca de espalhamento de nêutrons na sg g posção r do grupo g para o grupo g no tempo t; Pode-se separar o termo fonte de nêutrons em dos: um devdo às fssões e outro devdo a uma fonte externa, então se escreve: na qual: G ext g (, ) = χ g ν ' ' (, ) φ ' (, ) + g fg g g ' g g Q r t r t r t Q, (2.3) χ g representa a fração de nêutrons que aparece no grupo g; ν ' representa o número médo de nêutrons emtdos na fssão no grupo g ; g ' ( r, t) representa a seção de choque macroscópca de fssão de nêutrons na posção r fg do grupo g no tempo t; ext Q g representa a fonte externa de nêutrons; G representa o número de grupo de energa. Consderando somente um grupo de energa (modelo monoenergétco), e, na ausênca de fonte externa, a equação (2.2) torna-se a forma smplfcada: φ( r, t) =. D( r, t) φ( r, t) a ( r, t) φ( r, t) + ν f ( r, t) φ( r, t) (2.4) v t na qual: φ( r, t) representa o fluxo escalar de nêutrons na posção r e no tempo t; v representa a velocdade dos nêutrons; D( r, t) representa o coefcente de dfusão na posção r e no tempo t; ( r, t) representa a seção de choque de absorção na posção r e no tempo t; a

26 0 ν representa o número médo de nêutrons emtdos na fssão; ( r, t) representa a seção de choque de fssão na posção r e no tempo t. f 2.. Cálculos de crtcaldade Os nêutrons emtem num processo de fssão um número ν de nêutrons em méda por fssão nuclear. Destes ν nêutrons, alguns são absorvdos no meo materal não combustível do reator, alguns são absorvdos por captura no própro combustível e alguns desaparecem pelo contorno do reator. Depos de todas essas perdas serem contablzadas, anda deve exstr um nêutron para causar uma nova fssão, caso contráro, não será possível manter uma reação em cadea sustentável. Deseja-se manter a dstrbução de nêutrons em um reator na ausênca de fontes externas, mas na presença de uma fonte fssonável. Esta fonte é dada pelo produto da taxa de fssão ( r ) φ( r ) pelo número de nêutrons emtdos por fssão, onde f f é a seção de choque macroscópca de fssão. Pode-se escrever a fonte de nêutrons como: Fonte Reator ν ( r ) φ( r ) (2.5) f Consderando que a equação da dfusão monoenergétca (2.4) seja um modelo matemátco satsfatóro para cálculos neutrôncos em reatores nucleares e desconsderando a varação temporal da população de nêutrons, fca-se com: D( r ) φ( r ) + ( r ) φ( r ) = ν ( r ) φ( r ). (2.6) a f Infelzmente a equação acma não tem solução de relevânca físca para casos geras realístcos, a menos que se corrja a combnação exata da composção e geometra do reator, para que o mesmo esteja crítco. Portanto, o que se faz é ntroduzr um parâmetro arbtráro k nesta equação de tal forma que: D( r ) φ( r ) + a( r ) φ( r ) = ν f ( r ) φ( r ). (2.7) k

27 Logo, para algum valor de k, pode-se garantr relevânca físca. Se k =, a equação (2.7) reduz-se a (2.6) e, portanto, consegue-se um sstema crítco. Se k, entretanto, precsa-se escolher uma nova combnação entre dmensão e composção, para que se atnja a crtcaldade. Claramente, haverá em geral um conjunto de autovalores para a equação (2.7), na qual apenas o maor destes autovalores, ou seja, o autovalor domnante corresponderá a uma autofunção φ ( r ) que seja não-negatva em todos os pontos do sstema e, portanto, fscamente relevante. Defne-se o autovalor domnante como o fator de multplcação efetvo (k eff ) que ndcará se o sstema está em estado subcrítco ( k eff < ), crítco ( k eff = ) ou supercrítco ( k > ). Assm, pode-se reescrever a equação (2.7) como: eff D( r ) φ( r ) + a( r ) φ( r ) = ν f ( r ) φ( r ). (2.8) k eff A equação (2.8) é conhecda como equação estaconára do modelo monoenergétco da dfusão de nêutrons Equação multgrupo da dfusão de nêutrons com fonte de fssão (problema de autovalor) Ignorando a dependênca do tempo e na ausênca de fonte externa, tem-se o problema de autovalor para as equações multgrupo da dfusão de nêutrons conforme [Duderstadt e Hamlton, 976]: G G g g Rg g ' ' ' ' ' sg g g g g fg g ' k ' g = eff g = D ( r ) φ ( r ) + ( r ) φ ( r ) = ( r ) φ ( r ) + χ ν ( r ) φ ( r ), (2.9) para g = :G. A equação (2.9) é conhecda como a equação estaconára multgrupo da dfusão de nêutrons. Ela forma um sstema de G equações dferencas parcas cuja solução fundamental φ ( r ) é defnda como o fluxo escalar de nêutrons que está no grupo g de g energa no núcleo do reator nuclear. O autovalor domnante é defndo como o fator de multplcação efetvo do reator (k eff ) e pode também ser nterpretado como o número pelo qual se pode dvdr as equações multgrupo de dfusão para que representem um balanço perfeto

28 2 de nêutrons. Isto é, se em cada grupo de energa onde houver fssão nuclear forem emtdos um número médo de nêutrons ν = ν / k, então a equação (2.9) representa um balanço ' g g eff perfeto de nêutrons para a geometra, dmensão e composção do sstema multplcatvo para o modelo multgrupo da dfusão Equação da dfusão de nêutrons a dos grupos de energa (problema de autovalor) Em cálculos globas de reatores nucleares térmcos, é convenconal usar apenas dos grupos de energa. A estrutura dos grupos pode ser vsta conforme a Fgura 2.3. Grupo rápdo Grupo térmco E 2 = 0 E ev E0 = 0 Mev Fgura Caracterzação dos grupos de energa para um reator térmco. Fca claro que o up-scatterng fora do grupo térmco pode ser gnorado, devdo à alta dferença de energa para o grupo rápdo. Então se pode dentfcar: e E 0 ( ) φ ( ) φ r, t = de r, E, t fluxo rápdo (2.0) E E ( ) φ ( ) φ2 r, t = de r, E, t fluxo térmco. (2.) E2 Pode-se smplfcar o grupo de constantes para este modelo. Consdera-se prmeramente a fssão, que ocorre essencalmente no grupo térmco, gerando nêutrons no grupo rápdo. Portanto, pode-se escrever: E0 E de ( E), de ( E) 0. (2.2) E E χ = χ = χ = χ = 2 2 Assm, a fonte de fssão apenas aparecerá na equação do grupo rápdo como:

29 3 e Q Q = ν φ + ν 2 φ2 ( rápdo) (2.3) f f f2 f2 = 0 ( térmco). (2.4) Consderando que não há up-scatterng para fora do grupo térmco, dos grupos de energa para o cálculo da crtcaldade e na ausênca de fonte externa, fca-se com as seguntes equações multgrupo do problema estaconáro conforme [Duderstadt e Hamlton, 976]: D ( r) φ ( r) + ( r) φ ( r) = ν ( r) φ ( r) + ν ( r) φ ( r) ( ) R f 2 f 2 2 keff D ( r) φ ( r) + ( r) φ ( r) = ( r) φ ( r) 2 2 a2 2 s2. (2.5) 2.2 Cnétca de reatores nucleares Para um reator nuclear operar em um nível de potênca constante, a taxa de produção va fssão de nêutrons deverá ser balanceada pela perda va absorção ou fuga de nêutrons. Isto equvale a dzer que a densdade neutrônca ou o fluxo não depende do tempo. Esse é conhecdo como o estado crítco de um reator. Algum desvo dessa condção de balanço resultará em uma dependênca temporal da população de nêutrons e, consequentemente, uma varação temporal da potênca do reator. Ao estudo do comportamento de um reator cuja densdade ou fluxo varam com o tempo, chama-se de cnétca de reator. Deve-se reconhecer que as mudanças no comportamento da população neutrônca, mutas vezes, não estão sob o controle do operador do reator. Em alguns casos, sso dependerá da composção do núcleo, que dependerá também de outras varáves que não estão dretamente acessíves ao controle, tas como a temperatura do combustível ou refrgerante. Entretanto, essas varáves dependem, por sua vez, do nível de potênca do reator e, consequentemente, do fluxo de nêutrons. O estudo dessas causas ntrínsecas do comportamento da população de nêutrons é chamado de dnâmca de reator nuclear. Nesta tese, dá-se ênfase à cnétca de reator nuclear, mas especfcamente às varações do fluxo de nêutrons devdo a escalas pequenas de tempo, ou seja, o afastamento da crtcaldade devdo a mudanças nos parâmetros nucleares para tempos pequenos.

30 A mportânca dos nêutrons atrasados nas equações da cnétca A fssão nuclear dá orgem a fragmentos que são elementos com menor número de massa do que o núcleo orgnal. Alguns desses fragmentos são nstáves e nos processos de decamento eles emtem nêutrons. Tas nêutrons que são emtdos após o processo da fssão são chamados de nêutrons atrasados e os núcleos que os emtem são chamados de precursores de nêutrons atrasados. Os nêutrons atrasados não têm as mesmas propredades que os nêutrons prontos produzdos dretamente da fssão. A energa méda dos nêutrons prontos é muto maor do que a energa méda dos nêutrons atrasados [Stacey, 200]. O fato dos nêutrons atrasados nascerem com energas mas baxas tem dos mpactos sgnfcantes na manera que eles procedem no cclo de vda do nêutron. Prmeramente, os nêutrons atrasados têm uma probabldade muto menor de causar fssões rápdas do que os nêutrons prontos, devdo ao fato de que sua energa méda está abaxo do mínmo requerdo para a ocorrênca da fssão rápda. Em segundo lugar, os nêutrons atrasados têm uma probabldade menor de fuga do núcleo, porque eles nascem com energas mas baxas e, por sso, vajam dstâncas mas curtas do que os nêutrons rápdos. Os produtos de fssão que emtem nêutrons atrasados foram reundos em 6 grupos de acordo com sua mea-vda. A Tabela 2. mostra a fração de nêutrons atrasados para cada grupo de alguns combustíves usados em reatores nucleares. Por defnção, 6 β = β. Assm, na Tabela 2. temos que β = 0,0065, ou seja, os = nêutrons atrasados correspondem a 0,65% dos nêutrons produzdos pela fssão do elemento Urâno U. Parece pouco, porém para escalas de tempo maores quando comparadas com a escala de tempo da fssão, esses nêutrons têm um efeto muto sgnfcatvo. Sabendo sso, o próxmo passo é defnr um conjunto de equações que descrevam a dependênca temporal da concentração dos precursores de nêutrons atrasados. Para sso, ncalmente avalam-se quas os mecansmos de perda e ganho dos precursores, possbltando assm a construção de uma equação de balanço. A Tabela 2. acma apresenta algumas constantes dos precursores de nêutrons atrasados conforme [Stacey, 200].

31 5 Tabela 2. - Parâmetros nucleares dos precursores de nêutrons atrasados para alguns núcleos. Grupo λ ( s ) Fração β U 235 0,024 0, ,0305 0, , 0, ,30 0, ,4 0, ,0 0,00027 Pu 239 0,029 0, ,03 0, ,34 0, ,33 0, ,26 0, ,2 0, U 233 0,026 0, ,0337 0, ,39 0, ,305 0, ,3 0,0004 Fonte: adaptada de Duderstadt, 976. Sabe-se que a varação temporal da concentração dos precursores é dada pela produção do precursor através da fssão e pela perda causada pelo posteror decamento. Os nêutrons produzdos pelo grupo, consderando um grupo de energa, podem ser contablzados da segunte forma: multplcando a taxa de produção de nêutrons na fssão pela fração de nêutrons atrasados, de forma que: β ν ( r) φ( r, ), (2.6) f t para = :6. Já a perda é dada pela taxa de decamento do precursor que pode ser expressa como o produto da concentração do precursor decamento λ para = :6. C ( r,t ) e da sua respectva constante de Assm, a equação de balanço que representa a varação temporal da concentração de precursores é dada por: C ( r, t) = λc ( r, t) + βν f ( r) φ( r, t), (2.7) t

32 6 = :6. Logo, nclundo os nêutrons atrasados através da fração de nêutrons atrasados β e da taxa de decamento λ para cada precursor, tem-se, nclundo a equação de balanço para a concentração de precursores, a equação de cnétca espacal monoenergétca que é escrta como: 6 φ( r, t) = D( r) φ( r, t) a ( r) φ( r, t) + ( β ) ν f ( r) φ( r, t) + λc ( r, t) v t = C ( r, t) = λc ( r, t) + β ν f ( r) φ( r, t) t, (2.8) para = : 6. Consderando o modelo multgrupo de energa, fca-se com as equações multgrupo da cnétca espacal dadas por: φg ( r, t) = Dg ( r, t) φg ( r, t) Tg ( r, t) φg ( r, t) + v t g C ( r, t) t G p ( sg g ) P d ' β χ g ν fg ' φg ' χ g λ ( r, t) + ( ) ( r, t) ( r, t) + C ( r, t) g ' = = G g ' = = β ν ( r, t) φ ( r, t) λ C ( r, t) fg ' g ', (2.9) para = :P, g = :G. Para se chegar às equações da cnétca pontual, parte-se da equação da cnétca espacal monoenergétca (2.8) e consdera-se o domíno homogêneo na qual se smplfca: D( r ) = D, a( r ) = a e ( r ) = f f. Assm, fca-se com: φ φ φ β ν φ λ v t C ( r, t) = λc ( r, t) + βν f φ( r, t) t para = :6. Consderando 6 2 ( r, t) = D ( r, t) a ( r, t) + ( ) f ( r, t) + C ( r, t) = 6 = β ν f φ + λ =, (2.20) Q [ ] ( r, t) C ( r, t), (2.2)

33 7 como sendo a fonte de nêutrons. No caso estaconáro, tem-se que: para = :6. Portanto, φ( r, t) = C ( r, t) = 0, (2.22) t t βν f C ( r, t) = φ( r, t). (2.23) λ Dervação das equações da cnétca pontual Partndo das equações (2.20), a fm de chegar às equações de cnétca pontual, reescrevem-se tas equações como: 6 φ( r, t) = Aφ( r, t) + λc ( r, t) v t = C ( r, t) = λc ( r, t) + βν f ( r) φ( r, t), (2.24) t para = :6, na qual o operador dferencal de segunda ordem A é dado por: 2 A D a ( β) ν = +. (2.25) f tem-se que: Pela equação (2.24) e consderando o regme crítco de funconamento de um reator, 6 C ( r, t) = 0 β ν f φ( r, t) = λc ( r, t) t = φ φ φ ν φ t 2 ( r, t ) = 0 D ( r, t) a ( r, t) + f ( r, t) = 0, (2.26) ou seja, o sstema (2.24) reduz-se à Aφ = 0, (2.27)

34 8 sto é, a equação de Helmotz: φ φ B = 0, (2.28) na qual, ( ν ) 2 f a B = D (2.29) é o chamado bucklng materal. Com a ntrodução do comprmento de dfusão de nêutrons D L = (2.30) a e do fator de multplcação nfnta k ν f = a, (2.3) relatvo ao número de nêutrons produzdos pelos nêutrons absorvdos, a equação (2.28) pode ser escrta na forma: 2 k φ + φ = 0. (2.32) 2 L Assumndo a separabldade do tempo e espaço, pode-se expandr o fluxo de nêutrons φ( r,t ) e a concentração de precursores C ( r, t) em séres de autofunções como: e φ( r, t) = v n j ( t) ϕ j ( r ) (2.33) j= C ( r, t) = C, j ( t) ϕ j ( r ), (2.34) j= para = :6, na qual ϕ j ( r ) satsfaz a equação (2.28). Como em [Vlhena, 988], consderando somente o prmero termo das séres, sto é,

35 9 e φ( r, t) = vn ( t) ϕ ( r) = vn( t) ϕ ( r ) (2.35) C ( r, t) = C ( t) ϕ ( r) = C ( t) ϕ ( r ). (2.36), j Substtundo (2.35) e (2.36) no sstema (2.20) tem-se: e d n 2 ( t ) ϕ( r) Dvn ( t ) ϕ( r) + a v n ( t ) ϕ( r) = ( β ) ν f v n ( t ) ϕ( r) + dt, (2.37) λ C ( t) ϕ ( r) 6 = d C ( t ) ϕ( r) = λ C ( t ) ϕ( r) + βν f v n ( t ) ϕ( r ), (2.38) dt d para = :6. Isolando n ( t ) ϕ( r ) em (2.37), obtém-se: dt d n 2 ( t ) ϕ( r) = ( β ) v f vn ( t ) ϕ( r) + Dvn ( t ) ϕ( r) a vn ( t ) ϕ( r) + dt. (2.39) λ C ( t) ϕ ( r) 6 = Utlzando o fato de que ϕ ( ) r satsfaz à equação (2.28) tem-se: d n 2 ( t ) ϕ( r) = ( β) ν f v n ( t ) ϕ( r) + Dv n ( t )( B ϕ( r) ) a v n ( t ) ϕ( r) + dt, (2.40) λ C ( t) ϕ ( r) 6 = ou anda, colocando em evdênca o termo n( t) ϕ( r ), tem-se: 6 2 = f a + = d n ( t ) ϕ ( r) ( β ) ν v B Dv v n ( t ) ϕ ( r) λ C ( t ) ϕ ( r ). (2.4) dt

36 20 Assm, 6 2 ( ) = ( β ) ν f a ( ) + λ ( ) d n t v B Dv v n t C t dt. (2.42) = Defnndo como em [Duderstadt e Hamlton, 976] l = v + L B ( 2 2 ) a, (2.43) como sendo o tempo médo de vda do nêutron no reator e k eff ν / k = = + L B + L B f a , (2.44) como sendo o fator de multplcação efetvo, então (2.42) torna-se: d 6 keff 2 n ( t ) = ( β ) ν ( B D + a ) n ( t ) + λ C ( t ) dt l, (2.45) = ou anda, 6 d ( β ) keff n ( t ) = n ( t ) + λ C ( t ) dt l. (2.46) = De forma análoga, colocando ϕ ( ) r em evdênca, na equação (2.38), obtém-se: d C ( t ) ϕ( ) = λ C ( t ) + βν f v n ( t ) ϕ( ) dt r r, (2.47) para = :6, que pode ser escrto como: Então, d keff C ( t ) ϕ( r) = λ C ( t ) + β ϕ( r ). (2.48) dt l

37 2 d keff C ( t ) = λ C ( t ) + β, (2.49) dt l para = :6. Neste ponto, ntroduz-se duas novas defnções conforme [Duderstadt e Hamlton, 976]: l Λ =, (2.50) k eff que é o tempo médo de geração entre o nascmento do nêutron e a subsequente absorção nduzndo fssão, e ρ k ( t) ( t) k ( t), (2.5) = eff eff que é a reatvdade. Então, ρ ( t) pode assumr três valores: ρ ( t) > 0 (supercrítco); ρ ( t) = 0 (crítco) e ρ ( t) < 0 (subcrítco). A reatvdade ρ ( t) é um admensonal, contudo é referdo a váras undades: ( %, $, ). O mas comum é o $ que corresponde a reatvdade numercamente gual a β e o que corresponde a 0,0$. Com a defnção (2.5) pode-se reescrever as equações (2.46) e (2.49) como: 6 = d ρ( t) β n( t) = n( t) + λ C ( t) dt Λ, (2.52) d β C ( t ) = n ( t ) λ C ( t ) dt Λ para = :6. Estas são conhecdas como as equações da cnétca pontual. Cabe ressaltar que, em geral, a reatvdade pode tornar-se uma função dependende não só do tempo, mas também da própra densdade, o que tornara a equação (2.52) não lnear. Esses casos são tratados pelos modelos de dnâmca. Para mas detalhes ver [Hetrck,97]. Nesta tese, consdera-se o caso em que a reatvdade é uma função exclusvamente dependente do tempo. Tanto a resolução do sstema de equações dferencas ordnáras acoplados (2.52), quanto o sstema de equações dferencas parcas acoplados (2.9) para dos grupos de

38 22 energa e ses grupos de precursores, que descrevem o comportamento da população de nêutrons e o decamento de precursores de nêutrons atrasados, serão alvo de nteresse nesta tese. Enquanto o prmero consdera a ampltude do fluxo tendo sua forma conhecda, a resolução de (2.9) fornece a ampltude e forma, possbltando uma solução mas completa do comportamento da população de nêutrons. Estes dos sstemas são de dfícl resolução numérca, e uma das razões é a grande dferença nas escalas dos parâmetros nucleares. Esses sstemas são denomnados do tpo rígdos ( stff ) e técncas sofstcadas de soluções numércas são exgdas como, por exemplo, a classe de métodos denomnados A-estáves. Nesse sentdo, nos dos próxmos capítulos, mostra-se como resolver em forma analítca esses dos problemas de vtal mportânca em físca de reatores nucleares.

39 23 3. SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DA CINÉTICA PONTUAL PELO MÉTODO DA DECOMPOSIÇÃO O modelo mas smples para o estudo da população neutrônca é o modelo de cnétca pontual [Stacey, 200]. As equações de cnétca pontual são um conjunto de equações dferencas ordnáras acopladas dependentes do tempo que descrevem o comportamento da população de nêutrons e o decamento de precursores de nêutrons atrasados. A dstrbução neutrônca é suposta evolur como um ponto, no sentdo em que cada ponto é representatvo de todo o sstema. Para um sstema sem fontes externas é equvalente se afrmar que uma únca autofunção fundamental aparece na dstrbução neutrônca em todos os nstantes, de manera que a forma do fluxo é conhecda. Soluções desta equação dão uma dea da flutuação da população de nêutrons ocorrda durante a ncalzação ou deslgamento ou quando as barras de controle são ajustadas para regular a potênca de um reator nuclear. Para construr a solução de equações da cnétca pontual com reatvdade constante e varável com o tempo consderando 6 grupos de precursores de nêutrons atrasados, utlza-se uma dea modfcada do método clássco da Decomposção desenvolvdo por Adoman [Adoman, 988]. 3. O método clássco da Decomposção de Adoman Consderando o sstema de equações dferencas ordnáras: y = f ( y, y,..., y ) + g ' 2 m y = f ( y, y,..., y ) + g ' m 2 y = f ( y, y,..., y ) + g ' m m 2 m m, (3.) que pode ser escrto na forma compacta: y = f ( y, y,..., y ) + g, (3.2) ' k k 2 m k

40 24 para k = : m, onde f k são funções não-lneares e g são funções conhecdas. Procuram-se soluções y, y2,..., y m que satsfaçam o sstema de equações (3.2). Assumndo que para qualquer g k o sstema (3.2) possua somente uma solução, aplcase o método da Decomposção de Adoman [Adoman, 994], [Adoman, 998] e [Mahmood et al., 2005], no sstema (3.2), fcando com: Ly = N ( y, y,..., y ) + g, (3.3) k k 2 m k d para k = : m, onde L = é um operador lnear e Nk ( y, y2,..., ym) = fk ( y, y2,..., ym) são dt operadores não lneares. Aplcando em ambos os lados de (3.3) o operador nverso de L, que nesse caso é dado por L t [.] = [.] dt, tem-se: 0 y = y (0) + L N ( y, y,..., y ) + L g, (3.4) k k k 2 m k para k = : m, na qual y (0) é a condção ncal da equação (3.). O método clássco da k decomposção de Adoman consste em aproxmar a solução (3.4) por uma sére nfnta da forma: y k = y, (3.5) j= 0 k j para k = : m, decompor o operador não lnear N k como: N ( y, y,..., y ) = A, (3.6) k 2 m k j j= 0 para k = : m, na qual A k j são polnômos de y, y2,..., y m, chamados de Polnômos de Adoman [Adoman, 998]. Substtundo as expansões (3.5) e (3.6) em (3.4) obtém-se: yk j = yk (0) + L Ak j + L gk, (3.7) j= 0 j= 0

41 25 para k = : m. Então, escolhendo o prmero sstema, conforme Adoman [Adoman, 994] como: yk 0 = yk (0) + L gk, (3.8) para k = : m e para os demas sstemas recursvos até uma ordem de truncamento como: y k ( j ) L Ak j + =, (3.9) para k = : m. Tem-se assm defndo um procedmento teratvo, conhecdo como método clássco da Decomposção de Adoman. Cabe ressaltar que nesta tese, tanto para resolver as equações da cnétca pontual quanto para resolver as equações transformadas da cnétca espacal, utlza-se uma dea modfcada do método clássco da Decomposção de Adoman, uma vez que as referdas equações, que se consdera nesta tese são lneares e não se precsa dos polnômos de Adoman. Esta técnca é comumente chamada de método da Decomposção. A dea prncpal compreende em expandr a densdade de nêutrons e as concentrações de precursores de nêutrons atrasados em uma sére truncada, substtur estas expansões nas equações de cnétca e construr um conjunto de sstemas recursvos de equações dferencas de prmera ordem de forma que, ao prmero sstema é ntroduzda toda a condção ncal para resultar em um sstema homogêneo de equações dferencas de prmera ordem com entradas constantes. Aos demas sstemas é ntroduzda a dependênca temporal como um termo fonte de forma que se fca com uma equação dferencal ordnára de prmera ordem não homogênea. A solução destes sstemas recursvos é prontamente obtda reformulando estas equações na forma matrcal e utlzando as soluções conhecdas para as equações dferencas ordnáras matrcas de prmera ordem. 3.2 Solução das equações da cnétca pontual pelo método da Decomposção de equações: Para o modelo de cnétca pontual resolvdo nesta tese consdera-se o segunte sstema

42 26 6 = d ρ( t) β n( t) = n( t) + λ C ( t) dt Λ, (3.0) d β C ( t ) = n ( t ) λ C ( t ) dt Λ para = : 6, com as seguntes condções ncas: n(0) = n 0 β n0 C (0) = λ Λ, (3.) para = : 6. Aqu n( t ) denota a densdade de nêutrons, ρ ( t) é a reatvdade varável com o tempo, β é a fração de nêutrons atrasados emtdos pelo precursor (para = : 6 ), β é a fração total de nêutrons que são atrasados emtdos por todos os precursores, Λ é o tempo de geração méda do nêutron, C ( t) é a concentração de precursores de nêutrons atrasados, λ é a constante de decamento da concentração de precursores de nêutrons atrasados, para = :6, n (0) e C (0) são, respectvamente, a densdade de nêutrons e a concentração de precursores de nêutrons atrasados no nstante ncal, ou seja, quando t = 0s. A fm de aplcar o método da Decomposção, expande-se a densdade de nêutrons e a concentração de precursores de nêutrons atrasados em uma sére truncada como: R j = 0 n( t) = n ( t) R j = 0 C ( t) = C ( t) j j, (3.2) para = : 6. A substtução das expansões (3.2) nas equações de cnétca pontual (3.0) omtndo a dependênca temporal (t) resulta em: 6 ρ + ρ ( t) β 0 R 0 R 0 R Λ = d n n n n n n C C C dt 0 ( ) = ( ) + λ ( ) d β C C C n n n C C C dt Λ ( ) = ( ) λ ( ) 0 R 0 R 0 R, (3.3)

43 27 para = : 6. Aqu se consdera que a reatvdade é escrta como ρ( t) = ρ0 + ρ( t), onde ρ 0 é um valor constante. Nota-se que exstem 7 R ncógntas e apenas sete equações o que torna este sstema ndetermnado. Supera-se esta dfculdade construndo o segunte sstema recursvo: 6 ρ0 β 0 = 0 + λ 0 Λ = d n ( t ) n ( t ) C ( t ) dt d β C 0( t ) = n 0( t ) λ C 0( t ) dt Λ, (3.4) d β C 6 60( t ) = n 0( t ) λ6 C 60( t ) dt Λ para o prmero termo da expansão da solução e 6 ρ0 β ρ( t) j = j + λ j + j d n ( t ) n ( t ) C ( t ) n ( t ) dt Λ Λ = d β C j ( t ) = n j ( t ) λ C j ( t ) dt Λ, (3.5) d β C 6 6 j ( t ) = n j ( t ) λ6 C 6 j ( t ) dt Λ para o termo genérco da expansão da solução com j = : R. Aqu é precso observar que, embora não seja únca, esta decomposção é feta de tal manera que o cumprmento da ρ equação (3.0) é garantdo, a menos do últmo termo ( t ) nr que não aparece em (3.4) e Λ consta em (3.3). Reescrevendo o sstema recursvo em forma matrcal, tem-se: d ρ0 β n 0( t ) λ λ 6 n0 ( t) dt Λ d C0 ( t) β λ 0 0 C0 ( t) dt = Λ 0 d β C 6 60( t ) 0 λ6 dt Λ C60( t) (3.6)

44 28 para a equação homogênea e d n 0 ( ) j ( t) ρ β λ λ 6 n j ( t) ρ t dt 0 0 n j ( t) Λ Λ d C j ( t ) β λ 0 0 C j ( t) C j ( t) dt = Λ d β 6 C 0 6 j ( t ) λ6 C 6 j ( t ) C 6 j dt Λ ( t), (3.7) para as equações não-homogêneas, com j = : R. Até este ponto, enfatza-se que a solução das equações (3.6) e (3.7) são dretamente determnadas pelos resultados bem conhecdos de equações dferencas ordnáras lneares de prmera ordem. Reescrevendo a equação (3.7) na forma dferencal matrcal lnear compacta: d Y ( t) AY ( t) = H ( t), (3.8) dt onde Y ( t) é a varável dependente, H ( t) é o vetor fonte e A é uma matrz com entradas constantes. A solução conhecda para equação matrcal (3.8), utlzando a técnca da Transformada de Laplace com a propredade da convolução, resulta na segunte solução: t Y ( t) = exp( At) Y (0) + exp( At) H ( t τ ) dτ. (3.9) 0 Quando H ( t) é zero em (3.9) a solução torna-se smplesmente: Y ( t) = exp( At) Y (0). (3.20) Por outro lado, para os problemas especas em que os autovalores da matrz A são dstntos, a exponencal da matrz pode ser expressa por: At = X Dt X, (3.2) exp( ) exp( )

45 29 onde X é a matrz cujas colunas são autovetores de A e X é a sua nversa. A matrz D é a matrz dagonal cujos elementos são os autovalores da matrz A. Tendo em vsta que os autovalores das matrzes que aparecem nas equações (3.6) e (3.7) são dstntos, a solução do problema (3.0) é bem determnada pela equação (3.2), lembrando que os sstemas recursvos (3.6) e (3.7) são determnados, respectvamente pelas equações (3.9) e (3.20), ambas utlzando a decomposção (3.2). Para completar a análse de solução, afrma-se que o problema homogêneo (3.6) satsfaz a condção ncal (3.), enquanto que para os problemas não-homogêneos (3.7) mpõem-se condção ncal nula. Fnalmente, deve-se lembrar a exstênca de váras abordagens na lteratura para obter a solução da equação (3.8) [Moler e Van Loan,978]. Nesta tese, mencona-se a técnca referente à aplcação da Transformada de Laplace combnada com a dagonalzação da matrz, devdo à sua aptdão para ldar com problemas matrcas de ordem elevada (até 500). Esta metodologa tem a vantagem de ser geral, no sentdo que também pode ser aplcada para resolver uma classe de problemas com autovalores repetdos [Segatto et al., 999] [Segatto et al., 2008]. Cabe salentar que a solução dada por (3.2) é exata exceto pela ordem de truncamento da sére [Adoman, 988]. Nesta tese, apresenta-se o crtéro de Lyapunov para mostrar a convergênca da solução proposta para os R sstemas recursvos. 3.3 Crtéro de Convergênca Város autores nvestgaram e anda é assunto de pesqusa a convergênca do método de Decomposção de Adoman. O tratamento da convergênca do método da Decomposção fo consderado por [Cherruault, 989] e [Répac, 990]. Ambos mostraram a convergênca do método baseado em uma sutl conexão com técncas de ponto fxo. Estes resultados foram melhorados por [Cherruault e Adoman, 993], que propuseram uma nova prova da convergênca para a técnca de Adoman baseados em propredades da convergênca de séres. Nesta tese, com o objetvo de analsar a convergênca desta nova solução analítca das equações da cnétca pontual dada pelo método da Decomposção, propõem-se um novo procedmento baseado no crtéro de Lyapunov [Bochenko et al., 2005] que fo recentemente utlzado por Berra [Berra, 200].

46 Crtéro de Lyapunov Sem perda de generaldade, consdera-se para a análse da convergênca a solução das equações da cnétca pontual para a densdade de nêutrons, vsto que para as concentrações de precursores de nêutrons atrasados o procedmento é análogo. Por convenênca usa-se a notação: Γ R R = n j. Se j= 0 δ Z = n denota a separação máxma de Γ R para a solução R j = R+ j exata n, onde sgnfca a norma do máxmo. Então, segundo o crtéro de Lyapunov temse: δ λ Γ R Z e Z R δ. (3.22) 0 Se λ < 0 a convergênca da solução é garantda. Isolando a exponencal e aplcando o logartmo natural em ambos os lados da desgualdade acma, o snal de λ é determnado por: δ Z ln R λ =. (3.23) Γ R δ Z 0 O crtéro de Lyapunov determna a nfluênca da varação da condção ncal na solução. Nesta tese, o crtéro é utlzado para verfcar se a solução para a densdade de nêutrons da equação da cnétca pontual dverge ou converge para a solução únca. Se λ < 0 n > n 0 então a convergênca da solução é garantda a partr de um determnado ncremento no número de termos da sére. Comprova-se a establdade da solução a partr da nclusão de termos da sére até que o crtéro de parada seja satsfeto. Como δ Z0 leva toda a nfluênca da condção ncal, é fácl ver que λ < 0 quando δ ZR tender a zero. Em outras palavras, quando o prmero termo da solução for domnante com relação a soma dos demas termos, neste caso, tem-se que o logartmo da equação (3.23) torna-se negatvo. No entanto, quando λ > 0 n > n0, o comportamento da solução é caótco, o que sugere que a sére se afasta do rao de convergênca da solução.

47 3 3.4 Resultados Numércos Mostra-se a vabldade do método da Decomposção (DM) para resolver as equações da cnétca pontual para dversas reatvdades. Assume-se prmeramente reatvdade constante (Caso A) e posterormente reatvdade varável com o tempo (Caso B). Para todos β os casos consderam-se as condções ncas como n (0) = e C (0) = n(0), para Λ λ = : Caso A. Reatvdade Constante Neste exemplo, para avalar o método da Decomposção (DM), consderam-se dos exemplos: o prmero para avalar a solução em dferentes tempos de geração do nêutron e para dferentes reatvdades; o segundo para comparar e valdar a metodologa proposta (DM) com outras metodologas encontradas na lteratura. Aqu assumem-se os parâmetros nucleares típcos de um reator térmco dados pela Tabela 3. conforme [Aboanber, 2003]. Tabela 3. - Parâmetros nucleares para um reator térmco. Nêutrons Atrasados 3 0 λ ( s ) β 0,266 0,027,49 0,037,36 0,5 2,849 0,3 0,896,40 0,82 3,87 β = Exemplo Neste exemplo, os resultados obtdos pelo (DM) para três dferentes tempos de geração: Λ ( 0 s, 0 s, 0 s ), e para três reatvdades: sub-prontocrítca ( ρ = 0, 003); pronto-crítca ( ρ = 0, 007 ) e super-prontocrítca ( ρ = 0, 008 ). Os resultados são apresentados na Tabela 3.2.

48 32 Tabela Densdade de nêutrons entre dferentes tempos de geração Λ para reatvdades constantes ρ( t) = ρ0. ρ = 0,003 ρ = 0,007 ρ = 0,008 Λ ( s) Tempo(s) Densdade de nêutrons [cm -3 ] DM Densdade de nêutrons [cm -3 ] DM Densdade de nêutrons [cm -3 ] DM ,0029,2484,9672,0294,7652 2,876,2472,8022 2,226,0070,7034,0252,0700 8, ,543,7000 0,757 4, ,0080, ,7376,0804 5,498, ,844 2, , Na Tabela 3.2, nota-se que para reatvdades mas altas, o fluxo neutrônco aumenta mas rapdamente quanto mas curto for o tempo de geração médo do nêutron. Ou seja, para reatores com tempo de geração médo pequeno (reatores rápdos), há uma maor dfculdade de controle quando comparado com aqueles que possuem tempo de geração maores (reatores térmcos). Além dsso, percebe-se que, quando ρ < β a nfluênca do tempo de geração é quase desprezível, o que sugere que a densdade neutrônca vem determnada prncpalmente pelos nêutrons atrasados. Em contrapartda, quando a reatvdade é maor ou gual que a fração de nêutrons atrasados, ou seja, ρ β, o reator torna-se pratcamente fora de controle, o que sugere que a contrbução dos atrasados é desprezível frente aos nêutrons prontos. Exemplo 2 Neste exemplo, a densdade de nêutrons obtda pelo método da Decomposção (DM) é comparada com: o método Theta ( θ weghtng ) [Porchng, 966]; o método do confnamento da rgdez (SCM) [Chao e Attard, 985]; o método de Runge-Kutta generalzado (GRK) [Sanchez 989] e o método do modo da exponencal analítca (AEM) [Aboanber, 2003]. Os parâmetros nucleares são os mesmos utlzados no exemplo anteror dados pela Tabela 3.. Na Tabela 3.3, apresentam-se os resultados obtdos pelo método da Decomposção (DM) para dferentes tempos. Quatro tpos de reatvdades são consderados: duas subprontocrítca ( ρ < β ), ρ = 0,003 e ρ = 0,0055 ; uma pronto-crítca ( ρ = β ), ρ = 0, 007 e uma super-prontocrítca ( ρ > β ), ρ = 0,008.

49 33 Tabela Comparação dos resultados numércos com Λ = 0, s para dferentes reatvdades constantes ρ( t) = ρ0. ρ0 Método t ncal (s) Densdade de nêutrons [cm -3 ] 0,003 0,0055 θ weghtng SCM GRK AEM DM θ weghtng SCM GRK AEM DM 0, ,0 0, ,0 t = s t = 0 s t = 20 s 2,737 2,2254 2,2098 2,2098 2,2098 (0) * 8,0069 8,0324 8,092 8,092 8,092 (0) * 2, , , , , (0) * t = 0, s t = 2 s t = 0 s 5,945 4,2625 0, ,2057 4,3024 0, ,200 4,3025 0, ,200 4,3025 0, ,200 (0) * 4, (0) *, (7,2 0-5 ) * t = 0,0 s t = 0,5 s t = 2 s 4,5089 5, , ,500 5, , ,5088 5, , ,5088 5, , ,5088 (0) * 5, (0) * 2,059 0 (0) * θ weghtng 0,007 SCM 0,00043 GRK 0,0 AEM DM t = 0,0 s t = 0, s t = s θ weghtng 6,2030, ,008 SCM 0, ,2046, GRK 0,0 6,2029, AEM 6,2028, DM 6,2028 (0) *, (0) * * (desvo relatvo com relação ao método AEM) 6, , , , , (0) * Aqu utlza-se como resultado de referênca a densdade de nêutrons e calcula-se o desvo relatvo percentual em relação ao método (AEM) proposto por [Aboanber, 2003]. Quando comparado com este, pode-se aferr uma excelente concordânca dos resultados obtdos pelo método (DM), uma vez que se obteve um desvo relatvo de pratcamente 0% para todos os tempos. Em vsta dos resultados apresentados, pode-se nferr que o método da Decomposção se aplcou muto bem para a resolução das equações de cnétca pontual com reatvdade constante Caso B. Reatvdade varável com o tempo Para esse caso, resolve-se o problema de cnétca pontual para uma reatvdade varável com o tempo. Consderam-se três exemplos com reatvdades dependentes do tempo: uma do tpo lnear; uma do tpo quadrátca e uma do tpo senodal.

50 34 Exemplo Neste exemplo, consdera-se ncalmente que a reatvdade é descrta como uma função lnear do tempo da forma ρ ( t) = at, onde a [$/s] é uma constante. A densdade de nêutrons é calculada para dos valores dferentes para a constante a. Os parâmetros nucleares são descrtos na Tabela 3.4 para um reator térmco conforme [Nahla, 2008] para um tempo de geração Λ = 0, 0000 s. Tabela Parâmetros nucleares para um reator térmco. Nêutrons Atrasados λ ( s ) 3 β 0 0,246 0,027,363 0,037,203 0,5 2,605 0,3 0,89,40 0,67 3,87 3 β = 6, 4x0 Na Tabela 3.5, apresentam-se os resultados obtdos pelo método da Decomposção (DM) comparados com (GAEM) proposto por [Nahla, 2008] e aproxmação do tpo Padé. Utlza-se um crtéro de parada de 0-5 para o truncamento dos R sstemas recursvos e calcula-se o desvo relatvo percentual com relação ao método (GAEM). Tabela Densdade de nêutrons para reatvdade do tpo rampa ρ ( t) = at para um tempo de geração de Λ = 0,0000 s. a($/s) tempo (s) Densdade de nêutrons [cm -3 ] Padé GAEM DM 0,25,069840, ,50,57065, ,25 0,75,265795,26533,0,402562,4098 0,5 0,25 0,5 0,75,0,49544,369438,7084 2,276692,49200,368927, ,27527 * (desvo relatvo percentual com relação ao método GAEM) ** (uso da contnuação analítca),06965 (0,0 * ),56849 (0,0 * ), (0,0 * ),40838 (0,0 * ),49328 (0,0 * ), (0,0 * ), (0,02 * ) 2, ** (0,002 * )

51 35 2,4 2,2 a=0,25 $ a=0,5 $ Densdade de Nêutrons [xcm -3 ] 2,0,8,6,4,2,0 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0, tempo (s) Fgura 3. - Densdade de nêutrons para ρ ( t) = a t. Com os resultados apresentados na Tabela 3.5, pode-se observar uma boa concordânca dos resultados quando comparados com o método (GAEM) e aproxmação (Padé). O método da Decomposção satsfez em todos os pontos o respectvo crtéro de Lyapunov, o que assegura a convergênca da solução, exceto para o parâmetro a = 0,5 $ s e tempo t = s, na qual se utlzou a contnuação analítca para assegurar tal crtéro, ou seja, resolve-se o problema de cnétca pontual para um passo de tempo h onde a convergênca da solução estava assegurada e utlza-se esta solução como condção ncal para o próxmo passo. Fca claro que se pode controlar a precsão dos resultados e a convergênca da solução pelo aumento dos R sstemas recursvos e o uso da contnuação analítca. A Tabela 3.6 lustra a satsfação do crtéro de Lyapnouv para a = 0,5 $ s, t = s e h = 0,25 s. Para os R sstemas recursvos, utlza-se a contnuação analítca para um passo no tempo de h = 0,25 s. Neste caso, a condção ncal fo a densdade de nêutrons para t = 0,75 s, onde a convergênca da solução estava assegurada. Exemplo 2 Neste exemplo, resolvem-se as equações da cnétca pontual pelo método da decomposção para uma reatvdade do tpo rampa quadrátca dada por: 2 ρ ( t) = at + bt, onde a e b são constantes arbtráras.

52 36 Tabela 3.6- Satsfação do crtéro de Lyapnouv para os R sstemas recursvos com o uso da contnuação analítca para ρ = 0, 5t, t = s e h = 0,25 s. Número de sstemas recursvos Densdade de nêutrons [cm -3 ] Crtéro de Lyapnouv R = 0, *, ** - R = 0, * 2,33886 ** -,38890 R = 2 0,0696 * 2, ** -,6627 R = 3 0, * 2, ** -,770 R = 4 0, * 2,27345 ** -,0595 R = 5 0, * 2,27479 ** -,0304 R = 6 0, * 2, ** -,0232 R = 7 0, * 2, ** -,024 R = 8 0, * 2, ** -,0209 R = 9 6, * 2, ** -,0208 * (solução para os R sstemas) **( somatóro das soluções dos R sstemas) Os parâmetros nucleares são dados na Tabela 3.7 para um reator térmco para um tempo de geração de Λ 4 = 0 s conforme [Nobrega, 97]. Tabela Parâmetros nucleares para um reator térmco. Nêutrons Atrasados β 0 3 λ ) 0,2850 0,027,5975 0,037,400 0,5 3,0525 0,3 0,9600,40 0,950 3,87 3 β = 7,5x0 Na Fgura 3.2, lustra-se a resposta da densdade de nêutrons a uma varação 4 quadrátca na reatvdade para um tempo de geração Λ = 0 s. Utlza-se uma reatvdade do 2 tpo ρ ( t) = at + bt, estabelecendo um parâmetro fxo b e varando o parâmetro a. Neste caso, nota-se que se pode controlar o crescmento da densdade de nêutrons pelo smples ajuste do parâmetro a. Fscamente sso podera representar uma aproxmação dos movmentos das barras de controle dada pela varação da reatvdade em função do tempo. Aqu, novamente tem-se o crtéro de Lyapunov satsfeto para todos os pontos calculados, exceto para t =,2 s, na qual se utlza a contnuação analítca para um passo de h = 0,2 para satsfazer tal crtéro. Como crtéro de parada utlzou-se 0-5 para os R sstemas recursvos.

53 37 Densdade de nêutrons [xcm -3 ] 3,0 2,8 2,6 2,4 2,2 2,0,8,6,4,2,0 b=0,003 a=-b/0 a=0 a=b/0 0,8 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0,2 tempo (s) Fgura Densdade de nêutrons para 2 ρ ( t) = at + bt. Exemplo 3 Para completar a análse dos resultados numércos, resolvem-se as equações de cnétca pontual para reatvdade senodal do tpo ρ( t) = ρ0 sen( t) com ρ 0 = 0, para um Λ = 0,00003s. Os parâmetros nucleares são dados pela Tabela 3.8 conforme [Hansen, 965]. Tabela 3.8- Parâmetros nucleares para um reator térmco. Nêutrons Atrasados 3 0 λ ( s ) β 0,24 0,024,423 0,0305,247 0, 2,568 0,30 0,748,4 0,273 3,0 3 β = 6, 4x0 Na Tabela 3.9, apresentam-se os resultados numércos para a densdade de nêutrons obtdos pela metodologa proposta (DM) para o tempo varando de 0 a 0 segundos. Estes resultados são lustrados também na Fgura 3.3.

54 38 Tabela 3.9- Comparação dos resultados numércos para densdade de nêutrons com reatvdade senodal ρ ( t) = 0, sen( t). tempo (s) t = 0 t = t = 2 t = 3 t = 4 t = 5 t = 6 t = 7 t = 8 t = 9 t =0 Densdade de Nêutrons [cm -3 ] DM Hansen Taylor,00000,2397 R=6 (0,0008 * ),688 R=6 (0,006 * ),07443 R=5 (0,004 * ) 0,9538 R=4 (0,00 * ) 0,90737 R=6 (0,002 * ) 0,965 R=4 (0,002 * ),08748 R=5 (0,002 * ),768 R=6 (0,0008 * ),28 R=6 (0,00 * ) 0,98464 R=4 (0,004 * ),00000,2396,6889, , , ,9653,08745,767,30 0,98468 * ( desvo relatvo percentual com relação a Hansen),00000,2394,6884, , , ,9658,08749,764,24 0,98464 Mas uma vez os resultados foram excelentes quando comparados com as metodologas propostas por Hansen e Taylor. Aqu o desvo relatvo percentual fo lmtado a menos que (0,00%). Além dsso, o crtéro de Lyapunov fo satsfeto para todos os pontos. Tendo em vsta os resultados obtdos para as equações da cnétca pontual com reatvdade varável com o tempo, obteve-se sucesso na obtenção da solução para o referdo problema com o uso do método da Decomposção. Percebe-se que o uso da contnuação analítca pode ser usado não só para garantr a convergênca, naqueles pontos onde sto não ocorre, como também para controlar a precsão da solução, no sentdo de dmnução dos R sstemas recursvos e satsfação de um crtéro de parada. Além dsso, observa-se que quando a solução de afasta da solução ncal n(0), um número maor de sstemas recursvos é exgdo para se obter solução dentro um crtéro de parada prescrto. Cumpre salentar que a solução obtda para as equações é analítca a não ser pelo truncamento da sére e a convergênca é assegurada pelo crtéro de Lyapunov.

55 39,20 Densdade de Nêutrons [xcm -3 ],5,0,05,00 0,95 0, Tempo (s) Fgura Densdade de nêutrons para ρ ( t) = 0,00073 sen( t).

56 40 4. SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DA CINÉTICA ESPACIAL Na maora das stuações encontradas na análse de dferentes tpos de reatores nucleares, é sufcente para modelar o comportamento neutrônco no espaço-tempo, uma aproxmação do modelo de transporte de nêutrons. O modelo mas amplamente utlzado nestas aproxmações é a teora multgrupo da dfusão de nêutrons, dada pelas seguntes equações da cnétca espacal escrtas em geometra cartesana: φg ( r, t) =. Dg ( r, t) φg ( r, t) rg ( r, t) φg ( r, t) v t g C ( r, t) t G p ( sg g ) P d ' β χg ν fg ' φg ' χg λ + ( r, t) + ( ) ( r, t) ( r, t) + C ( r, t), (4.) g ' = = G g ' = = β ν ( r, t) φ ( r, t) λ C ( r, t) fg ' g ' para g = : G, = : P e g g ', com condções de contorno usuas aplcadas em físca de reatores de fluxo nulo nos contornos e condções ncas dadas por: φ ( r,0) = φ ( r) g g0 β ν C ( r,0) = ( φ 0( r) ) fg g λ, (4.2) para g = : G, = : P. Estas condções ncas são obtdas através da resolução do problema estaconáro da teora de dfusão de nêutrons. Aqu G é número total de grupos de energa dos 2 nêutrons, P é o número total de grupos de precursores de nêutrons atrasados, φ g ( r, t)[ cm s ] é o fluxo escalar de nêutrons para o grupo g, 2 φ g ( r,0)[ cm s ] é o fluxo escalar de nêutrons ncal para t = 0 s, o grupo, 3 C (,0)[ cm ] 3 C (, t)[ cm ] r é a concentração de precursores de nêutrons atrasados para r é a concentração de precursores de nêutrons atrasados ncal para o grupo em t = 0 s, D ( r, t)[ cm] é o coefcente de dfusão de nêutrons para o grupo g, g

57 4 r t cm é a seção de choque macroscópca de remoção para o grupo g, rg (, )[ ] r é a seção de choque macroscópca de espalhamento do grupo g para o grupo g, ' (, t)[ cm ] sg g p d χg é o espectro de fssão dos nêutrons prontos para o grupo g, χ g é o espectro de fssão dos nêutrons atrasados para o grupo g, ν é o número médo de nêutrons emtdos por fssão, r t cm é a seção de choque macroscópca de fssão para o grupo g e v [ cm/ s ] é a fg (, )[ ] velocdade méda dos nêutrons para o grupo g. Nesta tese, resolvem-se em forma analítca as equações (4.) para 2 e 3 dmensões consderando 2 grupos de energa, e 6 grupos de precursores de nêutrons atrasados, parâmetros nucleares constantes no espaço-tempo e parâmetros nucleares dependentes do tempo dados pela varação temporal da seção de choque macroscópca de remoção. Consderando a seção de choque macroscópca de remoção como um parâmetro dependente do tempo tem-se: r2( r, t) r2( t). Aqu consdera-se que não há up-scatterng ( s2 = 0) e tem-se r2( t) = a2( t). Para a resolução destas equações, utlza-se a metodologa conhecda como GITT (Generalzed Integral Transform Technque) nas dmensões espacas, a fm de recar num problema transformado dependente do tempo, semelhante às equações da cnétca pontual resolvdos anterormente pelo método da Decomposção. g 4. A GITT A segur são mostrados os passos báscos para a obtenção da solução de um problema undmensonal dependente do tempo pela técnca da GITT. Para problemas multdmensonas, o procedmento é análogo. A análse restrnge-se ao sstema de coordenadas cartesanas, mas pode-se aplcar a qualquer sstema. Segundo o formalsmo da GITT, dada uma equação genérca conforme [Wortmann, 2003] Aφ ( x, t) = S, (4.3) em a x b e t > 0, sujeta às condções de contorno homogêneas,

58 42 dφ( a, t) a + a2φ( a, t) = 0 dx, (4.4) dφ( b, t) b + b2φ ( b, t) = 0 dx na qual, A é o operador dferencal parcal assocado ao problema undmensonal dependente do tempo, S é o termo fonte e as constantes a, a2, b, b 2 dependem das propredades físcas do problema. O prmero passo é expandr a varável φ ( a, t) em uma base adequada. Para se determnar esta base, o operador A é reescrto da segunte forma: Aφ ( x, t) = Bφ( x, t) + Lφ( x, t), (4.5) na qual L é um operador assocado ao problema de Sturn-Louvlle e B é o operador assocado aos termos restantes. Assm, L tem a forma: Lψ ( λ, x).[ p( x) ψ ( λ, x)] + q( x) ψ ( λ, x). (4.6) As funções p(x) e q(x) devem ser reas e contínuas, e anda p( x ) > 0 em todo o ntervalo (a,b). Defndo no problema representado pela equação (4.3) 2 Lψ ( λ, x) + λ ψ ( λ, x) = 0, (4.7) em a x b, com φ( a, t) a + a2φ( a, t) = 0 x. (4.8) φ( b, t) b + b2φ ( b, t) = 0 x O problema (4.7) com condções de contorno (4.8) é chamado de problema de Sturm- Louvlle e é a forma geral dos chamados problemas auxlares na teora da GITT. As constantes a, a2, b, b 2 devem ser as mesmas do problema orgnal (4.4). A equação (4.7) pode

59 43 ser escrta para um λ m qualquer, uma vez que o parâmetro λ é ndependente das constantes a, a, b e b. Logo, (4.7) torna-se: 2 2 Lψ x + λ ψ x =, (4.9) 2 m( ) m m( ) 0 na qual ψ m( x) ψ ( λm, x). As funções ψ m( x ) e os valores λ m são conhecdos, respectvamente, como as autofunções e autovalores do operador L. Elas formam a base para o espaço onde o operador L está contdo, cuja ortogonaldade é defnda da segunte forma [Özsk, 980]: 0 m n m( x) n( x) dx N N ψ ψ =. (4.0) m = n m n Na qual N m é o quadrado da norma L 2 ( a, b ) expressa por: N m = ψ 2 ( x) dx. (4.) m Esta base de autofunções (também conhecda como autovetores) será usada para expandr a varável φ ( x, t) da equação (4.3) na segunte forma: φ( x, t) = = φ ( t) ψ ( x) N. (4.2) Uma vez determnado o problema de autovalores assocado ao problema orgnal e expandda a sua varável dependente, aplca-se na equação (4.3) o segunte operador: ( x) dx N ψ, (4.3)

60 44 que é a transformação ntegral propramente dta. Executadas todas as ntegrações, o resultado é um sstema de equações dferencas ordnáras, cuja varável dependente é φ ( t). A obtenção desta varável e dos autovetores ψ ( x) é feta soluconando-se este sstema de equações e o problema de autovalores assocado respectvamente. Conhecendo-se estas duas grandezas, o somatóro da equação (4.2) pode ser truncado em um número de termos para a determnação do potencal orgnal φ ( x, t). Cada termo do somatóro da equação (4.2) corresponde a uma equação no sstema de equações transformado. Por sso, sua ordem de truncamento é muto mportante. Assm, oportunamente, nesta tese dscute-se um verdadero crtéro de convergênca baseado em uma analoga ao Teorema Cardnal de Interpolação aplcado ao problema de cnétca espacal. A segur apresentam-se os prncpas passos para obtenção da solução de uma equação pela GITT: a) Determna-se o problema auxlar dentfcando-se o operador L na equação que se quer resolver. Na equação (4.6) este operador está representado na sua forma mas completa. Entretanto, algumas de suas parcelas podem ser nulas dependendo do problema a ser resolvdo, porém a função p( x ) não pode ser nula, anda que seja uma função dentdade. b) As condções de contorno aplcadas às varáves dependentes do problema auxlar devem ser as mesmas que aquelas aplcadas às varáves dependentes do problema prncpal. Caso o problema prncpal não tenha condções de contorno homogêneas, deve-se fazer o uso de projetores ortogonas [Cassol, 2006]. c) Resolve-se o problema auxlar. d) Usa-se o operador defndo na equação (4.3) para tranformar a equação orgnal em um sstema de equações transformado. e) Resolve-se o sstema de equações transformado. f) Trunca-se a equação (4.2) até um crtéro de parada basedado em algum crtéro de convergênca. Para fnalzar esta seção, fazem-se algumas observações sobre os problemas que podem ser resolvdos pela GITT. Exstem duas condções báscas: a) O operador dferencal da equação que se quer resolver deve ser um termo Laplacano. Isto equvale a dzer que a função p(x) da equação (4.6) é não nula.

61 45 b) As varáves que se quer transformar têm que ter dmensão fnta, ou seja, têm que estar contdas dentro do ntervalo a < x < b. 4.2 O problema 2D Sem perda de generaldade, estamos consderando 2 grupos de energa para os nêutrons (G = 2), 6 grupos de precursores de nêutrons atrasados (P = 6) e 2 dmensões espacas (x,y), na qual 0 < x < L e 0 < y < M. Aqu a perturbação na reatvdade consste em uma varação na seção macroscópca de remoção do grupo térmco, o que torna para fns de cálculos este parâmetro nuclear dependente do tempo. Para soluconar o problema proposto utlzando o método GITT (Generalzed Integral Transform Technque) algumas condções devem ser satsfetas. A dmensão na qual se aplca o método deve ser fnta e as condções de contorno devem ser homogêneas, caso contráro pode-se fazer o uso de projetores ortogonas [Cassol, 2006]. Além dsso, o operador dferencal da equação a ser soluconada deve conter um termo laplacano, porém a ausênca desse termo pode ser resolvda adconando-se uma constante multplcada ao laplacano na qual o seu lmte tenda a zero [Ceoln, 200]. Por sso, ntroduz-se um termo de dfusão fctíca nas equações para a concentração de precursores de nêutrons atrasados da segunte forma: 2 2 ε + C ( x, y, t ) 2 2, (4.4) x y para = : 6, na qual ε é um parâmetro de valor pequeno e postvo, ou seja, ε 0. Portanto, assumndo que os parâmetros nucleares não varam no espaço-tempo, a não ser a seção macroscópca de remoção do grupo térmco, ntroduzndo o termo de dfusão fctíca (4.4) e tendo em vsta que todos os nêutrons são gerados no grupo rápdo, ou seja, χ p d = χ = e χ2 = χ2 = 0, pode-se escrever o sstema (4.) em 2 dmensões como: p d

62 φ ( x, y, t) φ ( x, y, t) φ ( x, y, t) = D rφ ( x, y, t) + s2 φ2( x, y, t) v t x y 6 p ( f f 2 2 ) = + ( β ) χ ν φ ( x, y, t) + ν φ ( x, y, t) + λ C ( x, y, t) 2 2 φ2( x, y, t) φ2( x, y, t) φ2( x, y, t) = D r 2( t) φ2( x, y, t) + s2 φ ( x, y, t) v2 t x y 2 2 C ( x, y, t) = β( ν f φ ( x, y, t) + ν f 2 φ2( x, y, t) ) λ C ( x, y, t) + ε + C (,, ) 2 2 x y t t x y, (4.5) para = : 6. Reescrevendo o sstema (4.5) em forma mas compacta e consderando que não há up-scaterrng, ou seja, s2 = 0, fca-se com: 2 2 φ ( x, y, t) φ ( x, y, t) φ ( x, y, t) = a + bφ ( x, y, t) cφ ( x, y, t) d C... d C t x y φ2( x, y, t) φ2( x, y, t) φ2( x, y, t) = e f φ ( x, y, t) + g( t) φ2( x, y, t) t x y 2 2 C ( x, y, t) C ( x, y, t) C ( x, y, t = + ε ) h φ( x, y, t) + jφ2 ( x, y, t) + kc ( x, y, t) t x y,(4.6) na qual: a = v D, b = v r + v ( β) ν f, c = v2( β) ν f 2, d = v λ, e = v2 D2, f g( t) = v ( t), h = βν f, j = βν f 2, k = λ, para = : 6. = v2 s2, 2 r2 A exstênca do termo laplacano nas equações do sstema (4.6) a ser resolvdo é uma exgênca para a aplcação do método da GITT, pos possblta a determnação do problema de Sturm-Louvlle auxlar. Logo, segundo o formalsmo da GITT, escolhe-se o problema auxlar nas duas dmensões espacas como: " 2 ϕm( x) + λm ( x) ϕm( x) = 0 0 < x < L, (4.7) ψ ( y) + γ ( y) ψ ( y) = 0 0 < y < M " 2 n n n

63 47 sujeto as mesmas condções de contorno do problema orgnal na dmensão transformada. As funções ϕ m( x ) e ψ ( y) e os valores n λ m e γ n são conhecdos, respectvamente, como as autofunções e autovalores do operador dferencal de segunda ordem. Uma vez resolvdo as equações (4.7), tem-se bem determnado as autofunções e seus respectvos autovalores. Se as condções de contorno forem homogêneas do tpo fluxo nulo nos contornos, tem-se por (Özkck,980) que: ϕm( x) = sen( λmx), (4.8) ψ ( y) = sen( γ y) n n com os respectvos autovalores mπ λm = L, (4.9) nπ γ n = M para m = : Nmax e n : Nmax =, na qual N max é a ordem de truncamento das séres. Estas autofunções (4.8) satsfazem as propredades de ortogonaldade defndas como: N m N p L 0, m p ϕm( x) ϕ p ( x) dx = (4.20) 0, m = p e N n N q M 0, n q ψ n( y) ψ q( y) dy =. (4.2) 0, n = q Aqu as normas N m e N n são dadas por: N m = ϕ ( x) dx (4.22) 0 L 2 m e n 0 M N = ψ ( y) dy. (4.23) 2 n

64 48 As autofunções formam uma base para o espaço onde o operador dferencal está contdo. Essa base será usada para expandr as varáves fluxo de nêutrons e concentração de precursores de nêutrons atrasados como somatóros dados por: φ ( x, y, t) m, n m n =, (4.24) m= n= Φ ( t) ϕ ( x) ψ ( y) N m N n φ ( x, y, t) 2 2 m, n m n =, (4.25) m= n= Φ ( t) ϕ ( x) ψ ( y) N m N n C ( x, y, t) m, n m n =, (4.26) m= n= ξ ( t) ϕ ( x) ψ ( y) N m N n para = : 6. Segundo o formalsmo da GITT substtuem-se os somatóros (4.24), (4.25) e (4.26) no sstema (4.6) e obtém-se: Φ ( t) ϕ ( x) ψ ( y) Φ ( t) ϕ ( x) ψ ( y) Φ ( t) ϕ ( x) ψ ( y) = a + N N N N N N ' " " m, n m n m, n m n m, n m n m= n= m n m= n= m n m= n= m n m= n= Φ m, n( t) ϕm( x) ψ n( y) Φ2 m, n( t) ϕm( x) ψ n( y) ξ m, n( t) ϕm( x) ψ n( y) + b + c + d N N N N N N m= n= m n m= n= m n ξ2 m, n( t) ϕm( x) ψ n( y) ξ6 m, n( t) ϕm( x) ψ n( y) + d2 + d6 N N N N m= n= m n m= n= m n m n Φ ( t) ϕ ( x) ψ ( y) Φ ( t) ϕ ( x) ψ ( y) Φ ( t) ϕ ( x) ψ ( y) = e + N N N N N N ' " " 2 m, n m n 2 m, n m n 2 m, n m n m= n= m n m= n= m n m= n= m n + f Φ Φ2 m, n( t) ϕm( x) ψ n( y) ( t) ϕ ( x) ψ ( y) + g( t) Nm Nn N N m, n m n m= n= m n m= n= ξ ( t) ϕ ( x) ψ ( y) ξ ( t) ϕ ( x) ψ ( y) ξ ( t) ϕ ( x) ψ ( y) = + ε + N N N N N N ' " " m, n m n m, n m n m, n m n m= n= m n m= n= m n m= n= m n Φ m, n( t) ϕm( x) ψ n( y) Φ2 m, n( t) ϕm ( x) ψ n( y) ξm, n( t) ϕm( x) ψ n ( y) + h + j + k N N N N N N m= n= m n m= n= m n m= n= m n, (4.27)

65 49 para = : 6. Aplcando o operador ntegral L M ϕ p ( x) ψ q ( y) dx dy (4.28) 0 0 N p Nq em (4.27), usando a propredade da ortogonaldade e sabendo que ϕ ( x) = λ ϕ ( x) e " 2 m m m ψ ( y) = γ ψ ( y), fca-se com uma equação dferencal ordnára matrcal escrta da " 2 n n n segunte forma: Φ m, n( t) A B D Φ m, n( t) D2 D6 Φ2 m, n( t) E F( t) Φ2 m, n( t) d ξ m, n ( t) G ξ m, n( t) H K 0 0 dt ξ2 m, n ( t = ) ξ2 m, n( t G2 H2 0 K 2 0 ) ξ6 m, n( t) G ξ 6 6 m, n ( t) 6 H6 0 0 K, (4.29) para m, n : = Nmax, onde max N é a ordem de truncamento das séres (4.22), (4.23) e (4.24). As matrzes de (4.29) são escrtas como: A = a λ γ + b, B = c, D = d, E = f, 2 2 ( m n ) F λ γ, G = h, H = j, 2 2 ( t) = e( m n ) + g( t) K ε λ γ, para = : 6. Todas essas 2 2 = ( m n ) + k matrzes são dagonas devdo à aplcação da propredade da ortogonaldade das autofunções. Além dsso, elas têm ordem ( G P)( N ) ( ) 2 N max o que torna a equação matrcal (4.29) de ordem 2 + max. Consderando dos grupos de energa (G = 2) e ses grupos de precursores de 2 nêutrons atrasados (P = 6), tem-se que a ordem de (4.29) é de 8( N ). Nota-se que a equação (4.29) é uma equação matrcal lnear homogênea de prmera ordem com entradas dependentes do tempo e pode ser escrta como: max ' X ( t) + W( t) X ( t) = 0, (4.30) Para resolver a equação (4.30), utlza-se o método da Decomposção, analogamente ao caso das equações da cnétca pontual. Expande-se X ( t) como uma sére truncada da segunte forma:

66 50 R X( t) = X r ( t) (4.3) r= 0 Substtu-se (4.3) em (4.30) resultando em: d dt ( X0( t) + X( t) +... XR( t) ) + ( W0 ) ( X0( t) + X( t) +... XR ( t) ) = W ( t) ( X0( t) + X( t) +... XR( t) ), (4.32) na qual, W( t) = W0 + W ( t). Segundo o procedmento análogo a resolução das equações da cnétca pontual, pode-se construr o sstema recursvo d dt ( t ) X ( ) + W X ( t) = 0 (4.33) para o prmero termo da expansão da solução (4.32) e d dt ( ( ) ) ( ( ) 0 ) ( ( ) ) ( ( ) r t + r t = t r t ) X W X W X (4.34) para o termo genérco da expansão da solução com r = : R. A solução conhecda para equação matrcal (4.34) utlzando a técnca da Transformada de Laplace com a propredade da convolução é dado pela expressão (3.9). Da mesma forma, quando W ( t) = 0 em (4.34), a solução torna-se smplesmente a expressão (3.20). Além dsso, para os problemas especas em que os autovalores da matrz W 0 são dstntos, a exponencal da matrz pode ser expressa por (3.2). Para completar a análse da solução, afrma-se que o problema homogêneo (4.33) satsfaz às condções ncas (4.2) transformadas dadas por:

67 5 Φ ( x, y,0) = ξ g0 m, n 0 m, n ( x, y,0) = β L M 0 g 0 0 φ ( x, y,0) dx dy N m 2 ν fg Φ g0 m, n g = λ N n ( x, y,0) (4.35) para g = : 2 e = : 6, enquanto que para os problemas não-homogêneos (4.34) mpõem-se condções ncas nulas. Cabe ressaltar que estas condções ncas φ 0 ( x, y,0), para g = :2, são obtdas resolvendo-se a equação de dfusão estaconára em forma analítca. Para mas detalhes ver apêndce A. Uma vez determnada a solução para os R+ sstemas recursvos dados por (4.33) e (4.34), basta substtuí-los em (4.3) para obter a solução transformada. Com sso, pode-se encontrar a solução fnal dos fluxos de nêutrons e concentração de precursores de nêutrons atrasados, utlzando as fórmulas da nversa da GITT dadas por ( ). Analogamente, como na solução das equações da cnétca pontual para a solução do problema transformado, truncam-se os R sstemas recursvos a partr de um crtéro de parada prescrto. A convergênca é garantda satsfazendo-se o crtéro de Lyapunov. A técnca mostrada anterormente para a resolução do problema transformado se aplca bem para problemas de ordem até 500 [Segatto et al., 999] [Segatto et al., 2008]. Para casos específcos de problemas com ordens mas altas, propõe-se a dea de fatorar a matrz W como: g W( t) = D ( t) + U, (4.36) na qual D ( t) é a matrz dagonal de W( t) equação (4.30) torna-se: e U é a matrz dos elementos restantes. Assm a ' X ( t) + D( t) X( t) = UX ( t). (4.37) Agora aplca-se o método da Decomposção, analogamente ao caso das equações da cnétca pontual. Prmero, fazendo D ( t) = D 0 + D ( t), na qual D 0 é a matrz dagonal de

68 52 W ( t) sem o termo dependente do tempo e D ( t) é a matrz dagonal de W ( t) somente com o termo dependente do tempo. Expande-se X ( t) como uma sére truncada e substtu-se em (4.37). Com sto é possível construr o sstema recursvo d dt ( t ) 0 X ( ) + D X ( t) = 0, (4.38) 0 0 para o prmero termo da expansão em sére e d dt ( ) ( ) ( ) ( ) X ( t) + D X ( t) = D ( t) + U X ( t) (4.39) r 0 r r para o termo genérco da expansão da solução em sére com r = : R. A fatoração da matrz W como W( t) = D ( t) + U possblta trabalhar com matrzes de ordem muto elevada, uma vez que a solução da solução homogênea (4.38) e não-homogênea (4.39) tornam-se faclmente resolvdas pelas expressões ( ). A vantagem aqu é que a solução do problema homogêneo torna-se smplfcada, uma vez que D 0 é uma matrz dagonal e sua exponencal torna-se: exp( d t) exp( d22t) 0 exp( D 0 t) =, (4.40) 0 0 exp( d jj t) na qual, d jj são os elementos da dagonal da matrz 0 D para ( ) 2 j = : 8 N. Ou seja, para uma matrz dagonal, calcular a sua exponencal é equvalente a exponencar cada elemento da dagonal. max 4.3 O problema 3D Analogamente ao caso 2D, sem perda de generaldade, consderam-se para este caso: 2 grupos de energa para os nêutrons (G = 2), 6 grupos de precursores de nêutrons atrasados

69 53 ( P = 2 ) e 3 dmensões espacas (x,y,z) na qual: 0 < x < L, 0 < y < M e 0 < z < Q. Introduzndo o termo de dfusão fctíca nas equações para a concentração de precursores de nêutrons atrasados, assumndo que os parâmetros nucleares não varam no espaço-tempo, a não ser a seção de choque macroscópca de remoção do grupo térmco, e tendo em vsta que todos os nêutrons são gerados no grupo rápdo, fca-se com as equações de cnétca espacal 3D: φ ( x, y, z, t) φ ( x, y, z, t) φ ( x, y, z, t) φ ( x, y, z, t) v t x y z = D r ( ) p s2 2 f f 2 2 φ ( x, y, z, t) + φ ( x, y, z, t) + ( β ) χ ν φ ( x, y, z, t) + ν φ ( x, y, z, t) + 6 = λ C ( x, y, z, t) φ2( x, y, z, t) φ2 ( x, y, z, t) φ2( x, y, z, t) φ2 ( x, y, z, t) = D r 2( t) φ2 ( x, y, z, t), (4.4) v2 t x y z + φ ( x, y, z, t) s2 C ( x, y, z, t) = β ν f φ + ν f φ t ε + + C (,,, ) x y z t x y z ( ( x, y, z, t) 2 2( x, y, z, t) ) λ C ( x, y, z, t) para = : 6, com condções de contorno para o problema trdmensonal, especfcamente dadas por: φg ( x, y,0, t) = 0 z φg ( x,0, z, t) = 0 y φg (0, y, z, t). (4.42) = 0 x φ ( x, y, Q, t) = 0 g φ ( x, M, z, t) = 0 g φ ( L, y, z, t) = 0 g para g = :2, com as condções ncas para t > 0 dadas por (4.2).

70 54 Ao nvés de segur o formalsmo da GITT e determnar o problema auxlar de Sturn Louvle nas três dmensões espacas, escolhe-se o problema auxlar em uma dmensão espacal, recando num problema 2D resolvdo anterormente. Assm, escolhendo o problema auxlar na dmensão z fca-se com: η ( z) + τ ( z) η ( z) = 0, (4.43) " 2 p p p para 0 < z < Q, p = : Nmax, na qual N max é a ordem de truncamento da expansão em sére, sujeto as mesmas condções de contorno orgnas na dmensão transformada. A função η p( z ) e o valor τ p são, respectvamente, as autofunções e autovalores do operador dferencal de segunda ordem. Uma vez resolvdo as equações (4.43), tem-se bem determnado as autofunções e seus respectvos autovalores. Tomando as condções de contorno (4.43) na dmensão z, tem-se por [Özzk, 980] η ( z) = cos( τ z), (4.44) p p com os respectvos autovalores τ p (2 p ) π = 2Q, (4.45) para por: p = : N. Esta autofunção (4.44) satsfaz a propredade de ortogonaldade defnda max N p N s Q 0, p s η p ( z) ηs ( z) dz =. (4.46) 0, p = s Aqu a norma N p é dada por: N p = η ( z) dz. (4.47) 0 Q 2 p Aplcando a GITT na dmensão z, expandem-se as varáves fluxo de nêutrons e concentração de precursores de nêutrons atrasados como somatóros dados por:

71 55 φ ( x, y, z, t) p p =, (4.48) p= Φ ( x, y, t) η ( z) N p φ ( x, y, z, t) 2 2 p p =, (4.49) p= Φ ( x, y, t) η ( z) N p ζ p ( x, y, t) η p ( z) C ( x, y, z, t) =, (4.50) N p= p para = : 6. Segundo o formalsmo da GITT, realzam-se os seguntes passos: substtuem-se os somatóros ( ) em (4.4); aplca-se o operador ntegral (4.46) e usa-se a " 2 propredade da ortogonaldade sabendo que η ( z) = τ η ( z), para p = : N max. Com sso, p p p reca-se num problema semelhante ao caso 2D com dmensão N max. A dferença está na composção da dagonal da matrz da equação (4.29) que agora contém os autovalores do problema na dmensão z, ou seja, contém as seguntes matrzes: A = a λ γ τ + b, ( m n ) p F t = e λ γ τ + g t, ( ) ( m n p) ( ) K ε λ γ τ = ( m n ) + k p, para = :6, o que resulta num problema transformado análogo ao problema bdmensonal da mesma forma: ' X ( t) + W( t) X ( t) = 0, (4.5) com dmensão agora (8 N 3 ). max Uma vez que a solução da equação (4.5) está bem estabelecda, basta substtur nas expansões em sére ( ) para se obter a solução do problema 3D, de forma análoga ao problema 2D. 4.4 Crtéro de convergênca e uncdade para o problema auxlar Nesta seção, mostra-se a análse da convergênca para uma dmensão espacal, no caso específco para a coordenada x, uma vez que para as demas dmensões o procedmento é

72 56 análogo. Cabe ressaltar que, como os problemas auxlares são dêntcos nas dmensões espacas, a ordem de truncamento das séres é a mesma em todas as dmensões espacas. Com o sstema de equações transformado resolvdo, sua solução é substtuda nas fórmulas nversas da GITT ( ). Uma questão natural que surge é quando truncar a sére para a garanta da convergênca e obtenção dos resultados para um desvo prescrto. Aqu determna-se um crtéro real de convergênca salentando a efcênca do algortmo proposto para controlar a convergênca da solução e determnar seu truncamento assocado a uma precsão prescrta baseado numa analoga ao Teorema Cardnal de Interpolação. Mas especfcamente, sabendo que o comportamento do fluxo de nêutrons rápdos e térmcos são domnados pelos valores das seções de choque total Tg para cada grupo, podese nferr que entre o lvre camnho médo do nêutron, o seu fluxo é nalterado. Ao analsar mcroscopcamente o problema, estma-se que a méda de camnho percorrdo por um nêutron logo após uma nteração qualquer é gual ao lvre camnho médo; porém, há uma probabldade de nterações que ocorrem antes (como depos) do nêutron ter percorrdo o lvre camnho médo. A dea básca de defnr o crtéro de convergênca consste na determnação de um dvsor ntero (m) do lvre camnho médo de nêutrons tal que, abaxo deste valor, o fluxo de nêutrons é quase homogêneo, garantndo que é muto pouco provável que nterações possam alterar o fluxo de nêutrons de forma sgnfcatva neste camnho. Em outras palavras, a quantdade defne uma densdade de amostragem. ( m ) Tg A estrutura do fluxo escalar de nêutrons é essencalmente determnada pela nteração de nêutrons presente em forma de seções de choque transversas macroscópcas. Isto sgnfca que entre duas sucessvas nterações de nêutrons eles se comportam na méda como partículas lvres compatível com um fluxo homogêneo. Assm, pode-se conclur que, com a dmnução do comprmento ( ) m para um crescente m, varações na solução tornam-se desprezíves. Tg Assm, utlza-se uma analoga ao Teorema Cardnal de Interpolação [Godmann, 996] que dz: "Uma função quadrado ntegrável Ω = φ( x, t) dx, com espectro ( λ ), na qual é lmtado por( m ) tem uma solução exata para uma expansão fnta". T No caso da abordagem utlzada no presente caso, este teorema se encaxa perfetamente se, depos de certa ordem de truncamento do número de termos r Nmax das séres, o desvo se torna rrelevante, permtndo assm a aplcação do teorema. A escolha de m está

73 57 relaconada com o número máxmo de termos (no caso N max ) na sére para a regão de nteresse, que depende da convergênca da solução. Assm é possível estabelecer uma relação entre m e N max, a saber: N max m Tg r = nt, (4.52) 2π na qual m é um ntero, e Tg = ag + fg + g ' g é a seção de choque macroscópca total do grupo g r denota a dmensão total no domíno transformado, ou seja, no presente caso, r = M. Esta relação é uma aproxmação e está relaconado com a convergênca da abordagem e o teorema de Parseval pode ser usado para estmar o desvo. Para o espectro lmtado e de acordo com o teorema a solução é exata. Em nossa aproxmação, se m é adequadamente escolhdo de forma que a parte de corte do espectro é desprezível, então a solução encontrada é quase exata. Para completar a análse, no apêndce B, prova-se um teorema com o qual pode se estabelecer uma solução em forma únca. O teste de Abel, mostrado no apêndce B, para a convergênca unforme, permte determnar as propredades de convergênca adconal de soluções obtdas em forma de sére, propredades que são útes tanto em soluções já estabelecdas e para provar que exste uma solução únca com a aplcação da GITT. 4.5 Resultados numércos Para os resultados numércos, no caso de uma perturbação unforme na reatvdade, utlzam-se como referênca os trabalhos de: [Aboanber e Hamada, 2008] para o problema 2D e [Fergunson, 973] para o problema 3D. Para as perturbações varáves com o tempo, utlzam-se apenas os parâmetros nucleares dos referdos autores e verfcam-se as soluções obtdas pela metodologa proposta em casos teste. Todos os transentes consderados são uma perturbação no estado estaconáro, ou seja, é suposto que, quando esta perturbação ocorre, o fluxo e as concentrações de precursores estão em seus valores no estado estaconáro. Estas condções ncas são geralmente obtdas a partr de cálculos estaconáros da teora da dfusão. Aqu cabe salentar que utlza-se uma condção ncal resolvda de forma semelhante a [Bodmann et al., 200]. A dferença está no tratamento dado ao conjunto de equações dferencas ordnáras transformadas surgdas da

74 58 aplcação da GITT, na qual, recentemente, [Bodmann et al., 200] resolveu utlzando transformada de Laplace. Neste trabalho, utlza-se a dagonalzação da matrz. Para mas detalhes ver Apêndce A. Para os resultados numércos consdera-se o parâmetro ε 9 = 0, um crtéro de 5 parada para os R sstemas recursvos do problema transformado de γ = 0 e um N max para o truncamento das séres dado pela expressão (4.44). Cabe ressaltar que para determnação do N max consderam-se os parâmetros nucleares para o grupo térmco e um ntervalo de m = 0. Para efeto de smplcdade, na comparação dos resultados numércos, a metodologa proposta para a resolução das equações da cnétca espacal será desgnado por GITTDM Caso teste para o problema 2D Para este problema são consderados dos grupos de energa, um e ses grupos de precursores de nêutrons atrasados para um reator térmco. O reator é homogêneo de 200 cm de lado. As condções de contorno utlzadas foram de Drchlet homogêneas nos contornos. Consderam-se neste problema três tpos de reatvdades. O caso teste A consste de uma perturbação unforme na seção macroscópca de absorção térmca correspondente a 4 a2 = a2 (0) 0, O caso teste B consste de uma perturbação do tpo rampa lnear, nduzda pela alteração na seção de choque de absorção térmca. Dos transentes foram estudados: uma rampa lnear de acordo com a2( t) = a2(0) αt para t > 0 s; e uma rampa lnear a2( t) = a2(0) αt para 0 < t < 0,6 s, seguda de uma perturbação unforme ( t) = (0) α para t > 0,6 s, onde α é um valor real. Por fm, para o caso teste C, a2 a2 faz-se uma perturbação do tpo senodal: o período. 4 a2( t) a2(0) 0,396 0 sen(2 πt / T) =, onde T é O caso de uma perturbação unforme na seção de choque macroscópca de absorção fo utlzado para valdar a metodologa desenvolvda procurando reproduzr os resultados de [Aboanber e Hamada, 2008] para um grupo de precursor de nêutrons atrasados. Já para as demas perturbações, faz-se casos teste para testar a metodologa proposta em dferentes stuações varando a seção de choque de absorção térmca, tanto para um grupo como para ses grupos de precursores de nêutrons atrasados.

75 Os parâmetros nucleares utlzados para as três perturbações são mostrados na Tabela Tabela 4. - Parâmetros nucleares. Dmensões Homogêneo 2 Dmensões Propredades Materas Grupo Grupo 2 D [ ] g cm,35,08 [ ] 0, ,00569 ag cm ν 2,4 2,4 fg[ cm ] 0, , , '[ ] sgg cm χ g,0 0 Constante dos Precursores λ = 0,08 β = 0,0064 k, eff Para os ses grupos de precursores, os parâmetros nucleares são dados pela Tabela 4.2. Tabela Parâmetros nucleares para ses grupos de precursores. Nêutrons Atrasados 3 β 0 λ ( s ) 0,24 0,024,423 0,0305,247 0, 2,568 0,30 0,748,4 0,273 3,0 3 β = 6, 4x0 Caso A: perturbação unforme Para esta perturbação calcula-se o fluxo térmco de nêutrons no centro do domíno para dferentes tempos e compara-se com a solução numérca obtda por [Aboanber e Hamada, 2008]. Na Tabela 4.3, como esperado, a partr de nossa análse de convergênca para poucos termos na expansão em sére, obteve-se uma boa concordânca com os resultados apresentados pela referênca. Os resultados obtdos pela metodologa GITTDM teve uma melhor concordânca com o GRK 4A para N = 306 passos no tempo. Na Tabela 4.4, mostra-se o comportamento do fluxo de nêutrons para dversos pontos do domíno para t = 0,4 s. Pode-se observar a smetra do fluxo e seu máxmo no centro do domíno.

76 60 Tabela Comparação numérca do fluxo térmco de nêutrons no centro do domíno (00, 00, t) para dferentes tempos. 2 Fluxo de Nêutrons térmco ( cm s ) tempo (s) GITTDM N = max 3 GRK 4A N = 306 GRK 4T N = 006 GRK 4P N = γ = 0 0 0,3835 0,382 0,382 0,382 0,08 0,632 0,63 0,63 0,63 0,6 0,8622 0,86 0,86 0,85 0,24 0,9972 0,995 0,995 0,996 0,32,5884,56,55,55 0,4,30330,300,300,299 Tabela Dstrbução do fluxo de nêutrons para t = 0,4s. Pontos do domíno (x,y) Fluxo Térmco Fluxo Rápdo 2 ( cm s ) 2 ( cm s ) (50,50) 0,6564,76099 (50,00) 0,9256 2,49042 (50,50) 0,6564,76099 (00,00), ,5299 (00,50) 0,9256 2,49042 (50,50) 0,6564,76099 (50,00) 0,9256 2,49042 (50,50) 0,6564,76099 Isso também pode ser observado nas Fguras 4. e 4.2, bem como a exata satsfação das condções de contorno para o fluxo de nêutrons. Fgura 4. - Dstrbução do fluxo térmco de nêutrons para t = 0, 4s.

77 6 Fgura Dstrbução do fluxo rápdo de nêutrons para t = 0, 4s. Para fnalzar a análse desta perturbação unforme, mostra-se na Tabela 4.5 o fluxo de nêutrons rápdo para dferentes tempos. Tabela Fluxo de nêutrons rápdo no centro do domíno (00, 00, t) para dferentes tempos. Fluxo de Nêutrons rápdo 2 tempo (s) ( cm s ) 5 N = γ = 0 GITTDM max 3 0,3200 0,08,6573 0,6 2, ,24 2, ,32 3,363 0,4 3,5299 Caso B: perturbação do tpo rampa Neste caso teste B consderam-se 2 exemplos. A dea aqu é varar a nclnação das rampas e observar as mudanças na potênca do reator para um e ses grupos de precursores. Prmero consdera-se uma perturbação do tpo rampa lnear da segunte forma: ( t) = (0) αt, onde α é um parâmetro real. A dea aqu é varar a nclnação dada por a2 a2 α e observar as varações na potênca normalzada para dversas nclnações. Isto pode ser obervado nas Fguras 4.3 e 4.4 que mostram o comportamento da potênca para dferentes nclnações consderando um e ses grupos de precursores, respectvamente. Nota-se um

78 62 3 crescmento consderável da potênca para um α = 0, que corrresponde a um aumento na reatvdade para t = 0, 4s de aproxmadamente 80 cents. Para as demas nclnações da rampa, há um crecmento controlado da potênca para os tempos calculados. Observa-se também um crescmento da potênca para o parâmetro α = 0, uma vez que o sstema é supercrítco. Ou seja, no estado estaconáro o coefcente de multplcação efetvo está um pouco acma da crtcaldade. Potênca Normalzada α=0,396x0-3 α=0,98x0-3 α=0,396x0-4 α= ,0 0, 0,2 0,3 0,4 Tempo (s) Fgura Potênca normalzada para uma rampa lnear consderando um grupo de precursores de nêutrons atrasados. Potênca Normalzada α=0,396x0-3 α=0,98x0-3 α=0,396x0-4 α=0 0 0,0 0, 0,2 0,3 0,4 Tempo (s) Fgura Potênca normalzada para uma rampa lnear consderando ses grupos de precursores de nêutrons atrasados.

79 63 Analsando os resultados encontrados para a potênca normalzada apresentados na Fgura 4.4, observa-se que o valor da potênca para o modelo de cnétca, consderando ses grupos de precursores de nêutrons atrasados é aproxmadamente o dobro da potênca encontrada para o modelo consderando um grupo de precursores de nêutrons atrasados (Fgura 4.3). A explcação para esse resultado, decorre no fato que, usando os resultados obtdos para a concentração, nota-se que o termo de fonte da equação do fluxo para o modelo de ses grupos é aproxmadamente 60% maor que o valor do termo de fonte para um grupo de precursores, para os valores de tempo consderados. Cumpre também observar que, a constante de decamento para o modelo de um grupo de precursores fo aquela apresentada na Tabela 4., já para ses grupos, aquela apresentada na Tabela 4.2. Por outro lado, empregando a fórmula de equvalênca para o modelo de um grupo ( = λ ), nota-se uma redução λ sgnfcatva dessa dferença entre os termos de fonte do modelo de ses grupos e um grupo. Acredta-se que a explcação da dferença de potênca observada é fundamentada pelos argumentos acma ctados. Para fnalzar, mostra-se o comportamento do fluxo de nêutrons para um e ses 4 grupos de precursores em dferentes pontos para α = 0,396 0 nas Tabelas 4.6 e 4.7. Mas uma vez percebe-se a smetra do fluxo e seu máxmo sendo atngdo no centro do domíno. Pode-se notar também que, tanto o comportamento da potênca como o do fluxo de nêutrons são semelhantes para um e ses grupos de precursores de nêutrons atrasados, dferencando-se apenas pela magntude dos mesmos. 6 = Tabela Dstrbução do fluxo de nêutrons consderando um grupo de precursores para 4 α = 0, e t = 0,4 s. Pontos do domíno (x,y) Fluxo Térmco 2 ( cm s ) Fluxo Rápdo 2 ( cm s ) (50,50) 0,5496,39540 (50,00) 0,72827,97340 (50,50) 0,5496,39540 (00,00), ,7908 (00,50) 0,72827,97340 (50,50) 0,5496,39540 (50,00) 0,72827,97340 (50,50) 0,5496,39540

80 64 Tabela Dstrbução do fluxo de nêutrons consderando ses grupos de precursores para 4 α = 0, e t = 0,4 s. Pontos do domíno (x,y) Fluxo Térmco 2 ( cm s ) Fluxo Rápdo 2 ( cm s ) a2 a2 (50,50), ,3700 (50,00), ,69095 (50,50), ,3700 (00,00) 2, ,6340 (00,50), ,69095 (50,50), ,3700 (50,00), ,69095 (50,50), ,3700 Para o segundo exemplo consdera-se uma rampa lnear do tpo: ( t) = (0) αt para 0 < t < 0,6 s, seguda de uma perturbação unforme do tpo (0) a2 = a2 α para t > 0,6 s, na qual α é um valor real. Mas uma vez a dea é varar α a fm de observar as varações do fluxo e, consequentemente, da potênca do reator. Nota-se que para nclnações maores há um crescmento mas sgnfcatvo do fluxo de nêutrons o que corresponde a uma maor potênca. Para este tpo de perturbação, observa-se um crescmento mas rápdo da potênca para tempos curtos quando comparado com o exemplo anteror. 25 Potênca Normalzada α=0,396x0-3 α=0,98x0-3 α=0,396x0-4 α=0 0 0,0 0, 0,2 0,3 0,4 Tempo (s) Fgura Potênca normalzada para uma rampa lnear seguda de uma perturbação unforme consderando um grupo de precursores de nêutrons atrasados. Isto pode ser melhor observado nas Fguras 4.5 e 4.6 para um e ses grupos de 3 precursores, respectvamente. Percebe-se que, para um α = 0, 396 0, há um crescmento

81 65 mas sgnfcatvo da potênca para um ntervalo curto de tempo. Isto pode ser explcado pelo maor decréscmo da seção de choque de absorção em valores absolutos. Mas uma vez, observa-se na Fgura 4.6 que a potênca normalzada aproxmadamente é o dobro em relação a um grupo de precursores (Fgura 4.5). A explcação é análoga ao exemplo anteror. Potênca Normalzada α=0,396x0-3 α=0,98x0-3 α=0,396x0-4 α=0 0 0,0 0, 0,2 0,3 0,4 Tempo (s) Fgura Potênca normalzada para uma rampa lnear seguda de uma perturbação unforme consderando ses grupos de precursores de nêutrons atrasados. Para fnalzar, nas Tabelas 4.8 e 4.9, mostra-se o comportamento do fluxo de 4 nêutrons em dferentes pontos para α = 0,396 0, consderando um e ses grupos de precursores, respectvamente. Mas uma vez percebe-se a smetra do fluxo e seu máxmo sendo atngdo no centro do reator. O comportamento para um e ses grupos de precursores é semelhante, dferencando-se pela magntude dos fluxos e potênca. Tabela Dstrbução do fluxo de nêutrons consderando um grupo de precursores para 4 α = 0,396 0 e t = 0,4s. Fluxo Térmco Fluxo Rápdo Pontos do domíno (x,y) 2 2 ( cm s ) ( cm s ) (50,50) 0,58774,5883 (50,00) 0,839 2,2462 (50,50) 0,58774,5883 (00,00),7549 3,766 (00,50) 0,839 2,2462 (50,50) 0,58774,5883 (50,00) 0,839 2,2462 (50,50) 0,58774,5883

82 66 Tabela Dstrbução do fluxo de nêutrons consderando ses grupos de precursores para 4 α = 0,396 0 e t = 0,4s. Fluxo Térmco Fluxo Rápdo Pontos do domíno (x,y) 2 2 ( cm s ) ( cm s ) (50,50), ,79620 (50,00) 2,5098 6,78285 (50,50), ,79620 (00,00) 3,5485 9,59238 (00,50) 2,5098 6,78285 (50,50), ,79620 (50,00) 2,5098 6,78285 (50,50), ,79620 Caso C: perturbação do tpo senodal Neste caso, consdera-se uma perturbação do tpo: 4 a2( t) a2(0) 0,396 0 sen(2 πt / T) =, na qual T é o período. A dea aqu é varar o período da função seno e observar as varações do fluxo e, consequentemente, da potênca do reator. Nas Fguras 4.7 e 4.8, para um e ses grupos de precursores respectvamente, apresentam-se os resultados obtdos. Pode-se observar um crescmento osclatóro da potênca a medda que o tempo cresce. Além dsso, como esperado, a potênca normalzada para ses grupos é aproxmadamente o dobro em relação a um grupo. 3,5 3,0 T = 0,2 T = 0,20 T = 0,28 Potênca Normalzada 2,5 2,0,5,0 0,0 0, 0,2 0,3 0,4 Tempo (s) Fgura Potênca normalzada para uma perturbação senodal consderando um grupo de precursores de nêutrons atrasados.

83 67 Potênca Normalzada T=0,2 T=0,20 T=0,28 0,0 0, 0,2 0,3 0,4 Tempo (s) Fgura Potênca normalzada para uma perturbação senodal consderando ses grupos de precursores de nêutrons atrasados. Nas Tabelas 4.0 e 4., para um e ses grupos de precursores respectvamente, apresenta-se o comportamento da dstrbução do fluxo de nêutrons, mostrando mas uma vez a smetra e o máxmo sendo alcançado no centro do reator para t = 0, 4 s e T = 0, 28s. Mas uma vez o comportamento para um e ses grupos de precursores de nêutrons é semelhante; dferencando-os pela magntude dos fluxos e potênca. Tabela Dstrbução do fluxo de nêutrons consderando um grupo de precursores para T = 0, 28s e t = 0, 4s. Pontos do domíno (x,y) Fluxo Térmco 2 ( cm s ) Fluxo Rápdo 2 ( cm s ) (50,50) 0,44038,9548 (50,00) 0,62280,69067 (50,50) 0,44038,9548 (00,00) 0, ,39097 (00,50) 0,62280,69067 (50,50) 0,44038,9548 (50,00) 0,62280,69067 (50,50) 0,44038, Caso teste para o problema 3D Para o caso teste 3D, consdera-se um cubo homogêneo, de lado 200 cm, com dos grupos de energa e um grupo de precursores de nêutrons atrasados. As condções de contorno

84 68 utlzadas foram do tpo msta, dvddas em duas partes: condção de contorno de Drchlet e condção de contorno de Neumann para os ses lados dadas pela equação (4.45). Tabela 4. - Dstrbução do fluxo de nêutrons consderando ses grupos de precursores para T = 0, 28s e t = 0, 4s. Pontos do domíno (x,y) Fluxo Térmco 2 ( cm s ) Fluxo Rápdo 2 ( cm s ) (50,50), ,84405 (50,00),489 4,0220 (50,50), ,84405 (00,00) 2, ,6880 (00,50),489 4,0220 (50,50), ,84405 (50,00),489 4,0220 (50,50), ,84405 Consderam-se, analogamente ao problema 2D, perturbações que consstem em mudanças na seção de choque de absorção térmca das seguntes formas: unforme, rampa e osclatóra. O caso de uma perturbação constante é utlzado para valdar a metodologa e verfcar o comportamento espacal do fluxo de nêutrons. Os resultados são comparados com o 3DKIN proposto por [Ferguson, 973]. Os parâmetros nucleares usados para este caso teste 3D são os mesmos do problema 2D, dados pelas Tabelas 4. e 4.2. Já para as demas perturbações varáves com o tempo, casos teste são fetos para verfcar a metodologa proposta em dferentes stuações, varando a seção de choque de absorção térmca e observando as varações na potênca. Caso A: perturbação unforme Na Tabela 4.2, os valores apresentados são para o fluxo de nêutrons térmco no ponto central do reator. A fm de reproduzr valores numércos que mantenham a solução abaxo de um nível de desvo prescrto, três termos na solução em sére são necessáros. O método GITTDM mostra boa concordânca quando comparado com o códgo 3DKIN proposto por [Ferguson, 973]. Na Tabela 4.3, é mostrado o comportamento do fluxo de nêutrons para z = 00 cm e t = 0, 4s.

85 69 Tabela Comparação numérca do fluxo térmco no centro do reator (00, 00, 00, t) para dferentes tempos. 2 Fluxo Térmco [ cm s ] tempo (s) 3DKIN 3DKIN 3DKIN 3DKIN GITTDM t = 0,0 t = 0,005 t = 0,002 t = 0,00 N max = 3 0 0,86 0,86 0,86 0,86 0,8679 0,05 0,920,043,6,24,2785 0,0,5,36,403,406, ,5,454,65,660,660, ,20,782,904,892,89, ,30 2,388 2,328 2,294 2,288 2, ,40 2,840 2,67 2,628 2,622 2,62060 O fluxo é máxmo no contorno e deca satsfazendo as condções de contorno. Isto também pode ser observado nas Fguras 4.9 e 4.0. Tabela Dstrbução do fluxo de nêutrons para z = 00 cm e t = 0, 4s. Pontos do domíno (x,y,z) Fluxo térmco 2 [ cm s ] Fluxo rápdo 2 [ cm s ] (50,50,00) 4,45887,80740 (50,00,00) 3,4267 9,03700 (50,50,00), ,89079 (00,00,00) 2, ,93976 (00,50,00),4826 3,75577 (50,50,00),8596 4,92352 (50,00,00), ,25372 (50,50,00) 0, ,03939 Fgura Fluxo térmco para z = 00 cm e t = 0,4 s.

86 70 Fgura Fluxo rápdo para z = 00 cm e t = 0,4 s. Por fm, na Tabela 4.4, apresenta-se o fluxo rápdo de nêutrons para dferentes tempos no centro do domíno. Tabela Fluxo de nêutrons rápdo no centro do domíno (00, 00, 00,t) para dferentes tempos. Fluxo de Nêutrons rápdo 2 tempo (s) ( cm s ) 5 N = γ = 0 GITTDM max 3 0 2,6347 0,05 2, , 3, ,5 4, ,20 5, ,3 6, ,4 6,93976 Caso B: perturbação do tpo rampa Neste exemplo, consdera-se uma perturbação do tpo rampa lnear da segunte forma: a2( t) = a2(0) + αt, onde α é uma parâmetro real. A dea aqu é varar a nclnação dada por α e observar as varações da potênca normalzada. Isto pode ser observado na Fgura 4. que mostra o comportamento da potênca normalzada para algumas nclnações. 2 Pode-se observar que, para α = 0, 396 0, há uma dmnução da potênca para todos os 3 tempos. Já para α = 0,396 0, há ncalmente um pequeno crescmento da potênca, até t = 0, 2s segudo de um pequeno decréscmo a partr de t = 0, 2s. Enquanto para as demas 4 nclnações ( α = 0,396 0 e α = 0 ), há um crescmento lnear da potênca. Fca claro que